를 만족시키는 두 실수
에 대하여 식
의 값은?
(Tentative) 수포자 없는 11학년 (고2) 수학 완성 - Math & Coding -
○ 목표
11학년 수학이 요구하는 교수학습목표에 세계에서 가장 쉽고/빠르고/정확하게 도달하여 우리나라 고등학교 2학년 학생 누구나 수학에 대한 자신감을 갖게 한다. 그 방법으로 Math & Coding을 모바일 클라우드 컴퓨팅 기술을 적용하여, 교수학습목표가 요구하는 모든 기본 문제를 해결하는 Python 기반의 Sage 코드 및 설명/답안/Comment 를 담은 콘텐츠를 제작한다.
○ 참여자
- 이상구 교수 (성균관대, 수학과)
- 유주연 박사 (성균관대, 기초과학연구소)
- 이재화 박사 (성균관대, 에너지환경융합 KIURI 연구단)
○ 연구보조원 명단 (성균관대)
- 김수민 학부생(인공지능융합전공, 20학번)
- 김수호 학부생(수학, 19학번)
- 김보민 학부생(컴퓨터교육, 20학번)
○ 사사
- 한국연구재단 혁신성장 선도 고급연구인재 육성사업, (No.2020M3H1A1077095).
- 한국연구재단 이공분야기초연구사업(기본연구), (No. 2021R1F1A1046714).
- 성균관대학교 2021학년도 AI융합연구과제 (No. S-2021-2372-000-01).
수학 I
1.
를 만족시키는 두 실수
에 대하여 식
의 값은?
[답안]
[동영상] https://youtu.be/waCOTm2XtrM
■ Answer.
3/x - 2/y의 값은 2이다.
2.
의 값은?
[답안]
[동영상] https://youtu.be/ofFOKaG-4is
■ Answer.
식의 값: 1.414214
sqrt(2): 1.414214
3.
의 값은?
[답안]
[동영상] https://youtu.be/ttH3m3jSSvw
■ Answer.
식의 값은 5이다.
4. 임의의 실수
에 대하여
이 항상 정의되기 위한 정수
가 있다. 이 때
의 최솟값은?
[답안]
[동영상] https://youtu.be/ttH3m3jSSvw
■ Answer.
a+b의 최솟값은 2이다.
5.
이고,
와
의 합이 정수일 때,
의 값은?
[답안]
[동영상] https://youtu.be/CSbX7hVswls
■ Answer.
3/2*log(x)/log(10) > 3.0
3/2*log(x)/log(10) < 4.499999999999999
x의 값은 10^(8/3)이다.
6.
의 정수부분과
의 정수부분이 같도록 하는 두 자리의 자연수
의 최댓값을 구하시오.
[답안] 80
일 때
,
이므로
과
의 정수부분은 각각
,
이다.
일 때
,
이므로
과
의 정수부분은
로 같다.
일 때
,
이므로
과
의 정수부분은 각각
,
이다.
일 때
,
이므로
과
의 정수부분은
으로 같다.
일 때
,
이므로
과
의 정수부분은 각각
,
이다.
따라서 구하는 두 자리의 자연수
의 최댓값은
이다.
[동영상] https://youtu.be/CSbX7hVswls
■ Answer.
10 <= n < 16일 때, log(n,3)과 log(n,4)의 정수부분은 각각 2, 1이다.
16 <= n < 27일 때, log(n,3)과 log(n,4)의 정수부분은 각각 2, 2이다.
27 <= n < 64일 때, log(n,3)과 log(n,4)의 정수부분은 각각 3, 2이다.
64 <= n < 81일 때, log(n,3)과 log(n,4)의 정수부분은 각각 3, 3이다.
81 <= n < 100일 때, log(n,3)과 log(n,4)의 정수부분은 각각 4, 3이다.
따라서 구하는 두 자리의 자연수 n의 최댓값은 80이다.
7.
에서 함수
의 최솟값이
일 때,
의 최댓값을 구하시오. (단,
는 상수이다.)
[답안]
함수
에서 지수의 최솟값은
이므로
즉,
이다. 이때, 지수의 최댓값은
이므로
의 최댓값은
이다.
* 이런 문제는 아래 코드 이용하여 슬라이더를 달아 주면 더 좋습니다.
[동영상] https://youtu.be/HN515Qc2lgA
■ Answer.
f(x)의 최댓값은 64이다.
