수포자 없는 12학년 (고3) 수학 완성

12학년 수학이 요구하는 교수학습목표에 세계에서 가장 쉽고/빠르고/정확하게 도달하여 우리나라 고등학교 3학년 학생 누구나 수학에 대한 자신감을 갖게 한다. 그 방법으로 Math & Coding을 모바일 클라우드 컴퓨팅 기술을 적용하여, 교수학습목표가 요구하는 모든 기본 문제를 해결하는 Python 기반의 Sage 코드 및 해설/답안/Comment 을 담은 콘텐츠를 제작한다.

- 한국연구재단 혁신성장 선도 고급연구인재 육성사업, (No.2020M3H1A1077095).

- 한국연구재단 이공분야기초연구사업(기본연구), (No.2021R1F1A1046714).

- 성균관대학교 2021학년도 AI융합연구과제 (No.S-2021-2372-000-01).

1. 부모를 포함한

명의 가족이 원형 탁자에 둘러앉아 식사를 하려고 할 때, 부모가 이웃하여 앉는 모든 경우의 수를 구하여라.

부모를

명으로 생각하면

명이 원형 탁자에 앉는 경우의 수는

그 각각에 대하여 부모가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는

따라서 구하는 모든 경우의 수는

2. 서로 다른

가지 색의 풍선에서 중복을 허용하여

개를 택하는 모든 방법의 수를 구하시오.

개의 문자

를 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구하시오.

■ Answer. 같은 것을 r개 포함한 순열을 나열하는 방법은

개다.

4. 서로 다른

개의 상자

에 똑같은

개의 공을 넣는 모든 방법의 수를 구하시오.

[답안] 서로 다른

개의 상자에서 중복을 허용하여

개를 택하는 모든 방법의 수와 같으므로

이다.

5. 네 개의 숫자

중에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오.

[답안] 천의 자리에는

을 제외한

이 올 수 있으므로 그 경우의 수는

이다.

또, 각 경우에 대하여 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는

이 모두 올 수 있으므로 그 경우의 수는

■ Answer. n개의 원소를 중복을 허락하여 r개 나열하는 방법의 수는

개다.

10. 다항식

의 전개식에서

의 계수가

일 때, 자연수

의 값을 구하시오.

11. 서로 다른

개의 동전을 동시에 던지는 시행에 대하여 표본공간을 구하시오.

■ Answer. 첫 번째 두 번째 모두 앞, 뒤의 결과만 가능하므로, 가능한 시행의 경우의 수를 모두 센다.

12. 한 상자에

부터

까지 자연수가 각각 적힌

개의 공이 들어 있다. 이 상자에서

개의 공을 임의로 꺼내는 시행에서 공에 적힌 수가 홀수인 사건을

의 배수인 사건을

라고 할 때, 사건

를 구하여라.

■ Answer. 여집합은 전체집합에서 해당 집합을 빼면 구할 수 있다.

13. 빨간 공

개 중에서

개를 꺼내고, 파란 공

개 중에서

개를 꺼내는 사건을

라 하면 사건

가 발생할 확률을 구하시오.

빨간 공

개 중에서

개를 꺼내고, 파란 공

개 중에서

개를 꺼내는 사건을

라 하면

14.

고등학교 학생

명을 포함한 고등학생

명 중에서 임의로

명을 뽑을 때,

고등학교 학생이 적어도

명 포함될 확률을 구하시오.

■ Answer. 고등학교 학생이 적어도 한 명이 포함된 확률은, 전체확률 1에서 아무도 포함되지 않을 확률을 빼서 구한다.

15.

부터

까지 자연수가 각각 적힌

장의 카드 중에서 임의로

장을 뽑을 때, 카드에 적힌 수가

의 배수 또는

의 배수일 확률을 구하시오.

