15차시 적분의 응용

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학습개요

치환 적분과 적분을 활용해 넓이, 부피, 길이를 구하는 방법을 알아본다.
  1. 치환 적분을 이용해 적분을 계산한다.
  2. 넓이, 부피, 길이를 적분으로 계산한다.
  3. 회전체의 부피와 넓이를 적분으로 계산한다.

학습목표

  1. 치환 적분을 이용해 적분을 계산할 수 있다.
  2. 넓이, 부피, 길이를 적분으로 계산할 수 있다.
  3. 회전체의 부피와 넓이를 적분으로 계산할 수 있다.

학습하기

  1. 치환 적분
    • 부정적분의 치환, 정적분의 치환, 우함수와 기함수의 적분
  2. 넓이, 부피, 길이
    • 곡선 사이의 넓이, 입체의 부피, 곡선의 길이, 호의 길이 공식
  3. 회전체의 부피와 넓이
    • 디스크 적분, 셸 적분, 회전체의 넓이

연습하기

  • 1. 치환 적분을 이용해 정적분을 구하고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.318]
    (a) $\displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi}}x\cos(x^2)\,dx$ (b) $\displaystyle\int_1^4\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$ (c) $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2\sin x}{1+x^6}\,dx$

    • [해답] (a) $u=x^2$으로 치환하면 $du=2x\,dx$이고, $\displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi}}x\cos(x^2)\,dx=\int_0^{\pi}\cos u\,(\tfrac{1}{2}du)=\dfrac{1}{2}\Bigl[\sin u\Bigr]_0^{\pi}=\dfrac{1}{2}(\sin\pi-\sin 0)=0$ 

    integrate x cos(x^2) dx, x=0..sqrt(pi)
    (b) $u=\sqrt{x}$로 치환하면 $du=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$이고, $\displaystyle\int_1^4\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^2\dfrac{e^u}\,(2du)=2\Bigl[e^u\Bigr]_1^2=2e(e-1)$ 
    integrate e^(sqrt(x))/sqrt(x) dx, x=1..4
    (c) $\dfrac{x^2\sin x}{1+x^6}$는 기함수이므로 $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2\sin x}{1+x^6}\,dx=0$ 
    integrate (x^2 sin(x))/(1+x^6) dx, x=-pi/2..pi/2



  • 2. 두 포물선 $y=x^2-c^2$과 $y=c^2-x^2$으로 둘러싸인 영역의 넓이가 $576$일 때, 양수 $c\gt0$의 값을 찾아라. [1, p.387]

    • [해답] 두 포물선의 교점은 $x^2-c^2=c^2-x^2$ $\Rightarrow$ $x^2=c^2$ $\Rightarrow$ $x=\pm c$ $\Rightarrow$ $(\pm c,0)$이고, 포물선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $A=\displaystyle\int_{-c}^c(c^2-x^2)-(x^2-c^2)\,dx=4\int_0^c(c^2-x^2)\,dx=4\Bigl[c^2x-\tfrac{1}{3}x^3\Bigr]_0^c=4(c^3-\tfrac{1}{3}c^3)=\tfrac{8}{3}c^3$이다. 따라서 $\tfrac{8}{3}c^3=576$ $\Rightarrow$ $c^3=216=6^3$ $\Rightarrow$ $c=6$이다. 

    integrate (c^2-x^2)-(x^2-c^2) dx, x=-c..c



  • 3. 두 곡선 $y=x^3$과 $y=\sqrt{x}$로 둘러싸인 영역을 (a) 직선 $x=1$을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피와 (b) 직선 $y=1$을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 구하라. [1, p.397]

    • [해답] (a) (디스크 적분) $A(y)=\pi(1-y^2)^2-\pi(1-\sqrt[3]{y})^2$이므로 회전체의 부피는 $V=\displaystyle\int_0^1 A(y)\,dy=\pi\int_0^1(-2y^2+y^4+2y^{1/3}-y^{2/3})\,dy=\pi\int_0^1\Bigl[-\tfrac{2}{3}y^3+\tfrac{1}{5}y^5+\tfrac{3}{2}y^{4/3}-\tfrac{3}{5}y^{5/3}\Bigr]_0^1=\pi(-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{5})=\dfrac{13}{30}\pi$ 

