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[목차]

Ch 0장. 미적분을 배워야 하는 이유와 배운 뒤 느낀 점

(1) 미적분을 배워야 하는 이유

(2) 미적분학 실생활 활용

(3) 학습하면 느낀 점

Ch 1장. Participation [참여 평가] (10점)

미적분학2 학습목표 및 핵심개념

주차

학습 목표

핵심개념

선형대수학의 주요 개념

선형대수학의 기본 내용인 벡터, 행렬, 선

형연립방정식에 대해 학습한다.

벡터, 행렬, 선형연립방정식, 가우스 소거

법, 선형연립방정식의 해집합

벡터의 노름, 내적, 외적

에서의 직선과

평면의 방정식, 정사영에 대해 학습한다.

벡터의 노름, 내적, 외적, 직선의 방정식,

평면의 방정식, 정사영

벡터함수의 극한, 도함수와 접선벡터의 개

념을 학습, 함수의 그래프가 공간상의 곡

면이 되는 것을 안다. 또한 다변수 함수의

편미분에 대해 학습한다.

벡터함수, 공간곡선, 벡터함수의 미분과 적

분, 다변수 함수의 편미분

연쇄법칙과 방향도함수의 개념을 기초로

하여 기울기벡터(Gradient vector)에 관하

여 학습한다.

연쇄법칙, 방향도함수

기울기 벡터(Gradient vector)

이변수함수의 극대, 극소, 최대, 최소를 구

하는 방법을 학습한다.

이변수 함수의 극댓값, 극솟값, 최댓값, 최

솟값, *라그랑주의 승수법

정의역이 직사각형 영역일 때 이중적분과

정의역이 일반적인 영역일 때 이중적분을

학습하고 적분순서를 바꾸는 방법을 학습

한다.

직사각형 영역에서 이중적분, 일반적인 영

역 위에서 이중적분, 적분 순서 변경

극좌표계에서 이중적분과 삼중적분을 학습

한다.

극좌표에서 이중적분, 삼중적분

원기둥 좌표계에서의 삼중적분과 구면좌표

계에서의 삼중적분을 학습한다. 일부 삼중

적분은 원기둥 좌표계 또는 구면좌표계를

이용하면 계산이 수월해짐을 할 수 있다.

원기둥 좌표계에서의 삼중적분, 구면좌표

계에서의 삼중적분

벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전과 발산,

스토크스 정리, 발산정리에 관하여 소개한

다.

벡터장, 선적분, 그린 정이, 회전, 발산, 스

토크스 정리, 발산정리

복소수와 복소함수에 관하여 소개한다.

복소수와 복소함수, 공학수학 소개

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(1) 학습하며 배운 수학적 정의 및 개념 정리

1. 선형대수학의 주요 개념 정리

2. 순서쌍과 벡터

3. 행렬(matrix)

4. 행렬 연산(matrix operations)

5. 특수 행렬 (Special Matrices)

6. 선형연립방정식(System of Linear Equations)

7. 첨가행렬(Augmented Matrix)

8. 가우스 소거법(Gaussian Elimination)

9. 벡터의 노름(Norm)과 내적(Inner Product, Dot Product)

10. 방향각과 방향코사인(Direction Angle, Direction Cosine)

11. 벡터의 외적(Cross Product, Vector Product)

12. 직선의 방정식(Equations of Lines)

13. 평면의 방정식(Equations of Planes)

14. 정사영(Orthogonal Projection)

15. 코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식

16. 벡터함수(Vector Function)와 공간곡선(Space Curve)

17. 벡터함수의 극한과 연속(Limit and Continuity)

18. 벡터함수의 도함수와 적분(Derivative and Integral of Vector Function)

19. 곡선의 길이(Length of Curve, Arc length, length of a plane curve)

20. 곡률(Curvature)

21. 이차곡면(Quadratic Surface)

22. 다변수 함수(Functions of Several Variables)

23. 등위곡선(Level Curves)

24. 이변수함수의 극한과 연속

25. 이변수함수의 편도함수(Partial Derivatives)

26. 클레로의 정리(Clairaut’s Theorem)

27. 편미분방정식

28. 주 단위 법선벡터, 종법선벡터(Principal Unit Normal, Binormal Vector)

29. 접평면(Tangent Plane) 과 선형근사(Linear Approximation)

30. 전미분(Total Differential, Total Derivative)

31. 이변수 함수의 연쇄법칙(Chain Rule)

32. 음함수 미분법(Differentiation of Implicit Function)

33. 방향도함수(Directional Derivative)

34. 기울기벡터(Gradient Vector)

35. 등위곡면에 대한 접평면(Tangent Plane Over Level Surface)

36. 헤시안 행렬(Hessian Matrix)

37. 이변수함수의 극대, 극소(Local Maximum, Local Minimum)

38. 행렬식(참고, 추후 선형대수학 과목에서 배움)

39. 최댓값과 최솟값(Absolute Maximum and Absolute Minimum)

40. 경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)

41. 라그랑주의 승수법(Method of Lagrange Multipliers)

42. 오차역전파(Back Propagation)

43. 직사각형 영역에서의 이중적분(Double Integral in Rectangle Region)

44. 이중적분에 대한 중점(Midpoint) 법칙

45. 이중적분의 성질

46. 푸비니 정리(Fubini)

47. 일반영역에서의 이중적분(Double Integral over General Region)

48. 이중적분에서 적분 순서의 결정

49. 적분 순서의 변경

50. 일반영역에서 이중적분의 성질

51. 극좌표계에서의 이중적분(Double integral in Polar Coordinate System)

52. 곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이)

53. 삼중 적분(Triple Integral)

54. 삼중적분에 대한 푸비니(Fubini) 정리

55. 일반적인 영역 E 위에서의 삼중적분

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56. 삼중적분의 응용

57. 원기둥 좌표계(Cylindrical Coordinates)

58. 원기둥 좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Cylindrical Coordinates)

59. 구면좌표계(Spherical Coordinates)

60. 구면좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Spherical Coordinates)

61. 다중적분에서의 변수변환(Change of Variables in Multiple Integrals)

62. 야코비안(Jacobian)

63. 벡터장(Vector Field)

64. 회전(Curl)

65. 발산(Divergence)

66. 선적분(Line Integral)

67. 그린 정리(Green’s Theorem)

68. 스토크스 정리(Stokes’ Theorem)

69. 발산 정리(Divergence Theorem)

70. 복소수(Complex Numbers)

71. 드무아브르의 정리(de Moiver’s theorem)

72. 복소함수(complex function)

73. 오일러의 항등식(Euler’s identity)

(2) 학습한 후 알고 / 할 수 있는 / 찾을 수 있는 것들 기술

1. 벡터 행렬의 종류 및 성질

2. 벡터 행렬의 실생활 적용

3. 행렬의 곱

4. 가우스 소거법, RREF

5. 첨가행렬

6. 선형연립방정식

7. Ax = b의 해집합(S)

8. 5차 행렬의 역행렬

9. 스칼라 삼중곱

10. 벡터의 노름, 내적, 외적

11. 정사영(Orthogonal Projection)

12. 벡터함수의 도함수와 이계도함수

13. 접선벡터와 곡률

14. 이차곡면

15. 최소제곱해

16. 등위곡선

17. 음함수의 미분법

18. 푸비니의 정리

19. 극좌표계에서의 이중적분

20. 좌표계의 종류

21. 삼중적분

22. 삼중적분의 활용

(3) 토론 / QnA에 의미 있는 댓글 / 답변 / 토론 기재

1. 행렬의 곱

2. 선형연립방정식 Ax = b의 해집합

3. 스칼라 삼중곱

4. 삼중적분의 기하학적인 의미

5. 푸비니의 정리

(4) open problem(W1~W4)

1주차. 벡터, 행렬, 선형연립방정식

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◩ 열린 문제 1 – 행렬연산

◩ 열린 문제 2 - 전치행렬, 역행렬 존재

◩ 열린 문제 3 - 선형연립방정식의 해

◩ 열린 문제 4 - Ax = b의 해집합

2주차. 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영(Projection)

◩ 열린 문제 1 - IIaII, IIbII, a·b, a와 b가 이루는 사잇각 θ

◩ 열린 문제 2 - 방향코사인

◩ 열린 문제 3 - a×b, a·(b×c) 성립

◩ 열린 문제 4 - 직선과 평면의 방정식

◩ 열린 문제 5 - 최단거리

3주차. 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분

◩ 열린 문제 1 - 곡률, 곡선의 길이 근사값

◩ 열린 문제 2 - 이차곡면

◩ 열린 문제 3 - 등위곡선, 등위곡면

◩ 열린 문제 4 - 편도함수

◩ 열린 문제 5 - f_xxyz, f_yxzx

4주차 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터

◩ 열린 문제 1 - P(x, y, z) = 0 꼴의 음함수, 편도함수

◩ 열린 문제 2 - 그레이디언트 방향

5주차. 이변수함수의 극대 극소, 최대 최소

◩ 열린 문제 1 다른 교재를 참고하여 다양한 이변수함수 (또는 3변수함수)의 극댓값, 극솟값, 또는 안장점을

(임계점과 Hessian 행렬 H, 그리고 각 임계점에서의 Hessian 행렬의 고윳값을 찾는 H.eigenvalues() 명령어

를 이용하여) 구하여라.

◩ 열린 문제 2 라그랑주의 승수법을 이용하여 방정식

을 만족하는 함수

의 최댓값과 최솟값을

코드를 활용하여 구해보시오.

6주차. 이중적분

◩ 열린 문제 1 다른 교재나 본인 전공에서 접하는 식이나 문제를 활용하여 폐(closed) 직사각형구간위에서

정의된 연속함수에 대한 이중적분을 구해보자.

◩ 열린 문제 2 다른 교재의 문제 중 두 함수에 의하여 둘러쌓인(enclosed)인 일반 영역

에서 정의된 연

속함수에 대한 이중적분을 풀어보자.

◩ 열린 문제 3 예제 11번과 유사한 연속인 이변수함수를 골라서, (Fubini 정리를 이용하여) 이중적분에서

적분순서를 바꾸어 보고, 두 적분의 결과값이 같다는 것을 확인하여라.

◩ 열린 문제 4 구간

에서 상수함수

일 때 이것을 적분하면

의 길이를 구할 수 있다. 영역

에서 상수함수

을 적분하면

가 되어 영역

의 면적(area)을 구할 수

있다. 영역

에서 상수함수

을 적분하면

가 된다. 이 삼중적분의 기하학적인 의

미는 무엇인가?

[Week 6 과제] 위의 열린 문제들을 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의 게시판)

에 공유하고 토론하시오.

7주차 극좌표계에서 이중적분, 삼중적분

◩ 열린 문제 1 다양한 극곡선(Polar Curve)들을 그려보고, 이 곡선들이 만드는 영역의 넓이를 구해보자.

◩ 열린 문제 2 이번 절에서 학습한 이변수 함수와 관련한 곡면적(Surface Area) 구하는 유사한 문제를 찾

아서 실습해보시오.

◩ 열린 문제 3 삼중적분(Triple Integral) 에 대한 푸비니(Fubini) 정리가 직육면체 영역인

에서 정의된

연속함수에 대한 다른 삼중적분 문제에 대해서도 성립함을 확인하시오.

◩ 열린 문제 4 몇 가지 삼중적분의 문제를 찾아서 앞에서 배운 코드를 이용하여 삼중적분의 값을 구해보시

오.

8주차. 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분

◩ 열린 문제 1 다른 교재의 문제 중 구면좌표의 한 점을 직교좌표

로 나타내어라.

◩ 열린 문제 2 구면좌표계(Spherical Coordinate)에서의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

[예] 변수변환

가 다음과 같이 주어진 경우

의 야코비안은 다음과 같다.

■

◩ 열린 문제 3 함수

의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

[Week 8 과제] 위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에

공유하시오

9주차. 벡터 미적분학(Vector Calculus)

◩ 열린 문제 1

를 구하라. 여기서

이고,

는 원기둥

내부에 놓인 평면

의 영역(area)이다.

◩ 열린 문제 2 원기둥 곡면

와 평면

에 의해 둘러싸인 제 1팔분공간(first octant)의 영역

에서 아래 발산 정리(divergence theorem)가 성립함을 확인하라.

(이때

)

10주차. 복소수와 복소함수

◩ 열린 문제 1 임의로 복소수를 생성하여 다양한 복소수 연산과 극형식을 구해보시오.

Ch 2장. Participation (참여부분, 정량) 자기 평가와 본인의

Project (Term paper) 제안서 등에 대해 아래를 채우시오. (20점)

(1) QnA 참여횟수

(2) 내가 할 수 있는 내용

(3) 개인/동료와 같이 ‘본’강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점

Ch 3장. Self Evaluation 1. (개인 성찰 노트) (10점)

(1) 개인 성찰 노트

(2) 개인 성찰 노트 평가

(3) 동료 평가

Ch 4장. PBL Participation/Activity Part (30점)

(4장. 학습활동 참여 부분 )

1. 행렬의 종류와 주요성질

2. 벡터와 행렬의 실생활

3. 행렬의 곱

4. 기약행 사다리꼴

5. 선형연립방정식

6. 벡터의 행렬정리 및 선형연립방정식 Ax = b 해집합

7. 5차 행렬의 역행렬 및 전치행렬 계산법

8. 스칼라 삼중곱

9. 벡터의 노름, 내적, 외적

Ch 5장. [Project 제안서] Your Project 제목, 동기, 방법론, 참고문헌

[아이디어와 Draft] (10점)

Ch 6장. ◆ Final comment the Final PBL report ◆ (10점)

■ 미적분학의 구성 [참고] http://matrix.skku.ac.kr/calculus-map/ by 전형준

Ch 0장. 미적분을 배워야하는 이유와 배운 뒤 느낀점 by 김태환

(1) 미적분을 배워야하는 이유

제가 인문계 고등학교 문과를 나왔지만 문과에서도 배우는 수학2의 경우에도 함수가 미적분의 내용을 전개

하기 위한 출발점과 같기에, 함수에 대한 기본적인 지식들을 배우는 필수 과정이었습니다. 이렇게 학습한 지

수, 로그, 삼각함수와 미적분을 섞어서 다양한 내용을 통합하면서 심화를 시킨 주제가 미적분입니다. 그런고

로 미적분은 학교 수학의 정점에 위치한다고 볼 수 있습니다.

미적분은 수학의 전공 주제 중 해석학에 해당한다고 합니다. 그렇지만 미적분을 배우기 위해서는 함수식의

대수적인 처리(Algebra)가 필요하고, 곡선으로 둘러싸인 부분이나 도형의 넓이를 적분으로 기하적(Geometry)

인 요소도 필요합니다. 그래서 학습할 때 이전에 다루었던 문자와 식(대수), 함수, 기하에 대한 방법들을 다시

돌아보는 것이 중요한데 처음 학습할 땐 이런 부분들의 기초가 전혀 안 잡혀있어 힘들었습니다.

미적분의 특징으로는 우리가 경험하는 다양한 운동과 변화 현상에 대해 생각해보면 자연에서의 밀물과 썰물,

낙하하는 물체나 달리는 자동차의 속도, 경제에서 물가의 변동 등등 수많은 ‘변화’ 현상에는 질서와 규칙이

내포되어 있습니다. 함수는 이렇게 증가하고 감소하는 변화 상태로부터 규칙을 찾아냅니다. 이는 수학적으로

다루기 위함인데 이런 함수의 변화를 다루는 것이 바로 미적분입니다. 미적분은 이렇게 굉장히 역동적인 수학

이라고 볼 수 있습니다.

미적분을 배워야 하는 이유는 활용도가 매우 높습니다. 특히 자연과학, 공학, 사회과학,

경제학 등에서 굉장히 활용도가 높고, 그래서 수학의 가치와 유용성을 효과적으로 경험할

수 있어야 합니다. 미분의 가장 대표적인 활용의 예는 교수님께서 여름학기가 시작하고

다변수 미적분학(Multivariable Calculus)을 배우기 시작하면서부터 강조하셨던 미분 방

정식입니다. 학문적 측면에서 미분이 가장 잘 활용되는 것이 미분방정식입니다. 아직 배

우진 않았지만 전자기학의 맥스웰 방정식, 양자역학의 슈뢰딩거 방정식, 유체역학의 나비

에-스토크스 방정식, 아인슈타인의 장 방정식 등 모두 다양한 미분방정식이 토대로 사용

된 방정식들입니다.

이런 미분 방정식의 활용 범위는 매우 넓고 다양합니다. 실제로 일어나는 여러 현상을

표현하는데 사용합니다. 대표적으로 일기예보에서 가장 중요한 역할을 하는데, 날씨를 예

측하기 위해 온도와 습도, 풍속과 풍향, 기압과 강수량 등의 요소를 초기 값으로 하고 시

간에 대한 미분방정식을 세워 구합니다. 또한 금융시장의 변동을 분석하거나 환율, 금리,

주가 등의 예측 할 때도 사용합니다. 마지막으로 유체역학, 건축학, 전자기학을 비롯한 대

부분의 공학 분야와, 물리학, 화학, 경제학, 경영학 등 다양한 학문 분야를 연구하는 가장

핵심적인 도구입니다.

(2) 미적분학 실생활 활용

앞서 서술한 것과 같이 미분은 움직이고 변화하는 대상의 ‘순간적인 변화’를 의미하고, 적분은 곡선으로 둘

러싸인 부분의 넓이를 구하는 것을 말합니다. 이 두 가지 공식 모두 눈에 띄게 실생활에 많이 적용되어 사용

중입니다.

미분은 “순간적 변화”를 설명하는 도구인 만큼 달리고 있는 사람의 속력변화, 따뜻한 음료가 식어갈 때 온도

변화, 그리고 지구 주변을 도는 행성의 움직임 등 계속해서 변화하는 현상을 표현할 수 있습니다. 즉, 계속해

서 변화해 가는 일정한 값을 구할 때 미분의 실생활 적용이 가능해지는 것입니다. 대표적인 적용예시는 저도

처음 듣고 놀랐었는데 영화 제작에도 사용됩니다. 영화제작 전에 작가들이 먼저 그림으로 대략적인 스케치를

하는데 이렇게 작가들이 그린 그림을 미분공식으로 수식 화하여 수작업 시간을 줄어들게 하는 제작방법에 사

용됩니다. 수식화된 그림의 경우 크기가 변화하거나 동작의 변화가 생겨도 선이 어떻게 이어질지 예측할 수

있다고 합니다. 따라서 그림을 하나만 그리더라도 다양한 그림과 움직임을 표현할 수 있게 된 것입니다. 이렇

게 하면 제작 기간과 제작비용을 아낄 수 있다는 점이 가장 큰 장점인 것 같습니다. 이 밖에도 유체운동 방

정식을 활용한 컴퓨터 그래픽을 표현한 CG가 들어간 영화 등에서도 미분 공식은 다양하게 적용되고 활용되

고 있습니다. 이 밖에도 제가 좋아하는 야구에서 투수가 던지는 공의 속도를 순간변화율을 측정해 선수별 능

력치를 자료화하고 이런 운동의 효율성을 높이는 의상과 기구가 만들어질 수 있는 이유도 미분 덕분입니다.

이 외에도 과속 단속 카메라나 포토샵, 그리고 건축학에서도 사용될 만큼 우리 주변이 수많은 현상에 적용된

것이 미분이라고 할 수 있습니다.

적분은 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 것에서부터 시작된 수학 공식

입니다. 적분의 실생활 적용 예를 거슬러 올라가면, 적분의 시초를 알 수 있는

데, 17세기 초 천문학자인 케플러는 포도주 통을 보며 포도주 통의 특성상 실제

양과 높이가 정확히 비례하지 않았습니다. 그래서 생각해낸 대안이 입체도형을

무수한 단면으로 나누어 모두 더하는 것이었습니다. 이것이 바로 적분의 시초가

되었다고 합니다. 직선이 아닌 곡선이나 곡면으로 이루어진 대상들의 길이와 넓

이, 부피를 간편하게 구할 수 있는 실생활에서 시작된 적분의 시초가 된 셈입니

다. 적분 역시 일상에서 쉽게 만나볼 수 있는데 언론에 보도되는 로켓 발사 후

지상으로부터 로켓의 높이를 구해 보도되는 값 역시 적분을 적용해 구해내는 것

이며, CT 촬영에서도 역시 터널처럼 둥근 기계에 들어갔다 나오면 무수한 개수

로 나누어진 단면 영상이 재구성되어 3차원적으로 인체 내부를 구현할 수 있게

하는 적분의 원리입니다. 또한 건축학 분야에서도 굉장히 많이 활용되는데 울퉁

불퉁한 원래 땅의 일부는 깎아내야 하며, 일부는 쌓아야 평평한 도로를 조성할

수 있기에 적분이 적용됩니다. 적분의 개념이 활용되는 유도곡선을 이용해 최적

화된 도로의 계획 높이를 결정할 수 있고 흙은 옮기는 장비의 종류와 운반 거리

등을 미리 계획해 자본을 최소화할 수 있습니다. 이렇게 미분과 적분은 순수수

학은 물론 물리학이나 의학, 사회학과 컴퓨터 그래픽 영역까지 다양하게 활용되

고 있습니다.

(3) 학습하면 느낀 점

5달 전 3월에 개봉했던 최민식 배우님 주연의 영화 ‘이상한 나라의 수학

자’라는 영화를 관람했습니다. 영화 장면 중 가장 기억에 남는 것이 교재 10주차 복소수와 복소

함수 / 공학수학 소개 단원에 가장 마지막에 나와 있던 [박사가 사랑한 수식] 오일러의 항등식(Euler’s

identity)에 관한 장면이었는데 세상에 있는 모든 증가하는 양을 나타낼 수 있는 자연 상수 e와 모든 회전체

의 원의 지름에 대한 원주의 비율을 나타내는 원주율π, 그리고 복소수인 i가 가장 간단한 숫자인 0과 1로 표

현되는 식입니다. 영화에서는 자연상수 e는 판매 중인 제품의 수량으로 원주율 π는 회전하고 있는 자전거 바

퀴로 그리고 복소수인 i는 저희가 자주 사용하는 와이파이(wi-fi)로 영화 장면을 표현하여 가장 기억에 남았습

니다.

수학이 일상생활에 모든 것에 적용되어 사용되고 있다는 것을 장면 하나로 강렬하게 표현한 것 같습니다.

마침 10주차 마지막에 이 오일러의 항등식이 나와 영화 장면이 떠올랐고 우리가 살아가는 세상의 모든 것을

수학으로 표현할 수 있을 만큼 넓은 분야에 쓰이고 있는 이 필수적인 학문 미적분학을 꼭 배워야 하는 이유

와 실생활에 적용된 예를 적어보고 또한 제 생각을 적어보는 것이 최종 PBL의 첫 시작을 알리는 대목에 포

함되는 것이 좋겠다는 생각이 들어 Chapter에 추가하였습니다.

Ch 1장. Participation [참여 평가] (10점)

(1) State more than 10 Math Definitions and concepts what

you learned in this semester. by 노영규

(1) 한 학기 동안 배운 10개 이상의 수학 정의와 개념을 기술합니다.

주차

진 도

비 고 (교안/실습실)

다변수미적분 강좌 소개

벡터와 행렬, 선형연립방정식

가우스 소거법, 선형연립방정식의 해집합

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W1/

3차원 좌표계, 3차원 벡터, 내적, 외적

3차원 공간에서의 직선 및 평면의 방정식

벡터함수와 공간곡선

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/

벡터함수의 미분과 적분

다변수함수, 극한과 연속, 편도함수

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/

4-1

접평면과 선형근사, 연쇄 법칙,

방향 도함수와 그래디언트 벡터

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W4/

4-2

발표평가/중간고사

http://matrix.skku.ac.kr/PBL2/

다변수 함수의 극대, 극소, 최댓값과 최

솟값

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5/

직사각형 위에서의 이중 적분

일반적인 영역 위에서의 이중 적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/

극 좌표에서의 이중 적분

삼중 적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/

원기둥 좌표에서의 삼중 적분

구면 좌표에서의 삼중 적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/

벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발산, 면

적분, 스토크스 정리, 발산정리

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W9/

복소수와 복소함수 / 공학수학 소개

프로젝트 발표

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W10/

http://matrix.skku.ac.kr/PBL2/

10-1

[종합평가] PBL 보고서 / Project 발표 / 기말고사

1주차 다변수미적분 강좌소개, 벡터와 행렬, 선형연립방정식, 가우스 소거법,선형

연립방정식의 해집합

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W1/

1.0 선형대수학의 주요 개념

[벡터, vector] 힘, 속도, 가속도 등과 같이 크기와 방향을 포함하는 대상.

차원 공간의 벡터는

으로 표현한다.

[벡터공간, vector space] 집합

에 덧셈(

)과 스칼라배(

)의

2가지 연산이 정의되고, 이 두 연산에 대하여 닫혀 있으며,

8개의 연산 성질을 만족하면

을 벡터공간이라 한다.

[부분공간, subspace] 벡터공간

의

이 아닌

부분집합

가 다시 벡터공간이 될 때,

를

의 부분공간이라 한다.

[부분공간 test] 벡터공간

의

이 아닌

부분집합

가

의 부분공간이기 위해서는

임의의 두 벡터

와 임의의 실수

에 대하여,

을 만족하면 된다.

[일차결합, linear combination]

에 대하여

의 일차결합은

(

)으로 표현되는

를 말한다.

[일차결합들의 집합, span]

[일차독립, linear independence]

이 일차독립

이면

[일차종속, linear dependence]

이 일차종속

모두는 0이 아닌 스칼라

이 존재하여

[기저, basis]

가 벡터공간

의 기저

가 일차독립이고

[차원, dimension] 벡터공간

의 차원은

의 기저

를 이루는 벡터의 개수.

dim

[행공간, row space] 행렬

의 행벡터들의 일차결합을 모두 모은 집합. Row(

)

의 행공간

[열공간, column space] 행렬

의 열벡터들의 일차결합을 모두 모은 집합. Col(

)

의 열(column)공간

[계수, rank] 행렬

의 열(column)공간의 차원.

rank(

)

dim Row(

)=dim Col(

)

rank(

) = 일차독립인 행(열)의 개수

RREF(

)안의 선행성분 1(leading 1) 의 개수.

* [해공간, solution space] 연립방정식

의 해들의 집합 = null space(

)

null space(

)의 차원 = nullity(

)

[Rank-Nullity 정리]

행렬

에 대하여 rank(

)

nullity(

)

[행렬식(determinant)과 고윳값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvaector)]

1.1 순서쌍과 벡터(Vector)

데이터는 순서쌍(ordered pair, 순서조

-tuple)으로 표현할 수 있다.

특히 성분이 2개(3개)로 이루어진 2차원(3차원) 데이터는 좌표평면(좌표공간) 위의

한 점을 나타낸다. 마찬가지로 4차원 이상의 데이터는 우리 눈으로 볼 수 있도록

시각화할 수는 없지만, 고차원 공간상에 놓인 점이라고 볼 수 있다.

예를 들어, 아래 왼쪽 그림에서

를 성분으로 하는

데이터

는 좌표평면 위의 한 점

를 나타낸다.

이때 시작점을 원점

, 끝점을

로 하는 화살표로 나타낸 것을 벡터(vector)라 하고

로 표기한다. 그리고 벡터를 이루는 각각의 성분은 하나의 숫자로

이루어져 있는데 이를 스칼라(scalar)라고 한다.

같은 방법으로

개의 실수

, ...,

을 성분으로 하는 벡터를

와 같이 표기할 수 있다. 이를

차원 벡터라 한다.

그리고

차원 벡터 전체의 집합을

차원 공간(

-dimensional space)이라 하고

으로 나타낸다.

특히, 모든 성분이 0인 벡터를 영벡터(zero vector)라고 하며

으로 나타낸다.

두 벡터

와

에 대하여 대응하는 성분이 모두 같으면,

즉

에 대하여

이면

와

는 서로 같다(equal)고 하고

로 나타낸다.

벡터에는 다음과 같은 연산이 정의된다.

(1) 덧셈(vector addition): 두 벡터

에 대하여

(2) 실수배(scalar multiplication): 실수

와 벡터

에 대하여

특히,

로 나타내며,

로 정의한다.

를

의 음벡터(negative vector)라 한다.

벡터의 덧셈과 실수배에 관하여 다음이 성립한다.

는

의 벡터이고,

는 스칼라이다.

①

(덧셈의 교환법칙)

②

(덧셈의 결합법칙)

③

(덧셈에 대한 항등원)

④

(덧셈에 대한 역원)

⑤

(분배법칙)

⑥

(분배법칙)

⑦

⑧

1.2 행렬(Matrix)

상의 벡터

는 마치 1

n 행렬

로

간주 할 수 있거나 혹은 n

1 행렬

로 간주할 수 있다.

즉 행렬은 벡터를 여러 개 쌓아서 만든 것이라고 이해 할 수 있습니다.

가로를 행(row), 세로를 열(column)이라 하고, 행의 개수가 m,

열의 개수가 n인 행렬의 크기를 m

n인 행렬이라고 한다.

따라서 벡터는 1

n 행렬(행벡터) 또는 n

1 행렬(열벡터)로 이해할 수 있다.

행렬은

로 나타내고

는 행렬

의

번째 행과

번째 열에 위치한 성분을

나타내는 것으로 행렬

의

성분이라고 한다.

행렬의 종류

정사각행렬(또는 정방행렬, square matrix)이라고 한다.

이때 행의 번호와 열의 번호가 같은 위치에 놓인 성분

을

행렬

의 주대각선(main diagonal) 성분이라고 한다.

특히 주대각선 성분 이외의

모든 성분이

인 정사각행렬을 대각선행렬(diagonal matrix)이라 한다.

주대각선 성분이

인 대각선행렬 diag

은

다음과 같이 쓴다.

diag

모든 성분이

인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 하고

로 나타낸다.

다음은 다양한 크기의 영행렬이다.

만일

의 두 행렬

에 대하여 대응하는 성분들(corresponding elements)이

모두 같으면, 즉

에 대해

이면,

와

는 서로 같다(equal)고 하고

로 나타낸다.

[스칼라(scalar)]

벡터를 이루는 각각의 성분은 하나의 숫자로 이루어져 있는데 이를 스칼라(scalar)라고 한다.

[행렬의 종류]

- 행렬

- 정사각행렬(square matrix)

다음과 같이 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 이라고 한다.

1.3 행렬 연산(Matrix Operations)

덧셈(addition) :

행렬

에 대하여

와

의 합(sum)은 같은 위치에 있는 성분끼리의 합

으로 정의된다.

그러므로 크기가 서로 다른 행렬끼리는 더할 수 없다.

실수배(scalar multiple) :

행렬

와 스칼라

의 곱(product)은

로 정의된다.

특히,

로 나타내며,

로 정의한다.

행렬곱셈(matrix product) :

행렬

와

행렬

의 곱(product)

는

성분이 다음과 같이 정의되는

행렬이다.

(

)

세종대왕의 ‘ㄱ’자 법칙을 이용한 행렬곱셈 예제

출처 : https://bskyvision.com/500

행렬 곱셈시 주의사항

1) 앞의 행렬의 열의 개수와 뒤의 행렬의 행의 개수가 같아야 한다.

행렬 곱셈시 주의사항 : 그림1 과 같이 p가 동일 해야됨.

<그림 1>에서 p가 동일하지 않을 때 예시

2) 교환법칙이 성립하지 않는다.

하기 예시를 보면

가 성립하지 않음을 알 수 있다.

단,

는 성립 (I는 단위행렬)

전치행렬(transpose matrix): 행렬

의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬을

의 전치행렬이라 하고

로 나타낸다.

예를 들어,

가

행렬이면

는

의 행렬이 된다.

대각합(Trace) : 정사각행렬

의 대각합은

주대각선성분들의 합으로 다음과 같이 정의된다.

행렬의 덧셈, 실수배, 곱셈에 대하여 다음이 성립한다.

이때

는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고,

는 스칼라이다.

①

(덧셈의 교환법칙)

②

(덧셈의 결합법칙)

③

(덧셈에 대한 항등원, 역원)

④

(곱셈의 결합법칙)

⑤

(분배법칙)

⑥

(분배법칙)

⑦

⑧

⑨

⑩

⑪

1.4 특수 행렬(Special Matrices)

(1) 단위행렬(identity matrix): 주대각선성분이 모두 1인 대각선 행렬로

으로 나타낸다.

단위행렬은 행렬의 곱셈에 대한 항등원 역할을 한다. 즉 다음이 성립한다.

행렬

에 대하여

(2) 스칼라행렬(scalar matrix) : 주대각선성분이 모두

인 대각선 행렬로

로 나타낸다.

(3) 하삼각행렬(lower triangular matrix) : 주대각선 위의 모든 성분이 0인

정사각행렬을 말한다.

(4) 상삼각행렬(upper triangular matrix) : 주대각선 아래 모든 성분이 0인

정사각행렬을 말한다. 예를 들어, 일반적인

삼각행렬은 다음과 같은 형태이다.

(5) 대칭행렬과 반대칭행렬 : 정사각행렬

가

를 만족할 때,

를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고,

을 만족하면

를 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이라 한다.

: 대칭행렬,

: 반대칭행렬

임의의 정사각행렬

에 대하여

는 대칭행렬이 되고,

는 반대칭행렬이 된다. 이를 활용하면 모든 정사각행렬

는

다음과 같이 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 유일하게 분해된다.

(6) 역행렬(inverse matrix):

정사각행렬

에 대하여

다음을 만족하는 행렬

가 존재하면

는 가역(invertible, nonsingular)행렬이라고 한다.

이때

를

의 역행렬(inverse matrix)이라 하며,

로 나타낸다. 이러한

가 존재하지 않으면

는 비가역(noninvertible) 또는

특이행렬(singular matrix)이라고 한다.

역행렬과 일차연립방정식 관계

즉 역행렬이 존재하면 특수해를 구할 수 있고,

존재하지 않으면 해가 없거나 해가 무수히 많다.

일반적으로

의 정사각행렬

가 가역(역행렬이 존재)이고

가

이 아닌 스칼라일 때, 다음이 성립한다.

①

은 가역이고,

이다.

②

는 가역이고,

이다.

③

는 가역이고,

이다.

④

[증명:

]

1.5 선형연립방정식(System of Linear Equations)

다음과 같이 미지수

와

에 관하여 일차식으로 표현되는 방정식을

에 관한 일차방정식(一次方程式, linear equation) 또는

선형방정식(線型方程式)이라고 한다.

다음과 같이 미지수

에 관한 유한 개의 선형방정식의 모임을

선형연립방정식(System of Linear Equations)이라고 한다.

그리고 선형연립방정식의 해는 모든 선형방정식을

동시에 만족하는

의 값과

의 값(또는 순서쌍

)을 말한다.

한 개의 선형방정식은 좌표평면에서 하나의 직선을 나타내므로,

위의 선형연립방정식의 경우,

두 직선의 교점을 나타내는 순서쌍

이 바로 해가 된다.

미지수가 2개인 선형연립방정식의 해집합은 다음과 같이 세 가지 경우가 존재한다.

①

(유일해) ②

(무수히 많은 해) ③

(해가 없음)

마찬가지로, 일반적으로 (

개의 미지수를 가진) 선형연립방정식은

다음 중 하나만(one and only one)을 만족한다.

① 유일한 해를 갖는다. ② 무수히 많은 해를 갖는다. ③ 해를 갖지 않는다.

1.6 첨가행렬(Augmented Matrix)

선형연립방정식은 행렬을 이용하여 표현할 수 있다.

다음과 같이

개의 미지수를 갖는

개의 선형방정식에 대하여

벡터를 이용하여 표기하면 다음과 같다.

이를 행렬의 곱을 이용하여 표현하면

가 된다. 따라서

라 놓으면 선형연립방정식은 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

이때 행렬

를 선형연립방정식 (1)의 계수행렬(coefficient matrix)이라 하며,

에

를 붙여서 만든 행렬

을 선형연립방정식 (1)의 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.

계수행렬이 가역인 경우, 역행렬을 이용하여 선형연립방정식의 해를 구할 수 있다.

(계수행렬이 가역인 선형연립방정식의 해)

차의 정사각행렬

가 가역이고

가

의 벡터일 때,

연립방정식

는 유일해

를 갖는다.

1.7 가우스 소거법(Gaussian Elimination)

A = matrix([[2, -3, 1], [7, 1, -2], [1, 4, 3]]) # 계수행렬

b = vector([10, 1, -9]) # 상수항 벡터

A.augment(b).rref() # 첨가행렬의 RREF, # RREF( [A : b] )RREF=기약행사다리꼴

선형연립방정식의 특수해 구하기 (Ax=b 에서 특수해 구하기) 즉, S=Xo+Sh 에서 Xo 구하기

A = matrix([[3, -2, 1, -1, 5], [2, 1, -2, 3, 0], [1, 5, 4, -7, 1]])

b = vector([1, 23, -17])

A.solve_right(b) #특수해만을 제공함 (무수히 많은 해를 구할 때 주의!)

수반동차연립방정식 구하기 (Ax=0의 해집합(해공간) 구하기) 즉, S=Xo+Sh 에서 Sh 구하기

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

[4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

[2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정, 계수행렬만 필요

선형연립방정식

의 해집합

은 다음과 같은 형식으로 표현된다.

여기서

는

를 만족하는 하나의 특수해이고,

는 수반동차연립방정식

의 해집합(해공간)이다.

가우스 소거법 : 행 사다리꼴 (row echelon form)

선형 연립방정식의 *첨가행렬을 *기본행연산에 의해 행 줄임

(즉,소거,Elimination)함으로써,

행사다리꼴 행렬로 변환시키고, 후치환(Back Substitution,후진대입법)에 의해

해를 구하는 체계적인 과정

- 성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치.

- 각 행에서 처음으로 나타나는 0 아닌 성분은 1이어야 함,

이때의 1을 그 행의 선행선분(leading entry) or 피벗 (pivot)이라고 함.

- i 행과 (i+ 1)행 모두에 선행선분이 존재하면

(i + 1)행의 선행선분은 i행의 선행선분보다 오른쪽에 위치 함.

가우스 조단 소거법(RREF)

행렬 A 가 행 사다리꼴(REF)이고 추가로

다음의 성질을 만족하면 기약 행 사다리꼴이라 하고, 간단히 RREF로 표기.

- 어떤 행의 선행성분을 포함하는 열의 다른 성분은 모두 0.

<가우스 조던 소거법 수기풀이>

[선형연립방정시의 해집합]

첨가행렬의 RREF를 이용하면 선형연립방정식을 만족하는 해가 유일한지, 무수히많은지, 조재하지

않는지를 판단할 수 있다.

선형연립방정식 Ax=b의 <모든 해들의 집합(해집합)>을 찾는 방법

Ax=b의 모든 해집합을 구하기 위해 우선 직관적으로 확인을 할 수 있는

첨가행렬의 형태로 만들고 RREF(기약 행사다리꼴) 형태로 sage를 통해

직관적으로 확인을 해볼 것이다.

유일한 해가 있는 경우

A = matrix([[2, -3, 1], [7, 1, -2], [1, 4, 3]]) # 계수행렬

b = vector([10, 1, -9]) # 상수항 벡터

A.augment(b).rref() # 첨가행렬의 RREF, # RREF( [A : b] )

제일 우측 열을 제외하고 r=n 이면 유일한 해가 존재하고

제일 우측이 열 유일한 해가 된다

해가 없는 경우

A = matrix([[1, -2, 1], [2, -2, 1], [3, 1, -5], [0, -1, 2], [-6, 0, 7]])

b = vector([7, 5, 0, -4, -10])

A.augment(b).rref()

해당 파란색 부분은 0인데 우측 해가 0이 아닌 경우는 해가 존재하지 않는다.

A = matrix([[3, -2, 1, -1, 5], [2, 1, -2, 3, 0], [1, 5, 4, -7, 1]])

b = vector([1, 23, -17])

A.augment(b).rref()

제일 우측 열을 제외하고 r < n 이면 무수히 많은 해가 존재한다.

* 직관적으로 RREF를 통해 우선 확인을 하고 무수히 많은 해가 존재할 경우

를 이용하여 모든해를 구할 수 있다.

여기서

는

를 만족하는 하나의 특수해이고,

는 수반동차연립방정식

의 해집합(해공간)이다.

(Ax=b 를 만족하는 하나의 특수해)를 구하면 다음과 같다.

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

[4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

[2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

b = vector([2, -10, -12, -2, -4])

A.solve_right(b) #무수히 많은 해중에서 하나의 특수해 만을 구할 수 있다.

결과 : (1, -9/2, 1/4, 0, 0, 0, 0) 해당 결과가

이다.

(수반동차연립방정식 Ax=0 의 해집합)을 구하면 다음과 같다.

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

[4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

[2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정 계수행렬만 필요

결과 :

따라서 수반동차연립방정식

의 해집합(해공간)은 다음과 같다.

따라서 주어진 선형연립방정식

의 해집합은 다음과 같다.

2주차. 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영(Projection)

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/

2.1 벡터의 노름(Norm)과 내적(Inner Product, Dot Product)

벡터

에 대하여

의 크기를 다음과 같이 나타내고,

의 노름(norm)이라 한다.

아래 왼쪽 그림에서 볼 수 있듯이

는

원점

에서 점

에 이르는 거리와 같다.

노름을 이용하면 두 점 사이의 거리(distance)를 쉽게 계산할 수 있다.

즉 두 벡터

에 대하여 두 점

와

사이의 거리

는 다음과 같다.

※ 참고

노름과 거리는 3차원은 물론 고차원 벡터에 대해서도 같은 형태로 확장된다

(위의 오른쪽 그림). 예를 들어, 두 벡터

에 대하여,

라 할 때,

의 노름

과 두 점

사이의 거리

는 각각 다음과 같이 정의된다.

①

(원점에서 점

에 이르는 거리)

②

일반적인

에서도 벡터

와 스칼라

에 대하여 다음이 성립한다.

①

②

③

두 벡터

와

의 내적(inner product)은 다음과 같이 정의된다.

즉

와

의 내적은 대응하는 성분끼리 곱한 다음 모두 더한 값으로,

결과는 스칼라이다.

참고 내적(Inner Product, Dot Product)은 3차원은 물론 고차원 벡터에 대

해서도 같은 형태로 정의된다. 예를 들어,

의 두 벡터

와

에 대해서도 내적(Inner Product, Dot Product)은 다음과

같이 정의된다.

내적에 대하여 다음이 성립한다. 대부분 실수의 곱셈이 만족하는 성질과 유사하다.

①

②

(교환법칙)

③

(분배법칙)

④

벡터의 노름과 내적에 관하여 다음과 같이 중요한 부등식이 성립한다.

코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식

의 임의의 벡터

에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

단, 등호는

중 하나가 다른 것의 실수배일 때만 성립한다.

코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식으로부터

은

항상 0보다 크므로 부등식의 양변을 나누면

을 의미하고,

이므로

를 만족하는

(

) 가

항상 존재한다. 이

를 두 벡터

가 이루는 사잇각(angle)이라고 부른다.

즉,

또는

(

)을

만족하는

가 항상 존재하고, 내적

일 때는

이므로,

와

는

서로 직교(orthogonal)한다고 하고,

적당한 실수

에 대하여

또는

이 성립하면

와

는 평행(parallel)하다고 한다.

참고

의 두 벡터

에 대하여

이 모두 정의되므로

고차원 벡터에 대해서도 관계식

을 성립하는 사잇각

가

항상 정의된다.

●

의 벡터

에 대하여, 노름이 1인 벡터,

즉

인 벡터를 단위벡터(unit vector)라 한다.

또한

의 벡터

가 서로 직교한다면,

이 벡터들은 직교(orthogonal)벡터들이라고 하고,

가 서로 직교벡터이면서 각각 단위벡터이면

정규직교(orthonormal) 벡터들이라고 한다.

●

의

개의 기본단위벡터(standard unit vector)

과

에서

대신 사용하는

들은 기본단위벡터의 예이다.

방향각과 방향코사인(Direction Angle, Direction Cosine)

의 방향각(direction angle)은

가

축,

축의 양의 방향과 구간

에서 만드는

이다.

방향각의 코사인

를

벡터

의 방향코사인(direction cosine)이라 한다.

또는

을 기억하면,

에서의 기본단위벡터

에

대하여,

식을 만족하므로,

으로

쓸 수 있고,

이며,

을 만족한다.

■ 벡터의 내적의 기하학적 의미

출처: https://amber-chaeeunk.tistory.com/69

벡터의 내적은 기하학적으로 한 벡터를 다른 벡터 위로 정사영시킨 길이와

그 다른 벡터의 길이를 곱한 것을 의미한다.

위의 예시에서는 벡터 a를 벡터 b로 정사영시켰는데 그 반대도 가능하다.

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=2aNkZjGeonA

2.2 벡터의 외적(Cross Product, Vector Product)

기하학, 물리학, 공학 등에서 벡터를 활용할 때,

종종

상의 주어진 두 벡터에 동시에 수직인 제3의 벡터를 구해야 할 때가 있다.

에서 중요한 의미를 갖는 벡터의 외적(cross product)을 이용하면

이 제3의 벡터를 쉽게 구할 수 있다.

두 벡터

에 대하여

와

의 외적

은 다음과 같이 정의된다.

참고

① 외적은

공간에서 정의되며, 주어진 두 벡터로부터 새로운 벡터를 생성한다.

② 행렬식(determinant)을 이용하면 외적을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

● 두 벡터

와

에 대하여,

와

의 외적(Cross Product)

에는 다음과 같은 의미가 있다.

①

는

와

에 각각 수직이다. 즉,

이 성립한다.

따라서

와

가 평행이 아니면,

는 이 두 벡터가 결정하는 평면에 수직인 벡터이다.

(여인자전개)

(행렬식의 성질)

②

는

와

를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이이다.

즉

를

와

의 사잇각이라 하면

이 성립한다.

③ 벡터

와 벡터

의 방향은 오른손 법칙을 따른다.

즉 오른손으로

에서부터

방향으로 손가락을 감을때

엄지손가락이 지시하는 방향이 벡터

의 방향이다.

외적을 이용하면 다음과 같이 동일한 평면에 놓여 있지 않은

상의 세 벡터

가 결정하는 평행육면체의 부피를 구할 수 있다.

위의 그림에서

는 평행육면체의 밑면의 넓이이다.

그리고 벡터

와

가 이루는 각을

라 하면

은 높이가 된다. 따라서 평행육면체의 부피는 다음과 같다.

(여인자전개)

여기서

를 스칼라 삼중곱(scalar triple product)이라 한다.

상의 세 벡터

와 스칼라

에 대하여 다음이 성립한다.

①

②

③

④

⑤

⑥

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=XDbBq6ImWi4

2.3 직선의 방정식(Equations of Lines)

평면

에서 직선은 한 점과 기울기가 주어지면 유일하게 결정되며,

이때 직선의 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

여기서

는 실수이며

는 동시에 영은 아니다.

공간

에서의 직선도 마찬가지로 한 점과 기울기에 해당하는

방향벡터(direction vector)만 주어지면 유일하게 결정된다.

이제 공간에서의 직선의 방정식을 구해보자.

상에서 한 점

를 지나고

이 아닌 벡터

에

평행한 직선

은 아래 왼쪽 그림과 같이 벡터

와

가 평행

즉,

(

)를 만족하는 점

전체의 집합과 같다.

가 임의의 실수를 취할 때마다 직선

위의 점

가 결정된다. (아래 왼쪽 그림)

이제

로 놓으면

이다. 따라서

, 즉

(

) (1)

를 얻는다. 이 식 (1)을 직선

의 벡터방정식(vector equation)이라 한다.

식 (1)

을

매개변수

를 이용하여 성분별로 쓰면 다음과 같이

직선의 매개방정식(parametric equation)을 얻는다.

(

) (2)

또는

그리고 식 (2)에서 매개변수

를 소거하면 다음과 같이

직선의 대칭방정식(symmetric equation)을 얻는다.

참고 위에서 얻은 직선의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

① 벡터방정식 :

(

)

② 매개방정식 :

(

)

③ 대칭방정식 :

2.4 평면의 방정식(Equations of Planes)

공간

에서 평면의 방정식은 한 점과 (이 평면에 수직인)

법선벡터(normal vector)만 주어지면 유일하게 결정된다.

이제 공간에서의 평면의 방정식을 구해보자.

상에서 한 점

를 지나고

이 아닌

벡터

에 수직인 벡터들이 이루는 평면

는

을 만족하는 점

전체의 집합과 같다.

이므로

에서 다음을 얻는다.

이 식을 점

를 지나고 법선벡터

를 갖는

평면의 point-normal 방정식이라고 한다.

이때

로 나타내면 평면의 point-normal 방정식은

로 간단히 나타낼 수 있다.

평면의 point-normal 방정식

var ('x, y, z')

p = vector([1, -2, 3]) # 한 점

n = vector([2, 5, -3]) # 법선 벡터

q = vector([x, y, z])

eq_plane = n.inner_product(q - p) == 0 # 평면의 방정식

print (eq_plane)

p1 = implicit_plot3d(eq_plane, (x, -4, 4), (y, -4, 4), (z, -4, 4), opacity = 0.6)

# 평면을 그래프로

p2 = arrow(p, p + n, color = 'green') # 한 점에서 법선벡터

p1 + p2

평면의 벡터방정식

, 즉

(

)

var ('t1, t2')

p = vector([4, -3, 1]) # 세 점

q = vector([6, -4, 7])

r = vector([1, 2, 2])

v1 = q - p # 벡터

v2 = r - p

eq = p + t1*v1 + t2*v2 # 평면의 벡터방정식

print (eq)

p1 = parametric_plot3d(eq, (t1, -1.2, 1.2), (t2, -1.2, 1.2), opacity = 0.6)

# 평면을 그래프로

p2 = arrow(p, p + v1, color = 'green') # 한 점에서 벡터

p3 = arrow(p, p + v2, color = 'red') # 한 점에서 벡터

p1 + p2 + p3

두 평면의 사잇각

과

가 이루는 사잇각은

를 만족하는

(

)가 된다.

n1 = vector([1, 1, 1]);n2 = vector([1, -2, 3])

ang_rad = arccos(abs(n1.inner_product(n2))/(n1.norm()*n2.norm())).n(digits = 5)

# 라디안

ang_deg = (ang_rad*180/pi).n(digits = 5) # 육십분법

print ("ang(rad) =", ang_rad)

print ("ang(deg) =", ang_deg)

2.5 정사영(Orthogonal Projection)

정사영은

에서 한 점과 직선, 한 점과 평면 사이의 거리를 구하는데 사용된다.

(그리고 해가 존재하지 않는 선형연립방정식

의

최소제곱해(least square solution)를 계산할 때에도 유용하게 사용된다.)

https://towardsdatascience.com/linear-regressi

on-using-least-squares-a4c3456e8570

아래 그림과 같이 벡터

와

가

에 있고,

이라 하자. 그러면 점

에서 선분

에 내린 수선의 발을

라 할 때,

벡터

를

의 (

위로의) 정사영(projection)이라 하고

로 나타낸다.

그리고 벡터

를

에 수직인

의 벡터성분(vector component)이라 한다.

따라서

는 두 벡터의 합

로 나타내진다.

정사영 정리

의 벡터

에 대하여 다음이 성립한다.

①

②

(벡터

의 벡터

위로의 정사영(projection)의 길이)

증명 ①

는

의

위로의 정사영이라 하자,

그럼

은

와 평행하므로

가 되고,

는

에 수직(orthogonal)인

의 벡터성분(최단거리 벡터)이 된다.

이고

는

와 수직이므로

이다. 따라서

에서

이므로 다음을 얻는다.

②

3주차. 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/

3.1 벡터함수(Vector Function)와 공간곡선(Space Curve)

벡터함수(vector function)는 실수

에 벡터

를 대응시키는 함수를 말한다.

(여기서

는 적당한 구간이다.) 즉 다음과 같이 나타낸다.

이때, 벡터함수

를 이루는 성분

는

구간

에서 정의된 연속인 실수함수로

이를

의 성분함수(component function)라 한다.

벡터함수

에 대하여

가 구간

전체에서 움직일 때,

대응되는 점

는 공간곡선(space curve)

를 이룬다.

즉

는

를 시각(time)으로 생각할 때,

아래 그림과 같이

에서 벡터

의

끝점(end point)

가 그리는 곡선이다.

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?i

sHttpsRedirect=true&blogId=nst4309&logNo

=50184503599

그리고 방정식

를

의 매개변수방정식(parametric equations),

를 매개변수(parameter)라 한다.

3.2. 벡터함수의 극한과 연속(Limit and Continuity)

벡터함수

에 대하여,

일 때

의

각 성분함수들의 극한이 존재한다고 하자

(즉,

). 그러면

일 때,

의 극한(limit)을 다음과 같이 정의한다.

이를 간단히

일 때

로 표현할 수 있다.

벡터함수

와 실수함수

가

일 때, 극한이 존재하고,

실수함수

가

일 때,

이면, 다음과 같이 극한 법칙을 만족한다.

①

②

③

④

⑤

3.3 벡터함수의 도함수와 적분(Derivative and Integral of Vector Function)

실수함수의 미분과 마찬가지로 벡터함수

의 도함수(derivative)

는

로 정의한다.

벡터함수의 도함수

가 모두 미분가능할 때,

벡터함수

의 도함수는 다음과 같이 계산한다.

임의의 실수

일 때,

는

가

움직이는 방향과 같은 방향의 벡터이다.

만일

이면, 이 벡터는 아래 그림과 같이 접선 위에 놓여 있는 벡터에

접근(approach)하게 된다.

따라서

가 존재하고,

이면, 벡터

는

에 의해

정의되는 곡선

의 점

에서의 접선벡터(tangent vector)가 된다.

그리고

에서 곡선

에 대한 접선(tangent line)은 점

를 지나고,

접선벡터

에 평행인 직선으로 정의된다.

와

를 미분가능한 벡터함수라 하고,

를 실수,

를 미분가능한 실수함수라 하면,

벡터함수에 대해서도 다음과 같이 미분법칙이 성립한다.

①

②

③

④

⑤

⑥

(연쇄법칙)

벡터함수

의 부정적분과 정적분은 각각 다음과 같이 정의된다.

벡터함수의 정적분

가

의 역도함수(inverse derivative),

즉

라 하면,

가 성립한다.

이 때 정적분

은 다음과 같이 계산된다.

3.4 곡선의 길이 (Length of Curve, Arc length, length of a plane curve)

과

가 연속일 때 매개변수방정식이

인 2차원에서의 곡선의 길이(Arc length)

은

다음과 같이 구할 수 있다.

따라서

상에서 벡터함수

으로 주어진

평면곡선의 길이(Length of a plane curve)

은 아래의 식을 이용하여 계산할 수 있다.

같은 방법으로

가 연속일 때,

매개변수방정식이

인

공간곡선의 길이(Length of a space curve)는

이고 벡터함수

로 주어진 공간곡선의 길이는

로 구할 수 있다.

벡터함수

로 주어진

공간곡선

에 대하여,

에서 임의의 시각(time)

까지 움직인

전체 호의 길이(Arc length)를 함수로 표현할 수 있다.

이를

라 하고 호의 길이 함수(arc length function)라 한다.

즉

는 곡선

의

와

사이의 길이이다. 다음과 같이 계산한다.

따라서

는 속력(speed)을 나타낸다.

3.5 곡률 (Curvature)

곡률(curvature)은 곡선의 본질적인 성질로 주어진 점에서

곡선이 얼마나 많이 휘어져 있는지를 하나의 숫자로 나타낸다.

직관적으로 직선의 곡률은 0이라고 이해할 수 있다.

[그림 출처] https://happhi.tistory.com/65

주어진 점에서 곡선의 곡률은 그 점에서 곡선이

얼마나 빠르게 방향을 바꾸는가로 이해할 수 있다.

이때 곡률이 곡선의 매개변수화에 영향을 받지 않으면서도

방향의 변화에만 관심을 갖도록 호의 길이와

단위접선벡터(unit tangent vector)를 사용하여 정의한다.

벡터함수

에 의해 주어진 곡선의 곡률(curvature)은 다음과 같다.

여기서

는 단위접선 벡터이다.

즉 곡률은 호의 길이

에 대한 단위접선벡터

의 변화율의 크기로 정의한다.

https://suhak.tistory.com/m/283

3.6 이차곡면(Quadratic Surface)

이차곡면(quadric surface)은 세 변수

에 관한 이차방정식의 그래프이다.

이런 방정식의 가장 일반적인 형태는

가 상수일 때 다음과 같다.

위 식은 평행이동과 회전에 의해 다음과 같은

두 가지 표준형 중 하나로 바꿀 수 있다.

http://matrix.skku.ac.kr/2014-Album/Quadratic-form/

또는

이차곡면은 평면 안의 원뿔곡선에 대응하는 3차원 공간의 곡면이다.

3.7 다변수 함수(Functions of Several Variables)

이변수함수는 독립변수가 두 개인 경우를 뜻한다.

변수

와

는 독립변수(independent variable)가 되고,

함수

는 집합

에 속하는 실수들의 순서쌍

에

로

나타내는 유일한 실수를 대응시키는 규칙이다.

이때

는

에 대한 종속변수(dependent variable)라 한다.

따라서 집합

는

의 독립변수를 정의역으로 가지므로

-평면에서

의 순서쌍으로 나타낼 수 있는 집합이며,

는

의 치역이다.

일변수함수

의 그래프가

평면에서의 곡선

로 표현되는 것과

마찬가지로 이변수함수

의 그래프는 방정식이

인

곡면(surface)

로 표현된다.

3.8 등위곡선(Level Curves)

이변수함수

의 등위곡선(level curves, contour curves)은

방정식이

인 곡선을 말한다. 이때

는 (

의 치역에 속한) 상수이다.

즉 일정한 높이의 점들을 연결한 곡선이 등고선(또는 등위곡선)이다.

이는 해저 지형이나, 기온분포, 육지 지형의 높낮이를 나타낼 때 주로 사용한다.

https://mathcs.holycross.edu/~groberts/Cour

ses/MA241/homepage.html

3.9 이변수함수의 극한과 연속

이변수함수

에 대하여 점

가 점

로 접근할 때,

가 일정한 값

로 한없이 가까이 가면,

일 때,

는

에 수렴(converge)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다.

또는

일 때,

이때

을

의 극한(limit)이라고 한다.

위의 정의 중에서

가

로 접근하는 방식은 무수히 많은데

(아래 왼쪽 그림), 방향과 경로가 모두 임의대로 정해질 수 있다.

극한이 존재한다는 것은

가 어떤 방향이나 어떤 경로를 통해서

로 접근하든지 동일한 상수

로 다가간다는 것을 말하는 것이다.

이것이 일변수 함수의 경우와 본질적인 차이를 일으키는 부분이다.

일변수 함수의 극한에서는 아래 오른쪽 그림과 같이

좌극한과 우극한의 두 가지 방향만 고려하면 된다.

일변수함수의 좌극한과 우극한만 비교하는 것에 비해

2변수의 함수의 극한이 존재하지 않는 경우를 보이기는 것이

막막해 보이지만 생각보다 간단하게 증명될 수도 있다.

예를 들어, 적절한 두 경로를 정하여 극한이 다르다는 것을 보이거나

또는

과 같은 임의의 함수를 경로로 잡아 경로에 따라

극한값이 유일하지 않음을 보여도 된다.

2변수함수의 극한이 존재하면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

①

의 극한값

②

의 극한값

이변수함수의 극한의 성질은

가

각각 존재한다면 일변수 함수의 경우와 유사하다.

①

②

③

④

단,

3.10 이변수함수의 편도함수(Partial Derivatives)

이변수함수

가

의 적당한 근방에서

를 고정하고

에 대한 변화량만 고려한 극한

이 존재하면, 이 극한(limit)을

에서

의

에 대한 편미분 계수(partial derivative of

with respect to

)라

하고, 다음과 같이 표기한다.

즉

는 먼저

로 고정하여

에 관하여

를 미분한 후

를 대입하는 것과 같다.

마찬가지로

에서

의

에 대한

편미분 계수(partial derivative of

with respect to

)를 정의할 수 있다.

만일 함수

의 정의역인

내부의 모든 점

에서

함수

의

또는

에 대한 편미분 계수가 존재하면

이를 편도함수(partial derivative)라고 하고 다음과 같이 나타낸다.

의

에 관한 편도함수(partial derivative with respect to

)

의

에 관한 편도함수(partial derivative with respect to

)

두 편도함수

를 통틀어

의 1계 편도함수(the first order partial derivative)

라 하고

는

에 대한 편도함수,

는

에 대한 편도함수라고 한다.

4주차 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W4/

4.1 접평면(Tangent Plane)과 선형근사(Linear Approximation)

곡면

가 방정식

으로 표현되고,

는 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 하자.

곡면

위의 한 점

에 대하여 곡선

과

를

곡면

와 수직인 평면

이 각각 교차함으로써 얻어지는 교선이라 하면

점

는 아래 그림과 같이

과

에 모두 놓여 있다.

만일

을 점

에서 곡선

에 접하는 접선,

를 점

에서 곡선

에 접하는 접선이라 하면,

점

에서 곡면

에 대한 접평면(tangent plane)은

접선

과

를 모두 포함하는 평면으로 정의된다.

-편미분의 기하학적 의미 :

fx(a,b) : 곡선 z = f(x,b)의 (a,b,f(a,b)) 에서 접선의 기울기 #x축 방향으로의 접선의 기울기

fy(a,b) : 곡선 z = f(a,y)의 (a,b,f(a,b)) 에서 접선의 기울기 #y축 방향으로의 접선의 기울기

접평면의 방정식 (An equation of the tangent plane)

함수

가 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 하면, 점

에서

곡면

에 대한 접평면(tangent plane)의 방정식은 다음과 같다.

점

에서 이변수함수

의 그래프에 대한 접평면의 방정식은

이다. 즉, 접평면(tangent plane)의 방정식은 점

에서

이변수함수

가 표현하는 곡면에 가장 근사한 일차식의 표현이다.

4.2 전미분(Total Differential, Total Derivative)

미분가능한 이변수함수

에 대하여 미분(differential)

와

를 독립변수로 정의한다. 즉

와

는 임의의 값으로 주어진다.

이때 미분(differential)

를 전미분(total differential, total derivative)이라 한다.

4.3 이변수 함수의 연쇄법칙(Chain Rule)

일변수 함수

가

에 관하여 미분가능한 함수이고

가 모두

에 관하여 미분가능하면,

는

에 대하여 미분가능한 함수이다.

이때

는 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.

이변수 함수

가

와

에 관하여 미분가능한 함수이고

와

가 모두

에 관하여 미분가능한 함수이면,

는

에 대하여 미분가능한 함수이다. 이때

는

이다.

함수

가

와

에 관하여 미분가능한 함수이고

가

에 관하여 미분가능한 함수이면,

는

에 대하여 미분가능한 함수이다.

는

4.4 음함수 미분법(Differentiation of Implicit Function)

가

를

와

의 미분가능한 함수로 정의할 때,

이면 다음이 성립한다.

4.5 방향도함수(Directional Derivative)

가

에서 미분 가능한 함수이고

에서 모든 방향으로의 도함수를 가진다고 하자.

을 단위벡터라 하면 다음이 성립한다.

4.6 Gradient(기울기벡터, 그래디언트 벡터, Gradient Vector)

가 두 변수

와

의 함수이면

의 gradient(기울기벡터, 그래디언트 벡터, Gradient Vector)

gradient

또는

는

로 정의한다.

gradient(기울기벡터, gradient vector)의 의미

등위곡선

를 매개변수함수

로 나타내면

이다. 이때

가 상수이므로 이 식의 양변을

에 대하여 미분하면

연쇄법칙에 의해

가 된다. 이때 벡터

는 매개변수

에 대한 벡터함수

의

미분이므로 등위곡선의 접선벡터가 되며,

이므로

등위곡선의 접선벡터와 기울기벡터(gradient vector)는 수직(직교)이다.

즉 기울기벡터(gradient vector)는 방향도함수가 최대인 방향,

즉 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타내며, 등위곡선에 수직(직교)인 벡터이다.

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=at3650&logNo=220267223705

https://youtu.be/he__Xh4XGsA

5주차 이변수 함수의 극대 극소, 최대 최소

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5/

5.1 이변수 함수의 극대, 극소(Local Maximum, Local Minimum)

(독립) 변수가 두 개인 함수를 이변수함수(function of two variables)라 하고,

가 이변수함수

의 정의역 내의 한 점일 때,

①

의 적당한 근방의 모든

에 대하여

이면,

는

에서 극대(local maximum)가 된다고 하고,

를 극댓값(local maximum value)이라 한다.

②

의 적당한 근방의 모든

에 대하여

이면,

는

에서 극소(local minimum)가 된다고 하고,

를 극솟값(local minimum value)이라 한다.

만일

의 정의역 안의 모든

에 대하여 위의 부등식을 만족하면

는

에서 최대(absolute maximum) 또는 최소(absolute minimum)다.

를 만족하는 점

를

의 임계점(critical point)이라 한다.

모든 극대점과 극소점은 임계점이다.

그러나, 임계점(critical points)이라고 해서 반드시 극대 또는 극소를 갖는 것은 아니다.

이변수함수의 극대, 극소 판정법

점

의 근방에서 이변수함수

가 연속인 2계 편도함수를 갖고,

는

의 임계점, 즉

를 만족한다고 하자. 이제 (Hessian 행렬 at

)

라 하면 다음이 성립한다.

①

이고

이면,

는 극솟값이다.

(행렬

의 고윳값이 모두 양)

②

이고

이면,

는 극댓값이다.

③

이면,

는 극댓값도 극솟값도 아니다. 점

는

의 안장점이다.

④

이면, 이것만으로는

가 극댓값인지, 극솟값인지 또는

가

의 안장점인지 판단할 수 없다.

5.2 행렬식

3개 이상의 독립변수를 갖는 다변수 함수도 이변수함수와 동일한 방법으로, 2계 편도함수를 이용

하여 임계점에서 함수의 극대, 극소, 안장점 여부를 판단할 수 있다. 이를 위해서는 정사각행렬의

선행 주 소행렬식(leading principal minor)과 고윳값(eigenvalue)에 대하여 알아야 한다. 행렬식

(determinant)과 고윳값에 관한 자세한 사항은 추후 선형대수학 과목에서 배운다.

5.3 최대값과 최소값(Absolute Maximum and Absolute Minimum)

일변수 함수 에 관한 최대, 최소 정리(Extreme Value Theorem)는 폐구간 [a,b] 에서 f가 연속

이면, f는 [a,b]에서 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 말한다. 따라서 아래와 같이 임계점뿐만 아

니라 양 끝점 a,b 에서 f의 값을 계산하여 비교함으로써 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

유사한 방법으로 이변수함수에 대해서도 다음이 성립한다.

※ 폐집합(closed set)이라는 것은 아래 왼쪽 그림과 같이 내부와 모든 경계점을 포함하는 집합을

말한다. 그러나 오른쪽 그림은 경계의 일부 또는 전체를 포함하지 않으므로 폐집합이 아니다.

그리고 R²에서 유계집합(bounded set)은 아래 왼쪽 그림과 같이 무한히 뻗어나가지 않고, 어떤

원판(disk)의 내부에 포함되는 집합을 말한다.

* 5.4 경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)

경사하강법은 머신러닝 및 딥러닝에서 사용되는 어떤 분석 모델에서 가중치의 최적해를 구하기

위해 사용되는 비용 (Cost)을 최소화 시키는 알고리즘이다. 경사 하강법은 제약조건이 없는 최적

화 (unconstrained optimization) 문제에서 다변수 함수의 기울기(경사)를 구하여 기울기가 작은

쪽으로 계속 이동시켜서 극값(극솟값)에 이를 때까지 반복시키는 것이다.

경사하강법(Gradient Descent Method)의 알고리즘은 다음과 같다.

https://egallic.fr/Enseignement/ML/ECB/

book/gradient-descent.html

경사하강법은 머신러닝 및 딥러닝에서 사용되는 어떤 분석 모델에서 가중치의

최적해를 구하기 위해 사용되는 비용 (Cost)을 최소화 시키는 알고리즘이다.

경사 하강법은 제약조건이 없는 최적화 (unconstrained optimization) 문제에서

다변수 함수의 기울기(경사)를 구하여 기울기가 작은 쪽으로 계속 이동시켜서

극값(극솟값)에 이를 때까지 반복시키는 것이다.

경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)

① 다음 연립방정식을 만족하는

(람다, lambda)의 값을 모두 구한다.

② ①에서 구한 모든 점

에서

의 값을 계산한다.

이 값들 중 가장 큰 값이

의 최댓값이고, 가장 작은 값이

의 최솟값이다.

https://www.geogebr

a.org/m/PSzG4pe6

https://post.naver.com/viewer/postView.naver?volumeNo=288

86052&memberNo=21815&vType=VERTICAL

https://www.youtube.com/watch?v=lmD9p

6J_-TA

* 5.5 라그랑주의 승수법(Method of Lagrange Multipliers)

주어진 방정식 g(x,y)=0을 만족하는 x,y에 대하여 함수 f(x,y)의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제

에 대하여 생각해보자. 이때 g(x,y)=0을 제약조건(constraint), f(x,y)를 목적함수(objective

function)라 한다. 이러한 형태의 문제를 해결하는 기본적인 방법으로는 라그랑주의 승수법

(method of Lagrange multipliers)이 있다.

를 최대, 최소가 되게 하는 x,y의 값과 함수 f(x,y)의 값을 구해보자. 먼저 방정식 g(x,y)=0으로 주

어지는 곡선(빨간색)과 적당한 실수 k값들에 대해 등위곡선 fIx,y)=k의 그래프(검은색, 회색)를 좌

표평면에 같이 그려보자.

앞서 학습한 바와 같이 함수 f(x,y)에 대하여 f의 그래디언트(gradient) ▽f(x,y)는 등위곡선

f(x,y)=k에 직교함을 이미 알고 있다. 따라서 g(x,y)=0을 만족하는 x,y에 대하여 함수 f(x,y)를 최

대, 최소가 되게 하는 점 (x,y)에서는 g(x,y)=0와 f(x,y)=k이 접하게 되므로 ▽f(x,y)와 ▽g(x,y)는

평행, 즉 적당한 실수 λ가 존재하여 ▽f(x,y)=λ▽g(x,y)을 만족하게 된다. 이러한 λ를 라그랑주의

승수(Lagrange multiplier)라 한다.

그림의 왼쪽 상단의 점에서와 같이 만일 (x,y)에서 ▽f(x,y)와 ▽g(x,y)가 평행하지 않으면, (x,y)가

곡선 g(x,y)=0을 따라 움직일 때, 함수 f가 현재보다 증가할 여지가 있다. 실제로 이 점에서 시계

방향으로 g(x,y)=0을 따라 움직이면 함수 f의 값이 증가하게 된다. 위 그림을 통해 (x,y)가 방정식

g(x,y)=0으로 주어진 곡선(빨간색) 위를 움직이는 동안 f(x,y)가 최대, 최소가 되도록 하는 점은

g(x,y)=0와 f(x,y)=k이 접할 때임을 쉽게 알 수 있다. 특히 등위곡선에 적혀있는 함숫값들을 통해

f(x,y)는 원점으로부터 바깥쪽으로 퍼져나가는 방향으로 증가하는 함수임을 알 수 있으므로, f가

최대(파란색)가 되는 점은 y축 상에 두 군데 나타나고, 최소(분홍색)가 되는 점은 x축 상에 두 군

데 나타난다.

라그랑주의 승수법(method of Lagrange multipliers)은 다음과 같다.

※ 라그랑주의 승수법은 독립변수가 3개 이상인 다변수 함수의 경우 또는 제약조건이 두 개 이상

인 경우에도 유사한 방법으로 적용된다.

마지막으로, 라그랑주의 승수법은 대칭행렬의 고윳값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 구

하는 문제와 깊은 관련이 있다.

* 5.6 오차역전파(Back Propagation)

인공 신경망은 신경계의 기본 단위인 뉴런을 모델화한 것으로 신호가 들어오는 입력층(Input

layer)과 입력된 신호를 출력하게 하는 출력층(Output layer)이 있다. 입력층과 출력층 사이에 있

는 것을 은닉층(Hidden layer)이라 한다. 입력층에서 신호를 받으면, 미리 부여된 가중치와 계산

후 주어진 활성화 함수를 거쳐 은닉층으로 전파되고, 같은 방식으로 그 다음 층으로 전파되어 출

력층에서 해당하는 결과를 내보낸다.

입력값과 정답을 알고 있는 데이터가 있다고 할 때 우리의 목적은 주어진 데이터로 정답 여부를

잘 가려내도록 신경망의 (각 node 에서의) 가중치를 찾는 것이다. 초기에는 임의로 가중치를 부여

해놓고, 주어진 데이터로부터 신경망을 이용하여 얻은 예측값과 미리 알고 있는 정답 간의 오차를

줄이는 방향으로 (각 node 에서의) 가중치를 점차 갱신해 나간다. 이때 계층 간의 각각의 연결이

오차에 영향을 주는 정도에 비례해서 오차를 전달해준다. 대표적인 방법이 오차 역전파법(back

propagation)이다. 각 계층에 전달된 오차를 바탕으로 가중치를 갱신하는 방법으로 경사하강법

(gradient descent method)을 오차함수를 최소화하는 문제에 적용한다.

신경망에서 오차가 일어났다는 것은 결국, 입력신호가 입력층으로부터 은닉층을 거쳐 최종 출력

층으로 전파될 때, 은닉층에서의 오차가 반영된 결과라고 볼 수 있으므로 계층 간의 각각의 연결

이 오차에 영향을 주는 정도, 즉 가중치에 비례해서 오차를 역으로 전달해준다. 출력층에서 얻은

오차로부터 은닉층과 출력층 사이의 가중치를 다변수함수의 연쇄법칙을 적용해 갱신한다.

6주차. 이중적분

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/

[참고] http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2019/anyang/leejungkyung0218/14-1.pdf

6.1 직사각형 영역에서의 이중적분(Double Integral in Rectangle Region)

이중적분(double integrable)

R = [a, b] × [c, d]에서 정의된 f(x, y)를 고려하자. 아래 극한이 존재하면,

이고, f 는 적분 가능(integrable)이라고 한다.

입체의 부피

f(x, y) ≥ 0 이면 사각형 R 의 위와 곡면 z = f(x, y) 아래에 놓인

입체의 부피 V 는 다음과 같다.

중점 법칙(Midpoint rule)

이중적분의 성질

①

단,

는 상수

②

③

에 속한 모든

에 대하여

이면

푸비니 정리

함수

가 직사각형

에서

연속이면 적분 순서를 자유롭게 바꿀 수 있다.

6.2 일반영역에서의 이중적분(Double Integral over General Region)

D 에서 f(x, y)에 대해,

6.3 이중적분에서 적분 순서의 결정

함수

가

에서 연속함수이면

또한

가

에서 연속이면

6.4 적분순서의 변경

영역

로

주어졌을 때 함수

의 적분은 푸비니(Fubini) 정리에 의하여

7주차. 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/

[참고] http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2019/anyang/leejungkyung0218/14-3.pdf

7.1 극좌표계에서의 이중적분(Double integral in Polar Coordinate System)

(x, y)로 표현되던 직교좌표를 r과 θ를 이용하여 (r, θ)로 나타낼 수 있다.

[cosθ = x/r, sinθ = y/r → x = rcosθ, y = sinθ] 직교좌표에서 극좌표로 변환 할 수 있다.

[극좌표계에서 이중적분]

원의 방정식이 주어졌을 때 극좌표로 변환해준 후 r과 θ의 범위를 지정하고

이중적분을 해준다.

x^2 + y^2 = 1 → r^2cos^2θ + r^2sin^2θ = 1

영역 R = {(r,θ) l 0≤r≤1, 0≤θ≤2pi}

→

극좌표계에서 주어진 역역의 경계선이

극방정식 r = g1(θ), r = g2(θ) 로 주어진 경우

극좌표 영역 D = {(r,θ) l g1(θ)≤r≤g2(θ), α≤θ≤β}

→

이중적분에서 극좌표로 변환

일반영역

7.2 곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이)

함수

인 곡면의 넓이(Surface Area, 곡면적, 표면적)는

와

가 연속(continuous)일 때, 다음과 같이 계산된다.

7.3 삼중 적분(Triple Integral)

직육면체

위에서

의 삼중적분(Triple Integral) 은 극한이 존재할 때

[삼중적분]

이중적분의 결과는

f(x, y)dA = 부피(3차원)였다.

3중적분(

f(x, y) dV)은 4차원의 어떤 값이된다.

1 dA = 영역 A의 넓이 였던 것처럼

1 dV = 영역 V의 부피가 되고

→

푸비니 정리1에 의해 각각 적분하여 곱하는 식으로 계산 할 수 있다.

[일반적인 영역에서의 삼중적분]

일반적인 영역에서의 삼중적분은 각 상황에 따라 적분하는 순서가 중요하다.

위그림의 왼쪽부터 각각 1,2,3이라고 했을때

1번의 경우 z = u2(x,y), z = u1(x,y)로 z축에 평행한 위뚜껑과 아래뚜껑이 함수로 주어져있다.

이때 z축에 대해서 먼저 해주면 적분 결과는 (x, y)에 대한 함수로 나타나고 앞선 이중적분의 방

법으로 적분해주면 된다. 2번 그림의 경우 x, 3번 그림의 경우 y에 대해 먼저 적분해준다.

8주차. 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/

[원기둥 좌표계]

극좌표계 (r, θ)에 더해 3차원 공간을 표현하기 위한 좌표계 중 하나이다.

z를 추가해 (r, θ, z)로 나타내고 원기둥 좌표계는 적분하려는 영역 E가 원기둥의 일부일 때 쓴다.

8.1 원기둥 좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Cylindrical Coordinates)

로 표현되므로 영역

에서 함수

의 삼중적분은 다음과 같다.

[원기둥 좌표계에서의 삼중적분]

2차곡면의 그래프 모형을 파악하고 그 개형이 원기둥 모양의 일부일 때 원기둥 좌표계를 사용하여

3중적분을 한다. 일반적인 영역에서의 삼중적분과 마찬가지로 z = u2(x,y), z = u1(x,y)로 z축에 평

행한 위뚜껑과 아래뚜껑이 함수로 주어져있다면 z축에 대해 먼저 적분하는 식으로 적분순서를 정

한다.

[구면 좌표계]

3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로 (ρ,θ,Φ) 로 나타낸다.

원점 O와 점P사이의 거리를 ρ

x축의 양의방향과 이루는 각을 θ

z축의 양의방향과 이루는 각의 크기를 Φ 로 표현하여 3차원 상의 점 P(ρ,θ,Φ) 로 나타낸 좌표계.

8.2 구면좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Spherical Coordinates)

의 관계가 성립한다.

① 영역

에서

함수

의 삼중적분은 다음과 같이 계산된다.

② 영역

에서 함수

의 삼중적분은 다음과 같이 계산된다.

③ 영역

에서

함수

의 삼중적분은 다음과 같이 계산된다.

[구면 좌표계에서의 삼중적분]

구면좌표(ρ,θ,Φ)를 x, y, z에 대해 치환하여 표현하면

x = ρsinΦcosθ, y = ρsinΦsinθ, z = ρcosΦ 로 치환하여 적분 할 수 있다.

ρ2sinΦ dρdθdΦ

극좌표에서의 적분에 r 이 들어갔던 것처럼 구면좌표에서 ρ2sinΦ 이 들어가야 한다.

부피를 구하려고 한다면

ρ2sinΦ dρdθdΦ 로 구할 수 있다.

[야코비안 행렬]

야코비안의 정의는 극소영역에서 비선형 변환을 선형 변환으로 근사시킨 것.

행렬식의 기하학적 의미는 선형변환은 하였을때 넓이가 얼마만큼 변하는가를 나타내고

야코비안 행렬은 원래 좌표계에서 변환된 좌표계로 바뀔때의 넓이의 변화 비율을 말해준다.

극좌표 적분식에서의 r과 구면좌표계의 적분식 ρ2sinΦ가 이에 해당한다.

8.3. 다중적분에서의 변수변환(Change of Variables in Multiple Integrals)

이중적분과 같은 방식으로 삼중적분에서의 변수변환도 가능하다.

9주차. 벡터 미적분학(Vector Calculus)

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W9/

9.1 벡터장(Vector Field), 회전(Curl), 발산(Divergence)

가 3차원 벡터이므로

또는 간단히

으로 나타낼 수 있다.

여기서

은 3변수 함수로

의 성분함수(component function)

또는 스칼라장(scalar field)이라 한다.

벡터장은

의 정의역

의 임의의 점

를 시점으로 하고,

벡터

를 화살표(유향선분)로 나타내어 시각화 할 수 있다.

그래디언트 벡터장

스칼라 함수

의 그래디언트(gradient)로 정의되는 벡터장

벡터장

의 성분함수

의 편도함수가

모두 존재하면,

의 회전(curl)은 다음과 같이 정의된다.

curl

여기서

이다.

는 스칼라 함수

가 주어지면,

의 그래디언트를 생성하는 하나의 연산자(operator)로 이해하면 된다.

* curl이 사용되는 예시 (강물의 와류로 생각) https://angeloyeo.github.io/2019/08/25/curl.html

회전의 연산에 관하여 다음이 성립한다.

여기서

와

는 각각 미분가능한 벡터장이고,

는 연속인 편도함수를 갖는다.

① curl

curl

② curl

curl

발산(divergence)은 벡터장 내 임의의 지점에서 벡터장이 퍼져 나오는지,

아니면 모이는지의 정도를 측정한다.

가 벡터장이고,

가 존재하면,

의 발산(divergence)은 다음과 같이 정의된다.

div

발산의 연산에 관하여 다음이 성립한다.

여기서

와

는 각각 미분가능한 벡터장이고,

는 연속인 편도함수를 갖는다.

① div

div

② div

div

회전(curl)의 의미

① 물리학적으로

가 유체의 속도 벡터장이면,

curl

는 그 유체가 가장 빨리 회전하는 축의 방향을 제시해주며,

그 크기는 회전의 속력을 나타낸다.

② curl

인 벡터장

를 회전하지 않는(irrotational) 벡터장이라 한다.

발산(divergence)의 의미

① 물리학적으로

가 유체의 속도 벡터장이면,

점

에서 div

는 그 유체가

로부터 나가거나

를 향해 모이는 경향을 잰다.

② div

인 벡터장

를 압축할 수 없는 (incompressible) 벡터장이라 한다.

벡터장

의 성분함수

이 연속인 2계 편도함수를 가지면,

div

curl

)

0 이다.

9.2 선적분(Line Integral)

벡터장

의 선적분 정의

따라서 선적분은 다음과 같다.

정적분과 마찬가지로 선적분(line integral)에 대해 다음이 성립한다.

①

(

는 스칼라)

②

③

(

는 두 곡선

과

의 합)

④

(

는

의 반대 방향)

9.3 그린 정리(Green’s Theorem) by ...

평면에서

가 단순 닫힌 곡선

에 의해 둘러싸인 영역이라고 하자.

와

가

에서

연속인 1계 편도함수를 갖는다면 다음이 성립한다.

여기서

는 양의 방향을 따른다.

그린 정리는 벡터형식으로도 나타낼 수 있다.

이를 위해 벡터장을

라 하자.

그러면 일단 선적분(line integral)은

이다.

이제

좌표를 0으로 고정하여

를 3차원 벡터장으로 생각하면

curl

이므로 curl

이다.

따라서 그린 정리(Green’s theorem)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

9.4 스토크스 정리(Stokes’ Theorem) by ...

스토크스 정리(Stokes’ theorem)는 그린 정리(Green’s theorem)의 확장으로

생각할 수 있는데, 그린 정리(Green’s theorem)가 평면영역

에서의 이중적분을

의 경계 곡선에서의 (양의 방향을 따라) 선적분과 연결했다면

스토크스 정리(Stokes’ theorem)는 유향곡면(방향이 있는 곡면)

에서의 면적분(surface integral)과

의 경계 곡선에서의 (양의 방향을 따라)

선적분을 연결한다.

는 단순 닫힌 곡선(simply closed curve)

를 경계로 갖는 곡면

에서 연속인 2계 편도함수를 갖는 벡터장일 때,

다음이 성립한다. 여기서

는 양의 방향을 따른다.

즉, 이 등식의 좌변은 곡면

의 단위법선벡터(unit normal vector)

에 관하여

오른손 법칙(right-hand rule)에 의해 반시계방향(counterclockwise)으로

곡선

를 따라 계산한

의 선적분이고,

우변은 곡면

위에서

의 면적분(面積分, surface integral)이다.

면적분(surface integral)의 계산

3차원 공간에서 곡면

가 매개변수 방정식

(이때

와

는

평면의 영역

위를 움직인다)로 표현되면,

곡면

의 임의의 점

에서 단위법선벡터

은 다음과 같이 주어진다.

그러면 단위법선벡터가

인 방향이 있는

곡면

위에서 연속인 벡터함수

의 면적분(surface integral)은 다음과 같이 정의된다.

9.5 발산 정리(Divergence Theorem) by ...

가 공간상의 닫힌 곡면(boundary surface of

)이라 하고

입체영역(simple solid region)

의 경계를 이룬다고 하자.

가

를 포함하는 열린 집합

에서 정의된 벡터장(vector field)이고,

의 성분함수들이 연속인 1계 편도함수(continuous first order partial derivatives)를

갖는다고 할 때,

이 곡면

의 외부로 향하는 단위법선벡터이면, 다음이 성립한다.

총정리

10주차. 복소수(Complex Numbers) 와 복소함수

실수와 허수의 합의 꼴로써 나타내는 두 수, 두 실수 a,b에 대하여 a+bi(단, a,b,는 실수)(i는 허수 단위) 로

나타내는 체를 여러개의 단위로 이루어진 수 라는 데에서 복소수 라고 하며, a를 실수부분, b를 허수부분이라

고 한다.

복소수 a+bi에서 허수 부분의 계수가 0인 것, 즉 b=0인 것이 실수, b≠0이 허수이며, 실수 부분인 a=0인 것

(단 b≠0)을 순허수라고 한다.

복소수 z = a + bi에서 허수 부분인 bi 가 –bi 가 된 수를 켤레복소수(complex conjugate) 라 하며

로 나타낸다

실수를 수직선에 나타낼 수 있는 것과 마찬가지로 복소수는 평면상에 나타낼 수 있다. 흔히 직교 좌표계에서

x축을 실수축을 R(z), y축을 R(z) 으로 둔 좌표계를 복소평면이라 한다.

실수와는 달리 복소수는 순서체가 되지 않는다. 다시 말해 {P, {0}, -P} 가 복소수 집한 C의 분할이 되면서

x,y ∈ P -> x+y, xy ∈ P를 만족하는 집한 P가 존재하지 않는다. 다만 복소수에도 절댓값을 생각할 수는

있다. 좌표평면에서 (x,y) 의 위치 벡터의 크기를 원점에서부터 거리로 √(x² + y²) 로 나타내듯이 z = x + iy

의 복소평면에서 크기, 즉 절대갓ㅈ은 ㅣZㅣ = √(zz) = √(x² + y²) 로 나타낸다.

정수, 유리수, 실수와는 다르게, 임의의 복소수 계수 n차식은 복소수 계수 1차식 n개의 곱으로 인수분해된

다. 따라서 방정식만 고려한다면 복소수를 넘는 수 체계가 반드시 필요한 것은 아니다. 벡터공간이라는 강력

한 대수구조를 복소수 이상으로 활용하고 있다.

허수의 유래는 대수적 필요에 의해 생겨난 것이지만, 복수수를 정의역으로 갖는 함수에 대해 다루는 복소함

수론의 영역으로 들어가면 실수 영역에서는 할 수 없었던 온갖 테크닉을 구사할 수 있게 되어 수학과만이 아

닌 여러 공과계열 학과에서 복소함수론을 배운다. 예를 들면, 복소평면을 잘 이용하면 실수직선상에서는 잘

적분되지 않는 특이적분(improper integral)을 비교적 쉽게 계산할 수 있으며, 라플라스 변환이나 미분방정

식의 풀이에 있어서도 각종 Mapping을 이용하여 풀이를 상당히 단순화할 수 있다.

*드무아브르의 정리(de Moiver’s theroem)

임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 등식을 의미한다.

복소수와 삼각함수간의 관계를 보여준다.

x가 실수라는 가정 하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 cosx, sinx 만을

사용하여 cosnx 와 sinnx을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라 zⁿ = 1 의 복소근을 쉽게 구

할 수 있다.

*복소함수(complex function)

정의역과 공역의 원소가 모두 복소수인 함수를 말한다.

f:C -> C 꼴의 함수이다.

f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) 여기서 u, u:R² -> R 이다.

*오일러의 항등식(Euler’s identity)

e는 자연로그 밑, i는 허수, π는 원주율

출처 :

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%ED%95%AD%EB%93%B1%EC%

8B%9D

여기에 x = π를 대입하면 오일러 항등식을 얻을 수 있다.

(2) State more than 10 things that you know/can/find after you studied this

course. (2) 본 강좌를 학습한 후, 깨우친 것 (알고 있는 것, 알 수 있는 것, 찾을 수 있는 것)

을 10개 이상 기술합니다.

by 백승준

[1주차]

Final[W1 HW][열린문제1] 행렬의 종류(정사각,대각,영,전치행렬)와 주요 성질 - 이*한

finalize by [HW W1] 벡터와 행렬의 실생활 – 전*준

Finalized by. [W1 HW1] 임*섭 행렬, 가우스 소거법, 기약행사다리꼴(Reduce row

echelon form, RREF) - 임*섭

finalize by [W1 HW] 벡터와 행렬 정리 및 가우스 소거법 예제 – 전*준

[Finalize] [W1 HW] 역행렬의 가역판정 – 노*완

[Finalize] [W1 HW] 선형연립방정식 첨가행렬 – 노*완

[Final][W1 HW1] 백승준 open problem 1 ~ 3 - 백*준

Final comment : 선형 대수학에 관련된 내용을 학습하면서 어려웠던 내용 특히 가우스

소거법에 대해서 다양한 사람들과 학습하면서 이해할 수 있었고, Open problem을 풀어

보며 복습하였습니다. 선형연립방정식의 문제를 해결할 수 있는 자신감이 생겼습니다.

[2주차]

[Final]W2 HW1] 백승준, 2.1 의 (선택 optional 인) * 방향각과 방향코사인 (Direction

Angle, Direction Cosine) _ open problem 2 – 백*준

Final [HW2 W2] 2.5 정사영(Orthononal Projection) open problem 5 [최소제곱문제

(least squares problem)] - 백*준

Final comment : 정사영에 대해 공부하며 개념 이해하는 것이 어려웠지만 교수님께서

말씀하셨던 모두의 요구를 다 들어줄 수는 없지만 서로가 만족하는 해를 정사영이라는 개

념을 통해 알 수 있다고 들은 내용이 인상 깊었습니다.

[3주차]

final [W3 HW1- 예습] 벡터함수의 극한과 연속 정의와 예제문제 실습 – 박*수

Final [W3 HW1] 3.8 등위곡선 (Level Curves) open problem 3 – 백*준

Final comment : 1학기에 배운 일변수 함수에 대한 극한이나 연속, 미분 등의 개념이

벡터함수로 확장되고 기하학적으로 어떻게 나타낼 수 있는지 그래프를 직접 볼 수 있어서

신기했습니다.

[4주차]

Finalize[W4 HW]음함수 미분법 예제문제 풀이 ,열린문제 1 <예습> - 신*호

Final comment : 다변수 함수의 편미분과 전미분, 그리고 방향도함수와 편미분의 관계

를 학습하면서 다변수 함수의 변화율에 대해서 알 수 있었습니다. 이를 통해 우리가 회사

에서 여러 가지의 값들 즉 변수들이 변화할 때의 변화율 (변화량, 변화하는 방향)을 계산

하여 다음의 값을 예측도 할 수 있을 것이라 생각합니다.

[5주차]

[Final OK by SGLee] [W5 HW1] 이변수함수의 극대 극소 [열린문제1] - 천*준

[Final OK by TA] final [W5 HW1] 이변수함수의 극대,극소 [Open problem1] - 박*수

[Final OK by TA] Re-Final [W5 HW1] 라그랑주의 승수법 (Method of Lagrange

Mulitpliers) Open problem 2 – 백*준

Final comment : 이변수함수의 극대 극소와 라그랑주의 승수법을 통해 최댓값, 최솟값

을 쉽게 구할 수 있게 되었습니다.

[6주차]

[Final OK by TA] Re [HW W6] 삼중적분의 응용 (Open problem 4) - 백*준

Final comment : 직교좌표를 극좌표로 변환하여 극좌표에서의 이중적분과 곡면의 넓이

를 구할 수 있고, 삼중적분에서도 직육면체 영역에서 연속이면 푸비니 정리가 성립하는

것을 배웠습니다.

[7주차]

[Final OK by SGLee] Re-Finalize [Final OK by TA] [HW W6] 이중적분 및 곡면적 예

제 실습 The Gaussian integral, also known as the Euler–Poisson integral, [열린문

제1] - 백*준

Final comment : 극좌표계에서의 이중적분을 구하며 풀어본 예제가 가우스 적분을 증

명하기 위해 사용된다는 것을 교수님 덕분에 알게 되었습니다.

[8주차]

[HW W7] 구면좌표계(spherical coordinate system)에서의 야코비안(Jacobian)유도 –

백*준

Final comment : 원기둥, 구면 좌표계를 통해 삼중적분의 계산이 훨씬 쉬워진다는 것을

알 수 있었고, 야코비안을 통해 다중적분에서의 변수 변환도 할 수 있었습니다.

[9주차]

[Final OK by SGLee]Re-final 백승준 [Final] [HW W8] 9주차 [열린문제2] 발산정리

(divergence theorem), 발산정리의 의미- 백*준

Final comment : 벡터장이라는 새로운 개념과 이 벡터장의 회전, 발산, 선적분, 면적분

등을 학습하고 그를 통해 그린정리, 스트로크 정리, 발산 정리가 어떻게 증명되는지 배웠

습니다.

By 임경섭

- 교수님의 의미있었던 게시글.

1) 수학의 노벨상 Finally we made it!! 상문고 다니다 ... 시인이 되려고 자퇴하고 ... 쉬다가 ...

검정고시 보고, ...

수학의 노벨상 Finally we made it!! 상문고 다니다 ... 시인이 되려고 자퇴하고 ... 쉬다가 ... 검

정고시 보고, ...

https://www.chosun.com/economy/science/2022/07/05/N6MUCKOLCFGHLGRGORUY5DFVM4/

‘경시대회 포기자’에서 ‘천재수학자’로… “인생도, 수학

도 성급히 결론 내지 마세요”

Great^^. https://horizon.kias.re.kr/21745/

에 비교적 구체적인 연구 내용 설명이 있네요^^

(아래는) 호암상 추천서 일부 for 허준이 박사^^

(2년전에는 Fernholz Visiting Professor 2019.09—present Distinguished Visiting Professor,

IAS and Princeton University.

Visiting Professor 방문 교수였는데 ... 이 추천후 스탠포드 교수 되면서 호암상 받고, 호암상

받고 프린스턴 교수가 되더니 ... 어제 '수학의 노벨상이라고 불리우는 필즈상을 받았네요'^^

)

NOMINATION FOR THE HO-AM PRIZE

AWARD CATEGORY Science SUBCATEGORY : Mathematics

NAME OF CANDIDATE (KOREAN, 한글) : 허준이

(ENGLISH) June Huh

YEAR OF BIRTH 1983

ADDRESS Institute for Advanced Study,

1 Einstein Drive, Princeton NJ 08540

E-MAIL / TELEPHONE ***

2. POSITION OR TITLE : Visiting Professor (IAS and Princeton University)

3. CURRICULUM VITAE PERIOD JOB DESCRIPTION/ACTIVITY

Fernholz Visiting Professor 2019.09—present Distinguished Visiting Professor, IAS and

Princeton University.

Visiting Professor 2017.09–2019.08 Visiting Professor, IAS.

Veblen Fellow 2014.09–2017.08 Research Fellow, IAS and Princeton University.

Clay Research Fellow 2014.09–2019.08 Research Fellow, Clay Mathematics Institute.

4. 추천 근거 (THIS NOMINATION IS BASED ON DISCOVERY, IMPROVEMENT OF, OR

CONTRIBUTION TO) :

June Huh studies discrete objects using geometric methods. An unexpected relation

between combinatorics and algebraic geometry found by the candidate was used in his

proof of Read’s conjecture in graph theory from 1968. In recent works,

he and his collaborators proposed a general framework that treats the objects from the two

seemingly disparate fields in a unified way. This led to proofs of several other

long-standing problems in combinatorics, such as 1971 conjecture of Welsh and 1974

conjecture of Dowling and Wilson. June Huh’s program allows us to study combinatorial

objects using geometric methods, and conversely, geometric objects using combinatorial

methods. His disproof of Demailly’s Hodge conjecture for positive currents, where the

counterexample is obtained by geometrizing a pathological combinatorial structure, is an

application of the second kind. The bridge built between the two primary modes of

reasoning, the discrete and the geometric, will continue to increase our understanding of

mathematical objects.

호암상 수상:

https://www.chosun.com/national/people/2021/04/07/X277MYTG5FHPVH5DX6YYXGA2OU/

https://www.yna.co.kr/view/MYH20220705021600704

[영상] "문제가 안 풀릴땐…" 필즈상 쾌거 허준이 교수의 난제 대처법

07-05 21:25

(서울=연합뉴스) 한국계 수학자인 허준이(39. June Huh) 미국 프린스턴대 교수 겸 한국 고등

과학원(KIAS) 수학부 석학교수가 5일(현지시간) '수학 노벨상' 필즈상의 영예를 안았습니다.

...

39살 젊은 수학자로서 최고의 영예를 안은 그는 뜻밖에 '포기할 줄도 아는 자세'를 언급했습니

다.

수학에서 '난제'라고 하는 것들은 오랫동안 풀리지 않은 그럴만한 이유가 있기 때문에 수학할 때

자신에게 '너무 열심히 하지 말자'라고 되뇌곤 한다는 것입니다.

허 교수는 "우리가 인류 전체로서 아직 그런 종류의 현상을 이해할 준비가 안 된 것도 있고, 혹

은 내가 개인 연구자로서 그 문제를 연구하고 이해하기에 준비가 안 된 때도 있다"고 했습니다.

그렇게 준비가 안 됐을 때 '나는 무슨 일이 있어도 이것을 이를 악물고 해서 5년 이내에 풀어내

겠어'라고 한다면 공부하는 과정이 굉장히 고통스럽다며 "문제를 하나를 정해두고 집착하면 마

음도 힘들고, 마음이 힘들면 발상이 너무 경직된다"고 지적했는데요.

그는 "물론 계속 열심히 안 하는 것은 힘들겠지만, 포기할 때는 놔줄 줄도 알아야 한다"고 조언

했습니다.

...

그에겐 예술가의 피가 흐른다. 한국 근대 조각의 거장 권진규(1922~1973)의 조카 손자다.

지난해 그의 할머니 권경숙(권진규 여동생) 여사가 서울시립미술관에 권 화백의 작품을 기증

해 화제를 모으기도 했다. ( <--- 이 90세 넘으신 할머님이 어제 경기여고보 동창 (저의

점심 친구인 생물과 선배님의 어머님)에게 제 에게 전화하여 손자 자랑을 한껏 하신 분입니

다^^ )그에겐 예술가의 피가 흐른다. 한국 근대 조각의 거장 권진규(1922~1973)의 조카 손

자다.

지난해 그의 할머니 권경숙(권진규 여동생) 여사가 서울시립미술관에 권 화백의 작품을 기증

해 화제를 모으기도 했다. ( <--- 이 90세 넘으신 할머님이 어제 경기여고보 동창 (저의

점심 친구인 생물과 선배님의 어머님)에게 제 에게 전화하여 손자 자랑을 한껏 하신 분입니

다^^)

https://www.chosun.com/national/weekend/2022/01/01/ASP3UHRZTBD3VC7XN3LGQCIS2A/

어린 시절 집 안 구석구석 권진규의 테라코타 조각상이 있었단다. “밤에 화장실 다녀올 때마다

너무 무서웠던 기억이 나요. 집안 어른들이 유명 조각가라고 해서 그런 줄로만 알았는데 제가

좀 컸을 때 스스로 목숨을 끊으셨다는 얘기를 해주셨어요. 막연하게 어른이 되면 사는 게 그만

큼 힘들 수도 있구나 생각했죠.”

...

이 친구는 올림피아드 시험 치루고 과학고에 가볼까 하는 생각에 ... 중 3때 선생님에게 .. 저

도 준비해도 될까요? 했더니 ... 선생님이 '너는 지금해도 가망이 없으니 다른 것을 해라' 고 하

셔서 ...

상문고 다니다 ... 시인이 되려고 자퇴하고 ... 쉬다가 ... 검정고시 보고, 수능으로 서울대 간

신히 입학하여 ... 1학년 성적도 별로 안 좋아서 천문학 하다가 ... 흥미를 잃어서 ... F 를 줄줄

이 달고 ... 6년만에 학부 졸업하고 ...

등 등 ... 사연이 많은 친구인데 ...

고등학교 때 전국의 수학 천재라고 날리던 국제수학올림피아드 금상 수상자

https://www.joongang.co.kr/article/21800117#home 들의 성장에 관심을 두고 있던 ... 우리

올림피아드 위원들에게 한방 먹이고 ...

유학 가서 부터 재능을 발휘하여 ... 두각을 나타내더니 결국 큰 사고(?)를 친 ... 재미있는

친구랍니다^^ 한국 수학은 이날을 전후로 구분 될 것이랍니다. 축하드립니다!!

2) [News] 필즈상 특집 “선다식 문제 빨리 풀기 강요한 중·고 수학교육은 수포자 양산”

[News] 필즈상 특집 “선다식 문제 빨리 풀기 강요한 중·고 수학교육은 수포자 양산”

[이영완이 만난 사람] 한국에서 첫 세계수학자대회 유치했던 박형주 아주대 수학과 석좌교수

https://www.chosun.com/economy/science/2022/07/11/ND4VIJY2BZEQPFAOYICPXK5Q5E/

-하지만 한국 중·고교 수학교육은 수학포기자(수포자)만 양산하고 있다.

“허준이 교수는 고교에서 시간을 갖고 시행착오를 통해 문제를 해결하는 데는 누구보다 재능을 보

였지만, 정해진 시간에 많은 문제를 빨리 푸는 것은 영 시원찮았다고 했다. 이런 학생에게 입시를

위해 1시간에 문항 20개를 실수 없이 풀라고 끊임없이 연습시키면 끔찍할 수밖에 없다.”

-보통 학생과 영재 모두에게 좋은 수학교육은 무엇일까.

“국가교육과정개정추진위원장을 맡고 있어 지금도 고민을 많이 하고 있다. 많은 문제를 선다형으

로 푸는 방식도 일반 학생들에게 반복 학습을 통해 자신감을 줄 수 있지만, 창의성 있는 학생일수

록 반복을 싫어한다. 그런 학생에게는 문제 수를 3분의 1로 줄이고 대신 난이도 높은 서술형으로

주면 된다. 두 가지 방식을 병용하자는 것이다.”

-그래도 누구나 수학은 일단 멀리한다.

“문제 수를 줄이면 학생들이 반복 학습을 좀 덜 해도 된다. 그렇게 하지 못하는 것은 교사들이 변

별력을 높이려고 어려운 문제 몇 개를 많은 문제에 섞어 내기 때문이다. 이러니 아이들이 지긋지

긋해할 수밖에 없다. 이게 수포자 원인의 90%가 된다. 나는 수학은 몇 점 이상 되면 다 만점 받

아도 된다고 생각한다.”

...

“우리는 충분히 시간을 갖고 새로운 Open 문제를 생각하고 풀어봐서 공유하고 ... 우리 강좌의

Goal에 도착한 학생들은 모두 만점을 받아도 된다고 생각합니다.” by SGLee

필즈상 수상자도 수학경시대회에선 본선도 진출 못해 ... 여러분도 가능합니다^^

https://www.hankookilbo.com/News/Read/A2022070717090003129

한국 수학자들에게 '일대 사건'이 일어났습니다. 지난 5일 허준이 미 프린스턴대 교수(고등과학원

석학교수)가 2022년 필즈상을 받은 거죠. 4년에 한 번 2~4명에게 수여하는 수학 분야 최고의 상

으로 만 40세 미만 수학자만 수상한다는 점에서, '노벨상보다 받기 어려운 상'으로 알려졌습니다.

앞서 올해 2월 국제수학연맹(IMU)은 우리나라 수학의 국가 등급을 최고 등급인 5그룹으로 승격했

죠. IMU는 회원국을 1그룹부터 5그룹까지 5단계 등급으로 구분해 총회 때 등급과 같은 수의 투표

권을 부여하는데, 5그룹 국가는 미국, 프랑스, 독일, 일본 등 12개국에 불과합니다. 허 교수의 탁

월한 성과를 감안해도, 한국 수학계가 지난 30년간 괄목할 만한 성장세를 보였다는 점을 고려해도

"테니스 라켓을 열여덟에 잡았는데 스물에 윔블던 대회에서 우승한 것"(미 수학·과학 전문매체 콴

타매거진)이란 비유가 나오는 배경입니다.

Comment : 교수님께서 공유해주신 두 개의 게시글을 통해 현재 우리가 학습하는

방향이 어떠한 의미를 가지는지 다시 생각해보게 되었습니다. 수포자였던 허준이

교수가 한인 최초로 필즈상을 수상한 것처럼 이러한 혁신적인 방법이 수포자를 만

들지않고 수학에 재능있는 사람들을 더 많이 발굴하고 한국의 수학이 한 차원 더

발전 할 수 있다고 생각합니다. 더불어 허준이 교수는 자퇴 후 검정고시로 늦게

대학을 간 것이 저희 20명과 상황이 조금 비슷한 것 같다는 생각도 가지게 되어

서, 저희도 좋은 학습방법을 통해서 더욱 발전하는 계기가 될 것이라 생각합니다.

3) News. 2022년 7월9일 토요일 아침 10시에 열린 수업 제목은 ‘다변수 미분법의 직관적 이해’였

다. https://h21.hani.co.kr/arti/culture/culture_general/52306.html

. . .'직장인 문과생을 위한 수학, 직문수?’ 수업은 수학 문제를 내는 대신 기본 개념을 설명하며

궁금한 점과 불편한 느낌을 묻고 답하며 2시간 넘게 진행된다.

수업은 근대 수학의 출발점인 집합론부터 대수학, 선형대수, 미적분학, 미분기하학, 복소해석학,

통계학이 유기적으로 얽히고설킨 큰 그림을 16주간 초심자 입장에서 볼 수 있게끔 만들어졌다.

“초등학생이나 수학에 대해 모든 것을 잊어버린 어르신도 들을 수 있는 수업을 지향한다. 수학

과 전공생들이 배우는 20세기 초 수학까지 따라갈 수 있게 수업이 설계돼 있다.” 조건희 교수의

설명이다.

“구성원 중에 어느 한 명이 굉장히 뛰어나서가 아니라 완전히 똑같은 얘기를 그냥 서로에게 들려

줬다가 되돌려받는 과정을 반복하다보면 굉장히 신비하게도 원래는 없는 정보량이 굉장히 불어나

어느 순간에 새로운 정보로 문제를 해결할 수 있게 되는 경우가 많습니다.”

-필즈상 수상자 허준이 교수의 언론 및 유튜브 인터뷰(이하 동일)

2022년 7월9일 토요일 아침 10시에 열린 수업 제목은 ‘다변수 미분법의 직관적 이해’였다. “좋은

아침입니다~.” 수강생 30여 명이 채팅방에서 서로 안부를 물었다. 연령대는 초등학생부터 60대까

지 다양했다. 특별한 수학적 배경이 없는 사람이 많았다. 마음에 맞는 수강생들은 따로 모임을 꾸

려 수학을 공부한다. 수업을 듣는 이들은 협업 플랫폼 슬랙(Slack)에 어느 때나 토론할 거리를 올

린다.

수업이 있는 이날은 허준이 한국 고등과학원 석학교수가 한국계 최초로 ‘수학 노벨상’인 필즈상을

받은 지 나흘이 지난 시점이었다. 자연스레 허 교수의 수상 소식과 관련한 이야기가 나왔다.

