10.1 연습문제

문제풀이 동영상:

$\bullet$ http://youtu.be/9-G3Fd2xOW0

$\bullet$ http://www.youtube.com/watch?v=adWzUKKmO2k

 

1. 5차 정사각행렬 $A$가 중복도가 5인 고유값 $\lambda$만을 갖고, $\lambda$에 대응하는 일차독립인 고유벡터가 2개인 경우 $A$의 Jordan 표준형의 종류를 구하여라.

 

2. 다음 Jordan 표준형 $J_A$에 대하여 다음을 구하여라.

$J_A = \left[{\begin{array}{ccccc}{\mathit{\lambda}}&{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{\mathit{\lambda}}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{\mathit{\lambda}}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{\mathit{\lambda}}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{\mathit{\lambda}}\end{array}}\right]$

(1) $J_A - \lambda I$

(2) $(J_A - \lambda I)^2$

(3) $(J_A - \lambda I)^3$

(4) $(J_A - \lambda I)^4$

 

3. 다음을 Jordan 표준형으로 갖는 행렬의 특성방정식을 구하여라.

$J_A={\left[{\begin{array}{ccccccccccc}{4}&{1}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{4}&{1}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{4}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{4}&{1}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{4}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{2}&{1}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{2}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}}\right]}$

Ans:

$(\lambda -4)^5 (\lambda -1)^3 (\lambda -2)^2 \lambda$

Sage:

 

[4-9] 다음 행렬의 Jordan 표준형을 구하여라.

 

4. $\left[{\begin{array}{ccccc}{5}&{5}&{5}&{5}&{5}\\{5}&{5}&{5}&{5}&{5}\\{5}&{5}&{5}&{5}&{5}\\{5}&{5}&{5}&{5}&{5}\\{5}&{5}&{5}&{5}&{5}\end{array}}\right]$

Ans:

$\left[{\begin{array}{ccccc}{\mathrm{25}}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}}\right]$

Sage:

 

5. $\left[{\begin{array}{ccccc}{2}&{0}&{4}&{1}&{3}\\{0}&{1}&{0}&{5}&{1}\\{0}&{5}&{1}&{3}&{3}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{\mathrm{{-}}{1}}&{3}\end{array}}\right]$

 

6. $\left[{\begin{array}{ccccc}{2}&{0}&{4}&{1}&{3}\\{0}&{1}&{0}&{5}&{1}\\{0}&{5}&{1}&{3}&{3}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{\mathrm{{-}}{1}}&{3}\end{array}}\right]$

 

7. $\left[{\begin{array}{ccc}{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{array}}\right]$

 

8. $\left[{\begin{array}{llll}{0}&{\mathrm{{-}}{3}}&{1}&{2}\\{\mathrm{{-}}{2}}&{1}&{\mathrm{{-}}{1}}&{2}\\{\mathrm{{-}}{2}}&{1}&{\mathrm{{-}}{1}}&{2}\\{\mathrm{{-}}{2}}&{\mathrm{{-}}{3}}&{1}&{4}\end{array}}\right]$

 

9. $\left[{\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{4}\\{0}&{2}&{\mathrm{{-}}{1}}\\{0}&{0}&{3}\end{array}}\right]$

 

10. $\lambda$는 행렬 $A$의 고유값이라고 하자. 임의의 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(\lambda)$는 행렬 $f(A)$의 고유값임을 증명하여라.

Ans:

$\lambda$는 행렬 $A$의 고유값이므로 $A \rm{x} = \lambda \rm{x}$가 성립한다. 이때 임의의 다항식

$f(x)=a_{n} x^{n} +a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x+ a_{0}$라고 하면

$f(\lambda) {\rm{x}} =a_{n} \lambda^n {\rm{x}} +a_{n-1} \lambda^{n-1} {\rm{x}} + \cdots + a_{1} \lambda {\rm{x}}+ a_{0} {\rm{x}}$

$=a_{n} A^n {\rm{x}} +a_{n-1} A^{n-1} {\rm{x}} + \cdots + a_{1} A {\rm{x}}+ a_{0} I_n {\rm{x}}$

$=f(A) \rm{x}$

이 성립하고, 이는 고유값의 성질인 $A \rm{x} = \lambda \rm{x}$을 만족하므로 $f(\lambda )$는 행렬 $f(A)$의 고유값이다. ■