    integrate (pi)(1-y^2)^2-(pi)(1-cbrt(y))^2 dy, y=0..1
    (셸 적분) $V=\displaystyle\int_0^1 2\pi(1-x)(\sqrt{x}-x^3)\,dx=2\pi\int_0^1(x^{1/2}-x^{3/2}-x^3+x^4)\,dx=2\pi\Bigl[\tfrac{2}{3}x^{3/2}-\tfrac{2}{5}x^{5/2}-\tfrac{1}{4}x^4+\tfrac{1}{5}x^5\Bigr]_0^1=2\pi(\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5})=\dfrac{13}{30}\pi$ 
    integrate 2(pi)(1-x)(sqrt(x)-x^3) dx, x=0..1
    (b) (디스크 적분) $A(x)=\pi(1-x^3)^2-\pi(1-\sqrt{x})^2$이므로 회전체의 부피는 $V=\displaystyle\int_0^1 A(x)\,dx=\pi\int_0^1(-2x^3+x^6+2x^{1/2}-x)\,dx=\pi\Bigl[-\tfrac{1}{2}x^4+\tfrac{1}{7}x^7+\tfrac{4}{3}x^{3/2}-\tfrac{1}{2}x^2\Bigr]_0^1=\pi(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{2})=\dfrac{10}{21}\pi$ 
    integrate (pi)(1-x^3)^2-(pi)(1-sqrt(x))^2 dx, x=0..1
    (셸 적분) $V=\displaystyle\int_0^1 2\pi(1-y)(\sqrt[3]{y}-y^2)\,dy=2\pi\int_0^1(y^{1/3}-y^{4/3}-y^2+y^3)\,dy=2\pi\Bigl[\tfrac{3}{4}y^{4/3}-\tfrac{3}{7}x^{7/3}-\tfrac{1}{3}y^3+\tfrac{1}{4}y^4\Bigr]_0^1=2\pi(\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{7}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})=\dfrac{10}{21}\pi$ 
    integrate 2(pi)(1-y)(cbrt(y)-y^2) dy, y=0..1



  • 4. 호의 길이 공식을 이용해 구간 $0\leq x\leq \frac{\pi}{3}$에서 곡선 $y=\ln(\cos x)$의 길이를 구하고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.410]

    • [해답] $y'=-\tan x$이므로 곡선의 길이 $L=\displaystyle\int_0^{\pi/3}\sqrt{1+(y')^2}\,dx=\int_0^{\pi/3}\sqrt{1+\tan^2x}\,dx=\int_0^{\pi/3}\sec x\,dx=\Bigl[\ln|\sec x+\tan x|\Bigr]_0^{\pi/3}=\ln(2+\sqrt{3})-\ln(1+0)=\ln(2+\sqrt{3})$ 

    arc length of ln(cos(x)) from x=0..pi/3



    정리하기

    1. 연속 함수 $f$에 대해 치환 $u=g(x)$가 미분가능하면 $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$이고, $\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)\, dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du$이다.
    2. 연속 함수 $f$가 우함수이면 $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx$이고, 기함수이면 $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx=0$이다.
    3. 함수 $f$와 $g$가 모두 연속이고 모든 $a\leq x\leq b$에 대해 $f(x)\geq g(x)$일 때, 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$, 직선 $x=a$와 $x=b$로 둘러싸인 영역의 넓이는 $A=\displaystyle\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx$이다.
    4. 점 $a\leq x\leq b$에서 $x$축에 수직인 평면으로 입체 $S$를 자른 단면의 넓이를 $A(x)$라 할 때, 입체 $S$의 부피는 $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$이다.
    5. 구간 $[a,b]$에서 곡선 $y=f(x)$의 길이는 $f'(x)$가 연속일 때 $L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$이다.
    6. (디스크 적분) 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$, 그리고 두 직선 $x=a$와 $x=b$로 둘러싸인 영역을 $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피는 $V=\pi\displaystyle\int_a^b|f^2(x)-g^2(x)|\,dx$이다.
    7. (셸 적분) 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$, 그리고 두 직선 $x=a$와 $x=b$로 둘러싸인 영역을 $y$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피는 $V=\displaystyle\int_a^b 2\pi x|f(x)-g(x)|\,dx$이다. (단, $0\leq a\lt b$)
    8. 도함수 $f'$이 연속일 때, 구간 $[a,b]$에서 $y=f(x)$를 $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 넓이는 $S=\displaystyle\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$이다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.