Section 6.1 함수(변환)로서의 행렬


[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf

18. 현대선형대수학 with Sage (Linear Algebra with Sage), 이상구 with 이재화, 김덕선. ISBN 978-89-6105-568-0, 경문사 (2012, 9. 1.).

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

 

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

 

*본 절의 선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.

(Korean) https://youtu.be/Yr23NRSpSoM

(English) https://youtu.be/Es4BfHnIq7g

 

1. 변환, 행렬변환, 선형변환

(1) 입력과 출력이 모두 벡터인 함수를 변환(Transformation)이라 한다. 그리고 $\mathbb{R}^n$에서

$\mathbb{R}^m$으로의 변환 $T :  \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$에서 ${\bf w}=T({\bf x})$를 벡터 ${\bf x}$의 $T$에 대한 이미지(image),

${\bf x}$를 벡터 ${\bf w}$의 원상 (pre-image)이라 한다.

(2) 변환의 특수한 경우로 $A$가 $m\times n$ 행렬이고 $T_A({\bf x})=A{\bf x}$, ${\bf x}\in \mathbb{R}^n$인 

$T_A :  \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$를 행렬변환(matrix transformation)이라 한다.

(3) $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 변환 $T :  \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$가 임의의 벡터 ${\bf u}$, ${\bf v}\in\mathbb{R}^n$와 임의의 스칼라 $k$에 대하여

다음 두 조건을 만족하면 $T$를 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 선형변환(linear transformation)이라고 한다.

      $T({\bf u}+{\bf v})=T({\bf u})+T({\bf v})$       $T(k{\bf u})=kT({\bf u})$  $(k\in\mathbb{R})$

특히 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^n$ 자신으로의 선형변환 $T :  \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$를 $\mathbb{R}^n$위의 선형연산자(linear operator)라고 한다.







2. 표준행렬

$T :  \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$을 임의의 선형변환이라 하자. $\mathbb{R}^n$의 기본단위벡터 ${\bf e}_1, \ldots, {\bf e}_n$에 대하여

$T({\bf e}_1), \ldots, T({\bf e}_n)$을 열벡터로 갖는 $m\times n$ 행렬을 $A$라 하면

      $A=[T({\bf e}_1):T({\bf e}_2):\cdots:T({\bf e}_n)]=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

이므로 

      $T({\bf x})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}=A{\bf x}$

이다. 위의 행렬 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$를 선형변환 $T$의 표준행렬(standard matrix)이라 하며 $[T]$라 표시한다.




- 문제 자동 생성(Random Problem Generator)




(아래 SageMathCell에 실습해보세요)




*선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.
http://matrix.skku.ac.kr/2017-Album/2017-Spring-Lectures.htm

 

Copyright @ 2018 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee and Dr. Jae Hwa Lee
*This research was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded by the Ministry of Education (2017R1D1A1B03035865).