PBL Report (자기평가서, QnA 활동 상황 포함)  

PBL Report (개인성찰 노트) 

2021년 여름 도전학기  

PBL Report (Form)  

Your Class: 인공지능을 위한 기초수학 (입문) 

                    Prof : 이 상 구 Sang-Gu LEE 

과제함 Due day :  2021.08.21  (in HW box in LMS) 

*Name (이름) :   이시원, 유민솔, 이혜연, ... 

*Student ID (아이디) : 2021**, 2020,  

*e-mail(이-메일): lsw***,    

[보고서 양식 다운로드/PBL report Form Download] 

Korean (HWP)      :  http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-Korean.hwp 

English (MS Word) : http://matrix.skku.ac.kr/PBL/PBL-Report-Form-English.docx 

Sample [예시]  (이전 학기 학생들의 질문/답변/활동 기록)  

도전학기 7주차 기말보고서 http://matrix.skku.ac.kr/2020-Math4AI-Final-pbl2/   

도전학기 7주차 기말보고서 http://matrix.skku.ac.kr/2020-math4ai-final-pbl/    

도전학기 4주차 중간보고서  http://matrix.skku.ac.kr/2020-Mid-PBL-2/ 

도전학기 4주차 중간보고서  http://matrix.skku.ac.kr/2020-Mid-PBL-1/   

(영어) http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/LA-PBL.htm (선형대수학) 

http://matrix.skku.ac.kr/2015-album/2015-F-LA-Sep-Record.pdf  

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Calculus-1/   (미적분학 1) 

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Calculus-2/     (미적분학 2) 

학생들의 질문/답변/활동 기록: http://matrix.skku.ac.kr/2020-Math4AI-PBL/  Basic Math for AI) 

Ch 1장. Participation [참여평가]  (10점) 

담당교수 또는 다른 학생들이 QnA에 업로드한 글에 자신의 Comment or Answer를 10개 이상 주시오.  

 (1) State more than 10 Math Definitions and concepts what you learned in Part 1, 2, 3, ... 

 초록색으로 작성된 키워드는 ch 1-(2)에 보다 자세하게 다루어집니다. 

Part 0 (인공지능 개요) 

1) Python 

인터프리터 방식의 프로그래밍언어로 numpy, scipy과 같은 라이브러리를 사용할 수 있게 지원하면서 행렬과 함수 연산 등에서 도움을 받을 수 있다. 또한 tensorflow, pytorch 등에서 다양한 딥러닝과 머신런닝에 보다 용이하게 접근할 수 있게 도움을 준다. 이 외에도, 많은 이들이 사용하는 언어라는 요소 때문에 문법적인 오류나 라이브러리에 대한 참고 코드가 다수 존재하고 있으며, matplotlib와 같은 라이브러리를 통해 시각화 요소에서도 강점을 보여준다. 

2) Sage 

Sage는 다양한 오픈소스 소프트웨어와 라이브러리 등을 python 인터페이스를를 기반으로 묶어 만들어진 수학 소프트웨어이다. 이 코드를 통해서 python보다 수식을 보다 직관적으로 입력하는 것이 가능하고 SVD와 같은 python에서는 제공하지 않는 함수들도 제공하고 있다. 또한 http://sage.knou.ac.kr/에서 타인이 공개한 오픈소스를 통해 Sage 사용방식을 배울 수 있다. 

3) R 

통계 계산과 그래픽 작업을 위해서 만들어진 프로그래밍 언어이다. 다양한 패키지를 지원하고 있으며, 선형 모델링과 비선형 모델링, 시계열 분석, 클러스터링 등의 다양한 통계 기술 및 그래픽 기술을 구현하였다. 또한 무료로 사용이 가능하며, 만든 패키지를 공유하여 사용이 가능하다는 점에서 여러 연구 분야에서 사용되고 있다. 

4) MNIST 

손으로 쓴 숫자들로 이루어진 대형 데이터베이스이다. 기계 학습 분야에서 모델의 트레이닝 및 테스트에 널리 사용된다. MNIST는 60000개의 트레이닝 이미지와 10000개의 테스트 이미지를 포함하고 있으며 각 이미지는 28*28픽셀의 크기로 구성되어 있다.  

Part 1 (행렬과 데이터분석) 

1) 스칼라 

길이, 넓이, 질량, 온도 등의 크기만 주어지는 변수로써 방향을 지정하지 않아도 표현할 수 있는 양들을 나타낼 수 있다. 

2) 벡터 

속도, 위치이동, 힘 등의 방향까지 지정하여야만 표현할 수 있는 요소들을 나타낼 때 사용되며 크기와 방향을 모두 포함하는 물리량을 가지고 있다. 

3) 노름 

의 벡터 에 대하여 를 x에 대한 노름이라고 한다. 

이때의 노름은 원점에서 P( )에 이르는 거리를 나타낸다. 

4) 벡터의 내적 

상의 벡터 , 에 대하여 를 x와 y의 내적이라하며, 처럼 표기한다. 

5) 코시-슈바르츠 부등식 

의 임의의 두 벡터 x,y에 대하여 가 성립한다. 

이때의 등호는 x,y가 서로 실수배인 경우에만 성립한다. 

6) 사잇각 

두 벡터 사이의 각도를 의미하며, 을 통해서 값을 구해낼 수 있다. 

7) 정사영 

그림의 벡터 x, y에 대하여 점 p에서 OQ에 내린 수선의 발 S에 대하여 벡터 P = OS를 x 위로의 y의 정사영이라 하고 로 나타낸다. 이때의 P는 x와 평행하므로 P=tx가 된다. 

이때 y-p는 x와 직교하므로 의 식을 변형함으로써 가 성립한다. 

따라서 이고 이때의 t는 가 성립한다. 

8) 최단 거리 

P(x,y,z)이 평면 위의 점이고 v = ( , , ), n(a,b,c)이라고 한다면, 점 P와 평면 사이의 최단 거리는 n위로의 v의 정사영의 노름을 통해서 구할 수 있다. 

식으로 표현한다면 로 나타낼 수 있다. 

9) 선형연립방정식 

일반적으로, 미지수 에 관한 유한개의 선형방정식의 모임을 선형연립방정식이라 한다. 만약 이때의 상수항들이 모두 0인 경우에는 동차선형연립방정식이라고 한다. 

10) 첨가행렬 

n개의 미지수를 가지는 m개의 일차방정식으로 이루어진 선형연립방정식 

에 대하여 , , 로 나타내고 행렬의 곱을 이용해 Ax=b로 나타낼 때, A를 계수행렬 를 첨가행렬이라고 한다. 

11) 기본행 연산 

 행렬 A에 대하여 아래 3가지의 연산을 기본행 연산이라고 한다. 

(ⅰ) A의 두 행 i행과 j행을 서로 바꾸는 연산.  

(ⅱ) A의 i행에 0이 아닌 상수 k를 곱하는 연산. 

(ⅲ) A의 i행을 k배 하여 j행에 더하는 연산. 

12) 행 사다리꼴 

 행렬 A가 아래의 3가지 성질을 만족할 때, 행 사다리꼴이라고 한다. 

(ⅰ) 성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다. 

(ⅱ) 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분은 1이다. 

(ⅲ) i행과 (i+1)행에 모두 선행성분이 존재한다면, (i+1)행의 선행선분은 i행의 선행선분보다 오른쪽에 위치하며, 이러한 행 사다리꼴은 여러 개 존재할 수 있다.  

13) 기약 행 사다리꼴 

 행렬 A가 행 사다리꼴이기 위한 3가지 조건을 만족하며 아래의 한가지 조건을 추가로 만족할 때 기약 행 사다리꼴이라 한다. 

(ⅳ) 선행성분을 포함하는 열의 선행성분은 모두 0이다. 

14) Guass 소거법 

선형연립방정식의 첨가행렬을 행 사다리꼴(REF)로 변형하여 푸는 방법이다. 

15) Guass-Jordan 소거법 

선형연립방정식의 첨가행렬을 기약 행 사다리꼴(RREF)로 변형하여 푸는 방법이다. 

16) 행렬의 곱 

 행렬 A와 행렬 B에 대하여 곱을 진행하여 얻은 행렬을 C라 정의한다. 

C = AB와 같이 표기할 수 있으며 C는 행렬이 된다. 이 때 A행렬의 열의 개수와 B행렬의 행의 개수가 같아야 행렬의 곱 연산을 진행할 수 있다. 

이 행렬의 곱 연산이다. 

17) 영행렬 

행렬의 성분이 모두 0인 행렬을 말하며 O 또는 으로 나타낸다. 

18) 단위행렬 

주 대각선성분이 모두 1이고, 나머지 성분이 모두 0인 n차 정사각행렬을 단위행렬이라고 말하며 으로 나타낸다. 

19) 전치행렬 

행렬 A= 에 대하여 전치행렬은 로 나타내며 다음과 같이 정의된다.  

, , 이때 두 행렬 A, B와 임의의 스칼라 k에 대해 아래의 4가지가 성립한다. 

(ⅰ)  

(ⅱ)  

(ⅲ)  

(ⅳ)  

20) 대각합 

행렬 A= 의 대각합은 이다. 

21) 역행렬 

n차의 정사각행렬 A에 대하여 다음을 만족하는 행렬 B를 A의 역행렬이라고 한다.  

 이때 B를 로 표현하기도 한다. 

22) 가역행렬 

역행렬이 존재하는 행렬을 가역행렬이라고 하며, 가역이자 n차 정사각행렬인 A,B와 0이 아닌 스칼라 k사이에서 다음 4가지가 성립한다. 

(ⅰ) 은 가역이고,  

(ⅱ) AB는 가역이고,  

(ⅲ) kA는 가역이고,  

(ⅳ) 도 가역이고,  

23) 대각선행렬 

주대각성분을 제외한 모든 성분이 0인 정사각행렬으로 주대각성분이 일 때, diag( )으로 표기한다. 

24) 스칼라행렬 

단위행렬에 특정한 스칼라를 곱한 행렬을 말한다. 이다. 

25) 대칭행렬 

정사각행렬 A가 를 만족할 때, 대칭행렬이라고 하며, 를 만족할 경우에는 반대칭행렬이라고 한다. 

26) 하삼각행렬 

주대각선 위의 모든 성분이 0인 정사각행렬이다. 

27) 상삼각행렬 

주대각선 아래의 모든 성분이 0인 정사각행렬이다. 

28) 치환 

치환(Permutation)은 자연수의 집합 S={1,2,3,...,n}의 S에서 S로의 일대일 대응함수를 말하며 n!개 존재한다. 이때 모든 치환의 집합을 으로 나타낸다. 

29) 반전 

치환에서 큰 자연수가 작은 자연수보다 왼쪽에 나타나는 경우를 말한다. 

치환의 개수가 짝수이면 짝치환, 홀수이면 홀치환이라 한다. 

30) 행렬식 

행렬 A가 n차 정사각행렬이 때 행렬식을 det(A) 또는 |A|로 나타내고 아래와 같이 연산한다. 

31) 수반행렬 

n차 정사각행렬 A의 성분 에 대한 여인자를 라 할때, 행렬 를 A의 수반행렬이라고 하며 adjA로 나타낸다. 

32) 벡터공간 

임의의 집합 V에 덧셈과 스칼라 배가 정의되고, 2개의 연산에 대한 닫혀있다는 2가지의 기본성질과 8개의 연산성질을 만족할 경우 벡터공간을 이룬다고 한다. 10가지의 조건을 V의 모든 원소 u,v,w와 모든 스칼라 k,l를 통해 나타내면 아래와 같다. 

(ⅰ) u,v가 V의 원소이면, u+v도 V의 원소이다. 

(ⅱ) u+v = v+u 

(ⅲ) (u+v)+w = u+(v+w) 

(ⅳ) u+0 = 0+u = u 

(ⅴ) u+(-u) = (-u)+u = 0 

(ⅵ) u가 V의 원소이고 k가 임의의 스칼라일때 ku는 V에 속한다. 

(ⅶ) k(u+v) = ku+kv 

(ⅷ) (k+l)u = ku+lu 

(ⅸ) (kl)u = k(lu) 

(ⅹ) 1u= u 

33) 부분공간 

의 부분집합 W가 다음 2가지를 만족할때 부분공간이라 한다. 

(ⅰ)  

(ⅱ)  

34) 일차결합 

의 부분집합 { }에 대하여, 인 벡터 x가 의 형태로 표시되면 x를 의 일차결합이라 한다. 

35) span 

일차결합들의 전체집합으로 <U>와 같이 표기한다. 

36) 일차독립 

S={ } , 에 대하여 아래 식이 성립할때 집합 S를 일차독립이라한다. 

37) 일차종속 

일차결합이면서 일차독립이 아닌 경우를 말하며 이 경우에는 스칼라 중에 0이 아닌 값이 존재한다. 

38) 기저 

의 부분집합 S가 아래 두 조건을 만족하면 S를 의 기저라 한다. 

(ⅰ) S가 일차독립이다. 

(ⅱ) span(S) =  

의 기저는 무수히 많으며, 각 기저에 속하는 벡터의 개수는 항상 같다. 

39) 차원 

집합 S가 의 한 기저일 때, S에 속하는 벡터의 개수를 의 차원이라 하며 dim 이라 한다. 

40) nullity 

m n 행렬 A에 대하여 Ax=0의 해공간을 nullity(A)라고 한다.  

41) 행공간 

행벡터들에 의해서 생겨난 의 부분집합을 말한다. 

42) 열공간 

열벡터들에 의해서 생겨난 의 부분집합을 말한다. 

43) rank 

행공간과 열공간의 차원을 행렬의 계수(rank)라고 한다. 

임의의 행렬 A = 의 행계수와 열계수는 같으며 이 계수를 행렬 A의 계수(rank)라고 하며 아래와 같이 표현한다. 

rank(A) = r(A) = c(A) 

44) 최소제곱해 

다수의 2차원 데이터가 주어져있다고 할때 이 데이터들을 가장 잘 보여주는 y=a+bx을 찾는 방식이다. 

행렬 라 할때 ||Ax-b||를 최소화하는 근사해를 찾는 문제를 최소제곱문제라고 하며, 이 때의 해를 최소제곱해라고 한다. 

이때 x가 최소제곱문제의 해가 될 필요충분조건은 정규방정식을 만족하는 것이며, 정규방정식은 를 말한다. 

또한 최소제곱해는 를 통해 계산해 낼 수 있다. 

45) 정규직교기저 

의 벡터 에 대하여 S={ }라 정의하자. 

이때 S의 서로 다른 임의 두 벡터가 모두 직교하면 S를 직교집합이라 하며, 직교집합 S에 속하는 모든 벡터의 크기가 1인 경우에 정규직교집합이라 한다. 의 기저 S가 정규직교집합일 경우에 정규직교기저라 한다. 

46) Gram-Schmidt 정규직교화 과정 

의 기저 S로부터 직교집합 T={ }을 4단계에 걸쳐서 구해준 후, T의 각각의 크기를 1로하는 과정을 거쳐 의 정규직교기저를 계산해내는 방법이다. 

47) QR분해 

행렬 A가 k개의 일차독립인 열을 가질 때 여기에 Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 통해 얻은 정규직교벡터들을 열로하는 행렬 Q와 상삼각행렬 R을 이용하여 A=QR로 분해가 되는 것을 말한다. 

이러한 요소를 이용하여 최소제곱문제, 고유값, 고유벡터를 구하는 문제를 해결하는데 사용되기도 한다. 

     최소제곱문제와 고윳값, 고유벡터를 구하는 문제를 해결하는데 많이 사용된다. 

     행렬 A가 rank k인 행렬이라면, 로 분해가능하다. 여기서 Q는 A의 열공간        Col(A)의 정규직교기저로 만들어진 행렬이고, R은 가역인 크기 의                   상삼각행렬이다.  

     Gran-Schmidt 정구직교화 과정을 통하여 행렬 A의 열공간 Col(A)의 정규직교기저를 얻을       수 있다.  

      을 Col(A)의 정규직교기저라고 하면  

     이다. 이때 상삼각행렬 R을 다음과 같이  

    라 정의하면  

   으로 이다. 

48) 행렬변환 

A가 m*n행렬일 때, 인 을 행렬변환이라고 한다. 

49) 선형변환 

이 임의의 두 벡터 과 임의의 스칼라 k에 대하여 아래 2가지 조건을 만족시키는 T에 대하여 에서 으로의 선형변환이라고 말한다. 

(ⅰ) T(u+v) = T(u) ＋ T(v) 

(ⅱ) T(ku) = kT(u)  

50) 표준행렬 

모든 선형변환 은 행렬변환 T(x) = Ax로 나타낼 수 있고, 이때의 행렬 A를 표준행렬이라고 부르며 [T]와 같이 표기하기도 한다. 

이때의 A = [T(e1):T(e2):....:T(en)]이다. 

51) 핵 

이 선형변환일 때, T에 의한 상이 0이 되는 안의 벡터 전체의 집합을 T의 핵이라 하며 kerT로 표기한다. 

52) 단사 

가 T(u)=T(v)일 때 u=v를 만족하는 경우, 즉 일대일 함수인 경우를 단사라 한다. 

단사를 위한 필요충분조건은 ker T = {0}이다. 

53) 전사 

가 임의의 에 대해 T(v)=w인 이 존재하는경우, 즉 일대일 대응인 경우를 전사라 한다. 

54) 전단사 

단사이면서 전사인 경우를 지칭하는 용어이다. 

55) 동형사상 

선형변환 T가 전단사이면서 n=m인 경우에는 n=m이 성립되고 T를 에서 으로의 동형사상이라고 한다. 

56) 고윳값 

n차의 정사각행렬 A가 있을때 0이 아닌 벡터 이 임의의 스칼라 k에 대하여 Ax=kx가 성립할때 스칼라 k를 A의 고윳값이라 한다. 

57) 고유벡터 

n차의 정사각행렬 A가 있을때 0이 아닌 벡터 이 임의의 스칼라 k에 대하여 Ax=kx가 성립할때 x를 k에 대응하는 A의 고유벡터라 한다. 

58) 닮은 행렬 

정사각행렬 A와 B사이에서 B= 를 만족하는 가역행렬 P가 존재하는 경우에 B는 A와 닮은 행렬이라고 한다. 

59) 대각화가능한 행렬 

A와 적당한 가역행렬 P가 존재할 때 가 대각선행렬이면 A를 대각화가능한 행렬이라고 하고 P를 A를 대각화하는 행렬이라고 한다. 

대각화가능하기 위한 필요충분조건은 n차 정사각행렬 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 것이다. 

행렬의 대각화 

     n차의 정사각행렬 A가 대각화가능할 필요충분조건으로는 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 것이 있다. 이때 A는 대각선행렬과 닮은 행렬이다.  

60) 직교행렬 

정사각행렬 A가 가 성립할 때 A를 직교행렬이라고 한다. 이때 다음 4가지를 만족한다. 

(ⅰ) A의 행벡터들은 서로 직교이며, 정규벡터이다. 

(ⅱ) A의 열벡터들은 서로 직교이며, 정규벡터이다. 

(ⅲ) A는 가역행렬이다. 

(ⅳ) 를 만족한다. 

61) 직교대각화 

정사각행렬 A에 대하여 대각화하는 직교행렬 P가 존재할 때, A는 직교대각화가능하다고 하며 P는 A를 직교대각화하는 행렬이라고 한다. 

n차 정사각행렬 A가 대칭행렬인 것이 A가 직교대각화가능할 필요충분조건이다. 