[답안] 카드에 적힌 수가

의 배수인 사건을

라고 하면

는

의 배수인 사건이므로 구하는 확률은

16. 동전 던지기 프로그램을 이용하여 학생

명이 차례대로 동전을

번씩 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 조사하는 실험을 해 보자. 한 사람의 동전 던지기가 끝났을 때 이전 사람의 기록까지 모두 합하여 동전을 던진 횟수를

이라 하고, 그때까지 앞면이 나온 횟수를 모두 합하여

이라 하자.

이 커짐에 따라

이 동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 수학적 확률은 얼마인가?

■ Answer. 큰 수의 법칙에 따라 n이 커지면 확률은 수학적 확률로 수렴하게 된다.

17. 어느 클레이 사격 선수가 날아오르는 표적을 맞힐 확률은

라고 한다. 이 선수가

발을 쏘았을 때, 표적을 한 번도 맞히지 못할 확률을 구하시오.

■ Answer. 한발 한발의 명중확률이 서로 영향을 끼치지 않으므로 독립임을 알아야 한다.

18. 파스칼은 그의 친구 드메레(de Mere, C., 1607~1684)로부터 ‘서로 다른

개의 주사위를

번 던져서 적어도

번

이 나올 확률’에 대한 질문을 받았다. 이 확률을 구하시오.

개의 주사위를

번 던져서

이 나오지 않을 확률은

개의 주사위를

번 던져서

이

번도 나오지 않을 확률

이므로
따라서 구하는 확률은

■ Answer. 여사건을 이용하면 (6, 6)이 한번도 나오지 않을 사건이다.

19. 어느 지역에서 장마철 날씨를 조사한 결과 비가 온 날의 다음 날에 비가 올 확률은

이고, 비가 오지 않은 날의 다음 날에 비가 올 확률은

이었다. 장마철의 어느 수요일에 비가 왔을 때, 그 주 금요일에도 비가 올 확률을 구하시오.

■ Answer. 전날의 날씨가 다음 날의 날씨에 영향을 미치므로 종속이고, 따라서 목요일에 비가 올 경우, 오지 않을 경우 두 가지로 나누어 금요일에 비가 올 확률을 구한 후에 합한다.

20. 상자 안에 아몬드 사탕

개와 호두 맛 사탕

개가 들어 있다. 이 상자에서 정희와 현성이가 차례대로 사탕을 임의로 한 개씩 꺼낼 때, 두 사람 모두 호두 맛 사탕을 꺼낼 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 사탕은 다시 넣지 않는다.)

[답안] 정희가 꺼낸 사탕이 호두 맛 사탕인 사건을

, 현성이가 꺼낸 사탕이 호두맛 사탕인 사건을

라 하면

21. 어느 회사는 같은 부품을

공장에서

% 납품받는다. 두 공장

에서 생산된 부품의 불량률은 각각

%이다. 이 부품 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 택한 부품이 불량품일 때, 그 부품이

공장에서 생산되었을 확률을 구하시오.

[답안] 부품이 두 공장

에서 생산된 사건을 각각

, 불량품인 사건을

라 하자.

공장에서 생산된 부품이 불량품인 사건은

이고,

공장에서 생산된 부품이 불량품인 사건은

이므로

■ Answer. ”~~할 때” 라는 표현이 보이면 조건부확률을 구하는 경우이다. 또는 “어떤 사건이 일어났다는 가정하에....” 하면 조건부 확률을 구하는 경우이다.

22. 남학생

명과 여학생

명으로 구성되어 있는 봉사 동아리에서

명을 임의로 뽑을 때, 뽑힌 여학생의 수를 확률변수

라 하자. 이 때

의 확률분포를 표로 나타내시오.

[답안] 확률변수

가 가질 수 있는 값은

이다.

명의 학생 중에서

명을 뽑는 경우의 수는

이고, 뽑힌 학생 중에서 여학생의 수가

명인 경우의 수는

이므로

의 확률질량함수는

(

)
따라서

의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

					합계

[참고] https://url.kr/r973bp

[동영상] https://youtu.be/HKjg_5Xzfd0

■ Answer. 가능한 X의 값을 먼저 찾고 (0, 1, 2, 3), 그에 따른 확률을 구해서 표에 나타낸다.