함수
에서 지수의 최솟값은
이므로
즉,
이다. 이때, 지수의 최댓값은
이므로
의 최댓값은
이다.
8. 다음 조건을 만족시키는 정수
의 개수는?
[답안]
㈏에서
로 치환하면
이 방정식이 오직 하나의 양의 실근을 가지므로
인 실근 즉,
인 오직 하나의 실근을 갖는다.
이라 하면,
이므로
를 축으로 하고 아래로 볼록한 이차함수이다.
i)
, 즉
일 경우
조건을 만족하려면 함수
는
오른쪽 그림과 같아야 하므로
이어야 한다.
∴
이면 성립
ii)
, 즉
일 경우
이므로
인 실근이 없다.
iii)
, 즉
일 경우
조건을 만족하려면 함수
는
오른쪽 그림과 같이 중근을 가져야 한다.
따라서, 방정식
의
판별식을
라 하면,
∴
i), ii), iii)과 ㈎
의 조건을 만족하는 정수
는
,
,
,
,
,
,
,
,
의
개다.
[동영상] https://youtu.be/Mhr3YHVjYg4
■ Answer.
[-6, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
(가), (나) 조건을 만족하는 정수 k의 개수는 9개다.
9. 어느 회사의 정수 필터는 정수 작업을 한 번 할 때마다 불순물 양의
%를 제거할 수 있다고 한다. 정수 작업을 5회 반복 실시하면 불순물의 양은 처음의 10%이하로 줄어든다고 할 때, 자연수
의 최솟값은? (단,
로 계산한다.)
[답안]
에서
제거 하면,
그러므로
회 반복하면 불순물의 양은
,
[동영상] https://youtu.be/yEr3s3n2z7c
■ Answer.
[[x >= (369/10)]]
10.
을 동시에 만족시키는 각
는 제 몇 사분면의 각인가?
[답안] 제4사분면
[동영상] https://youtu.be/CO0DxedsUkw
■ Answer.
제 4사분면
11. 원점 O와 점
를 지나는 동경 OP가 나타내는 각의 크기 중 하나를
라고 할 때,
의 값을 각각 구하시오.
[답안]
[참고] https://calcproject.tistory.com/415?category=864459
[동영상] https://youtu.be/8rtkeAzvpYE
■ Answer.
원점과 점 P까지의 거리, 즉 삼각형의 빗변의 길이 r=sqrt((-2)^2+sqrt(5)^2)=3이다.
따라서 이 동경의 각도를 θ라고 하면,
sinθ = y/r = sqrt(5)/3
cosθ = x/r = -2/3
tanθ = y/x = sqrt(5)/-2
sinθtanθ-cosθ = xy/r^2-x/r = -5/6 + 2/3 = -1/6
이다.
12.
일 때,
의 값을 구하시오.
[답안]
[참고] https://m.blog.naver.com/soonenghelper/221331910155
[동영상] https://youtu.be/ZFXJ2SYzzBQ
■ Answer.
양변을 제곱하면, (sinθ)^2 + 2sinθcosθ + (cosθ)^2 = 1/9
인데, (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1이다.
따라서 1 + 2sinθcosθ = 1/9 가 되고, 양변을 정리하면
sinθcosθ = -4/9 를 얻을 수 있다.
13.
일 때,
의 값은?
[답안]
에서
[참고] https://m.blog.naver.com/soonenghelper/221331910155
[동영상] https://youtu.be/ZFXJ2SYzzBQ
■ Answer.
tanθ + 1/tanθ = (1+(tanθ)^2)/tanθ = (secθ)^2/tanθ = 1/sinθcosθ 이다.
주어진 조건의 양변을 제곱하면, (sinθ)^2 + (cosθ)^2 - 2sinθcosθ = 4/9 가 된다.
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1이므로, 1 - 2sinθcosθ = 4/9 가 된다.
양 변을 정리하면, sinθcosθ = 5/18이 되고, 따라서
tanθ + 1/tanθ = 1/sinθcosθ = 18/5이다.
14. 함수
의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 상수
에 대하여
의 값은? (단,
)
[답안]
[참고] https://m.blog.naver.com/soonenghelper/221346829792
[동영상] https://youtu.be/O23p8n-fxlo
■ Answer.
최대값 2에서 최소값 -2를 빼면, 진폭 4가 나온다. 이는 sinx 진폭의 두배이므로 a=2 이다. 또한, 0과 2파이/3 에서의 함수값이 같으므로, 주기는 2파이/3이고, 이는 sinx의 주기의 1/3배이므로, b는 3이다. 또한 (0,0)의 좌표가 (pi/6,0)으로 평행이동했으므로 c는 3*pi/6, 즉 pi/2이다.
