수포자 없는 10학년 (고1) 수학 완성

(Tentative) 수포자 없는 10학년 (고1) 수학 완성

- Mobile Math Platform for Future Education -

○ 목표

10학년 수학이 요구하는 교수학습목표에 세계에서 가장 쉽고/빠르고/정확하게 도달하여 우리나라 고등학교 1학년 학생 누구나 수학에 대한 자신감을 갖게 한다. 그 방법으로 Math & Coding을 모바일 클라우드 컴퓨팅 기술을 적용하여, 교수학습목표가 요구하는 모든 기본 문제를 해결하는 Python 기반의 Sage 코드 및 해설/답안/Comment 을 담은 콘텐츠를 제작한다.

○ 참여자

- 이상구 교수 (성균관대, 수학과)

- 유주연 박사 (성균관대, 기초과학연구소)

- 이재화 박사 (성균관대, 에너지환경융합 KIURI 연구단)

○ 연구보조원 명단 (성균관대)

- 김수민 학부생(인공지능융합전공, 20학번)

- 김수호 학부생(수학, 19학번)

- 김보민 학부생(컴퓨터교육, 20학번)

○ 사사

- 한국연구재단 혁신성장 선도 고급연구인재 육성사업, (No.2020M3H1A1077095).

- 한국연구재단 이공분야기초연구사업(기본연구), (No.2021R1F1A1046714).

- 성균관대학교 2021학년도 AI융합연구과제 (No.S-2021-2372-000-01)

공통과목 -수학

문자와 식

다항식

식에 대한 사칙연산과 인수분해는 복잡한 다항식으로 확장되어 적용된다.

∙다항식의 연산

∙나머지정리

∙인수분해

계산하기

이해하기

문제 해결하기

설명하기

방정식과 부등식

방정식과 부등식은 양 사이의 관계를 나타내며, 적절한 절차에 따라 이를 만족시키는 해를 구할 수 있다.

∙복소수와 이차방정식

∙이차방정식과 이차함수

∙여러 가지 방정식과 부등식

○ 임의문제 생성 예시

1. 문자와 식 – 다항식 – 인수분해

󰊳 인수분해

[10수학01-04]다항식의 인수분해를 할 수 있다.

(1) 두 실수 , 에 대하여 , 일 때, 의 값은?

[참고자료] (Tentative)

https://mathbang.net/319

https://youtu.be/6pQVhPBrfbw

○ 코드

2. 기하 - 도형의 방정식 - 원의 방정식

󰊳 원의 방정식

[10수학02-06]원의 방정식을 구할 수 있다.

[10수학02-07]좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.

(9) 주어진 직선과 원에 대하여 원과 직선의 위치 관계를 말하여라.

[참고자료] (Tentative)

https://www.mathfactory.net/11163

https://youtu.be/job6igL9BEs

○ 코드

단 원 명	다항식의 연산
필수 성취 기준	다항식의 사칙연산을 할 수 있다.

1. 두 다항식 , 에 대하여 를 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/309

[동영상] https://youtu.be/x9iU90LmoWc

■ Answer. 이다.

2. 세 다항식 , , 에 대하여

와 를 계산하여라.

[참고] https://mathbang.net/309

[동영상] https://youtu.be/x9iU90LmoWc

■ Answer. = 가 성립하여 결합법칙이 성립한다.

단 원 명	인수분해
필수 성취 기준	다항식의 인수분해를 할 수 있다.

3. 다음 식을 인수분해하시오.

[참고] https://mathbang.net/341

[동영상] https://youtu.be/ZpHUEC5AC6c

■ Answer.

4. 다음 다항식을 인수분해 하시오.

[참고] https://mathbang.net/320

[동영상] https://youtu.be/6pQVhPBrfbw

■ Answer. = 로 인수분해 된다.

5. 다음 다항식을 인수분해 하시오.

[참고] https://mathbang.net/319

[동영상] https://youtu.be/VOVtsFrMzYk

■ Answer. = 로 인수분해된다.