62) 고윳값 분해 

정사각행렬 A가 대각화가능하며 실수 대칭행렬일 때 대각선행렬이자 A의 고윳값들을 주대각선 성분으로 가지는 행렬 D와, 고윳값에 대응하는 n개의 정규직교 고유 벡터를 열벡터로 가지는 P에 대해서 가 성립한다. 

이때의 분해를 고윳값과 고유벡터만을 이용한다는 의미에서 A의 고유값 분해라고하며 spectral decomposition이라고 부르기도 한다. 

63) SVD 

고유값 분해에서 존재했던 대각화가능한 정사각행렬이라는 제한을 해결할수 있는 방법이다. 

를 특이값분해라고 부른다. 

이때 U는 를 직교대각화하는 행렬이며 V는 를 직교대각화하는 행렬이다. A의 특이값들을 단조감소 순서로 배열한 대각선행렬이다. 

U의 열들은 A의 left singular vector V의 열들은 A의 right singular vector라고 한다. 

SVD(특이값분해, singular value decomposition) 

5. 고윳값 분해(eigen-decomposition) 

      대각화가능한 정사각행렬 A는 대각선행렬 D과 가역행렬 P가 존재하고  

     가 성립한다. 

      만약 A가 대칭행렬이라면 대각선행렬 D와 직교행렬 P가 존재하는데 이때는 

     가 성립하고                                                  이다. 

64) 일반화된 역행렬 

행렬 A가 인 가역행렬인 경우에 특이값 분해에 의해 로 표현할 수 있다. 

이때의 A의 역행렬은 로 표현할 수 있다. 

65) 이차형식 

 각 항이 2차인 다항식을 말하며 다양한 분야에서 사용된다. 

66) 주축정리 

행렬을 이용하여 2차 형식을 기술할 때, 적절한 변수 변환을 통해서 혼합항을 가지지 않는 형태로 표현할 수 있음을 보장하는 정리이다,  

67) 정부호 

행렬 이 대칭행렬일때 를 만족하는 q(x)에 대하여, A의 고윳값들이 모두 양이거나 음인경우를 정부호라 말하며, 모두 양인 경우에는 양의 정부호, 모두 음인 경우에는 음의 정부호라고 한다. 

68) 부정부호 

행렬 이 대칭행렬일때 를 만족하는 q(x)에 대하여, A의 고윳값들이 양과 음이 모두 존재하는 경우를 말한다. 

7. 정규방정식 

8. Gram-Schmidt 정규직교화 기저의 존재성 

9. 이차형식 

Part 2 (다변수 미적분과 최적화) 

1) 함수 

함수란 정의역안에 있는 원소 x가 공역에 존재하는 한 원소에 대응되는 규칙을 말한다. 

2) 극한 

과 같이 표현하면 이 식은 x가 a로 다가갈 때 f(x)가 L로 다가간다는 의미이다. 극한에는 좌극한과 우극한이 존재하며 좌극한은 , 우극한은 로 표시한다. 

3) 수렴 

임의의 양수(positive) ε에 대하여, 만일 0 < δ이면 |f (x)-b |< ε 되게 하는 적당한 양수(positive) δ가 존재하면, x가 a에 접근할 때 f (x)가 b에 수렴한다고 한다. 

4) 발산 

수렴하지 않는 경우에 발산한다고 이야기한다. 

5) 미분계수 

함수 f(x)가 a를 포함하는 어떠한 구간에서 정의되어 있고, 의 값이 존재한다면 f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 말하며 이때의 극한값을 f(x)의 a에서의 미분계수라 부른다. 이때의 표기를 f’(a)로 표기한다. 

6) 도함수 

각점 x에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함수를 f(x)의 도함수라고 한다. 

도함수의 기호는 가 있다. 

미분을 한 횟수에 따라서 1계 도함수, 2계 도함수, n계 도함수가 정의될 수 있다. 

7) 미분 

함수 f(x)의도함수를 구하는 것을 f(x)를 미분한다고 표현한다. y=f(x)의 도함수는 식을 통해서 구할 수 있다.  

2. 함수의 미분가능성 

8) 최대값 최솟값의 정리 

f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이면 이 구간에서 f(x)가 최댓값 및 최솟값을 취하는 점이 존재한다. 

9) 뉴턴 방법 

반복법으로, 초기 근사해로부터 특정 단계를 반복하여 근사해를 도출해내는 과정이다. 

y=f(x)에 대하여 단계를 반복해 주게 된다. 

뉴턴법을 시행할 경우에는 초기값을 정해주는 것이 매우 중요하며 초기값을 제대로 설정해주지 못했을 경우에는 원하는 결과가 도출되지 않을 수 있다. 또한 해가 존재하지 않거나 연속이 아닌 경우에는 뉴턴법을 통해 해를 도출해내는 것이 불가능하다. 

 x= a1을 방정식 f(x) =0의 근 r에 대한 첫 번째 근사값이라 하자. 그럼 y - f(a1)= f'(a1)(x-a1)       은 점 P에서의 곡선 y=f(x)에 대한 접선의 방정식이다. 그래프를 보고 a1을 r에 적당히           가까운 값으로 선택하면, 이 접선은 보통 x축과 점 Q에서 만나는데, 그 점의 x좌표 a2는        a1보다 r에 더 가까운 근사값이 된다. 

6. 방향도함수의 정의 

6. 그래디언트의 정의 

7. 극대, 극소값의 정의 

8. Fermat의 임계점 정리와 임계점의 정의 

9. 경사-기울기 하강법의 idea 

10) 적분 

어떤 구간에서 정의된 함수 f(x)에 대하여 구간의 모든 x에 관해 F’(X) = f(x)를 만족하는 함수 F(x)가 존재할 때 F(x)를 구하는 과정을 f(x)를 적분한다라고 표현한다. 

11) 부정적분 

어떤 구간에서 정의된 함수 f(x)에 대하여 구간의 모든 x에 관해 F’(X) = f(x)를 만족하는 함수 F(x)가 존재할 때 F(x)를 부정적분이라고 한다. f(x)의 부정적분을 와 같이 나타낸다. 

12) 적분변수 

f(x)의 부정적분을 나타낼때 에서 dx를 적분변수라고 한다. 

13) 적분상수 

F(x)가 f(x)의 한 부정적분일 때, = F(x) + C(C는 임의의 상수)이며 이때의 C를 적분상수라고 표현한다. 

14) 정적분 

f(x)가 특정한 구간 [a,b]에서 적분가능하다고 할 때, f(x)의 a로부터의 b까지의 정적분을 로 정의한다. 

이때 S는 x축과 y=a, y=b, y=f(x) 둘러쌓인 넓이와 같다.  

15) 적분에 관한 평균값의 정리 

f(x)가 [a,b]에서 연속이면 인 가 a와 b사이에 적어도 하나 존재한다는 정리이다. 

16) 미적분학의 기본정리 

f(x)가 [a,b]에서 연속이고 F’(x) = f(x)라 하면 가 성립한다. 

17) 편도함수 

z = f(x,y)가 있을 때 f의 x에 관한 편도함수는 아래와 같이 정의된다. 

마찬가지로, f의 y에 관한 편도함수는 아래와 같이 정의된다. 

18) 연쇄법칙 

연쇄법칙이란 합성함수의 도함수에 대한 공식으로 와 같은 미분 공식을 연쇄법칙이라고 한다. 

z=f(x,y), y=g(x)일 때의 연쇄법칙은 가 된다. 

19) 방향도함수 

단위벡터 u = ( )라 할때, 점 (x,y)에서 u방향으로의 f의 방향도함수는 아래와 같이 정의된다. 

20) 그래디언트 

f(x,y)의 그래디언트느 f의 편도함수를 성분으로 갖는 벡터이며 아래와 같이 정의된다. 

21) 헤시안 

f(x,y)의 헤시안은 f의 2계 편도함수를 성분으로 갖는 행렬로 아래와 같이 정의된다. 

22) Taylor 정리 

(n+1)번 미분가능한 함수의 n-차 테일러 다항식과 원래 함수의 오차는 (n+1)계 도함수로 표현 가능하다. 

을 만족하는 c∃[0, 1] 다변수함수 f가 연속인 편도함수를 가지면, 적당한 t∈(0, 1)에 대해 가 성립한다. 

23) 극대 

(a,b) 근방의 모든 (x,y)에 대해 f(a,b) f(x,y)가 성립할 때, f(x,y)는 f(a,b)에서 극대가 된다고 하며, f(a,b)를 극댓값이라 한다. 

24) 극소 

(a,b) 근방의 모든 (x,y)에 대해 f(a,b) f(x,y)가 성립할 때, f(x,y)는 f(a,b)에서 극소가 된다고 하며, f(a,b)를 극솟값이라 한다. 

25) Fermat의 임계점 정리 

f가 (a,b)에서 극대 또는 극소가 되고, f의 편도함수가 존재한다면 이 성립된다. 

26) 임계점 

을 만족하는 점 (a,b)를 f의 임계점이라 한다. 

27) 안장점 

임계점이지만 극대나 극소가 되지 않는 점을 안장점이라 부른다. 

28) 극소 극대 판정법 

29) 경사하강법 

어떤 모델의 비용을 최소화 시키는 알고리즘으로 머신런닝이나 딥러닝 모델에서 사용되는 가중치의 최적해를 구할 때 널리 쓰이는 알고리즘이다. 기본 개념은 함수의 기울기를 낮은 쪽으로 계속 이동시키며 극값에 이를 때까지 반복하는 것이다. 

30) 이중적분 

직사각형 영역 R=[a,b] [c,d] = {(x,y) | }에서 f(x,y)의 이중적분은 아래와 같이 정의된다. 

31) Fubini의 정리 

f(x,y)가 직사각형 영역 R=[a,b] [c,d] = {(x,y) | }에서 연속이면 아래가 성립한다. 

      연속 2변수함수의 2중적분을 할 경우, 적분순서를 바꾸어도 이중적분값은 같다. 

Part 3 (확률통계와 빅데이터) 

1) 표본평균 

개의 표본자료를 ,,,이라 할 때 아래와 같이 계산된다. 

으로 계산된다. 

2) 중위수 

n개의 표본자료를 크기순으로 나열한 것을 ,,,이라 할 때, 

(i) 관측값의 개수()가 홀수면, 중위수는번째 관측값이다. 

(ii) 관측값의 개수()가 짝수면, 중위수는번째 관측값과번째 관측값의 평균이다. 

값들을 중위수라고 한다. 

3) 표본분산 

개의 표본자료를,,,이라 하고, 이들의 표본평균을 라고 하면 

로 계산된다. 

4) 표본표준편차: 

5) 순열 

서로 다른 물건들 중 몇 개를 골라 순서를 주어 나열한 경우의 수 

6) 조합 

  서로 다른 물건들 중 몇 개를 골라 순서 없이 나열한 경우의 수 

7) 이항정리 

,   

일반화 하면,  

위의 은 x,y에 각각 1을 대입한 것 

8) 이항계수 

9) Pascal의 공식   

 를 만족하는 정수 과 는 다음 식을 만족한다. 

10) 중복집합의 순열 

(multi-set)의  permutation (모든 개를 순서대로 늘어놓는) 경우의 수이며,  

11) 수학적 확률 

12) 기하학적 확률 

   인 영역 에 속하는 확률은  

13) 통계적 확률과 대수의 법칙(Law of large number) 

시행 횟수를 , 특정 사건 가 일어날 횟수를 라 하면, 이 한없이 커질 때 통계적 확률 P(A) 는 일정한 값 a, 즉 (수학적 확률) a 에 가까워진다.  

14) 조건부 확률 

어떤 사건 가 일어났다는 조건하에서 사건 가 일어날 확률을 사건 에 대한 사건 의 조건부 확률(conditional probability)이라 하고 로 표시한다. 

              (단, ) 

15) 조건부 확률의 곱셈정리 

  조건부 확률의 정의로부터 다음의 곱셈정리(관계식)를 얻을 수 있다. 

16) 베이즈 정리  

베이즈 정리는 불확실성 하에서 의사결정 문제를 수학적으로 다룰 때 중요하게 이용된다. 특히, 정보와 같이 눈에 보이지 않는 무형자산이 지닌 가치를 계산할 때 유용하게 사용 

또한, 임의의 에 대한 조건부확률 에 와 위의 전확률(total probability) 공식을 대입하면 베이즈 정리(Bayes’ theorem)라고 한다. 

4. 기댓값, 분산, 표준편차 

5. 공분산, 상관계수 

17) 확률변수 

일정한 확률을 갖고 발생하는 사건(event)에 수치가 부여되는 함수 

X가 가질 수 있는 범위를 셀 수 있는지 여부에 따라 이산확률변수와 연속확률변수로 구분된다. 

18) 확률분포(probability distribution): 

변수 가 취할 수 있는 모든 값 이 취하는 확률이 각각 로 주어질 때, 를 이산확률변수라 하고 를 의 이산확률함수(probability function) 또는 확률질량함수(probability mass function, pmf)라 함. 

19) 확률질량함수의 성질 

(1)     

(2)  

(3) 가 이산형 분포를 가지면 실수의 부분집합 의 확률은 

이산확률변수 의 기댓값과 분산, 표준편차는 다음과 같이 계산한다. 

기댓값 :   

분산 :    

표준편차 :   

20) 확률밀도함수(PDF) 

연속확률변수란 어떤 범위에 속하는 모든 실수값을 취할 수 있는 확률변수로, 그 분포는 확률밀도함수(probability density function, pdf)를 이용하여 다음과 같이 나타낸다. 즉, 연속확률변수 의 확률밀도함수가 일 때, 가 에 있을 확률은  

확률밀도함수는 확률변수의 분포를 나타내는 함수, 다음 조건을 만족함. 

(1)        (2)       (3)  

연속확률변수 의 기댓값과 분산, 표준편차: 

    기댓값 :   

    분산 :   

    표준편차 :   

기댓값, 분산의 성질: 

(1) ,  ,   

(2) ,  ,   

(3) 확률변수 에 대하여 새로운 확률변수 를 로 정의하면 평균과 분산이 항상 과 이다. 따라서 이 확률변수 를 확률변수 의 표준화 확률변수라 한다. 

21) 베르누이 분포 

1회 시행의 결과가 성공과 실패로만 나오는 실험을 베르누이 실험이라고 하며 성공할 확률이 p인 베르누이 시행에서 아래를 따르는 확률변수 X의 확률분포를 X~B(1,p)라고 하며 베르누이 분포를 따른다고 말한다. 

, 

이때의 E(x)=p, V(X)=p(1-p)이다. 

22) 이항분포 

n번 베르누이 시행의 성공 확률분포이다. n=1일 경우 베르누이 분포와 같다. 

한번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p, 독립적으로 반복된 시행횟수가 n일 때, 사건 A가 일어나는 횟수를 x라 하면 X의 확률분포는 아래와 같다. 

(단,) 

이때의 확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따른다고 하며, X~B(n,p)로 나타낸다. 

E(X)=np, V(X)=np(1-p)=npq로 계산된다. 

이때, 이항분포의 형태는 p,q에 의해서 결정되며 p<q이면 왼쪽으로 p>q이면 오른쪽으로 치우쳐진 형태로 그려지며, p=q인 경우 완전 대칭을 이룬다. 

23) 포아송분포 

 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수를 확률변수 X라 하고 그 기댓값을 라 할 때, 그 사건이 n회 일어날 확률은 이다. 이때 E(X)=V(X)= 이다. 

이항분포 에서 평균 는 일정하고, 을 한없이 크게 할 때(상대적으로 는 한없이 작아짐) 이 확률분포는 포아송 분포가 된다. 즉, 포아송 분포(Poisson distribution)는 이항분포의 극한분포(limiting distribution)이다.  

(감마값을 달리 하여 포아송분포를 확률질량함수로 나타낸 것. 출처: 위키백과) 

cf) 포아송 분포가 필요한 이유 

10초에 0.1%의 확률로 사람 한 명이 넘어진다면, 1시간 동안 수많은 사람등리 지나갈 때 이 중 한 사람이 넘어질 확률은? 

1시간은 3600초이므로 1시간 동안 넘어지는 사람 수를 확률변수 X라 할 때 

X~B(360,0.001)이다. 

분포로 나타내기 위해 360번 중 k번 사건이 일어날 확률을 구하면 

 이다. 

계산하기 결코 쉽지 않다. 

이처럼 n이 너무 크고, p가 너무 작은 경우에 확률분포를 근사적으로 계산하기 위해 이항분포의 극한분포인 포아송분포가 필요하다.  

24) 연속확률분포 

확률밀도함수를 이용해 분포를 표현할 수 있는 경우를 의미합니다. 이때 연속 확률 분포를 가지는 확률변수를 연속 확률 변수라고 합니다. 자주 사용되는 연속확률분포의 종류로는 균등분포, 정규분포, 지수분포 등이 존재합니다. 

25) 균등분포 

연속확률변수가와사이에서 일정한 값을 취하고일 때 X가 균등분포를 따른다고 이야기합니다. 또한 이때의 표시는 X~U(a,b)와 같이 표시합니다. 

균등분포는 아래와 같은 정의되고 그려집니다. 

이때 이를 기반으로 구해지는 X~U(a,b)의 누적 분포함수는 특정 지점까지 0의 값을 가지고 특정 지점부터 y값이 1이되는 지점까지 동일한 기울기를 가지는 특징이 있으며 아래와 같이 그려집니다. 

또한, 기댓값과 분산은 아래의 유도과정을 통해 구해진 식으로 간단히 구할 수 있습니다. 

, 

26) 정규분포 

확률변수 X의 확률밀도함수가 일때 X는 정규분포를 따른다고 이야기하며, 처럼 표시합니다. 

이러한 확률밀도함수를 그리는 그래프를 정규분포곡선이라 하며 아래와 같이 그려집니다. 

이를 기반으로 구해지는 정규분포의 확률분포함수는 아래와 같습니다. 

또한 기댓값과 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

, 

27) 지수분포 

서로 독립적인 사건일 때, 다음 시간이 일어날 때까지의 대기 시간은 대개 지수분포를 따릅니다. 이러한 지수분포는 주로 시스템의 고장시간에 대한 모형으로 사용되며, 신뢰성 이론, 기대 시간 등의 분포에서 이용됩니다. 

확률변수 X가 지수분포를 따르는 경우의 표시는 이며 아래와 같이 그려집니다. 

이때의 확률분포함수는 아래와 같습니다. 

또한, 기댓값과 분산은 아래와 같은 공식을 통해 도출해낼 수 있습니다. 

, 

28) 중심극한정리 

중심극한정리는 동일한 확률분포를 가진 독립 확률변수 개가 존재할 때, 평균의 분포는 가 적당히 크다면 정규분포에 가까워진다는 정리로 평균이이고 분산이인모집단으로부터 추출한 크기가인 확률표본의 표본평균는이 증가할수록 모집단의분포유형에 상관없이많은 경우는 근사적으로 정규분포을 따른다는 정리이다. 

29) 결합확률함수 

두 이산확률변수 X, Y가 있을때, X와 Y의 결합 확률함수는 아래와 같이 정의된다. 

