13차시 로그 함수와 지수 함수

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학습개요

역함수의 성질을 살펴보고, 로그 함수 및 지수 함수를 알아본다.
  1. 정적분을 이용해 로그 함수를 정의한다.
  2. 역함수가 존재하기 위한 조건과 역함수의 성질 및 역함수의 미분을 살펴본다.
  3. 로그 함수의 역함수로 지수 함수를 정의한다.

학습목표

  1. 정적분을 이용해 로그 함수를 설명할 수 있다.
  2. 역함수의 정의와 역함수의 성질을 설명하고 역함수의 미분을 계산할 수 있다.
  3. 로그 함수의 역함수로 지수 함수를 설명할 수 있다.

학습하기

  1. 로그 함수
    • 자연 로그의 정의, 미분과 적분, 성질, 그래프, 삼각 함수의 부정적분
  2. 역함수
    • 역함수의 정의, 일대일이면 역함수가 존재한다, 역함수의 그래프, 역함수의 연속과 미분
  3. 지수 함수
    • 자연 지수 함수의 정의, 미분과 적분, 성질, 그래프, 일반 지수 함수, 일반 로그 함수, 로그 미분법

연습하기

  • 1. $(f^{-1})'(a)$를 찾아라. [1, p.167]
    (a) $f(x)=x^3+x+1$, $a=1$ (b) $f(x)=3+x^2+\tan\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$, $a=3$ (c) $f(x)=\sqrt{x^3+x^2+x+1}$, $a=2$
  • [해답] (a) $f(0)=1$이므로 $f^{-1}(1)=0$이고, $f'(x)=3x^2+1$이다. 따라서 $(f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(1))}=\dfrac{1}{f'(0)}=1$이다.
    (b) $f(0)=3$이므로 $f^{-1}(3)=0$이고, $f'(x)=2x+\dfrac{\pi}{2}\sec^2\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$이다. 따라서 $(f^{-1})'(3)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(3))}=\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac{2}{\pi}$이다.
    (c) $f(1)=2$이므로 $f^{-1}(2)=1$이고, $f'(x)=\dfrac{3x^2+2x+1}{2\sqrt{x^3+x^2+x+1}}$이다. 따라서 $(f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(2))}=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{2}{3}$이다.




  • 2. 도함수를 구하고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.174]
    (a) $f(x)=\log_2(1-3x)$ (b) $g(x)=10^{1-x^2}$ (c) $h(x)=\ln(e^{-x}+xe^{-x})$
  • [해답] (a) $f'(x)=\dfrac{-3}{(1-3x)\ln2}=\dfrac{-3}{\ln2-x\ln8}$

    d/dx log_2(1-3x)
    (b) $g'(x)=10^{1-x^2}(\ln10)\cdot(-2x)=-2x(\ln 10)10^{1-x^2}$
    d/dx 10^(1-x^2)
    (c) $h(x)=\ln(e^{-x}(1+x))=\ln(e^{-x})+\ln(1+x)=-x+\ln(1+x)$이므로 $h'(x)=-1+\dfrac{1}{1+x}=-\dfrac{x}{1+x}$
    d/dx ln(e^(-x)+xe^(-x))




  • 3. 로그 미분법을 이용해 도함수를 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.175]
    (a) $y=\sqrt{x}e^{x^2}(x^2+1)^{10}$ (b) $y=x^{\cos x}$ (c) $y=(\cos x)^x$
  • [해답] (a) $\ln y=\ln\sqrt{x}+\ln e^{x^2}+\ln(x^2+1)^{10}$ $\Rightarrow$ $\ln y=\frac{1}{2}\ln x+x^2+10\ln(x^2+1)$ $\Rightarrow$ $\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}+2x+10\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}$이므로 $y'=\sqrt{x}e^{x^2}(x^2+1)^{10}\left(\dfrac{1}{2x}+2x+\dfrac{20x}{x^2+1}\right)=\sqrt{x}e^{x^2}(x^2+1)^{10}\left(\dfrac{x^2+1+4x^2(x^2+1)+40x^2}{2x(x^2+1)}\right)=\dfrac{e^{x^2}(x^2+1)^9(4x^4+45x^2+1)}{2\sqrt{x}}$

    d/dx sqrt(x)e^{x^2}(x^2+1)^10
    (b) $\ln y=\cos x\ln x$ $\Rightarrow$ $\dfrac{y'}{y}=-\sin x\ln x+\dfrac{\cos x}{x}=\ln x+1$이므로 $y'=x^{\cos x}\left(\dfrac{\cos x}{x}-\ln x\sin x\right)=x^{\cos x-1}(\cos x-x\ln x\sin x)$
    d/dx x^(cos(x))
    (c) $\ln y=x\ln(\cos x)$ $\Rightarrow$ $\dfrac{y'}{y}=\ln(\cos x)+\dfrac{x(-\sin x)}{\cos x}$이므로 $y'=(\cos x)^x\bigl[\ln(\cos x)-x\tan x\bigr]$
    d/dx (cos(x))^x




  • 4. $x^y=y^x$일 때 $y'$을 찾아라. [1, p.175]
  • [해답] 양 변에 로그를 적용하면 $y\ln x=x\ln y$이고, 음함수 미분법에 의해 $y'\ln x+\dfrac{y}{x}=\ln y+x\dfrac{y'}{y}$ $\Rightarrow$ $y'\ln x-\dfrac{x}{y}y'=\ln y-\dfrac{y}{x}$ $\Rightarrow$ $y'=\dfrac{\ln y-y/x}{\ln x-x/y}$이다.




    정리하기

    1. 양수 $x\gt0$에 대해 자연 로그 함수는 $\ln x=\displaystyle\int_1^x\frac{1}{t}\,dt$로 정의되고, 도함수는 $\dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}$이다.
    2. $e\approx 2.718281828459$는 $\ln e=1$인 수이다.
    3. 미분가능한 일대일 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$도 미분가능하고 $(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$이다.
    4. 모든 실수 $x$에 대해 자연 지수 함수 $e^x$는 자연 로그 함수 $\ln x$의 역함수로 정의되고, 도함수는 $\dfrac{d}{dx}e^x=e^x$이다.
    5. 모든 실수 $x$에 대해 밑이 $a\gt0$인 일반 지수 함수는 $a^x=e^{x\ln a}$로 정의되고, 도함수는 $\dfrac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$이다.
    6. 양수 $x\gt0$에 대해 밑이 $a\gt0$이고 $a\neq1$인 일반 로그 함수 $\log_ax$는 일반 지수 함수 $a^x$의 역함수로 정의되고, 도함수는 $\dfrac{d}{dx}(\log_ax)=\dfrac{1}{x\ln a}$이다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    14차시에서는 로피탈의 법칙과 역삼각 함수 및 쌍곡 함수를 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.