단 원 명

나머지 정리

필수 성취 기준

1. 항등식의 성질을 이해한다.

2. 나머지정리의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

6. 다항식 는 로 나누어떨어지고, 로 나누었을 때의 나머지가 이다. 상수 , 의 값을 구하고, 이 다항식을 인수분해하시오.

[참고] https://mathbang.net/316

[동영상] https://youtu.be/2nzz2KPOhlA

■ Answer. 나머지 정리에 의해 , 를 얻는다. 따라서 이 된다.

7. 조립제법을 이용하여 다항식 를 일차식 로 나눌 때의 몫과 나머지를 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/313

[동영상] https://youtu.be/SSLE5Oquq0Q

■ Answer. 다항식 를 일차식 로 나눌 때의 몫은 이고 나머지는 이다.

8. 다항식 을 와 로 나누었을 때의 나머지가 서로 같을 때, 실수 의 값은?

[답안] 를 로 나누었을 때의 나머지는
를 로 나누었을 때의 나머지는
이때 이므로
∴

[참고] https://mathbang.net/316

[동영상] https://youtu.be/2nzz2KPOhlA

■ Answer. 나머지 정리에 의해 을 얻는다.

9. 등식 가 의 항등식이 되도록 실수 , , 의 값을 정할 때, 의 값은?

[참고] https://mathbang.net/314

[동영상] https://youtu.be/ikEnJU0eCEI

■ Answer. 등식의 양변에 , , 을 대입하여 풀면, , , 을 얻는다. 따라서 이다.

10. 다항식 를 로 나누었을 때의 몫이 이고, 나머지가 일 때, 의 값은? 단, , , 는 실수

[참고] https://mathbang.net/316

[동영상] https://youtu.be/2nzz2KPOhlA

■ Answer. 이다.

11. 다음 두 다항식 에서 를 로 나누었을 때, 몫 와 나머지 을 구하고 의 꼴로 나타내 그 결과를 확인하시오.

[참고] https://mathbang.net/316

[동영상] https://youtu.be/R2HL7lsKs_g

■ Answer. , 가 성립한다.

12. 두 다항식 이라 할 때 를 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/309

[동영상] https://youtu.be/x9iU90LmoWc

■ Answer. 이 되어 와 는 서로 같다.

13. 다음 등식이 에 대한 항등식이 되도록 상수 의 값을 정하시오.

[참고] https://mathbang.net/315

[동영상] https://youtu.be/ikEnJU0eCEI

■ Answer. 를 만족하는 는

이다.

단 원 명

복소수와 이차 방정식

필수 성취 기준

1. 복소수의 뜻과 성질을 이해하고 사칙연산을 할 수 있다

2. 이차방정식에서 판별식의 의미를 이해하고 이를 설명할 수 있다.

3. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.

14. 다음 주어진 복소수가 아래와 같은 등식이 성립할 때 실수 값을 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/303

[동영상] https://youtu.be/tBl2KLPlZjU

■ Answer. 이다.

15. 다음 복소수의 켤레 복소수를 모두 구하여 실수부만의 합을 구하시오.

(1) 　　(2) -3 (3) i (4)

[참고] https://mathbang.net/304

[동영상] https://youtu.be/qHpE3fQbQI4

■ Answer. 주어진 실수부의 합은 6이다.

16. 다음을 의 꼴로 나타내시오 ( 단 는 실수)

[참고] https://mathbang.net/305

[동영상] https://youtu.be/0QRMEiX9Aj8

■ Answer. 이다.

17. 다음을 의 꼴로 나타내시오 ( 단 는 실수)

[참고] https://mathbang.net/305

[동영상] https://youtu.be/0QRMEiX9Aj8

■ Answer. 이다.

18. 다음을 의 꼴로 나타내시오 ( 단 는 실수)

[참고] https://mathbang.net/305

[동영상] https://youtu.be/0QRMEiX9Aj8

■ Answer. 이다.