“학생들이 1학기 기말고사 첫 시험을 봤다. 누구는 시험을 잘 보고 누구는 못 보고 그렇게 수학

의 즐거움이 사라진다. 현장에서는 주입식으로 문제를 반복적으로 학습해야 한다. 괴로움이 있다.

다행히 ... ~~~

“수학은 과감하면서도 정확하고 깨끗하게 생각할 수 있게 해주는 좋은 훈련이에요. 다른 어떤

동물에서도 관찰할 수 없는 놀이의 형태지요.”

“아주 오랜 시간이 지난 다음에는 수학이 직업인 사람들만 느끼는 감동에서 더 많은 사람이 느낄

수 있지 않을까요. 천 년 전 글을 아는 사람도 많지 않았고 시나 소설, 예술 매체를 받아들일 수

있는 사람도 일부였으니까요.”

Comment : 기사의 일부의 글을 발췌한 내용입니다. 위의 내용중 여러 구성원에

게 똑같은 이야기를 들려주어도 굉장히 많은 정보가 늘어나면서 문제가 해결된다

고 언급하며, 수학은 과감하면서 정확하고 깨끗하게 생각하는 훈련이라는 말이있

습니다. 이러한 언급은 토론을 통한 학습과 수학이 기계적으로 문제를 푸는 학문

이아닌 수학적 개념에 집중하고 이를 바탕으로 문제를 해결해나가는 사고를 기르

는 학문이라는 생각을 받게 되었습니다.

By 이주한

■ 구면좌표 변환시 주기함수의 역함수 구간에 대한 질문

직교좌표에서 구면좌표 theta 값 변환시 코드를 다르게 쓰면 약간식 다른 값이 나오는 경우가

있습니다. 확인 부탁드립니다. ^^

이상구(LEE SANGGU)7월 26일 오전 11:40

윤문된 질문과 답 :

질문: [구면좌표의 좌표 변환 관련 질문] by 이*한 (2022) 미적 2 교재의 8장 [예제 7번]

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/ 직교좌표에서 구면좌표 theta 값 변환시 코드를

다르게 쓰면 약간식 다른 값이 나오는 경우가 있습니다. 확인 부탁드립니다. ^^

역탄젠트함수는 치역을 범위에서만 갖는다는 점입니다. 두 번째 식의 경우 으로 계산할 수 있

습니다만 역코사인함수의 치역은 입니다. 이에 대해 네 가지 경우로 정리하면 다음과 같습니

다.

1. , 이면 는 평면의 1사분면 부분의 아래 위, (Octant (+,+,+) 과 (+,+,-)

https://en.wikipedia.org/wiki/Octant_(solid_geometry) )에 위치하고 , 둘 다 가능하다.

(이 경우는 두 코드가 같은 답을 줍니다)

2. 이면 는 평면의 2사분면 부분의 아래 위, (Octant (-,+,+) 과 (-,+,-) )에 위치하고 이다.

만약 역탄젠트함수를 사용하면 이므로 탄젠트함수의 주기인 를 고려해서 로 계산해야 한다.

3. 이면 는 평면의 제 3사분면 부분의 아래 위, (Octant (-,-,+) 과 (-,-,-) )에 위치하고 역탄

젠트함수와 역코사인함수를 직접 사용할 수 없다. 왜냐하면 이기 때문이다. 이런 경우 첫 번

째 방법은 로 계산한다. 두 번째 방법은 라는 사실을 이용하여 로 찾는다. 4. , 이면 는 평면

의 제 4사분면 위에 위치하고 인 경우이다. 이 때는 로 해야 가 되는 정확한 를 구할 수 있

다. 만약 역코사인함수를 사용하면 를 계산한다. 결론: 정확히 하려면 위의 경우에 따라 코딩

을 손 보아서 사용하여야 한다.

■ [토론] 수학을 배우는 이유

우리가 이번 학기에 배울 마지막 내용은 우리가 사는 세상/벡터장 의 물리적 현상을 설

명하는 스토크스 정리이다. 이 물리적 현상을 수학적으로 이해해야만 대포/미사일/인공

위성 을 띄울 수 있고, 전쟁에 져서 식민지에 사는 상황을 피할 수 있다.

그 내용을 잘 이해하기 위해선 다음의 네 가지 정도의 내용에 대해서는 미리 학습해야

좋습니다.

• 벡터장의 선적분

• 벡터장의 면적분

• 그린 정리

• 편미분의 chain rule

여기서 필요한 편미분의 chain rule이다.

보시면 지금 하고 있는 일의 의미를 직관적으로 이해 하실 수 있을 것 입니다.

이상구(LEE SANGGU)7월 7일 오전 7:38

수학은 추상적인것 까지 모두 다루지만 ... 물리는 physical 한 것 즉 보고 만지고 하는 것만 분석

하는 학문 이랍니다. 그런데 눈에 안보이는 physical 한 현상을 생각해 내려면 ... 아! Stokes 정

리 때문에 전자파가 ... 이렇게 움직이므로 ... 이렇게 clean room 을 설치해야하고 ... 이렇게 측

정도구를 만들어야 하겠구나 하고 ... 지금도 수학 이론을 보면서 ... 그런 이론이 우리 주위 어디

에 있나를 찾는 것 에서 새 연구를 시작하는 분야 라고 볼 수 있답니다. ... 융합소재공학과 도 수

학 없이는 어떤 소재도 최선 Optimal, Best possible 의 상태로 융합할 수 없을 것 이랍니다.^^

코멘트 달아보세요.

▶ 이*한(2022******)7월 8일 오전 1:41

학우님들이 다양한 의견을 주셔서 찾아주셔서 제 생각 추가드립니다.

다양한 직업들이의 근본이 수학이라고 하는 것은 수학 문제를 잘 풀어서 성공한 것이 아닌 수학적

사고력에서 발단이 된 것 같습니다. 4차 산업혁명에 접어들면서 최근 데이터 분석가, 소프트웨어

개발자 등등 유망한 직업들이 새롭게 등장하고 있는데, 과연 수학을 잘해야 가질 수 있는 직업일

까?? 라는 생각이 들었습니다. 저의 생각은 "아니다"라고 이야기하고 싶습니다.

코딩을 하고 데이터 분석 프로그램은 단순히 우리 편하게 사용하기 위한 하나의 도구일뿐 문제를

해결하는 과정은 대부분 사고력에서 시작되기 때문입니다.

결론적으로 수학을 잘한다는 것은 단순히 제시된 문제를 단시간에 풀고 좋은 직장을 얻기 위한

수단이 아니라 사고력을 기반으로 문제들에 대한 접근을 잘하는 것 이라고 생각합니다.

■ [토론] 우리는 몇 차원 공간에 살고 있는가?

이*한군의 질문과 토론: 우리는 몇 차원공간에 살고 있는가? 여기에 모두 학생은 의무적으로 <자

신만의 생각/코멘트>를 달아보세요.

교수님 말씀:

개미에게 아무리 "개미 너는 3차원 공간에 살고 있다"고 말해 주어도 개미는 믿지 않을 것이다. 본

인은 2차원 평면에 살고 있다고 철저히 믿는 것이다.

땅에서 나무에 기어 오르다 다시 땅에 떨어지더라도 3차원 공간에서 우리가 "나무에 오르다 높

은 곳에서 떨어지는 개미를 보고 안타까워 하는데도" 개미는 여전히 자신이 2차원 평면에 있다고

믿는다. 3차원 공간에서 열심히 여기 저기 다니는 우리들을 안타깝게 보고있는 고차원 공간에 사

는 누구는 정말 없을까?

https://m.blog.daum.net/board2011/359

우리가 사는 공간이 3차원 이상일까? 90년 전에도 그런 생각을 가진 사람이 있었다

우리가 살고 있는 공간이 3차원보다 더 높은 차원일수도 있다는 생각은 꽤나 오래 되었다. 아인슈

타인의 상대성이론은 시간과 공간을 하나의 좌표로 통일하여 시공간 4차원을 주창했는데, 여기서

는 공간이 여전히 3차원에 머물러 있다. 아인슈타인과 동시대에 살았던 칼루자(Theodor Kaluza)

와 클라인(Oskar Klein)은 시공간이 5차원일 가능성을 제시했었다. 칼루자-클라인 이론에서는 공

간이 3차원이 아니라 4차원이다. 이렇듯 3차원에 부가적으로 덧붙여진 차원을 덧차원(extra

dimension, 부가차원, 초차원, 여분차원)이라고 한다. 칼루자와 클라인이 덧차원을 생각한 이유는

적어도 달걀노른자를 빼내는 것보다는 좀 더 고상했다. 그들은 중력과 전자기력을 5차원 이론으로

통합하려고 했었다. 대략 1919년에서 1926년 사이의 일이다.

▶ 이*한(2022******)6월 22일 오전 10:50

저희는 4차원 시공간에 살고 있다고 생각합니다. 예를들어 3차원적 사고로 '지하철역에서 만나' 4

차원적 사고로는 '지하철역에서 내일 두시에 만나' 로 이야기 할 수 있을 것 같은데, 만나는 시간

이 정해지지 않는다면 두 사람은 같은 공간에 만날 수 없기 때문입니다. (3차원은 공간이며, 4차

원은 시공간)

이상구(LEE SANGGU)6월 23일 오후 12:41

정답은 아마 "우리가 n 차원 공간에 산다고 한다면, 시간 축을 포함한 n+1 차원 공간도 분명 존

재한다" 정도로 이해하시면 될 듯합니다. 이제 토론 정리하시고 다음 3, 4 주차 내용으로 넘어가

지요

■ [토론] What is the dimension of a matrix?

벡터공간 V의 basis 기저란 무엇인가?

1. 벡터공간 V 의 차원.

2. 행렬 A 의 행공간의 차원.

3. Key: Ax=b 의 해공간의 차원은 A의 null space 의 차원. 와 같다.

▶ 이*한(2022******)6월 19일 오후 5:18

위에 내용과 같이벡터공간을 구성하는 각각의 벡터들을 기저(basis)라 합니다 즉, B가 V의 기

저라할때 1. B는 일차독립이며, 2. <B>=V 입니다. 또한 기저(basis) 는 유일하지 않으며, 항

상 동일한 차원을 가진다. 예를들어, 아래 두가지 경우를 보면 차원은 같지만 기저를 구성하

는 벡터는 다르다는 것을 알 수 있습니다

1. a1(1,0,0) + a2(0,1,0) + a3(0,0,1) = (a1, a2, a3)

2. a1(1,0,0) + a2(1,1,0) + a3(0,0,1) = (a1+a2, a2, a3)

■ [토론] 자코비안(Jacobian) 행렬의 기하학적 의미

▶ 이*한(2022******)7월 19일 오후 1:59

자코비안의 활용에 대한 예시를 하나 찾아보았습니다. 자코비안은 인간과 같이 역동적으로 움

직이는(비선형) 로봇들이 인간과의 좌표계를 이어주는 가교와 같은 역할을 한다고 생각합니다.

로봇은 x, y, z라는 명령어로 비선형적인 움직임을 표현하기에는 많은 어려움이 있습니다. 때

문에 직교좌표계를 극좌표계로 변환하여 움직이게 됩니다. ( 직교 좌표는 어느위치로 몇도정도

각도를 올려야하는지? 직관적으로 확인하기 어려움) Q) 7주차에 배웠던 내용중 극좌표로 변환

하여 적분하는 것 또한 자코비안이라고 생각하면 될까요? 자코비안이란 행렬에 국한된 내용인

가요?

http://t-robotics.blogspot.com/2013/12/jacobian.html#.YtY3tXZByUk

이상구(LEE SANGGU)7월 20일 오전 3:25

A) 7주차에 배웠던 내용 중 극좌표로 변환할 때, r 을 곱한것이 기억 나지요, 이 r 이 바로

자코비안 입니나.

■ [토론] 수학을 잘하려면 언어 능력이 좋아야 한다?

-구구단을 외우지 말라고 주장하는데.

“그냥 무턱대고 외우면 안 된다는 것이다. 엄마, 아빠들은 어릴 때 구구단을 외우고 컸다. 그래서

자신의 자녀들에게도 초등학교 들어가기 전에 구구단을 암기하도록 시킨다. ‘우리 애는 6살인데 9

단까지 끝냈어요’라며 자랑하는 부모도 봤다. 심한 말일지 모르지만 이건 자녀를 바보로 만드는

지름길이다.”

-구구단을 외우면 바보가 된다?

“3 곱하기 9를 물으면 초등학생들은 쉽게 27이라고 답한다. 그런데 이렇게 기계적으로 외우면 안

된다. 수학 식을 봤을 때 이 식이 무엇을 물어보는지, 어떻게 접근해야 하는지를 우선 생각할 줄

알아야 한다.”

-무슨 말인가.

“수학을 외우는 게 아니라 시각화해야 한다는 것이다. 곱셈은 직사각형을 만드는 게 중요하다.

3×9의 경우 사과 9개가 나란히 3줄씩 있는 사각형 형태를 떠올려야 한다.

수학은 만물의 이치를 숫자와 기호만으로 간결하게 표현하다 보니 추상화가 많이 이뤄진다.

언어에 있어서 가장 추상화된 게 바로 시다. 시를 잘 쓰는 사람은 머릿속에 이미지가 풍부하

게 떠오르는 사람이다. 그걸 압축해 정제된 단어로 뱉어내는 거다.

수학과 시 모두 ‘추상화’라는 능력이 요구되는 셈이다. 허준이 교수가 시를 쓰려고 한 것도

학교 수학교육으론 그런 추상화가 잘 안 되니 시를 통해 그 욕구를 풀려고 한 것이다.”

▶ 이*한(2022******)7월 25일 오전 8:34

수학에서의 추상화란 수식에 대해 하나하나 의미를 생각하고 식 전체의 의미를 찾아간다는 것

이라고 생각합니다. 중, 고등학교때 공식을 달달 외워서 문제를 푸는 것 또한 구구단을 외우

는 것과 동일한 메커니즘으로 배웠던 것 같습니다..

■ [토론] 라면 국물 개발의 수학의 활용

여러분이 배우는 수학은 이런데도 사용된답니다

[PCA를 활용한 라면맛 평가] <-- 각 라면에 대하여 면발, 라면 그릇의 모양(크기), 국물맛에 대한

점수가 있다고 한다면, 3개의 변수(면, 그릇, 국물)를 가지고 PCA 분석 (맛에 대한 종합점수 구하

기)을 할 수 있습니다.

▶ 이*한(2022******)8월 4일 오후 1:57

다양한 인자들이 모여 만들어 진 사물을 볼 때 각각에 인자에 대해서 분류하고 영향성에 대해

서 수치화하는 작업을 했었는데, 이렇게 고유벡터에대 수식적으로 일반화된 것과 음식에 대해

서도 가능하다는 것이 신기하네요.

■ [질문] 보존장 (Conservative Vector forld) 질문 (by. 임*섭)

안녕하세요 소재부품융합공학과 임경섭입니다.

PBL보고서 작성을 하면서 보존장에 대해서 궁금한 내용이 있어서 문의 드립니다.

선적분의 성질에서 선적분은 적분경로와 시작점, 끝점에 종속되어 있는데 이때 벡터장F가 보존장

일 경우에 경로에 대해서 독립적이 되면서 선적분계산이 편리해지게 되는데

교재에 F가 보존장일 경우에 회전curlF=0 이 된다고 설명이 되어있는데이 부분이 잘이해가 되지

않습니다…보존장일때 회전이 왜 0이 나오는지가 궁금합니다.

이상구(LEE SANGGU)8월 6일 오후 7:15

보존벡터장(conservative vector forld)은 스칼라장의 그래디언트로 나타낼 수 있는 벡터장이

다. 즉, 모든 점에서 회전이 영벡터인 벡터장이다. 예를 들어, 중력장은 보존벡터장이다. 중력

은 보존력이고 보존력은 보존벡터장을 이루기 때문이다. 벡터장 F가 열린연결집합 D위에서

연속일 때 TFAE (모두 동치) 1. D위의 모든 폐곡선에 대한 회전도가 0 , 즉 Curl 이 영. 2.

D위의 임의의 경로에 독립 3. D위에서 F는 보존적이다.즉 conservative 가 필요충분 조건입

니다. 내가 설명한 내용 이

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?blogId=cindyvelyn&logNo=221831194563&ca

tegoryNo=34&proxyReferer= 에 답이 있습니다.

▶ 이*한(2022******)8월 8일 오후 9:00

첨부해주신 자료 잘 봤습니다. 9주차에 학습하였던 보존벡터장(conservative vector forld)에

대해서 다시한번 공부할 수 있었습니다. 어떠한 벡터장이 보전벡터장이면 아래와 같은 성질이

항상 성립합니다.

1. 벡터장의 화전(curl)이 0이다.

2. 단순 닫힌 폐곡선에 대한 선적분의 값은 0이다.

3. 선적분의 기본정리가 성립한다.

4. 경로에 무관하다.

5. 벡터장을 스칼라의 그래디언트로 나타낼 수 있다.

■ [토론] 복소평면 차원 확장

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

교수님, 첨부해주신 자료 잘봤습니다. 사원수 관련해서 내용 정리하여 공유드립니다.

comment

복소평면에서 의문이 들어서 확장한 차원에 대해 고민하다 사원수까지 학습을 하게 되었

습니다.

공부하면서도 너무나 생소하고 어려운 내용이었습니다. 그러나 개념을 하나 하나 생각을

하고 의미를 생각을 해보니 이해가 되었습니다.

수학의 기본적인 개념들을 확장하여 또 한가지의 새로운 개념을 만들어내어 단점을 보안하

는 것을 보고 문제를 푸는 것이 중요한 것이 아니라

"해결" 하기 위해 생각하는 방식의 중요성을 다시 한번 느낄 수 있었습니다.

Q) 팔원수는 단순히 수학적 표현이 가능한 것이지 실생활에 사용할 수 있는 분야는 없다

고 생각을 해도되나요? (혹시나해서 찾아봤는데 없더라구요..)

사원수에서 3차원의 벡터곱을 유도해 낼 수 있는 것과 같이 팔원수의서 7차원의 벡터

곱을 유도할 수 있을텐데 우리가 볼 수 있는 세상은 3차원뿐이니....

사원수를 왜 사용하는지에 대해서 공부를 하다보니 항공기나 드론의 기울임 또 는 회전을

나타낼 때 사용하는 오일러각(Euler Angles)에 대해서 알게 되었으며,

오일러각 시스템상 피할 수 없는 문제점인 "짐벌락" 현상이 있음을 알 수 있었습니다. 짐벌

락이란 어느 한 축의 겹치는 구간이 있어 회전이 다른 축에 영향을 주는 것입니다.

이러한 단점을 해결하기 위해 탄생한 것이 "사원수" 입니다.

사원수란? 4차원 복소수 공간 (complex space) 벡터이며 3차원 그래픽에서 회전을 표현할

때, 행렬 대신 사용

하는 수학적 개념으로 4개의 값으로 이루어진 복소수체계입니다. 사원수는 1, i, j, k라는

네 개의 선형독립인 기저벡터로 4차원 공간을 나타낸다.

※ 사원수의 특징

• 짐벌락이 발생하지 않는다.

• 행렬보다 점유 메모리 영역이 작고 계산 부하도 낮다.

• x, y, z 축에 국한되지 않는 임의의 회전축에서의 회전을 손쉽게 할 수 있다.

• 회전을 간단히 합성할 수 있고 오차도 쉽게 발생하지 않는다.

• 두 개 회전사이의 매끄러운 보간을 표현할 수 있다.

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

10주차 복소평면을 학습하던 중 복소수는 3차원으로 표현할 수 없는지 궁금하여 다른 글을

인용하여 찾아보았습니다.

수학을 처음배웠을때 다양한 덧셈, 분배, 결합 법칙 등등 기본적인 법칙들이 성립해야하는

데 삼원수(3차원)에서는 이러한 법칙을 지키게 되면,

아래와 같이 삼원수의 양변이 같기 위해서는 r^2 = -1이 되어야 하는데, r을 실수로 가정

한 것이 모순이 발생하기 때문에 삼차원으로 확장은 성립하지 않음을 알 수 있었습니다.

또한, 무언가를 증명하기 위해서는 아래와 같은 규칙을 항상 염두하고 증명을 해야 좋은 결

과를 얻을 수 있음 알 수 있었습니다.

※ 수학자들이 새로운 세계를 만들 때 성공하기 위한 몇 가지 조건

1. 세계관의 확장이 기존 시스템에 문제를 만들지 않을 것

2. 새로운 검증을 할 경우 기존의 규칙은 잘맞을 것

3. 확장을 하더라도 단순할 것

4. 확장을 통해 파생되는 결과가 많을 것

추가로. 복소수가 2차원에서의 회전변환과 확대변환을 표현하다는 것에 집중하여 3차원에서

의 회전 변환을 나타내는 수 체계를 찾아보았습니다.

▶ 사원수는 실수와 복소수에서는 우리가 생각하는 왠만한 성질들은 성립하면서 , 교환법칙

이 성립하지 않는 수의 체계이다.

[출처 : 다양한 수학세계] https://pkjung.tistory.com/110

[출처 : 사원수의 활용] http://www.claimcare.co.kr/bbs/sub0503/14549

※ 복소평면의 삼원수 확장 (불가)

By 박준수

var ('r, t')

4*integral (integral (r, r, 0, sin(4 * t)), t, -pi/6, pi/6)

7. 삼중적분에 대해 학습하고 Open problem 4를 풀 수 있게 되었습니다.

var('x, y, z')

a= integral(integral(integral(z, z, 0, sqrt(9-y^2)), y, x, 3), x, 0, 3) #삼중적분

b= integral(integral((9-y^2)/2, y, x, 3), x,0,3) #이중적분

c= integral((x^3-27*x+54)/6, x, 0, 3) # 적분

print(a)

print(b)

print(c)

8. 구면좌표계와 직교좌표계에 대해 학습하고 열린문제1을 풀 수 있게 되었습니다.

rho, theta, phi = 4, pi/2, 2*pi/3

rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi)

T = Spherical ( 'radius', ['azimuth', 'inclination'] )

T.transform( radius = 4, azimuth = pi/2, inclination = 2*pi/3 )

9. 발산 정리에대해 학습하고 열린문제2를 풀 수 있게 되었습니다.

var('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([2*x^2*y, -y^2, 4*x*z^2])

F.div([x, y, z])

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 4*x*y + 8*x*z - 2*y

integral ( integral ( integral (f, z, 0, sqrt(9-y^2)), y, 0, 3), x, 0, 2 )

10 복소수와 복소함수에 대해 학습하고 열린문제1을 풀 수 있게 되었습니다

z1 = 2 + 3*I; z2 = 3 - 2*I; z3 = 1 + I

print ( 'z1 + z2 : ', z1 + z2)

print ( 'z2 + z1 : ', z2 + z1)

print ( 'z1 * z2 : ', z1*z2 )

print ( 'z2 * z1 : ', z2*z1 )

print ( 'z1 + (z2 + z3) : ', z1 + (z2 + z3) )

print ( '(z1 + z2) + z3 : ', (z1 + z2) + z3 )

print ( 'z1(z2 * z3) : ', z1*(z2*z3) )

print ( '(z1 * z2)z3 : ', (z1*z2)*z3 )

print ( 'z1(z2 + z3) : ', z1*(z2+z3) )

print ( 'z1*z2 + z1*z3) : ', z1*z2+z1*z3 )

100

z1 = 2 + 3*I; z2 = 3 - 2*I; z3 = 1 + I

r1 = abs ( z1 ) # 절댓값

r2 = abs ( z2 )

r3 = abs ( z3 )

x1 = real_part ( z1 )

x2 = real_part ( z2 )

x3 = real_part ( z3 ) # 실수부분

y1 = imag_part ( z1 )

y2 = imag_part ( z2 )

y3 = imag_part ( z3 ) # 허수부분

t1 = arctan ( x1/y1 )

t2 = arctan ( x2/y2 )

t3 = arctan ( x3/y3 )# 편각

print ( "r1 =", r1 )

print ( "r2 =", r2 )

print ( "r3 =", r3 )

print ( "arg(z1) =", t1 )

print ( "arg(z2) =", t2 )

print ( "arg(z3) =", t3 )

43. 직사각형 영역에서의 이중적분(Double Integral in Rectangle Region) by 김태환, 노영규

이변수 함수 z = f(x, y)가 정의역이 xy평면에서의 폐(closed) 직사각형 영역 R = [a, b] X [c, d]이고, 양수

값을 갖는다고 하자.

R위와 이변수 함수 f(x, y) ≥ 0 아래에 있는 입체의 부피를 구하기 위하여 폐구간 [a, b]를 m개의 작은 구

간 [xi-1, xi] (i=1, ... , m), [c, d]를 n개의 작은 구간 [yj-1, yj] (j = 1, ..., n)으로 등분하면 R은 mn개의 작

은 직사각형 영역으로 분할된다. 이제 Rij = [xi-1, xi] X [yj-1, yj] 의 면적을 △A라 하고 Rij상의 임의의 한

점을 (xi, yj) 라 하면 이중 리만합은 다음과 같이 정의된다.

101

여기서 m과 n이 커짐에 따라 이중 리만합은 폐직사각형 R위에서 이변수함수 z = f(x, y) ≥ 0 아래에 놓인

입체의 부피에 근접한다. 그러므로

는 이중적분의 값의 근삿값으로 이용된다.

극한을 이용하여 부피를 다음과 같이 정의한다.

만약 이변수 함수 f의 부호에 상관없이 극한이 존재하면 이 극한값을 영역 R에서 f의 이중적분(double

integral)이라 하고 다음과 같이 정의한다.

즉, f(x, y) ≥ 0 이면 직사각형 R의 위와 곡면 z = f(x, y) 아래에 놓인 입체의 부피 V는 아래와 같다.

102

46. 푸비니 정리

함수가 연속이면 적분의 순서를 자유롭게 바꿀 수 있다. 이 내용은 QnA에 제가 자세히 명시했음으로 Ch.1 -

(2) 부분에서 자세히 언급하겠습니다.

47. 일반영역에서의 이중적분(Double Integral over General Region)

만약 아래 그림과 같이 정의역 D가 직사각형 모양이 아닌 일반영역일 때,

함수 f를 적분하는 문제를 다룬다. 여기서 영역 D는 직사각형 영역 R로 둘러싸인 유계(bounded)인 영역이

다. 정의역 R을 갖는 새로운 함수 F(x, y)를 아래와 같이 정의한다.

새 함수 F가 영역 R에서 적분가능하면, D에서 f의 이중적분을 아래와 같이 구할 수 있다.

(단, F는 위 식으로부터 정의된다)

48. 이중적분에서 적분 순서의 결정

함수 f(x, y) 가 D = {(x, y)ㅣa≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}에서 연속함수이면 아래와 같다.

103

또한 f(x,y)가 D = {(x,y)ㅣh1(y)≤x≤h2(y), c≤y≤d}에서 연속이면 아래처럼 된다.

예제문제에서

104

위 그래프의 xy평면상에 그려진 영역이 직선 y=2x 와 포물선 y=x^2에 의해 둘러쌓인(enclosed)영역이다. 영

역 D의 범위를 구하기 위해 직선 y=2x 와 포물선 y=x^2의 교점을 구하면 (2,4), (0,0)이다. 영역 D의 아래쪽

이 포물선이고 위쪽이 직선인 영역이므로 아래와 같다.

영역 D위에 있는 포물선 z = 4x + y^2 까지의 부피는 이중적분으로 나타낼 수 있다.

49. 적분순서의 변경

영역 D = {(x, y)ㅣa≤x≤b, c(x)≤y≤d(x)} = {(x, y)ㅣa(y)≤x≤b(y), c≤y≤d} 로 주어졌을 때 함수 f(x,y)의

적분은 푸비니(Fubini)정리에 의하여

105

50. 일반영역에서 이중적분의 성질

일반 영역 D가 두 개의 영역 D1, D2로 나누어졌다고 면 D = D1 ∪ D2 이고 D1 ∩ D2 = ø(서로 겹쳐지는

곳이 없다)이다. 이때 영역 D에서의 이중 적분은 영역 D1상에서의 이중적분과 D2상에서의 이중적분으로 나누

어 쓸 수 있다.

106

51. 극좌표계에서의 이중적분(Double integral in Polar Coordinate System)

아래 그림과 같은 극 직사각형(polar rectangle) R = {(r,θ)ㅣa≤r≤b, α≤θ≤β}을 정의역으로 하는 함수 f가

R에서 연속이고 0≤β-α≤2π 일 때, 다음이 성립한다.

107

3엽 장미(3-level rose) r=cos3θ를 입력하고, 구간을 t=[0,pi]로 하고, 시간 t를 선택하여 시간 t가 변함에 따

라 그래프가 그려지는 모습을 확인할 수 있다.

실습 출처 : http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html

극 곡선 (Polar Curve)에 의하여 닫힌 영역은 다음과 같다.

108

3엽장미(3-leaved rose)이므로 총 3개의 면적을 갖는 영역이 존재한다.(그래프를 그려보면 θ가 -π/6부터 π

/6까지 일 때 만드는 하나의 영역 면적을 구하여 3배를 하면 된다.)

52. 곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이)

함수 z = f(x,y), (x,y)∈D 인 곡면의 넓이(Surface Area, 곡면적 표면적)는 fx와 fy가 연속(countinous) 일

때, 다음과 같이 계산된다.

그림에서 보듯이 곡면상의 임의의 점에서 각 편도함수에 의해 만들어진 곡선의 접선벡터를 각각 a, b라 하면,

두 벡터에 의해서 만들어진 평행사변형에 수직인 벡터가

109

이기 때문에 따라서 평행사변형의 넓이는 △A = △x△y 이다.

53. 삼중 적분(Triple Integral)

직육면체 B = {(x,y,z)ㅣa≤x≤b, c≤y≤d, r≤z≤s}를 작은 직육면체로 쪼개어 Bijk = [xi-1 –xi] × [yj-1 –yj]

× [zk-1 –zk] 로 나타내면 각 부분 직육면체의 부피는 ▽V = △x△y△z 이다. Bijk 내에서 표본점(xijk*,

yijk*, zijk*)을 택하면 삼중(triple) 리만합(Riemann sum) 은 다음과 같다.

54. 삼중적분에 대한 푸비니(Fubini) 정리

삼중적분에 대해서도 앞서배운 푸비니의 정리가 성립하여 dxdy를 dydx로 바꾸어 더욱 쉽게 계산할 수 있다.

55. 일반적인 영역 E 위에서 삼중적분

입체 영역 E가 x, y 에 대한 두 연속함수의 그래프 사이에 놓여 있을 때 유형 1(type 1) 인 영역이라고 한

다. E = { (x,y,z)ㅣ(x,y)∈D, u1(x,y)≤z≤u2(x,y)} 일 때 아래처럼 된다.

110

D는 x,y 평면 위로 E의 사영(projection)이다. x,y평면 위로 E의 사영 D가 유형1(type 1)인 평면 영역이면

다음과 같다.

E = { (x, y, z)ㅣa≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x), u1(x, y)≤z≤u2(x, y) } 일 때 아래가 된다.

만약 D가 유형2(type 2) 인 평면 영역이면

E = { (x, y, z)ㅣc≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y), u1(x, y)≤z≤u2(x, y) } 일 때 아래와 같다.

111

56. 삼중적분의 응용

E 에 있는 모든 점에 대해 f(x, y, z) = 1 인 경우 삼중적분은 E의 부피(Volume) 이다.

예를 들어 유형1(type 1) 영역의 경우, E = { (x, y, z)ㅣ(x, y)∈D, u1(x, y)≤z≤u2(x, y) } 일 때 아래와 같

다.

곡면 z = u1(x, y) 와 z = u2(x, y) 사이에 놓인 입체의 부피(Volume)다.

57. 원기둥 좌표계(Cylindrical Coordinates)

앞서 평면 위의 점을 거리와 각도를 사용하여 나타내는 극좌표(polar coordinate) 에 대하여 학습하였다.

직교좌표(x, y)와 극좌표(r, θ) 의 관계는 다음과 같다.

112

극좌표를 3차원 공간으로 확장해보면 원기둥 좌표계(cylindrical coordinate system)는 3차원 공간의 점

P(x, y, z)를 순서쌍 (r, θ, z)로 나타낸다. 여기서 z좌표는 그대로 두고 x, y좌표를 극좌표 r과 θ로 변경한다.

따라서 직교좌표(x, y, z)와 원기둥좌표 (r, θ, z)의 관계는 다음과 같다.

※ 원기둥 좌표를 직교좌표로 변환하는 T.transform 명령어를 사용해도 된다.

※ plot3d 명령어에 transformation = S를 포함시키고, 변수의 범위를 r과 θ의 순서대로 적절히 부여하여

그리면 된다.

58. 원기둥 좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Cylindrical Coordinates)

113

함수 f가 연속이고, 적분영역이 E = { (x, y, z)ㅣ(x, y)∈D, u1(x, y)≤z≤u2(x, y) } 라고 하면 여기서 D는

영역 E를 xy평면 위로 내린 정사영(Projection)으로 D={(r,θ)ㅣα≤θ≤β, h1(θ)≤r≤h2(θ)같이 극좌표로 표현

할 수 있다.

여기서 E에서 z는 그대로 두고, x=rcosθ, y=rsinθ 로 치환해서 다시 쓰면

E = {(r, θ, z)ㅣh1(θ)≤r≤h2(θ), α≤θ≤β, u1(rcosθ, rsinθ)≤z≤u2(rcosθ, rsinθ)} 이 된다.

그러면 아래 그림과 같이 dV = rdrdθdz 로 표현되므로 영역 E에서 함수 f의 삼중적분은 다음과 같다.

59. 구면좌표계(Spherical Coordinates)

극좌표의 아이디어를 3차원 공간으로 확장하는 두 번째 방법은 구면좌표계(spherical coordinate system)

이다.

구면좌표계는 3차원 공간의 점 P(x,y,z)를 순서쌍 (ρ,θ,ø) 로 나타낸다. 아래 그림과 같이 ρ = llOPll 는 원점

에서 P 까지의 거리이고, θ는 원기둥 좌표에서와 같은 각이며, ø는 z축의 양의 방향과 선분 OP 사이의 각이

다. 따라서 직교좌표 (x,y,z)와 구면좌표(ρ,θ,ø) 의 관계는 다음과 같다. 이 때 ρ≥0 이고 0≤ø≤∏ 이다.

※ 구면좌표를 직교좌표로 변환하는 T.transform 명령어를 사용해도 된다.

114

● 방정식이 구면좌표계로 표현된 곡면의 예시들, 여기서 C는 상수이다. 구면좌표계는 (ρ,θ,ø)를 C가 상수가

되는 여부에 따라 주로 구나 뿔과 관련된 영역을 나태난다.

115

※ 명령어로는 S = Spherical(‘inclination’, [‘radius’, ‘azimuth’])를 사용, 그리고 plot3d 명령어에

transformation = S를 포함시키고, 변수의 변위를 ρ와 θ의 순서대로 적절히 부여하여 그리면 된다.

z축의 양의 방향과 이루는 각은 ⏀ = ∏/4 로 고정된 채로 ρ와 θ는 장롭게 움직이므로 곡면은 위와 같은 원

뿔이 된다.

60. 구면좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Spherical Coordinates)

이제 구면좌표계에서의 삼중적분을 계산해보자. 먼저 구면좌표계에서 다음과 같은 구면 쐐기(spherical

wedge)는 직교좌표계에서 직육면체에 해당한다.

여기서 a≥0, β-α≤2π, d-c≤π 이다.

dV = (ρsinødθ)(dρ)(ρdø) = ρ²sinødρdødθ 의 관계가 성립한다. 따라서

① 영역 E = {(ρ,θ,ø)ㅣa≤ρ≤b, α≤θ≤β, c≤ø≤d}에서 함수 f의 삼중적분은 아래와 같이 계산된

다.

② 영역 E = {(ρ,ø,θ)ㅣF1(ø,θ)≤ρ≤F2(ø,θ), h1(θ)≤ø≤h2(θ), α≤θ≤β}에서 함수 f의 삼중적분은 다

음과 같이 계산된다.

③ 영역 E = { (ρ,θ,ø)ㅣg1(θ,ø)≤ρ≤g2(θ,ø), α≤θ≤β, c≤ø≤d}에서 함수 f의 삼중적분은 다음과

같다.

116

61. 다중적분에서의 변수변환(Change of Variables in Multiple Integrals)

이중적분에서 적분 영역이 극좌표로 표현되는 경우, rθ평면에서 xy 평면으로의 변환(transformation) T로

T(r,θ) = (x,y), x = rcosθ, y = rsinθ 이렇게 주어진 변수변환을 이용하여 다음과 같이 이중적분을 계산한

다.

이때 적분영역과 dA는 다음과 같이 변화되었다.

xy평면에서의 이중적분이 rθ 평면에서의 이중적분으로 변경될 때, 넓이 dA는 dxdy에서 rdrdθ로 변경되었다.

여기서 r은 넓이(부피)의 변화율을 나타내는 것으로 이후에 학습하는 야코비안(jacobian)의 절댓값으로 정의

한다.

여기서 좀더 일반적인 uv 평면에서 xy 평면으로의 변환 T

T(u,v) = (x,y), x = g(u,v), y = h(u,v)를 생각해보면 g,h는 연속인 1계 편도함수를 갖는다. 이때의 변환 T

를 C¹ 변환(C² transformation) 이라 하며, 앞으로 T는 항상 C¹ 변환이라고 가정한다. 변환 T는 정의역과 치

역이 모두 R²의 부분집합인 함수이다.

(u1,v1) 이 T에 의해 (x1,y1) 에 대응될 때, 즉 T(u1,v1) = (x1,y1) 일 때, 점(x1,y1)을 (u1,v1) 의 상(image)

이라고 한다. 그리고 uv평면의 영역 S가 T에 의해 xy평면의 영역 R로 변환되면, 즉 T가 S안의 모든 점들의

상으로 구성된 xy평면 안의 영역 R로 변환되면, R을 S의 상(image) 이라 한다.

만일 S안의 어떤 두 점도 같은 상(image)을 갖지 않으면 T는 일대일 변환(one-to-one transformation)이

다. T가 일대일 변환이면 xy평면에서 uv평면으로의 역변환(inverse transformation) T^-1가 존재한다. 즉

아래와 같이 표현할 수 있다.

117

교재에 실린 예제 문제를 살펴보면

x = v/6u, y=2u 로 정의된 변환 T는 C¹ 변환이므로 위의 그림과 같이 uv평면의 영역 S는 xy평면의 영역 R

로 매끄럽게 이동된다. 영역의 내부는 영역의 내부로 옮겨지게 되므로 경계(boundary) 부분만 살펴본다.

이들을 각각 매개변수로 하여 xy평면에 그리면 다음과 같이 네 개의 곡선으로 닫혀있음을 알 수 있다.

62. 야코비안(jacobian)

카를 구스타프 야코프 야코비가 고안한 좌표계 변환법으로, 다중적분을 할 때 미분소 dA, dV, dS 등을 같

은 차원의 좌표계로 변환하는 데에 쓰는 행렬식이다.

예를 들어, 면적분의 좌표계를 바꾸기 위해 (x,y)로 표현되는 좌표를(r,θ)로 바꿔줄 때 야코비안을 활용한다.

dA = dxdy = ㅣJㅣdrdθ = rdrθ 로 바꿔주어 적분한다.

118

이와 같이 중적분의 변수변환에서는 야코비안(Jacobian)을 이용하여 넓이의 변화율을 곱하여 적분하면 된다.

63. 벡터장

유클리드 공간의 각 점에 벡터를 대응시킨 것이다. 이는 물리학에서 유체의 흐름이나 중력장 등의 각 점에서

의 크기와 방향을 나타내기 위해 사용된다. 벡터장은 다양체 위의 접다발의 단면으로 정의된다. 이는 텐서장

의 특수한 경우이다.

출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0%EC%9E%A5

유클리드 공간 Rⁿ에서 벡터장은 F : A ⊂ Rⁿ -> Rⁿ 으로 정의되는 사상으로써 정의역 A의 모든 원소 x에

벡터 F(x)를 대응시킨다. 만약 n=3이라면 벡터장 F(x,y,z) = (F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z)) 으로 나타낼 수

있으며 이 때 F1, F2, F3는 성분 스칼라장이라고 한다. n≠3 일 때도 비슷한 방식으로 n개의 성분 스칼라장

을 가지게 된다. 만약 모든 성분이 스칼라장 C^k 함수라면 벡터장 F는 C^k 계급에 속한다.

64. 회전(Curl)

벡터장 내에서 임의의 한 점 의 매우 작은 공간이 주변의 벡터로 인해 발생하는 회전 정도를 측정하는 연산

자, 임의의 점 (x,y)에서 벡터장이 향하는 정규화 시킨 수직 방향으로의 변화를 확인한 것 이라고도 한다.

출처 : https://angeloyeo.github.io/2019/08/25/curl.html

119

위처럼 와류가 있는 강물에 particle을 띄우게 되면 발생하는 움직임이다.

강물의 모든 포인트의 회전력을 수치로 나타낸 것 이다. 빨간색은 양수, 파란색은 음수이며, 초록색은 0에

가까운 회전력을 가지는 영역이다.

회전의 연산에 관하여 다음이 성립한다. 여기서 F와 G는 각각 미분가능한 벡터장이고, f는 연속인 편도함수를

갖는다.

120

65. 발산(Divergence)

벡터장이 정의된 공간의 한 점에서의 장이 퍼져 나오는지, 아니면 모여서 없어지는지의 정도를 측정하는 연

산자이다. 부피에 비해 작은 영역의 표면을 지나는 벡터장의 순흐름이다. 닫힌 평면의 면적분은 밖으로 빠져

나오는 벡터 플럭스(flux) 의 합을 나타낸다.

여기서 V는 R³에서 점 p를 포함하는 임의의 부피가 되고, S(V)는 주어진 부피의 표면적이 된다.

발산의 연산에 관하여 F와 G는 각각 미분가능한 벡터장이고, f는 연속인 편도함수를 갖는다.

벡터장 F의 회전도 벡터장이므로 회전의 발산을 구할 수 있다. 아래 정리는 curl F의 발산이 0임을 보여준

다.

66. 선적분(Line Integral)

미적분학에서 선적분과 직선 위의 정적분을 곡선위의 적분까지 일반화한 개념이다. 두 종류의 선적분이 존재

121

하며, 하나는 스칼라 장, 하나는 벡터 장에 대한 것이다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질

량을 구하는 문제와 같으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 역장이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을

구하는 문제와 같다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적분은(스

칼라 장을 이루는) 접성분의 선적분과 같다.

출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%EC%A0%81%EB%B6%84

곡선 위에 정의된 함수의 선적분은 리만 합을 사용하여 정의하거나, 곡선을 매개화한 뒤 정적분을 사용하여

정의할 수 있다. 이 경우, 선적분은 곡선의 재매개화 아래 불변이다.

■ 스칼라 장의 경우

스칼라장 f:Rⁿ -> R의 곡선 γ:[a,b]->Rⁿ 위의 선적분은 다음과 같다.

특히, 곡선 γ([a,b]) 의 길이는 다음과 같다.

▶ 스칼라장 선적분 과정

■ 벡터 장의 경우

벡터장 F:Rⁿ -> Rⁿ의 곡선 γ:{a,b}->Rⁿ 위의 선적분은 다음과 같다.

▶ 벡터장의 선적분 과정

122

67. 그린 정리(Green’s Theorem)

평면 영역 위의 이중 적분과, 그 역역의 경계선 위의 선적분 사이의 관계에 대한 정리

연속 미분 가능 함수 (P,Q):D ->R² 의 정의역 D⊆R² 가 어떤 유계 영역의 폐포라고 하자. 또한, 경계선 δD

가 양의 방향을 가지며, 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌 곡선들로 이루어졌다고 하자 그렇다면, 다음

이 성립하며, 이를 그린정리하고 한다.

만약 D가 단일 연결 공간이라면, δD는 하나의 단순 닫힌곡선이며, 그 방향은 반시계 방향이다. 만약 D가 단

일 연결 공간이 아니라면, δD는 여러개의 단순 닫힌곡선이며, 가장 바깥쪽의 하나는 반시계 방향, 남은 곡선

들은 시계 방향이다. 그린정리는 곡면 위의 면적분과 그 경계선 위의 선적분의 관계에 대한 정리인 캘빈-스

토크스 정리의 특수한 경우이다.

※ 캘빈스트로크 정리 : 매끄러운 다양체 위의 미분 형식의 적분에 관한 정리, 이에 따라 미분 형식의 외미분

을 다양체에 적분한 값은 그 미분 형식을 다양체의 경계에 대하여 적분한 값과 같다. 벡터 미적분학의 몇몇

정리를 일반화한 것이다.

예를 들어 평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다면 F(x,y) = (x-y)i + xj 적분영역 D는 원점

을 중심으로 반지름이 1인 단위원이다.

r(t) = (cost)i + (sint)j 이 벡터 함수에 대해 그린정리는 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확

인한다. 우변과 좌변을 비교해보면 먼저 벡터함수의 편미분들을 계산한다

마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

123

이제 좌변에서 생각해보면 원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.

F1 = cost – sint, F2 = cost 여기서 선적분에 필요한 연쇄법칙(체인 룰)을 계산한다.

dx = d(cost) = -sintdt,, dy = d(sint) = costdt 반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.

좌변과 우변이 같음을 알 수 있다.

68. 스토크스 정리(Stokes’ Theorem)

매끄러운 다양체 위의 미분형식의 적분에 관한 정리, 이에 따라 미분 형식의 외미분을 다양체에 적분한 값

은, 그 미분 형식을 다양체의 경계에 대하여 적분한 값과 같다.

미적분학의 기본 정리는 구간 [a,b]위의 함수 f의 적분은 f의 부정적분인 F를 찾는 것으로 계산 할 수 있다

는 정리이다.

◎ dF/dx = f(x) 로 F가 결정되는 것에서, 미분 형식의 관점에서 보면 f(x)dx 는 0-형식( 0-form ) 의 외미

분이 된다. 즉, 함수 F에 대해 dF = fdx 이다. 일반화된 스트로크 정리는 F대신 더 높은 미분 형식에서도 적

용 가능하다.

◎ 폐구간 [a,b]는 경계를 갖는 일차원 매끄러운 다양체의 간단한 예이다. 경계는 두 점 a,b로 이루어진 집

합이된다. 구간위의 함수 f를 적분하는 것은 고차원 다양체 위에서 미분 형식을 적분하는 것으로 일반화 할

수 있다. 두 가지 기술적인 조건이 필요한데, 다양한 방향을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 미분 형

식은 콤팩트 지지여야 한다.

◎ 두 점 a,b는 구간[a,b] 의 경계가 된다. 더 일반적으로, 스토크의 정리는 경계를 갖는 유향 다양체 M에

적용된다. M의 경계인 δM은 그 자체로 다양체가 되고, M이 방향성을 가짐에 ᄄᆞ라 자연스럽게 유향 다양체를

이룬다. 예를 들어 주어진 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 준다. 직관적으로, 저 a는 점 b 방향으로 방향

을 가진다고 볼 수 있다.

그러므로 기본정리는 다음과 같다.

Ω가 경계를 가진 n차원 유향 매끄러운 다양체라고 하고, ω는 Ω위에 정의된 (n-1)차 미분 형식이라고 하고

또한 ω가 콤팩트 지지라고 하면, δΩ를 Ω의 경계라고 한다면, 다음 등식이 성립한다. 이 등식을 스토크스의

정리라고 한다.

(여기서 d는 미분 형식의 외미분)

출처 :

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8A%A4%ED%86%A0%ED%81%AC%EC%8A%A4%EC%9D%98_%EC

%A0%95%EB%A6%AC

124

69. 발산 정리(Divergence Theorem)

벡터 장의 선속이 그 발산의 삼중적분과 같다는 정리. 발산정리의 증명을 가장 먼저 발표한 수학자는 미하일

오스트로그랏스키 이다. 오스트로그랏스키는 부피적분을 표면적분으로 바꾸는 도구로서 발산정리를 이용했다.

카를 프리드리히 가우스 또한 중력이론에 대해 연구할 당시 이미 이 정리를 증명했다. 그의 결과는 수년간 출

판되지 않았고, 이 정리를 종종 가우스의 이름이 붙기도 한다.

유계 영역의 폐포 D ⊆ Rⁿ 의 외향 경계면 δD가 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡면들로 이루어졌

다고 하자.(경계면이 하나의 닫힌 곡면일 필요충분조건은 D가 축약 가능 공간일 때 이다.) 또한 F:D -> Rⁿ

가 C¹ 함수라고 하면 발산정리에 따라 다음이 성립한다.

여기서

은 발산이다.

By 노영규

7. Ax = b의 해집합(S)

126

▶선형연립방정식 Ax = b 해집합을 구하는 방법을 실습을 통해 많은 공부가 되었고,

right_kernel() 명령어를 이용하여 수반동차연립방정식 Ax = 0의 해집합을 구하는 방법

또한 알게 되었습니다.

127

8. 5차 행렬의 역행렬

5차 행렬에 대해서 역행렬에 대한 계산은 두 가지 방법으로 있다.

‘가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan elimination method)’을 이용하여 5차 이상의 행렬 계산이

가능하며, ‘여인수 행렬의 전치행렬을 이용’해서도 구할 수 있다.

아래 5차 행렬의 역행렬을 수기로 풀기에는 너무나 복잡한 과정을 거쳐야 하는데 Sage프로그램

을 이용하여 쉽게 5차 행렬의 역행렬을 구할 수 있었다.

[code]

A = random_matrix(ZZ, 5, 5, x = -10, y = 10)

print ("A =")

print (A)

print ()

print ("inverse of A =")

print (A.inverse()) # A의 역행렬 구하기, 형식은 A.inverse()

5차행렬의 가역행렬 판단

[CODE]

A = matrix(QQ, [[3,1,5,7,4], [7,2,2,1,3], [0,0, 0,0,0], [14,1,6,8,9], [1,3,3,4,3]]) #QQ = 유리수 연산 의미

A.is_invertible() # 행렬이 가역인지 확인

128

1) 가우스 – 조던 소거법 (Gauss-Jordan elimination method)을 이용한 역행렬

출처 :

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=agnes0129&logNo=203468722

2) 전치행렬, 소행렬, 여인자를 이용한 역행렬 계산 방법

129

I) 제(i,j)소행렬식 (minor determinant)

130

제(i,j) 소행렬식이란 n차정방행렬의 i행과 j열을제거하고 만든 부분행렬의 행렬식(determinant)을 말합니다.

II) 여인수(cofactor)

여인수는 제(i, j) 소행렬식에 (-1)^(i+j)를 곱한 것이며, cofactor의 앞 대문자를 따서 Cij 로 표기합니다.(Mij

는 소행렬식, minor determinant)

[여인수(cofactor) 수식]

III) 수반행렬(adjoint matrix)

131

수반행렬(adjoint matrix)은 여인수 행렬(matrix of cofactors)의 전치행렬(transpose matrix)를 말하며,

adjoint matrix의 앞 글자를 따서 adj(A)라고 표기합니다.

IV) 라플라스 전개(Laplace expension) 또는 여인수 전개(Cofactor expension)

역행렬을 구하기 위해서는 배운 것과 같이 행렬식을 필요로 한다.

2*2의 행렬식은 쉽게 구할 수 있지만, 3*3 이상의 행렬부터는 그 식이 복잡해져 라플라스 전개를 이용하여

행렬식을 구할 수 있다.

여인수 전개는 어떤 행 혹은 어떤 열의 성분들과 그에 대응된 여인수들의 곱의 합으로 표현하는 것을 말한

다.

▶5차 행렬의 역행렬을 직접 손으로 판단하려고 하면 아주 복잡하고 오래 걸리지만

132

SAGE프로그램 코드 .inverse() 로 역행렬을 구하고 .is_invertible() 명령어로 쉽게 가역

판단을 할 수 있다는 것을 알게 되었고, 그 역행렬에 대한 계산법으론 ‘가우스-조던 소거

법’, ‘여인수 행렬의 전치행렬’을 이용해 구할 수 있다는 것은 QnA를 통해 알게 되었습니

다.

9. 스칼라 삼중곱

두 벡터의 벡터곱(cross)을 나머지 벡터와 스칼라곱한 것으로 정의합니다.

이 정의를 기하학적으로 평행육면체로 보면 밑변을 b,c로 보고 높이를 벡터 b,c의 외적으로 보면

평행육면체의 부피를 얻을 수 있습니다.

상기 내용들로 평행육면체의 부피를 구할 수 있습니다.

[CODE]

a = vector([1, 2, -2]) # 벡터 입력

b = vector([3, 0, 1])

c = vector([5, -2, 3])

print (a,b)

print ("a×b =", a.cross_product(b)) # a×b 외적

[CODE]

a = vector([1, 2, -2]) # 벡터 입력

b = vector([3, 0, 1])

c = vector([5, -2, 3])

bc = b.cross_product(c)

133

scp = a.inner_product(bc) # 스칼라 삼중곱

V = abs(scp) # 평행육면체의 부피

print ("Volume =", V)

＃전*준 학우께서 QnA에 질문하고 교수님이 답을 주신 부분입니다.

질문)부피 V =abs 절댓값을 취했는데 cos 각도의 값이 음수일 때를 생각해서 절댓값을 취해준

것인지 궁금합니다. (부피는 양의 값)

스칼라 삼중곱의 절댓값 |A∙(B×C)| = 부피 V 의 의미 : B와 C 의 외적 에 A 를 내적하면 부

피가 나온다. 이것을 스칼라 삼중곱이라고 하는건가요?

<--- [교수님의 답] 맞습니다. 스칼라 삼중곱의 절댓값은 3개의 벡터로 만들어지는 평행육면체

의 부피와 같다는 것. 스칼라 삼중곱의 절댓값 |A∙(B×C)| = 부피 V .

스칼라 삼중곱을 단위벡터(unit vector)를 이용하여 행렬식(determinant)으로 전개 할 수 있

습니다. http://hi-kam.blogspot.com/2015/09/scalar-triple-product.html 에 자세한 설명있

습니다.

134

▶ 스칼라 상중곱의 절대값이 3개의 벡터로 만들어지는 평행육면체의 부피와 같다는 것

(IA*(BXC)I = 부피(V))을 알 수 있었고, 이 스칼라 삼중곱을 단위벡터를 이용해 행렬식으

로 전개할 수 있다는 것 또한 알 게 되었습니다. 또한 QnA를 통해 스칼라 삼중곱의 절댓

값은 3개의 벡터로 만들어지는 평행육면체의 부피와 같으며, 그러기에 절대값을 씌워 스

칼라 삼중곱의 절댓값 |A∙(B×C)| = 부피 V| 로 쓰고 스칼라 삼중곱을 단위벡터(unit

vector)를 이용하여 행렬식(determinant)으로 전개 할 수 있다는 것 또한 알 수 있었습

니다.

10. 벡터의 노름, 내적, 외적

135

[code]

P = vector([4, -3, 2])

Q = vector([5, -1, 0])

R = vector([1, 3, 2])

a = Q - P # 벡터 PQ

b = R - P # 벡터 PR

A = 1/2*(a.cross_product(b)).norm() # 삼각형의 넓이

print ("Area =", A)

136

# PQ, PR 이외에 벡터 RQ, RP처럼 다른 벡터를 선택하여도 답에는 변화가 없이 동일하게 계산됨을 확인하

였습니다.

11. 정사영(Orhogonal Projection)

ℝ³에서 한 점과 직선, 한 점과 평면 사이의 거리를 구하는데 사용(해가 존재하지 않는 선형연립방정식

Ax=b의 최소 제곱해 (least square solution)를 계산할 때도 유용하게 사용)

아래 그림과 같이 벡터 x = OQ와 y = OP가 ℝ³에 있고, x ≠ 0이면, 점 P에서 선분 OQ에 내린 수선의 발

을 S라 할 때, 벡터 p=OS를 y의 (x 위로의) 정사영 (projection) 이라 하고 proj_x y로 나타낸다.

그리고 벡터 w = SP = y-p를 x에 수직인 y의 벡터성분 (vector component) 이라 한다. 따라서, y는 두 벡

터의 합 y = p+w로 나타내진다.

137

◆ 정사영을 이용하여 ℝ³ 에서 한 점과 직선사이의 거리 구하기

138

◆ 정사영을 이용하여 ℝ³에서 한 점과 평면사이의 거리 구하기

평면 π : ax+by+cz+d=0 상의 한 점을 P(x,y,z)라 하고, π 외부의 한 점을 P_0(x_0, y_0, z_0) 라 할 때,

법선벡터 n = (a,b,c)이다.

v = PP_0 = (x_0-x, y_0-y, z_0=z)라 하면 점 P_0(x_0, y_0, z_0)와 평면 ax+by+cz+d=0 사이의 거리 D

는 다음과 같다.

139

[code]

v0 = vector([3, -1, 2]) # 한 점

n = vector([1, 3, -2]) # 평면의 법선벡터

d = -6 # 평면의 방정식을 ax + by + cz + d = 0으로 두었을 때 d의 값

D = abs(v0.inner_product(n) + d)/n.norm()

print ("D =", D)

▶ 수업시간에 배운것과 같이 위에서 비친 그림자 정사영의 개념을 이해하는데 도움이 되

었고, 실제 식을 활용해 거리 D를 쉽게 구할 수가 있었습니다. 또한 해가 존재하지 않을

때 최단거리를 활용해 구해낼 수 있음을 알게 되었습니다.

13. 접선벡터와 곡률

▶벡터함수의 도함수

벡터함수도 실수 함수와 마찬가지로 r(t)에 대해 연속의 개념을 정의할 수 있다.

일 때 벡터함수 r(t) t = a 에서 연속이라 하며

벡터함수 r(t)가 연속일 필요충분조건은 r(t) 의 성분함수 모두가 a에서 연속이라는 것이다.

140

▶벡터함수의 접선벡터

* 단위벡터 T(t) 의 크기 I T(t) I = 1 이다.

141

벡터 r(t)로부터 r(t)를 미분한 접선 벡터 r'(t), 이를 스칼라 ㅣr'(t)ㅣ 로 나눈 단위접선벡터 T(t).

따라서 T(t)ㆍT'(t) = 0 이다.

내적결과가 0 이라는것은 T(t)와 T'(t)가 직교 한다는 뜻이고

그 직교하는 벡터의 단위벡터를 단위법선벡터 N(t)라고 하며

로 구할 수 있다.

N(t)와 T(t)를 외적하면 두 벡터와 직교하는 벡터를 구할 수 있는데,

그 벡터를 종법선벡터 B(t) 라고 한다.

예제)

r(t) = (sin(t), cos(3t), t) 의 도함수 r'(t)를 구하고

(0, -1, pi)에서 접선의 매개변수방정식을 구하라

[code]

var ('t')

r(t) = vector([sin(t), cos(3*t), t])

dr(t) = diff(r(t), t)

print(dr(t))

s = r(pi) + t*dr(pi) # 접선의 벡터 방정식

print (s)

p1 = parametric_plot3d( r, ( t, -pi, 2*pi ), thickness = 2 ) # 곡선

142

p2 = parametric_plot3d( s, ( t, -2, 2), color='red', thickness = 2 ) # 접선

show(p1 + p2, aspect_ratio = [5,5, 1])

< x = -t, y = -1, z = pi + t>

벡터함수의 도함수를 구해주고 이를 이용해 접선의 매개방정식을 구할 수 있다..

▶곡률

벡터함수 가 2계 도함수를 가지면 다음과 같이 곡률을 계산할 수도 있다.

143

문제)

r(t) = (sin(t), cos(t), t) 의 곡률을 구하라

[code]

var ('t')

r(t) = vector( [ sin(t), cos(t), t ] )

dr(t) = diff( r(t), t ) # 접선벡터

print (dr(t))

drn(t) = dr(t).norm().simplify_full()

print (drn(t))

T(t) = dr(t) / drn(t) # 단위 접선 벡터

print (T(t))

dT(t) = diff( T(t), t )

print ((dT(t).norm() / drn(t)).simplify_full()) # 곡률

[code]

var ('t')

r(t) = vector( [ sin(t), cos(t), t ] )

dr(t) = diff( r(t), t )

print (dr(t)) # 도함수

dr2(t) = diff( r(t), t, 2 )

print (dr2(t)) # 2계 도함수

drn(t) = dr(t).norm().simplify_full()

print (drn(t))

num(t) = dr(t).cross_product(dr2(t)).simplify_full() # 분자

print (num(t))

curv(t) = (num(t).norm() / drn(t)^3).simplify_full() # 곡률

144

print (curv(t))

print (curv(2))

▶벡터함수의 접선벡터와 곡률에 대한 개념정리를 하였고 주어진 벡터함수 r(t)를 이용해

단위접선벡터 T(t)를 구하고 각각의 도함수의 노름의 비율을 이용해 구하면 2계 도함수가

존재할 때 이를 이용해 둘다 같은답을 구해낼 수 있음을 알게 되었습니다.

14. 이차곡면

145

[원뿔면 그래프]

z^2 / 25 == x^2 / 9 + y^2 / 16

위의 방정식으로 주어지는 원뿔면의 그래프

(원뿔면 그래프의 방정식 : z^2 / c^2 == x^2 / a^2 + y^2 / b^2)

[code]

var ('x, y, z')

print('원뿔면')

implicit_plot3d(z^2/25 == x^2/9 + y^2/16, (x, -3, 3), (y, -3, 3), (z, -3, 3), opacity = 0.4 )

[일엽쌍곡면 그래프]

x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1

위의 방정식으로 주어지는 일엽쌍곡면의 그래프

( 일엽쌍곡면 그래프의 방정식 : x^2 / a^2 + y^2 / b^2 - z^2 / c^2 == 1)

[code]

var ('x, y, z')

print('일엽쌍곡면')

implicit_plot3d(x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5), opacity = 0.4)

146

[이엽쌍곡면 그래프]

x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1

위의 방정식으로 주어지는 이엽쌍곡면의 그래프

(이엽쌍곡면 그래프의 방정식 : -x^2 / a^2 – y^2 / b^2 + z^2 / c^2 == 1)

[code]

var ('x, y, z')

print('이엽쌍곡면')

implicit_plot3d(-x^2/2 - 2*y^2 + z^2/2 == 1, (x, -3, 3), (y, -3, 3), (z, -3, 3), opacity = 0.4 )

147

♣교수님께서 수업시간에 주신 교재와 실습모형을 이*인 학우분이 공유해 주셨습니다.

출처 : 대학미적분학 제 3판

▶ 이차곡면에 관한 여러 형태들을 교수님께서 주신 교재를 공유하여 여러번 실제로 그려

보며 눈으로 보고 아주 쉽게 이해할 수 있었고, 실습 모형 또한 공유해 주셔서 이해하는

데 더욱 도움이 되었습니다.

148

15. 최소제곱해

1주차에서 배운 Ax=B의 연립방정식의 해의 종류가 3가지로 볼 수 있었는

데

1. 해가 유일한 경우

2. 해가 무수히 많은 경우

3. 해가 없을 경우

1.해가 유일한 경우와 2.해가 무수히 많은 경우에서는 1주차 내용 RREF로

유일해(x_0)나 수반동차연립방정식(S_h)을 구하면서 해집합을 구할 수 있었

습니다.

하지만

3.해가 없을 경우에는 '해가 없다' 정도로만 확인이 가능하였는데 2주차에

서 배운 정사영을 활용하면 연립방정식의 해와 가장 가까운 직선이나 곡선

을 구하는 최소제곱해에 대한 내용을 볼 수 있었습니다.

최소제곱해의 배경은 Ax=B의 연립방정식에서 해가 없을 경우 여러 개의 점들을 파악할

수 있고 그 데이터를 가장 잘 표현하는 직선 또는 곡선을 구하기 위해서이다.

예를 들어, (1,2),(2,4),(3,5),(4,7) 에 대한 값들을 파악가능하고 해당 점들은 좌표평면 위 한 직선에 있지 않

다. 이 직선이 Ax=B에서 연립일차방정식의 해가 존재하지 않는다고 이야기하고 벡터와 행렬을 이용해서 표현

하면

에 대하여 연립일차방정식 Ax=B 의 해가 존재하지 않는다고 이야기한다.

여기서, 좌표평면 위의 4개의 점에과 직선을 가장 잘 표현하는 방법은 점과 직선의 거리가 멀지 않아야 하므

로 주어진 점의 y좌표와 직선의 y좌표의 거리의 제곱합이 최소가 되는 경우를 생각한다.

149

따라, 점 (1,2),(2,4),(3,5),(4,7) 를 가장 잘 표현하는 직선 y=p+qx 이면

로 표현할 수 있다.

따라서,

가 최소가 되도록 하는 p,q를 구하면 직선을 구할 수 있다.

행렬로 표현하면 Ax=B에서 x는 해가 없기에 Ax와 B 사이의 거리 dist(Ax,b) = ll Ax-b ll 가 최소가 되는

근사해 인 x를 찾는 문제를 최소제곱문제라고 한다. (min ll Ax-b ll)

최소제곱해의 정의와 존재성

출처 : https://blog.naver.com/mindo1103/222633027614

▶ Ax = b에서 x는 해가 없는 경우도 Ax와 b사이의 거리 dist(Ax,b) = ll Ax-b ll 가 최

소가 되는 근사해인 x를 찾는 최소제곱해를 구해 가장 가까운 해를 구해낼 수 있다는 것

을 알게 되었고, 실제 문제에 적용하면 답이 없는 문제도 답에 가장 가까운 해를 구해낼

수 있는 방법이 되겠다는 것 또한 느꼈습니다.

150

16. 등위곡선

이변수함수 z = f(x,y)의 등위곡선 (level curves, contour curves)은 방정식이 f(x,y)=k인 곡선을

말한다. 이 때 k는 (f의 치역에 속한) 상수이다.

즉, 일정한 높이의 점들을 연결한 곡선이 등고선 (또는 등위곡선)이다.

→ 이는 해저 지형이나, 기온 분포, 육지 지형의 높낮이 등 실생활에서도 사용된다.

예제 ) 다음 함수의 등위곡면을 나타내라

출처 : https://suhak.tistory.com/915

[code]

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x + 3*y + 5*z # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue') ]: # 여기에 k값, 색깔

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.4, color = col)

151

[code]

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x^2 + 3*y^2 + 5*z^2 # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue') ]: # 여기에 k값, 색깔

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.4, color = col)

▶ 평소 일상생활에서 자주 사용하는 지도에 표현하는 지형의 등고선을 이렇게 수학적으

로 접하니 친숙하면서도 신기했습니다. 여러 예제를 통해 3변수 함수는 곡선의 형태가 아

닌 곡면의 형태로 표현해야 하는 것 또한 알 수 있었고, 평면 z=k가 곡면 z=f(x,y)가 만

나는 교선을 xy평면에 정사영한 곡선 f(x,y) = k 가 등위곡선인 것을 실습해보며 쉽게 이

해할 수 있었습니다.

152

17. 음함수의 미분법

[open problem]

1) z = f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) 에 대해서 F(x, y, z) = 0 모양의 음함수로 변환

◆ f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) = z 그래프

[code]

var ('x, y')

f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y)

plot3d(f, (x, -10, 10), (y, -10, 10), opacity = 1, aspect_ratio = [100, 100, 100])

153

◆ F(x, y, z) = z - (y*sin(x)-cos(e^y)) = 0 형태의 그래프

[code]

var ('x, y, z')

implicit_plot3d(z - (y*sin(x)-cos(e^y)) == 0, (x, -10, 10), (y, -10, 10), (z, -10, 10), opacity = 1,

aspect_ratio = [100, 100,100])

2) 음함수 미분 (-Fx/Fz, -Fy/Fz)

[code]

var ('x, y, z')

F(x, y, z) = z - (y*sin(x)-cos(e^y))

Fx = diff(F(x, y, z), x)

Fy = diff(F(x, y, z), y)

Fz = diff(F(x, y, z), z)

print ( "dz/dx =", -Fx/Fz)

print ( "dz/dy =", -Fy/Fz)

154

▶ 음함수와 함수의 미분법에 대해 알게 되었습니다. 또한 QnA를 통해 x,y 뿐만 아니라

z까지 3차원 그래프를 그려서 문제를 해결해야 할 때 식을 전개하여 이항한 후, 음함수의

도함수를 구하는 코드를 사용해야 한다는 것 또한 다시 한 번 상기할 수 있었습니다.

[OPEN PROBLEM]

저 또한 11엽 장미를 그려보았고 구간 –pi/22 ~ pi/22 사이의 넓이도 구해보았습니다.

[code]

var ('r, t')

f(t) = cos(11*t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, pi), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

[code]

var ('r, t')

f(t) = cos(11*t)

p1 = polar_plot (f(t), ( -pi/22 , pi/22 ), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

var ('r, t')

11 * integral (integral (r, r, 0, cos(11 * t)), t, -pi/22, pi/22)

1/4*pi

▶ 극좌표계에서 이중적분을 구할 때 역시 함수가 연속일 때 라는 조건 하에 구간을 잘 나누어 극곡선에 대

한 닫힌 영역의 넓이를 구할 수 있음을 알 수 있었습니다.

20. 좌표계의 종류

직교좌표계를 원기둥좌표계, 구면좌표계로 변환하는 즉, 2차원 공간에서 3차원공간에서의 좌표계로 표현할 수

있는 방법을 배웠습니다.

155

극좌표를 3차원 공간으로 확장해보면 먼저, 원기둥 좌표계(cylindrical coordinate system)는 3차원 공간의

점 p(x,y,z)를 순서쌍 (r, θ, z) 로 나타낸다. 여기서 z좌표는 그대로 두고 x,y 좌표를 극좌표 r과 θ로 변경한

다. 따라서 직교좌표 (x,y,z) 와 원기둥 좌표(r, θ, z) 의 관계는 다음과 같다.

명령어에서 'radius'는 , 'azimuth'(방위각, meridian angle)는 , 'height'는 를 의미하며,

Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth'])

T = Cylindrical ( 'height', ['radius', 'azimuth'] )

T.transform ( radius = , azimuth = , height = )

해당 명령어를 사용하면 원기둥좌표계에서 직교좌표계의 점을 확인할 수 있습니다.

ex1) 원기둥좌표계 (radius = 5, azimuth = pi/6, height =6) 를 직교좌표계로 변환하면 직교좌표계

(5/2*sqrt(3),5/2,6)이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

다음으로 구면좌표계로 변환하는 방법을 배웁니다.

156

구면 좌표계는 3차원 공간의 점 p(x,y,z)를 순서쌍 (ρ,θ,φ) 로 나타낸다. 아래 그림과 같이 ρ = llOPll 는 원점

에서 p까지의 거리고, θ는 원기둥 좌표에서와 같은 각이며, φ는 z축의 양의 방향과 선불 OP 사이의 각이다.

따라서 직교좌표(x,y,z) 와 구면좌표 (ρ,θ,φ) 의 관계는 다음과 같다. 이때 ρ≥0 , 0≤φ≤π 이다.

명령어에서 'radius'는 , 'azimuth'(방위각, meridian angle)는 , 'inclination'(경사, 축의 양의 방향과 주어

진 선분이 이루는 각)는 를 의미하며,

Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination'])

T = Spherical ( 'radius', ['azimuth', 'inclination'] )

T.transform( radius = , azimuth = , inclination = )

ex2) 구면좌표계 ( radius = 2, azimuth = pi/6, inclination = pi/4 )를 직교좌표계로 변환하면

((1/2*sqrt(3)*sqrt(2), 1/2*sqrt(2), sqrt(2))이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

ex3) 위의 구면좌표계를 원기둥좌표계로 표현

구면좌표계(2, pi/6, pi/4 )를 직교좌표계(1/2*sqrt(3)*sqrt(2), 1/2*sqrt(2), sqrt(2))로 변환한 후 원기둥

좌표계로 변환하면 됩니다.

[정리]

1. 직교좌표계 : 가장 대표적으로 많이 사용하는 좌표계이며 (x,y,z)로 구성되어 있고 이들은 각각 독립적으로

표현됩니다.

2. 원기둥좌표계 : 극좌표계에서 높이를 추가하였다고 보면 됩니다. 원기둥 좌표계는 (r,theta,z)로 표현되며

r과 theta는 종속관계에 있습니다(z는 독립). 하나의 값이 변하면 다른 값에 영향을 받습니다.

3. 구면좌표계 : 극좌표계를 3차원 공간으로 확장하였으며 원기둥좌표계와 비슷합니다. 구면좌표계는

(p,tetha,phi)로 표현되며 p, theta, phi 는 서로가 종속관계에 있습니다. 원기둥 좌표계와 다르게 두 개의

157

각도로 표현합니다.

r은 원점에서 부터 구면까지의 거리

theta는 원점에서 양의 방향의 z축과 이루는 각도

phi는 z축을 중심으로 x축과 이루는 각도

▶ 직교좌표계 (x,y,z) 에서 z는 놔두고 xy좌표평면을 (r,θ) 로 바꾸어 변환하는 개념을 이해하는데 도움이 되

었고,

Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth'])명령어를 통해 각각의 의미를 파악하고 원기둥좌표계 에서 직교

좌표계의 점을 확인할 수 있었습니다.

또한 Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination'])명령어를 통해 구면좌표계를 직교좌표계로 바꾸어 나타

낼 수 있다는 것 또한 알게 되었습니다.

[code]

var ('x, y, z')

f(x, y, z)= x

integral(integral(integral(f, z , 0 , 1-x-y), y, 0 , 1-x), x, 0, 1)

▶ 삼중적분의 개념을 이해하고 문제를 들어보며 삼중적분의 적분범위가 직육면체 (이중적분에서는 직사각형)

이고 x, y, z 의 적분 범위가 모두 상수일 경우 푸비니의 정리가 성립함을 알 수 있었고, 삼중적분은 이중적

분으로 풀어낼 수 있는데 여기서 적분영역 D의 설정이 아주 중요하다는 것 또한 알게 되었습니다. 마지막으

로 이렇게 개념을 제대로 이해한 후 sasge프로그램으로 문제를 해결하면 학습속도가 아주 빨라짐을 다시한번

느꼈습니다.

(3) State your meaningful Comment/Answer/Discussions in Discussion/QnA.

토론 / QnA에 의미 있는 댓글 / 답변 / 토론 기재

by 손혜원

1. [Final][W1 HW1] 손*원, 이*인, open problem1,2에서 sage를 활용해 역행렬을 구했

지만 행렬식을 이용한 가역판정 시 False로 판정이 되는 부분에 대해 질문을 했고, 교수

님과 학우님이 답변해주셨습니다.

Q) sage를 활용하여 행렬 B의 역행렬을 구하고, 가역여부를 판정하니 False로 판정되었습니다. 하

지만, B와 B의 역행렬의 곱은 단위행렬임을 확인할 수 있었습니다. 두 코드의 결과가 차이가 나는

이유가 궁금합니다.

A) 교수님 : A = random_matrix(ZZ, 5, 5, x = -10, y = 11)가역행렬을 평가하는 과정에서 정

수 ZZ 만 사용하였기 때문입니다.행렬생성시 유리수 행렬로 생성하라고, ZZ 대신 QQ로 바꾸어서

다시해보세요. True 라고 답을 주는지 확인해 보세요그래서 코드를 사용시는 ...난점을 극복하려

158

면 더욱 ... 이론을 ...알아야만 한답니다

학우님 : 행렬생성시 유리수 행렬로 생성하라고, ZZ 대신 QQ로 바꾸어서 다시해보세요.>>B =

random_matrix(QQ, 5, 5) # 유리수를 성분으로 하는 5x5 행렬 B를 임의로 생성sage코드 두번

째 줄 B라인을 상기 식으로 바꾸면행렬B의 가역판정 : True 가 됨을 알 수 있었습니다.

2. Finalize by. [W2 HW1] 임*섭, 벡터의 노름, 내적, 외적에서 임*섭학우님이 삼중곱의

내적과 외적의 연산순서에 대해 질문하셔서 답변했습니다.

본문에서 스칼라 삼중곱에서 내적과 외적의 연산순서를 바꾸는 경우 오류가 발생한다고 질문하셨

는데, 제가 생각하기에도 기존의 스칼라 삼중곱의 연산순서에 따르면 벡터와 벡터의 곱이 되는데,

연산순서를 변경하면 벡터와 스칼라의 곱이 되므로 에러가 발생하는 것 같습니다.

교수님이 공유해주신 http://hi-kam.blogspot.com/2015/09/scalar-triple-product.html를 참

고하면 스칼라 삼중곱의 정의에 대해 알 수 있는데,스칼라 삼중곱(scalar triple product)는 두 벡

터의 벡터곱(cross product)을 나머지 벡터와 스칼라곱(scalar product)한 것으로 정의되어있습

니다. 그러므로 연산순서를 바꾸거나 외적과 외적의 곱의 형태로 표현할 수는 없다고 생각합니다.

3. 이*한군의 질문과 토론: 우리는 몇 차원공간에 살고 있는가? 여기에 모두 학생은 의무

적으로 <자신만의 생각/코멘트>를 달아보세요.에 관련 글을 찾고 제 생각을 적어보았습니

다.

과거에는 3차원에서부터 내려오는 형태로 차원을 상상했기에 유클리드는 입체의 끝은 면, 면의 끝

은 선, 선의 끝은 점이라는 표현을 썼다.아쉽게도 그리스 철학자 아리스토텔레스 역시 “3차원이

넘는 차원은 없다”고 말했다. 하지만 프랑스 수학자 쥘 앙리 푸앵카레의 생각은 달랐다.기존과 반

대로 차원을 정의한 그는 “끝이 0차원인 점이 되는 건 1차원이다”라고 말했다. 그렇다면 끝이 1차

원인 선이라면 2차원, 끝이 2차원 면이라면 3차원이 되는 것이다.이렇게 올라가면 끝이 3차원 입

체가 되는 건 4차원이라는 새로운 차원이 된다. 계속 이런 방식으로 가면 입체가 차원 꼭대기가

아니라, 더 높은 차원까지 얼마든지 올라갈 수 있게 되는 것이다.

이제 우리 차원을 떠올려보자. 만져보면 입체감이 있고 보기에도 그렇지만, 과연 정말 3차원일까.

사실 우리는 현실 세계 빛을 통해 눈 안쪽 평평한 망막에 맺히는 2차원 정보를 보고 있을 뿐이다.

물체의 상은 평면이 되지만, 좌우 안구가 떨어진 만큼 상의 어긋남을 바탕으로 깊이라는 정보가

추가된다.즉 우리가 3차원으로 보인다고 믿는 세상은 실제 존재하는 3차원이 아니라 뇌에서 임의

로 재구성된 가상의 3차원일 뿐이다.

일단 3차원 세계에 살고 있다 가정하고, 더 고차원일 경우도 알아보자. 만약 3차원 구가 자기 세

계로 2차원 원을 데려가면 과연 원이 그 세계를 이해할 수 있을까.2차원 존재는 3차원 물체의 단

면밖에 볼 수 없기에 알고 있는 단어로 최선을 다해 보이는 것들을 설명한다 해도 제한적일 수밖

에 없다. 그래서 우리도 역시 스스로 설명할 수 있는 차원까지를 우리 세계라고 본다. 물론 여기

에 시간 차원이 빠져 있다. 우리가 4차원이라 부르는 시공간은 3차원 공간과 1차원 시간 차원을

더한 결과다. 그런데 굳이 왜 시간 차원은 1차원일까. 시간 차원이 2차원 이상이라면 과거와 미래

가 만나는 경우가 발생한다. 과거와 미래가 섞여 구분할 수 없게 되면서 당연하게 생각하던 인과

관계가 전부 틀어진다. 그래서 시간은 공간처럼 자유롭게 이동할 수 없으며, 오직 하나의 방향성

을 갖고 한쪽으로만 이동할 수 있다. 이게 현재까지 우리 세계 차원을 가장 정확하게 설명하는 내

용이다.

(https://weekly.donga.com/3/all/11/3185161/1)

159

저희가 사는 세상은 공간으로 설명할 수 있는 3차원과 시간의 1차원을 합한 4차원이라고 생각합

니다. 이론적으로는 더 고차원이라 할 수도 있겠지만 설명할 수 없다면 아직은 완벽히 설명하고

인식하지 못하기에 현재는 4차원이라고 말해야 한다고 생각합니다.

또한, 제가 첨부한 기사 내용을 본다면 시간이 왜 1차원인가에 대해서도 알 수 있습니다.시간이 2

차원이 된다면 과거가 미래가 만나 섞이기 때문에 저희가 일상 속에서 생각하던 인과관계가 모두

틀어지기 때문입니다. 교수님의 말씀대로 시간 외의 저희가 인식하고 규정하지 못하는 n 차원을

명확히 규정할 수 있게 된다면 그때는 4+n차원에 산다고 말할 수 있다고 생각합니다.

4. [Final] [W2 HW1] [열린문제4] 평면의 방정식 (Equations of Planes)에서 임*섭학우

님이 하신 질문에 답변했습니다.

Q) 평면의 방정식을 ax + by + cz + d = 0 과 같이 나타낼 수 있다고 해주셧는데, 여기서 나타

나는 d는 평면과 원점이 이루는 최단거리라고 생각하면 되는 걸까요?맞다고 하면, d=0 일때 평면

은 3차원 공간의 부분공간으로 보는게 맞을까요?

A) d는 평면 위의 한 점에서 수직으로 뻗은 법선벡터로 표현되는 것이므로 평면과 원점이 아

닌 평면과 한 점 사이의 최단거리라고 생각됩니다.

5. [W4] html에서 발견한 오류입니다. - OK^^ 수정했습니다^^ 보너스 1 점

4주차 내용을 학습하는 과정에서 html의 오류를 발견하여 말씀드렸습니다.

6. [Final OK by TA] [W3 HW1] 벡터함수와 공간곡선, Open Problem 1에서 벡터함수

와 공간곡선에 대해 학습하면서 곡률값의 범위에 대해 질문드렸고, 교수님께서 답변해주

셨습니다.

Q) 곡률은 호의 길이에 대한 단위접선벡터의 변화율의 크기이므로 범위가 0<곡률값<1로 생각해도

되나요?

A)https://suhak.tistory.com/283 와

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A1%EB%A5%A0에서 보듯이 곡률은 ... 다양한 분야에

서 널리 쓰이는 개념으로 ... 그 값이 0과 1 사이의 값이라고 단언하기 어렵지 않을까요?

7. [W4 HW] [열린문제1] 음함수 미분법(Differentiation of Implicit Functin)에서 이*한

학우님이 음함수로 변환하는 코드에 대해 질문하셔서 답변해드렸습니다.

Q1) 개념은 알고 있어 간단한 문제로 수기로 풀었지만, 복잡한 함수의 경우 z = f(x, y)를 F(x,

y, z) = 0 모양의 음함수로 변환 할수 있는 코드가 있나요? 이전 단원에도 z를 이항하는 정도의

문제만 제시되어 있어서 우선 참고하여 실습 진행하였습니다. (solve 함수를 써봤는데 잘안되네요)

A) 이전 학기에 음함수에 대해 학습할 때 . . . 코드가 없이 ... 식을 전개하여 이항한 후, 음함수

160

의 도함수 구하는 코드를 사용하라고 하셨던 것으로 기억합니다.

8. [Final OK by SGLee] [W5 HW1] 이변수함수의 극대 극소 [열린문제1]에서 행렬식을

구하는 sage코드에 대해서 설명해드렸습니다.

Q)여기서 print (H(1, 3).det()) #행렬식 을 뜻한다는데 정확한 뜻이 궁금합니다

A)H(1, 3).det()는 임계점(1,3)에서의 행렬식을 구한다는 뜻이므로 헤시안행렬 [2 0][0 2]에서 행렬

식인 ad-bc=2*2-0=4를 구하기 위한 식입니다.

9. [Final OK by TA] final-[HW W8] 9주차 열린문제1에서 적분의 범위에 대해 질문을

받고 범위 지정에 오류가 있어 수정하였습니다.

Q) 구간을 0으로 시작한 것은 제1팔분공간(first octant) 평면에서 구했다고 보면 될까요?

A) 구간을 0으로 지정한 것은 제1팔분공간에서 구한 것 입니다.

문제를 다시 확인해보니 제1팔분공간에서 구하라는 말이 없어 범위를 수정하였습니다.

(y, 0, 2 - x^2), x, 0 ,sqrt(2)) 에서 (y, -sqrt(2 - x^2), sqrt(2 - x^2)), x, -sqrt(2), sqrt(2) )

학우님의 질문 덕에 오류를 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

[The First or The Best!]

by 박준수

var ('r, t')

4*integral (integral (r, r, 0, sin(4 * t)), t, -pi/6, pi/6)

7. 삼중적분에 대해 학습하고 Openproblem 4를 풀 수 있게 되었습니다.

var('x, y, z')

a= integral(integral(integral(z, z, 0, sqrt(9-y^2)), y, x, 3), x, 0, 3) #삼중적분

b= integral(integral((9-y^2)/2, y, x, 3), x,0,3) #이중적분

c= integral((x^3-27*x+54)/6, x, 0, 3) # 적분

print(a)

print(b)

print(c)

8. 구면좌표계와 직교좌표계에 대해 학습하고 열린문제1을 풀 수 있게 되었습니다.

161

rho, theta, phi = 4, pi/2, 2*pi/3

rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi)

T = Spherical ( 'radius', ['azimuth', 'inclination'] )

T.transform( radius = 4, azimuth = pi/2, inclination = 2*pi/3 )

162

9. 발산 정리에대해 학습하고 열린문제2를 풀 수 있게 되었습니다.

var('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([2*x^2*y, -y^2, 4*x*z^2])

F.div([x, y, z])

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 4*x*y + 8*x*z - 2*y

integral ( integral ( integral (f, z, 0, sqrt(9-y^2)), y, 0, 3), x, 0, 2 )

163

10 복소수와 복소함수에 대해 학습하고 열린문제1을 풀 수 있게 되었습니다

z1 = 2 + 3*I; z2 = 3 - 2*I; z3 = 1 + I

print ( 'z1 + z2 : ', z1 + z2)

print ( 'z2 + z1 : ', z2 + z1)

print ( 'z1 * z2 : ', z1*z2 )

print ( 'z2 * z1 : ', z2*z1 )

print ( 'z1 + (z2 + z3) : ', z1 + (z2 + z3) )

print ( '(z1 + z2) + z3 : ', (z1 + z2) + z3 )

print ( 'z1(z2 * z3) : ', z1*(z2*z3) )

print ( '(z1 * z2)z3 : ', (z1*z2)*z3 )

print ( 'z1(z2 + z3) : ', z1*(z2+z3) )

print ( 'z1*z2 + z1*z3) : ', z1*z2+z1*z3 )

164

z1 = 2 + 3*I; z2 = 3 - 2*I; z3 = 1 + I

r1 = abs ( z1 ) # 절댓값

r2 = abs ( z2 )

r3 = abs ( z3 )

x1 = real_part ( z1 )

x2 = real_part ( z2 )

x3 = real_part ( z3 ) # 실수부분

y1 = imag_part ( z1 )

y2 = imag_part ( z2 )

y3 = imag_part ( z3 ) # 허수부분

t1 = arctan ( x1/y1 )

t2 = arctan ( x2/y2 )

t3 = arctan ( x3/y3 )# 편각

print ( "r1 =", r1 )

print ( "r2 =", r2 )

print ( "r3 =", r3 )

print ( "arg(z1) =", t1 )

print ( "arg(z2) =", t2 )

print ( "arg(z3) =", t3 )

- 토론/QnA에서 의미 있는 의견/답변/토론을 진술합니다.

165

2. 선형연립방정식 Ax = b의 해집합

Finalized by. 임*섭, 노*완, 김*영, 박*현, 천*준, 김*철, 윤*수, 조*준, 박*수, 전*준, 김*구, 손*원, 신*호,

이*민, 노*규, 김*환, 이*한 [W1 HW-2]임*섭, 선형연립방정식 Ax=b 해집합.

1. Ax=b 의 특수해 구하기.

166

[코딩 명령어]

A = matrix([[1, 2, -2, 0, 2, 0], [2, 6, -5, -2, 4, -3],

[0, 0, 5, 10, 0, 15], [2, 6, 0, 8, 4, 18]]) # 계수행렬

b = vector([0, -1, 5, 6]) # 상수항 벡터

A.solve_right(b) # 구하기

168

2. 정사각행렬이 아니기 때문에, Ax=0 의 해집합 Sh구하기

[코딩 명령어]

A = matrix([[1, 2, -2, 0, 2, 0], [2, 6, -5, -2, 4, -3],

[0, 0, 5, 10, 0, 15], [2, 6, 0, 8, 4, 18]]) # 계수행렬

A.right_kernel() # Sh구하기

##아래는 다른 교재에 나와있는 답안

169

질문 : Sage를 통해 구한 특수해 X0 는 답안과 똑같이 나오는데, Ax=0의 해집합 Sh 값이 조금 형태가

다른데 이유가 있을까요.

[벡터에 스칼라배와 덧셈 연산이 되어있는 것 같은데 저렇게 형태가 달라도 답이 같은지도 궁금합니다.]

김*영(2022####67)6월 16일 오후 2:03

Ax=b 해집합 관련하여 설명과 예시 공유 감사합니다. 많이 어려워서 이해가 되지 않는 내용인데 좋은 참고가

될 것 같습니다.

특수해는 r, s를 0으로 두었을때 x1~x6의 해이고 특수해를 제외한 무수히 많은 해들은 r, s의 값에 따라 변

하기 때문에 r, s의 계수들을 집합으로 표현하여 해집합을 구성하는거로 이해하면 될까요?

임*섭(2022####81)6월 16일 오후 2:25

이상구(LEE SANGGU)6월 16일 오후 1:55

다른 교재가 준 답의 두 벡터가

임경섭 씨가 준 두 개의 벡터에 가우스소거법의 ERO 해서 얻어지는 벡터들 인것은 보이나요?

170

ERO 기본행 연산의 3가지 중에

행렬에 0이 아닌 실수배를 곱한다와 실수배를 하여 다른행에 더한다는 규칙을 통해 나온 벡터라는것은 확인

하였습니다.

따라서 둘 다 Ax=0 의 같은 해공간에 있습니다.

김*환(2022####65)6월 17일 오전 9:46

선형연립방정식 Ax = b 해집합을 구하는 방법에 대해 이해하는데 많은 도움이 되었고, right_kernel() 명령

어를 이용하여 수반동차연립방정식 Ax = 0의 해집합을 구하는 방법 또한 이해했습니다. 감사합니다.

노*규(2022####70)6월 16일 오후 4:52

Ax=b 해집합에 대해 공유 감사합니다.

이해하는데 많은 도움이됐습니다.

.solve_right()명령어를 사용해 무수히 많은 해중 특수해만 나오는 것을 이해하였고

.right_kernel()을 이용해 수반동차연립방정식 Ax=0의 해집합을 구하는 방법을 이해하였습니다. Kernel 의

기저 이경우 두개의 벡터들의 일차결합으로 Ax=b의 해집합을 구하는 것을 이해하였습니다.

감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)6월 16일 오후 7:03

Good. 잘했습니다. 그럼 1주차 목표는 달성했습니다

여러분이 꼭 알아야 할것은 정확히 알고 실제 구해본 후, 다른 유사한 문제도 다 해결할 수 있다는 ...

수학에 자신감을 갖도록 하는 것이 내 1차 목표입니다.

▶ 선형연립방정식 Ax = b의 해집합을 구하는 방법에 대해 알게 되었고, QnA의 유의미

한 토론을 통해 가우스소거법의 ERO 기본행 연산 3가지 중 행렬에 0이아닌 실수배를 곱

한다와 실수배를 하여 다른행에 더한다는 규칙을 통해 나온 벡터라는 것 또한 눈에 보이

게 되었습니다. 또한 반동차연립방정식 Ax = 0 의 같은 해공간 안에 있다는 표현 또한

알 수 있었습니다.

3. 스칼라 삼중곱

final[W2 HW1] 전*준, 임*섭, 김*영, 박*현, 천*준, 노*완, 손*원, 박*수, 김*환, 윤*수, 이*한, 신*호, 노*

규, 이*민 스칼라 삼중곱

▶ 스칼라의 삼중곱의 절대값이 3개의 벡터로 만들어지는 평행육면체의 부피와 같다는

것(IA*(BXC)I = 부피(V)) 을 알 수 있었고, 이 스칼라 삼중곱을 단위벡터를 이용해 행렬

식으로 전개할 수 있다는 것 또한 알 게 되었습니다. 또한 QnA의 유의미한 토론을 통해

스칼라 삼중곱의 절대값은 3개의 벡터로 만들어지는 평형육면체의 부피와 같기 때문에

부피 V = abs 로 절대값을 취해야 함과, 스칼라 삼중곱을 단위벡터(unit vector)를 이용

하여 행렬식(determinant)로 전개할 수 있음을 알 수 있었습니다,

4. 삼중적분의 기하학적인 의미

6주차 [이중적분] 열린 문제4에 대하여 문의 및 토론하고자 QnA를 작성합니다.

171

조*준(2022####83)7월 20일 오전 9:30

삼중적분은 결과가 부피에 대응하는 값(무게 또는 전하량)을 뜻한다고 알고 있습니다. 사각뿔과 같은 입체도

형을 무수히 작은 알갱이로 쪼갤 때 알갱이 하나하나의 무게가 다르기에 적분이 필요합니다.

이중적분이 부피라면 삼중적분은 무게함수X부피로 저도 미소부피라고 천혜준 학우님과 같이 알고있습니다.

김*구(2022####69)7월 20일 오전 9:40

제가 생각했을때의 이중적분과 삼중적분의 개념은

y=f(x) 라는 그래프를 생각보면 독립변수는 단지 x 하나뿐이고

a≤x ≤b 의 범위에서 y의 넓이는

∫f(x) dx (적분범위는 a≤x ≤b ) 인거는 쉽게 알수 있습니다.

이 적분의 꼴은 높이 곱하기 밑면이고, 높이는 f(x) 이고 밑넓이는 dx 인데 그런 것을 모조리 더한다는 의미

에서 인테그랄을 사용합니다.

이를 똑같이 이중적분을 사용하여 구할 수 있습니다.

즉

∫f(x) dx =∬ dydx (적분구간은 y는 0~f(x) , x는 a~b)

오른쪽 적분을 잘 생각해보면 dydx의 의미는 넓이 입니다. 그 아주 작은 넓이(미소넓이라 합니다.)를 x,y 의

모든 범위에 걸쳐서 더한다는 의미가 되죠.

이번엔 3차원 좌표 공간을 생각해면 x,y는 독립변수이고 z의 값은

z=f(x,y)이고 즉 x,y값에 따라서 z 가 정해집니다. 그리고 x,y 로 이루어진 평면으로부터의 높이에 해당합니

다.

∬f(x,y)dxdy 는 무슨 의미는 높이 곱하기 밑넓이를 해당하는 x,y범의에 걸쳐 모조리 더한다는 의미입니다.

그러니 부피의 의미가 부여될 수 있습니다.

이는 삼중적분을 사용해서

∬f(x,y)dxdy =∫∬dxdydz (적분구간은 절충) 로도 표현할 수 있습니다. dxdydz 는 바로 미소 부피입니다.

그 미소 부피를 적당한 적분구간을 정해서 모조리 더하는 것입니다.

172

혹시 틀린점이나 잘못된 점이 있다면 수정 부탁드립니다.

이*한(2022####78)7월 20일 오전 9:40

학우님, 저도 관련해서 글 올렸는데, 확인해주세요.

부피에 대한 의미는 맞다고 생가하고, 함수가 밀도에 대한 함수이면 질량이고, 확장하여 미소질량(dm)을 이용

하여 질량중심을 구할 수 있습니다.

윤*수(2022####77)7월 20일 오전 9:40

천*준 학생이 질문한 초부피 에 대하여 찾아본 내용입니다.

초부피 - 부피의 범주를 뛰어넘는다는 의미로 초부피라고 한다. 초부피는 적당한 좌표공간을 만들어서 ' 밑입

체'를 설정한 다음 4차원 축의 값을 f(x,y,z)로 표현하여 삼중적분을 이용하여 구할 수 있다.

참조: https://namu.wiki/w/%EB%B6%80%ED%94%BC

조*준(2022####83)7월 20일 오전 9:49

윤*수 학우님의 참조링크를 통해 이중적분 = 3차원 부피, 삼중적분 = 4차원 초입체, 초부피에 대해 알게 되

었습니다. 감사합니다

김*영(2022####67)7월 20일 오전 10:45

부피 이후의 적분은 생각하기 어렵네요... 질량도 적분으로 표시가 가능할까요? 그렇다면 밀도도 적분으로 표

시가 가능할것 같은데..

김*환(2022####65)7월 20일 오전 11:08

김*영 학우님의 의견에 답변을 드려보면

결과적으로 수학입장에서는 굳이 무게와 질량에 차이를 준다거나 복잡하게 꼬으지는 않는다고 합니다.

특히 밀도를 고려해서 부피와 질량간의 관계를 이용하는 것을 다소 수학이라는 학문과는 거리가 있다고 생각

한다고 합니다.

그러므로 수학문에제 이를 적용함에 있어 굳이 밀도가 없어서 풀면 안된다거나, 질량과 무게를 고려할 필요는

없습니다.

출처 : https://hub1.tistory.com/32

박*현(2022####72)7월 21일 오후 3:18

윤*수 학우님의 자료가 공학적으로 접근한것 같네요.

3번째 적분에 무엇을 대입하냐에 따라서 삼중적분의 기하학적 의미는 달라질 것 같습니다.

화학이나 물리에서는 부피밀도를 대입하여 삼중적분을 통해 질량을 구하기도 하는 것 같습니다.

김*철(2022####66)8월 2일 오전 10:21

삼중적분의 기하학적 의미가 대입하는 값에 따라 달라진다는 것을 알게되었습니다.

수학 외의 과목에서도 구하려는 질량, 부피 밀도 값을 구할 수도 있을 것 같습니다.

▶ 학우분들과 QnA 토론을 하며 저희가 배우는 이중, 삼중적분에 관한 여러 토론을 나눴습니다.

이중적분은 3차원의 부피, 삼중적분은 4차원의 초입체, 초부피에 관한 것이라는 것또한 알게되었

고, 제가 찾은 내용에는 앞의 초입체, 초부피의 내용은 공학적인 부분에서 본것이고, 수학입장에서

는 굳이 이 무게와 질량에 차이를 생각하는 것은 수학이라는 학문에서 벗어나는 것이기에 이를 적

용함에 있어 굳이 밀도가 없어서 풀면 안되거나, 질량과 무게를 고려할 필요는 없다고 했습니다.

이에 대한 결론은 이 다음에 나오는 삼중적분의 활용 부분에서 나오게 되는데

부피

2 질량

173

이 내용을 통해 밀도함수 P가 주어질 때, 입체 D의 질량을 구하는 삼중적분이 가능하다는 것을

알게 되었습니다.

5. 푸비니의 정리

이중적분을 공부하던 중 값을 정의를 이용해 구하다 보니 시간이 오래걸리는 경우도 있고, 정의에 따라 구하

고 싶어도 아래와 같이 부분합을 구할 수 없는 경우도 생깁니다.

에서

이 값을 정의를 이용해서 구하려면

이 값을 구해야 하는데 이건 부분합을 구하는게 불가능합니다.

따라서 위의 이런 이중적분의 값을 구할 수 있는 푸비니의 정리가 교재에 짧게 실려있어 이를 좀더 깊이 공

부해 보았습니다.

정적분의 경우 정적분의 값을 구할 때 쓸 수 있는 대표적인 정리는

아래와 같습니다.

즉, 정적분의 정의를 이용하지 않고 부정적분을 구해서 위의 정리를 이용하면 정적분의 값을 비교적 쉽게 구

할 수 있습니다.

이중적분에서도, 적분값을 비교적 쉽게 구할 수 있는 정리가 푸비니의 정리(Fubuni's Theorem)라고 하고 그

내용을 서술해 보겠습니다.

출처 : 교재 http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/

영역 R위에서 f(x,y)≥0 인 경우 이중적분의 값은

영역 R위에서 z = f(x,y)의 그래프가 만드는 입체의 부피가 됩니다.

따라서 그 부피를 V라 하면

입니다.

174

좀 다른 방식으로 부피를 구해보면

고등과정에서 배운 내용으로 먼저 생각해보겠습니다

출처 :https://m.blog.naver.com/mindo1103/90154516330

a≤x≤b 에서 만들어지는 어떤 입체가 있을때

a에서 x만큼 떨어져 있는 곳에서의 단면적의 넓이가 A(x)이면 부피 V는

입니다.

이것을 이용해 이중적분의 값을 좀더 쉽게 구할 수 있습니다.

위 그림처럼 영역 R = [a,b] X [c,d] 위에서 z=f(x,y)의 그래프가 만드는 입체가 있을 때 a에서 x만큼 떨어진

부분에서의 단면적의 넓이를 A(x)라 하면 그 단면적의 넓이는 곡선 C 아랫부분의 넓이가 됩니다.

그리고 곡선 C는 x값이 일정하고, c≤y≤d 에서 그려집니다. 따라서

가 됩니다. 그러므로 입체부피 V는

가 되어 결과적으로

가 성립합니다.

또한,

주어진 부피는 다음과 같이 구할 수도 있습니다.

b에서 y만큼 떨어진 부분에서의 단면적의 넓이를 A(y)라 하면

175

그 단면적의 넓이는 곡선 C의 아랫부분의 넓이가 되고, 곡선 C는 y값이 일정하고 a≤x≤b 에서 그려지므로

됩니다.

따라서 입체의 부피 V는

가 되고 결과적으로

가 성립합니다.

결과를 종합해보면

가 됩니다.

여기서 위 식을 보면

이 등식이 성립합니다. -> 즉, 적분하는 순서를 바꾸어도 그 결과는 같습니다.

보통은 괄호를 생략하고 아래와 같이 나타낸다고 합니다.

★푸비니의 정리(Fubuni's Theorem)★

이변수 함수 f(x,y)가 직사각형 영역

에서 연속이면

176

가 성립한다.

푸비니의 정리를 설명하면서 f(x,y)≥0인 경우를 예를 들었지만, f(x,y)≤0인경우도 푸비니 정리의 사용이 가

능합니다.

푸비니의 정리는 적분영역이 직사각형이면 적분 순서를 바꾸어도 그 결과가 같다는 것을 보여줍니다.

푸비니의 정리를 이용하여 이중적분의 값을 구할때는 x에 대해 먼저 적분하고, 그 다음에 y에 대해 적분을

하던지 아니면 반대로 y에 대해서 먼저 적분하고, 그 다음에 x에 대해 적분을 해서 이중적분의 값을 구합니

다.

이렇게 구하는 방식을 '반복적분(Iterated Integral)' 이라고 합니다.

앞서 편미분할때 x에 대해 편미분한다면 y를 상수취급 했듯이 반복적분을 할 때도 x에 대해 적분한다면 y를

상수취급해도 됩니다.

먼저, 교제에 실려있는 푸비니 정리에 관한 간단한 문제입니다.

dxdy 를 dydx로 바꾸어도 값이 10으로 똑같이 나온다는 것을 알 수 있었습니다.

[open problem]

좀더 복잡한 이중적분 문제를 보면 이 또한 푸비니 정리에 의해 쉽게 풀어갈 수 있습니다.

177

이 또한 푸비니 정리에 의해 풀면 됩니다.

먼저 판서로 풀어보았습니다.

sage로 풀어보았습니다.

[code]

var ('x, y')

f(x, y) = (2*x*y^2) / (x^2+1)

intf = integral (integral (f, x, 0, 1), y, -3, 3)

print (intf)

Comment

178

푸비니 정리의 정의와 그 증명을 찾아보고 공부하며 이중적분을 더욱 쉽게 이해할 수 있었고,

이러한 개념정리를 바탕으로 sage프로그램을 통해 무엇보다 아주빠르고 쉽게 문제를 풀어나갈 수 있다는 것

또한 느꼈습니다. 감사합니다.

9개의 댓글

이*구(LEE SANGGU)7월 13일 오전 10:56

Very good^^

노*규(2022####70)7월 13일 오후 12:42

푸비니의 정리에 대해 공유 감사합니다. 연속이면 적분하는 순서를 바꾸어도 그 결과가 같다는 것

을 이해하였습니다. 감사합니다.

박*현(2022####72)7월 14일 오후 1:49

푸미니의 정리에 대해 다시 한 번 되짚어보고, 이중적분에 대해 이해도를 더 올릴 수 있었습니다.

전*준(2022####82)7월 17일 오후 5:20

푸비니의 정리에 대해서 공간으로 표현해주어서 직관적인 이해를 도울 수 있었습니다. 감사합니다.

결국 모든 적분은 연속인 것이 중요한 것 같습니다. 연속이 아니라면 똑같은 직사각형이 나올 수

가 없겠네요

김*수(2022####68)7월 18일 오후 1:36

정리해주신것을 통해 복습하고 쉽게 이해할수있었습니다. 감사합니다.

박*수(2022####73)7월 19일 오전 9:45

푸비니 정리에 대해 정리해주셔서 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

조*준(2022####83)7월 19일 오후 11:09

푸비니 정리에 대해 이해하고 순서와는 관계 없이 값이 일치함을 이해하였습니다

손*원(2022####75)7월 20일 오전 10:18

푸비니의 정리에 대해 자세하게 설명해주셔서 이해하는데 훨씬 도움이 되었습니다.

한가지 궁금한 점은 위의 열린 문제에 t로 치환하는 부분이 있는데 이후에 식을 전개한 것을 보면

관련된 내용이 없습니다.

제가 직접 판서로 푼 부분에서 별표에 치환한 부분이 이후 풀이에는 내용이 없다는 문의를 주셔서

김*환(2022####65)7월 20일 오전 10:32

손*원 학우님의 질문에 대한 답변입니다.

위의 식 2xy² / x² +1 의 식을 간단히 풀이하기 위해 중간과정으로써 t로 치환한 것입니다.

x² + 1 = t 로 치환하고 난 뒤에 양변에 x에 대해 미분을 하면 2xdx = dt 가 되는 과정입니다.

궂이 치환없이 풀어도 충분히 풀이할 수 있는 부분입니다. 부연 설명이 부족했네요 좋은 지적 감

사합니다!

이렇게 답변하며 QnA를 마쳤습니다.

푸비니의 정리에 대해 다시 한 번 정리할 수 있었습니다.

(4) 열린 문제 open problem(W1~W4)

1주차. 벡터, 행렬, 선형연립방정식

◩ 열린 문제 1

위에서 배운 벡터와 행렬에 대한 연산을 다른 교재의 행렬에 적용하는 행렬연산을 시행해 보시

오. [http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습]

◆ 임의의 행렬과 스칼라 생성 후 행렬의 연산 실습

180

[code]

A = random_matrix(ZZ, 6, 6, x = -10, y = 11) # -10부터 10까지의 정수를 성분으로 하는

6x6 행렬 A를 임의로 생성

B = random_matrix(ZZ, 6, 6, x = -5, y = 9) # -5부터 8까지의 정수를 성분으로 하는

6x6 행렬 B를 임의로 생성

C = random_matrix(ZZ, 6, 8, x = -5, y = 9) # -5부터 8까지의 정수를 성분으로 하는

6x8 행렬 C를 임의로 생성

k = ZZ.random_element(x = -3, y = 5) # -3부터 4까지 정수 k를 임의로 생성

print ("A =") # 행렬 A 출력

print (A)

print () # 한 줄 비움

print ("B =") # 행렬 B 출력

print (B)

print () # 한 줄 비움

print ("C =") # 행렬 C 출력

print (C)

print () # 한 줄 비움

print ("k =", k) # 스칼라 k 출력

print () # 한 줄 비움

print ("A + B =") # 행렬의 덧셈

print (A + B)

print ()

print ("k*A =") # 행렬의 실수배

print (k*A)

print ()

print ("A*C =") # 행렬의 곱셈 A*C

print (A*C)

print ("A^T =")

print (A.transpose()) # 행렬의 전치행렬 A.transpose() 구하기

print ()

print ("B^T =")

print (B.transpose()) # 행렬의 전치행렬 B.transpose() 구하기

print ()

print ((A*B).trace()) # 행렬 AB의 대각합

print ( )

print ((B*A).trace()) # 행렬 BA의 대각합

[answer]

181

◩ 열린 문제 2

인터넷이나 다른 교재에서 5차 (이상) 행렬을 찾아서, 전치행렬과 역행렬이 존재하는지를 확인하

고, 존재하면 찾아보시오.

