8차시 음함수 미분과 연관 변화율

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학습개요

연쇄 법칙을 이용한 음함수 미분과 연관 변화율 문제를 알아본다.
  1. 함수로 표현하기 힘든 곡선에 대해 음함수 미분을 이용해 미분을 계산한다.
  2. 실생활에 관련된 여러 예제들을 통해 연관 변화율 문제를 풀어 본다.

학습목표

  1. 음함수 미분을 이용해 함수로 표현하기 힘든 곡선에 대해서도 미분을 계산할 수 있다.
  2. 연관식을 세우고 미분을 계산해서 연관 변화율 문제를 해결할 수 있다.

학습하기

  1. 음함수 미분
    • 음함수 미분법, 음함수 미분과 접선의 방정식, 음함수 미분과 이계 도함수, 음함수 미분은 항상 가능한가?
  2. 연관 변화율
    • 부피의 변화율과 반지름의 변화율, 사다리 상단의 속도와 하단의 속도, 부피의 변화율과 수위의 변화율, 두 차의 속도와 차간 거리의 변화율, 사람의 속도와 서치라이트 회전 각도의 변화율

연습하기

  • 1. 음함수 미분법으로 $y'$을 구하고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.131]
    (a) $x^3+x^2y+4y^2=6$ (b) $x^2y^2+x\sin y=4$ (c) $\sqrt{x+y}=1+x^2y^2$
  • [해답] (a) 양 변을 미분하면 $3x^2+(2xy+x^2y')+8yy'=0$ $\Rightarrow$ $(x^2+8y)y'=-x(3x+2y)$ $\Rightarrow$ $y'=-\dfrac{x(3x+2y)}{x^2+8y}$

    derivative of x^3+x^2y+4y^2=6
    (b) 양 변을 미분하면 $(2xy^2+x^22yy')+(\sin y+x\cos y\cdot y')=0$ $\Rightarrow$ $(2x^2y+x\cos y)y'=-2xy^2-\sin y$ $\Rightarrow$ $y'=-\dfrac{2xy^2+\sin y}{2x^2y+x\cos y}$
    derivative of x^2y^2+x sin(y)=4
    (c) 양 변을 미분하면 $\frac{1}{2}(x+y)^{-1/2}(1+y')=2xy^2+x^22yy'$ $\Rightarrow$ $1+y'=2\sqrt{x+y}(2xy^2+2x^2yy')=4xy^2\sqrt{x+y}+4x^2y\sqrt{x+y}y'$ $\Rightarrow$ $(1-4x^2y\sqrt{x+y})y'=4xy^2\sqrt{x+y}-1$ $\Rightarrow$ $y'=\dfrac{4xy^2\sqrt{x+y}-1}{1-4x^2y\sqrt{x+y}}$
    derivative of sqrt(x+y)=1+x^2y^2




  • 2. 음함수 미분법으로 $y''$을 구하라. [1, p.131]
    (a) $9x^2+y^2=9$ (b) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$
  • [해답] (a) 양 변을 미분하면 $18x+2yy'=0$ $\Rightarrow$ $y'=-\dfrac{18x}{2y}=-\dfrac{9x}{y}$이고 $y''=-9\left(\dfrac{y-xy'}{y^2}\right)$이다. 그런데 $y'=-9x/y$이므로 $y''=-9\left(\dfrac{y-x(-9x/y)}{y^2}\right)=-9\left(\dfrac{y^2+9x^2}{y^3}\right)$이고, 또한 $y^2=9-9x^2$이므로 더 간추리면 $y''=-\dfrac{81}{y^3}$이다.
    (b) 양 변을 미분하면 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{y'}{2\sqrt{y}}=0$ $\Rightarrow$ $y'=-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$이고 $y''=-\dfrac{\frac{y'\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}}{x}$이다. 그런데 $y'=-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$이므로 $y''=\dfrac{1+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}}{2x}$이고, 또한 $\sqrt{y}=1-\sqrt{x}$이므로 더 간추리면 $y''=\dfrac{1+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{2x}=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$이다.