30) 결합 확률분포 

X, Y의 모든 값에 대하여 값을 나타낸 것을 결합 확률분포라 하며, 이를 표로 나타내면 아래와 같이 나타내어진다. 

이때, 결합 확률분포에서 하나의 확률변수에 대해서만 고려한 확률분포를 주변확률분포라고 하며 아래와 같이 정의할 수 있다. 

,  

이러한 결합 확률분포는 아래의 3가지가 항상 성립한다. 

(1) 모든에 대하여 

(2) 모든에 대하여의 합은이다. 즉, 

(3) 모든에 대하여 

31) 결합밀도함수 

연속확률변수 X, Y의 결합밀도함수 는 아래와 같이 정의된다. 

(1) 모든에 대하여이다. 

(2) 모든에 대하여이다. 

(3) 모든에 대하여이다. 

(4)가평면상의 임의의 영역에 들어갈 확률은  

로 주어진다. 

32) 공분산 

확률변수 X, Y의 공분산은 아래와 같이 정의되며 2개의 확률변수 사이의 선형 관계를 나타내는 값이다. 

33) 상관계수 

확률변수 X, Y의 상관계수는 아래와 같이 정의되며, 단위의 크기에 영향을 받는 공분산을 보완하기 위해 사용된다.   

34) 통계적 독립 

두 사건 A, B가 을 만족할 때, 통계적 독립이라 하며, A와 B를 독립사건이라 한다. 

Part 4 (빅데이터와 인공지능) 

1) PCA 

주성분분석(PCA)는 가장 널리 사용되는 차원 축소 기법 중 하나이며, 계산과정에서 고윳값 분해 또는 특이값분해(SVD)가 주로 사용된다. 

PCA는 기존의 변수들을 일차 결합하여 서로 선형 연관성이 없는 새로운 변수, PC(주성분)를 만들어낸다. 이때, 첫 번째 주성분 PC1이 두 번째 주성분 PC2보다 원 데이터의 분포를 많이 보존한다. 이 경우에, PC1, PC2, PC3의 3개의 주성분이 원 데이터의 성질을 90%가량 보존한다면, 10%의 정보를 잃어버리더라도, 합리적 분석에 큰 무리가 가지 않는다. 때문에, 이 경우에는 시각화와 계산의 용이성을 위해서, PC1, PC2, PC3만을 택해 3차원 데이터로 차원을 축소시킬수 있다. 

2) 신경망 

신경망은 신경계의 기본 단위인 뉴런을 모델화 한 것이다. 인간의 뇌는 약 1000억 개의 뉴런을 가지고 있으며, 이를 통해 컴퓨터한테는 어려운 이미지 인식과 같은 활동을 원활하게 수행한다. 신경망은 순회하지 않는 그래프로 연결된 뉴런의 모음을 모델화 한 것으로, 입력층, 은닉층, 출력층으로 구성되어 있다. 입력층에서 신호를 받고, 미리 부여된 가중치에 따라 계산한 후 그 총합이 다음 은닉층 혹은 출력층으로 전파되며, 주어진 활성화 함수에 따라서, 다음 층으로 전해질 신호가 계산되게 된다. 

[그림 출처]http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap1.html 

이러한 신경망에서 영감을 얻어 만들어진 인공신경망 알고리즘의 기초개념인 퍼셉트론은 현재 입력받은 신호 x에 가중치 w를 곱하여 다음 층으로 정보를 전달합니다. 이때 가중치는 뉴런의 돌기가 신호를 전달하는 역할을 수행하게 되며, 가중치가 클수록 해당 신호의 중요도가 높다고 판단되게 됩니다. 이후, 입력 신호와 미리 부여된 가중치와의 계산 후, 그 총합이 임계점을 넘는지에 여부에 따라, 1 또는 0을 출력하며, 이는 뉴런에서 임계값 이상의 자극이 주어져야 감각이 반응하는 것과 유사하다. 이때 출력을 결정하는 함수를 활성화 함수라고 한다. 

3) sigmoid 함수 

주로 사용되는 활성화 함수로, 미분 가능한 실함수이며, 아래와 같이 정의되어져 있다. 

 이는, 임계값을 지군으로 활성화 되거나 비활성화 되는 step function 또는 Heaviside function을 근사화 한 것이다. 

,  

위와 같은 sigmoid함수는 미분시 아래와 같은 성질을 갖는다. 

4) 오차 역전파법 

이미 입력값과 정답을 알고 있는 데이터셋이 존재할 때, 우리는 데이터셋을 잘 판단하도록 신경망의 가중치를 찾아내는 것을 목표로 한다. 이때, 특정한 공식을 통해서 가중치를 계산하는 것이 아니라, 초기의 임의로 부여한 가중치를 토대로, 주어진 데이터로부터 신경망을 이용하여 얻은 예측값과 미리 알고 있던 정답 사이의 오차를 줄이는 방향으로 가중치를 갱신해 나가며, 계층 간의 각각의 연결이 오차에 영향을 주는 정도에 비례하여 오차를 전달해준다. 이의 대표적인 방법이 오차 역전파법이다. 

오차 역전파법에서 가중치를 갱신하는 방법은 경사하강법을 오차함수를 최소화하는 문제에 적용하는 것과 같으며, 이때 사용될 제곱 오차는 아래와 같다. 

각 가중치를 갱신하는 공식은 경사하강법으로부터 아래와 같이 구해진다. 

또한, 오차가 발생했다는 것은, 입력층에서 은닉층을 거쳐 출력층으로 전파되는 과정에서, 은닉층의 오차가 영향을 주었다고 생각할 수 있으며, 가중치에 비례한 오차를 역으로 전달해주는 과정이 필요하며, 그 오차는 아래와 같이 형태로써 정의될 수 있다. 

이후 공식을 에 대해 표현하여, 경사하강법을 통해 가중치를 갱신시켜나가면 된다. 

(2) State more than 5 things that you know/can/find ...  after you studied the first Part 1, 2,.. 

1. 코시슈바르츠 부등식과 내적 사이의 관계 

코시슈바르츠 부등식인 가 성립함을 벡터 내적의 정의인 |X*Y|  = ||X|| ||Y|| COSA (A는 X,Y가 이루는 각의 크기)를 통해서 보일 수 있다.  

COSA의 값은 항상 -1과 1사이의 위치하므로 -||x|| ||Y|| <= |X*Y| <= ||X|| ||Y||의 식이 성립하고 이에 따라, |X*Y|^2 <= ||X||^2 ||Y||^2의 관계가 성립합니다.  

또한 이 증명과정을 통해서 COSA가 –1이나 1의 값을 가지게 될 경우에는 등호가 성립함을 알 수 있으며 이 경우에 두 벡터 x,y의 사이에는 양의 실수배일 경우에는 0 로 음의 실수배일 경우에는 180 로 성립하게 됨을 알 수 있다. 

2. Guass-Jordan 소거법 

첨가행렬을 RREF로 변형하는 방법이 Guass-Jordan 소거법이며 RREF로 변형하는 과정에서 기본행 연산이 사용된다, 

[1단계] 1행 부터 마지막 행 까지 차례로 내려가면서 해당 행을 n이라 할때 해당 행보다 아래에 있는 행의 n번째 열을 0으로 만들어주도록 기본행 연산을 진행한다. 

[2단계] 해당 행의 0이 아닌 첫 성분이 1이 되도록 실수배를 해준다. 

[3단계] 마지막행부터 1행 까지 거슬러 올라오면서 해당 행을 n이라 할때 해당 행보다 위에 있는 행의 n번째 열을 0으로 만들어주도록 기본행 연산을 진행한다. 

이 과정을 통해서 Guass-Jordan 소거법을 시행할 수 있다. 

3. 역행렬을 구하는 2가지 방식 사이의 시간 복잡도의 변화폭 

n차의 정사각행렬의 행렬식을 구하고 수반행렬을 구하는 방식으로 구현한 내 python코드에서의 시간복잡도는 O(2^n)가량의 복잡도가 된다. 

다음으로 n차의 정사각행렬의 단위행렬을 첨가하여 RREF를 구해주는 방식을 통해서 도출해내는 python코드에서의 시간복잡도는 대략 O(n*n)가량의 복잡도가 된다. 

작은 차수의 행렬에서는 두가지의 방식의 차이가 거의 존재하지 않으나 행렬의 차수가 커질수록 후자의 방식이 역행렬을 구하는 속도가 빨라진다. 하지만 python코드에서의 공간복잡도와 같은 요소들도 고려한다면 상황에 맞추어 필요한 역행렬 구하기 방식을 사용하는게 효율적일 것이다. 

4. Gram-schmidt 정규직교화 과정 

의 기저 S로부터 직교직합 T={ }을 도출해내는 과정은 아래와 같이 이루어진다. 

[1단계] 이라 한다. 

[2단계] 에의해 생성되는 부분공간을 이라 할때 을          통해 y2를 구해준다. 

[3단계] 에 의해 생성되는 부분공간을 이라 할 때,  

        을 통해 구해준다. 

[4단계] n까지 마찬가지의 방법으로 를 구해준다. 

이 과정을 통해 얻은 직교집합 T의 각각의 크기를 1로 하기 위해 (k=1,2,...,n)을 연산을 시행해 얻은 { }의 집합이 의 정규직교기저가 된다.  

5. QR분해를 통해 최소제곱문제를 해결하는 방법 

Ax=b의 최소제곱해는 의 해이다. 이때 가 가역행렬이라면 x=( 가 해가 된다.  

이후 후진대입법을 적용하면 x= 라는 유일해를 구해낼 수 있다. 

6. 고유벡터를 Sage의 eigenvectors_right()를 통해 구하고 그 값을 다루는 방법 

Sage의 eigenvectors_right()을 통해 고유벡터를 구하게 된다면, 고윳값, 고유벡터, 중복도를 모두 같이 return해주게 됩니다.  

이 때의 각 자료는 [0]에 고유값이 [1]에 고유벡터가 [2]에 중복도가 입력되게 됩니다. 따라서 고유벡터만을 이용하고자 한다면 [1]에 접근하여 이를 행렬로 만들고 transpose하여 첨가해주는 방식으로 eigenvectors_right()에서 원하는 값을 도출해 낼 수 있었습니다. 

또한 처음 eigenvectors_right()의 값을 return받아주는 장소에서 이를 감안하여 return 받는 변수들을 여러개로 설정하는 방법또한 eigenvectors_right()를 효율적으로 다루는데 도움을 줍니다. 

7. 머신런닝에서의 SVD 

의 A행렬을 의 U, 의 , 의 로 분해해주는 것을 특이값 분해(SVD)라 부르며 이때의 SVD를 Full SVD라고 부릅니다. 실제로는 에서 특정한 원소들을 제거하여 차원을 줄이고 이에 대응되는 U와 V의 원소도 함께 제거하여 차원을 줄인 형태로 SVD를 적용하며 이런 방식을 Truncated SVD라고 합니다. 이러한 방식을 통해서 큰 데이터를 다루는 머신런닝이나 빅데이터에서 데이터의 크기를 줄여 계산해 나가는 방향으로 SVD가 사용됩니다. 

8. 최댓값 최솟값 정리가 쓰이기 위한 조건 

최대값 최솟값 정리가 일변수함수에서 사용되기 위해서는 폐구간 [a,b]에서 연속일 필요가 있다. 

하지만 이 정리는 일변수함수에서 확장시켜 다변수함수에서 또한 사용될 수 있다. 이 때 다변수 함수에서 최대값 최솟값 정리가 사용되기 위해서는 해당 집합을 나타내는 영역이 경계를 가지고 있어야 되고, 유한해를 가지고 있어야 됩니다. 따라서 다변수함수에서 최댓값 최솟값 정리가 사용되기 위해서는 단순히 폐집합이 아닌 유계집합을 만족해야 위 정리가 사용될 수 있습니다. 

9. 일변수 함수와 다변수 함수의 뉴턴 방법의 적용 

뉴턴 방법은 일변수 함수에서 진행되는 y=f(x)에 대해 단계를 반복해주는 것을 응용하여 다변수 함수에 대해서도 뉴턴 방법을 적용할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 

이때의 뉴턴 방법을 Multivariate Newton’s Method라고 하며 일변수 함수에서의 뉴턴 방법의 장점과 단점을 모두 가지고 있게됩니다. 이때의 공식은 의 방식으로 계산되게 됩니다. 

10. 경사하강법을 통해 다변수에서의 극값을 도출해내는 방법 

경사하강법은 4단계로 분류되어 반복되며 진행된다. 

[1단계] 초기 근사해 과 허용오차 을 준다. 

[2단계] 를 계산하고 가 허용오차 이내라면 경사하강법을 멈춘다. 

[3단계] line search를 수행하여 적절한 step-size 를 구한다. 

[4단계] 을 진행한 후 2단계로 다시 돌아간다. 

11. 이항계수의 특징 

1.  (, ), 

2. (, , ) 

3.  (, . ), (, ) 

12. 확률의 공리와 기본개념 

확률의 공리: 

다음을 만족하는를 사건의확률이라 한다. 

① 표본공간에서 임의의 사건에 대하여이 성립한다. 

② 표본공간에 대하여(표본공간 전체의 확률은 1)이 성립한다. 

③ 공사건에 대하여이 성립한다. 

④이 서로배반사건(exclusive events, 背反事件)이면 다음이 성립한다. 

확률의 기본개념: 

어떤 사건 

사건가 일어나지 않을 경우 

사건가 일어날 확률 

사건가 일어나지 않을 확률 

13. 정규분포 곡선의 성질 

(1) 형태는 종(Bell) 모양이다. 

(2)이고을 축으로좌우 대칭이다. 

(3)에서최대값을 갖고 그 점이최빈수(mode, 가장 많이 관측되는 수)이다. 

(4)축을점근선으로 갖는다. 단, 

(5)변곡점은이고에서 거의축과 접하게 된다. 

(6) 곡선과 수평축(축) 사이의면적은이다. 

(7)에서아래로 오목하고에서 아래로 볼록하다. 

(8)가 일정하고가 변화할 때가 크면 오른쪽으로,가 작으면 왼쪽으로 이동한다. 

(9)가 일정하고가 변화할 때가 크면 넓고 완만한 곡선,가 작으면 좁고 뾰족한 곡선을 이룬다. 

14. 표준정규분포 

확률변수 X가 정규분포 를 따를 때, 표준화 확률변수는 아래와 같이 정의된다. 

 이때의 표준화 확률변수는 아래와 같은 확률밀도함수를 가지게 된다. 

이때의 Z를 표준정규분포를 따른다고 이야기 하며, Z~N(0,1)로 표시하며 이 경우의 기댓값과 분산은 0과 1의 값을 가지게 된다. 또한, 이때의 확률분포함수는 아래와 같이 정의된다. 

이 F(z)를 표준정규분포함수라고 한다. 

15. 공분산, 상관계수, 독립 사이의 규칙 

X, Y가 서로 독립일 경우에 공분산을 구하는 공식인 E(XY)- 에서 E(XY)=E(X)E(Y)= 이므로, 공분산의 값은 0이 된다. 

공분산의 값이 0이므로, 공분산을 분자로 가지는 상관계수의 값 또한 X, Y가 독립일경우 0이 된다. 

하지만 이 역은 P(x=-1)=P(x=1)=1/4,P(x=0)=0일 때, Y=x^2와 같은 반례가 존재하므로 성립하지 않는다. 

16. 공분산 행렬 

행렬의 두 변수 사이의 관계를 나타내기 쉽다는 특징을 이용하여 각 데이터의 분산과 공분산을 이용해 만든 행렬이 공분산 행렬이다. 공분산 행렬은 개의 확률변수,,를 하나의 벡터  X로 나타낸 후, 이 X의 공분산 행렬은 i=j인 경우 즉 주대각선의 경우에는 i번째 확률변수의 분산을, 그 외에 i와 j가 일치하지 않은 경우에는 X의 i번째 확률변수와 j번째 확률변수의 공분산으로 정의된 행렬이다. 

이러한 공분산 행렬에서 고유벡터와 고윳값을 찾는 것은 데이터의 주성분을 찾는 것과 동일하다. 공분산 행렬일 경우 고윳값은 각 축에 대한 공분산의 값이 되며, 고윳값의 크기가 큰 순서대로 고유벡터를 정렬하면, 중요한 순서대로 주성분을 구한 것이 된다. 

17. PC와 고윳값 분해 

표본의 개수를 n, 데이터의 확률변수의 개수를 p라 할때, 의 데이터 행렬 X가 아래와 같이 있다. 

이후 열 별로 각 열의 평균을 뺀 센터링된 행렬 를 아래와 같이 구한다. 

이때의 공분산 행렬은 아래와 같이 계산된다. 

이 공분산 행렬로 부터 얻은 정보를 최대한 보존하며 더 적은 개수의 새로운 변수를 찾는 것이 목표이다. 

이제부터 확률변수 {,,}의 일차결합으로 만든 인 첫 번째 주성분의 분산이 최대가 되도록 하고자 하며, 의 분산은 적재계수 을 하나의 (열) 벡터로 나타낸 을 통하여 Var ()나타낼 수 있다. 의 분산을 최대로 만드는 것은 아래의 문제를 푸는 것이 되며, 라그랑주 승수법이 사용된다. 

maximizeVar()() 

subject to() 

를 라그랑주 승수라 할 때,,이고, 

 의 의 관한 그래디언트가 0이 되어야 하므로, 이다. 따라서, 는의 고윳값이고,은 그에 대응하는 고유벡터가 된다. 이때 가장 큰 고윳값을 , 대응하는 고유벡터를 이라 하면, Var()처럼 계산된다. 

이를 를 구하는 과정으로 변환시켜본다면,  

maximizeVar() 

subject to 

,, ..., 를 구하는 것과 같으며, 마찬가지로 라그랑주 승수법을 사용하면, 는의번째로 큰 고윳값()이고,가 그에 대응하는 고유벡터가 된다. 따라서 Var()으로 계산할 수 있다. 

18. truncated SVD 

표본의 개수를 n, 확률변수의 개수를 p라 할때, 센터링 된 의 데이터 행렬을 X에 대해서 공분산 행렬은 가 된다. 

X의 SVD가 아래와 같이 주어진다면, 이를 이용하여 PC score을 구할 수 있다. 

(1)라 하면의 열벡터가 주축(principal axes)이 된다. 

(2)이므로,의 열벡터들이PC score(주성분점수, principal component score)가 된다. 

(3) 특이값는의 고윳값와 관계식을 만족하며,는 대응하는 PC의 분산이 된다. 

(4) 데이터를 p차원에서 k차원으로 줄이기 위해 U의 처음의 k개의 열벡터와 S의k번째 선행 주 부분행렬을 택하면 는 처음 k개의 주성분을 포함하는 행렬이 된다. 

(5) (4)에서 얻은 에 ,, ... ,에 대응되는 주축으로 이루어진 행렬을 곱하면,는 처음 k개의 주성분으로부터 원 데이터를 복원하도록 해주는 rank가 k인 행렬이 되며, X의 SVD에서 크기 순서대로 k개의 특이값과 그에 대응되는 U,V의처음 k개의 열벡터를 택하는 것과 같으며 이를 truncated SVD라고 한다. 

4. 선형 회귀 직선에서 최소제곱해는 cost의 값을 최소로 줄이는데 사용됩니다. 우리는 global optinum이 되는 최솟값을 극점에서 구할 수 있게 되는데, 이 지점을 구하기 위해서 경사하강법 또는 Newton’s method를 사용하게 됩니다. 

