Linear Algebra with Sage

<Inverse of a matrix>

Made by SKKU Linear Algebra Lab (2011)

Find an inverse of @@ A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 4 & -3\\ 3 & 6 & -5 \end{bmatrix} @@ using its adjoint matrix.

Theorem. If @@A@@ is an invertible matrix, then

   @@A^{-1} = \Large{\frac{1}{|A|}}@@adj@@(A)@@

Define a matrix @@A@@ (행렬@@A@@ 생성 및 확인)

A=matrix([[1,1,2],[2,4,-3],[3,6,-5]]); A

[ 1  1  2]

[ 2  4 -3]

[ 3  6 -5]

@@A_{ij}@@: cofactor of the entry @@a_{ij}@@ (행렬@@A@@ 의 모든 성분의 여인자 구하기)

A11=(-1)^(1+1)*det(A[(1,2),(1,2)]) # A[(1,2),(1,2)]는 A의 2,3행과 2,3열로 이루어진 2차 부분행렬 A12=(-1)^(1+2)*det(A[(1,2),(0,2)]) # A[(1,2),(0,2)]는 A의 2,3행과 1,3열로 이루어진 2차 부분행렬 A13=(-1)^(1+3)*det(A[(1,2),(0,1)]) A21=(-1)^(2+1)*det(A[(0,2),(1,2)]) A22=(-1)^(2+2)*det(A[(0,2),(0,2)]) A23=(-1)^(2+3)*det(A[(0,2),(0,1)]) A31=(-1)^(3+1)*det(A[(0,1),(1,2)]) A32=(-1)^(3+2)*det(A[(0,1),(0,2)]) A33=(-1)^(3+3)*det(A[(0,1),(0,1)]) # A[(0,1),(0,1)]는 A의 1,2행과 1,2열로 이루어진 2차 부분행렬

Find adj@@(A)@@ (행렬 @@A@@의 adjoint matrix)

adjA=matrix([[A11,A12,A13], [A21, A22, A23], [A31, A32, A33]]).transpose(); adjA

[ -2  17 -11]

[  1 -11   7]

[  0  -3   2]

Find @@A^{-1} = \Large{\frac{1}{|A|}}@@adj@@(A)@@

AI=adjA/det(A); AI

[  2 -17  11]

[ -1  11  -7]

[  0   3  -2]

Check the matrix (@@A@@의 adjoint matrix를 det@@(A)@@로 나눈 것이 @@A@@의 역행렬이 됨을 확인)

AI*A

[1  0  0]

[0  1  0]

[0  0  1]