  • 3. 야구장 내야는 한 변이 90피트(ft)인 정사각형이다. 타격 후 1루를 향해 초속 24피트로 달리는 타자가 홈에서 1루까지 중간 지점에 다다랐을 때 (a) 2루까지의 거리는 얼마나 빨리 줄어드는가? (b) 3루까지의 거리는 얼마나 빨리 늘어나는가? [1, p.137]

    [해답] 타자와 홈까지의 거리를 $x$, 2루까지의 거리를 $y$, 3루까지의 거리를 $z$라고 하면, 1루까지의 거리는 $90-x$가 되고 타자의 속도는 $\dfrac{dx}{dt}=24$로 주어졌다.
    (a) 연관식은 피타고라스 정리에 의해 $y^2=(90-x)^2+90^2$이고 양 변을 미분하면 $2y\dfrac{dy}{dt}=2(90-x)\left(-\dfrac{dx}{dt}\right)$가 된다. 그런데 $x=45$일 때 $y=\sqrt{45^2+90^2}=45\sqrt{5}$이므로 $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{90-x}{y}\left(-\dfrac{dx}{dt}\right)=\dfrac{45}{45\sqrt{5}}(-24)=-\dfrac{24}{\sqrt{5}}\approx -10.7$이다. 즉, 2루까지의 거리는 약 초속 10.7피트로 줄어든다.
    (b) 연관식은 $z^2=x^2+90^2$이고 양 변을 미분하면 $2z\dfrac{dz}{dt}=2x\dfrac{dx}{dt}$가 된다. 그런데 $x=45$일 때 $z=45\sqrt{5}$이므로 $\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{dx}{dt}\right)=\dfrac{45}{45\sqrt{5}}(24)=\dfrac{24}{\sqrt{5}}\approx 10.7$이다. 즉, 3루까지의 거리는 약 초속 10.7피트로 늘어난다.




  • 4. 삼각형의 높이는 분당 1cm 늘어나고 넓이는 분당 2cm$^2$ 늘어난다고 하자. 삼각형의 높이가 10cm, 넓이가 100cm$^2$가 되었을 때 밑변의 길이는 어떻게 변하는가? [1, p.137]

    [해답] 삼각형의 밑변의 길이를 $b$, 높이를 $h$라 하면 넓이의 연관식은 $A=\frac{1}{2}bh$이고, 높이의 변화율은 $\dfrac{dh}{dt}=1$, 넓이의 변화율은 $\dfrac{dA}{dt}=2$로 주어졌다. 연관식의 양 변을 미분하면 $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{db}{dt}h+b\dfrac{dh}{dt}\right)$이고, $h=10$ 및 $A=100$일 때 $100=\frac{1}{2}b(10)$ $\Rightarrow$ $b=20$이므로 $2=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{db}{dt}(10)+20\cdot1\right)$ $\Rightarrow$ $\dfrac{db}{dt}=\dfrac{4-20}{10}=-1.6$이다. 즉, 밑변의 길이는 분당 1.6cm 줄어든다.




  • 정리하기

    1. 데카르트의 잎사귀선과 같이 함수의 그래프가 아니지만 일부분은 (음)함수의 그래프가 되는 경우에도 접선의 기울기를 구할 수 있다.
    2. (음함수 미분) 주어진 식의 양 변을 $x$에 대해 미분한다. 이때 $y$는 $x$에 대해 미분가능한 함수로 생각해서 연쇄 법칙을 이용해 계산한다. 끝으로 $y'$에 대한 식이 되도록 정리하면 된다.
    3. (연관 변화율 문제) 서로 연관되어 있는 두 가지 변화율에 대해, 측정하기 쉬운 변화율로부터 다른 변화율을 구할 수 있다.

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    9차시에서는 최대 최솟값 정리와 평균값 정리를 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.