Section 1.2 내적과 직교 -- Sage

[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

18. 현대선형대수학 with Sage (Linear Algebra with Sage), 이상구 with 이재화, 김덕선. ISBN 978-89-6105-568-0, 경문사 (2012, 9. 1.).

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

1. 노름과 거리

$\mathbb{R}^n$의 벡터 ${\bf x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$에 대하여

$\|{\bf x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$

을 ${\bf x}$의 노름 (norm, length, magnitude)이라 한다.

위의 정의에서 $\|{\bf x}\|$는 원점에서 점 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$에 이르는 거리로 정의됨을 의미한다.

따라서 $\mathbb{R}^n$의 두 벡터 ${\bf x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, ${\bf y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$에 대하여 $\|{\bf x}-{\bf y}\|$는

두 점 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$와 $Q(y_1, y_2, \ldots, y_n)$사이의 거리로 정의한다. 즉,

$\|{\bf x}-{\bf y}\| = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2}$

- 문제 자동 생성 (Random Problem Generator)

2. 내적

$\mathbb{R}^n$의 두 벡터 ${\bf x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, ${\bf y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$에 대하여 실수

$x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$

을 ${\bf x}$와 ${\bf y}$의 내적 (Euclidean inner product, dot product)이라 하고 ${\bf x} \cdot {\bf y}$로 나타낸다. 즉,

${\bf x} \cdot {\bf y} = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$

특히 ${\bf x} \cdot {\bf x} = \|{\bf x}\|^2$이 성립한다.

- 문제 자동 생성 (Random Problem Generator)

3. 사잇각

$\mathbb{R}^n$의 두 벡터 ${\bf x}$와 ${\bf y}$에 대하여

${\bf x} \cdot {\bf y} = \|{\bf x}\|\|{\bf y}\| \cos\theta$, $0\le\theta \le\pi$

인 $\theta$를 ${\bf x}$와 ${\bf y}$의 각 (angle, 사잇각)이라 한다.

특히 다음이 성립한다.

(1) ${\bf x} \cdot {\bf y} = 0$일 때 ${\bf x}$와 ${\bf y}$는 서로 직교한다.

(2) 적당한 실수 $k$에 대하여 ${\bf x}=k{\bf y}$인 경우에 ${\bf x}$는 ${\bf y}$와 평행하다.

(아래 SageMathCell에 실습해보세요)