23. 연속확률변수 의 확률밀도함수가 일 때, 의 값과 을 구하여라.

[답안] 함수 의 그래프와 축 및 직선 으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 이 므로 , 즉

은 오른쪽 그림에서 색칠한 사다리꼴의 넓이와 같으므로

[참고] https://url.kr/usk6ze

[동영상] https://youtu.be/HKjg_5Xzfd0

■ Answer. 확률의 총합은 1임을 이용하면 k를 구할 수 있다.

24. 어느 고등학교 학생들의 형제자매의 수를 확률변수 라 하고, 의 확률분포를 조사한 결과는 다음 표와 같다. 의 분산과 표준편차를 구하시오.

					합계

[답안] ,

[참고] https://url.kr/r973bp

[동영상] https://youtu.be/T64mFvaz-Mk

■ Answer. 이다.

25. 어느 상점에서 물건값을 계산하기 위하여 기다리는 시간을 연속확률변수 라 할 때, 의 확률밀도함수가 다음과 같다고 한다.

이때 기다리는 시간이 분 이내일 확률을 구하여라.

[답안]

[참고] https://url.kr/tc91ah

[동영상] https://youtu.be/GyXeN7W7qVc

■ Answer. 연속확률변수이므로 적분을 이용하여 넓이를 구한다.

26. 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수를 확률변수 라 할 때, 의 기댓값을 구하시오.

[참고] https://url.kr/r973bp

[동영상] https://youtu.be/3OTvP_8tEMU

■ Answer. 이다.

27. 상자 속에 , , , 의 숫자가 각각 하나씩 적힌 장의 카드가 들어 있다. 이 중에서 임의로 장을 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적힌 수를 확률변수 라 하자. 의 분산과 표준편차를 구하시오.

[참고] https://url.kr/r973bp

[동영상] https://youtu.be/amQpMZb7dSI

■ Answer. 이다.

28. 확률변수 의 확률분포가 아래 표와 같을 때, 확률변수 의 기댓값을 구하시오.

					합계

[답안] 확률변수 의 기댓값 는

따라서

[참고] https://url.kr/3nhzgu

[동영상] https://youtu.be/oCZ5etfZUu8

■ Answer. x의 평균, 분산이 각각 E(x), V(x)일 때 ax+b의 평균, 분산은 aE(x)+b, V(x)이다.

29. 주사위 개를 번 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 라고 할 때, 의 확률분포표와 를 구하시오.

[답안]

							합계

[참고] https://url.kr/r973bp

[동영상] https://youtu.be/3OTvP_8tEMU

■ Answer. 가능한 X값을 구한 후에, 그에 해당하는 확률을 구해 기입한다.

이다.

30. 확률변수 의 평균이 , 표준편차가 일 때, 확률변수 의 평균과 분산을 구하시오.

[참고] https://url.kr/xlkr3o

[동영상] https://youtu.be/h42OQJL9bQM

■ Answer. 정규화환 확률변수의 평균은 0, 분산은 1이다.

31. 확률변수 가 이항분포 을 따를 때, 의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오

[답안]

[참고] https://url.kr/edbv8k

[동영상] https://youtu.be/Q4shdBZ0LVc

■ Answer. 이항분포의 평균은 np, 분산은 npq이다.

32. 확률변수 가 정규분포 를 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

[답안] 확률변수 의 평균이 , 표준편차가 이므로 확률변수 은 표준정규분포 을 따른다.

[참고] https://url.kr/lufe7x

[동영상] https://youtu.be/J33PFJ3gUDE

[R 코드]

■ Answer. 정규분포의 확률계산은 표준정규분포로 변환하여 계산한다.

단 원 명

통계적 추정

필수 성취 기준

* 모집단과 표본의 뜻을 알고 표본추출의 원리를 이해한다.

* 표본평균과 모평균의 관계를 이해하고 설명할 수 있다.

