[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

1. 직선의 방정식

$\mathbb{R}^3$에서 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$를 지나고 ${\bf 0}$ 아닌 벡터 ${\bf v}=a{\bf i}+b{\bf j}+c{\bf k}=(a,b,c)$에 평행한 직선은

벡터 ${\bf v}$와 $\overrightarrow{P_0P}$가 평행, 즉 $\overrightarrow{P_0P}=t{\bf v}, (t\in\mathbb{R})$를 만족하는 점 $P(x,y,z)$ 전체의 집합과 같다.

$\overrightarrow{OP_0}={\bf p}_0$, $\overrightarrow{OP}={\bf p}$로 놓으면 $\overrightarrow{P_0P}={\bf p}-{\bf p}_0$ 이다. 따라서 ${\bf p}-{\bf p}_0=t{\bf v}$, 즉 ${\bf p} = {\bf p}_0 + t{\bf v}$이다.

(1) 벡터방정식 :  $(x,y,z)={\bf p} = {\bf p}_0 + t{\bf v}=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c), ({\bf p}=\overrightarrow{OP}, {\bf p}_0=\overrightarrow{OP_0})$

(2) 매개방정식 :  $x=x_0+ta, y=y_0+tb, z=z_0+tc$

(3) 대칭방정식 :  $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}(=t), (a,b,c\ne 0)$

- (시각화) 두 점을 지나는 직선의 방정식

2. 평면의 방정식

(1) point-normal 방정식 : $\mathbb{R}^3$에서 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$를 지나고 ${\bf 0}$ 아닌 벡터 ${\bf n}=(a,b,c)$ (법선벡터, normal vector)에

수직인 벡터들이 이루는 평면 $\pi$는

    ${\bf n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = (a,b,c) \cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0$

을 만족하는 점 $P(x,y,z)$ 전체의 집합과 같다. 즉 $ax+by+cz-(ax_0+by_0+cz_0)=ax+by+cz+d=0$이다.

(2) 벡터방정식 : 평면 $W$ 위의 한 점 ${\bf x}_0$와 $W$ 위에 있는 서로 상수배가 아닌 두 벡터 ${\bf v}_1, {\bf v}_2$가 있다면,

이 평면 $W$를 벡터방정식 또는 매개방정식으로 유일하게 표현할 수 있다.

    ${\bf x}-{\bf x}_0=t_1{\bf v}_1+t_2{\bf v}_2$ 또는 ${\bf x}={\bf x}_0+t_1{\bf v}_1+t_2{\bf v}_2, (-\infty < t_1, t_2 < \infty)$

(3) 매개방정식 : ${\bf x}=(x,y,z), {\bf x}_0=(x_0,y_0,z_0), {\bf v}_1=(a_1, b_1,c_1), {\bf v}_2=(a_2, b_2,c_2)$라 하면

    ${\bf x}={\bf x}_0+t_1{\bf v}_1+t_2{\bf v}_2 \Rightarrow (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t_1(a_1, b_1,c_1)+t_2(a_2, b_2,c_2)$

또는

    $\begin{cases} x = x_0 + t_1 a_1 + t_2 a_2 &\\ y = y_0 + t_1 b_1 + t_2 b_2 & (t_1, t_2\in\mathbb{R}) \\ z = z_0 + t_1 c_1 + t_2 c_2 &\end{cases}$

• 평면을 시각화하려면 아래 코드를 복사하여 http://sagecell.sagemath.org/에서 실행하세요.

- 문제 자동 생성 (Random Problem Generator)

3. 정사영

벡터 $x=\overrightarrow{OQ}$와 $y=\overrightarrow{OP}$가 $\mathbb{R}^3$에 있고 ${\bf x}\ne {\bf 0}$라 하자. 그러면 $P$에서 $\overrightarrow{OQ}$에 내린 수선의 발을 $S$라 할 때,

벡터 ${\bf p}=\overrightarrow{OS}$를 ${\bf x}$위로의 ${\bf y}$의 정사영(projection)이라 하고 ${\rm proj}_{\bf x}{\bf y}$로 나타낸다.

이때 벡터 ${\bf w}=\overrightarrow{SP}={\bf y}-{\bf p}$를 ${\bf x}$에 수직인 ${\bf y}$의 벡터성분(vector component)이라 한다.

따라서 ${\bf y}$는 두 벡터의 합 ${\bf y}={\bf p}+{\bf w}$로 나타내어진다.

- 시각화

정리. [점과 평면 사이의 거리]

점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$와 평면 $\pi : ax+by+cz+d=0$사이의 거리 $D$는 다음과 같다. 

    $D=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

위의 그림에서 $P(x,y,z)$을 평면 $\pi$위의 점이라 하고 ${\bf v}=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$,

${\bf n}=(a,b,c)$이라고 하면 $D=\|{\rm proj}_{\bf n}{\bf v}\|$이다.

- 문제 자동 생성 (Random Problem Generator)

• 평면을 시각화하려면 아래 코드를 복사하여 http://sagecell.sagemath.org/에서 실행하세요.

(아래 SageMathCell에 실습해보세요)