◆ 전치행렬(5차)

[code]

A = matrix([[2, -7, 2, -1, -3],[ 5, -2, -8, 7, 8],[-2, -3, -3, 4, 0],[-2, 0, -3, 8,

-6],[-7, -1, 3, 7, 4]])

print ("A^T =")

print (A.transpose()) # 행렬의 전치행렬 A.transpose() 구하기

print ()

[answer]

182

A^T =

[ 2 5 -2 -2 -7]

[-7 -2 -3 0 -1]

[ 2 -8 -3 -3 3]

[-1 7 4 8 7]

[-3 8 0 -6 4]

◆ 역행렬(5차)

[code]

A = matrix([[2, -7, 2, -1, -3],[ 5, -2, -8, 7, 8],[-2, -3, -3, 4, 0],[-2, 0, -3, 8,

-6],[-7, -1, 3, 7, 4]])

print ("A =")

print (A)

print ()

print ("inverse of A =")

print (A.inverse()) # A의 역행렬 구하기, 형식은 A.inverse()

[answer]

◆ 가역행렬 판단(5차)

[code]

A = matrix(QQ, [[2, -7, 2, -1, -3],[ 5, -2, -8, 7, 8],[-2, -3, -3, 4, 0],[-2, 0, -3, 8,

-6],[-7, -1, 3, 7, 4]]) # QQ 는 유리수 연산 의미

A.is_invertible() # 행렬이 가역인지 확인 A.is_invertible()

[answer]

True

◩ 열린 문제 3

다른 교재의 선형 연립방정식의 해를 위의 명령어로 구하시오.

(Hint: http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/LA-Sec-3-5-lab.html 실습)

◆ 첨가행렬 구하기

183

출처 : https://datacookbook.kr/71

[code]

A = matrix([[-2, 5, 2], [1, 3, 0], [0, 1, 3]]) # 계수행렬 입력

b = vector([-3, 4, 6]) # 상수항 벡터

print ("[A : b] =")

A.augment(b) # 첨가행렬

[answer]

◆ 연립방정식의 해

[code]

A = matrix(3, 3, [-2, -5, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 3])

b = vector([-3, 4, 6])

print ("x =", A.inverse()*b) # 역행렬을 이용한 연립방정식의 해 구하기

print ("x =", A.solve_right(b)) # A.solve_right(b)를 이용

[answer]

◩ 열린 문제 4

6×9행렬 A와 6차원 벡터 b를 임의로 생성하여 선형연립방정식 Ax=b 의 해집합을 구하여라.

◆ 선형연립방정식의 Ax = b 특수해를 구한다.

[code]

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3, -2, 2,

4, 7, 3],

[6, 2, -4, 3, 9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3, -2, 3,

4, 9, 12]])

b = vector([3, 6, 3, -7, 8, 10])

A.solve_right(b)

[answer]

184

◆ 수반동차연릭방정식 Ax = 0의 해집합(해공간)

[code]

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3, -2, 2,

4, 7, 3],

[6, 2, -4, 3, 9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3, -2, 3,

4, 9, 12]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정되어 있으므로 계수행렬만 필요

[answer]

185

cf) 종합적으로 선형연립방정식의 해집합 꼴 (S = x0 + sh) 로 나타낸다면

186

Ch 2장. Participation (참여부분, 정량) 자기 평가와 본인의

Project (Term paper) 제안서 등에 대해 아래를 채우시오. (20점)

1. (20점) 본인이 그간 Q&A, 동료학생, “본"강좌 등에 기여한 내용을 간단히 서술하세요!

(1) QnA 참여 회수 <QnA에서 직접 확인하세요> : 각 주별 (토요일에서 금요일)

(1)

1주차 : 총17회, 2주차: 총 20회, 3주차: 총 7회, 4주차: 총 7회

(2)

5주차 : 총 7회, 6주차: 총 10회, 7주차: 총 5회, 8주차: 총 14회

(3)

9주차 : 총 ? 회, 10주차: 총 ? 회, by 박준수

총 87회 (질문: 9회, 답변/수정/Finalize: 78회)

(1) QnA 참여 회수 <QnA에서 직접 확인하세요> : 각 주별 (토요일에서 금요일)

(1)

1주차 : 총 22회, 2주차: 총 17회, 3주차: 총 11회, 4주차: 총 7회

(2)

5주차 : 총 7회, 6주차: 총 10회, 7주차: 총 12회, 8주차: 총 6회

(3)

9주차 : 총 회, by 손혜원

총 92회 (질문: 10 회(中 오타 1회), 답변/수정/Finalize: 82회)

(1) QnA 참여 회수 <QnA에서 직접 확인하세요> :

(1)

1주차 : 총 18 회, 2주차: 총 13 회, 3주차: 총 16 회, 4주차: 총 8 회

(2)

5주차 : 총 7 회, 6주차: 총 11 회, 7주차: 총 10 회, 8주차: 총 5 회

(3)

9주차 : 총 3 회, 10주차: 총 1 회, by 이주한

총 92회 (질문: 15회, 답변/수정/Finalize: 92회)

(2) 다음 밑줄 친 곳에 들어갈 내용을 고르시오. by 이주한

나는 아래의 내용 중 벡터, 행렬, 텐서, 노름, 선형연립방정식, 가우스 소거법,

RREF, 첨가행렬, 정사영, 최소제곱문제, 공간곡선, 벡터공간, 부분공간, 일차결합, Span, 일차

독립, 일차종속, 기저, 차원, 행공간, 열공간, rank,, 방향각, 내적, 외적, 이변수 직선의 방정

식, 평면의 방정식, 정사영, 두 평면간의 사잇각, 접평면과 선형근사, 벡터함수　（극한, 적분,

도함수), 벡터함수의 길이와 곡률, 등위곡면, 등위곡선, 이변수 편미분, 전미분, 접평면과 선형

근사, 이번수 음함수 미분법, 방향도함수, 그래디언트, 등위곡면의 접평면, 헤시안 행렬, 이변

수 함수의 극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값, *라그랑주의 승수법, 직사각형 영역에서의 이중적

분, 일반적인 영역에서의 이중 적분, 적분 순서 변경, 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분, 원기

둥 좌표계에서의 삼중적분, 구면 좌표계에서의 삼중적분, 벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발

산, 스토크스 정리, 발산정리, 복소수와 복소함수 의 개념을 이해하고, 설명할 수 있으며,

(간단한 것은 손으로, 복잡한 것은 Sage/R/python 등의 도구를 이용하여) 계산하여 그

의미를 설명할 수 있다.

(위 박스 안의 키워드에서 자신이 충분히 이해하고 있는 것을 표시하시면 됩니다.)

187

(3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은? by 김태환

중간 PBL)

이제 2차원에서 그래프를 그리던 것을 넘어 3차원까지 확장하여 실생활에 가깝게 접하

던 등고선과 등압선 등을 그래디언트를 통해 나타내어 활용할 수 있음을 알고 좀 더 높은

수준의 수학, 물리, 화학, 지리적인 학습을 교수님과 함께 동료분들과 함께 sage프로그램

을 활용하여 누구보다 빠르게 습득하고 쉽게 이해할 수 있었습니다. 또한 이번 1단원부터

4단원까지 가장 중요했던 주제는 ‘행렬’ 이었습니다. 행렬을 중학교에서 문제를 풀기위해

서만 학습했지 이 ‘행렬’이 실제 일상생활에 널리 적용되어 저희가 살아가는데 가장 큰

편의를 주는 교통망, 일기예보, CT촬영, 전기회로에 적용되어있다는 사실을 알게 되고 아

주 큰 놀라움을 느꼈습니다. ‘행렬’은 일반적으로, 대수학 중 선형대수는 곱셈의 연산 후

에 나타나는 변화와 구조에 더 많은 초점을 두고 있다고 합니다. ‘행렬’ 이론이나 벡터 공

간이론 등을 활용해 선형 방정식의 해를 구하는 것이 가장 큰 핵심이며, 주어진 선형시스

템 내에서 현상을 보다 효과적으로 표현 가능하도록 해줍니다. 특히 ‘벡터행렬’ 제한된 공

간 안에서의 선형사상을 표현하는데 유용하게 쓰인다고 합니다. 이런 ‘행렬’의 특징들을

이용하여 많은 미지수를 갖는 선형 연립방정식계가 자연과학, 공학, 경제항 등의 문제를

해결할 수 있는 수학적 모델링으로 사용된다고 하니, 좀 더 심화적인 학문에 발돋움을 뛴

것 같은 생각이 듭니다.

또한 이젠 선형대수학과 밀접한 다변수 미적분학(Multivariable Calculus)를 배우게 되

다 보니 고등수학과정에서는 전혀 이름도 듣지 않았던 RREF, 가우스-조던소거법 과 같은

생소한 단어들과 함께 어려운 개념 또한 다수 존재했습니다. 그러나 교수님께서 잘 구축

해 놓으신 문의게시판, QnA를 통해 직접 학습한 내용을 동료 분들과 공유해보고, 부족하

거나 참언할 내용이 있다면 여러 동료들과 교수님께서 코멘트를 달고 한 가지 주제를 가

지고 토론을 거쳐 완성된 학습교본으로 발전해가며, 학습에 가장 큰 도움이 되었다고 느

낍니다. 또한 교재에 실린 내용과 문제 외에 더 큰 범위의 여러 가지 개념과 정의 및 응

용문제들을 서로 서로 공유해보며 학습의 창을 좀 더 넓히고 하나의 교재를 만들어가는

훌륭한 과정을 배우고 있는 것 같습니다.

문의게시판을 잘 활용하는 학우들을 보며 큰 자신감을 배워야겠다고 느낍니다. 저는 정

확하지 않고 애매하거나 조금 모르겠는 부분이 있다면 절대 발설하지 않는 성격인데, 그

건 문의게시판의 특성을 잘 활용하지는 못하는 것 같습니다. 조금이라도 예습하거나 학습

하거나 어려운 부분이나 헷갈리거나 이해가 안 되는 부분이 발생하면 주저 없이 문의게시

판에 게시하여 여러 학우 분들과 소통의 장을 여는 다른 동료 분들을 보며 모르는 것이

잘못된 것이 아닌 알려고 하지 않는 것이 잘못된 것이라는 큰 교훈을 느낍니다.

188

최종 PBL)

이번 5주차~10주차까지의 내용은 정말 어디에서 배우지 못했던 생소한 내용이었습니다.

그만큼 학습하는데 처음엔 많은 어려움이 있었지만 동료 분들과 함께 QnA를 통해 학습

하는데 많은 성과가 있었습니다. 무엇보다 미분을 넘어선 적분의 개념이 앞서 학습했던

어느 내용보다 어렵다고 느꼈기에 동료 분들의 게시글에 최대한 질의를 많이 남기려고 노

력했습니다.

새로이 배우는 내용이 많았던 만큼 교재의 내용에 국한되지 않고 외부 사이트와 문제집

그리고 미적분학을 제외한 다른 과목 (일반물리학2)들에서도 많은 정보를 가져와서 미적

분학과 sage프로그램으로 해결해보려고 노력했고 덕분에 수학이라는 학문에 국한되지 않

고 공학적인 모든 분야를 아우르는 경험을 할 수 있었습니다.

가장 기억에 남는 것은 일반물리학2에 나왔던 “질량 중심”에 관한 내용을 삼중적분과

대입시켜 토론했던 부분입니다. 처음 수학적인 입장에서 무게와 질량에 차이를 준다거나

복잡하게 생각하지 않는 학문이며 특히 밀도를 고려해서 부피와 질량간의 관계를 이용하

는 것은 다소 수학이라는 학문과는 거리가 먼 방법이라고 생각하고 있었고, 찾아본 결과

실재로도 수학문제에 이를 적용함에 있어 굳이 밀도가 없어서 풀면 안 된다거나, 질량과

무게를 고려할 필요는 없다고 나와 있었습니다. 그러나 학우 분들과의 QnA를 통해 밀도

함수 P가 주어질 때, 입체 D의 질량을 구하는 삼중적분이 가능하다는 것을 알게 되고는

다시 한 번 QnA 의 중요성을 깨달았습니다.

마지막으로 이번 다변수 미적분학을 함께한 학우 분들과 함께 공부하며 소통과 토론의

중요성을 한번 더 느끼고 앞으로 배울 전자기학과 같은 어려운 학문에서도 이렇게 자기

생각과 의견을 토론할 수 있는 장이 있으면 좋겠다는 생각이 들었습니다. 처음에는 이런

방법이 아주 낮설고 어렵게만 느껴졌지만, 다시 되돌아가 생각해보면 교수님께서 저희에

게 이렇게 알고 있는 내용도 한번더 수정 보안할 수 있는 장을 열어주신 안배라는 생각이

들었습니다. 감사합니다.

189

Ch 3장. Self Evaluation 1. (개인 성찰 노트) (20점)

Class

다변수 미적분학(Multivariable Calculus)

Name/이름

김 * 환

2022****65

학습한 내용

벡터와 행렬, 선형연립방정식, 가우스소거법, 선형연립방정식의 해집합, 3차원 좌표게, 3차원벡

터, 내적, 외적, 3차원공간에서의 직선 및 평면의 방정식, 벡터함수와 공간곡선, 벡터함수의 미분

과 적분, 다변수함수, 극한과 연속, 편도함수, 접평면과 선형근사, 연쇄법칙, 방향 도함수와 그래

디언트 벡터, 푸비니의 정리, 극좌표계의 이중적분, 좌표계의 종류, 삼중적분

자기 점검표

활동(Activity)

Excellent

Good

Fair

나는 개인학습을 할 때 다양한 학습 자료를 사용하였다.

나는 새로운 정보와 지식제공에 기여하였다.

나는 토의에 적극적으로 참여하였고, 토의의 촉진과 이해를 위

한 적절한 질문을 많이 제공하였다.

나는 우리 반이 원활한 학습활동을 하는데 기여하였다.

[성찰노트]

※ 다음 항목들을 고려하여 자신의 학습과정과 내용을 기록하시오.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

누군가가 학습한 것에 대해 물어보면 무엇인지 답을 해줄수 있습니다. 고등수학에서 배우지 않

았던 생소한 내용이기 때문에 배운 명사에 대해 가장 열심히 정리했습니다.

최종 PBL 제출할때는 중간과는 다르게 제가 이해한 내용을 서술하는데 좀 더 힘을 실었습니다.

교수님께서 자기가 해보지 않으면 자기 것이 되지 않는다고 조언해 주셨기 때문입니다.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

Multivariable Calculus & Coding (저자 : 이상구 교수)

주차

학습내용

비고

벡터와 행렬, 선형연립방정식

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W1/

가우스 소거법, 선형연립방정식의 해집합

3차원 공간에서의 직선 및 평면의 방정식

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/

벡터함수와 공간곡선

벡터함수의 미분과 적분

다변수함수, 극한과 연속, 편도함수

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/

접평면과 선형근사, 연쇄 법칙

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W4/

방향 도함수와 그래디언트 벡터

다변수 함수의 극대, 극소, 최댓값과 최솟값

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5/

직사각형 위에서의 이중 적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/

일반적인 영역 위에서의 이중 적분

190

+ QnA와 제가 작성중인 PBL입니다. 한글파일 특성상 쉽게 단어 검색이 가능하기 때문에 헷갈

리는 부분이 있다면 쉽게 그 부분을 찾아볼 수 있었습니다.

교재의 내용 외에 인터넷 검색과 문제풀이 사이트 등을 이용했습니다. 또한 학우 분들이 공유한

교재외의 내용을 제것으로 만드려고 노력했습니다.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

선형연립방정식 Ax=b의 해집합 S를 구하는 것이 가장 기억에 남습니다. S = X0 +Sh를 이용하

여 X0 는 Ax = b의 하나의 특수해이고, Sh는 수반동차연립방정식 Ax = 0의 해집합(해공간)

삼중 적분의 활용 부분이 가장 기억에 남습니다 수학이라는 학문에 국한되지 않고 공학이라는 학

문 전체를 아울러 사용할 수 있는 방법이기 때문입니다.

1학기에 일변수 미적분학에 대해 배원 것을 확장하여, 이변수 미적분학에 대해서 학습하였습니

다. 변수가 확장이 되다보니 이전보다 더욱 수학적 사고에 대해서 많은 고민과 이야기를 나누었던

것 같습니다. 일변수 함수에서는 단순히 한 가지 답에서만 푸는 것이였다면 다변수에서는 여러

개의 답을 가지고 있는 범위를 구하는 것이며, 해가 없을 때에도 가장 이상적인 해를 찾는 것 또

한 학습하였습니다. 문제에 대한 계산 과정을 이해하고 컴퓨터를 이용하여 답을 구하는 방법을 통

해 학습하였습니다. 손으로 풀 수 없는 문제들에 대해서 과정을 알고 그래프로 가시화하면서 이해

하는데 많은 도움이 되었던 것 같습니다.

(Final PBL)

미적분학2를 학습하면서 특히 이중적분, 삼중적분을 배우면서 앞으로 우

리가 마주하게 될 문제들에 대해서 좀 더 직관적으로 받아들일 수 있게

되었습니다. 최종적으로 9주차에 벡터장에 배움과 동시에 3가지의 중요한

정리에 대해서 문제를 풀며 이해도를 높여갔습니다. 2학기때 학습할 전자

기학에서 자기장과 같은 vector field에 대한 영역을 계산을 할 수 있을

것 같다는 자신감이 생겼습니다.

(1). 그린정리(Green's theorem) :평면영역에서 폐곡선의 선적분과 경계선 포함

극 좌표에서의 이중 적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/

삼중 적분

원기둥 좌표에서의 삼중 적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/

구면 좌표에서의 삼중 적분

벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발산, 면적분,

스토크스 정리, 발산정리

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W9/

복소수와 복소함수 / 공학수학 소개

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W10

191

영역 내 이중적분간의 관계에 관한 정리

(2). 스토크스 정리 (Stokes theorem) : 선적분과 면적분을 연관시켜주는 정리

(3). 발산 정리(divergence theorem) 벡터 장의 선속이 그 발산의 삼중 적분과

같다는 정리

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

자신감을 배웠습니다. 저는 모르는 것이 발생하면 제가 정확히 이해하기 전에

부끄러움 때문에 문의게시판에 글을 남기기 어려웠는데 다른 동료분들의 서슴없

이 질문하는 자세를 보고 많은 것을 깨달았습니다.

행동력입니다. 새로 배워야할 내용을 누구보다 빠르게 미리 예습하고, 인터넷에

찾아보고 누구보다 빠르게 공유하는 모습을 보고 본받아야겠다고 생각했습니다.

저는 다른 동료들의 질문을 통해 제가 생각하지 못했던 부분들에 학문에 대해서

좀 더 심도있게 알 수 있었습니다. 특히, 임경섭 학우가 질문 했던 보존 벡터장

에 대해서 생각해보지 못했으나 질문을 하고 토론함으로써 새로운 지식을 습득하

였습니다. 복소 평면에 대차원의 확장이 가능한지에 대해서도 알 수 있었습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

이미 교통망, 일기예보, CT촬영 등에 적용되어있는 행렬, 그리고 등고선, 등압선에 적용되어있

는 그래디언트처럼 정확한 해를 구하는 것이 아닌 구하기 힘든 해를 구해야 하는 거리 예측과

같은 것들을 쉽게 적용해 볼 수 있을 것 같습니다.

이번 Chapter0 에 서술하긴 했지만 미적분은 정말 많은 분야에 적용되어있고 그렇기에 저희는

미래를 이끌어갈 인원으로써 미적분학을 꼭 배워야만합니다.

우리 일상 속에서 나오는 문제들은 대부분 수기로 풀 수 없는 문제들 이거나 답이 없는 문제들이

많다 다변수 미적분학을 배우면서 해가 없는 경우에도 최적의 해를 구할 수 있는 방법을 알 수 있

었으며, Sage math를 이용하여 실제 생활에 적용이 가능할 것 같다는 생각이 들었습니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적

으세요.) : - 9/10 점

1학기에 진행 했던 QnA 참여는 횟수가 좀 아쉬웠습니다. 그러나 이번 여름학기에

서는 동료분들이 공유한 내용 전부를 이해하려고 노력하였고, 그 덕분에 1학기 15

주 전체를 합친 것 이상의 개수를 채웠기 때문입니다.

이번 최종 PBL에는 배운 내용을 모조리 적거나 조금이라도 활동했던 내용을 적기

보다는 유의미한 기여를 했거나 핵심적인 부분만 서술했기에 중간때에 비해 양은

적습니다. 그래도 좀 더 의미있는 최종 PBL이 된 것 같습니다.

192

다변수 미적분학에서 제가 단순히 3차원의 개념을 넘어서 그 이상의 차원을 확장이 가능함을

보였고, 일변수 미적분학을 배운 사람들에게는 단순히 확장 개념을 일반화하여 이해할 수 있도

록 QnA 활동을 했었습니다.

삼중적분에 대한 발산시에 적분 방법, 복소평면의 3차원 확장 방법 등등 배운 것들에 대해서 한

번 더 확장하는 고민들을 많이 해보았습니다. 또한 Q&A의 댓글만 다는 것이 아닌 대부분의 열린

문제를 직접 풀어보고 학우들과 공유하였습니다.

다른 학생에 대한 평가

자신감과 자신이 교재 외에 새로 알게 된 것이 있다면 적극적으로 공유하려는 동료들입니

다. 저도 다른 동료들에게 자신감과 학습 의욕을 많이 배웁니다.

정말 잘하는 학생들은 누구보다 빠르게 예습하고 학습한 것을 공유한 학생들입니다. 교수

님께서 강조하셨던 FIRST OR BEST 가 무슨 의미인지 잘 알게 되었습니다. 먼저 공유한 학

생의 내용을 토대로 토론이 자주 발생하다보니 저또한 그렇게 하지 못한점이 조금 아쉽습니

다.

193

Self Evaluation 2. (개인 성찰 노트 2)

과 목 명

다변수 미적분학(Multivariable Calculus)

이 름

김 * 환

2022****65

평가항목

전혀

아니

다

아니

다

약간

아니

다

약간

그렇

다

그렇

다

매우

그렇

다

온라인-오프라인 출석을 규칙적으로 하였다.

QnA에 적극적으로 참여하였다.

QnA 내용에 적합한 질문과 응답을 하였다.

동료에게 도움이 되는 지식과 정보를 제공하였다.

다른 동료의 의견을 존중하였다.

QnA 운영 및 의견수렴과정에 긍정적으로 기여하였다.

이번 강좌의 동료와 다른 수업도 듣고 싶다.

[의견]

▶ 자체평가에 따른 잘한 점

PBL 보고서를 그저 과제 때문에 작성하는 것에 그치지 않고 앞으로 공

부해 나가면서도 헷갈리거나 모르는 단어가 나오게 되면 이 PBL 보고서

를 활용해 검색해보며 공부할 수 있도록 Ch1.의 내용정리 부분에 교재

의 내용과 추가적인 내용들을 빠짐없이 기록해 두었습니다. 덕분에 하나

의 교재를 완성한 느낌입니다.

동료분들이 교재 외의 내용과 유사한 문제풀이들을 공유해 줄 때 도 그

것들을 모두 이해하려고 노력하였고, 코멘트 및 적극적인 QnA 토론으로

제 것으로 만들려고 노력하였습니다. 정말로 유의미한 핵심적인 내용만

담아 교재가 아닌 제가 만든 보고서가 될수있도록 최선을 다했습니다.

온-오프라인 출석을 규칙적으로 하였으며, 다변수 미적분학에 대해서 동

료에게 주차별 학습에 대한 기본 개념에 대해서 설명하고, 애니매이션을

이용하는 동료들이 함께 이해할 수 있도록 공유하고 토론하였습니다. 동

료들간 토론을 통해 문제에 대한 결과를 도출하며 학습하였습니다. 중적

분에 대한 발산시에 적분 방법, 복소평면의 3차원 확장 방법 등등 배운

것들에 대해서 한번 더 확장하는 고민들을 많이 해보았습니다. 또한

194

Q&A의 댓글만 다는 것이 아닌 대부분의 열린문제를 직접 풀어보고 학우

들과 공유하였습니다.

▶ 자체평가에 따른 아쉬운 점

PBL 생소하고 어려운 내용이 많다보니 그것들을 이해하고 공부하고 이해하는 데에 많

은 시간을 썼습니다. 그러나 보니 1학기 때처럼 교재 외의 새로운 내용들의 공유를 많

이 못한 점이 아쉽습니다. 그래도 다른 많은 동료 분들이 제가 1학기에 했던 것처럼

새롭게 알게 된 내용들을 많이 공유해 주셔서 그 부분을 제가 이해하는데 많은 도움을

받았습니다. 남은 여름학기에는 제가 직접 그 새롭게 알게 된 많은 내용들을 공유해 드

리고 싶습니다. 코드를 활용해서 현재 물리에서 배우고 있는 문제들에 대해서 다

양한 수학적 모델링을 하고 문제들을 풀어보고 싶었으나, 그 부분에서는 활동

을 많이 못했던 것 같습니다.

195

Self Evaluation 3. (개인 성찰 노트 3)

자신의 학습에 도움이 된 우수한/성실한 동 료 평 가

과 목 명

다변수 미적분학(Multivariable Calculus)

(두 명 이상의 추천을 받은 학생은 가산점)

피평가자(동료) ID

Best classmate

임*섭, 전*준, 백*준, 손*원, 김*구, 천*준,

평가자(작성자) ID

your name

이*한, 김*환

평가항목

전혀

아니다

약간

아니다

약간

그렇다

매우

그렇다

온라인-오프라인 출석을 규칙적으로 하였다.

QnA에 적극적으로 참여하였다.

QnA 내용에 적합한 질문과 응답을 하였다.

동료에게 도움에 되는 지식과 정보를 제공하였

다.

다른 동료의 의견을 존중하였다.

QnA 운영 및 의견수렴과정에 긍정적으로 기여하

였다.

이번 강좌의 동료와 다른 수업도 듣고 싶다.

[의견]

▶ 자체평가 중 잘한 점

천*준 학생은 예습과 과제 등을 어느 학생보다 가장 먼저 공유하고 제출합니다.

예습이 학습하는데 아주 중요한 만큼 많이 본받아야겠다고 생각했습니다.

임*섭 학생은 동료 분들이 공유하신 QnA 내용에 많은 질문을 던져 교수님이 추

구하시는 QnA의 적극적인 활용의 모범이 된 학생인 것 같습니다. 무엇이든지 질문

하여 학습의 장을 만드는 점 또한 배워야겠습니다.

손*원 학생은 교수님이 공유하신 교재의 오타나 잘못된 부분을 날카롭게 잘 찾아

내어 완성된 교재를 만드는데 큰 도움을 주었습니다.

▶ 자체평가 중 미비점

천*준 학생은 아무래도 가장 먼저 제출하다보니 완성도가 조금 떨어질 수 있는 부분

이 있을 것 같습니다. 좀 더 검토를 통해 여유를 가진다면 더 완성도 높은 결과물이 나

올 수 있을 것 같습니다.

196

Ch 4장. PBL Participation/Activity Part (30점)

(4장. 학습활동 참여 부분 )

-기말고사 이전까지 모든 열린문제에 대해 토론을 거쳐 얻은 정답 (10점) by 손혜원

[1주차. 벡터, 행렬, 선형연립방정식]

-열린문제1, 2

[Final][W1 HW1] 손*원, 이*인, 임*섭, 전*준, 이*한, 김*환, 김*구, 윤*수, 신*호, 김*영, 김*철

open problem1,2

안녕하세요. 소재부품융합공학과 손*원입니다.

1주차에 학습한 내용 중 open problem1,2과 관련된 내용을 정리하고 실습해보았습니다.

[벡터와 행렬의 연산]

1. 벡터의 연산

(1) 덧셈(vector addition) : 두 벡터

에 대하여

(2) 실수배(scalar multiplication) : 실수

와 벡터

에 대하여

(3)

로 나타내며,

의 음벡터(negative vector)라 한다.

(4) 벡터연산의 법칙 (

는

의 벡터,

는 스칼라)

①

(덧셈의 교환법칙)

②

(덧셈의 결합법칙)

③

(덧셈에 대한 항등원)

④

(덧셈에 대한 역원)

⑤

(분배법칙)

⑥

(분배법칙)

⑦

⑧

2. 행렬의 연산

(1) 덧셈(addition) :

행렬

에 대하여

와

의 합(sum)은 같은 위치에 있는 성분끼리의 합

으로 정의된다.

그러므로 크기가 서로 다른 행렬끼리는 더할 수 없다.

197

(2) 실수배(scalar multiple) :

행렬

와 스칼라

의 곱(product)은

로 정의된다.

로 나타내며,

로 정의한다.

(3) 행렬곱셈(matrix product) :

행렬

와

행렬

의 곱(product)

는

성분이 다음과 같이 정의

되는

행렬이다.

(

)

즉

의

성분은

의

행과

의

열의 대응하는 성분끼리 곱하여 모두 더한 값으로 정의된다.

따라서 앞의 행렬의 열의 개수와 뒤의 행렬의 행의 개수가 같아야 한다.

(4) 행렬연산의 법칙

①

(덧셈의 교환법칙)

②

(덧셈의 결합법칙)

③

(덧셈에 대한 항등원, 역원)

④

(곱셈의 결합법칙)

⑤

(분배법칙)

⑥

(분배법칙)

⑦

⑧

⑨

⑩

⑪

[open problem 1]

임의의 행렬과 스칼라를 생성한 후 행렬의 연산을 실습해보았습니다.

A = random_matrix(ZZ, 6, 6, x = -10, y = 11) # -10부터 10까지의 정수를 성분으로 하는 6x6 행렬 A를 임의로

생성

B = random_matrix(ZZ, 6, 6, x = -5, y = 9) # -5부터 8까지의 정수를 성분으로 하는 6x6 행렬 B를 임의로 생

성

C = random_matrix(ZZ, 6, 8, x = -5, y = 9) # -5부터 8까지의 정수를 성분으로 하는 6x8 행렬 C를 임의로

생성

k = ZZ.random_element(x = -3, y = 5) # -3부터 4까지 정수 k를 임의로 생성

print ("A =") # 행렬 A 출력

print (A)

print () # 한 줄 비움

print ("B =") # 행렬 B 출력

print (B)

print () # 한 줄 비움

print ("C =") # 행렬 C 출력

198

print (C)

print () # 한 줄 비움

print ("k =", k) # 스칼라 k 출력

print () # 한 줄 비움

print ("A + B =") # 행렬의 덧셈

print (A + B)

print ()

print ("k*A =") # 행렬의 실수배

print (k*A)

print ()

print ("A*C =") # 행렬의 곱셈 A*C

print (A*C)

print ("A^T =")

print (A.transpose()) # 행렬의 전치행렬 A.transpose() 구하기

print ()

print ("B^T =")

print (B.transpose()) # 행렬의 전치행렬 B.transpose() 구하기

print ()

print ((A*B).trace()) # 행렬 AB의 대각합

print ( )

print ((B*A).trace()) # 행렬 BA의 대각합

<실행화면>

[전치행렬과 역행렬]

1. 전치행렬(transpose matrix)

(1) 정의 : 행렬

의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬

예)

(2) 성질

①

②

③

④

2. 역행렬(inverse matrix)

(1) 정의 :

정사각행렬

에 대하여

를 만족하는 행렬

가 존재하는 경우,

는 가역(invertible, nonsingular)

행렬이라고 하고,

는

의 역행렬(inverse matrix)이라 하며,

로 나타낸다.

만약, 이러한

가 존재하지 않으면

는 비가역(noninvertible) 또는 특이행렬(singular matrix)이라고 한다.

199

(2) 성질 (

의 정사각행렬

가 가역(역행렬이 존재)이고

가

이 아닌 스칼라)

①

은 가역이고,

이다.

②

는 가역이고,

이다.

③

는 가역이고,

이다.

④

[증명:

]

(3)

정사각행렬

에 대하여

의 역행렬은

일 때 다음과 같이 구한다.

이때

를 2차행렬

의 행렬식(determinant)이라고 한다.

(4) 만약 한 행이 모두 0이면 역행렬이 존재하지 않는다.

[open problem 2]

임의의 행렬을 생성한 후 전치행렬과 역행렬을 구해보았습니다.

A = random_matrix(ZZ, 5, 5, x = -10, y = 11) # -10부터 10까지의 정수를 성분으로 하는 5x5 행렬 A를 임의로

생성

B = random_matrix(ZZ, 5, 5, x = -5, y = 9) # -5부터 8까지의 정수를 성분으로 하는 5x5 행렬 B를 임의로 생

성

print ("A^T =")

print (A.transpose()) # 행렬의 전치행렬 A.transpose() 구하기

print ()

print ("B^T =")

print (B.transpose()) # 행렬의 전치행렬 B.transpose() 구하기

print ()

print ("B =")

print (B)

print ()

print ("inverse of B =")

print (B.inverse()) # B의 역행렬 구하기, 형식은 B.inverse()

print ()

print ("행렬B의 가역판정 :",B.is_invertible()) # 행렬이 가역인지 확인 B.is_invertible()

print ()

print ("B*B^(-1)= ")

print (B*(B.inverse()))

<실행화면>

200

벡터와 행렬에 대해 학습하고, 실습을 진행하면서 새로운 개념을 배울 수 있었습니다.

또한, 직접 계산할 수 없는 5차이상의 행렬을 만들어 문제에 적용해보았고, sage를 활용하여 편리

하게 학습할 수 있었습니다.

질문 : sage를 활용하여 행렬 B의 역행렬을 구하고, 가역여부를 판정하니 False로 판정되었습니

다. 하지만, B와 B의 역행렬의 곱은 단위행렬임을 확인할 수 있었습니다.

두 코드의 결과가 차이가 나는 이유가 궁금합니다.

이상구(LEE SANGGU)6월 16일 오후 6:43

A = random_matrix(ZZ, 5, 5, x = -10, y = 11)가역행렬을 평가하는 과정에서 정수 ZZ 만 사

용하였기 때문입니다.행렬생성시 유리수 행렬로 생성하라고, ZZ 대신 QQ로 바꾸어서다시해보세

요. True 라고 답을 주는지 확인해 보세요그래서 코드를 사용시는 ...난점을 극복하려면 더욱 ...

이론을 ...알아야만 한답니다

이*인(2022+++####79)6월 16일 오후 7:52

행렬생성시 유리수 행렬로 생성하라고, ZZ 대신 QQ로 바꾸어서 다시해보세요.>>B =

random_matrix(QQ, 5, 5) # 유리수를 성분으로 하는 5x5 행렬 B를 임의로 생성sage코드 두번

째 줄 B라인을 상기 식으로 바꾸면행렬B의 가역판정 : True 가 됨을 알 수 있었습니다.

-열린문제3

[Final] [W1 HW] [이*한, 김*영, 김*철, 손*원, 박*현] [열린문제3] 가역행렬 A 를 갖는 선형연립

방정식의 개념 및 해집합

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다

아래 두가지 내용 요약 및 5개 미지수에 대한 선형연립방정식에 열린문제 공유드립니다.

감사합니다.

n개의 미지수를 갖는 m개의 일차방정식으로 이루어진 로 간단히 쓸 수 있다.

201

행렬 A를 선형연립방정식의 이라 하며, A에 b를 붙여서 만든 행렬을 이라고 한다.

(계수행렬이 가역인 선형연립방정식의 해)

차의 정사각행렬

가 가역이고

가

의 벡터일 때, 연립방정식

는 유일해

를 갖는다.

A = matrix([[3,1,5,7,4], [7,2,2,1,3], [1,3,5,7,9], [14,1,6,8,9], [1,3,3,4,3]]) # 계수행렬 입력

b = vector([9, 1, 0, 4, 5]) # 상수항 벡터

print ("[A : b] =")

A.augment(b) # 첨가행렬

A = matrix([[3,1,5,7,4], [7,2,2,1,3], [1,3,5,7,9], [14,1,6,8,9], [1,3,3,4,3]]) # 계수행렬 입력

b = vector([9, 1, 0, 4, 5]) # 상수항 벡터

print ("x =", A.inverse()*b) # 역행렬을 이용한 연립방정식의 해 구하기

print ("x =", A.solve_right(b)) # A.solve_right(b)를 이용하여 구할 수도 있다.

-열린문제4

202

[Final OK by TA] [W1 HW-2] Finalized by[임경섭, 이주한, 노태완, 김재영, 박경현, 천혜준,

김용철, 윤관수, 조현준, 박준수, 전형준, 김현구, 신종호, 이효민, 노영규, 김대환] [열린문제4]선형연립방정식 Ax=b

해집합.

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

선형연립방정식의 해집합 내용 추가하여 공유드립니다.

Comment

해가 무수히 많은 경우 수반동차연립방정식 Ax = 0 의 해집합(해공간)에 대하여 파악 후 S =

X_0+S_h의 꼴로 해집합을 표현할 수 있음을 알 수 있었고

열린문제4을 이용하여 6*9 행렬에 대해서도 A.right_kernel() 코드를 이용하여 수기 계산이

어려운 경우에도 손쉽게 해집합을 구할 수 있음을 확인하였습니다.

1. 선형연립방정식 Ax=b의 해(Solution)

어떤 선형방정식 Ax = b에 대한 해가 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 해의 존재 여부를 우리는

소거법(Elimination)을 통해 판별할 수 있으며,

만약 해가 존재한다면 이식에 대한 유일해나 해의 전체 집합을 아아 내야한다. 또한, Ax = b의 완전해는 어떤 하나의

특정해(particular solution(=X_0))와 Null space의 해인 부분 공간(subspace)의 합으로 표현될 수 있다.

선형연립방정식의 해가 무한할 경우 해집합 S는 S = x_0 + S_h 으로 표현된다

1) X_0는 Ax=b를 만족하는 하나의 특수해

2) S_h는 수반동차연립방정식 Ax=0의 해집합(해공간)

※ 참고 선형엽립방정식 Ax = 0가 유일한 해를 가질 떄는 Ax=0의 해집합이 S_h = {0}인 경우이다. 그리고 Ax=b의

해가 존재하지 않을 때는 X_0를 찾을 수 없다.

2. 선형연립방정식과 수반동차연립방정식의 해집합 사이의 관계

Ax=b의 해집합 X_0+W의 기하학적 의미는 Ax=0의 해공간 W에 Ax=b의 특수해(particular solution)를 더한 평행이동

집합이다.

따라서 X_0+W는 영벡터를 가지지 않으므로 R^n의 부분공간이 아니다.

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/cla-week-4.html

https://twlab.tistory.com/22

1. 선형연립방정식의 Ax=b 특수해를 구한다.

[Final OK by TA] [W1 HW-2] Finalized by [임경섭, 이주한, 노태완, 김재영,

박경현, 천혜준, 김용철, 윤관수, 조현준, 박준수, 전형준, 김현구, 신종호, 이효민,

노영규, 김대환] [열린문제4]선형연립방정식 Ax=b 해집합.

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 6월 20일 오전 1:00

203

[Sage code]

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3, -2, 2, 4, 7,

3],

[6, 2, -4, 3, 9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3, -2, 3, 4, 9,

12]])

b = vector([3, 6, 3, -7, 8, 10])

A.solve_right(b)

2. 수반동차연립방정식 Ax=0의 해집합(해공간)을 구하면 다음과 같다.

204

[Sage code]

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3, -2, 2, 4, 7, 3],

[6, 2, -4, 3, 9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정되어 있으므로 계수행렬만 필요

위 문제에 대해서 종합적으로 선형연립방정식의 해집합 꼴(S = x_0 + S_h)로 나타낸 낼 경우 아래와 같다

=============================================================

[W1 HW-2]임경섭, 선형연립방정식 Ax=b 해집합.

작성자 : 임경섭(2022####81)작성일 : 6월 15일 오후 8:49

안녕하세요. 소재부품융합공학과 임경섭입니다.

선형연립방정식(Ax=b)의 해집합(S)를 구하는 방법에 대해 학습하여 정리한 내용을 공유드립니다.

206

참고 자료 : Contemporary Linear Algebra - Week 4 (skku.ac.kr)

1. Ax=b 의 특수해 구하기.

[코딩 명령어]

A = matrix([[1, 2, -2, 0, 2, 0], [2, 6, -5, -2, 4, -3],

[0, 0, 5, 10, 0, 15], [2, 6, 0, 8, 4, 18]]) # 계수행렬

b = vector([0, -1, 5, 6]) # 상수항 벡터

A.solve_right(b) # 구하기

2. 정사각행렬이 아니기 때문에, Ax=0 의 해집합 Sh구하기

[코딩 명령어]

A = matrix([[1, 2, -2, 0, 2, 0], [2, 6, -5, -2, 4, -3],

[0, 0, 5, 10, 0, 15], [2, 6, 0, 8, 4, 18]]) # 계수행렬

A.right_kernel() # Sh구하기

207

##아래는 다른 교재에 나와있는 답안

질문 : Sage를 통해 구한 특수해 X0 는 답안과 똑같이 나오는데, Ax=0의 해집합 Sh 값이 조금 형태가 다른데 이유가

있을까요.

[벡터에 스칼라배와 덧셈 연산이 되어있는 것 같은데 저렇게 형태가 달라도 답이 같은지도 궁금합니다.]

이상구(LEE SANGGU)6월 15일 오후 9:26

해집합 S = x_0 + S_h 을 정확히 집합으로 표현해 주세요. 할 때, 특수해와 해공간의 기저 모양이 다를 수

있습니다. 둘다 틀린것은 아닙니다. 그러나 지금 주신 답과 다른 교재의 답 모두 ... 해집합 S = x_0 + S_h

을 정확히 집합으로 표현해 주세요. 1. 우리 교재의 표현대로 정확하게 해집합을 표현해 답을 주시기 바랍니

다.

[Final OK by TA] [W1 HW-2] Finalized by [임*섭, 이*한, 노*완, 김*영, 박*현, 천*준, 김*철,

윤*수, 조*준, 박*수, 전*준, 김*구, 신*호, 이*민, 노*규, 김*환]

[열린문제4]선형연립방정식 Ax=b 해집합.

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

선형연립방정식의 해집합 내용 추가하여 공유드립니다.

1. 선형연립방정식 Ax=b의 해(Solution)

어떤 선형방정식 Ax = b에 대한 해가 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 해의 존재 여부를 우리는 소거법

(Elimination)을 통해 판별할 수 있으며,

만약 해가 존재한다면 이식에 대한 유일해나 해의 전체 집합을 아아 내야한다. 또한, Ax = b의 완전해는 어떤 하나의

comment

right_kernel() 명령어를 이용하여 수반동차연립방정식 Ax = 0의 해집합을 구하는 방법을 이

해했습니다.

208

특정해(particular solution(=X_0))와 Null space의 해인 부분 공간(subspace)의 합으로 표현될 수 있다.

선형연립방정식의 해가 무한할 경우 해집합 S는 S = x_0 + S_h 으로 표현된다

1) X_0는 Ax=b를 만족하는 하나의 특수해

2) S_h는 수반동차연립방정식 Ax=0의 해집합(해공간)

※ 참고 선형엽립방정식 Ax = 0가 유일한 해를 가질 떄는 Ax=0의 해집합이 S_h = {0}인 경우이다. 그리고 Ax=b의 해가

존재하지 않을 때는 X_0를 찾을 수 없다.

2. 선형연립방정식과 수반동차연립방정식의 해집합 사이의 관계

Ax=b의 해집합 X_0+W의 기하학적 의미는 Ax=0의 해공간 W에 Ax=b의 특수해(particular solution)를 더한 평행이동 집

합이다.

따라서 X_0+W는 영벡터를 가지지 않으므로 R^n의 부분공간이 아니다.

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/cla-week-4.html

https://twlab.tistory.com/22

1. 선형연립방정식의 Ax=b 특수해를 구한다.

[Sage code]

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3, -2, 2, 4, 7, 3], [6, 2, -4, 3,

9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12]])

b = vector([3, 6, 3, -7, 8, 10])

A.solve_right(b)

2. 수반동차연립방정식 Ax=0의 해집합(해공간)을 구하면 다음과 같다.

[Sage code]

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3, -2, 2, 4, 7, 3], [6, 2, -4, 3,

9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정되어 있으므로 계수행렬만 필요

209

위 문제에 대해서 종합적으로 선형연립방정식의 해집합 꼴(S = x_0 + S_h)로 나타낸 낼 경우 아

래와 같다

============================================================================

[W1 HW-2]임*섭, 선형연립방정식 Ax=b 해집합.

안녕하세요. 소재부품융합공학과 임*섭입니다.

선형연립방정식(Ax=b)의 해집합(S)를 구하는 방법에 대해 학습하여 정리한 내용을 공유드립니다.

210

참고 자료 : Contemporary Linear Algebra - Week 4 (skku.ac.kr)

1. Ax=b 의 특수해 구하기.

[코딩 명령어]

A = matrix([[1, 2, -2, 0, 2, 0], [2, 6, -5, -2, 4, -3], [0, 0, 5, 10, 0, 15], [2, 6, 0, 8, 4, 18]]) # 계수행렬

b = vector([0, -1, 5, 6]) # 상수항 벡터

A.solve_right(b) # 구하기

2. 정사각행렬이 아니기 때문에, Ax=0 의 해집합 Sh구하기

[코딩 명령어]

A = matrix([[1, 2, -2, 0, 2, 0], [2, 6, -5, -2, 4, -3], [0, 0, 5, 10, 0, 15], [2, 6, 0, 8, 4, 18]]) # 계수행렬

A.right_kernel() # Sh구하기

##아래는 다른 교재에 나와있는 답안

211

질문 : Sage를 통해 구한 특수해 X0 는 답안과 똑같이 나오는데, Ax=0의 해집합 Sh 값이 조금

형태가 다른데 이유가 있을까요.

[벡터에 스칼라배와 덧셈 연산이 되어있는 것 같은데 저렇게 형태가 달라도 답이 같은지도 궁금합

니다.]

임*섭(2022+++####81)6월 16일 오후 2:25

이상구(LEE SANGGU)6월 16일 오후 1:55 다른 교재가 준 답의 두 벡터가 임*섭 씨가 준 두 개

의 벡터에 가우스소거법의 ERO 해서 얻어지는 벡터들 인것은 보이나요?

ERO 기본행 연산의 3가지 중에 행렬에 0이 아닌 실수배를 곱한다와 실수배를 하여 다른행에 더

한다는 규칙을 통해 나온 벡터라는것은 확인 하였습니다. 따라서 둘 다 Ax=0 의 같은 해공간에

있습니다.

[2주차. 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영]

-열린문제1

[Final OK by TA] Final [W2 HW1] [김*구, 이*한, 임*섭, 전*준, 김*영, 이*인, 손*원, 노*규,

임*섭, 천*준] [벡터의 노름,내적, 사잇각 ]-open problem 1

안녕하세요 천*준 입니다.

2주차 학습 중 백터에 관한 문제들을 학습해보고 공유드립니다. [열린 문제1]

임의로 10차원 벡터 와 를 생성하여 ll a ll, ll b ll , a * b (내적) , a와 b가 이루는 사잇각 (호도법, 육십

분법)를 구하시오.

(1) ll a ll, ll b ll

Sage 코드

a = vector([5, 2, -4, 5, -3, 4, 4, 8, -9, 7])

b = vector([-2, 6, 7, -6, 5, -4, 7, 8, 7, 2])

print (a.norm())

212

print (b.norm())

(2) a * b (내적)

Sage 코드

a = vector([5, 2, -4, 5, -3, 4, 4, 8, -9, 7])

b = vector([-2, 6, 7, -6, 5, -4, 7, 8, 7, 2])

print (a.inner_product(b))

(3) a와 b가 이루는 사잇각

Sage 코드

a = vector([5, 2, -4, 5, -3, 4, 4, 8, -9, 7])

b = vector([-2, 6, 7, -6, 5, -4, 7, 8, 7, 2])

ab = a.inner_product(b)

an = a.norm()

bn = b.norm()

ang_rad = arccos(ab/(an*bn)).n(digits=5)

ang_deg = (180*ang_rad/pi).n(digits=5)

print ("ang(rad) =", ang_rad)

print ("ang(deg) =", ang_deg)

-----------------------------------------------------------------------------

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

벡터의 내적의 특징 및 성질에 및 열린문제 공유드립니다.

Comment

10차원 벡터가 이루는 각, 직교여부, 평행여부, 단위벡터를 프로그램을 이용하여

계산하면서 각 식이 의미하는 바를 이해할 수 있었으며, 손으로 풀기 어려운 문제

에 대해서 쉽게 접근하고 이해할 수 있었습니다.

-----------------------------------------------------------------------------

1. 벡터 내적의 특징

213

2. 벡터의 내적 성질

벡터의 내적에서 교환법칙과 분배법칙이 성립하기 때문에 실수에서 나오는 곱셉과 비슷한 계산 형태를 가지게 되고, 곱셈

공식이나 인수분해 비슷한 방법으로 계산 하게 된다.

3. 벡터의 내적 사용 용도

3-1. 두 벡터가 수직이다.

3-2. 두 벡터가 이루는 각을 찾을 때

3-3. 직각삼각형과 연계된 도형에 내적 사용

214

위에서는 3차 행렬에 대한 벡터의 내적만 다루었지만, 이를 확장시키면 10차원에 대한 벡터의 내

적도 계산이 가능하다.

sage code를 이용하여 10차원의 벡터의 내적을 계산한 결과는 아래와 같다.

1. 두 벡터간의 각도는 70.541도이다.

2. a와 c 벡터의 내적은 직교가 아니다. ( a · c≠ 0 )

3. a와 d 벡터는 평행이 아니다 ( 상수배가 아니다.)

4. a와 같은 단위 벡터(u)는 아래와 같다.

u = (3/170*sqrt(170), 7/170*sqrt(170), -3/170*sqrt(170), 3/170*sqrt(170), 2/85*sqrt(170),

1/170*sqrt(170), 3/170*sqrt(170), 4/85*sqrt(170), 1/85*sqrt(170)

[출처 : https://j1w2k3.tistory.com/627]

-----------------------------------------------------------------------------

[W2 HW1] 김*구 [백터의 노름,내적, 사잇각 ]-open problem 1

안녕하세요. 김*구 입니다.

천*준 학생이 공유한 내용을 참고하여 2주차 예습 내용을 이해하였으며,

백터의 노름과 내적 사잇각의 열린 문제 학습 내용 공유드립니다.

a=(1, -2, -1,2,4,6,-4,5,0,3), b=(1, 2, 4,-3,5,7,-6,9,-3,0)

a = vector([1, -2, -1,2,4,6,-4,5,0,3]);b = vector([1, 2, 4,-3,5,7,-6,9,-3,0]) # 벡터 입력

ab=a.inner_product(b)

an=a.norm();bn=b.norm()

print("a·b =", ab) # a와 b의 내적

print("||a||=",an) # a의 크기, 노름

print("||b||=",bn) # b의 크기, 노름

ang_rad=arccos(ab/(an*bn)).n(digits=5) # 각을 라디안으로 제공

ang_deg=(180*ang_rad/pi).n(digits=5) # 각을 360도 기준으로 변환

print("ang(rad)=",ang_rad) # a와 b의 사잇각(라디안)

print("ang(deg)=",ang_deg) # a와 b의 사잇각(육십분법)

sage를 통하여 복잡한 백터의 연산을 손 쉽게 할 수 있다는 점과 이러한

문제를 손쉽게 풀 수 있다는 자신감을 얻을 수 있었습니다.

215

-열린문제2

[Final][손*원, 노*완, 윤*수, 박*수, 이*한, 천*준, 김*구, 전*준, 박*현, 김*영, 김*철][W2 HW1]

백*준, 2.1 의 (선택 optional 인) * 방향각과 방향코사인 (Direction Angle, Direction Cosine)

안녕하십니까! 소재부품융합공학과 백*준입니다.

2주차에 학습할 내용2.1 의 (선택 optional 인) * 방향각과 방향코사인에 대해 공부하고 open

problem 2 풀어본 내용 공유드립니다.

§ 방향각(Direction Angle)과 방향코사인(Direction Cosine)

방향각의 코사인

를 벡터 a의 방향코사인(direction cosine)이라 한다.

위에 내용을 기억하여

에서의 기본단위벡터 i = e₁ = (1,0,0), j = e₂ = (0,1,0), k = e₃ = (0,0,1) 에 대하여,

아래 식을 만족하므로

▶

위와 같이 쓸 수 있다.

결론적으로,

을 만족한다.

단위 벡터의 각 방향 성분이 코사인으로 표기된다고 하여, 이를 방향코사인이라고 부릅니다.

교재에서 나온 이론과 동일하게 전개해보았습니다.

에서의 기본단위벡터를 i = e₁ =

(1,0,0,0), j = e₂ = (0,1,0,0), k = e₃ = (0,0,1,0), t = e₄ = (0,0,0,1)이라고 할 때,

▶a=

▶

으로 전개할 수 있고,

216

을 만족한다.

위와 같이 유사하게 이론적으로는 4차원 공간에서의 방향코사인도 전개가 가능한 것을 확인했습

니다.

예습을 통해 단위 벡터 i, j, k 가 코사인으로 표기되어 방향 코사인 cosá, cosâ, cosã로도 나

타낼 수 있는 것을 알 수 있었습니다.

-열린문제3

[W2 - HW1] 김*영 - 2주차 열린문제 3

안녕하세요 김*영 입니다.

2주차 열린문제 3 실습 공유드립니다.

a = vector([3, 4, 2]); b = vector([5, -2, 10]); c = vector([0, -3, 8])

print("1)axb=",a.cross_product(b))

print("1)-(bxa)=",-(b.cross_product(a)))

print("2)cx(a+b)=",c.cross_product(a+b))

print("2)(cxa)+(cxb)=",(c.cross_product(a)+c.cross_product(b)))

print("3)(2a)xb=",2*a.cross_product(b))

print("3)2(axb)=",2*(a.cross_product(b)))

print("3)ax(2b)=",a.cross_product(2*b))

print("5)(axb)·c = ", (a.cross_product(b)).inner_product(c))

print("5)a·(b x c) = ", (a.inner_product(b.cross_product(c))))

print("6)ax(bxc)=",a.cross_product(b.cross_product(c)))

print("6)(a·c)b - (a·b)c = ", ((a.inner_product(c))*b) - ((a.inner_product(b))*c))

217

a = vector([8, 6, -5]); b = vector([1, 0, 4]); c = vector([-7, 0, 9])

print("1)axb=",a.cross_product(b))

print("1)-(bxa)=",-(b.cross_product(a)))

print("2)cx(a+b)=",c.cross_product(a+b))

print("2)(cxa)+(cxb)=",(c.cross_product(a)+c.cross_product(b)))

print("3)(-5a)xb=",2*a.cross_product(b))

print("3)-5(axb)=",2*(a.cross_product(b)))

print("3)ax(-5b)=",a.cross_product(2*b))

print("5)(axb)·c = ", (a.cross_product(b)).inner_product(c))

print("5)a·(b x c) = ", (a.inner_product(b.cross_product(c))))

print("6)ax(bxc)=",a.cross_product(b.cross_product(c)))

print("6)(a·c)b - (a·b)c = ", ((a.inner_product(c))*b) - ((a.inner_product(b))*c))

위처럼 외적, 내적의 연산법칙이 성립한다는 것을 확인하였습니다.

추가로 코딩에서 외적과 내적에 행렬을 적는 부분에 외적, 내적 코드를 적어도 이상없이 동작하였

습니다.

-열린문제4

[Final] [W2 HW1] [이*인, 이*한, 임*섭, 김*영, 노*완, 박*현] [열린문제4] 평면의 방정식

(Equations of Planes)

안녕하세요.소재부품융합공학과 이*한입니다.

아래 평면의 방정식 전개 및 법선벡터 내용에 이어서 추가 내용 공유드립니다.

아래 그림에서 두점 P_0(x_0, y_0,z_0), P(x, y, z) 은 평면 위의 점이다.

이때 각 점에 대한 벡터는 r_0 = OP_0 = <x_0, y_0,z_0>, r = OP = <x, y, z> 이며,

평면 p와 수직인 벡터(n)을 법선벡터(Normal Vector)라고 부른다.

그림과 같이 법선벡터와 평면 P와 수직이므로

도 수직이며, 따라서

임을

알 수 있다.

218

한 점 (2, 4, -1)을 지나고 법선 벡터가 n = <2, 3, 4>인 평면의 방정식을 구하고 그래프를 그리시오.

1. a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 평면의 방정식에 각각 인자를 대입한다.

2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0 이를 전개하면 2x+3y+4z=12라는 것을 알 수 있다.

2. 그래프는 sage 프로그램을 이용하여 그려보았다.

[W2 HW1] 이*인 평면의 방정식 (Equations of Planes)

2주차 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영(Projection)을 배우며

평면의 방정식(Equations of Planes)에 대해 학습한 내용 공유드립니다.

2.4 평면의 방정식(Equations of Planes)

법선벡터 (normal vector)란, 해당 평면에 수직인 벡터를 말합니다.

평면 위의 점 P0과 P 는 법선벡터 n과 수직이기 때문에, 벡터 P0P와 법선벡터n 을 내적하면 0이 됨을 알

수 있습니다.

아래와 같이 수기로 작성해보았습니다.

219

P0P = (x - x0, y - y0, z - z0)

n = (a, b, c)

벡터 P0P와 n을 내적해서 x성분끼리, y성분끼리, z성분끼리 곱한 것을 더하면 a(x - x0) + b(y - y0) + c(z

- z0) = 0이 됩니다.

위와 같은 식을 공간 위의 한 점 P0(x0, y0, z0) 을 지나가고 법선벡터가 (a, b, c)로 주어지는 평면의 방정

식(Equations of Planes) 이라고 합니다.

해당 식을 전개하여 -(ax0 + by0 + cz0)을 d로 두면, ax + by + cz + d = 0 과 같이 간단히 나타낼 수 있

습니다.

여기서 평면의 방정식은 x, y, z에 대한 일차식으로 표현됨을 알 수 있고, x의 계수, y의 계수, z의 계수가

법선벡터의 x성분, y성분, z성분이 됨을 알 수 있습니다.

아래는 예제 12번입니다.

n · P0P = (2, 5, -3) · (x - 1, y + 2, z - 3) = 2(x - 1) + 5(y + 2) - 3(z - 3) = 0

이므로, 평면의 방정식은 2x + 5y - 3z + 17 = 0 이 됩니다.

sage를 이용하여 실습 한 결과,

n.inner_product(q-p) == 0 을 이용하여 평면의 방정식을 구할 수 있음을 확인하였습니다.

법선벡터.inner_product(x,y,z점 P - 한 점 P0)

var ('x, y, z')

p=vector([1,-2,3]) # 한 점

n=vector([2,5,-3]) # 법선 벡터

q=vector([x,y,z])

eq_plane=n.inner_product(q-p)==0 # 평면의 방정식

print(eq_plane)

p1=implicit_plot3d(eq_plane,(x,-4,4),(y,-4,4),(z,-4,4),opacity=0.6) # 평면을 그래프로

p2=arrow(p,p+n,color='green') # 한 점에서 법선벡터

p1+p2

220

-열린문제5

[HW2 W2] 백*준 _ 2.5 정사영(Orthononal Projection) open problem 5 [최소제곱문제(least

squares problem)]

2주차에 학습한 내용 중 2.5 의 정사영 (Orthogonal Projection)에 대해 공부하고 open problem 5 풀어본 내용 공유드

립니다.

2.5 정사영 (Orthogonal Projection)

. ℝ³에서 한 점과 직선, 한 점과 평면 사이의 거리를 구하는데 사용

(해가 존재하지 않는 선형연립방정식 Ax=b의 최소제곱해 (least square solution)를 계산할 때도 유용하게 사용)

아래 그림과 같이 벡터 x = OQ와 y = OP가 ℝ³에 있고, x ≠ 0이면, 점 P에서 선분 OQ에 내린 수선의 발을 S라 할 때,

벡터 p=OS를 y의 (x 위로의) 정사영 (projection) 이라 하고 proj_x y로 나타낸다.

그리고 벡터 w = SP = y-p를 x에 수직인 y의 벡터성분 (vector component) 이라 한다. 따라서, y는 두 벡터의 합 y =

p+w로 나타내진다.

§ 증명

교수님께서 이야기하셨듯이 교재 풀이가 Sage와 값이 다르게 나와있는 것 같아 수정했습니다.

[Solved with Sage]

x = vector([2, -1, 3]);y = vector([4, -1, 2]) # 벡터 입력

yx = y.inner_product(x) # y와 x의 내적

xn = x.norm() # 벡터 x의 노름 (norm)

p = (yx/xn^2)*x # 정사영 p

w = y - p # 수직인 벡터성분 w, 최단거리 벡터

print ("p =", p)

221

print ("w =", w)

print (yx) # y와 x의 내적

print (xn) # 벡터 x의 노름 (norm)

Answer

p = (15/7, -15/14, 45/14)

w = (13/7, 1/14, -17/14)

sqrt(14)

§ 정사영을 이용하여 ℝ³ 에서 한 점과 직선사이의 거리 구하기

[Solved with Sage]

p0 = vector([2, 1, -1]) # 한 점

p = vector([0, 1, -5]) # 직선 상의 한 점(t에 적당한 값을 대입하여 얻음) → (3t, 1+2t, -5-t) 직선의 t 값에 0

을 대입함

u = p0 - p # 벡터 PPo

v = vector([3, 2, -1]) # 직선의 방향벡터

uv = u.inner_product(v) # 벡터 u와 v의 내적

vn = v.norm() # 벡터 v의 노름 (norm)

D = (u - (uv/vn^2)*v).norm() # (최단)거리 D 공식

print ("Distance =", D)

print (u) # 벡터 PPo

Answer

Distance = sqrt(138/7)

(2, 0, 4)

. 평면 π : ax+by+cz+d=0 상의 한 점을 P(x,y,z)라 하고, π 외부의 한 점을 P_0(x_0, y_0, z_0) 라 할 때, 법선벡터 n =

(a,b,c)이다.

v = PP_0 = (x_0-x, y_0-y, z_0=z)라 하면 점 P_0(x_0, y_0, z_0)와 평면 ax+by+cz+d=0 사이의 거리 D는 다음과 같

다.

222

풀이) 공부하면서 이해하기 쉽게 정리해서 풀어보았습니다.

v0 = vector([3, -1, 2]) # 한 점

n = vector([1, 3, -2]) # 평면의 법선벡터

d = -6 # 평면의 방정식을 ax + by + cz + d = 0으로 두었을 때 d의 값

D = abs(v0.inner_product(n) + d)/n.norm()

print ("D =", D)

D = 5/7*sqrt(14)

지금까지 공간 ℝ³에서의 정사영을 학습하면서 머릿속으로 평면과 벡터들을 생각하며 학습하였는

데, 공간 ℝ⁴는 머릿속에서 생각이 안 나서 일단 공식에 동일하게 대입해봤습니다.

위 예제 18) 에서 임의의 값을 추가해서 구해보았습니다.

v0 = vector([3, -1, 2,4]) # 한 점

n = vector([1, 3, -2,-6]) # 평면의 법선벡터

d = 1

D = abs(v0.inner_product(n) + d)/n.norm()

print(v0.inner_product(n)) # 벡터 v0와 n의 내적

print(n.norm()) # 법석벡터 n의 노름 (norm)

print ("D =", D) # (최단)거리 D

ℝ⁴에서도 최단 거리 D가 구해지는 것은 위와 같이 공식으로 확인할 수 있었습니다.

223

벡터의 노름, 내적, 법선벡터, 평면의 방정식 등을 이해하고, 정사영을 통해 선형연립방정식의 해

가 존재하지 않는 경우 이를 해결하기 위한 방법으로 최단거리를 구하여 차선책을 찾는 것을 알

수 있었습니다. 혹은 교수님께서 말씀하셨듯이 사회에서 여러 그룹들을 설득할 수 있는 합의점을

찾을 수 있을 거라 생각됩니다.

[3주차. 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분]

-열린문제1

[Final OK by TA] [W3 HW1] 손*원,박*현,김*구,김*영,전*준,노*완,천*준,이*인,신*호,박*수,김*

환,노*규,조*준 벡터함수와 공간곡선, Open Problem 1

안녕하세요

소재부품융합공학과 손*원입니다.

3주차 학습내용인 벡터함수와 공간곡선에 대해서 학습하고 Open Problem1을 풀어보았습니다.

[관련 이론]

1. 벡터함수(vector function)는 실수

(

는 적당한 구간)에 벡터

를 대응시키는 함수이다.

벡터함수

를 이루는 성분

는 구간

에서 정의된 연속인 실수함수이고,

의 성분함수

(component function)라 한다.

벡터함수

에 대하여

가 구간

전체에서 움직일 때, 대응되는 점

는 공간곡선(space curve)

를 이룬다. 즉

는

를 시각(time)으로 생각할 때, 아래 그림과 같이

에서 벡터

의 끝점(end point)

가 그리는 곡선이다.

그리고 방정식

를

의 매개변수방정식(parametric equations),

를 매개변수

(parameter)라 한다.

2. 벡터함수

의 도함수는 성분

가 모두 미분가능할 때, 아래와 같다.

가 존재하고,

이면, 벡터

는

에 의해 정의되는 곡선

의 점

에서의 접선벡터(tangent

vector)이다.

단위접선벡터(unit tangent vector) :

는 아래와 같다.

, 단

224

3. 곡률(curvature)은 곡선의 본질적인 성질로 주어진 점에서 곡선이 얼마나 많이 휘어져 있는지를 하나의 숫자로 나타낸

다.

주어진 점에서 곡선의 곡률은 그 점에서 곡선이 얼마나 빠르게 방향을 바꾸는가로 이해할 수 있다.

이때 곡률이 곡선의 매개변수화에 영향을 받지 않으면서도 방향의 변화에만 관심을 갖도록 호의 길이와 단위접선벡터(unit

tangent vector)를 사용하여 정의한다.

곡률은 호의 길이

에 대한 단위접선벡터

의 변화율의 크기(magnitude of the rate of change of the unit tangent

vector with respect to arc length)로 정의한다.

과

가 연속일 때 매개변수방정식이

인 2차원에서의 곡선의 길이

(Arc length)

은 다음과 같이 구할 수 있다.

같은 방법으로

가 연속일 때, 매개변수방정식이

인 공간곡선의 길이(Length of a space curve)는

이고 벡터함수

로 주어진 공간곡선의 길이는

벡터함수

로 주어진 공간곡선

에 대하여,

에서 임의의 시각(time)

까지

움직인 전체 호의 길이(Arc length)를 함수로 표현할 수 있다.

이를

라 하고 호의 길이 함수(arc length function)라 한다.

즉

는 곡선

의

와

사이의 길이이다. 다음과 같이 계산한다.

그리고 위 내용과 관련하여 열린 문제를 풀어보았습니다.

225

[sage 코드]

var ('t')

r(t) = vector([ t, cos(2*t), sin(2*t) ]) #벡터함수 r(t)

p=parametric_plot3d( r, (t, 0, 4*pi), thickness = 2, aspect_ratio = [50, 100, 100] ) #벡터함수 r(t)그래프

show(p)

dr(t) = diff(r(t), t)

print ('도함수=',dr(t)) # 벡터함수의 접선벡터 r'(t), 도함수

dr2(t) = diff( r(t), t, 2 )

print ('2계 도함수=',dr2(t)) # 2계 도함수

drn(t) = dr(t).norm().simplify_full()

print ('도함수의 노름=',drn(t))

num(t) = dr(t).cross_product(dr2(t)).simplify_full() # 분자

print ('도함수와 2계도함수의 외적=',num(t))

curv(t) = (num(t).norm() / drn(t)^3).simplify_full() # 곡률

print ('곡률=',curv(t))

print('0<=t<=2*pi에서 곡선의 길이 근삿값')

numerical_integral ( dr(t).norm() , 0, 2*pi )[0] # 근삿값

열린 문제를 풀어보면서 다양한 코드가 어떻게 작용하는지 확인할 수 있었습니다

그리고 sage를 이용하여 간편하게 계산을 하고 머릿속으로 그리기 어려운 그래프를 직접 눈으로

확인해볼 수 있었기에 이해하는데 많은 도움을 받을 수 있었습니다.

226

-열린문제2

[Final OK by TA] [W3 HW1] 이*인, 노*규, 박*현, 김*환, 김*영, 박*수, 이*한, 김*철, 전*준,

천*준, 노*완, 윤*수, 손*원 3주차 열린 문제 2 - 이차곡면(quadric surface)

안녕하십니까 소재부품융합공학과 이*인입니다.

3주차 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분을 학습하며, 이차곡면(quadric surface)에 대

한 Open Problem 2를 풀어보았습니다.

교재 문제를 학습한 후, [대학미적분학 제 3판]의 이차곡면 그래프 형태를 실습해보았습니다.

출처 : [대학미적분학 제 3판]

[원뿔면 그래프]

z^2 / 25 == x^2 / 9 + y^2 / 16

위의 방정식으로 주어지는 원뿔면의 그래프

(원뿔면 그래프의 방정식 : z^2 / c^2 == x^2 / a^2 + y^2 / b^2)

var ('x, y, z')

print('원뿔면')

implicit_plot3d(z^2/25 == x^2/9 + y^2/16, (x, -3, 3), (y, -3, 3), (z, -3, 3), opacity = 0.4 )

[일엽쌍곡면 그래프]

227

x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1

위의 방정식으로 주어지는 일엽쌍곡면의 그래프

( 일엽쌍곡면 그래프의 방정식 : x^2 / a^2 + y^2 / b^2 - z^2 / c^2 == 1)

var ('x, y, z')

print('일엽쌍곡면')

implicit_plot3d(x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5), opacity = 0.4)

[이엽쌍곡면 그래프]

x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1

위의 방정식으로 주어지는 이엽쌍곡면의 그래프

(이엽쌍곡면 그래프의 방정식 : -x^2 / a^2 – y^2 / b^2 + z^2 / c^2 == 1)

var ('x, y, z')

print('이엽쌍곡면')

implicit_plot3d(-x^2/2 - 2*y^2 + z^2/2 == 1, (x, -3, 3), (y, -3, 3), (z, -3, 3), opacity = 0.4 )

228

-열린문제3

[Final OK by TA] [HW3] 김*영, 이*한, 박*현, 이*인, 김*환, 노*규, 전*준, 김*구 열린문제3 등

위곡선(level curve) 또는 등위곡면 (level surface) 그리기

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

아래 김*영 학우님 열린문제 참고하여 추가로 예제를 찾아보고 실습해보았습니다.

contours = k에 대해서 이해가 잘안되었었는데, 아래와 같이 보기 좋은 그림이 있어 함께 공유드립니다.

해당 실습을 진행하면서 자연상수 및 쌍곡선함수에 대한 그림은 프로그램을 돌리기 전 예측이 많이 어려웠습

니다.

그러나 프로그램을 이용하여 그래프를 그리고 눈으로 보면서 이해할 수 있어서 많은 등위곡면 및 등위곡선에

대한 상관관계를 직관적으로 이해할 수 있었습니다.

1. 3변수 함수 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 에 대한 등위곡면(level surface)을 구하라

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue') ]: # 여기에 k값, 색깔

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.4, color = col)

2. 2변수 함수 f(x, y) = cosh(x^2+y^2/x*y) 에 대한 등위곡면(level surface)을 구하라

var ('x, y')

f(x,y)=cosh(x^2+y^2/x*y) #2변수 함수

p=Graphics()

fork,colin[(1,'red'),(2,'orange'),(3,'yellow'),(4,'lightblue')]: #여기에 k값, 색깔

p+=implicit_plot3d(f(x,y)==k,(x,-2,2),(y,-2,2),opacity=0.4,color=col)

229

3. 2변수 함수 f(x,y) = x*y*exp(-y^2)에 대한 등위곡면(level surface)과 등위곡선 (level curve)

를 구하여라

3-1. 등위 곡선

var ('x, y')

f(x, y) = x*y*exp(-y^2)

plot3d(f, (x, -4*pi, 4*pi), (y, -2*pi, 2*pi), opacity = 0.4, aspect_ratio = [1, 2, 1])

3-2. 등위고면

var ('x, y')

contour_plot(x*y*exp(-y^2),(x,-2,2),(y,-2,2),fill=False,cmap='hsv',labels=True)

[출처] (수학과 사는 이야기)

-----------------------------------------------------------------------------

[HW3] 김*영 열린문제3 등위곡선(level curve) 또는 등위곡면 (level surface) 그리기

안녕하세요 김*영 입니다.

열린문제 3 풀이한 내용 공유드립니다.

230

■ 등위곡선

1) f(x, y) = (x*y)/(x^2+y^2)

var ('x, y')

contour_plot(sin(x) + 2*sin(y) , (x, -5, 5), (y, -5, 5), contours = (-2, -1, 0, 1, 2), fill = False, cmap = 'hsv',

labels = True )

2) f(x, y) = (8*x^2 + y^2)^(e^(-x^2-y^2))

var ('x, y')

contour_plot((8*x^2 + y^2)^(e^(-x^2-y^2)) , (x, -2, 2), (y, -2, 2), fill = False, cmap = 'hsv', labels = True )

3) f(x, y) = y^2 - x^2

var ('x, y')

contour_plot(y^2 - x^2 , (x, -2, 2), (y, -2, 2), fill = False, cmap = 'hsv', labels = True )

■ 등위곡면

1) f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3

var ('x, y, z')

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 #3변수 함수

p=Graphics()

fork,colin[(1,'red'),(2,'orange'),(3,'yellow'),(4,'lightblue')]: #여기에 k값, 색깔

p+=implicit_plot3d(f(x,y,z)==k,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-2,2),opacity=0.4,color=col)

231

2) f(x, y, z) = sqrt(4*x) + y^2 + -3*z^2

var ('x, y, z')

f(x,y,z)=sqrt(4*x)+y^2+-3*z^2 #3변수 함수

p=Graphics()

fork,colin[(1,'red'),(2,'orange'),(3,'yellow'),(4,'lightblue'),(5,'green')]: #여기에 k값, 색깔

p+=implicit_plot3d(f(x,y,z)==k,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-2,2),opacity=0.5,color=col)

3) f(x, y, z) = 4*x^2 + sin(y) + cot(3*z)

var ('x, y, z')

f(x,y,z)=4*x^2+sin(y)+cot(3*z) #3변수 함수

p=Graphics()

fork,colin[(1,'red'),(2,'orange'),(3,'yellow'),(4,'lightblue'),(5,'green')]: #여기에 k값, 색깔

p+=implicit_plot3d(f(x,y,z)==k,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-2,2),opacity=0.5,color=col)

232

-열린문제4

final by. 임*섭, 이*한, 윤*수, 손*원, 김*철, 노*완 [W3 HW1] 임*섭, Open Problem

안녕하세요. 소재부품융합공학과 임*섭입니다.

2,3 주차에 학습한 내용들의 Open Problem 공유 드립니다.

233

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = e^(x^2 + y^2)*log(z)

print ( "fx = ", diff(f(x, y, z), x))

print ( "fx = ", diff(f, x))

print()

print ( "fy = ", diff(f(x, y, z), y))

print ( "fx = ", diff(f, y))

print()

print ( "fx = ", diff(f(x, y, z), z))

print ( "fx = ", diff(f, z))

f의 1계 편도함수는 아래의 2가지 형태의 명령어를 통해 손쉽게 구할 수 있었습니다.

f(x, y, z) = e^(x^2 + y^2)*log(z)

print ( "fx = ", diff(f(x, y, z), x))

fx = 2*x*e^(x^2 + y^2)*log(z)

f(x, y, z) = e^(x^2 + y^2)*log(z)

print ( "fx = ", diff(f, x))

fx = (x, y, z) |--> 2*x*e^(x^2 + y^2)*log(z)

다만, 명령어를 실행했을 때 1계 편도함수는 똑같이 표현이 되었는데. (x, y, z) |--> 표시가 추가

되는 것을 확인 할 수 있었습니다.

이렇게 표현이 추가되는 이유는 아직 정확히 알지 못하였습니다.

추가로.위와 같이 2가지 명령어를 통해 똑같이 편도함수를 구할 수 있어서 예제 35번의 문제를

위의 두가지 방식으로 풀이를 해보았습니다.

var ('x, y')

f(x, y) = 2*x^3 + 2*y^3 + 3*x*y

dfdx = diff(f, x) # x에 관한 편도함수

print ("fx=", diff(f, x) )

print ( dfdx(2, 1)) ------ 1번

print()

F(x,y) = diff(f(x,y) ,x) # x에 관한 편도함수

print ("fx=", F(x, y) )

print(F(2,1)) ------ 2번

print()

dfdy = diff(f, y)

print ("fy=", diff(f, y) ) # y에 관한 편도함수

print(dfdy(2,1))

fx= (x, y) |--> 6*x^2 + 3*y

27 ------ 1번

fx= 6*x^2 + 3*y

27 ------ 2번

fy= (x, y) |--> 6*y^2 + 3*x

234

-열린문제5

[HW W3] 전*준, 이*한, 임*섭 Open Problem 클레로의 정리

이*한(2022+++####78)7월 3일 오후 1:25

클레로의 정리에 따라 2계편도함수 f_xy = f_yx가 성립함을 확인할 수 있었으며, 3계도함수까지 확장함으로

써 프로그램을 이용하여 더 높은 고계 편도함수까지 구할 수 있음을 알 수 있었습니다. 정리 감사합니다.!!

이상구(LEE SANGGU)7월 3일 오후 2:35

이*한씨, 일반화 과정에서 뭔가 좀 이상한데 ... 클레로 정리는 다음과 같습니다. - f가 영역 D 위에서 점

(a,b)를 포함하는 함수라고 하자. 이 때, 함수 f가 연속인 2계 편도함수를 가진다면 f_xy (a,b) =f_yx (a,b)를

만족한다. 그래서 n 변수 함수 의 경우 ... 모든 f 의 2계 편도함수 들이 연속함수이면 f_x_i x_j = f_x_j x_i

인지를 증명하셔야 합니다. (그래서 수업 시간에 n 변수 함수 f 의 모든 2계 편도함수 들로 만들어진 n 차

행렬이 대칭 행렬이 되는 경우에 대하여 얘기해 준 것이랍니다. ) 한번 더 본인 논리의 오류를 확인하세요^^

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

클레로 정리의 정의는 다음과 같습니다.

- f가 영역 D 위에서 점(a,b)를 포함하는 함수라고 하자. 이 때, 함수 f가 연속인 2계 편도함수를 가진다면

f_xy (a,b) =f_yx (a,b)를 만족한다.

교재에 나와 있는 자료를 찾아보았습니다.

아래 참고하시면 평균값 정리에 의하여 증명이 가능합니다.

아래 2계 편도함수에 대한 증명을 토대로 ( f가 연속인 3계 편도함수를 가진다면 ?) 3계 편도함수 f_xyy = f_yxy =

f_yyx 한 지가 증명이 가능한지 확인해 보려고 합니다.

(f_xy)_y = (f_yx)_y 이므로 첫 번째와 두 번째 3계 편도함수는 서로 같으며, 두번째 세번째 역시 클레로의 정리에 의

해 (f_y)_xy = (f_y)_yx라고 두면 이 또한 같으므로 f_xyy = f_yxy = f_yyx는 성립한다고 볼 수 있습니다

감사합니다.

https://crush-on-study.tistory.com/58

235

→ 아래 전*준 학우가 열린문제 5는 해결은 한 것 같아. 위에서 3계 편도함수 같다는 문제로 확

인해보았습니다

열린문제 5. f(x, y) = cosh(x^2 + y^3) + exp(x^3) 함수에 대해서 f_xyy = f_yxy = f_yyx 임

을 보여라.

var ('x, y')

f(x,y)=cosh(x^2+y^3)+exp(x^3)

print("fxyy=",diff(diff(diff(f(x,y),x),y),y))

print("fyxy=",diff(diff(diff(f(x,y),y),x),y))

print("fyxy=",diff(diff(diff(f(x,y),y),y),x))

[HW W3] 전*준 Open Problem 클레로의 정리

안녕하세요, 소재부품융합공학과 전*준입니다.

3주차 편도함수와 클레오의 정리에 대한 open ploblem을 풀어보았습니다.

이변수함수 z=f(x,y)의 편도함수 f_x와 f_y도 역시 이변수함수이기에 f_x,f_y가 미분가능하다면, 편

도함수의 편도함수를 생각할 수 있다.

이를 2계 편도함수라고 한다.

(좌표평면에서는 이계 도함수로 받아들이면 될 듯 합니다.)

편도함수를 구할 수 있으면 2계 편도함수 또한 구할 수 있다.

236

교재 예제문제를 먼저 풀어보겠습니다.

var ('x, y')

f(x,y)=y*sin(x^2)+x^2*y^3+2*x*e^y

print("fx=",diff(f(x,y),x))#f_x

print("fy=",diff(f(x,y),y))#f_y

print("fxx=",diff(f(x,y),x,2))#f_xx

print("fyy=",diff(f(x,y),y,2))#f_yy

print("fxy=",diff(diff(f(x,y),x),y))#f_xy

print("fyx=",diff(diff(f(x,y),y),x))#f_yx

해당 예제를 통해

(1) f_xy 와 f_yx 가 둘다 정의역에서 연속이므로

(2) 클레오 정리에 따라 f_xy = f_yx 이 성립하는 것을 볼 수 있다.

즉, 이 경우는 편미분 하는 순서에 관계없이 동일한 결과를 얻을 수 있는 것을 알고 있다. (일반적

으로는 f_xy!=f_yx)

다음의 클레오의 정리는 f_xy=f_yx를 만족하는 조건을 제시해준다.

다음으로 클레로의 정리가 3계 이상의 편도함수에서도 적용되는지 확인하는 열린 문제를 풀어보

겠습니다. ( with sage )

f_xyz, f_zyx / 3계 편도함수

f_xxyz , f_yxzx, f_yzzx / 4계 편도함수

var ('x, y, z')

f(x,y)=cos(x^2+y^2*z^3)

print("fxyz=",diff(diff(diff(f(x,y),x),y),z))

print("fzyx=",diff(diff(diff(f(x,y),z),y),x))

print("fxxyz=",diff(diff(diff(f(x,y),x,2),y),z))

print("fyxzx=",diff(diff(diff(diff(f(x,y),y),x),z),x))

print("fyzzx=",diff(diff(diff(diff(f(x,y),y),z),z),x))

237

열린문제에서는 4계 편도함수를 구하라고 하였는데 중간에 예제에서 2계 편도함수를 구해보았기에

3계 편도함수도 추가해서 풀어 보았습니다.

3계 편도함수에도 편미분 하는 순서와 상관없이 동일한 결과를 얻을 수 있었고 4계 편도함수에서

도 편미분 하는 순서와 상관없이 동일한 결과를 얻을 수 있었습니다.

하지만, 3,4 풀이와 (x에 관하여 2번 y에 관하여 1번 z에 관하여 1번) 5번 풀이가 (x에 관하여

1번 y에 관하여 1번 z에 관하여 2번) 다르다는 것으로 편미분 계수가 달라지면 다른 값을 얻을

수 있는 것을 확인할 수 있었습니다.

감사합니다.

[4주차 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터]

-열린문제1

[W4 HW] [열린문제1] 음함수 미분법(Differentiation of Implicit Functin)

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

음함수 미분법 실습 내용 공유드립니다.

4.4 음함수 미분법(Differentiation of Implicit Function)

1. z = f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) 에 대해서 F(x, y, z) = 0 모양의 음함수로 변환

1.1 f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) = z 그래프

238

var ('x, y')

f(x,y)=y*sin(x)-cos(e^y)

plot3d(f,(x,-10,10),(y,-10,10),opacity=1,aspect_ratio=[100,100,100])

1.2 F(x, y, z) = z - (y*sin(x)-cos(e^y)) = 0 형태의 그래프

var ('x, y, z')

implicit_plot3d(z-(y*sin(x)-cos(e^y))==0,(x,-10,10),(y,-10,10),(z,-10,10),opacity=1,aspect_ratio=[100,100,100])

2. 음함수 미분 (-Fx/Fz, -Fy/Fz)

var ('x, y, z')

F(x,y,z)=z-(y*sin(x)-cos(e^y))

Fx=diff(F(x,y,z),x)

Fy=diff(F(x,y,z),y)

Fz=diff(F(x,y,z),z)

print("dz/dx=",-Fx/Fz)

print("dz/dy=",-Fy/Fz)

출처: https://roundhere.tistory.com/entry/인공지능-수학 [Round Here:티스토리]

-열린문제2

239

[W4 HW1] 조*준, 손*원 이변수함수, 방향도함수, 기울기벡터

(gradient) [Open problem2]

안녕하세요

소재부품융합공학과 손*원입니다.

4주차 내용인 방향도함수에 대해 학습하고 열린문제를 실습해보았습니다.

먼저 방향도함수에 대한 정리입니다.

-방향도함수

아래는 방향도함수의 정의입니다.

가

와

의 미분가능 함수이면

는 임의의 단위벡터

방향에 대한

방향도함수는

이다.

-그래디언트 벡터

아래는 그래디언트 벡터의 정의입니다.

또한, 그래디언트 벡터로 방향도함수를 표현할 수 있다.

-방향도함수가 최대가 되는 경우?

방향도함수는 특정한 단위벡터

방향으로의 도함수이다.

의

에서의

는

이고 단위벡터

방향으로의 방향도함수는

이다.

그러므로

의 방향도함수는

일 때 가장 큰 양의 값을 갖는다.

따라서,

일 때

이므로 변화율은 최대가 되고

일 때

이므로 최소가 된다. 특히

일

때

이므로 Gradient에 수직인

방향은

에 변화를 주지 않는다.

240

-등위곡선과 그래디언트 벡터

-관련 예제 실습

1. f(x, y, z) = 2*z^2 + 6*(x^3)*(y^2) - 3*(x^2)*(y^2) 이고 v=(3,1,8) 방향일 때, f의 기울기 벡터를 구하고, 두 가지 코

드를 이용해 v방향으로 (1, -1, 2)에서의 f의 방향도함수를 구해보았습니다.

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 2*z^2 + 6*(x^3)*(y^2) - 3*(x^2)*(y^2) #함수 f(x,y,z)

v = vector([3, 1, 8]) # 방향벡터

u = (1/v.norm())*v # 방향벡터의 단위벡터

gradf = f.gradient()

print (gradf(x, y, z)) # f의 gradient(기울기 벡터),

duf = gradf(1,-1,2)*u # (1, -1, 2)에서 기울기 벡터와 u의 내적

print (duf)

print ( u.inner_product( gradf(1, -1, 2) )) # u방향으로 (1,-1,2)에서 f의 방향도함수

-열린문제2 실습

특정한 점에서 그래디언트의 방향을 구할 수 있는 등고선 그림을 찾아보고 등위곡선의 접선벡터를

그리고 그래디언트를 표시해봤습니다.

1. 수원 광교산의 지형도

241

2. [출처]대학 미적분학

그래디언트의 방향을 구할 수 있는 등고선 그림을 찾아보면서 sage를 활용하여 그래디언트의 방

향을 구해보려고 하였으나, 실제 등고선을 이루는 함수를 알 수 없어 그래디언트 방향 계산을 할

수 없는 점이 아쉬웠습니다.

[W4 HW2] 김재영, 조현준, 손혜원, 천혜준 이변수함수, 방향도함수, 기울기벡터(gradient) [Open

problem2]

안녕하세요 김재영 입니다.

4주차 열린문제 2번에 대해 공유드립니다.

다른분들이 지형적인 등고선 그림과 해당 그림설명을 잘 해주어서 저는 기압 등압선으로 생각해보

았습니다. Gradient 계산 또한 Sage 풀이도 게시판에 많이 올라와 있어서 간단한 내용으로 공유

해봅니다

위 그림은 기압 등압선인데 기압 등압선도 등고선과 마찬가지로 동일한 기압에 있는 곳을

선으로 연결시켜 등압선으로 표시하고 그 등압선을 한 평면에 압력과 함께 표시하여

지역 별 기압의 차이를 나타내줍니다.

(보통의 등압선은 1000헥토 파스칼을 기준으로 4헥토 파스칼 간격으로 그려준다고 하네요!)

이렇게 표현된 등압선들 중에 간격이 좁은 곳, 넓은 곳이 있는데 이 간격의 차이가 좁을수록

바람이 심한 곳으로 일정 구간 안에서 압력 차가 높으므로 바람이 심하다고 합니다.

압력 차가 높다는 것은 압력 차이의 기울기가 높다고 생각 할 수 있을 것 같네요

242

이런 일상생활 속에 쉽게 볼 수 있었던 내용도 Gradient와 연관 지어 볼 수 있을까 생각되

어 공유 드립니다~~~

(출처 : ▶ 기압과 공기의 움직임 (scienceorc.net))

Comment : 미적분학을 배우며 개념이 실생활에 적용되는 것을 많이 접해보지 못했는데

위의 일상생활에서 흔히 보던 등압선을 [open problem]을 통해 gradient가 실생활에 적용되는

사례에 대해 접할 수 있어 신선했습니다.

-열린문제2 실습

특정한 점에서 그래디언트의 방향을 구할 수 있는 등고선 그림을 찾아보고 등위곡선의 접선벡터를

그리고 그래디언트를 표시해봤습니다.

1. 수원 광교산의 지형도

2. [출처]대학 미적분학

243

그래디언트의 방향을 구할 수 있는 등고선 그림을 찾아보면서 sage를 활용하여 그래디언트의 방

향을 구해보려고 하였으나,

실제 등고선을 이루는 함수를 알 수 없어 그래디언트 방향 계산을 할 수 없는 점이 아쉬웠습니다.

comment : gradiant의 의미와 gradient vector를 통해 등고선이나 기압선등 가장 가파르게 증

가하는 방향을 찾을 수 있다는 점을 알 수 있었고 미적분이 실생활에 적용되는 사례를 볼 수 있었

습니다.

[W4 HW1] 이변수함수, 방향도함수, 기울기벡터(gradient) [Open problem2]

안녕하십니까? 조*준입니다.

금일 [Open problem2]을 학습하며 기울기벡터의 정의와 등고선의 의미에 대해 학습하고 등고선 그림을 찾

아보며 추가 학습 하였습니다.

기울기 벡터란? 함수값의 변화량이 가장 큰 방향을 나타내는 벡터이다.

하나의 임의의 좌표에서 높이가 가장 가파르게 변하는 방향을 xy평면에 나타낸 것.

ex) x,y,z(1,1,1)에서 가장 가파른 곳은? xy평면에서 보았을 때 (1,1)에서 다음 등고선까지의 거리가 가장 짧

은 곳. 접선에 수직인 방향이다.

눈으로 직관적으로 봐도 접선에 수직이 아닐 때는 수직일 때보다 거리가 더 멀다.

아래와 같이 삼변수 함수에서도 기울기 벡터는 다음 등고면 까지의 거리가 가장 가까운 방향을 나

타내고 접평면에 수직인 방향이 된다.

등고선과 기울기 벡터. 각 지점의 기울기 벡터의 방향은 등고선에 수직을 이루며, 그 크기는 등고

선의 간격에 반비례 한다.

→이변수 함수의 같은 선들을 이어 3차원에 나타 내었을 때 같은 높이를 나타내는 등고선이 된다.

이 등고선은 삼변수 함수를 나타내는데 없어서는 안된다.

244

삼변수 함수는 4차원이므로 3차원 그래프로 나타낼 수 없기에 등고선이 필요하다. 등고선으로 3차

원 그래프를 2차원 평면에 나타낼 수 있듯이 등고면으로 4차원 그래프를 3차원에 나타낼 수 있다.

방향도함수란? 기울기벡터의 내적으로 나타내어진다. 내적이 최대가 될 때는 방향이 일치할 때이

므로 기울기벡터의 방향이 될 때가 최댓값이된다.

특정한 점에서의 기울기벡터를 구할 수 있는 등고선 지도에 대해 검색해 보았습니다.

지도상의 고도 및 기복 등을 표시할 때 상당히 효율적으로 활용할 수 있을 것 같습니다.

해당 내용들을 학습하며 임의 지점의 방정식이나 좌표로 기울기 벡터와 방향 도함수를 쉽게 구할

수 있음을 이해하였고 유익한 학습이었습니다.

245

[5주차 이변수 함수의 극대 극소, 최대 최소]

-열린문제1

[Final OK by SGLee] [W5 HW1] 천*준, 박*현, 조*준, 김*영, 백*준, 전*준, 손*원 이변수함수

의 극대 극소 [열린문제1]

안녕하세요 천*준 입니다.

5주차 예습 학습 중 이변수함수의 극대 극소, 최대 최소에 관한 문제들을 학습해보고 공유드립니다.

[열린 문제 1]

(1) 우선 sage를 이용하여 그래프를 시각화 하였습니다.

var ('x, y')

f(x, y) = x^2 -2*x +y^2 - 6*y +14

plot3d ( f(x, y), (x, -15, 15), (y, -15, 15), opacity = 0.4, aspect_ratio = [3, 3, 1] )

(2) 다음으로는 임계점을 확인하였습니다.

var ('x, y')

f(x, y) = x^2 -2*x +y^2 - 6*y +14

g = f.gradient() # 그래디언트

solve ( [g[0] == 0, g[1] == 0], x, y ) # 임계점

(3) 임계점을 이용하여 헤시안 해렬과 행렬식을 구하였습니다.

var ('x, y')

f(x, y) = x^2 -2*x +y^2 - 6*y +14

H = f.hessian() # 헤시안행렬(Hessian. Hesse 행렬)

print (H(1, 3))

246

print (H(1, 3).det()) # 행렬식

이때 모든점에서 D>0임으로 극값이 존재하며 fxx가 0보다 크므로 f(x,y)는 (1,3)에서 극솟값 4를

가집니다.

이변수함수의 극대, 극소 판정법

D>0, fxx>0이면 f는 극소

D>0, fxx<0이면 f는 극대

D<0이면 안장점. 극댓값도 극솟값도 아님D=0일 경우 극값이거나 안장점일 수도 있다

Comment : 추가적으로 다변수함수의 경우 편도함수의 값이 0이라고 극값이 존재하지 않을 수

있다는 것 학습하였고 이러한 부분을 안장점이라고 한다는 것을 학습하였습니다.

참고자료: https://khariles.tistory.com/3327 [백과사진첩:티스토리].

-열린문제2

[W5] 박*현, 천*준 열린문제2

[라그랑주의 승수법(Method of Lagrange Multipliers) ]

var ('x, y')

f(x, y) = 2 + x^2 + y^2

g(x, y) = x^2 + 1/4*y^2 - 1

p1 = contour_plot(f, (x, -2, 2), (y, -2, 2), fill = False, labels = True, linestyles = 'dashed', label_colors =

'black')

p2 = implicit_plot(g(x, y) == 0, (x, -2, 2), (y, -2, 2), color = 'red', axes = True)

p1 + p2

247

[정리]

라그랑주 승수법에 대해서 알아보았으니 열린 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

그럼 라그랑주 승수법을 이용해 아래 연립방정식을 만족하는 값을 모두 구하면 된다.

==========================================================

var ('x, y, z, t, l')

f(x, y, z, t) = x + y + z + t

g(x, y, z, t) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2 - 1

gradf = f.gradient()

gradg = g.gradient()

solve ([gradf[0] == l*gradg[0],

248

gradf[1] == l*gradg[1],

gradf[2] == l*gradg[2],

gradf[3] == l*gradg[3],

g(x, y, z, t) == 0], x, y, z, t, l)

==========================================================

[[x == (1/2), y == (1/2), z == (1/2), t == (1/2), l == 1],

[x == (-1/2), y == (-1/2), z == (-1/2), t == (-1/2), l == -1]]

임계점 (x, y, z, y) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) 와 (x, y, z, y) = (-1/2, -1/2, -1/2, -1/2) 를 얻

을 수 있다.

이 점에서 함수 f의 극값을 구해보자.

==========================================================

var ('x, y, z, t')

f(x, y, z, t) = x + y + z + t

print ( f(1/2, 1/2, 1/2, 1/2) )

print ( f(-1/2, -1/2, -1/2, -1/2) )

==========================================================

따라서 함수 f의 최댓값은 2, 최솟값은 2라는 것을 알 수 있다.

Comment: 라그랑주 승수에 대해 이해하기 힘들었는데 자료와 예제들을 통해 충분히 학습하고

Sege를 통해 어려운 계산도 바로 결과를 얻을 수 있어서, 어려운 개념도 이해할 수 있었습니다.

[W5 HW2] 천*준 x^2+y^2+z^2=t^2 = 1 을 만족하는 함수 x=y=z=t의 최댓값과 최솟값 [열린문제

5주차 예습 학습 중 이변수함수의 극대 극소, 최대 최소에 관한 문제들을 학습해보고 공유드립니

다.

[열린 문제 2] – 라그랑주의 승수법

라그랑주 승수법 (Lagrange multiplier method)은 프랑스의 수학자 조세프루이 라그랑주

(Joseph-Louis Lagrange)가 제약 조건이 있는 최적화 문제를 풀기 위해 고안한 방법이다.

라그랑주 승수법은 어떠한 문제의 최적점을 찾는 것이 아니라, 최적점이 되기 위한 조건을 찾는

방법이다. 즉, 최적해의 필요조건을 찾는 방법이다.

249

var ('x, y, z, t, l, m, o')

f(x, y, z, t) = x^2 + y^2 + z^2

g(x, y, z, t) = x + y + z + t

gradf = f.gradient();

gradg = g.gradient();

solve ([gradf[0] == l*gradg[0] + m*gradg[0] + 0*gradg[0], gradf[1] == l*gradg[1] + m*gradg[1] +

0*gradg[1],gradf[2] == l*gradg[2] + m*gradg[2] + 0*gradg[2], f(x, y, z, t) == 0, g(x, y, z, t) == 0], x, y, z, t, l,

m, o)

질문: [열린문제 2]을 sage를 통하여 해결하였습니다. 하지만 해당 코드로 얻은 답이 맞는 답인지

알 수가 없어 질문드립니다. 만약 틀린 부분이 있다면 조언 부탁드립니다.

참고자료: https://untitledtblog.tistory.com/96

[6주차 이중적분]

-열린문제1

final-[W5 HW] 손*원,전*준,천*준,박*수 6주차 이중적분과 열린문제1

6주차 진도인 이중적분에 대해 학습하고 열린 문제를 풀어보았습니다.

이중적분은 정의역이 폐구간에 존재하는 이변수함수를 적분하여 입체의 부피를 구하기 위해 사용됩니다.

직사각형 영역에서의 이중적분은 xy평면에서의 폐직사각형 영역을 무한히 작은 사각형으로 나누고 적분하여 한 직사각형의

부피를 구한 후 적분하여 그 직사각형들의 합을 구하는 것입니다.

영역을 무한히 나누는 것이므로 극한이 존재해야하기 때문에

만약 이변수 함수 f의 부호에 상관없이 극한이 존재하면 이 극한값을 영역R에서 f의 이중적분이라고 합니다.

이를 공식을 나타내면 아래와 같습니다.

즉,

이면 직사각형

위와 곡면

아래에 놓인 입체의 부피

는

가 됩니다.

중점을 이용한다면 아래와 같이 적을 수 있습니다.

250

이중적분의 성질은 아래와 같습니다.

아래는 이중적분의 중요한 성질인 푸비니 정리입니다.

이와 관련하여 열린문제1을 실습해봤습니다.

대학수학에서 찾은 문제입니다.

sage를 이용하여 문제를 풀고, 적분순서를 바꿔 실행하여 푸비니 정리가 성립하는지 확인해 보았습니다.

var ('x, y')

f(x, y) = x^2 - 2*x*y^2 +y^3

intf = integral (integral (f, x, -2, 3), y, 1, 4)

intg = integral (integral (f, y, 1, 4), x, -2, 3)

print (intf)

print (bool (intf == intg))

plot3d (f(x, y), (x, -1, 1), (y, -1, 1), figsize = 2, opacity = 0.5)

아래는 책에 있던 풀이입니다.

답에 맞게 나왔음을 확인하고 푸비니 정리가 성립하는 것을 확인할 수 있었습니다.

직접 계산을 한다면 위와 같이 많은 단계를 거쳐야하므로 많은 시간이 소요가 되지만 sage를 활

용하니 간단하게 코드만 입력하여 해결할 수 있었습니다.

251

적분은 복잡한 경우가 많아 계산에 실수가 생기기 쉽습니다. 하지만 내용을 바르게 이해하여 코드

를 활용한다면 계산에 들이는 시간을 줄일 수 있기에 복잡한 계산이 나와도 답을 찾을 수 있다고

생각합니다.

-열린문제2, 열린문제3

Final - [HW W6] 전*준, 천*준,노*규, 김*환, 임*섭, 김*구, 이*민, 신*호, 이*한 삼중적분 푸비

니 정리 [열린 문제 1, 열린 문제 2, 열린 문제 3]

안녕하세요 이*민 입니다.

6주차 내용 학습후 open problem1,2,3푼 내용 추가로 공유합니다.

6.2 일반영역에서의 이중적분(Double Integral over General Region)

아래 그림과 같이 정의역 D가 직사각형 모양이 아닌 일반영역

함수

를 적분하는 문제를 다룬다. 여기서 영역

는 직사각형 영역

로 둘러싸인 유계(bounded)인 영역이다.

정의역

을 갖는 새로운 함수

를 다음과 같이 정의한다.

새 함수

가 영역

에서 적분가능하면,

에서

의 이중적분을 아래와 같이 구할 수 있다.

6.3 이중적분에서 적분 순서의 결정

252

[sage code]

var ('x, y')

print(solve([y==sqrt(x),y==x^2],x,y)) # 곡선과 직선의 교점

print(integral(integral(x+y,y,x^2,sqrt(x)),x,0,1))

plot(x^2,(x,-1,2))+plot(sqrt(x),(x,0,2),color='red')

6.4 적분순서의 변경

영역

로 주어졌을 때 함수

의 적분은 푸비니(Fubini) 정리에 의하여

가 성립한다.

253

[sage code]

var ('x, y')

assume(x-1>=0) #적분 순서를 바꿀 때 Sage적분에서 x-1의 범위가 필요함

f(x,y)=(x*y^2)/(x^2+1)

show(plot3d((x*y^2)/(x^2+1),(x,0,2),(y,-4,4),opacity=0.6,aspect_ratio=[1,1,1]))

intx=integral(integral(f,y,-3,3),x,0,1) #y에 대한 적분을 먼저하는 경우

inty=integral(integral(f,x,0,1),y,-3,3) #x에 대한 적분을 먼저하는 경우

print(intx)

print(bool(intx==inty)) #적분 순서를 바꾸어도 적분 결과는 변하지 않음

open problem 문제를 풀면서 이중 리만합을 이용한 폐직사각형 R위의 입체의 부피 근사를 구하

는것부터 시작해두함수에 의해 둘러쌓인 일반영역에서의 연속함수에 대한 이중적분을 구하고 푸

비니 정리를 통해 직사각형 내에서 함수 f(x,y)가 연속이라면 적분순서를 바꾸어도 그값이 같음을

확인했습니다.

-열린문제4

[HW W6] 손*원. 이*한 7주차 열린문제4 + 삼중적분의 활용 (2. 질량)

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

삼중적분의 의미에 다시 한번 찾아보던 도중 공업수학에서 일반화된 수식을 찾아 공유드립니다.

교수님께서 말씀하신데로 삼중적분 배움으로써 물리학에서 눈에 보이지 않는 것들 수식으로 풀어

갈 수 있으며, 특히, 저희 학우님들이 수강중인 일반물리2에서 학습하였던 "질량중심"에 대해서도

3차원으로 확장하여 풀어나갈 수 있음을 알수 있습니다.

부피가 아닌 질량에 관한 문제를 찾아서 열린문제로 공유드리겠습니다.

1. 부피

254

2. 질량

3. 1차모멘트

3.1 질량중심 : 입체 D의 질량중심의 좌표

Finalize[HW W6] 천*준, 조*준, 김*구, 이*한, 윤*수, 김*영, 김*환, 박*현, 김*철 삼중적분의 기

하학적인 의미[열린 문제 4]

해당 의

기하학적 의미는 부피라고 생각합니다.

여기서 질문이 있어 질문드립니다. 정적분을 하면 면적을 알 수 있고 이중적분을 통하여 부피를

알 수 있으며 삼중적분에서는 부피에 무게의 함수를 곱한 것이니 초부피? 미소부피? 을 알 수 있

는 것인가요? 또한 정확한 용어가 따로 이는 것인지 궁금합니다

이상구(LEE SANGGU)7월 20일 오전 9:47

Good job ( D 상의 p 의 삼중적분 의 의미 ):

255

[ D 상의 p 의 삼중적분 의 의미 ] 밀도 함수 p 가 주어질 때, 입체 D의 질량 을 구하는 것이 삼

중적분이 해 주는 일입니다. 이것이 월요일 수업 후 물어본 하나의 열린문제에 대한 답입니다.

[7주차 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분]

-열린문제1

[HW W7] 극좌표계에서의 이중적분 [open problem 1,2] 이효민, 박경현, 이주

한, 노영규, 김재영, 윤관수, 전형준, 조현준

작성자 : 이효민(2022####80)작성일 : 7월 28일 오후 10:15

안녕하세요 이효민 입니다.

7주차 [open problem1,2]를 풀며 개념에대해 학습한 내용입니다.

[극좌표의 세가지 그래프 유형]

1.리마송

r = a ± bcosθ or r = a ± bsinθ

Ex)

1)r = 1 + sinθ

[sage]

var ('r, t')

f(t) = 1 + sin(t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, 2*pi), color = "black", fill = True, fillcolor = "red" )

show (p1)

2)r = 2 - cosθ

256

[sage]

var ('r, t')

f(t) = 1.5 - cos(t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, 2*pi), color = "black", fill = True, fillcolor = "red" )

show (p1)

3)r = 1/2 + sinθ

[sage]

var ('r, t')

f(t) = 1/2 + sin(t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, 2*pi), color = "black", fill = True, fillcolor = "red" )

show (p1)

2. 꽃잎형

r = a ± bcos(nθ) or r = a ± bsin(nθ) [*n ≥2]

이때 n이 홀수일때는 n개, 짝수일때는 2*n개의 꽃잎이 나옴

Ex)

1) 2sin(3θ)

257

[sage]

var ('r, t')

f(t) = 2*sin(3*t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, 2*pi), color = "black", fill = True, fillcolor = "lightblue" )

show (p1)

2) cos(4θ)

[sage]

var ('r, t')

f(t) = cos(4*t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, 2*pi), color = "black", fill = True, fillcolor = "lightblue" )

show (p1)

3. 리본형

r^2 = acos(θ) or asin(θ)

258

[sage]

var ('r, t')

8*integral(integral (r, r, 0, cos(4*t)), t, pi/8,

pi*3/8)

comment : 극 방정식으로 표현되는 그래프의 개형을 알 수 있었고 그 면적을 구

하는 방식에 대해 학습하였습니다.

Re - Finalize [HW W7] 이*인, 김*영, 손*원, 임*섭, 전*준, 윤*수, 노*규, 김*구, 조*준, 천*준,

노*완, 신*호, 김*수, 이*한, 김*환, 박*수, 김*철 극곡선 영역의 넓이 - open problem 1

259

var ('r, t')

f(t)=cos(3*t)

p1=polar_plot(f(t),(0,pi),color="lightblue",fill=True,fillcolor="yellow")

show(p1)

var ('r, t')

3*integral(integral(r,r,0,cos(3*t)),t,-pi/6,pi/6)

cos(7*t)

260

-----------------------------------------------------------------------------

[HW7] 김*영 Open Problem 1 Polar Curve의 넓이

이중적분을 이용해서 4엽 장미(4-leaved rose) r=cos2θ 로 둘러싸인

넓이를 구하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html 에

서 1잎의 구간 -1/4 pi ≤ t ≤ 1/4 pi를 확인한다.

var ('r, t')

f(t)=cos(2*t)

p1=polar_plot(f(t),(0,2*pi),color="lightblue",fill=True,fillcolor="yellow")

show(p1)

다음 4엽 장미 이므로

가 -1/4 pi 부터 1/4 pi까지 일때 만드는 영역의 넓이를 구한 후 4

배 해주면 된다.

var ('r, t')

4*integral(integral(r,r,0,cos(2*t)),t,-pi/4,pi/4)

261

이중적분을 이용해서 5엽 장미(5-leaved rose) r=cos5θ 로 둘러싸인 넓이를 구하여라.

