2차시 피타고라스 정리

• 과목명: 대학기초수학
• 담당교수: 김영록

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학습개요

학습목표

1. 귀류법에 대해 알아본다.
2. 절대부등식들의 증명에 대해 알아본다.
3. 직접증명법에 대해 알아본다.
4. 피타고라스 정리의 다양한 증명방법에 대해 알아본다.

핵심어

1. 귀류법: 가정에서 결론을 직접 유도하기가 어려운 명제를 증명할 때 사용하는 증명법
2. 수학적 귀납법: 첫번째 명제가 성립하고 $n$번째 명제가 성립하다는 것을 가정하고 $n+1$번째 명제가 성립하면 모든 자연수 $n$에 대하여 명제가 성립하는 것을 보이는 것
3. 절대부등식: 어떤 실수에 대해서도 항상 성립하는 부등식
4. 피타고라스 정리: 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.

학습하기

1. 수학적 귀납법, 귀류법
• 삼단논법, 수학적 귀납법, 정수의 기본성질, 수학적 귀납법: 페아노, $P(n): ~1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb N$, $P(n):~1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\forall n\in \mathbb N$, 수학적 귀납법: 소수는 무한히 많다., 귀류법, 아킬레스와 거북이의 경주, 제논의 역설을 현대적으로 해결, $4k+3$ 형태의 소수가 무한히 많다, $k\in {\mathbb Z}_{\ge 0}$, $\sqrt{2}$는 무리수이다.,
2. 절대부등식
• 절대부등식, 기본 절대부등식, $\dfrac{a+b}{2}\le \sqrt{ab}\le \dfrac{2ab}{a+b}$, $\forall a,b\in \mathbb R$
3. 피타고라스 정리
• 분할법에 의한 증명: GeoGebra 이용, 유클리드 원론 47번째 명제, 닮음을 이용한 피타고라스 정리 증명, 넓이를 이용한 피타고라스 정리 증명, 피타고라스 정리의 변형, Polya's Theorem: GeoGebra 이용, 히포크라테스의 초승달: GeoGebra 이용

이 강의의 관련 수학자들

1. 페아노(Giuseppe Peano, 1858-1932)
• 이탈리아의 수학자이자 철학자이다. 집합론의 발전에 크게 기여하였다. 수리논리학에서 페아노 공리계는 19세기 페아노가 제안한, 자연수 체계에 대한 공리들을 말한다. 그동안 이 공리들은 거의 변형되지 않은 형태로 수론의 일관성 및 완전성 연구에 사용되었다.
2. 피타고라스(Phytagoras, B.C. 508-B.C. 500)
• 만물의 근원이 숫자라고 주장했다. 피타고라스가 말하는 수란 자연수를 말하는데, 자연수 계열 연속항의 임의의 항까지의 합은 삼각형수이고, 마찬가지로 기수 계열의 합은 정사각형수, 우수 계열의 합은 직사각형수라는 방법으로 정의하였다. 완전수, 인수의 합, 비례와 평균을 연구하였다. 피타고라스의 정리에서 모순되는 문제가 발생하였다. 한 변을 1이라 할 때 대각선의 길이는 가 되는데 이는 약분이 불가능한 무리수이다.

연습하기

1. $P(n): ~1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb N$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

[증명] $P(1)$: 좌변=1, 우변=$\dfrac{1(1+1)}{2}=1 \quad\therefore$ 좌변=우변.
$P(2)$: 좌변=1+2=3, 우변=$\dfrac{2(2+1)}{2}=3 \quad\therefore$ 좌변=우변. $\cdots$
$P(n)$: 좌변=$1+2+3+\cdots+n$, 우변=$\dfrac{n(n+1)}{2} $, $\therefore$ 좌변=우변.
$P(n+1)$: 좌변=$\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$, 우변=$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$, $\therefore$ 좌변=우변.
$\therefore ~P(n): ~1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb N$


2. $P(n):~1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\forall n\in \mathbb N$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

[증명] (1) $n=1$일 때, 좌변=1, 우변=$1^2=1$ $\therefore$ 좌변=우변, $\therefore ~n=1$일 때, $P(1)$이 성립
(2) $n=k$일 때 $P(k)$가 성립한다고 가정하면 $1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$ 이 등식의 양변에 $2k+1$을 더하면
$1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)$
$1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2$
$P(k+1)$이 성립한다.
(1), (2)에 의하여 $P(n):~1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\forall n\in \mathbb N$


3. 소수는 무한히 많음을 귀류법으로 증명하여라.