19. 다음을 의 꼴로 나타내시오 ( 단 는 실수)

[참고] https://mathbang.net/305

[동영상] https://youtu.be/0QRMEiX9Aj8

[동영상] https://youtu.be/qHpE3fQbQI4

■ Answer. 13 이다.

20. 복소수 가 다음 조건을 만족할 때 의 값을 각각 구하여라. (단 는 실수)

[참고] https://mathbang.net/304

[동영상] https://youtu.be/0QRMEiX9Aj8

[동영상] https://youtu.be/qHpE3fQbQI4

■ Answer. 이다.

21. 다음 등식을 만족하는 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, 는 실수, )

[참고] https://mathbang.net/305

[동영상] https://youtu.be/0QRMEiX9Aj8

■ Answer. 이므로 이다.

22. 다음 이차방정식의 해를 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/335

[동영상] https://youtu.be/yu3z5GovdbM

■ Answer. 의 해는 , 이다. 그래프는 위와 같다.

23. 다음 이차방정식 의 해를 구하고 이 이차방정식을 이차함수 , 축 ( ) 으로 나누어 그래프로 표현하여라.

[참고] https://mathbang.net/335

[동영상] https://youtu.be/yu3z5GovdbM

■ Answer. 해는 이다. 그래프를 그려보면 는 축과 만나지 않는다.

24. 다음 이차방정식 의 해를 구하고 그래프로 표현하여라.

[참고] https://mathbang.net/335

[동영상] https://youtu.be/yu3z5GovdbM

■ Answer. 의 해는 이다. 그래프는 위와 같다.

25. 다음은 두 개의 이차함수의 그래프로 중 이차 함수를 이차 방정식으로 표현하였을 때 실근을 갖는지 허근을 갖는지를 결정하여라.

(1) 의 그래프 (2) 의 그래프

[참고] https://mathbang.net/335

[동영상] https://youtu.be/XKkycOZcVlA

■ Answer. 는 실근을 갖는다.

■ Answer. 는 허근을 갖는다.

26. 다음 이차방정식을 풀고, 그 근이 실근인지 허근인지 말하시오.

(1) (2)

[참고] https://mathbang.net/335

[동영상] https://youtu.be/XKkycOZcVlA

■ Answer. 는 실근 을 갖는다.

(2)

■ Answer. 는 실근 을 갖는다.

27. 다음 두 수를 근으로 하고 의 계수가 1인 이차방정식을 구하시오.

[참고] https://mathbang.net/336

[동영상] https://youtu.be/XKkycOZcVlA

■ Answer. 10, -11을 두 근으로 하고, 의 계수가 1인 이차방정식은 이다.

28. 다음 두 수를 근으로 하고 의 계수가 1인 이차방정식을 구하시오.

[참고] https://mathbang.net/336

[동영상] https://youtu.be/XKkycOZcVlA

■ Answer. 을 두 근으로 하고, 의 계수가 1인 이차방정식은 이다.

29. 복소수 에 대하여 의 값은? (단, 는 의 켤레복소수이다.)

[답안]
이때 이므로

따라서 구하는 값은

[참고] https://mathbang.net/304

[동영상] https://youtu.be/qFG-YL2C4-c

■ Answer. 이므로 이다.

30. 의 이차방정식 이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 실수 의 값의 범위는?

[답안] 이차방정식 즉, 의

판별식을 라고 할 때, 이 이차방정식이 서로 다른 두 허근을 가지려면

이어야 하므로 구하는 의 값의 범위는

[참고] https://mathbang.net/335

[동영상] https://youtu.be/bfQr5ykQWOA

■ Answer. 의 이차방정식 이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 실수 의 값의 범위는 이다.

단 원 명

여러 가지 방정식과 부등식

필수 성취 기준

1. 이차부등식과 이차함수의 관계를 이해하고,

이차부등식과 연립이차부등식을 풀 수 있다.

