수포자 없는 11학년 (고2) 수학 2 완성

[동영상] https://youtu.be/nKScxhbE7Cc

■ Answer.

2. 의 값을 구하여라.

[답안]

[참고] https://hoban123.tistory.com/47 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W7/

[동영상] https://youtu.be/nKScxhbE7Cc

■ Answer. 이다.

3. 의 값을 구하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/nKScxhbE7Cc

■ Answer. 이다.

4. 다항함수 가 을 만족시킬 때 의 값을 구하여라.

[답안] 이므로 . .

■ Answer. 이므로 . 이다.

5. 의 값을 구하여라.

[답안]

■ Answer. 극한값은 이다.

6. 의 값을 구하여라.

[답안]

■ Answer. 이다.

단 원 명

함수의 연속

필수 성취 기준

* 함수의 연속의 뜻을 안다.

* 연속함수의 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

7. 함수 에 대하여 의 값은 얼마인가?

[답안]

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/432

■ Answer. 이다.

8. 함수 가 실수 전체에서 연속일 때, 상수 의 값은 얼마인가?

[답안] 또는 에서 는 각각 연속이므로 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위해서는 에서 연속이어야 한다.

즉 이므로

따라서 , 즉 이다.

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/432

[동영상] https://youtu.be/m10ZN37psoE

■ Answer. 함수 가 실수 전체에서 연속일 때, 상수 이다.

9. 함수 가 에서 연속일 때, 상수 의 값은 얼마인가?

[답안] 함수 가 에서 연속이므로

따라서

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/433

[동영상] https://youtu.be/FC4Pwn0ivew

■ Answer.

x가 4에서 연속일 때, 상수 a의 값은 5이다.

10. 함수 가 에서 연속일 때, 상수 의 값은 얼마인가?

[답안] 주어진 함수가 에서 연속이면 실수 전체의 집합에서 연속이므로 을 만족시키면 된다. 즉,

이어야 하고, 일 때 분모 이므로 분자 이어야 한다.

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/433

[동영상] https://youtu.be/FC4Pwn0ivew

■ Answer.

a == 6

b == 1

x가 3에서 연속일 때, 상수 a+b의 값은 7이다.

해석

미분

미분은 함수의 순간적인 변화를 설명하는 도구로서 여러 가지 미분법과 함수의 적분에 대한 기초가 되고 최대, 최소 문제를 포함하여 변화 현상을 다루는 데 활용된다.

∙미분계수

∙도함수

∙도함수의 활용

표현하기,그래프 그리기,이해하기,계산하기,설명하기,활용하기,문제 해결하기,증명하기

단 원 명

미분 계수

필수 성취 기준

* 미분 계수의 뜻을 알고 그 값을 구할 수 있다.

* 미분계수의 기하적 의미를 이해한다.

* 미분가능성과 연속성의 관계를 이해한다.

11. 함수 일 때 는 얼마인가?

[답안] 에서

■ Answer.

f(x)의 도함수인 f'(x)는 5*x^4이다.

12. 함수 에 대하여 에서의 미분계수를 구하시오.

[답안] 이므로

따라서

■ Answer.

f(x)의 도함수인 f'(x)는 2*x + 4이다.

x=3에서의 미분 계수는 10이다.

13. 에 대하여 에서의 순간변화율을 구하시오.

[답안] 에서

에서의 순간변화율은 이므로

■ Answer.

f(x)의 도함수인 f'(x)는 4*x^3 - x^2 + 4이다.

x = 1에서의 순간변화율은 7이다.

14. 곡선 위의 인 점에서의 접선의 기울기를 구하여라.

[답안] 이라 하면 곡선 위의 인 점에서의 접선의 기울기는 에서의 미분계수와 같으므로 에서

따라서 인 점에서의 접선의 기울기는 1이다.

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/446

■ Answer.

f(x)의 도함수인 f'(x)는 3*x^2 - 2*x이다.

x = 1인 점에서의 접선의 기울기는 1이다.

15. 두 함수 와 에 대하여

일 때, 함수 가 에서 미분가능이 되는 두 상수 를 구하시오.

[답안]

, ,

[참고] https://mathmen.tistory.com/16

■ Answer.

x=1에서 연속이 되는 상수 a와 b는 다음과 같다.

