사회와 수학

『사회와 수학』: 400년의 파란만장

나카다 노리노 지음

이상구, 김호순 옮김

경문사 2011, 216페이지

ISBN 978-89-6105-389-1

차 례

이 책을 읽는 독자에게   4

옮긴이 머리말   6

들어가기   8

프롤로그    십자군을 통하여 전해진 필산법  18

    1.  10세기, 동양과 서양의 수학이 아라비아에 모이다  20

    2.  계산법의 전파  30

    3.  산반파와 필산파의 긴 다툼  32

    생각해보면  기독교와 이슬람교의 대립  34

제1장   대포소리와 함께 시작한 함수  36

    1.  난공불락의 성벽  38

    2.  오스만 제국과 군대  40

    3.  대포에서 ‘움직임의 수학’이 탄생하다  42

    생각해보면  연령과 체력은 비례?  46

제2장   30년간 군사 비밀로 여겨진 학문, 화법기하학  48

    1.  전쟁에 참가한 프랑스 수학자  50

    2.  대포에 강한 요새 건설  52

    3.  ‘투영도’라는 기하학  54

    생각해보면  고대 로마의 설계술  58

제3장   도시국가의 번영과 부산물, 확률론  60

    1.  이탈리아 해운항의 전통  62

    2.  새로운 수학 ‘확률론’의 완성까지  64

    3.  확률의 기초지식과 초등문제  68

    생각해보면  바퀴의 도박 ‘룰렛’  70

제4장   사회부흥의 실마리 통계학  72

    1.  ‘숫자의 표’라는 소박한 통계  74

    2.  런던의 발전과 전염병  78

    3.  독일의 ‘30년 전쟁’ 후의 재건  80

    생각해보면  그래프에서 얻은 ‘문제점’을 발견하기  82

제5장   대화재 피해에 대한 반성에서 생긴 보험법  84

    1.  미래의 행복을 생각하는 지혜  86

    2.  런던 대화재와 그 후  88

    3.  화재보험의 탄생  92

    생각해보면  보험금 지불과 계약의 유효  95

제6장   산책로에서 탄생한 위상수학  96

    1.  일곱 개의 다리 건너기  98

    2.  ‘한붓그리기’의 규칙  100

    3.  마술 같은 도형학 ‘위상수학(topology)’  105

    생각해보면  아시아(일본)에도 있었던 ‘다리 건너기 문제’  108

제7장   농업 연구의 능률을 높인 추측통계학(stochastics)  110

    1.  마방진과 라틴 방진(Latin square, Latin cube)  112

    2.  농업 연구의 오랜 역사  116

    3.  표본조사라는 생략법  118

    생각해보면  예상이 어긋나는 원인은 어디에 있는가?  122

제8장   지도와 회화 연구에서 나온 변환법  124

    1.  구면이나 입체물을 평면에 표시하는 연구  126

    2.  변환의 이용과 효용  128

    3.  변환을 통일적으로 통합하는 시점  130

    생각해보면  호화 유람선의 구조도  132

제9장   세계대전을 제어한 최적화 이론  134

    1.  독일의 U보트, 일본의 가미가제 특공기에 대한 대책  136

    2.  경영과학의 성립과 종류  138

    3.  컴퓨터를 이용한 수학  140

    생각해보면  안장점이라고 하는 최적해  142

제10장  사회 발전의 강력한 도구 계량학  144

    1.  수량화의 필요와 연구  146

    2.  인간 활동은 계량화 사회의 건설  148

    3.  계량학과 발전  152

    생각해보면  국제적으로 통일된 2개의 계량 기준  155

제11장  정보화 사회의 정탐꾼 암호학  156

    1.  암호의 기본과 구성  158

    2.  암호 만들기와 풀기  160

    3.  정보사회와 암호의 활약  164

    생각해보면  일본 최초의 만화  166

제12장  속임수 상법에 대한 대책 허점투성이 법  168

    1.  사회 발전과 ‘허점투성이 법’  170

    2.  법률이 갖는 한계와 이면의 법칙  172

    3.  여러 가지 속임수 상법  174

    생각해보면  논리적 설득의 영역과 ‘허점투성이 법’  178

제13장  수학과 문학의 만남-수학으로 문장을 분석하다(文紋法)  180

    1.  문자, 언어의 분석  182

    2.  작자불명의 좋은 책  184

    3.  문장의 습관 발견과 이용  186

    생각해보면  수학과 문학의 접점  190

에필로그    새로 도입된 외래 수학용어  192

    1.  일본의 수학용어 변천  194

    2.  제2 새로운 발상의 수학시대와 새 수학  198

    3.  여러 가지 ‘외래 수학용어’  200

    생각해보면  수학의 학제간 연구  202

글을 마치며  204

질문에 대한 실마리  206

[자료 1]    수학발전사와 ‘수학’의 분류  214

[자료 2]    ‘논리’ 안의 정론, 사론  215

[자료 3]    대표적인 외래 수학용어  216

서 평 (대한수학회 소식지, 2011)