2. 절댓값을 포함한 일차부등식을 풀 수 있다.

3. 미지수가 1개인 연립일차부등식을 풀 수 있다.

31. 다음 일차부등식의 해를 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/466

[동영상] https://youtu.be/1VFEF3uizoM

■ Answer. 이다.

32. 이차부등식 의 해가 일 때, 의 값은?

[참고] https://mathbang.net/390

[동영상] https://youtu.be/A_UqC8RLcn8

■ Answer. 이다.

33. 연립부등식 을 만족시키는 정수 의 개수는?

[답안]
①에서 이므로
③
②에서 이므로
또는 ④
③, ④에서 공통부분은
또는
따라서 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 의 개수는

[참고] https://mathbang.net/41

[동영상] https://youtu.be/_8Zku_xLRKk

■ Answer. 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 의 개수는 이다.

34. 이차부등식 의 해가 존재하지 않을 때, 실수 의 값의 범위는?

[답안] 이차방정식 의 판별식을 라고 할 때, 이어야 하므로

따라서 구하는 의 값의 범위는

[참고] https://mathbang.net/391

[동영상] https://youtu.be/A_UqC8RLcn8

■ Answer. 구하는 의 값의 범위는 이다.

35. 삼차방정식 의 두 허근을 , 라고 할 때, 의 값은?

[답안]

로 놓으면

조립제법을 이용하여

를 인수분해하면

이때 주어진 방정식 의 두 허근은 이차방정식 의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[참고] https://mathbang.net/349

[동영상] https://mathbang.net/317

[동영상] https://youtu.be/PD2LaRtUhfE

■ Answer. 근과 계수의 관계에 의하여 이다.

36. 연립방정식 의 해를 순서쌍 로 나타내면 , 일 때, 의 값은?

[답안]
①에서 을 ②에 대입하면
,

∴ 또는
따라서 주어진 연립방정식의 해는
또는
∴

[참고] https://mathbang.net/14

[동영상] https://youtu.be/usk41nEJ1Js

■ Answer. 의 해는 , 이므로 이다.

기하

도형의 방정식

좌표평면에 나타낸 점, 직선, 원과 같은 도형은 대수적으로 표현된다.

∙평면좌표

∙직선의 방정식

∙원의 방정식

∙도형의 이동

계산하기

이해하기

설명하기

판별하기

단 원 명

평면 좌표

필수 성취 기준

1. 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

2. 선분의 내분과 외분을 이해하고,

내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.

37. 두 점 , , , 를 이은 선분 를 로 내분하는 점 의 좌표가 , 일 때, 의 값은?

[답안] 두 점 , , , 를 이은 선분 를 1：2로 내분하는 점 의 좌표는

이므로 ,
따라서 , 이므로

[참고] https://mathbang.net/439

[동영상] https://youtu.be/mmcN7fOXOjA

■ Answer. , 이므로 이다.

단 원 명

직선의 방정식

필수 성취 기준

1. 직선의 방정식을 구할 수 있다.

2. 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.

3. 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

38. 다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/443

[동영상] https://youtu.be/Bvw205kQAPI

■ Answer. 이다.

39. 다음 두 직선이 평행하도록 하는 상수 의 값을 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/449

[동영상] https://youtu.be/z--cMLMYOKI

■ Answer. 두 직선이 평행하도록 하는 상수 의 값은 이다.

40. 두 점 , , , 를 이은 선분 의 중점을 지나고 기울기가 인 직선의 절편은?

[답안] 선분 의 중점의 좌표는 . 점 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은
, 즉 따라서 구하는 직선의 절편은

[참고] https://mathbang.net/443

[동영상] https://youtu.be/gyDkGgsjpbg

■ Answer. 따라서 구하는 직선의 절편은 이다.

41. 두 점 , , , 를 지나는 직선의 방정식이 일 때, 두 실수 , 에 대하여 의 값은?

