MT 김신휘 Solving a Linear Ordinal Differential Equation


MT Page 336 Problem 9.5 (선형 미분방정식 풀기)

Solve the system of linear differential equations  with the initial condition , where 

, .

(Citation : Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 336p)

 

Sol)

The unique solution of a system of linear differential equations  with initial condition  is . ( Ref. Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 230-238p )

Let.

 where  : the number of jordan blocks.

Let  be natural numbers such that  is a  matrix.

=> (Ref. Computation of e^A using Jordan Canonical Form, http://math1.skku.ac.kr/home/pub/1448/)

=>  where  and

=>

=>

=> .

 

Sage를 이용해서 인 의 Jordan form 와 transition matrix 를 구하자.

 
A = matrix(QQ,[[2,1,-1],[-3,-1,1],[9,3,-4]])
4
1
A = matrix(QQ,[[2,1,-1],[-3,-1,1],[9,3,-4]])
2
[J,Q] = A.jordan_form(transformation=true)
3
show(J)
4
show(Q)
 
 



이어서 를 구한다.

 
y0 = matrix(QQ, 3, 1, [-1,-1,1])
3
1
y0 = matrix(QQ, 3, 1, [-1,-1,1])
2
c = Q.inverse() * y0
3
show(c)
 
 



그러면 주어진 linear differential equation의 유일한 solution은

이다.

 
var('t')
1
var('t')
2
yt = e^-t * ((c[0][0]+c[1][0]*t+c[2][0]/2*t^2)*Q.transpose()[0] + (c[1][0]+c[2][0]*t)*Q.transpose()[1] + c[2][0]*Q.transpose()[2])
3
show(yt)
 
 




■

(Citation : Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 335p)


Additional Information

jordan form을 이용한 미분방정식의 풀이는 임의의 행렬 에 대해서 가능하다.

그와 다르게 임의의 대각화 가능한 행렬 에 대해서는 보다 간단한 다른 풀이를 할 수 있다.

*  행렬의 대각화를 이용한 미분방정식의 해 

성대 이상구 교수   

                                          



    자연과학과 공학의 많은 문제들은 다음과 같은 일계 미분방정식들의 연립방정식을 푸는 수학적 문제로 바꿀 수 있다.


                                        (1)

여기서,   이다.

   방정식 (1)의 해는 축의 임의의 구간에서 정의된 모든 에 대하여  방정식 (1)을 만족하는 모든 미분가능한 함수들의 개의 순서조 () 이다.

   이 절에서는 식 (1)의 계수행렬 가 대각화가능한 경우에 행렬의 대각화를 이용하여 연립방정식을 푸는 방법에 대하여 알아본다. 가 대각화가능하지 않은 경우는 Jordan표준형을 이용하여 해를 구할 수 있다.  Jordan표준형은 8.4절에서 다룬다.


이라 하면이므로

                                            (2)

로 쓸 수 있다. 식 (2)의 가장 단순한 형태는  가 대각행렬


             

인 경우이다.  이 경우  는 독립적인 개의 연립방정식들로, 다음과 같이 나타내어진다.

                                                (3)

여기서  번째의 방정식인 의 일반해는 ( 는 임의 상수)이므로 방정식 (3)의 일반해는 다음과 같음을 알 수 있다.

                                   (4)

이제, 계수행렬  가 대각화가능할 때, 이러한 과정이 어떻게 이루어지는지 살펴보자. 정리 6.1에서 보았드시 가 대각화가능할 필요충분조건은 가 자신의 고유값 에 대응하는 개의 일차독립인 고유벡터 을 갖는것이다.  이 때

             ,  

이라 하면  이므로  이고,로 치환하면 의 원소들은 상수이므로 이다. 따라서 식 (5)로부터

                    

이고, 다음과 같이 계수행렬이 대각행렬인  새로운 연립미분방정식을 얻는다.

                                             (6)

따라서 식 (6)의 일반해는 식(4)와 같이

            

이다. 그런데 이므로 원래의 미분방정식 의 일반해는

            

이다. 즉,

                    (7)


    이상으로부터 다음 정리를 얻는다.


정리 6.8  대각화가능한 차의 정사각행렬 의 고유값  에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 각각 이라고 하자. 그러면 의 해는 다음과 같다.

                          


【예제 2】 초기조건 을 갖는 다음 연립미분방정식의 해를 구하라. 

                                                     (8)

풀 이   계수행렬

                                 

의 고유값은  이고, 이에 대응하는 의 일차독립인 고유벡터로 각각

                             , 

를 얻을 수 있다. 따라서 정리 6.8에 의하여 이 미분방정식의 일반해는

                          즉,

                    

                                                    

여기에 을 대입하여 를 구하면  이다.  따라서,  식 (8)의 해는 다음과 같다.

                           ¶


【예제 3】    다음 연립미분방정식을 풀어라 

                                            (9)

  풀 이        계수행렬

                               

   의 고유값은 이고, 이에 대응하는 의 일차독립인 고     유벡터로 각각

                       

  를 얻을 수 있다. 따라서 일반해는 다음과 같다.

   

         



일반적으로, 상수계수를 갖는 계 선형미분방정식

                    (10)

에서 

                                              

로 치환하면, 선형미분방정식 (10)을 연립미분방정식 로 변환할 수 있다. 여기서, 계수행렬 와 벡터 는 다음과 같다.

, 

【참  고】위의 행렬 를 다항식  의 동반행렬 (Companion matrix) 이라 한다. 행렬 의 특성 방정식은 바로

           이다. 또, 위의 다항식 같이 최고차항의 계수가 1인 다항식을 모닉(monic)다항식이라고 한다.


【예제 4】     다음 미분방정식을 풀어라 

                                          (11) 


 

풀 이     계수행렬 

              

의  고유값은  이므로  는 대각화가능하고, 이러한 고유값에 대응하는 의 일차독립인 고유벡터로 각각

                    

를 얻을 수 있다. 따라서 에 대하여 의 일반해는 정리 6.8에 의하여

          


이고, 식 (11)의 일반해는  이므로 다음과 같다.

                  ¶

(Citation : 이상구, http://matrix.skku.ac.kr/nla/ODE2/ODE2.htm, 2013.11.25)


선형 미분방정식 y가 실수일 때 ay''+by'+cy=0를 푸는 프로그램도 있다.

선형 미분 방정식 풀이 : http://matrix.skku.ac.kr/sglee/skku-java-out/single_diff.html (이상구, 2013.11.25에 인용)

연립 선형 미분 방정식 x'=ax+by, y'=cx+dy를 푸는 프로그램도 존재한다. 즉, 인 경우다.


연립 선형 미분 방정식 풀이 : http://matrix.skku.ac.kr/sglee/skku-java-out/second_diff.html (이상구, 2013.11.25에 인용)


References

Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 335-336p

이상구, 행렬의 대각화를 이용한 미분방정식의 해 : http://matrix.skku.ac.kr/nla/ODE2/ODE2.htm, 2013.11.25

MT 김신휘 Computation of e^A using Jordan Canonical Form : http://math1.skku.ac.kr/home/pub/1448/

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