[증명] 소수가 유한개 있다고 가정하자. 그러면 유한개 소수를 크기 순으로 다음과 같이 나열할 수 있다: $p_1,p_2,\cdots, p_n$. 이제 자연수 $q=p_1p_2\cdots p_n+1$을 생각해 보자. 그러면, $q$는 소인수 $p\le q$를 가질 것이다.
또한, 소인수 $p$는 위의 $p_i$들 중 어떤 것과도 다른 소수여야 한다. 왜냐하면, $p$가 $p_i$들 중 하나라면, $p$는 $q$의 약수이자 소수들의 곱 $p_1p_2\cdots p_n$의 약수도 되므로, 두 수의 차 $q-p_1p_2\cdots p_n=1$의 약수도 되어야 한다.
하지만 이는 불가능하므로 소수는 무한히 많다.


4. $4k+3~(k\in {\mathbb Z}_{\ge 0})$ 형태의 소수는 무한히 많음을 귀류법으로 증명하여라.

[증명] $4k+3$ 형태의 소수가 유한개 있다고 가정하자. 그러면 이것을 $3, 7, 11, 19, \cdots, p$라 하자.
$n=4(7\cdot11\cdot19\cdots~p)+3$에서 $7, 11, 19,\cdots, p$는 3의 배수가 아니므로 $n$은 $7, 11, 19,\cdots, p$로 나누어 떨어지지 않는다. 또, 3은 $4, 7, 11, 19,\cdots, p$로 나누어 떨어지지 않으므로 $n$은 3으로 나눈어 떨어지지 않는다. 따라서 $n$은 $3, 7, 11, 19,\cdots, p$로 나누어 떨어지지 않는다.
$n$의 모든 소인수는 $4k+1$ 또는 $4k+3$ 형태의 정수이고, $4k+1$ 형태의 두 정수 $4a+1, 4b+1(a,b$는 정수)를 곱하면 $(4a+1)(4b+1)=4(4ab+a+b)+1$, $4ab+a+b$이 정수이므로 $(4a+1)(4b+1)$는 $4k+1$의 형태의 정수가 된다.
그러므로 $n$의 모든 소인수가 $4k+1$ 형태이면, $n$도 $4k+1$ 형태이다. 이것은 가정에 모순이 되므로 $n$은 $4k+3$ 형태의 소인수 $q$를 갖는다. $n$은 $q$로 나누어 떨어지므로 $q$는 $4k+3$ 형태가 아닌 소수이다. 이 것은 가정에 모순이 되므로 결국, $4k+3$ 형태의 소수가 무한히 많다.


5. $\sqrt{2}$가 유리수가 아님을 귀류법으로 증명하여라.

[증명] $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하자. 그러면 $\sqrt{2}$를 다음과 같이 나타낼 수 있다: $$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}~(\text{단}, ~a,b\text{는 서로 소인 정수}, b\neq 0)$$ 그러므로 $a=\sqrt{2}b$에서 양변을 제곱하면 $a^2=2b^2$. $a^2$이 짝수이므로 $a$도 짝수가 된다.
그러므로 $a=2k$ (단, $k$는 정수)라고 하면 $(2k)^2=2b^2$, 그러므로 $b^2=2k^2$, $b^2$이 짝수이므로 $b$도 짝수이다.
따라서, $a,b$는 모두 짝수가 되어 $a,b$가 서로소라는 가정에 모순이 되므로 $\sqrt{2}$는 유리수가 아닌 무리수이다.


