10.1 점도표를 이용한 Jordan 표준형 구하기

동영상 강의: http://youtu.be/NBLZPcWRHYI

주어진 행렬이 대각화가능하다면 이 행렬과 관계된 대부분의 문제는 쉽게 다루어서 원하는 결론을 얻을 수 있다. 그러나 모든 행렬이 대각화가능한 것은 아니다. 이 절에서는 주어진 행렬과 닮음인 대각선 행렬과 거의 유사한 행렬인 Jordan 표준형 행렬을 구하는 방법을 소개한다.

우리는 $n$차의 정사각행렬 $A$가 $n$개의 일차독립인 고유벡터들을 가지면 대각화가능하다는 것을 8.2절에서 배웠다. 또한 [정리 8.8.5]에서 보았듯이 $A$가 유니타리 대각화가능일 필요충분조건은 $A$가 정규행렬(normal matrix)인 것이다. 이 경우 $A$는 $n$개의 정규직교인 고유벡터를 갖고, 이 고유벡터들을 열로 갖는 행렬 $U$는 유니타리 행렬이며 ${U^*}AU=D$는 고유값 $\lambda_i$들을 대각선 성분으로 갖는 대각행렬이다.

대각화가능한 행렬을 다루는 것은 이론적으로나 실제에 있어서 모두 대각행렬을 다루는 것과 같이 쉽다. 그러나 일반적으로 $n$차의 정사각행렬이 모두 $n$개의 일차독립인 고유벡터들을 갖지는 않으므로 대각화가능한 것은 아니다. 그러나 [Schur 정리]에 의하여 모든 행렬은 자신의 고유값을 대각선성분으로 갖는 상삼각행렬과 유니타리 닮음임은 안다.

우선 대각화와 관련하여 지금까지 살펴본 내용을 요약하면 아래와 같다.

1. $n$차 정사각행렬 $A$가 대각화가능할 필요충분조건은 $A$가 $n$개의 일차독립인 고유벡터를 갖는다.

2. $A$가 정규행렬일 $(AA^* =A^* A)$ 필요충분조건은 $A$가 유니타리 대각화가능이다.

3. 그러나 정규행렬이 아니면서도 대각화가능한 행렬은 존재한다.

4. 행렬 $A$가 대각화가능이면, 각각의 고유값에 대한 고유공간 $\rm{null}(\lambda I-A)$의 차원(기하적 중복도)이 그 고유값의 (대수적) 중복도와 같아야 한다. ($\Leftrightarrow$ $n$개의 일차독립인 고유벡터가 존재한다.)

이제 대각화가능하지 않은 행렬도 대각선행렬과 유사한 행렬(block diagonal matrix)인 Jordan 표준형과 닮음(similar)이 되도록 만들 수 있다는 다음 정리를 소개하고, 주어진 행렬의 Jordan 표준형을 구하는 방법에 대하여 알아본다.


그림 10.1.1 $n$차 정사각행렬과 대각화 가능한 행렬

 

[정리 10.1.1] Jordan 표준형(JCF, Jordan canonical form)

 

$A$의 Jordan 표준형(JCF)은 고유값 및 1과 0으로 이루어진 Jordan block들을 대각선성분으로 갖는 block 대각행렬이라고 볼 수 있다. 즉, 임의의 행렬 $A$는 언제나 자신의 JCF라는 block 대각행렬과 유니타리 닮음이라는 의미이다.

위의 정리에서 각 Jordan block $J_k$는 대각선성분을 모두 같은 고유값 $\lambda_i$로 갖는 상삼각행렬(upper triangular matrix)이고, 하나의 고유값 $\lambda_i$에 대응하는 Jordan block은 여러 개일 수도 있다. 특히, $A$가 $n$개의 일차독립인 고유벡터들을 갖는다면 $n$개의 $1\times 1$ Jordan block을 갖는 Jordan 표준형(즉, 대각선행렬)을 갖는다.

또한, 어떤 고유값 $\lambda_i$의 중복도(대수적 중복도, algebraic multiplicity)가 $m_i$이고, 이에 대응하는 $k_i$개 $(k_i \leq m_i)$의 일차독립인 고유벡터들을 갖는다면, 이것을 $\lambda_i$에 대한 기하적 중복도(geometric multiplicity)라 한다[참고: 8장2절 문제 P4]. 따라서 고유값 $\lambda_i$에 대한 기하적중복도는 $\lambda_i$에 대한 고유공간(eigenspace)의 차원과 같은 것이다. $A$는 $\lambda_i$를 대각선성분으로 갖는 $k_i$개의 Jordan block과 또 각각의 다른 고유값 $\lambda_j$들에 대응하는 Jordan block들도 갖게 된다. 그리고 각 $\lambda_j$에 대응하는 모든 Jordan block들의 크기의 합은 $\lambda_j$의 대수적중복도인 $m_j$가 된다. 따라서 각각의 고유값에 대한 대수적 중복도와 기하적 중복도가 모두 같은 행렬에 대한 Jordan 표준형은 대각선행렬이 된다.