5. 경사하강법과 Newton’s method의 차이점에 대해서 설명할 수 있습니다. 경사하강법을 통해 우리는 함수의 gradient값이 최소가 되는 지점을 찾을 수 있게 됩니다. 알고리즘의 error을 줄이기 위해서 적절한 learning rate를 지정할 필요가 있습니다. Newton’s method를 통해서는 함숫값이 최소가 되는 지점을 탐색할 수 있습니다. 

6. 중심극한정리에 대해서 설명할 수 있습니다. 중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)란 동일한 확률분포를 가진 독렵 확률변수 n개의 평균의 분포는 n이 적당히 크다면 정규분포에 가까워진다는 이론입니다. 중심극한정리에서 가장 중요한 점은, 표본평균이 n이 증가할수록 분포 유형에 상관없이 많은 경우 근사적으로 정규분포의 모형을 따른다는 것입니다. 

7. 주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)은 고차원 공간의 데이터를 선형 연관성이 없는 저차원 공간으로 변환하는 기법입니다. 이 때 이 데이터는 원본 데이터의 특성을 잘 보존하는 주성분을 택하게 되는데, 그것을 위해 분산값이 큰 데이터를 택하게 됩니다. PCA를 시행하기 위히서 지금까지 배운 개념들 중 SVD, 이차형식, 공분산의 개념 등을 활용하게 됩니다. 

8. 뉴런을 모델화한 인공신경망은 수많은 데이터에 기반한 기계학습을 통하여 규칙에 해당하는 행렬을 구하는데 쓰이는 모델입니다. 가중치인 행렬을 구하기 위하여 각각의 연결이 오차에 영향을 주는 정도에 비례해서 오차를 전달해 주는 것을 이용한 오차역전파법을 사용합니다. 오차역전파법의 이용은 경사하강법을 이용하여 오차함수를 최소화하는 문제에 적용한 것과 같습니다.  

 (3) State your meaningful Comment/Answer/Discussions in Discussion/QnA. 

1. 7.6 인공 지능 개론 중 의문 (Q. 정승민 학우님) 

2. 7.11 [1주차]1-3강의 질문 (Q. 임혜림 학우님) 

3. 7.20 [3주차] 1차요약 (미분파트) & 뉴턴법 숫자변형 실습 (Q. 김석하 학우님) 

4. 7.23 [2주차] 동형사상 질문 (Q. 양지슬 학우님) 

5. 7.24 [3주차] 최댓값 최솟값의 정리 확장 질문 (Q. 박건우 학우님) 

6. 7.25 [3주차] 김보겸 학우님 다변수함수에서의 Newton’s method 질문 – 추가질문      (Q. 양지슬 학우님) 

7. 7.25 Final OK by SGLee [3주차, 오타] 코시슈바르트 부등식 관련 오타, -1<= x*y /    ||x|| ||y|| <=1이고 x*y = ||x|| ||y|| cos세타이기 때문에 –1<=cos세타<=1이 됩니다.     (Q. 김민서 학우님) 

8. 8.3 [5주차] 사분위수 관련 질문 (Q.양소혜 학우님) 

9. 8.4 [5주차] 확률변수 예제2 질문 (Q. 정승민 학우님) 

10. 8.10 [6주차] 질문 – 공분산과 독립사건 (Q. 조주현 학우님) 

11. 8.13 [5주차] 조건부 확률 질문 (Q. 위승연 학우님) 

12. 8.16 [Week 7] the problem of code-practice (Q. 동나 학우님) 

13. 8.17 [7주차] 오차역전파법 정리 및 질문 (Q. 임혜림 학우님) 

7.8 류재헌 자기소개/수강동기 

7.11 Final OK by SGLee [1주차] 가우스-조르단, QR 분해 예제 및 sage 

7.18 [2주차] 정규 분포와 이차형식의 실습 

7.18 [1주차] 선형 회귀 직선과 최소제곱해의 연관성 

7.20 [2주차] Refinalized SVD 응용에 관한 질문 (박누리 문가은 이상구교수님 김민서 양지원 박건우) 

7.20 7월 19일 미팅 후 느낀점 요약 

7.21 Finalized by 김미리, 류재헌, 문가은, 이상구 교수님(이차형식 내용 정리 및 실습) 

7.23 [3주차] 경사 - 기울기 하강법에 대한 질문 (Q : 문가은, A : 류재헌) 

7.24 [Final OK by TA] Re-finalzed by 문가은, 김미리, 류재헌, 이상구 교수님{이차형식 내용 정리 및 실습) 

7.25 [Final OK by SGLee] Finalized by 문가은, 류재헌, 김미리([3주차] - 경사-기울기 하강법에 대한 질문) 

7.25 [3주차] 경사 하강법 알고리즘의 공식에 대한 질문 (Q : 류재헌 A : 이상구 교수님) 

7.25 [3주차] 요약 및 방향도함수 관련 질문 (Q : 안은선 A : 류재헌) 

7.25 [Final OK by SGLee] [3주차] Re-finalized by 문가은, 류재헌, 김미리, 경사 하강법에 대한 질문 

7.26 [Final OK by TA] [3주차] Finlaized by 김미리, 문가은, 이혜연, 이상구교수님, 류재헌 : 이중적분에 대한 질문과 sage 코드 실습 + 파이썬 코드 추가 

7.26 [Final OK by TA] [3주차] Re-finalized by 안은선, 양지슬, 류재헌, 권서영 (질문 : 3주차 요약 및 방향도함수 관련 질문) (Q : 안은선 A : 류재헌) 

7.26 [4주차] 경사 기울기 하강법에서 탐색방향 d(k)에 대한 질문 (Q : 이지용 A : 류재헌) 

7.26 [2주차] 특잇값 분해 질문 (Q : 양지슬 A : 류재헌) 

7.26 [2주차] Gram-Schmidt 질문 (Q : 이상원 A : 류재헌) 

7.26 [Final OK by SGLee] Finalized by 양지슬, 이상구교수님, 류재헌, 특이값 분해에대한 질문에 대한 답변 

7.27 [Final OK by SGLee] Re-finalized by 류재헌, 양지슬, 조주현, 권서영, 유민솔 [말안장 함수의 안장점을 찾고 극대와 극소 불일치 여부를 실습 

7.27 [Final OK by SGLee] Finalized by 이범수, 이지용, 류재헌, 이상구교수님([[4주차] 경사 기울기 하강법에서 탐색방향 d(k)에 대한 질문) 

7.27 Final OK by SGLee Finalized by 양지슬, 이상구 교수님, 류재헌, 김태윤 [2주차 특잇값 분해 질문] 

7.27 Final OK by SGLee Finalized by 류재헌, 이범수, 유민솔, 이상구 교수님 Newton’s method 에 대한 답변 

7.28 Final OK by SGLee Finalized by 류재헌, 유민솔 - 경사하강법에 대한 개요와 요약문의 보충 설명 

7.28 4주차 1강 미적분 gradient descent algorithm 요약 및 켤레기울기법 질문(Q : 김민서 A : 류재헌) 

7.28 [Final OK by TA][3주차] Finalized by 류재헌 - sage코드를 적용한 가우스 법칙의 풀이 

7.28 [Final OK by SGLee] Re-Finalized by 김미리, 문가은, 이혜연, 이상구교수님, 류재헌, 권서영(다중적분) 

8.01 8주차 5차시 코사인 유사도 강의에 대해서 질문이 있습니다.(Q : 류재헌 A : 이상구 교수님) (Bonus +1) 

8.04 베이즈 정리와 인공지능에서의 활용 - 베이즈 네트워크에 대하여 

8.05 [Final OK by SGLee] Re-finalized by 류재헌, 김보민, 이지용, 박정현, seoyoung - 베이즈 네트워크와 Naïve-bayes 모델을 이용한 스팸 메일 분류 

8.06 AI에서 확률이 갖는 의미와 기초적인 R코드의 실습 

8.07 [Final OK by SGLee] Re-finalized by 류재헌, 양지슬, 안은선, 푸아송 정리와 이항분포의 sage, R 실습 

8.11 [Final OK by SGLee][News : 스스로 학습하는 디지털 신인류by 최재붕 교수님]추가 조사와 이에 대한 나의 생각, 토의할 거리 

8.11 [Final OK by SGLee] 열린게시판에 올린 이미지 파일이 깨지시는 분들에게 추천드리는 방법 

8.11 [Final OK by SGLee] Re-finalized by 류재헌, 유민솔, 이지용, 이상구 교수님, 정현목, 김은진 - 결합분포 질문 

8.12 [6주차] 중심극한정리에 관한 질문 (Q : 권서우 A : 류재헌) 

8.12 [Final OK by SGLee] Re-finalized by 류재헌, 김은진, 권서우, 유민솔, 이상구 교수님, 이상원, 홍정명 - 중심극한정리의 질문과 실습 

8.12 PCA에서 SVD를 이용한 계산 과정에서 질문이 있습니다. (Q : 류재헌 A : 이상구 교수님) 

8.12 [Final OK by SGLee]교수님께 6주차 PBL Report에 대하여 질문하여, 아래와 같이 답을 얻었습니다. (Q : 류재헌 A : 이상구 교수님) 

8.12 Re-finalized by 류재헌, 박정현, 이상구 교수님, 이지용, 이혜연 - PCA가 데이터 분석에서 갖는 의의 

8.13 [Final OK by SGLee] 큰 고유값의 고유벡터를 선택하는 이유, Re-finalized by 권서영, 류재헌, 박정현, 이시원, 이상구 교수님, 이지용, 이혜연 

8.18 Finalized by 류재헌, 반도체 8대 공정 개요와 데이터 마이닝을 이용한 불량률 예측 논문 review 

8.18 7주차 오차역전파법 정리 및 질문 (Q : 김민서 A : 류재헌) 

8.18 교수님께 기말 테스트에 대해서 질문이 있습니다. (Q : 류재헌 A : 이상구 교수님) 

8.18 MATH4AI PDF 346쪽(교재 페이지 표기 339쪽)오탈자 제보 (Bonus +1) 

8.18 [Final OK by SGLee] Re-finalized by 류재헌, 이지용, 인공신경망 요약과 sage 실습 오류 분석 

8.19 Finalized by 류재헌, 이상구 교수님, 기말 테스트에 대한 답변 

 1. 전치행렬 

     행렬 에 대하여 A의 전치행렬(transpose)은 아고 이다.  

     전치행렬의 성질로는 다음 4개가 있다. 

     임의의 행렬을 생성하고 그것의 전치행렬을 구하는 코드 

     전치행렬을 직접 증명해서 성질을 확인해볼 수 있었고 이것을 코드로 직접 실습하고            응용해볼 수 있었다.  

2. 그래디언트 

     생소했던 그래디언트라는 개념의 정의를 알고 이를 시각적으로 어떻게 받아드리면 되는지       이해할 수 있었다. 

Q1. 인공지능이 입력 값에 대한 두 개의 출력이 존재하는 상황에서 작동할 수 있을까? 

인공지능 개론 중 예시로 영어와 프랑스어의 번역을 예시로 들어주셨는데 이 경우 강화학습을 통한 번역은 문장과 문장 사이의 의미가 일대일대응이어야 성립하는 것 아닌가요? 

예를 들어 한국어 중에서 "너 참 잘한다."라는 문장은 문맥에 따라서 상대방의 능력을 인정하는 의미와 상대방을 비꼬는 의미 두 가지로 쓰일 수 있습니다. 

이 경우 "너 참 잘한다."라는 입력 값에는 두 개의 출력 값이 존재할 수 있는데 이런 상황에서도 인공지능이 유의미하게 작용할 수 있을까요? 

A1. 인공지능은 위와 같은 상황에서 문맥을 파악하는 방식으로 작동할 것이라 생각한다. 

제 생각에는 문맥에 따라 서로 다르게 해석되는 문장 또한 번역이 가능할 것이라고 생각합니다. 

과거의 번역 방식이었던 통계 기반적인 번역 방식이라면 말씀하시는 것처럼 문맥에 의미를 파악하지 못할 것이라 생각합니다. 

하지만 인공신경망과 같은 방식을 이용하여 문장의 단위로 분할한 뒤 각 단위에 대해서 가중치를 주어 계산해낸다면 문맥에서 하고자 하는 말이 무엇인지 번역해 낼 수 있을것이라 생각합니다. 

Q2. REF 조건을 충족시킨 이유, 자유변수가 다른 이유, 임의의 해의 의미  

Q1 같은 성분인 1이 첫번째 항 세번째와 두번째항 두번째에 있는데 이는 ref의 (2)조건을 만족시키지 못하는것 아닌가? 

Q2자유변수가 왜 다른가? 

Q3임의의 해를 제공한다는게 무슨뜻인가? 

A2. REF와 RREF의 조건은 다르다, 자유변수는 같다, 임의의 해는 무수히 많은 해 중 하나이다. 

A1 REF의 2번째 조건에서 말하는 바는 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 선분이 1이어야한다는 점입니다. 때문에 첫번째 첫번째 열에서 가장 처음나타나는 0이 아닌 수는 1이고, 2번째, 3번째에서도 마찬가지이므로 REF의 2번째 조건을 만족한다고 할 수 있습니다. 말씀하시는 부분은 RREF일 경우 필요한 4번째 조건인 것 같습니다. 

A2 말씀해주신 그림에서의 자유변수는 동일한 듯 싶습니다. 자유변수는 선행선분을 가지지 않는 열에 대응되는 미지수를 말하기 때문에 그대로 x2,x4,x5가 자유변수가 될 것 같습니다. 

A3 임의의 해를 제공한다는 것은 무수히 많은 해중에서 가능한 해 하나를 제공한다는 뜻인것 같습니다. 

Q3. 뉴턴 방법의 한계 

뉴턴 방법으로 때로는 원하는값을 도출 해낼 수 없는 경우가 생기는데, 이러한 경우가 생기는 이유와 해결 방법이 궁금합니다. 

A3. 뉴턴 방법은 초기값을 잘못 선택하거나, 함수의 연속성 미분가능성에 따라 한계가 존재한다. 

뉴턴 방법은 함수가 연속이고 미분가능해야 한다는 제한사항이 존재하므로, 함수가 연속이지 않거나 미분가능하지 않은 경우에는 원하는 값이 도출 되지 않을 수 있습니다. 

또한, 초기값을 잘 못 잡을 경우에도 원하는 값이 도출되지 않을 수 있습니다. 

Q4. T is not bijective의 출력 

질문 1. 선형변환 T가 단사이고 전사이면 n=m이 된다는 명제가 이해되지 않습니다. 

질문 2. 아래 코드를 여러 번 실행해보았으나 "T is not bijective." 문구가 출력되는 경우를 찾지 못했습니다. 어떤 경우에서 해당 문구가 출력될 수 있을까요? 

A4. R^n -> R^n 상에서는 T가 단사라는 말과 전사라는 말이 동치입니다. 

질문2: A=[[1,0],[0,1],[0,0]]인 경우에 Ta : R^2->R^3인 경우에 T에서 is not bijective가 출력됩니다 

R^n->R^n상의 선형연산자인 경우에서는 T가 단사라는 말과 T가 전사라는 말이 동치이므로 ... 전단사가 아닌 선형연산자는 모두 not bijective 입니다. 

Q5. 최댓값 최솟값 정리의 확장 

Q1. 연속인 다변수함수 f: R^n -> R 에 대하여서도 최댓값 최솟값 정리가 성립하나요? 

Q2. 만약 그렇다면, 다변수에 대하여 '폐구간'을 어떻게 정의해야 하나요? 다음과 같은 도넛모양의 구간(경계선 포함)도 '폐구간'이라 말할 수 있나요? 

A5. 컴팩트하다는 추가조건이 성립될 시 확장이 가능합니다. 

저도 인터넷으로 추가적으로 찾아본 내용으로 답글을 답니다. 

잘못된 점은 지적해주세요. 

A1, R^n->R일때 X(R^n이고 연속이면 X가 컴팩트할 때 최대최소정리가 성립되는것 같습니다. 

Q6. 다변수함수에서의 뉴턴 방법의 구현 

김보겸 학우님께서 올려주신 질문, "다변수함수에서도 Newton's method를 활용할 수 있는가'를 보고 Newton's method를 sage 툴에서 직접 실습해보며 추가 질문이 생겨 글을 남겨봅니다. (댓글로 남기기에는 글이 길어 부득이하게 새 글로 남깁니다!) 

지난 21일 게재한 3주차 실습, Newton(x)=x-f(x)/diff(f(x),x) 함수를 정의하여 지정된 횟수 동안 초기값 a로부터 a=Newton(a)를 반복, 근삿값을 구하는 코드를 이용하여 다변수함수에서의 Newton's method 코드를 실행해보고자 하였습니다. 

교안의 편도함수 - 시각적 이해 파트를 활용하여, ①임의의 y값을 설정한 후 y==y_0(아래 첨부한 코드에서 y==-2)에 대한 평면에서 x의 근삿값 a를 구한다. ② 1에서 구한 a를 이용해 x==a에 대한 평면에서 y의 근삿값 b를 구한다. ③ 1과 2 과정을 순서대로 반복하여 f(x,y)=0의 근 혹은 근삿값 x, y를 구한다. 

위와 같은 알고리즘을 생각해보았으나, 코드를 실행해본 결과 과정 1에서의 a값은 반복횟수가 증가함에 따라 0에 수렴함에도 불구하고 과정 2에서의 b값은 반복횟수가 증가해도 0에 수렴하지 않는 양상을 보이는 것을 확인할 수 있었습니다. 

제가 생각한 알고리즘에서 오류가 있었다면 어떤 오류가 위와 같은 결과를 초래하였는지, 또한 개선점이 있다면 어떻게 개선하면 좋을지 조언을 구하고자 글을 남깁니다. 

코드는 아래와 같습니다. (link: Sage Cell Server (sagemath.org)) 

var('x,y,z') 

f=sin(x-y)+exp(-x*y+2) 

f_x=diff(f(x,y), x) 

f_y=diff(f(x,y), y) 

p=implicit_plot3d(z==0, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3), color='black') 

p1=implicit_plot3d(z==f, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3), color='blue') 

p2=implicit_plot3d(y==-2, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3), color='yellow') 

(p1+p2).show() 

a=1.1 #when y=2 

i1=0 

while i1<200: 

    i1=i1+1 

    Newton1(x,y)=x-(f(x,y)/f_x(x,y)) 

    a=Newton1.substitute(x=a, y=2) 

    if f(a,2)==0: 

        break 

print(a) #a=1.13761611998648 

print(f(a,2)) #1.11022302462516e-16 

b=2 #when x=1.13761611998648 

i2=0 

while i2<200: 

    i2=i2+1 

    Newton2(x,y)=x-f(x,y)/f_y(x,y) 

    b=Newton2.substitute(x=1.13761611998648, y=b) 

    if f(1.13761611998648, b)==0: 

        break 

print(b) 

print(f(b,2)) 

A6. 알고리즘의 일부 코드의 부재와 잘못된 변수의 대입의 문제 

우선 첫째로 print(f(b,2))부분에서 출력하는 값은 수행하였던 연산과는 궤가 다른 방향입니다. b는 y의 값을 나타내는데 x에 대입되고 있습니다. 