[a == 7, b == 4]

16. 함수 의 그래프 위의 점 에서의 접선의 기울기를 구하여라.

[답안] 함수 의 그래프 위의 점 에서의 접선의 기울기는 의 에서의 미분계수와 같으므로

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/446

■ Answer.

f(x)의 도함수인 f'(x)는 2*x + 5이다.

점 (-1, -4)에서의 접선의 기울기는 3이다

17. 함수 가 에서 연속일 때, 상수 에 대하여 의 값은 얼마인가?

[답안] 함수 가 에서 미분가능하면 연속이므로

즉

이고

함수 는 에서 미분가능하므로

이므로 ,

따라서

[참고] https://mathmen.tistory.com/16

[동영상] https://youtu.be/FC4Pwn0ivew

■ Answer. 상수 a, b에 대하여 a*b의 값은 3이다.

18. 함수 의 에서의 미분계수를 구하여라.

[답안] 이므로 에서의 미분계수는

■ Answer.

f(x)의 도함수인 f'(x)는 10*x^9 + 9*x^8 + 8*x^7 + 7*x^6 + 6*x^5 + 5*x^4 + 4*x^3 + 3*x^2 + 2*x + 1이다.

x = 1에서의 미분 계수는 55이다.

단 원 명

도함수

필수 성취 기준

* 함수 ( 은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다.

* 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 알고, 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.

19. 함수 에 대하여 일 때, 상수 의 값을 구하여라.

[답안] 에서 이므로 이다.

따라서 즉

■ Answer.

f(x)의 도함수인 f'(x)는 2*a*x + 3*x^2이다.

f'(4) = 8 일 때, 상수 a의 값은 다음과 같다.

a == -5

20. 다음 함수 를 미분하여라.

[답안]

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/613

[동영상] https://youtu.be/6_cfZSOqCsc

■ Answer.

f(x)를 미분하면 다음과 같다.

6*x^2 - 22*x + 17

21. 다음 함수 를 미분하여라.

[답안]

[참고] https://j1w2k3.tistory.com/613

[동영상] https://youtu.be/6_cfZSOqCsc

■ Answer.

f(x)를 미분하면 다음과 같다.

18*x^2 + 22*x + 6

22. 다음 함수 를 미분하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/zwMz2-i9MhY

■ Answer. 을 미분한 값은 이다

단 원 명

도함수의 활용

필수 성취 기준

* 접선의 방정식을 구할 수 있다.

* 함수에 대한 평균값 정리를 이해한다.

* 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다.

* 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.

* 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.

* 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.

23. 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

[답안]

으로 놓으면 이다.

이 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는

따라서 기울기가 이고, 점 을 지나는 접선의 방정식은

∴

[참고] https://url.kr/qikrt7

■ Answer. 기울기가 이고, 점 을 지나는 접선의 방정식은 이다.

24. 곡선 에 대하여 직선 에 수직인 접선의 방정식을 구하여라.

[답안] 으로 놓으면

직선 에 수직인 직선의 기울기는 이므로

, ∴

일 때 , 일 때

따라서 접점의 좌표는 , 이므로 구하는 접선의 방정식은

∴ ,

[참고] https://url.kr/qikrt7

■ Answer.

곡선 에 대하여 직선 에 수직인 접선의 방정식은 각각 , 이다.

25. 두 곡선 , 가 서로 접하도록 하는 모든 상수 의 값의 합을 구하여라.

[1단계] , 로 놓으면

두 곡선의 접점의 좌표를 라 하면

에서 …… ㉠

에서

∴ 또는 …… ㉡

[2단계] ㉡을 ㉠에 대입하면

일 때, ∴

따라서 모든 상수 의 값의 합은

[참고] https://url.kr/qikrt7

■ Answer. 두 곡선 , 가 서로 접하도록 하는 모든 상수 의 값의 합은 이다.

26. 함수 에 대하여 두 점 , 을 연결한 직선의 기울기를 이라 하자. 를 만족시키는 상수 의 값을 구하여라.

[답안] 함수 는 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

인 가 적어도 하나 존재한다.

이므로 ,

이때 이므로

[참고] https://blog.naver.com/ssooj/222426208844