수포자 없는 12학년 (고3) 수학 완성

[동영상] https://youtu.be/vwRYUnpm10E

■ Answer. 이므로 발산한다.

10. 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.

[답안] 이므로 수렴한다.

[동영상] https://youtu.be/mlGP0tDQM-Q

■ Answer. 이므로 공비 일 때 급수는 수렴한다. 그러므로 급수의 합의 공식을 이용하면 급수의 합은 이다.

11. 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/mlGP0tDQM-Q

■ Answer. 에서 이다.

12. 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/vwRYUnpm10E

■ Answer. 이므로 급수의 합은

이다.

13. 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.

[답안]
이므로 은 발산한다.

[참고] https://m.blog.naver.com/mindo1103/

[동영상] https://youtu.be/mlGP0tDQM-Q

■ Answer. 이면 주어진 급수는 발산한다.

14. 의 합을 구하시오.

[답안]

[참고] https://m.blog.naver.com/mathfreedom/

[동영상] https://youtu.be/vfnKHPyT5TQ

■ Answer. 두 개의 급수가 각각 수렴할 때 두 합의 급수도 수렴한다.

15. 등비급수 이 수렴하도록 하는 정수 의 개수를 구하시오.

   [답안] 이므로 이 등비급수는
     일 때 수렴한다.
     에서 ,
     ∴
     따라서, 정수 는 의 개다.

[참고] https://jwmath.tistory.com/

[동영상] https://youtu.be/wkNi9Td7HrM

■ Answer. 등비급수가 수렴하는 범위는 공비가 일 때이므로

일 때 수렴한다. 그러므로 이 범위의 정수는 의 개이다.

해석

미분

미분법은 여러 가지 함수의 도함수를 효율적으로 구하는 방법이며 변화 현상을 해석하고 설명하는 데 활용된다.

∙여러 가지 함수의 미분

∙여러 가지 미분법

∙도함수의 활용

표현하기,이해하기,계산하기,판별하기,활용하기,설명하기, 문제 해결하기

단 원 명

여러 가지 함수의 미분

필수 성취 기준

* 지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다.

* 지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.

* 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.

* 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.

* 사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.

16. 의 값은 얼마인가?

[답안]

[동영상] https://youtu.be/D7Ndwum5QZg

■ Answer. 로그 안의 의 극한값을 구하면 분자 분모의 차수가 동일하므로 최고 차항의 계수인 9가 된다. 여기에 로그를 취하면 이다.

17. 의 값은 얼마인가?

[답안]

[동영상] https://youtu.be/D7Ndwum5QZg

■ Answer. 지수가 하나만 있으므로 분자 분모를 로 나누어 극한값을 구하면 된다.

코드를 이용하면 함수 그대로 이용하여 바로 극한값을 바로 구할 수 있다.

18. 양수 에 대하여 이 성립할 때, 상수 의 값은 얼마인가?

[답안]

[동영상] https://youtu.be/BWHfsOHZAe8

■ Answer. 가 됨을 알고 성질을 이용하여 극한 값을 구할 수 있다.

코드로는 limit명령어로 바로 구할 수 있다.

19. 의 값은얼마인가?

[답안]

[동영상] https://youtu.be/D7Ndwum5QZg

■ Answer. 지수의 두 항 중 가장 빠르게 증가하거나 가장 빠르게 감소하는 항으로 분자

분모를 나누어 식을 정리하면 이다.

20. 의 값은 얼마인가?

[답안] 라 하면 이고 이다.

주어진 식은

[동영상] https://youtu.be/CsOmSP0bgqk

■ Answer. 문제의 풀이는 미분을 이용하여 풀지만 코드를 이용하면 미분을 이용하지 않아도 바로 구할 수 있다.

21. 의 값은 얼마인가?

[답안]

[동영상] https://youtu.be/tzjsWjKanNg

■ Answer. 가 됨을 주의하자.

22. 함수 가 에서 연속일 때, 의 값은 얼마인가?

[답안] 이므로 이다.

따라서 이므로 이고,

이다.

[동영상] https://youtu.be/nxjc9nZo9Uw

■ Answer. 연속의 정의에 의하여 를 만족해야 하므로 에서 연속이기 위하여 이어야 하고 일 때 분모가 0이 되므로 분자도 똑같이 0이 되어야 한다. 즉 이다. 따라서 에서 이다. 그리고

이다.

23. 다음 삼각함수의 값을 구하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/bM7RUkLfVn0

■ Answer. 사인 함수의 합공식을 이용하여 답을 구할 수 있다.