우선 전체 그래프와 1잎의 구간을 확인해준다.

다음 5엽 장미 이므로

가 -1/10 pi 부터 1/10 pi까지 일때 만드는 영역의 넓이를 구한 후

5배 해주면 된다.

var ('r, t')

5*integral(integral(r,r,0,cos(5*t)),t,-pi/10,pi/10)

노*완(2022+++####71)7월 20일 오전 10:37 t의 영역 설정은 임의로 하는 것인지 아니면 구하는

방법이 따로 있는 것인지에 대해서 조금 더 자세히 알고싶습니다.

김*영(2022+++####67)7월 20일 오전 10:43

저는 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html 에서 구간을 조절해가면서

1엽의 구간을 확인 한 후에 영역의 넓이를 구하고 갯수를 곱하여 구하였습니다. 위 사이트에서 구

간 정하기 어려운 5엽장미는 sage에서 직접 구간 설정하여 그림그려보면서 구했습니다. 5엽 장미

넓이 구하기 중 코드를 보시면 -1/10*pi, 1/10*pi 구간을 적었는데 하나하나 적어보면서 찾아봤

습니다 ㅎ

김*영(2022+++####67)7월 20일 오전 10:58

오 7엽까지 구하셨네요! 그런데 3엽 5엽 7엽 모두 넓이의 합이 1/4*pi 나옵니다 신기하죠?

이*인(2022+++####79)7월 20일 오전 11:01

눈치채지 못했던 부분인데 넓이의 합 결과가 같네요 !

손*원(2022+++####75)7월 20일 오전 11:06

다양한 극곡선의 넓이의 합을 확인하고, 또한 3,5,7엽의 넓이의 합이 모두 1/4*pi가 나온다는 신

기한 사실도 확인할 수 있었습니다

9엽장미도 실습해보았는데 같은 값(1/4*pi)이 나오는 것을 확인할 수 있었습니다.

아래는 코드입니다.

var ('r, t')

f(t) = cos(9*t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, pi), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

262

var ('r, t')

f(t) = cos(9*t)

p1 = polar_plot (f(t), ( -pi/18 , pi/18 ), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

var ('r, t')

9 * integral (integral (r, r, 0, cos(9 * t)), t, -pi/18, pi/18)

임*섭(2022+++####81)7월 20일 오전 11:08

극좌표의 구간을 나누는게 많이 어려운데.

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html

위에 주소에서 극좌표의 그래프를 그리고 범위를 변경해주면서 구간을 확인하면 쉽게 구간을 구할

수 있습니다.

범위가 0부터 1/2*pi 일 때, 꽃잎이 7개의 절반인 3.5개가 나오기 때문에 적분에 2배를 곱해서

계산할경우 위에 구한답과 동일하게

나오는것을 볼 수 있습니다.

var ('r, t')

2 * integral (integral (r, r, 0, cos(7 * t)), t, 0, 1/2*pi)

전*준(2022+++####82)7월 20일 오전 11:13

[11엽 장미]

var ('r, t')

f(t) = cos(11*t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, pi), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

cos(n*t) n의 숫자에 따라 엽의 갯수가 달라지는 것 같습니다.

구간은 ( -pi/22 , pi/22 )

var ('r, t')

f(t) = cos(11*t)

p1 = polar_plot (f(t), ( -pi/22 , pi/22 ), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

var ('r, t')

11 * integral (integral (r, r, 0, cos(11 * t)), t, -pi/22, pi/22)

1/4*pi

11엽장미를 해도 1/4*pi 가 나오네요

cos(n*t) 에서 n이 엽의 갯수를 표현하고 n이 늘어날수록 (-pi/2*n , pi/2*n)의

구간을 가지는 것 같습니다.

엽이 갯수가 늘어날수록 하나의 엽의 크기도 작아지는 것 같습니다!

263

-열린문제2

[W7] 신*호 곡면의 넓이 학습, 열린문제2

7주차 학습 곡면의 넓이에 대해서 학습해보았습니다.

1. 매개변수화 되어있는 경우 ds=lru*rvldudv 로 바꿔주고 계산해야하고

2. z=f(x,y) 함수로 되어있을경우 - 매개변수화 시켜준다 매개변수화 시켜준 인테그랄 밑에 D는 X,Y 평면에 정사영 영역이

다 z=f(x,y) 함수이기때문이다.

3. x=f(y,z) 함수로 되어있을경우 - 매개변수화 시켜준다 매개변수화 시켜준 인테그랄 밑에 D는 Y,Z 평면에 정사영 영역이

다 X=f(Y,Z) 함수이기때문이다.

4. y=f(x,z) 함수로 되어있을경우 - 매개변수화 시켜준다 매개변수화 시켜준 인테그랄 밑에 D는 X,Z 평면에 정사영 영역

이다 Y=f(X,Z) 함수이기때문이다.

매개변수화 되어있을때 ds=lru*rvldudv 로 바뀌는 것이 중요하다.

264

느낀점 : 매개변수화 되어있는 경우 ds=lru*rvldudv 로 바꿔주고 계산해야하고 함수로 나와있을

경우 매개변수화 시켜서 계산해주는 것을 알게되었습니다.

7.2 곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이)

-구면좌표계

Ex)

265

[곡면의 매개변수화]

앞서 곡선에서는 매개변수 t를 이용하여 r(t)로 나타낼 수 있었다.

곡면에서는 매개변수 2가지로 나타낸다.

r(u,v) = <x(u,v), y(u,v), z(u,v)>

Ex)

x = 2cosθ

y = 2sinθ

r벡터를 다음과 같이 나타내고 범위를 표시한다.

r(θ, z) = <2cosθ, 2sinθ, z>, (0≤θ≤2pi, 0≤z≤1)

[곡면위의 접평면]

266

[곡면적의 넓이]

[WH W9] 8주차 구면좌표계 변환, 야코비안 행렬[open problem1,3] 이효민, 윤

관수, 노영규

작성자 : 이효민(2022####80)작성일 : 8월 9일 오후 4:45

안녕하세요 이효민 입니다.

8주차 [open problem]을 풀며 학습한 내용입니다.

-구면좌표계

267

[출처] : https://www.youtube.com/watch?v=SUc6zZecZVU

위 구면좌표의 (2, pi/3, pi/4)가 각각

라고 놨을때

위 식을 이용하여 대입해주면

직교좌표 (x,y,z) = (sqrt(2)/2, sqrt(6)/2, sqrt(2)) 로 나타낼 수 있습니다.

[sage code]

rho, theta, phi = 2, pi/3, pi/4

rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta),

rho*cos(phi)

268

야코비안의 정의는 극소영역에서 비선형 변환을 선형 변환으로 근사시킨 것 입니다.

행렬식의 기하학적 의미는 선형변환은 하였을때 넓이가 얼마만큼 변하는가를 나타내고

야코비안 행렬은 원래 좌표계에서 변환된 좌표계로 바뀔때의 넓이의 변화 비율을 말해줍니다.

comment : 직교좌표계의 구면좌표계로의 치환 방법과 그 적분법을 알 수 있었으며

야코비안 행렬식이 갖는 의미에 대해 학습하였습니다.

-열린문제3

[Final OK by TA] [HW W6] 노*완, 전*준, 노*규, 김*환, 임*섭, 김*구 삼중적분 푸비니 정리

[열린문제 3]

삼중적분과 삼중적분에 대한 푸비니 정리입니다

다른 교재의 문제를 찾아서 풀이를 진행해 보았습니다.

269

이후 sage를 용하여 문제를 풀어보고 푸비니 정리가 성립이 되는지 확인 해보았습니다.

최초 삼중적분을 진행해보았습니다.

또한 적분의 순서를 바꾸어 진행을 해본 결과 결과값이 똑같다는 것을 알 수 있었고

최종적으로 푸비니 정리가 다른 삼중적분에도 성립함을 sage를 통하여 확인 하였습니다.

[HW W5] 전*준 삼중적분 푸비니 정리

5,6 주차를 학습하면서 이중적분에서 푸비니정리가 나오고 다른 학우님이 삼중적분에서도 푸비니

정리가 적용이 되는지에 대해서 질문을 하여서 직접 실습해보았습니다.

이중적분 푸비니정리를 확장하여 보면

(참고문헌 : https://blog.naver.com/ldj1725/222471173756 ,,2022+++.07.17네이버 블로그, 대학벡터미적분학)

직접 f의 값과 B를 정해서 문제를 풀어보겠습니다.

1. f(x,y,z) = x^2*e^y+x*y*z , B = [-2,3]*[0,1]*[0,5]

[with sage]

[Q]

var ('x, y, z')

f(x,y,z)=x^2*e^y+x*y*z

270

intf=integral(integral(integral(f,x,-2,3),y,0,1),z,0,5)##적분순서 x-y-z

intg=integral(integral(integral(f,x,-2,3),z,0,5),y,0,1)##적분순서 x-z-y

inth=integral(integral(integral(f,y,0,1),x,-2,3),z,0,5)##적분순서 y-x-z

intj=integral(integral(integral(f,y,0,1),z,0,5),x,-2,3)##적분순서 y-z-x

intk=integral(integral(integral(f,z,0,5),x,-2,3),y,0,1)##적분순서 z-x-y

intl=integral(integral(integral(f,z,0,5),y,0,1),x,-2,3)##적분순서 z-y-x

print(intf)

print(intg)

print(inth)

print(intj)

print(intk)

print(intl)

print(bool(intf==intg))

print(bool(intf==inth))

print(bool(intf==intj))

print(bool(intf==intk))

print(bool(intf==intl))

[A]

175/3*e - 1025/24

True

이중적분에 이어서 삼중적분에서도 폐구간인 영역을 정하고 함수가 연속이라면 적분 순서를 자유롭게 바꿀 수 있는 것으로

보입니다. 직접 실습을 해보니 해당 값들이 같으며 삼중적분도 푸비니의 정리를 만족한다는 것을 알 수 있었습니다. 적분

의 순서를 바꿀 수 있으니 계산에 용이하게 변경이 가능할 것 같습니다.

-열린문제4

final-[HW W6] 손*원,임*섭,전*준,이*인 7주차 열린문제4

7주차 학습내용인 극좌표에서의 이중적분과 삼중적분에 대해 학습하고 열린문제4번을 풀어봤습

니다.

[학습 내용]

-극좌표계에서의 이중적분(Double integral in Polar Coordinate System)

-곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이)

함수

인 곡면의 넓이(Surface Area, 곡면적, 표면적)는

와

가 연속(continuous)일

때, 다음과 같이 계산된다.

271

(              ,점  에서 곡면의 법선벡터가 ∇            N  이므로)

이는 그림에서 보듯이 곡면상의 임의의 점에서 각 편도함수에 의해 만들어진 곡선의 접선벡터를 각각

라 하면,

두 벡터에 의해서 만들어진 평행사변형에 수직인 벡터가

이기 때문이다.

따라서 평행사변형의 넓이

는

의 크기이므로

, 단,

이다.

-삼중 적분(Triple Integral)

-일반적인 영역  위에서 삼중적분

입체 영역

가

에 대한 두 연속함수의 그래프 사이에 놓여 있을 때,

즉

일 때 삼중적분은 아래와 같다.

는

평면 위로

의 사영(projection)이다.

일 때

이다.

[열린 문제4]

문제출처 http://contents.kocw.or.kr/document/lec/2011/43/03/Calculus_2_01_03.pdf

문제1

sage

272

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = z

# 영역별 그래프를 그린다.

p1 = implicit_plot3d (x + y + z == 1, (x, 0, 1), (y, 0, 1), (z, 0, 1), opacity = 0.6)

p2 = text ("z == 1", (0, 0.5))

show (p1 + p2, aspect_ratio = [2, 2, 2])

# 영역별 그래프를 그린다. xy평면으로 정사영 y = 1 - x 그래프

p3 = plot (1 - x, (x, 0, 1))

p4 = text ("$y = 1 - x$", (0.5,0.5), fontsize = 15, color = "black")

show (p3 + p4)

# 삼중적분 값

integral ( integral ( integral ( f( x, y, z ), z, 0, 1 - x - y), y, 0, 1 - x), x, 0, 1)

삼중적분과 정사영을 활용하여 일반 영역에서의 부피를 구하는 방법과 그 원리에 대해서 학습하

였으며, 복잡한 형체의 삼중적분이지만 기존에 저희가 배운 일변수함수와 이변수함수의 적분과

비슷하다는 것을 알 수 있었습니다.

또한 손으로 계산하려면 여러 단계가 필요해서 어렵지만, 원리를 이해한 후 sage를 활용하면 간

단하게 계산할 수 있다는 것을 확인할 수 있었습니다.

[8주차 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분]

-열린문제1

[W7 HW1] 김*구 [열린문제 1]

8주차 열린문제1의 [원통좌표계 -> 직교좌표계 변환]와 [구면과표계 -> 직교좌표계 변환]에 대한

내용을 실습해보았습니다.

1. 원통 좌표계의 한 점(e^3, pi/2, 5)를 직교좌표로 나타내어라

(수기 풀이)

273

(sage code)

r, t, z = e^3, pi/2, 5

r*cos(t),r*sin(t),z

T = Cylindrical ( 'height', ['radius', 'azimuth'] )

T.transform(radius=e^3,azimuth=pi/2,height=5)

2. 구면좌표의 한 점(4,pi/2, 2*pi/3)을 직교좌표로 나타내어라.

(수기 풀이)

(saga code)

rho, theta, phi = 4, pi/2, 2*pi/3

rho*sin(phi)*cos(theta),rho*sin(phi)*sin(theta),rho*cos(phi)

T = Spherical ( 'radius', ['azimuth', 'inclination'] )

T.transform(radius=4,azimuth=pi/2,inclination=2*pi/3)

1,2 문제 출처 - [www.hanbit.co.kr/EM/sage/2_chap10.html]

수기와 sage 프로그램을 사용하여 변환한 결과 같은 값을 얻을 수 있었으며, sage를 통하여 쉽게

결과를 얻을 수 있었습니다.

-열린문제2

[HW W8]윤*수,백*준,천*준,전*준,손*원,김*영,임*섭,조*준,김*철8주차 열린문제 2

작성자 : 천*준(2022+++####84)작성일 : 8월 2일 오전 10:04

동료들의 풀이 과정을 보고 수기로 열린문제2번을 유도하고 답을 확인하였습니다.

274

-----------------------------------------------------------------------------

[HW W7] 백*준 구면좌표계(spherical coordinate system)에서의 야코비안(Jacobian)유도

8주차. 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분을 학습하며 (*)8.3 다중적분에서의 변수변환의

열린문제 2 문제를 풀어본 내용 공유드립니다.

T의 야코비안을 삼중적분에 적용한 공식을 보면,

와 같이 나타낼 수 있는데 이것은 8.2 구면좌표계에서의

삼중적분에서 배운 공식과 동일한 것을 알 수 있습니다.

Comment : 3x3 행렬식을 통해 Jacobian을 구하고 삼중적분에 대한 공식에 적용하면 구면좌표계

의 삼중적분과 동일한 결과가 나오는 것을 확인할 수 있었습니다.

-----------------------------------------------------------------------------

[HW W7] 윤*수 8주차 열린문제 2

8주차 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분 열린문제 2번을 풀어봤습니다.

275

위와같이 구면좌표계에서 야코비안을 유도하는 방법을 찾아보고 학습했습니다.

마지막에 -r^2*sinΦ 에 절대값을 취해 r^2*sinΦ 가 나오는 것을 확인했습니다.

질문 : 열린문제2 에 있는 풀이 중 아래의 표시한 부분은 잘못 작성이 되어 있는건가요 ?

이상구(LEE SANGGU)7월 27일 오후 4:13

단순 오타입니다^^ 이미 고쳐서 강의 녹화 해 두었습니다^^ 교재도 고쳐졌습니다.

전*준(2022+++####82)7월 27일 오후 7:55

구면좌표계로 주어진 적분에서는 변수변환이 필요할텐데 그 내용들을 직접 수기로 풀어주셔서 야코비안에 대

한 답을 얻을 수 있었습니다.

sage로 풀어보면

var ( 'r, t, p' )

F = (r*cos(t)*sin(p), r*sin(t)*sin(p), r*cos(p))

J = jacobian ( F, (r, t, p) ).det() # 이 코드로 야코비안(행렬식)을 구한다.

print ( J )

-r^2*cos(t)^2*sin(p)^3 - r^2*sin(p)^3*sin(t)^2 - (r^2*cos(p)*cos(t)^2*sin(p) + r^2*cos(p)*sin(p)*sin(t)^2)*cos(p)

해당 식이 나오고 정리하면 r^2*sin(p) 가 나오는 것으로 보입니다. 감사합니다.

-열린문제3

[HW W7] 손*원,임*섭,윤*수,전*준,노*완,박*현,조*준,이*인,노*규 8주차 열린문제3

안녕하세요 소재부품융합공학과 손*원입니다.

8주차의 열린문제3을 실습해보았습니다.

이중적분에서의 변수변환은 일변수함수의 적분에서 치환적분의 개념의 일반화입니다.

야코비안(Jacobian)은 적분에서의 변수변환을 할 때 등장하는 개념입니다.

아래는 야코비안의 정의입니다.

극좌표에서의 변환 T는 r, theta평면에서 x,y평면으로 다음과 같이 주어집니다.

삼중적분에서도 위의 이중적분과 동일한 방식으로 적용할 수 있습니다.

276

따라서, 중적분의 변수변환에서는 아코비안(Jacobian)을 이용하여 넓이의 변화율을 곱하여 적분하면 됩니다. 위에서 설명한

치환적분의 특별한 경우가 3차원 일 때는 원기둥좌표와 구면좌표이고, 2차원 일 때가 극좌표입니다.

그리고 열린문제3을 실습해보았습니다.

에 따라 직접 풀어보았습니다.

로 야코비안을 찾을 수 있었습니다.

그리고 sage의 코드를 활용하여 야코비안을 구해보았습니다.

[sage 코드]

var ( 'r, theta' )

F = (exp(r)*cos(theta), exp(r)*sin(theta))

J = jacobian ( F, (r, theta) ).det() # 이 코드로 야코비안(행렬식)을 구한다.

print ( J )

값이 다르지 않음을 확인할 수 있었습니다.

comment : 내용을 이해한 후 손으로 구할 때는 복잡하게 전개하여 값을 찾아야했습니다. 하지만

코드를 활용하면 복잡한 계산은 생략하고 간단히 값을 구할 수 있었습니다. 기본적인 내용만 이

해하고 있다면 굳이 복잡한 계산을 할 필요없음을 확인할 수 있었습니다.

[9주차 벡터 미적분학(Vector Calculus)]

-열린문제1

[Final OK by TA] final-[HW W8] 손*원, 이*한, 전*준, 윤*수 9주차 열린문제1

277

안녕하세요 소재부품융합공학과 손*원입니다.

9장의 내용인 벡터장과 그린정리, 스트로크정리를 학습하고 열린문제1을 실습했습니다.

아래는 학습한 내용입니다.

-벡터장(vector field)은

에서

로의 함수

를 말한다. 즉 공간의 한 점에 벡터를 대응시킨 것이다. 벡터장은 물리학에서 유체의 흐름이

나 중력장 등의 각 점에서 크기와 방향을 나타내기 위해 사용된다.

또는

으로 나타낼 수 있다.

여기서

은 3변수 함수로

의 성분함수(component function) 또는 스칼라장(scalar field)이라 한다.

벡터장 sage 명령어 : plot_vector_field3d

-그래디언트 벡터장(gradient vector field) : 스칼라 함수

의 그래디언트(gradient)로 정의되는 벡터장

가 보존장(conservative vector field) : 어떤 스칼라 함수

의 기울기(gradient)가 되는 것(즉,

). 이때 함수

를

의 포텐셜 함수(potential function)라

한다.

-회전(curl) : 벡터장 내 임의의 지점에서의 회전 정도를 측정.

벡터장

의 성분함수

의 편도함수가 모두 존재하면,

의 회전(curl)은 다음과 같다.

curl

여기서

이다.

-발산(divergence) : 벡터장 내 임의의 지점에서 벡터장이 퍼져 나오는지, 아니면 모이는지의 정도를 측정.

가 벡터장이고,

가 존재하면,

의 발산(divergence)은 다음과 같다.

div

-벡터장

의 성분함수

이 연속인 2계 편도함수를 가지면, div

curl

)

0 이다.

-선적분(line integral): 정적분

에서 적분하는 구간을, 좌표축에 평행한 직선에서 평면(또는 공간)의 임의의 직선 또는 곡선으로 확장한 것.

-적분 경로(path of integration) : (적분구간) 곡선

- 적분경로

를 따라하는 벡터장

의 선적분

가 보존장(conservative vector field)에 대하여

이면, 선적분은 적분경로에 독립(independent)이 된다. 선적분이 경로에 독립적(independent)이면,

임의의 닫힌 곡선

에 대해서 (시작점과 끝점이 같으므로)

이다.(적분기호 상의 원은 닫힌 곡선에서의 선적분을 의미한다.)

가 보존장(conservative vector field)이 되는 조건

①

가 연속인 편도함수를 갖는 미분가능한 벡터장이라 하면 다음이 성립한다.

는 보존장(conservative vector field)

curl

②단순연결영역(simply connected domain)

내의 모든 닫힌 곡선에서 선적분이

이면, 벡터장

는

에서 보존장이고 그 역도 성립한다.

-그린 정리(Green’s theorem)

평면에서

가 단순 닫힌 곡선

에 의해 둘러싸인 영역이고

와

가

에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다면 다음이 성립한다.

(여기서

는 양의 방향을 따른다.

278

-그린 정리 벡터형식

벡터장을

이라 하면 선적분은

이다.

좌표를 0으로 고정하여

를 3차원 벡터장으로 생각하면

curl

이므로

curl

이다.

따라서 그린 정리(Green’s theorem)는 아래와 같다.

-스토크스 정리(Stokes’ theorem)

그린 정리(Green’s theorem): 평면영역

에서의 이중적분을

의 경계 곡선에서의 (양의 방향을 따라) 선적분과 연결했다

스토크스 정리(Stokes’ theorem)는 유향곡면(방향이 있는 곡면)

에서의 면적분과

의 경계 곡선에서의 (양의 방향을 따라) 선적분을 연결한다.

따라서 스트로크 정리는 그린 정리(Green’s theorem)의 확장으로 생각할 수 있다.

정의)

는 단순 닫힌 곡선(simply closed curve)

를 경계로 갖는 곡면

에서 연속인 2계 편도함수를 갖는 벡터장일 때, 다음이 성립한

다. 여기서

는 양의 방향을 따른다.

위 등식의 좌변은 곡면

의 단위법선벡터

에 관하여 오른손 법칙에 의해 반시계방향으로 곡선

를 따라 계산한

의 선적분이고, 우변은 곡면

위에서

의 면적분이다.

아래는 열린문제1을 실습한 내용입니다.

위에서 학습한 내용을 바탕으로 sage를 활용하여 풀어보았습니다.

var ('x, y, z')

r = vector([x, y, 4 - y])

F = vector([z-x, x-y, y-z])

r_x = diff(r, x); r_y = diff(r, y)

n = r_x.cross_product(r_y)

integral ( integral ( F.curl([x, y, z]).inner_product(n), y, -sqrt(2 - x^2), sqrt(2 - x^2)), x, -sqrt(2), sqrt(2) )

위와 같이 결과는 4*pi 으로 구할 수 있었습니다.

제가 학습한 내용을 바탕으로 sage를 활용하여 실습해보았는데 혹시나 틀린 점이 있다면 말씀 부

탁드립니다.

279

-열린문제2

[Final OK by TA] [Final] [HW W8] 김*구, 손*원, 이*한, 박*수, 전*준 9주차 [열린문제2] 발산

정리 (divergence theorem), 발산정리의 의미

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이*한입니다.

김*구 학우님 자료로 추가로 학습하여 열린문제2 풀어보았습니다.

발산 정리를 통해 어떤 벡터의 발산을 부피로 적분하는 것과, 그 벡터의 면적분은 같다는 것을 알 수 있었습니다. 그린정

리, 스토크스 정리 , 발산 정리 등등 앞으로 배울 전자기학에 많이 사용된다는 이야기를 보았습니다. 앞으로 학업에 많이

도움에 될 것 같습니다.

▶ 동일한 문제 풀지 않음.

var('x, y, z') # 변수 정의

F=vector([x*y,y^2+e^(x*z^2),sin(x*y)])

F.div([x,y,z])

var ('x, y, z')

280

f(x,y,z)=3*y

3*(integral(integral(integral(y,y,0,2-z),z,0,1-x^2),x,-1,1))

------------------------------------------------------------------------

[HW W8] 김*구, 손*원 9주차 [열린문제2]

안녕하세요. 소재부품융합공학과 김*구 입니다.

9장 학습 내용 중 발산 정리에 대한 학습 내용 공유드립니다.

학습 간에 손*원 학우의 내용 정리를 통한 해당 내용에 대한 이해를 하였으며 열린문제 2번에 대한 내용을 실습하였습니

다.

가우스(Gauss)의 발산 정리(divergence theorem)

발산 정리는 삼중적분을 면적분으로, 면적분을 삼중적분으로 바꿔준다. 발산 정리(divergence theorem)는 전자기학, 유체

역학 등에서 중요한 방정식을 유도할 때 자주 쓰입니다.

1. 발산 구하기

(sage code)

var('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([2*y*x^2, -y^2, 4*x*z^2])

F.div([x, y, z])

2. 삼중적분 구하기

(sage code)

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 4*x*y - 2*y + 8*x*z

integral ( integral ( integral (f, z, 0, sqrt(9-y^2)), y, 0, 3), x, 0, 2 )

9장 내용을 학습하면서 sage 프로그램을 활용한 풀이를 통하여 여러 단계의 연산이 필요한 부분

도 프로그램을 활용하여 손 쉽게 실습을 할 수 있었습니다.

281

- 기말고사 이전까지 QnA를 통하여 논의에 참여했던 내용에 자신도 참여했

던 것 모두와 기타 자신이 제공한 유의미한 정보 또는 그것에 자신이 참여한

부분을 모두 아래에 정리하시면 됩니다. (20점) by 이주한

[WEEK 1] 행렬의 종류와 전치행렬의 특징

벡터(vector)

: '크기와 방향으로 정의되는 값' 이며, 시작점을 원점, 끝점을 로 하는 화살표로 나타

낸 것을 벡터(vector)라 하고 로 표기한다.

n개의 실수를 성분으로 하는 벡터를

으로 표기하며, n차원 벡터라고 한

다.

이를 n차원 벡터의 전체 집합을 n차원 공간(n-dimensional space)이라 한다.

스칼라(scalar)

: 벡터를 이루는 각각의 성분은 하나의 숫자로 이루어져 있는데 이를 스칼라(scalar)라

고 한다.

1. 정사각행렬(또는 정방행렬, square matrix)

: 같은 수의 행과 열을 갖는 행렬 (n x n 행렬)

2. 대각행렬(Diagonal Matrix)

주 대각선(principal diagonal) 원소들을 제외하고, 나머지 모든 원소들이 0 인 정방

행렬

3. 영행렬 (Zero Matrix)

282

◩ 열린 문제 1

위에서 배운 벡터와 행렬에 대한 연산을 다른 교재의 행렬에 적용하는 행렬연산을 시행해

보시오. [http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습]

전치행렬실습 : 전치행렬의 형성하고, 아래 두가지 행렬 특성에 대해서 비교하면서 검증

[SageMath]

A = random_matrix(ZZ, 3, 4, x = -20, y = 20) # 3*4 행렬 랜덤 생성

B = random_matrix(ZZ, 4, 3, x = -20, y = 20) # 4*3 행렬 랜덤 생성

k = ZZ.random_element(x = -5, y = 5)

print ("k*A^T =")

print (k*A.transpose()) # k*(A^T)에 대한 계산

print ("(kA)^T =")

print ((k*A).transpose()) # kA^T에 대한 계산

print ("B^T*A^T =")

영행렬은 모든 원소가 0인 행렬로 곱셈 연산에서 영원으로 작용하는 행렬입니다. 만약

에 어떤 행렬을 영행렬에 곱하면 결과는 영행렬이 나옵니다

4. 전치행렬 (Transpose Matrix)

전치행렬은 주대각선 원소를 기준으로 행과 열을 바꿔주는 행렬입니다. 행과 열을 바

꾸기 때문에 주대각선 원소는 변하지 않습니다. 전치행렬은 T 로 표현한다.

※ 전치행렬의 성질

283

Comment : 행렬을 랜덤하게 형성하고 4*3 행렬뿐만 아니라 100*100까지도 쉽

게 형성이 가능하며,transpose 함수를 이용하여 전치행렬(A^T) 형태로 쉽게 변환

할 수 있음을 알 수 있었습니다.

[WEEK1] 가우스 조던 소거법을 이용한 역행렬 계산

print (B.transpose()*A.transpose()) # k*A^T에 대한 계산

print ("(AB)^T =")

print ((A*B).transpose()) # (AB)^T에 대한 계산

1. 가우스 소거법(Row Echelon Form, REF)

가우스 행렬(Gauss Matrix)이란 대각 원소를 모두 1로 만들고, 대각 원소를 기준으로

아래쪽 원소를 모두 0으로 만든 행렬이다. 가우스 소거법은 가우스 행렬을 이용해 해

를 구하는 방법이다.

2.가우스 조던 소거법(Reduced Row Echelon Form. RREF)

이에서 더 나아가 가우스-조던 소거법(RREF)는 대각원소를 기준으로 위쪽 원소들 또

한 0으로 바꾸어 해를 한번에 구할 수 있는 방법이다.

5차 행렬에 대해서 역행렬에 대한 계산은 두 가지 방법으로 있음을 확인하였습니다.

284

현재까지 학습한 내용으로는 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan elimination

method)을 이용하여 5차 이상의 행렬 계산이 가능함을 확인하였으며, 방법은 간단하

다 역행렬에 그와 같은 차수의 항등행렬을 위치시켜 나누어 준다. 가우스-조르단 소거

법을 이용하여 역행렬을 구할 수 있다.

또한, 추가 윤문 자료를 이용하여 여인수 행렬의 전치행렬을 이용해서도 구할 수 있음

을 과정에 대해서 확인 하였습니다.

2) 전치행렬, 소행렬, 여인자를 이용한 역행렬 계산 방법 (참고)

[출처]

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=agnes0

129&logNo=203468722

[출처] https://blog.naver.com/bmw9707121/221732083775

285

◩ 열린 문제 2

인터넷이나 다른 교재에서 5차 (이상) 행렬을 찾아서, 전치행렬과 역행렬이 존재하는지를 확

인하고, 존재하면 찾아보시오.

1. [SageMath] 5차행렬의 역행렬 계산

2. [SageMath] 5차행렬의 가역행렬 판단

Comment

2차, 3차 행렬의 경우 제가 위에서 이야기한 방법으로 수기 계산이 가능하지만 4차 행렬

이상이 될 경우 풀기에는 너무나 복잡한 과정(거의 불가함.)을 거쳐야 하는데 Sage code

이용하여 쉽게 5차 행렬의 역행렬을 구할 수 있었습니다.

A = random_matrix(ZZ, 5, 5, x = -10, y = 10)

print ("A =")

print (A)

print ()

print ("inverse of A =")

print (A.inverse()) # A의 역행렬 구하기, 형식은 A.inverse()

A = matrix(QQ, [[3,1,5,7,4], [7,2,2,1,3], [0,0, 0,0,0], [14,1,6,8,9], [1,3,3,4,3]])

# QQ 는 유리수 연산 의미

A.is_invertible() # 행렬이 가역인지 확인

286

[WEEK1 선형 연립방정식의 해]

◩ 열린 문제 3

다른 교재의 선형 연립방정식의 해를 위의 명령어로 구하시오.

(Hint: http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/LA-Sec-3-5-lab.html 실습)

1. 첨가행렬(augmented matrix)와 계수행렬(coefficient matrix)

n개의 미지수를 갖는 m개의 일차방정식으로 이루어진 선형연립방정식은 행렬의 곱을 이용하

여 Ax=b로 간단히 쓸 수 있다.

행렬 A를 선형연립방정식의 계수행렬(coefficient matrix)이라 하며, A에 b를 붙여서 만든 행

렬을 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.

※ 계수행렬이 가역인 선형연립방정식의 해

n차의 정사각행렬 A가 가역이고 b가 R^n의 벡터일 때, 연립방정식 Ax=b는 유일해 x=A^-1b

를 갖는다.

287

1. [SageMath] 5개의 미지수에 대한 선형 연립방정식 첨가행렬

2. [SageMath] 5개의 미지수에 대한 선형 연립방정식 해 구하기

Comment

행렬을 배우기 전에는 연립방정식을 수기로 풀었으나, 행렬을 배우고 계수행렬

(coefficient matrix) 형태로 변환하여 A.inverse()*b 또는 A.solve_right(b) 쉽게 Ax =

b의 해를 구할 수 있었습니다.

A = matrix([[3,1,5,7,4], [7,2,2,1,3], [1,3,5,7,9], [14,1,6,8,9], [1,3,3,4,3]]) # 계수행렬 입력

b = vector([9, 1, 0, 4, 5]) # 상수항 벡터

print ("[A : b] =")

A.augment(b) # 첨가행렬

A = matrix([[3,1,5,7,4], [7,2,2,1,3], [1,3,5,7,9], [14,1,6,8,9], [1,3,3,4,3]]) # 계수행렬 입력

b = vector([9, 1, 0, 4, 5]) # 상수항 벡터

print ("x =", A.inverse()*b) # 역행렬을 이용한 연립방정식의 해 구하기

print ("x =", A.solve_right(b)) # A.solve_right(b)를 이용하여 구할 수도 있다.

288

[WEEK 1] RREF를 이용한 Ax=b의 해집합

1. 선형연립방정식 Ax=b의 해(Solution)

어떤 선형방정식 Ax = b에 대한 해가 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 해의 존재

여부를 우리는 소거법(Elimination)을 통해 판별할 수 있으며,

만약 해가 존재한다면 이식에 대한 유일해나 해의 전체 집합을 아아 내야한다. 또한, Ax = b

의 완전해는 어떤 하나의 특정해(particular solution(=X_0))와 Null space의 해인 부분 공간

(subspace)의 합으로 표현될 수 있다.

선형연립방정식의 모든 해집합 S는 S = x_0 + S_h 으로 표현된다.

1) X_0는 Ax=b를 만족하는 하나의 특수해

2) S_h는 수반동차연립방정식 Ax=0의 해집합(해공간)

※ 참고 선형엽립방정식 Ax = 0가 유일한 해를 가질 떄는 Ax=0의 해집합이 S_h = {0}인 경

우이다. 그리고 Ax=b의 해가 존재하지 않을 때는 X_0를 찾을 수 없다.

2. 선형연립방정식과 수반동차연립방정식의 해집합 사이의 관계

Ax=b의 해집합 X_0+W의 기하학적 의미는 Ax=0의 해공간 W에 Ax=b의 특수해(particular

solution)를 더한 평행이동 집합이다.

따라서, X_0+W는 영벡터를 가지지 않으므로 R^n의 부분공간이 아니다.

289

◩ 열린 문제 4

행렬

와 6차원 벡터

를 임의로 생성하여 선형연립방정식

의 해집합을 구하여

라.

1. [SageMath] 선형연립방정식의 Ax=b 특수해를 구한다.

2. [SageMath] 수반동차연립방정식 Ax=0의 해집합(해공간)

위 문제에 대해서 종합적으로 선형연립방정식의 해집합 꼴(S = x_0 + S_h)로 나타낸 낼

경우 아래와 같다

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3,

-2, 2, 4, 7, 3],[6, 2, -4, 3, 9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3,

-2, 3, 4, 9, 12]])

b = vector([3, 6, 3, -7, 8, 10])

A.solve_right(b)

A = matrix([[2, 3, -4, 3, -2, 3, 4, 9, 12], [2, 3, -4, 3, -2, 4, 0, 2, 3], [12, 0, -9, 3,

-2, 2, 4, 7, 3], [6, 2, -4, 3, 9, 12, 12, 3, -8],[3, 26, 7, 14, 6, 3, 4, 9, 12], [2, 4, -4, 3,

-2, 3, 4, 9, 12]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정되어 있으므로 계수행렬만 필

요

290

[WEEK 2] 벡터의 노름,내적, 사잇각

◩ 열린 문제 1

임의로 10차원 벡터

와

를 생성하여

와

가 이루는 사잇각

(호

도법, 육십분법)를 구하시오.

1. [SageMath] 사잇각 및 내적 계산

1. a와 c 벡터의 내적은 직교가 아니다. ( a · c≠ 0 )

2. a와 d 벡터는 평행이 아니다 ( 상수배가 아니다.)

2. 벡터의 내적 성질

벡터의 내적에서 교환법칙과 분배법칙이 성립하기 때문에 실수에서 나오는 곱셉과 비슷한 계산

형태를 가지게 되고, 곱셈공식이나 인수분해 비슷한 방법으로 계산 하게 된다.

3. 벡터의 내적 사용 용도

3-1. 두 벡터가 수직이다.

3-2. 두 벡터가 이루는 각을 찾을 때

3-3. 직각삼각형과 연계된 도형에 내적 사용

3차 행렬에 대한 벡터의 내적만 다루었지만, 이를 확장시키면 10차원에 대한 벡터의 내적도

계산이 가능하다.

a = vector([3,7,-3,3,4,1,3,8,2,0]); b = vector([1,-3,6,4,6,1,7,3,4,9]) # 벡터 입력

c = vector([1,5,7,3,4,1,7,2,3,2]); d = vector([13,4,8,6,1,-8,1,2,3,10]) # 벡터입력

ab = a.inner_product(b)

an = a.norm();bn = b.norm()

291

Comment

10차원 벡터가 이루는 각, 직교여부, 평행여부, 단위벡터를 프로그램을 이용하여 계산하

면서 각 식이 의미하는 바를 이해할 수 있었으며, 손으로 풀기 어려운 문제에 대해서 쉽

게 접근하고 이해할 수 있었습니다.

[WEEK 2] 방향각과 방향코사인

print ("a·b =", ab) # a와 b의 내적

print ("||a|| =", an) # a의 크기, 노름

print ("||b|| =", bn) # b의 크기, 노름

ang_rad = arccos(ab/(an*bn)).n(digits=5) # 각을 라디안으로 제공

ang_deg = (180*ang_rad/pi).n(digits=5) # 각을 360도 기준으로 변환

print ("ang(rad) =", ang_rad) # a와 b의 사잇각(라디안)

print ("ang(deg) =", ang_deg) # a와 b의 사잇각(육십분법)

print ("a·c =", a.inner_product(c)) # a와 c의 내적 (0이면 직교)

print ("3a + d =", 3*a + d) # 0이면 a와 d는 평행

print ("u =", a/an) # a와 같은 방향의 단위벡터

a·b = 54

||a|| = sqrt(170)

||b|| = sqrt(254)

ang(rad) = 1.3079

ang(deg) = 74.938

a·c = 86

3a + d = (22, 25, -1, 15, 13, -5, 10, 26, 9, 10)

u = (3/170*sqrt(170), 7/170*sqrt(170), -3/170*sqrt(170), 3/170*sqrt(170), 2/85*sqrt(170), 1/170*sqrt(170),

3/170*sqrt(170), 4/85*sqrt(170), 1/85*sqrt(170), 0)

방향각(Direction Angle)과 방향코사인(Direction Cosine)

방향각의 코사인

를 벡터

의 방향코사인(direction cosine)이라 한다.

또는

을 기억하면,

에서의 기본단위벡

터

에 대하여,

292

◩ 열린 문제 2

4차원 공간

에서의 방향코사인(direction cosine)에 대하여도 유사한 이론 전개가 가능한

지 확인해 보세요,

백*준 학우 풀이 토론 진행

에서의 기본단위벡터를 i = e₁ = (1,0,0,0), j = e₂ = (0,1,0,0), k = e₃ = (0,0,1,0), t = e₄ =

(0,0,0,1)이라고 할 때,

▶a =

▶

으로 전개할 수 있고,

을 만족한다.

식을 만족하므로,

으로 쓸 수 있

고,

이며, 아래를 만족한다.

을 만족한다.

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/

293

위와 같이 유사하게 이론적으로는 4차원 공간에서의 방향코사인도 전개가 가능한 것을 확인했습니

다.

이*한(2022####78)6월 20일 오후 3:03

방향코사인을 공식을 통해 4차원까지 확장하여 이론적으로 계산할 수 있음을 알 수 있었습니다. 궁금한게 있

는데, 4차원의 경우 각도에 대해서 계산이 가능하지만 저희가 눈으로는 볼 수 없는 차원인가요?

이상구(LEE SANGGU)6월 20일 오후 4:51

이*한(2022####78) 씨의 질문에 대한 답입니다. 6월 20일 오후 3:03 방향코사인을 공식을 통해 4차원까지

확장하여 이론적으로 계산할 수 있음을 알 수 있었습니다. 궁금한게 있는데, 4차원의 경우 각도에 대해서 계

산이 가능하지만 저희가 눈으로는 볼 수 없는 차원인가요? <--- 답: 맞습니다. 3차원 공간에 생각이 머물러

있으면 ... 3차원공간에 사는 개미와 같이 개미가 2차원에서 바닥을 기다 ... 나무를 오르다 ... 떨어져서 다시

바닥을 기고 있어도 본인은 2차원에 살고 있다고만 생각합니다. --- 우리가 3차원에 살고 있다고 믿는 학생

이라면 그렇습니다. 우리가 실제 3차원에 사는 것은 맞나요? 누가 증명한 사람 있나요? 만일 우리가 n 차원

공간에 살고 있다고 생각하면 ... 4차원, 5차원, 7 차원 모두 ... 상상할수 있습니다. 방법은 2차원+ 1차원= 3

차원 이라고 개미에게 가르쳐 주듯이, 여러분에게 3차원+1차원(예가 시간 축입니다) 에서 사는 것을 느끼게

해 주면, ... 배운 학생들은 우리가 만일 n 차원에 살고 있다고 생각하면 실제 n+1 차원에 대하여 ... 생각하

고, 서술하고, 증명을 같은 방법으로 할 수 있게 됩니다.

[WEEK 2] 벡터의 삼중곱

◩ 열린 문제 3

임의로

상의 세 벡터

를 생성하여

등을 계산하고 외적의 연산

법칙들이 성립하는지 확인하시오.

전*준 학우 풀이 토론 진행

※ 벡터의 삼중곱

두 벡터의 벡터곱(cross)을 나머지 벡터와 스칼라곱한 것으로 정의합니다.

이 정의를 기하학적으로 평행육면체로 보면 밑변을 b,c로 보고 높이를 벡터 b,c의 외

적으로 보면 평행육면체의 부피를 얻을 수 있습니다.

a = vector([1, 2, -2]) # 벡터 입력

b = vector([3, 0, 1])

c = vector([5, -2, 3])

294

Comment

벡터의 내적과 외적의 연산 성질에 대해서 이해하였으며, 확장하여 스칼라 삼중곱을 이용하여 평

행육면체의 부피를 구할 수 있었습니다.

[WEEK 2] 평면의 방정식

print (a,b)

print ("a×b =", a.cross_product(b)) # a×b 외적

a = vector([1, 2, -2]) # 벡터 입력

b = vector([3, 0, 1])

c = vector([5, -2, 3])

bc = b.cross_product(c)

scp = a.inner_product(bc) # 스칼라 삼중곱

V = abs(scp) # 평행육면체의 부피

print ( '부피 =', V)

공간

에서 평면의 방정식은 한 점과 평면에 수직인 법선벡터(normal vector)만 주어지면 유

일하게 결정된다.

를 지나고 법선벡터

를 갖는 평면의 방정식이라고

하며, 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있다.

295

◩ 열린 문제 4

다른 교재에서 찾은

에서의 직선과 평면의 방정식에 관한 문제를 해결하시오.

한 점 (2, 4, -1)을 지나고 법선 벡터가 n = <2, 3, 4>인 평면의 방정식을 구하고 그래프

를 그리시오.

1. a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 평면의 방정식에 각각 인자를 대입한다.

2. (x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0 이를 전개하면 2x + 3y + 4z = 12라는 것을 알 수 있다.

3. 그래프는 sage 프로그램을 이용하여 그린다.

과

는 임의의 실수로 매개변수(parameter)라 한다.

과

가 취하는 값에 따라

는 평면

위의 모든 점이 될 수 있다. 따라서 위의 식은

과

에 평행이며

을 지나는 평면의 벡터

방정식(vector equation)이라 한다.

var('x, y, z')

p = vector ([2, 4, -1]) # 한 점

n = vector ([2, 3, 4]) # 법선 벡터

q = vector ([x, y, z])

eq_plane = n.inner_product(q-p) == 0 # 평면의 방정식

print (eq_plane)

p1 = implicit_plot3d(eq_plane, (x, -20, 20), (y, -20, 20), (z, -20, 20), opacity = 0.5)

p2 = arrow(p, p+n, colcr = 'green')

p1 + p2

296

comment

Normal vector 의 내적이 0인 식으로부터 a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 으

로 나타냄을 알 수 있었고, 전개 과정을 보여주셔서 ax + by + cz + d = 0 의 꼴로 간

단하게 나타낼 수 있음을 알게 되었습니다.

또한 sage프로그램을 이용하여 평면을 그리고 그의 수직인 법선벡터를 그림으로써 좀

더 직관적으로 학습할 수 있어 이해하는데 더욱 도움이 되었습니다.

297

[WEEK 2] 정사영(Orthogonal Projection)과 최단거리

◩ 열린 문제 5

상의 한 점

에서 평면

에 이르는 최단거리를

구하고, 이에 관하여 토론하시오.

v0 = vector([3, -1, 2,4]) # 한 점

n = vector([1, 3, -2,-6]) # 평면의 법선벡터

d = 1

D = abs(v0.inner_product(n) + d)/n.norm()

print(v0.inner_product(n)) # 벡터 v0와 n의 내적

print(n.norm()) # 법석벡터 n의 노름 (norm)

print ("D =", D) # (최단)거리 D

1. 정사영이란

어떤 평면 S 위에 있지 않은 점 A에 대해, 점 A에서 평면 S‘ 위로 내린 수선을 발을

점 A의 평면 S로의 정사영이라고 한다

벡터의 정사영 또한 위의 정의와 동일하다. 영벡터가 아닌 벡터 a에 대하여 벡터 b의

정사영은, 두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 벡터 b의 종점을 벡터 a에 수선을 발을 내

리고, 그것을 종점으로 하는 벡터를 벡터 a에 대한 벡터 b의 정사영이라고 한다.

의 벡터

에 대하여 다음이 성립한다.

(최단거리)

298

▶ 이*한(2022####78)6월 25일 오후 1:40

정사영에 대해 정리해주셔서 감사합니다. 수업시간에 교수님이 말씀하주신 것과 같이 정사영

이란, 특정 도형 및 선분에에 빛을 쪼였을 때, 그 빛과 수직인 평면에 생기는 그림자를 뜻하

며, 여기서 중요한 것은 정사영이 생기는 평면에 빛이 수직하게 쏘여야 한다는 것 입니다. 백

승준 학우님께서 내적과 노름을 활용하여 정사영 공식(proj_x y)을 유도하는 것이 공부하는데

많은 도움이 되었습니다.

[WEEK3] 공간 곡선의 길이, 곡률, 단위법선벡터

1. 곡선의 길이 (Length of Curve, Arc length, length of a plane curve)

가 연속일 때, 매개변수방정식이

인 공간곡선의 길이(Length of a space curve)는 아래와 같다.

2. 곡률 (Curvature)

곡률은 그 점에서 곡선이 얼마나 빠르게 방향을 바꾸는가로 이해할 수 있다.

에 의해 주어진 곡선의 곡률(curvature)은 다음과 같다. 여기서

는 단위접선 벡터이다.

3. 단위법선벡터(Principal Unit Norma)

곡선

가 벡터함수

에 의하여 정의된 매끄러운 곡선(smooth curve)일 때

에서 주단위법

선벡터(principal unit normal vector 줄여서 단위법선벡터)

를 다음과 같이 정의할 수

있다.

299

◩ 열린 문제 1

다른 교재에서 적당한 벡터함수

를 찾아 그 그래프를 그리고 접선벡터

와 곡률

를 구하고, 적당한 범위

에서 곡선의 길이(arc length)의 근삿값을 구하여라.

var ('t') #r(t) = (t^2cos(t), t^2sin(t), sin(t))

f(t) = t^2*cos(t); g(t) = t^2*sin(t); h(t) = sin(t)

r(t) = [ f(t), g(t), h(t) ]

dr(t) = diff( r(t), t )

drn(t) = dr(t).norm().simplify_full()

t0=2

p1=r(t0);

p2=dr(t0)/abs(dr(t0))+r(t0);

p = parametric_plot3d(r(t), (t, 1, 5), aspect_ratio= [1,1,10]);

utv=line3d([p1,p2],rgbcolor=(1,0,0),arrow_head=True, thickness=3);

show(p+utv) #그래프

T(t) = dr(t) / drn(t)

print ("접선벡터 = ",T(t)) #접선 벡터

dT(t) = diff( T(t), t )

print ("곡률 = ", (dT(t).norm() / drn(t)).simplify_full()) #곡률

print ("곡선길이 근삿값 = ", numerical_integral ( dr(t).norm() , 1 , 5 )[0]) #곡

선길이의 근삿값

300

Comment

벡터함수 r(t) = (2*t, -t*cos(t), -3*t^2) [-2*pi ≤ t ≤ 2*pi] 에 대해서 접선벡터 / 곡률 / 곡

선길이 근사값 구하며, 코드를 이용하여 그래프를 쉽게 다룰 수 있음을 이해하였습니다.

[WEEK 3] 이차곡면(Quadric Surface)

이차곡면(Quadratic Surface)

이차곡면(quadric surface)은 세 변수

에 관한 이차방정식의 그래프이다. 이

런 방정식의 가장 일반적인 형태는

가 상수일 때 다음과 같다.

또는

301

◩ 열린 문제 2

다른 교재에서 찾은 다양한 이차곡면(quadric surface)을 그려보시오.

김*영, 이*인 학우와 sqrt값에 대한 그래프 형상에 대한 토론

1. [SageMath] x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1 방정식에 대한 그래프

▶ 이*한(2022*****)6월 29일 오전 10:32

김재영(2022####67)6월 29일 오전 10:18 2차 곡면은 교재에 나와있는것 처럼 표준형태

중 하나로 바꿀 수 있다고 하는데 그럼 위에 다양한 이차곡면 그래프의 방정식들도 표준

형태로 모두 변형할 수 있는건가요? 표준형태 두가지의 차이점은 z인지 z^2인지 차이 인

거 같은데 둘은 어떤 차이가 있나요?? → 저는 단순히 표현의 차이라고 생각합니다. z^2

= f(x, y) → z = sqrt(f(x, y)) 로 변형이 가능한 것이고 결과값은 차이가 없을 것 같다고

생각합니다.

var ('x, y, z')

print('일엽쌍곡면')

implicit_plot3d(x^2/9 + y^2/2 - z^2/9 == 1, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5), opacity =

0.4)

302

[WEEK 3] 등위곡면(Level Surface)과 등위곡선(Level curves)

◩ 열린 문제 3

다른 교재에서 찾은 다양한 다변수 함수의 그래프와 등위곡선(level curve) 또는 등위곡면

(level surface)을 그려보시오.

1. [SageMath] 등위곡면 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 그리기

1. 등위곡면(Level Surface)

삼변수함수 f(x, y, z)에 대한 3차원 형상의 곡면을 그릴 수 있는 함수이다.

공간상의 각 한 점 (x, y, z) 마다 어떤 값을 대응시키는 함수이다. 삼변수함수로써 함수 f(x, y,

z)에 대한 3차원 형상의 곡면을 그릴 수 있다.

2. 등위곡선(Level Curves)

이변수함수

의 등위곡선(level curves, contour curves)은 방정식이

인 곡선을 말한다. 일정한 높이의 점들을 연결한 곡선이 등고선(또는 등위

곡선)이다. 이는 해저 지형이나, 기온분포, 육지 지형의 높낮이를 나타낼 때 주로 사용

한다.

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue') ]: # 여기에 k값, 색

깔

303

■ 등위곡선 by 이효민

[sage code]

f(x, y) = (x*y)/(x^2+y^2)

var ('x, y')

contour_plot(sin(x) + 2*sin(y) , (x, -5, 5), (y, -5, 5), contours = (-2, -1, 0, 1, 2), fill = False, cmap = 'hsv', labels =

True)

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.4,

color = col)

304

[sage code]

f(x, y) = (8*x^2 + y^2)^(e^(-x^2-y^2))

var ('x, y')

contour_plot((8*x^2 + y^2)^(e^(-x^2-y^2)) , (x, -2, 2), (y, -2, 2), fill = False, cmap = 'hsv', labels = True )

[sage code]

f(x, y) = y^2 - x^2

var ('x, y')

contour_plot(y^2 - x^2 , (x, -2, 2), (y, -2, 2), fill = False, cmap = 'hsv', labels = True )

■ 등위곡면

[sage code]

f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue') ]:

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.4, color = col)

305

[sage code]

f(x, y, z) = sqrt(4*x) + y^2 + -3*z^2

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = sqrt(4*x) + y^2 + -3*z^2 # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue'), (5, 'green') ]:# 여기에 k값, 색깔

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.5, color = col)

[sage code]

f(x, y, z) = 4*x^2 + sin(y) + cot(3*z)

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 4*x^2 + sin(y) + cot(3*z) # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue'), (5, 'green') ]: # 여기에 k값, 색깔

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.5, color = col)

Comment : 김재영 학우분이 공유해준 [open problem]을 통해 이변수함수의 경우는 등위곡선을

3변수 함수는 등위곡면을 그릴 수 있음을 알 수 있었습니다.

2. [SageMath] 2변수 함수

에 대한 이차곡면을 구하라

var ('x, y')

f(x, y) = x*y*exp(-y^2)

plot3d(f, (x, -4*pi, 4*pi), (y, -2*pi, 2*pi), opacity = 0.4, aspect_ratio = [1, 2, 1])

306

3. [SageMath] 2변수 함수

에 대한 등위곡선(level surface)을 구하라

Comment

해당 실습을 진행하면서 자연상수 및 쌍곡선함수에 대한 그림은 프로그램을 돌리기 전 예

측이 많이 어려웠습니다.

그러나 프로그램을 이용하여 그래프를 그리고 눈으로 보면서 이해할 수 있어서 많은 등위

곡면 및 등위곡선에 대한 상관관계를 직관적으로 이해할 수 있었습니다.

var ('x, y')

contour_plot(x*y*exp(-y^2), (x, -2, 2), (y, -2, 2), fill = False, cmap = 'hsv', labels =

True )

307

[WEEK 3] 편도함수(Partial derivative)

◩ 열린 문제 4

일 때

의 1계 편도함수(the first order partial derivative)를 모두

찾아라.

1. [SageMath] x, y, z 에 대한 편도함수

comment

편도함수 개념은 쉽지만, 함수가 복잡해지고 수기로 풀 수 없는 경우에 종종 부딪히게 되

었는데, 코드를 이용하여 쉽게 해결할 수 있었습니다.

1. 편미분 (partial derivative)

편미분은 다변수 함수에서 관심이 있는 한 변수만 변수로 생각하고, 나머지 변수들은 상수로

취급한 뒤 미분하는 방법이다.

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = e(x^2 + y^2)*log(z)

print ( "fx = ", diff(f(x, y, z), x)) # x에대한 편도함수

print ( "fy = ", diff(f(x, y, z ), y)) # y에대한 편도함수

print ( "fy = ", diff(f(x, y, z), y)) # z에대한 편도함수

308

[WEEK3] 2계 편도함수와 클레로 정리

◩ 열린 문제 5

3변수 함수

에 대하여,

와

를 계산하라.

[힌트] 아래 코드는

를 계산한 코드이다. 이 코드를 이용하여

를 구하고

와 미

분 결과가 같은지 다른지를 알아보시오.

※

comment

교과서에는 2계 편도함수에 대한 문제를 제시하고 있는데, 확장하여 영역 D에서 연속이

면 3계 편도 함수도 모두 같다는 [클레로의 정리]가 성립함을 알 수 있었으며,

3계 편도함수부터 계산이 많이 복잡해지는데 개념에 대해서 확실히 알고 Sagemath를 통

해 쉽게 답을 구할 수 있었습니다.

이변수함수

의 편도함수는 한쪽에 대해서만 편미분이 된 것이지 이변수 함수라는 성

질은 여전히 남아 있다. 그러므로

와

가 미분가능하다면

와

에 대한 편도함수에 대

해서 확장을 해볼 수 있다.

이를

의 2계 편도함수(the 2nd order partial derivative)라 한다.

여기서, 편미분의 순서는 관계가 없다라는 중요한 “클레로의 정리”가 정의된다.

- f가 영역 D 위에서 점(a,b)를 포함하는 함수라고 하자. 이 때, 함수 f가 연속인 2계 편도함수

를 가진다면 f_xy (a,b) =f_yx (a,b)를 만족하며,

3계 이상의 고계 편도함수(higher partial derivative)도 정의할 수 있다.

var ('x, y')

f(x, y) = cosh(x^2 + y^3) + exp(x^3)

print ( "fxyy = ", diff(diff(diff(f(x,y),x),y),y))

print ( "fyxy = ", diff(diff(diff(f(x,y),y),x),y))

print ( "fyxy = ", diff(diff(diff(f(x,y),y),y),x))

309

[WEEK4] 음함수 미분법

◩ 열린 문제 1

다른 교재에서 적당한 이변수함수

를 찾아서

모양의 음함수로

표현한 후, 그 음함수의 편도함수

와

를 구하시

오.

1. [SageMath] z = f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) 에 대해서 F(x, y, z) = 0 모양의 음함수로 변

환 후 f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) = z 그래프 생성

음함수 미분법(Differentiation of Implicit Function)

가

를

와

의 미분가능한 함수로 정의할 때,

이면 다

음이 성립한다.

출처: https://roundhere.tistory.com/entry/인공지능-수학 [Round Here:티스토리]

var ('x, y')

f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y)

plot3d(f, (x, -10, 10), (y, -10, 10), opacity = 1, aspect_ratio = [100, 100, 100])

310

2. [SageMath] f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) = z 음함수에 대한 대한 편미분

Question

개념은 알고 있어 간단한 문제로 수기로 풀었지만, 복잡한 함수의 경우 z = f(x, y)를 F(x, y, z) = 0 모양

의 음함수로 변환 할수 있는 코드가 있나요? 이전 단원에도 z를 이항하는 정도의 문제만 제시되어 있어서 우

선 참고하여 실습 진행하였습니다. (solve 함수를 써봤는데 잘안되네요)

A. 이전 학기에 음함수에 대해 학습할 때 . . . 코드가 없이 ... 식을 전개하여 이항한 후, 음함수의 도함수

구하는 코드를 사용하라고 하셨던 것으로 기억합니다.

Comment

z = f(x, y) = y*sin(x)-cos(e^y) 에 대해서 F(x, y, z) = 0 모양의 음함수

로 변환할 수 있고, 음함수 미분법을 알 통해 dz/dx = -Fx/Fz, dz/dy =

-Fy/Fz 를 정의하고 문제를 해결 할 수 있었습니다.

var ('x, y, z')

F(x, y, z) = z - (y*sin(x)-cos(e^y))

Fx = diff(F(x, y, z), x)

Fy = diff(F(x, y, z), y)

Fz = diff(F(x, y, z), z)

print ( "dz/dx =", -Fx/Fz)

print ( "dz/dy =", -Fy/Fz)

311

[WEEK4] 기울기 벡터(Gradient)와 방향도함수

1. 기울기 벡터란(Gradient Vector)

함수값의 변화량이 가장 큰 방향을 나타내는 벡터이다.

하나의 임의의 좌표에서 높이가 가장 가파르게 변하는 방향을 xy평면에 나타낸 것.

1. 등위곡선의 접선벡터와 기울기벡터는 수직이다. 따라서 이 두가지를 내적하면 0의 값을 가

진다.

즉 기울기벡터(gradient vector)는 방향도함수가 최대인 방향, 즉 함수가 가장 빠르게 증가

하는 방향을 나타낸다.

8주차에서 활용되며, 기울기벡터는 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 백터장을 뜻하기도

한다.

2. 방향도함수(Directional Derivative)

임의 벡터 u방향으로의 기울기를 말한다. 그래디어트와 u벡터랑 내적을 하게 될 경우 이는 정

사기이기에 u방향 벡터로의 기울기 성분만 남는다.

312

◩ 열린 문제 2

특정한 점에서의 gradient(기울기 벡터, 그레이디언트)의 방향을 구할 수 있는 지도나 기

압의 등고선 그림을 찾아보시오.

1. 예제 (손*혜원 학우)

2. 예제 (조*준 학우)

Final Comment

그래디언트의 기하학적 의미가 궁굼하였는데, 특정 함수의 최대 변화율 가지는 지점을 찾는데데

활용된다는 걸 알게되었습니다. 학우님들이 올려주신 다양한 그림을 통해 많은 이해가 되었습니다.

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 2*z^2 + 6*(x^3)*(y^2) - 3*(x^2)*(y^2) #함수 f(x,y,z)

v = vector([3, 1, 8]) # 방향벡터

u = (1/v.norm())*v # 방향벡터의 단위벡터

gradf = f.gradient()

print (gradf(x, y, z)) # f의 gradient(기울기 벡터),

duf = gradf(1,-1,2)*u # (1, -1, 2)에서 기울기 벡터와 u의 내적

print (duf)

print ( u.inner_product( gradf(1, -1, 2) )) # u방향으로 (1,-1,2)에서 f의 방향도함수

313

[WEEK5] 다변수 함수의 극댓값, 극솟값, 안장점

◩ 열린 문제 1

다른 교재를 참고하여 다양한 이변수함수 (또는 3변수함수)의 극댓값, 극솟값, 또는 안장

점을 (임계점과 Hessian 행렬 H, 그리고 각 임계점에서의 Hessian 행렬의 고윳값을 찾

는 H.eigenvalues() 명령어를 이용하여) 구하여라.

일변수 함수에서 그래프에 대해서 극댓값, 극솟값이 존재하였다. 마찬가지로 이변수에서도 극

대값, 극솟값이 존재한다. 극대 극솟는 편도함수에 의해 D값을 정의할 수 있다.

편도함수의 값이 0이더라도 극값이 존재하지 않을 수 있으며,임계점(

)이지만,

극대도 극소도 될 수 없는

를

의 안장점(saddle point)이라고 한다.

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5

314

1. [SageMath] 그래디언트를 이용한 임계점 확인

2. [SageMath] 헤시안 행렬을 이용한

와 D값을 확인

Comment

일변수함수에서 배웟던 극대, 극솟값에 확장하여 f_xx에 대한 편도함수를 이용하여 극대,

극소를 판정하고 헤신안의 행렬이라는 새로운 개념을 도입하여 구할 수 있었습니다.

또한 안장점이라는 극대값이 아니고 극솟값도 아닌 부분에 대해서 SageMath를 이용한여

그래프를 직접 확인하여 쉽게 이해할 수 있었습니다.

◩ 열린 문제 2

라그랑주의 승수법을 이용하여 방정식

을 만족하는 함수

의 최댓값과 최솟값을

코드를 활용하여 구해보시오.

var ('x, y')

f(x, y) = x^2+y^2-4*x-8*y+20

H = f.hessian() # 헤시안행렬(Hessian. Hesse 행렬)

print (H(2, 4))

print (H(2, 4).det()) # 행렬식

var ('x, y')

f(x, y) = x^2+y^2-4*x-8*y+20

g = f.gradient() # 그래디언트

solve ( [g[0] == 0, g[1] == 0], x, y ) # 임계점

315

[WEEK6] 이중적분

1. 이중적분

일변수 적분의 확장인 이중적분은 직사각형 R 위에서 f 에 대한 이중적분(double integral)은

극한이 존재하면 다음과 같이 정의한다.

* 일변수 / 이변수 함수 적분의 차이

위 의 공식에서 볼 수 있는 것과 같이 x축에 대해서 무한이 쪼갠 리만합과 y축에 대해서 무한

히 쪼갠 리만합인 이중 리만합으로 정의할 수도 있으면, 이변수 함수에 대한 이중적분이라고도

한다.

이중적분의 결과는 이변수 함수에 대한 부피(volum)로 정의할 수 있다. 이에 추가 확장하여 7

주차에는 삼중적분(미소부피)에 대해서 설명하니 참고하자.

※ 이중적분의 성질

①

단,

는 상수

316

◩ 열린 문제 1

다른 교재나 그 외 여러 가지 문제를 활용하여 폐(closed) 직사각형구간에서의 연속함수에 대

한 이중적분을 풀어보자.

예제1. (이*민 학우)

•

1. [Sage] 이중리만합을 이용하여 부피에 대한 중적분 근사 계산

예제2.

1. [SageMath] f= x^2/4-y/3 그래프 가시화

var ('x, y')

f(x, y) = sin(x+y)

a, b, c, d = 0, pi, 0, pi

m, n = 2,2

h = (b - a)/m

k = (d - c)/n

dA = h*k # 밑면의 넓이

V = 0

for i in range(0, m):

for j in range(0, n):

V += f(a + (i + 1)*h, c + (j + 1)*k)*dA

print (abs(V))

②

③

에 속한 모든

에 대하여

이면

var ('x, y, z')

f= x^2/4-y/3

p1 = plot3d(f, (x, -3, -0.3), (y, -3, -0.3), opacity = 0.4)

show(p1, aspect_ratio = [1, 1, 1])

317

2. [SageMath] 이중적분을 이용한 부피계산 및 푸비니정리 성립함 확인

comment

해당 실습을 통해 이중적분을 통해 이변수함수의 그래프 그리는 방법에 대해서 다시 한번 복습하

였으며,이중적분의 x, y의 순서가 바뀌어도 결과값에는 이상이 없을 알 수 있었습니다. (이중적분

의 성질)

대학교에 와서 처음으로 이중적분에 접하게 되었는데, 일변수 함수의 다양한 곡선에 대한 넓이에

서 확장하여 부피까지 계산할 수 있음을 보고 수학의 모든 것은 확장에 대한 가능성을 보고 생각

하는 것이 중요하다고 생각하였습니다. (리만합의 적분 정의에서도 동일하게 확장되는 개념임)

◩ 열린 문제 2

다른 교재의 문제중 두 함수에 의하여 둘러쌓인(enclosed)인 일반 영역

에서의 연속함수에

대한 이중적분을 풀어보자.

1. [SageMath] Solve 명령어를 이용하여 두 함수의 교점확인

var ('x, y')

print ( solve ([y == sqrt(x), y == x^2], x, y) ) # 곡선과 직선의 교점

print (integral (integral (x+y , y, x^2, sqrt(x)), x, 0, 1))

plot (x^2, (x, -1, 2)) + plot (sqrt(x), (x, 0, 2), color = 'red')

var('x, y')

f=1-x^2/4-y/3

print(integral(integral(f, x, -2, 2), y, -1, 1))# x 먼저, y 나중

print(integral(integral(f, y, -1, 1), x, -2, 2))# y 먼저, x 나중

318

comment

두 개의 함수에 대한 교점을 확인하여 x, y 중적분 구간을 선정하고, 이에 대한 정적분을

함으로써 일변수 함수에 다루었지만, 확장하여 2변수 함수의 교점에서도 문제를 해결 수

있을 것 같다는 자신감이 생겼습니다.

319

[WEEK6] 이중적분 푸비니(Fubini) 정리

◩ 열린 문제 3

직사각형 영역에서 연속인 함수를 골라서 (Fubini 정리에 따라), 이중적분에서 적분순서를 바

꾸어 보고, 두 적분의 결과값이 같다는 것을 확인하여라.

1. exp(-x*y) 그래프

※ 푸비니의 정리

f(x, y)가 직사각형 R = [a, b] x [c, d]위에서 연속함수라고 하면

1. 이중적분은 두개의 일변수 적분으로 계산가능

2. 두개의 일변수함수의 순서 변경이 가능

320

1. [SageMath] 이중적분의 순서에 따른 적분결과 값 비교

comment

푸비니 정리의 직관적 의미로 생각하보면 원기둥을 예로들면 원기둥을 가로로 무한히 쪼갠 부분의

합과 세로로 무한히 쪼깬 부분의 합이 같다는 것 입니다.

또한 참고 문제의 풀이를 보면 수기로 계산할시 저희가 아는 적분방법으로는 답을 구할 수 없었습

니다. 그러나 sage 코드를 이용하여 푸비니의 정리가 성립함을 알 수 있었습니다.

var ('x, y')

assume(x - 1 >0) # 적분 순서를 바꿀 때 Sage적분에서 x-1의 범위가 필요

함

f(x, y) = exp(-x*y)

intx = integral (integral (f, y, 1, pi), x, 0, oo) # y 에 대한 적분을 먼저하는 경우

inty = integral (integral (f, x, 1, pi), y, 0, oo) # x 에 대한 적분을 먼저하는 경우

print (intx)

print (bool (intx ==inty)) # 적분 순서를 바꾸어도 적분 결과는 변하지 않음

321

[WEEK7] 극좌표계에서의 이중적분

(Double integral in Polar Coordinate System)

◩ 열린 문제 1

다양한 극곡선(Polar Curve)들을 그려보고, 이 곡선들이 만드는 영역의 넓이를 구해보자.

[sage]

var ('r, t')

직교좌표에서 특정 영역에 대해서 넓이를 구하기 위해서 이중 적분을 이용하여 문제들을 풀

어 보았다. 그렇다면 극좌표에서 면적을 넓이는 구하는 것은 어떻게 할까?

직교좌표를 변환 후 이에 대한 적분과 자코비안을 곱해주어 이를 이중적분하면 극곡선의 면

적을 구할 수 있다.

은 Jacobian 이다. 자세한 내용은 아래 선적분과 자코비안에서 다루도록 한다.

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7

322

8*integral(integral (r, r, 0, cos(4*t)), t, pi/8, pi*3/8)

comment : f(t) = cos(4*t)는 꽃잎형으로 8개의 꽃잎이 나오고 pi/8~3pi/8 에서 하나의 면적을

형성하므로 하나의 면적을 구해준후 8배해주면 답을 얻을 수 있다.

comment : x,z평면에서 곡면적을 구할 때 평면에 정사영하여 적분 구역을 정해주어 적분하여 곡

면적을 구할 수 있었습니다.

1. [SageMath] 극곡선의 넓이 계산

323

comment

극곡선의 길이까지 배웠었는데 벌써 중적분을 통해 극곡선의 넒이 계산까지 배우고 있네요..

선형근사의 개념인 자코비안(Jacobian)에 대해서 도 새롭게 접할 수 있었습니다. 아무리 복잡한

극곡선이여도 SageMath를 통해 쉽게 계산할 수 있을 것 같고 자신감이 생겼습니다

var ('x, y, r, t')

f(x, y) = 4-x^2-y^2

u = r*cos(t)

v = r*sin(t)

A = integral(integral(f(u, v) * r, r, 0, 2*cos(t)), t, -pi/2, pi/2)

324

[WEEK7] 삼중적분(Triple Integral)

1. 평면 위에서의 삼중 적분(Triple Integral)

특정 구간에 대해서 직육면체 영역에서 연속이며, 구간에 대한 삼중적분은 아래와 같이 정의할

수 있다.

중적분에서 이야기 한 것과 같이 삼중적분에서도 적분 순서를 바꾸어도 결과 같은 바뀌지 않

는 “푸비니의 정리”가 성립함을 알 수 있다.

앞으로 역학에 대해 공부를 한다면 삼중적분의 의미에 대해서 잘 생각 해볼 필요가 있다.

f(x, y, z) = 1 에 대해서 삼중적분을 할 경우 부피를 의미한다. 함수에 밀도를 곱하게 되면 물

체의 질량을 구할 수 있다. 또는 모텐트를 곱하면 방향에 대해서 하첨자 모멘트를 알 수도 있

다. 이 처럼 삼중적분을 어떻게 다루냐에 따라 다양한 의미를 부여할 수 있다.

2. 일반적인 영역 E위에서 삼중적분

일상 생활에서 마주할 수 있는 문제인 평면 위에 놓여있는 물체에 대해서 삼중적분 문제는

크게 어렵지 않다. 공중에 역학에서 보이지는 않는 3차원 영역에 대해 전자기력을 구하고 이를

다루는데 필요한 내용이다.

입체 영역

가

에 대한 두 연속함수의 그래프 사이에 놓여 있을 때 유형 1(type 1)

인 영역이라고 한다.

일 때이다. 영

역 D는 xy평면 위로 E의 사영(projection)이다.

325

◩ 열린 문제 3

삼중적분(Triple Integral) 에 대한 푸비니(Fubini) 정리가 다른 삼중적분에서도 성립함을 확

인하시오.

1. [SageMath] f=(x, y, z) = x*y*z^2에 대한 삼중적분 ↔ (푸비니정리) 삼중적분 비교

위 내용은 8주차에 배울 극좌표의 삼중적분에서도 사용이 되니, 필히 익혀두도록 하자.

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x*y*z^2

A= integral ( integral ( integral ( f( x, y, z ), z, 0, 1), y, -1, 2), x, 0, 3)

B = integral (x, x, 0, 3) * integral (y, y, -1, 2) * integral (z^2 , z, 0, 1)

bool(A == B)

326

◩ 열린 문제 4

몇가지 삼중적분의 문제를 찾아서 앞에서 배운 코드를 이용하여 부피를 구하여 보시오.

[손*원 학우 제시 및 토론 진행]

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = z

# 영역별 그래프를 그린다.

p1 = implicit_plot3d (x + y + z == 1, (x, 0, 1), (y, 0, 1), (z, 0, 1), opacity = 0.6)

p2 = text ("z == 1", (0, 0.5))

show (p1 + p2, aspect_ratio = [2, 2, 2])

# 영역별 그래프를 그린다. xy평면으로 정사영 y = 1 - x 그래프

p3 = plot (1 - x, (x, 0, 1))

p4 = text ("$y = 1 - x$", (0.5,0.5), fontsize = 15, color = "black")

show (p3 + p4)

# 삼중적분 값

integral ( integral ( integral ( f( x, y, z ), z, 0, 1 - x - y), y, 0, 1 - x), x, 0, 1)

327

삼중적분 Question

- 3차원 함수가 무한대로 발산할 경우 삼중적분이 가능한가요?

답 : 일변수 함수에 배웠던 이상적분과 동일하게 적용됩니다. 즉, 이상적분이 수렴할 경우에 한

하여, 삼중적분 값이 존재하므로, 삼중적분이 가능합니다.

Comment :

삼중적분을 배움으로써 물리학에서 눈에 보이지 않는 것들을 수식으로 풀어갈 수 있으며,

특히, 저희 학우님들이 수강중인 일반물리2에서 학습하였던 "질량중심"에 대해서도 3차원으로 확장

하여 풀어나갈 수 있음을 알수 있습니다.

1. 부피

2. 질량

3. 1차모멘트

4. 질량중심 입체 D의 질량중심의 좌표

328

[WEEK8] 3차원 극좌표계에서의 삼중적분

앞서 배운 평면 직교 좌표를 극좌표계로 변환하는 것에 대한 3차원 공간으로 확장한 것으로

3차원 형태로 나타낼 수 있는 좌표 표현법으로, 원통좌표계와 구면좌표계에 대해서 알아보도록

하자.

1. 원통좌표계 (Cylindrical Coordinates) :

로 표현되는 좌표계이다.

2. 구면좌표계(spherical coordinate system)

거리 r과 두개의 각으로 표현되는 좌표계이다.

구면좌표계는

표현이 가능하며, 이 세가지 인자들은 서로 종속 관계에 있다는 것이

원기둥 좌표계와 다른 점이라고 할 수 있다.

아래는 구면좌표계에 대한 변화 내용이며, 원통좌표계 또한 변화하는 개념은 같으니 참고하

1.1

329

◩ 열린 문제 1

다른 교재의 문제 중 구면좌표의 한 점을 직교좌표

로 나타내어라.

에 대해서 직교좌표계 ↔ 구면좌표계로 변화하여라

1. [SageMath] 직교좌표계 → 구면좌표계 변환

x, y, z = 1/2*sqrt(3)*sqrt(2), -1/2*sqrt(3)*sqrt(2), 0

rho = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

phi = arccos(z/rho).simplify_full()

theta = arccos(x/(rho*sin(phi))).simplify_full()

rho, theta, phi

1.2

3. 극좌표계의 삼중적분

은 Jacobian 이다. 자세한 내용은 아래 선적분과 자코비안에서 다루도록 한다.

330

2. [SageMath] 구면좌표계 → 직교좌표계 변환

Comment:

타교재를 참고하다가 방위각과 경사의 개념이 많이 헷갈려서 고생 좀 했습니다.

고생한만큼 정확하게 구면좌표 변환에 대해서 이해하였습니다.

[출처] : https://www.youtube.com/watch?v=SUc6zZecZVU

위 구면좌표의 (2, pi/3, pi/4)가 각각

라고 놨을때

위 식을 이용하여 대입해주면

직교좌표 (x,y,z) = (sqrt(2)/2, sqrt(6)/2, sqrt(2)) 로 나타낼 수 있습니다.

[sage code]

rho, theta, phi = 2, pi/3, pi/4

rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta),

rho*cos(phi)

comment : 구면좌표계를 x, y, z로 나타내는 방법을 알 수 있었습니다. 코드를 사용하면 간편하

게 구할 수 있었습니다.

rho, theta, phi = squrt(3), -pi/4, pi/2

rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi)

331

comment : 야코비안의 정의는 극소영역에서 비선형 변환을 선형 변환으로 근사시킨 것 입니다.

행렬식의 기하학적 의미는 선형변환은 하였을때 넓이가 얼마만큼 변하는가를 나타내고

야코비안 행렬은 원래 좌표계에서 변환된 좌표계로 바뀔때의 넓이의 변화 비율을 말해줍니다.

[WEEK8] 구면좌표계에서의 삼중적분과 자코비안(Jacobian)

다중적분에서의 변수 변환 (Change of Variables)

일변수 적분에서도 좌표계 변환이 가능한 것과 같이 다중적분에서도 좌표계 변환이 가능한다.

여기서 좌표계 변환외에 유심히 봐야하는 것은 Jacobian 행렬이다.

에 대한 내용이다. 자코비안을 사용하는 이유는 간단하다.

q=f−1(x)q=f−1(x)를 구하기 어렵기 때문에 선형화 하여 근사값을 구한 것이다.

자코비안의 목적은 복잡하게 얽혀있는 식을 미분을 통하여 선형근사 시킴으로써 간단한 근사

선형식을 만들어 주는 것입니다.

※ 중적분 Jacobian 유도과정

332

◩ 열린 문제 2

구면좌표계(spherical coordinate system)에서의 야코비안(Jacobian)을 유도하라. 풀이.

변수변환

는 다음과 같이 주어진다.

◩ 열린 문제 3

함수

의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

이*민 학우 자료 윤문

[출처] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8

[출처] https://everyday-image-processing.tistory.com/386

[출처] https://angeloyeo.github.io/2020/07/24/Jacobian.html

[출처] https://suhak.tistory.com/944

333

Comment:

6장에서 극좌표의 이중적분을 배울 때 처음 등장한 자코비안에 대한

의미를 알 수 있었습니다. 극좌표 변환시 역함수를 정의하기가 어렵기

때문에 선형 근사하여 시켜 행렬을 유도하여 자코비안을 곱해줌으로

근사시킴을 알 수 있었습니다.

334

[WEEK9] 선적분(Line Intergral)

F는 힘(Force)이 아니라 장(Field)를 의미하며, P(x, y, z_)와 Q(x, y, z), R(x, y, z)는 모

든 좌표에서의

성분,

성분, z성분을 의미하며,아래와 같은 곡선을 적분 경로라고 한

다. 선적분은 아래와 같이 정의할 수 있다.

335

※ 예제

주어진 곡선

를 따라 선적분

를 계산하여라.

1. [SageMath ]

comment:

타교재의 예제를 찾지 못하여서 내용만 정리해서 공유드립니다. 최근 일반물리를 중력장

에 대해서 학습을 하고 있는데, 좀 더 이해가 쉽게 되었으며, 만류인력 법칙에 대해서도

벡터장 그래프로 쉽게 그려볼 수 있을 것 같습니다. 이제 현실에 가까운 문제들에 대해서

접해볼 수 있을 것 같습니다.

※ 선적분의 성질

① 선적분은 피적분함수

와 적분경로의 시작점

, 끝점

, 그리고 적분경로인 곡선

자

체에 모두 의존(종속, depend)한다. 즉, 시작점과 끝점이 같아도 적분경로가 다르면 일반적으

로 선적분 값은 같지 않다(not same).

② 적분경로

에 대한 매개변수 표현은 유일하지 않다. 그러나 같은 양의 방향을 가지는 매

개변수 표현에 대해서는 선적분 값이 항상 같다

var ('x, y, z, t')

F = vector([x^2, y^2, z^2])

r = vector([cos(t), sin(t), e^t])

dr = diff(r ,t)

Fdr = F(x = r[0], y = r[1], z = r[2]).inner_product(dr).simplify_full()

integral (Fdr, t, 0, 2*pi) # 선적분

336

***** [WEEK9] 그린정리, 스토크스정리, 발산정리 *****

아래 세가지 중요한 정리를 설명하기 전 아래 두가지 개념에 대해서 알아야 하며, 전기역학,

유체역학 등 다양한 분야에서 많이 사용되니 필히 익혀야 한다.

- 벡터장의 회전(curl) : 벡터장 내 임의의 지점에서의 회전을 나타낸다. 직관적으로 물에 이

쑤시개를 띄웠을 때 어느 방향으로 얼마나 빠르게 회전하는지 수치적으로 나타낸 것이다.

- 벡터장의 발산(Divergence) : 벡터장 내 임의의 지점에서의 발산율을 의미한다. 직관적으

로 수조에 구멍이 뚫려 물이 빠져나간다며, 구명 근처의 발산은 음의 값이고, 펌프가 있다면

펌프 근처의 물은 양을 값을 가진다.

1. 그린정리(Green's theorem)

:평면영역에서 폐곡선의 선적분과 경계선 포함 영역 내 이중적분 간의 관계에 관한 정리이다.

평면 영역내에 임의 지점에서 회전(Curl)이 있다고 하자, 그러나 벡터장의 회전은

폐곡선을 무한히 쪼개면 이웃한 칸 사이에서 Curl이 소거되어 선적분만 남는다.

이를 정리하자면 벡터장 F에 대해서 폐곡선(C)에 대한 선적분 값과 평면영역에서의 벡터장

337

F의 Curl의 적분과 같다.

2. 스토크스 정리 (Stokes theorem)

스토크스 정리는 선적분과 면적분을 연관시켜주는 정리인 그린 정리와는 같지만 단위법선벡터

(n)를 내적하여 유향곡면에서의 선적분이라고 볼 수 있다. 그린정리와 동일하게 내부의 회전을

무한히 쪼갤 경우 이웃한 칸사이에서 Curl이 소거되어 선적분만 남게 된다.

3. 발산 정리(divergence theorem)

가우스의 발산 정리란 벡터 장의 선속이 그 발산의 삼중 적분과 같다는 정리이다.

폐곡면을 통해 나가는 벡터장의 모든 선속의 A의 발산을 부피에 대해서 적분한 것 과같다.

발산의 합은 입접한 경계면과 벡터의 합이 0이 될 것이고, 내부의 발산의 소거되어 외부 경계

에 대한 발산만 남을 것 이다.

이를 우리 생활에 포장지로 무엇인가를 포장하였을때 포장지를 통해 나오는 유량(양의 발산)

으로 생각하면 좀 더 직관적으로 이해할 될 것이다.

아래와 같이 벡터장의 발산에 대한 부피의 적분(삼중적분)과 벡터장 • 단위법선 벡터의 면적

분은 같다라는 의미로 표현될 수 있다.

[출처] https://sasamath.com/blog/articles/calculus-stokes-theorem-and-divergence-theorem

338

◩ 열린 문제 1

를 구하라. 여기서

이고,

는 원기둥

내부에 놓인 평면

의 영역(area)이다.

* 스토크스 정리를 이용하여 문제를 풀 수 있다.

1. [SageMath]

이용하여 문제를 풀 수 있다.

comment:

그린정리에서 단위법선벡터에 대한 확장인 스토크스 정리를 직접 풀어보면서 복잡하게 구

하고 싶은 단위 벡터장를 구하고 적분하면 복잡하게 문제가 풀리지만, 벡터장의 curl에

대한 영역과 단위법선의 벡터장을 내적함으로써 문제를 쉽게 해결 할 수 있었습니다.

(curl을 적분하면 대응하는 curl 소거됨)

◩ 열린 문제 2

원기둥 곡면

와 평면

에 의해 둘러싸인 제 1팔분공간(first octant)의 영역

에서 아래 발산 정리(divergence theorem)가 성립함을 확인하라.

1. [SageMath] 벡터장 내 발산 구하기

var('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([x*y, y^2+e^(x*z^2), sin(x*y)])

F.div([x, y, z])

var ('x, y, z')

r = vector([x, y, 4 - y])

F = vector([z-x, x-y, y-z])

r_x = diff(r, x); r_y = diff(r, y)

n = r_x.cross_product(r_y)

integral ( integral ( F.curl([x, y, z]).inner_product(n), y, -sqrt(2 - x^2), sqrt(2 - x^2)), x, -sqrt(2),

sqrt(2) )

339

2. [SageMath] 삼중적분 구하기

comment:

발산 정리를 통해 어떤 벡터의 발산을 부피로 적분하는 것과, 그

벡터의 면적분은 같다는 것을 알 수 있었습니다. 그린정리, 스토

크스 정리 , 발산 정리 등등 앞으로 배울 전자기학에 많이 사용된

다는 이야기를 보았습니다. 앞으로 학업에 많이 도움에 될 것 같

습니다.

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 3*y

3*(integral (integral ( integral (y, y, 0, 2-z), z, 0, 1-x^2), x, -1, 1))

340

[part 10. 복소수와 복소함수]

[HW 10W] 김재영 윤관수 박준수 이혜인 손혜원 전형준 조현준 김용철10주차

Open problem1

작성자 : 김재영(2022####67)작성일 : 8월 4일 오후 12:29

안녕하세요 김재영 입니다.

10주차 학습 후 Open Problem 풀이 공유드립니다.

복소수의 연산법칙 확인

[sage code]

z1 = 2 + 3*I; z2 = 3 - 2*I; z3 = 1 + I

print ( 'z1 + z2 : ', z1 + z2)

print ( 'z2 + z1 : ', z2 + z1)

print ( 'z1 * z2 : ', z1*z2 )

print ( 'z2 * z1 : ', z2*z1 )

print ( 'z1 + (z2 + z3) : ', z1 + (z2 + z3) )

print ( '(z1 + z2) + z3 : ', (z1 + z2) + z3 )

print ( 'z1(z2 * z3) : ', z1*(z2*z3) )

print ( '(z1 * z2)z3 : ', (z1*z2)*z3 )

print ( 'z1(z2 + z3) : ', z1*(z2+z3) )

print ( 'z1*z2 + z1*z3) : ', z1*z2+z1*z3 )

z1, z2, z3의 극형식

[sage code]

z1 = 2 + 3*I; z2 = 3 - 2*I; z3 = 1 + I

r1 = abs ( z1 ) # 절댓값

r2 = abs ( z2 )

r3 = abs ( z3 )

x1 = real_part ( z1 )

x2 = real_part ( z2 )

x3 = real_part ( z3 ) # 실수부분

y1 = imag_part ( z1 )

y2 = imag_part ( z2 )

y3 = imag_part ( z3 ) # 허수부분

t1 = arctan ( x1/y1 )

t2 = arctan ( x2/y2 )

t3 = arctan ( x3/y3 )# 편각

print ( "r1 =", r1 )

print ( "r2 =", r2 )

print ( "r3 =", r3 )

print ( "arg(z1) =", t1 )

print ( "arg(z2) =", t2 )

print ( "arg(z3) =", t3 )

comment : 김재영 학우님이 공유해주신 open problem에서 다양한 복고수의 연산 결과와

극형식 표현에 대해 알 수 있었습니다.

341

6. 헤시안 행렬을 이용한 극점, 임계점, 안장점

로 이

[Final OK by TA] Hessian [HW W5] 전*준 천혜준 헤시안행렬을 이용한 극대, 극소, 임계점, 안장점

1) f(x, y) = x^2+x*y+y^2+3*x-3*y+4

(-3,

3) 이 임계점이라는 것을 확인할 수 있고 임계점이 존재하므로 헤시안 행렬을 구하면

고유값이 양수만 존재하기에 극소점입니다.

2) f(x, y, z) = x^3_x*y*z+y^2-3*x

점 (1,0,0)에서의 헤시안행렬

고유값이 양수, 음수가 존재하기에 안장점입니다.

점 (-1,0,0) 에서의 헤시안행렬

342

고유값이 양수, 음수가 존재하기에 안장점입니다.

Q) #행렬식이라는 H(x,y,z).det() 의 뜻이 무엇인지 나오는 숫자는 무엇을 의미하는지 궁금합니다..

이상구(LEE SANGGU)7월 13일 오전 10:46

오차는 수정하세요 질문 H(x,y,z.det() 은? <--- 답: H(x,y,z).det() 는 점 (x,y,z) 에서의 함수

f(x,y,z)의 Hessian 입니다 ( Hessian 은 Hesse 행렬의 행렬식이라고 정의했으므로 det 를 구해준 것입니

다.) : 추가 해서 Re-Finalize 하세요^^

전*준(2022####82)7월 17일 오후 4:52

오타는 수정하였습니다!

이상구(LEE SANGGU)7월 20일 오전 2:26

이차형식 Quadratic form 은 http://matrix.skku.ac.kr/2012-Sage/sage-la/4-6.htm 수도 없이 많은 장점

이 있습니다. 극대, 극소를 구하여. 이익을 극대화하고, 손해를 최소화 하는데 결정적으로 필요합니다.

다변수 함수의 그래디언트 구하고, 방정식풀고, 행렬만들어 고윳값만 구하면 바로 ... best possible

solution 을 구할 수 있습니다. 참고.

http://matrix.skku.ac.kr/2014-Album/Quadratic-form/1.Conic%20Section.htm 이주도(2017####14)7월 14

일 오후 4:30 미적분학 수업에서 들었던 내용을 복기해보자면… 일변수함수의 최댓값, 최솟값 등을 분석

하기 위해 미분하여 극값을 구했던 것처럼 다변수함수의 그래프를 이해하고 최대, 최소를 분석하기 위해

해당 함수의 극값을 알아야 합니다. 다변수함수의 임계점(critical point)이 극값인지, 안장점(saddle

point)인지 알기 위해 이차형식의 정부호를 구하는 과정이 필요합니다. <---- 이때 하나의 극값에서, 대

칭행렬의 고윳값 이 모두 양수이면 ... 그 극값에서 다변수 함수가 극솟값을 갖는다고 들은 기억이 있나

요? http://matrix.skku.ac.kr/2014-Album/Quadratic-form/ 을 보시면 Hessian 행렬 관련 내가 만든 코드

있으니 사용해보고 re finize 하고, Final PBL 발표에 포함시키세요.^^ Good luck

343

8. 미적분학의 쓸모 <과거를 적분하면 현재가 보이고, 현재를 미분하면 미래가 보인다>

이동

[토론자료] [HW W6] 전*준 미적분의 쓸모 < 과거를 적분하면 현재가 보이고 현재를 미분하면 미래가 보인

다.^^ (스티브 잡스)

미적분에 관한 내용들을 확인하면서 추후에 우리가 직접 다루어야 할 내용들과 미적분이 얼마나 현실과

가깝게 있는지에 대해서 알 수 있었던 것 같아서 내용 공유해드립니다.

과거를 적분하면 현재가 보이고

현재를 미분하면 미래가 보인다.

https://post.naver.com/viewer/postView.nhn?volumeNo=31527164&memberNo=6308106

1985년, 스티브 잡스가 애플에서 쫓겨났다. 자신이 설립한 회사에서 자신이 뽑은 임원에 의해 애플을 떠

나면서 잡스는 컴퓨터 운영체제 개발 회사 넥스트를 세웠고, 1986년에는 픽사를 1,000만 달러에 인수했

다. 당시 픽사는 스티브 잡스에게 골칫거리였다. 픽사는 작품성을 인정받는 작품들을 내놓았음에도 여전

히 수익을 내지 못하고 있었기 때문이다.

이 모든 상황을 뒤바꾼 것은 단 한 편의 애니메이션이었다. 바로 1995년에 개봉한 <토이 스토리>다. <토

이 스토리>의 시사회가 시작되고 일주일 후 스티브 잡스의 주식 가치는 한화로 약 1조 3,500억 원이 되었

으며, 이 영화는 총 제작비의 열 배가 넘는 3억 6,500만 달러라는 수익을 거둬들인다.

이후 <벅스 라이프>, <몬스터 주식회사>, <니모를 찾아서>를 잇달아 성공하며 2006년 디즈니가 74억 달

러, 한화로 약 7조 4,000억 원에 인수한다.

그리고 스티브 잡스는 떠난 지 10년 만에 애플로 돌아간다.

그후 그는 수백만 명의 인생과 애플의 성공 신화를 완성해 간다.

스티브 잡스의 성공 이야기와 미적분이 무슨 상관이 있는가?

<토이 스토리>는 100퍼센트 컴퓨터 그래픽으로 만든 최초의 극장용 장편 애니메이션이다. 살아있는 듯한

새로운 영상은 픽사의 수학자와 전산 과학자들이 ‘움직이는’ 자연 현상을 자연스럽게 구현해내기 위해

고안한 3D 애니메이션 기법과 해상도 조절 기법 덕분이었다.

그리고 이 모든 제작 과정 뒤에는 하나의 미분방정식이 있다.

우리가 알고 있는 대수방정식은 미지수가 포함된 수식을 말한다. 반면 미분방정식은 현재의 상태와 변화

율의 관계를 연관 짓는 방정식이다. 예를 들어 시간 경과에 따라 커피가 식는 문제는 현재 온도와 냉각 속

도, 즉 온도의 변화율 사이의 관계를 나타낸다.

미분방정식은 과학법칙에 따라 자연현상을 시뮬레이션하고, 경제 모델을 만들어 경제 전망을 하는 등 현

재를 이해하고 미래를 예측하기 위한 필수적인 수학 도구이다.

가장 유명한 미분방정식으로는

전자기장의 발산과 회전을 나타내는 네 개의 편미분방정식인

맥스웰 전자기 방정식,

양자화된 물질의 에너지 상태를 기술하기 위한 시공간 상에서 파동함수라고 하는 추상적인 함수를 표현한

편미분방정식인

슈뢰딩거 파동 방정식,

가격 변동성이 무작위적이며 아인슈타인 방정식에 나오는 기체 분자의 불규칙한 운동에 의한 변동과 유사

하다는 옵션의 가격 변화를 계산하기 위한 편미분방정식인

볼랙숄즈 방정식,

역학에서 전염병의 확산을 설명하기 위해 개체를 감영대상군과 감염군, 회복군 등 세 그룹으로 나누어 각

각의 변화를 일차 상미분방적으로 표현한

감염확산 SIR 방정식,

344

유체의 속도 벡터를 구하기 위해 압력, 점성력, 중력 등 유체에 작용하는 힘과 가속도의 관계로부터 유도

된 비선형 편미분방정식인

나비에-스토크스 유동 방정식이 있다.

[출처] 미적분의 쓸모 : 수학 (독서 공간 리뷰어스 클럽) | 작성자 레임마겐

현재에서도 인공지능의 역할들은 엄청나게 발전하고 있고 그 토대가 배우고 있는 최적화 알고리즘과 미분

덕분이라고 생각합니다.

우리는 더욱 나아가 현재의 인공지능 이상의 발전을 해야 하고 그 기본에 있는 미적분학에 대한 내용들은

기본이 될 것입니다.

위대한 위인들만 봐도 수학을 기본으로 해서 다양한 분야로 퍼져나갔습니다

우리는 현업으로 돌아가 가지고 있는 기술들은 다양한 수학의 중심으로 하였을 것이고 이해하기 위해서는

수학을 알아야 할 것이라 생각합니다.

좌표평면에서만 배웠던 수학을 이번 학기에서는 공간에서 확인할 수 있고 열심히 학습한다면 현실에서

직접 부딪히고 바라볼 수 있을 것이라 생각합니다.

감사합니다.

김현구(2022####69)7월 20일 오전 10:03

좋은 내용 공유 감사합니다. 우리 실생활에서 미분이 얼마나 뿌리 깊게 자리 잡고 있는지, 그리고 현재와

미래의 생활에 미분이 더욱 더 중요하게 자리 잡게 될 기술의 토대가 될 것이라 생각하게 되었습니다. 지

금 우리가 배우는 미분과 적분에 대한 학습을 바탕으로 앞으로 배우는 많은 부분의 학습에 기초가 되며 이

러한 학습 내용을 바탕으로 현업에서 많은 것들을 기여할 수 있다는 자신감을 갖게 되었습니다.

이상구(LEE SANGGU)7월 20일 오전 10:03

Good^^

노태완(2022####71)7월 20일 오전 10:05

현대 3D 애니메이션 제작과 미분방정식과의 연관성에 대해서 알 수 있는 흥미로운 글이였습니다.

조현준(2022####83)7월 20일 오전 10:07

미적분은 세상의 변화를 설명하는 언어라고 합니다. 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터

자연현상, 사회의 변화까지 선명하게 드러납니다. 미분을 통해서 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착

하고 적분을 통해서 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있습니다. 과거를 적분하면 현재

를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있습니다. 출

처)https://m.blog.naver.com/suwaneasymath/222520253049 수학이란 우주 어디에나 통용될 수 있는 보편

적인 언어이다 - 칼 세이건

손혜원(2022####75)7월 20일 오전 10:11

일상 생활에서 미적분이 많이 쓰인다는 것은 알고 있었으나, 그 범위가 애니메이션까지 포함된다고는 생

각하지 못하고 있었습니다. 왜 모든 사람들이 수학을 배워야 하는 것인지, 또한 그 활용도가 무엇인지 다

시 한번 알 수 있었습니다.

이주한(2022####78)7월 20일 오전 10:12

<토이스토리> 때부터 미분방정식을 이용한 그래픽이 발전했었군요.. 놀랍네요..!! 미적분은 저희의 실생

활에 정말 많이 숨어 있는 것 같습니다.!!

노영규(2022####70)7월 20일 오전 10:13

[과거를 적분하면 현재가 보이고] [현재를 미분하면 미래가 보인다] 이 문구가 인상 깊네요. 미적분 강의

를 들을 수 있음에 감사함을 느끼네요. 학우님들 모두 화이팅!

신종호(2022####76)7월 20일 오전 10:21

올려주신 글을 보고 미적분학이 일상생활에 가깝게 있다는것을 느끼게 되었습니다.

백승준(2022####74)7월 20일 오전 10:29

여러가지 유명한 미분방정식과 좋은 글을 공유해주셔서 감사합니다! 저희가 배우는 미적분이 어떻게 활용

되는지 생각해보는 시간을 가질 수 있었습니다!

김재영(2022####67)7월 20일 오전 10:30

미분이 현재의 것들로 미래를 예측하는데 사용되고 그 영역이 굉장히 넓은것 같습니다. 우리도 미래를 예

측하는 언어인 미분을 열심히 배워 미래를 에측해 봅시다~!

345

9. 극곡선 영역의 넓이 (장미)

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Re - Finalize [HW W7] 이혜인, 김재영, 손혜원, 임경섭, 전*준, 윤관수, 노영규, 김현구, 조현준, 천혜

준, 노태완, 신종호, 김지수, 이주한, 김대환, 박준수, 김용철 극곡선 영역의 넓이 - open problem 1

7주차 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분에 대해 학습한 후 Open Problem 1을 풀어보았습니다.

구간을 나누는 것이 쉽지 않았는데 , 김재영 학우님이 올려주신 글을 통해 직관적으로 이해할 수 있었

습니다.

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html

cos(7*t)

var ('r, t')

346

f(t) = cos(7*t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, pi), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

var ('r, t')

f(t) = cos(7*t)

p1 = polar_plot (f(t), ( -pi/14 , pi/14 ), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow"

)

show (p1)

var ('r, t')

7 * integral (integral (r, r, 0, cos(7 * t)), t, -pi/14, pi/14)

극좌표에서 구간을 나누는 방법에 대해 이해하기가 어려웠는데, 질의응답을 통해 구간 나누는 방법을 확

인할 수 있었고

극곡선에 의하여 닫힌 영역의 넓이를 구할 수 있었습니다.

윤관수(2022####77)7월 20일 오전 10:23

4엽장미와 5엽장미의 그래프를 그려보고 해당 장미의 1잎의 구간의 넓이를 구해볼 수 있었습니다. 해당

그래프에 대하여 찾아보던 중 도움이 될 만한 사이트가 있어서 올려드립니다. 장미곡선과 극방정식 -

https://m.blog.naver.com/yh6613/220876412118

노태완(2022####71)7월 20일 오전 10:37

t의 영역 설정은 임의로 하는 것인지 아니면 구하는 방법이 따로 있는 것인지에 대해서 조금 더 자세히 알

고싶습니다.

김재영(2022####67)7월 20일 오전 10:43

노태완(2022####71)7월 20일 오전 10:37 t의 영역 설정은 임의로 하는 것인지 아니면 구하는 방법이 따로

있는 것인지에 대해서 조금 더 자세히 알고싶습니다. 저는

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html 에서 구간을 조절해가면서 1엽의 구간을 확

인 한 후에 영역의 넓이를 구하고 갯수를 곱하여 구하였습니다. 위 사이트에서 구간 정하기 어려운 5엽장

미는 sage에서 직접 구간 설정하여 그림그려보면서 구했습니다. 5엽 장미 넓이 구하기 중 코드를 보시면

-1/10*pi, 1/10*pi 구간을 적었는데 하나하나 적어보면서 찾아봤습니다

김재영(2022####67)7월 20일 오전 10:58

오 7엽까지 구하셨네요! 그런데 3엽 5엽 7엽 모두 넓이의 합이 1/4*pi 나옵니다 신기하죠?

손혜원(2022####75)7월 20일 오전 11:06

다양한 극곡선의 넓이의 합을 확인하고, 또한 3,5,7엽의 넓이의 합이 모두 1/4*pi가 나온다는 신기한 사

실도 확인할 수 있었습니다 9엽장미도 실습해보았는데 같은 값(1/4*pi)이 나오는 것을 확인할 수 있었습

니다. 아래는 코드입니다. var ('r, t') f(t) = cos(9*t) p1 = polar_plot (f(t), (0, pi), color =

"lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" ) show (p1) var ('r, t') f(t) = cos(9*t) p1 =

polar_plot (f(t), ( -pi/18 , pi/18 ), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1) var ('r, t') 9 * integral (integral (r, r, 0, cos(9 * t)), t, -pi/18, pi/18)

임경섭(2022####81)7월 20일 오전 11:08

극좌표의 구간을 나누는게 많이 어려운데. http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html

위에 주소에서 극좌표의 그래프를 그리고 범위를 변경해주면서 구간을 확인하면 쉽게 구간을 구할 수 있습

니다. 범위가 0부터 1/2*pi 일 때, 꽃잎이 7개의 절반인 3.5개가 나오기 때문에 적분에 2배를 곱해서 계

산할경우 위에 구한답과 동일하게 나오는것을 볼 수 있습니다. var ('r, t') 2 * integral (integral (r,

347

r, 0, cos(7 * t)), t, 0, 1/2*pi)

임경섭(2022####81)7월 20일 오전 11:09

var ('r, t') 2 * integral (integral (r, r, 0, cos(9 * t)), t, 0, 1/2*pi) 9엽도 적분 넓이의 합이

1/4*pi가 나오네요.

전*준(2022####82)7월 20일 오전 11:13

[11엽 장미]

var ('r, t')

f(t) = cos(11*t)

p1 = polar_plot (f(t), (0, pi), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow" )

show (p1)

cos(n*t) n의 숫자에 따라 엽의 갯수가 달라지는 것 같습니다.

var ('r, t')

f(t) = cos(11*t)

p1 = polar_plot (f(t), ( -pi/22 , pi/22 ), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow"

)

show (p1)

구간은 ( -pi/22 , pi/22 )

var ('r, t')

f(t) = cos(11*t)

p1 = polar_plot (f(t), ( -pi/22 , pi/22 ), color = "lightblue", fill = True, fillcolor = "yellow"

)

show (p1)

var ('r, t')

11 * integral (integral (r, r, 0, cos(11 * t)), t, -pi/22, pi/22)

1/4*pi

11엽장미를 해도 1/4*pi 가 나오네요

cos(n*t) 에서 n이 엽의 갯수를 표현하고 n이 늘어날수록 (-pi/2*n , pi/2*n)의 구간을 가지는 것 같습니

다.

엽이 갯수가 늘어날수록 하나의 엽의 크기도 작아지는 것 같습니다!

348

10. 좌표계의 종류 학습내용 공유

Finalize[W7 HW] 전*준 이주한 백승준 노영규 김재영 손혜원 김지수 임경섭 박경현 조현준 박준수 김현구

윤관수 이혜인 신종호 김대환 노태완 김용철 좌표계의 종류 <--- 모든 학생 여기에 코멘트 다세요^^

안녕하세요, 소재부품융합공학과 전*준입니다.

8주차 내용을 예습하고 좌표계의 종류에 대해서 정리해서 공유합니다.

평면좌표에서 직교좌표계를 극좌표를 배우는 방법은 7주차에서도 복습하였고 미적분학1에서도 배웠습니

다.

다음으로 배울 내용으로 직교좌표계를 원기둥좌표계, 구면좌표계로 변환하는 즉, 3차원공간에서의 좌표계

로 표현할 수 있는 방법을 배웁니다.

(http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/)

명령어에서 'radius'는

, 'azimuth'(방위각, meridian angle)는

, 'height'는

를 의미하며,

Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth'])

T = Cylindrical ( 'height', ['radius', 'azimuth'] )

T.transform ( radius = , azimuth = , height = )

해당 명령어를 사용하면 원기둥좌표계에서 직교좌표계의 점을 확인할 수 있습니다.

ex1) 원기둥좌표계 (radius = 5, azimuth = pi/6, height =6) 를 직교좌표계로 변환하면 직교좌표계

(5/2*sqrt(3),5/2,6)이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

다음으로 구면좌표계로 변환하는 방법을 배웁니다.

349

(http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/)

명령어에서 'radius'는

, 'azimuth'(방위각, meridian angle)는

, 'inclination'(경사,

축의 양의 방

향과 주어진 선분이 이루는 각)는

를 의미하며,

Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination'])

T = Spherical ( 'radius', ['azimuth', 'inclination'] )

T.transform( radius = , azimuth = , inclination = )

ex2) 구면좌표계 ( radius = 2, azimuth = pi/6, inclination = pi/4 )를 직교좌표계로 변환하면

((1/2*sqrt(3)*sqrt(2), 1/2*sqrt(2), sqrt(2))이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

ex3) 위의 구면좌표계를 원기둥좌표계로 표현

구면좌표계(2, pi/6, pi/4 )를 직교좌표계(1/2*sqrt(3)*sqrt(2), 1/2*sqrt(2), sqrt(2))로 변환한 후

원기둥좌표계로 변환하면 됩니다.

결론 :

1. 직교좌표계 : 가장 대표적으로 많이 사용하는 좌표계이며 (x,y,z)로 구성되어 있고 이들은 각각 독립

적으로 표현됩니다.

350

2. 원기둥좌표계 : 극좌표계에서 높이를 추가하였다고 보면 됩니다. 원기둥 좌표계는 (r,theta,z)로 표

현되며 r과 theta는 종속관계에 있습니다(z는 독립). 하나의 값이 변하면 다른 값에 영향을 받습니다.

3. 구면좌표계 : 극좌표계를 3차원 공간으로 확장하였으며 원기둥좌표계와 비슷합니다. 구면좌표계는

(p,tetha,phi)로 표현되며 p, theta, phi 는 서로가 종속관계에 있습니다. 원기둥 좌표계와 다르게 두

개의 각도로 표현합니다.

r은 원점에서 부터 구면까지의 거리

theta는 원점에서 양의 방향의 z축과 이루는 각도

phi는 z축을 중심으로 x축과 이루는 각도

좌표계는 다양하게 표현이 가능하고 필요로 하는 방법에 따라 좌표계를 사용하면 될 것 같습니다.