둘째로는 지금은 앞서 계획하신 알고리즘에서 3번 부분이 존재하지 않습니다. 이는 a의 값의 변화에 따른 b의 값의 변화를 불러오지 못한다는 의미가 됩니다. 이 과정에서도 오류가 발생한 것으로 보입니다. 

수학적으로 가능한지에 대해서는 증명을 찾지 못하였으나 우선적으로 위 식에 대해서는 코드를 통해 0.01이하의 오차를 가진 해를 찾아낼 수 있었습니다. 

3번 부분을 포함하여 약간의 수정을 거친 코드입니다. 

var('x,y,z') 

f=sin(x-y)+exp(-x*y+2) 

f_x=diff(f(x,y), x) 

f_y=diff(f(x,y), y) 

p=implicit_plot3d(z==0, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3), color='black') 

p1=implicit_plot3d(z==f, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3), color='blue') 

p2=implicit_plot3d(y==-2, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3), color='yellow') 

(p1+p2).show() 

a=1.1 #when y=2 

b=2 

i1=0 

while f(a,b)>=0.01: 

while i1<200: 

i1=i1+1 

Newton1(x,y)=x-(f(x,y)/f_x(x,y)) 

a=Newton1.substitute(x=a, y=b) 

if abs(f(a,b))<0.01: 

break 

print(a) #a=1.13761611998648 

print(f(a,b)) #1.11022302462516e-16 

i2=0 

while i2<200: 

i2=i2+1 

Newton2(x,y)=x-f(x,y)/f_y(x,y) 

b=Newton2.substitute(x=a, y=b) 

if abs(f(a, b))<0.01: 

break 

print(b) 

print(f(a,b)) 

indent가 표시되지 않아서 while이 한번 나올때마다 tab이 한번 들어간다고 생각해주시면 감사하겠습니다. indent가 표시된 버전이 필요하시다면 아래 공개한 워크시트를 참고해주세요. 

http://sage.knou.ac.kr/home/pub/553/ 

한가지 추가적인 문제점을 발견하였습니다. 

Newton1과 Newton2를 정의하는 과정에서 x-f(x,y)/f_x(x,y)가 아닌 a-f(x,y)/f_x(x,y)가 x-f(x,y)/f_y(x,y)대신 b-f(x,y)/f_y(x,y)가 사용되어야 합니다. 

Newton1과 같은 경우에는 x에 입력되는 값이 a로 동일하여 값이 산출되겠지만 Newton2같은 경우에는 x값에 1.13761199648 또는 a값이 입력되므로 뉴턴법의 식과 괴리가 발생합니다. 

Q7. cos세타가 되게 하는 세타 값이 항상 존재하는 이유 

코시슈바르트 부둥식을 설명하는 부분에서 -1와 1사이에 있으므로 cos 세타가 되게 하는 세타 값이 항상 존재한다고 말씀하셨습니다. 이 부분에서 어떻게 세타가 항상 존재할 수 있는지 이해가 어려워서 질문 드립니다 

A7. 벡터의 내적과 관련이 있으며, 오타의 부분도 존재한다. 

파란색 (-1<=||x|| ||y|| / x*y <=1) 부분이 잘못된 것 같습니다. 

|x*y|<=||x|| ||y||라면 ||x|| ||y|| / x*y의 범위는 -1과 1사이가 아닌 -1이하이거나 1이상이어야 됩니다. 

따라서 -1<= x*y / ||x|| ||y|| <=1이고 x*y = ||x|| ||y|| cos세타이기 때문에 -1<=cos세타<=1이 됩니다. 

때문에 cos의 범위가 -1에서 1 사이이므로 항상 두 벡터 사이의 사잇각인 세타가 존재합니다. 

4. 이중적분의 변수변환 

     평소 이중적분의 변수변환을 어려워했었는데 이를 다시 공부하면서 제대로 익힐 수 있었        다. 또한 야코비언을 활용해 코드를 작성하면서 그 과정을 알고 응용할 수 있게 되었다. 

   5. 경사-기울기 하강법과 뉴턴 방법의 차이점 

     경사-기울기 하강법과 뉴턴 방법의 차이에 대해 알고 문의게시판에서 활동하면서 이 둘의       차이점을 비교해 볼 수 있었다. 또한 두 방법의 실습코드에 대해서 정확히 알아볼 수 있었       다. 

     경사-기울기 하강법 코드 

     뉴턴 방법 코드 

Q8. python의 numpy라이브러리의 사분위 함수의 차이 

numpy로 사분위수를 구한 결과가 예제문제 답과 다르게 나왔습니다. 왜 그런건지 생각해봐도 답이 잘 떠오르지 않아 질문합니다! 

A8. Sage의 type=2와는 다른 방식의 사분위 값 도출 방식을 사용한다. 

numpy의 percentile 경우에는 값으로 유추해볼 때, 최솟값을 0%, 최댓값을 100%로 설정하고 그 사이의 값들을 (100/(n-1))%라고 생각하고 그 사이의 값을 구할때는 백분위를 기준으로 계산하는것 같습니다.예를 들어 np.percentile(grade,25)인경우 20%의 76, 40%의 83을 (76*3+83)/4를 통해 답을 구한것 같습니다.numpy 라이브러리와 관련된 정보들을 아래 사이트에서 보다 자세하게 확인하실수 있습니다. 

https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.percentile.html 

Q9. 열린 구간에서의 적분이 가능한가 

Q1) 앞서 배운 미적분에서 적분을 할 때는 닫힌 구간에서 적분할 수 있다고 배웠습니다. 근데 여기는 열린구간인데도 적분을 하는데 오류인가요?
 

A9. 확률밀도함수에서는 특정 값에서의 확률값이 0이므로, 닫힌 구간처럼 계산할 수 있다. 

A1)만약 f(x)가 해당 부분에서 정의되어 있는것이라면 확률밀도함수에서는 특정 지점에서의 확률값은 0이므로 P(a<x<b)=P(a<=x<b)=P(a<x<=b)=P(a<=x<=b)이므로 P(0<x<1)=P(0<=x<=1)로 계산이 가능한 것으로 알고 있습니다. 

Q10. ‘공분산과 상관계수가 0이면 두 사건은 독립이다’ 라는 명제가 성립할까? 

두 개의 사건이 서로 독립이면 공분산과 상관계수가 0인데 이 역인 '공분산과 상관계수가 0이면 두 개의 사건은 서로 독립이다' 도 성립하는지 궁금합니다. 

A10. 성립하지 않는다. 

공분산이 0이경우에도 독립이 아닐수 있습니다.P(x=-1)=P(x=1)=1/4,P(x=0)=0일 때, Y=x^2이라면 P(y=0)=P(y=1)=1/2가 되고 Cov(x,y)=0이 됩니다. 다만 이때의 x,y는 독립이 아닙니다.아래는 참고한 사이트 출처입니다.https://datalabbit.tistory.com/15 

Q11. 조건부 확률과 곱사건의 차이 

간단한 질문인데 직관적인 이해가 필요해서 질문 올립니다. 

곱사건은 A와 B가 동시에 발생하는 확률이고, 조건부 확률은 A가 발생했다는 전제 하에 B가 발생하는 확률이라고 한다면 결국 두 경우 모두 A와 B가 둘 다 발생했다는 것인데 어떤 점에서 차이가 생기는 건가요? 

계산을 할 때 곱사건은 명확하게 눈으로 보이는데 조건부 확률은 뭔가 예시를 들어도 이해가 부족한 느낌입니다. 

A11. 표본공간이 달라집니다. 

확률을 구할 때의 표본공간이 달라집니다. 곱사건의 경우에는 표본공간이 그대로 유지된다면 조건부 확률의 경우에는 A로 표본공간이 축소 됩니다. 

Q12. sage실습실과 교수님이 제공해주신 실습실의 sage 차이점 

Hello! 

My name is Dong Na. I have a question about code-practice. 

More detailed information as shown below. 

Source: http://matrix.skku.ac.kr/Lab-Book/Sage-Lab-Manual-1.htm 

Have a good day! 

Sincerely, 

Dong Na 

A12. 두 실습실의 python버전의 차이입니다. 

I think that the homepage sage version is not the same "http://sage.knou.ac.kr" sage version. http://sage.knou.ac.kr can compile both 'print' and 'print()'. But, the homepage can't compile 'print'. So, we need to use 'print()'. If you change 'print' to 'print()', these codes are running. 

print limit(f(x), x=2, dir='-') ---> print(limit(f(x),x=2,dir='-')) 

The result of checking python version of homepage and 'http://sage.knou.ac.kr' website, homepage use 3.9.2 version python and website use 2.7.5 version python. Python 2 can use 'print' and 'print()', but python 3 can't use 'print'. This difference makes these errors 

If you want to check python version of homepage and website, you can use 'sys' library. The code is as below. 

import sys 

print(sys.version) 

Q13. 제곱오차에서 y_i와 y_i^의 차이점 

제곱 오차에서 y_i에서 빼는 y_i^는 뭐를 뜻하는건가요? 

A13. y_i는 의도했던 관측값, y_i^는 계산된 예측값의 차이입니다. 

"예를 들어, 각 계층에서 입력신호 x_i(i=1,2,3...,N)를 받아 미리 부여된 가중치와 계산 후 주어진 활성화 함수로부터 출력된 값을 y_i^라 하고, 실제 정답은 y_i라 하자. 그러면 제곱 오차(squared error)는 다음과 같이 주어진다." 

위 문장을 보면, y_i^는 입력신호 x_i에 대해서 출력된 값을 의미하는 것 같습니다. 

문장 발췌: http://matrix.skku.ac.kr/math4ai/part4/  

참고자료: 

인공지능을 위한 기초수학 Basic Mathmatics for Artificial Intelligence, 이상구 with 이재화, http://matrix.skku.ac.kr/math4ai/ 

https://angeloyeo.github.io/2021/04/26/Poisson_distribution.html 

9. PCA 과정 

     1. 데이터를 센터링한다. 

     2. 센터링된 데이터의 행렬 X의 특이값 분해(SVD)를 구한다. 

     3. V의 열벡터가 주축(principal axes)이 된다. 

     4. Z=US의 열벡터들이 원 데이터를 주축에 정사영하여 얻어진 주성분 점수(PC score)가 된         다. 

     5. 데이터를 p차원에서 k(<<p)차원으로 줄이기 위하여, U의 처음 k개의 열벡터(U_k)와 S의         k번째 선행 주 부분행렬(leading principal submatrix)(S_k)을 U_kS_k는 처음 k개의 PC를         포함하는 n×k 행렬이 된다. 

   10. 오차역전파법 

     신경망에서 예측값과 관측값 사이의 오차를 최소화하기 위해 사용하는 대표적인 방법            

     오차역전파법의 알고리즘 

1. 전처리 된 데이터를 학습데이터, 검증 데이터, test data로 나눈다. 이때 training data, 검증 데이터를 80%, test data를 20%로 설정한다. 

2. 학습 데이터로부터 input variable, observed value를 입력한다. 

3. 인공신경망의 가중치를 임의로 입력한다. 가중치는 활성화 함수인 sigmoid function를 사용하는 것이 대표적이다. 

4. 입력 층에서 학습 데이터의 신호를 받으면, 가중치와 계산 후 은닉 층으로 전파되고, 다음 층으로 전파되어 출력층에서 해당하는 결과를 얻는다. 

5. 예측 값과 관측 값 사이의 오차를 계산한다. 

6. 오차를 최소화하기 위해 gradient descent method를 적용하여 3단계의 가중치를 update 한다. 

7. 오차가 minimized 될 때까지 4~6 과정을 반복하여 신경망을 modeling 한다. 

8. 남겨둔 20%의 test data를 이용하여 만든 neural network model이 잘 작동하는지 test 한다.  

Ch 2장. Participation (참여부분, 정량) 자기 평가와 본인의 Project (Term paper) 제안서 등에 대해 아래를 채우시오. (20점) 

1.  (20점) 본인이 그간 Q&A,  동료학생, “본"강좌 등에 기여한 내용을 간단히 서술하세요!  

 (1)  QnA 참여 회수 <QnA에서 직접 확인하세요> : 각 주별 (토요일에서 금요일)   

                                    총   72 회  (질문:  1 회,  답변/수정/Finalize:  71회) 

(1)  1주차 : 총 2 회,   2주차: 총 2 회,   3주차: 총 10 회,   4주차: 총 8 회 

(2)  5주차 : 총 5 회,   6주차: 총 8 회,   7주차: 총 6 회,    

                            총  41  회  (질문: 6 회,  답변/수정/Finalize: 35 회)  

  (2) 다음 밑줄 친 곳에 들어갈 내용을 고르시오. 

     나는 아래의 내용 중      하늘 색으로 서술된 키워드 [함수, 벡터, 행렬, 텐서, 노름, 내적, 선형연립방정식, 가우스 소거법, RREF, 첨가행렬, 정사영, 최소제곱문제, LU분해, QR 분해, SVD, 도함수, 미분, 극대, 극소, 최대, 최소, 경사하강법, 학습률, 그래디언트, 순열, 조합] 의 개념을 이해하고, 설명할 수 있으며, (간단한 것은 손으로, 복잡한 것은 Sage/R/python 등의 도구를 이용하여) 계산하여 그 의미를 설명할 수 있다. 

  (위 박스 안의 키워드에서 자신이 충분히 이해하고 있는 것을 표시하시면 됩니다.) 

  (3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?  

다양한 학과 분들을 게시판을 통해서 혹은 Office Hour시간을 통해서 만나게 되면서 각 학문에서는 어떠한 방식으로 수학을 사용하는지에 대해서 느낄 수 있었으며, 개개인 모두에게 잘하는 것이 있고, 못하는 것 또한 있다는 것을 알았습니다. 또한 이러한 장단점을 가지고 서로에게 코멘트를 달아주고 토론을 해 나가는 과정을 통해서 각자의 약점을 보완해나가며 효율적으로 실력의 향상을 이루어 낼 수 있다고 느꼈습니다. 때문에, 기존의 수능을 공부하기 위해서 타인과의 토론보다는 스스로 문제에 대해서 다시 한번 질문을 던져보고 계속해서 하나의 문제에 대해서 혼자서 고민하던 공부 방식을 고수하는 것이 아닌 타인과의 상호작용을 통한 변화가 필요하다는 것을 느꼈습니다. 

또한, 여름방학이라는 각자에게 귀중한 시간을 내어 매일같이 게시판에 요약 글을 작성하시고 다른 학우분들의 질문에 대해서 계속 답변해주시는 모습에서 학우님들과 교수님의 열의를 느낄 수 있었으며, 이에 뒤처지지 않고 남은 4주간의 기간에도 다른 분들과 같은 레이스를 끝까지 이어나갈 수 있었으면 좋겠다고 다시 한번 다짐하게 되었습니다. 

고등학교에서 경제학과를 목표로 진학 준비를 할 당시에는 수학에 관한 공부가 미진한 부분이 다수 존재하였고 수업에서 학습하게 되는 기초수학에 대해서도 모르는 부분과 개념이 혼란한 부분들을 다수 발견할 수 있었고, 이러한 요소들을 다른 학우분들의 요약본을 보고 그를 제 방식대로 재배열해보고 오탈자를 찾아 다시 한번 읽어보는 과정들을 통해서 수학 실력 또한 향상되고 있다고 느꼈습니다. 이렇게 다른 학우분들과 같이 학습하는 만큼 개인적으로 공부했었던 알고리즘들이나, 기존의 tensorflow를 이용하여 모델들을 만들어 보았던 경험을 보다 살려 다양한 방식으로 실습하고 다른 학우분들의 질문에 답변을 달아주면서 스스로 발전해 나갈 수 있도록 노력하겠습니다. 

7주차에 해당하는 신경망과 sigmoid함수 오차 역전파법에 대해 배우고, 이후 다른 학우분들이 Finalize한 게시글을 읽으면서 추가적인 활성화 함수에 대해서 학습할 수 있었습니다. 신경망에 대한 부분을 학습하고 sigmoid외에 다른 활성화함수 relu와 python의 tensorflow 라이브러리를 이용하여 실제로 모델을 구성해볼 수 있었습니다. 

7주라는 기간 동안 처음 배웠던 선형대수학의 벡터와 행렬과 관련된 내용과 그와 연관된 특이값 분해, 다변수함수의 미분 적분과 경사하강법, 확률과 통계에서의 중심극한정리, PCA와 신경망에 대해서 학습하는 기회가 되었습니다. 선형대수학을 처음 접하면서, 고등학교까지 배워왔던 수학과는 차이가 있다는 것을 느끼면서, 관련 개념들이 어렵게 다가왔습니다. 하지만, 새로운 학습법인 각자의 성취와 발전해나가는 정도에 따라 평가하는 방법을 인지하고 학습해나가면서, 성적에 대한 부담감을 덜어낼 수 있었고, 이러한 요소가 선형대수학의 기초에 대해 이해하는데 도움이 되었습니다.  

또한, 많은 분들이 질의응답을 진행하시고 질문에 대한 답변이 혹은 질문에서의 문제점에 대해서 꾸준히 코멘트를 주시는 교수님의 모습 덕분에 질의응답을 진행하는 과정에서 잘못 알고 있는 부분들에 대해 발견하고 수정해나가면서 소통에 중요성에 대해서 인지하게 되었던 만큼, 새로운 학습 방식의 장점과 교수님의 수업에 대한 열정을 느낄 수 있었으며, 이러한 방식의 수업은 수학에 대한 다른 이들의 접근에 대한 어려움과 두려움 줄여줄 것이라고 생각했습니다. 

더불어, 다른 분들의 글들을 Finalize하고 요약 및 정리하는 활동들을 진행하면서 다른 분들의 학습내용을 이해하는 것에 더해서, 기여 혹은 참고한 자료에 대한 출처를 표시하는 것이 매우 중요하다는 인식을 얻게 되었습니다. 

마지막으로, 마지막 주 실습으로 실제 만들어진 fashion_MNIST와 tensorflow를 통해서 모델을 구축해봄으로써, 스스로 인공지능과 머신런닝과 같은 분야에 출발점에 서게 되었다는 느낌을 받게 되었습니다. 

(1-4주차) 시대적으로 인공지능을 적극적으로 받아들이고 학습하는 분위기가 되었는데, 정작 인공지능이 어떻게 작동하는지에 대한 식견이 없어서 인공지능에 대해서 공부를 해야겠다고 생각했습니다. 본 강좌를 들으면서, 인공지능의 기초인 선형대수학에 대해 배우고 그것이 어떻게 코딩에 적용되는지를 학습하며, 기저에 깔려있는 원리에 대해서 알아갈 수 있었습니다. 다른 학우들이 본인의 전공에 해당하는 내용과 그에 관련된 파이썬 코드를 올려줘서, 인공지능이 다른 분야에서는 어떤 식으로 활용되는지도 감을 잡을 수 있었습니다. 오혜준 학우님이 올려주신 기계공학에서 사용되는 newton’s method를 읽고, 로봇 팔의 각도를 결정하는 부분에서 인공지능 학습이 어떻게 사용되는지 대략적인 내용을 알 수 있게 된 것이 그 예라 할 수 있겠습니다. 교수님이 본인의 전공과 본 학습을 적극적으로 결합시켜 생각하시길 원해서, 학우들의 다양한 결과물들을 학습할 기회가 있었습니다. 