24. 다음 식의 값을 구하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/bM7RUkLfVn0

■ Answer. 사인 함수의 차공식을 이용하여 답을 구할 수 있다.

25. 는 제 사분면의 각이고, 는 제 사분면의 각이 , 일 때, 의 값을 구하시오.

[답안]

는 제 사분면의 각이고 는 제 사분면의 각이므로 , 이다.

따라서,

∴

[동영상] https://youtu.be/phlPfmhy-E0

■ Answer. 코사인 함수의 합공식을 이용하여 답을 구할 수 있다.

26. 다음 극한값을 구하시오.

[답안] 인 모든 실수 에 대하여

이 때, 이므로

[참고] https://m.blog.naver.com/freewheel3/

[동영상] https://youtu.be/cyjKpY4n3hg

■ Answer. 사인함수와 같은 최대 최소의 범위가 인 경우 샌드위치정리를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.

27. 다음 극한값을 구하시오.

[답안] 이므로 인 모든 실수 에 대하여

이 때, 이므로

[참고] https://m.blog.naver.com/freewheel3/

[동영상] https://youtu.be/cyjKpY4n3hg

■ Answer. 사인함수와 같은 최대 최소의 범위가 인 경우 샌드위치정리를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.

28. 다음 함수를 미분하시오.

[답안]

, 이므로

[동영상] https://youtu.be/DlL3mhaJHP0

■ Answer. 두 함수의 미분은 각각 함수에 미분을 취하여서도 구할 수 있다.

29. 함수 에 대하여 의 값을 구하시오.

[답안] 에서

이므로

[동영상] https://youtu.be/5RI8zoQnMuA https://youtu.be/kYhy6D7_ov0

■ Answer. 코드를 이용하면 바로 미분을 구할 수 있지만 실제 손으로 계산을 하기 위해서는 곱의 미분과 로그 함수의 미분을 이용하여 구할 수 있다.

30. 함수 에 대하여 의 값을 구하시오.

[답안] 따라서

[동영상] https://youtu.be/bd3fmEs_p_0 https://youtu.be/kYhy6D7_ov0

■ Answer. 다항함수와 로그함수의 미부을 이용하여 에서의 미분계수를 구할 수 있다.

단 원 명

여러 가지 미분법

필수 성취 기준

* 함수의 몫을 미분할 수 있다.

* 합성함수를 미분할 수 있다.

31. 다음 함수를 미분하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/NE4IkLCKH58

■ Answer. 삼각함수의 미분과 를 곱의 미분을 적용하여 전체 함수의 미분을 구할 수 있다.

32. 다음 함수를 미분하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/3war4loA1ds

■ Answer. 무리함수와 삼각함수의 합성함수의 미분을 이용하여 답을 구할 수 있다.

33. 다음 함수를 미분하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/guqNFbdwJ6A

■ Answer. 몫의 미분과 삼각함수 미분을 이용하여 미분값을 계산할 수 있다.

34. 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[답안]

[참고] https://m.blog.naver.com/2620950/

[동영상] https://youtu.be/DlL3mhaJHP0

■ Answer. 접선의 기울기는 미분계수를 구하는 것이므로 에서의 미분계수를 구하면 된다.

35. 다음 함수를 미분하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/3war4loA1ds

■ Answer. 합성함수와 삼각함수의 미분을 이용하여 미분값을 구할 수 있다.

단 원 명

도함수의 활용

필수 성취 기준

* 접선의 방정식을 구할 수 있다.

* 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.

* 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.

36. 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

[답안] 이라 하면 이다. 점 (0, -1)에서의 접선의 기울기가 이므로 구하는 접선의 방정식은 이다.

[참고] https://m.blog.naver.com/2620950/

[동영상] https://youtu.be/riO_ev39GSE

■ Answer. 미분을 이용하여 주어진 점에서의 미분계수를 구하여 접선의 기울기를 구하고 접선의 방정식을 구할 수 있다.

37. 함수 의 그래프 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

[답안] 이므로 점 에서의 접선의 기울기는

따라서 접선의 방정식은 즉 이다.

[참고] https://m.blog.naver.com/2620950/

[동영상] https://youtu.be/riO_ev39GSE

■ Answer. 함수 의 그래프 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이다.

38. 곡선 위의 점 을 지나고 이 점에서의 접선과 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

[답안] 이므로

점 에서의 접선의 기울기는 이므로 이 점에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 이므로 직선의 방정식은 ,

즉 이다.

