9차시 최대 최솟값과 평균값 정리

들어가기

학습개요

최대 최솟값 정리와 평균값 정리를 알아본다.
  1. 닫힌 구간 방법을 이용해 최댓값과 최솟값을 구한다.
  2. 평균값 정리와 평균값 정리를 활용한 문제들을 살펴본다.

학습목표

  1. 닫힌 구간 방법을 설명하고 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.
  2. 평균값 정리를 설명하고 평균값 정리를 활용한 문제들을 풀 수 있다.

학습하기

  1. 최대 최솟값과 닫힌 구간 방법
    • 최댓값과 최솟값, 최대 최솟값 정리, 극댓값과 극솟값, 페르마의 정리, 임계점과 닫힌 구간 방법
  2. 평균값 정리
    • 근의 유일성 문제, 롤의 정리, 평균값 정리, 평균값 정리의 응용, 도함수가 같은 두 함수는 상수 차이가 난다

연습하기

  • 1. 그래프를 보고 함수의 최댓값과 최솟값, 그리고 극댓값과 극솟값을 찾아라. [1, p.212]
  • [해답] 최댓값은 $f(4)=4$, 최솟값은 $f(7)=0$, 극댓값은 $f(4)=4$와 $f(6)=3$, 극솟값은 $f(2)=1$과 $f(5)=2$이다.




  • 2. 주어진 구간에서 닫힌 구간 방법으로 최댓값과 최솟값을 찾고 Wolfram|Alpha로 확인하라. [1, p.213]
    (a) $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$, $[-1,4]$ (b) $g(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$, $[0,3]$ (c) $h(x)=\sin x+\cos x$, $[0,\frac{\pi}{3}]$
  • [해답] (a) $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)=0$이 되는 $x$, 즉 임계점은 $1$과 $3$이다. 임계점에서 함숫값은 $f(1)=6$, $f(3)=2$이고, 양 끝점에서 함숫값은 $f(-1)=-14$, $f(4)=6$이므로 닫힌 구간 방법에 의해 최댓값은 $f(1)=f(4)=6$이고 최솟값은 $f(-1)=-14$이다.

    extrema x^3-6x^2+9x+2 on [-1,4]
    (b) $g'(x)=\dfrac{1(x^2+4)-x(2x)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}=0$이 되는 $x=\pm2$인데 $-2$는 구간 $(0,3)$에 들어있지 않으므로 임계점은 $2$이다. 임계점에서 함숫값은 $f(2)=\frac{1}{4}$이고, 양 끝점에서 함숫값은 $f(0)=0$, $f(3)=\frac{3}{13}$이므로 닫힌 구간 방법에 의해 최댓값은 $f(2)=\frac{1}{4}$이고 최솟값은 $f(0)=0$이다.
    extrema x/(x^2+4) on [0,3]
    (c) $h'(x)=\cos x-\sin x=0$, 즉 $\sin x=\cos x$이 되는 $x\in(0,\frac{\pi}{3})$는 $\frac{\pi}{4}$이다. 임계점에서 함숫값은 $f(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}$이고, 양 끝점에서 함숫값은 $f(0)=1$, $f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$이므로 닫힌 구간 방법에 의해 최댓값은 $f(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}$이고 최솟값은 $f(0)=1$이다.
    extrema sin(x)+cos(x) on [0,pi/3]




  • 3. 함수 $f(x)=2x-1-\sin x=0$의 근은 오직 하나 뿐임을 보여라. [1, p.221]
  • [해답] 함수 $f$는 미분가능하므로 연속이고 $f(0)=-1\lt0$, $f(\frac{\pi}{2})=\pi-2\gt0$이므로 중간값 정리에 의해 $0$과 $\frac{\pi}{2}$ 사이에 근이 적어도 하나 있다. 만약 함수 $f$가 서로 다른 두 근을 가진다면 롤의 정리 (또는 평균값 정리)에 의해 $f'(c)=0$이 되는 점이 적어도 하나 존재해야 한다. 그런데 $f'(x)=2-\cos x\geq1$이므로 이러한 점 $c$는 존재하지 않는다. 따라서 함수 $f$의 근은 오직 하나 뿐이다.




  • 4. 모든 $x$에 대해 $3\leq f'(x)\leq 5$라고 할 때, $18\leq f(8)-f(2)\leq 30$임을 보여라. [1, p.221]
  • [해답] 구간 $[2,8]$에서 평균값 정리를 적용하면 $f'(c)=\dfrac{f(8)-f(2)}{8-2}=\dfrac{f(8)-f(2)}{6}$ $\Rightarrow$ $6f'(c)=f(8)-f(2)$인 점 $c\in(2,8)$가 존재한다. 그런데 $3\leq f'(c)\leq 5$이므로 $18\leq 6f'(c)=f(8)-f(2)\leq 30$이다.




    정리하기

    1. (최대 최솟값 정리) 함수 $f$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이면, $f(c)$가 최댓값이 되고 $f(d)$가 최솟값이 되는 점 $c$와 $d$가 구간 $[a,b]$ 안에 반드시 존재한다.
    2. (페르마의 정리) 함수 $f$가 점 $c$에서 극댓값 또는 극솟값을 가지고 미분가능하면 $f'(c)=0$이다.
    3. (닫힌 구간 방법) 닫힌 구간 $[a,b]$에서 정의된 연속 함수 $f$의 최댓값과 최솟값을 구하려면 내부 구간 $(a,b)$에서 임계점을 모두 구하고, 임계점들의 함숫값과 양 끝점의 함숫값 $f(a)$ 및 $f(b)$를 비교한다. 이들 중 가장 큰 값이 최댓값이 되고, 가장 작은 값이 최솟값이 된다.
    4. (평균값 정리) 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이고 내부 구간 $(a,b)$에서 미분가능하면 구간 $(a,b)$ 안에 $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$가 되는 점이 적어도 하나 존재한다.
    5. 열린 구간 $(a,b)$ 안의 모든 $x$에서 $f'(x)=g'(x)$이면 $f(x)=g(x)+C$이다. (단, $C$는 상수)

    참고하기

    [참고 문헌]
    1. 미분적분학, James Stewart (수학교재편찬위원회 역), 교우사, 2011.

    다음차시 소개

    10차시에서는 일계 및 이계 도함수와 함수의 그래프는 어떤 관계가 있는지 공부한다.

    Q. 위에 제시된 과제를 풀면서 확인한 답과 그래프 및 사이버 랩 실습을 마치고, 몇 몇 문제는 문제의 함수나 조건 또는 크기를 바꾸어 자신의 문제로 만들어, 같은 도구를 이용하여 푼 후 그 문제와 답 및 그 과정에서 배우거나 느낀 점 등을 관련된 웹 주소 를 포함하여 아래 한글 파일에 정리하여 과제함에 제출하시오.