Section 6.1 함수(변환)로서의 행렬
[References]
1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)
http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf
2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)
http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf
3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).
[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]
1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/
2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/
3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/
*본 절의 선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.
(Korean) https://youtu.be/Yr23NRSpSoM
(English) https://youtu.be/Es4BfHnIq7g
1. 변환, 행렬변환, 선형변환
(1) 입력과 출력이 모두 벡터인 함수를 변환(Transformation)이라 한다. 그리고 $\mathbb{R}^n$에서
$\mathbb{R}^m$으로의 변환 $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$에서 ${\bf w}=T({\bf x})$를 벡터 ${\bf x}$의 $T$에 대한 이미지(image),
${\bf x}$를 벡터 ${\bf w}$의 원상 (pre-image)이라 한다.
(2) 변환의 특수한 경우로 $A$가 $m\times n$ 행렬이고 $T_A({\bf x})=A{\bf x}$, ${\bf x}\in \mathbb{R}^n$인
$T_A : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$를 행렬변환(matrix transformation)이라 한다.
(3) $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 변환 $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$가 임의의 벡터 ${\bf u}$, ${\bf v}\in\mathbb{R}^n$와 임의의 스칼라 $k$에 대하여
다음 두 조건을 만족하면 $T$를 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 선형변환(linear transformation)이라고 한다.
$T({\bf u}+{\bf v})=T({\bf u})+T({\bf v})$ $T(k{\bf u})=kT({\bf u})$ $(k\in\mathbb{R})$
특히 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^n$ 자신으로의 선형변환 $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$를 $\mathbb{R}^n$위의 선형연산자(linear operator)라고 한다.
2. 표준행렬
$T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$을 임의의 선형변환이라 하자. $\mathbb{R}^n$의 기본단위벡터 ${\bf e}_1, \ldots, {\bf e}_n$에 대하여
$T({\bf e}_1), \ldots, T({\bf e}_n)$을 열벡터로 갖는 $m\times n$ 행렬을 $A$라 하면
$A=[T({\bf e}_1):T({\bf e}_2):\cdots:T({\bf e}_n)]=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$
이므로
$T({\bf x})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}=A{\bf x}$
이다. 위의 행렬 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$를 선형변환 $T$의 표준행렬(standard matrix)이라 하며 $[T]$라 표시한다.
- 문제 자동 생성(Random Problem Generator)
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*선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.
http://matrix.skku.ac.kr/2017-Album/2017-Spring-Lectures.htm
Copyright @ 2018 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee and Dr. Jae Hwa Lee
*This research was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded by the Ministry of Education (2017R1D1A1B03035865).