인류 역사의 혁명적 발전 시기마다 그 사회가 안고 있던 문제를 해결하는 과정의 중심에 수학이 있었다. 우리나라의 학생들은 보통 수학공부를 하는 이유를 ‘입학시험을 잘 보기위해서’라고 생각하고 있다. 따라서 수학은 우리의 삶에 불필요한 과목이라고 생각하기도 한다. 이런 잘못된 생각을 극복하기 위해서『사회와 수학』과 같은 책이 필요하다. 이 책은 수학의 발전을 인류 사회의 발전 역사와 함께 관찰한 책이다. 옮긴이는 "일반인이 수학이 사회 발전에 끼친 역할과 ‘수학(數學)에 대한 바른 이해’를 가져주기를 바라는 마음으로 이 책을 번역했다."고 말한다.

왜 모든 학생은 수학을 배워야 하나?

최근 1만년의 인류 역사 속에 있었던 홍수, 지진, 화재, 재난, 기아, 역병, 전쟁의 비참, 또는 개인적인 사고, 실연, 폭행 등등의 사건에서 볼 수 있듯이, 인류가 살아온 길은 그야말로 파란만장했다.

원저자는 인류가 당면했던 파란만장했던 어려움에 대응하며, 시대에 따라 새로운 수학을 만들면서 해결해온 과정을 이 책을 통하여 소개하려고 하였다. 그는 학생시절에 “왜 모든 학생은 수학을 배워야 하나?” 하는 근본적인 의문을 가졌으며, 이 질문에 답을 구하기 위하여 수학의 뿌리를 탐방하는 세계 여행을 시작했다. 이 여행은 저자가 정년퇴임한 후에도 계속 이어져 서른 번 이상 여행을 떠났고 그 경험을 정리하여 40여 권의 책을 발간했다. 이 과정에서 수학 수업시간의 교과서 외의 이야기를 눈을 반짝이면서 듣던 학생들의 얼굴을 상기하며, 교과서 내용에 보태어 수학사 또는 수학 이야기를 발굴하여 지도함으로써 수학을 좋아하는 많은 학생들을 배출했다.

수학세계의 여행으로 즐거움과 중요성을 체험 한다

책장을 넘겨보면 저자의 해박한 수학이론과 세계역사의 지식으로 수학의 관점에서 세계 수학사를 전체적으로 통합, 조망하면서 수학에 관한 즐겁고 흥미로운 여행을 안내하고 있다. 저자는 그가 설명하고자하는 글의 내용을 한 눈으로 알아 볼 수 있도록 구조적으로 축약하여 간단한 도표나 그림으로 나타내고, 수학의 이야기를 사진과 수학문제들을 예를 들어 재미있게 설명하고 있어서 어느 장(章)을 보더라도 수학의 즐거움과 친근감을 가질 수 있게 하였다. 사회와 수학에 관한 이야기 주머니(보따리)를 차곡차곡 풀어 놓고 있어서 재미와 호기심을 자극하고 있는 것이다. 장점은 아시아 사람이 쓴 책이라 서양인 중심의 세계수학에서 벗어나 동양인의 관점으로 새로운 시야를 제시한 것이다. 그러나 저자가 일본인이라 일본의 사례를 주 비교 대상으로 하였다. 독자는 한국의 사례를 염두에 두고 읽으면 새로운 이야기꺼리에 이르게 될 것이다. 그리고 책 뒷부분에 찾아보기를 보완하면 좋겠다.

첫 장에는 십자군을 통하여 전해진 필산법 이야기가 있다. 아라비아인들은 수학 선진국이었던 인도와 유럽 사이에서 가교 역할을 하였을 뿐만 아니라 수학을 연구하여 중세에 이슬람수학으로 전성기를 이루었다. 이슬람수학은 인도-아라비아 수와 방정식의 이항법을 유럽에 전하게 되고 그리스의 유클리드 기하학을 보존하였다. 중세 십자군 시대에 동양과 서양 사이에 계산법의 교류가 있었던 이유는 상인들이 산판과 필산법으로 계산하여 금융산업을 발전할 수 있도록 하였기 때문이다.

제1장에는 대포소리와 함께 시작한 함수 이야기가 있다. 생존 문제가 걸려있는 전쟁에서 이기기위해서는 여러 가지 전략이 필요하다. 방어할 수 있는 성벽, 공격무기, 전투원, 군수물자 등 최대의 효과를 보여줘야 하는 수학적인 상황인 것이다. 대포가 개발 되면서 운동과 움직이는 것에 대한 연구가 함수를 탄생시켰다. 함수의 탄생과정에서 미분개념이 발견되었다. 적분이 발견 된지 2천년이 넘어서야, 두 개념의 밀접한 관계를 보여주는 “미적분학의 기본정리”가 발견된다.

