10차시 도함수와 함수의 그래프

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학습개요

일계 및 이계 도함수와 함수의 그래프의 관계를 알아본다.
  1. 일계 도함수 및 이계 도함수를 통해 함수의 그래프를 살펴본다.
  2. 그래프 그리기 길잡이를 통해 함수의 그래프를 그려 본다.

학습목표

  1. 증가 및 감소 테스트와 일계 도함수 테스트를 설명할 수 있다.
  2. 볼록 테스트와 이계 도함수 테스트를 설명할 수 있다.
  3. 그래프 그리기 길잡이를 이용해 함수의 그래프를 그릴 수 있다.

학습하기

  1. 일계 도함수와 함수의 그래프
    • 증가 및 감소 테스트, 일계 도함수 테스트
  2. 이계 도함수와 함수의 그래프
    • 볼록과 변곡점, 볼록 테스트, 이계 도함수 테스트
  3. 함수의 그래프 그리기
    • 그래프 그리기 길잡이, Wolfram|Alpha로 그래프 그리기

연습하기

  • 1. 함수 $f(x)=(x^2-1)^3$에 대해 (a) 증가 및 감소하는 구간, (b) 위로 볼록 및 아래로 볼록한 구간, (c) 변곡점, (d) 극댓값과 극솟값을 찾고 Wolfram|Alpha로 그래프를 그려 확인하라. [1, p.229]
  • [해답] (a) $f'(x)=6x(x^2-1)^2$이므로

    d/dx (x^2-1)^3
    구간$x$$(x^2-1)^2$$f'(x)$$f$
    $x\lt0$$-$$+$$-$감소
    $x\gt0$$+$$+$$+$증가

    (b) $f''(x)=6(x-1)(x+1)(5x^2-1)$이므로
    d^2/dx^2 (x^2-1)^3
    구간$x-1$$x+1$$5x^2-1$$f''(x)$$f$
    $x\lt-1$$-$$-$$+$$+$아래로 볼록
    $-1\lt x\lt-\frac{1}{\sqrt{5}}$$-$$+$$+$$-$위로 볼록
    $-\frac{1}{\sqrt{5}}\lt x\lt\frac{1}{\sqrt{5}}$$-$$+$$-$$+$아래로 볼록
    $\frac{1}{\sqrt{5}}\lt x\lt1$$-$$+$$+$$-$위로 볼록
    $x\gt1$$+$$+$$+$$+$아래로 볼록

    (c) 변곡점은 $(\pm1,0)$과 $(\pm\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{64}{125})$이고, (d) 일계 도함수 테스트에 의해 극솟값은 $f(0)=-1$이다.
    inflection points of (x^2-1)^3
    local extrema (x^2-1)^3
    plot (x^2-1)^3
      




  • 2. 함수 $g(x)=\dfrac{x^2}{(x-2)^2}$에 대해 (a) 증가 및 감소하는 구간, (b) 위로 볼록 및 아래로 볼록한 구간, (c) 변곡점, (d) 극댓값과 극솟값을 찾고 Wolfram|Alpha로 그래프를 그려 확인하라. [1, p.229]
  • [해답] (a) $g'(x)=\dfrac{4(-x)}{(x-2)^3}$이므로

    d/dx x^2/(x-2)^2
    구간$-x$$(x-2)^3$$g'(x)$$g$
    $x\lt0$$+$$-$$-$감소
    $0\lt x\lt2$$-$$-$$+$증가
    $x\gt2$$-$$+$$-$감소

    (b) $g''(x)=\dfrac{8(x+1)}{(x-2)^4}$이므로
    d^2/dx^2 x^2/(x-2)^2
    구간$x+1$$(x-2)^4$$g''(x)$$g$
    $x\lt-1$$-$$+$$-$위로 볼록
    $-1\lt x\lt2$$+$$+$$+$아래로 볼록
    $x\gt2$$+$$+$$+$아래로 볼록

    (c) 변곡점은 $(-1,\frac{1}{9})$이고, (d) 일계 도함수 테스트에 의해 극솟값은 $g(0)=0$이다.
    inflection points of x^2/(x-2)^2
    local extrema x^2/(x-2)^2
    plot x^2/(x-2)^2
      




  • 3. 그래프 그리기 길잡이와 Wolfram|Alpha를 이용해 $f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^3+1}$의 그래프를 그려라. [1, p.236]
  • [해답] (a) 정의역은 $x\neq-1$, 즉 $(-\infty,-1)\cup(-1,\infty)$이다.

    domain of (x^3-1)/(x^3+1)
    (b) $x$절편은 $1$이고, $y$절편은 $f(0)=-1$이다.
    intercepts of (x^3-1)/(x^3+1)
    (c) 우함수, 기함수, 주기 함수 모두 아니다.
    parity of (x^3-1)/(x^3+1)
    periodicity of (x^3-1)/(x^3+1)
      