6. 3이 아닌 실수 $x$에 대하여 명제 "$\dfrac{5x-2}{x-3}$가 무리수이면 $x$는 무리수이다." 를 다음과 같이 증명하였다. 다음 증명 과정의 ( ) 안에 들어갈 것으로 옳지 않은 것은? [증명]: 주어진 명제가 참임을 보이려면
   
   "$x$가 ( 가 )이면 $\frac{5x-2}{x-3}$는 ( 나 )이다."
   가 ( 다 )임을 보이면 된다. $x=$( 라 )($m,n$은 정수, $n\neq 0$)라 하면 $\dfrac{5x-2}{x-3}= \dfrac{5m-2n}{m-3n}$이고, $x\neq 3$이므로 $m-3n\neq 0$이다. 따라서 $\dfrac{5x-2}{x-3}$는 유리수이다.
   
   (a) 가 : 유리수
   (b) 나 : 유리수
   (c) 다 : 거짓
   (d) 라 : $\dfrac{m}{n}$

[해답] (a) 가 : 유리수
(b) 나 : 유리수
(c) 다 : 참
(d) 라 : $\dfrac{m}{n}$

7. 다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $$1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}=\dfrac{1}{2}(3^n-1)$$이 성립함을 증명하는 과정이다.
   
   [증명]: (i) $n=1$일 때, $$ (좌변)=1,~(우변)=\dfrac{1}{2}(3^1-1)=1 $$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.
   
   (ii) $n=k$일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 $$ 1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{k-1}=\dfrac{1}{2}(3^k-1) $$ 이고, 식의 양변에 ( (가) )을 더하면 \begin{align*} &1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{k-1}+\text{( (가) )}\\ &=\dfrac{1}{2}(3^k-1)+\text{( (가) )}\\ &=\dfrac{1}{2}((\text{ (나) })-1) \end{align*} 그러므로 $n=$((다))일 때에도 성립한다. (i), (ii)에 의하여 주어진 등식은 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.
   
   위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
   (a) (가) $3^k$, (나) $3^k$, (다) $k+1$
   (b) (가) $3^k$, (나) $3^{k+1}$, (다) $k+1$
   (c) (가) $3^{k+1}$, (나) $3^k$, (다) $2k$
   (d) (가) $3^{k+1}$, (나) $3^{k+1}$, (다) $2k$

[해답] (b)

[해설] (가) $3^k$, (나) $3^{k+1}$, (다) $k+1$

8. 다음은 $\log_{10}5$가 무리수임을 증명한 것이다.
   
   [증명]: $\log_{10}5$가 유리수라고 가정하면 $0<\log_{10}5<1$이므로 $\log_{10}5=\dfrac{n}{m}~(m,n$은 서로소인 자연수, $m>n$)으로 놓을 수 있다. 그러므로 $$ ((가))=5,2^n=5^{((나))} $$ 이다. 이때, $n, ((나))$은 자연수이므로 $2^n$은 짝수, $5^{((나))}$은 홀수가 되어 모순이다. 따라서 $\log_{10}5$는 무리수이다.
   
   위의 증명과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?
   (a) (가) $10^{\frac{n}{m}}$, (나) $m$
   (b) (가) $10^{\frac{n}{m}}$, (나) $m-n$
   (c) (가) $\left(\dfrac{1}{10}\right )^{\frac{n}{m}}$, (나) $m$
   (d) (가) $\left(\dfrac{1}{10}\right )^{\frac{n}{m}}$, (나) $m-n$

[해답] (b)

[해설] (가) $10^{\frac{n}{m}}$, (나) $m-n$

9. 직각삼각형의 세 변의 길이가 각각 $a,a+d, a+2d$일 때, $\dfrac{a}{d}$의 값은? (단, $a>0, d>0$)
   (a) $\sqrt{2}$
   (b) $3$
   (c) $2\sqrt{2}$
   (d) $3\sqrt{5}$

[해답] (b)

[해설] 피타고라스 정리에 의해서 $(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2$을 정리하면 $a^2-2ad-3d^2=0$. 양변을 $d^2$으로 나누면 $$\left(\dfrac{a}{d}\right)^2-2\left(\dfrac{a}{d}\right)-3=0, ~~\therefore\dfrac{a}{d}=-1~~\mbox{또는}~~3$$ $a>0, d>0$이므로 $\dfrac{a}{d}=3$

10. 절대부등식 $\dfrac{a+b}{2}\le \sqrt{ab}\le \dfrac{2ab}{a+b}$를 지오지브라를 사용하여 증명하여라.