“수학의 진보와 완성은 국가 번영을 좌우한다(나폴레옹).”

제2장에는 군사비밀로 여겨진 화법기하학 이야기가 있다. 프랑스는 수학을 장려했기 때문에 18세기 유럽에서 강국이 되어 전성기를 맞이했던 것은 수학자의 활약이 크다. 건축, 토목사업, 전쟁에서 세계 최고의 기술을 가지고 있었다. 프랑스에서 3가지 기하학 즉, 해석기하학, 화법기하학, 사영기하학이 탄생된 것은 우연한 일이 아니다.

제3장에는 도시국가의 번영에서 나온 확률론 이야기가 있다. 이탈리아는 중세이후 해운 업계가 발전하였다. 원양 무역선은 대서양 횡단이라는 모험이 성공하는데 어떤 규칙이 있을까? 질문하게 되고 이에 대한 이론적 연구가 확률론을 탄생시켰다. 프랑스에서 계속 연구되고 20세기에는 러시아 학자들이 확률론을 완성하였다. 확률을 공부하게 되면 “직감이나 상식은 위험하다.”는 것을 알게 된다. 보험, 증권 선물시장에서는 많은 수학자들이 고도의 수학적인 투자공식을 만들어 운영하면서 엄청난 부(富)를 획득하면서 활발하게 활동하고 있다.

제4장에는 사회부흥의 실마리로 통계학 이야기가 있다. 영국의 그랜트(1662)는 전염병 ‘사망표’를 정리한 후, 자료수집, 분류, 분석, 판단, 예측과 같은 작업을 통하여 표에 숨겨진 많은 사실을 판독했다. 이것을 이용하여 전염병으로 부터 시민을 지킬 대책을 세웠다. 이것이 통계학이 나온 배경이다. 세계대전에서 독일의 U보트와 일본의 가미가제 특공기에 대한 대책은 무엇인가? 여기에서 최소의 노력으로 최대의 효과를 내고자하는 최적화 이론이 나왔고, 경영과학(OR)으로 선형계획법, 대기행렬(queueing)이론, 게임이론, 네트워크이론, 자동화이론이 나왔다.

사회가 발전하면 새로운 발상에 의한 새로운 수학이 탄생 된다

나머지 각 장에는 런던의 대화재(1666) 피해에 대한 반성에서 보험이 탄생하고, 산책로에서 탄생한 위상수학, 표본조사법과 농업연구에서 능률을 높인 추측통계학(Stochastic) 등 규칙을 발견하가는 수학의 다양한 모습을 소개하였다. 사회가 발전하면서 컴퓨터 등 환경이 변하면서 새로운 발상에 의한 수학이 새롭게 나오게 되었다. 퍼지(fuzzy)이론, 카오스이론, 프랙탈, 파국(카타스트로피)이론 등이 있다. 퍼지는 애매모호함을 수량화한 계량화하는 이론이다. 정보화 사회에서 암호는 필수이며 우리는 암호를 개발하고 풀어야한다. 또 재판과 수학에서는 정확한 논리가 필요하다. 수학으로 문장속의 패턴을 분석한다. 이와 같이 현대에는 수학의 연구대상이 차차 넓어짐에 따라서 경제학, 정치학, 교육학, 심리학 등의 발전에 수학이 적용되고, 문학에서 표절을 구분하는데도 도움을 주고 있다. 마지막 장에는 수학 용어의 변천과 학제간 협동연구 및 융합학문 연구에서 수학의 역할에 대하여 논한다. 각 절마다 흥미로운 질문 문제가 있다. 이것에 대한 힌트와 해답이 책 뒷부분에 있어서 더욱 문제에 흥미를 가지게 된다.

수학을 좋아하는 또 싫어하는 모든 학생과 수학교사들에게

보통 수학사에 관한 책을 보면 유럽 사람들의 눈으로 수학사를 기술하고 또 학문적으로 딱딱하게 쓰여 있어서 몇 쪽 읽기도 힘들다. 그러나 이 책은 동양의 문화와 가치관을 가진 동양 사람의 눈으로 저술하였다. 수학사를 가르쳐온 필자는 이 책을 읽고 서평을 쓰며 많은 새로운 내용을 아주 쉽게 배웠으며, 앞으로 학생과 공유 할 것이다. 이 책은 쉽고 흥미롭게 수학과 사회의 관계를 서술하였기 때문에 전공과 나이에 관계없이 중학생 이상이면 누구라도 부담 없이 읽을 수 있는 책이어서 학생들에게도 좋은 책이지만, 수학교사들이 “왜 모든 학생은 수학을 배워야 하나?” 에 답을 줄 수 있는 다양한 이야기꺼리가 충분히 있어서 큰 도움이 될 것이다.