* 모평균을 추정하고, 그 결과를 해석할 수 있다.

33. 어느 지역에서 월 한 달 동안 가구당 난방비는 평균이 만 원, 표준편차가 만 원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역에서 크기가 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균의 평균과 표준편차를 구하시오.

[답안] 평균: 만원 , 표준편차: 만원

[참고] https://bskyvision.com/454

[동영상] https://youtu.be/sZxOiuIQQKE

■ Answer. 표본평균의 평균은 모평균과 동일하고. 표본분산은 (모분산)/n이다.

34. 어느 기계에서 생산된 제품 개의 길이는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 기계에서 생산된 제품 개를 임의추출할 때, 제품의 길이의 평균이 이상 이하일 확률을 구하시오.

[답안] 이 기계에서 생산된 제품의 길이를 확률변수 라고 하면 는 정규분포

를 따르므로 임의추출한 제품 개의 길이의 평균을 라고 하면 는 정

규 분포 을 따른다.

따라서 확률변수 은 표준정규분포 을 따르므로 구하는 확률은

[참고] https://url.kr/v5qcyx

[동영상] https://youtu.be/vr8CJ5G0t6o

[R 코드]

■ Answer. 표본평균과 표본분산을 이용하여, 표준정규분포의 계산을 사용하자.

35. 어느 피자 가게에서 만든 피자 한 판의 열량은 모표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 가게에서 만든 피자 판을 임의추출하여 열량을 조사한 결과 평균 열량이 라고 할 때, 이 가게에서 만든 피자 한 판의 열량의 평균 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간을 구하고, 그 결과를 해석하시오.

[답안] 표본의 크기는 , 표본평균의 실제 관측값은 , 모표준편차는

이므로 이 가게에서 만든 피자 한 판의 열량의 평균 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간은

따라서 (단위: )

즉, 이상 이하인 범위에 이 가게에서 만든 피자 한 판의 열량의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 이다.

[참고] https://url.kr/y9sfid

[동영상] https://youtu.be/LnJBJ63rPjc

■ Answer. 신뢰도 95%의 z-score는 1.96임을 이용하자.

36. 모평균이 , 모분산이 인 모집단에서 크기가 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 의 표준편차가 이하가 되기 위한 의 최솟값을 구하시오.

[답안] 에서 . 따라서 의 최솟값은 이다.

[참고] https://bskyvision.com/454

[동영상] https://youtu.be/sZxOiuIQQKE

■ Answer. 표본의 표준편차는 모표준편차/ 이다.

37. 정규분포 을 따르는 모집단에서 크기가 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 라고 하자. 다음을 만족시키는 의 최솟값을 구하시오.

[답안] 모집단의 확률분포가 정규분포 일 때, 표본평균 는 정규분포

을 따른다.

에서

즉, 이므로

이 때 이므로

즉, ,

따라서 의 최솟값은 이다.

[참고] https://url.kr/v5qcyx

[동영상] https://youtu.be/LnJBJ63rPjc

■ Answer. z-score가 1.96일 때 신뢰도가 95%가 됨에 유의하자.

38. 정규분포 를 따르는 모집단에서 크기가 인 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균을 라고 하자. 을 구하시오.

[답안]모집단의 확률분포가 정규분포 일 때, 표본평균 는 정규분포 을 따른다. 따라서 구하는 확률은

[참고] https://url.kr/v5qcyx

[동영상] https://youtu.be/LnJBJ63rPjc

[R 코드]

■ Answer. 표준정규분포의 계산을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

39. 동전 개를 던져서 앞면이 나오면 점을 얻고, 뒷면이 나오면 점을 잃는 게임을 하였다. 동전 개를 번 던진 후, 최종 점수가 점 이상이 될 확률을 구하시오.

[참고] https://jwmath.tistory.com/518

[동영상] https://youtu.be/0GneD0MG85E

■ Answer. 이항분포의 평균은 np, 분산은 npq이고, 시행횟수가 많으므로 이항분포를 정규분포로 근사하여 계산할 수 있다. 근사한 후에, 표준정규분포의 계산을 이용한다.