        (5-6주차) 5-6주차에는 수학적인 개념을 이해하는 데에 더 집중하게 되었습니다. 주성분 분석을 공부하는 과정에서, 고유값, 고유벡터, svd등의 공식은 이해했지만 이것이 수학적으로, 인공지능적으로 갖는 의미를 제대로 이해하지 못했다고 판단했습니다. 교수님이 math.skku에 부가적으로 올려주신 자료와 학우들의 자료, 또한 추가적인 인터넷 자료들을 여럿 읽고 공부하고 나서야 PCA에 대한 가락이 잡히기 시작했습니다. 이지용, 박정현 학우님이 올려주신 PCA에 대한 요약을 읽으면서 공식이 어떤 순서대로 작동하는 지 파악했고, 권서영 햑우님이 제 글을 읽고 Re-finalize 해주신 글을 다시 보면서 실습에서 수행된 PCA의 기하학적 표현에 대해서 알 수 있게 되었습니다. 다른 학우들과의 지식의 공유가 주는 영향력을 다시금 느낄 수 있었습니다. 

        (7주차) 인공신경망의 학습 이후, 프로젝트 제안서를 실현시킬수 있는 지 선행 연구를 조사하여 가능성을 조사하기로 하였습니다. 현행 논문들에서는 PCA를 기반으로 해 한 테스트를 통과한 칩이 다른 테스트의 신뢰성 검사를 직접적으로 거치지 않아도 미리 예측하는 방법을 통해서, 테스트의 비용과 시간을 절감하는 방법을 꾀하고 여러 개의 학습 모델을 거쳐서 어떤 학습 모델이 신뢰성있는가를 따졌습니다. 이러한 논문의 방법론이 분명 비용과 시간을 절감하는데는 도움이 되겠지만, 제일 중요한 불량 칩을 조금이라도 더 선별하고자 하는 원래 판별검사의 목적과는 거리가 있는 것 같다는 생각을 하였습니다. 하지만 신뢰성 검사가 판별하고자 하는 변수가 비슷한 항목에 대해서는, 이러한 모델을 적용하는 것이 공정의 효율성을 증가키는데 도움이 될 것입니다.  

Ch 3장. Self Evaluation 1. (개인 성찰 노트) (20점) 

[성찰노트] 

※ 다음 항목들을 고려하여 자신의 학습과정과 내용을 기록하시오. 

1. 나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?   

선형대수학 파트에서 이해하는데 어려움을 겪은 부분이 많았지만, 다른 학우분들과의 답변을 주고받는 과정을 통하여 보다 쉽게 이해할 수 있었으며, Sage코드를 보면서 어떠한 방식으로 연산이 진행되는지에 대해서 구체적으로 이해할 수 있었습니다. 또한, 미분적분학의 부분에서는 기존의 가지고 있었던 개념에 대해서 살을 붙여나가는 방식을 통해서 이해도를 높여가고 있다고 생각합니다. 다만 미분적분학 파트에 비해서 처음 접하는 개념인 선형대수학의 개념이 상대적으로 빈약하며 Sage혹은 Python코드를 구성하는 데에는 문제가 존재하지 않더라도 계속해서 공부해 이해도를 높일 필요가 있다고 느끼고 있습니다. 더불어, 선형대수학과 미분적분학의 실습 코드에 대해서 이해하는 과정에서는 학습의 진행내용에 대해서 기초수학에 관한 내용보다는 진행내용을 이해하고 있다고 확신할 수 있습니다. 마지막으로 통계학과 관련된 수학 파트는 앞선 2가지 파트에 비해서 상대적으로 저에게는 수월하게 다가왔던 것 같습니다. 고등학교 시간에 문과생이라도 배우게 되는 확률과 통계의 내용이 다수 포함되어 있었던 만큼 기본적인 기초를 가지고서 수업에 임할 수 있었습니다. 수업이 진행되어가면서 기존의 문제를 풀기 위해서 사용하였던 방식들의 명칭이나 정의와 같은 내용을 확인할 수 있었습니다. 특히 포아송 분포에 경우에 고등학교 당시 문제로 제출되는 예시는 모두 이 요건을 만족할테니 계산하라는 설명에 대해 가지고 있던 궁금증을 해결할 수 있는 정의였습니다. 덕분에 통계 부분에 대한 이해도는 상대적으로 높았다고 생각합니다. 

7주차에 진행되었던 인공신경망과 활성화함수, 오차 역전파법에 대해서 인공신경망 알고리즘이 만들어지게 된 계기와 구성되어져 있는 모습, 작동하는 방식에 대해서 이해하였습니다. 또한, 활성화함수인 sigmoid가 기울기 소실이라는 문제점을 가지고 있다는 부분에 대해서 이해하게 되었으며, 은닉층과 출력층 사이에서의 오차, 은닉층과 은닉층 혹은 입력층과 은닉층 사이에서의 오차에 대해서 역으로 가중치를 갱신해 나가는 오차 역전파법에 대해서도 이해할 수 있었습니다. 

2. 어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료) 

우선적으로 책을 한번 훑어보면서 해당 주차의 학습할 내용에 대해서 키워드를 중심으로 스스로 생각해보고 교수님이 올려주신 강의를 1주차 단위로 시청하였습니다. 이후 교재를 다시 한번 읽으면서 제시되어 있는 예제를 직접 손으로 풀어보고 Sage코드 혹은 Python 등을 통해서 실습을 진행해나가면서 스스로 개념을 제대로 이해했는지 그리고 알고리즘을 제대로 이해했는지를 확인해 나가게 되었습니다. 만약 Sage코드 혹은 Python코드에서 어려움을 stackoverflow와 https://doc.sagemath.org/html/en/constructions/linear_algebra.html을 통해서 궁금증을 해결해 나가고자 하였습니다. 또한 증명에 대해서 의문이 생기는 경우에는 네이버 블로그 혹은 유튜브를 통해서 해당 증명과 관련된 영상을 시청함으로써 이해도를 높이고자 하였습니다. 이러한 과정을 거치면서 스스로 예제를 풀어보고 실습한 내용을 게시판에 글로써 1차적으로 요약을 진행하였습니다. 해당 주차가 끝나가는 시기에는 이러한 실습과 키워드를 위주로 진행했던 수업의 내용들을 하나의 파일로 만들어 다른 학우분들의 요약 내용글에 덧붙이거나 스스로 글을 작성함으로써 해당 내용에 대해서 다시한번 복습하는 시간을 가지게 되었습니다. 이후에는 해당 내용의 대해서 올라오는 질문글에 대해서 아는 내용이라면 답변을 달아드리고 모르는 내용이라면 구글링을 통해서 내용을 찾아보고 답변을 달아드리는 활동을 진행하면서 학습을 진행해나가고 있습니다. 

7주차에 해당하는 내용을 학습할 때에는, 강의를 우선적으로 들은 후 다른 학우분들의 게시글과 질문들을 참고해 나가면서 학습을 진행하였습니다. sigmoid외에 추가적인 활성화 함수에 대해서는 다른 학우분들의 Finalize글들을 참고하여 학습하였습니다. numpy 등의 라이브러리의 모듈에 대한 오류나 궁금증은 해당하는 라이브러리의 모듈들에 대해 설명되어 있는 공식사이트 https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.percentile.html등을 통해서 궁금한 점을 해결하고 학습해 나갈 수 있었습니다. 추가적으로 R언어의 경우에는 R Studio를 다운받아 직접 실행시켜보면서 학습을 진행해 나갔으며, fashion_MNIST를 통해 모델을 실제로 구성해보는 경우에는 anaconda를 통한 가상환경과 pycharm, tensorflow라이브러리, colab에 올라와있는 코드, tensorflow 듀토리얼 등을 통해서 추가적인 구현에 대해 학습을 진행해 나갈 수 있었습니다. 

3. 본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나? 

크게 기초수학, Sage, 소통과 관련된 3가지 영역에서 배움을 얻을 수 있었습니다. 

먼저 기초수학과 관련되어서는 선형대수학 파트에서 기존에 배우지 않았던, 벡터와 행렬 그리고 이들을 이용하는 다양한 연산들의 대한 지식을 배울 수 있었다. 미분적분학 파트에서도 고등학교 과정을 벗어난 내용들에 대해서 기초를 다질 수 있었으며, 정리를 찾아보면서 수학의 증명에서 사용되는 수학 기호들에 대해서도 학습할 수 있었다. 통계 파트에서는, 고등학교 당시에 정확한 내용 없이 성립한다고만 서술되어 있던 내용에 대해서 깊게 알아볼 수 있는 시간이 되었습니다. 

두번째로 기존에 알지 못했던 편리한 수학 소프트웨어 Sage의 존재와 문법에 대한 이해이다. 간단한 프로그램을 만들거나 연산을 진행하는 경우에 스스로 함수를 구현하여 사용하던 예전과는 달리 많은 부분이 함수로써 구현되어 있는 Sage의 사용법을 학습하게 되었으며 이를 통해서 수학 공식을 식으로 나타내고 컴퓨터가 인식할 수 있게 하는 과정에서의 강점들을 갖출 수 있게 되었다고 생각한다.  

마지막으로 다른 사람과의 소통을 통해서 학습을 해나가는 태도이다. 기존에는 발달한 인터넷을 통해서 스스로 공부가 가능하고 이가 모든 상황에서 가장 효율적이라는 착각에 빠져있었다는 것을 깨닫게 되는 계기가 되었다. 본 강좌의 학습활동을 통해서 다른 학우분들의 생각과 학습 과정을 통해서 많은 학습을 진행할 수 있다는 것을 배울 수 있었다. 

7주차에 직접 모델을 구성하면서, 데이터를 분할하거나 내용을 축소시키는 등의 활동을 통해서 효율성을 높이는 과정이 매우 중요하다는 것을 배울 수 있었습니다. 또한, 현실에서의 다양한 데이터, 그리고 그 데이터들에 대한 권리 또한 매우 중요하다는 것을 배울 수 있었습니다. 모델을 직접 학습시켜 보면서, 사용하는 데이터의 개수가 늘어날 경우 기하급수적으로 시행속도가 증가하는 것을 체험할 수 있었으며, 모델을 학습시키는데 사용된 fashion_MNIST의 데이터셋 구성개수가 60,000개에 이르는 점에서 이러한 데이터를 구성하는데 들어가는 비용과 중요도가 매우 높다는 것을 인식할 수 있었습니다. 또한, 같은 데이터로 반복된 학습을 진행하는 것으로는 일정량 이상의 정확도가 달성되지 않으므로, 새로운 데이터에 대한 가치나 혹은 새로운 학습 방법의 발견의 가치가 매우 높을 것이라는 점을 배울 수 있었습니다. 

또한, 실제로 R을 시행해보면서 R의 통계학적인 장점에 대해서도 학습해 나갈 수 있었으며, 새로운 학습법의 효울성과 수학의 다양한 학문에 접목가능성에 대해서 배울 수 있었습니다.   

4. 다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?  

첫째로, 당연하다고 생각했던 내용에 대해서도 확인을 하고 넘어가야한다는 생각을 가지게 되었다. 기존에는 어렵거나 의아한 증명에 대해서만 내용을 찾아보고 넘어갔지만, 다른 학우분들이 당연하다고 생각했던 내용에 남겨주신 질문들을 통해서 해당 내용에 대해서 깊게 생각해볼 기회들을 얻을 수 있었고, 이 과정에서 돌다리도 두들기고 넘어가라는 속담이 있듯이 다시 한번 자신의 지식을 확인하고 넘어갈 필요가 있다고 느꼈다. 

둘째로, 학우님들의 다양한 사고방식을 엿볼 수 있었다. 똑같은 개념과 예제를 가지고서도 각자 분야가 다르신 학우님들이 각자의 전공에 대입하여 내용을 전개시켜나가는 과정을 통해서 개념의 발산을 느낄 수 있었고, 이 과정에서 다른 학우분들의 사고방식을 엿볼 수 있는 기회가 되었다고 생각한다. 

자료에 대한 출처를 남기는 습관을 배울 수 있었습니다. 학우분들이 학습 자료를 추가하시는 과정에서 꼼꼼히 출처를 남기시는 부분에서 출처를 남기는 행위에 대한 중요성을 배울 수 있었습니다. 또한, 많은 학우분께서 중간고사 PBL 보고서에 대해서 발표를 진행하시는 것을 보고 학우분들의 수업에 대한 열정을 느낄 수 있었으며, 상당히 방대한 내용의 PBL보고서를 10분이라는 짧은 시간내에 발표를 하시는 모습을 보면서 발표에서의 시간을 지키는 것에 중요성에 대해서 다시 한번 인식하게 되었습니다. 

5. 새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가? 

빅데이터 시대가 다가오면서 생겨나는 데이터의 홍수 속에서 데이터를 효율적으로 처리하는 과정에서 벡터과 행렬, SVD와 같은 방식들을 이용하여 효과적으로 데이터를 다루는 데 사용할 수 있을 것이다. 이러한 데이터를 다루는 내용을 확실히 학습하게 된다면, 장래희망과 연관되어 있는 증권이나 채권, 펀드, 파생상품과 관련된 상품들에 대해서 추가적으로 학습을 진행하고 그들에 관한 모델을 구성해보는 과정을 통해서 실제 생활에 적용해 나갈 수 있을 것이라 생각한다. 또한, 이러한 선형대수학을 기반으로 하여 앞으로 경제학을 보다 깊게 전공해나가면서 현실세계의 복잡한 변수들의 얽힘을 보다 쉽게 표현하고 연산할 수 있을 것라고 생각했다. 예를 들어, 두 화폐 사이의 교환 비율의 변화를 예측하는 식만을 가정하더라도 두 화폐의 이자율, 변동성 지수 등의 다양한 요소를 다루어야 한다. 또한, 이러한 모델을 만드는 과정에서 다루어지는 금융공학에서는 통계와 데이터를 다루는 활동 등이 필수적으로 요구되기 때문에 이번에 배운 내용들을 토대로 향후 TARCH와 같은 금융공학 모델들에 대해서도 공부해 나가는 과정에서도 적용해 나갈 수 있을 것이라 생각한다. 

PCA와 같은 내용은 현실에서의 상황에 대입하여 문제를 간략히 정리하고 해결하는데 적용해 나갈 수 있을 것이라고 생각합니다. PCA에서는 차원을 축소하는 역할을 하는 것이 PC였다면, 현실에서는 문제를 일으키는 다양한 요인들이 존재하고, 그 존재들을 PC와 같이 생각할 수 있을것 같습니다. 중요도가 높은 요소에 대해서는 남겨두고, 중요도가 높지 않은 요소에 대해서는 제거 혹은 변형하는 과정을 통해서 문제를 단순화하고 해결하는 데 사용할 수 있을 것입니다. 

또한, 여태까지 배운 SVD, PCA, 신경망과 같은 내용들을 이용하여 현재 굉장히 주목받고 있는 주식에 대하여, 주식의 상승 혹은 하락의 가능성, 매수와 매도의 타이밍 제시 그리고 목표 주가를 산정해주는 모델을 구현해보고 싶습니다. 

6. QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적으세요.) :  

-  95/100  점.  ->   98/100점 

-  Q&A에 참여한 빈도나 다른 분들의 질문에 대답한 횟수 Finalize한 횟수, 요약글을 작성한 횟수, 토의를 진행한 횟수 등에서는 만점을 줄 수 있을만큼의 충분한 기여를 하였다고 판단하였지만 문제에 대해서 질문을 남기는 빈도가 부족하다고 생각했기 때문에 5점을 감점하였다. 

-  Q&A에서의 내 가장 큰 역할은 python코드나 Sage코드에 대해서 토론을 하고 코멘트를 다는 역할이었다고 생각한다. 기존에 수학보다는 코딩에 자신감을 가지고 있던 부분이 은연중에 드러났다고 생각한다. 다만, 수학과 관련된 내용에서도 답변을 드리고자 노력하였고 공식에 대해서 증명하고 요약하는 역할 또한 수행하였다고 생각한다. 마지막으로, 내용들을 요약하거나 다른 학우분들이 요약한 내용들을 보충하고 종합하여 Finalize하는 역할을 수행하였다고 생각한다. 때문에 질문을 제시하는 것을 제외한 부분에서 역할과 기여도가 만점을 줄 수 있다고 판단하였기 때문에 질문과 관련된 5점을 감하여 스스로에게 95점을 주었다. 

- 여전히 질문을 진행하는 부분에서는 미진한 모습을 보였지만, 내용을 정리하고 요약하거나 확실한 내용의 답변을 다는 활동들 또한 질문에 못지 않고 중요하다고 인식하였으며, 이러한 차이점은 역할의 분배와 같은 영역이라고 생각하였습니다. 때문에, 질문 미숙에서 준 5점의 감점에 대해서 폭을 좁히게 되었습니다. 또한, 꾸준히 Q&A에 참여하고, 다른 학우분들이 작성하신 실습글이나 질문글 정리글 들을 모아 재정리하여 Finalize하는 과정을 적극적으로 참여하여 진행하였으며, 다른 학우분들이 게시글을 올려놓은 내용에 대해서 문서화하는 등의 활동에도 열심히 참여하였다고 생각합니다. 더불어, 스스로 개념에 대한 요약을 자주 진행하였으며, 개인적으로 실습을 진행함으로써 깨달음 점을 작성하였던 활동들도 긍정적으로 평가하였습니다.   

7. 다른 학생에 대한 평가 

본 학기보다 짧은 시간 그리고 다른 활동들이 많이 겹쳐있을 수 있는 여름방학이라는 시기에 다들 열성적으로 게시판 활동에 참여해주시고 다른 학우분의 궁금증을 해결해주시고자 하는 열정이 매우 멋있다는 느낌으로 다가왔다. 또한 학우님들마다 각자의 장점을 가지고 계셔서 어떠한 학우님은 수학과 관련된 내용을 어떠한 학우님은 코딩과 관련된 내용을 어떠한 학우님께서는 요약을 잘하시는 부분이 존재하였다고 생각한다. 김보민 학우님과 양지슬 학우님께는 python과 sage코드에 관한 토의를 진행해나가주시는 부분이 인상적이었으며, 김수호 학우님께서는 수학에 관한 질문에 관해서 열성적으로 답변을 달아주시는 모습이 개인적으로 인상깊었습니다. 또한 김수호 학우님께서 진행해주신 Sage코드 모음과 같은 활동 또한 실습을 진행하는 과정에서 매우 큰 도움이 되었다고 생각합니다. 권서영 학우님께서는 다양한 게시글에 답변을 남겨주시고 학습을 진행하시면서 학습 내용에 대해서 이해를 도우시고자 하는 모습을 확인 할 수 있었다고 생각합니다. 더불어, Office Hour에 참여하셔서 각자 궁금하신 점을 확인하시고 강의 커리큘럼을 따라가고자 하며 게시판에 스스로의 학습성과와 질문들을 올리고자 하는 모습이 매우 인상깊게 느껴졌습니다. 