    (d) 수평 점근선은 $y=1$이고, 수직 점근선은 $x=-1$이다.
    asymptotes of (x^3-1)/(x^3+1)
    (e) $f'(x)=\dfrac{6x^2}{(x^3+1)^2}$이고, 임계점은 $x=0$이다. 또한 $f'(x)\geq0$이므로 정의역의 모든 구간에서 증가한다.
    d/dx (x^3-1)/(x^3+1)
    critical points of (x^3-1)/(x^3+1)
      
    (f) 최댓값과 최솟값은 없고, 일계 도함수 테스트에 의해 극댓값과 극솟값도 없다.
    extrema of (x^3-1)/(x^3+1)
    (g) $f''(x)=\dfrac{12(-x)(2x^3-1)}{(x^3+1)^3}$이고, 변곡점은 $(0,-1)$과 $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}},-\frac{1}{3})$이다.
    구간$-x$$2x^3-1$$(x^3+1)^3$$f''(x)$$f$
    $x\lt-1$$+$$-$$-$$+$아래로 볼록
    $-1\lt x\lt0$$+$$-$$+$$-$위로 볼록
    $0\lt x\lt\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$-$$-$$+$$+$아래로 볼록
    $x\gt\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$-$$+$$+$$-$위로 볼록

    d^2/dx^2 (x^3-1)/(x^3+1)
    inflection points of (x^3-1)/(x^3+1)
      
    (h) Wolfram|Alpha로 그래프 그리기
    plot (x^3-1)/(x^3+1) x=-3..3




  • 4. 그래프 그리기 길잡이와 Wolfram|Alpha를 이용해 $g(x)=\sqrt{\dfrac{x}{x-5}}$의 그래프를 그려라. [1, p.236]
  • [해답] (a) 정의역은 $(-\infty,0]\cup(5,\infty)$이다.

    domain of sqrt(x/(x-5))
    (b) $x$절편은 $0$이고, $y$절편은 $g(0)=0$이다.
    intercepts of sqrt(x/(x-5))
    (c) 우함수, 기함수, 주기 함수 모두 아니다.
    parity of sqrt(x/(x-5))
    periodicity of sqrt(x/(x-5))
      
    (d) 수평 점근선은 $y=1$이고, 수직 점근선은 $x=5$이다.
    asymptotes of sqrt(x/(x-5))
    (e) $g'(x)=-\dfrac{5}{2(x-5)^2\sqrt{\frac{x}{x-5}}}$이다. 또한 $g'(x)\leq0$이므로 정의역의 모든 구간에서 감소한다.
    d/dx sqrt(x/(x-5))
    critical points of sqrt(x/(x-5))
      
    (f) 최댓값은 없고 최솟값은 $g(0)=0$이다. 일계 도함수 테스트에 의해 극댓값과 극솟값은 없다.
    extrema of sqrt(x/(x-5))
    (g) $g''(x)=\dfrac{5(4x-5)}{4(x-5)^4(\frac{x}{x-5})^{3/2}}$이고, 변곡점은 없다.
    구간$4x-5$$(x-5)^4$$(\frac{x}{x-5})^{3/2}$$g''(x)$$g$
    $x\leq0$$-$$+$$+$$-$위로 볼록
    $x\gt5$$+$$+$$+$$+$아래로 볼록

    d^2/dx^2 sqrt(x/(x-5))
    inflection points of sqrt(x/(x-5))
      
    (h) Wolfram|Alpha로 그래프 그리기
    plot sqrt(x/(x-5)) x=-5..10




    정리하기

    1. (증가 및 감소 테스트) 일계 도함수가 $0$보다 큰 구간에서 함수는 증가하고, $0$보다 작은 구간에서 감소한다.
    2. (일계 도함수 테스트) 연속 함수의 임계점에서 일계 도함수의 부호가 양에서 음으로 변하면 그 점에서 극댓값을 가지고, 음에서 양으로 변하면 극솟값을 가진다. 대신 부호가 변하지 않으면 아무런 극값도 가지지 않는다.
    3. (볼록 테스트) 이계 도함수가 $0$보다 큰 구간에서 함수는 아래로 볼록하고, $0$보다 작은 구간에서 위로 볼록하다.
    4. (이계 도함수 테스트) 이계 도함수 $f''$이 점 $c$ 근처에서 연속일 때, $f'(c)=0$이고 $f''(c)\gt0$이면 $f$는 극솟값을 가지고, $f'(c)=0$이고 $f''(c)\lt0$이면 $f$는 극댓값을 가진다.
    5. 함수의 그래프를 그릴 때는 정의역, 절편, 대칭성, 점근선, 증가 및 감소, 극댓값과 극솟값, 볼록과 변곡점을 살펴야 한다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    11차시에서는 최적화 문제를 해결하는 방법과 역도함수를 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.