이를 정리하면 다음과 같이 요약할 수 있다.

1. 하나의 고유값에 대응하는 Jordan block의 개수는 기하적중복도(geometric multiplicity), 즉 일차독립인 고유벡터들의 개수와 일치한다.

2. Jordan block의 크기는 해당하는 고유값에 대한 고유벡터들의 성질에 의하여 크기가 결정된다. 단 그 크기들의 합은 그 고유값에 대한 대수적 중복도(algebraic multiplicity)가 된다.

3. 만일 행렬 $A$의 모든 고유값의 기하적중복도와 대수적중복도가 같게 되면, 모든 Jordan block은 크기가 $1\times 1$이 되고, 그 개수는 기하적 중복도의 합=대수적중복도의 합=행렬의 크기 만큼이 된다. 즉, 대각선행렬이 되며, 이 경우가 대각화가능한 행렬이 될 필요충분조건이다. (이런 행렬을 Simple 행렬이라고 한다.)

우선 예를 하나 보도록 하자.

 

예제 01.

은 특성방정식으로 $\rm{det}(A- \lambda I)=( \lambda -2)^{4} ( \lambda -3)^{2} \lambda^{2}$을 갖는 어떤 8차 정사각행렬 $A$의 Jordan 표준형이다. 각 고유값의 중복도가 $J_A$의 주대각선에 나타나는 고유값의 개수를 결정한다는 것을 주목하라. 대각선에 고유값 2는 4개, 3은 2개, 0은 2개가 있다. 즉 각 고유값의 대수적중복도는 그 고유값에 대응하는 모든 Jordan block 들의 크기의 합과 일치함을 확인할 수 있다. 각 고유값에 대응하는 Jordan block의 개수는 각 고유값의 기하적중복도이다. ■

어떤 행렬 $A$의 Jordan 표준형 $J_A$는 $P^{-1} A P=J_A$가 되게 하는 가역행렬 $P$를 몰라도, 각 고유값의 중복도와 그 고유값에 대한 고유공간(eigenspace) 안에 있는 일차독립인 고유벡터들의 수 (즉, 고유공간의 차원)에 의하여 대부분은 바로 결정된다. 물론, 경우에 따라 $P^{-1} A P=J_A$되는 행렬 $P$를 구하는 것이 꼭 필요할 때도 있다. 이를 위하여는 [10장 2절]에서 일반화된 고유벡터를 구하는 법을 배운다.

이제, 예를 통하여 Jordan 표준형의 성질과 $J_A$를 구하는 과정을 알아보자.

 

예제 02. 5차의 정사각행렬 $A$가 중복도 5인 고유값 $\lambda$ 하나만을 갖고 $\lambda$에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 단 하나만 갖는다면 $A$의 Jordan 표준형은 다음과 같다.

$J_A=\left[{\begin{array}{ccccc}{\mathit{\lambda}}&{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{\mathit{\lambda}}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{\mathit{\lambda}}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{\mathit{\lambda}}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{\mathit{\lambda}}\end{array}}\right]$

왜냐하면 $A$의 일차독립인 고유벡터는 하나밖에 없으므로 Jordan block이 단 하나이기 때문이다. ■

행렬 $A \in M_n$가 $k$개의 서로 다른 고유값 $\lambda_1 , \lambda_2 , \ldots , \lambda_k$를 갖는다고 할 때, $A$의 Jordan 표준형 $J_A$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$J_A=\left[{\begin{array}{llll}{{A}_{1}^{}}&{0}&{\mathrm{\cdots}}&{0}\\{0}&{{A}_{2}^{}}&{}&{\mathrm{\vdots}}\\{\mathrm{\vdots}}&{}&{\mathrm{\ddots}}&{0}\\{0}&{\mathrm{\cdots}}&{0}&{{A}_{k}^{}}\end{array}}\right]$

여기서 각 $A_i$는 고유값 $\lambda_i$에 대응하는 적당한 크기의 Jordan block들의 block 대각선 행렬이다. 이것을 $J_A$의 block 부분행렬이라 한다. 이제 우리는 각각의 고유값 $\lambda_i$에 대한