40. 정규분포 을 따르는 모집단에서 크기가 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 라고 하자. , , 를 구하여라.

[답안] , , 이므로 에 관계없이 는 일정하고, 이 커질수록 , 는 작아진다.

[참고] https://bskyvision.com/454

[동영상] https://youtu.be/sZxOiuIQQKE

■ Answer. 표본평균은 모평균과 같고, 표본분산과 표본표준편차는 각각 모분산과 모표준편차의 배이다.

41. 어느 고등학교 학생들의 주말 동안의 스마트폰 사용 시간은 모표준편차가 분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중에서 명을 임의추출하여 주말 동안의 스마트폰 사용 시간을 조사하였더니 평균이 분이었다. 이 학교 학생들의 주말 동안의 스마트폰 사용 시간의 평균 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간을 구하시오.

[답안]

, , 이므로 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간은

따라서 (단위: 분)

[참고] https://url.kr/y9sfid

[동영상] https://youtu.be/LnJBJ63rPjc

■ Answer. 신뢰도 99%의 z-score는 2.58임을 이용하여 계산한다.

*************************** [참 고] *********************************

○ 실습실

9학년(중3) 수학 http://matrix.skku.ac.kr/9th-Grade/

그림입니다.
원본 그림의 이름: 9th_grade_qr.png
원본 그림의 크기: 가로 145pixel, 세로 145pixel

10학년(고1) 수학 http://matrix.skku.ac.kr/10th-Grade/

그림입니다.
원본 그림의 이름: 10th_grade_qr.png
원본 그림의 크기: 가로 145pixel, 세로 145pixel

11학년(고2) 수학 1 http://matrix.skku.ac.kr/11th-Grade-1/

그림입니다.
원본 그림의 이름: 11th_grade_1_qr.png
원본 그림의 크기: 가로 145pixel, 세로 145pixel

11학년(고2) 수학 2 http://matrix.skku.ac.kr/11th-Grade-2/

그림입니다.
원본 그림의 이름: 11th_grade_2_qr.png
원본 그림의 크기: 가로 145pixel, 세로 145pixel

12학년(고3) 미적분 http://matrix.skku.ac.kr/12th-Grade-1/

그림입니다.
원본 그림의 이름: 12th_grade_1_qr.png
원본 그림의 크기: 가로 145pixel, 세로 145pixel

12학년(고3) 확률통계 http://matrix.skku.ac.kr/12th-Grade-2/

그림입니다.
원본 그림의 이름: 12th_grade_2_qr.png
원본 그림의 크기: 가로 145pixel, 세로 145pixel

위와 같이 K-12 수학을 배운 누구라도 미적분, 행렬, 통계지식을 활용하여 전공과 무관하게 언제 어디서나 무료로 <인공지능을 위한 기초수학>을 학습할 수 있습니다.

○ K-MOOC 인공지능 수학 입문 강좌

http://wwwdev.kmooc.kr/courses/course-v1:SKKUk+SKKU_57+2021_T1/about

○ <인공지능을 위한 기초수학 입문 [실습실] >

01주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W1/

02주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W2/

03주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W3/

04주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W4/

05주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W5/

06주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W6/

07주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W7/

08주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W8/

09주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W9/

10주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W10/

11주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W11/

12주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W12/

13주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W13/

14주차 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W14/

아래는 <인공지능 기초수학 입문>에서 배우는 통계와 확률분포 부분의 예제 일부입니다.

예제 1. 1부터 9까지의 숫자 중에서 서로 다른 3개를 선택하여 3자리 수를 만들려고 한다. 만들 수 있는 자연수의 개수를 구하시오.

풀이. 이다. ■

예제 2. 넥타이 500개에서 5개를 택하는 방법의 개수는 이다. ■

다음과 같이 Sage 내부 명령어를 이용하여 계산할 수도 있다.