[참고] https://m.blog.naver.com/sbssbi69/

[동영상] https://youtu.be/SK8tEIcyj2k

■ Answer. 접선의 기울기와 접선과 수직인 직선의 기울기의 곱은 –1이므로 접선의 기울기는 이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 이다. 그러므로 접선에 수직인 직선의 방정식은 이다.

39. 에서 정의된 함수 이 구간 에서 감소하고 구간 에서 증가할 때, 상수 의 값은 얼마인가?

[답안] 에서

이다.

인 이다. 주어진 의 범위가 이므로 일 때 이다.

그러므로 함수 는 구간 에서 감소하고 에서 증가하므로 이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00006c44242e.bmp
원본 그림의 크기: 가로 205pixel, 세로 81pixel

[참고] https://jwmath.tistory.com/

[동영상] https://youtu.be/Iz91gsC0Olc

■ Answer. 주어진 함수의 증가와 감소는 면 함수는 증가함수이고, 이면 함수는 감소함수이다.

40. 함수 의 극값을 구하여라.

[답안]

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00006c440001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 285pixel, 세로 101pixel

에서 또는 이고

에서 이고 는 에서 극솟값 을 가진다.

[참고] https://m.blog.naver.com/honeyeah/

[동영상] https://youtu.be/43s-3rB9qp4

■ Answer. 에서 이고 는 에서 극솟값 을 가진다.

41. 함수 의 그래프에서 모든 변곡점의 좌표를 구하여라.

[답안]

의 좌우에서 의 부호가 바뀌므로 모든 변곡점의 좌표는

이다.

[동영상] https://youtu.be/6mqAMqTXoJw

■ Answer.

의 좌우에서 의 부호가 바뀌므로 모든 변곡점의 좌표는

이다.

42. 에서 함수 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

[답안] 이므로

또는 .

, 이고 폐구간에서의 양끝값에 대한 함수값은

, 이므로

의 최댓값은 , 최솟값은 이다.

[참고] https://vegatrash.tistory.com/

[동영상] https://youtu.be/0m8krZq7-aI

■ Answer. 폐구간 상에서 최댓값과 최솟값을 구하기 위해서는 극값을 모두 구하고 폐구간의 양 끝의 함수값을 비교하여 가장 큰 함수값이 최댓값이고 가장 작은 함수값이 최솟값이다.

43. 방정식 가 오직 한 개의 실근을 갖도록 하는 실수 의 값은 얼마인가?

[답안] 방정식 가 오직 한 개의 실근을 갖기 위해서는 과 직선 가 한점에서 만나야 한다.

이라 하면

이고 에서

이 때 이므로 의 그래프는 다음과 같고 에서 극솟값을 갖는다. 즉 곡선 와 직선 가 한점에서 만나려면 의 함수값에서 만나야 하므로 이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00006c440002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 187pixel, 세로 81pixel

[참고] https://koreanfoodie.me/

[동영상] https://youtu.be/c4bFVgHGZI0

■ Answer. 곡선 와 직선 가 한점에서 만나려면 의 함수값에서 만나야 하므로 이다.

해석

적분법

적분법은 여러 가지 함수의 부정적분과 정적분을 효율적으로 구하는 방법이며 길이, 넓이, 부피 등으로 표현되는 여러 가지 상황을 해석하는 데 활용된다.

∙여러 가지 적분법

∙정적분의 활용

표현하기,이해하기,계산하기,판별하기,활용하기,설명하기, 문제 해결하기

단 원 명

여러 가지 적분법

필수 성취 기준

* 치환적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

* 부분적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

* 여러 가지 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.

44. 를 구하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/4Aq5D-kzCCQ

■ Answer. 를 치환하여 풀 수 있으나, 코드로 적분을 풀 때에는 치환을 할 필요없다. 부정적분은 적분상수 의 존재에 주의를 기울여야 한다.

45. 를 구하여라.

[답안]

■ Answer. 이므로 를 치환하여 풀 수 있다. 부정적분은 적분상수 의 존재에 주의를 기울여야 한다.

46. 함수 에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.

[답안]
이므로
따라서 이므로

[동영상] https://youtu.be/aaX_lpqjuiU https://youtu.be/ATuChctI9gg

■ Answer. 를 반각공식을 이용하여 식을 바꾸고 적분하면 된다. 부정적분은 적분상수 가 존재하므로 주어진 함수값 을 이용하여 적분상수 를 특정할 수 있다.

