Section 9.1 벡터공간의 공리


[References]

1. [Bigbook] Linear Algebra (English version), Sang-Gu Lee et al., 교보문고 POD (2016. 1.20.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/Big-Book-LinearAlgebra-Eng-2015.pdf

2. [빅북] 선형대수학, 이상구 with 이재화, 김경원, 교보문고 POD (2014. 9. 12.)

   http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf

18. 현대선형대수학 with Sage (Linear Algebra with Sage), 이상구 with 이재화, 김덕선. ISBN 978-89-6105-568-0, 경문사 (2012, 9. 1.).

3. 현대 선형대수학 with Sage, 이상구 with 이재화, 김덕선, 경문사 (2012, 9. 1.).

 

[Cyber/Online Laboratories for Linear Algebra]

1. (국문) http://matrix.skku.ac.kr/LA-K/

2. (English version) http://matrix.skku.ac.kr/LA/

3. (K-MOOC) http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/

 

*본 절의 선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.

(Korean) https://youtu.be/beXWYXYtAaI

(English) https://youtu.be/RnKjspG65AM

 

1. 벡터공간

임의의 집합 $V(\ne\emptyset)$에 두 연산, 덧셈(vector addition, A) '$+$'와 스칼라 배(scalar multiplication, SM) ' $\cdot$ '이 정의되어 있고, 임의의 ${\bf x}, {\bf y}, {\bf z}\in V$와 $h, k\in\mathbb{R}$에 대하여 2개의 기본법칙

      A.  ${\bf x}, {\bf y} \in V$  $\Rightarrow$  ${\bf x} + {\bf y} \in V$

      SM.  ${\bf x} \in V$,  $k\in\mathbb{R}$  $\Rightarrow$  $k{\bf x} \in V$

과 다음의 8개의 연산법칙이 성립할 때, 집합 $V$가 주어진 2개의 연산과 함께 (실수집합 $\mathbb{R}$위에서) 벡터공간(vector space)을 이룬다고 하고, $(V, +, \cdot)$로 표기한다(혼동이 없는 경우는 간단히 벡터공간 $V$라고 쓴다). 이 벡터공간 $V$의 원소를 벡터(vector)라 한다.

      A1.  ${\bf x}+{\bf y}={\bf y}+{\bf x}$

      A2.  $({\bf x}+{\bf y})+{\bf z}={\bf x}+({\bf y}+{\bf z})$

      A3.  모든 ${\bf x}\in V$에 대하여 다음을 만족하는 원소 ${\bf 0}$이 $V$에 단 하나 존재한다. 

              ${\bf x}+{\bf 0}={\bf x}$

      A4.  $V$의 각 원소 ${\bf x}$에 대하여 다음을 만족하는 $-{\bf x}$가 $V$에 유일하게 존재한다.

              ${\bf x}+(-{\bf x})={\bf 0}$

      SM1.  $k({\bf x}+{\bf y})=k{\bf x}+k{\bf y}$

      SM2.  $(h+k){\bf x}=h{\bf x}+k{\bf x}$

      SM3.  $(hk){\bf x}=h(k{\bf x})=k(h{\bf x})$

      SM4.  $1{\bf x}={\bf x}$

위의 조건 A3를 만족시키는 ${\bf 0}$을 영벡터, 조건 A4를 만족시키는 $-{\bf x}$를 ${\bf x}$의 음벡터라 한다. 




2. 부분공간과 기저

(1) 집합 $V$를 벡터공간이라 하고 $W(\ne\emptyset)$를 $V$의 부분집합이라 하자. 이때 벡터공간 $V$에서 정의된 덧셈과 스칼라 배에 관하여 $W$ 자신이 벡터공간을 이룰 때, $W$를 $V$의 부분공간(subspace)이라 한다. 

(2) 벡터공간 $V$의 부분집합 $\alpha(\ne\emptyset)$가 다음 두 조건을 만족하면 $\alpha$를 $V$의 기저(basis)라 한다.

      (i) ${\rm span}(\alpha)=V$

      (ii) $\alpha$는 일차독립이다.

이때 기저 $\alpha$안의 벡터들의 개수 $|\alpha|$를 $V$의 차원(dimension)이라 하며, ${\rm dim}(V)$로 쓴다.







(아래 SageMathCell에 실습해보세요)




*선형대수학 관련 동영상은 아래 웹사이트를 참조하라.
http://matrix.skku.ac.kr/2017-Album/2017-Spring-Lectures.htm

 

Copyright @ 2018 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee and Dr. Jae Hwa Lee
*This research was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded by the Ministry of Education (2017R1D1A1B03035865).