[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

1. 벡터

$n$개의 실수의 순서조 $(x_1 , x_2 , \ldots, x_n )$을 $n$차원 벡터($n$-dimensional vector)라고 하고

      ${\bf x} = (x_1 , x_2 , \ldots, x_n ) = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}$

로 나타낸다. 이때 실수 $x_1 , x_2 , \ldots, x_n $을 ${\bf x}$의 성분(entry)이라 한다. 

모든 $n$차원 벡터 전체의 집합을 $n$-공간 ($n$차원 공간, $n$-dimensional space)이라 하고 $\mathbb{R}^n$으로 나타낸다.

2. 영벡터, 음벡터

$\mathbb{R}^n$의 벡터 ${\bf x} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}$, ${\bf x} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}$와 스칼라 $k$에 대하여

두 벡터의 합 ${\bf x}+{\bf y}$와 $k$에 의한 ${\bf x}$의 스칼라배 $k{\bf x}$를 각각 다음과 같이 정의한다.

    (i) ${\bf x}+{\bf y} = \begin{bmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots\\ x_n+y_n \end{bmatrix}$      (ii) $k{\bf x} = \begin{bmatrix} kx_1\\ kx_2\\ \vdots\\ kx_n \end{bmatrix}$

또한 $\mathbb{R}^n$에서 모든 성분이 $0$인 벡터를 영벡터(zero vector) 또는 원점(origin)이라 하고 ${\bf 0}$으로 나타낸다.

그러면 임의의 벡터 ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

    ${\bf x}+{\bf 0} = {\bf x}$,  ${\bf x}+(-1){\bf x} = {\bf 0}$

여기서 $(-1){\bf x}= -{\bf x}$로 정의하며 $-{\bf x}$를 ${\bf x}$의 음벡터(negative vector)라 한다.

(1) 3차원 벡터의 경우

(2) 4차원 벡터의 경우

(3) 시각화

- 두 벡터의 덧셈

- 벡터의 스칼라배

- 문제 자동 생성 (Random Problem Generator)

3. 일차결합

${\bf v}_1, {\bf v}_2, \ldots, {\bf v}_k$가 $\mathbb{R}^n$의 벡터이고 계수 $c_1, c_2, \ldots, c_k$가 실수일 때,

    ${\bf x}=c_1{\bf v}_1 + c_2{\bf v}_2 + \cdots + c_k{\bf v}_k$

인 형태를 ${\bf v}_1, {\bf v}_2, \ldots, {\bf v}_k$의 일차결합(linear combination)이라 한다. 

- 시각화

(아래 SageMathCell에 실습해보세요)