Section 3.4 부분공간과 일차독립 -- Sage

[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

18. 현대선형대수학 with Sage (Linear Algebra with Sage), 이상구 with 이재화, 김덕선. ISBN 978-89-6105-568-0, 경문사 (2012, 9. 1.).

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

*본 절의 선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.

1. 일차결합

$\mathbb{R}^n$의 부분집합 $\{{\bf x}_1, {\bf x}_2, \ldots, {\bf x}_k\}$에 대하여 벡터 ${\bf x}\in\mathbb{R}^n$가

${\bf x}=c_1{\bf x}_1 + c_2 {\bf x}_2 + \cdots + c_k{\bf x}_k$, $c_1, c_2, \ldots, c_k\in\mathbb{R}$

의 꼴로 표시되면, ${\bf x}$를 벡터 ${\bf x}_1, {\bf x}_2, \ldots, {\bf x}_k$ 의 일차결합(linear combination)이라고 한다.

2. 부분공간

집합 $W(\ne \emptyset)$가 $\mathbb{R}^n$의 부분집합이라 하자. 이때 다음 두 조건을 만족하는

$W$는 $\mathbb{R}^n$의 부분공간(subspace)이다.

(1) ${\bf x}, {\bf y} \in W$ $\Rightarrow$ ${\bf x}+{\bf y} \in W$ (덧셈에 닫혀 있다.)

(2) ${\bf x} \in W$, $k\in\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $k{\bf x} \in W$ (스칼라배에 닫혀 있다.)

- 일차결합 계산

- 부분공간

$\mathbb{R}^n$의 부분집합 $S=\{{\bf x}_1, {\bf x}_2, \ldots, {\bf x}_k\}$에 대하여 $S$에 있는 $k$개

벡터들의 일차결합 전체의 집합, 즉

$W=\{c_1{\bf x}_1+c_2{\bf x}_2+\cdots+c_k{\bf x}_k\}$

은 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이다. 이를 $W={\rm span}(S)$ 또는 $W= <S>$로 나타낸다.

- 일차결합으로 표시가능한지 확인

(1) 연립방정식 이용

(2) 부분 공간 이용

3. 행공간과 열공간

$A=[a_{ij}]\in M_{m\times n}$이면 $A$의 열벡터들 $A^{(1)}, A^{(2)}, \ldots, A^{(n)}$의 생성(span)

$<A^{(1)}, A^{(2)}, \ldots, A^{(n)}>$ 또는 ${\rm col}(A)$

은 $\mathbb{R}^m$의 부분공간이다. 이를 행렬 $A$의 열공간(column space)이라 한다.

같은 방법으로 $A$의 행벡터들 $A_{(1)}, A_{(2)}, \ldots, A_{(m)}$의 생성(span)

$<A_{(1)}, A_{(2)}, \ldots, A_{(m)}>$ 또는 ${\rm Row}(A)$

은 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이다. 이를 행렬 $A$의 행공간(row space)이라 한다.

4. 일차독립과 일차종속

$S=\{{\bf x}_1, {\bf x}_2, \ldots, {\bf x}_k\}\subset\mathbb{R}^n$에 대하여

$c_1{\bf x}_1+c_1{\bf x}_1+\cdots+c_1{\bf x}_1={\bf 0}$ $\Rightarrow$ $c_1=c_2=\cdots=c_k=0$

이면, 벡터 ${\bf x}_1, {\bf x}_2, \ldots, {\bf x}_k$ (또는 집합 $S$)는 일차독립(linearly independent)이라고 하고

벡터 ${\bf x}_1, {\bf x}_2, \ldots, {\bf x}_k$ (또는 집합 $S$)는 일차독립이 아니면 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.

- 일차독립성 확인

(아래 SageMathCell에 실습해보세요)