따라서 abc = 2*3*pi/2 = 3*pi 이다.
15. 세 상수
에 대하여
의 그래프가 다음 그림과 같을 때,
의 값은?(단,
,
)
[답안] 진폭이
이므로
, 진동축이
에서
주기
에서
,
,
[참고] https://m.blog.naver.com/soonenghelper/221346829792
[동영상] https://youtu.be/O23p8n-fxlo
[코드 참고] http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher.html
■ Answer.
주어진 삼각함수의 최댓값이 3, 최솟값이 -1이므로, 둘의 차이인 4가 진폭이다.
따라서 원래 삼각함수인 cosx의의 두배를 가지므로, a = 2 이다.
또한 둘의 합을 2로 나눈 평균이 1이므로, 진동축이 1이고, 따라서 c = 1 이다.
그리고 0에서의 함수값과 π에서의 함수값이 같으므로, 주기는 π이다.
따라서 원래 삼각함수인 cosx의 주기의 절반을 가지므로, b = 2이다.
그러므로 주어진 식은 y = 2cos2x +1이고,
f(5π/12) = 2cos(5π/6) + 1 = 2*(-sqrt(3)/2) + 1 = 1 - sqrt(3) 이다.
16. 첫째항이
, 공비가
인 등비수열
에서
이라고 하자.
의 값이 최대가 될 때, 자연수
의 값을 구하시오.
[답안]
을 만족하는 자연수
의 값이 최대일 때,
의 값이 최대가 되므로
이때
이므로 위의 부등식을 만족하는
의 최댓값은
이다.
[동영상] https://youtu.be/bv0s3FSwxlc
[또 다른 코드]
■ Answer.
f(n)에 곱해지는 a_n이 점점 작아지는 감소수열이므로, 곱하는 a_n의 값이 언제 1보다 작아지는지 알면 된다.
초항은 1000, 공비가 1/2 이므로 a_n = 1000*(1/2)^(n-1)이다.
따라서 a_n < 1 인 n을 찾아야 하는데, 이는 1000 < 2^(n-1)과 같다.
2^9 = 512, 2^10 = 1024 이므로 n-1이 10일때 1000보다 커진다.
따라서 n - 1 = 9, 즉 n = 10 일 때 f(n)의 값이 최대이다.
17. 첫째항이
, 공차가
인 등차수열
에서 처음으로
보다 작게 되는 항은 몇 번째 항인지 구하시오.
[답안]
첫째항이
, 공차가
인 등차수열
에서 처음으로
보다 작게 되는 항은 몇 번째 항인지 구하시오.
[동영상] https://youtu.be/5cYZX47w7gQ
[새로운 버전]
■ Answer.
초항이 1005, 공차가 -4이므로 a_n의 일반항은 1005 + (-4)(n-1) = 1009 - 4n이다.
따라서 1000보다 작아지는 첫 수는 9가 되고, 그때 n은 1000/4, 즉 250이 된다.
18. 등비수열을 이루는 세 수의 합이
이고, 곱이
일 때, 세 수를 구하시오.
[답안]
세 수를
이라고 하면
…… ①
…… ②
①, ②를 연립하여 풀면
또는
따라서 구하는 세 수는
[동영상] https://youtu.be/FDpTl5V-Hhg
■ Answer.
등비수열에서 연속되는 세 항을 각각 a, ar, ar^2라 하면, 조건에 의해
a + ar + ar^2 = -13
a*ar*ar^2 = (ar)^3 = 64, 즉 ar = 4이다.
따라서 a +ar + ar^2 = a +4 + 4r = -13, 즉 a = -4r -17이 된다.
그러면 ar = r(-4r -17) = 4 정리하면 4r^2 +17r +4 = 0 이므로,
(4r+1)(r+4) = 0 즉 r = -1/4 또는 -4이다.
ar = 4이므로 그에 따른 a는 -16 또는 -1이다.
1) a = -16, r = -1/4일때
a = -16, ar = 4, ar^2 = -1
2) a = -1, r = -4일때
a = -1, ar = 4, ar^2 = -16
이므로 경우와 상관없이 세 수는 -1, 4, -16임을 알 수 있다.
19.
,
으로 정의된 수열
의 제
항은?