많은 학우분들께서 당연하게 생각하고 넘어가실 수 있는 부분에 대해서도 의문점을 가지시고 질문을 해주시면서 개념에 대해서 보다 확실하게 이해하고 넘어가고자 하는 점을 느낄 수 있었습니다. 또한, 많은 학우분들께서 Sage와 R과 같은 언어를 사용해보시지 않으셨을텐데도, 이러한 언어에 대해 빠른 시일내에 적응하시고 적극적으로 실습을 진행해나가고자 하는 모습에서 학업에 대한 매우 큰 의지와 열의를 느낄 수 있었습니다. 또한, 각자 코딩과 같은 경우에는 사이트 혹은 블로그, 알고리즘과 같은 경우에는 논문과 같은 다양한 장소에서 자료 조사를 진행해주시는 것을 보면서 추가적인 자료 조사를 진행할 때, 사이트나 기준이 되는 검색어들에 대해서 도움을 받을 수 있었습니다. 

또한, 다른 학우분들에 질문글에 대해서 자신이 아는 내용에 대해서 성실히 답변해주시고, 같이 코드에서의 문제점을 찾아나가면서 하나하나 Sage코드의 문제점을 예상하고 정리하면서, 다른 학우분들과의 토론에 대해서 꾸준하게 참여하고 계신다는 인상을 받았으며, 서로에 대해서 존중해주고 계신다는 느낌을 받았습니다. 

Self Evaluation 2. (개인 성찰 노트 2)  

[의견] 

  ▶ 자체평가에 따른 잘한 점 

출석과 게시판 참여에 대해서 매주 지속적으로 참여하였다. 더불어 python, sage와 관련된 코드에 대한 질의응답 과정에서 적극적으로 참여하여 도움이 될 수 있는 정보와 코드들을 제공하였다고 생각한다. 이외에도 요약을 진행하면서 기초수학과 관련된 키워드 위주의 요약과 실습과 관련된 내용을 공유하면서 도움이 되는 정보를 제공하였다고 생각한다. 또한 다른 학우분들의 요약을 종합하여 하나의 파일로 엮어내어 Finalize를 하면서 학우님들의 요약과 의견 등이 수렴해나가는 과정에서 기여를 하였다는 점에서 잘하였다고 생각한다. 마지막으로, 다른 학우분들의 이야기를 존중하고, 의견에 대해서  존중하며 검토한 부분 또한 스스로 잘한점이라고 생각한다. 

마지막 주차에 들어서서 이미 제공되어 있는 데이터 셋을 이용하여 스스로 모델을 만들어 본점에 대해서 스스로에게 자신감을 안겨주고, 7주차 동안 배운 내용에 대해서 정리해보는 시간을 가지게 해주었다는 점에서 매우 잘한 활동이었다고 생각합니다. 또한 다른 학우분들이 올려주신 신경망의 가중치를 갱신하는 Sage코드에 문제점에 대해서 다방면으로 수정을 시도해보고 그를 문서화하여 기록함으로써 다른 학우분들에게 새로운 가능성에 대해서 제시하고 기존에 제시해주셨던 가능성에 대해서 증명해나가는 과정을 거치며 같이 하나의 코드를 구성해나갔던 활동 또한 많은 배움을 주었기 때문에, 잘한 활동이었다고 생각한다. 

  ▶ 자체평가에 따른 아쉬운 점 

게시판에 질문을 남기는 내용에 관해서 충실히 기여하지 못했다는 아쉬운 점이 존재한다. 다음으로 1주차 실습을 진행하는 과정에서 numpy라는 라이브러리의 존재를 알았음에도 굳이 이를 함수로써 적용한 모습만을 보여줌으로써 다른 학우분들의 이해에 어려움을 더했을 것이라는 생각에 numpy의 사용모습도 같이 실습 요약하지 못했다는 아쉬운 점이 존재한다. 또한 기존에 공부했었던 tensorflow를 사용한 경사하강법 등을 소개하지 못했다는 부분에서 아쉬움을 가지고 있다. 마지막으로, 스스로 수학에 관한 내용 이해가 부족하여 질문자분들에게 한 번에 명쾌하게 설명하지 못하는 역량 또한 아쉬운 요소로 남아있다. 

잘한점에서 연결되는 내용으로써, Sage코드를 고쳐나가면서 스스로 정답이 될 수 있는 코드를 제시하지 못하고 가능성만을 남겨두었던 점이 아쉬웠던것 같습니다. 또한, tensorflow를 통해서 학습을 진행해나가면서, 모델을 구성하기는 했지만 스스로 데이터를 찾아 데이터를 구성한 것이 아니라는 점에서 아쉬움이 존재합니다. 

Self Evaluation 3. (개인 성찰 노트 3) 

자신의 학습에 도움이 된 우수한/성실한 동 료 평 가 

Ch 4장. PBL Participation/Activity Part (30점) 

       (4장. 학습활동 참여 부분 ) 

 중간고사 이전까지 QnA를 통하여 논의에 참여했던 내용에 자신도 참여했던 것 모두와 기타 자신이 제공한 유의미한 정보 또는 그것에 자신이 참여한 부분을 모두 아래에 정리하시면 됩니다.      (20점)  

(Office Hour 관련 요약 3개, 시간 합의 1개, Week 1 관련 내용 Finalize 11개, Week 2 관련 내용 Finalize 6개, Week 3 관련 내용 Finalize 5개, Week 4 관련 내용 Finalize 2개, Week 5 관련 내용 Finalize 8개, Week 6 관련 내용 Finalize 3개) 

(Week 7 관련 내용 3개) 

Final OK 게시글별 주제 요약 

1. Office Hour 시간 합의 

2. 20210719 Office Hour 질의응답 정리 1 

3. 20210719 Office Hour 질의응답 정리 2 

4. 20210802 Office Hour 질의응답 정리 

5. 코시-슈바르츠 부등식의 증명 

6. 가우스 조던 소거법 실습 

7. 행렬의 합과 곱, 스칼라 배 실습 및 문제 생성 코드 

8. 역행렬 구하기 실습 

9. 최소제곱해, 정규직교화, QR분해 python 실습 

10. is_invertible()와 RFD 명령어에 대한 질의응답 

11. Sage의 augment 명령어의 결과 저장방법에 대한 질의응답 

12. REF을 구하는 명령어의 유무에 대한 질의응답 

13. REF와 RREF의 차이, 자유변수와 임의의 해가 뜻하는 바에 대한 질의응답 

14. 코시슈바르츠 부등식의 오타 관련 

15. 1주차 요약 및 정리 

16. eigenvectors_right 명령어의 return 값을 분리하는 방법에 대한 질의응답 

17. 특이값 분해(SVD) 실습 

18. 동형사상, 선형변환, 선형연산자에 대한 질의응답 

19. 핵과 치역, 전단사의 관계 및 고유값과 고유벡터에 대한 질의응답 

20. SVD의 실제 데이터의 적용 및 Sage 실습 정리 

21. 2주차 요약 및 정리 

22. 미분파트 정리 및 뉴턴 방법의 제약에 대한 질의응답 

23. 다변수함수의 뉴턴 방법의 Sage코드 구성에 대한 질의응답 

24. 최댓값 최솟값 정리의 확장에 대한 질의응답 

25. 말안장 함수, 임계점, 이계도함수 판정법에 대한 정리 

26. 3주차 요약 및 정리 

27. 경사하강법과 뉴턴법의 차이 및 내용 정리 

28. 경사하강법 구현 코드의 수정 

29. 막대 도표와 히스토그램의 사용 예시와 사분위와 평균에 대한 질의응답 

30. 5주차 1강에 대한 정리 및 표본평균=모평균의 증명 정리 

31. 베르누이 분포, 이항 분포, 포아송 분포에 대한 정리 

32. 베이즈 추정과 나이브 베이즈, 라플라스 스무딩에 대한 정리 

33. 표본 분산을 n이 아닌 n-1로 나누는 이유와 베이즈 정리의 적용에 대한 정리 

34. 확률밀도함수의 적분에 대한 질의응답 

35. 조건부확률과 곱사건의 차이점에 대한 질의응답 

36. 5주차 요약 및 정리 

37. Sage, R, Python, C 언어 사이의 차이점에 대한 정리 

38. 공분산과 상관계수와 독립 사이의 명제에 대한 질의응답 

39. PCA의 개념, 사용 사례, 구현 코드의 정리 

40. Tensorflow의 fashion_MNIST 데이터셋을 이용한 실습 

41. 제곱오차에서 y_i와 y_i^의 차이에 대한 질의응답 

42. 신경망에 대한 요약과 경사하강법을 구현하는 과정에서의 시행착오 정리 

1. Office Hour 시간 합의 

Finalized by SGLee 다음 주 월요일 12시에서 1시반 WebEx로 첫번째 면대면 Office Hour 진행하겠습니다. 주소는 그전에 공지 하고 공지 메세지로 전달 되도록 할께요^^ 

작성자:이상구(LEE SANGGU)작성일:7월 14일 오후 12:56 

조회수:56 

Finalized by SGLee 다음 주 월요일 12시에서 1시반 WebEx로 첫번째면대면 Office Hour진행하겠습니다. 주소는 그전에 공지 하고 공지 메세지로 전달 되도록 할께요^^ 

다음 주 월요일이나 화요일 정도에 한 90분 정도 Zoom 이나 WebEx 면대면 Office Hour 가지고 얼굴보면서 문의계시판 내용 복습과 요약 설명들 해 줄까 합니다. 

WebEx 와 Zoom 중 선호하는 tool 도 알려주세요. 성대는 디폴트가WebEx 입니다. 

그간의 성적도 공개하고 , 여러분들이 어떤 질문이라도 하시면 내가 답 해 줄께요^^ 

시간은 

다음 주 월요일 또는 화요일 

오전 10시, 오전 11시, 오후 2시, 오후 3시 중에 하나로 

정하려고 하는데 ... 꼭 안되는 시간을 알려주세요^^ 

From your Prof. 

 

11개의 댓글 

이시원(2021####15)7월 14일 오후 2:42 

저는 오전 10시~12시에 진행되는 글로벌 분쟁의 이해라는 비교과 프로그램을 수강하고있어, 오전 10시와 오전 11시에는 시간이 되지 않을것 같습니다... 

정진웅(2021####60)7월 14일 오후 2:49 

저는 3시 시간대는 불가능할 것 같습니다 

이상구(LEE SANGGU)7월 14일 오후 3:09 

그럼 1회 OH(면대면 미팅/질문/답변)을 일단 시범적으로 다음 주1. 월요일 12시에서 1시반 또는2. 월요일 1시에서 3시중 하나로 하면 괜찮을까요? 

이시원(2021####15)7월 14일 오후 3:14 

전 좋은 것 같습니다!! 

이혜연(2020####81)7월 14일 오후 3:43 

저는 2시부터는 참여가 힘들 것 같습니다. 혹시 참여하지 못할 경우를 대비해서 녹화본을 올려주실 수 있나요? 

이상구(LEE SANGGU)7월 14일 오후 6:35 

그럼 그럼 1회 OH(면대면 미팅/질문/답변)을 일단 시범적으로 다음 주1. 월요일 12시에서 1시반으로 하면 될까요? 

박정현(2018####21)7월 14일 오후 7:29 

저는 좋은 것 같습니다 

김수호(2019####59)7월 14일 오후 8:23 

저도 1번에 찬성입니다! 

이지용(2021####83)7월 14일 오후 9:50 

저 월요일 1시-4시에 네트워킹 개론 (비교과 프로그램) 수업이 있습니다. 저 1시 까지만 듣다가 1시부터 30분동안 휴대폰으로 교수님 수업 듣고 컴퓨터로는 비교과 프로그램 들어도 되겠습니까? 

민소은(2021####60)7월 15일 오전 6:24 

제 노트북에서 Zoom이 잘 작동이 되지 않아서 WebEx로 진행해주신다면 좋을 것 같습니다 

이상구(LEE SANGGU)7월 15일 오후 4:26 

다음 주 월요일 12시에서 1시반 WebEx로 진행하겠습니다. 해주신다면 좋을 것 같습니다 주소는 그전에 공지 하고 공지 메세지로 전달 되도록 할께요^^Good job^^ 

2. 20210719 Office Hour 질의응답 정리 1 

[Final OK by TA] Finalized by 문가은,이시원, 김보민, 임혜림, 장지원 (Office Hour(7/19) Q&A 정리 및 보충) 

작성자:임동선(2017####79)작성일:7월 24일 오후 4:55 

조회수:14 

 

7월 19일 12시부터약 1시간반동안교수님과학우분들과의 Office Hour 시간이있었습니다. 그시간동안나온 Q&A를김보민학우,이시원학우, 임혜림 학우의게시글에보충하여정리해보았습니다. 중복되는질문은한답안에정리해적었습니다. 

Q1:교수님이댓글에달아주시는A, B와같은등급이중요한가요? 

A1: 아닙니다. 조금 더 개선할 여지가 있을때 좀 더 다듬으라고 교수님이의견을주시는것이지 ... 성적으로직결되는요소는아닙니다. 댓글에적어놓으신 A와 B와같은내용으로별도로채점을진행하고계시진않습니다. 

Q2: 교수님께서댓글을달지않은경우에는과제를하지않은것으로처리되나요? 

A2: 그렇지는않습니다. 흥미로운내용이아니거나, 느낀점이포함되지않은경우 ... 다른 학생의 답글이 달린 후 ... 보고 나중에댓글을달려고남겨놓은것입니다.나중 제출시 까지 답글이 전혀 없으면 ... 뭐가 문제인디 다시 생각해 보고 윤문하여 새글로 다시 올려 놓으시면 됩니다. 그럼 교수님이 평가 전에 꼭 Finalize 해 주실 것입니다. ^^ 

Q3: Finalize하는방법이잘이해가되지않습니다. 

A3: 하나의 이슈 는 서너명이 토론을 거치면 ... 기존의올라와있는질문들이나요약본들을보다보기좋게정리하거나,부족한내용을추가하여기여한사람들의이름을모두적어다시게시판에업로드하는방식으로진행됩니다. 

Q4: Final-ok와같은문구가무엇이다른것인가요? 

A4:교수님이Finalize된게시글들을읽어보시고완성되었다는생각을가지셨을경우에달아주십니다. 

Q5:중간고사/기말고사등평가에대해서설명해주실수있나요? 

A5:중간 기말의경우에는기존의활동에참여하지않은분들에게는시험을통해만회할기회가주어지고, 

기존의참여를하셨던분들은PBL보고서를작성하여제출하거나발표하는방법이될것같습니다. 여기서 PBL보고서의형식은공지사항에나와있습니다. PBL 보고서에문의게시판의Finalize된게시글을바탕으로깨달은내용을적게될것이고 

그깨달음의양과질이많을수록좋은점수를받게될것입니다. 하지만 꾸준히 참여하지 않은 학생들을 대상으로 시험을 치룰 것입니다. (난이도 높음) 기말고사 또한 PBL보고서로 대체되지만 중간고사 떄의 내용을 합해서 제출해야 할 것입니다. 

Q6:문의게시판에글을매주꾸준히올리면좋은평가를받을수있다고하셨는데,혹시그기준에대해서글개수등에대한명확한기준이있을까요??? 

A6:양또한중요하지만질문 글에서서로주고받는질문이나논의들이질또한중요합니다. 즉, 글개수가아니라정리한내용의유익함, 오류유무등에대해서 기본적으로는 Finalized OK by SGLee 에 본인 이름이 들어있는 개수가 아마 평가에 정량적으로 반영될 주요 요소 입니다. 

Q7: Sage코드를이해하고코드를짜는것도이강의의중요한목표인가요?아니면그저답을구하는도구로만여겨도되는것인가요? 

A7: 맞습니다. 손으로 해도되고, 어떤 언어를 사용해도 됩니다. 

그러나 인공지능에 사용되는 수학문제는 보통 손으로 다루기에는 사이즈가 크니까 어떤 도구를 사용하는 경험을 충분히 여기서 가지시기를 권합니다. 

저희가해결하고자하는 각자의 전공에서의 또는 일반 사회적문제들은행렬이크고복잡한경우가많기때문에,코드를통해서접근하는과정이필요합니다.다양한 분야의 학생들이 모여있기 때문에 코드의 문법을 알거나 코드 자체를 모두 이해하는 것보단 수업에서 배운 수학 개념들을 

본인이 직접 적용할 수 있고, 확신을 가지는 것이 매우 중요함. 

Q8: 텐서플로우나파이토치같은딥러닝프레임워크를보면음파이토치에서는텐서를계산하는문법이따로있고, 

대부분넘파이로계산을하니까지금sage가좀어색한데실습에사용되는명령어같은것을하나하나전부외울필요는없는건가요? 

A8: 꼭어느언어로문제를해결해야되는지는 전혀 정해져있지않습니다. 

다만코드를작성하는것이어색한분들이많기에 파이썬을 더 쉽게 업그레이한 Sage를이용하고있을뿐이며, 

본인이더편한 다른 언어가있다면사용해도괜찮습니다.본강의는인문대학생등다양한분야의학생들이수강하고있습니다. 보다문법보다는학습중인내용에대해명확히이해하고있는지가중요. 수학적인부분에대해복잡한계산의단순화를위해프로그램을사용하고있을뿐명령어에대한암기등은불필요합니다. 

Q9: 저도선형대수학관련과목을처음들어서제역량이부족한탓에수업에따라가기어려운상황입니다. 

교수님말씀처럼다른분이질문하고답변한것에제나름대로정리하거나이해한후올려보라고하셨는데네명의이름이다채워져있더라도후에참여해도되는것인지질문하고싶습니다! 

A9: 다른 학생이 요약하거나 물어보고 답을 얻은 내용을 보시고 .. 쉽게는 Finalized 된 것을 읽고 이해되면 이쁘게 마무리하시고 자신의 이름을 더해서re-Finalize 하시면 됩니다... 그것을 자신의 언어로 풀어 쓰면서 자신이 이해하시면 됩니다. re-Finalize 한 인원은 무관합니다. 모두에게 credit 주어집니다.re-Finalize10명이되든인원수에대한제한은존재하지않습니다. 

Q10:요약에서행해야하는활동: 

A10:교재를스크랩해오기보다는자신이이해한내용을정리하고예제를풀어보았다면예제를어떠한과정을통해서풀었는지그리고코드를사용하였다면코드를작성하기도하고,배운점을작성하는방식을통해서요약을진행하면됩니다. 

Q11:강의나퀴즈를제때행하지못하였는데,이에대해만회할기회를주실수있을까요? 

A11: 2틀의만회할시간을드리겠습니다. 

Q12: 절대평가/ 상대평가여부에대해궁금합니다. 

A12: 작년도전학기의경우절대평가로진행되어서이번에도그럴것이라말씀드렸습니다. 하지만다시한번확인해보고학생들의말씀대로상대평가가맞다면상대평가로평가를진행할것입니다. 하지만성적에너무연연하기보다는이번도전학기를통해얻어가는것에더초점을맞췄으면좋겠습니다. 

Q13:기본 개념이 부족하면 LA big picture 강의를 들어보라고 하셨는데 교재에 있는 링크들이 이 강의 인가요? 

A13: 2주차 강의에 대해 보충 설명한 동영상을 따로 업로드 하셨다. 

Q14. Sage코드를 이해하고 코드를 짜는 것도 이 강의의 중요한 목표인가요? 아니면 그저 답을 구하는 도구로만 여겨도 되는 것인가요? 

A14. 데이터가 너무 많을 경우 손으로 계산하는데 한계가 있다. 실생활에서도 코드를 통해 계산을 한다. 