백승준(2022####74)7월 24일 오후 9:13

8주차에 배우는 여러가지 좌표계와 변환하는 방법에 대해 알기 쉽게 두 분이 정리해주셔서 예습하면서 도

움이 많이 되었습니다. 우리가 앞에서 배운 직교좌표를 2차원의 극좌표로만 변환하는 것에서 확장하여 3

차원에서의 좌표계의 개념을 알 수 있었습니다. 감사합니다! 위 내용 중 그림 부분이 안 보여 교재 내용

참고해서 아래와 같이 나타냈습니다. 1. 원기둥 좌표계 명령어에서 'radius'는 r, 'azimuth'(방위각,

meridian angle)는 θ, 'height'는 z를 의미하며, Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth']) 는 z가

r과 θ의 함수임을 의미 2. 구면 좌표계 위의 명령어에서 'radius'는 ρ, 'azimuth'(방위각, meridian

angle)는 θ, 'inclination'(경사, z축의 양의 방향과 주어진 선분이 이루는 각)는 Φ를 의미하며,

Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination']) 는 ρ가 θ와 Φ의 함수임을 의미한다.

노영규(2022####70)7월 25일 오후 12:38

T.transform 명령어를 이용해서 원기둥좌표를 직교좌표로 나타낼수있고, 구면좌표를 직교좌표로 나타낼수

있군요. 원기둥좌표를 직교좌표로 나타냄 T = Cylindrical ( 'height', ['radius', 'azimuth'] )

T.transform ( radius = 2, azimuth = - pi/3, height = 4 ) 구면좌표를 직교좌표로 나타냄 T =

Spherical ( 'radius', ['azimuth', 'inclination'] ) T.transform( radius = 1, azimuth = pi/4,

inclination = pi/4 )

김재영(2022####67)7월 25일 오후 1:30

직교좌표계의 x, y를 r, theta로 표현한게 원기둥 좌표계이고 여기에 더해 z를 phi로 표현한게 구면 좌표

계 이군요 그럼 구면좌표계의 반지름 r벡터는 방향벡터랑 비슷한 성질을 가지고 있는걸까요??

임경섭(2022####81)7월 25일 오후 1:53

직교좌표계를 원기둥 좌표계로 바꿀 때, 2차원 평면에서 직교좌표를 극좌표로 바꾸는 형식과 똑같았고,

여기에 3차원 z축 하나만 더 추가되는것을 볼 수 있었습니다. 또한, T = Cylindrical ( 'height',

['radius', 'azimuth'] )를 통해 z가 r과 theta에 함수임을 의미한다고 하였는데, 이변수함수 z=f(x,y)를

극좌표의 형태로 바꾸어 z=f(r, theta)로 표현한다는것으로 이해하는게 맞을까요??

박경현(2022####72)7월 25일 오후 1:54

각 좌표계가 다양하게 존재하며 서로 변환이 가능하며 필요에 따라 사용할 수 있다는 것을 알았습니다. 특

히 구면좌표계에 대해서 이해하기 힘들었는데 정리해주신 걸 보고 좀 더 많은 이해를 할 수 있었습니다.

김재영 학우님이 물어보신 것 중에 구면 좌표계의 r벡터라고 하셨는데, 좌표계에서 r은 거리만 뜻하는 거

라 스칼라값이기 때문에 벡터랑은 완전 다른 개념 같습니다!

김현구(2022####69)7월 25일 오후 2:02

원기둥 좌표계와 구면좌표계의 개념에 대한 내용이 정리가 잘 안되어서 이해하는데 어려움이 있었습니다.

이해하기 쉽게 정리 해주셔서 도움이 되었습니다. 원기둥좌표계 : 극좌표계에서 높이를 추가하였다고 보

면 됩니다. 원기둥 좌표계는 (r,theta,z)로 표현되며 -> r 극좌표의 , θ x,y좌표상의 각도 , z 높이의

추가 구면좌표계 : 극좌표계를 3차원 공간으로 확장하였으며 원기둥좌표계와 비슷합니다. 구면좌표계는

(p,tetha,phi)로 표현되고 -> ρ는 원점에서 p까지의 거리, θ는 원기둥 좌표에서와 같은 각, Φ는 축의

양의 방향과 선분 사이의 각으로 으로 해당 정리 내용을 바탕으로 실습해보면서 내용을 정리하게되었습니

다.

전*준(2022####82)7월 25일 오후 2:11

김재영(2022####67)7월 25일 오후 1:30 그럼 구면좌표계의 반지름 r벡터는 방향벡터랑 비슷한 성질을 가

지고 있는걸까요?? 박경현(2022####72)7월 25일 오후 1:54 김재영 학우님이 물어보신 것 중에 구면 좌표

계의 r벡터라고 하셨는데, 좌표계에서 r은 거리만 뜻하는 거라 스칼라값이기 때문에 벡터랑은 완전 다른

개념 같습니다! 김재영학우님이 말씀하시는 rho는 원점에서부터 점 까지의 거리를 나타내는 것이기 때문

에 벡터라고 보기에는 힘들것 같습니다.

351

11. 야코비안 코드 공유

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[HW W7] 윤관수 8주차 열린문제 2

안녕하세요 소재부품융합공학과 윤관수 입니다.

8주차 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분 열린문제 2번을 풀어봤습니다.

위와같이 구면좌표계에서 야코비안을 유도하는 방법을 찾아보고 학습했습니다.

마지막에 -r^2*sinΦ 에 절대값을 취해 r^2*sinΦ 가 나오는 것을 확인했습니다.

질문 : 열린문제2 에 있는 풀이 중 아래의 표시한 부분은 잘못 작성이 되어 있는건가요 ?

이상구(LEE SANGGU)7월 27일 오후 4:13

단순 오타입니다^^ 이미 고쳐서 강의 녹화 해 두었습니다^^ 교재도 고쳐졌습니다.

전*준(2022####82)7월 27일 오후 7:55

구면좌표계로 주어진 적분에서는 변수변환이 필요할텐데 그 내용들을 직접 수기로 풀어주셔서 야코비안에

대한 답을 얻을 수 있었습니다. sage로 풀어보면

var ( 'r, t, p' )

F = (r*cos(t)*sin(p), r*sin(t)*sin(p), r*cos(p))

J = jacobian ( F, (r, t, p) ).det() # 이 코드로 야코비안(행렬식)을 구한다.

print ( J )

-r^2*cos(t)^2*sin(p)^3 - r^2*sin(p)^3*sin(t)^2 - (r^2*cos(p)*cos(t)^2*sin(p) +

r^2*cos(p)*sin(p)*sin(t)^2)*cos(p)

해당 식이 나오고 정리하면 r^2*sin(p) 가 나오는 것으로 보입니다. 감사합니다..

352

12. 스토크스 정리 질문, 풀이

[HW W8] 전*준 스토크스정리 문제풀이 중 질문

여기서 좌측 값인 선적분의 값을 구해보면

var ('x, y, z, t')

F = vector([-y^2, x, z^2])

r = vector([ cos(t), sin(t),2 - sin(t) ])

353

dr = diff( r , t )

Fdr = F(x = r[0], y = r[1], z = r[2]).inner_product(dr).simplify_full()

print(integral ( Fdr, t, 0, 2*pi ))

답이 pi가 나오는 것을 알 수 있습니다.

Q) F(x = r[0], y = r[1], z = r[2]) 가 의미하는 바가 무엇인지 궁금합니다.

스토크스 정리에 의해

curlF, n 을 구하고 dA의 적분영역을 구해주면 위의 선적분 값과 동일하게 될 것이고 풀어보면서 적분영

역을 못 정하여 질문드립니다.

var ('x, y, z')

F = vector([-y^2, x, z^2])

r = vector([x, y, 2-y])

r_x = diff(r, x); r_y = diff(r, y)

n = r_x.cross_product(r_y)

print("curl(F) =", F.curl([x, y, z]))

print(n)

print(F.curl([x, y, z]).inner_product(n))

#print(integral ( integral ( F.curl([x, y, z]).inner_product(n), y, 0, 1), x, 0, 1 ))

Q) 여기서 스토크스정리를 만족하기 위해서는 적분영역이 어떻게 되야 하나요?

이상구(LEE SANGGU)8월 3일 오전 9:56

Q) F(x = r[0], y = r[1], z = r[2]) 가 의미하는 바가 무엇인지 궁금합니다. Answer) x = r[0] 은 r 이

라는 벡터함수의 첫번째 성분을 x 로 한다는 의미입니다. , y = r[1] 은 r 이라는 벡터함수의 2번째 성분

을 y 로 한다는 의미입니다. , z = r[2] 은 r 이라는 벡터함수의 3번째 성분을 z 로 한다는 의미입니다.

그래서 벡터 field F 를 정의했다는 의미입니다.

이상구(LEE SANGGU)8월 3일 오전 9:59

Q) 여기서 스토크스정리를 만족하기 위해서는 적분영역이 어떻게 되야 하나요? Answer) 스토크스정리를

적용하기 위해서는 정리에 쓰여진 영역 과 적분경로 에 대한 조건만 만족하면 그 적분경로를 따라서 선적

분하는 것은 ... 그 적분경로가 만드는 영역 안에서의 다중적분을 하는 것과 같다는 것을 설명하는 것입

니다.

354

-----------------------------------------------------------

var ('x, y, z')

F = vector([-y^2, x, z^2])

r = vector([x, y, 2-y])

r_x = diff(r, x); r_y = diff(r, y)

n = r_x.cross_product(r_y)

print("curl(F) =", F.curl([x, y, z]))

print(n)

print(F.curl([x, y, z]).inner_product(n))

print(integral ( integral ( F.curl([x, y, z]).inner_product(n), y, -sqrt(1 - x^2), sqrt(1 - x^2)),

x, -1, 1 ))

적분구간을 (y, -sqrt(1 - x^2), sqrt(1 - x^2)), x, -1, 1 ) 으로 설정하니 선적분과 같은 값이 나왔

습니다. 직접 값들을 구해보면서 스토크스정리가 성립한다는 것을 알 수 있었습니다.

◩ 열린 문제 2

원기둥 곡면

와 평면

에 의해 둘러싸인 제 1팔분공간(first octant)의 영역

에서

아래 발산 정리(divergence theorem)가 성립함을 확인하라.

(이때

)

① 발산 구하기

var ('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([2*x^2*y, -y^2, 4*x*z^2])

F.div([x, y, z])

결과

4*x*y + 8*x*z - 2*y

② 삼중적분 구하기 #앞서 구한 발산 결과 f(x,y,z)=결과 값 입력

355

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 4*x*y + 8*x*z - 2*y

integral ( integral ( integral (f, z, 0, sqrt(9-y^2)), y, 0, 3), x, 0, 2 )

결과

180

(이때

)

※ divF는 그래디언트 내적 F로 이루어진다. 즉, F.div = ▽ㆍF 이다.

# 코드 간소화 1,2 단계로 나누지 않고 한줄로

var ('x, y, z')

F = vector([2*x^2*y, -y^2, 4*x*z^2])

integral ( integral ( integral (F.div([x, y, z]), z, 0, sqrt(9-y^2)), y, 0, 3), x, 0, 2 )

결과

180

[열린문제] 발산 정리 Final Comment by 노영규

발산정리에 학습하기 이전에 벡터장 내에서 발산이라는 개념부터 학습을 하였습니다.

벡터장 내에서 발산이란 임의의 지점에서 벡터장이 퍼져 나오는지, 모이는지 정도를 측정한 것을

뜻합니다. divF

로 그래디언트 내적 F가 발산임을 알았습니다.

벡터장에서 발산의 의미는 물리학적으로 F가 유체의 속도 벡터장이면, 한점으로 모이거나 퍼져나

가는 경향을 알 수 있었습니다.

발산정리는 면적분을 divF(발산)를 통한 삼중적분으로 원하는 값을 손쉽게 구할 수 있었습니다.

주요 명령어 :

integral ( integral ( integral (F.div([x, y, z]), z, 0, sqrt(9-y^2)), y, 0, 3), x, 0, 2 )

벡터장의 발산

https://angeloyeo.github.io/2019/08/25/divergence.ht

356

노영규: ■ 유의미한 자료 (기사, 토론)

여러분이 배우는 수학은 이런데도 사용된답니다^^ [ PCA를 활용한 라면맛 평가] <-- 각 라면에

대하여 면발, 라면 그릇의 모양(크기), 국물맛에 대한 점수가 있다고 한다면, 3개의 변수(면, 그릇,

국물)를 가지고 PCA 분석 (맛에 대한 종합점수 구하기)을 할 수 있습니다. - 이상구 교수님

여러분이 배우는 수학은 이런데도 사용된답니다^^ [ PCA를 활용한 라면맛 평가] <-- 각 라면에

대하여 면발, 라면 그릇의 모양(크기), 국물맛에 대한 점수가 있다고 한다면, 3개의 변수(면, 그릇,

국물)를 가지고 PCA 분석 (맛에 대한 종합점수 구하기)을 할 수 있습니다.

결론

1) 라면의 종합평가에서 1위는 짬뽕라면이고, 2위는 김치라면, '라면의 종합평가'에 가장 영향을

끼치고 있는 변수는 '국물'이 된다.

2) 해물라면은 '그릇'의 평가 영향을 많이 받았고, 얼큰라면은 '면'의 평가 영향을 많이 받았다.

노*규(2022####70)8월 3일 오전 9:48

낯선 PCA에 대해서 흥미롭게 표현을 했네요. PCA가 뭔지 몰라서 찾아봤는데 가장 대표적인 정사

영을 이용한 차원 축소 기법이라고 나오네요. 실제 현업에서는 수많은 데이터들이 있을텐데 차원

을 축소하는 PCA를 활용하면 효과적이겠네요. 감사합니다. [참고]

http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W12/

교수님꼐서는 미적분학 수업자료 이외에 수학이 다양한 곳에 쓰이는 부분에 대해서도 공유를 많이

해주셨습니다. 인공지능을 활용한 PCA부분에서 처음 접해보지만 흥미롭게 표현해서 찾아보고 싶

고 알고 싶은 욕구가 생겨서 PCA에 대해서 찾아봤습니다. PCA는 차원을 축소하는 대표적인 방법

이라는 것을 알았고, 이러한 부분은 우리 현업에서도 정말 유용하게 활용이 가능 할 것 같았습니

다. 교수님의 이러한 인공지능 관련 자료들 너무 감사합니다.

357

스위스 쮜리히 교육대학교 부총장/교원교육개혁위원회 위원 Hans-Jürg Keller 교

수님이 내일 오전 10시에 우리 연구실에 인터뷰하러 온다고 하네요^^ 몇년전에는

삼성전자 주니어 코딩교육에 단체로 스위스 에서 교수들이 연수 왔었다고 합니다.

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 27일 오전 11:15

스위스 쮜리히 교육대학교 부총장 Hans-Jürg Keller 교수님이 내일 오전 10시에 우리 연구실에 인터뷰하러 온다고 하

네요^^

<--- 우리 수업과 교수학습방법 밑 전자교과서 등에 관심이 있나봅니다.

Prof. Dr. Hans-Jürg Keller

Zurich University of Teacher Education

소속: 쮜리히 교육대학교(Pädagogische Hochschule Zürich)

직위: 교수(전 부총장), 교원교육개혁위원회 위원

hansjuerg.keller@phzh.ch

연락처: +41 43 305 50 82; hansjuerg.keller@phzh.ch

가 내일 오전 10시 성대에 나를 만나서 아래 내용에 대하여 Math & Coding 교육과 평가방법 및 우리의 디지탈 교과서

에 대하여 인터뷰를 한다고 하네요^^

몇년전에는 삼성전자 주니어 코딩교육에 단체로 스위스 에서 교수들이 연수 왔었다고 합니다.

*********************

이상구 회장님,

귀한 시간 내 주셔서 감사드립니다.

... 아시는 교수님이 한국에 가서 아래 사항을 알고 싶다고 하여 연락을 한 것 같습니다.

우리가 하고 있는 ... 우리나라

1. 수학 디지털 교과서와 Math & Coding 교육

2. 디지털 교육에서의 합리적인 평가 시스템

3. 인공지능과 수학, 인공지능에 필요한 수학의 교안, 교수법

4. 초등학교 학생을 대상으로 한 디지털 교과서는 현재 과학과 및 사회과를 중심으로 실험학교 등을 운영하고 있습니다.

5. 중등학교와 대학교 수학 디지털교과서나 온라인 실습사이트는?

6. 캘러 교수님(켈러 교수님 방문은 7월 26일~30일)께서 한국 이전에 미국에서 조사하고 돌아오셨는데 한국에서도 뜻깊은

만남이 되셨으면 합니다. 정말 감사드립니다.

제가 볼 때 실제로 인공지능활용에 관심이 있으신 교수님을 뵙고 말씀 나누는 것이 ...

가장 적절하게 정보를 주실 수 있는 분이 교수님이실 것 같아서 연락 드린 것입니다.

노*규(2022####70)7월 27일 오전 11:36

Math & Coding 교육과 우리의 디지털 교과서가 역시 대단한 것을 다시 느끼네요. 멋집니다!

358

미적분학1을 배울때 Math&코딩이 정말 대단하다는 것을 느꼈고, 미적분학1 기말

기간에는 교수님께서 디지털교과서를 제공해주셔서 정말 파워풀하게 학습을 했었

습니다. 저 같은 수포자도 포기하지 않고 학습을 할 수 있었던 혁신적인 학습방법

이였습니다.

평상시에도 대단함을 느꼈지만, 먼 스위스에서 우리나라까지 와서 이상구 교수님

을 직접 만나로 오신 것을 보고 다시한번 대단함을 느꼈습니다.

참고 [Final OK by SGLee] [Finalized by 최재혁, 정성훈, 최원일] 경사하강법

(GDM), 요약, 코드, 실습, 활용, 안장점

노*규(2022####70)8월 10일 오후 9:29

GDM을 하기 위해서는 임계점을 찾고, 헤시앙행렬을 통해 극대/극소/안장점여부를 먼저 찾아야

되는군요!! GDM에 대해서도 흥미가 생기네요. 감사합니다 교수님

참고 [Final OK by SGLee] [Re-finalized] 5x7 행렬을 SVD 하고 pseudo

inverse matrix 구하기 -> 12by16 random matrix로 실습해보았습니다

노*규(2022####70)8월 10일 오후 9:55

행렬이 정말 중요하다는걸 느낍니다. 우리가 앞서 배웠던 역행렬 전치행렬 대각행렬 등으로 특이

값분해가 가능하다는게 너무 흥미롭습니다.

교수님께서는 인공지능을 이용한 GDM, SVD 자료도 제공해주셔서 수학에 대한

흥미가 더욱 커지고 있습니다. 교수님 강의를 듣기 전 수학에 대한 흥미가 없었다

는게 속상 할 정도로 정말 수학을 통한 Math&코딩이 대단한것같습니다. 미적분학

을 배우고 있지만 인공지능 관련된 자료 공유 감사드립니다.

359

수학을 잘하려면 언어 능력이 좋아야 한다?

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 23일 오전 6:47

수학을 잘하려면 언어 능력이 좋아야 한다고 설명했는데...

https://www.chosun.com/national/weekend/2022/07/23/DEZSB7SGBFASHBX2BJBVGNFT5A

구구단 외우면 망한다

-구구단을 외우지 말라고 주장하는데.

“그냥 무턱대고 외우면 안 된다는 것이다. 엄마, 아빠들은 어릴 때 구구단을 외우고 컸다. 그래서 자신의 자녀들에게도 초등학교 들어가기 전에 구구단을 암기하도

록 시킨다. ‘우리 애는 6살인데 9단까지 끝냈어요’라며 자랑하는 부모도 봤다. 심한 말일지 모르지만 이건 자녀를 바보로 만드는 지름길이다.”

-구구단을 외우면 바보가 된다?

“3 곱하기 9를 물으면 초등학생들은 쉽게 27이라고 답한다. 그런데 이렇게 기계적으로 외우면 안 된다. 수학 식을 봤을 때 이 식이 무엇을 물어보는지, 어떻게 접

근해야 하는지를 우선 생각할 줄 알아야 한다.”

-무슨 말인가.

“수학을 외우는 게 아니라 시각화해야 한다는 것이다. 곱셈은 직사각형을 만드는 게 중요하다. 3×9의 경우 사과 9개가 나란히 3줄씩 있는 사각형 형태를 떠올려야

한다. ...

“허준이 교수가 대표적 사례다. 허준이 교수가 고등학교 때 잠시 시(詩)를 쓰겠다며 수학 공부를 중단한 적이 있다.

수학은 만물의 이치를 숫자와 기호만으로 간결하게 표현하다 보니 추상화가 많이 이뤄진다. 언어에 있어서 가장 추상화된 게 바로 시다. 시를 잘 쓰는 사람은 머릿

속에 이미지가 풍부하게 떠오르는 사람이다. 그걸 압축해 정제된 단어로 뱉어내는 거다.

수학과 시 모두 ‘추상화’라는 능력이 요구되는 셈이다. 허준이 교수가 시를 쓰려고 한 것도 학교 수학교육으론 그런 추상화가 잘 안 되니 시를 통해 그 욕구를

풀려고 한 것이다.”

<--- 다는 아니지만 ... 일부는 맞는 말 이네요.

노*규(2022####70)7월 27일 오전 9:06

[수학을 외우는 게 아니라 시각화해야 한다는 것이다.]

[이 식이 무엇을 물어보는지, 어떻게 접근해야 하는지를 우선 생각할 줄 알아야 한다. ] 이

부분에서 sage가 정말 파워풀한것같습니다 주어진 식을 손쉽게 시각화 할수있어서 어떻게

접근해야될지 우선 생각을 할 수 있기에 sage가 큰 도움이 됩니다.

Q.이상구(LEE SANGGU) 교수님 7월 7일 오전 7:29

1. 치과의사는 원래는 이발사 (또는 이발외과)가 하던 일의 일부가 새로운 직업이 된 것을 아시나

요?

고대 그리스와 로마에서는 현재와 마찬가지로 외과와 의학(내과)은 밀접한 관계였다. 하지만 르네

상스를 지나 18세기까지 서유럽에서 의학(내과)은 교회의 사제가 맡는 전문직업(profession)이었

고, 외과는 이발사 또는 이발외과의의 장사(trade)였다. 요로결석을 절제하며, 농양에 대한 배농,

사혈, 발치 등의 시술을 했다. 독일에서는 이발외과의들이 목욕탕을 운영하기도 하였으며, 부가적

으로 관장을 해 주거나 치아를 뽑아주기도 했다. 다만, 르네상스 시대에 발달하기 시작한 해부학

과 생리학 등에 힘입어 그동안 교회로부터 천시받던 외과가 점차 내과적 질병을 설명할 수 있게

되자, 본래 뿌리가 다르던 외과와 내과가 점차 통합의 방향으로 발전해 간 반면, 치과는 그대로

남아 독립의 길을 가게 된다. 그러니까 중세까지는 의과와 치과가 구분돼 있었던 것이 아니라, 내

과와 외과가 구분되고 외과에서 다시 치과가 구분되는 과정에 있었던 것이다. (출처 :

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B9%98%EA%B3%BC%EC%9D%98_%EC%97%AD%EC%82%AC)

2. 통계가 수학의 일부에서 분리된것이고,

통계학과 수학 통계학은 수학과 상당히 다른 특성을 갖는다. 수학은 정의와 공리로부터 연역적으

로 전개되는 반면, 통계학은 관찰 자료를 요약, 정리하고 추론, 예측하는 경험적이고 귀납적인 학

문이다. 수학에서는 정의와 공리를 참이라고 인정하면 결론은 필연적으로 참이며 거짓일 수 없는

이유를 증명을 통해 밝힌다. 하지만 통계학에서는 그 과정에서 수학의 확률론을 이용하기는 하지

만 연구 대상이 불확실한 현상이며 자료를 정리하여 수학적인 데이터로 만들고 현실 상황에 적용

할 때에는 항상 그것이 거짓일 수 있는 가능성을 내포한다. 또한 통계학은 도구적인 성격이 강하

360

다. 수학은 자연과학 및 공학에서 많이 응용되기는 하지만 그것이 수학의 본질이라고 보기 어렵고

응용되는 수학분야도 한정되어 있다. 순수 수학자들은 그들의 연구가 다른 어떤 곳에 쓰일 것을

예상하고 연구하지 않는다. 반면 통계학은 실제 상황과 매우 밀접한 관계에 있으며 실제 상황에서

유용하게 쓰일 수 있도록 방법을 개선시킨다. 통계는 실생활과 매우 밀접하기 때문에 실제 상황에

서 통계를 생각하는 것이 좋다. 통계는 모든 분야에서 쓰이기 때문에 문제로 만들기 쉽고 대학별

고사에서도 도표나 자료를 분석하는 문제가 항상 나온다. (통합논술 개념어 사전, 2007. 12. 15.,

한림학사) → 통계학은 도구적인 성격이지만 순수한 수학자들은 그들의 연구가 다른 어떤 곳에 쓰

일것이라 예상하고 연구하지 않습니다. 통계학은 순수한 수학의 일부분에 불과하다고 생각합니다

3. 컴퓨터사이언스가 수학자들이 개척한 분야이고.

소프트 웨어를 학문하는 컴퓨터과학(CS)은 큰 틀에서 총 4가지 분야로 나뉜다. 1) 컴퓨터 이론 2)

알고리즘(문제를 해결하는 과정의 맵-지도) 3) 프로그램 언어 4) 설계 단단한 수학적 지식이 필요

하며 논리 데이터학(Data Science) 지식도 공부한다. 프로그램을 만들기 위한 코딩이 기본이다.

창의적 사고가 무엇보다 요구된다. 대학을 졸업하면 소프트 엔지니어로 취업해 현역 프로그래머로

활동이 가능하고 보다 새로운 기술이나 연구에 몰두하고 싶다면 대학원과 박사학위 취득을 고려해

보기 바란다. 미국에서 컴퓨터 과학(CS) 전공이 개설된 대학은 815개 대학이다. 대표적인 대학으

로는 MIT, 스탠퍼드, 하버드, UC 버클리, 프린스턴, 카네기멜론, 조지아텍, 캘텍, 워싱턴대, UCLA

등이 있으며 꼭 이 대학을 졸업해야 구글, 아마존에 가는 것은 아니다. 대학이 아니라 실력이다.

출처 : https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=josephlee54&logNo=221332960200

4. 보험상품 개발은 지금도 수학자/Actuary(계리인,계리사)가 하고 있는 직업이고.

4. 보험상품 개발은 지금도 수학자/Actuary(계리인,계리사)가 하고 있는 직업이고. 보험 상품 이

라는 것 자체가 사고가 일어날 확률과 사고가 일어났을 때 지급되는 보험금과 내는 보험료가 계산

이 되어야 하고 그 계산을 토대로 보험 상품을 출시해야 하기 때문에 수학이 기본적으로 적용되어

야 한다고 생각합니다. 아래는 위와 같은 내용들을 찾아보면서 알게된 자료인데 제가 잘 모르기도

하고 댓글로 설명이 어려워 출처 남겨서 공유드립니다~ '대수의 법칙'을 이용하여 구하는 보험료

보험료 계산의 이상적인 원칙은 지급된 보험금과 거둔 보험료가 같아야 한다는 수지상등의 원칙이

다. 그러나 현실적으로는 보험회사의 영업에 필요한 사업비도 더 부가된다. 런던의 화재 보험은

불이 일어날 확률을 구하고, 보험에 가입할 사람을 예상해 보험료를 계산했다. 이 과정에서 보험

의 수학적인 엄밀한 기초가 마련됐다. 보험료를 계산을 할 때 가장 기본적인 원칙은 지급된 보험

금과 거둔 보험료가 같아야 한다는 것인데, 이를 ‘수지상등의 원칙’이라고 부른다. 이에 따라 보험

료는 다음과 같이 계산한다.(단, 이는 보험회사의 영업에 필요한 사업비를 제외한 것이다.) 1만 채

의 집이 있는 도시에 집 한 채 값이 3억 원이고, 모든 집이 보험에 가입했다. 화재로 인해 5년 동

안 평균적으로 두 집이 불탔다. 보험회사는 화재가 난 집에 5년에 한 번 총 6억 원을 지불한다.

그러면 1년의 한 집 당 보험료는 6억 원÷1만 채÷5년=1만 2000원 이다. (단, 현실에서는 보험회사

영업에 필요한 비용이 있으므로 더 늘어난다). (출처 :

http://www.allthatmath.com/bbs/board.php?bo_table=sub_113&wr_id=346)

5. 마찬가지로 500년 역사의 물리학은 5,000년 역사의 수학의 일부에서 뉴우턴 이후 동료 수학자

들의 일부가 ... 눈에 보이는 3차원 안에서 현상만 집중적으로 ... 수학적으로 분석하는 분야로 발

전하면서 ... 응용수학의 일부에서 ... 독립한 ... 모두 수학의 일부랍니다.

수학의 일부 일반적으로 수학을 잘 하기 위해서 물리학을 잘 할 필요는 없지만, 물리학을 잘 하기

위해서는 일정 수준 이상의 수학이 필요하다. 라고 일반적으로 알려져 있고 저도 그렇게 생각합니

다. 기본적으로 수학이라는 학문 자체가 방대하고 방대하지만 기본적인 내용을 다루는 학문이므로

수학을 일정 수준 이상 배우게 되면 그것을 기초로 응용 할 수 있는 게 많아지는데 그중 하나 또

한 물리라고 할 수 있을 것 같습니다. 앞서 말한 보험 상품, 통계, 컴퓨터 같은 학문들도 마찬가지

로 기본인 수학을 가지고 각자 자기가 원하는 방향으로 응용하여 연구하면서 나오게 된 결과물이

아닐까 합니다.

361

전형준:

토론. What is the dimension of a matrix?

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 6월 16일 오전 5:27

토론. What is the dimension of a matrix?

... 벡터공간 V의 basis 기저란 무엇인가?

1. 벡터공간 V 의 차원.

2. 행렬 A 의 행공간의 차원.

3. Key: Ax=b 의 해공간의 차원. 은

A의 null space 의 차원. 와 같다.

... 에 대하여 좀 더 얘기해 보세요.

The vector space of 2×2 matrices under addition over a field F is 4 dimensional. It's

span{(1000),(0100),(0010),(0001)}. These are clearly independent under addition.Jun 14, 2018

What is the dimension of a matrix?

https://math.stackexchange.com/questions/320676/what-is-the-dimension-of-a-matrix

https://elementary-physics.tistory.com/6

2. n-dimensional Euclidean space Rn

이름에서부터 예상할 수 있듯이 Rn의 dimension은 n이다. Rn의 basis는 3차원 공간에서 basis를 구성한

것과 같은 방식으로

B={ (1,0,0,⋯,0) , (0,1,0,⋯,0) , ⋯ , (0,⋯,0,1) }

로 택한다. 이렇게 한 축의 단위 벡터들로 구성된 basis를 Rn의 standard basis라고 부른다

조현준(2022####83)6월 16일 오후 2:10

선형대수의 핵심 개념인 선형 독립과 기저입니다. 기저라는 부분집합만으로 벡터 공간 전체를 묘사할 수

있기 때문입니다. 집합의 크기에 따라 선형독립과 벡터공간 V 전체에 대한 표현이 달라 집니다. 두 조건을

모두 만족하는 크기의 집합을 기저(basis)라고 합니다.

김재영(2022####67)6월 16일 오후 2:32

벡터공간을 구성하는 각각의 벡터들을 기저(basis)라 하고 그 기저들의 개수를 차원이라고 표시한다고 생

각합니다. 3. Key: Ax=b 의 해공간의 차원은 A의 null space 의 차원과 같다. 라고 하셨는데 특수해 x0

를 제외한 모든 해들의 집합이기 때문에 null space가 해공간의 차원이고 x0는 null space의 sub space라

고 봐야하는건가요?

전형준(2022####82)6월 16일 오후 3:40

벡터공간 : 같은 수의 요소를 가지는 벡터들 사이의 합이나 실수배(스칼라 곱) 로 정의된 공간을 의미한다

고 합니다. 벡터공간은 같은 수의 요소를 가지는 벡터들을 다루는 공간이라고 생각합니다. 하지만, 이런 벡

터들을 다루는 방법(법칙)이 성립이 되어야 이 벡터들의 집합을 벡터공간이라고 합니다. [벡터공간을 성립

362

시키는 법칙] 1. 교환법칙 : a+b=b+a 2. 결합법칙 : (a+b)+c=a+(b+c) 3. 항등원 : a+0=a 4. 역원 :

a+(-a)=0 5. 분배법칙 : c(a+b)=ca+cb 6. 분배법칙 : (c+k)a=ca+ka 7. c(ka)=(ck)a 8. 1*a=a

임경섭(2022####81)6월 16일 오후 4:52

3. Key: Ax=b 의 해집합은 벡터공간은 아니므로 해공간 이라고 할 수 없습니다. Ax=0 의 해집합은 부분

공간 이라 해공간이라고 하고, 이 해공간의 차원은 A의 null space 의 차원과 같다. A. 특수해는 해집합안

의 자유변수에 임의의 실수 값을 넣어서 나오는 하나의 해입니다. 2. Null space : null space 는 Ax=b의

해공간과 exactly same 인 같은 집합이고. 그래서 둘은 같은 차원을 가지는것 같습니다..

이상구(LEE SANGGU)6월 16일 오후 7:02

임경섭씨, 위의 내용에 대해 궁금한것 더 질문 하세요.

임경섭(2022####81)6월 17일 오전 10:50

기저가 벡터공간 V의 차원을 나타내는데 위에서 구한 A의 null space의 해공간의 차원이 같은 차원을 나

타내는 건가요?

이상구(LEE SANGGU)6월 18일 오후 3:23

임경석씨, 자세히 쓰면, 1. A의 null space 영공간의 차원이 Ax=0 의 해공간과 차원이 같은 것 입니다. 위

에서 본인 표현에서 틀린 부분들을 고치세요.

이주한(2022####78)6월 19일 오후 5:18

위에 내용과 같이벡터공간을 구성하는 각각의 벡터들을 기저(basis)라 합니다 즉, B가 V의 기저라할때 1.

B는 일차독립이며, 2. <B>=V 입니다. 또한 기저(basis) 는 유일하지 않으며, 항상 동일한 차원을 가진다.

예를들어, 아래 두가지 경우를 보면 차원은 같지만 기저를 구성하는 벡터는 다르다는 것을 알 수 있습니다

1. a1(1,0,0) + a2(0,1,0) + a3(0,0,1) = (a1, a2, a3) 2. a1(1,0,0) + a2(1,1,0) + a3(0,0,1) =

(a1+a2, a2, a3)

이주한군의 질문과 토론: 우리는 몇 차원공간에 살고 있는가? 여기에 모두 학생은 의무적으로

<자신만의 생각/코멘트>를 달아보세요.

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 6월 22일 오전 3:37

이주한군의 질문과 토론: 우리는 몇 차원공간에 살고 있는가

(교수님 말씀: 개미에게 아무리 "개미 너는 3차원 공간에 살고 있다"고 말해 주어도 ... 개미는 믿지 않을

것이다. 본인은 2차원 평면에 살고 있다고 철저히 믿는 것이다 ... 땅에서 나무에 기어 오르다 다시 땅에

떨어지더라도 ... 3차원 공간에서 우리가 "나무에 오르다 높은 곳에서 떨어지는 개미를 보고 안타까워 하

는데도" ... ... 개미는 여전히 자신이 2차원 평면에 있다고 믿는다. 3차원 공간에서 열심히 여기 저기 다

니는 우리들을 안타깝게 보고있는 고차원 공간에 사는 누구는 정말 없을까? 우리가 살고 있는 공간이 3

차원보다 더 높은 차원일수도 있다!! 물리학자인 아인스타인도 이런 생각을 했고 ... 그래서 달나라에 갈

수 있는 이론을 생각할 수 있었고 ... 많은 수학자들은 실제 n 차차원 공간이 존재한다는 것을 증명하였고,

그 이론에서 보면 우리가 인지하는 공간은 그것의 특수한 경우인 3차원 공간임을 확인해 주었다.)

https://m.blog.daum.net/board2011/359

우리가 사는 공간이 3차원 이상일까? 90년 전에도 그런 생각을 가진 사람이 있었다

우리가 살고 있는 공간이 3차원보다 더 높은 차원일수도 있다는 생각은 꽤나 오래 되었다. 아인슈타인의

상대성이론은 시간과 공간을 하나의 좌표로 통일하여 시공간 4차원을 주창했는데, 여기서는 공간이 여전히

363

3차원에 머물러 있다. 아인슈타인과 동시대에 살았던 칼루자(Theodor Kaluza)와 클라인(Oskar Klein)은 시공

간이 5차원일 가능성을 제시했었다. 칼루자-클라인 이론에서는 공간이 3차원이 아니라 4차원이다. 이렇듯

3차원에 부가적으로 덧붙여진 차원을 덧차원(extra dimension, 부가차원, 초차원, 여분차원)이라고 한다. 칼

루자와 클라인이 덧차원을 생각한 이유는 적어도 달걀노른자를 빼내는 것보다는 좀 더 고상했다. 그들은

중력과 전자기력을 5차원 이론으로 통합하려고 했었다. 대략 1919년에서 1926년 사이의 일이다.

덧차원의 고민을 새롭게 한 초끈이론, 초끈이론은 세상이 10차원으로 되어 있다고 한다

이주한(2022####78) 씨의 질문에 대한 답입니다. 6월 20일 오후 3:03

방향코사인을 공식을 통해 4차원까지 확장하여 이론적으로 계산할 수 있음을 알 수 있었습니다. 궁금한게

있는데, 4차원의 경우 각도에 대해서 계산이 가능하지만 저희가 눈으로는 볼 수 없는 차원인가요? <---

답: 맞습니다. 3차원 공간에 생각이 머물러 있으면 ... 3차원공간에 사는 개미와 같이 개미가 2차원에서 바

닥을 기다 ... 나무를 오르다 ... 떨어져서 다시 바닥을 기고 있어도 본인은 2차원에 살고 있다고만 생각합

니다.

--- 우리가 3차원에 살고 있다고 믿는 학생이라면 그렇습니다.

그런데 우리가 실제 3차원에 사는 것은 맞나요? 누가 증명한 사람 있나요? 그리고 우리가 3차원에 살

고 있다고 가정하더라도 우리의 상황을 표현하고 분석하려면 시간에 따라 변하는 주위 를 표현하기위해 최

소한 시간 축 하나는 더해서 4차원 벡터를 이용해야만 표현 가능합니다^^ 이것이 Key 입니다.

만일 우리가 n 차원 공간에 살고 있다고 생각하면 ... 4차원, 5차원, 7 차원 모두 ... 상상할수 있습니다. 방

법은 2차원+ 1차원= 3차원 이라고 개미에게 가르쳐 주듯이, 여러분에게 3차원+1차원(예가 시간 축입니

다) 에서 사는 것을 느끼게 해 주면, ...

배운 학생들은 우리가 만일 n 차원에 살고 있다고 생각하면 실제 n+1 차원에 대하여 ... 생각하고, 서술하

고, 증명을 같은 방법으로 할 수 있게 됩니다.

********************

이주한(2022####78)6월 21일 오후 2:50

교수님, 답변 감사합니다. 4차원 공간은 시각적으로 어느정도 가능이 되는데 그 이후는 아직 잘모르겠습니

다.

https://www.youtube.com/watch?v=bgTimwB284c

교수님의 답:

우리가 물리적인 n 차원 공간에 살고 있다고 가정하고, 물을 끓이듯이 시간이 조금 흐르면, 상태가 달라지

므로 그 상태 표현을 위하여 시간 축 하나가 더 필요하니까,

실제로 우리가 사는 공간은 n+1 차원 으로 이해해야 한다 정도로 고차원공간을 이해하시면 됩니다.

<--- 4주 마치고 중간고사 ... 계산/구하는 것은 이미 내용/개념설명/공식/코드 / 실습창 까지 모두 주

었으니, 해본 사람은 나중에도 다 구할 수 있어야 합니다. 그럼 pass 입니다. ... 즉 모두 pass 할 수

있습니다.

이상구(LEE SANGGU)6월 22일 오전 3:53

364

지난 시간에 얘기했듯이 답이 없는 문제에 대해 최적해를 찾는 문제 ... 등에 대한 문제 해결력 ...이런 능

력을 배우는 것이 수학 Math 입니다. 즉, 수학 Mathematics 은 . . . 여러분이 생각하는 산술 arithematic

과 달리 이런 문제들을 다루는 학문이랍니다. 그래서 수학은 오히려 철학에 가깝고, 수학은 계산하는 것

보다... QnA 에서 이해할 때까지 talk about 하는 것이 더 중요한 것 입니다. 수학/철학 의 관점에서 보면,

이해하냐 못하냐는 중요한것이 아니고, 이해하려고 토론하는 과정이 수학을 학습하는 과정이고, 이런 학습

과정을 통하여 기술자가 아니라 intellectual 이 되어가는 것이랍니다. 대학은 이런 학술적 경험을 여러분에

게 제공하는 것이고, 그래서 여러분이 배우는 내용을 외우는 것이 아니라, 배운 내용에 대해 문제를 풀어

보고, 자신의 답에 대해 설명하고, 상대방이 이해 할 때까지 대화하면서 둘 다가 깨우치는 경험이 아주 중

요합니다. 이해하고 답을 찿아가는 것은 스스로 평생 하는 것이고, 대학에서는 그렇게 답을 찾아가는 경험

과 능력 그리고 동료를 만나는 경험을 제공하는 것입니다. 여기에 모두 학생은 의무적으로 <자신만의 생

각/코멘트>를 달아보세요.

전형준(2022####82)6월 22일 오전 10:02

안녕하세요 전형준입니다. 현재 살고있는 지구에서는 우리는 좌우, 앞뒤, 위아래로 움직일 수 있으니 벡터

로 나타낸다면 (x,y,z)의 공간인 3차원에 살고 있지 않을까 생각합니다. 하지만, 우리가 살고 있는 공간이

3차원이라고 해도 눈으로 바라보는 공간은 2차원입니다. 지금 바라보고 있는 공간을 스크린샷을 찍는다고

생각한다면 좌표평면(x,y)으로 그려낼 수 있을 것입니다. 2차원인 그림(x,y)을 봐도 3차원(x,y,z)으로 보

이는 것 입니다. 3차원(x,y,z)의 정보들을 2차원(x,y)에서도 볼 수 있고 그러면 우리는 4차원 정보들로 3

차원에 살고 있다고 이야기를 할 수도 있을 것입니다. 그보다 높은 고차원에서도 살고 있다고 이야기 가능

할 것이라고 생각합니다.

박경현(2022####72)6월 22일 오전 10:04

저는 4차원공간에 살고 있다고 생각합니다. 시각적으로는 3차원 공간(x,y,z)로 보이겠지만, 교수님의 답변

처럼 시간(t)이라는 변수가 더 있기 때문에 기본적으로는 4차원속에 살고 있다고 생각합니다.

이상구(LEE SANGGU)6월 22일 오전 10:38

우리가 사는 공간이 3차원 이상일까? 90년 전에도 그런 생각을 가진 사람이 있었다 우리가 살고 있는 공

간이 3차원보다 더 높은 차원일수도 있다는 생각은 꽤나 오래 되었다. 아인슈타인의 상대성이론은 시간과

공간을 하나의 좌표로 통일하여 시공간 4차원을 주창했다. https://m.blog.daum.net/board2011/359 우리가

살고 있는 공간이 3차원보다 더 높은 차원일수도 있다는 생각은 꽤나 오래 되었다. 아인슈타인의 상대성이

론은 시간과 공간을 하나의 좌표로 통일하여 시공간 4차원을 주창했는데, 여기서는 공간이 여전히 3차원에

머물러 있다. 아인슈타인과 동시대에 살았던 칼루자(Theodor Kaluza)와 클라인(Oskar Klein)은 시공간이

5차원일 가능성을 제시했었다. 칼루자-클라인 이론에서는 공간이 3차원이 아니라 4차원이다. 이렇듯 3차

원에 부가적으로 덧붙여진 차원을 덧차원(extra dimension, 부가차원, 초차원, 여분차원)이라고 한다. 칼루

자와 클라인이 덧차원을 생각한 이유는 적어도 달걀노른자를 빼내는 것보다는 좀 더 고상했다. 그들은 중

력과 전자기력을 5차원 이론으로 통합하려고 했었다. 대략 1919년에서 1926년 사이의 일이다. 덧차원의

고민을 새롭게 한 초끈이론, 초끈이론은 세상이 10차원으로 되어 있다고 한다 전깃줄은 멀리서 보면 1차

원 선으로 보인다. 덧차원에 관한 고민이 새로워진 것은 초끈이론 때문이었다. 초끈이론은 그 이론이 자체

적으로 모순이 없으려면 시공간이 10차원이어야 함을 예견한다. 우리는 4차원 시공간에 살고 있으니까 덧

차원이 6차원이나 되는 셈이다. 덧차원이 이렇게 버젓이 존재한다면 우리가 어떻게든 알아차릴 수 있지 않

을까? 꼭 그렇지 않을 수도 있다. 전깃줄을 예로 들어 보자. 아주 멀리서 보면 전깃줄은 기다란 1차원의

곡선일 뿐이다. 그러나 우리가 가까이 다가가서 자세히 살펴보면 1차원인 줄 알았던 전깃줄이 일정한 굵기

를 가지고 있다는 사실을 알게 된다. 이 굵기는 전깃줄의 길이 방향과는 수직을 이루면서 새로운 차원을

하나 형성하고 있다. 멀리서는 보이지 않던 전깃줄의 차원이 가까이에서야 보이기 시작한다. 더 자세히 보

면 전깃줄의 다른 차원도 찾을 수 있을 것이다. 우리가 살고 있는 시공간도 이와 비슷할지도 모른다. 초끈

이론이 맞다면 원래 우리가 살고 있는 시공간은 10차원(1차원의 시간과 9차원의 공간)이다. 그러나 6차원

이 매우 좁은 영역에 말려들어 있다면 우리는 4차원의 시공간만 감지할 수 있다. 이는 마치 멀리서는 1차

365

원의 전깃줄만 보이는 것과도 같다. 6차원의 덧차원을 보려면, 마치 전깃줄에 가까이 다가가듯이, 공간 자

체를 들여다보는 해상도를 높여야 한다. 높은 해상도는 매우 높은 에너지를 요구한다. 현존하는 입자가속

기들로는 어림도 없다. 덧차원으로 수십년 동안 물리학자들을 괴롭힌 ‘위계의 문제’를 해결할 수 있다

1990년대 후반부터는 또 다른 이유로 덧차원이 폭발적인 관심을 끌었다. 지난 수십 년 동안 과학자들을

괴롭혀 온 문제 중에 위계의 문제(hierarchy problem)라는 것이 있다. 물리학자들은 어찌 보면 참 쓸데없

는 일에 많이 고민한다. 위계의 문제도 보통 사람들이 보기엔 그런 문제들 중 하나일지도 모른다. 자연계

에는 네 가지의 힘이 알려져 있다. 중력, 전자기력, 약한 핵력, 그리고 강한 핵력이 그 넷이다. 중력과 전자

기력은 보통 사람들에게도 친숙한 힘들이다. 약한 핵력은 핵붕괴와 관련된 힘이고 강한 핵력은 핵자들을

원자핵으로 강하게 묶어 두는 힘이다. 중력을 제외한 나머지 세 힘들은 입자물리학의 표준모형(Standard

Model)으로 구축되어 있는데 대략 양성자 질량의 약 1천배 정도 되는 에너지까지 잘 들어맞는 것으로 생

각되고 있다. 그런데, 이 정도의 에너지에서는 중력의 효과가 극히 미미하다. 중력의 효과가 나머지 세 힘

과 비등해지려면 그 에너지가 양성자 질량의 약 10,000,000,000,000,000,000배에 이르러야 한다. 이 에너

지를 플랑크(Planck) 에너지라고 부른다. 중력과 표준모형 사이에 왜 이런 거대한 에너지 갭이 존재할까

하는 것이 바로 위계의 문제이다. 지난 글들에서 소개했던 힉스 질량의 안정화를 위한 미세조정의 문제는

위계 문제를 조금 다르게 표현한 것으로서 근본적으로 위계 문제에 다름 아니다. 이 위계의 문제는 수십

년 동안 물리학자들을 괴롭혀 왔으며 현재 학계가 처한 가장 시급하고도 긴박하게 해결해야 할 문제 중의

하나이다. 반면에 그런 만큼 이 문제는 새로운 물리학의 장을 열어젖히는 데에 큰 공헌을 해 온 것도 사실

이다. 초대칭성이 가장 강력한 대안으로 떠오른 이유도 초대칭성이 이 문제를 나름대로 해결했기 때문이

다. 굽은 제5공간을 포함한 5차원으로 세상을 설명하는 물리학자, 리사 랜들 1998년 미국의 알카니-하메

드(N. Arkani-Hamed)와 디모포울로스(Savas Dimopoulos), 드발리(G.R. Dvali)는 덧차원이 위계문제를

해결할 수 있다는 획기적인 아이디어를 제시했다. 이들 이름의 머리글자를 따서 ADD모형으로 알려진 이론

은 4차원 시공간에 덧차원이 달랑 붙어있는, 매우 단순한 구조이다. 이 모형에서는 덧차원의 공간 자체가

에너지의 상당부분을 흡수해 버림으로써 플랑크 에너지를 양성자 질량의 천배 정도 수준으로 낮출 수 있

다. 리사 랜들(Lisa Randall 1962~), 하버드대학교 물리학과 교수 그 이듬해 미국의 리사 랜들(Lisa

Randall)과 라만 선드럼(Raman Sundrum)은 1차원의 덧차원으로 위계문제를 깔끔하게 해결했다. RS모형

으로 알려진 이 이론에서는 ADD에서와는 달리 덧차원인 제5공간이 심하게 굽어 있다. 그 굽은 정도가 5

차원 공간을 따라 갈수록 기하급수적으로 커지게 되어 있어서, 제5공간에서 비교적 멀리 떨어져 있지 않은

두 점에서의 물리량이 매우 다른 값을 가질 수 있다. 한마디로 말하자면 높은 에너지의 세계와 낮은 에너

지의 세계가 굽은 제5공간을 통해 서로 연결되어 있다. 리사 랜들은 최근 가장 주목 받는 여성 물리학자로

서 그의 저서 <숨겨진 우주>는 국내에서도 잘 알려져 있다. 덧차원이 있을까? 덧차원이 있다면 놀라운 일

이 일어날 수도 있다 덧차원 모형은 역사가 그리 길지는 않지만 표준모형을 대체할 새로운 대안으로 부상

하고 있다. 올 가을 다시 가동될 유럽의 대형강입자충돌기(LHC)에서 덧차원의 신호를 잡아낼 수 있을지도

큰 관심거리 중의 하나다. 덧차원이 있다면 자연의 근본상수인 플랑크 에너지가 그렇게 천문학적으로 클

필요가 없다. 그러나 천문학적으로 큰 숫자가 불편할 때도 있지만 때로는 요긴할 때도 있다. 어떤 현상들

은 플랑크 에너지만큼 높은 에너지를 얻어야만 일어나는 경우가 있다. 이는 마치 아주 무거운 바위로 두더

지 구멍을 막아 둔 것과도 같다. 두더지가 바깥세상으로 나오려면 큰 에너지를 발휘하여 자기 집 입구를

짓누르고 있는 커다란 바위를 들어 올려야만 한다. 만약 덧차원이 있어 실제 플랑크 에너지가 그리 크지

않다면 비교적 낮은 에너지에서도 이런 현상들이 일어날 수 있다. 문제는 높은 에너지에서만 일어나는 일

들 중에는 낮은 에너지에서 일어났을 때 흥미로운 경우도 있지만 재앙(이론적으로든 현실적으로든)을 몰

고 오는 경우도 있다는 점이다. 블랙홀도 그런 경우 중의 하나라고 할 수 있다.

임경섭(2022####81)6월 22일 오전 10:46

현재 3차원의 공간에 살고 있다고 생각합니다. 직교좌표계에 표시할 수 있는 차원은 3차원에 불과하고 보

다 높은 4, 5차원은 평면위에 공간에 표시하기가 불가능하기 때문입니다. 다만, 이러한 고차원은 머리속에

서는 상상할 수 있기 때문에 교수님의 말씀처럼 n차원에 산다고 생각하게 되면 3차원 이상의 차원을 생각

할 수 있게 되고 생각을 보다 확장하여 n+1차원에 대해 생각해 볼 수 있게 되는것 같습니다.

366

이주한(2022####78)6월 22일 오전 10:50

저희는 4차원 시공간에 살고 있다고 생각합니다. 예를들어 3차원적 사고로 '지하철역에서 만나' 4차원적

사고로는 '지하철역에서 내일 두시에 만나' 로 이야기 할 수 있을 것 같은데, 만나는 시간이 정해지지 않는

다면 두 사람은 같은 공간에 만날 수 없기 때문입니다. (3차원은 공간이며, 4차원은 시공간)

이혜인(2022####79)6월 22일 오전 11:14

실제로 우리가 사는 공간은 n+1 차원으로 이해해야 한다 정도로 고차원공간을 이해하시면 됩니다. ->위

와 같이 고차원공간을 이해하고, 현재 우리는 3차원(x, y, z)에서 시간(t)가 더해진 4차원 공간 속에서 살

고 있다고 생각합니다.

백승준(2022####74)6월 22일 오후 12:38

저는 3차원에 살고 있다고 생각합니다. 수학적으로 3차원 (x,y,z)에 다른 변수를 더하여 표현할 수 있습니

다. 이 때 이 변수를 시간으로 두어 3차원 (공간) + 1(시간) 으로 표현할 수는 있지만, 시간을 우리가 마

음대로 변화시킬 수 없기 때문에 아직은 3차원에 살고 있다고 생각합니다. (차원의 축은 +,-가 있으니,

양방향(과거, 미래)을 오갈 수 있어야 한다고 생각합니다.) 그래서 정확히는 3(공간)+1(시간)차원이라고

표현하는 것이 맞을 것 같고, 교수님이 올려주신 것처럼 더 고차원은 있을 수 있다고 생각합니다.

노영규(2022####70)6월 22일 오후 1:33

우리는 현재 3차원 공간(x,y,z)에 시간의 축을 하나 보태어 4차원에 살고 있다고 생각합니다. 그러나 우리

가 알지 못하는 우주에는 블랙홀도 존재 할 것이라 다른 차원이 있을 수 있다고 생각됩니다.

박준수(2022####73)6월 22일 오후 8:48

저는 4차원에 살고 있다고 생각합니다. 앞뒤,좌우,위아래 이 3개의 축으로 이뤄진 공간+시간 이라는 1개의

축이 더해져 우리는 4차원에 살고 있다고 생각합니다.

김재영(2022####67)6월 22일 오후 9:51

저는 3차원 공간에 살고 있다고 생각합니다만 시간 t가 순간순간 지날 때 마다 우리가 살고 있는 공간 3

차원이 차례로 누적되어 가고 있는 3*무한대 차원이라고 생각합니다.

조현준(2022####83)6월 22일 오후 10:09

저는 4차원 공간에 살고 있다고 생각합니다. (x,y,z) 3차원 공간 외에 교수님이 말씀하신 시간의 차원과

아직은 인간이 인지하지 못하는 다른 차원들이 분명히 존재 할 것이라고 생각하고, 4차원 이상의 고차원에

살고 있을것이라 생각됩니다.

이상구(LEE SANGGU)6월 23일 오후 12:41

정답은 아마 "우리가 n 차원 공간에 산다고 한다면, 시간 축을 포함한 n+1 차원 공간도 분명 존재한다"

정도로 이해하시면 될 듯합니다. 이제 토론 정리하시고 다음 3, 4 주차 내용으로 넘어가지요^^

*************** (SGLee said : 개미에게 아무리 "개미 너는 3차원 공간에 살고 있다"고 말해 주어도 ...

개미는 믿지 않을 것이다. 본인은 2차원 평면에 살고 있다고 철저히 믿는 것이다 ... 땅에서 나무에 기어

오르다 다시 땅에 떨어지더라도 ... 3차원 공간에서 우리가 "나무에 오르다 높은 곳에서 떨어지는 개미를

보고 안타까워 하는데도" ... ... 개미는 여전히 자신이 2차원 평면에 있다고 믿는다. 3차원 공간에서 열심

히 여기 저기 다니는 우리들을 안타깝게 보고있는 고차원 공간에 사는 누구(God?)는 정말 없을까? 우리가

살고 있는 공간이 3차원보다 더 높은 차원일수도 있다!! 물리학자인 아인스타인도 이런 생각을 했고 ... 그

래서 달나라에 갈 수 있는 이론을 생각할 수 있었고 ... 많은 수학자들은 실제 n 차원 공간이 존재한다는

것을 증명하였고, 그 이론에서 보면 우리가 인지하는 공간은 그것의 특수한 경우인 3차원 공간임을 확인해

주었다.) https://m.blog.daum.net/board2011/359 우리가 사는 공간이 3차원 이상일까? 90년 전에도 그런

생각을 가진 사람이 있었다 우리가 살고 있는 공간이 3차원보다 더 높은 차원일수도 있다는 생각은 꽤나

오래 되었다. 아인슈타인의 상대성이론은 시간과 공간을 하나의 좌표로 통일하여 시공간 4차원을 주창했는

데, 여기서는 공간이 여전히 3차원에 머물러 있다. 아인슈타인과 동시대에 살았던 칼루자(Theodor

Kaluza)와 클라인(Oskar Klein)은 시공간이 5차원일 가능성을 제시했었다. 칼루자-클라인 이론에서는 공

간이 3차원이 아니라 4차원이다. 이렇듯 3차원에 부가적으로 덧붙여진 차원을 덧차원(extra dimension, 부

가차원, 초차원, 여분차원)이라고 한다. 칼루자와 클라인이 덧차원을 생각한 이유는 적어도 달걀노른자를

367

빼내는 것보다는 좀 더 고상했다. 그들은 중력과 전자기력을 5차원 이론으로 통합하려고 했었다. 대략

1919년에서 1926년 사이의 일이다. 덧차원의 고민을 새롭게 한 초끈이론, 초끈이론은 세상이 10차원으로

되어 있다고 한다

김현구(2022####69)6월 23일 오후 2:49

3차원 보다 고차원의 공간에 살고 있다고 생각되지만 우리 일상 속에서 3차원으로 많이 설명하고 있기 때

문에 3차원에서 살고 있다고 생각되기 쉽다고 느낍니다. 그렇지만 이러한 이유를 생각해보면 3차원보다 더

고차원의 공간을 구현하기에 어려움이 많기 때문이지만, 멀지 않는 미래에는 이러한 고차원의 공간을 눈으

로 볼 수 있도록 할 수 있을 것 같습니다.

천혜준(2022####84)6월 23일 오후 3:53

저는 4차원공간에 사람들이 존재 하고 있다고 생각합니다. 시각적으로는 3차원 공간(x,y,z)로 보이겠지만,

교수님의 말씀처럼 시간(t)이라는 새로운 축?이 더 있기 때문에 4차원속에 살고 있다고 생각합니다.

손혜원(2022####75)6월 28일 오후 9:46

과거에는 3차원에서부터 내려오는 형태로 차원을 상상했기에 유클리드는 입체의 끝은 면, 면의 끝은 선,

선의 끝은 점이라는 표현을 썼다. 아쉽게도 그리스 철학자 아리스토텔레스 역시 “3차원이 넘는 차원은 없

다”고 말했다. 하지만 프랑스 수학자 쥘 앙리 푸앵카레의 생각은 달랐다. 기존과 반대로 차원을 정의한 그

는 “끝이 0차원인 점이 되는 건 1차원이다”라고 말했다. 그렇다면 끝이 1차원인 선이라면 2차원, 끝이 2차

원 면이라면 3차원이 되는 것이다. 이렇게 올라가면 끝이 3차원 입체가 되는 건 4차원이라는 새로운 차원

이 된다. 계속 이런 방식으로 가면 입체가 차원 꼭대기가 아니라, 더 높은 차원까지 얼마든지 올라갈 수

있게 되는 것이다. 이제 우리 차원을 떠올려보자. 만져보면 입체감이 있고 보기에도 그렇지만, 과연 정말 3

차원일까. 사실 우리는 현실 세계 빛을 통해 눈 안쪽 평평한 망막에 맺히는 2차원 정보를 보고 있을 뿐이

다. 물체의 상은 평면이 되지만, 좌우 안구가 떨어진 만큼 상의 어긋남을 바탕으로 깊이라는 정보가 추가

된다. 즉 우리가 3차원으로 보인다고 믿는 세상은 실제 존재하는 3차원이 아니라 뇌에서 임의로 재구성된

가상의 3차원일 뿐이다. 일단 3차원 세계에 살고 있다 가정하고, 더 고차원일 경우도 알아보자. 만약 3차

원 구가 자기 세계로 2차원 원을 데려가면 과연 원이 그 세계를 이해할 수 있을까. 2차원 존재는 3차원

물체의 단면밖에 볼 수 없기에 알고 있는 단어로 최선을 다해 보이는 것들을 설명한다 해도 제한적일 수밖

에 없다. 그래서 우리도 역시 스스로 설명할 수 있는 차원까지를 우리 세계라고 본다. 물론 여기에 시간

차원이 빠져 있다. 우리가 4차원이라 부르는 시공간은 3차원 공간과 1차원 시간 차원을 더한 결과다. 그런

데 굳이 왜 시간 차원은 1차원일까. 시간 차원이 2차원 이상이라면 과거와 미래가 만나는 경우가 발생한

다. 과거와 미래가 섞여 구분할 수 없게 되면서 당연하게 생각하던 인과관계가 전부 틀어진다. 그래서 시

간은 공간처럼 자유롭게 이동할 수 없으며, 오직 하나의 방향성을 갖고 한쪽으로만 이동할 수 있다. 이게

현재까지 우리 세계 차원을 가장 정확하게 설명하는 내용이다.

(https://weekly.donga.com/3/all/11/3185161/1) 저희가 사는 세상은 공간으로 설명할 수 있는 3차원과 시

간의 1차원을 합한 4차원이라고 생각합니다. 이론적으로는 더 고차원이라 할 수도 있겠지만 설명할 수 없

다면 아직은 완벽히 설명하고 인식하지 못하기에 현재는 4차원이라고 말해야 한다고 생각합니다. 또한, 제

가 첨부한 기사 내용을 본다면 시간이 왜 1차원인가에 대해서도 알 수 있습니다. 시간이 2차원이 된다면

과거가 미래가 만나 섞이기 때문에 저희가 일상 속에서 생각하던 인과관계가 모두 틀어지기 때문입니다.

교수님의 말씀대로 시간 외의 저희가 인식하고 규정하지 못하는 n 차원을 명확히 규정할 수 있게 된다면

된다면, 그때는 4+n차원에 산다고 말할 수 있다고 생각합니다.

수학의 노벨상 Finally we made it!! 상문고 다니다 ... 시인이 되려고 자퇴하고 ... 쉬다가 ... 검정고시 보

고, ...

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 5일 오후 5:23

수학의 노벨상 Finally we made it!! 상문고 다니다... 시인이 되려고 자퇴하고... 쉬다가... 검정고시 보고,

368

...

https://www.chosun.com/economy/science/2022/07/05/N6MUCKOLCFGHLGRGORUY5DFVM4/

Great^^. https://horizon.kias.re.kr/21745/ 에 비교적 구체적인 연구 내용 설명이 있네요^^

(아래는) 호암상 추천서 일부 for 허준이 박사^^

(2년전에는 Fernholz Visiting Professor 2019.09—present Distinguished Visiting Professor, IAS and

Princeton University.

Visiting Professor 방문 교수였는데 ... 이 추천후 스탠포드 교수 되면서 호암상 받고, 호암상 받고 프린

스턴 교수가 되더니 ... 어제 '수학의 노벨상이라고 불리우는 필즈상을 받았네요'^^ )

NOMINATION FOR THE HO-AM PRIZE

AWARD CATEGORY Science SUBCATEGORY : Mathematics

NAME OF CANDIDATE (KOREAN, 한글) : 허준이

(ENGLISH) June Huh

YEAR OF BIRTH 1983

...

호암상 수상: https://www.chosun.com/national/people/2021/04/07/X277MYTG5FHPVH5DX6YYXGA2OU/

https://www.yna.co.kr/view/MYH20220705021600704

[영상] "문제가 안 풀릴땐…" 필즈상 쾌거 허준이 교수의 난제 대처법

07-05 21:25

(서울=연합뉴스) 한국계 수학자인 허준이(39. June Huh) 미국 프린스턴대 교수 겸 한국 고등과학원

(KIAS) 수학부 석학교수가 5일(현지시간) '수학 노벨상' 필즈상의 영예를 안았습니다.

39살 젊은 수학자로서 최고의 영예를 안은 그는 뜻밖에 '포기할 줄도 아는 자세'를 언급했습니다.

369

수학에서 '난제'라고 하는 것들은 오랫동안 풀리지 않은 그럴만한 이유가 있기 때문에 수학할 때 자신에게

'너무 열심히 하지 말자'라고 되뇌곤 한다는 것입니다.

허 교수는 "우리가 인류 전체로서 아직 그런 종류의 현상을 이해할 준비가 안 된 것도 있고, 혹은 내가 개

인 연구자로서 그 문제를 연구하고 이해하기에 준비가 안 된 때도 있다"고 했습니다.

그렇게 준비가 안 됐을 때 '나는 무슨 일이 있어도 이것을 이를 악물고 해서 5년 이내에 풀어내겠어'라고

한다면 공부하는 과정이 굉장히 고통스럽다며 "문제를 하나를 정해두고 집착하면 마음도 힘들고, 마음이

힘들면 발상이 너무 경직된다"고 지적했는데요.

그는 "물론 계속 열심히 안 하는 것은 힘들겠지만, 포기할 때는 놔줄 줄도 알아야 한다"고 조언했습니다.

...

그에겐 예술가의 피가 흐른다. 한국 근대 조각의 거장 권진규(1922~1973)의 조카 손자다.

지난해 그의 할머니 권경숙(권진규 여동생) 여사가 서울시립미술관에 권 화백의 작품을 기증해 화제를

모으기도 했다. ( <--- 이 90세 넘으신 할머님이 어제 경기여고보 동창 (저의 점심 친구인 생물과 선

배님의 어머님)에게 제 에게 전화하여 손자 자랑을 한껏 하신 분입니다^^ )그에겐 예술가의 피가 흐른

다. 한국 근대 조각의 거장 권진규(1922~1973)의 조카 손자다.

지난해 그의 할머니 권경숙(권진규 여동생) 여사가 서울시립미술관에 권 화백의 작품을 기증해 화제를

모으기도 했다. ( <--- 이 90세 넘으신 할머님이 어제 경기여고보 동창 (저의 점심 친구인 생물과 선

배님의 어머님)에게 제 에게 전화하여 손자 자랑을 한껏 하신 분입니다^^ )

https://www.chosun.com/national/weekend/2022/01/01/ASP3UHRZTBD3VC7XN3LGQCIS2A/

어린 시절 집 안 구석구석 권진규의 테라코타 조각상이 있었단다. “밤에 화장실 다녀올 때마다 너무 무서

웠던 기억이 나요. 집안 어른들이 유명 조각가라고 해서 그런 줄로만 알았는데 제가 좀 컸을 때 스스로 목

숨을 끊으셨다는 얘기를 해주셨어요. 막연하게 어른이 되면 사는 게 그만큼 힘들 수도 있구나 생각했죠.”

... **********************

이 친구는 올림피아드 시험 치루고 과학고에 가볼까 하는 생각에 ... 중 3때 선생님에게 .. 저도 준비해

도 될까요? 했더니 ... 선생님이 '너는 지금해도 가망이 없으니 다른 것을 해라' 고 하셔서 ...

상문고 다니다 ... 시인이 되려고 자퇴하고 ... 쉬다가 ... 검정고시 보고, 수능으로 서울대 간신히 입학하

여 ... 1학년 성적도 별로 안 좋아서 천문학 하다가 ... 흥미를 잃어서 ... F 를 줄줄이 달고 ... 6년만에

학부 졸업하고 ... 등 등 ... 사연이 많은 친구인데 ...

고등학교 때 전국의 수학 천재라고 날리던 국제수학올림피아드 금상 수상자

https://www.joongang.co.kr/article/21800117#home 들의 성장에 관심을 두고 있던 ... 우리 올림피아

드 위원들에게 한방 먹이고 ... 유학 가서 부터 재능을 발휘하여 ... 두각을 나타내더니 결국 큰 사고(?)

를 친 ... 재미있는 친구랍니다^^

한국 수학은 이날을 전후로 구분 될 것이랍니다. 축하드립니다!!

370

[final comment] 해당 기사자료를 통해 내가 무엇을 원하고 하고 싶은지에 대해서 정말 명확하게 알아야

한다고 생각합니다. 허준이교수님은 자신의 상황을 잘 받아들여야 그 후에 일도 잘 풀어낼 수 있을 것이라

고 말씀하시는 것 같고 지금 하는 일이 잘 되지 않아도 자신이 잘 하는 것을 파악하고 자신을 되돌아 보아

야하는 것이 중요하다고 생각을 하였습니다. 무엇을 하든 도전하는 자세와 포기하는 자세를 지니고 있어야

할 것 같습니다.

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[News] 필즈상 특집 “선다식 문제 빨리 풀기 강요한 중·고 수학교육은 수포자 양산”

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 11일 오후 1:07

[News] 필즈상 특집 “선다식 문제 빨리 풀기 강요한 중·고 수학교육은 수포자 양산”

[이영완이 만난 사람] 한국에서 첫 세계수학자대회 유치했던 박형주 아주대 수학과 석좌교수

https://www.chosun.com/economy/science/2022/07/11/ND4VIJY2BZEQPFAOYICPXK5Q5E/

-하지만 한국 중·고교 수학교육은 수학포기자(수포자)만 양산하고 있다.

“허준이 교수는 고교에서 시간을 갖고 시행착오를 통해 문제를 해결하는 데는 누구보다 재능을 보였지

만, 정해진 시간에 많은 문제를 빨리 푸는 것은 영 시원찮았다고 했다. 이런 학생에게 입시를 위해 1시간

에 문항 20개를 실수 없이 풀라고 끊임없이 연습시키면 끔찍할 수밖에 없다.”

-보통 학생과 영재 모두에게 좋은 수학교육은 무엇일까.

“국가교육과정개정추진위원장을 맡고 있어 지금도 고민을 많이 하고 있다. 많은 문제를 선다형으로 푸는

방식도 일반 학생들에게 반복 학습을 통해 자신감을 줄 수 있지만, 창의성 있는 학생일수록 반복을 싫어한

다. 그런 학생에게는 문제 수를 3분의 1로 줄이고 대신 난이도 높은 서술형으로 주면 된다. 두 가지 방식

을 병용하자는 것이다.”

-그래도 누구나 수학은 일단 멀리한다.

“문제 수를 줄이면 학생들이 반복 학습을 좀 덜 해도 된다. 그렇게 하지 못하는 것은 교사들이 변별력을

높이려고 어려운 문제 몇 개를 많은 문제에 섞어 내기 때문이다. 이러니 아이들이 지긋지긋해할 수밖에 없

다. 이게 수포자 원인의 90%가 된다. 나는 수학은 몇 점 이상 되면 다 만점 받아도 된다고 생각한다.”

“우리는 충분히 시간을 갖고 새로운 Open 문제를 생각하고 풀어봐서 공유하고 ... 우리 강좌의 Goal에

도착한 학생들은 모두 만점을 받아도 된다고 생각합니다.” by SGLee

필즈상 수상자도 수학경시대회 예선 탈락... 여러분도 가능합니다^^

https://www.hankookilbo.com/News/Read/A2022070717090003129

한국 수학자들에게 '일대 사건'이 일어났습니다. 지난 5일 허준이 미 프린스턴대 교수(고등과학원 석학교수)

가 2022년 필즈상을 받은 거죠. 4년에 한 번 2~4명에게 수여하는 수학 분야 최고의 상으로 만 40세 미만 수

학자만 수상한다는 점에서, '노벨상보다 받기 어려운 상'으로 알려졌습니다. 앞서 올해 2월 국제수학연맹

(IMU)은 우리나라 수학의 국가 등급을 최고 등급인 5그룹으로 승격했죠. IMU는 회원국을 1그룹부터 5그룹까

지 5단계 등급으로 구분해 총회 때 등급과 같은 수의 투표권을 부여하는데, 5그룹 국가는 미국, 프랑스, 독

일, 일본 등 12개국에 불과합니다. 허 교수의 탁월한 성과를 감안해도, 한국 수학계가 지난 30년간 괄목할

만한 성장세를 보였다는 점을 고려해도 "테니스 라켓을 열여덟에 잡았는데 스물에 윔블던 대회에서 우승한

371

것"(미 수학·과학 전문매체 콴타매거진)이란 비유가 나오는 배경입니다.

한국 수학자들에게 '일대 사건'이 일어났습니다. 지난 5일 허준이 미 프린스턴대 교수(고등과학원 석학교수)

가 2022년 필즈상을 받은 거죠. 4년에 한 번 2~4명에게 수여하는 수학 분야 최고의 상으로 만 40세 미만 수

학자만 수상한다는 점에서, '노벨상보다 받기 어려운 상'으로 알려졌습니다. 앞서 올해 2월 국제수학연맹

(IMU)은 우리나라 수학의 국가 등급을 최고 등급인 5그룹으로 승격했죠. IMU는 회원국을 1그룹부터 5그룹까

지 5단계 등급으로 구분해 총회 때 등급과 같은 수의 투표권을 부여하는데, 5그룹 국가는 미국, 프랑스, 독

일, 일본 등 12개국에 불과합니다. 허 교수의 탁월한 성과를 감안해도, 한국 수학계가 지난 30년간 괄목할

만한 성장세를 보였다는 점을 고려해도 "테니스 라켓을 열여덟에 잡았는데 스물에 윔블던 대회에서 우승한

것"(미 수학·과학 전문매체 콴타매거진)이란 비유가 나오는 배경입니다.

한데 '수학도 선진국 반열'에 올라선 나라에서 학생 10명 중 1명은 왜 수포자(수학포기자)가 됐을까요. 수학

영재들은 수학보다 의학을 전공하고 싶어 할까요. 제2의 '허준이'가 나오려면 어떻게 지원해야 할까요.

필즈상 수상자 발표 당일 허 교수는 '학창시절 수포자'로 소개됐죠. 허 교수는 시상식 다음 날 한국 기자들

을 대상으로 한 온라인 기자간담회에서 "초등학생 때 구구단 외우는 걸 힘들어했다는 얘기가 수포자로 와전

됐다"고 정정했는데, 현행 입시제도가 수학 영재를 키워내기 어렵다는 공감대가 반영된 '오보' 같습니다. 한

데 허 교수, 이 자리에서 "학창 시절 이런저런 이유로 수학에 정을 못 붙였다"고 덧붙여 여운을 남겼죠.

해당 간담회를 준비한 대한수학회는 올해 초 대한수학교육학회, 한국수학교육학회와 함께 '2022 수학과 교육

과정 개정의 핵심 쟁점과 우려'라는 포럼을 개최했었습니다. 사교육 감소를 목표로 공교육에서 수학교육 범

위, 시간을 지속적으로 줄였지만, 사교육은 줄지 않고 오히려 "이공계 학생들의 대학수학능력 저하가 매우

우려된다"는 게 포럼을 개최한 이유입니다.

실제 최근 5년 동안의 '국가수준 학업성취도 평가' 결과를 보면 수학 기초학력 미달인 '1수준' 학생 비율의

경우 중3은 7.1%(2016년)에서 11.6%(2021년)로, 고2는 9.9%에서 14.2%로 늘었습니다. 같은 기간 보통학력인

'3수준' 학생 비율은 중3 67.6%에서 55.6%로, 고2 75.1%에서 63.1%로 줄었죠. 수학 기초학력은 떨어지고,

중위권은 줄었다는 뜻입니다. 국내 초중등 교육이 '줄 세우기'식 입시에 갇혀있다 보니 ‘공부 양’이 줄어

도 수포자 양산은 피할 수 없다는 거죠.

한 입시업계 관계자가 반박하더군요. "필즈상을 받는 것과 같은 '어나더 레벨(another level‧차원이 다른)'

수학자는 입시제도에 상관없이 두각을 나타낼 거"라고요.

하지만 고등학교를 자퇴한 허 교수에게 1년간 입시수학을 가르쳤다는 김철민 울산과학기술원(UNIST) 교수는

최근 연합뉴스와의 인터뷰에서 허 교수를 이렇게 기억했습니다. "(학생이 수학을) 잘한다고 말하려면 정답을

잘 맞히고 주어진 시간 내에 많이 푸는 것이 기준일 텐데 그 기준에 비춰서 (허 교수는) 인상적이지 않았다.

솔직한 마음으로 서울대에 합격했다는 소식을 들었을 때 운이 좋았다고 생각하기도 했다." 허 교수가 10대

372

시절 체스를 통해 익혔다는 '수학적 사고'는 국내 입시제도의 핵심 변별력인 '문제풀이 기술'과 거리가 있다

는 말입니다.

허 교수도 고교생이던 1999년 한국수학교육학회에서 주관한 '한국수학경시대회'에 응시한 것으로 알려졌습니

다. 하지만 국내 입시체제에서는 허 교수의 가능성을 알아보기 어려웠습니다. 대회 관계자는 본보에 "당시

허준이 학생이 받은 점수는 100점 만점에 58점"이라며 "상위 10%에 들어가면 본선에 진출하는데, 허준이 학

생은 못 들었다"고 말했습니다.

허 교수의 학부 은사였던 김영훈 서울대 수리과학부 교수도 필즈상 수상 간담회에서 "(영재들이) 재능을 좀

더 빨리 발견할 수 있고, 그런 것들이 어린 나이부터 육성할 수 있는 교육 시스템이 갖춰지면 허준이 교수가

4년 전, 8년 전에 필즈상을 받을 수 있었던 게 아닌가"하고 교육제도의 아쉬움을 지적하기도 했습니다.

배우 김지석의 형으로 일반에 더 잘 알려진 김반석씨는 반대의 경우죠. 학창시절 각종 수학 올림피아드를 석

권했던 그는 수학자를 꿈꾸며 영국 옥스퍼드대 수학과에 입학했는데, 현재 금융투자 전문가로 활동하고 있습

니다. 김씨는 수학자가 되길 포기한 이유에 대해 "성적 좋고 문제 푸는 건 잘하는데 사고의 확장이 미숙해서

"라고 말했죠.

이와 관련 김씨가 2015년 tvN '문제적 남자'에 출연해 남긴 말이 아직도 회자가 되고 있습니다. 김씨는 옥스

퍼드 입학 전 "케임브리지 대학에도 지원해 입학시험에서 1등을 했는데, 떨어졌다"고 밝혔습니다. 시험은 3

시간 동안 10문제 중 원하는 하나를 선택해 풀고 토론하는 것이었는데 김씨는 그중 4문제를 풀고 3문제 정도

를 반씩 풀었죠. 김씨는 "(탈락) 이유를 물었는데 그때 선생님이 '당신은 우리가 찾는 종류의 천재가 아니다

'라고 하더라. 옥스퍼드 수학과에 입학한 후 그 말의 의미를 알았다. 주입식 교육의 선두주자인 제 수학은

어디까지나 문제풀이 위주였고 한계를 느꼈다"고 고백했습니다.

이 모든 난관을 뚫고 한국에서 수학자가 되기로 결심해도, 연구에 전념하기 어렵다는 지적도 나옵니다. 수학

은 대학 이외에는 연구할 수 있는 여건이 부족한데, 국내 대학은 취업률을 잣대로 수학과를 줄이고 있어 일

자리 구하기부터 어렵다는 말이죠. 실제 국내 대학의 수학 관련 학과는 십수년간 크게 줄었습니다. 과기연은

같은 보고서에서 2000년부터 2015년까지 국내 수학 관련 학과 수가 271개에서 218개로 줄었다고 지적합니다.

대학의 비정년트랙이 늘어나는 것도 한계로 꼽힙니다. 일자리를 구해도 불안정하고, 그나마 강의와 행정 관

리에 시달려야 해 연구에 전념하기 쉽지 않다는 지적이죠.

국내 많은 수학자들은, 허 교수가 30대에 업적을 낸 비결 중 하나로 미국 클레이 수학연구소의 지원을 꼽습

니다. 클레이 연구소는 전 세계 수학 분야 박사 중 매해 두 명을 뽑아 강의 없이, 연구에만 집중하도록 지원

하는데 2014년 허 교수를 지원자로 선정해 2019년까지 5년간 지원했습니다. 허 교수 역시 ‘제2의 허준이가

나오기 위한 방안’을 묻는 질문에 "젊은 과학자들에게 단기적인 목표를 추구하지 않고 마음 편하게 자유롭

게 즐거움을 쫓으면서 장기적인 큰 프로젝트를 추진할 수 있을 만한 여유롭고 안정감 있는 연구 환경이 제공

됐으면 좋겠다"고 제안했습니다.

이윤주 기자 misslee@hankookilbo.com

우리 강좌 운영과 평가 방법이 박형주 교수가 생각하는 방향과 일치 한다고 생각하지 않나요?

[final comment] 수학이 왜 이렇게 어려운 학문이 되었던 걸까? 라는 생각을 해보면 학창시절 어려운 문

제들만 바라보고 개념들을 정확하게 이해하지 못하지만 문제만 푸는 형식의 교육이 이루어졌다고 생각합

니다. 개념을 정확하게 바라보며 그 문제를 고민해보는 시간이 당연하게 있어야 했지만 교육과정에서는 수

학문제를 많이 주고 빠르게 푸는 것만이 인정받는 사회가 되었기에 더욱 어렵게 느껴졌다고 생각합니다.

수학을 알아가는 것 보다는 문제풀이에 더욱 신경을 쓰고 편차를 내기 위한 문제들은 더욱 수학이 어렵기

만 하고 머리가 좋은 사람들만 한다는 인식이 생겼다고 생각하며 쉬운 문제라도 개념들을 정확하게 알 수

있으며 더욱 큰 그림을 그려봐야 할 텐데 그러지 못하는 점에 있어서 조금 안타깝다고 생각합니다. 현재

373

이상구교수님의 수업방식으로 우리가 수학을 쉽게 다가갈 수 있다면 수포자라는 말이 안나올 것이라 생각

하며 수학을 쉽게 다가갈 수 있는 기회가 될 수 있다고 생각합니다.

[ 라그랑주의 승수법 (Method of Lagrange Mulitpliers) ] 보충 설명입니다^^ <-- 더 쉽게 이해되시

나요?

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 14일 오전 11:08

라그랑주의 승수법 (Method of Lagrange Mulitpliers) [ 라그랑주 multiplier (승수법) ] 보충 설명입니

다^^ <-- 더 쉽게 이해되시나요?

374

g(x)=6*(x-2)*(x+3)+2*x-17

show(plot(g(x),(x,-8,8)))

이상구(LEE SANGGU)7월 14일 오후 12:24

Nice try^^ 이렇게 그래프를 그릴 수 있으면, 모든 다항식의 실근을 모두 찾을 수 있으며, 그럼 1. 직사

각행렬 A 에 대하여 B = A^T A 는 항상 대칭행렬 이고, 2. 대칭행렬은 항상 실수인 고윳값들만 갖고,

3. 이 방법만 알아도 행렬 B 의 모든 실수 고윳값은 이 방법으로 그래프를 그려서 확대하거나, 그 과정을

코딩하여 (모든 고윳값, 그러니까 A 의 모든 singular values 를 구할 수 있습니다. 4. 이것이 SVD 의 시

작 점이 됩니다.

375

박소현(2019####77)7월 14일 오후 12:29

네. 이해했습니다. 감사합니다!

닮음과 행렬의 대각화

http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/LA-Sec-8-2-lab.html

특잇값 분해 (Singular Value Decomposition, SVD)

http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/SVD.html

이상구(LEE SANGGU)7월 18일 오후 4:24

[공지] 6장과 7장 문제 풀이 모든 학생이 다음 수업전에 한 두 문제 씩 풀고, 다른 학생의 문제 풀이에 코

멘트 보태시고 수요일 오전 9시 온라인 토론 수업에서 충분히 토론 하십시다. 여러분을 위하여 만든 새 교

재가 우수하므로 ... 쭉 읽으시면 ... 유사한 문제 해결하는데 ... 별 어려움이 없을 것입니다. 6 . 직사각

형 위에서의 이중 적분 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/ 7. 극

좌표에서의 이중 적분 삼중 적분 http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/ 8. 원기둥 좌표에서의 삼중 적

분 구면 좌표에서의 삼중 적분 http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/

전형준(2022####82)7월 19일 오전 11:56

교수님이 올려주신 자료를 통해 개인적으로 정리해보았습니다. 라그랑주 승수법은 n변수함수로 주어진 목

적함수 z=f(x,y,z,.....)에 대하여 제약조건인 g(x1,y1,z1,....)=c 가 주어진 제약조건 안에서 함수의 최댓값

이나 최솟값인 극점을 찾는 방법입니다. ( 제약조건이 있는 문제를 함수의 극값문제로 변환) 이렇게 라그

랑주 함수로 만들어놓고 함수에 대한 극값을 찾는 방법은 임계점을 찾고 고유값을 알면 쉽게 해결이 됩니

다. 결국, 임계점과 고유값을 찾으면 라그랑주 함수를 풀 수 있고 여기서 나오면 고유값 중 가장 큰 값이

최댓값이 되고 가장 작은 값이 최솟값이 됩니다. 학습을 더욱 해보고 내용 첨가, 수정 하도록 하겠습니다.

이상구(LEE SANGGU)7월 20일 오전 2:17

Optional 이니까 ... 이 내용은 위와같이... 큰 그림을 이해 했으면 충분합니다. 보통 대학원에서 배우는 내

용 을 여러분이 읽어서 이해 되도록 쉽게 써 준 것 이랍니다. 코딩으로는 쉽게 구할 수 있는데 ... 이유를

아는 사람은 많지 않아서 ... 우리 학생들은 차별화 될것 이랍니다.

등록

376

7장. 극좌표계에서의 이중적분 에서 소개되는 자코비안(Jacobian) 행렬의 기하학적 의미

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 18일 오후 12:33

7장. 극좌표계에서의 이중적분 에서 소개되는 자코비안(Jacobian) 행렬의 기하학적 의미

7장. 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/

에서 소개되는

자코비안(Jacobian) 행렬의 기하학적 의미

https://angeloyeo.github.io/2020/07/24/Jacobian.html

Jacobian 행렬의 유도

이젠 자코비안 행렬이 비선형 변환을 국소적으로 선형변환으로 근사한 것이라는 사실을 알았으니 직접 자

코비안 행렬을 유도해보도록 하자.

아래의 그림과 같이 비선형 변환의 결과를 선형 변환과 유사하게 근사시켰을 때 $(u,v)$ 좌표계에서 $(x,y)$

좌표계로 변하는 경우로 볼 수 있다고 상정해보자.

그림 3. 비선형 변환 전, 후의 미소 변위 간의 관계

그러면 어떤 선형변환 $J$에 의해서 $du$와 $dv$는 $dx$와 $dy$로 변환된다고 볼 수 있다.

수식으로 나타내면 다음과 같다.

\[\begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = J \begin{bmatrix}du \\ dv\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a &

b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix}\]

위 수식을 풀어서 쓰면 다음과 같은데,

\[dx = a\times du + b\times dv\] \[dy = c \times du + d \times dv\]

위 두 수식은 chain rule을 통해 얻은 식 (3)을 통해 생각하면 국소적 비선형 변환의 전 후의 관계식을 얻

을 수 있으므로, 자코비안 행렬은 다음과 같이 생각할 수 있다.

\[J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} &

\frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix}\]

Jacobian 행렬의 행렬식

377

행렬식의 기하학적 의미편에서는 행렬식은 선형변환 할 때 단위 면적이 얼마만큼 늘어나는가를 나타낸다

고 언급하였다.

아래의 그림 4에서 볼 수 있듯이 선형 변환 전의 사각형의 넓이가 1이었다면 선형 변환 후에는 행렬식 값

만큼의 넓이인 $ad-bc$로 사각형이 변형된다.

그림 4. 행렬식의 기하학적 의미. 행렬식은 선형 변환 할 때 단위 면적이 얼마만큼 늘어나는가를 말해준다.

따라서, Jacobian의 행렬의 행렬식의 의미는 원래 좌표계에서 변환된 좌표계로 변환될 때의 넓이의 변화

비율을 말해준다.

아래의 그림 5에서 $(u, v)$ 좌표계에서 $(x, y)$ 좌표계로 변환 될 때, $dx\times dy$와 $du\times dv$의

관계는 다음과 같다.

\[dx\times dy = |J| (du\times dv)\]

여기서 $|J|$는 Jacobian 행렬의 행렬식을 의미한다.

(여기서 $\times$ 기호는 단순 곱셈 기호이지 외적 기호가 아니다.)

그림 5. 행렬식의 기하학적 의미. 행렬식은 선형 변환 할 때 단위 면적이 얼마만큼 늘어나는가를 말해준다.

Jacobian 행렬식 사용 예시

이번에는 자코비안을 이용해서 원의 넓이를 구해보는 예시를 수행해보도록 하자.

원의 넓이를 구하는 방법은 여러가지가 있을 수 있지만 $r, \theta$ 좌표계에서 원의 넓이를 구하는 방법을

이용하는 것도 한 가지 방법이다.

그렇다면 Jacobian을 이용해서 $r, \theta$ 좌표계에서 원의 넓이를 구한다는 것은 무슨 의미일까?

378

그것은, 가로축이 $r$이고 세로축이 $\theta$인 좌표계에서 무엇인가를 계산한 뒤(여기서는 해당 $r, \theta$

좌표계에서의 넓이) 가로축이 $x$, 세로축이 $y$인 좌표계로 변환을 시켜주겠다는 의미이며,

여기서 Jacobian 행렬식의 역할은 좌표계 간의 변환 시 필요한 넓이의 보정값이라고 할 수 있다.

이를 이해하기 위해 아래의 두 애니메이션을 관찰해보자.

위 애니메이션의 첫 장면에서는 $r, \theta$ 좌표게에 있던 점들을 볼 수 있는데, 애니메이션의 후반부에서

는 이 점들이 $x, y$ 좌표게로 옮겨지는 것을 알 수 있다.

이 과정에서 왼쪽 애니메이션의 경우에는 결과 부분에서 원의 넓이가 듬성 듬성하게 보이지만, 오른쪽 애

니메이션의 경우 원의 넓이가 어느정도는 꽉 차 보이는 것을 알 수 있다.

이 때, 적절히 꽉 채워줄 만큼의 넓이 보정값이 Jacobian의 행렬식 값이 되는 것이다.

$r, \theta$ 좌표게에서 $x,y$ 좌표계로의 변환 공식은 아래와 같다.

\[\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r\cos(\theta) \\ r\sin(\theta)\end{bmatrix}\]

이 공식에서 Jacobian 행렬을 계산하면,

\[J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial

r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}\] \[= \begin{bmatrix}\cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\

\sin(\theta) & r\cos(\theta)\end{bmatrix}\]

이며, Jacobian의 행렬식 값을 계산하면 다음과 같다.

\[|J| = r\cos^2(\theta) + r\sin^2(\theta) = r\]

이제 이 Jacobian의 행렬식 값을 이용해 $r,\theta$ 좌표계에서 반지름이 3인 원의 넓이를 계산해보자.

\[\int_{r=0}^{r=3}\int_{\theta = 0}^{\theta = 2\pi}dxdy\] \[=\int_{r=0}^{r=3}\int_{\theta = 0}^{\theta =

2\pi}|J|drd\theta\] \[=\int_{r=0}^{r=3}\int_{\theta = 0}^{\theta = 2\pi}r drd\theta\]

\[=\int_{r=0}^{r=3}r\theta|_{\theta = 0}^{\theta = 2\pi}dr\] \[=2\pi \frac{1}{2}r^2|_{r=0}^{r=3}\] \[=2\pi\cdot

\frac{1}{2}3^2 = 3^2\pi\]

그림 6. $r, \theta$ 좌표계에서 $x, y$ 좌표계로의 선형 변환

출처: 8일간의 선형대수학, 경문사, 박부성 지음

https://angeloyeo.github.io/2020/07/24/Jacobian.html

이주한(2022####78)7월 19일 오후 1:59

379

자코비안의 활용에 대한 예시를 하나 찾아보았습니다. 자코비안은 인간과 같이 역동적으로 움직이는(비선

형) 로봇들이 인간과의 좌표계를 이어주는 가교와 같은 역할을 한다고 생각합니다. 로봇은 x, y, z라는 명

령어로 비선형적인 움직임을 표현하기에는 많은 어려움이 있습니다. 때문에 직교좌표계를 극좌표계로 변환

하여 움직이게 됩니다. ( 직교 좌표는 어느위치로 몇도정도 각도를 올려야하는지? 직관적으로 확인하기 어

려움) Q) 7주차에 배웠던 내용중 극좌표로 변환하여 적분하는 것 또한 자코비안이라고 생각하면 될까요?

자코비안이란 행렬에 국한된 내용인가요?

http://t-robotics.blogspot.com/2013/12/jacobian.html#.YtY3tXZByUk

이상구(LEE SANGGU)7월 20일 오전 3:25

A) 7주차에 배웠던 내용 중 극좌표로 변환할 때, r 을 곱한것이 기억 나지요, 이 r 이 바로 자코비안 입니

나.

[final comment] [W7 HW2] 전형준 왜 dxdy = rdrdθ 일까? <--- 중적분의 변수변환에서는 야코

비안(Jacobian)을 이용합니다. http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/ 의 * (8.3절 ) 입니다.

안녕하세요 소재부품융합공학과 전형준입니다.

7주차에서 나온 내용들로 좌표계의 변환에서 왜 dxdy > rdrdθ로 변환되는지 학습하고 내용을 공유합니다.

왜 dxdy = rdrdθ 일까?

이중적분이나 삼중적분을 하기 위해서 좌표계를 변환하는 일이 생깁니다.

여기서 왜 dxdy라는 면을 극좌표로 변환하게 되면 rdrdθ라는 식을 바뀌는지에 대해서 확인해보았습니다.

380

좌표평면에서 원점에서 한 점까지 거리를 r, x축과의 이루는 각도가 θ 인 점 P를 잡아봅니다.

x축과 이루는 각도를 dθ 를 증가시킨 P`를 잡고

점 P에서 dr만큼 이동한 점 A, P`에서 dr만큼 이동한 점을 B라고 하면 부채꼴의 모양이 생깁니다.

여기서, 호의 길이를 구해보면 안쪽 호의 길이는 rdθ가 되고 바깥호의 길이는 (r+dr)dθ가 됩니다.

그리고 부채꼴의 옆선의 길이는 dr입니다.

여기서 dr과 dθ는 무한히 0에 가깝게 가기에 안쪽 호의 길이와 바깥 호의 길이가 같아지게 됩니다.

그러면 부채꼴의 모양을 직사각형으로 보아도 무안하고 직사각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

그러면 세로 dr, 가로 drθ 인 사각형을 구할 수 있고 면적은 drdrθ가 됩니다.

따라, 직교좌표에서 표현된 dA = dxdy 이므로, 극좌표로 표현되기 위해서 dA는 rdrdθ로 대응할 수 있습

니다.

직관적으로 교재의 그림을 보면 확인할 수 있으나 한 번 정리하면서 개념을 잡아보았습니다.

381

News. 2022년 7월9일 토요일 아침 10시에 열린 수업 제목은 ‘다변수 미분법의 직관적 이해’였다.

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 19일 오후 7:54

2022년 7월9일 토요일 아침 10시에 열린 수업

제목은 ‘다변수 미분법의 직관적 이해’였다. ...

https://h21.hani.co.kr/arti/culture/culture_general/52306.html

. . .'직장인 문과생을 위한 수학, 직문수?’ 수업은 수학 문제를 내는 대신 기본 개념을 설명하며 궁금한 점

과 불편한 느낌을 묻고 답하며 2시간 넘게 진행된다.

수업은 근대 수학의 출발점인 집합론부터 대수학, 선형대수, 미적분학, 미분기하학, 복소해석학, 통계학이

유기적으로 얽히고설킨 큰 그림을 16주간 초심자 입장에서 볼 수 있게끔 만들어졌다.

“초등학생이나 수학에 대해 모든 것을 잊어버린 어르신도 들을 수 있는 수업을 지향한다. 수학과 전공생들

이 배우는 20세기 초 수학까지 따라갈 수 있게 수업이 설계돼 있다.” 조건희 교수의 설명이다.

“구성원 중에 어느 한 명이 굉장히 뛰어나서가 아니라 완전히 똑같은 얘기를 그냥 서로에게 들려줬다가 되돌

려받는 과정을 반복하다보면 굉장히 신비하게도 원래는 없는 정보량이 굉장히 불어나 어느 순간에 새로운 정

보로 문제를 해결할 수 있게 되는 경우가 많습니다.”

-필즈상 수상자 허준이 교수의 언론 및 유튜브 인터뷰(이하 동일)

2022년 7월9일 토요일 아침 10시에 열린 수업 제목은 ‘다변수 미분법의 직관적 이해’였다. “좋은 아침입니

다~.” 수강생 30여 명이 채팅방에서 서로 안부를 물었다. 연령대는 초등학생부터 60대까지 다양했다. 특별한

수학적 배경이 없는 사람이 많았다. 마음에 맞는 수강생들은 따로 모임을 꾸려 수학을 공부한다. 수업을 듣

는 이들은 협업 플랫폼 슬랙(Slack)에 어느 때나 토론할 거리를 올린다.

수업이 있는 이날은 허준이 한국 고등과학원 석학교수가 한국계 최초로 ‘수학 노벨상’인 필즈상을 받은 지 나

흘이 지난 시점이었다. 자연스레 허 교수의 수상 소식과 관련한 이야기가 나왔다.

“학생들이 1학기 기말고사 첫 시험을 봤다. 누구는 시험을 잘 보고 누구는 못 보고 그렇게 수학의 즐거움

이 사라진다. 현장에서는 주입식으로 문제를 반복적으로 학습해야 한다. 괴로움이 있다. 다행히 ... ~~~

손혜원(2022####75)8월 9일 오후 11:33

저희도 수학적 배경이 없는 상태에서 학업을 시작하였는데 벌써 미적분학2까지 학습하였습니다. 이제 수학

에 관심 있는 사람이라면 누구나 수학을 할 수 있다는 것을 알게 되었습니다.

[final comment] 수학이라는 과목이 사람들에게 어렵게 다가가는 것이 정말 안타까운 사실인 것 같습니다.

수학이라는 학문을 조금 더 호기심을 가질 수 있게 만들어주고 문제를 풀면서 흥미를 느낄 수 있어야 하는

데 더욱 그러한 과정이 없어진 것 같고 마라톤을 한다고 하면 도착지는 엄청 멀지만 그 사이에서 배우는

것들이 정말 많을 것입니다. 수학과 같이 생각해보면 답은 정해져 있지만 그 사이에 들어가는 개념들이나

풀이과정 같은 배울 수 있는 것들이 많을 것이지만 우리 사회는 답만 원하는 것이 되었기에 잠시 지나가는

과정에 대해서 중요성을 못 느낀다고 판단합니다. 수학에 대한 흥미를 이끌어주기 위해서 수학에 관련된

역사, 기사, 실생활의 응용 등 많은 자료들을 올려주었기에 더욱 수학을 다가갈 수 있는 기회가 되었던 것

같습니다.

등록

382

수학을 잘하려면 언어 능력이 좋아야 한다?

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 23일 오전 6:47

수학을 잘하려면 언어 능력이 좋아야 한다고 설명했는데...

https://www.chosun.com/national/weekend/2022/07/23/DEZSB7SGBFASHBX2BJBVGNFT5A/

...

“수학을 외우는 게 아니라 시각화해야 한다는 것이다. 곱셈은 직사각형을 만드는 게 중요하다. 3×9의 경우

사과 9개가 나란히 3줄씩 있는 사각형 형태를 떠올려야 한다. ...

“허준이 교수가 대표적 사례다. 허준이 교수가 고등학교 때 잠시 시(詩)를 쓰겠다며 수학 공부를 중단한

적이 있다.

수학은 만물의 이치를 숫자와 기호만으로 간결하게 표현하다 보니 추상화가 많이 이뤄진다. 언어에 있어서

가장 추상화된 게 바로 시다. 시를 잘 쓰는 사람은 머릿속에 이미지가 풍부하게 떠오르는 사람이다. 그걸

압축해 정제된 단어로 뱉어내는 거다.

수학과 시 모두 ‘추상화’라는 능력이 요구되는 셈이다. 허준이 교수가 시를 쓰려고 한 것도 학교 수학교

육으론 그런 추상화가 잘 안 되니 시를 통해 그 욕구를 풀려고 한 것이다.”

<--- 다는 아니지만 ... 일부는 맞는 말 이네요.

이주한(2022####78)7월 25일 오전 8:34

수학에서의 추상화란 수식에 대해 하나하나 의 생각하고 식 전체의 의미를 찾아간다는 것이라고 생각합니

다. 중, 고등학교때 공식을 달달 외워서 문제를 푸는 것 또한 구구단을 외우는 것과 동일한 메커니즘으로

배웠던 것 같습니다..^^

노영규(2022####70)7월 27일 오전 9:06

[수학을 외우는 게 아니라 시각화해야 한다는 것이다.] [이 식이 무엇을 물어보는지, 어떻게 접근해야 하

는지를 우선 생각할 줄 알아야 한다. ] 이 부분에서 sage가 정말 파워풀한것같습니다 주어진 식을 손쉽게

시각화 할수있어서 어떻게 접근해야될지 우선 생각을 할 수 있기에 sage가 큰 도움이 됩니다.

박준수(2022####73)7월 27일 오전 9:19

[수학을 외우는 게 아니라 시각화해야 한다는 것이다.] - 이전까지의 공부방법은 무조건 외우는것이었습

니다. 그렇게 하다보니 시간이 지나면 잊혀지고 기억이 나지 않습니다. 지금이라도 외우는것이 아닌 시각

화를 통해 접근해야함을 알 수 있게 해주셔서 감사합니다.

전형준(2022####82)7월 29일 오후 12:07

수학을 어렵게만 생각하면 끝도 없이 어려울 것이라 생각합니다. 수학을 기본적인 개념들의 이해와 어떻게

풀어나갈지에 대한 생각들을 더욱 해보고 다양한 방법으로 접근해보는 것이 중요한 것이라 생각합니다. 그

중에서는 시각적인 이미지도 포함되면서 직관적으로 그래프를 이해하고 도형을 이해하면 쉽게 다가갈 수

있는 것처럼 해당 문제에 있어서 다가가기 위해서는 다양한 방법이 필요합니다. 지금 배우는 것도 그렇다

고 생각하며 어려운 내용일수록 시각화하거나 다양한 방법으로 다가간다면 쉽게 이해를 할 수 있을 것입니

다.

등록

383

스위스 쮜리히 교육대학교 부총장/교원교육개혁위원회 위원 Hans-Jürg Keller 교수님이 내일 오전 10시에

우리 연구실에 인터뷰하러 온다고 하네요^^ 몇년전에는 삼성전자 주니어 코딩교육에 단체로 스위스 에

서 교수들이 연수 왔었다고 합니다.

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 7월 27일 오전 11:15

스위스 쮜리히 교육대학교 부총장 Hans-Jürg Keller 교수님이 내일 오전 10시에 우리 연구실에 인터

뷰하러 온다고 하네요^^

<--- 우리 수업과 교수학습방법 밑 전자교과서 등에 관심이 있나봅니다.

가 내일 오전 10시 성대에 나를 만나서 아래 내용에 대하여 Math & Coding 교육과 평가방법 및 우리의

디지탈 교과서에 대하여 인터뷰를 한다고 하네요^^

몇년전에는 삼성전자 주니어 코딩교육에 단체로 스위스 에서 교수들이 연수 왔었다고 합니다.

*********************

...

우리가 하고 있는 ... 우리나라

1. 수학 디지털 교과서와 Math & Coding 교육

2. 디지털 교육에서의 합리적인 평가 시스템

3. 인공지능과 수학, 인공지능에 필요한 수학의 교안, 교수법

등에 대하여 알고 싶으신 것 것 같습니다.

3. 초등학교 학생을 대상으로 한 디지털 교과서는 현재 과학과 및 사회과를 중심으로 실험학교 등을 운영

하고 있습니다.

4. 중등학교와 대학교 수학 디지털교과서나 온라인 실습사이트는?

5. 캘러 교수님(켈러 교수님 방문은 7월 26일~30일)께서 한국 이전에 미국에서 조사하고 돌아오셨는데

한국에서도 뜻깊은 만남이 되셨으면 합니다. 정말 감사드립니다.

...

저도 회장님 뵌지가 오래 되어 겸사겸사 같이 찾아뵈려고 합니다.

감사합니다.

한국수학교육학회 회장 박만구 올림 (서울교대)

..“스스로 학습하는 교사 키워야”

한스유르그 켈러 스위스 취리히교육대 교수

https://www.hangyo.com/news/article.html?no=43761

삼성전자 주니어소프트웨어아카데미(이하 '주소아')

https://news.samsung.com/kr/%EB%8C%80%ED%95%99%EC%83%9D-%EA%B8%B0%EC%9E%90%EB

%8B%A8-%EC%8A%A4%EC%9C%84%EC%8A%A4-%EA%B5%90%EC%88%98%EC%A7%84%EC%9

D%B4-%ED%95%9C%EA%B5%AD%EC%97%90-%EC%82%BC%EC%84%B1%EC%A0%84%EC%9E%

90-%EC%A3%BC

스위스, 일·학습 병행제가 고교 과정 주축

2015.09.21 16:59:27

384

https://www.hangyo.com/mobile/article.html?no=45472

그는 “이발사로 실습을 하다가 직업학교에서 높은 수준의 자격증을 따거나 대학으로 가서 생물학자가 될

수도 있다는 스위스 교육의 장점을 보여주는 것”이라며 “스위스에서는 이렇게 진로를 변경하는 학생들이

매우 많고 그에 따른 다양한 통로가 열려 있어 실패의 길로 빠지는 경우가 매우 극소수”라고 밝혔다. 스위

스가 세계 행복지수에서 꾸준히 1위를 차지하는 비결은 이같은 교육 체계가 큰 몫을 하고 있다는 평가다.

***************************

Sent : 2022-07-23 22:13:28

Subject : Re: [RE]Re: [RE]스위스 취히리 교육대학 교수의 인터뷰 요청

네에 교수님 좋은 소식 감사합니다. 제가 캘러 교수님께 내용 전달 드렸습니다. 내일 일요일 스위스에서

출국이시고 본인께서 메일을 보내 드릴 예정입니다.

캘러 교수님께 큰 도움 주셔서 감사합니다.

캘러 교수님께서 한국 이전에 미국에서 조사하고 돌아오셨는데 한국에서도 뜻깊은 만남이 되셨으면 합니

다. 정말 감사드립니다.

Math for AI http://matrix.skku.ac.kr/math4ai/

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10.1007/978-3-319-17187-6 (2015)

[142] Victoria Lang, Sang-Gu Lee*, Jaeyoon Lee, A Mobile, Open-source 2-D and 3-D Printing Graphic Creation C.A.S. Tool for Mathematics Courses, Journal of US-China

Education Review A, Vol. 4, No. 8, 569-580, August 2014, ISSN2161-623X, USA, David Publishing Company. http://www.davidpublishing.com/journals_info.asp?jId=641

[137] Kyung-Won Kim, Sang-Gu Lee*, Shaowei Sun, Modeling of Mobile Sage and Graphing Calculator, Journal of Modern Education Review, ISSN 2155-7993, USA,

December 2013, Volume 3, No. 12, pp.918-925, Academic Star Publishing Company, 2013, http://www.academicstar.us.

131. Sang-Gu Lee*, Kyung-Won Kim, 모바일 선형대수학 스마트폰 콘텐츠 개발과 활용, Development of smart-phone contents for mobile linear algebra, J. Korea Soc. Math. Ed. Ser.

