Section 4.5 고유값과 고유벡터


[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf

18. 현대선형대수학 with Sage (Linear Algebra with Sage), 이상구 with 이재화, 김덕선. ISBN 978-89-6105-568-0, 경문사 (2012, 9. 1.).

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

 

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

 

*본 절의 선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.

(Korean) https://youtu.be/96Brbkx1cQ4

(English) https://youtu.be/s1OI74nr660

 

1. 고유값과 고유벡터

$A$를 $n$차의 정사각행렬이라 하자. $0$ 아닌 벡터 ${\bf x}\in\mathbb{R}^n$가 적당한 스칼라 $\lambda$에 대하여

다음을 만족하면 $\lambda$를 $A$의 고유값(eigenvalue)이라 하고, ${\bf x}$를 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유벡터(eigenvector)라고 한다.

      $A{\bf x}=\lambda {\bf x}$

 




- 문제 자동 생성(Random Problem Generator)




2. 특성방정식과 특성다항식

      $A{\bf x}=\lambda {\bf x}$  $\iff$  $A{\bf x}=\lambda I_n {\bf x}$  $\iff$  $(\lambda I_n - A){\bf x}= {\bf 0}$

이고, 또한 ${\bf x}\ne{\bf 0}$이므로 동차연립방정식 $(\lambda I_n - A){\bf x}= {\bf 0}$은 ${\bf 0}$ 아닌 해를 가져야 한다. 

따라서 특성방정식(characteristic equation) $|\lambda I_n - A| = 0$이 성립해야 한다. 

$f_A(\lambda)=|\lambda I_n - A|$는 특성다항식(characteristic polynomial)이라 한다.




- 문제 자동 생성(Random Problem Generator)




3. 고유공간

$\lambda$가 $n$차의 정사각행렬 $A$의 고유값일 때, 동차연립방정식 $(\lambda I_n - A){\bf x}= {\bf 0}$의 해공간을 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유공간(eigenspace)이라고 한다.




(아래 SageMathCell에 실습해보세요)




*선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.
http://matrix.skku.ac.kr/2017-Album/2017-Spring-Lectures.htm

 

Copyright @ 2018 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee and Dr. Jae Hwa Lee
*This research was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded by the Ministry of Education (2017R1D1A1B03035865).