11차시 최적화 문제와 역도함수

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학습개요

최적화 문제를 해결하는 방법과 역도함수를 알아본다.
  1. 실생활에 관련된 최적화 문제들을 단계별로 접근해 해결하는 방법을 알아본다.
  2. 역도함수를 알아보고 미분방정식 및 부정적분과의 관계를 살펴본다.

학습목표

  1. 최적화 문제들을 단계별로 접근해 해답을 구할 수 있다.
  2. 역도함수와 미분방정식 및 부정적분과의 관계를 설명할 수 있다.

학습하기

  1. 최적화 문제
    • 단계별 접근, 부피가 가장 큰 박스 만들기, 제작 비용이 가장 작은 캔 만들기, 가장 가까운 곡선 위의 점 구하기, 시간이 가장 적게 걸리는 경로 구하기, 넓이가 가장 큰 내접 사각형 구하기, 접히는 선을 가장 짧게 만드는 종이 접기
  2. 역도함수
    • 역도함수의 정의, 모든 역도함수들은 상수 차이가 난다, 미분방정식과 일반 역도함수, 부정적분과 일반 역도함수

연습하기

  • 1. 한 변의 길이가 $L$인 정삼각형에 내접하는 직사각형들 중 한 변이 정삼각형의 변 안에 놓여 있으면서 넓이가 가장 큰 직사각형을 Wolfram|Alpha를 이용해 구하라. [1, p.245]
  • [해답] (a) 알고 있는 양은 정삼각형의 한 변의 길이 $L$이다. (b) 변수는 정삼각형의 변 안에 놓여 있는 직사각형의 변의 길이 $x$와 그렇지 않은 변의 길이 $y$이다. (c) 정삼각형의 높이를 $h$라 두면 삼각형의 닮음비에 의해 $\dfrac{h-y}{x}=\dfrac{h}{L}$이다. 그런데 피타고라스의 정리에 의해 $h^2+(\frac{L}{2})^2=L^2$이므로 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}L$이고, 관계식은 $(h-y)L=hx$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{(h-y)L}{h}=\dfrac{(\frac{\sqrt{3}}{2}L-y)L}{\frac{\sqrt{3}}{2}L}=L-\frac{2}{\sqrt{3}}y$이다. 따라서 (d) 최적화해야 할 양은 직사각형의 넓이 $A=xy=(L-\frac{2}{\sqrt{3}}y)y$이고, $y$의 범위는 $(0,\frac{\sqrt{3}}{2}L)$이다. (e) Wolfram|Alpha를 이용해 최댓값을 구하면 $y=\frac{\sqrt{3}}{4}L$이고, 이때 $x=L-\frac{2}{\sqrt{3}}y=\frac{1}{2}L$이다.

    maximize (L-2/sqrt(3)y)y where 0<y<sqrt(3)L/2




  • 2. 반지름이 2km인 원형 호수의 지점 $A$에서 걷거나 배를 타서 반대편 지점 $C$에 도착하려 한다. 걷는 속도는 시속 4km이고 배를 타고 가는 속도는 시속 2km라고 할 때 가장 빨리 도착하는 경로를 Wolfram|Alpha를 이용해 구하라. [1, p.247]
  • [해답] 배에서 내리는 지점을 $B$라고 하고 호수의 중점을 $O$라고 하자. (a) 알고 있는 양은 원의 반지름 $2$이다. (b) 각 $\angle BAC$를 변수 $\theta$로 두면, 삼각형 $ABC$가 직각 삼각형이므로 $AB$의 길이는 $4\cos\theta$이다. 또한 삼각형 $ABO$가 이등변 삼각형이므로 각 $\angle BOC=\pi-\angle AOB=\pi-(\pi-2\theta)=2\theta$이고, 호 $BC$의 길이는 $4\theta$가 된다. 따라서 (c) 최적화해야 할 양은 시간 $T=\dfrac{4\cos\theta}{2}+\dfrac{4\theta}{4}=2\cos\theta+\theta$이고, $\theta$의 범위는 $[0,\frac{\pi}{2}]$이다. (e) Wolfram|Alpha를 이용해 최솟값을 구하면 $\theta=\frac{\pi}{2}$이므로 배를 타지 않고 반대 지점까지 걸어서 가는 것이 가장 빨리 도착한다.

    minimize 2cos(theta)+theta where 0<=theta<=pi/2




  • 3. 그래프에서 함수 $f$의 역도함수를 찾고 그 이유를 설명하라. [1, p.260]
  • [해답] 함수 $f$의 역도함수를 $F$라 하면 $F'=f$이므로 $f(x)=0$인 점에서 역도함수 $F$는 수평 접선을 가져야 한다. 이러한 그래프는 (a) 또는 (b)이다. 그런데 이 점 왼쪽에서 $f$의 함숫값의 부호는 양이고, 오른쪽에서 함숫값의 부호가 음이므로 역도함수 $F$의 접선의 기울기를 생각하면 $F$의 그래프는 (a)가 되어야 한다.




  • 4. 함수 $f$의 그래프가 점 $(1,6)$을 지나고 점 $(x,f(x))$에서 접선의 기울기가 $2x+1$일 때 함숫값 $f(2)$를 구하라. [1, p.260]
  • [해답] 함수 $f$의 미분계수, 즉 접선의 기울기가 $2x+1$이므로, 역도함수 $x^2+x+C$는 함수 $f$가 된다. 그런데 $f(1)=6$이므로 $(1)^2+(1)+C=2+C=6$ $\Rightarrow$ $C=4$이다. 따라서 $f(x)=x^2+x+4$이고, 함숫값 $f(2)=(2)^2+2+4=10$이다.




    정리하기

    1. 최적화 문제를 푸는 단계별 접근 방법은 문제를 이해하고, 그림을 그리고, 변수를 도입해서 수식을 완성한 다음, 도함수를 이용해 최대 최솟값을 찾는 것이다.
    2. 단계별 접근 방법에서 일단 수식을 완성하면, Wolfram|Alpha를 이용해 최대 최솟값을 쉽게 구할 수 있다.
    3. 구간에 들어있는 모든 $x$에 대해 $F'(x)=f(x)$가 성립하는 함수 $F$를 그 구간에서 $f$의 역도함수라 한다.
    4. 어떤 구간에서 함수 $F$가 $f$의 역도함수라면, $f$의 (모든 역도함수들을 모은) 일반 역도함수는 $F(x)+C$이다. (단, $C$는 임의의 상수)
    5. 함수 $f$의 일반 역도함수 $y=F(x)+C$는 미분방정식 $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$의 일반해가 되고, 또한 $f$의 부정적분 $\displaystyle\int f(x)\,dx$이 된다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    12차시에서는 정적분의 원리와 미적분학의 기본정리를 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.