4차시 극한과 연속

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학습개요

극한을 이용해 연속을 정의하고 연속 함수의 성질들을 알아본다.
  1. 극한을 이용한 연속과 불연속의 정의를 살펴본다.
  2. 중간값 정리를 알아보고, 이를 활용해 문제를 풀어본다.
  3. 무한대 극한과 수직 및 수평 점근선을 알아본다.

학습목표

  1. 극한을 이용해 연속과 불연속의 개념을 설명할 수 있다.
  2. 중간값 정리를 설명하고, 이를 활용해 문제를 풀 수 있다.
  3. 무한대 극한을 계산하고 수직 및 수평 점근선을 찾을 수 있다.

학습하기

  1. 연속 함수
    • 극한을 이용한 연속과 불연속의 정의, 연속 함수의 사칙 연산과 합성 함수
  2. 중간값 정리
    • 중간값 정리, 근의 존재, 근의 근삿값 찾기
  3. 무한대와 극한
    • 무한대 극한과 수직 점근선, 무한대에서 극한과 수평 점근선, 무한대에서 무한대 극한, 무한대 극한과 극한 법칙

연습하기

  • 1. 함수 $f(x)=\begin{cases}cx^2+2x & \text{if $x\lt 2$} \\ x^3-cx & \text{if $x\geq 2$}\end{cases}$가 모든 실수에서 연속이기 위한 상수 $c$의 값을 구하라. [1, p.57]

    • [해답] 함수 $f$는 $2$를 제외한 모든 $x$에서 연속이므로, $2$에서 연속이 되도록 만들자. 그런데 $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-}(cx^2+2x)=4c+4$이고 $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+}(x^3-cx)=8-2c=f(2)$이므로 연속이려면 $4c+4=8-2c$, 즉 $6c=4$이므로 $c=2/3$이다.




  • 2. 중간값 정리를 이용해 $\sqrt{2}$가 존재함을 보여라. (힌트: $x^2=2$가 성립하는 양수 $x>0$가 존재함을 보이면 된다.) [1, p.57]

    • [해답] 함수 $f(x)=x^2-2$로 두면 연속이고 $f(1)=-1\neq 2=f(2)$이다. 두 함숫값 사이에서 $N=0$으로 선택하면, 중간값 정리에 의해 $f(c)=0$을 만족하는 $c$가 구간 $(1,2)$안에 적어도 하나 있다. 즉, $c^2=2$가 성립하는 양수 $c$가 $1$과 $2$ 사이에 존재한다.



  • 3. 함수 $g(x)$의 그래프를 보고 극한을 구하라. [1, p.69]
    (a) $\lim\limits_{x\to\infty} g(x)$ (b) $\lim\limits_{x\to-\infty} g(x)$ (c) $\lim\limits_{x\to3} g(x)$ (d) $\lim\limits_{x\to0} g(x)$ (e) $\lim\limits_{x\to-2^-} g(x)$ (f) $\lim\limits_{x\to-2^+} g(x)$

    • [해답] (a) $2$ (b) $-2$ (c) $\infty$ (d) $-\infty$ (e) $1$ (f) $-\infty$



  • 4. 극한을 구한 후 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.70]
    (a) $\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^3+5x}{2x^3-x^2+4}$ (b) $\lim\limits_{x\to\infty} \bigl( \sqrt{9x^2+x}-3x \bigr)$ (c) $\lim\limits_{x\to\infty} (x-\sqrt{x})$ (d) $\lim\limits_{x\to-\infty} (x^4+x^5)$

    • [해답] (a) $\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^3+5x}{2x^3-x^2+4} = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\frac{x^3+5x}{x^3}}{\frac{2x^3-x^2+4}{x^3}} = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1+5\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+4\frac{1}{x^3}}=\dfrac{1}{2}$ 

    limit (x^3+5x)/(2x^3-x^2+4) as x->infinity
    (b) $\begin{aligned}[t] \lim\limits_{x\to\infty} \bigl( \sqrt{9x^2+x}-3x \bigr) &= \lim\limits_{x\to\infty} \bigl( \sqrt{9x^2+x}-3x \bigr)\dfrac{\sqrt{9x^2+x}+3x}{\sqrt{9x^2+x}+3x} \\ &= \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x}{\sqrt{9x^2+x}+3x} = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{\sqrt{9+\frac{1}{x}}+3} = \dfrac{1}{6} \end{aligned}$ 
    limit sqrt(9x^2+x)-3x as x->infinity
    (c) $\lim\limits_{x\to\infty} (x-\sqrt{x}) = \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) = \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x} \cdot \lim\limits_{x\to\infty} (\sqrt{x}-1) = \infty$ 
    limit x-sqrt(x) as x->infinity
    (d) $\lim\limits_{x\to-\infty} (x^4+x^5) = \lim\limits_{x\to-\infty} x^4(1+x) = -\infty$ 
    limit x^4+x^5 as x->-infinity



    정리하기

    1. 주어진 $a$에서 함숫값 $f(a)$와 극한 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$가 동시에 존재하고 그 값이 같으면 함수 $f$는 $a$에서 연속이라고 한다.
    2. 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f$의 함숫값이 양 끝점에서 서로 다르면, 두 함숫값 $f(a)$와 $f(b)$ 사이에 어떤 수 $N$을 선택하더라도 함숫값 $f(c)=N$이 되는 $c$가 구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.
    3. 극한값이 $\pm\infty$인 경우 수직 점근선이 생기고, $\pm\infty$로 가는 극한이 존재하는 경우 수평 점근선이 생긴다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    5차시에서는 미분을 정의하고 미분이 활용되는 예들을 알아본다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.