이 책을 읽는 독자에게 (저자 서문)

우선 저와 수학의 인연에 대해 얘기하며 이 글을 시작하겠습니다.

저는 중학교 3학년 때까지 수학을 싫어하고 역사를 좋아했습니다. 그런데 여름방학 숙제로 인수분해 문제를 풀다가 수학에 매료됐습니다.

수학교사가 되려고 도쿄고등사범학교 수학과에 입학하여, 학습을 하다 “왜 모든 학생은 수학을 배워야 하나?” 하는 근본적인 의문을 가졌고, 이 질문에 답을 구하기 위하여 사범대학 졸업을 포기하고 도쿄교육대학 교육학과에 편입하여, 교육사를 통하여 사회사․문화사를 공부하면서 수학의 역할을 알게 되었습니다.

졸업 후 중고등학교 교사로서 교과서 내용만이 아니라 수학사 또는 수학 이야기를 발굴하여 지도함으로써 수학을 좋아하는 학생들을 배출했습니다. 그리고 초중등 교원을 양성하는 교육학부 교수가 된 후로는 장래 교사가 될 사람들에게 다른 책에 있는 글을 통째로 인용하여 전달하는 강의를 하는 것은 미안한 일이라고 생각해 왔습니다. 그래서 여행을 싫어하는데도 스스로를 채찍질하여 수학의 뿌리를 탐방하는 세계 여행을 시작했습니다.

이 여행은 대학에서 정년퇴임한 후에도 계속 이어져 서른 번 이상 여행을 떠났고 그 경험을 정리하여 40여 권의 책을 발간했습니다.

어린 시절 수학을 싫어했던 저의 심정을 생각해내고, 교과서 외의 이야기에 눈을 반짝이면서 내 말을 듣던 학생들의 얼굴을 상기했으며, 때로는 수학이 살아온 경로를 발견하는 감격을 되새기면서 이 책을 집필했습니다.

1만 년 가까운 인간 사회사에 있었던 홍수, 지진, 화재, 재난, 기아, 역병, 전쟁의 비참, 또는 개인적인 사고, 실연, 폭행 등등의 사건에서 보듯이 인류가 살아온 길은 그야말로 파란만장합니다.

물론 행복한 일과 즐거움도 있었습니다. 그러나 인류가 생존해 오면서 당면했던 여러 가지 새로운 환경과 도전에 대응하며, 인간들이 점차 새로운 수학을 만들면서 해결해온 과정을 이 책을 통하여 알아주셨으면 좋겠습니다.

나카타 노리오

역 자 서 문

현재 ‘학교수학’, ‘입시수학’에서는 수학이 사회에 끼친 중요한 역할을 거의 언급하지 않고, 지식․기능면만을 강조하고 있다. 이 때문에 세상의 보통사람들은 “수학은 불필요한 과목 아닌가?” 하고 질문하기에 이르렀다.

원저자는 인류 역사에서 혁명적 발전의 시기마다 그 사회가 안고 있던 문제를 해결하는 과정의 중심에 수학이 있었다는 것을 알고, ‘사회수학’이란 제목으로 원저를 발간했다. 원저는 수학의 발전을 인류 사회의 발전 역사와 함께 자리매김하고자 쓴 책이다. 이에 옮긴이는 크게 공감하여 일반인에게 수학이 사회 발전에 끼친 역할과 ‘수학(數學)에 대한 바른 이해’를 가져주기를 바라는 마음으로 번역을 했다.

번역자는 수학교육자인 원저자의 아이디어를 최대한 살리면서 일반인들이 가지기 쉬운 ‘수학은 무익하다’라는 생각을 완전히 없애줄 수 있는 더 나은 책으로 만들려고 노력했다. 이 책은 자연계와 인문계 학생은 물론 일반인 모두를 대상으로 한다. ‘사회수학’ 책을 통하여 수학이 어떻게 사회의 발전과 함께 하였으며, 우리의 일상생활 속에 얼마나 깊이 관련되어 있는지에 대하여 독자가 좀더 쉽게 이해했으면 한다.

더 나은 책이 되도록 검토하고 조언을 보태주신 고려대 역사연구소 김경현 연구교수, 김태연 작가와 작업을 도와준 성균관대 수학적 모델링 사업단 강미현 조교 및 연구원들과 용인외고 황휘 및 최하늘 군에게 감사드린다.

                           2011년                                                                                                   이상구, 김호순