47. 를 구하여라.

[답안]

■ Answer. 이므로 은 상수가 되어 적분기호 밖으로 빠져나오게 된다.

48. 를 구하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/MYG93_hHoQg

■ Answer. 유리함수의 적분의 경우 분모의 차수가 분자의 차수보다 작은 경우 인수분해가 가능한지 살펴보고 인수분해가 가능하다면 부분분수 분해를 이용하여 구할 수 있다.

49. 를 구하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/4Aq5D-kzCCQ

■ Answer. 로 치환을 하여 적분을 구할 수 있다.

임에 주의하자.

50. 를 구하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/4Aq5D-kzCCQ

■ Answer. 로 치환을 하여 풀 수 있다.

51. 를 구하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/JiTKSN6ohh0

■ Answer. 치환적분을 하기 위해서는 치환한 함수의 미분의 형태가 적분 기호 안에 있어야 한다. 는 치환적분을 이용할 수 없기 때문에 부분적분을 이용하여 적분할 수 있다.

52. 를 구하여라.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/JiTKSN6ohh0

■ Answer. 지수함수와 다항함수 곱의 형태로 이루어진 부분적분이다.

단 원 명

정적분의 활용

필수 성취 기준

* 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해한다.

* 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.

* 입체도형의 부피를 구할 수 있다.

* 속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.

53. 곡선 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법으로 구하시오.

[답안]

[구분구적법 참고] http://matrix.skku.ac.kr/Mobile-Sage-G/sage-grapher-riemann_sum.html

[동영상] https://youtu.be/9kzLfeb3fCw

■ Answer. 곡선 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법을 이용하여 구하면 더 잘게 쪼개면 쪼갤수록 함수를 적분하여 얻은 도형의 넓이와 근사함을 알 수 있다.

54. 무한급수 의 값을 구하시오.

[답안]

[동영상] https://youtu.be/jpid1vpNzm8

■ Answer. 무한급수는 구분구적법을 이용하여 적분으로 표현이 가능하므로 적분을 이용하여 풀 수 있다.

55. 을 구하여라.

[답안] 은 우함수, 는 기함수 이므로

■ Answer. 가 되므로 기함수인 의 -1부터 1까지의 적분은 0이 되며 우함수인 의 -1부터 1까지의 적분은 이 된다.

56. 을 구하여라.

[답안]

[참고] https://jjycjnmath.tistory.com/

■ Answer. 로 바꾸어 적분할 수 있다.

57. 을 구하여라.

[답안] 으로 놓으면

따라서 은 우함수이므로

■ Answer. 이므로 는 우함수가 된다.

로 바꾸어 적분을 구할 수 있다.

58. 을 구하여라.

[답안] 로 놓으면

또한, 일 때 , 일 때 이므로

[동영상] https://youtu.be/DPS7jgj_3G0

■ Answer. 와 같이 삼각함수들의 곱으로 식이 주어진 경우 치환적분을 이용하기 위하여 둘 중 하나를 치환하여 나머지 하나의 삼각함수를 소거할 수 있어야 하므로 주어진 함수의 경우는 를 치환한다.

59. 에서 두 곡선 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[답안]

두 곡선의 교점의 좌표는 에서

일 때 이므로

[참고] https://m.blog.naver.com/tprc88/

[동영상] https://youtu.be/uyiopvZxEaA

■ Answer. 두 곡선 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위하여 교점을 구한 후 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위하여 0부터 교점까지의 적분을 구하면 된다.

60. 다음 곡선 및 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[답안] 넓이

[참고] https://m.blog.naver.com/tprc88/

[동영상] https://youtu.be/uyiopvZxEaA

■ Answer. 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 이다.

61. 밑면으로부터의 높이가 인 곳에서 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 인 정사각형인 입체가 있다. 이 입체의 밑면으로부터 높이가 3인 부분까지의 부피를 구하시오.

[답안] 단면이 한 변의 길이가 인 정사각형이므로 밑면으로부터의 높이가 인

   단면의 넓이를 하면

    따라서 구하는 부피는

[참고] https://jwmath.tistory.com/

[동영상] https://youtu.be/v6hnRYO615Q

■ Answer. 단면의 넓이를 하면 이고

로 부피를 구할 수 있다.

62. 수직선 위를 움직이는 점 의 속도 가 일 때, 점 가 에서 까지 움직인 거리를 구하시오.

[답안] 이므로 에서 까지 점 가 움직인 거리를 라 하면