[답안] 두 점 , , , 를 지나는 직선의 방정식은
, 즉 이므로 , ∴

[참고] https://mathbang.net/443

[동영상] https://youtu.be/Bvw205kQAPI

■ Answer. 이라 하면, , 을 만족하면 된다. 따라서 , ∴ 이다.

42. 두 직선 , 이 수직이 되도록 하는 모든 실수 의 값의 합은?

[답안] 두 직선 과 즉, 과
이 수직이므로 ,
또는 따라서 의 값의 합은

[참고] https://m.blog.naver.com/biomath2k/221894383861

[동영상] https://youtu.be/z—cMLMYOKI

■ Answer. 두 직선 , 이 수직이 되도록 하는 의 값은 , 이므로 의 합은 이다.

43. 주어진 한 점과 직선 사이의 거리를 구하여라.

[참고] https://url.kr/cnltjq

[동영상] https://youtu.be/bh7X3mTJF9A

■ Answer. , 사이의 거리는 이다. 예를 들어 점 와 직선의 방정식 사이의 거리는 이다.

44. 두 점 , , , 사이의 거리가 일 때, 양수 의 값은?

[답안]
양변을 제곱하여 정리하면
,
또는 따라서 양수 의 값은

[참고] https://mathbang.net/138

[동영상] https://youtu.be/jz3A_ZqZbFU

■ Answer. , , , 사이의 거리가 일 때 또는 . 따라서 양수 의 값은 이다.

45. 세 점 , , , , , 에 대하여 일 때, 실수 의 값은?

[답안] 이므로
양변을 제곱하여 정리하면

[참고] https://mathbang.net/138

[동영상] https://youtu.be/jz3A_ZqZbFU

■ Answer. 이다.

단 원 명

원의 방정식

필수 성취 기준

1. 원의 방정식을 구할 수 있다.

2. 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.

46. 주어진 점과 반지름을 이용하여 원의 방정식을 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/454

[동영상] https://youtu.be/Hz3_Cqb0yr8

■ Answer. , 인 원의 방정식은 이다.

47. 주어진 직선과 원에 대하여 원과 직선의 위치 관계를 말하여라.

[참고] https://url.kr/k5w2da

[동영상] https://youtu.be/job6igL9BEs

■ Answer. 직선 과 원 은 두 점에서 만난다.

함수

함수와 그래프

함수는 대수적 조작이 가능하며, 함수의 그래프를 통해 시각적으로 표현된다.

∙함수

∙유리함수와 무리함수

그래프 그리기

이해하기

함수 구하기

계산하기

표현하기

단 원 명

함수와 유리함수 무리함수

필수 성취 기준

1. 함수의 개념을 이해하고, 그 그래프를 이해한다.

2. 함수의 합성을 이해하고, 합성함수를 구할 수 있다.

3. 역함수의 의미를 이해하고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.

4. 유리함수와 무리함수를 이해하고 그래프를 그리고 성질을 이해할 수 있다.

48. 주어진 유리함수의 점근선을 구하여라.

[참고] https://jwmath.tistory.com/262

[동영상] https://youtu.be/N269aCGJlyY

■ Answer. 수평점근선은 , 수직 점근선은 이다.

49. 함수 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 모두 점 (1, 3)을 지날 때, 상수 , 에 대하여 의 값은?

[참고] https://url.kr/n3utab

[동영상] https://youtu.be/uKktwqHjRM4

■ Answer. , 즉 을 만족하므로 , 이다. 따라서 이다.

50. 두 함수 , 에 대하여 의 값은?

[참고] https://mathbang.net/475

[동영상] https://youtu.be/5Y8nTLtnLrM

■ Answer. 따라서 이다.

수와 연산

집합과 명제

집합은 수학적 대상을 논리적으로 표현하고 이해하는 도구이며, 명제는 증명을 통해 그 타당성이 입증된다.