예제 3. 주머니 속에 검은 공이 3개, 흰 공이 2개, 붉은 공이 1개 들어있다. 여기서 동시에 두 개의 공을 꺼낼 때, 같은 색의 공이 나올 확률을 구하면?

풀이. 주머니 속의 6개의 공 중에서 두 개의 공을 꺼내는 경우의 수는 , 같은 색인 경우는 검은 공 또는 흰 공이 2개 나와야 한다. 이 경우의 수는 이다. 따라서 구하는 확률은 이다.

예제 4. 1000개의 제품 중에 불량품이 3개 있다. 이 제품 중에서 10개의 제품을 구입했을 때 다음 확률을 구하시오.

(1) 구입제품 중 불량품이 한 개도 없는 경우

(2) 구입제품 중 불량품이 적어도 한 개 이상 있는 경우

풀이. 1000개의 제품 중에 10개의 제품을 선택하는 경우의 수는 이다. 따라서 (1) 불량품이 한 개도 없는 경우는 정상 제품인 997개에서 10개를 모두 선택하고, 불량품 3개에서는 하나도 선택하지 않는 경우밖에 없으므로 그 경우의 수는 이다.

[R 코드]

(2) 불량품이 적어도 한 개 이상 있을 확률은, 1에서 불량품이 한 개도 없는 확률을 빼면 되므로, 구하고자 하는 확률은 이 된다. Sage 코드를 이용하여 계산하면 다음과 같다.

[R 코드]

예제 5. 확률변수 를 주사위 한 개를 던져서 나온 결과라 하자. 1이 나오면 이고 그 외의 숫자가 나오면 이다. 의 확률분포 를 구하여라.

풀이. 는 베르누이 분포 를 따른다. 따라서 의 확률분포는 다음과 같다.

■

[R 코드]

예제 6. 대도시의 시민 중 30%만이 대중교통에 만족한다고 한다. 만약 이 도시의 시민 20명을 임의로 선택했을 때, (1) 이들 중 3명 미만의 시민이 대중교통에 만족할 확률과 (2) 6명의 시민이 만족할 확률, (3) 10명 이상의 시민이 만족할 확률을 구하라.

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/R-Sage-Stat-Lab-2.html

풀이. 시민 20명을 임의로 선택했을 때, 만족하는 사람의 수를 라 하면, 는 이항분포 를 따른다. 따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

(1) (2) (3)

[R 코드]

예제 7. 확률변수 가 를 따른다고 하자. 다음 확률을 구하여라.

(1) (2) (3)

풀이. 이고 이므로 이고

(1)

(2)

(3) □

[R 코드]

예제 8. 다음 물음에 답하여라.

(1) 확률변수 가 표준정규분포 을 따를 때 을 구하여라.

(2) 확률변수 가 을 따를 때 을 구하여라.

풀이.

(1)

(2)

■

[R 코드]

예제 9. 확률변수 의 확률분포가 다음과 같을 때, 기댓값과 분산, 표준편차를 구하시오.

	0	1	2	3	합(sum)
확률	0.010	0.840	0.145	0.005	1

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/R-Sage-Stat-Lab-2.html

풀이. 기댓값과 분산, 표준편차의 정의를 이용하여 아래와 같이 Sage 코드를 이용하여 구하면 된다.

[R 코드]

예제 10. 확률변수 의 확률밀도함수가 일 때, 와 의 분산을 구하시오.

풀이.

■

[출처] 본 콘텐츠에 제시된 문제들은 아래에서 선별하거나 변형하여 사용하였습니다.

미래엔 3-2, 교사용 모의 고사 문제, 비상교과서

http://kimsu.kr/bbs/board.php?bo_table=THA&wr_id=26504

https://m.cafe.daum.net/math114 https://m.cafe.naver.com/ca-fe/cdcmathematics

https://mathpool.tistory.com/

*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)
and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT) (No.2020M3H1A1077095).

단 원 명	이항정리
필수 성취 기준	* 이항정리를 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.