Linear Algebra with Sage

<Cofactor Expansion>


Made by SKKU Linear Algebra Lab (2011)



Find a determinant of the matrix @@ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 4 & -3\\ 3 & 6 & -5 \end{bmatrix} @@ using a cofactor expansion.


<Cofactor Expansion>

@@ |A|= \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} | A(i | j)|@@   @@(1\leq j \leq n)@@

   ,where @@A(i | j)@@ is a submatrix obtained from @@A@@ by deleting @@i@@-row and @@j@@-column.


 

Define a matrix @@A@@ (행렬@@A@@ 생성 및 확인)

A=matrix([[1,1,2],[2,4,-3],[3,6,-5]]); A

[ 1  1  2]

[ 2  4 -3]

[ 3  6 -5]


Find a cofactor @@ A_{11} = (-1)^{1+1} A(1|1)@@ (@@a_{11}@@의 여인자(Cofactor) @@A_{11}@@을 구한다.) >

a11=A[0,0]; # 행렬 A의 1행 1열 성분

A11=(-1)^(1+1)*det(A[(1,2), (1,2)]); # A[(1,2), (1,2)]는 행렬 A의 1행과 1열을 제거하여 만든 부분행렬이다. 즉, 행렬 A의 2,3행과 2,3열에 대응하는 성분을 가지고 만든 부분행렬이다. 파이선에서는 행과 열의 순서가 0,1,2,... 순으로 배열하기 때문.

print a11

print A11

1

-2


Find a cofactor @@ A_{21} = (-1)^{2+1} A(2|1)@@ (@@a_{21}@@의 여인자(Cofactor) @@A_{21}@@을 구한다.)

a21=A[1,0] # 행렬 A의 2행 1열 성분

A21=(-1)^(2+1)*det(A[(0,2), (1,2)]); # A[(0,2), (1,2)]는 행렬 A의 1,3행과 2,3열에 대응하는 성분을 가지고 만든 부분행렬이다.

print a21

print A21

2

17


Find a cofactor @@ A_{31} = (-1)^{3+1} A(3|1)@@ (@@a_{31}@@의 여인자(Cofactor) @@A_{31}@@을 구한다.)

a31=A[2,0] # 행렬 A의 3행 1열 성분

A31=(-1)^(3+1)*det(A[(0,1), (1,2)]); # A[(0,1), (1,2)]는 행렬 A의 1,2행과 2,3열에 대응하는 성분을 가지고 만든 부분행렬이다.

print a31

print A31

3

-11


Find a determinant of the matrix @@A@@ using a cofactor expansion
(여인자전개를 이용하여 행렬 @@A@@의 행렬식을 구한다.)

a11*A11+a21*A21+a31*A31

-1