7차시 연쇄 법칙

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학습개요

합성 함수의 미분 계산에 필요한 연쇄 법칙을 알아본다.
  1. 합성 함수의 도함수를 구하는 연쇄 법칙을 살펴본다.
  2. 여러 가지 방법으로 연쇄 법칙을 적용해 본다.

학습목표

  1. 연쇄 법칙을 이용해 합성 함수의 미분을 계산할 수 있다.
  2. 파워 연쇄 법칙, 세 함수의 연쇄 법칙, 이계 도함수의 연쇄 법칙을 이용해 미분을 계산할 수 있다.

학습하기

  1. 합성 함수의 미분
    • 연쇄 법칙, 연쇄 법칙을 이용한 계산, 표와 연쇄 법칙, 그래프와 연쇄 법칙
  2. 연쇄 법칙의 응용
    • 파워 연쇄 법칙, 세 함수의 연쇄 법칙, 이계 도함수의 연쇄 법칙, 도 단위 삼각 함수의 미분

연습하기

  • 1. 도함수를 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.125]
    (a) $f(x)=(x^2-x+1)^3$ (b) $g(x)=\sqrt[3]{1+\tan x}$ (c) $h(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$
  • [해답] (a) $f'(x)=3(x^2-x+1)^2(2x-1)$

    derivative of (x^2-x+1)^3
    (b) $g(x)=(1+\tan x)^{1/3}$이므로 $g'(x)=\frac{1}{3}(1+\tan x)^{-2/3}\sec^2x=\dfrac{\sec^2x}{3\sqrt[3]{(1+\tan x)^2}}$
    derivative of cbrt(1+tan(x))
    (c) $h(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{1/2}$이므로 $h'(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{-1/2}\cdot\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{1/2}\cdot\dfrac{(1)(x+1)-(x-1)(1)}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x-1)^{1/2}(x+1)^{3/2}}$
    derivative of sqrt((x-1)/(x+1))




  • 2. 주어진 점에서 다음 곡선의 접선의 방정식을 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.125]
    (a) $y=(1+2x)^{10}$, $(0,1)$ (b) $y=\sin x+\sin^2x$, $(0,0)$
  • [해답] (a) $y'=10(1+2x)^9\cdot(2)$이므로 점 $(0,1)$에서 $y'=20$이다. 따라서 접선의 방정식은 $y-1=20(x-0)$, 즉 $y=20x+1$이다.

    tangent line to (1+2x)^10 at x=0
    (b) $y'=\cos x+2\sin x\cos x$이므로 점 $(0,0)$에서 $y'=1$이다. 따라서 접선의 방정식은 $y-0=1(x-0)$, 즉 $y=x$이다.
    tangent line to sin(x)+sin^2(x) at x=0




  • 3. $h(x)=\sqrt{4+3f(x)}$이고 $f(1)=7$, $f'(1)=4$일 때, $h'(1)$을 찾아라. [1, p.125]
  • [해답] $h'(x)=\dfrac{3f'(x)}{2\sqrt{4+3f(x)}}$이므로 $h'(1)=\dfrac{3f'(1)}{2\sqrt{4+3f(1)}}=\dfrac{3(4)}{2\sqrt{4+3(7)}}=\dfrac{6}{5}$이다.

    derivative of sqrt(4+3f(x))




  • 4. $r(x)=f(g(h(x)))$이고 $h(1)=2$, $g(2)=3$, $h'(1)=4$, $g'(2)=5$, $f'(3)=6$일 때, $r'(1)$을 찾아라. [1, p.126]
  • [해답] $r'(x)=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)$이므로 $r'(1)=f'(g(h(1)))\cdot g'(h(1))\cdot h'(1)=f'(g(2))\cdot g'(2)\cdot 4=f'(3)\cdot 5\cdot 4=6\cdot 5\cdot 4=120$이다.




    정리하기

    1. (연쇄 법칙) 함수 $f$와 $g$가 모두 미분가능하면 합성 함수 $f\circ g$도 미분가능하고, 도함수는 $f'(g(x))\cdot g'(x)$이다.
    2. 합성 함수 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$를 미분할 때에는 바깥 함수 $f$를 $g(x)$에서 먼저 미분한 다음, 안쪽 함수 $g$의 도함수를 곱한다.
    3. (파워 연쇄 법칙) 함수 $u=g(x)$가 미분가능하면 모든 실수 $a$에 대해 $(u^a)'=au^{a-1}u'=a[g(x)]^{a-1}\cdot g'(x)$이다.
    4. 함수 $f$와 $g$가 모두 미분가능하면 합성 함수 $f\circ g$의 이계 도함수는 $f''(g(x))\cdot[g'(x)]^2+f'(g(x))\cdot g''(x)$이다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    8차시에서는 음함수 미분과 연관 변화율 문제를 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.