Section 7.4 Rank 정리 -- Sage

[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

18. 현대선형대수학 with Sage (Linear Algebra with Sage), 이상구 with 이재화, 김덕선. ISBN 978-89-6105-568-0, 경문사 (2012, 9. 1.).

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

*본 절의 선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.

1. 가역행렬의 동치정리

행렬 $A$가 $n$차 정사각행렬일 때 다음은 동치이다.

(1) $A$는 가역이다.

(2) $\det (A) \ne 0$

(3) $A$는 $I_n$과 행동치이다.

(4) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현된다.

*(5) $A$의 (유일한) LDU-분해가 존재한다. $P^{\top}A=LDU$ 또는 $A=PLDU$

(6) $A{\bf x}={\bf b}$는 모든 $n\times 1$ 벡터 ${\bf b}$에 대하여 유일한 해를 갖는다.

(7) $A{\bf x}={\bf 0}$은 자명한 해 ${\bf x}={\bf 0}$만을 갖는다.

(8) $A$의 열벡터들이 일차독립이다.

(9) $A$의 열벡터들이 $\mathbb{R}^n$을 생성한다.

*(10) $A$는 left inverse를 갖는다. 즉 적당한 행렬 $X$가 존재하여 $XA=I$이다.

(11) ${\rm rank}(A)=n$이다.

(12) $A$의 행벡터들이 일차독립이다.

(13) $A$의 행벡터들이 $\mathbb{R}^n$을 생성한다.

*(14) $A$는 right inverse를 갖는다. 즉 적당한 행렬 $X$가 존재하여 $AX=I$이다.

(15) $T_A$는 단사이다.

(16) $T_A$는 전사이다.

(17) $\lambda = 0$은 $A$의 고유값이 아니다.

(18) ${\rm nullity}(A)=0$이다.