E: Communications of Mathematical Education, Vol. 27, No. 2, 121-134, 韓國數學敎育學會誌 시리즈 E <數學敎育論文集> 제 27집 제 2호, 2013. 121-134 (KCI-A).

저는 지난 주 인천과학예술영재학교 학생들 현장실습 지도 했는데,

최근 <Math & 코딩> 으로 아래 내용들 개발 및 교육 하고 있답니다.

... Math4AI 현장실습 ...

385

먼저 아래 수학 실습 콘텐츠 중 자기 수준에 맞는 하나의 Lab 을 선정하여 집중적으로 마스터

하시기 바랍니다.

중학교 3 학년 수학 http://matrix.skku.ac.kr/9th-Grade/

고등학교 10 학년 수학 http://matrix.skku.ac.kr/10th-Grade/

고등학교 11 학년 수학 1 http://matrix.skku.ac.kr/11th-Grade-1/

고등학교 11 학년 수학 2 http://matrix.skku.ac.kr/11th-Grade-2/

고등학교 12 학년 미적분 http://matrix.skku.ac.kr/12th-Grade-1/

고등학교 12 학년 확률 통계 http://matrix.skku.ac.kr/12th-Grade-2/

1. 미적분학 & 코딩 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/

PBL http://matrix.skku.ac.kr/2022-S-Final-PBL/

2. 다변수 미적분학 & 코딩 http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/

PBL http://matrix.skku.ac.kr/2022-S-Cal2-Mid-PBL/

인공지능을 위한 기초수학 입문 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/

인공지능을 위한 기초수학 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai/

저는 Math and Coding 으로 수포자 0% 인 대한민국 만드는 일에 주로 집중하고 있답니다.

노영규(2022####70)7월 27일 오전 11:36

Math & Coding 교육과 우리의 디지털 교과서가 역시 대단한 것을 다시 느끼네요. 멋집니다!

[final comment] sage&math 방법을 다른 나라에서도 관심을 가져주는 만큼 효과적인 학습방법이라고 생

각합니다. 전자책을 통해 각자의 시간에서 공부를 할 수 있으며 개념을 중점으로 잡아 불필요한 시간을 줄

여주며 현재시대와 맞게 코딩을 통해 수학문제를 푼다는 방법은 저도 이 수업을 듣기 전까지는 생각도 못

해본 학습과정입니다. 하지만 그 과정을 잡기 위해서는 저는 개인적으로 학습하는 능력을 길려야 한다고

생각합니다. 이러한 학습과정을 직접 체험해볼 수 있어 감사합니다.

386

A talk by SGLee for SKKU Campus visit (2022/7/28) of Prof. Bernhard Keller at Zurich University

of Teacher Education^^

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 8월 1일 오후 3:07

A talk by SGLee for SKKU Campus visit (2022/7/28) of Prof. Bernhard Keller at Zurich University

of Teacher Education,

https://youtu.be/SCm0u5hZ-6k

스위스 쮜리히 교육대학교 Keller 교수님이 지난 주 목요일 오전 10시에 우리 연구실에 인터뷰하러

오셔서 ... 물어 본 내용 ^^

<--- 우리 수업, 수학전자교과서, AI 수학 교수학습방법 및 평가방법, 수학교육에 AI 적용하는 아이디

어 등 ... 설명

( 돌아가서 보낸 메세지^^ )

From Bernhard Keller (BKE) <bernhard.keller@phzh.ch>

7월 29일 (금) 오전 10:27 (3일 전)

to sglee@skku.edu

Dear Professor Lee,

What an extraordinary day you gave us. Thank you very much!

Never before I have received such a versatile and transparent insight into a university, the current fields

of work of a professor, and the history and culture of a country in such a short time.

I will take many new ideas back to our work team. I have great pleasure in the book "Introductory

Mathematics for Artificial Intelligence", a really great way to tackle mathematics.

I won't unpack the book "Calculus" until I get home. I am afraid that otherwise it will be damaged in

my suitcase.

The posters are already in cardboard rolls ready to travel. I'm looking forward to hanging it up in my

office.

387

But the towels and the mug will find a permanent place in our home. Also, thank you for the photos

of our meeting that we received through Prof. Park.

These are more beautiful souvenirs.

If you have any questions about Switzerland, universities or the school system in Switzerland I would be

happy if you write me.

I wish you continued success with your projects, which I will follow with interest, and all the best.

Yours sincerely

Bernhard Keller

_______________________________________

등록

[final comment] 타 국가의 교수님이 친히 방문해서 우리의 교육과정을 직접 확인하시

고 그 결과가 좋았다는 것은 이 과정이 좋은 교육과정이라 생각을 하며 직접 학습을 받

은 학생으로서 학습과정이 좋았다고 말을 할 수 있습니다. 수학이라고 무겁고 어렵게

다가가는 것이 아니라 기본적인 개념들을 충실하게 이해만 한다면 학습과정에서는 수

포자가 생기지 않을 것이라 판단하고 sage 기본적인 코드가 주어져 있다면 대부분의

문제들을 해결해 나갈 수 있을 것입니다. 우리는 일상생활에서 서로의 평가를 하는 것

이 아닌 더욱 발전된 생활을 원하는 것이니 심화되고 더욱 깊고 어려운 내용들은 자신

이 원한다면 다가갈 수 있겠지만 이번 학습과정동안에 학우님들은 수학을 포기하지 않

을 것이라 생각합니다.

388

여러분이 배우는 수학은 이런데도 사용된답니다^^ [ PCA를 활용한 라면맛 평가] <-- 각 라면에 대하

여 면발, 라면 그릇의 모양(크기), 국물맛에 대한 점수가 있다고 한다면, 3개의 변수(면, 그릇, 국물)를 가

지고 PCA 분석 (맛에 대한 종합점수 구하기)을 할 수 있습니다.

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 8월 2일 오후 2:05

[도전학기 5-6-7주차] PCA를 활용한 라면맛 평가

작성자 : 정원철(2017####79)작성일 : 8월 2일 오후 1:35

PCA를 보다 잘 이해하기 위해 다양한 예제를 찾아보다가 가장 재밌고 코드 정리가 잘되어있는 글을 찾아

서 공유드립니다.

각 라면에 대하여 면발, 라면 그릇의 모양(크기), 국물맛에 대한 점수가 있다고 한다면, 3개의 변수(면, 그

릇, 국물)를 가지고 PCA 분석

(맛에 대한 종합점수 구하기)을 할 수 있습니다.

• 면, 그릇, 국물이 맛에 끼치는 영향은 어느 정도일까?

면, 그릇, 국물에 대한 표준화 작업을 진행한다. => 평균과 표준편차를 구해서 표준점수를 산출한

다.

각 변수에 대한 상관행렬을 구해서 고유치, 고유벡터를 구한다. => 고유치가 크다 = 분산정도(분

산 기여율)가 크다 = 점수에 큰 영향을 끼친다

• 면, 그릇, 국물이 끼치는 영향을 수치화 해서 맛에 대한 방정식을 만든다면 어떤 모습일까?

큰 영향을 끼치는 고유치값 2개를 선정한다. => 고유치가 큰 2개를 선정한다 = 해당 하는 고유

벡터 2개를 선정한다

주성분점수1 = 각 항목의 표준점수 * 고유벡터_1 = z1*ev1 + z2*ev2 + ...

주성분점수2 = 각 항목의 표준점수 * 고유벡터_2 = z1*ev1 + z2*ev2 + ...

1. Data load

> data <- read.table("110707-ramen-data.txt", header=T)

> data

면 그릇 국물

쇠고기라면 2 4 5

해물라면 1 5 1

얼큰라면 5 3 4

떡라면 2 2 3

짬뽕라면 3 5 5

만두라면 4 3 2

치즈라면 4 4 3

된장라면 1 2 1

볶음라면 3 3 2

김치라면 5 5 3

> mean(data) # 평균

면 그릇 국물

3.0 3.6 2.9

> round(sd(data), 2) # 표준편차

389

면 그릇 국물

1.49 1.17 1.45

2. 표준화 & 상관행렬 구하기

> (data - mean(data))/sd(data) # 평균과 표준편차를 이용한 표준화

면 그릇 국물

쇠고기라면 -0.67082039 0.3407771 1.44913767

해물라면 -2.21505115 1.4491377 -1.34164079

얼큰라면 1.44913767 0.0000000 0.34077710

떡라면 -0.67082039 -1.3631084 0.06900656

짬뽕라면 -0.51116565 1.4491377 1.34164079

만두라면 0.75907212 0.0000000 -1.36310840

치즈라면 0.67082039 0.3407771 0.06900656

된장라면 -2.21505115 -0.6210590 -1.34164079

볶음라면 0.06900656 0.0000000 -1.36310840

김치라면 1.34164079 1.1927199 0.06900656

> cor(data)

면 그릇 국물

면 1.0000000 0.1905002 0.3600411

그릇 0.1905002 1.0000000 0.3004804

국물 0.3600411 0.3004804 1.0000000

> round(cor(data), 2) # 상관행렬

면 그릇 국물

면 1.00 0.19 0.36

그릇 0.19 1.00 0.30

국물 0.36 0.30 1.00

3. Eigenvalue & Eigenvector 구하기

> p1 = prcomp(data, scale=TRUE)

> print(p1)

Standard deviations:

[1] 1.2541347 0.9022241 0.7830312

Rotation:

PC1 PC2 PC3

면 0.5715110 -0.604471 0.5549685

그릇 0.5221161 0.789607 0.3223595

국물 0.6330639 -0.105526 -0.7668731

> summary(p1)

Importance of components:

PC1 PC2 PC3

Standard deviation 1.2541 0.9022 0.7830

Proportion of Variance 0.5243 0.2713 0.2044

Cumulative Proportion 0.5243 0.7956 1.0000

4. 각각에 대한 제1주성분, 제2주성분 점수를 구한다.

390

> predict(p1)

PC1 PC2 PC3

쇠고기라면 0.7119408 0.5216497 -1.373736133

해물라면 -0.9740499 1.8911205 0.645382316

얼큰라면 0.9804158 -1.2947047 -0.002322692

떡라면 -1.0513965 -0.6781104 -0.864614382

짬뽕라면 1.5401350 0.7888582 -0.726820118

만두라면 -0.2766766 -0.7435735 0.683778524

치즈라면 0.6049920 -0.1436935 0.429217649

된장라면 -2.3084890 -0.1269792 -0.178513165

볶음라면 -0.6600579 -0.3380821 0.311494336

김치라면 1.4331863 0.1235150 1.076133664

> round(predict(p1), 2)

PC1 PC2 PC3

쇠고기라면 0.71 0.52 -1.37

해물라면 -0.97 1.89 0.65

얼큰라면 0.98 -1.29 0.00

떡라면 -1.05 -0.68 -0.86

짬뽕라면 1.54 0.79 -0.73

만두라면 -0.28 -0.74 0.68

치즈라면 0.60 -0.14 0.43

된장라면 -2.31 -0.13 -0.18

볶음라면 -0.66 -0.34 0.31

김치라면 1.43 0.12 1.08

• 쇠고기라면의 주성분점수 PC1:0.71, PC2:0.52를 계산해보자.

1) z1(제1주성분) 점수 = 0.71 = 0.57*(-0.67) + 0.52*(0.34) + 0.63*(1.45) = 0.7084

2) z2(제2주성분) 점수 = 0.52 = -0.60*(-0.67) + 0.79*(0.34) - 0.11*(1.45) = 0.5111

5. 제1주성분 점수와 제2주성분 점수를 토대로 그래프 작성

• 좌표

--------------------------

면 (0.57, -0.60)

그릇 (0.52, 0.79)

국물 (0.63, 00.11)

z1(제1주성분) = 0.57u1 + 0.52u2 + 0.63u3

z2(제2주성분) = -0.60u1 + 0.79u2 - 0.11u3

u1: 면의 표준점수

u2: 그릇의 표준점수

u3: 국물의 표준점수

> png("plot2.png")

> biplot(p1)

> dev.off()

null device

391

6. 결론

1) 라면의 종합평가에서 1위는 짬뽕라면이고, 2위는 김치라면, '라면의 종합평가'에 가장 영향을 끼

치고 있는 변수는 '국물'이 된다.

2) 해물라면은 '그릇'의 평가 영향을 많이 받았고, 얼큰라면은 '면'의 평가 영향을 많이 받았다.

노영규(2022####70)8월 3일 오전 9:48

낯선 PCA에 대해서 흥미롭게 표현을 했네요. PCA가 뭔지 몰라서 찾아봤는데 가장 대표적인 정사영을 이

용한 차원 축소 기법이라고 나오네요. 실제 현업에서는 수많은 데이터들이 있을텐데 차원을 축소하는 PCA

를 활용하면 효과적이겠네요. 감사합니다. [참고] http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W12/

이주한(2022####78)8월 4일 오후 1:57

다양한 인자들이 모여 만들어 진 사물을 볼 때 각각에 인자에 대해서 분류하고 영향성에 대해서 수치화하

는 작업을 했었는데, 이렇게 고유벡터에대 수식적으로 일반화된 것과 음식에 대해서도 가능하다는 것이 신

기하네요 ㅎㅎ

이상구(LEE SANGGU)8월 5일 오후 2:07

Final 선언 하세요^^

[final comment] PCA에 대해서 알 수 있었으며 수학이 우리 생활에 얼마나 밀접하게 다가와 있는지 알

수 있었으며 생활의 모든 것들을 수학적으로 표현이 가능할 수 있을 것이라 생각합니다. 이제는 다변수 미

적분학을 배웠으니 변수가 2개 이상 나와도 그래프를 그려보고 변수를 치환도 해보고 다양한 방법으로 다

가갈 수 있을 것이라 생각합니다.

임경섭(2022####81)8월 8일 오후 8:08

1학기 미적분학1 15주차와 , 여름집중학기 다변수미적분학 10주차까지 총 25주동안 새로운 교재와 새로운

학습법을 통해서 수업을 진행하였습니다. 그 동안 교육방법과 다른 토론위주의 학습방법이 처음에 익숙치

않았지만, 이해하지 못한것과 잘못알고 있던 내용을 학우들과 토론하면서 해결해 나가고 보완해 나아가면

서 보람을 느낄 수 있었습니다. 계산은 효율적인 Sage를 통해 손쉽게 해결하고, 수학적 개념에 집중하여

학습하는 시간이 되었기에 25주가 지난 초,중,고 기간보다 수학적 개념을 보다 효과적으로 학습할 수 있는

시간이 된 것 같아서 좋았습니다. 감사합니다.

392

이주한(2022####78)8월 8일 오후 8:35

정말 오랜기간 처음 3주간은 중, 고등학교때 배웠던 내용들을 다시 한번 되세기고.. 이후 22주라는 기간

동안 어려움도 있었지만 학우들과 토론하면서 많은 것을 깨닫고 얻은 것 같습니다. 단순히 공식을 외우는

수학을 떠나 기본 개념에 정확히 이해하고 이를 어떻게 다루냐 또는 어떤 식으로 확장시켜 새로운 개념을

만들어 낼 것이냐에 대해서 많은 고민했던 것 같습니다. 6개월이라는 짧은 시간에 배운 내용들을 기반으로

앞으로 2학기때부터 수강할 공업수학, 전자기학 등등 많이 분야에 Sagemath를 활용하여 다양한 문제들을

풀고 더 나아가 현장 엔지니어로서 해결되지 않았던 문제들을 풀 수 있을 것 같습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)8월 8일 오후 11:05

1학기, 여름 학기가 끝나가는 지금 뒤돌아보니 학생 때처럼 수많은 문제들을 풀며 수학에 흥미를 잃어가는

것이 아닌, 수학의 기본 개념부터 수학을 이용하며 살아가는 우리에게 필요한 개념들을 위주로 학습하였으

며, 중요한 개념들에 대한 open problem을 풀어보고, 서로 토론하는 시간을 가지며 문제 해결 능력을 길러

왔다고 생각합니다. 내년에 입학하게 될 소재부품융합공학과 신입생들도 교수님께 수학을 배우며 수학에

대한 자신감을 키웠으면 좋겠다는 생각이 들었습니다. 감사합니다!

전형준(2022####82)8월 8일 오후 11:31

2월말부터 시작했던 강의가 어느덧 25주라는 시간이 흘려서 여름학기도 끝나가고 있습니다. 미적분학1, 2

를 학습하면서 수학의 기본개념과 새로운 학습방법으로 수강하였던 것은 새로운 도전이였던 것 같습니다.

수학에 대한 역사나 기사들을 보면서 수학에 대한 흥미도 가질 수 있었으며 수학을 배우면서 어떻게 응용

을 해 나갈 수 있는지에 대한 생각도 스스로 해볼 수 있었습니다. PBL 보고서와 문의게시판을 작성하면서

수학뿐만 아니라 개인적으로 부족했던 점들도 깨닫고 수학적인 개념들을 더욱 잡아갈 수 있었던 것 같습니

다. 혼자서 했더라면 힘들 수 있던 수학개념이나 문제들을 다른 학우님들과 소통하며 풀어보고 부족한 점

을 묻고 답하면서 개념들을 다양하게 알 수 있었습니다. 이번 학습과정동안 배운 내용들을 다음 학기에서

도 유용하게 사용하고 더욱 나아가 현업에서도 많은 도움이 될 것이라고 판단합니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)8월 9일 오전 9:38

6개월간 미적분학 수업을 듣고 나서 많은 것을 배울 수 있었습니다. 문의게시판을 통해 몰랐던 내용을 다

른 학생들과 토론을 통해 쉽게 이해 할 수 있었고, 처음에는 많이 어려워 했던 코딩을 이제는 손 쉽게 문

제를 해결 할 수 있었습니다. 또한 PBL 중간중간 조별 프로젝트를 진행 함으로 써 졸업 후에 현업에 복귀

했을 때 배운 내용을 활용 할 수 있을 것 같다는 자신감을 얻었습니다. 감사합니다^^

박준수(2022####73)8월 9일 오전 11:16

1학년 1학기 미적분학을 시작으로 여름학기 미적분학2까지 학습하면서 어려움이 많았었습니다. 하지만 문

의게시판을 활동을 하며 학우들과 토론하면서 많은것을 깨닫고 배울수 있었습니다. 6개월간 감사했습니다.

노태완(2022####71)8월 9일 오후 2:17

오랜만에 배우는 수학수업이기에 막연한 두려움과 걱정이 많았지만 지속적으로 문의게시판에 게시글을 올

리고 학우들과 열심히 토론하고 교수님의 피드백 등을 통해서 그러한 걱정이 조금은 줄어들었고 어렵기만

하다고 생각했던 수학들이 sage프로그램이라는 것을 통해서 마냥 어렵고 복잡하기만 한 것은 아니라고 생

각하였습니다. 수동적인 공부가 아닌 PBL, 문의게시판을 통해서 능동적으로 학습 할 수 있는 능력을 기를

수 있었던 6개월이였습니다.

등록

[final comment] 학우님들이 25주차 동안 자신들이 배운 내용들을 공유해주면서 제가 생각한 그 이상의

데이터들을 받아들였고 수학만을 배우는 것이 아닌 학습하는 방법, 소통하는 방법, 토론하는 방법, 보고서

작성하는 방법, 수학에 관련된 이야기 등 많은 내용들을 확인할 수 있었습니다. 수학을 정말 어렵게만 생

각하였는데 sage&math는 수학에 대한 흥미를 만들어주었으며 시대에 맞는 코딩방법은 현업으로 돌아가면

사용하기 좋은 것이라 생각합니다. 새로운 학습방법은 저에게 좋은 영향을 주었습니다.

393

[Div, Grad, and Curl의 동기 영문 설명 (자막있음)]

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 8월 5일 오후 1:21

[Div, Grad, and Curl의 동기 영문 설명 (자막있음)]

This video introduces the vector calculus building blocks of Div, Grad, and Curl, based on the nabla

or del operator.

These operators encode physically intuitive notions of rate of change, local divergence, and local

rotation.

CHAPTERS

0:00 Introduction & Overview

1:20 The Del (or Nabla) Operator

4:49 The Gradient, grad

6:16 The Divergence, div

8:55 The Curl, curl

# calculus # machinelearning

https://morioh.com/p/0b97451593c3?f=5cb7d89d660c8335951ca454&fbclid=IwAR0lvC_IcN9Hbqy2cVOnf

obfUw5Va8_Rx-t2Ayyk47DNUPJPaidI5uIZsVg

손혜원(2022####75)8월 9일 오후 11:44

영어라 어렵지만... 참고하겠습니다.

[final comment] 다양한 학습방법들이 나오면서 우리가 배울 수 있는 영역이 엄청나게 확장되어 있다는

것을 알 수 있었으며 좁은 우물안의 개구리가 아닌 생각을 하였습니다. 개념을 다시 한번 들으면서 이해가

안되었던 부분을 더욱 체크하고 교재와 비교해가면서 내용을 확장할 수 있었습니다.

394

(3) 전형준 군이 동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

본 강좌는 1학기에 ‘미분적분학1’을 시작으로 여름학기 ‘미분적분학2’를 이루어 나가고 있습니다.

본 강좌를 다루는 교수님이나 학우들이 같이 수업을 이루어 나갔기에 더욱 활발한 QnA를 이끌어 나갈 수

있었던 것 같습니다. 이번 학기에는 좌표계에서 공간계로 넘어와 수학을 중점으로 다루었기에 서로가 잘

이해하지 못하는 부분도 많이 있었고 공유해야 할 내용들도 많이 있었습니다. 그래서 저 또한 제가 할 수

있는 모든 방법을 통해 자료들을 입수하려고 하였고 그 내용들을 정리하고 공부하면서 더욱 깊이 있는 학

습이 될 수 있었습니다. 모든 학우님도 저 또한 내용들을 어려워하였고 제가 모르는 것이 잘못된 것이 아

니라는 것과 같이 내용들을 공유하고 나아갈 수 있다고 생각하였습니다. 또한 문의게시판에서 내가 모르

는 내용들을 생각하고 고민하는 시간들이 생기면서 더욱 수학에 대한 생각을 많이 할 수 있었던 것 같습니

다. 질문과 답변하는데 무서워하지 않고 모르는 것은 배워가는 것이라고 생각합니다 .실수를 하는 것은

잘못된 것이 아니고 실수를 하기 싫어서 안 하는 것은 정말 다른 것입니다. 따라 제가 해당 내용들을 정확

하게 인지하고 있지 못하다고 해서 질문을 하지 않거나 그냥 넘어가지 않고 교수님이나 학우님들에게 물어

볼 수 있을 것이라는 생각을 하였습니다. 해당 내용이 틀렸거나 잘못되었으면 교수님이 직접 잘못된 내용

들을 하나하나 잡아주시고 그 내용에 대한 토론을 이루어보라고 하는 것은 개인학습이 중요하다는 것을 알

려주시는 것 같았습니다. 제가 모르는 것을 물어보고 공유하고 제가 아는 것을 다른사람들에게 공유하는

것은 서로의 성장에 도움이 될 수 있다는 것을 다시 한번 알게 되었습니다. 이번 학기도 1학기 때처럼 주

저하지 않고 끝까지 잘 배워나갈 수 있을 것이라 판단합니다.

[final]

본 강좌는 1학기 때부터 미적분학1을 배워가면서 학습방식에 대해서 적응하고 조금 더 잘 해결해 나갈 수

있었습니다. 특히 소통을 중심으로 하는 본 강좌에 있어서 다시 한 번 생각을 해보았습니다. 자신이 직접

이해한 내용을 다른 학우님들에게 공유하면서 내용을 feedback 받으면서 내가 부족한 부분을 스스로 알아

갈 수 있었습니다. 내가 부족한 부분을 다른 사람들의 설명이나 문제풀이를 통해서 배워나갔으며 다양한

문제들을 접하고 개념들을 이해할 수 있었습니다. 내용이 쉽지 않았기에 예습을 충분히 하면서 내용들을

확인하기 위해 노력하였으며 다른 학습방법과 다르게 나는 교재의 나용들을 휴대폰에서도 확인할 수 있었

고 이런 방식의 학습은 다시 한 번 좋은 방법이라고 생각하였습니다. 물론 제가 부족한 부분이 많아서 많

은 내용들을 공유하고 수정하고 싶었지만 정확한 개념을 얻어가기 위해서는 오랜 시간이 걸렸던 것으로 기

억합니다. 이러한 경험을 통해 나는 많은 것들을 배웠던 것 같습니다. 학습을 따라기 위해서는 충분한 예

습, 복습이 필요하였고 충분히 이해하였다고 생각하였지만 또 다른 학우들의 논리를 들으면서 다양한 개

념들을 접하였고 내가 부족한 점이 무엇인지 다른 학우들보다는 내가 무엇이 우수한지에 대해서 깨닫고 정

확하고 신속하게 공부하는 방법을 새롭게 배우고 있습니다. 처음으로 수업을 진행하면서 주관적인 논리를

내세울 수 있었고 그 내용들을 다른 학우님들에게 설명할 수 있었던 것 같습니다. 결국에는 정답이라는 것

은 정해져 있지만 어떻게 다가가는 것에 대한 생각도 할 수 있었습니다. 단순 수학의 정의를 배운 것이 아

니라 수학이라는 학문이 얼마나 위대한 것인지에 대해서 다시 한 번 이해하고 수학을 배우는 의미에 대해

서도 알 수 있었던 것 같습니다. 역사를 알아가니 우리가 수학을 왜 배우는지 실생활에는 어떻게 적용되어

가고 있고 얼마나 발전했는지에 대한 생각을 할 수 있었습니다. 결국에는 이 학습을 통해서 저는 주관적으

로 공부하는 습관을 가질 수 있었으며 자료를 찾아보는 스킬이나 sage프로그램을 다루는 방법을 배울 수

있었고 혼자서 어려우면 다른 사람들과 함께 하고 나아갈 수 있다는 것을 알게 되어 자신감을 얻었습니다.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

교수님이 올려주시는 강의동영상을 확인하고 모르는 내용들이 있으면 인터넷을 찾아보고 그 내용이 맞는

지에 대한 내용을 문의게시판에 올리고 다른 학생들이 틀린 내용들을 확인해주고 그 내용을 다시 복습하며

학습의 진행내용들을 이해하고 있습니다. 처음에는 새로운 개념들이 나오며 어렵게 보였는데 개념들을 정

확하게 이해하고 예제문제들을 풀어나가면서 열린 문제들을 풀어보며 개념과 계산을 이루어나가면서 해당

내용들을 풀어나갈 수 있을 듯합니다. 또한 다른 학우들이 올려주는 내용들을 확인하면서 내용들을 이해

하는데 도움이 되었고 개념조차 이해가 되지 않는 부분들은 다시 찾아보며 교수님과 학우님들에게 물어보

면서 학습을 이해하려고 노력중입니다.

[final]

395

1학기에 비해서 우리는 많은 개념들을 접해야 했기 때문에 충분히 힘들었다고 생각합니다. 하지만, 이

내용들은 결국 우리가 필수적으로 배워야 할 과목이고 그 내용을 잘 이해를 하여 다른 학문들도 다가갈 수

있다는 생각이 들어서 항상 이해하기 위해서 노력하였습니다. 특히 고등과정과 1학기 때 배운 내용들을

확실하게 잡고 있어야 공간상으로 개념들을 확장하였을 때 이해할 수 있었기에 1학기 때 배운 내용들에서

부족한 부분들을 찾아 따로 학습을 하였습니다. 새롭게 배워나가는 내용일수록 다양한 기호가 나왔고 중

복되는 내용들이 있었기에 어렵지 않게 다가가기 위해서 다른 학우님들과 항상 소통하려고 노력하였고 최

대한 예습을 하고 수업을 들었습니다. 지금은 sage나 다른 프로그램을 이용해서 충분히 학습을 따라가고

있고 개념들을 이해하기 위해 노력중입니다.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

교수님이 올려주신 실습실을 통해 학습을 이루어 나가고 있고 M-calculus 교재를 통해서 모르는 내용들

을 정리하고 다른 인터넷들의 내용들과 함께 학습을 이루어 나갔습니다. 그 중에서도 제가 이해를 하지 못

하는 경우에는 class QnA에 올라온 내용들을 토대로 이해하고 직접 예제나 열린 문제들을 푼 다른 학우들

의 학습들을 보며 학습을 이루었으며 QnA를 이용하며 확실한 feedback이 오기에 정말 어려운 내용들은 해

당 QnA에 내용들을 공유하며 제가 한 내용들이 맞는 것인지 확인할 수 있었습니다. 다른 학우님들이 올려

주신 내용들과 질문, 토론들을 이용하여 개념을 채워가며 예제와 열린 문제 중심으로 문제를 풀어보며 학

습하였습니다.

[final]

먼저, 우리에게는 전자책이 있었기에 어디서든 그 내용들을 확인할 수 있었습니다. 이 방법은 정말 획기

적인 방법이라고 생각합니다. 내가 어디에 있든 그 내용이 궁금하면 사이트만 들어가면 내용들을 이해하

고 직접 sage로 풀어 볼 수도 있었습니다. 수업을 들어가기 전에는 전자책을 통해 예습을 개념을 조금이

라도 이해하려고 노력하였습니다. 먼저 처음 들어보는 단어들 기호들을 파악하려고 하였고 주요 개념들을

한 번씩 읽어보면서 그 내용들을 Q&A에 공유하였고 feedback을 받을 수 있었습니다. 그렇게 하면 수업 중

내가 모르는 내용이나 교수님이 하는 말씀이 더욱 깊이 있게 들어오는 것 같았습니다. 수업이 마치면 오늘

배운 내용들을 정리하고 공유하기 위해서 노력하였고 열린문제를 풀어보면서 내가 부족한 부분을 알 수 있

었습니다. 문의게시판에 올라오는 다양한 내용들로 내가 모른 개념들을 다시 한 번 잡을 수 있었고 매주

보고서를 정리하면서 주차내용에 대해서도 복습하였습니다. 사람들과의 토론을 통해서 왜 이렇게 되는지

내가 설명할 수 있었고 내가 모르는 내용들을 질문하기 위해 노력하였고 다른 학우님들이 답변을 대신 해

주기도 하였습니다. 또한, 수학사에 대한 내용들로 수학을 배우는 내용들을 보면서 흥미를 가질 수 있었

습니다.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

이번 학기를 시작하면서 새로운 내용이 벡터와 행렬을 시작으로 새로운 개념들이 많이 나왔습니다. 좌표

계에서 공간계로 넘어가면서 새로운 개념들이 나오면서 다양한 개념들을 배울 수 있었습니다. 다양한 수

학지식들을 배울 수 있었으며 좌표계에서 배운 내용들을 모르면 더욱 다가가기 힘들다는 것을 알았기에 지

금이라도 모르는 내용들을 확실하게 자리 잡고 개념들을 정확하게 배워나가고 있습니다. 또한 1학기 때

수학개념을 정확하게 모르고 프로그램에만 맹신한다면 잘못된 방향으로 다가갈 수 있다는 것을 알고 있어

더욱 기초를 중요하게 생각하며 학습을 이루고 있습니다. 또한 무엇보다 스스로 다가가야 하는 학습형태

로 인해 내가 하는 만큼 배워나갈 수 있기에 열심히 노력해야하며 최선을 다해야 한다는 것을 알고 있습니

다. 모든 과목에서도 예습과 복습이 필요하다는 것을 알 수 있었고 이번 보고서를 통해 중간고사 전까지

내가 배운 내용들을 다시 한번 복습하면서 기초가 중요하다는 것과 복습이 과목의 이해도를 높여준다는 것

을 배워나갈 수 있었습니다.

[final]

이번 학기를 마치면서 우리는 6개월이라는 시간을 함께 하였습니다. 본 강좌를 이루면서 우리는 자신감

을 가질 수 있었던 것 같습니다. 일단, 내가 하는 내용들을 틀려도 수정해줄 수 있는 동료들이 있고 그것

을 바라보는 교수님과 TA가 있었기에 수학에 대한 두려움을 조금 없앨 수 있었습니다. 수학이라는 과목이

딱딱하고 무겁게만 느꼈는데 이번 강좌를 통해서는 조금은 덜어낼 수 있었던 것으로 생각합니다. 일단 우

리가 문제를 풀기 위해서 수학을 배우는 것이 아니라 수학이라는 과목이 모든 학문의 기초가 될 수 있을

396

것이라는 사실과 수학의 기본을 잡고 다른 학문들을 배우는데 쉽게 다가갈 수 있을 것입니다. 좌표계에서

만 하던 수학이 공간상에서도 표현될 수 있고 그것은 우리가 살아가는 데 너무나 밀접한 관계가 있다는 것

을 알 수 있었습니다. 또한, 문의게시판을 이용하여 우리가 어떻게 학습을 해야 할지에 대해서 이 내용들

을 다른 사람들이 봤을 때 쉽게 이해가 될지에 대해서 서술하는 방법 또한 배웠던 것 같습니다. 확실히 쉽

지는 않았지만 하나의 경험이 쌓여가면서 정확한 개념들을 사람들에게 공유하면서 서술하면서 나의 기본

지식도 쌓이는 것을 알 수 있었고 수학에 대한 지식도 배울 수 있었습니다.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

이번 학기를 진행하면서 서로가 질문하고 답변을 하며 제가 이해하지 못한 부분들을 주변 동료들로부터

배워나갈 수 있었으며 각각의 사람들이 가지고 있는 정보들을 모아서 정리를 한다는 것이 엄청난 영향력을

가진다는 것을 알 수 있었습니다. 또한, 다른 사람들의 정보들을 통해 내가 부족한 점을 알아가고 그 내용

들을 정리하고 이해하면서 많은 내용들을 인지할 수 있었습니다. 다양한 그래프와 코드 그 내용들을 직접

실습해볼 수 있었고 서로가 공유해주는 내용들이 서로에게 도움이 된다는 것을 알 수 있었습니다. 또한 자

신이 아는 것을 다른 사람들에게 설명해줄 수 있다는 것이 정말 그 개념에 대해서 정확하게 알고 있다는

것과 다른 사람들이 공유해준 내용들을 내가 다시 한 번 정리하면서 그 내용들을 다른 사람들에게 또 다시

공유를 하면서 공부를 할 수 있는 방법을 배울 수 있었습니다. 또한, 서로가 이해한 내용이 다르다면 왜

그 내용들이 다른 건지 토론을 하고 이야기할 수 있었고 혼자서 찾은 데이터는 한계가 있지만 똑같은 내용

이라도 다른 동료들이 설명해준 새로운 개념들로 이해를 하며 성장해나갈 수 있었다고 생각합니다. 혼자

서 찾아볼 수 있는 데이터의 양은 정해져 있다면 동료들로부터 수많은 데이터와 개념들을 공유 받으며 더

욱 성장할 수 있었습니다.

[final]

내가 부족한 부분을 다른 동료들의 게시글로 확인할 수 있었고 부족한 부분을 채워나갈 수 있었습니다.

다른 동료들에게 내가 가지고 있는 내용들을 공유하기 위해서는 내가 먼저 정확한 내용을 가지고 있었어야

했으며 또한 질문이나 답변을 하기 위해서는 더욱 정확한 정보를 전달해야 했기에 기본지식을 개인적으로

더욱 알아 볼 수 있는 기회가 있었던 것 같습니다. 더욱 많은 자료들을 찾아보았고 그 내용들을 종합해서

모아보니 엄청난 양의 데이터가 만들어져 있었습니다. 그 내용들을 모두 기억할 수는 없지만 내가 부족했

던 부분들은 기억이 났기에 다른 동료들로부터 내가 부족해서 생각을 해봤던 내용들은 정확하게 다가왔던

것 같습니다. 나보다 더욱 잘한 사람들이 많았기에 다른 동료들은 어떻게 이해하였고 그 내용들을 어떻게

서술하였지 내용들을 확인하고 더욱 열심히 하였고 노력하였습니다. 또한 코드부분에서 미숙하였는데 그

내용들을 문의 게시판에서 확인할 수 있었으며 실습을 같이 해 볼 수 있었고 쉽게 다가갈 수 있었던 것 같

습니다. 내가 혼자서 찾은 지식들이나 문제에는 시간상의 문제나 오류가 있을 수 있는데 그 미약한 부분을

다른 동료들로부터 해결 할 수 있었던 것 같습니다. 나를 제외한 19명의 다른 동료들도 열심히 이 학습을

진행하였기에 좋은 성장이 될 수 있었던 것 같습니다. 사실, 경쟁이라는 말보다는 서로를 더욱 이끌어주

는 동료의 느낌이고 다른 학우님들로부터 많은 정보를 얻을 수 있어서 이번 학기도 부족한 점을 채우면서

진행할 수 있었습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

중간고사 전까지 배운 내용들은 벡터와 행렬으로 선형연립방정식의 해를 구하는 방법에서 해를 3가지의

형태로 나누어 볼 수 있었습니다. 해가 유일한 경우는 어떠한 경우의 수라도 가장 좋은 방법일 것이고 여

러 가지의 해가 존재할 때는 여러 가지의 정답이 있는 방면 해가 없을 경우에는 최소제곱문제를 통해 가장

가까운 정답을 찾는 방법을 알 수 있었고 이것은 우리가 살아가는 데이터 속에서 정답이 없는 경우가 대부

분이고 그러한 문제에서 가장 근사한 답변을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있었습니다. 또한 우리가 살아가

는 곳은 좌표공간이 아닌 3차원이상의 공간이라고 생각하면 지금 배우는 내용들은 수없이 많이 실제 생활

에서 볼 수 있을 것으로 보입니다. 그 중 벡터함수의 그래프를 그려보면 우리가 보는 시각적인 표현들을

많이 확인할 수 있었고 그 개념들을 정확하게 이해하고 다가간다면 직접 우리가 살아가는 공간에서도 적용

할 수 있을 것이라고 생각합니다. 이번 소재부품융합공학과 과정이 끝난다면 현업으로 돌아가 다양한 활

동을 해야 하는데 설비에 대한 함수들도 이러한 3차원이상의 공간에서 생각해야 할 것이고 이 변수이상의

문제들도 많이 발생할 것입니다. 그것에 대해서 우리는 답을 얻기 위해서 노력할 것이고 문제를 푸는 방법

에는 지금 배우고 있는 개념들이 많이 적용할 것이라 생각합니다. 또한, 효율성을 중요시하기에 sage프로

그램을 이용한다면 한 층 더 업그레이드 되어 시간을 단축시키고 정확한 답을 얻을 수 있을 것입니다.

397

[final]

먼저, 수학을 배운 내용들은 다른 학문들에 대입하여 풀 수 있을 것이며 내가 가지고 있는 생각들을 사람

들에게 전달하는 힘을 기를 수 있었기에 학문뿐만 아니라 다양한 분야에서도 적용이 가능할 것입니다. 이

번 학기를 진행하면서는 좌표상이 아니라 공간상의 수학을 배웠기 때문에 지나가면서 우리가 생각하지 못

한 곳에서 수학을 바라볼 수 있겠다는 생각과 모든 학문과 생활에서는 수학이 들어가 있다는 것을 알 수

있었는데 우리가 현업으로 돌아간다고 해도 풀지 못하는 문제를 수학적 관점으로 바라보면 해결할 수 있을

것입니다. 수학을 잘해야 다른 개념들을 정확하게 이해가 가능하다고 생각을 합니다. 활용이 어려울 수

도 있겠지만 유심히 지켜보고 생각해본다면 모든 곳에서 수학으로 해결할 수 있을 것이라는 자신감도 생겼

습니다. 함수를 구하고 그래프로 그려보고 미분이나 적분을 통해서 다양한 정보들을 얻을 수 있을 것이며

그 정보들을 통해서 해결책을 찾을 수 있을 것입니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적으

세요.) :

-90점

저는 이번 학기를 진행하면서 매주 2번이상의 질문을 하기위해 노력하였고 다양한 질문들에 대한 답변

을 하기 위해서 노력하였습니다. 그 내용들이 쉬울 수도 있었지만 저의 개인적인 의견들을 위주로 많이

작성하였으며 직접 실습을 통해 그 내용이 정확한것인지에 대한 내용들도 담았습니다. 여러 가지의 내

용들을 공유하기 위해서 교재를 많이 보며 다양한 예제들을 확인하기 위해 교수님이 나눠주신 미적분

교재에서도 다양한 문제들을 공유하려고 힘을 썼고 open problem에서도 더욱 심도있는 내용들을 공유함

으로 틀린 답변에 대해서도 받아들이며 내가 무엇을 틀렸는지 확인할려고 노력하였습니다. 또한 다른

학우들이 모르는 내용들을 이해해주려고 노력하였으며 feedback을 하였습니다. 저는 의견에 대한 토론

에 있어서 도망치지 않고 맞서고 모르는 내용들을 물어볼려고 하였으며 제가 해결할 수 있는 부분까지

는 스스로 열심히 하였다고 판단합니다. 하지만, 개념정리에 있어서 조금 미약했던 점이 있었던 것 같

고 그 점들이 저를 100점을 못 만들었다고 생각합니다. 그래서 남은 시간에는 개념들을 학우님들과 더

욱 공유하고 나아갈려고 노력할 것입니다. 저로 인해 다른 학우님들이 도움이 되었다는 말을 들으면서

더욱 자신감이 생기고 함께 성장하기 위해 노력할 것입니다.

[final]

-90점

이번 학기를 마무리하면서 나는 이번 학습과정에 있어서 얼마나 열심히 하였는지에 대해서 생각을 해보니

매주 2번의 질문을 하였고 매주 예습을 하였습니다. 지금도 일요일에 시간이 남으면 다음 주차의 내용들

을 확인하고 모르는 개념이나 기호들을 한 번씩을 읽어나가면서 문의게시판에 공유하기 위해 노력하였던

것이 기억이 납니다. 많이 부족한 내용이지만 그 내용들을 중심으로 많은 학우님들이 답변을 남겨주시고

내용을 토대로 다른 문제들을 풀면서 내용을 보충해주었습니다. 저도 다른 학우님들이 올려주시는 내용들

을 읽어보고 부족한 점이나 보충해야 할 점들을 답변을 하며 서로를 이끌어주기 위해서 노력하였습니다.

또한 교수님이 올려주시는 내용들을 정확하게 이해하기 위해서 노력하였고 많은 토론에 참여하기 위해서

많은 내용들을 찾아보고 게시판을 자주 찾아보았던 것 같습니다. 그 중에서 수학사에 관련된 이야기가 가

장 흥미로웠던 것 같습니다. 이동 간에도 그 내용들을 다양한 플랫폼을 통해 찾아보고 다른 학우님들과 공

유하기를 노력하였습니다. 아직도 부족한 점이 많지만 부족한 점을 알아가기 위해 노력하고 있고 그 부족

한 점들은 여러 학우님들과 교수님이 체크하여 feedback을 해주었고 더욱 성장할 수 있었던 것 같습니다.

다른 학생에 대한 평가

이번 여름학기를 시작하면서 우리반 학우님들의 열정은 정말 대단했던 것으로 보입니다. 20명 중 한

명도빠짐없이 개인의 의견들을 공유해주면서 다양한 내용들을 확인할 수 있었습니다. 그래서 더욱 피드

백이 잘 이루어지고 다양한 데이터들을 볼 수 있었습니다. 또한 부족한 부분이 무엇인지 교수님이 말해

주시면 학우님들끼리의 토론으로 인해 직접 스스로 찾아보고 그 내용들을 직접 풀어보면서 1학기 때보

다 더욱 열심히 하는 모습을 볼 수 있었습니다. 이러한 환경에서 공부하는 것은 서로가 더욱 성장을 이

룰 수 있다는 생각과 저도 더욱 열심히 해야겠다는 생각이 들었습니다. 열정적으로 질문과 답변을 주신

학우님들에게 감사드리고 제가 올리는 무모한 문제라도 다 같이 풀어볼 수 있다는 생각을 할 수 있었습

니다. 우리는 다 같이 성장해나가며 원활한 소통을 통해 저의 부족함에 도움이 되어주셔서 감사합니다.

398

[final]

중간고사와 마찬가지로 이번 여름학기는 학우님들의 열정이 많았던 것 같습니다. 한 명도 빠짐없이 게

판을 확인하고 그 내용들을 이해하기 위해서 노력하였던 것 같습니다. 하지만, 서술하는 법에 있어서

부족한 내용들이 있던 것으로 보였고 그 내용들을 점차 성장하기 위해서도 노력하는 것이 보였던 것으

로 기억합니다. 그 또한 나에게 열심히 할 수 있는 이유를 만들어주었고 다른 학생들도 나를 통해 더욱

열심히 하였다고 생각했으면 좋겠습니다. 특히, 개념들을 정리해주는 학우님이 있었는데 내가 놓친 내

용들을 다시 확인할 수 있어서 정말 좋았던 것 같습니다. 많은 질문들과 답변들이 오고가며 서로에게

부족한 점과 잘하는 점을 더욱 돋보이게 해준 것 같아 많은 것을 알 수 있었습니다. 또한, 수학적인 개

념이 아니라 수학에 관련된 내용들을 올려주는 경우도 있었으면 함께 생각해보고 토론할 수 있었던 것

같아 긍정적인 영향을 받을 수 있었습니다.

Ch 5장. [Project 제안서(only)] Your possible Team Project 제목,

동기, 방법론, 참고문헌 [아이디어와 Draft] (10점)

모든 학생이 <인공지능을 위한 기초수학 입문>을 수강하면서 자신의 전공과 연계하여 제안하고

싶은 프로젝트를 구상하여 부담없이 제안서만 작성합니다.

(선정된 일부 학생의 경우 진행을 도와주고, 결과물을 기말에 발표할 기회와 가산점을 줍니다.)

[Team Project 제안서 only] - 중간고사의 10점 부분

Project Proposal

Name / e-mail (이름과 이-메일): 이*한 / **@g.skku.edu

Project Title (Tentative, just idea now): 벡터의 합을 모터 부하 예측

1. 초록: 벡터의 합을 이용한 원심 분리기 동적 설계 기술 개발

2. 연구방법 개요

399

원심분리기란?

밀도가 다른 액체, 또는 액체와 고체를 원심력을 이용하여 분리하는 장비, 이에는 실험

실용, 설탕 정제용 우유 탈지용 등 여러 가지가 있다. 그 회전수는 수동식인 경우 매분

수백 회전, 전동식의 경우 수천 회전, 초원심 분리기의 경우 수만 회전수를 가지고 있다.

원심 분리기에서도 벡터이 원리가 활용된다. 원심 분리기는 보통 12개의 축을 중심으로

대칭을 이루고 있다. 이때 고속으로 회전하는 원심 분리기의 회전자는 균형이 잘맞는 것

이 중요하다 .

축을 시점, 시료를 종점으로의 벡터를 생각해보면 세 벡터의 합이 0이 되어야 설계와 시

료를 올바르게 넣었다고 할 수 있다. 그렇지 않을 경우 지속적으로 모터의 부하가 발생하

기 때문에 제품의 품질 및 수명에 영향을 줄 수 있다.

모든 제품을 설계할 때에는 “오차”라는 것이 존재한다. 설계시 이러한 오차를 줄이기 위

하여 각 부품에 공차를 적용한다. 공차가 작게되면 시장에서 가격의 경쟁력은 밀리게 된

다.

각 축의 위치를 측정하고 벡터의 합이 0이 아닐 경우 RPM별 부하가 얼마나 발생하는지

측정이 필요하다. 이에 따라 모터를 선정하고 각 부품의 공차를 선정하여 최적화된 장비

의 가격과 원심분리기의 기능은 정상적으로 작동할 수 있는 (벡터의 합이 제로에 가까운)

설계를 할 수 있다.

1. 원심 분리기에 투입되는 시료의 질량가 회전수를 확인한다.

2. 벡터 합의 오차에 따른 모터의 부하를 선정한다.

3. 최적화된 치수 및 기하공차를 선정 후 설계를 진행한다.

참고문헌/웹주소:

https://prezi.com/p/mbslakcxty4s/presentation

https://m.blog.naver.com/sjh3353110/221675407697

다이어트를 위한 식단 편성 프로그램

Name / e-mail (이름과 이-메일): 김 * 환 (2022****65)

Team Project Title (Tentative, just idea now):

400

다이어트를 위한 식단 편성 프로그램

◆ 초 록:

무더위가 한창인 지금 많은 사람들이 다이어트에 열을 올리고 있습니다. 운동도

중요하지만 그 이전에 식단 조절이 먼저 우선시 되어야지만 운동도 효과가 있습니다.

몇몇 사이트나 프로그램 혹은 담당 트레이너가 식단을 짜주기도 하지만 금액적인

부분과 사람의 체질, 근육량, 생활환경 등등에 따라 각기 다른 식단 효율을 가집니다.

이를 나에게 맞게 자동으로 식단을 짜주고 추천 브랜드 또한 추천해주는 프로그램이

있다면 정말 편리할 것 같습니다.

◆ 연구방법 개요:

요즘 헬스장, 보건시설을 물론 회사안 등등의 공공시절에서도 인바디를 쉽게 측정할

수 있습니다. 측정해보면 점수와 함께 개인의 근육량과 체지방을 표시해 주는데 이는

요즘 발달한 기술 덕분에 각 팔, 다리, 몸통 등등 부위별로 표시해 줍니다. 이렇게

인바디 데이터를 토대로 개개인에게 맞는 식단을 편성해 주는 프로그램입니다.

수학과 여러 공학적인 학문에서 가장 높게 평가하고 활용하는 것은 바로 정확한

미지수의 값을 구하기보단 근사해를 구해내는 것입니다. 이처럼 식단 또한 개개인에게

정말 완벽한 정답을 제시해줄 필요는 없습니다. 개인의 근육량과 체지방율 그리고 몸의

부위별로 구분하여 예를 들어 내장지방이 많은 사람의 경우는 채소와 섬유질을

늘리는게 가장 중요한데, 여기서 채소와 섬유질이 많이 포함되도록 포커싱을 맞춰

식단을 짜주고 이 채소와 섬유질을 판매하고 유통하는 업체나 브랜드 또한 추천하여

개인에게 전달해주는 프로그램입니다.

401

▲ 요즘 보건소, 헬스장은 물론 공공장소에서도 손쉽게 측정할 수 있는 인바디의 측정

결과 중 본 프로그램 개발에 도움이 될만한 체수분, 영양분석 그리고 기초대사량에

관련된 정보입니다. 이것을 토대로 개개인에 맞게 다이어트 식단 편성 프로그램을 쉽게

제작할 수 있습니다.

또한 앞서 설명한 바와 같이 유통하는 업체나 브랜드 또한 추천하여 개인에게

전달해주면 찾아볼 시간 또한 절약할 수 있습니다.

▲ 이렇게 식단 추천을 받아 시행하여 그래프로 변화추이를 표시해주는 기능또한

존재하기 떄문에 프로그램의 신뢰도 또한 올라갈 것입니다. 감사합니다.

◆참고문헌/웹주소: 인바디 https://www.inbody.co.kr/

Ch 6장. ◆ Final comment after the report ◆ (10점)

주차

느낀 점

벡터, 행렬, 선형연립방정식

우리는 그동안 x와 y에 대한 미지수를 소거법을 이용하여 해를 구하였습니다.

1주차에서 모든 내용을 함축적으로 담은 것이 선형연립방정식 (Ax=b)이라고 생각

한다. 연립방정식을 행렬을 형태로 접근하게 되면 앞으로 배울 랭크(rank)와 가역

성(inverible) 특성들을 다루는데 문제가 없을 것이라고 생각합니다. 선형연립방적

식을 이용하여 해를 구하는 방법 크게 두가지 방법이 있는데, 유일해가 있을 경

우 x = A^-1b를 이용하여 (단, 행렬 A는 가역행렬이여야 한다.) 해를 구할 수 있

었으며, 대각원소를 모두 1로 만들고 위, 아래 원소를 0으로 만드는 가우스 행렬

을 응용하면 해가 없는 경우, 무수히 많은 경우에도 문제를 풀 수 있었습니다.

이는 대학에와서 처음으로 접한 개념인 해가 모여있는 공간을 해집합이라고 하

402

는데

Ax=b의 해집합은 S = X_0 + S_h로 모든 해를 표현 할 수 있으며, 해가 없는

경우 Ax = 0 (해집합), Ax=b의 특수해의 합으로 표현 할 수 있음을 배웠으며

1주차에 처음으로 선형대수학의 기초인 선형연립방정식을 구하면서 그 동안 해

가 없을 경우와 무수히 많은 경우는 수학적으로 표현할 수 없다고 생각했으나,

선형연립방정식의 해집합 학습을 통해 다양한 예제를 접하고 S = X_0 + S_h 꼴

로 표현이 가능하다는 것을 배웠습니다.

벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영(Projection)

2주차에서는 임의의 벡터가 주어졌을때 이에 대한 노름과 내적, 외적을 기본적인

연산 방법에 대해서 학습하였습니다. 두 개의 벡터의 내적은 두 벡터의 노름의

곱에 대해서 작거나 같다 코시-슈바르트 부등식(|a · b| ≤ ||a||||b||)에 대해서 배

웠으며, 이를 통해 두 벡터사이의 사잇각을 유도할 수 있었습니다.

두 개의 벡터가 주어졌을 때 벡터의 특징과 연산법을 이용하여 방향코사인 및

평행 육면체의 부피도 연산이 가능하였습니다. 이에 더 나아가 공간 R^3에서 직

선의 방정식, 평면의 방정식을 유도할 수 있음을 알 수 있었습니다.

2주차에서 가장 중요하다고 생각했던 것은 최단거리 벡터를 구하는데 사용되었

던 “정사영(projection)”이라고 생각합니다. 어떤 평면 S 위에 있지 않은 점 A에

대해, 점 A에서 평면 S‘ 위로 내린 수선을 발을 정사영이라고 표현 할 수 있으

며, 어떠한 공간 위에서의 삼중적분 뿐만아니라, 실생활에서 자동차 썬바이저 또

한 정사영을 이용하여 설계된 것임을 학습 후 깨닫게 되었습니다.

또한, 열린문제 중 우리가 볼 수 없는 공간이 4차원 공간에서 대해서 방향코사

인을 이론적으로 유도를 해보면서 수학이란 물리적으로 볼 수 없는 세상도 다양

하게 표현이 가능함에 대단함을 느꼈습니다.

벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분

3주차에는 앞서 다루었던 벡터에 대해서 R^3 공간에서의 r(t) = f(t), g(t), h(t)에

대하여 대응되는 점 P(f(t), g(t), h(t)) 공간곡선을 이룬다는 것을 배우게 되었습니

다.

미적분학 기본 정리에 의해 벡터함수 또한 정적분을 이용하여 integral(r(t), t,

a,b)로 일반화가 가능하며, 미분을 이용하여 그에 대응하는 기울기도 계산할 수

있었습니다. 곡선의 길이, 곡률 또한 유사한 정리가 적용된다는 것을 알 수 있었

습니다.

그 동안 일변수 함수는 당연히 변수가 1가지이니 독립변수라고 할 수 있다. 다

변수 함수에 대해서 두가지 변수에 대해서 x와 y에 대한 독립변수라고 이야기 할

수 있있으며 z = f(x, y) 함수에 대해서 z는 독립변수라고 이야기 할 수 있습니

다. 이러한 함수를 그래프와 시키게되면 2차원 곡면으로 표현이됨을 알 수 있었

으며, 저희가 평소에 산에 가면 볼 수 있는 등고선 또한 2차원 곡면에서의 등위

곡선으로 표현될 수 있음을 알 수 있었습니다.

403

미적분학1에서는 일변수함수를 다루었다면 미적분학2 3주차에는 주로 2변수 함

수를 다루는 내용을 담았습니다. 기존에 학습했던 내용에서의 확장 개념이여서 그

런지 문제를 푸는데 큰 문제가 없었으며 앞으로 3변수 함수에서도 쉽게 문제를

접할 수 있을 것 같다는 확신이 들었습니다.

편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터

이변수함수 (z = f(x, y))의 전미분은 각 변수의 편미분을 모두 더하게 되면 z에

대한 전미분 값을 얻을 수 있습니다. 서로 독립변수였던 원소들이 다 같이 움직

일 수가 있는 것이다. 전미분의 변화량은 접평면의 높이 변화를 나타냄을 직관적

으로 이해를 할 수 있었습니다.

4주차에서는 방향도함수와 기울기벡터라는 중요한 학습을 하게 되었습니다. 방

향도함수는 임의의 벡터 u방향으로의 기울기를 말하며, 기울기벡터는 함수의 변

화량이 가장 큰 방향또는 적은 방향을 나타낸다. 방향도함수가 최대인 방향을 그

래디언트로 정의할 수도 있습니다. . 실생활에서는 이차원 곡선인 산에 대해서 등

산로에서 가장 가파른 구간을 구할수도 있습니다.

어렸을 때 어떠한 곡면의 기울기를 측정하기 위해서 자와 같은 평면의 물체를

기울여 가면서 각도를 확인했던 경험이 있었는데, 이것이 대학에와서 기울기벡터

와 유사한 개념이라는 것을 느끼고, 다변수 함수가 주어졌을 때 기울기에 대한

값을 수치적으로 구할 수 있었습니다.

이변수 함수의 극대 극소, 최대 최소

5주차에서는 이변수 함수 solve 명령어를 이용하여 복작한 함수에 대해서 임계

점을 찾고, Hessian 행렬을 하여 2계 편도함수 f_xx값에 대한 양/음 판정을 통

해 극댓값, 극솟값을 구할 수 있으며 2변수 함수에서는 극대도 극소도 아닌 안장

점이 존재한다는 것을 알 수 있었습니다. 그리고 함수의 최소값을 찾는 도구 중

하나인 경사하강법을 보면서 우리가 실제 생활에 마주할 수 있는 문제를 해결해

줄 수 있는 도구라고 생각하였습니다. 1학기에 수강했던 인공지능 과목에서 제시

된 문제들의 함수는 닫힌 형태가 아니거나 근을 계산하기 어려운 경우가 많았습

니다. 이러한 근사방식을 통해 문제 해결하는 방법을 보고 단순히 공식을 가지고

답만 구하는 것이 아닌 방법에 대해서도 확실히 이해하면 앞으로 해결 할 수 없

는 문제는 없지 않을까라는 생각이 들었습니다.

이중적분

그 동안 일변수 함수의 적분을 통해 그래프의 넓이를 구했다면, 이중적분을 통하

여 복작한 곡선을 가진 물체에 대한 입체 부피를 구할 수 있다.

리만합으로 이야기하면 x축에 대해서 무한이 쪼갠 리만합과 y축에 대해서 무한

히 쪼갠 리만합인 이중 리만합으로 정의할 수도 있으며, 이변수 함수에 대한 이

중적분이라고도 한다. 평면 위의 입체부피를 계산할수도 있지만, 특정 공간 위에

있는 입체 부피를 구할 수도 있다. 여기서 앞서 배운 주어진 공간에 대해서 xy

평면 위에 정사영 이용하여 문제를 해결 할 수 있음을 알 수 있었습니다.

이중적분에 대해서 학습하면서 기존에 하던 기계 설계 업무에서는 프로그램에서

404

물체에 대한 부피가 자동으로 확인이 되었는데, 이중적분을 배움으로써 복잡한 곡

선 형태의 물체가 이중적분을 통해서 계산이 가능함을 알 수 있었습니다. 이번

학습을 통해서 결과만 바라보는 것이 아니라 과정을 알고 결과를 알아야 엔지니

어로서 한층 더 성장할 수 있음을 알 수 있었습니다.

*이에 추가 확장하여 7주차에는 삼중적분(미소부피)에 대해서 설명하니 참고

극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분

극좌표에 대한 이중적분은 앞서 배운 직교좌표의 이중적분과 크게 다를 것은 없

었습니다. 다만 극좌표의 이중적분에서는 변수 변환을 위하여 자코비안(Jacobian)

이 활용된다.

자코비안이란 복잡하게 얽혀있는 식을 미분을 통하여 선형 근사 시킴으로써 간단

한 근사 선형식 을 만들어 주는 것입니다. 2차원에서의 극좌표 변환뿐만아니라 3

차원 극좌표인 원기둥좌표계, 구면좌표계에서도 동일하게 사용이 되는 것을 배웠

습니다.

그리고 미적분학2에서 두 번째로 중요하다고 생각되는 삼중적분을 배웠습니다.

삼중적분은 이중적분의 확장이기에 삼중적분을 이용한 직육면체의 부피는 △V =

△x△y△z로 나타낼 수 있었습니다. 의미에 대해서 잘 생각해볼 필요가 있다고

생각했습니다. 삼중적분의 결과는 한 점에 대한 의미를 가지기 때문에 피적분함수

f(x,y,z) = 1일 때에는 삼중적분에서의 결과는 부피를 나타내며, 밀도를 곱하여 삼

중적분 할 경우 질량을 나타낼 수 있습니다.

삼중적분은 우리의 눈으로 볼 수 없는 결과이기 때문에 의미에 대해서 초반에

많이 헷갈려 했지만, SageMath를 이용하여 다양한 예제를 풀어보면 점점 의미를

알아갈 수 있었습니다.

원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분

8주차에는 앞서 배운 평면 직교 좌표를 극좌표계로 변환하는 것에 대한 3차원 공

간으로 확장한 것으로 3차원 형태로 나타낼 수 있는 좌표 표현법으로 원통좌표계

와 구면좌표계에 변화에 대한 내용과 이에 대한 삼중적분을 학습하였습니다.

좌표계에 대해서 가시화하여 확인하니 원통좌표계에서는 r과 theta만 종속관계

에 있으며, 구면좌표계에서는 r, theta, azimut가 종속관계임을 알 수 있었습니

다. SageMath를 통해 좌표계 변환에 대한 다양한 문제를 풀던 atrtan 및

arccos 사용시 각 역삼각함수 치역의 정의에 의해서 코드가 오류나는 것을 확인

하고 상황에 따라서 식을 변환해서 사용해야함을 알 수 있었습니다.

이에 대한 좌표계 또한 삼중적분이 가능함을 알 수 있었습니다. 구면좌표계에서

주의 할 점은 근사 선형식을 만들어주는 과정인 자코비안의 값이 r^2이라는 것을

직접 유도해보면서 행을 미분에 대한 자신감과 해당 삼중적분이 의미하는 바를

이해할 수 있었습니다.

405

그린정리, 스토크스정리, 발산정리

9주차는 지금까지 미적분학2에서 가장 중요한 정리라고 할 수 있는 그린정리, 스

토크스 정리, 발산 정리를 학습하였습니다. 이 정리를 증명하기에 앞서 벡터장의

회전과 발산에 대한 개념을 익혔습니다.

그린정리는 벡터장을 다룰 수 있는 강력한 정리 중 하나라는 것을 알 수 있었습

니다. 그린정리란 폐곡선(C)을 따라가는 벡터장의 선적분은 C영역 내부에 백터의

회전(curl)을 적분한 것과 같다라는 것입니다. 단순연결영역 말고도 다중연결영역

으로도 확대가 가능한다.

스토크스정리는 그린정리의 확장으로써 단위법선벡터를 내적하므로써 유향 곡면

에서의 선적분이며, 벡터장의 회전이 소거되어 선적분과 동일하다는 것은 그린 정

리와 개념은 같다는 것을 알 수 있었습니다.

발산정리란 폐곡면을 통해 나가는 벡터장의 모든 선속의 A의 발산을 부피에 대

해서 적분한 것과 같다. 발산의 합은 입접한 경계면과 벡터의 합이 0이 될 것이

고, 내부의 발산의 소거되어 외부 경계에 대한 발산만 남을 것입니다.

이를 통해서 발산의 적분은 포장지로 무엇인가를 포장하였을때 포장지를 통해 나

오는 유량(양의 발산)이라고 생각을 해보면 좋을 것 같다는 교수님의 답글에 발

산 정리의 필요성에 대해서 좀 더 직관적으로 이해할 수 있었습니다.

위 3가지 정리를 이해하고 스토크스정리 및 발산정리에 대한 예제들을 풀어보

면서 어떠한 벡터장이 주어졌을 때 해당 벡터장을 특정 영역에 대한 선적분 값과

발산을 구할 수 있을 것 같다는 자신감이 생겼습니다. 또한 앞으로 배울 공업수

학, 전자기학에 많이 활용이 된다고 들었습니다. 미적분학2에서 배운 내용을 적

극 활용하여 역량을 끌어 올리도록 하겠습니다.

복소수와 복소함수

10주차에는 복소수와 복소함수에 대한 극형식 변환과 드무아브르의 정리에 대해

서 학습하였습니다. 복소수에 대한 극형식 표기 방법은 기존 직교좌표와도 개념은

동일하다는 것을 알 수 있었습니다 (z = x+iy = r(cos(theta)+isin(theta)) 또한

복소평면에서 각을 편각(argument)라고 지칭한다는 것을 배웠습니다.

복소수의 거듭제곱의 절댓값과 편각에 관하여 드무아브르의 정리가 성립되는데

이는 z값과 r값에 임이의 실수 n을 제곱해주었을 때 그 값은 같다는 것임을 알

수 있었습니다. 정의역과 치역이 복소수의 집합으로 이루어진 복소함수에 대해서

새롭게 배우게 되었습니다. 복소함수는 하나의 그래프로는 표현하기 어렵우며 실

406

[종합] 느낀점

22년 3월 대학교에 입학하여 성균관대학교에서 미적분학1, 미적분학2 까지 모두 학습하

였습니다. 5개월이라는 짧은 시간동안 중, 고등학교 수학을 기반으로 많은 것을 확장하고

얻었던 것 같습니다. 특히 SageMath 프로그램을 사용하는 수학은 학습에 있어서 자잘한

시간 낭비 없이 정말 문제되고 궁금했던 부분들에 대해서 학우들과 토론하면서 깨우쳤던

것 같습니다.

저는 어렸을 때부터 수학을 좋아하기는 했으나, 대학 전에 배웠던 수학은 수학이 아니였

구나 라는 생각이 들면서 다시한번 되돌아보게 되었습니다. 개념에 대해서 확실하게 익히

고 5개월간 배웠던 내용들을 이전의 교육과정대로 학습하였으면 시간도 오래걸리고 문제

를 이해하는데 많은 어려움이 있었을 것 같습니다. 하지만 수식에 대한 기본적으로 푸는

방법에 대해서만 익히고 컴퓨터를 이용하여 다양한 문제들에 대해서 접하다보니 국한된

문제가 아닌 광범위한 범위에서 수학적인 사고력을 키울 수 있었던 것 같습니다. 고생 많

으셨습니다. 감사합니다. [The End]

*중간 PBL (검은 글씨):

이제 2차원에서 그래프를 그리던 것을 넘어 3차원까지 확장하여 실생활에 가깝게 접하던 등고선

과 등압선 등을 그래디언트를 통해 나타내어 활용할 수 있음을 알고 좀 더 높은 수준의 수학, 물

리, 화학, 지리적인 학습을 교수님과 함께 동료분들과 함께 sage프로그램을 활용하여 누구보다 빠

르게 습득하고 쉽게 이해할 수 있었습니다. 또한 이번 1단원부터 4단원까지 가장 중요했던 주제는

‘행렬’ 이었습니다. 행렬을 중학교에서 문제를 풀기위해서만 학습했지 이 ‘행렬’이 실제 일상생활에

널리 적용되어 저희가 살아가는데 가장 큰 편의를 주는 교통망, 일기예보, CT촬영, 전기회로에 적

용되어있다는 사실을 알게 되고 아주 큰 놀라움을 느꼈습니다. ‘행렬’은 일반적으로, 대수학 중 선

형대수는 곱셈의 연산 후에 나타나는 변화와 구조에 더 많은 초점을 두고 있다고 합니다. ‘행렬’

이론이나 벡터 공간이론 등을 활용해 선형 방정식의 해를 구하는 것이 가장 큰 핵심이며, 주어진

선형시스템 내에서 현상을 보다 효과적으로 표현 가능하도록 해줍니다. 특히 ‘벡터행렬’ 제한된 공

간 안에서의 선형사상을 표현하는데 유용하게 쓰인다고 합니다. 이런 ‘행렬’의 특징들을 이용하여

많은 미지수를 갖는 선형 연립방정식계가 자연과학, 공학, 경제항 등의 문제를 해결할 수 있는 수

학적 모델링으로 사용된다고 하니, 좀 더 심화적인 학문에 발돋움을 뛴 것 같은 생각이 듭니다.

함수와 극형식으로도 표기가 가능합니다.

중, 고등학교에서 배운 복소수의 개념 i^2 = -1과 2차원의 복소 평면에 대해서

만 알고 있었지만 대학교에서 극형식의 변환과 복소함수를 배움으로써 복소수를

다룰 수 있는 영역이 제가 생각했던 것보다 방다는 것을 알 수 있었습니다.

407

또한 이젠 선형대수학과 밀접한 다변수 미적분학(Multivariable Calculus)를 배우게 되다 보니

고등수학과정에서는 전혀 이름도 듣지 않았던 RREF, 가우스-조던소거법 과 같은 생소한 단어들과

함께 어려운 개념 또한 다수 존재했습니다. 그러나 교수님께서 잘 구축해 놓으신 문의게시판,

QnA를 통해 직접 학습한 내용을 동료 분들과 공유해보고, 부족하거나 참언할 내용이 있다면 여러

동료들과 교수님께서 코멘트를 달고 한 가지 주제를 가지고 토론을 거쳐 완성된 학습교본으로 발

전해가며, 학습에 가장 큰 도움이 되었다고 느낍니다. 또한 교재에 실린 내용과 문제 외에 더 큰

범위의 여러 가지 개념과 정의 및 응용문제들을 서로 서로 공유해보며 학습의 창을 좀 더 넓히고

하나의 교재를 만들어가는 훌륭한 과정을 배우고 있는 것 같습니다.

중간 PBL을 작성하며 가장 아쉬웠던 것은 보고서 분량 조절 실패입니다. 이번에 제가 PBL을 작

성하며 가장 핵심으로 생각할 것은 활용입니다. PBL보고서 작성을 그저 과제 제출목적으로만 사

용하는 것이 아닌, 나중에 공부를 하다 기억이 잘 나지 않을 때 검색기능을 활용하여 언제든지 찾

아서 볼 수 있게 하는 것이었습니다. 그러다 보니 그림파일보다는 최대한 타이핑으로 정성스레 작

성하였고, 배웠던 모든 내용을 담으려다 보니 초반부분 분량이 너무나도 많아졌습니다. 그래서 챕

터 4 부분은 제가 앞에 했던 내용과 중복이 되는 부분이 많아서 QnA의 유의미한 부분말고는 최

대한 생략하여 작성하였습니다. 약간의 개인적인 완성도는 아쉽지만 초기에 생각하였던 PBL보고

서의 학습교재 활용으로서는 완성이 됐다고 생각하여 만족스럽습니다.

*최종 PBL (파란 글씨): (중간 PBL에 이어서 추가하시면 됩니다.)

최종 PBL을 작성하면서 저희가 미적분학을 공부해야하는 이유에 대해 많이 생각해 봤습니다. 그

저 공학을 공부하는데 가장 필요한 도구이자 학문 이라는 것 때문에 이유를 규정짓기엔 실생활에

미적분학이 적용된 사례가 너무 많았습니다. 그러면서 세상의 모든 것에는 수학이 적용된다는 오

일러의 공식을 배우게 되며 예전에 보았던 수학 관련 영화가 생각났고 최종 PBL인 만큼 저희가

미적분학을 배워야 하는 이유를 다시 한 번 상기하고 시작했으면 좋겠다는 생각으로 Chapter 0을

따로 만들어 미적분학은 공부해야하는 이유에 대해 작성하였습니다.

처음 미적분학을 배웠을 때 저희가 고등학교때 배웠던 극한과 같은 것들을 sage 프로그램을 통

해 그래프로 그려내는 것이 너무 신기했습니다. 그래프를 그려 수렴이나 발산하는 과정을 눈으로

확인하면서 정말 현대 시대에 걸맞는 최고의 학습법이라는 생각이 들었습니다. 그러나 이제는 그

것에 그치지 않고 2차원의 평면이었던 그래프를 3차원으로 확장시키며 배우는 폭이 아주 넓어졌습

니다. 삼중적분에 들어와서는 x,y,z 중 한축을 먼저 적분하고 이중적분으로 풀이하는 과정 등 처음

엔 너무 복잡하게만 느껴졌지만 sage 프로그램으로 손쉽게 구해낼 수 있음을 보고는 수학은 이렇

게 학습해야함을 다시 한 번 깨달았습니다. 마지막으로 복소평면 또한 학습하면서 이제 다변수 미

적분학에서 학습할 수 있는 것들을 아주 현대적인 방법으로 빠르게 학습할 수 있었다는 생각이 듭

니다.

어려운 학문인 미적분학을 학습하면서 수학에 대한 기초가 전혀 없던 제게 미적분학을 쉽게 접

근하고 공부할 수 있게 해주신 교수님께 정말 감사드립니다. 덕분에 무엇보다 수학에 대한 자신감

을 길러 여름학기를 마무리한 것 같습니다. 1학기부터해서 여름 계절학기까지 정말 수고많으셨습

니다. 감사합니다.

408

Name / e-mail (이름과 이-메일): 김*철/yc**@g.skku.edu

Team Project Title: 인공지능 프로그램 개발을 통한 설비 관리

초록: 설비는 완전한 상태 또는 가장 좋은 상태를 유지하기 위해 보전 활동을

진행한다. 주로 예방보전을 진행하며 예를 들어 금형의 평행도, 히터 실측 온도,

진공도와 같이 품질에 직접적인 항목들을 주기를 설정하여 점검한다. 점검은 사람이

측정기로 진행하기 때문에 오차가 발생할 수 있다.

연구방법 개요: 측정한 데이터는 PM 프로그램에 점검자가 입력하여 관리하는데,

점검부터 raw data 및 trend 관리까지 할 수 있는 인공지능 프로그램을 개발한다면

품질 향상 및 궁극적으로 인력 성인화가 가능할 것이라 생각됩니다.

Ch 6장. ◆ Final comment after your report ◆ (10점)

*중간 PBL (검은 글씨):

중간 PBL 보고서를 마치며 1학기 미적분1 대비 난이도가 상승하여 다소 어려움을 느꼈습니다. 벡

터의 외적과 내적, 3차원 도형 및 그래프 구현 등 손으로 풀이하고 증명하기 불가한 수준이었습니

다. 하지만 이런 생각들은 sage 프로그램을 사용하면서 자연스럽게 잊히게 되었습니다. 그리고 점

차 수학적 지식이 쌓임을 느꼈습니다.

학습 과정에 있어 완벽한 이해는 하지 못했다는 생각이 듭니다. 부족한 부분도 아직 많다는 점을

깨달았습니다. 다음 기말 PBL 보고서를 작성하기 전까지 동료들과 문의 게시판에서 활발하게 소

통하며 질의 응답하여 수학적 지식을 채워나가도록 하겠습니다. 더 많은 문제들을 sage 프로그램

을 활용하여 풀이할 예정입니다. 여름학기 기간이 짧고 빠른 만큼 끝나기 전까지 동료들에게 도움

이 되도록 노력할 것입니다.

*최종 PBL (파란 글씨): (중간 PBL에 이어서 추가하시면 됩니다.)

-. 1주차 : 벡터와 행렬, 선형연립방정식, 가우스 소거법, 선형연립장정식의 해집합 등 다변수미적

분학의 기본개념을 학습하였습니다. 모든 선형연립방정식은 유일한 해를 갖거나, 무수

히 많은 해를 갖거나, 해집합이 공집합인 세가지 경우 외에 다른 가능성은 없다는 것

을 알게 되었으며, sage 프로그램의 A.augment() 명령어로 첨가행렬을 손쉽게 구할

수 있게 되었습니다.

-. 2주차 : 2차원에서 3차원 공간으로 확장하여 좌표계, 벡터, 내적, 외적 등의 개념을 학습하였습

니다. 벡터의 내적 연산 특징으로 두 벡터를 연산하지만 나오는 결과는 실수(스칼라)이

고 따라서 내적은 연속해서 계산할 수 없다는 개념을 이해하였습니다. 벡터의 크기를

나타내는 노름을 a.norm() 명령어로, a.inner_product(b) 명령어로 벡터의 내적을,

409

ang 명령어로 사잇값 등을 구할 수 있게 되었습니다.

-. 3주차 : 다변수함수, 극한과 연속, 편도함수, 벡터함수의 미분과 적분 개념을 학습하였습니다.

sage 프로그램을 활용한 해당 주 열린 문제로 벡터함수의 그래프를 그리고 접선벡터

r’(t)를 구하고 곡률 K(t)를 구하고 곡선의 길이의 근삿값을 손쉽게 구할 수 있었습니

다. 그리고 벡터함수에서도 미분이 가능한 실수 함수라면 미분법칙이 성립하여 손쉽게

도함수 및 이계도함수를 구할 수 있다는 것을 알게 되었습니다.

-. 4주차 : 연쇄법칙과 방향도함수의 개념을 기초로 하여 기울기벡터(그래디언트)에 관해 학습하였

습니다. 그래디언트 벡터란 공간의 기울기를 구하는 것이고, 그래디언트 벡터 방향은

함숫값의 변화를 활용하여 최대, 최솟값을 찾을 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 그

리고 실생활에서 지도의 방향을 구하고 및 등고선에서 기압을 표시할 때도 활용할 수

있다는 것을 알게 되었습니다.

-. 5주차 : 이변수 함수의 극대, 극소, 최대, 최소를 구하는 방법을 학습하였습니다. 해당 주 열린

문제를 통해 다변수 함수의 경우 그래디언트의 개념을 이용하여 연립방정식의 해를 구

하고 라그랑주 승수법을 통해 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다는 것을 알게 되었습니

다. 또한 sage 프로그램의 (f.hessian()), .eigenvalues() 명령어로 헤시안 행렬, 고윳

값과 위 과정을 손쉽게 해결할 수 있었으며

-. 6주차 : 직사각형 영역, 일반적인 영역에서 이중적분의 해를 구하는 방법과 적분 순서를 변경

하는 방법을 학습하였습니다. 연속 2변수 함수의 이중적분의 경우 적분 순서를 변경

해도 이중적분 값은 동일하며 3변수, 4변수 그 이상의 함수에서도 연속이라면 푸비니

정리가 성립한다는 것을 알게 되었습니다. 또한 직접 계산하기 어려운 문제를 sage

프로그램을 활용하여 적분 순서를 변경해도 같은 값이 출력되는 것을 손쉽게 확인할

수 있었습니다.

-. 7주차 : 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분에 대해 학습하였습니다. 일변수 함수의 적분은 넓

이로 표현 가능했으며, 이변수 함수의 이중적분은 부피, D 상의 p의 삼중적분은 밀도

함수 p 가 주어질 때 입체 D의 질량으로 표현이 가능하다는 것을 알게 되었습니다.

또한 단계가 복잡한 삼중적분을 sage 프로그램의 integral ( integral ( integral 명령

어로 손쉽게 구할 수 있었습니다.

-. 8주차 : 원기둥, 구면 좌표계에서의 삼중적분을 학습하였습니다. 열린 문제를 통해 구면-직교

좌표의 변환 방법을 알게 되었습니다. sage 프로그램의 T = Spherical ( 'radius',

['azimuth', 'inclination'] ), T.transform( radius = 4, azimuth = pi/2,

inclination = 2*pi/3 ) 명령어로 손쉽게 변환이 가능하다는 것을 알게 되었습니다.

-. 9주차 : 벡터장, 선적분, 그린정리, 회전, 발산, 스토크스 정리, 발산 정리에 대해 학습하였습니

다. 선적분을 이중적분으로 바꿀수 있는 그린 정리, 선적분-면적분 변환이 가능한 스

토크스 정리, 삼중적분-면적분 변환이 가능한 발산정리 개념을 이해하였습니다.

-. 10주차 : 복소수와 복소함수 학습할 수 있었습니다. 실수 연산과 마찬가지로 복소수 또한 사칙

연산에서 교환, 결합, 분배와 같은 법칙들이 성립한다는 것을 알게 되었습니다. 마지막

으로 박사가 사랑한 수식의 주인공 수학자 오일러의 항등식을 알게 되었습니다. 두 개

의 초월수와 하나의 허수가 만나 1을 더하면 0이 되는 세계에서 가장 아름다운 공식

이며 이런 수들이 모여 자연의 질서를 표현해준다는 경이로움을 느낄 수 있었습니다.

그동안 Q&A 활동 내용들을 Ch 4장에 정리하는 동안 많은 학습을 해왔고 이 과정에서 성장한 저

410

를 새삼 느끼게 되었습니다. 1학기 처음 미적분학1 을 수업했을 때는 정말 두렵고 과연 교수님의

가르침을 따라갈 수 있을지 저 자신에게 의문도 들었지만, 자율적인 학습과 코딩을 응용한 미적분

수업은 정말 새롭고 유익한 시간이었습니다. 혼자가 아닌 학우들과 함께 토론하고 제가 해결하지

못한, 경험하지 못한 유형들의 예제들을 Q&A 게시판을 보고 학습하게 되었습니다. 교수님께서 공

유해주신 old exam 과 같은 교재 외의 문제를 풀이하고 아이작 뉴턴에 의해 천체의 움직임, 우주

라는 공간상에서 시간에 따른 천체의 위치 변화로 만유인력을 이해하기 위해 발명된 미적분학이

현재까지 수학 이외에 의료, 금융, AI 등 정말 많은 분야에서 활용되고 있고 앞으로도 그 쓸모는

무궁무진할 것 이라는 생각에 미래가 기대됩니다. 수학을 배운다는 것이 결코 쉬운 일은 아니지만

“현재를 미분하여 미래를 예측한다”라는 말이 있듯이 배우고 배우다 보면 수학이라는 과목이 앞으

로 나를 성공하는 길로 인도해 주지 않을까 생각됩니다.

감사합니다.

소재부품융합공학과 전*준

h**jh@g.skku.edu

[개인 프로젝트]

Project Title (Tentative, just idea now): 시간표 관리

초록: 회사근무와 학교학업을 같이 이루어 나가면서 우리는 매일 스케쥴에 시달리고 매일 변화하는 일정

에 있어서 중요도를 까먹고 있는 것으로 파악됩니다. 따라, 내가 더욱 의미있는 시간들과 요일들을 확인

하여 더욱 효율적인 시간표를 작성할 수 있을 것입니다.

연구방법 개요: 시간표 관리를 위해서는 기본적인 자료가 필요하기에 한달동안의 개인 데이터를 파악하고

해당 식들을 함수로 표현한다. 매개변수로 표현할 수 있을 것이고 우리는 해당 함수에 있어서 다양한 미분

과 적분을 통해서 다양한 정보들을 얻을 수 있을 것이라고 판단합니다. 그 중 하루 시간동안의 공부하는

그래프를 그릴 수 있으면 그 적분의 넓이가 우리가 하루에 있어서 공부하는 양이 될 것이고 미분을 통해

해당 기울기를 알아보면 얼마나 효율성을 가진 것인지에 대한 내용들을 확인할 수 있을 것이라 판단합니

다. 다변수 미적분학을 배우면서 이변수함수나 다양한 공간에서의 미분, 적분법을 알았으니 매개변수를

여러개 둘 수 있을 것이며 그래프로 표현이 가능할 것이다. 이렇게 된다면 개인이 집중이 잘 되는 요일이

나 시간들을 파악할 수 있을 것이며 그 시간에 효율적으로 학습을 이어나갈 수 있을 것이라 판단합니다.

따라, 해당 정보들을 가지고 내가 가진 시간표를 관리할 수 있을 것이며 인공지능을 이용한다면 더욱 정확

한 데이터를 수집하며 자동적으로 시간표를 관리해주는 프로그램도 가능할 것이라 생각합니다.

411

Ch 6장. Final comment after your report (10점)

* first PBL (black) the summer semester 1week – 4week

1핚기를 미적분학을 학습하면서 이번 수업방식이 어떻게 흘려갈지에 대한 내용들을 잘 인지하고 있었기

에 개인학습이 중요하다는 점을 알고 있었습니다. 온라인에서 강의동영상을 이용하여 해당 학습을 예습하

고 오프라인수업에서 교수님과 직접 소통을 하며 학습을 이어나갈 수 있었습니다. 그 후에도 문의게시판

QnA를 이용하여 복습을 할 수 있었습니다. 복습을 이루어나가면서 잘 이해가 되지 않는 개념들을 다른 학

우님들과 공유할 수 있었으며 그 내용들로 열린 문제를 풀어보면서 해당 주차의 복습을 할 수 있었습니다.

또한 중간고사로 PBL을 작성하면서 내가 배운 내용들을 ch1에서 정리해보았고 모르는 내용들은 다른 학우

님들과 소통하였던 문의게시판을 이용하여 내용들을 찾아볼 수 있었습니다. 많은 데이터를 통해 제목을

검색하면 정리해준 개념들이 대부분 나왔고 그 내용들을 정리해준 학우님들에게도 감사함을 느꼈습니다.

이번학기에는 우리 반 학우님들은 문의게시판에서 많은 내용들을 공유해주었고 그 내용들이 많아서 배운

대부분의 개념들이 정리되어 있었고 다양한 예제들을 확인할 수 있었습니다. 저 또한 그 일원 중 한명이

되어 같이 해결해나갔으며 저보다 잘하고 있는 학우님들의 내용들을 참고하여 토론하였고 그 내용에 있어

모르는 것들과 틀린 답들은 교수님이 답변을 확인해주셨고 조교님이 final을 해주셨습니다. 1학기 때부터

해오던 math&coding 의 방법은 우리가 수학을 쉽게 다가갈 수 있게 해주었으며 좌표계이상의 공간에서도

가능하다는 것을 알게 되었습니다. 공간에서의 수학을 배워나가면서 현재 실생활에서 사용할 수 있는 경

우도 많이 생겼고 그 내용들을 현장에서 직접 사용할 수 있겠다는 생각도 할 수 있었습니다. 이번 학습과

정에서 가장 인상 깊었던 것은 우리가 살아가는 공간에 대해서 한 번 생각해보았던 것입니다. 살아가면서

당연히 우리는 공간속에서 살아가는 데 그것이 몇차원일까 라는 생각을 해보았고 다양한 내용들을 문의게

시판에서 확인할 수 있었습니다. 그 중에서도 우리가 지금 생각하였던 것은 수백년 전에도 같은 생각을 할

수 있었고 역사적인 인물들과 그 내용들을 공유할 수 있었습니다. 이번 다변수미적분학의 학습을 배운다

는 것은 어려울 것이라 생각하였는데 교재의 내용들을 이해하고 그 개념들을 정확하게 정리한다면 문제를

다루는 것은 개념의 내용과 문제의 판단능력만 있다면 sage를 이용하여 문제를 해결해 나갈 수 있을것이

라고 판단합니다. 이번 PBL보고서를 진행하면서 내가 이번학기 4주차까지 무엇을 배웠는지 무엇이 어려웠

는지를 다시 한번 상기하고 그 내용들을 다시 복습하는 계기가 될 수 있었습니다. 부족하였던 개념들도 정

리가 되었고 같이 소통해주었던 학우님들에게 감사드리고 우리의 과정들을 지켜봐주고 수정해준 교수님과

TA분들에게 정말 감사합니다. 남은 주차도 쉽지는 않을 것이라 판단하지만 지금과 같이 두려움을 버리고

학우님들과 열심히 토론하고 하다보면 잘 이번학기도 잘 마무리할 수 있을 것 입니다.

여름학기 남은 수업에서도 다 같이 성장하여 여름학기를 잘 마무리하였으면 좋겠습니다.

■ 학습을 하면서 느낀점

final PBL (orange) the summer semester 5week – 8week

여름학기를 마무리하면서 수학에 대한 인식이 긍정적으로 변하였다. 처음에는 수학이

라는 과목은 문제를 많이 풀어보고 우리가 배운 공식들을 암기해서 문제들에 대입해서

푸는 것만을 생각했지만 1학기와 여름학기를 진행하면서 수학은 그러한 과목이 아닐뿐

더러 모든 학문의 기초가 되는 학문이라는 것을 알게 되었다. 수학을 잘해야 다른 과

목 또한 잘할 수 있을 것이라고 생각하였고 수학의 기본을 하지 못한다면 다른 학문들

도 어렵게 생각이 들 것이라 생각한다. 따라 이번 학기를 더욱 열심히 하기 위해 노력

하였고 개념들을 잘 이해하기 위해서 예습, 복습, 문의게시판 활동하기 위해 노력하였

다. 동료들과 함께 소통하는 방법은 우리가 개념들을 확실하게 잡고 설명을 해주는 것

과 다른 학우들이 올린 글에 있어서 질문과 답변을 하는 것에 있어서 정확한 개념들을

가지고 있어야 활발한 활동을 이루어나갈 수 있었다고 생각한다. 그래서 최대한 혼자

서 할 수 있는 학습을 대부분 이루었고 사람들과의 소통으로 많은 것을 깨닫고 다양한

접근을 할 수 있었던 것 같다. 1학기를 시작할 때를 생각해보면 sage프로그램이라는

것도 어려웠고 왜 코딩을 만들어서 수학을 공부해야하는지에 대한 생각도 했었던 것

412

같은데 개념을 정확하게만 알면 굳이 시간을 들여 문제를 풀 이유가 없다는 것을 잘 파

악할 수 있었다. 우리는 현업에 나가기 전 다양한 지식을 쌓고 그 내용들로 다양한 분

야에 접근해야 해서 개념의 파악은 엄청 중요한 것이며 시간을 줄일 수 있는 sage같은

프로그램은 우리의 효율을 늘려줄 것을 당연하게 말할 수 있다. 1학기부터 22주라는

시간을 학습하면서 새롭고 다양한 학습방법에 있어서 많이 배울 수 있었던 것 같다.

특히, 자발성으로 해야 하는 학습 시스템과 수학의 문제만을 푸는 것이 아닌 것을 알

려주었으며 수학사에 관련된 토론을 이루어 나갔을 때 수학에 대한 흥미가 생기고 수

학을 왜 배우는지 무엇을 위해 배우는 지에 대해서 정확하게 확인할 수 있었다. 다변

수 미적분학을 배우면서 우리 일상생활에서도 해당 수학개념들이 보이며 적용할 수 도

있을 듯 합니다. 이번 학기동안 여러 학우님들과의 소통을 자주 하면서 더욱 긴밀한

관계를 유지할 수 있었으며 다른 학우님들의 학습 방법에 도움을 받을 수 있었으며 그

것을 같이 이루어 나가면서 잘 마무리할 수 있었던 것 같습니다. 또한, 문의게시판에

올라오는 개념들을 정리하고 내가 풀어본 문제들을 정리하면서 만든 이 보고서에는 아

주 많은 데이터가 들어가 있고 다음번에 미적분학에 대한 내용이 궁금하면 전자책을

통해서도 알아볼 수 있겠지만 이번 보고서를 참고해서 내용들을 확인할 수 있을 것입

니다. 우리는 이번 학기를 진행하면서 많은 개념들과 지식들을 얻을 수 있었으며 다양

한 토론을 통해서 수학의 중요성을 깨닫고 배우는 학습의 의미를 배울 수 있었습니다.

시간이 지나고 이 개념들을 잊을 수도 있겠지만 이렇게 보고서를 만들어가면서 다시

한 번 정리해보고 나의 생각을 적어가보면서 한 번 더 머리에 내용들을 생각해보고 정

리하며 더욱 깊이 있는 학습을 보고서로 마무리할 수 있었다고 생각한다. 현재는 한

과목의 영역안에서 서로의 논리를 말해보고 수정하고 보완하였다면 더욱 나아가 교수

님처럼 다른 나라와 소통을 하며 토론을 할 수 있는 사람으로 성장할 수 있을 것이다.

제가 올린 글 중에 ‘과거를 적분하면 현재가 보이고 현재를 미분하면 미래가 보인

다’라는 글을 올린 적 있었다. 해당 내용 글은 나의 과거와 미래에 대해서 한번 더 생

각을 해 볼 수 있었으며 나의 과거와 미래를 더욱 명확하게 하기 위해서는 수학을 잘해

야 되겠다는 결론이 나왔으며 이번 학기를 잘 마무리할 수 있었던 것 같다. 1학기 때

부터 여름학기까지 같이 진행해온 교수님, TA, 학우님들에게 정말 감사하며 나의 성장

에 있어서 큰 도움이 되었던 것 같다. 우리는 이제 더욱 나아가 많은 지식들을 배울 수

있는 기회가 있으며 그 내용들을 이번 학기를 진행하면서 배웠던 학습방법을 통해 더

욱 더 나아갈 수 있을 것이다. 다양한 학습방법과 토론, 서술하는 방법을 알 수 있었

으니 빠르게 성장할 수 있을 것이라 생각한다.

여름학기까지 가르쳐 준 교수님과 같이 열심히 한 학우님들에게 다시 한 번 감사의 말

을 올립니다.

■보고서를 쓰면서 배웠던 점

[ch1] 제가 이번 강의동안 배운 내용들을 정리하고 교재를 다시 한 번 찾아보는 학습

을 할 수 있었습니다. 교재에 있는 내용들을 중점으로 확인하고 복습하였으며 추가적

으로 부족한 부분을 따로 정리하였으며 특히 w9 나오는 내용들이 이번 강의의 모든 부

분이 들어가는 내용이 될 수 있었습니다. ch1을 정리하고 확인해보면서 이번 강의를

통해 무엇을 배웠는지에 대해서 확인할 수 있었으며 보고서를 작성하면서 정학한 내용

을 담기 위해 노력하였으며 교재의 내용들을 중점으로 가져왔으며 기말고사 부분을 따

로 정리하여 추후에 보고서를 보면서 학습을 할 수 있게 정리하였습니다. 또한 매주

배운 내용들을 서술해보면서 부족한 점이나 보충해야 하는 점들을 확인할 수 있었으며

이번 강의동안 QnA에서 의미가 있던 내용들을 담으면서 수학에 관련된 정보들을 확인

413

할 수 있었습니다.

[ch2] 이번 강의동안 제가 어떻게 공부하였는지에 대해서 다시 한 번 생각을 해볼 수

있었던 파트였으며 공부하는 방법이 단순히 문제를 풀면서 넘어가는 것이 아닌 내용들

을 누군가에게 설명을 할 수 있는 정도까지 올라갈 수 있었던 점을 확인할 수 있었습니

다. 또한 제가 부족한 점들을 다른 학우님들에게 배우면서 다양하고 많은 데이터들을

확인할 수 있었으며 내용을 설명하는 학습능력과 서술하는 능력 스스로 학습을 하는

능력을 키울 수 있었습니다.

[ch3] 전체적으로 이번 강의를 통해 배운 내용과 응용 내용들을 담을 수 있던 파트였

으며 학습을 어떻게 하였는지에 대해서 다시 확인을 하고 다른 학우님들과 어떤 소통

을 하였으며 나에게 도움이 되었던 학우님들을 상기시킬 수 있었습니다. 혼자서 나아

가면 힘들었던 것들을 다른 학우님들과의 소통으로 더욱 다양한 정보들을 가지고 학습

을 진행할 수 있었으며 다른 학우님들에게 설명하거나 학습한 내용을 보여주기 위해서

노력하였던 부분과 혼자서 하면 힘든 것들을 다른 학우님들과의 소통으로 같이 나아갈

수 있는 능력을 키울 수 있었습니다.

[ch4] 학습 중 중요한 내용들을 담고 있는 open problem을 풀어보며 문제해결능력을

키울 수 있었으며 수학사에 대한 내용들을 담아 수학에 대한 흥미를 가질 수 있었습니

다.

[ch5] 수학을 배우면서 어떻게 응용을 할 것인지에 대해서 생각을 해보면서 수학이 다

양하고 많은 곳에 활용이 된다는 것을 확인할 수 있었습니다. 모든 학문에서 수학이

힘들다면 다가가기 힘들다고 판단하였고 다양한 곳에서 활동하기 위해서는 수학이 필

수라는 것을 확인할 수 있었으며 수학이 생활에 얼마나 다가와 있는지에 대해서 확인

할 수 있었습니다.

[ch6] 보고서를 마무리하면서 제가 배운 내용들을 학습을 해보았다는 내용과 얼마나

노력을 하였는지에 대해서 서술 할 수 있었던 것 같습니다. 더욱 다양한 학습방법을

배웠고 보고서를 작성하면서 제 생각들을 담을 수 있어 좋았으며 배운 내용들을 정리

하면서 마무리할 수 있었습니다.

414

■ 10주차 강의동안 배운 수학개념

[w1] 선형대수학의 기본개념을 배울 수 있었으며 벡터, 행렬의 기본개념을 확인할 수 있었습니다. 행렬연

산에 있어서 큰 어려움은 없었으며 선형연립방정식에의 해를 구하는 방법을 알 수 있었습니다. 미지수가

2개인 선형연립방정식의 해집합은 세 가지 경우가 존재하며 가우스 소거법을 이용하면 하면 모든 선형연

립방정식의 해를 구할 수 있을 것입니다.

[w2] 벡터의 노름, 내적, 외적에 대한 기본개념이 등장하고 노름을 이용하면 두 점 사이의 거리를 쉽게 계산

할 수 있으며 내적을 풀 수 있었습니다. 벡터의 외적은 두 벡터에 동시에 수직인 제 3의 벡터를 구해야 할

때 사용하며 내적과의 다른 점을 정확하게 알아야 합니다. 직선의 방정식에서는 벡터방정식, 매개방정식, 대

칭방정식의 꼴의 식들을 얻을 수 있는데 추후에 학습할 내용에서 다양하게 등장하기에 정확한 개념을 잡아가

야합니다. 평면의 방정식 또한 직선의 방정식의 개념을 평면으로 옮겼다고 생각하면 되고 다양한 식으로 표현

을 할 수 있어야 합니다.

[w3] 매개변수방정식은 공간상을 표현할 때 자주 등장하고 그 내용들은 좌표공간에서와 비슷하게 미분, 적분

이 가능합니다. 미분을 정의하기 위해서는 극한을 먼저 이야기해야하는데 벡터함수에서 극한은 성분함수가 모

두 극한이 존재하는 경우에만 성립합니다. 극한이 존재한다면 벡터함수의 미분과 적분을 정의할 수 있으며 각

성분을 미분을 해주면 됩니다. 좌표상과 비슷하게 각 성분에 맞는 매개변수를 미분해주면 됩니다. 적분도 미

분과 동일하게 해주면 됩니다. 미분과 적분이 가능하게 되면 곡선, 곡면에 대한 내용들도 이해가 가능합니다.

곡선은 C, 곡면은 S로 표현이 됩니다. 두 개 이상의 변수가 있을 경우에는 편미분에 대한 내용이 나오는데

편미분이란 다변수 함수에서 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하면 됩니다.

[w4] 편미분 다음으로 전미분에 대한 내용들이 나오는데 편미분은 변수 하나의 변화만을 생각하였다면 전미

분은 다변수 함수의 모든 변수의 변화에 따라 변화하는 형태를 표현합니다. 방향도함수는 다변수함수에서 어

떠한 방향으로의 함숫값의 변화율이고 기울기벡터는 방향도함수와 비슷하지만 벡터값을 가지고 있습니다. 따

라서, 기울기 벡터를 알고 방향 벡터를 알 수 있으면 방향도함수를 구할 수 있습니다. 삼변수함수의 방향도함

수나 기울기 벡터도 이변수함수에서처럼 구하면 됩니다.

[w5] 이변수함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법이 나오는데 우선 임계점에 대한 내용들을 알아야 쉽게 다

가갈 수 있습니다. 임계점이란 극댓값, 극솟값이 될 수 있는 점을 말하는데 둘 다 아닌 경우도 있습니다. 편

도함수를 통해 임계점을 구할 수 있으며 임계점을 구했다면 판정법을 통해 극댓값, 극솟값을 판별할 수 있습

니다. 라그랑주 승수법을 통해 최댓값, 최솟값을 찾는 방법이 있는데 기울기 벡터를 사용합니다. 기호들과 용

어들을 정확하게 알고 식을 적용하면 어렵지 않게 구할 수 있을 것입니다.

[w6] 이중적분은 크게 직사각형 영역에서의 이중적분, 일반영역에서의 이중적분으로 볼 수 있는데 직사각형

영역안에서는 쉽게 답을 구할 수 있을 것입니다. 해당 구간을 정확하게 파악하고 푸비니정리로 적분이 쉽게

되는 방향으로 풀어 나가면 되고 일반영역서의 이중적분을 볼 때는 함수가 연속인 지 확인을 먼저 하고 적분

이 쉽게 되는 방향으로 적분을 진행하면 됩니다. 그래프를 그려보고 적분의 영역을 보면 더욱 쉽게 이중적분

을 풀어나갈 수 있을 것입니다.

[w7] 극좌표에서 이중적분을 방법을 배우는 데 굳이 극좌표로 표현하는 이유는 직교좌표보다 더욱

쉽게 풀어나갈 수 있기 때문인 것 같습니다. 극좌표를 사용한 이중적분은 쉽게 생각하면 치환적분

이라고 보면 됩니다. 치환적분을 할 때 영역표시를 중요시하게 해야하며 극좌표 변환시에 rdrdt로

변환되는 것을 중요하게 봐야합니다. 삼중적분에서도 이중적분과 마찬가지로 푸비니 정리가 성립

하는데 적분범위가 모두 상수이면 푸비니 정리가 성립합니다. 이 경우도 적분을 쉽게 할 수 있는

방향으로 만들어 적분을 하면 되고 삼중적분은 무슨 변수로 먼저 적분을 해야 할지 잘 정해야 합

니다. 하나의 변수를 적분하였을 때 평면상에 정사영을 한 구간을 잘 구할 수 있는 방향으로 먼저

적분을 하면 됩니다. 구간을 정하는 것이 어려울 수도 있으니 그래프를 직접 그려보는 것이 가장

좋은 방법이라고 생각하며 구간을 정하는 것은 많은 연습을 통해 해결해 나갈 수 있을 것입니다.

일반적인 영역에서 즉, 직육면체의 영역에 아닌 곳에서는 정사영을 보고 극좌표를 이용한 이중적

분을 사용하면 더욱 편한 경우가 있으니 치환적분에 대한 내용들도 정확하게 잡고 있어야 합니다.

[w8] 원기둥 좌표계는 극좌표와 비슷하게 나타낼 수 있는데 극좌표를 (r,t)로 표현하였다면 원기둥

좌표는 (r,t,z)로 표현할 수 있습니다. 쉽게 말하면 극좌표에서 z축의 방향만 더했다고 보면 됩니

415

다. 원기둥 좌표계는 적분하려는 영역이 원기둥의 일부일 때 쓰면 쉽게 풀이가 가능하고 원기둥좌

표계로 변환을 하고 적분을 할 때 rdrdt로 변환을 해줘야하는 것은 극좌표계에서와 같습니다. 다

음으로 구면좌표계는 (row,t,p)로 표현할 수 있습니다. 각 기호가 나타내는 값은 로우는 점 P와 원

점간의 거리, t는 원기둥좌표에서의 t와 같은 각, p는 양의 z축과 선분 OP가 이루는 각입니다. 원

기둥좌표계나 구면좌표계를 사용하는 이유는 치환적분을 하기 위해서인데 치환적분을 하는 경우

이유도 문제를 쉽게 풀이하기 위해서입니다. 치환적분시에는 변환되는 값들을 잘 확인하고 범위를

잘 나타내주면 됩니다. 치환적분을 하는데 배운 좌표계로 표현하기 힘든 경우에는 변수변환을 하

는 방법을 알아야 하는데 그 내용이 야코비안의 절댓값입니다. 야코비안의 값도 정해진 식을 풀이

하면 어렵지 않게 구할 수 있으니 치환적분을 하는 경우에는 항상 생각을 하면서 풀면 됩니다.

[w9] 선적분은 선을 따라서 함수f를 적분하는 것인데 선을 매개변수로 표현해줘야 풀어나갈 수 있

습니다. 이 전에 배운 내용들이 좌표계를 변환시키는 치환적분에 대한 내용들이였기에 선적분을

하기 위해선 좌표계의 변환이 자유로워야 쉽게 풀이가 가능합니다. 선적분을 구하는 공식은 있으

니 어렵지 않게 풀어나갈 수 있으나 여러 개의 선들로 이루어진 문제에서는 그린정리를 이용하면

더욱 쉽게 선적분을 구할 수 있습니다. 그린 정리란 닫힌 곡선에서 선적분을 이중적분으로 표현이

가능합니다. 즉, 영역을 표시해서 선적분을 면적분의 형태로 풀 수 있는 것입니다. 여기서 그린정

리를 사용하기 위해서 곡선이 닫힌곡선이여야 하며 함수가 벡터함수라는 알아야 합니다. 결국 선

적분을 더욱 쉽게 풀어나가기 위해서 그린정리가 나온 것이고 매개변수가 나오고 이중적분을 해야

하니 전에 배운 내용들이 모두 들어간 문제라고 볼 수 있습니다. 다음으로 면적분을 보면 주어진

곡면 S를 적분을 하면되는데 면적분을 하는 공식들도 있어서 치환적분만 잘해주면 어렵지 않게

풀어나갈 수 있을 것입니다. 면적분과 선적분의 연결된 스토크스 정리가 있는데 스토크스 정리는

쉽게 말해 그린정리의 확장입니다. 그린정리는 선적분을 면적분(이중적분)으로만 바꿀 수 있었는데

그 이유가 그린 정리는 2차원 평면에서만 일어나는 일이기에 곡면이 나올 수가 없습니다. 거기서

공간으로 확장한 것이 스토크스 정리인것이며 스토크스의 정리에 따라 선적분과 면적분이 양방향

으로 바꿀 수 있습니다. 여기서 면적분을 이용할 때 curlF라는 것을 명심해야 합니다. 스토크스

정리의 증명은 여러 교재에 많이 나와있고 설명하기에 난해한 부분이 있어서 다른 교재를 참고하

는 것이 좋을 듯합니다. 따라, 문제에서 스토크스정리가 성립하면 선적분이든 면적분이든 쉽게 풀

수 있는 방법으로 풀면 됩니다. 그린 정리나 스토크스 정리를 통해 문제를 풀어보면 치환적분의

이중적분이나 삼중적분이 꼭 나오기 때문에 이 전에 배운 내용들이 중요시 된다는 것을 알 수 있

었습니다. 마지막으로 발산정리는 면적분을 삼중적분으로 바꾸어 주는 정리인데 여러 개의 면적분

을 면들이 둘러싼 입체에서 삼중적분으로 계산을 할 수 있습니다. 발산정리에서도 여러 개의 면적

분을 구해야 하는 경우 가 있다면 발산정리를 통해 div F를 통한 삼중적분 한 번으로 해당 답을

얻을 수 있습니다. 이 경우도 양방향으로 성립합니다. 이 내용들을 정리하자면 그린 정리는 여러

개의 선적분을 이중적분으로 계산할 수 있고 발산 정리는 여러 개의 면적분을 삼중적분으로 계산

할 수 있으며 스토크스 정리는 선적분과 면적분의 연결이 되는 정리입니다.

앞서 배운 내용들을 정확하게 이해하고 있어야 w9 내용을 이해가 가능할 것입니다.

한 학기 안에 다변수미적분학을 배우는 것은 쉽지 않은 내용 이였지만 sage프로그램을 이용하여

시간을 단축하고 학우님들이 올려주시는 다양한 open problem을 통해 다양하게 학습을 할 수 있

었습니다. 다변수미적분학을 배우면서 전체적인 부분을 바라볼 수 있었으며 다양한 학문에 응용이

가능할 것이라 판단합니다.

이번 보고서를 통해서 수학적 개념, 서술하는 방법, 학습하는 방법, 소통하는 방법, 보고서 작성

등 많은 것들을 학습하였으며 추후에 모르는 내용들은 교수님의 전자책이나 PBL보고서를 통해 재

학습이 가능할 것입니다.