∙집합

∙명제

설명하기

표현하기

이해하기

증명하기

구별하기

단 원 명

집합

필수 성취 기준

1. 집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 수 있다.

2. 두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.

3. 집합의 연산을 할 수 있다.

51. 전체집합 는 이하의 자연수 의 두 부분집합 에 대하여 집합 의 모든 원소의 합은?

[참고] https://mathbang.net/289

[동영상] https://mathbang.net/11

[동영상] https://youtu.be/Ak3SkXJMeUg

■ Answer. 이므로 이 집합의 모든 원소의 합은 31이다.

52. 자연수 에 대하여 집합 라 할 때, 의 원소의 개수를 구하시오.

[답안]

…… ①

에서 는 의 약수의 집합, 는 의 약수의 집합이고 와 의 최대공약수는 이므로

은 의 약수의 집합, 는 의 약수의 집합이고, 과 의 최대공약수는 이므로

또 의 약수는 모두 의 약수이므로

따라서 ①은 이고, 의 약수는 개이므로

[참고] https://mathbang.net/10

[동영상] https://youtu.be/HHUqYiPbzLQ

■ Answer. 이다.

확률과 통계

경우의 수

다양한 상황과 맥락에서 경우의 수를 구하는 체계적인 방법이 존재한다.

∙경우의 수

∙순열과 조합

경우의 수 세기

계산하기

문제 해결하기

단 원 명

확률과 통계

필수 성취 기준

1. 합의 법칙과 곱의 법칙을 이해한다.

2. 순열의 의미를 이해하고, 순열의 수를 구할 수 있다.

3. 조합의 의미를 이해하고, 조합의 수를 구할 수 있다.

53. 를 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/545 https://mathbang.net/546

[동영상] https://youtu.be/823hW48Y_9U

■ Answer. 이다.

54. 회원이 10명인 어느 동아리에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수를 구하라.

[참고] https://mathbang.net/545 https://mathbang.net/546

[동영상] https://youtu.be/R2qWkViz4sk

■ Answer. 이다.

55. 다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 서로 다른 세 개를 택해 일렬로 나열하여 세 자리의 자연 수를 만들 때, 짝수의 개수를 구하라.

[참고] https://mathbang.net/546

[동영상] https://youtu.be/R2qWkViz4sk

■ Answer. 짝수의 개수는 24개이다.

56. 다음 등식을 만족시키는 자연수 의 값을 구하여라.

[참고] https://mathbang.net/548

[동영상] https://youtu.be/8aJzzwzByLc

■ Answer. 를 만족하는 은 9이다.

57. 지혁이네 학급은 봉사 활동을 하려고 한다. 서로 다른 7개의 장소 중에서 서로 다른 4개의 장소를 택하는 경우의 수를 구하라.

[참고] https://mathbang.net/549

[동영상] https://youtu.be/DvRzYju8vLE

■ Answer. 모든 경우의 수를 나열해보면

[[1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 5], [1, 2, 3, 6], [1, 2, 3, 7], [1, 2, 4, 5],

[1, 2, 4, 6], [1, 2, 4, 7], [1, 2, 5, 6], [1, 2, 5, 7], [1, 2, 6, 7],

[1, 3, 4, 5], [1, 3, 4, 6], [1, 3, 4, 7], [1, 3, 5, 6], [1, 3, 5, 7],

[1, 3, 6, 7], [1, 4, 5, 6], [1, 4, 5, 7], [1, 4, 6, 7], [1, 5, 6, 7],

[2, 3, 4, 5], [2, 3, 4, 6], [2, 3, 4, 7], [2, 3, 5, 6], [2, 3, 5, 7],

[2, 3, 6, 7], [2, 4, 5, 6], [2, 4, 5, 7], [2, 4, 6, 7], [2, 5, 6, 7],

[3, 4, 5, 6], [3, 4, 5, 7], [3, 4, 6, 7], [3, 5, 6, 7], [4, 5, 6, 7]]

이고 총 개수는 35개이다.

*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).