Q14:저도 선형대수학 관련 과목을 처음 들어서 제 역량이 부족한 탓에 수업에 따라가기 어려운 상황입니다. 교수님 말씀처럼 다른 분이 질문하고 답변한 것에 제 나름대로 정리하거나 이해한 후 올려보라고 하셨는데 네 명의 이름이 다 채워져있더라도 후에 참여해도 되는 것인지 질문하고 싶습니다 ! 

A14:선형대수학을처음배우거나전공이아닌경우완벽하게이해하지않아도괜찮다. 어차피평생을공부해도인공지능을이해하기어렵다. 자신의역량대로열심히참여하고질문하면좋은점수를받을수있다. 또는Finalize를보충을해서올려도되고다른사람이올린글에질문을해서글을올리거나다른사람이올린글에보충을해서Finalize를하는것도가능하다. 

3. 20210719 Office Hour 질의응답 정리 2 

[Final OK by TA] Finalized by 김수호, 오혜준, 김민서, 양지슬, 김태경, 이상원, 박건영, 유민솔, 정진웅, 이시원, 이혜연, 박수연, 김보민[교수님 QnA 요약] 

작성자:임동선(2017####79)작성일:7월 24일 오후 5:02 

조회수:22 

 

공통되는 부분은 제거하였습니다 

오혜준 학우님 

l본인이 이해하는 것이 몇 개가 되는지 파악하는 것이 중요하고 모은 것이 이 과목에서 배운 것이 됩니다.이를 친구들과 함께 문의게시판을 통해 공유하면서 하면 더 많이 얻어갈 수 있을 것 같습니다. 

l실습의 경우 전공의 큰 차원의 데이터를 다루어야 하기 때문에2*2보다는 더 크게,복소수라면 복소수,등 자기의 전공에 눈높이를 맞추어 실습을 하는 것이 중요하다고 하셨습니다.나중에는 입력을 바로 하지 않고100*100의 데이터파일을 바로svd등의 데이터 처리를 하지만 지금은 데이터 입력을 직접 해보면서 자신감을 갖는 것이 중요합니다. 

l중간고사 기말고사의 경우finalize및 문의게시판 기여를 하지 않은 학우분들의 경우시험을 보게되고 일정 기준을 넘긴 학우분들의 경우takehome exam및pbl보고서를 제출하게 됩니다. 

l좋은 질의 문의게시판 기여와 꾸준한 참여가 단순 개수의 참여보다 중요합니다. 

**요약하는 법-> 강의내용을 다시요약할 필요는 없다. 무슨 개념을 배웠다는 정도만 있으면 됨. 새로 배운것은 예시로 "이개념은 어떤것이다"라고 간단하게 설명할 수 있는 말을 쓰면됨. 문제를 풀어볼땐 코딩으로 풀어보았다. 

김민서 학우님 

lFinallize설명다양한전공의학생들이모인만큼일괄적인기준의평가방식보다는개개인의발전을관찰할수있는평가방식이필요함.미리기초수학을듣고온학생들도있고이번학기에처음듣는학생들도있는만큼각자가깨우친것을문의게시판에기록하고답변하면서얻어간것을모아보고서형식으로제출하는것이중간고사가될것임. 

l이해가잘안가더라도파이널라이즈참여를안하는것대신에그질문에대해다시자기방식으로적어본다던지,그것을다시질문하는등의방식을통해그룹토의에참여하는것이바람직함세부적으로는이해하지못하더라도큰틀에서이해할수있다면인공지능을위한기초수학은충분히준비할수있음 

l도전학기는절대평가로다시체크해볼예정 

양지슬 학우님 

l요약, 질문, 실습 등을 따로따로 행하여 각각 업로드 하는 방식이 아님. 

l해당 주차를 공부하며 생긴 질문에 공부한 내용과 실습한 코드를 동봉하여 업로드 하는 방식이 best. 

l해당 과목의 Goal은 서로 질문하고 대답하며 토론하여 실력을 쌓아가는 것. 

김태경 학우님께서 요약을 잘 해주셨는데, 먼저 올리신 분들과 조금씩 중복이 되어서 이름만 올렸습니다! 

이상원 학우님 

l2020310050 김보민 님이 모두 님께:
문의게시판에 글을 매주 꾸준히 올리면 좋은 평가를 받을 수 있다고 하셨는데, 혹시 그 기준에 대해서 글 개수 등에 대한 명확한 기준이 있을까요??? 

절대적 수치는 없으나 양과 질로 판단합니다.

l2021311243 김시원 님이 모두 님께:
제가 지금 사무실이라 마이크로 말씀 못드려서 죄송합니다ㅠㅠ 저희가 수강신청을 할 때
인공지능을 위한 기초수학 과목같은 경우에는 상대평가로 안내받았는데 혹시 저희 수업이 절대평가가 맞는지 확인해주실 수 있나요?? 

이번 학기에 변경점이 있어 상대평가인지 절대평가인지 교수님께서 추후 확인하신다합니다.

l임혜림 님이 모두 님께:
기본 개념이 부족하면 LA big picture 강의를 들어보라고 하셨는데 교재에 있는 링크들이 이 강의 인가요? 

big picture 선형대수학이 알아야 할 개념이
많아 하다보면 지루해질 수 있어서
처음에 큰 그림으로 하여금 이해를 돕기
위해 설명 하신거였습니다.

l정진웅 님이 모두 님께:
Sage코드를 이해하고 코드를 짜는 것도 이 강의의 중요한 목표인가요? 아니면 그저 답을 구하는 도구로만 여겨도 되는것인가요? 

언어(코드)보단 알고리즘 이해가 중요합니다.

l2020310050 김보민 님이 모두 님께: 

저도 정진웅 님과 비슷한 질문인데 텐서플로우나 파이토치같은 딥러닝 프레임워크를 보면 음 파이토치에서는 텐서를 계산하는 문법이 따로 있고, 대부분 넘파이로 계산을 하니까 지금 sage가 좀 어색한데 실습에 사용되는 명령어 같은 것을 하나하나 전부 외울 필요는 없는 건가요?

여러 전공 학생들이 있기때문에 python으로
가르치는것이지 다른 사용하는 소프트웨어가
있으면 사용해도 됩니다.

lfinalized 자신이 중요하다 생각하는것, 추가로 참여하고 싶으면
4명 이상 참여해도 됩니다.
문의 게시판에 참여가 부족한 학생은 추가 시험을 볼 수도 있습니다.

l예전 보고서에 프로젝트도 있었는데
8주동안 프로젝트는 불가능할거 같아
것보다 본인 활동을 열심히 하시는게 좋습니다. 

박건영 학우님 

l강의나 퀴즈를 듣지 않은 사람들을 위해서 2일의 시간을 더 줘서 그 안에 해주시면 됩니다! 

유민솔 학우님 

lbig picture를 활용하는 방법 

선형대수학의 내용이 너무 방대하기 때문에 먼저 정리를 한 것이다. 모든 걸 이해하려고 하지 말고 거기서 이해가 안가는 부분을 본 강의에서 질문하는 방식으로 채워 나갈 것. 

l행렬에 대한 지식과 우리가 아는 함수에 대한 지식을 일대일 대응시키며 공부하는게 중요하다. 

lQR분해가 중요한 이유 : 핸드폰이 도입된 상황에서 컴퓨터가 왜 중요한지 확신을 못 가지는 시기에 QR분해가 선형 알고리즘을 쉽게 풀 수 있음을 보여줌. 즉 컴퓨터에 생명을 불어넣어주고 투자를 이끌어 냄. 지금은 SVD가 훨씬 중요하므로 SVD위주로 공부할 것. 

l정사영이 중요한 이유 : n-1차원 공간으로의 정사영은 차원이 커지면 기존의 공식이나 손풀이로 풀 수 없기 때문에 코드를 통해 구할 수 있어야 함. 

정진웅 학우님 

l크기가 큰 행렬을 손으로 풀기는 사실상 불가능하기 때문에 

먼저 크기가 작은 행렬들로 문제를 푸는 원리를 이해한 후 코드를 활용하여 문제를 푸는 것이 바람직함 

장지원 학우님 

lSage코드를 이해하고 코드를 짜는 것도 이 강의의 중요한 목표인가요? 

인문대, 스포츠과학 등 다양한 분야의 학생들이 모여있기 때문에 코드의 문법을 알거나 코드 자체를 모두 이해하는 것보단 수업에서 배운 수학 개념들을 

본인이 직접 적용할 수 있고, 확신을 가지는 것이 매우 중요함. 

이시원 학우님 

lFinal-ok와 같은 문구가 무엇이 다른 것인가요? 

교수님이Finalize된 게시글들을 읽어보시고 완성되었다는 생각을 가지셨을 경우에 달아주십니다. 

l저도 선형대수학 관련 과목을 처음 들어서 제 역량이 부족한 탓에 수업에 따라가기 어려운 상황입니다.교수님 말씀처럼 다른 분이 질문하고 답변한 것에 제 나름대로 정리하거나 이해한 후 올려보라고 하셨는데 네 명의 이름이 다 채워져있더라도 후에 참여해도 되는 것인지 질문하고 싶습니다! 

4명이 되든10명이 되든 인원수에 대한 제한은 존재하지 않습니다. 

이혜연 학우님도 요약을 잘 해주셨는데, 겹치는 내용은 제거했습니다. 

박수연 학우님 

l교수님께서 언급하신 학습 목표 

-선형대수학 : 해가 무수히 많거나 해가 없는 경우에도 최적해를 구할 수 있어야 한다. 

-미적분 : 함수가 극대극소를가지고 있다면 코드를 통해 구할 수 있어야 한다. (대부분의 경우 손계산으로 구할 수 없기 때문에 코드를 통해 구한다.) 

김보민 학우님의 상세한 요약도 겹치는 부분들을 제거했습니다. 

김수호 학우님 (저도 정리한 요약중 중복되는 내용을 제거했습니다) 

lFinal OK된 finalized document들도 한번 더 정리해서 올릴 수 있습니다! 

4. 20210802 Office Hour 질의응답 정리 

[Final OK by TA] Re-Finalized [8/2 OH] 면담 정리 by 김은진, 임혜림, 박정현, 김수호, 유태영, 정진웅, 양지슬, 이지용, 이시원 (20210802 OH) 

작성자:이시원(2021####15)작성일:8월 2일 오후 2:12 

조회수:60 

[Final OK by TA] Re-Finalized [8/2 OH] 면담 정리 by 김은진, 임혜림, 박정현, 김수호, 유태영, 정진웅, 양지슬, 이지용, 이시원 (20210802 OH) 

 

Make - UP부분 

 

1. 교수님께서 6주차까지 총 2주 동안 (Midterm Exam을)make up 할 기회를 주셨습니다. 

2. 4주차 퀴즈에서 아쉬웠던 학생들을 위하여, 앞으로 6주차에 올라올 퀴즈(날자만 처음부터 6주차로 하고, 내용은 중간고사 퀴즈와 비슷한 내용)를 기준으로(4주차 참여 점수 대신, 중간 Midterm ) 참여점수 60점을 부여하시겠다고 하셨습니다. 

3. 그러므로 4주차 까지의 점수를 만회하고 싶은 학우분들은 앞으로 2주동안 공지에 올라온 다른 학우분의 보고서 (1-4주차)를 읽고 이해 안되는 부분을 질문하시고 [참여 활동 양 makeup] 밀린 것을 채우면서 5-7주차 공부를 하시면서 추가하시고, (답변이나 Finalize 또는 독창적인) 다른 학습 활동들도 충분하게 활발히 하여 [참여활동 질] ...모두 6주차 퀴즈에서 60점 만점을 받으실 수 있으시기를 바랍니다. 

 

발표 부문 

1.교수님께서 A를 받은 학생들 중에서 (동료 평가를 위하여) 발표를 시키실 예정입니다. 우수한 학생은 발표 점수를 줍니다. 

2. 발표를 하는 학생은 OH시간처럼 학생들이 참석해있는 곳에서 발표를 하거나 교수님께 영상을 제출하여 다른 학생들이 시청하고 평가할 수 있도록 할 예정입니다. 

 

게시판 변경 관련 

앞으로는 문의게시판이 아닌 열린게시판을 사용할 예정입니다. 

 

기말 PBL작성 관련 

중간 PBL 작성한 내용에 이어서 작성하게 됩니다. 

8/2 면담 질문
작성자 :임혜림(2021####86)작성일 : 8월 2일 오후 2:45조회수 : 11
6주차에 내는 보고서는 중간고사때 낸 보고서에 1~6주차 내용을 모두 보충해서 내는건가요?
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2개의 댓글
김은진(2020####41)8월 2일 오후 3:14
1. 6주차에는 현재 ‘중간고사 online 시험’으로 올라와 있는 것과 같은 퀴즈를 제공하려고 하신다고 하신 듯합니다. (일단 오늘 시험에 그렇게 하겠다고 하시고, 2주 후에 실제 두번째 시험을 치루면 ... 그것을 중간고사 점수로 대치해 주신다는 의미로 이해했습니다.)

2. 그것은 말씀하신 것과 같이 1-6주차 활동을 기반으로 하는 것이구요.

3. 다시 보고서를 제출하는 것은 Final PBL 기말 보고서 입니다. (6주 말이나 7주 말에 제출)
이때 중간 pbl 제출했던 것에 5-6-7 주차 내용 추가하고 ... 윤문하고 Format 다듬어서 업그레이드 된 Final PBL 을 제출하시면 ... 그 향상이 크신 분은 (Midterm PBL 보다 개선된) Final PBL 을 근거로 (Midterm PBL + Final PBL 평가를 한번에 하신다는 의미로 들었습니다. 

 

이상구(LEE SANGGU)8월 2일 오후 3:44 


맞습니다^^ 6주차에 제출한 것에 대하여 평가받고, ... 조언 받으면 ... 그 부분들 ... 조금 수정하여 그 다음 주에 Final PBL 로 제출하시면, 그것이 학기말 TakeHome 시험이 될 것입니다. 

앞으로 OH일정 

가능하다면 (1주일에 1회가 목표지만) 적어도2주일에 1회는 (월요일 12시 같은 시간에) 진행할 것입니다. (이번 학기에 최소한 두 번 더 진행) 

 

Re-finalized by 박정현, 김수호, 유태영, 정진웅,양지슬,이지용 (2번째 OH) 

작성자:박정현(2018####21)작성일:8월 2일 오후 2:03 

조회수:11 

저의 요약글과 다른 학우분들이 올려주신 요약글 정리해서 올려봅니다! 추가하실 내용이 있으시면 얼마든지 추가해주세요! 

 

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Re-finalized by 김수호, 유태영, 정진웅 (2번째 OH) 

작성자:정진웅(2021####60)작성일:8월 2일 오후 1:42 

조회수:5 

다른 학우분들의 게시글에 내용을 추가 보충하여 올립니다. 

-앞으로 일주일에 한번 웹미팅을 진행할 예정임 

-다른 학우들의 게시글을 참고하여 makeup을 진행하는 노력을 보이면 이전의 부족함을 만회할 수 있음 

-앞으로 문의게시판 대신 열린게시판을 통해 QnA를 진행하면 됨 

finalized by 김수호, 유태영[2번째 OH] 

작성자:김수호(2019####59)작성일:8월 2일 오후 1:29 

조회수:2 

교수님께서 6주차까지 총 2주 동안 make up 할 기회를 주셨습니다. 

앞으로 6주차에 올라올 퀴즈(중간고사 퀴즈와 비슷한 내용)를 기준으로 참여점수를 부여하시겠다고 하셨습니다. 

그러므로 4주차까지의 점수를 만회하고 싶은 학우분들은 앞으로 2주동안 공지에 올라온 다른 학우분의 보고서를 읽고 이해 안되는 부분을 질문하시고, 다른 활동들도 충분하게 활발히 하여 6주차 퀴즈에서 만점을 받으실 수 있으시기를 바랍니다. 

 

또한, 이미 참여한 학우들도 6주차에 새로 올라오는 퀴즈에 참여하여, 기본점수 60점을 받고 시작하시기 바랍니다. 

 

그리고 A를 받는 학생중 몇명에게 실제로 발표를 시켜볼 예정이라고 하셨습니다. 

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[8/2 OH] 면담 정리 

작성자:양지슬(2017####18)작성일:8월 2일 오후 1:31 

조회수:15 

1. PBL 보고서 작성 등 이해와 정리를 할 때에는 교안을 참고하고 활용하여, 많은 시간을 투자하지 않고 쉽게 이해하고 정리할 수 있도록 할 것. 

2. make-up이 늦어지는 학생들은 교안과 강의 이전에 우수한 보고서를 참고하여 이해를 돕고 질문을 열린 게시판에 게시하여 학우들에게 도움을 받을 수 있도록 할 것. 

3. 최종 성적은 6주차까지 활동한 내역을 바탕으로 평가. 

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1개의 댓글 

이지용(2021####83)8월 2일 오후 1:57 

+4. 이 수업에서는 이론증명을 요구하는 것이 아니라 개념을 이해하고 모르는 것이 있으면 질문하는 것이다. 이 개념이 왜 중요한지에 대해서도 모를 때 질문하는 것이다. 그리고 이해한 이론은 훨씬더 큰 차원의 한수에 적용할 수 있어야 한다.5.sage 코드의 경우 복잡한 코드를 짜야 하나 빠른 이해를 돕고 실습을 원활히 하기 위해서 짜놓은 코드를 이용하는 것이다.6. make up이 부족한 학생은 지난 강의에 매달리지 말고 5주차부터라도 열심히 하자. 그리고 지나간 것이라도 이해할 때까지 계속 질문하자.7. 기말 PBL리포트는 중간 PBL리포트에 이어서 작성한다.8. PBL을 작성할 때 되도록 텍스트를 사용하자. 

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[5주차] 2번째 WebEx Meeting 요약 by 김수호, 박정현, 유태영 ... 

작성자:박정현(2018####21)작성일:8월 2일 오후 1:24 

조회수:19 

[5주차] 2번째 WebEx Meeting 요약 by 박정현, 유태영 ... 

 

오늘 12시 진행된 온라인 웹엑스 미팅에서 나왔던 내용을 필기하여 요약해 보았습니다. 

8월 2일 실시간 강의 make up 관련 정리 

작성자:유태영(2020####63)작성일:8월 2일 오후 1:14 

 

Week1 관련 내용  

5. 코시-슈바르츠 부등식의 증명 

[Final OK by TA] Finalized-by 이시원, 이지용, 김수호, 이상구 교수님[1주차] 코시 - 슈바르츠 부등식 

작성자:임동선(2017####79)작성일:7월 28일 오전 11:07 

조회수:3 

코시 - 슈바르츠 부등식의 정리가 옳음을 벡터의 내적을 이용하여 보일 수 있을까를 고민하다가 찾은 내용을 요약합니다. 

 

코시 - 슈바르츠 부등식 정리란 R^n의 임의이 두 벡터 X,Y 사이에서 |X*Y|^2 <= ||X||^2 ||Y||^2 가 성립한다는 정리입니다. 

이 정리는 벡터 내적의 정의인 |X*Y|  = ||X|| ||Y|| COSA (A는 X,Y가 이루는 각의 크기)를 통해서 성립됨을 간단히 보일 수 있었습니다. 

COS인의 값은 항상 -1과 1사이의 위치하므로 -||x|| ||Y|| <= |X*Y| <= ||X|| ||Y||의 식이 성립하고 이에 따라, |X*Y|^2 <= ||X||^2 ||Y||^2의 관계가 성립합니다.