14차시 로피탈의 법칙과 역삼각 함수

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학습개요

로피탈의 법칙과 역삼각 함수 및 쌍곡 함수를 알아본다.
  1. 로피탈의 법칙을 이용해 극한을 구한다.
  2. 삼각 함수의 역함수로 정의된 역삼각 함수의 성질을 살펴본다.
  3. 자연 지수 함수를 이용해 정의된 쌍곡 함수의 성질을 살펴본다.

학습목표

  1. 로피탈의 법칙을 이용해 극한을 구할 수 있다.
  2. 삼각 함수의 역함수로 역삼각 함수를 설명할 수 있다.
  3. 자연 지수 함수를 이용해 쌍곡 함수를 설명할 수 있다.

학습하기

  1. 로피탈의 법칙
    • 로피탈의 법칙, 누가 더 빨리 증가하나, 지수 함수보다 더 빨리 증가하는 함수
  2. 역삼각 함수
    • 아크탄젠트 함수의 정의, 성질, 미분과 적분, 최적화 문제, 아크사인 함수의 정의와 성질, 아크코사인 함수의 정의와 성질
  3. 쌍곡 함수
    • 현수선, 쌍곡 함수의 정의, 공식, 그래프, 미분과 적분, 역쌍곡 함수의 정의, 성질, 미분

연습하기

  • 1. 로피탈의 법칙을 이용해 극한을 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.202]
    (a) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+\tan x}{\sin x}$ (b) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x^3}$ (c) $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{x-1}\right)$ (d) $\lim\limits_{x\to0^+}(\cos x)^{1/x^2}$
  • [해답] (a) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+\tan x}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+\sec^2x}{\cos x}=\dfrac{1+1^2}{1}=2$

    limit (x+tan(x))/sin(x) as x->0
    (b) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x}{3x^2}=\infty$
    limit (e^x-1)/x^3 as x->0
    (c) $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{x-1}\right)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x-1-\ln x}{\ln x(x-1)}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1-\frac{1}{x}}{\frac{x-1}{x}+\ln x}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x-1}{x-1+x\ln x}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1}{1+\ln x+1}=\dfrac{1}{2}$
    limit 1/ln(x)-1/(x-1) as x->1
    (d) $y=(\cos x)^{1/x^2}$로 두면 $\ln y=\dfrac{\ln\cos x}{x^2}$이고 $\lim\limits_{x\to0^+}\ln y=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{-\tan x}{2x}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{-\sec^2x}{2}=-\dfrac{1}{2}$이다. 따라서 $\lim\limits_{x\to0^+}(\cos x)^{1/x^2}=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$
    limit (cos(x))^(1/x^2) as x->0+




  • 2. 다음 식을 간단히 하라. [1, p.188]
    (a) $\cos(\arcsin x)$ (b) $\tan(\arcsin x)$
  • [해답] (a) $y=\arcsin x$로 두면 $\sin y=x$이고 $-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}$이므로 $\cos y\geq0$이다. 따라서 $\cos(\arcsin x)=\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$

    cos(arcsin(x))
    (b) $y=\arcsin x$로 두면 $\sin y=x$이고 (a)에서 $\cos y=\sqrt{1-x^2}$이므로 $\tan(\arcsin x)=\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
    tan(arcsin(x))




  • 3. 함수 $f(x)=x\arcsin(x/4)+\sqrt{16-x^2}$일 때 $f'(2)$를 구하고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.189]
  • [해답] $f'(x)=\arcsin(x/4)+\dfrac{x}{4\sqrt{1-(x/4)^2}}-\dfrac{x}{\sqrt{16-x^2}}=\arcsin(x/4)$이므로 $f'(2)=\arcsin(1/2)=\dfrac{\pi}{6}$

    d/dx x arcsin(x/4)+sqrt(16-x^2) where x=2




  • 4. $\sinh x=\dfrac{3}{4}$일 때 다른 쌍곡 함수들의 값을 찾아라. [1, p.194]
  • [해답] (a) $\operatorname{csch}x=\dfrac{1}{\sinh x}=\dfrac{4}{3}$, (b) $\cosh^2x=\sinh^2x+1=\dfrac{9}{16}+1=\dfrac{25}{16}$이고 $\cosh x\gt0$이므로 $\cosh x=\dfrac{5}{4}$, (c) $\operatorname{sech}x=\dfrac{1}{\cosh x}=\dfrac{4}{5}$, (d) $\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{3/4}{5/4}=\dfrac{3}{5}$, (e) $\coth x=\dfrac{1}{\tanh x}=\dfrac{5}{3}$




    정리하기

    1. (로피탈의 법칙) 미분가능한 두 함수 $f$와 $g$에 대해 (a) $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$이거나, (b) $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$이고 $\lim\limits_{x\to a}g(x)=\pm\infty$이면 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$이다.
    2. 지수 함수는 다항 함수보다 더 빨리 증가하고, 다항 함수는 로그 함수보다 더 빨리 증가한다.
    3. 아크탄젠트 함수 $\arctan x$는 구간 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 탄젠트 함수의 역함수로 정의하고, $\dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^2}$이다.
    4. 아크사인 함수 $\arcsin x$는 구간 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$에서 사인 함수의 역함수로 정의하고, $\dfrac{d}{dx}(\arcsin x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$이다.
    5. 아크코사인 함수 $\arccos x$는 구간 $[0,\pi]$에서 코사인 함수의 역함수로 정의하고, $\dfrac{d}{dx}(\arccos x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$이다.
    6. 쌍곡 함수는 지수 함수를 이용해 $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}$로 정의된다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    15차시에서는 치환 적분과 적분을 활용해 넓이, 부피, 길이를 구하는 방법을 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.