[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

*본 절의 선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.

(Korean) https://youtu.be/8P7cd-Eh328

(English) https://youtu.be/45J08qGSzmk

1. 고유공간과 해공간, 영공간의 차원

(1) $n\times n$ 행렬 $A$의 고유값 $\lambda$에 대한 고유공간 $\{{\bf x} \in \mathbb{R}^n | A{\bf x}=\lambda {\bf x} \}$은 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이다.

(2) 동차연립방정식 $A{\bf x}={\bf 0}$의 해집합은 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이다. 이를 동차연립방정식 $A{\bf x}={\bf 0}$의 해공간(solution space) 또는 행렬 $A$의 영공간(null space)이라 하며 ${\rm Null}(A)$로 나타낸다.

(3) $m\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $A{\bf x}={\bf 0}$의 해공간, 즉 $A$의 영공간의 차원을 ${\rm nullity}(A)$라고 나타낸다. 즉 ${\rm dim   Null}(A)={\rm nullity}(A)$이다.

2. 행공간과 열공간, 행계수와 열계수

(1) $A=[a_{ij}]\in M_{m\times n}$이면 $A$의 열벡터들 $A^{(1)}, A^{(2)}, \ldots, A^{(n)}$의 생성(span)

      $<A^{(1)}, A^{(2)}, \ldots, A^{(n)}>$ 또는 ${\rm Col}(A)$

은 $\mathbb{R}^m$의 부분공간이다. 이를 행렬 $A$의 열공간(column space)이라 한다. 

같은 방법으로 $A$의 행벡터들 $A_{(1)}, A_{(2)}, \ldots, A_{(m)}$의 생성(span)

      $<A_{(1)}, A_{(2)}, \ldots, A_{(m)}>$ 또는 ${\rm Row}(A)$

은 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이다. 이를 행렬 $A$의 행공간(row space)이라 한다.

(2) 행공간의 차원을 $A$의 행계수(row rank), 열공간의 차원을 $A$의 열계수(column rank)라 하고 각각 $r(A)$, $c(A)$로 나타낸다. 즉

      ${\rm dim   Row}(A)=r(A)$,  ${\rm dim   Col}(A)=c(A)$

(아래 SageMathCell에 실습해보세요)