416

임경섭:

(3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

(midterm) 처음 미적분학1을 통해 학습한 일변수함수들의 극한, 도함수 등과 같은 수학

적 개념이 다변수함수(Multi variable, 변수가 2개 이상)에서도 동일하게 적용되는 것이

신기하였습니다. 처음엔 다변수함수라는 말 자체가 익숙하지 않고 낯선 말이였지만 강좌

를 수강하면서 일변수함수를 통해 이변수함수로 개념을 확장하고 지속적으로 한 단계씩

공간과 차원의 개념을 확장시키면서 기존에 학습한 수학적 개념을 이용하고 실제로 나타

낼 수 없는 4차원 이상의 것들을 머릿속으로 생각해 볼 수 있게 되었습니다. 아직은 4차

원이상의 함수는 sage를 통해 그래프로 나타내지 못하여 쉽게 생각하고 머릿속에서 그리

기 어렵지만 이번 강좌를 통해서 일변수함수의 단순한 이차원 평면이 아닌 한 단계 높은

차원3차원의 이변수함수를 생각할 수 있게 되었고

의 3차원 공간의 곡면의 형

태와 벡터, 공간곡선 등을 이해할 수 있었습니다. 앞으로 지속적으로 이러한 수학적 개념

을 확장시켜서 보다 높은 차원을 상상하고 문제를 풀 수 있게 되기를 바라고 있습니다.

(final) 1-7주차까지 학습한 내용을 바탕으로 8주차 원기둥 좌표에서의 삼중적분, 구면좌

표에서의 삼중적분을 배우게되었고, 9주차 가장 힘들고 어려웠던, 벡터장, 벡터장의 회전,

발산, 선적분, 면적분, 그린정리, 스토크스정리, 발산정리까지 학습하면서. 왜 그렇게 교수

님께서 문제푸는것에 집착하지 않고 수학적 개념에 먼저 집중하라고 말씀하신지 몸소 느

낄 수 있었습니다. 앞에서 학습한 내용이 밑바탕이 되어있지 않다면 8-9주차에 배우는 내

용을 전혀 학습할 수 없는 내용들이였고, 또 알고 있다고 생각했던 개념이었지만, 아직

부족한 부분이 많다는걸 느낄 수 있는 주차였던 것 같습니다. 이처럼 미적분학1, 다변수

미적분학을 총 25주차에 걸쳐 수강하면서 가장 크게 느낀점은 모든 수학개념이 각각 따

로 있지 않고 연결되어있다는 것입니다. 그렇기 때문에 앞으로도 부족한 개념이나 잊어버

리는 개념들에 대해 꾸준히 정리하고 이번 강좌를 통해 스스로 정리하고 작성한 pbl 보고

서를 바탕으로 지속적으로 공부해야 한다고 느꼈습니다.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

강의 커리큘럼을 통해 각 주차별 학습 내용과 학습 목표를 확인하고, 교수님의 강의 영상을 선

행학습하여, QnA를 통해 질문하고 정규 수업시간을 통해 부족한 개념을 이해하면서 정해진 커

리큘럼에 따라 수학적 개념을 학습하고 sage를 통해 복잡한 형태의 이변수함수의 그래프도 확

인 할 수 있게 되었습니다.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

*사용 교재

1) 다변수 미적분학 (저자 : 이상구 with 이재화, 유주연, 함윤미)

2) 기초선형대수학 (저자 : 이광연, 설한국, 김진수)

417

*강의 영상

1) 미적분학2 강의영상 (강의자 : prof : 이상구 교수)

2) YouTube 영상 참고 (채널 : 권태원큐스터디)

3) YouTube 영상 참고 (채널 : 공돌이의 수학정리노트)

*학습 방법

기존 미적분학1 강좌에서 미적분학2로 연결되어 강좌를 수강하면서 기존 이상구 교수님의 수

업방식인 강의 녹화를 영상으로 제작해주시고 이를 선행학습한 후 궁금한 점이나 모르는 사항이

있는 경우 수업시간과 QnA게시판를 활용하여 토론하고 질문하면서 해결하였습니다. 또한 QnA

게시판을 통해 학습한 내용을 정리하고 학우들에게 공유하였고, 다른 학우들과 수학적 개념에

대한 토론을 통해 미처 이해하지 못했던 부분이나 놓쳤던 부분을 확인하고 이해할 수 있었습니

다. 다만, 학우들과의 토론으로도 명확한 해답이나 결론을 도출하지 못하였을 땐, 교수님께서도

토론에 참여하시고 comment를 달아주셔서 추가적으로 미흡한 부분을 채울 수 있었습니다. 또

한 주차가 지나면서 흐릿해진 수학적 개념은 Q&A 게시판에 정리된 글들과 업로드 된 강좌 영

상을 통해서 다시 학습하였습니다.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

(midterm) 0주차 선형대수학에 대한 주요 개념을 이해하였고, 1주차 벡터와 행렬의 형태와 연

산법칙들에 대해 학습하고 Sage를 통해 실제로 행렬과 벡터의 연산법칙들이 성립 하는걸 확인

할 수 있었습니다. 2주차에는 앞 주에 학습한 벡터를 활용하여 내적을 구하고, 외적을 통해 두

벡터의 수직한 법선벡터와, 외적을 통해 육면체의 부피를 구하는 것을 확인할 수 있었습니다. 3

주차에는 벡터함수의 미분과 적분을 배웠습니다. 벡터 미분은 벡터의 각각의 성분을 미분하여

쉽게 표현 할 수있고 벡터함수의 도함수가 곡면의 접선벡터인 것을 확인 할 수 있었습니다. 또

한 편도함수라는 개념을 학습하였는데,

함수를 x에 대해 편미분할 때 y를 상수로 놓

고 y를 미분할떄 x를 상수로 표현하여 미분하는 것을 알게 되었습니다. 4주차는 접평면과 기울

기벡터(gradient vector), 방향도함수를 학습하였습니다. 기울기벡터(gradient vector)는 xy평면위

에 임의의 점P를 x, y축에 평행하게 짤랐을떄 곡면위에 나오는 곡선과 점하는 기울기를 나타냅

니다. 여기에 방향을 나타내는 u벡터가 나올 때 u벡터의 단위벡터를 기울기벡터와 내적하게 되

면 방향도함수를 구할 수 있게 됩니다.

(final) 5주차 다변수함수의 극대, 극소, 최대, 최소를 구하는 것을 학습했습니다. 일변수함수와 이

변수함수의 극대, 극소, 최대, 최소값을 구하는방법엔 차이가 없었고, 조금 다른점이라고 한다면

이변수함수는 boundary(경계)를 비교하여 최대, 최소를 구한다는점 이였습니다. 6-7주차 과정은

이중적분과 삼중적분에 대해 학습했습니다. 다변수미적분학으로 넘어오면서 여러 가지 변수에 대

해 생각하게 되면서 여러 변수에 대해 적분하는 이중, 삼중적분을 학습하였고, 이중 가장 헷갈렸

었던 적분영역을 정의해주는 방법에 대해서 Q&A 게시판을 통해 학우들과 이야기 나누면서 해결

할 수 있었습니다. 그리고 이번 강좌에 가장 중요한 주차인 8-9주차에는 원기둥좌표와 구면좌표에

서의 삼중적분, 벡터장, 선적분, 그린정리, 스토크스정리. 발산정리에 대해서 학습했습니다. 8-9주

차의 내용은 앞에서 학습한 내용들을 전부 이해하지 못하면 학습하기 어려운 부분이였고, 그로 인

해 알고 있다고 생각했지만 정확히 알지 못했던 수학적 개념을 다시 학습하고 보충할 수 있었습니

다. 또한 마지막에 학습한 3가지 정리에 대해서는 앞으로 수강하게 될 역학과목에 핵심적인 정리

라고 설명해주셔서 어렵지만 많이 반복해서 보면서 이해할 수 있었습니다.

418

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

여름 도전학기 미적분학2를 학습하면서, 초, 중, 고등학교까지의 교육을 통해서 배운 일변수함수

형태의 변수가

하나의 일변수함수만을 배웠던 것과 달리 다변수함수(Multivariable)에

대해 학습하면서 2차원 평면을 3차원으로 확장시키고 3차원을 더 높은 n차원으로 확장시키는 방

법을 배우면서 눈에 그려지지 않는 고차원함수에 대해 학우들에 다양한 의견을 듣고 서로의 의견

을 공유하고 토론하면서 스스로 미쳐 생각하지 못했던 것을 깨우치고 이해하면서 다변수함수 미적

분을 조금이나마 쉽게 이해하는데 도움이 되었습니다. 혼자만의 생각에 갇혀있지 않고 나의 생각

을 공유하고 나의 의견을 듣고 새로운 의견을 덧붙여주는 학우들을 통해 보다 넓은 시각으로 미적

분학2를 학습할 수 있었습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

이번 여름도전학기가 끝나는 시점엔 이변수함수가 아닌 더 많은 함수를 생각할 수 있는 사고력

과 수학적 개념을 갖추고, 이를 바탕으로 여러 가지 변수에서 최적의 해(Optimization solution)

를 구하는 방법을 익혀 일상적인 모든 상황에 최적의 해를 구해 만족스러운 해답을 구할 수있도

록 하겠습니다. 아직은 실생활에 어떠한 분야에 적용할지에 대한 큰고민을 하지 않았지만, 졸업

후 직장에서 어떠한 문제에 마주쳤을 때 가장 나은 해답을 찾을 때 많은 도움이 될 수 있을거라

생각합니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적

으세요.) : 80 점

(midterm) 지난 학기 미적분학1은 중, 고등학교 복습과정과 기존의 개념을 보다 확장하는 수업을

통해 현재 진행 중인 다변수함수의 미적분학의 기틀을 마련하면서 기존의 알던 개념을 공유하고 잘

못된 점을 수정하는 방식 위주로 개인 학습을 진행했지만, 이번 강좌에서 학습하는 내용은 전부다

생소한 내용이라 수학적 개념을 이해하고 받아들이는데 중점을 두었습니다. 다만, 다변수함수도 일

변수함수와 크게 다르지 않다는 걸 알게 되었고, 이를 통해 차원을 확장할 수 있는 사고력을 키우

고 내가 이해하고 어려운 부분을 QnA에 작성하여 공유하면서 수학적 개념을 학습할 수 있도록 노

력하였습니다. 개념을 정리하고 공유하는 횟수는 많이 줄어들었지만 다른 학우들이 정리해준 내용

에 많은 질문을 남기고, 학우들의 질문에 답변하면서 개념을 쌓아갔습니다. 익숙하지 않은 다변수

함수를 배우면서 학우들과 많은 토론을 진행했고 많은 질문을 하면서 다른 학우들에게도 많은 도움

을 주었다고 생각합니다.

(final) 5주차 이후 학습내용이 전에 학습한 내용들에 비해 난이도가 조금 올라간 것 같다고 느끼

면서 학습하는데 어려움이 많았습니다. 기존엔 학습내용을 교수님의 강의를 통해 바로 이해하고

Q&A 게시판에 정리하고 답변하는 방식을 통해 게시판을 활용하였는데, 5주차 이후부턴 요약정리

보단 스스로 학습하고 모르는 것을 질문하고, 추가로 학우들이 정리해준 내용을 읽고 다시 이해하

는 방식으로 학습을 하면서, Q&A 활동방식이 학습한 개념을 주차별로 정리하여 공유하는 방식에

서 스스로학습하고 모르는 것을 교수님과 학우들에게 질문하여 이것을 해결하고 공유하는 방식으

로 변경된 것 같습니다.

419

다른 학생에 대한 평가

저는 수학적 개념을 이해하는데 많은 시간이 필요해 개념을 이해하는데 많은 시간을 쓰면서 open

problem을 많이 공유하지 못하였지만, 많은 학우들이 open problem를 공유해주면서 다른 형태의 예제

들을 접할 수 있었고, sage 실습내용을 공유해주면서 이해한 개념을 바탕으로 문제를 해결하는 방법을

익힐 수 있었습니다. 부족했던 실습과 예제등을 많이 공유해주어서 학습한 수학적 개념을 실제로 문제

에 적용해 볼 수 있었습니다. 또한 다변수미적분학을 실생활이나 다른 과정과 연결시켜 설명해주는 학

우들도 있어서, 미적분학의 다양한 활용방안에 대해서도 학우들을 통해 깨우쳤던 것 같습니다. 수업을

듣고 혼자만의 생각으로 학업을 진행했다면, 몰랐거나 생각하지 못했을 많은 내용들을 Q&A 게시판을

통해 느낄 수 있었다고 생각하고 있어서, 강좌를 같이 수강한 모든 학생들에게 많은 고마움을 느끼고

있습니다.

Name / e-mail (이름과 이-메일): 임*섭, ks30**@g.skku.edu

Title: 다변수함수의 최적해(Optimal solution) 도출을 통한 재고관리 시스템.

초록: 효율적인 재고관리 시스템은 모든 사업의 이윤추구에 필수적으로 필요한 존재

이다. 작은 편의점부터 대기업의 이르기까지 재고관리에는 수많은 변수가 작용한다.

물품의 종류부터 소비자의 Needs 파악, 계절성 변수, 경제적, 국가적 관계 변화에 의한

물품의 수요 감소 등 수많은 변수가 존재하게 된다. 이러한 많은 변수들을 효율적으로

관리하여 최적해를 구하고 이를 바탕으로 가장 효율적인 재고관리시스템을 구축한다.

연구방법 개요 :

① 문제를 설정하고

② 정보를 수집하고 분석하며

③ 수집한 정보분석에 의한 체제의 유용성과 이것에 영향을 주는 요소와의 관계를

구하여 수식으로 모델을 작성하고

④ 수학적 모델을 작성했을 경우에는 수학적 조작을 행함으로써 최적해가 구해지고,

물리적 유사(類似) 모델을 작성했을 경우에는 현실의 움직임과 맞는가를

시뮬레이션하여 해(解)를 구하고 이 해를 실제로 사용할 수 있는지를 검토하고 동시에

지금까지의 각 단계를 재검토한다.

⑤ 해의 유용성이 증명되었으면 실재로 이 해를 이용하여 현실의 변화에 대하여 어느

정도 차이가 있는가를 검토한다. 왜냐하면 모델에 의해 얻어진 최적해가

현실상황에서도 최적한 것인지를 모르기 때문이다.

참고문헌/웹주소:

https://terms.naver.com/entry.naver?docId=512949&cid=42126&categoryId=42126

Ch 6장. ◆ Final comment after your report ◆ (10점)

420

*중간 PBL (검은 글씨) : 처음으로 일변수함수가 아닌 다변수함수의 미적분을 배우면서 부족한 점

을 많이 느끼게 되었고, 이를 계기로 스스로 더욱더 열심히 공부하고 관심을 가지는 계기가 되었

습니다. 부족한 수학적 개념을 느리지만 조금씩 채워나가면서 수학이 어려운게 아니라 스스로 관

심을 가지지 않았다는 걸 깨닫게 되었습니다. 항상 교수님께서 말씀하시는 수학적 개념의 이해가

가장 중요하며 토론을 통해서 학습하는 것에 대한 중요성을 이번 학기 다변수함수 미적분학2 강좌

를 통해서 가장 크게 느꼈던 것 같습니다. 아직도 많이 부족하지만 midterm pbl 보고서를 작성하

면서 다시 한 번 어렵게 느꼈던 부분의 개념을 다시 정리할 수 있었고, 자료를 정리하면서 학우들

과 토론한 내용과 질문한 내용을 시간이 지나서 다시 한 번 보게 되면서 보다 쉽게 이해가 되었습

니다. 일변수함수에서 이변수함수까지 개념을 확장하면서 2차원 평면에서 3차원 공간, 곡면이 어

떻게 표현되고 나타나는지 이해할 수 있었습니다. 이를 통해서 우리는 함수를 그림으로 나타낼 수

없는 4차원 이상의 것들을 머릿속으로 생각할 수 있는 사고력과 수학적 개념을 갖추게 되었습니

다. 또한 이러한 다변수함수들의 계산은 계산의 원리와 공식이 나오는 이유를 알게 되면서 복잡한

계산은 Sage를 활용해 손쉽게 구할 수 있게 되면서 다시 한 번 Sage가 얼마나 powerful한 도구

이며 우리가 현재 학습하는 방법이 얼마나 혁신적이고 효율적인지 다시 한 번 깨닫는 여름학기 강

좌가 되는 것 같습니다. 일변수함수의 개념이 그대로 이변수함수 삼변수 사변수 함수로 확장되는

걸 이해하면서 앞으로 학습하게 될 전공과목에 대한 준비를 확실히 할 수 있을 거라는 것을 느낄

수 있었습니다.

*최종 PBL (파란 글씨) :

(5W) 중간고사 이후 5주차에는 극대, 극소, 최댓값, 최소값을 구하는법이 대해 배웠습니다. 일변수

함수에서 사용하던 방법과 큰 차이가 없었습니다. 다만 극대, 극소 판정을 함에 있어서 이변수함

수에서는 2계편도함수를 갖고 헤시안 행렬의 행렬식과 고윳값을 확인하는 정도의 차이가 있었습니

다.

(6W) 6주차에는 이중적분의 대해 학습하였습니다. 다변수함수의 이중적분은 직사각형의 영역과 일

반적인영역에 대한 적분으로 나누어 학습하였습니다. 이 때, 일반적인 영역의 적분을 유계인 직사

각형 영역으로 설정하여 손쉽게 확인 할 수 있었습니다.

(7W) 7주차 극좌표에서의 이중적분입니다. 직교좌표를 극좌표로 변환하는 것은 이미 기존에 학습

했던 내용으로 큰 어려움이 없었습니다. 다만, 주의해야할 점은 극좌표로 적분을 변환 할 때, 변수

변환을 통해

로 변환된다는 중요한 사실을 배우게 되었습니다.

(8W) 직교좌표를 극좌표로 변환하던 것에서 원기둥좌표와 구면좌표로 변환하는 것을 배웠습니다.

또한 이것들을 활용하여 삼중적분을 하면서 발생하는 변수변환에 대해서도 교재에 포함된 그림을

통해 손쉽게 확인 할 수 있었습니다. 이중적분의 변수변환을 학습한 것을 바탕으로 원기둥좌표에

서

가 된다는 것과 구면좌표에서는

가 나오는 것을 학습하였습

니다.

(9W) 마지막 9주차 벡터장과 회전, 발산, 선적분에 대해 학습하였습니다. 벡터장

가 보존장일 경

421

우 가지는 중요한 의미를 9주차에 학습한 것 같습니다. 보존장일 때, 적분경로에 대해 독립적이

되면서 선적분의 계산이 매우 간편해지고, 또 이러한 사실을 바탕으로 학습한 3가지 정리(그린정

리, 스토크스정리, 발산정리)에도 활용 할 수 있을거라 생각합니다.

(수업을 마치며 느낀점..)

미적분학1과 다변수미적분학을 총 25주간 수강하면서 8,9주차의 마지막 2주의 시간이 가장 힘든

시간이었던 것 같습니다. 마지막 2주차에 학습한 원기둥, 구면좌표계의 삼중적분, 벡터장, 벡터장

의 회전과 발산, 선적분, 면적분, 그린정리, 스토크스정리, 발산정리까지 2주동안에 학습한 내용은

앞에 학습한 전체 내용을 알지 못하면 이해할 수 없는 부분이었기 때문인 것 같습니다. 그동안 학

습하면서 수학적 개념을 이해하고 깨우치는데 많은 노력을 했다고 생각했지만, 2주간 학습하면서

아직도 모르는 부분과 알았지만 잊어버렸던 개념이 너무 많았던 것 같습니다. 이번 PBL보고서를

작성하면서 다시금 잊고 있던 수학적 개념들을 정리하는 시간이 된 것 같습니다. 이번 기말 PBL

작성에는 8-9주차에 대한 내용에 대해서 스스로 부족한 수학적 개념 부분을 정리하고 채우려고

노력했던 것 같고 이것을 바탕으로 앞으로 학습하게 될 유체역학, 전자기학과 같은 과목을 학습하

면서 다시 잘 생각나지 않거나 이해가 되지 않는 부분은 이번에 작성한 PBL보고서를 보면서 복기

하고 학습할 수 있을 거라 생각하며, 또 어려운 수학적 계산은 교수님께서 만들어 주신 Sage 실

습실을 활용하여 해결할 수 있을 것이라 생각합니다. 처음 경험해보는 수업방식에 처음엔 잘 적응

하지 못했던 것 같지만 이러한 수업방식이 그 전에 있던 수업방식과 얼마나 큰 차이를 보이고 학

생 스스로 학습하고 질문하고 토론하는 것이 학생에게 얼마나 큰 영향과 학업성취도를 주는지 깨

닫게 된 25주가 된 것 같습니다. 감사합니다.

422

김지수: ■ Sage 명령어

정의

변수

var(‘x’)

값 정의(예: a=3)

a=3

함수의 정의 (예:

)

f(x)=x^2

미분과 적분

도함수

diff(f(x), x)

부정적분

integral(f(x), x)

[a,b]에서 적분

integral(f(x), x, a, b)

음함수의 미분법

F.implicit_derivative(y,x)

그래프 그리기

일반함수(2D)

plot(f(x), (x의 범위))

음함수(2D)

implicit_plot(f(x)==0,(x의 범위),(y의 범위))

선분(2D)

line([(1, 1), (2, 2)], color='red')

매개변수 함수 그리기

parametric_plot((f(t), g(t)), (t의 범위))

회전 곡선의 그림

revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 1),

show_curve = True, opacity = 0.7,

parallel_axis='x', aspect_ratio = [1, 1, 1])

# x축을 중심으로 회전시킬 때는 axis = ‘x’

# y축을 중심으로 회전시킬 때는 axis = 'z'

극한

a에서 극한

limit(f(x), x=a)

a에서 우극한 / a에서 좌극한

limit(f(x), x=a, dir='+')

limit(f(x), x=a, dir='-')

에서의 극한 / -

에서의 극한

limit(f(x), x=+oo) / limit(f(x), x=-oo)

기타

방정식 풀이

solve(f(x)==0, x)

변수 a의 값 보이기

print(a)

정의된 함수 f 보이기

show(f)

sqrt(a)

가장 큰 수 / 가장 작은 수

max() / min()

pow(x, a)

인수분해 값 구하기

factor(f(x)

몫과 나머지

quo, rem = f.maxima_methods().divide(g)

차집합

(U.difference(A)).difference(B)

로그 (

)

log(b,a)

근사해 구하기

Find_root(f(x), x 범위)

정적분 근삿값 구하기

numerical_integral

극좌표 → 직교좌표

r, t = , # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)

유리수 표현

QQ()

423

Project Proposal: 에어컨 자동 온도 시스템

Name / e-mail (이름과 이-메일): 김*수 js0104.***@samsung.com

목적 :　

더운 요즘 퇴근하기전 집에 에어컨이 자동으로 켜진다면

현재 기상상황에 따라 중간고사때 제출한 제안서와 같이 자동 환기 시스템과 연동되어

창문을 여닫으며 특정 온도 이상의 경우 창문을 닫고 퇴근시간 전 에어컨을 가동하여

쾌적한 활동을 할수있도록 도와줌

연구방법 개요:

사용하는 집의 온습도계와 공기청정기의 미세먼지 농도, 지역 일기예보를 통합하여

환기 여부 알고리즘을 형성하여 자동 창문 작동하고 에어컨 작동여부를 결정한다

참고문헌/웹주소:

Ch 6장. Final comment after your report (10점)

1학기와 같이 PBL 보고서라는 개념이 정말 괜찮은거 같습니다.

여지껏 수업을 듣고 그 당시에는 이해하고 문의게시판에 공유하며 열린문제를 풀

었지만 지나면 잊혀지는건 어쩔 수 없는 상황인데 PBL보고서를 통해 배웠던 개

념들을 정리하고 문의 게시판에서 주고 받은 문제들과 개념을 정리할 수 있는 좋

은 시간이 되었던거 같습니다. 1학기때는 그래프를 그려주고 복잡한 문제를 해결

할 수 있는 Sage프로그램이라고 생각했는데 행렬과 3차원에 대한 학습을 하며

손으로는 절대로 풀 수 없는 문제들을 풀어나가며 좋은 자신감을 얻고 있습니다.

기말 PBL 작성시에도 개념정리와 문의게시판을 통해 복습하며 한번더 학습할수있

을꺼 같습니다.

이번 계절학기는 저에게는 너무나 아쉬운 학기입니다. 수학을 싫어했던 저로서는

굉장히 획기적이고 대단한 수업이 였기 때문입니다. 손을 많이 사용하지 않고도

풀이를 줄줄 써가며 실수를 하지 않아도 되는 정답만이 나오는 수학공부를 할수있

었고 이제는 이러한 과목이 없다는 것이 아쉬울 뿐입니다.

거기에 개인적으로 학업에 열중할수없던 것 때문에 더욱 아쉽게 느껴집니다. 문의

게시판을 통한 정보공유와 학생끼리의 토론을 통한 학습은 잊지 못할 과정이 될것

입니다. 또한 이후에도 이해가 안되는 부분들은 교수님의 강의 영상을 통해 인터

넷에서 찾아보지 않아도 언제든 쉽게 접근할수 있어 더 좋은 것 같습니다.

1학기, 계절학기 동안 문의게시판을 통해 보여주신 교수님의 열정과 배려는 마음

속에 오래 간직될것입니다. 감사했습니다.

424

백승준:

(3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

선형 대수학 및 일변수 함수에 변수를 추가한 다변수 함수를 배우면서 1학기보다 이해

가 안 되는 부분이 많아 어려움을 느꼈습니다. 그래서 걱정이 되었지만 어렵다고 느낀 부

분은 QnA 게시판에 물어보거나 다른 학우들이 예/복습을 하면서 올린 내용을 보고 학습

하였고, 저 또한 학습하면서 도움이 된다고 생각되는 내용과 열린 문제 해결 내용들을 공

유하였습니다. 그러다 보니 처음에 걱정했던 것보다 조금씩 나아지고 있는 모습을 볼 수

있었고, 특히 다변수 함수를 배우면서 식들이 좀 더 복잡하고 값들을 구하기 어려운 문제

들이 다양하게 나왔는데 개념을 이해하는 것에 집중하고 Sage를 통해 문제들의 해를 구

하면서 일변수 함수 뿐 아니라 다변수 함수에 대해서도 자신감이 점점 생겼습니다.

Final PBL : 동료와 같이 Q&A 게시판에서 모르는 것들을 질문하고 open problem을 풀

어보면서 새로운 벡터의 개념에 대해 이해하고 1학기에 배운 일변수 함수들을 확장해가

면서 이변수 함수들의 다양한 미분과 적분의 문제를 어떻게 하는지 알아갔습니다. 차근차

근 배운 수학적인 개념을 이해하고 나서 배운 것들을 활용하여 그린정리를 통해 선적분을

쉽게 풀 수 있었고, 스토크스의 정리에 따라 선적분과 curlF으로 정의된 면적분이 양방향

으로 바꿀 수 있게 되었으며, 면적분을 삼중적분으로 바꾸어 주는 발산 정리를 통해 면으

로 둘러싸인 입체를 삼중적분으로 계산할 수 있었습니다.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

. 전체적으로 어떠한 내용을 배우고 있는지, 배우는 내용들이 어떠한 의미를 가지는 등

을 이해하고 있다고 생각합니다. 교수님께서 강조하시는 말씀들을 생각하며 복습을 하고

있으며 open problem을 통해 문제를 해결할 수 있는 것을 확인하고 있습니다.

Final PBL : 마지막에 배운 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리를 완벽하게 이해하는 것

이 이번 학기의 목표라 생각하며 언제 어디서든지 다른 사람들에게 설명할 수 있도록 이

해 중입니다.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

. 교수님께서 만드신 다변수 미적분학 홈페이지를 중점으로 수학적인 개념과 예제의 실

습 등을 하고 있으며 추가로 교수님께서 나눠주신 다른 교재들에서 예제를 찾아보면서 학

습하고 있습니다.

Final PBL : 전자책을 통해 수업 때 배운 내용들을 바로 실습해 볼 수 있었고, open

problem을 통해 배운 내용들에 대한 개념을 다시 한 번 더 정리하는 방식으로 학습하였

습니다.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

. 선형대수학의 기본 내용을 배우며 벡터 및 공간에 대한 개념을 이해하고 선형연립방정

425

식의 다양한 해에 대해서 구하는 방법을 배웠습니다. 그리고 이 내용을 바탕으로 일변수

함수를 확장해서 변수가 추가된 즉 공간을 다루는 차원에서는 어떻게 문제를 해결하는지

에 대해 배우고 있습니다.

Final PBL : 제약조건이 주어진 문제에서 라그랑주의 승수법을 통해 최대, 최소를 구하고

푸비니 정리를 통해 적분이 쉬운 쪽으로 순서를 변경해서 적분하는 법을 배우고 2학기

전공과목에서 유용하게 사용될 벡터장의 개념과 선적분, 면적분, 삼중적분의 관계들을 정

리한 다양한 정리에 대해서 배웠습니다.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

. 다른 학우들이 문의게시판에 올려준 다음 주차의 예습을 보며 미리 예습을 할 수 있었

고, 강의가 끝난 후 각자 open problem 올리며 복습하는 것들을 보고 배워 저 또한 예/

복습과 open problem을 푼 내용들을 문의 게시판에 공유하며 다른 학우들의 학습에 도

움이 되려 하였습니다. 또한 선형연립방정식의 해집합에 대해서 다양한 학우들의 토론을

보며 그 개념을 이해할 수 있었습니다.

Final PBL : 선적분과 면적분의 개념을 통해 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리를 이해

하면서 어려운 부분이 있었는데 다른 분들이 문의게시판에 open problem과 개념 정리를

올려준 것을 보면서 도움을 받았습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

. 교수님이 말씀하신 것처럼 다른 부서와의 타협점을 정사영을 구하는 방법처럼 적용할

수 있다고 생각했습니다. 또한 우리가 기상 뉴스나 지도에서 보던 등고선이나 등압선 등

이 수학적인 개념을 통해 구해져 적용되고 있다는 것을 알게 되며 세상을 다른 시선으로

바라보는 곳에 적용할 수 있다고 생각합니다.

Final PBL : 전공과목에서 역학이나 전자기학 등을 배우면서 유체의 흐름을 표현할 때

사용되는 벡터장의 발산과 회전 등을 활용할 수 있을 거 같고, 실제 현장에서도 벡터와

벡터장의 개념이 적용된 문제들을 좀 더 쉬운 방향으로 변형하여 해결하겠습니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를

주고 그 이유를 적으세요.) :

- 90점.

- Q&A 게시판에서 open problem을 빠르게 올리지 못한 아쉬움과 일부 개념

들에 대해서는 아직 완벽히 이해하지 못 했다는 생각이 듭니다. 하지만 주차가

지날수록 이해했다고 생각하는 개념들이 늘어나고 문의게시판에서도 활발히 활

동을 함으로써 다른 학우들에게 도움이 되었다고 생각합니다.

다른 학생에 대한 평가

. 몇 명의 학우들은 적극적으로 문의게시판에서 활동하여 다른 학우들에게 도움이 되

고 의미 있는 질문들을 하며 이해하고 있다고 생각됩니다. 다른 학우들도 이해하는 과

426

정에 소모되는 시간이 많지만 이해한 내용들은 문의게시판에 올리고 활동하며 문의게시

판이 원활히 운영되는데 도움이 되고 있다고 생각합니다. 걱정되었던 다변수 미적분학

에 대해서도 하나 둘 씩 이해하면서 우리가 졸업 후 실생활에 적용될 수 있다는 것을

느끼고 문제를 푸는 것이 아닌 수학적인 개념들을 이해하고 해결능력을 키우는데 집중

하고 있는 것 같습니다.학생들 간의 편차가 조금씩 있었던 것 같습니다. 저도 모르는

개념 혹은 풀지 못하는 문제들에 대해서 다른 학우들에게 많은 도움을 받았습니다. 앞

으로 3년 동안 지금처럼 모르는 것은 주저 없이 서로 물어보고 가르쳐주면서 복습하는

과정을 거치면서 함께 성장하였으면 좋겠습니다.

[1주차] - 벡터, 행렬, 선형연립방정식

<행렬의 연산>

Sol by Sage

A = matrix([[1, 2, -4], [-2, 1, 3]]) # 행렬 입력

B = matrix([[0, 1, 4], [-1, 3, 1]])

C = matrix([[3, -1], [0, 5], [7, 1]])

print ("A + B =") # 행렬의 덧셈

print (A + B)

print () # 한 줄 비움

print ("2*A =") # 행렬의 실수배

print (2*A)

print () # 한 줄 비움

print ("A*C =") # 행렬의 곱

print (A*C)

print () # 한 줄 비움

Answer

A + B =

[ 1 3 0]

[-3 4 4]

2*A =

[ 2 4 -8]

[-4 2 6]

A*C =

[-25 5]

[ 15 10]

<행렬의 전치행렬>

Sol by Sage

427

A = matrix([[1, -2, 3], [4, 5, 0]])

B = matrix([[1, 2, -4], [3, -1, 2], [0, 5, 3]])

print ("A^T =")

print (A.transpose()) # 행렬의 전치행렬 A.transpose() 구

하기

print ()

print ("B^T =")

print (B.transpose())

<행렬의 역행렬>

Sol by Sage

A = matrix(2, 2, [3, 5, 1, 2])

print ("A =")

print (A)

print ()

print ("inverse of A =")

print (A.inverse()) # A의 역행렬 구하기, 형식은 A.inverse()

<선형연립방정식의 첨가행렬>

Sol by Sage

A = matrix([[1, 1, 2], [2, 4, -3], [3, 6, -5]]) # 계수행렬 입력

b = vector([9, 1, 0]) # 상수항 벡터

print ("[A : b] =")

A.augment(b) # 첨가행렬

Answer

[A : b] =

[ 1 1 2 9]

[ 2 4 -3 1]

[ 3 6 -5 0]

<계수행렬의 역행렬을 이용한 연립방정식의 해>

Sol by Sage

A = matrix(3, 3, [1, 2, 3, 2, 5, 3, 1, 0, 8])

b = vector([1, 3, -1])

print ("x =", A.inverse()*b) # 역행렬을 이용한 연립방정식의 해 구하기

print ("x =", A.solve_right(b)) # A.solve_right(b)를 이용하여 구할 수도 있다.

Answer

x = (-1, 1, 0), x = (-1, 1, 0)

428

Sol by Sage

A = matrix(3, 5, [1, 1, 1, 4, 4, 2, 3, 4, 9, 16, -2, 0, 3, -7, 11])

A.rref()

Answer

[ 1 0 0 2 -1]

[ 0 1 0 3 2]

[ 0 0 1 -1 3]

<선형연립방정식의 Ax=b의 특수해>

Sol by Sage

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

[4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

[2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

b = vector([2, -10, -12, -2, -4])

A.solve_right(b)

Answer

(1, -9/2, 1/4, 0, 0, 0, 0)

<수반동차연립방정식의 Ax=0의 해집합(해공간)>

Sol by Sage

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

[4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

[2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

A.right_kernel()

# 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정되어 있으므로 계수행렬만 필요

Answer

[ 0 5 0 2 -1 1 1]

[ 0 0 1 2 -2 -2 0]

[ 0 0 0 3 0 0 1]

주어진 선형연립방정식 Ax=b의 해집합

430

[2주차] - 벡터의 내적, 외적, 정사영

<벡터의 노름>

v = vector([1, 2, -4]) # 벡터 생성

w = vector([-1, 3, 1])

print ("||v|| =", v.norm() ) # 벡터의 크기. 형식은 v.norm()

print ("||2*w|| =", (2*w).norm() )

print ("||v - w|| =", (v - w).norm() ) # 거리 구하기

<사잇각(angle> _ arccos 함수를 적용

Sol by Sage

a = vector([2, 4, -4]) # 벡터 입력

b = vector([2, 2, 0])

ab = a.inner_product(b) # 내적

an = a.norm() # 노름

bn = b.norm()

ang_rad = arccos(ab/(an*bn)).n(digits=5) # 각을 라디안으로 제공

ang_deg = (180*ang_rad/pi).n(digits=5) # 각을 360도 기준으로 변환

print ("ang(rad) =", ang_rad)

print ("ang(deg) =", ang_deg)

Answer

ang(rad) = 0.78540 # 각 (라디안)

ang(deg) = 45.000 # 각 (360도 기준)

<사잇각 및 직교, 평행, 단위벡터>

a = vector([-1, 2, 2]);b = vector([2, 4, 4]) # 벡터 입력

c = vector([2, 1, 0]);d = vector([3, -6, -6])

ab = a.inner_product(b)

an = a.norm();bn = b.norm()

print ("a·b =", ab)# a와 b의 내적

print ("||a|| =", an) # a의 크기, 노름

print ("||b|| =", bn) # b의 크기, 노름

ang_rad = arccos(ab/(an*bn)).n(digits=5) # 각을 라디안으로 제공

ang_deg = (180*ang_rad/pi).n(digits=5) # 각을 360도 기준으로 변환

print ("ang(rad) =", ang_rad) # a와 b의 사잇각(라디안)

print ("ang(deg) =", ang_deg) # a와 b의 사잇각(육십분법)

print ("a·c =", a.inner_product(c)) # a와 c의 내적 (0이면 직교)

print ("3a + d =", 3*a + d) # 0이면 a와 d는 평행

print ("u =", a/an) # a와 같은 방향의 단위벡터

431

<벡터의 내적>

a = vector([5, 3, 2])

b = vector([1, 4, - 3])

print (a.inner_product(b)) # 형식은 a.inner_product(b)

<벡터의 외적>

a = vector([1, 2, -2]) # 벡터 입력

b = vector([3, 0, 1])

print ("a·b =", a.inner_product(b)) # 내적

print ("a×b =", a.cross_product(b)) # 외적(a와 b의 순서 중요함!!)

<두 벡터에 동시에 수직인 단위벡터>

a = vector([-4, 1, 2]) # 벡터

b = vector([1, 0, -1])

c = a.cross_product(b) # 외적

cn = c.norm()

print (c/cn)

print (-c/cn)

<평행하지 않은 두 벡터 a,b로 결정되는 삼각형의 넓이>

a = PQ, b = PR

P = vector([4, -3, 2])

Q = vector([5, -1, 0])

R = vector([1, 3, 2])

a = Q - P # 벡터 PQ

b = R - P # 벡터 PR

A = 1/2*(a.cross_product(b)).norm() # 삼각형의 넓이

print ("Area =", A)

<평행육면체의 부피>

a = vector([2, -1, -5])

b = vector([1, 3, -4])

c = vector([2, 0, 7])

bc = b.cross_product(c)

scp = a.inner_product(bc) # 스칼라 삼중곱

V = abs(scp) # 평행육면체의 부피

print ("Volume =", V)

A= matrix (3, 3, [2, -1, -5, 1, 3, -4, 2, 0, 7])

Determinant = A.det() # A의 행렬식

print ("Determinant =", Determinant)

432

<스칼라 삼중곱> # a,,c가 같은 평면 위에 놓여 있는 것을 증명

a = vector([2, 3, 1]); b = vector([1, -1, 0]); c = vector([7, 3, 2])

print (a.inner_product(b.cross_product(c))) # 스칼라 삼중곱

A= matrix (3, 3, [2, 3, 1, 1, -1, 0, 7, 3, 2])

Determinant = A.det() # A의 행렬식

print ("Determinant =", Determinant)

<점 P를 지나고 벡터 v에 평행한 직선의 방정식>

t = var ('t')

r0 = vector([2, -1, 3])

v = vector([-3, 2, 4]) # 방향벡터

r = r0 + t*v # 직선의 벡터방정식

print (r)

<점 A,B를 지나는 직선의 벡터 방정식, 매개방정식, 대칭방정식>

Sol by Sage

t = var ('t')

A = vector([-1, 2, 4])

B = vector([2, 0, -1])

v = B - A # 방향벡터

print (A + t*v) # 직선의 벡터방정식

Answer

① 벡터방정식 : (3*t - 1, -2*t + 2, -5*t + 4)

433

<점 P를 지나고 벡터 n에 수직인 평면의 방정식>

Sol by Sage

var ('x, y, z')

p = vector([1, -2, 3]) # 한 점

n = vector([2, 5, -3]) # 법선 벡터

q = vector([x, y, z])

eq_plane = n.inner_product(q - p) == 0 # 평면의 방정식

print (eq_plane)

p1 = implicit_plot3d(eq_plane, (x, -4, 4), (y, -4, 4), (z, -4, 4), opacity = 0.6) # 평면을 그래프로

p2 = arrow(p, p + n, color = 'green') # 한 점에서 법선벡터

p1 + p2

Answer

2*x + 5*y - 3*z + 17 == 0

Graph

434

<세 점 P, Q, R을 지나는 평면의 벡터방정식과 매개방정식>

Sol by Sage

var ('t1, t2')

p = vector([4, -3, 1]) # 세 점

q = vector([6, -4, 7])

r = vector([1, 2, 2])

v1 = q - p # 벡터

v2 = r - p

eq = p + t1*v1 + t2*v2 # 평면의 벡터방정식

print (eq)

p1 = parametric_plot3d(eq, (t1, -1.2, 1.2), (t2, -1.2, 1.2), opacity = 0.6) # 평면을 그래프로

p2 = arrow(p, p + v1, color = 'green') # 한 점에서 벡터

p3 = arrow(p, p + v2, color = 'red') # 한 점에서 벡터

p1 + p2 + p3

Answer

(2*t1 - 3*t2 + 4, -t1 + 5*t2 - 3, 6*t1 + t2 + 1)

<두 벡터 x, y에 대하여 y의 (x 위로의) 정사영>

x = vector([2, -1, 3]);y = vector([4, -1, 2]) # 벡터 입력

yx = y.inner_product(x) # y와 x의 내적

xn = x.norm() # ||x||^2

p = (yx/xn^2)*x # 정사영 p

w = y - p # 수직인 벡터성분 w, 최단거리 벡터

print ("p =", p)

print ("w =", w)

435

<한 점과 직선 사이의 거리>

p0 = vector([2, 1, -1]) # 한 점

p = vector([0, 1, -5]) # 직선 상의 한 점(t에 적당한 값을 대입하여 얻음)

u = p0 - p # 벡터 PPo

v = vector([3, 2, -1]) # 직선의 방향벡터

uv = u.inner_product(v)

vn = v.norm()

D = (u - (uv/vn^2)*v).norm()

print ("Distance =", D)

<점에서 평면에 이르는 거리>

v0 = vector([3, -1, 2]) # 한 점

n = vector([1, 3, -2]) # 평면의 법선벡터

d = -6 # 평면의 방정식을 ax + by + cz + d = 0으로 두었을 때

d의 값

D = abs(v0.inner_product(n) + d)/n.norm()

print ("D =", D)

436

[3주차] - 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분

<벡터함수의 그래프>

Sol by Sage

var ( 't' )

f(t) = sin(t)

g(t) = log(5 - t)

h(t) = sqrt(3 + t)

parametric_plot3d( (f(t), g(t), h(t)), (t, -3, 4))

Answer

<벡터방정식의 그래프>

Sol by Sage

var ('t')

r = vector([ cos(t), sin(t), t^2 ])

parametric_plot3d(r, (t, 0, 4*pi), thickness = 2, aspect_ratio = [100, 100, 1])

Answer

<나선(helix)에 대한 접선의 매개변수 방정식>

437

Sol by Sage

var ('t')

r(t) = vector( [ 2*cos(t), sin(t), t ] )

dr(t) = diff(r(t), t)

s = r( pi/2 ) + t*dr( pi/2 ) # 접선의 벡터 방정식

print (s)

p1 = parametric_plot3d( r, ( t, -pi, 2*pi ), thickness = 2 ) # 곡선

p2 = parametric_plot3d( s, ( t, -1, 1 ), color='red', thickness = 2 ) # 접선

show(p1 + p2, aspect_ratio = [2, 4, 1])

Answer

(-2*t, 1, 1/2*pi + t)

<공간곡선의 길이>

Sol by Sage

var ('t')

f(t) = t; g(t) = t*sin(t); h(t) =t^2

r(t) = [ f(t), g(t), h(t) ]

dr(t) = diff( r(t), t )

p = parametric_plot3d(r(t), (t, 0, 2*pi), aspect_ratio = [20, 20, 1])

show(p) # 그래프

numerical_integral ( dr(t).norm() , 0, 2*pi )[0] # 근삿값

Answer

43.00529619422574

438

<곡률>

Sol by Sage

var ('t')

r(t) = vector( [ 2*sin(t), 2*cos(t), 3*t ] )

dr(t) = diff( r(t), t )

print (dr(t)) # 도함수

dr2(t) = diff( r(t), t, 2 )

print (dr2(t)) # 2계 도함수

drn(t) = dr(t).norm().simplify_full()

print (drn(t))

num(t) = dr(t).cross_product(dr2(t)).simplify_full() # 분자

print (num(t))

curv(t) = (num(t).norm() / drn(t)^3).simplify_full() # 곡률

print (curv(t))

print (curv(0))

Answer

(2*cos(t), -2*sin(t), 3)# 도함수

(-2*sin(t), -2*cos(t), 0)# 2계 도함수

sqrt(13)# 분모

(6*cos(t), -6*sin(t), -4)# 분자

2/13# 곡률

2/13

<이차곡면>

var ('x, y, z')

print('쌍엽쌍곡면')

implicit_plot3d( 4*x^2 - y^2 + 2*z^2 + 4 == 0, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5), opacity = 0.4)

<다변수 함수의 그래프>

var ('x, y, z')

implicit_plot3d(z - cos(y) == 0, (x, -4*pi, 4*pi), (y, -2*pi, 2*pi), (z, -1, 1), opacity = 0.4,

aspect_ratio = [1, 2, 8])

439

<등위곡선(Level curve)> contours = (해당하는

값) → 이변수 함수

var ('x, y')

contour_plot( sqrt( 16 - x^2 - y^2 ), (x, -3, 3), (y, -3, 3), contours = (1,

1.5, 2, 2.5, 3, 3.5), fill = False, cmap = 'hsv', labels = True )

<등위곡면(Level surface)> → 3변수 함수

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 # 3변수 함수

p = Graphics()

for k, col in [ (1, 'red'), (2, 'orange'), (3, 'yellow'), (4, 'lightblue') ]:

# 여기에 k값, 색깔

p += implicit_plot3d(f(x, y, z) == k, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), opacity = 0.4, color = col)

<편도함수>

var ('x, y')

f(x, y) = 2*x^3 + 2*y^3 + 3*x*y

dfdx = diff(f, x) # x에 관한 편도함수

print ( dfdx(2, 1))

dfdy = diff(f, y) # y에 관한 편도함수

print (dfdy(2, 1))

440

[4주차] - 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터

<접평면의 방정식>

var ('x, y, z')

f(x, y) = 1/(x^2 + y^2)

fx = diff(f, x)

fy = diff(f, y)

print (z == f(1, 1) + fx(1, 1)*(x - 1) + fy(1, 1)*(y - 1))

p1 = plot3d(f(x, y), (x, -3, -0.3), (y, -3, -0.3), opacity = 0.4)

p2 = plot3d(f(x, y), (x, 0.3, 3), (y, 0.3, 3), opacity = 0.4)

p3 = plot3d(f(1, 1) + fx(1, 1)*(x - 1) + fy(1, 1)*(y - 1), (x, -1, 3), (y, -1, 3), opacity = 0.4, color =

'red') # 접평면의 방정식

show(p1 + p2 + p3, aspect_ratio = [1, 1, 1])

<전미분>

Problem

Sol by Sage

var('x, y, dx, dy')

f(x, y) = 5*x^2 - x*y + 3*y^2

fx = diff(f, x)

fy = diff(f, y)

print ("fx(x, y) =", fx(x, y))

print ("fy(x, y) =", fy(x, y))

dz(x, y, dx, dy) = fx*dx + fy*dy

print ( "dz =", dz(x, y, dx, dy))

print ( dz(1, 2, 0.05, -0.05) ) # dz

print ( f(1.05, 1.95) - f(1,2) ) # Δz

Answer

fx(x, y) = 10*x - y

fy(x, y) = -x + 6*y

441

dz = dx*(10*x - y) - dy*(x - 6*y)

-0.150000000000000

-0.127500000000001

<이변수 함수의 연쇄법칙>

Problem

Sol by Sage

var ('t, u, v')

f(u, v) = u^2*v + u*v^2

x = cos(t) - sin(t)

y = cos(t) + sin(t)

fu = diff(f, u)

fv = diff(f, v)

xt = diff(x, t)

yt = diff(y, t)

print ( (fu(x, y)*xt + fv(x, y)*yt).simplify_full() ) # 연쇄법칙

print ( diff(f(x, y).expand(), t).simplify_full() ) # 직접 대입하여 계산

Answer

-2*(6*cos(t)^2 - 1)*sin(t)

-2*(6*cos(t)^2 – 1)*sin(t)

<음함수의 미분>

Problem

Sol by Sage

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 3*x^3 + 4*y^3 + 5*z^3 + 6*x*y*z - 7

fx = diff(f(x, y, z), x)

fy = diff(f(x, y, z), y)

fz = diff(f(x, y, z), z)

print ( "dz/dx =", -fx/fz)

print ( "dz/dy =", -fy/fz)

Answer

dz/dx = -(3*x^2 + 2*y*z)/(2*x*y + 5*z^2)

dz/dy = -2*(2*y^2 + x*z)/(2*x*y + 5*z^2)

<방향도함수>

Problem

Sol by Sage

442

var ('x, y')

a = vector( [ cos(pi/4), sin(pi/4) ] )

u = a / a.norm()

f(x, y) = 6 - 3*x^2 - y^2

gradf = f.gradient()

print ( u.inner_product( gradf(x, y) ))

print ( u.inner_product( gradf(1, 2) ))

Answer

-3*sqrt(2)*x - sqrt(2)*y

-5*sqrt(2)

<등위곡면에 대한 접평면>

Problem

Sol by Sage

var ('x, y, z, t')

F(x, y, z) = exp(3 * y) * cos( 2*x ) - z

x0 = vector([pi/2, 0, -1]) # 한 점

p = vector([x, y, z])

gradF = F.gradient() # 그래디언트

L(x, y, z) = gradF(x0[0], x0[1], x0[2]).inner_product(p - x0)

r = x0 + t*gradF(x0[0], x0[1], x0[2])

print (L(x, y, z) == 0 ) # 접평면의 방정식

print (r) # 법선의 벡터방정식

p1 = implicit_plot3d(F(x, y, z) == 0, (x, -4, 4), (y, -4, 4), (z, -6, 6), opacity = 0.4) # 등위곡면

p2 = implicit_plot3d(L(x, y, z) == 0, (x, -4, 4), (y, -4, 4), (z, -6, 6), opacity = 0.4, color = 'red') #

접평면

p3 = parametric_plot3d(r,(t,-1,1),color='green', thickness = 2) # 법선

p1 + p2 + p3

Answer

-3*y - z - 1 == 0

(1/2*pi, -3*t, -t – 1)

443

[5주차] - 다변수 함수의 극대, 극소, 최댓값과 최솟값

<최단 거리>

var ('x, y')

f(x, y) = x^2 + y^2 + (-x + 1/2*y + 8)^2 # 거리 d의 제곱

g = f.gradient() # 그래디언트

print (solve ([g[0] == 0, g[1] == 0], x, y))

# 여기서 임계점 (32/9, -16/9)를 얻는다.

H = f.hessian() # 헤시안

print (H(32/9, -16/9))

print (H(32/9, -16/9).det()) # 행렬식

print (sqrt(f(32/9, -16/9)).simplify_full()) # 최단거리

Answer

[x == (32/9), y == (-16/9)] # 임계점

[ 4 -1]

[ -1 5/2]

9 # 헤시안 행렬로 구한

값

16/3 # 최단거리

<라그랑주의 승수법>

var ('x, y, ld')

f(x, y) = 1/x + 1/y

g(x, y) = 1/x^2 + 1/y^2 - 1

gradf = f.gradient()

gradg = g.gradient()

solve ( [gradf[0] == ld*gradg[0], gradf[1] == ld*gradg[1], g(x, y) == 0], x,

y, ld )

Answer

[x == sqrt(2), y == sqrt(2), ld == 1/2*sqrt(2)]

[x == -sqrt(2), y == -sqrt(2), ld == -1/2*sqrt(2)]]

위 점들에서의 함숫값

var ('x, y, ld')

f(x, y) = 1/x + 1/y

print ( f( sqrt(2), sqrt(2) ) )

print ( f( -sqrt(2), -sqrt(2) ) )

Answer

sqrt(2) # 최댓값

-sqrt(2) # 최솟값

444

[6주차] - 직사각형 위에서의 이중 적분

일반적인 영역 위에서의 이중 적분

<푸비니 정리 증명>

var ('x, y')

f(x, y) = 1 + 4*x*y

integral (integral (f, y, 1, 3), x, 0, 1)

Answer

적분 순서 변경

var ('x, y')

f(x, y) = 1 + 4*x*y

intf = integral (integral (f, x, 0, 1), y, 1, 3)

print (intf)

Answer

<일반 영역에서의 이중적분의 성질>

var ('x, y')

show (plot (x, (x, -1, 1)) + plot (x^3, (x, -1, 1), color = 'red'))

print (solve ([y == x, y == x^3,], x, y))

integral (integral (x - 1, y, x, x^3), x, -1, 0) + integral (integral (x - 1,

y, x^3, x), x, 0, 1)

Answer

[x == -1, y == -1],

[x == 1, y == 1],

[x == 0, y == 0]

-1/2

445

[7주차] - 극 좌표에서의 이중 적분, 삼중 적분

<입체의 부피>

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 45*x^2*y

# 영역별 그래프를 그린다.

p1 = implicit_plot3d (4*x + 2*y + z == 8, (x, 0, 2), (y, 0, 4), (z, 0, 8),

opacity = 0.6)

p2 = text ("4*x + 2*y + z == 8", (1, 2))

show (p1 + p2, aspect_ratio = [4, 2, 1])

# 영역별 그래프를 그린다. xy평면으로 정사영 y = 4 - 2x 그래프

p3 = plot (4 - 2 * x, (x, 0, 2))

p4 = text ("$y = 4 - 2x$", (1,2), fontsize = 15, color = "black")

show (p3 + p4)

# 삼중적분 값

integral ( integral ( integral ( f(x, y, z), z, 0, 8 - 4 * x - 2 * y), y, 0, 4

- 2 * x), x, 0, 2)

Answer

128

446

[8주차] - 원기둥 좌표에서의 삼중 적분

구면 좌표에서의 삼중 적분

<원기둥에 둘러싸인 입체의 부피>

#그래프

S = Cylindrical ( 'height', ['radius', 'azimuth'] )

T = Cylindrical ( 'radius', ['azimuth', 'height'] )

r, t, z = var ('r, t, z')

p1 = plot3d ( sqrt(4 - r^2), (r, 0, 2), (t, 0, 2*pi), transformation = S, opacity = 0.6,

color = 'red')

p2 = plot3d ( -sqrt(4 - r^2), (r, 0, 2), (t, 0, 2*pi), transformation = S, opacity = 0.6 )

p3 = plot3d ( 2*sin(t), (t, 0, 2*pi), (z, -2, 2), transformation = T, color = 'yellow' )

p1 + p2 + p3

평면 위로 내린 정사영

입체의 부피

var ( 'r, t, z' )

assume ( sin(t)> 0 )

integral ( integral ( integral ( r, z, -sqrt(4 - r^2), sqrt(4 - r^2)), r, 0, 2*sin(t)), t, 0, pi )

Answer

16/3*pi

447

<원기둥에 둘러싸인 입체의 부피>

#그래프

var ( 'x, y, z' )

p1 = plot3d ( sqrt(x^2 + y^2), (x, -3, 3), (y, -3, 3), opacity = 0.4 )

p2 = implicit_plot3d ( x^2 + y^2 + z^2 == 9, (x, -3, 3), (y, -3, 3), (z, -3,

3), opacity = 0.4, color = 'red' )

p1 + p2

# 두 곡면이 만나는 경계

var ( 'x, y, z' )

solve ( [x^2 + y^2 + z^2 == 9, z == sqrt(x^2 + y^2)], x, y, z )

Answer

[[x == r1, y == -sqrt(-r1^2 + 9/2), z == 3/2*sqrt(2)], [x == r2, y ==

sqrt(-r2^2 + 9/2), z == 3/2*sqrt(2)]]

# z축의 양의 방향과 이루는 각

var ( 'p' )

solve ( 3*cos(p) == 3/2*sqrt(2), p )

Answer

[p == 1/4*pi]

#입체의 부피

var ( 'r, t, p' )

integral(integral(integral( r^2*sin(p), r, 0, 3), p, 0, pi/4), t, 0, 2*pi )

Answer

-9*pi*(sqrt(2) - 2)

448

[9주차] - 벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발산

면적분, 스토크스 정리, 발산정리

<벡터장의 회전>

var ('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([x*y^2, 2*y*z, -3*x*z^2]) # 벡터장 입력

print("curl(F) =", F.curl([x, y, z]))

Answer

curl(F) = (-2*y, 3*z^2, -2*x*y)

<선적분>

var ('x, y, z, t')

F = vector ( [z - y, x - z, x - y] )

r = vector ( [ cos(t), sin(t), 2 - cos(t) + sin(t) ] )

dr = diff( r , t )

Fdr = F(x = r[0], y = r[1], z = r[2]).inner_product(dr).simplify_full()

integral ( Fdr, t, 0, 2*pi )

Answer

2*pi

<발산 정리>

# 발산 구하기

var ('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([x*y, y*z, z*x])

F.div([x, y, z])

Answer

x + y + z

# 삼중적분

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = x + y + z

integral ( integral ( integral (f, x, 0, 2), y, -1, 3), z, 1, 4 )

Answer

108

449

<1주차 : 벡터, 행렬, 선형연립방정식>

Problem : random matrix 생성

A = random_matrix(ZZ, 4, 5, x = -10, y = 10)

B = random_matrix(ZZ, 4, 5, x = -5, y = 5)

C = random_matrix(ZZ, 5, 3, x = -5, y = 5)

k = ZZ.random_element(x = -5, y = 5)

Sol by Sage

A = matrix([[8 ,-4, -1, -5, 1], [6, -10, -5, 3, 8],[ 2, -7, 5, -1, 4],[ -5,

2, -4, 8, -5]])

B = matrix([[-2, 2, -3, 2, -1], [0, 0, 1, -5, 2],[-1, 1, -1, -5, 1],[ 4, 4, -2, 0, -2]])

print ("A + B =") # 행렬의 덧셈

print (A + B)

print ("A - B =") # 행렬의 뺄셈

print (A - B)

print ("2*A =") # 행렬의 실수배

print (2*A)

Answer

A + B =

[ 6 -2 -4 -3 0]

[ 6 -10 -4 -2 10]

[ 1 -6 4 -6 5]

[ -1 6 -6 8 -7]

A - B =

[ 10 -6 2 -7 2]

[ 6 -10 -6 8 6]

[ 3 -8 6 4 3]

[ -9 -2 -2 8 -3]

2*A =

[ 16 -8 -2 -10 2]

[ 12 -20 -10 6 16]

[ 4 -14 10 -2 8]

[-10 4 -8 16 -10]

Sol by Sage : Transposed matrix

450

A = matrix([[2, -7, 2, -1, -3],[ 5, -2, -8, 7, 8],[-2, -3, -3, 4, 0],[-2, 0, -3, 8, -6],[-7, -1,

3, 7, 4]])

print ("A^T =")

print (A.transpose()) # 행렬의 전치행렬 A.transpose() 구하기

print ()

Answer

A^T =

[ 2 5 -2 -2 -7]

[-7 -2 -3 0 -1]

[ 2 -8 -3 -3 3]

[-1 7 4 8 7]

[-3 8 0 –6 4]

Sol by Sage : Inverse Matrix

A = matrix([[2, -7, 2, -1, -3],[ 5, -2, -8, 7, 8],[-2, -3, -3, 4, 0],[-2, 0, -3, 8, -6],[-7, -1,

3, 7, 4]])

print ("A =")

print (A)

print ()

print ("inverse of A =")

print (A.inverse()) # A의 역행렬 구하기, 형식은 A.inverse()

Answer

A =

[ 2 -7 2 -1 -3]

[ 5 -2 -8 7 8]

[-2 -3 -3 4 0]

[-2 0 -3 8 -6]

[-7 -1 3 7 4]

inverse of A =

[ 252/3079 519/6158 -1505/6158 203/3079 -51/6158]

[-1406/15395 11/3079 -1874/15395 749/15395 -41/15395]

[ 1398/15395 46/3079 -3918/15395 613/15395 1508/15395]

[ 624/15395 345/6158 -4753/30790 1529/15395 2073/30790]

[ -287/15395 241/6158 89/30790 –1172/15395 1341/30790]

Sol by Sage : Invertible Matrix

A = matrix(QQ, [[2, -7, 2, -1, -3],[ 5, -2, -8, 7, 8],[-2, -3, -3, 4, 0],[-2, 0, -3, 8, -6],[-7,

-1, 3, 7, 4]]) # QQ 는 유리수 연산 의미

A.is_invertible() # 행렬이 가역인지 확인 A.is_invertible()

Answer_ 가역 (invertible) 행렬 여부 판단 : True

451

Problem

Sol by Sage : Augmented matrix

A = matrix([[-2, 5, 2], [1, 3, 0], [0, 1, 3]]) # 계수행렬 입력

b = vector([-3, 4, 6]) # 상수항 벡터

print ("[A : b] =")

A.augment(b) # 첨가행렬

Answer

[A : b] =

[-2 5 2 -3]

[ 1 3 0 4]

[ 0 1 3 6]

Sol by Sage : 연립방정식의 해

A = matrix(3, 3, [-2, -5, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 3])

b = vector([-3, 4, 6])

print ("x =", A.inverse()*b) # 역행렬을 이용한 연립방정식의 해 구하기

print ("x =", A.solve_right(b)) # A.solve_right(b)를 이용

Answer

x = (-5, 3, 1)

452

Problem : Ax=b의 해집합

Sol by Sage : 선형연립방정식의 Ax=b 특수해

A = matrix([[4, 3, -8, 2, -4, -4, -2, -5, -4],[6, -4, 4, -4, -6, -5, 8, 2, 5],[1, 8, 2, 4, -8,

1, -6, 4,-5], [6, -1, 1, 2, 3, -7, -5, 8, 1],[-2, -4, 8, 1, 1, -6, -5, -4, 7],[-6, -1, -2, -7,

-6, -8, 6, -6, -5]])

b = vector([2, 3, -2, 0, -2, 2])

A.solve_right(b)

Answer :

(35261/174645, -42218/174645, -14219/58215, -45424/174645, -8938/58215, 1897/58215, 0, 0, 0)

Sol by Sage : 선형연립방정식의 Ax=0의 해집합 (해공간)

A = matrix([[4, 3, -8, 2, -4, -4, -2, -5, -4],[6, -4, 4, -4, -6, -5, 8, 2, 5],[1, 8, 2, 4, -8,

1, -6, 4,-5],[6, -1, 1, 2, 3, -7, -5, 8, 1],[-2, -4, 8, 1, 1, -6, -5, -4, 7],[-6, -1, -2, -7,

-6, -8, 6, -6, -5]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정되어 있으므로 계수행렬만 필요

Answer :　

[ 4 1 70372 172958 48617 -45755 117432 -26585 -82607]

[ 0 2 68890 169327 47594 -44795 114966 -26024 -80867]

[ 0 0 85880 211088 59331 -55842 143319 -32442 -100812]

선형연립방정식 Ax=b의 해집합 (S = x_0 + S_h)

1 week Open problem Final comment

. 행렬과 다양한 연산 법칙들을 직접 풀어보고 5차 이상의 행렬의 역행렬과 전치

행렬이 존재하는지 확인하며 자신감이 생기기 시작했습니다. 그리고 선형연립방정

식의 해집합에 대해 토론하고 풀어보며 어떠한 형식으로 답을 찾을 수 있는지 알

수 있었습니다.

453

<2주차 : 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영>

Sol by Sage

a = vector([2, 4, -4, 1, 3, 6, 5, 1, 0, 2]) # 벡터 입력

b = vector([2, 3, 0, 1, -1, -5, 8, 7, 5, 1])

ab = a.inner_product(b) # 내적

an = a.norm() # 노름

bn = b.norm()

ang_rad = arccos(ab/(an*bn)).n(digits=5) # 각을 라디안으로 제공

ang_deg = (180*ang_rad/pi).n(digits=5) # 각을 360도 기준으로 변환

print("||an|| = ", an)

print("||bn|| = ", bn)

print("a·b = ",ab)

print ("ang(rad) =", ang_rad)

print ("ang(deg) =", ang_deg)

Answer

||a|| = 4*sqrt(7)

||b| = sqrt(179)

a·b = 33

ang(rad) = 1.3356

ang(deg) = 76.522

454

Sol by Sage

a = vector([4, 1, 5]); b = vector([-7, -3, 4]); c = vector([1, 4, 9])

print ("1) a x b = ", a.cross_product(b))

print ("1) -(b x a) = ", -(b.cross_product(a)))

print ("2) c x (a + b) = ", c.cross_product(a + b))

print ("2) (c x a) + (c x b) = ", (c.cross_product(a) + c.cross_product(b)))

print ("3) (2a) x b = ", 2*a.cross_product(b))

print ("3) 2(a x b) = ", 2*(a.cross_product(b)))

print ("3) a x (2b) = ", a.cross_product(2*b))

print ("5) (a x b)·c = ", (a.cross_product(b)).inner_product(c))

print ("5) a·(b x c) = ", (a.inner_product(b.cross_product(c))))

print ("6) a x (b x c) = ", a.cross_product(b.cross_product(c)))

print ("6) (a·c)b - (a·b)c = ", ((a.inner_product(c))*b) - ((a.inner_product(b))*c))

Answer

1) a x b = (19, -51, -5)

1) -(b x a) = (19, -51, -5)

2) c x (a + b) = (54, -36, 10)

2) (c x a) + (c x b) = (54, -36, 10)

3) (2a) x b = (38, -102, -10)

3) 2(a x b) = (38, -102, -10)

3) a x (2b) = (38, -102, -10)

5) (a x b)·c = -230

5) a·(b x c) = -230

6) a x (b x c) = (-360, -115, 311)

6) (a·c)b - (a·b)c = (-360, -115, 311)

455

Problem

한 점 (7, 1, -3)을 지나고 법선 벡터 n = <2, 0, 9>인 평면의 방정식을 구하시오

Sol by Sage

var ('x, y, z')

p = vector([7, 1, -3]) # 한 점

n = vector([2, 0, 9]) # 법선 벡터

q = vector([x, y, z])

eq_plane = n.inner_product(q - p) == 0 # 평면의 방정식

print (eq_plane)

p1 = implicit_plot3d(eq_plane, (x, -8, 8), (y, -8, 8), (z, -8, 8), opacity = 0.6) # 평면을 그

래프로

p2 = arrow(p, p + n, color = 'green') # 한 점에서 법선벡터

p1 + p2

Answer

2*x + 9*z + 13 == 0

456

Sol by hand

Sol by Sage

v0 = vector([3, -1, 2,4]) # 한 점

n = vector([1, 3, -2,-6]) # 평면의 법선벡터

d = 1

D = abs(v0.inner_product(n) + d)/n.norm()

print(v0.inner_product(n)) # 벡터 v0와 n의 내적

print(n.norm()) # 법석벡터 n의 노름 (norm)

print ("D =", D) # (최단)거리 D

Answer

D = 27/10*sqrt(2)

2 week Open problem Final comment

. 주어진 공간에 직선과 평면의 방정식을 그래프로 나타낼 수 있게 되었고, 고차

원의 주어진 점과 평면 사이의 최단거리를 구하면서 더 높은 차원에 대해서도 생

각해볼 수 있었습니다.

457

<3주차 : 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분>

Problem

벡터함수 r(t) =(sin(t)^2, cos(2*t) = t^2), -pi ≤ t ≤ pi 로 주어진 공간곡선의 길이를 구하시오

Sol by Sage

var ('t')

f(t) = cos(t)^2; g(t) = sin(2*t); h(t) =t^2

r(t) = [ f(t), g(t), h(t) ]

dr(t) = diff( r(t), t )

drn(t) = dr(t).norm().simplify_full()

p = parametric_plot3d(r(t), (t, -pi, pi), aspect_ratio = [100, 10, 1])

show(p) # 그래프

numerical_integral ( dr(t).norm() , -pi, pi )[0] # 근삿값

T(t) = dr(t) / drn(t) # 단위 접선 벡터

dT(t) = diff( T(t), t )

print ((dT(t).norm() / drn(t)).simplify_full()) # 곡률

print(dr(t))

numerical_integral ( dr(t).norm() , -pi, pi )[0] # 근삿값

Answer

1/2*sqrt(-(3*(4*t^2 - 1)*cos(t)^4 - 3*(4*t^2 - 1)*cos(t)^2 - t^2 - 6*(2*t*cos(t)^3 -

t*cos(t))*sin(t) - 2)/(9*cos(t)^8 - 18*cos(t)^6 + 3*(2*t^2 + 5)*cos(t)^4 + t^4 -

6*(t^2 + 1)*cos(t)^2 + 2*t^2 + 1))/sqrt(3*cos(t)^4 + t^2 - 3*cos(t)^2 + 1)

(-2*cos(t)*sin(t), 2*cos(2*t), 2*t)

22.92954714584018

458

Sol by Sage : 타원포물면

var ('x, y, z')

print('타원포물면')

implicit_plot3d(z/25 == x^2/10 + y^2/15, (x, -3, 3), (y, -3, 3), (z, -3, 3), opacity = 0.4 )

Answer

459

Problem) 다음 함수의 등위곡선을 나타내라.

[출처 : https://suhak.tistory.com/915]

Sol by Sage 1)

var ('x, y')

contour_plot( sin(x) + 2*sin(y), (x, -5, 5), (y, -5, 5), fill = False, cmap = 'hsv', labels = True )

Sol by Sage 2)

var ('x, y')

contour_plot( (4*x^2 +y^2)*e^(-x^2-y^2), (x, -2, 2), (y, -2, 2), fill = False, cmap = 'hsv', labels = True )

Answer

(1) (2)

460

Sol by Sage

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = e^(x^2 + y^2)*log(z)

print ( "fx = ", diff(f(x, y, z), x))

print ( "fx = ", diff(f, x))

print()

print ( "fy = ", diff(f(x, y, z), y))

print ( "fx = ", diff(f, y))

print()

print ( "fx = ", diff(f(x, y, z), z))

print ( "fx = ", diff(f, z))

Answer

fx = 2*x*e^(x^2 + y^2)*log(z)

fx = (x, y, z) |--> 2*x*e^(x^2 + y^2)*log(z)

fy = 2*y*e^(x^2 + y^2)*log(z)

fx = (x, y, z) |--> 2*y*e^(x^2 + y^2)*log(z)

fz = e^(x^2 + y^2)/z

fz = (x, y, z) |--> e^(x^2 + y^2)/z

461

Sol by Sage

var ('x, y, z')

f(x, y) = cos(x^2 + y^2*z^3)

print ( "fxxyz = ", diff(diff(diff(f(x, y), x, 2), y), z))

print ( "fyxzx = ", diff(diff(diff(f(y, x), y, 2), z), x))

Answer

fxxyz =

24*x^2*y^3*z^5*cos(y^2*z^3 + x^2) + 12*y^3*z^5*sin(y^2*z^3 + x^2) +

24*x^2*y*z^2*sin(y^2*z^3 + x^2) - 12*y*z^2*cos(y^2*z^3 + x^2)

fyxzx =

24*x^3*y^2*z^5*cos(x^2*z^3 + y^2) + 12*x^3*z^5*sin(x^2*z^3 + y^2) +

24*x*y^2*z^2*sin(x^2*z^3 + y^2) - 12*x*z^2*cos(x^2*z^3 + y^2)

3 week Open problem Final comment

. 각각의 실수에 대하여 벡터를 대응시키는, 즉 벡터를 함숫값으로 갖는 벡터함수

에 대해 학습하였고, 벡터함수를 바탕으로 다양한 곡선의 길이와 공간 곡면, 등위

곡선 등을 구할 수 있게 되었습니다. 코드를 이용하여 3변수 함수가 영역

에서

고계 편도함수가 연속이고,

와

값이 같다는 것을 확인하면서 [클레로

의 정리_Clairaut’s Theorem]이 성립하는 것을 확인하고 증명할 수 있다는 자신

감이 생겼습니다.

462

<4주차 : 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터>

Problem)

Sol by hand

위 함수를

의 모양의 음함수로 표현하면

이 된다.

Sol by Sage

var ('x, y, z')

F(x, y, z) = x^3 + y^3+z^3+6*x*y*z - 1

Fx = diff(F(x, y, z), x)

Fy = diff(F(x, y, z), y)

Fz = diff(F(x, y, z), z)

print ( "dz/dx =", -Fx/Fz)

print ( "dz/dy =", -Fy/Fz)

Answer

dz/dx = -(x^2 + 2*y*z)/(2*x*y + z^2)

dz/dy = -(y^2 + 2*x*z)/(2*x*y + z^2)

463

4 week Open Problem Final comment

. 다변수 함수의 미분과 변수 함수에 대한 어떤 방향으로의 변화율을 찾아낼 수

있는 방법인 방향도함수를 배우고, 삼변수 함수

와, 그 정의역의 점

이 있을 때 기울기 벡터

는

의 가장 빠른 증가방향을 제공하고,

를 통과하는

의 등위곡면

에 수직이라는 속성이라는 것을 알 수 있었습니다.

Open problem을 풀어보면서 등고선의 가장 급격한 경사 곡선은 위 그림처럼 등

위곡선에 직교하여 그릴 수 있다는 것을 알 수 있었습니다.

464

(*) 스토크스 정리

. 스토크스 정리 (Stokes’ Theorem)

: F =

i +

j +

k 는 단순 닫힌 곡선

를 경계로 갖는 곡면

에서 연속

인 2계 편도함수를 갖는 벡터장일 때, 성립 (

는 양의 방향을 따름)

. 스토크스 정리의 증명에 필요한 내용

- 벡터장의 선적분 (위 수식의 좌변)

- 벡터장의 면적분 (위 수식의 우변)

- 그린 정리 (Green’s Theorem)

평면에서

가 단순 닫힌 곡선

에 의해 둘러싸인 영역이라고 할 때,

가

에서 연속인 1계 편도함수를 가질 때 다음이 성립

- 편미분의 Chain rule

＊ 증명에 필요한 편미분의 Chain rule

1) for a function

2) for two functions

and

3) for a function

Stokes’ Theorem으로 인해 우리가 눈으로 볼 수 없는 physical 한 현상들을 생

각할 수 있다는 것이 인상 깊었습니다. 2학기에 배우는 공학수학이나 전자기학을

배울 때도 위 정리가 자주 사용되는 것을 알게 되었습니다.

465

Discussion

1. 치과의사는 원래는 이발사가 하던 일의 일부가 새로운 직업이 된 것이다.

2. 통계가 수학의 일부에서 분리된 것이다.

3. 컴퓨터사이언스가 수학자들이 개척한 분야이다.

4. 보험상품 개발은 지금도 수학자/계리인, 계리사가 하고 있는 직업이다.

5. 500년 역사의 물리학은 5,000년 역사의 수학의 일부에서 Newton 이후 동료

수학자들의 일부가 눈에 보이는 3차원 안에서 현상만 집중적으로 수학적으로 분석

하는 분야로 발전하면서 응용수학의 일부에서 독립한 모두 수학의 일부이다.

수학은 추상적인 것까지 모두 다루지만 물리는 physical 한 것 즉 보고 만지고

하는 것만 분석하는 학문이이다. 그런데 눈에 안 보이는 physical 한 현상을 생각

해 내려면 Stokes 정리 때문에 전자파가 이렇게 움직이므로 이렇게 clean room

을 설치해야하고 이렇게 측정도구를 만들어야 하겠구나 등을 생각할 수 있다. 지

금도 수학 이론을 보면서 그런 이론이 우리 주위 어디에 있는지 찾는 것 에서 새

연구를 시작하는 분야라고 볼 수 있다.

→ Comment : 교수님께서 올려주신 Stokes’ Theorem에 관련된 내용과 수학이

의미하는 바에 대한 내용을 보면서 지금 수학을 왜 배우고 있는지에 대해서 더 생

각해보는 계기가 되었습니다. 또한 이번 학기의 마지막에 해당 내용을 공부하고 2

학기에 배우는 공학수학과 전자기학을 공부하며 소재부품융합공학과를 졸업하고

회사에서 우리가 눈으로 보면서 살고 있는 세상의 벡터장에 대해 생각해보고 물리

적 현상들을 수학적으로 이해하면서 다양한 문제들의 Optimal solution을 찾을

수 있을 것 같다는 자신감을 가졌습니다.

466

<5주차 : 다변수 함수의 극대, 극소, 최댓값과 최솟값>

Sol by Sage

var ('x, y, z, t, ld')

f(x, y, z, t) = x + y + z + t

g(x, y, z, t) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2 - 1

gradf = f.gradient()

gradg = g.gradient()

solve ([gradf[0] == ld*gradg[0], gradf[1] == ld*gradg[1], gradf[2] ==

ld*gradg[2], gradf[3] == ld*gradg[3], g(x, y, z, t) == 0], x, y, z, t, ld)

Answer

[x == (1/2), y == (1/2), z == (1/2), t == (1/2), ld == 1]

[x == (-1/2), y == (-1/2), z == (-1/2), t == (-1/2), ld == -1]

위에서 나온 답을 함수

에 대입하여 극값을 구할 수 있다.

Sol by Sage

var ('x, y, z, t')

f(x, y, z, t) = x + y + z + t

print (f(1/2, 1/2, 1/2, 1/2))

print (f(-1/2, -1/2, -1/2, -1/2))

Answer

-2

의 최댓값 : 2, 최솟값 : 2

5 week Open problem Final comment

. 함수가 극대 또는 극소를 가질만한 점에서는 (존재하는) 1계 편도함수의 값이 모

두 0이어야 한다는 페르마의 정리를 통해 임계점을 알 수 있었고, 이변수 함수의

극대, 극소를 판정하는 방법을 배웠습니다. 또한 라그랑주의 승수법의 열린 문제

를 풀어보며 통해 쉽게 최댓값, 최솟값을 구할 수 있는 자신감을 얻었습니다.

467

<6주차 : 직사각형 위에서의 이중 적분,일반적인 영역 위에서의 이중 적분>

Problem : 이중적분

Sol by Sage

var ('x, y')

f(x, y) = x^2*y^2

integral (integral (f, y, 0, 3), x, 1, 2)

Answer

Problem : 이중적분

Sol by Sage

var ('x, y')

f(x, y) = x^2*y^2

integral (integral (f, x, 0, 3), y, 1, 2)

Answer

6 week Open problem Final comment

. 폐 직사각형 구간에서 연속인 함수의 적분을 구하는 방법을 학습하였고, 함수가

직사각형 구간에서 연속이면 적분 순서를 자유롭게 바꿀 수 있는 푸비니 정리를

통해 적분 값을 더 쉽게 찾을 수 있고, 영역을 바꾸어 표현하는 것이 편리한 것을

을 알 수 있었습니다.

468

<7주차 : 극 좌표에서의 이중 적분, 삼중 적분>

Problem : 극좌표에서의 이중적분

Sol by Hand

Sol by Sage

var ('x, y')

f(x, y) = e^-(x^2+y^2)

integral (integral (f, y, -oo, oo), x, -oo, oo)

Answer

469

Problem : 곡면적

Sol by Hand

Sol by Sage

var ('x, y, r, t')

f(x, y) = sqrt(1 + 4*x^2 + 4*y^2)

u = r*cos(t)

v = r*sin(t)

integral (integral (f(u, v)*r, r, 0, 3), t, 0, 2*pi)

Answer

-1/6*pi + 37/6*sqrt(37)*pi

470

Sol by Sage

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 2*x

integral ( integral ( integral ( f( x, y, z ), z, 0, y),x, 0, sqrt(4-y^2)), y, 0, 2)

Answer

Sol by Sage

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = y*z*cos(x^5)

integral ( integral ( integral ( f( x, y, z ), z, x, 2*x), y, 0, x), x, 0, 1)

Answer

3/20*sin(1)

471

Sol by Sage

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 6*x*y

# 영역별 그래프를 그린다.

p1 = implicit_plot3d (x + y - z == -1, (x, 0, 1), (y, 0, 1), (z, 0, 3), opacity = 0.6)

p2 = text ("x + y - z == -1", (1, 1))

p3 = plot ( sqrt(x), (x, 0, 1))

show (p1 + p2 + p3, aspect_ratio = [2, 2, 2])

# 영역별 그래프를 그린다. xy평면으로 정사영 y = sqrt(x) 그래프

p3 = plot ( sqrt(x), (x, 0, 1))

p4 = text ("$y = sqrt(x)$", (2,1), fontsize = 15, color = "black")

show (p3 + p4)

# 삼중적분 값

integral ( integral ( integral ( f(x, y, z), z, 0, 1 + x + y), y, 0, sqrt(x)), x, 0, 1)

Answer

65/28

7 week Open problem Final comment

. 계산이 어려운 직교좌표의 이중적분, 삼중적분도 극좌표로 변환하여 계산하여

쉽게 해결하는 방법을 배웠고, 다양한 곡면적의 적분도 할 수 있습니다.

472

<8주차 : 원기둥 좌표에서의 삼중 적분, 구면 좌표에서의 삼중 적분>

Problem : 구면좌표 → 직교좌표

구면좌표 (5, pi/4, 3pi/2)를 직교좌표로 나타내어라.

Sol by Sage

rho, theta, phi =(5, pi/4, 3*pi/2)

rho*sin(phi)*cos(theta), rho*sin(phi)*sin(theta), rho*cos(phi)

Answer

(-5/2*sqrt(2), -5/2*sqrt(2), 0)

■ T.transform 명령어 사용

(구면좌표 → 직교좌표 변환 명령어)

Sol by Sage

T = Spherical ( 'radius', ['azimuth', 'inclination'] )

T.transform( radius = 5, azimuth = pi/4, inclination = 3*pi/2 )

Answer

(-5/2*sqrt(2), -5/2*sqrt(2), 0)

474

Sol by Hand

이므로

Sol by Sage

var ( 'r, theta' )

F = (exp(r)*cos(theta), exp(r)*sin(theta))

J = jacobian ( F, (r, theta) ).det()

# 이 코드로 야코비안(행렬식)을 구한다.

print ( J )

Answer

cos(theta)^2*e^(2*r) + e^(2*r)*sin(theta)^2

8 week Open problem Final comment

. 원기둥 좌표, 구면좌표와 직교좌표의 변환을 배우고, 직교좌표를 극좌표 형식으

로 변환함으로써 삼중적분을 쉽게 할 수 있게 되었습니다. 또한 중적분의 변수변

환에서는 야코비안(Jacobian)을 이용하여 넓이의 변화율을 곱하여 적분하면 되는

것을 배우고 다중변수에서의 적분 변환도 쉽게 할 수 있는 자신감을 가졌습니다.

475

<9주차 : 벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발산,

면적분, 스토크스 정리, 발산정리>

Sol by Sage

var ('x, y, z')

r = vector([x, y, 4-y])

F = vector([z-x, x-y, y-z])

r_x = diff(r, x); r_y = diff(r, y)

n = r_x.cross_product(r_y)

integral ( integral ( F.curl([x, y, z]).inner_product(n), y, 0, 2*pi ), x, 0,

sqrt(2))

Answer

4*sqrt(2)*pi

Problem : 발산 정리

S를 계산하라.

여기서 F(

) =

I +

j +

k이고,

는 포물형 원기둥

과 평면

로 둘러싸인 영역

의 곡면

Sol by Hand : 영역

를 유형 3의 영역으로 표현

S =

div F

476

Sol by Sage

1) 발산 구하기

var ('x, y, z') # 변수 정의

F = vector([x*y, (y^2+e^(x*z)^2), sin(x*y)])

F.div([x, y, z])

Answer : 3*y

2) 삼중적분 구하기

var ('x, y, z')

f(x, y, z) = 3*y

integral ( integral ( integral (f, y, 0, 2-z), z, 0, 1-x^2 ), x, -1, 1 )

Answer : 184/35

9 week Open problem Final comment

. 각 점에서 크기와 방향을 나타내기 위해 사용되는 벡터장의 회전과 발산부터 벡

터장의 선속이 그 발산의 삼중 적분과 같다는 발산 정리까지 배우며 지금까지 미

적분학을 배운 이유에 대해 한 번 더 생각할 수 있었습니다. 2학기에 배우는 전공

에서 유용하게 활용되기 때문에 개념을 이해할 수 있어서 좋았습니다.

Name / e-mail (이름과 이-메일) : 백*준 / ******.****@g.skku.edu

Project Title (Tentative, just idea now)

: Gradient를 활용한 공조 기압의 변화 예측

초록 : 대규모 산업시설이나 큰 상가에서는 공조기로 내부 온도를 조정하고 환기를 하며

공기조화를 알맞게 한다. 냉동기와 보일러 설비에서 생산하는 냉수와 증기로 외부 공기의

온도를 조절하고 그렇게 온도와 습도가 조절된 공기를 Duct를 통해 현장 곳곳으로

보내고 Duct의 Diffuser를 통해 현장으로 바람이 나오게 되는데 이 때 Diffuser의

개수나 위치에 따라 바람의 세기가 달라지기도 한다. 그래서 Gradient를 활용하여 Duct

내부의 등압선의 압력 차이를 계산하여 균일한 바람세기로 현장에 공급할 수 있다.

연구방법 개요 : 공조기의 바람이 처음 나가는 곳과 분기되어 흩어진 곳들의 기압을

측정하여 등압선을 그리고 Gradient를 구하여 그 등압선들의 간격이 적당한 곳에

477

Diffuser를 설치하여 너무 세지도 않고, 약하지도 않은 바람을 현장으로 내보낸다.

참고문헌/웹주소

AHU(Air Handling Unit,공조기)의 구조와 원리 쉽게 이해하기 [https://kangmori.tistory.com/81]

Ch 6장. ◆ Final comment after your report ◆ (10점)

(PBL보고서/Project를 마치고 ...)

*중간 PBL

1학기에 배웠던 일변수 함수의 여러 가지 개념들을 확장하여 변수가 여러 개인 다변수

함수 즉 우리가 실생활에서 볼 수 있는 여러 가지 변수들이 있는 경우에는 어떻게 해결하

는지에 대해서 학습할 수 있었습니다. 다변수 미적분학을 배우기에 앞서 필요한 선형 대

수학에 관련된 내용을 2주 동안 배웠고, 이를 통해 데이터들을 어떻게 정리하고 선형적으

로 나타낼 수 있는지 그리고 그 선형으로 나타낸 데이터들의 해의 경우에 따라 어떻게 구

하는지 배웠습니다. 그리고 정사영에 대한 개념을 교수님께서 우리가 회사에서 여러 부서

들의 요구를 만족하는 합의점을 구할 수 있다고 말씀하시는 부분이 인상 깊었습니다. 그

후 본격적으로 변수가 2변수 이상인 다변수 함수와 다변수 함수가 의미하는 기하학적 의

미와 미분 등을 배웠는데, 개념 자체는 일변수 함수와 크게 다른 것이 없다고 느꼈지만

모르는 기호 및 새로운 변수를 추가하면서 이해가 안 되고 어려웠던 부분이 많았습니다.

모르고 이해 안 되는 부분은 QnA 게시판에 물어보고 답을 찾으며 이해하려고 하였고, 다

른 학우들의 질문과 토론 등을 하면서 차근차근히 이해하고 있습니다. 여름학기의 다변수

미적분학을 배우면서 사회에서 우리가 마주할 문제들을 어떠한 방식으로 접근하고, 해를

찾아야 하는지를 어렵게 이해하는 것이 아니라 스스로 학습하고 문제를 풀어보고 어려운

문제들은 다른 학우들과 토론하며 문제해결 능력을 키우고 있다고 느꼈습니다. 더욱 더

궁금증을 가지고 학습하여 다른 학우들의 학습에도 도움이 되도록 하겠습니다.

*최종 PBL

Final PBL을 작성하면서 처음 여름학기를 시작하면서 들었던 짧은 시간 안에 새롭게 배

우는 대학 미적분2의 내용들을 잘 이해하고 학습할 수 있을까라는 걱정이 많이 사라진

것을 느꼈습니다. 특히 마지막에 배우는 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등이 전공

과목 때 배우는 전기자기학이나 유체역학 등 공학적으로 매우 유용하게 사용된다는 것을

알 수 있었고, 식 자체로만 보면 어렵게 느낄 수도 있었지만 교수님께서 여러 번 설명을

해주시고 다른 학우 분들이 이해한 내용들을 바탕으로 새로운 문제들을 푼 내용을 공유해

준 덕분에 저도 여러 번 보며 이해를 조금씩 할 수 있었던 것 같습니다. 마지막에 배우는

내용을 위해 우리가 지금까지 1학기, 여름학기 동안 미적분학을 배운 것이라고 말씀하시

는 것을 듣고 왜 그렇게 말씀하신 건지도 알 수 있었습니다. 교수님께서 알려주신 수학적

478

인 개념들과 문제 해결 능력을 바탕으로 전공을 배울 때도 다른 학우들과 토론하며 열심

히 학습할 수 있을 것이라 생각됩니다. 내년에 입학하게 될 후배들도 교수님께 즐겁게 수

학을 배웠으면 하는 바람이 있습니다!

+ 주차별 학습 내용

1주차 : 다변수 미적분에서 나오는 개념인 벡터와 행렬에 대해서 배우며 가우스 소거법을

통해 모든 선형연립방정식의 해를 찾는 문제를 해결하는 방법을 학습했습니다.

2주차 ; 벡터의 노름/내적/외적의 기본적인 개념들과 평면의 방정식의 표준형/일반형으

로 구할 수 있으며 정사영을 구하면 원하는 결과와의 최단거리를 알 수 있었습니다.

3주차 : 벡터함수에 대응되는 점들로 이루어진 곡선과 성분함수의 극한으로 벡터함수의

극한을 정의할 수 있었고, 벡터함수의 극한은 찾기 힘든 경우가 많은데 Sage를 통해 쉽

게 극한의 존재 유/무를 쉽게 찾을 수 있었습니다. 벡터함수의 성분들의 미분과 적분을

하면 그 벡터함수의 미분/적분을 알 수 있었고, 적분 값을 통해 공간곡선의 길이와 이변

수함수의 편미분으로 곡면에서의 접선의 기울기를 구하는 방법을 학습했습니다.

4주차 : 이변수 함수가 표현하는 곡면에 가장 근사한 일차식의 표현인 접평면과,

와

방향을 알고 있으면 방향도함수를 구해 변화율이 언제 최대가 되는지 학습했습니다.

5주차 : Hessian 행렬을 통해 이변수함수의 극대, 극소와 안장점을 판정하는 방법과 일

변수 함수와 유사한 방법으로 이변수 함수의 최대, 최소 정리가 성립하는 것을 배웠습니

다. 주어진 방정식 즉 제약조건을 만족하는 목적함수의 최대, 최솟값을 라그랑주의 승수

법을 통해 구할 수 있게 되었습니다.

6주차 : 직사각형 영역과 일반적인 영역에서의 이중적분을 학습하였고, 푸비니 정리를 통

해 직사각형 영역에서 연속이면 적분 순서를 자유롭게 바꿀 수 있는 것을 알게 되었습니

다. 적분 순서를 변경하면 적분이 쉬운 것부터 먼저 할 수 있기 때문에 문제 해결이 쉬워

졌습니다.

7주차 : 직교좌표를 극좌표로 변경하여 이중적분을 구하는 방법과 그것을 활용해서 곡면

의 넓이가 어떻게 구할 수 있는지 예제를 통해 알 수 있었습니다. 또한 삼중적분에서도

직육면체 영역에서 연속일 때 푸비니 정리가 성립되고, 삼중적분을 응용하여 입체의 부피

를 구할 수 있게 되었습니다.

8주차 : 직교좌표를 원기둥 좌표계

혹은 구면 좌표계

로 변환하여 삼중

적분을 수월하게 할 수 있는 방법을 배우고 행렬식을 통해 야코비안을 구하여 다중적분에

서의 변수변환도 가능한 것을 배웠습니다.

9주차 : 공간의 한 점에 벡터를 대응시킨 벡터장의 개념과 이 벡터장이 회전하는 정도인

curl, 임의의 점에서 벡터장이 모이는지 혹은 퍼지는지를 나타내는 발산을 배웠습니다.

또한 선적분과 곡선에 둘러싸인 영역에서의 이중적분 사이의 관계에 대한 그린정리, 그린

정리보다 더 확장된 선적분과 면적분의 관계를 정리한 스토크스 정리, 마지막으로 삼중적

분과 면적분의 관계를 정리한 발산정리의 개념을 학습하며 지금까지 배운 내용들을 이해

479

하고 활용해야 이 개념들을 익힐 수 있었습니다.

이효민:

Name / e-mail (이름과 이-메일): 이*민 / jkjk45**@g.skku.edu

Project Title (Tentative, just idea now) : optimal rpm of bowling

초록 :

구기종목 볼링의 레일과 볼링공 사이의 마찰을 이용하여 최적의 회전수와 경로를

찾는다.

연구방법 개요 :

레일 이 진행됨에 따라 변하는 마찰계수와 볼링공의 초기속도, 회전수를 접목시켜

볼링공의 예상 움직임을 파악하여 최적의 경로를 찾는다.

참고문헌/웹주소 :

https://m.blog.naver.com/ikoreamiss/221825850031

https://blog.daum.net/surveyor-j/14736906

Ch 6장. ◆ Final comment after your report ◆ (10점)

(PBL보고서/Project를 마치고 ...)

*중간 PBL (검은 글씨):

미적분학2 강의를 현재 part.1~4까지 수강하며 이전 1학기에 진행했던 고등과정 ~ 미적분학1 의

개념이 3차원, 이를넘어 n차원 공간으로 확장되고 이를 해결하는 방법에 대해 배웠습니다.

여름학기 초반에 3차원 공간에 벡터나 접평면, 벡터함수등의 표현에 기하적으로 이해야 한다고 생

각했고 그것들에 익숙하지 않아 시간이 오래 걸렸습니다. 하지만 앞으로 우리 눈으로 볼 수 없는

n차원 공간들까지 다뤄 문제를 해결 할 것이고 더 이상 기하적으로는 생각 할 수 없을 것이라고

생각 했습니다. 앞으로의 학습방향은 개념을 정확히 익히고 문제해결하는 능력을 기르는것에 초점

을 두겠습니다. 이번 여름학기 학습내용을 수강하며 흥미로웠던 점은 미적분학이 실생활에 적용되

는 사례들에 대해 접할 수 있다는 것이었습니다. 흔히 볼 수 있는 것들에 미적분이 적용되고 있는

것들을 보며 놀랐고 내 주변에서 일어나는 일들도 미적분을 이용하여 해결 할 수 있겠다는 생각이

들어 취미생활로 즐기고있는 볼링을 프로젝트로 정하게되었습니다.

세상을 조금 다른시각으로 보면 미적분학이 훨씬 더 친근하고 재미있게 다가오지 않을까 생각하고

새로이 알게되는 내용을 교수님, 학우들과 공유하면서 남은 여름학기 학습 진행하도록 하겠습니다.

480

*최종 PBL (파란 글씨):

여름학기 9주의 학습기간동안 행렬을 시작하여 복소수 까지 이어지는 많은 내용을 배웠습니다.

우선 데이터를 행렬로 변환하여 행렬 연산법칙을 활용한 행렬의 연산을 할 수 있고 이를 벡터로

나타내고 선형 연립방정식의 해를 구할 수 있게되었습니다. 이때 이 선형연립방정식의 해가 무수

히 많은지 유일한지 존재하지 않는지의 여부또한 판단 가능해졌습니다. 그리고 3차원 상에서의 벡

터를 표현 하여 매개변수 방정식을 구하고 이를 그래프로 표현 한 후 개형을 파악하고 벡터의 진

행방향을 알 수 있습니다.

중, 후반부에 다뤘던 이중적분, 삼중적분의 내용이 이번 여름학기 미적분학2를 통틀어 가장 이해

하기 어려웠던 단원이 아닌가 싶습니다. 간단히 하자면 이중적분은 부피, 그러니 3차원의 값을, 삼

중적분은 4차원의 어떠한 값을 가지지만 1을 적분해주면 각각 넓이, 부피를 구할 수 있게됩니다.

이때 직교좌표가 아닌 극좌표계(r, θ), 원통좌표계((r, θ, z), 구면좌표계(r, θ, Φ)로 각 도형에 맞

좌표계를 치환하고 적분순서를 정해주어 그 값을 구할 수 있는 것을 알게 되었습니다.

By 노영규

동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

미적분학1을 배우고 수학에 대한 자신감이 생겼으며, 미적분학2에 대해 흥미롭게 학습을 진행 했습니다.

행렬에 대해 잘 몰랐지만 두려움은 없었습니다. 어떠한 복잡한 행렬이라도 문제없이 원하는 답을 구할수 있었

습니다. 모바일로 언제 어디서든 학습을 할 수 있고, 실시간으로 명령어를 수정하여 답을 확인 할 수 있어서

너무 좋았습니다. 정사영 및 최소제곱법을 통해 해가 존재하지 않더라도 합리적인 차선책을 구할수 있음을 배

웠고, 현업에서도 실생활에서도 유용하게 쓰일거라 기대됩니다.

처음 접했던 수업이 떠오릅니다. 미분 적분의 개념조차 몰랐던 제가 이젠 이계도함수는 물론 n계도함수를

구할 수 있고, 적분을 손쉽게 구하고, 이중적분, 삼중적분도 손쉽게 구할 수 있음을 느꼈습니다. 또한 적분관

련 복잡한 선적분, 복잡한 면적분을 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리등을 이용해서 내가 구하고자 하는

값을 손쉽게 얻을 수 있음을 느꼈습니다.

또한 컴퓨팅 사고를 하기 위해서는 확실하게 개념을 잡고 접근을 해야지 내가 원하는 값을 손쉽게 얻을 수

있음을 느꼈으며 그리하여 개념에 대해 정확히 이해하였습니다.

혁신적인 수업방식인 Math&코딩과 디지털교과서 그리고 장소와 시간에 제한없는 소통이 있었기에 가능했습

니다.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

네 이해 했습니다. 미적분학1에서 자신감이 생겼고, 미적분학2에서 처음 접하는 행렬이였으나 두려움없이 문

제를 해결해나갔으며 즐겁게 학습을 하고 있습니다.

기말기간동안에는 이중적분, 삼중적분, 원기둥좌표에서 삼중적분, 구면좌표에서의 삼중적분을 배웠습니다.

또한 적분관련 문제를 쉬운문제로 바꿔주는 그린정리, 스토크스 정리, 발산정리에 대해서 배웠으며 이해하였

습니다.

481

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

교수님께서 학습창에서 바로 실습이 가능하게 만들어주신 사이트에서 컴퓨터로도 접근하고 태블릿으로도 접

근하고 가장 많이 사용했던 부분은 휴대폰으로 접근해서 학습을 하였습니다.

앞서 PDF 교재로만 받았을땐 모바일로 내가 실시간으로 실습을 할려면 어려웠는데 이젠 학습하면서 바로

실습이 가능해서 효과적인 학습을 하였습니다.

기말기간동안에도 우리의 파워풀한 Math & Coding 교육과 디지털 교과서로 학습을 진행하였습니다.

이러한 학습방법이 대단하다고 한번 더 느낀게 최근에 스위스 쮜리히 교육대학교 부총장/교원교육개혁위원회

위원 교수님이 우리의 학습방법을 알아 보고자 이상구 교수님 인터뷰를 하러 오신거 보면 정말 대단하다고

느꼈습니다.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

미적분학1에서 자신감이 생겼으며 미적분학2에서는 즐겁게 학습하는 방법을 배우고 있습니다.

정사영을 배우고, 최단거리를 배움을 통해 현업에서도 모두의 요구에 딱 맞춰서 만들어 주진 못해도 누구나

납득이 갈만한 합리적인 값을 구하는 방법을 배웠습니다.

9주차에 배운 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리를 배우면서 처음 미적분학1을 배웠던 그 당시가 생각납니

다. 미적분에 대한 개념조차 몰랐던 두려움이 가득했던 시절이였는데, 이젠 복잡한 선적분을 이중적분으로 구

할 수 있는 그린정리를 알고, 복잡한 면적분을 선적분으로 구할 수 있는 스토크스 정리를 이해 하였고, 복잡

한 면적분 문제를 삼중적분 문제로 바꿀수있는 발산정리를 이해 하였습니다. 이계도함수는 물론이고 복잡한

n계 도함수도 문제없이 구할 수 있어고, 적분은 물론 이중적분 삼중적분도 문제없이 구할 수 있었습니다.

교수님께서 강조하신 복잡한 문제를 단순한 문제로 바꿀수 있는 능력을 키워야 된다고 하셨는데 이러한 학습

방법으로 문제를 쉽게 바꾸는게 가능해졌습니다.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

학우님들이 문의 게시판에 공유해준 내용을 확인하고 이해하고 저도 실제로 해봐서 접근방식에

대해서 이해하였습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

정사영을 배우고, 최단거리를 배움을 통해 현업에서도 모두의 요구에 딱 맞춰서 만들어 주진 못해도 누구나

납득이 갈만한 합리적인 값을 구하는 방법을 배웠습니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적

으세요.) :

90 점.

학우님들의 게시글을 확인하고 토론을 함으로 이해를 하였습니다.

다른 학생에 대한 평가

여러 학우들과의 문의게시판을 통한 소통으로 다양한 문제와 해결방식을 공유 할 수 있어서 좋았고,

적극적으로 참석을 해서 좋은 시너지를 창출할수 있었습니다.

남은 기간도 다 같이 적극적인 참여로 수학에 대한 두렴움이 아닌 자신감을 가졌으면 좋겠습니다.

482

5주차. 이변수함수의 극대 극소, 최대 최소

◩ 열린 문제 1

다른 교재를 참고하여 다양한 이변수함수 (또는 3변수함수)의 극댓값, 극솟값, 또는 안장점을 (임

계점과 Hessian 행렬 H, 그리고 각 임계점에서의 Hessian 행렬의 고윳값을 찾는

H.eigenvalues() 명령어를 이용하여) 구하여라.

의 극댓값, 극솟값을 모두 구하시오.

1) 그래프 확인

var ('x, y')

f(x, y) = 3*x-x^3-2*y^2+y^4

plot3d ( f(x, y), (x, -2, 2), (y, -2, 2),opacity = 1, aspect_ratio = [100, 100, 30],adaptive=True, initial_depth=5)

결과

2) 임계점 확인

var ('x, y')

f(x, y) = 3*x-x^3-2*y^2+y^4

g = f.gradient() # 그래디언트

solve ( [g[0] == 0, g[1] == 0], x, y ) # 임계점

결과

[[x == 1, y == 0],

[x == -1, y == 0],

[x == 1, y == 1],

[x == -1, y == 1],

[x == 1, y == -1],

[x == -1, y == -1]]

3) Hessian의 행렬식을 활용한 이변수함수의 극대/극소/안장점 확인

483

var ('x, y')

f(x, y) = 3*x-x^3-2*y^2+y^4

H = f.hessian() # 헤시안행렬(Hessian. Hesse 행렬)

print('임계점 (1,0)') #첫번째

print (H(1,0))

print ('Hessian의 행렬식',H(1,0).det()) #Hessian의 행렬식

print ('행렬의 고윳값',H(1,0).eigenvalues()) #행렬의 고윳값

print('')

print('임계점 (-1,0)') #두번째

print (H(-1,0))

print ('Hessian의 행렬식',H(-1,0).det())

print ('행렬의 고윳값',H(-1,0).eigenvalues())

print('')

print('임계점 (1,1)') #세번째

print (H(1,1))

print ('Hessian의 행렬식',H(1,1).det())

print ('행렬의 고윳값',H(1,1).eigenvalues())

print('')

print('임계점 (-1,1)') #네번째

print (H(-1,1))

print ('Hessian의 행렬식',H(-1,1).det())

print ('행렬의 고윳값',H(-1,1).eigenvalues())

print('')

print('임계점 (1,-1)') #다섯번째

print (H(1,-1))

print ('Hessian의 행렬식',H(1,-1).det())

print ('행렬의 고윳값',H(1,-1).eigenvalues())

print('')

print('임계점 (-1,-1)') #여섯번째

print (H(-1,-1))

print ('Hessian의 행렬식',H(-1,-1).det())

print ('행렬의 고윳값',H(-1,-1).eigenvalues())

print('')

결과

임계점 (1,0) #극댓값

[-6 0] #

[ 0 -4]

484

Hessian의 행렬식 24 #

행렬의 고윳값 [-6, -4]

임계점 (-1,0) #안장점

[ 6 0] #

[ 0 -4]

Hessian의 행렬식 -24 #

행렬의 고윳값 [-4, 6]

임계점 (1,1) #안장점

[-6 0] #

[ 0 8]

Hessian의 행렬식 -48 #

행렬의 고윳값 [-6, 8]

임계점 (-1,1) #극솟값

[6 0] #

[0 8]

Hessian의 행렬식 48 #

행렬의 고윳값 [6, 8]

임계점 (1,-1) #안장점

[-6 0] #

[ 0 8]

Hessian의 행렬식 -48 #

행렬의 고윳값 [-6, 8]

임계점 (-1,-1) #극솟값

[6 0] #

[0 8]

Hessian의 행렬식 48 #

행렬의 고윳값 [6, 8]

4) 그래프 재확인

참고자료

485

앞서 구한 결과와 동일한 것을 확인 할 수 있다.

[열린문제] Final Comment

이변수함수에 대한 극대/극소판정을 g = f.gradient() 그래디언트를 통해 임계점을 확인하고,

'Hessian의 행렬식',H(-1,-1).det())과 '행렬의 고윳값',H(-1,-1).eigenvalues())을 이용하여

극대/극소/안장점 판정을 할 수 있었습니다. 또한 그래프를 통해 실제로 극대/극소인지 확인이 가

능하였습니다.

주요 명령어 :

g = f.gradient() # 그래디언트

solve ( [g[0] == 0, g[1] == 0], x, y ) # 임계점확인

H = f.hessian() # 헤시안행렬(Hessian. Hesse 행렬)

print('임계점 (1,0)') #첫번째

print (H(1,0))

print ('Hessian의 행렬식',H(1,0).det()) #Hessian의 행렬식

print ('행렬의 고윳값',H(1,0).eigenvalues()) #행렬의 고윳값

◩ 열린 문제 2

라그랑주의 승수법을 이용하여 방정식

을 만족하는 함수

의 최댓값과 최솟값을

코드를 활용하여 구해보시오.

var ('x, y, z, t, ld')

f(x, y, z, t) = x + y + z + t

486

g(x, y, z, t) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2 - 1

gradf = f.gradient()

gradg = g.gradient()

solve ([gradf[0] == ld*gradg[0], gradf[1] == ld*gradg[1], gradf[2] == ld*gradg[2],

gradf[3] == ld*gradg[3], g(x, y, z, t) == 0], x, y, z, t, ld)

결과

[[x == (1/2), y == (1/2), z == (1/2), t == (1/2), ld == 1],

[x == (-1/2), y == (-1/2), z == (-1/2), t == (-1/2), ld == -1]]

위에서 나온 답을 함수 f에 대입하여 극값을 구할 수 있다.

var ('x, y, z, t')

f(x, y, z, t) = x + y + z + t

print (f(1/2, 1/2, 1/2, 1/2))

print (f(-1/2, -1/2, -1/2, -1/2))

결과

-2

따라서 최대값은 2(이때 ld는 1) , 최소값은 -2 (이때 ld는 -1)

[열린문제] 이변수함수 극대/극소/안장점 확인 Final Comment

최대,최소값을 확인하기 위해서 라그랑주 승수법을 이용하여 최대/최소를 판정 할 수 있었습니

다.

와

가 평행 할 때 에 최대/최소 값을 얻는 것을 알 수 있었습니다.

주요 명령어 :

gradf = f.gradient()

gradg = g.gradient()

solve ([gradf[0] == ld*gradg[0], gradf[1] == ld*gradg[1], gradf[2] == ld*gradg[2],

gradf[3] == ld*gradg[3], g(x, y, z, t) == 0], x, y, z, t, ld)

Name / e-mail (이름과 이-메일): 노*규 / s****@g.skku.edu

Project Title (Tentative, just idea now): PCA를 활용한 제품 측정 데이터 계산

과 시작화 관리

487

■ 주 제 : 주성분 분석(PCA)을 활용한 제품 측정 데이터 계산과 시각화 관리

■ 목 적 : 제품의 생산 과정 중 후공정에서는 만들어진 제품에 대해 양품/불량 판정 및 제품 관

리를 해야 된다. 설비 1대당 분당 생산성이 3만개 이상이고, 여러 설비가 가동이 되고 있는 상황

속 모든 data를 관리하기는 어렵다. 수많은 low data 관리 및 분석의 Risk가 있으므로 PCA를 활

용하여 차원을 축소하여 관리하는데 목적이 있다.

