(가제) 공학수학 with Sage 코드개발 by SKKU

상미분방정식의 해

다음 미분방정식에 대하여 오른편에 주어진 함수가 해가 됨을 보여라.

                  .                          (2)

단, 여기서 는 임의 상수이다.

주어진 함수를 2번 미분하면

                         .
.

이것을 주어진 미분방정식에 대입하면

가 되어 주어진 미분방정식을 만족하므로 따라서 해이다.

An Example

Consider the initial value problem  y' = x+y , y(0) =2. 

Here  y'= (x,y)=x+y. We can use Sage to solve this differential equation exactly. First, we will rewrite the differential equation as y' -x-y=0.

Now let’s generate a numerical solution. Starting with the initial condition, we will use Eulers Method with a step size of 0.1 to generate 4 additional points.

Continuing in this manner we will find 20 points use Euler’s Method and now plot the exact solution together with our approximate solution and on the same graph.

예제

예제 1.1.5 특별히, 를 고려해보자. 모든 에 대하여 . 다시 말해서, 미분방정식의 해 를 찾아보자. 에 자신의 미분함수를 더했을 때, 항상 1이 되는 함수가 얼마나 많이 존재할까? 몇 개의 적당한 함수를 골라 확인해 보자.

계 미분방정식 는 포물선족

로부터 얻어진다. 이 미분방정식은 주어진 포물선족의 임의의 한 곡선 위의 한 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 라 하고 축에 내린 수선의 발을 라 할 때, 의 중점이 포물선의 꼭지점이 된다는 포물선족의 공통인 성질을 나타내고 있다.

다음 곡선족으로부터 만들어지는 미분방정식을 구하시오. 여기서 는 임의 상수이다.

 (Sage를 이용하여 변수에 관해서 미분해서 임의상수를 소거하면 미분방정식이 구해진다.)

예제 3-1

예제 3-30

3.7.1.질량-스프링 시스템

응용 1: 자유진동 질량-스프링 시스템

3.7.2. 질량-댐퍼-스피링 시스템

응용 4: 자유진동 질량-댐퍼-스프링 시스템

<연습문제>

2.1 (변수분리형) 다음 미분방정식의 해를 구하라.

(a) 

 (b)