5차시 도함수

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학습개요

미분을 정의하고 미분이 활용되는 예들을 알아본다.
  1. 접선의 기울기를 통해 미분의 개념을 살펴본다.
  2. 미분계수를 함숫값으로 가지는 도함수를 알아본다.

학습목표

  1. 접선의 기울기를 통해 미분의 개념을 설명할 수 있다.
  2. Wolfram|Alpha를 이용해 접선의 방정식과 도함수를 구할 수 있다.

학습하기

  1. 접선의 기울기와 미분계수
    • 접선의 정의, 접선의 방정식, 수직 접선, 미분계수, 미분이 활용되는 예
  2. 도함수
    • 도함수의 정의, 도함수의 그래프, 미분가능한 함수, 미분가능하면 연속이다, 미분가능하지 않은 형태, 고계 도함수

연습하기

  • 1. 주어진 점에서 다음 곡선의 접선의 방정식을 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.85]
    (a) $y=2x^3-5x$, $(-1,3)$ (b) $y=\dfrac{2x}{(x+1)^2}$, $(0,0)$
  • [해답] (a) 접선의 기울기 $m=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2(-1+h)^3-5(-1+h)-3}{h}=\lim\limits_{h\to0}(2h^2-6h+1)=1$이므로 접선의 방정식은 $y-3=1(x+1)$, 즉 $y=x+4$이다.

    tangent line to 2x^3-5x at x=-1
    (b) 접선의 기울기 $m=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2h/(h+1)^2-0}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2}{(h+1)^2}=2$이므로 접선의 방정식은 $y-0=2(x-0)$, 즉 $y=2x$이다.
    tangent line to 2x/(x+1)^2 at x=0




  • 2. 함수 $f(x)=1-x^3$에 대해 (a) 미분계수 $f'(0)$을 찾고, (b) 이를 이용해 점 $(0,1)$에서 곡선 $y=1-x^3$의 접선의 방정식을 찾아라. 그리고 (c) Wolfram|Alpha를 이용해 곡선과 접선을 동시에 그려라. [1, p.86]
  • [해답] (a) $f'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{1-h^3-1}{h}=\lim\limits_{h\to0}(-h^2)=0$

    derivative of 1-x^3 at x=0
    (b) 접선의 방정식은 $y-1=0(x-0)$, 즉 $y=1$이다.
    tangent line to 1-x^3 at x=0
    (c) 곡선 $y=1-x^3$과 접선 $y=1$을 동시에 그리는 Wolfram|Alpha 명령은 다음과 같다.
    plot y=1-x^3 and y=1




  • 3. 아래 그림에서 $f$, $f'$, $f''$, $f'''$의 그래프가 어떤 것인지 찾아라. [1, p.98]
  • [해답] 먼저 함숫값이 $0$인 점과 접선의 기울기가 $0$인 점을 비교하자. 그래프 (d)에서 접선의 기울기가 $0$인 점은 두 군데인데 그 점들에서 함숫값이 $0$인 그래프는 (c)이므로 그래프 (d)의 도함수의 그래프는 (c)이다. 이번에는 접선의 기울기가 양인지 음인지 비교하자. 그래프 (c)에서 $0$보다 큰 경우 접선의 기울기는 양인데 반해 $0$보다 작은 경우 접선의 기울기는 음이다. 이러한 성질을 함숫값으로 가지는 그래프는 (b)이므로 그래프 (c)의 도함수의 그래프는 (b)이다. 또한 그래프 (b)에서 접선의 기울기는 항상 $0$보다 크거나 같으므로 그래프 (b)의 도함수의 그래프는 (a)이다. 따라서 $f$의 그래프는 (d), $f'$의 그래프는 (c), $f''$의 그래프는 (b), $f'''$의 그래프는 (a)가 된다.




  • 4. 도함수를 구한 후 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.98]
    (a) $f(x)=\sqrt{1+2x}$ (b) $g(x)=\dfrac{4x}{x+1}$
  • [해답] (a) $\begin{aligned}[t] f'(x)&=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h} \\ &=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h}\dfrac{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}} \\ &=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+2x}} \end{aligned}$

    derivative of sqrt(1+2x)
    (b) $\begin{aligned}[t] g'(x)&=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\frac{4(x+h)}{(x+h)+1}-\frac{4x}{x+1}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\frac{4h}{(x+h+1)(x+1)}}{h} \\ &=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{4}{(x+h+1)(x+1)}=\dfrac{4}{(x+1)^2} \end{aligned}$
    derivative of 4x/(x+1)




    정리하기

    1. 함수 $f$의 그래프 위의 점 $P(a,f(a))$에서 접선은 $P$를 지나고 기울기는 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$인 직선이다.
    2. 특별히 접선의 기울기가 $\pm\infty$인 경우, 함수 $f$는 점 $P(a,f(a))$에서 수직 접선을 가진다고 한다.
    3. 점 $x=a$에서 함수 $f$의 미분계수는 극한이 존재하는 경우 $f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$이다.
    4. 함수 $f$의 도함수는 $x$에서 미분계수 $f'(x)$를 함숫값으로 가지는 함수이다.
    5. 미분계수 $f'(a)$가 존재하는 경우, 함수 $f$는 점 $a$에서 미분가능하다고 한다.
    6. 함수 $f$가 $a$에서 미분가능하면, $f$는 $a$에서 연속이다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    6차시에서는 미분 계산에 필요한 미분 법칙들과 삼각 함수의 미분을 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.