6차시 미분 법칙

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학습개요

미분 계산에 필요한 미분 법칙들과 삼각 함수의 미분을 알아본다.
  1. 파워 법칙, 상수배 및 덧셈과 뺄셈 법칙을 살펴본다.
  2. Wolfram|Alpha를 이용한 미분 계산법을 알아본다.
  3. 곱셈과 나눗셈 법칙, 그리고 삼각 함수의 미분을 알아본다.

학습목표

  1. 미분 법칙을 이용해 미분을 계산할 수 있다.
  2. Wolfram|Alpha를 이용해 미분을 계산할 수 있다.
  3. 삼각 함수의 도함수가 무엇인지 설명할 수 있다.

학습하기

  1. 기본적인 미분 법칙
    • 파워 법칙, 상수배 및 덧셈과 뺄셈 법칙, 사인과 코사인의 도함수
  2. Wolfram|Alpha를 이용한 미분 계산
    • Wolfram|Alpha를 이용한 도함수, 고계 도함수, 접선과 법선의 방정식 구하기
  3. 곱셈과 나눗셈 법칙
    • 곱셈 법칙, 나눗셈 법칙, 반비례 법칙, 삼각 함수의 미분

연습하기

  • 1. 주어진 점에서 다음 곡선의 접선과 법선의 방정식을 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.109]
    (a) $y=6\cos x$, $(\pi/3,3)$ (b) $y=(1+2x)^2$, $(1,9)$
  • [해답] (a) $y'=-6\sin x$이고 점 $(\pi/3,3)$에서 $y'=-3\sqrt{3}$이므로 접선의 방정식은 $y-3=-3\sqrt{3}(x-\pi/3)$, 즉 $y=-3\sqrt{3}x+3+\pi\sqrt{3}$이고, 법선의 방정식은 $y-3=\frac{1}{3\sqrt{3}}(x-\pi/3)$, 즉 $y=\frac{1}{3\sqrt{3}}x+3-\frac{\pi}{9\sqrt{3}}$이다.

      tangent line to 6cos(x) at x=pi/3
      normal line to 6cos(x) at x=pi/3
      
    (b) $y=1+4x+4x^2$이므로 $y'=4+8x$이고 점 $(1,9)$에서 $y'=12$이다. 따라서 접선의 방정식은 $y-9=12(x-1)$, 즉 $y=12x-3$이고, 법선의 방정식은 $y-9=-\frac{1}{12}(x-1)$, 즉 $y=-\frac{1}{12}x+\frac{109}{12}$이다.
      tangent line to (1+2x)^2 at x=1
      normal line to (1+2x)^2 at x=1
      




  • 2. 일계 도함수와 이계 도함수를 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.109]
    (a) $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}$ (b) $g(x)=2\cos x-2\sin x$
  • [해답] (a) $f(x)=x^{1/2}+x^{1/3}$이므로 파워 법칙에 의해 $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}+\frac{1}{3}x^{-2/3}$이고 $f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}-\frac{2}{9}x^{-5/3}$이다.

      d/dx sqrt(x)+cbrt(x)
      d^2/dx^2 sqrt(x)+cbrt(x)
      
    (b) $g'(x)=-2\sin x-2\cos x=-2(\sin x+\cos x)$이고 $g''(x)=-2\cos x+2\sin x=2(\sin x-\cos x)$이다.
      d/dx 2cos(x)-2sin(x)
      d^2/dx^2 2cos(x)-2sin(x)
      




  • 3. 미분의 정의를 이용해 극한 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{1000}-1}{x-1}$을 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.111]
  • [해답] $f(x)=x^{1000}$으로 두면 $f'(1)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{1000}-1}{x-1}$이고, 파워 법칙에 의해 $f'(x)=1000x^{999}$이므로 극한은 $f'(1)=1000$이다.

    limit (x^1000-1)/(x-1) as x->1




  • 4. 미분가능한 함수 $f$에 대해 다음 함수의 도함수를 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.117]
    (a) $y=x^2f(x)$ (b) $y=\dfrac{f(x)}{x^2}$ (c) $y=\dfrac{x^2}{f(x)}$
  • [해답] (a) $y'=2xf(x)+x^2f'(x)$

    derivative of x^2f(x)
    (b) $y'=\dfrac{f'(x)x^2-f(x)(2x)}{(x^2)^2}=\dfrac{xf'(x)-2f(x)}{x^3}$
    derivative of f(x)/x^2
    (c) $y'=\dfrac{2xf(x)-x^2f'(x)}{[f(x)]^2}=\dfrac{x[2f(x)-xf'(x)]}{[f(x)]^2}$
    derivative of x^2/f(x)




    정리하기

    1. 점 $P(a,f(a))$에서 접선의 방정식은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$이고, 법선의 방정식은 $y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$이다. (단, $f'(a)\neq0$일 때)
    2. (파워 법칙) 모든 실수 $a$에 대해 함수 $x^a$의 도함수는 $ax^{a-1}$이다.
    3. 미분가능한 함수 $f$와 $g$에 대해, (a) $(cf)'=cf'$ ($c$는 상수), (b) $(f\pm g)'=f'\pm g'$, (c) $(fg)'=f'g+fg'$, (d) $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$이다.
    4. 삼각 함수의 도함수는 $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\tan x)'=\sec^2 x$, $(\cot x)'=-\csc^2x$, $(\sec x)'=\sec x\tan x$, $(\csc x)'=-\csc x\cot x$이다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.
    2. Calculus: Concepts and Contexts, 3rd ed., James Stewart, Thomson Brooks/Cole, 2005

    다음차시 소개

    7차시에서는 합성 함수의 미분 계산에 필요한 연쇄 법칙을 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.