[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

1. 선형방정식과 선형연립방정식

미지수 $x_1, x_2, \ldots, x_n$에 관한 선형방정식 (linear equation)은

$b$와 $a_1, a_2, \ldots, a_n$이 실수일 때, 다음과 같은 모양의 방정식이다.

    $a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b$

즉, 선형방정식은 미지수의 차수가 1인 일차식과 상수항으로 이루어진 방정식이다.

그리고 미지수 $x_1, x_2, \ldots, x_n$에 관한 유한 개의 선형방정식의 모임

    $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$

    $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$

                             $\vdots$

    $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m$

을 선형연립방정식(system of linear equations)이라고 한다.

특히 상수항 $b_1, b_2, \ldots, b_m$이 모두 $0$인 선형연립방정식을

동차선형연립방정식(homogeneous system of linear equations)이라 한다.

- 선형연립방정식의 풀이(SageMath의 solve 명령어 활용)

2. 행렬

실수(또는 복소수)를 다음과 같이 직사각형 모양의 행과 열로 배열한 것을

행렬(matrix)이라 하며, 그 각각의 수를 행렬의 성분(entry)이라고 한다.

    $\begin{bmatrix} a_{11} &  a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

행렬 $A$에서 $\begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix}$을 $A$의 $i$행이라하고

               $\begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}$

을 $A$의 $j$열이라고 한다. 또 $m$개의 행과 $n$개의 열을 갖는 행렬 $A$를 크기(size)가 $m\times n$인

행렬이라고 하며, 특히 $m=n$이면 $n$차의 정사각행렬(square matrix)이라고 한다.

- 행렬 생성

3. 선형연립방정식의 계수행렬과 첨가행렬

$n$개의 미지수를 갖는 $m$개의 선형방정식으로 이루어진 선형연립방정식 (1)

    $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$

    $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$

                               $\vdots$

    $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m$

에 대하여

    $A=\begin{bmatrix} a_{11} &  a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$,  ${\bf x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$,  ${\bf b}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

이라 하면 선형연립방정식 (1)은 행렬의 곱을 이용하여 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

    $A{\bf x} = {\bf b}$

이때 행렬 $A$를 선형연립방정식 (1)의 계수행렬(coefficient matrix)이라 하며 $A$에 ${\bf b}$를 붙여서 만든 행렬

    $\begin{bmatrix} A & : & {\bf b} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11} &  a_{12} & \cdots & a_{1n} & : & b_1 \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} & : & b_2 \\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots & : & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & : & b_m \end{bmatrix}$

를 선형연립방정식 (1) 의 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.

- 첨가행렬 생성

(아래 SageMathCell에 실습해보세요)