12차시 정적분

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학습개요

정적분의 원리와 미적분학의 기본정리를 알아본다.
  1. 넓이의 개념을 통해 정적분의 원리를 알아본다.
  2. 미적분학의 기본정리를 통해 미분과 적분의 관계를 살펴본다.

학습목표

  1. 넓이의 개념을 통해 정적분의 원리를 설명할 수 있다.
  2. 미적분학의 기본정리를 이용해 미분과 적분의 관계를 설명하고, 정적분을 계산할 수 있다.

학습하기

  1. 정적분
    • 정적분의 정의, 연속 함수는 적분가능하다, 정적분은 함수의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이다, 정적분의 성질
  2. 미적분학의 기본정리
    • 미적분학의 기본정리 파트 1 & 2, 트랙 변경 곡선, 오일러 소용돌이 곡선, 프레넬 함수, 정적분에 대한 평균값 정리

연습하기

  • 1. 넓이와 정적분의 관계를 이용해 정적분을 구하라. [1, p.291]
    (a) $\displaystyle\int_0^2 g(x)\,dx$ (b) $\displaystyle\int_2^6 g(x)\,dx$ (c) $\displaystyle\int_0^7 g(x)\,dx$
  • [해답] (a) $\displaystyle\int_0^2 g(x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2=4$
    (b) $\displaystyle\int_2^6 g(x)\,dx=-\frac{1}{2}\pi(2)^2=-2\pi$
    (c) $\displaystyle\int_0^7 g(x)\,dx=\int_0^2 g(x)\,dx+\int_2^6 g(x)\,dx+\int_6^7 g(x)\,dx=4-2\pi+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}-2\pi$




  • 2. 미적분학의 기본정리를 이용해 정적분을 구하고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.300]
    (a) $\displaystyle\int_0^1x(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x})\,dx$ (b) $\displaystyle\int_1^9\dfrac{3x-2}{\sqrt{x}}\,dx$ (c) $\displaystyle\int_0^{3\pi/2}|\sin x|\,dx$
  • [해답] (a) $\displaystyle\int_0^1x(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x})\,dx=\int_0^1(x^{4/3}+x^{5/4})\,dx=\Bigl[\tfrac{3}{7}x^{7/3}+\tfrac{4}{9}x^{9/4}\Bigr]_0^1=\left(\tfrac{3}{7}+\tfrac{4}{9}\right)-0=\frac{55}{63}$

    integrate x(cbrt(x)+x^(1/4)) dx, x=0..1
    (b) $\displaystyle\int_1^9\dfrac{3x-2}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^9(3x^{1/2}-2x^{-1/2})\,dx=\Bigl[3\cdot\tfrac{2}{3}x^{3/2}-2\cdot2x^{1/2}\Bigr]_1^9=\Bigl[2x^{3/2}-4x^{1/2}\Bigr]_1^9=(54-12)-(2-4)=44$
    integrate (3x-2)/sqrt(x) dx, x=1..9
    (c) $\displaystyle\int_0^{3\pi/2}|\sin x|\,dx=\int_0^{\pi}\sin x\,dx+\int_{\pi}^{3\pi/2}(-\sin x)\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi}+\Bigl[\cos x\Bigr]_{\pi}^{3\pi/2}=1-(-1)+0-(-1)=3$
    integrate |sin(x)| dx, x=0..3pi/2




  • 3. 다음 정적분 계산을 Wolfram|Alpha를 이용해 확인하고, 무엇이 잘못되었는지 설명하라. [1, p.300]
    $\displaystyle\int_{-1}^3\dfrac{1}{x^2}\,dx = \Bigl[-\dfrac{1}{x}\Bigr]_{-1}^3=-\dfrac{4}{3}$
  • [해답] Wolfram|Alpha로 확인하면 정적분이 존재하지 않는다. 함수 $\dfrac{1}{x^2}$이 $x=0$에서 무한 불연속이기 때문에 미적분학의 기본정리를 이용해 정적분을 구할 수 없다.

    integrate 1/x^2 dx, x=-1..3




  • 4. 함수 $f(x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{1+t+t^2}\,dt$가 아래로 볼록인 구간을 찾아라. [1, p.310]
  • [해답] 미적분학의 기본정리에 의해 $f'(x)=\dfrac{1}{1+x+x^2}$이고 $f''(x)=\dfrac{-(1+2x)}{(1+x+x^2)^2}$이다. 볼록 테스트에 의하면 아래로 볼록인 구간은 $f''(x)\gt0$인 구간이므로 $1+2x\lt0$, 즉 $(-\infty,-\frac{1}{2})$이다.




    정리하기

    1. 닫힌 구간 $[a,b]$에서 함수 $f$의 정적분은 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim\limits_{\max\Delta x_i\to0}\bigl[f(x_1^*)\Delta x_1+\dotsb+f(x_n^*)\Delta x_n\bigr]$이다.
    2. 닫힌 구간 $[a,b]$에서 함수 $f$가 연속이거나 점프 불연속인 점이 유한 개뿐이라면 $f$는 적분가능하다고 한다.
    3. (미적분학의 기본정리 파트 2) 함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 연속일 때, 어떤 역도함수 $F$가 주어져도 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$이다.
    4. (미적분학의 기본정리 파트 1) 함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 연속일 때, 모든 $x\in[a,b]$에 대해 $g(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$로 정의된 함수 $g$는 $f$의 역도함수, 즉 $g'(x)=f(x)$이다.
    5. 함수 $f$가 연속인 구간 $[a,b]$ 안에 함수 $f$의 평균 $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$을 함숫값으로 가지는 점 $c$가 적어도 하나 존재한다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    13차시에서는 역함수의 성질을 살펴보고, 로그 함수 및 지수 함수를 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.