$A_i=\left[{\begin{array}{llll}{{J}_{i\mathrm{,}{p}_{1}}^{}}&{0}&{\mathrm{\cdots}}&{0}\\{0}&{{J}_{i\mathrm{,}{p}_{2}}^{}}&{}&{\mathrm{\vdots}}\\{\mathrm{\vdots}}&{}&{\mathrm{\ddots}}&{0}\\{0}&{\mathrm{\cdots}}&{0}&{{J}_{i\mathrm{,}{p}_{{l}_{i}}}^{}}\end{array}}\right]$

의 구조만 알면 $J_A$를 쉽게 구할 수 있게 된다. $J_A$를 구할 때 $\lambda_i$를 감소(또는 증가)하는 값의 순서로 정하고 그 안의 Jordan block들에 block의 크기 순으로 순서를 주면 $J_A$는 유일하게 결정된다.

이제 $A_i$를 쉽게 구하는 방법을 알아보자.

우선, 각 $\lambda_i$ $(i=1, 2, \cdots , k)$에 대하여 $A_i$안의 Jordan block의 개수 $l_i$ $(1 \leq i \leq k)$와 각각의 $J_{i,p_t} \in M_{p_t}$의 크기 $p_t$ $(1 \leq t \leq l_i)$를 구하자. $\lambda_i$에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 $\textrm{x}_{1}, \textrm{x}_{2}, \ldots , \textrm{x}_{l_i}$라 하고, 부호를 단순히 하기 위하여 우선 하나의 고유값에 대하여만 생각하자. 따라서 이 $\lambda_i$를 $\lambda$, $l_i$를 $l$이라 하자. 그런데 $A_i$의 각 Jordan block의 개수 $l$과 각각의 block의 크기 $p_{1} ,p_{2} , \ldots ,p_l$들은 $A- \lambda I$의 어떤 거듭제곱의 계수(rank)를 계산하여 결정한다. 일반성을 잃지 않고 $p_{1} \geq p_{2} \geq \cdots \geq p_l$이라 할 수 있다. 이제 고유값 $\lambda$와 그에 대한 고유공간(eigenspace)의 차원(기하학적 중복도)인 $l$과 $p_t$를 이용하여 $A_i$를 쉽게 구할 수 있는 점들의 배열을 소개하도록 하겠다. 이를 점도표(dot diagram)라 부른다. 점도표는 아래와 같은 규칙으로 정해진다.

1. 점도표는 $l$개의 열에 의하여 이루어진다. (즉, $l$개의 Jordan block)

2. $l$개의 숫자 $p_{1} ,p_{2} , \ldots ,p_l$을 크기순으로 하여 왼쪽에서 오른쪽으로 배열하여 아래와 같이 도표를 만들자. 그러면 이 도표의 $j$번째 열의 점들은 $k_j$개로 이루어진다. (여기서 $k_j$는 $(A-\lambda I)^{k_j} (\textrm{x}_j)=\textrm{0}$되는 첫 번째 $k_j$이다.) 만일 $\textrm{x}_j$가 $j$번째 열의 맨 아래의 점이면, 그 맨 위는 $(A-\lambda I)^{k_j -1} (\textrm{x}_j)$에 대응하는 점이 된다. 그 열의 위에서 두 번째의 점은 $(A-\lambda I)^{k_j -2} (\textrm{x}_j)$에 대응한다.

따라서 $A_i$에 대응하는 점도표는 아래와 같다.

여기서, $\textrm{x}_{1}, \textrm{x}_{2}, \ldots , \textrm{x}_{l}$은 $\lambda_i$에 대응하는 일차독립인 고유벡터들이다. 만일 $r_j$를 점도표에서 $j$번째 행의 점의 개수라 하면, $r_1$은 $1 \times 1$이상의 크기의 Jordan block의 개수이고, $r_2$는 $2 \times 2$이상의 크기의 Jordan block의 개수이며, $r_{p_1}$은 $p_1 \times p_1$이상의 크기의 Jordan block의 개수이다. 따라서, $r_{1} \geq r_{2} \geq \cdots \geq r_{p_l}$임을 알 수 있다. 이 증명은 시각적으로 또는 조합이론(combinatorics)을 이용해야 쉽게 증명된다. 조합론이나 조합적행렬론 시간에 다루며, 여기서는 [정리 10.1.2][정리 10.1.3]으로 증명하고, 예를 통하여 이 사실을 확인해보도록 한다.

