3차시 극한

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학습개요

미분을 정의하기 위해 반드시 필요한 개념인 극한을 공부한다.

  1. 순간속도는 평균속도의 극한이라는 개념을 알아본다.
  2. 극한, 좌극한 및 우극한의 정의를 살펴본다.
  3. 극한을 계산하는 여러 가지 방법들을 알아본다.
  4. 샌드위치 정리를 알아보고 이를 활용해 문제를 풀어본다.

학습목표

  1. 순간속도는 평균속도의 극한이라는 개념을 설명할 수 있다.
  2. 극한, 좌극한 및 우극한의 정의를 설명할 수 있다.
  3. 극한 법칙과 직접 대입 방법을 이용해 극한을 계산할 수 있다.
  4. 샌드위치 정리를 활용해 문제를 풀 수 있다.

학습하기

  1. 평균속도와 순간속도
    • 갈릴레오의 법칙, 평균속도, 순간속도, 순간속도는 평균속도의 극한
  2. 함수의 극한
    • 극한의 정의, 좌극한과 우극한의 정의, 극한이 존재하기 위한 필요충분조건
  3. 극한의 계산
    • 컴퓨터를 사용해서 계산할 때의 주의점, 극한 법칙, 유용한 정리들
  4. 샌드위치 정리
    • 샌드위치 정리, 샌드위치 정리를 활용한 문제 해결

연습하기

  • 1. 함수 $g(t)$의 그래프를 보고 극한을 구하라. [1, p.34] (a) $\lim\limits_{t\to 0^-}g(t)$ (b) $\lim\limits_{t\to 0^+}g(t)$ (c) $\lim\limits_{t\to 0}g(t)$ (d) $\lim\limits_{t\to 2^-}g(t)$ (e) $\lim\limits_{t\to 2^+}g(t)$ (f) $\lim\limits_{t\to 2}g(t)$
  • [해답] (a) $-1$ (b) $-2$ (c) 존재하지 않음 (d) $2$ (e) $0$ (f) 존재하지 않음




  • 2. 극한을 구한 후 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.45] (a) $\lim\limits_{x\to -4}\dfrac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}$ (b)$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h}$ (c)$\lim\limits_{x\to -4}\dfrac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}$
  • [해답] (a)$\lim\limits_{x\to -4}\dfrac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4} = \lim\limits_{x\to -4}\dfrac{(x+4)(x+1)}{(x+4)(x-1)} = \lim\limits_{x\to -4}\dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{3}{5}$
  • (b)$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h} = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot\dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1} = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1} = \dfrac{1}{2}$
  • (c)$\lim\limits_{x\to -4}\dfrac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x} = \lim\limits_{x\to -4}\dfrac{\frac{4+x}{4x}}{4+x} = \lim\limits_{x\to -4}\dfrac{(4+x)}{(4+x)(4x)} = \lim\limits_{x\to -4}\dfrac{1}{4x} = -\dfrac{1}{16}$
  •   
    limit (x^2+5x+4)/(x^2+3x-4) as x->-4
    limit (sqrt(1+h)-1)/h as h->0
    limit (1/4+1/x)/(4+x) as x->-4
    




  • 3. 샌드위치 정리를 이용해 극한을 구하라. [1, p.46]
(a) $4x-9 \leq f(x) \leq x^2-4x+7$이 성립할 때 $\lim\limits_{x\to 4}f(x)$ (b) $2x \leq g(x) \leq x^4-x^2+2$가 성립할 때 $\lim\limits_{x\to 1}g(x)$
  • [해답] 샌드위치 정리를 이용하면
(a) $\lim\limits_{x\to 4}(4x-9) = 7 = \lim\limits_{x\to 4}(x^2-4x+7)$이므로 $\lim\limits_{x\to 4}f(x) = 7$
(b) $\lim\limits_{x\to 1}(2x) = 2 = \lim\limits_{x\to 1}(x^4-x^2+2)$이므로 $\lim\limits_{x\to 1}g(x) = 2$




    정리하기

    1. 순간속도는 평균속도의 극한이다.
    2. 극한 $L$이 존재하기 위한 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 그 값들이 모두 $L$과 같다는 것이다.
    3. 극한 법칙, 직접 대입 방법, 유용한 정리들을 이용해 극한을 계산할 수 있다.
    4. 주어진 $a$는 제외하고 $a$에 충분히 가까운 모든 $x$들에 대해 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$인 경우, $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \lim\limits_{x\to a}h(x)=L$이면 $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$이다.

    참고하기

    [참고 문헌]

    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    4차시에서는 극한을 이용해 연속을 정의하고 중간값 정리를 알아본다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.