[답안]
[참고] https://bhsmath.tistory.com/169
[동영상] https://youtu.be/ddxNUDUcoP8
■ Answer.
a_(n+1) = a_n + (-1)^n 을 이용하면,
a_(n+2) = a_(n+1) + (-1)^(n+1) = a_n + (-1)^n + (-1)^(n+1)
= a_n + (-1)^n(1+(-1)) = a_n 임을 알 수 있다.
a_2 = a_1 -1 = 0이므로,
a_10 = a_8 = a_6 = a_4 = a_2 = 0 이다.
20. 공비가
인 등비수열
의 제
항이
, 제
항이
일 때,
의 값은?
[답안]
[동영상] https://youtu.be/wFwQCYN9mcU
■ Answer.
4항이 8이고 8항이 128이므로, ar^3 = 8, ar^7 = 128 이다.
따라서 둘을 나눈 r^4 = 16이 되고, r이 양수이므로 r = 2 임을 알 수 있다.
21. 방정식
의 세 근이 등차수열을 이룰 때, 상수
의 값을 구하여라.
[답안] 삼차방정식의 세 근을
,
,
로 놓으면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
,
⋯⋯㉠
,
㉠을 위의 식에 대입하면
⋯⋯㉡
이므로
㉠, ㉡에서
[동영상] https://youtu.be/5cYZX47w7gQ
■ Answer. 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 합이 3이고 세 근의 곱이 –3이며 다른 두 근들의 곱의 합이
이므로
값을 구하면 -1이다.
22. 수열
이
,
(
) 을 만족시킬 때,
의 값을 구하라.
[답안]
의
에
,
,
,
,
을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
⋮
∴
[동영상] https://youtu.be/jp-F6PzjfkA
■ Answer.
이므로
이다.
23. 수열
,
,
,
, ⋯ 의 첫째항부터 제
항까지의 합을 구하여라.
[답안]
[동영상] https://youtu.be/pI4D2Z1ETS0
■ Answer. 수열의 합
이므로 제
항까지의 합은
이다.
24. 수열
에 대하여
일 때,
의 값을 구하여라.
[답안]
[1단계] 수열
의 첫째항부터 제
항까지의 합
이
이므로
(ⅰ)
일 때,
⋯㉠
(ⅱ)
일 때,
그런데 이것은 ㉠에
을 대입한 값과 같다.
[2단계]
이므로
[참고] https://youtu.be/pI4D2Z1ETS0
[동영상] https://youtu.be/4Em69YPgXfo
■ Answer.
이므로
=
이다.
25.
을 만족시키는 자연수
의 값을 구하시오.
[답안]
이므로
따라서
[동영상] https://youtu.be/kQH2EpuI9VQ
(복소수 근을 제외하면
)
■ Answer.
이므로
이고, 따라서
이다.
26. 수열
의 일반항이
일 때, 다음 식의 값을 구하시오.
[답안]
[동영상] https://youtu.be/pI4D2Z1ETS0
■ Answer.
이다.
27. 민준이는 매년 초에 연이율이
이고,
년마다 복리인 상품에
년 동안 저금하려고 한다. 첫해에
만 원을 저금하고 그 다음 해부터는 전년도보다
많은 금액을 저금한다고 할 때,
년 말까지 저금한 금액의 원리합계를 구하시오. (단,
로 계산한다.)
[답안]
만 원
따라서
만 원이다.
[동영상]https://youtu.be/bv0s3FSwxlc
■ Answer. 연이율이
이고,
년마다 복리인 상품에 첫해에
만 원을 저금하고 그 다음 해부터는 전년도보다
많은 금액을 저금한다고 할 때,
년 말까지 저금한 금액의 원리합계는
만 원이다.
28. 수열
의 합은?
[답안]
[동영상] https://youtu.be/uK-KvxUN8Xg
■ Answer.
이다.
29. 수열
이
이고, 모든 자연수
에 대하여
을 만족시킬 때,
의 값은?
[답안]
에
을 차례로 대입하면
[동영상] https://youtu.be/jp-F6PzjfkA
■ Answer.
을 차례로 대입하면
이다.
30.
,
으로 정의된 수열
에 대하여
의 값을 구하여라.
[답안]
[동영상] https://youtu.be/jp-F6PzjfkA
■ Answer.
=
이다.
(추후 보강)
Copyright @ 2021 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee, Dr. Jae Hwa Lee, and Dr. Jooyeon Yoo
*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).