 

예제 03. $9 \times 9$행렬 $A_i$는 그 안의 Jordan block의 개수인 수 $l$과 각 Jordan block의 크기인 $p_{1} ,p_{2} , \ldots ,p_l$에 의하여 완전하게 결정된다는 것을 보이기 위하여 $l=4$라 하고 $p_1 = 3, p_2 = 3, p_3 = 2, p_4 = 1$이라 하자. 그러면 block의 크기 순서에 따라

로 유일하게 결정된다. 이것의 점도표를 구하면 $l=4$이고 $p_1 = 3, p_2 = 3, p_3 = 2, p_4 = 1$이므로 $\lambda_i$에 대한 점도표는 아래와 같다. ■

   $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$  (Jordan block의 개수: 4)
   $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$
   $\bullet$ $\bullet$

 

[정리 10.1.2]

 

[정리 10.1.3]

[정리 10.1.3의 증명]

이 정리는 $\lambda_i$에 대한 점도표는 행렬 $A$에 의하여 완전히 결정됨을 보여준다.

 

예제 04. 다음 행렬 $A$의 Jordan 표준형을 구하여라.

$A=\left[{\begin{array}{llll}{2}&{\mathrm{{-}}{1}}&{0}&{1}\\{0}&{3}&{\mathrm{{-}}{1}}&{0}\\{0}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{\mathrm{{-}}{1}}&{0}&{3}\end{array}}\right]$

Ans:

행렬 $A$의 특성방정식은 $\rm{det}(A- \lambda I)=(\lambda-3) (\lambda-2)^3$이므로 는 두 개의 서로 다른 고유값 $\lambda_1$, $\lambda_2$를 갖는다. 여기서 $\lambda_1 =3$은 중복도가 1이고 $\lambda_2 =2$는 (대수적)중복도가 3이다. 따라서 $\lambda_1$에 대응하는 점도표는 1개의 점을 갖고 그에 대한 점도표는

   $\bullet$

이므로, $A_1$은 $1 \times 1$ Jordan block 1개, 즉 $A_1 = [3]$이다.

또, $\lambda_2$에 대응하는 점도표는 3개의 점을 갖는다. 그리고

$r_{1} = 4- \rm{rank} (A-2I)=4- \rm{rank} \left( \left[{\begin{array}{llll}{0}&{\mathrm{{-}}{1}}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{\mathrm{{-}}{1}}&{0}\\{0}&{1}&{\mathrm{{-}}{1}}&{0}\\{0}&{\mathrm{{-}}{1}}&{0}&{1}\end{array}}\right] \right) = 4-2=2$ 이고

$r_2 = \rm{rank} (A-2I) - \rm{rank} [(A-2I)^2] =2-1=1$ 이다.

따라서 $\lambda_2$에 대한 점도표는 다음과 같다.

   $r_1 =2$ : $\bullet$ $\bullet$ (Jordan block의 개수: 2)
   $r_2 =1$ : $\bullet$

따라서 $A_2$는 $2 \times 2$ Jordan block이 1개이고, $1 \times 1$ Jordan block이 1개이다. 즉,

$A_2 = \left[{\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{array}}\right]$

그러므로 행렬 $A$의 Jordan 표준형은 다음과 같다.

$J_A = \left[{\begin{array}{cc}{{A}_{1}}&{0}\\{0}&{{A}_{2}}\end{array}}\right] = \left[{\begin{array}{llll}{3}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{2}\end{array}}\right]$ ■

 

예제 05. 다음 행렬 $A$의 Jordan 표준형을 구하여라.

$A=\left[{\begin{array}{llll}{2}&{\mathrm{{-}}{2}}&{\mathrm{{-}}{2}}&{\mathrm{{-}}{2}}\\{\mathrm{{-}}{4}}&{0}&{\mathrm{{-}}{2}}&{\mathrm{{-}}{6}}\\{2}&{1}&{3}&{3}\\{2}&{3}&{3}&{7}\end{array}}\right]$

 

예제 06. 다음 행렬들의 Jordan 표준형을 구하여라.

(1) $\left[{\begin{array}{cc}{i}&{0}\\{1}&{i}\end{array}}\right]$

(2) $\left[{\begin{array}{ccc}{4}&{1}&{2}\\{0}&{4}&{2}\\{0}&{0}&{4}\end{array}}\right]$

(3) $\left[{\begin{array}{llll}{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{2}\end{array}}\right]$

 

다음 행렬 $A$의 Jordan 표준형을 구하는 Sage 명령어는 다음과 같다.

$A= \left[{\begin{array}{llll}{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{2}\end{array}}\right]$

 

Camille Jordan (1838~1922, France)

$\bullet$ http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Jordan.html

$\bullet$ http://mathworld.wolfram.com/JordanCanonicalForm.html

[참고자료: 이상구교수의 강의실]

$\bullet$ http://matrix.skku.ac.kr/2008-talks/2008-MA-2008-Ch3.html

$\bullet$ http://matrix.skku.ac.kr/2008-talks/2008-MA-Ch3-JCF-partA.html