2차시 실수와 삼각 함수

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학습개요

대학수학 학습을 위해 필요한 수 체계와 삼각 함수를 공부한다.

  1. 자연수, 정수, 유리수, 실수의 수 체계를 살펴본다.
  2. 각도를 나타내는 두 가지 단위, 도와 라디안을 살펴본다.
  3. 삼각 함수의 정의와 그래프, 그리고 성질을 알아본다.
  4. 삼각 함수에 관련된 중요한 공식들을 살펴본다.

학습목표

  1. 자연수, 정수, 유리수, 실수의 수 체계에 대하여 설명할 수 있다.
  2. 각도를 나타내는 두 가지 단위, 도와 라디안에 대하여 설명할 수 있다.
  3. 여섯 가지 삼각 함수의 정의를 설명하고, 그래프를 그릴 수 있다.
  4. 삼각 함수에 관련된 중요한 공식들을 설명할 수 있다.

학습하기

  1. 실수
    • 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 소수 표현과 실수, 순서와 절대치 규칙, 실수 구간
  2. 각도
    • 각도 단위 (도와 라디안), 라디안과 호의 길이, 라디안과 도의 관계, 각도와 실수
  3. 삼각 함수
    • 삼각 함수의 정의, 삼각 함수의 계산, 삼각 함수의 그래프
  4. 삼각 함수의 공식들
    • 가장 중요한 공식 (피타고라스 정리), 우함수와 기함수, 삼각 함수의 주기, 덧셈 공식, 배각 공식과 반각 공식, 코사인 법칙

연습하기

  • 1. 부등식 $(x-1)^2\lt 4$를 만족하는 실수들의 집합을 구간으로 표시하고 Wolfram|Alpha로 확인하라.
  • [해답] $(x-1)^2\lt 4=2^2$이므로 $|x-1|\lt 2$를 만족하는 실수들의 집합, 즉 $-1\lt x\lt 3$과 같다. 구간으로 표시하면 $(-1,3)$이다.

    solve (x-1)^2 < 4




  • 2. 300°를 라디안으로, 라디안 5를 도로 바꾸고 Wolfram|Alpha로 확인하라.
  • [해답] 300°는 $300\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{3}$(rad)이고, 5(rad)는 $5\times\dfrac{180}{\pi}\approx286.5$°이다.

    300 degrees to radians
    5 radians to degrees
    




  • 3. $\sin\theta=\frac{3}{5}$일 때 다른 삼각 함수들의 값을 구하라. (단, $0\lt\theta\lt\pi/2$)
  • [해답] 빗변의 길이 $r$이 5이고, 높이의 길이 $y$가 3인 직각 삼각형을 그리면 피타고라스 정리에 의해 밑변의 길이 $x$는 4이므로 $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$, $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$, $\csc\theta=\dfrac{5}{3}$, $\sec\theta=\dfrac{5}{4}$, $\cot\theta=\dfrac{4}{3}$이다.




  • 4. 삼각형 $ABC$에서 $|AC|$와 $|BC|$의 길이가 각각 820m, 910m이고 $\angle C$가 103°일 때 $|AB|$의 길이를 Wolfram|Alpha로 구하라.
  • [해답] 먼저 $\angle C$를 라디안으로 바꾸면 $\theta=103\times\dfrac{\pi}{180}$(rad)이므로, 코사인 법칙에 따르면 $|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC|\cos\theta$이다. 소수점 둘째 자리까지 Wolfram|Alpha로 구한 결과는 1355.07m이다.

    sqrt(820^2 + 910^2 - 2 820 910 cos(103 pi/180))




    정리하기

    1. 실수는 순환하는 소수로 표현되는 유리수들과 순환하지 않는 소소로 표현되는 무리수들로 구성된다.
    2. 각도의 단위로는 원 한바퀴에 해당하는 각을 360°로 표시하는 도와 $2\pi$로 표시하는 라디안이 있다. 특히 호의 길이는 라디안 각도의 크기에 비례한다.
    3. 여섯 가지 삼각 함수 $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$, $\csc\theta$, $\sec\theta$, $\cot\theta$의 정의와 각 함수들의 그래프를 기억하자.
    4. 삼각 함수에서 가장 중요한 공식 두 가지는 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$과 덧셈 공식 $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$와 $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$이다.

    참고하기

    [참고 문헌]

    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    3차시에서는 미분을 설명하기 위해 반드시 필요한 개념인 함수의 극한에 대해 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.