제품의 여러 특성을 PCA를 활용하여 낮은 차원으로 생산관리 및 시각화에 목적이 있다.

■ 실행방법:

1) 제품 생산 과정중 추출한 제품의 크기, 전기적 특성, 절연저항, 외관 불량 등 low data를 추출

2) PCA를 활용하여 주성분을 만들어 낸다

3) 낮은 차원으로 나온 결과를 시각화 관리 및 계산하여 최종 제품의 양품/불량 판정

4) 제품의 편차가 심할 경우 제작 현장에 피드백

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W12/

6. Final comment after your report

*중간 First PBL (검은 글씨):

미적분학1에서 수학에 대한 거부감이 아닌 자신감이 생겼으며 미적분학2를 진행하면서 흥미롭게

배워나가고 있습니다. Sage를 통해 직관적으로 그래프를 확인 할 수 있다는게 너무나 큰 장점인

것같습니다. 다른 교재에서는 3D 형상을 사진으로 올려놔서 사진을 보고도 이해하기가 어려운것들

도 있었는데 sage 같은 경우 3D 형상도 회전 및 확대/축소까지 가능하니 3D 형상에 대한 이해도

가 향상 됐습니다. 행렬에 대해서 처음 접했지만 1학기때 자신감이 생겨서 두렵지않고 흥미를 가

지고 문제를 해결할 수 있었습니다. Ax=b 해집합을 구하는것도 손쉽게 구할수있으며,

해가 존재하지 않더라도 정사영 최단거리를 이용하여 모두에게 합리적인 값을 제시 할 수 있었습

488

니다. 우리의 수업방식은 언제 어디서든 접근이 가능하고 문의가 가능해서 효과적으로 학습을 해

서 모든 학우들과 긍정적인 시너지 효과가 나타날것이라 기대됩니다.

* Final PBL (파란 글씨):

미적분학2 Final PBL Final comment를 작성 하려고 하니 감회가 새롭습니다.

문과 출신에 미적분도 잘 알지 못했던, 수학에 대한 흥미와 자신감이 없었던 수포자였는데 교수님

의 강의를 듣고 많은 것을 깨달았고, 많은 것을 느끼고 배웠습니다.

미적분에 대한 개념 조차 몰랐던 제가 혁신적인 학습 방법 덕분에 다변수 미적분에 대한 답을 손

쉽게 얻는게 가능해졌습니다.

1) Math & Coding 교육.

2) 모바일에서도 접근 가능한 디지털 교과서로 학습.

3) 교수님과 학우들과의 소통을 하면서 기본 개념을 확실하게 잡고, sage를 활용.

이러한 혁신적인 학습 방법으로 다변수함수의 도함수를 구하는 것이며, 이계도함수를 구하는 것이

며, 더 나아가 n계 편도함수를 구할 수 있게 됐습니다.

또한 행렬식, 내적, 외적, 그래디언트, Hessian을 구할 수 있게 됐고

미분과 행렬(Hessian)을 이용해서 다변수 함수의 극대/극소(최적해)/안장점을 구하고,

라그랑주 승수법을 이용해 최대/최소를 구할 수 있었습니다.

적분은 물론, 이중 적분, 삼중 적분이 가능해졌으며, 푸비니 정리에 의해 적분 순서를 바꿔서 쉬운

문제로 변경이 가능해졌습니다.

직교좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계 간의 변환도 자유롭게 가능해졌고, 자코비안 행렬식을 이용해

서 좌표계 간의 변환시 필요한 넓이의 보정값을 구하는게 가능해졌습니다.

벡터장과 curl (F x ▽), divergence (F ㆍ ▽), 그린정리, 스토크스정리, 발산정리에 대해 이해하

고, 이들을 이용해 주어진 조건하에 선적분을 이중적분으로, 면적분을 선적분으로, 면적분을 삼중

적분으로 쉽게 바꾸기가 가능해졌습니다.

교수님께서 수업중에 강조하신 현업에서 중요한게 복잡한 고차원 문제를 낮은 차원으로 즉, 복잡

한 문제를 쉬운 문제로 변경하는 것이 중요하다고 하셨는데 교수님의 가르침을 통해 복잡한 문제

를 쉬운 문제로 바꾸는게 가능해졌습니다.

또한 교수님께서 수학을 이용한 인공지능 관련 부분(PCA, SVD, 경사하강법 등) 및 수학 관련 기

사 등을 틈틈이 참고하라고 공유해주셔서 수학에 대한 흥미가 더욱 커졌습니다.

35살 제빵사였던 그린이 수학에 빠졌듯, 저도 늦은 나이지만 수학에 흥미가 생길 수 있게 해주심

에 감사드립니다.

평소 우리의 Math & Coding 학습 방식과 디지털 교과서에 대해서 정말 대단하다고 느끼고 있었

는데 최근 스위스 쮜리히 교육대학교 부총장/교원교육개혁위원회 위원 켈러 교수님이 우리의 교육

방식과 디지털 교과서에 대해 인터뷰하러 무더운 여름에 한국을 방문한 것을 보고 한번 더 대단하

다는 생각이 들었습니다.

489

우리의 학습 방식인 [Math&코딩] [디지털교과서] [소통]으로 수포자였던 저도 수학에 대한 흥미를

가지고 생각을 할 수 있었으며, 그로 인해 다변수 미적분이 가능해졌습니다.

그동안의 교수님의 가르침 대단히 감사합니다.

신종호:

동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

1학기때 많이 해봐서 그런지 여름학기에는 1주차 시작부터 문의 게시판을 통하여 많은

학습을 진행 할수 있었습니다. 다른 학우들도 마찬가지로 수업내용들을 1주차부터 많이

활용 해주어서 학습하고 이해하고 개념 정리 하는데 많은 도움이 되었습니다. 또한 갈

수록 수식이 복잡해지고 어려워지는데 sage 프로그램을 활용하여 간편하고 쉽게 답을

확인하고 그래프 또한 직관적으로 확인 할수 있어서 너무 좋았습니다. 문의게시판을 통

하여 학우들과 함께한다면 큰 어려움 없이 이번학기도 마칠수 있을꺼 같다는 생각이

들었고 자신감이 많이 생겼습니다.

기말고사범위로 들어가면서 이중적분의 개념과 다양한 극곡선들을 그려보고 이 곡선들

이 만드는 영역의 넓이를 구해보았고 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분 의

개념과 구면좌표의 한점을 직교좌표로 나타내어보았고 구면좌표계에서의 야코비안을

유도하여 문제를 풀어보았습니다. 그리고 벡터장은 물리학에서 유체의 흐름이나 중력장

등의 각 점에서 크기와 방향을 나타내기 위해 사용하는 것을 알았고 벡터장에서 정의

되는 연산인 회전과 발산에 대하여 알수있었다. 선적분, 그린전리, 스토크정리 발산 정

리를 이용하여 쉽게 답을 구할수 있음을 알수있었습니다. 여기서 sage 프로그램을 활

용하여 더욱더 쉽게 답을 구할수 있음을 알수있었습니다.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

제가 모르는 것이나 학습한 내용들을 문의게시판을 통해서 공유하고 이해한 내용도 학우들과 다

시 한번 토론하면서 완벽하게 이해하고 있다고 생각합니다. 또한 sage 프로그램을 통해서 손으

로 직접 푸는 것을 간편하게 식을 적고 답을 낼수 있으며 직관적인 그래프를 보면서 이해하는데

많은 도움이 되고 있습니다.

이중적분 삼중적분, 처음에 접하기도 힘들었지만 교수님 학습하라는데로 예습후에 문의게시판

모르는 문제나 학습내용을 공유하여서 9주차 까지 힘들지 않게 전체적인 내용을 이해할수 있었

습니다.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

여름학기 책과 교수님이 올려주신 아이캠퍼스강좌를 통하여 한번더 학습합니다. 그리고 문의게

시판에 내가 학습한 내용을 게시판에 올리고 학우들이 게시판에 올린 수업내용과 학습내용을 통

490

해서 계속적으로 학습하고 있고 sage프로그램을 많이 활용해서 학습하고 있습니다.

기말고사때는 중간고사에 비해서 더 이해하기 힘든 내용들이 많아서 수기로 개념을 정리하여 교

수님이 교제 중간중간에 열린문제 풀이를 통하여 더욱더 학습하는데 많은 도움이 되었습니다.

3.본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

이번 강좌들은 math &coding 많이 활용하여서 학습하였던거 같습니다. 수식들 자체가 복잡하기

도 하고 답을 구하는데 손이 많이 가는 파트인거 같습니다. 더불어 교수님이 토론 학습으로 올

려주신 것을 보면서 실생활이나 여러 가지 수학적인 지식을 배워서 학습하고 이해하는데 많은

도움이 되었습니다.

교수님의 교제와 학습법대로 학습하여서 앞으로 2학기 시작되게되면 미적분학이 여러 과목에 많

이 들어간다고 들었습니다. 그래서 미적분학에 대하여 많이 배우게 되었던거 같습니다.

여름학기도 고생 많으셨습니다.

4.다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

모든 내용들을 학습하기는 하나 내가 놓치는 부분이나 아직 학습하지 못했던 부분을 문의게시판

학우들을 통해서 많이 배웠습니다. 그래서 그것들을 하나하나 다 모아서 학습하다보면 한 챕터

의 이해를 완벽하게 할수 있었습니다. 혼자서 하는 것보다 학우들과 같이 학습하게되어서 학습

능력이 많이 늘어난것같습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

손으로 직접 푸는 방법도 좋은 방법이라고 생각하는데 이상구 교수님과 math & coding를 배우면서

이번 학습때는 절실하게 다가왔습니다. math & coding 활용해서 손으로 직접풀 경우 조금이라도 다를 경

우 틀릴수도 있지만 math & coding 활용하면 쉽게 문제에 접급할수 있고 간편하게 답이 나오기 때문에 앞

으로 수학문제를 풀 경우 math & coding 적극 활용해서 학습 할 것입니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적으세

요.) :

1) 84점

0주차부터 시작하여 4주차까지 순식간에 지나간 것 같습니다. 1학기때 학습 방법에 대해 많

이 배웠기 때문에 0주차부터 시작해서 4주차까지 꾸준하게 문의게시판을 활동을 하였습니다.

이번학기때는 교수님이 수업하신 내용을 제가 직접 정리하여 게시판에 공유하였고 그것을 바

탕으로 학우들이 이해하고 학습하는데 많은 도움을 주었던 거 같고 제가 나름대로 정리하고

하여서 스스로 학습하는데도 많은 영향이 있었습니다.

다른 학생에 대한 평가

모든 학생들이 1학기때와는 다르게 문의게시판 활용이라던지 개념정리 열린문제 풀이 등 훨씬 더 월등하

게 잘해서 학습하는데 많은 도움이 되었습니다. 한 개의 개념을 학습할 때 만흔 학생들이 코맨트와 질문들

과 예제 문제들을 공유해주어서 혼자할때와는 다르게 많은 도움이 되었습니다. 그리고 교수님의 학습방법

이 문의게시판에 학습한내용을 공유하고, 학우들끼리 토론하고 문제를 다르게 해서 풀어서 다시 공유하고

491

1번의 공유로 여러번 복습하게 되는 시스템인 것 같습니다. 그래서 다른학생들 덕분에 학습하는데 더 업

그레이드되어서 학습하는거 같습니다.

Name / e-mail (이름과 이-메일): 신** tl*******@nav******.com

Team Project Title (Tentative, just idea now): 철강 구성 요소의 결함 감지

초록 : 다변수 함수와 벡터를 sage프로그램을 통하여 결함 방지효과

연구방법 개요: 심층 신경망 아키텍처를 구축하고 데이터의 전처리 및 후처리를 위한

내장 라이브러리를 손쉽게 활용할수 있습니다.

참고문헌/웹주소:

https://kr.mathworks.com/content/dam/mathworks/ebook/gated/kr-ai-deep-learning-

case-study-ebook.pdf

Ch 6장. ◆ Final comment after your report ◆ (10점)

(PBL보고서/Project를 마치고 ...)

*중간 PBL (검은 글씨 ) : 이번 여름 학기를 시작하면서 1학기 시작했을때보다 조금 더 많이

알고 준비하면서 미적분학2를 시작할수 있었던 거 같습니다. 이것의 원동력은 이미 1학기때 수

업의 과정이 어떻게 흘러가는지 대충은 알고 있어서 이고 그다음은 교수님의 학습과정이 컸다고

생각합니다. 1학기와 마찬가지로 먼저 교수님이 올려주신 강좌를 수강한뒤 예습하고 문의게시판

에 나의 학습내용을 공유하고 거기에 학우들의 질문이나 다른 예제 문제풀이 등을 확인 할수 있

었고 그래도 모르는 부분들은 교수님이 항상 문의게시판을 통하여 답변을 주시기 때문에 걱정

없이 항상 모든 문제에 접근할수 있었습니다. 그리고 미적분학1에서 미적분학2로 가면서 변수가

더 많아지고 3차원, 3차원 이상의 다변수 함수로 가다보니 어려움이 많았었습니다. 하지만 이렇

게 다양한 고차원 함수를 다룸으로써 수학적인 지식이 많아지고 생각할수 있는 상황도 많이 생

겨졌습니다. 그리하여 더욱더 활발히 토론하면서 학우들과 문제를 공유하고 참여하게 되었던거

같습니다. 그리고 학우들, 교수님이 있어서 걱정 없이 문제를 들여다볼수 있었던 가장큰 이유

인거 같습니다. 또한 sage & math를 통하여 복잡한 고차원 함수, 다변수 함수 관련된 문제와

3차원 적인 그래프를 직접 볼 수 있고 변화시키며 그래프를 확인 할수 있어서 재밌게 다가 오

기도 하였습니다. 그리하여 sage 프로그램 자체가 저에게는 없어서는 안될정도로 필요한 프로그

램으로 쓰이고 있습니다. 처음 사용이 어색해 어떻게 사용하는지 교수님께 많이 물어본 기억이

납니다. 지금은 어느정도 교수님이 올려주신 예제를 통하여 많은 활용을 하고 있습니다. 앞으로

남은기간 최선을 다해서 수업에 임하여 좋은 결과를 얻을 수 있도록 노력하겠습니다!

기말고사를 마지막으로 미적분학 1, 2 을 마치게 되었습니다. 마치면서 미적분학은 생각의 기술

을 배우는 과정이고 일상생활에서도 실용적으로 사용되는 곳이 엄청 많이 있다고 교수님께 듣게

492

되었습니다. 그래서 굉장히 매우 중요한 학문이라고 생각되었습니다. 함수가 미적분의 내용을

시작하기 위한 출발점과 같다고 생각들었고 미적분학 시작전 교등학교 수학때 함수의 기본적인

내용이 다들어가있었습니다. 지수,로그 삼각함수와 미적분의 다양한 내용을 통합하면서 심화를

시킨게 미적분이라는 학문이라 생각들었고 제 인생 수학이 엄청 어렵다고 느껴지게 되었습니다.

그래서 미적분을 배우기 위해서는 함수식의 대수적인 처리가 필요하고 곡선으로 둘러싸인 부분

이나 도형의 넓이를 적분으로 기하적인 요소도 필요하였습니다. 이부분은 sage프로그램을 통하

여 한번에 해소 가능하여서 편하게 학습할수 있었습니다. 우리가 경험하는 다양한 운동과 변화

현상, 자연에서의 밀물과 썰물 , 낙하하는 물체&달리는 자동차의 속도, 경제에서 물가의 변동,

생산비의 증감, 수익률의 변동 사회에서의 인구변화 등 수많은 변화 현상에 질서와 규칙이 있는

데 미적분을 통해서 증가하고 감소하는 변화 상태로부터 규칙을 찾아내는 것을 알았고 일종의

도구라고 생각되고 그런 함수의 변화를 다루는 것이 미적분이라고 생각 들었습니다. 그래서 미

적분은 역동적인 수학이라고 많이 느꼈습니다. 미적분은 어느 학문에서도 빠지지 않아 활용도가

매우 높아서 교수님의 커리큘럼대로 학습을 하게되면 여러 가지 많은 도움이 된다고 생가되어서

열심히 하게 되었습니다. 여름 2학기 까지 고생많으셨고 교수님과 수업하게되어 영광이었습니

다.

박준수:

Name / e-mail (이름과 이-메일): 박*수/jun*******@g.skku.edu

Team Project Title (Tentative, just idea now) : 미적분을 활용한 날씨예측

초록 : 이전보다 날씨가 더 정확하게 예측됩니다. 개선의 일부는 미적분을 사용하는

컴퓨터 모델링과 같은 기술 덕분이며 다가오는 날씨를 보다 세심하게 예측할 수

있습니다. 이 컴퓨터 프로그램은 또한 한 지역의 가능한 날씨 결과를 할당하는 데

도움이되는 알고리즘 유형을 사용합니다. 컴퓨터 알고리즘과 마찬가지로, 일기 예보는

풍속, 수분 수준 및 온도와 같은 많은 변수를 고려하여 결정됩니다. 컴퓨터가 엄청난

양의 데이터를 거치면서 무거운 짐을 싣지 만, 기상학의 기초는 미분 방정식에 기초를

두어 기상 학자가 대기의 기온과 압력의 변화가 날씨 변화를 나타낼 수있게

도와줍니다.

참고문헌/웹주소:

https://ko.science19.com/uses-of-calculus-in-everyday-life-4937

Ch 7장. ◆ Final comment after your report ◆ (10점)

(PBL보고서/Project를 마치고 ...)

* first PBL (black) 1week – 6week (검은 글씨): 5주간 배운 내용을 최선을 다해 PBL 보고서를

작성하였습니다. 여러번 PBL보고서 작성을 해보니 실력이 늘었다고 생각합니다. 이후 FINAL

PBL보고서는 지금보다 더 질 좋게 만들도록 노력하겠습니다. 앞으로도 지금처럼 계속해서 잘

배우고 공부해서 더욱더 잘할 수 있도록 하겠습니다. 감사합니다.

*최종 PBL (파란 글씨): (중간 PBL에 이어서 추가하시면 됩니다.)

이번학기 강의중에 저에게도 가장 의미있는 수업이었고, 교수님께서도 가장 중요하다고 말씀해주

신 8주차,9주차 내용을 간단하게 정리해보았습니다.

493

8주차에서 원기둥 좌표계란 3차원 공간을 나타내기 위해 평면 극좌표계에 평면에서부터의 높이z

(혹은 h)를 더해, (r,theta,z)로 이루어지는 좌표계이고, 직교좌표 (x,y,z)로 표시하고, 원기둥 좌표

(r,theta,z)로 표시하는 것을 알게 되었습니다. 그리고 예제문제를 풀어보며 원기둥 좌표를 직교좌

표로 변환하려면 Sage프로그램에서 T.transform 명령어를 사용하고, 원기둥 좌표(r,theta,z) 순

서대로 radius = r, azimuth(방위각) = theta, height = z 입력하여 쉽게 구할 수 있는 것도 알

게 되었습니다. 그리고 구면 좌표계란 3차원 공간의 점(x,y,z)를 순서쌍 (p,theta,pi)로 나타내고,

p는 원점에서 p까지의 거리, theta는 원기둥 좌표에서와 같은 각, pi는 z축의 양의 방향과 선분

op사이의 각임을 알게 되었습니다. 그리고 적분과정에서 변수변환 혹은 야코비안을 구할 때 반드

시 야코비안의 ‘절댓값’을 피적분함수에 넣어서 곱해줘야 된다는 것도 알게되었습니다.

9주차에서의 핵심개념에 대해서도 정리 해보자면, 벡터장이란 물리학에서 유체의 흐름이나 중력장

등의 각 점에서 크기와 방향을 나타내기 위해 사용하고 Sage에서 plot_vector_field3d 명령어를

사용하여 벡터장을 그릴수 있고, 선적분이란 곡선C가 있다고 할 때 이 곡선에 사용되고 있는 벡

터의 미분을 곡선 C를 따라가면서 모두 더한 것이 선적분임을 알게 되었습니다.

그리고 회전이란 curl이라고 하며, 물리학적으로 F가 유체의 속도 벡터장이면, curl F는 그 유

체가 가장 빨리 회전하는 축의 방향을 제시하고 그 크기는 회전의 속력을 나타내고, Sage에서

print("curl(F) =", F.curl([x, y, z])) 명령어를 사용하여 회전의 값을 구할 수 있음을 알게 되었습

니다. 발산이란 벡터장이 퍼지는지 모이는지를 측정하는 것으로 구하는 식은 회전과 반대로 내적

하는 것으로 쉽게 구할 수 있음을 알게 되었습니다. 그린정리란 단순 닫힌 곡선을 따르는 선적분

과에 의해 둘러싸인 영역 에서의 이중적분 사이의 관계를 말하고, 스토크스 정리란 면적분과 경계

곡선에서의 (양의 방향을 따라) 선적분을 연결하는 것이고, 발산 정리란 삼중적분을 면적분으로 면

적분을 삼중적분으로 바꿔주는 것임을 알게 되었습니다.

마지막으로 느낀점 입니다.

여름학기 10주 동안 1주 차 벡터와 행렬부터 시작해 9주 차 발산 정리까지 학습하며, 문의 게시

판에 매주 1개 이상의 질문을 남겼습니다. 그리고 답변/comment까지 합하면 87개의 글이 있습

니다.

혼자서 공부했다면 절대로 이룰 수 없는 결과라고 생각합니다. 1학기 때 처음 이상구 교수님을

만나고 처음으로 문의 게시판 활동을 했을 때는 정말 어색했었습니다.

단 한 번도 이런 방식의 수업을 해본 적이 없었기 때문입니다. 참여와 토론을 강조하는 것이 어색

한 저에게 어려운 미션과도 같았습니다.

하지만 1학기가 지나고 여름학기까지 마무리한 지금에서야 되돌아보면 참여와 토론을 강조하는

방식의 강의가 이제는 어색하지 않고 익숙해지고 재밌어지는 중입니다.

수업의 내용도 굉장히 유익한 시간이었지만, 무엇보다 저는 문의 게시판 활동을 통해 참여와 토론

을 강조하는 수업방식이 저에게 맞아졌다는 게 좋았습니다.

그리고 혼자서는 이해하기 어려웠던 내용들도 학우님들의 도움을 통해 이해할 수 있었습니다. 마

지막으로 대학생활의 시작을 교수님과 함께할 수 있어서 영광이었습니다. 여름학기 10주 동안 누

구보다 열정적으로 가르쳐주신 이상구 교수님 감사드립니다.

by 손혜원

494

동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

1학기 때 미분적분학1에서 배웠던 내용들도 학습하기에 쉬운 내용들이 아니었습니다. 하지만 1학

기 때도 다른 학우님들과 토론을 하며 학습을 진행할 수 있었습니다.

이번 미분적분학2에서 배우는 내용들도 이전 학기와 마찬가지로 어려움이 많으나 문의게시판을 활

용하여 학우님들과 토론을 하며 학습하고 있습니다. 남은 5주도 동일한 방식으로 학습하여 무사히

이번 학기를 마무리하도록 더 노력해야겠다고 느꼈습니다.

중간고사 이후 열린 문제를 중심으로 학습을 하면서 다양한 문제를 풀어볼 수 있었고, 개념에 대

해 고민을 할 수 있었습니다. 의문이 가는 부분은 문의게시판을 통해서 답을 구하며 학습을 하니

다른 시각에서도 바라볼 수 있었습니다. 어려운 개념들도 부지런히 학습한다면 오래 걸리더라도

이해할 수 있다는 것을 다시금 깨달았습니다.

Name / e-mail (이름과 이-메일): 손*원/ s**@skku.edu

Team Project Title (Tentative, just idea now): 좌표평면과 AI를 이용한

설비기능개선

초록: 설비가 작동하기 위해서는 많은 조작이 필요합니다. 조작하는 사람에 따라 그

기능을 반도 발휘하지 못하는 경우가 많고, 고장이 나는 경우도 다반사입니다. 만약

AI를 활용하여 설비가 움직이는 모든 범위를 좌표평면으로 설정하여 가동한다면 그런

에러를 줄일 수 있다고 생각합니다.

연구방법 개요:

1. AI프로그램에게 설비와 관련된 모든 정보를 학습시킨 후 설비 내부의 모든 위치를

삼차원좌표평면으로 지정합니다.

2. 다양한 작업자가 설비를 가동시켜 오류가 일어나는 다양한 사유들을 학습시킵니다.

3. 어떤 위치에서 오류가 자주 일어나는지 데이터를 모아 그에 관한 프로그램을

개발합니다.

4. 오류에 대한 데이터를 쌓고 좌표평면을 더욱 세밀하게 조정한다면 오류가 일어나는

경우가 줄어들 것이고 그렇다면 설비의 활용도를 더욱 높일 수 있을 것이라

생각합니다.

참고문헌/웹주소: [참고URL] KIST 유럽 “공장의 학습형 AI가 ‘품질이상 감지’ 기술 개발”

Ch 6장. ◆ Final comment after your report ◆ (10점)

(PBL보고서/Project를 마치고 ...)

*중간 PBL (검은 글씨): 종강이후 짧은 휴식시간만 가진 후 바로 시작한 학기이기도 하고, 10주의

교과과정은 처음이라 아직은 낯설게 느껴집니다. 또한, 개강이 엊그제만 같은데 벌써 5주라는 시

간이 지나 여름학기의 절반이 지나가고 있다는 사실이 믿기지가 않습니다.

매주 학습하는 내용들이 쉽지 않지만 저번 학기에 배운 내용을 바탕으로 강의콘텐츠에 올려주신

495

동영상으로 예습을 하고, 오프라인에서 강의를 듣고 Q&A에서 동료들과 토론을 하며 성실히 학습

하다보니 어느 정도 갈피가 잡혀가는 것 같다는 생각도 듭니다.

그리고 이전 학기에 성실히 학습한 내용들을 바탕으로 이번 학기에 배우는 내용들을 쌓아가는 과

정이기에, 이전 학기의 내용을 언제든지 찾아볼 수 있는 html 교재가 있다는 점이 매우 편하게 느

껴졌습니다.

남은 5주도 눈 깜빡할 사이에 지나갈 것이라 생각되지만, 그동안 성실히 학습한대로 노력하다보면

여름학기가 끝났을 때 유종의 미를 거둘 수 있을 것 같은 예상이 됩니다. 생각 그대로의 결과를

얻기 위해 남은 기간 동안 성실히 학습하려 노력할 것입니다.

*최종 PBL (파란 글씨): 5주차에는 다변수 함수의 극대, 극소와 최댓값, 최솟값을 구하는 방법에

대해 학습하였는데 다변수라 많은 걱정을 했었지만, 저희가 기존에 배웠던 도함수를 구해서 극대,

극소를 판단하는 내용의 연장선이었기에 어렵지 않게 진행할 수 있었습니다. 또한 이변수 함수가

일정 범위 내에서 극대값(극솟값)을 갖고 1계 편도함수가 모두 존재한다면 이변수 함수의 그래디

언트=0이라는 페르마의 임계점 정리와 제약조건을 만족하면서 목적함수가 최대, 최소가 되게하는

변수를 구할 때 사용하는 라그랑주의 승수법에 대해서도 학습할 수 있었습니다.

6주차에는 직사각형과 일반 영역 위에서의 이중적분과 함수가 연속이라면 적분순서를 변경할 수

있다는 푸비니정리에 대해서 학습할 수 있었습니다. 그리고 적분순서를 정하는 경우에 구간이 상

수인 적분을 후순위로 하는 것이 간편하다는 것을 알 수 있었습니다.　

7주차에는 극좌표에서의 이중적분과 삼중적분에 대해 학습하였는데 직교좌표를 극좌표로 변경하고

이중적분을 활용하여 곡면적을 구하는 것은 각 편도함수에 의해 만들어진 곡선의 두 접선벡터의

외적과 같다는 것을 알 수 있었습니다. 그리고 삼중적분도 이중적분과 동일한 방법으로 구하면 되

며 적분 순서를 바꾸거나 모든 피적분함수를 분리하여 적분한 후 곱하여도 같은 값이 나오는 것을

배울 수 있었습니다.

8주차에는 원기둥좌표계와 구면좌표계에서의 삼중적분에 대해서 학습하였는데 원기둥좌표계는 x,

y를 r, theta로 변경하고 z는 독립변수라는 것을 알 수 있었고, 구면좌표계는 x, y, z를

로

변경하는 것이고 각각 구의 반지름, 경도, 위도로 생각하면 간편하였습니다. 그리고 변수 변환 시

넓이(부피)의 변화율을 나타내는 야코비안의 절댓값을 구해야 하는데 이는 행렬식을 활용하면 간단

하게 구할 수 있었으며, 변수 변환은 치환 적분 개념을 바탕으로 이해하면 어렵지 않게 이해할 수

있었습니다.

9주차에는 벡터장과 회전, 발산, 선적분, 그린정리, 면적분, 스토크스 정리에 대해서 학습하였는데,

벡터장은 공간의 한 점에 벡터를 대응시킨 것으로 물리학에서 유체의 흐름 등을 표현하기 위해 사

용됩니다. 선적분은 정적분의 적분구간을 적분 경로(평면의 임의의 직선 또는 곡선)로 확장한 것이

고, 그런 선적분과 이중적분 사이의 관계를 설명하는 것이 35살의 제빵사였던 그린이 발견한 그린

정리입니다. 그리고 스토크스 정리는 방향이 있는 곡면에서의 면적분과 선적분을 연결한 것으로

그린 정리의 확장된 버전입니다. 발산 정리는 삼중적분과 면적분을 서로 바꿀 수 있는 이론입니

다.

8주차와 9주차의 내용들은 이전 수업들의 내용의 총집합이었습니다. 앞에서 배운 내용들을 모두

이해해야지만 내용을 학습할 수 있었습니다. 그렇기에 학습하면서 앞의 내용들이 명확하게 생각나

지 않는다면 실습실을 방문하여 기존의 개념을 다시 확인해가며 학습하였습니다.

실습실이 있었기에 언제든지 방문하여 여러 가지 개념들을 확인할 수 있었고, 두 학기동안 학습하

면서 배운 내용들은 쉽지 않았지만 복잡한 계산을 대신해주는 sage를 바탕으로 학습하면서 개념

을 익히는 것에 집중을 하였기에 계속해서 수업을 따라가며 학습할 수 있었습니다. 지금 작성하고

496

있는 PBL보고서도 이후에 궁금한 개념이 생긴다면 언제든지 학습할 수 있도록 많은 내용을 담기

위해 노력하면서 작성하였습니다. 두 학기동안 많은 이론을 배웠으며, 학습하는 자세에 대해서도

배울 수 있었습니다. 본 수업에서 배운 것들을 바탕으로 앞으로 배울 수업들에서 많은 것을 얻을

수 있도록 노력해야겠다는 생각이 들었습니다.

그동안의 가르침에 감사합니다.

By 노태완:

project명: 벡터를 이용한 동물의 이동경로 추적 및 동물 보호

개요: 야생동물에게 추적 장치를 부착하여 동물들의 현재위치와 과거위치를 지속적으로

파악하여 그에 대한 벡터 값을 계산하여 동물들의 구체적인 이동경로를 파악하고 이동 범

위에 대해서 확인이 가능합니다.

또한 보호가 필요한 동물들에게도 추적 장치 부착을 통해서 위치 파악 및 이동 습성 등을

파악하여 보호 동물의 개체 수 관리 및 보존이 가능합니다.

Ch 6장. Final comment after your report (10점)

*중간 PBL (검은 글씨):

여름학기도 1학기처럼 sage를 통하여 수업하고 있습니다. 그러나 1학기는 고등학교 과

정을 복습하는 기간도 있었지만, 여름학기부터는 본격적인 대학 수학의 과정을 진행 중입

니다. 하지만 고등수학뿐만 아니라 대학 수학도 교수님의 sage 프로그램을 통하여 어렵지

않게 풀이가 가능하다는 것을 확인할 수 있었습니다. 대학 수학은 무조건 어려우리라 생

각하고 지레 겁을 먹었지만 1학기 때 배운 것과 교수님의 교재를 통해서 대학 수학 또한

걱정 한 것만큼 어려운 영역은 아니라는 것을 알았습니다. 하지만 sage 프로그램에만 의

존해서 문제를 푸는 것이 아니라 제가 직접 해당 과정에 대한 이해를 통해서 풀 수 있는

능력을 길러야겠다고 생각하였습니다.

*최종 PBL (파란 글씨):

5주차 수업을 통해서 라그랑주 승수법에 대해서 처음 들어보고 학습을 하였으며

라그랑주 승수법은 제약식에서 사용을 할 수 있으며 실제로 경제학 분야에서 활용이 된다

는 것을 알 수가 있었습니다.

6~7주차에는 이중적분과 삼중적분에 대한 학습을 진행하였으며 두 개 이상의 변수가 있

는 함수가 연속일 경우에 적분의 순서를 바꾸어도 그 결과값이 달라지지 않는다는 푸비니

497

정리에 대해서 새롭게 배울 수 있었습니다.

8주차에는 좌표계를 변환하는 방법과 야코비안 행렬식을 학습하였고 야코비안 행렬식으로

넓이나 부피 계산을 할 수 있으며 치환적분에 유용하게 활용이 된다는 것을 배울 수 있었

습니다.

9주차는 벡터장과회전, 선적분, 그린정리, 발산정리, 스토크스 정리에 대한 학습이였습니

다. 벡터장은 이후에 배울 유체역학에 전자기학에서 활용 된 다는 것을 확인하였고

선적분과 그린정리 스토크스 정리는 각각의 내용에서 발전한 정리라는 것들을 알 수 있었

습니다.

본격적인 대학수학 과정에 들어서면서 평소에 들어보지 못했던 이론들을 많이 알게되었고

이번 여름학기 수업을 마치면서 1학기 수업과 마찬가지로 고등학교 과정에서는 간단하게

배웠었던 내용들을 조금 더 깊게 배우면서 헤매고 어려움을 겪었지만, 미적분학 수업은

혼자만 배우고 학습하는 것이 아니라 다른 학우들과 문의 게시판을 통한 소통을 통해서

수업 중에 부족한 부분들을 도움을 받으면서 진행해 나갈 수 있었습니다.

그리고 1학기에는 sage 프로그램을 처음 보았기 때문에 sage 활용에 아주 서툴렀지만

여름학기에는 1학기에 배운 내용들과 여름학기에 배운 내용들을 활용하여 조금 더 어려

운 문제들도 해결할 수 있었습니다. 비록 sage를 이용한 미적분학 수업은 여름학기로 마

무리가 되지만 지금까지 배운 내용들을 바탕으로 미적분학 수업 외에도 더 적극적으로 활

용을 해야겠다고 생각하였습니다.

수학에 대한 막연한 어려움과 두려움을 어느 정도 극복을 할 수 있는 수업이었습니다.

나아가 수동적인 학습이 아닌 스스로 능동적으로 학습을 할 수 있는 능력을 기를 수 있게

되었습니다.

천혜준:

동료와 같이 “본”강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

이번 여름학기 미적분학2 강좌를 학습하면서 수학이란 학문은 계속적으로 이여

진다는 점을 다시 한번 느끼는 시간을 가졌습니다. 이번 대학과정뿐만 아니라

중학교와 고등학교 시절 학습한 내용들이 부족하다면 미적분학1에서부터 힘들다

는 것을 저번1학기 과정에서 느꼈으며 다시 이번 미적분학2를 학습하며 미적분

학1을 기억하지 못한다면 이 과정을 학습하는 것이 매우 어렵다는 것을 느끼며

매 주차 학습을 예습하며 부족한 부분을 저번 학기 작성한PBL 보고서와 교제를

참조하여 공부하였습니다. 이러한 과정을 거치고 보니 이PBL 보고서를 작성하는

이유를 또 한 번 상기하는 개기가 되었습니다.

여름학기를 시작하면서도 느꼈지만 다른 강좌 중 가장 난해하게 느껴지는 것이

미적분학 이였습니다. 처음에는 미적분학이 어려워서 이렇게 느껴진다고 생각하

였습니다. 하지만 점점 공부하다 보니 미적분학이 어려운 점도 있지만 우선 가

498

장 큰 문제는 저의 선입견 같은 두려움이 미적분학을 가장 어렵다고 생각하게

만든 거 같습니다. 이러한 생각은 미적분학만의 수업방식으로 많이 좋아진 거

같습니다. 개념을 이해하고sage를 이용하여 어려운 문제들을 해결하고QnA 통하

여 공유하는것을 통하여 자신감을 많이 가지게 되었고 이 자신감을 바탕으로 미

적분학을 단순히 어렵기만 한 것이 아니라는 것을 배웠습니다.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

N 주차 교육을N-1 주 차에 미리 교수님이 올려주신 영상을 보며 예습을 하고 예습을 진행한 내

용을QnA에 업로드한 후 다시 열린 문제들을 학습하고 풀이한 내용이나 궁금한 점을 다시QnA에

업로드하는 반복적인 과정을 통하여 완벽히 학습하였습니다.

중간고사[중간PBL 발표] 이후부터는 저의 기준에서는 처음 보거나 머리만으로 상상하기에 난해

한 부분들이 많이 있었습니다. 교수님이 미리 올려 주신 강의를 보면서 부족한 부분들이 많았고

바로 교수님과 실시간 강의를 하면서 강의 도중에는 이해를 못하여 질문 조차 못할 경우가 종종

있었습니다.

그래서 뒤늦게 강의가 끝나고 질문을 하거나 QnA를 통하여 질문하며 부족한 부분을 채우고 또

다른 동료들이 올려준 자료들을 바탕으로 복습하면서 조금은 느리지만 차근차근 학습을 진행하

여 문제없이 모든 학습을 마무리 할 수 있었습니다.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

앞서 말씀드린 것처럼 본 학습 전주에 올려주신 영상을 통하여 학습할 내용을 간단히 요약하고

다음으로 본 학습을 하며 조금 더 고차원적인 부분을 다시 학습을 진행 마지막으로PBL 보고서

를 작성하면서 마지막 복습 과정을 통하여3번의 반복적인 학습으로 부족한 부분들을 조금씩 채

우며 학습하였습니다.

위에 작성한 내용처럼 예습은 교수님이 전주에 미리 녹화하시고 올려주신 강의 영상을 기준으로

학습을 시작하였고 실시간 강의 중 모르는 부분을 질문하여 부족한 부분을 채우고 제가 부족하

여 이해하지 못하고 궁금한 점들이 있다면 실시간 강의가 끝나고 라도 질문을 하고 강의가 없는

날은QnA를 통하여 교수님과 동료들에게 질문하며 기본적인 부분을 학습하고 마지막으로 교수님

이 주신 다른 교제를 활용하여 여러 가지의 예제문제들을 확인하고 풀이하고를 반복하면서 학습

을 진행하였습니다.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

본 강좌를 통하여 미적분학2 즉 벡터나 편미분 등 학습적인 부분의 경우SAGE 프로그램과 교수

님이 올려주시는 영상을 보고 학습하였으며 실시간 강의를 통하여 교수님이 추가적으로 알려주

시는 대학과정이 필요한 이유 등 학습적인 부분뿐만 아니라 지금 이러한 학습을 하는 이유 등

을 추가적으로 배웠습니다.

본 강좌를 통하여 미적분학1, 2를 배웠습니다. 처음 미적분학을 학습할 때는 단순히 시험을 위하

499

여 공식 또는 어려운 수학 등 맹목적으로 외우는 학습을 하였습니다. 하지만 지금은 생각이 많이

변하였습니다. 교수님께서 실시간 강의 중 중간중간 미적분학을 배우는 이유나 실생활에서 이러한

부분들이 미적분이 상용된다는 부분을 들으면서 단순히 공식을 학습하는 것이 아닌 지금은 대학

과정에서 미적분학이 왜 기본인지 미적분을 활용한다면 어떠한 문제들을 해결할 수 있는지 등 이

러한 생각의 변화를 배운 거 같습니다.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

QnA를 통한 학습 방법을 통해 기존에 저가 알고 있는 내용이나 풀이한 문제들에 문제가 있을

경우 동료들이 알려주고 저 또한 동료들이 틀린 부분이 있다면 알려주는 중첩적인 학습을 통하

여 스스로의 문제를 해결하고 추가적으로 저가 이해하지 못하거나 몰랐던 내용을 동료들이 올려

주는 자료 및 학습 내용을 통하여 저의 역량을 올리는 등 서로에게 도움을 주는 협동심을 배웠

습니다.

학기 초반에는 기본적인 실력이나 전문대에서 학습한 분들이 다른 동료들보다 미적분학을 보다 잘

이해하였고 다른 동료들에게 많은 도움을 주었습니다. 하지만 여름학기 다시 여름학기중에서 중간

고사를 지나 학습을 하니 다른 동료들도 다 처음 학습하는 부분을 학습하였습니다. 그러한 과정에

서 다들 모르고 처음 보는 부분들을 이해하고 활용하기 위하여 노력하는 부분들 밤늦게 남아 서로

토론하고 강의 도중에 질문하는 모습들 노력하는 자세를 배웠습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

미적분학 강좌를 학습하며 미적분이 우리의 실생활에 얼마나 많이 사용되는지 학습과 프로젝트

를 통하여 배웠으며 이러한 미적분학 학습 내용이 다른 전공과목에 필수인 부분인 만큼 실제로

적용은 못할지라도 흐름을 파악할 수 있는 능력이 생겼다고 생각합니다.

여름학기에 배운 내용들은 모두 실생활에 활용되는 것을 알고 있습니다. 그래디언트는 기후,지형

등에 필수적이며 야코비안는 기후학에 필수적인 부분이라는 것을 학습하였습니다. 그러나 지금

당장 저는 실생활 어디에 미적분학을 활용할 수 있을지는 판단이 서질 않습니다. 하지만 만약

기회가 된다면 이번 학기 이후 조금 더 전문적으로 학습할 수 있다면 회사 업무를 통하여 학습

한 부분들을 적용하고 싶습니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적으

세요.) :

-100 점.

-매주 예습을 통하여QnA에 예습한 문제들을 업로드하였으며 추가적으로 본 학습을

하며 배운 내용을 활용하여 열린 문제들을 모두 풀었으며 이러한 부분들을QnA에2개

이상 업로드하여 매주3개 이상을QnA를 작성 추가적으로 동료들이 학습하고 공유한

QnA에 이해한 내용이 있다면 댓글을 통하여 많은 활동을 하였습니다.

- 매주 학습 후 모르는 부분들이 많아 항상 교수님에게 질문하였고 아니라면 주변 동

료들에게 질문을 하며 해답을 찾아 열린문제들을 모두 해결하였습니다.

500

다른 학생에 대한 평가

총20명의 소재부품 융합공학과의 동료들은 모두 학습을 열심히 참여하였으며QnA를 모두 적

극적으로 참여하여 중복적이며 반복적인 학습이 가능하도록 만들어 주었으며 이러한 학습 환

경이 만들어진 것은 교수님이 이러한 학습 방법을 만든 것 또한 있지만20명의 동료들이 이런

좋은 학습 방법을 적극적으로 참여하여 만든 결과라고 생각합니다. 이러한 과정이나 결과를

보니 모두 다 같이 잘 학습하고 있는 거 같습니다.

예습과 복습을 통해 직접 작성한 QnA 목록

[Final OK by TA][W1 HW1] 천*준 행렬 이해하기(기초) <W1-5-선형연립방정식의 해집합 찾는법6월15일(5)>

[Final OK by SGLee][W1 HW2] 천*준 행렬 연산, 전치행렬, 역행렬[ is_invertible()와 정수ZZ, 유리수QQ, 실수(실수체RDF)]

[Final OK by SGLee][W1 HW3] [신*호,김*영, 이*한, 박*현, 이*인, 노*규, 조*준, 박*수, 김*철, 김*환, 노*완, 천*준]가우스 소거법(REF), 가우

스 조던 소거법(REEF 기약-행사다리꼴) 특징 및 연습문제 풀이

[Final OK by SGLee][W2 HW1] 천*준 벡터[노름, 내적]

[Final OK by SGLee][W2 HW2] [김*구, 이*한, 임*섭, 전*준, 김*영, 이*인, 손*원, 노*규, 임*섭, 천*준] [벡터의 노름,내적, 사잇각]-open

problem 1

[Final OK by TA][W2 HW3] 천*준 외적, 수직인 벡터, 평행육면체의 부피

Finalize[W3 HW1- 예습] 천*준 벡터함수와 공간 곡선 예제 문제 풀기

Final[W3 HW1] 이*민, 박*현, 임*섭, 김*구, 이*한, 윤*수, 김*철, 노*규, 전*준, 천*준 벡터함수의 접선벡터와 곡률open problem 1,2

Finalize[HW W4] 천*준[접평면의 방정식, 선형근사]

Finalize[W4 HW1] 김*수 신*호, 천*준 음함수 미분법 예제문제 풀이 열린문제1

Finalize[W4 HW2] 조*준, 손*원, 천*준 이변수함수, 방향도함수, 기울기벡터(gradient) [Open problem2]

[Final OK by SGLee][W5 HW1] 천*준 이변수함수의 극대 극소[열린문제1]

Finalize[W5 HW2] 천*준x^2+y^2+z^2=t^2 = 1 을 만족하는 함수x=y=z=t의 최댓값과 최솟값[열린문제2]

[Final OK by TA][HW W6] 전*준, 천*준,노*규, 김*환, 임*섭, 김*구 삼중적분 푸비니 정리[열린 문제1, 열린 문제2, 열린 문제3]

Finalize[HW W6] 천*준 삼중적분의 기하학적인 의미[ 열린 문제4]

FinalizeRe - Finalize [HW W7] 이*인, 김*영, 천*준 극곡선 영역의 넓이- open problem 1,2

Finalize[W7 HW] 삼중 적분 입체의 부피(열린문제3,4) 김*수 임*섭, 박*현, 천*준 이중적분 열린문제

[HW W8] 천*준 구면좌표[열린 문제1]

[HW W8] 윤*수, 백*준, 천*준, 전*준, 손*원, 김*영, 임*섭, 조*준, 김*철8주차 열린문제2

[HW W9] 박*수, 천*준9주차 핵심개념들 정리, [열린문제1,2] 실습 및 추가 문제 풀이

[HW W10] 천*준 복소수 연산과 극형식[드무아브르- 자신의 죽음을 정확하게 예측한 수학자]

Name / e-mail (이름과 이-메일): 천*준jpg*****@g.skku.edu

Team Project Title: 초록: 안전하고 편안한 등산로 제작

최근 등산을 취미로 활동하는 사람들이 늘면서 자연스럽게 안전사고가 많이 발생하고 있다.

안전사고의 대표적인 유형은 2가지로 위험한 등산로를 선택하거나 갑작스러운 날씨 변화를

예측하지 못하고 조난당하는 유형들로 이러한 사고를 방지하기 위해

Gradient로 훈련된AI(인공지능)이 만드는 안전한 등산로 및 날씨를 계산한 일정 제작 프로그램

제작하고자 한다.

연구방법 개요:

1. 특정한 산의 정보를 수집하고 데이터를 전처리 한다.

2. 해당 데이터를 Gradient(경사하강법)을 통하여 정상에서 내려오는 등산로를 확인하고 등산로

501

별 각도를 확인하여 등산로 난이도를 정한다.

3. 해당 지역의 기압 등 날씨를 얻기 위한 정보를 날짜 별로 정리하여 2번과 같이 날씨를

예측한다.

4. 이러한 1~3번 까지를 활동을 계속하여 진행하여 AI의 알고리즘을 학습시키고 프로그램에

특정 산의 이름과 등산할 일정을 입력하면 알맞은 정보를 사용자에게 출력한다.

참고문헌/웹주소: https://kr.investing.com/news/economy/article-260383

Ch 6장. ◆Final comment after your report ◆ (10점)

(PBL보고서/Project를 마치고...)

지난4주간 미적분학2를 학습하며 가장 크게 느낀 점은 역시 수학이라는 학문은 계속적으로 이

여진 다는 점을 많이 느꼈습니다. 지난 학기 미적분학1을 하며 고등학교 과정을 조금 더 나아가

학습하였다면 이번 미적분학2는 미적분학1을 학습하며 배운 지식을 조금 더 발전시키며 학습하

는 점이 수학의 매력이자 무서운 점이란 것을 다시 한번 느꼈습니다. 앞서 학습할 내용을 완벽

히 숙지하지 않았다면 다음의 진도를 못 나가는 점이 무서우며 반대로 앞서 학습한 내용을 완벽

하게 이해하였다면 지금 학습하는 내용이 매우 쉽게 느껴지는 점이 매력적인 점이라고 생각합니

다. 이러한 느낌을 받음으로써 지난 학기에 작성한PBL이 매우 소중하다고 생각하게 되었습니다.

지금 미적분학2를 학습하며 기억이 나지 않은 부분을 지난 학기 작성한PBL 보고서를 통하여 다

시 복습하고 진도를 나가며 이번 학기에도PBL 보고서를 잘 작성해야 하겠다는 생각이 계속 들

며 이번에 작성한PBL 보고서는 제가 전공과목이나 다른 과목을 학습할 때 잘 사용할 수 있도록

완벽하게 작성하도록 하겠습니다.

이제2월 말부터 시작한 미적분학을1학기와 여름학기를 지나 마지막을 향해 거의 도달한 거 같

습니다. 처음 시작은 걱정으로 시작하여 마지막은 자신감을 가지고 끝나는 거 같아 매우 기분이

좋습니다. 교수님께서1학기 미적분학1을 시작하실 때부터 자신감을 키우시라는 말씀을 통하여

미적분학을 생각하는 제 생각이 많이 변화한 거 같습니다. 또한 학습 방법 또한 제 생각의 변화

를 많이 하게 해준 거 같습니다. 우선 예습을 통하여 해당 주차의 학습 내용의 개념을 학습하고

예제들을 개념을 바탕으로sage 코드를 작성하여 익숙하게 만든 다음 마지막으로 열린 문제를

통하여 저의 학습이 완벽하게 진행되었는지 확인하는 반복적이며 중첩적인 학습을 통하여 많은

어렵게 생각한 개념들을 더욱 손쉽게 이해하고 문제들을 해결하였습니다. 또한 한 학기당2번 작

성하는PBL 보고서를 통하여 다음 미적분학을 활용할 상황이 있다면 미리 정리한PBL 보고서를

보며 미리 대비한 거 같아 마음이 조금은 편한 거 같습니다. 이제 마지막PBL 보고서를 마무리하

며 인사드립니다. 2학기 동안 감사하였습니다.

8주 차 학습을 통하여 원기둥 좌표계가 무엇인지 학습하였습니다. 원기둥 좌표계란 간단하게2차

원 평면에서 사용하던 극좌표에z축의 값을 더한 것이며 원기둥 좌표계와 더불어 구면 좌표계 또

한 학습하였습니다. 구면좌표계 또한 쉽게 학습하였습니다. 바로 극좌표를 생각하면서 이해하니

502

금방 이해할 수 있었습니다. 점p를 로우, 새타, 파이로 구분하며 로우는 거리를 뜻하며 새타는

원기둥좌표에서 각과 같은 것 마지막으로 파이는z축에서 원점과p의 선분의 각(양의 방향)을 말

한다는 것을 학습하였습니다. 그리고8주 차에서 가장 힘들었던 부분은 역시 구면좌표계에서의

삼중 적분이었습니다. 하지만 치환 적분을 생각하니 “아” 라는 생각을 했습니다. 즉 야코비안을

사용하는 것도 쉽게 만드는 거라는 것을 이해하였습니다. 분명 강의 영상이나 실시간 강의 중

교수님이 쉽게 바꾸어주는 것이라는 설명을 해주셨지만, 항상 기억에 남지 않았고 이번PBL 보고

서를 작성하면서 자료들을 정리하다 보니 어는 순간 이해하였습니다.

9주차 학습에서는 벡터장을 학습하였습니다. 그리고 벡터장에서 정의되는 회전, 발산을 연속하여

학습하였습니다. 회전의 경우 한 점에서의 회전 정도를 측정하는 것으로 유도를 뛰어넘고 계산

하는 방법은 그래디언트와F의 외적으로 계산됨을 학습하였습니다. 또한SAGE에서는curl이라는 명

령어를 사용하면 쉽게 구할 수 있었습니다. 다음으로는 발산을 학습하였습니다. 발산이란 이름처

럼 한 점에서 벡터장이 퍼지는지 모이는지를 측정하는 것으로 구하는 식은 회전과 반대로 내적

하는 것으로 쉽게 구할 수 있었습니다. 다음으로는 선적분을 학습하였고 선적분이란 정적분에서

적분하는 구간을 평면(공간) 임의의 직선이라 곡선으로 확장한 것으로 곡선의 종류로는 단순, 닫

힌곡선으로 구분합니다. 학습하면서 느낀 점으로는 결국 고차원의 것을 저차원으로 낮추는 느낌

을 받았습니다. 음 삼중 적분을 이중적분으로 바꾸거나 선적분을 정적분으로 바꾸는 거처럼 말

이죠

다음으로는 그린 정리를 학습하였습니다. 그린 정리는 앞서 배운 선적분에서 단수 닫힌곡선에서

P, Q가D에서 연속인1계 편도함수를 갖는다면 해당 식이 성립함을 말하며 이것은 해단식을 이중

적분으로 풀 수 있다는 것을 말하는 중요한 정리임을 학습하였습니다. 다음은 스토크스 정리를

학습하였고 그것은 면적분과 선적분을 연결해주는 것을 확인하였습니다.

8주 차9주 차를 학습하면서 지금까지 배운 수학적 지식을 모두 사용한 거 같습니다. 구면 좌표

를 직교좌표로 선적분은 그린정리를 활용하여 이중적분으로 등등 무언가 고차원의 것을 저차원

으로 변경하여 쉽게 풀 수 있게 하는 것을 많이 배운 거 같습니다.

조현준:

Name / e-mail (이름과 이-메일): 조*준,

jomc***0@g.skku.edu

Project Title (Tentative): 벡터값을 활용한 운동보조기구 제작

초록: 웨이트 트레이닝 시 사람마다 주로 사용하는 팔이 있어 오

른쪽, 왼쪽 근육 성장이 다르게 진행된다. 전파를 쏴주는 4대 정

도의 기계에서 수신기를 장착한 사람들의 팔이 굽어지는 각도, 몸

의 기울기를 계산하여 양쪽의 최적값을 구해준다. 양쪽을 나누어

확인하여 노름값, 기울기 벡터 등을 비교하여 신체의 밸런스를 맞

춰준다.

연구방법 개요: 팔이 굽어지는 각도, 몸의 기울기를 계산하여 양

503

쪽의 최적값을 구해준다. 양쪽을 나누어 확인하여 노름값, 기울기

벡터 등을 비교하여 신체의 밸런스를 맞춰준다.

Ch 6장. Final comment after your report (10점)

*중간 (검은 글씨):

짧다면 짧고 길다면 긴 여름학기의 중간을 달리며 pbl을 작성하며 수기로 다시 한 번 정리해보

며, 1학기 때와 지금을 비교하였을 때, 저의 수학적 능력은 감히 상상도 없을만큼 증가한 것 같습

니다. 시간이 오래 걸리는 복잡한 수식들도 sage를 통해 쉽고 간단하게 구해보며, 이론에 더욱 집

중할 시간이 생기고 효율적인 학습이 되는 것 같습니다. 어려운 문제들을 보면 포기가 아닌 도전

하는 자세로 자신감을 얻고, 어떠한 문제도 ‘못하겠다’가 아닌 ‘어떻게 접근해볼까?’로 바뀌게 되

었습니다. 꾸준히 수업에 열심히 참여하여 여름학기에도 큰 성과를 얻겠습니다!

최종 (파란 글씨):

주차별 학습 간단 요약

W5 – 다변수 함수의 극대, 극소와 최댓값, 최솟값 판정과 임계점, 안정점에 대해 알아보았

습니다. 열역학에서 배웠던 임계점이 수학에서는 경계상의 임계점으로 나타나며, 극대, 극소

로 판정 내릴 수 없는 점을 안장점이라고 함을 이해하였습니다. 극대 극소 판정은 이전에도

배웠던터라 어렵지 않게 학습에 임할 수 있었습니다. 또 함수가 최대, 최소가 되게하는 변수

를 구할 수 있는 라그랑주 승수법도 학습하였습니다.

W6 – 일반 영역들에서의 이중적분을 학습하며 이중적분의 기본 성질들에 대해 학습 하였

습니다. 적분의 순서를 바꿔도 결과는 같다는 푸비니 정리에 대해 심도 깊은 학습을 하였습

니다.

W7 - 7주차에서는 직교좌표계를 극좌표계로 변환하는 것을 복습하며 극좌표에서의 이중적

분, 삼중적분에 대해 학습 하였습니다. 삼중적분에서 또한 특정 구간에서 연속일 때, 적분의

순서를 변경하여도 결과값은 같은 푸비니 정리가 성립함을 이해하였습니다. 적분 순서를 바

꾸거나 적분기호 안의 모든 피적분 함수를 각각 분리하여 삼중적분 하여도 결과는 변하지

않음을 이해하고 삼중적분을 활용하여 부피를 구해보았습니다.

W8 – 교수님께서 강조하신 8장에서는 직교좌표를 원기둥 좌표로, 직교좌표를 구면좌표로

변환하는 학습을 하며, 좌표계에서의 삼중적분과 변수 변환을 학습 했습니다. 행렬식을 통해

야코비안을 구하고 삼중적분 공식에 적용하면 구면좌표계 에서의 삼중적분과 동일한 결과

504

값을 확인 해보았습니다. 세로dr, drθ인 사각형을 구하여 면적은 drdrθ가 되는 것을 확인하

고, 야코비안을 이용하여 xy dxdy가 rθ rdrdθ로변환되는것을확인하며학습하였습니다.

W9 - 9주차에서는 벡터장, 발산, 선적분, 그린 정리, 스토크스 정리

발산정리는 주어진 조건하에 E의 경계곡면을 통과하는 F의 유량이 E위에서 dixF를 삼중적분

하는 것과 같습니다.

벡터장이란3차원에서 공간의 한 점에 벡터를 대응시킨 것으로 실수 변수를 입력했을 때 벡

터가 나오는 함수입니다. 벡터장에서의 회전은 벡터장을 다른 벡터장으로 대응시키는 1차

미분 연산자의 하나입니다.

선적분이란 주어진 벡터장에 대해 지나간 경로를 따라 한 일

그린 정리란 평면 영역 위의 이중 적분과, 영역의 경계선 위의 선적분 사이의 관계에 대한

정리로 영국의 제빵사이자 수학자였던 그린이 발견하였습니다.

스토크스 정리란2성분의 벡터함수에서 그린 정리를 활용하였다면, 3성분 벡터함수에서는 스

토크스 정리를 사용한다. 그린 함수의 확장이라고 생각하며 학습하였습니다. 그린 정리가 선

적분을 이중적분으로 바꿨다면 스토크스 정리는 선적분을 면적분으로 양방향 변경이 가능

한 것입니다.

Final comment: 길다면 길고 짧다면 짧은 1학기와 계절학기 동안 교수님과 함께 했던 시간들이

대략 31년 수학 인생에서 가장 값 진 시간들 중 한 장면이지 않을까 싶습니다. 미분은 그 순간의

사진 한 장이라면 적분은 지내온 인생의 모든 사진첩이라고 합니다. 사진첩 한 켠에 sage math와

이상구 교수님과의 추억들은 영원히 간직할 것입니다. 수학에 막연한 두려움만을 가지고 있던 저

에게 자신감과 용기를 심어준 시간들 이었습니다. 배운 것들을 토대로 앞으로의 수업들에 응용하

고 활용하여 더욱 정진 하겠습니다. 그 동안 수고 하셨습니다!

김재영:

(3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

1학기 미적분학 1에 이어서 이번학기 미적분한 2를 이어서 수강하게 되었습니다. 처음 시작 할 때

는 현재의 학습 방법에 적응하는데 어려움이 있었지만 같이 공부하는 학우들과 조교님, 교수님께

서 문의 게시판을 통한 내용 피드백이나 수업 내용을 예습 할 수 있도록 강의를 미리 제공 해주셔

서 어려움을 극복하는데 많은 도움이 되었고, sage 프로그램을 활용하여 그래프를 그려서 눈으로

확인하고, 단순 연산을 코딩을 통하여 문제를 해결하는 것에 대한 자신이 많이 생겼습니다. 어떠

한 복잡한 연산의 문제를 풀더라도 어려워하지 않고 시도 할 수 있는 자신감을 얻었습니다. 남은

학기의 학습 내용을 성실하게 임하여 이후에 있을 공학 수학이라든지 전자기학에서 마주하게 될

수학적인 내용을 잘 소화 할 수 있도록 노력하겠습니다.

505

올해 미적분학 1,2를 수강하면서 학습 내용의 토론을 기반으로 협업 학습을 진행하는 부분에 대한

것을 처음 접하게 되었습니다. 이와 같은 학습을 진행하면서 처음에는 막연하고 어떻게 해야 될지

몰랐지만 차차 적응하여 내가 학습한 내용에 대하여 질문을 하고 답변을 하고 동료 학우들과 같이

공부하는 것에 대하여 잘 하게 되었다고 생각됩니다. 앞으로 있을 과목에서도 동료 학우들과 학습

내용을 바탕으로 토론하며 같이 배워 나갈 수 있도록 하겠습니다.

5.3 경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)

경사하강법은 머신러닝 및 딥러닝에서 사용되는 어떤 분석 모델에서 가중치의

최적해를 구하기 위해 사용되는 비용(Cost)을 최소화 시키는 알고리즘이다. 경사

하강법은 제약조건이 없는 최적화(unconstrained optimization) 문제에서 다변수 함수의

기울기(경사)를 구하여 기울기가 작은 쪽으로 계속 이동시켜서 극값(극솟값)에 이를

때까지 반복시키는 것이다.

- 경사하강법 알고리즘

동료와 같이 “본”강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

이번 강좌를 학습하면서 토론의 힘을 배웠습니다. 어렵고 처음보는 문제들도 여러 명이서 머리를

맞대고 고민하고 토론하니 점점 정답에 가까워지는 것을 보고 브레인스토밍이 정말 좋은 방법 이

구나를 느꼈습니다. 그리고 이번 수업에서 특히 코딩이 더 좋아진 것 같습니다. 여러가지 등위곡

선 등위곡면 들을 그리면서 코딩으로 정말 많은 것을 그려낼 수 있구나라고 생각하였고 정사영과

같은 문제 해결에 밀접한 관계를 가진 것들을 배우면서 앞으로 부딪힐 많은 문제들의 해결법에 사

용하면 정말 좋을 것 같다고 생각하였습니다. 특히 8, 9주차 학습의 경우에는 기존 고등교육 과정

과 1학기 과정과는 완전히 다른 직교좌표를 변환하여 원기둥 좌표, 구면좌표를 표현하고 그 좌표

들을 이용해 벡터장과 벡터장을 사용한 그린, 스토크스, 발산정리에 대해 배우면서 수학이라는 것

506

이 일상생활에 엄청나게 많은 부분에 적용되고 있고 앞으로의 미래 산업에 대해 얼마나 필요한 것

들인지 알게되었습니다. 이번학기에 배운 것들을 잘 활용하고 기록하면 추후에 많은 곳에 접목할

수 있을 것 같습니다.

3.3 컴퓨터 과학(CS)이란?

소프트 웨어를 학문하는 컴퓨터과학(CS)은 큰 틀에서 총4가지 분야로 나뉜다.

1) 컴퓨터 이론

2) 알고리즘(문제를 해결하는 과정의 맵-지도)

3) 프로그램 언어

4) 설계

단단한 수학적 지식이 필요하며 논리 데이터학(Data Science) 지식도 공부한다. 프로그램을 만들

기 위한 코딩이 기본이다. 창의적 사고가 무엇보다 요구된다. 대학을 졸업하면 소프트 엔지니어

로 취업해 현역 프로그래머로 활동이 가능하고 보다 새로운 기술이나 연구에 몰두하고 싶다면

대학원과 박사학위 취득을 고려해보기 바란다.

미국에서 컴퓨터 과학(CS) 전공이 개설된 대학은815개 대학이다. 대표적인 대학으로는MIT, 스

탠퍼드, 하버드, UC 버클리, 프린스턴, 카네기멜론, 조지아텍, 캘텍, 워싱턴대, UCLA 등이 있으며

꼭 이 대학을 졸업해야 구글, 아마존에 가는 것은 아니다. 대학이 아니라 실력이다.

출처: https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=josephlee54&logNo=221332960200

3.4 보험상품과 수학의 관계

보험 상품 이라는 것 자체가 사고가 일어날 확률과 사고가 일어났을 때 지급되는 보험금과 내는

보험료가 계산이 되어야 하고 그 계산을 토대로 보험 상품을 출시해야 하기 때문에 수학이 기본

적으로 적용되어야 한다고 생각합니다.

아래는 위와 같은 내용들을 찾아보면서 알게된 자료인데 제가 잘 모르기도 하고 댓글로 설명이

어려워 출처 남겨서 공유드립니다~

'대수의 법칙'을 이용하여 구하는 보험료

보험료 계산의 이상적인 원칙은 지급된 보험금과 거둔 보험료가 같아야 한다는 수지상등의 원칙

이다.

그러나 현실적으로는 보험회사의 영업에 필요한 사업비도 더 부가된다.

507

런던의 화재 보험은 불이 일어날 확률을 구하고, 보험에 가입할 사람을 예상해 보험료를 계산했

다. 이 과정에서 보험의 수학적인 엄밀한 기초가 마련됐다. 보험료를 계산을 할 때 가장 기본적

인 원칙은 지급된 보험금과 거둔 보험료가 같아야 한다는 것인데, 이를 ‘수지상등의 원칙’이라고

부른다. 이에 따라 보험료는 다음과 같이 계산한다.(단, 이는 보험회사의 영업에 필요한 사업비를

제외한 것이다.)

1만 채의 집이 있는 도시에 집 한 채 값이3억 원이고, 모든 집이 보험에 가입했다.

화재로 인해5년 동안 평균적으로 두 집이 불탔다. 보험회사는 화재가 난 집에5년에 한 번 총

6억 원을 지불한다.

그러면1년의 한 집 당 보험료는6억 원÷1만 채÷5년=1만2000원 이다. (단, 현실에서는 보험

회사 영업에 필요한 비용이 있으므로 더 늘어난다).

(출처: http://www.allthatmath.com/bbs/board.php?bo_table=sub_113&wr_id=346 )

3.5 수학의 일부

일반적으로 수학을 잘 하기 위해서 물리학을 잘 할 필요는 없지만, 물리학을 잘 하기 위해서는

일정 수준 이상의 수학이 필요하다.

라고 일반적으로 알려져 있고 저도 그렇게 생각합니다.

기본적으로 수학이라는 학문 자체가 방대하고 방대 하지만 기본적인 내용을 다루는 학문이므로

수학을 일정 수준 이상 배우게 되면

그것을 기초로 응용 할 수 있는 게 많아지는데 그중 하나 또한 물리라고 할 수 있을 것 같습니

다.

앞서 말한 보험 상품, 통계, 컴퓨터 같은 학문들도 마찬가지로 기본인 수학을 가지고 각자 자기

가 원하는 방향으로 응용하여

연구하면서 나오게 된 결과물이 아닐까 합니다.

Name / e-mail (이름과 이-메일): 김재*/ qldn***@g.skku.edu

Team Project Title : 최소 제곱해 방식을 사용한 이미지 인식률 개선

초록: 불확실한 이미지 또는 밝기가 고르지 못하여 이미지 인식이 어려운 경우 최소

제곱해를 통한 중간 밝기를 제거하여 이미지 인식 방식 개선

연구방법 개요:

1) 이미지 인식이 그리고 인식률 개선이 필요한 사례를 정한다.

2) 이미지 인식을 실제로 진행 후 이미지 인식 방법과 비교해 인식률과 관련된

문제점을 찾는다 (여기서는 밝기 차이로 인한 인식 불량으로 정한다.)

3) 밝기 차이를 줄이기 위해 이미지에서 최소 제곱해를 통한 밝기변화를 근사하여

508

제거한 후에 인식을 하도록 프로그래밍 한다.

참고문헌/웹주소: https://darkpgmr.tistory.com/56

Ch 6장. ◆Final comment after your report ◆ (10점)

*중간PBL (검은 글씨) :1~4주차 동안 미분적분학2 학습을 진행하고 PBL 보고서를 작성하면서

QnA 게시판 활용을 많이 하였는데 게시판에서 동료들과 토론하고 학습한 내용을 서로 공유할 떄

마다 서로서로 학습하는 방법이나 생각들이 많이 다르다는 것을 느꼈습니다. 그리고 서로가 문제

를 풀거나 학습을 하면서 다른 부분들이 맞고 틀린게 아니고 서로에게 다른 방식으로도 도움을 줄

수 있다고 생각하니까 주저없이 게시판 활용을 할 수 있었던 것 같습니다. 또한 PBL 보고서를 작

성하며 다시 한번 복습하게 되고 문제풀이에 많은 코드들이 들어가는 문제들도 보고서에 이미 작

성해놓은 코드들을 활용하여 풀 수 있으니PBL 보고서를 최대한 나만의 교재처럼 필요에 맞춰 작

성하여 나중에도 활용할 수 있도록 신중하게 작성 해야겠다는 생각이 들었습니다.

*최종PBL (파란 글씨): 총 1 ~ 10주차 학습을 하면서 많은 내용을 배웠습니다. 기본적인 벡터와

행렬부터 시작하여 3차원 좌표계, 벡터함수를 배우고 극한과 연속, 편도함수부터 접평면, 방향도함

수 그래디언트를 배움으로써 나중에 배우게 된 극좌표, 적분, 이중적분, 삼중적분에 대해 많은 내

용을 배웠습니다.

특히 마지막 8~9주차에 배운 원기둥 좌표, 구면 좌표를 배워 서로 변환하는 방법을 배우고 활용해

볼 수 있었으며 벡터장과 회전과 발산, 면적분/선적분을 배움으로 써3차원 안에서 발생하는 많은

문제들과 해석이 필요한 것들에 대해 많은 해결법을 줄 것 같다 믿고 학습하였습니다.

또한 최종 PBL 보고서를 작성하고10주동안 학습하며 점점 난이도가 어려워 지는 것을 느꼈습니

다. 1학기 미분적분학1 보다 이번 여름학기 중간까지가 어려웠고 중간 이후 기말까지의 미분적분

학2는 더 어렵게 느껴졌습니다. 그러나 그래도 sage&math가 있어 어려운 문제를 해결해 나갈 수

있었고 동료들과의 문의게시판 활용을 통한 지식의 공유를 통해 이번 미분적분학2를 배워갈 수 있

었던 것 같습니다. 또한1학기와 마찬가지로 PBL 보고서 작성을 통해 나만의 교재를 또한번 만들

수 있었고 언제든지 사용 가능하다는 사실이 앞으로 나아가는데 더욱 힘이 될 것 같습니다. 이번

여름학기 또한 많은걸 배우고 습득하였습니다.

김현구 :

Name / e-mail (이름과 이-메일): 김*구/skakgulu2002@g.skku.edu

Project Title: 제목 : 자동화 설비 내부 기구 position의 절대값 지정

동기 : 현재 설비 내부의 구동하는 기구들의 position의 설정이 구동하는 부분의

기준이 되는 지점으로부터 상대적인 위치값을 가지고 있습니다. 설비가 24시간 가

509

동되는 상황이기에 position 값의 틀어짐이 빈번히 발생하여 기구들간의 충돌로

인한 파손 및 충돌 조치간에 안전 사고발생, 비효율적인 기구 이동에 대한 문제점

이 있습니다.

방법론 : 설비 내부 기구들이 이동하는 공간을 상대적 위치값이 아닌 기구들이 동

작하는 공간을 x,y,z의 좌표지점을 sage 프로그램에서 고정된 position을 백터 미

적을 활용하여 지정한 공간내 정밀한 절대 좌표값과 최적의 동선을 지정하여 기구

들의 position값이 일부 틀어지는 부분과 작업 능률의 효율화를 개선 할 수 있습

니다. 효과로는 기구들의 파손 감소로 인한 설비 가동율 증가, 파손된 기구 감소

로 인한 비용 감소, 기구 부품 교체 시간 감소로 설비 보전 업무 부하 저하, 충돌

부위 조치 시 돌발 상황 감소로 인한 안전사고 감소의 효과를 얻을수 있습니다.

Ch 6장. Final comment after your report (10점)

여름학기가 현재 절반 가까이 지나면서 이 기간을 되돌아보면 현재까지는 이전 학기 때 배웠던 내

용에 연장된 내용들이 많았습니다. 그렇기 때문에 비교적 학습내용을 받아들이는데 큰 어려움은

없었으며 제가 알고 있던 내용에 대한 시야가 넓어지게 되었다는 자신감을 얻을 수 있었습니다.

그리고 이전 한 학기 동안 학습내용을 바탕으로 sage 프로그램을 사용해보면서 현재는 sage 프로

그램을 적절하게 잘 사용하여 제가 원하는 해답을 찾는데 큰 어려움이 없어졌습니다. 학습에 배운

내용을 온전히 이해하고 이해한 내용을 바탕으로 sage 프로그램을 실습을 하면서 이전까지 수학

과목에 대한 생각을 많이 바꾸게 되었고, 이전에는 연산을 하는데 집중을 했었다면 지금은 해당

내용을 이해하는데 초점을 맞추게 되었습니다. 지금 같은 마음가짐으로 남은 학기 동안 배우게 되

는 내용도 잘 소화 하도록 노력하겠습니다.

*최종 PBL (파란 글씨): (중간 PBL에 이어서 추가하시면 됩니다.)

미분 적분학 1,2를 마치면서 학습 방법에 대한 개선을 우선 하였다고 생각합니다. 학습 내용을 바

탕으로 동료 학우들과 학습 내용을 공유하고 토론하면서 같은 문제의 다양한 접근 방법과 풀이 방

법 그리고 내용을 공유함으로써 서로 같이 이해하는 부분에서 놀라운 점을 많이 느끼게 되었습니

다. 이전까지의 학습 방법이 잘 못 된 것은 아니지만 이번에 접하게 된 방법이 효율성도 좋고, 다

양한 종류의 생각을 하게 되었습니다. 미분 적분학 1,2를 통하여 앞으로 배우고 쓰이게 될 역학의

다양한 학문에서 기초이기 때문에 교수님이 알려주시고 공유해주신 자료들을 찾아보고 다시 생각

해보면서 한명의 엔지니어로서의 역할을 현업에서 할 수 있다는 자신감이 생겼습니다. Sage 프로

그램과 같은 다양한 것들을 접해보고 다른 사람들과 선진화 된 교육을 통하여 교수님께 가르침을

받은 우수한 제자들처럼 어떠한 분야에서도 선진화 된 사고로 우리나라 산업의 역군이 되어 기여

할 수 있다는 생각이 듭니다. 감사합니다.

박경현:

510

(3) 개인/동료와 같이 “본”강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

1학기와 다르게, 접하지 못한 대학 수학을 배우기 시작하면서 개념 정리의 중요성에 대해

서 제대로 느끼게 되었습니다. 그래서 개념 이해를 위해 동료들과의 정보 전달에 많이 의존

하게 되었습니다. 또한, 열린 문제를 통해 다른 교재에서의 정보를 계속 가져오고, 정보 수

집에 많은 시간을 쓰면서 여러 문제를 실제 찾아보면서 많은 이해도를 올릴 수 있었습니다.

또, 이번 강좌는 실생활이나 공학에 어떻게 응용되는지가 많이 보여서 실제로 어떻게 공

부를 해야하고 어떻게 쓰이는지를 바로 알 수 있어서 왜 공부해야하는 지에 대한 마음가짐

이 달라졌습니다. 실제 공학에 미적분이 많이 쓰이고 활용되므로 좀 더 열심히 할 수 있는

계기가 되었다고 생각합니다.

중간고사 이후에는 유체의 흐름을 표현할 수 있는 벡터장, 물체의 부피 및 기타 정보를

계산할 수 있는 이중적분 등 실생활이나 공학적으로 활용이 가능해보이는 이론들을 배우게

되면서 더욱 미적분학에 대한 흥미가 생겼습니다. 본 강좌를 수강하면서 배운 미적분을 통

해 배운 지식은 다음학기에서 공학수학 등에 유용하게 사용하도록 하겠습니다.

Name / e-mail (이름과 이-메일): 박*현/ p*****1@g.skku.edu

Team Project Title (Tentative, just idea now): CFD와 함께 하는 미적분학

초록: CFD란Computational fluid dynamics로 유체 현상을 컴퓨터로 분석하는

학문입니다. 편미분 방정식을 사용하여 진행되는 시뮬레이션은 미적분을 모르는 상태로

진행하면 프로그램 사용법만 익히고 기계적으로 진행될 수 있기 때문에 편미분에 대한

이해도를 올리고CFD에 대해 이해하고 분석하도록 하고자 합니다.

연구방법 개요: CFD는 나비에 스토크 방정식을 유체를 잘게 쪼개 컴퓨터가 계산하도록

합니다. 즉, 유체의 방정식을 미분하고, 그걸 계속 적분하여 해당 유체의 운동 방법을

시뮬레이션 하는 것입니다. 현업에서 업무를 담당할 때, 유체역학 및 미적분에 대해

모르는 상태로 전처리에 집중하여 업무를 분담받았었습니다. 미적분에 대한 이해를

진행하고, 추후 유체에 대한 공부를 한 후에 후처리, 즉, 유체에 대한 해석에 미적분을

접목하고자 합니다.

참고문헌/웹주소:

https://www.ansys.com/ko-kr/products/fluids?n_media=27758&n_query=ANSYS&n_rank=1&n_ad_group=grp-a001-04-000000018283605&n_ad=nad-a0

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Ch 6장. Final comment after your report (10점)

511

1학기에 배웠던 미적분학의 경우 중학교, 고등학교를 거쳐 배웠던 수학에 대한 전체적인 복습 위

주로 새로운 개념을 배웠었습니다. 특히 미적분을 하다 보면 다항함수도 차수가 올라갈수록 계산

이 힘겨웠고, 합성함수의 경우에는 특수한 경우에는 사람이 계산을 할 수 없는 것들도 많았습니

다. 그런 어려운 계산들은 Sege를 통하면 순식간에 계산이 되는 것을 보고 수학에 대한 두려움을

줄일 수 있었습니다. 수학에 대한 턱이 높은 이유 중에 하나가 손으로 계산하기 힘들다는 점도 있

는데 그걸 Sege를 통해 해결하여 수학에 대한 두려움을 낮출 수 있었습니다.

이번 미적분학을 통해 배운 개념들이 실제로 어디에 활용되는지도 알려주셔서 미적분학이 실생활

에 굉장히 많이 쓰인다는 것도 확실히 알 수 있어서 좋았습니다. 특히 공학도로서 미적분학은 많

은 공학에 사용되는 것을 보고 공학을 배우기 위해선 미적분이 필수적이란 것을 다시 깨달을 수

있었습니다.

이렇게 실 생활에도 많이 쓰이는 미적분학에 대한 개념을 확실히 익히고 Sege를 활용하여 계산

을 할 수 있다면 제가 졸업하고 현업에서도 Sege를 통해 많은 것을 할 수 있다고 생각되어 좋은

기회가 된 수업이라고 생각합니다.

5주차에는 다변수 함수의 극대, 극소와 최댓값 최솟값을 구하는 방법에 대해서 학습하였습니다.

실생활에서는 변수가 여러 개인 경우가 더 많기 때문에 좀 더 실행활적으로 쓸 수 있도록 변수를

늘리고 그 값에 대해 극대 극소, 최댓값 최솟값을 구하는 방법에 대해서 배울 수 있었습니다.

6주차에는 직사각형 영역에서의 이중적분과 일반적인 영역에서의 이중적분을 학습하였습니다. 개

인적으로는 적분을 굉장히 어려워하는 편인데 이중적분으로 나아가게 되어서 굉장히 힘들었던 챕

터였습니다. 하지만 차근차근 이론을 습득하고 동료분들의 도움을 받아 확실하게 이해하고 나갈

수 있었습니다.

7주차에는 극좌표계에서의 이중적분을 배웠습니다. 극좌표 특성상 곡면에 관련된 내용이 많이 나

왔고, 이중적분을 통해 곡면적을 구할 수 있었고, 삼중적분을 통해서는 부피를 구할 수 있었습니

다. 공학에선 많이 쓰일 것 같아 굉장히 흥미로운 주제였다고 생각합니다.

8주차에는 원기둥 좌표에서의 삼중적분과 구면 좌표에서의 삼중적분을 배웠습니다. 수학적으로나

공학적으로나 직교좌표만 쓰이는 것이 아닌 다른 좌표계도 많이 사용되어 적분에 대한 활용도를

높일 수 있었습니다.

9주차에는 벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발산, 면적분, 스토크스 정리, 발산정리를 배웠습니

다. 굉장히 내용이 어려웠습니다. 특히 벡터장은 유체의 흐름을 표현하는 내용으로 저희가 물리에

서 배울 유체역학과 연관이 많다고 생각되어 더 집중해서 배웠던 것 같습니다.

지금까지 Sege를 통해 배운 이론에 대해서 실습하며 바로바로 계산하며 이론을 습득할 수 있었습

니다. 두학기동안 많이 배울 수 있었습니다. 감사합니다.

전형준:

(3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

본 강좌는 1학기에 ‘미분적분학1’을 시작으로 여름학기 ‘미분적분학2’를 이루어 나가고 있습니다.

본 강좌를 다루는 교수님이나 학우들이 같이 수업을 이루어 나갔기에 더욱 활발한 QnA를 이끌어 나갈 수

있었던 것 같습니다. 이번 학기에는 좌표계에서 공간계로 넘어와 수학을 중점으로 다루었기에 서로가 잘

이해하지 못하는 부분도 많이 있었고 공유해야 할 내용들도 많이 있었습니다. 그래서 저 또한 제가 할 수

있는 모든 방법을 통해 자료들을 입수하려고 하였고 그 내용들을 정리하고 공부하면서 더욱 깊이 있는 학

습이 될 수 있었습니다. 모든 학우님도 저 또한 내용들을 어려워하였고 제가 모르는 것이 잘못된 것이 아

니라는 것과 같이 내용들을 공유하고 나아갈 수 있다고 생각하였습니다. 또한 문의게시판에서 내가 모르

512

는 내용들을 생각하고 고민하는 시간들이 생기면서 더욱 수학에 대한 생각을 많이 할 수 있었던 것 같습니

다. 질문과 답변하는데 무서워하지 않고 모르는 것은 배워가는 것이라고 생각합니다 .실수를 하는 것은

잘못된 것이 아니고 실수를 하기 싫어서 안 하는 것은 정말 다른 것입니다. 따라 제가 해당 내용들을 정확

하게 인지하고 있지 못하다고 해서 질문을 하지 않거나 그냥 넘어가지 않고 교수님이나 학우님들에게 물어

볼 수 있을 것이라는 생각을 하였습니다. 해당 내용이 틀렸거나 잘못되었으면 교수님이 직접 잘못된 내용

들을 하나하나 잡아주시고 그 내용에 대한 토론을 이루어보라고 하는 것은 개인학습이 중요하다는 것을 알

려주시는 것 같았습니다. 제가 모르는 것을 물어보고 공유하고 제가 아는 것을 다른사람들에게 공유하는

것은 서로의 성장에 도움이 될 수 있다는 것을 다시 한번 알게 되었습니다. 이번 학기도 1학기 때처럼 주

저하지 않고 끝까지 잘 배워나갈 수 있을 것이라 판단합니다.

[final]

본 강좌는 1학기 때부터 미적분학1을 배워가면서 학습방식에 대해서 적응하고 조금 더 잘 해결해 나갈 수

있었습니다. 특히 소통을 중심으로 하는 본 강좌에 있어서 다시 한 번 생각을 해보았습니다. 자신이 직접

이해한 내용을 다른 학우님들에게 공유하면서 내용을 feedback 받으면서 내가 부족한 부분을 스스로 알아

갈 수 있었습니다. 내가 부족한 부분을 다른 사람들의 설명이나 문제풀이를 통해서 배워나갔으며 다양한

문제들을 접하고 개념들을 이해할 수 있었습니다. 내용이 쉽지 않았기에 예습을 충분히 하면서 내용들을

확인하기 위해 노력하였으며 다른 학습방법과 다르게 나는 교재의 나용들을 휴대폰에서도 확인할 수 있었

고 이런 방식의 학습은 다시 한 번 좋은 방법이라고 생각하였습니다. 물론 제가 부족한 부분이 많아서 많

은 내용들을 공유하고 수정하고 싶었지만 정확한 개념을 얻어가기 위해서는 오랜 시간이 걸렸던 것으로 기

억합니다. 이러한 경험을 통해 나는 많은 것들을 배웠던 것 같습니다. 학습을 따라기 위해서는 충분한 예

습, 복습이 필요하였고 충분히 이해하였다고 생각하였지만 또 다른 학우들의 논리를 들으면서 다양한 개

념들을 접하였고 내가 부족한 점이 무엇인지 다른 학우들보다는 내가 무엇이 우수한지에 대해서 깨닫고 정

확하고 신속하게 공부하는 방법을 새롭게 배우고 있습니다. 처음으로 수업을 진행하면서 주관적인 논리를

내세울 수 있었고 그 내용들을 다른 학우님들에게 설명할 수 있었던 것 같습니다. 결국에는 정답이라는 것

은 정해져 있지만 어떻게 다가가는 것에 대한 생각도 할 수 있었습니다. 단순 수학의 정의를 배운 것이 아

니라 수학이라는 학문이 얼마나 위대한 것인지에 대해서 다시 한 번 이해하고 수학을 배우는 의미에 대해

서도 알 수 있었던 것 같습니다. 역사를 알아가니 우리가 수학을 왜 배우는지 실생활에는 어떻게 적용되어

가고 있고 얼마나 발전했는지에 대한 생각을 할 수 있었습니다. 결국에는 이 학습을 통해서 저는 주관적으

로 공부하는 습관을 가질 수 있었으며 자료를 찾아보는 스킬이나 sage프로그램을 다루는 방법을 배울 수

있었고 혼자서 어려우면 다른 사람들과 함께 하고 나아갈 수 있다는 것을 알게 되어 자신감을 얻었습니다.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

교수님이 올려주시는 강의동영상을 확인하고 모르는 내용들이 있으면 인터넷을 찾아보고 그 내용이 맞는

지에 대한 내용을 문의게시판에 올리고 다른 학생들이 틀린 내용들을 확인해주고 그 내용을 다시 복습하며

학습의 진행내용들을 이해하고 있습니다. 처음에는 새로운 개념들이 나오며 어렵게 보였는데 개념들을 정

확하게 이해하고 예제문제들을 풀어나가면서 열린 문제들을 풀어보며 개념과 계산을 이루어나가면서 해당

내용들을 풀어나갈 수 있을 듯합니다. 또한 다른 학우들이 올려주는 내용들을 확인하면서 내용들을 이해

하는데 도움이 되었고 개념조차 이해가 되지 않는 부분들은 다시 찾아보며 교수님과 학우님들에게 물어보

면서 학습을 이해하려고 노력중입니다.

[final]

1학기에 비해서 우리는 많은 개념들을 접해야 했기 때문에 충분히 힘들었다고 생각합니다. 하지만, 이

내용들은 결국 우리가 필수적으로 배워야 할 과목이고 그 내용을 잘 이해를 하여 다른 학문들도 다가갈 수

있다는 생각이 들어서 항상 이해하기 위해서 노력하였습니다. 특히 고등과정과 1학기 때 배운 내용들을

확실하게 잡고 있어야 공간상으로 개념들을 확장하였을 때 이해할 수 있었기에 1학기 때 배운 내용들에서

부족한 부분들을 찾아 따로 학습을 하였습니다. 새롭게 배워나가는 내용일수록 다양한 기호가 나왔고 중

복되는 내용들이 있었기에 어렵지 않게 다가가기 위해서 다른 학우님들과 항상 소통하려고 노력하였고 최

대한 예습을 하고 수업을 들었습니다. 지금은 sage나 다른 프로그램을 이용해서 충분히 학습을 따라가고

있고 개념들을 이해하기 위해 노력중입니다.

513

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습방법 및 자료)

교수님이 올려주신 실습실을 통해 학습을 이루어 나가고 있고 M-calculus 교재를 통해서 모르는 내용들

을 정리하고 다른 인터넷들의 내용들과 함께 학습을 이루어 나갔습니다. 그 중에서도 제가 이해를 하지 못

하는 경우에는 class QnA에 올라온 내용들을 토대로 이해하고 직접 예제나 열린 문제들을 푼 다른 학우들

의 학습들을 보며 학습을 이루었으며 QnA를 이용하며 확실한 feedback이 오기에 정말 어려운 내용들은 해

당 QnA에 내용들을 공유하며 제가 한 내용들이 맞는 것인지 확인할 수 있었습니다. 다른 학우님들이 올려

주신 내용들과 질문, 토론들을 이용하여 개념을 채워가며 예제와 열린 문제 중심으로 문제를 풀어보며 학

습하였습니다.

[final]

먼저, 우리에게는 전자책이 있었기에 어디서든 그 내용들을 확인할 수 있었습니다. 이 방법은 정말 획기

적인 방법이라고 생각합니다. 내가 어디에 있든 그 내용이 궁금하면 사이트만 들어가면 내용들을 이해하

고 직접 sage로 풀어 볼 수도 있었습니다. 수업을 들어가기 전에는 전자책을 통해 예습을 개념을 조금이

라도 이해하려고 노력하였습니다. 먼저 처음 들어보는 단어들 기호들을 파악하려고 하였고 주요 개념들을

한 번씩 읽어보면서 그 내용들을 Q&A에 공유하였고 feedback을 받을 수 있었습니다. 그렇게 하면 수업 중

내가 모르는 내용이나 교수님이 하는 말씀이 더욱 깊이 있게 들어오는 것 같았습니다. 수업이 마치면 오늘

배운 내용들을 정리하고 공유하기 위해서 노력하였고 열린문제를 풀어보면서 내가 부족한 부분을 알 수 있

었습니다. 문의게시판에 올라오는 다양한 내용들로 내가 모른 개념들을 다시 한 번 잡을 수 있었고 매주

보고서를 정리하면서 주차내용에 대해서도 복습하였습니다. 사람들과의 토론을 통해서 왜 이렇게 되는지

내가 설명할 수 있었고 내가 모르는 내용들을 질문하기 위해 노력하였고 다른 학우님들이 답변을 대신 해

주기도 하였습니다. 또한, 수학사에 대한 내용들로 수학을 배우는 내용들을 보면서 흥미를 가질 수 있었

습니다.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

이번 학기를 시작하면서 새로운 내용이 벡터와 행렬을 시작으로 새로운 개념들이 많이 나왔습니다. 좌표

계에서 공간계로 넘어가면서 새로운 개념들이 나오면서 다양한 개념들을 배울 수 있었습니다. 다양한 수

학지식들을 배울 수 있었으며 좌표계에서 배운 내용들을 모르면 더욱 다가가기 힘들다는 것을 알았기에 지

금이라도 모르는 내용들을 확실하게 자리 잡고 개념들을 정확하게 배워나가고 있습니다. 또한 1학기 때

수학개념을 정확하게 모르고 프로그램에만 맹신한다면 잘못된 방향으로 다가갈 수 있다는 것을 알고 있어

더욱 기초를 중요하게 생각하며 학습을 이루고 있습니다. 또한 무엇보다 스스로 다가가야 하는 학습형태

로 인해 내가 하는 만큼 배워나갈 수 있기에 열심히 노력해야하며 최선을 다해야 한다는 것을 알고 있습니

다. 모든 과목에서도 예습과 복습이 필요하다는 것을 알 수 있었고 이번 보고서를 통해 중간고사 전까지

내가 배운 내용들을 다시 한번 복습하면서 기초가 중요하다는 것과 복습이 과목의 이해도를 높여준다는 것

을 배워나갈 수 있었습니다.

[final]

이번 학기를 마치면서 우리는 6개월이라는 시간을 함께 하였습니다. 본 강좌를 이루면서 우리는 자신감

을 가질 수 있었던 것 같습니다. 일단, 내가 하는 내용들을 틀려도 수정해줄 수 있는 동료들이 있고 그것

을 바라보는 교수님과 TA가 있었기에 수학에 대한 두려움을 조금 없앨 수 있었습니다. 수학이라는 과목이

딱딱하고 무겁게만 느꼈는데 이번 강좌를 통해서는 조금은 덜어낼 수 있었던 것으로 생각합니다. 일단 우

리가 문제를 풀기 위해서 수학을 배우는 것이 아니라 수학이라는 과목이 모든 학문의 기초가 될 수 있을

것이라는 사실과 수학의 기본을 잡고 다른 학문들을 배우는데 쉽게 다가갈 수 있을 것입니다. 좌표계에서

만 하던 수학이 공간상에서도 표현될 수 있고 그것은 우리가 살아가는 데 너무나 밀접한 관계가 있다는 것

을 알 수 있었습니다. 또한, 문의게시판을 이용하여 우리가 어떻게 학습을 해야 할지에 대해서 이 내용들

을 다른 사람들이 봤을 때 쉽게 이해가 될지에 대해서 서술하는 방법 또한 배웠던 것 같습니다. 확실히 쉽

지는 않았지만 하나의 경험이 쌓여가면서 정확한 개념들을 사람들에게 공유하면서 서술하면서 나의 기본

지식도 쌓이는 것을 알 수 있었고 수학에 대한 지식도 배울 수 있었습니다.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

514

이번 학기를 진행하면서 서로가 질문하고 답변을 하며 제가 이해하지 못한 부분들을 주변 동료들로부터

배워나갈 수 있었으며 각각의 사람들이 가지고 있는 정보들을 모아서 정리를 한다는 것이 엄청난 영향력을

가진다는 것을 알 수 있었습니다. 또한, 다른 사람들의 정보들을 통해 내가 부족한 점을 알아가고 그 내용

들을 정리하고 이해하면서 많은 내용들을 인지할 수 있었습니다. 다양한 그래프와 코드 그 내용들을 직접

실습해볼 수 있었고 서로가 공유해주는 내용들이 서로에게 도움이 된다는 것을 알 수 있었습니다. 또한 자

신이 아는 것을 다른 사람들에게 설명해줄 수 있다는 것이 정말 그 개념에 대해서 정확하게 알고 있다는

것과 다른 사람들이 공유해준 내용들을 내가 다시 한 번 정리하면서 그 내용들을 다른 사람들에게 또 다시

공유를 하면서 공부를 할 수 있는 방법을 배울 수 있었습니다. 또한, 서로가 이해한 내용이 다르다면 왜

그 내용들이 다른 건지 토론을 하고 이야기할 수 있었고 혼자서 찾은 데이터는 한계가 있지만 똑같은 내용

이라도 다른 동료들이 설명해준 새로운 개념들로 이해를 하며 성장해나갈 수 있었다고 생각합니다. 혼자

서 찾아볼 수 있는 데이터의 양은 정해져 있다면 동료들로부터 수많은 데이터와 개념들을 공유 받으며 더

욱 성장할 수 있었습니다.

[final]

내가 부족한 부분을 다른 동료들의 게시글로 확인할 수 있었고 부족한 부분을 채워나갈 수 있었습니다.

다른 동료들에게 내가 가지고 있는 내용들을 공유하기 위해서는 내가 먼저 정확한 내용을 가지고 있었어야

했으며 또한 질문이나 답변을 하기 위해서는 더욱 정확한 정보를 전달해야 했기에 기본지식을 개인적으로

더욱 알아 볼 수 있는 기회가 있었던 것 같습니다. 더욱 많은 자료들을 찾아보았고 그 내용들을 종합해서

모아보니 엄청난 양의 데이터가 만들어져 있었습니다. 그 내용들을 모두 기억할 수는 없지만 내가 부족했

던 부분들은 기억이 났기에 다른 동료들로부터 내가 부족해서 생각을 해봤던 내용들은 정확하게 다가왔던

것 같습니다. 나보다 더욱 잘한 사람들이 많았기에 다른 동료들은 어떻게 이해하였고 그 내용들을 어떻게

서술하였지 내용들을 확인하고 더욱 열심히 하였고 노력하였습니다. 또한 코드부분에서 미숙하였는데 그

내용들을 문의 게시판에서 확인할 수 있었으며 실습을 같이 해 볼 수 있었고 쉽게 다가갈 수 있었던 것 같

습니다. 내가 혼자서 찾은 지식들이나 문제에는 시간상의 문제나 오류가 있을 수 있는데 그 미약한 부분을

다른 동료들로부터 해결 할 수 있었던 것 같습니다. 나를 제외한 19명의 다른 동료들도 열심히 이 학습을

진행하였기에 좋은 성장이 될 수 있었던 것 같습니다. 사실, 경쟁이라는 말보다는 서로를 더욱 이끌어주

는 동료의 느낌이고 다른 학우님들로부터 많은 정보를 얻을 수 있어서 이번 학기도 부족한 점을 채우면서

진행할 수 있었습니다.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

중간고사 전까지 배운 내용들은 벡터와 행렬으로 선형연립방정식의 해를 구하는 방법에서 해를 3가지의

형태로 나누어 볼 수 있었습니다. 해가 유일한 경우는 어떠한 경우의 수라도 가장 좋은 방법일 것이고 여

러 가지의 해가 존재할 때는 여러 가지의 정답이 있는 방면 해가 없을 경우에는 최소제곱문제를 통해 가장

가까운 정답을 찾는 방법을 알 수 있었고 이것은 우리가 살아가는 데이터 속에서 정답이 없는 경우가 대부

분이고 그러한 문제에서 가장 근사한 답변을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있었습니다. 또한 우리가 살아가

는 곳은 좌표공간이 아닌 3차원이상의 공간이라고 생각하면 지금 배우는 내용들은 수없이 많이 실제 생활

에서 볼 수 있을 것으로 보입니다. 그 중 벡터함수의 그래프를 그려보면 우리가 보는 시각적인 표현들을

많이 확인할 수 있었고 그 개념들을 정확하게 이해하고 다가간다면 직접 우리가 살아가는 공간에서도 적용

할 수 있을 것이라고 생각합니다. 이번 소재부품융합공학과 과정이 끝난다면 현업으로 돌아가 다양한 활

동을 해야 하는데 설비에 대한 함수들도 이러한 3차원이상의 공간에서 생각해야 할 것이고 이 변수이상의

문제들도 많이 발생할 것입니다. 그것에 대해서 우리는 답을 얻기 위해서 노력할 것이고 문제를 푸는 방법

에는 지금 배우고 있는 개념들이 많이 적용할 것이라 생각합니다. 또한, 효율성을 중요시하기에 sage프로

그램을 이용한다면 한 층 더 업그레이드 되어 시간을 단축시키고 정확한 답을 얻을 수 있을 것입니다.

[final]

먼저, 수학을 배운 내용들은 다른 학문들에 대입하여 풀 수 있을 것이며 내가 가지고 있는 생각들을 사람

들에게 전달하는 힘을 기를 수 있었기에 학문뿐만 아니라 다양한 분야에서도 적용이 가능할 것입니다. 이

번 학기를 진행하면서는 좌표상이 아니라 공간상의 수학을 배웠기 때문에 지나가면서 우리가 생각하지 못

한 곳에서 수학을 바라볼 수 있겠다는 생각과 모든 학문과 생활에서는 수학이 들어가 있다는 것을 알 수

있었는데 우리가 현업으로 돌아간다고 해도 풀지 못하는 문제를 수학적 관점으로 바라보면 해결할 수 있을

것입니다. 수학을 잘해야 다른 개념들을 정확하게 이해가 가능하다고 생각을 합니다. 활용이 어려울 수

도 있겠지만 유심히 지켜보고 생각해본다면 모든 곳에서 수학으로 해결할 수 있을 것이라는 자신감도 생겼

습니다. 함수를 구하고 그래프로 그려보고 미분이나 적분을 통해서 다양한 정보들을 얻을 수 있을 것이며

515

그 정보들을 통해서 해결책을 찾을 수 있을 것입니다.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적으

세요.) :

-90점

저는 이번 학기를 진행하면서 매주 2번이상의 질문을 하기위해 노력하였고 다양한 질문들에 대한 답변

을 하기 위해서 노력하였습니다. 그 내용들이 쉬울 수도 있었지만 저의 개인적인 의견들을 위주로 많이

작성하였으며 직접 실습을 통해 그 내용이 정확한것인지에 대한 내용들도 담았습니다. 여러 가지의 내

용들을 공유하기 위해서 교재를 많이 보며 다양한 예제들을 확인하기 위해 교수님이 나눠주신 미적분

교재에서도 다양한 문제들을 공유하려고 힘을 썼고 open problem에서도 더욱 심도있는 내용들을 공유함

으로 틀린 답변에 대해서도 받아들이며 내가 무엇을 틀렸는지 확인할려고 노력하였습니다. 또한 다른

학우들이 모르는 내용들을 이해해주려고 노력하였으며 feedback을 하였습니다. 저는 의견에 대한 토론

에 있어서 도망치지 않고 맞서고 모르는 내용들을 물어볼려고 하였으며 제가 해결할 수 있는 부분까지

는 스스로 열심히 하였다고 판단합니다. 하지만, 개념정리에 있어서 조금 미약했던 점이 있었던 것 같

고 그 점들이 저를 100점을 못 만들었다고 생각합니다. 그래서 남은 시간에는 개념들을 학우님들과 더

욱 공유하고 나아갈려고 노력할 것입니다. 저로 인해 다른 학우님들이 도움이 되었다는 말을 들으면서

더욱 자신감이 생기고 함께 성장하기 위해 노력할 것입니다.

[final]

-90점

이번 학기를 마무리하면서 나는 이번 학습과정에 있어서 얼마나 열심히 하였는지에 대해서 생각을 해보니

매주 2번의 질문을 하였고 매주 예습을 하였습니다. 지금도 일요일에 시간이 남으면 다음 주차의 내용들

을 확인하고 모르는 개념이나 기호들을 한 번씩을 읽어나가면서 문의게시판에 공유하기 위해 노력하였던

것이 기억이 납니다. 많이 부족한 내용이지만 그 내용들을 중심으로 많은 학우님들이 답변을 남겨주시고

내용을 토대로 다른 문제들을 풀면서 내용을 보충해주었습니다. 저도 다른 학우님들이 올려주시는 내용들

을 읽어보고 부족한 점이나 보충해야 할 점들을 답변을 하며 서로를 이끌어주기 위해서 노력하였습니다.

또한 교수님이 올려주시는 내용들을 정확하게 이해하기 위해서 노력하였고 많은 토론에 참여하기 위해서

많은 내용들을 찾아보고 게시판을 자주 찾아보았던 것 같습니다. 그 중에서 수학사에 관련된 이야기가 가

장 흥미로웠던 것 같습니다. 이동 간에도 그 내용들을 다양한 플랫폼을 통해 찾아보고 다른 학우님들과 공

유하기를 노력하였습니다. 아직도 부족한 점이 많지만 부족한 점을 알아가기 위해 노력하고 있고 그 부족

한 점들은 여러 학우님들과 교수님이 체크하여 feedback을 해주었고 더욱 성장할 수 있었던 것 같습니다.

다른 학생에 대한 평가

이번 여름학기를 시작하면서 우리반 학우님들의 열정은 정말 대단했던 것으로 보입니다. 20명 중 한

명도빠짐없이 개인의 의견들을 공유해주면서 다양한 내용들을 확인할 수 있었습니다. 그래서 더욱 피드

백이 잘 이루어지고 다양한 데이터들을 볼 수 있었습니다. 또한 부족한 부분이 무엇인지 교수님이 말해

주시면 학우님들끼리의 토론으로 인해 직접 스스로 찾아보고 그 내용들을 직접 풀어보면서 1학기 때보

다 더욱 열심히 하는 모습을 볼 수 있었습니다. 이러한 환경에서 공부하는 것은 서로가 더욱 성장을 이

룰 수 있다는 생각과 저도 더욱 열심히 해야겠다는 생각이 들었습니다. 열정적으로 질문과 답변을 주신

학우님들에게 감사드리고 제가 올리는 무모한 문제라도 다 같이 풀어볼 수 있다는 생각을 할 수 있었습

니다. 우리는 다 같이 성장해나가며 원활한 소통을 통해 저의 부족함에 도움이 되어주셔서 감사합니다.

[final]

중간고사와 마찬가지로 이번 여름학기는 학우님들의 열정이 많았던 것 같습니다. 한 명도 빠짐없이 게

판을 확인하고 그 내용들을 이해하기 위해서 노력하였던 것 같습니다. 하지만, 서술하는 법에 있어서

부족한 내용들이 있던 것으로 보였고 그 내용들을 점차 성장하기 위해서도 노력하는 것이 보였던 것으

로 기억합니다. 그 또한 나에게 열심히 할 수 있는 이유를 만들어주었고 다른 학생들도 나를 통해 더욱

열심히 하였다고 생각했으면 좋겠습니다. 특히, 개념들을 정리해주는 학우님이 있었는데 내가 놓친 내

용들을 다시 확인할 수 있어서 정말 좋았던 것 같습니다. 많은 질문들과 답변들이 오고가며 서로에게

부족한 점과 잘하는 점을 더욱 돋보이게 해준 것 같아 많은 것을 알 수 있었습니다. 또한, 수학적인 개

516

념이 아니라 수학에 관련된 내용들을 올려주는 경우도 있었으면 함께 생각해보고 토론할 수 있었던 것

같아 긍정적인 영향을 받을 수 있었습니다.

▶ 자체평가에 따른 잘한 점

강의를 미참여하지 않을려고 노력하였고 QnA에 대한 생각을 하루도 빠짐없이 했던 것 같습니다. 매

주 2번이상의 질문을 할려고 하였고 다양한 게시글을 다 읽어보고 이해해보자라는 생각을 하여 하루

에 여러번은 해당 게시글을 확인하려 들어가보았고 그 내용들에 대해서 서로 이야기하고 토론하였던

것에 대해서 열심히 할려고 노력하였던 것 같습니다. 학우님들이 올려주신 내용들을 저 나름대로 분

석하고 물어보면서 학우님들이 다시 생각해 볼 수 있는 시간을 만들어 주었던 것 같고 제가 알 수 있

는 정확한 내용들은 공유할려고 노력하였습니다. 좋은 학습분위기를 만들려고 노력하였고 긍정적인

방향으로 나아가기 위해 노력하였습니다.

[final]

다른 학우님들과 다양한 정보를 공유하기 위해서 수학적인 정보만이 아닌 토론내용에 대해서도 가져

와 다양한 토론을 즐길 수 있었던 것 같습니다. 매주 다양한 내용들을 가져오기 위해서 충분한 데이

터를 찾아보았고 그 내용들을 잘 정리해서 다른 학우님들과 공유하였습니다. 또한 올라오는 글을 대

부분 읽어보며 보충해야 할 점이나 미비한 점을 같이 토론하고 질문하였습니다. 제가 부족한 점에 대

해서도 잘 받아들였던 것 같고 다른 학우님들과 소통을 위해서 노력하였습니다. 이번 학기를 마무리

하면서 다른 학우님들과도 좋은 분위기를 만들 수 있었고 개념들과 지식들을 공유를 할 수 있었습니

다.

▶ 자체평가에 따른 아쉬운 점

개념들을 정확하게 이해를 하지 못해서 다른 학우님들에게 배운 내용들을 더욱 정확하게 알려주지

못했 던 것 같습니다. 그래서 더욱 많은 내용들을 올리고 싶었는데 부정확한 내용들이 학우님들에게

영향이 갈 수도 있을 것 같았고 그 내용을 공유하지 못한것에 있어서 아쉬움이 남습니다. 그래서 남

은 학기 동안에는 제가 모르는 내용들을 확실하게 공유하고 다른 학우님들과 학습을 할려고 노력할

것입니다. 모르는 것과 틀리는 것에 두려움을 떨쳐 내고 다양한 활동을 이루어나가겠습니다.

[final]

우리가 배우는 내용들을 정확하게 이해하고 빠르게 공유하였으면 좋았을 텐데 그러지 못해서 조금

아쉽습니다. 다른 학우님들이 올려주시는 글에 대해서 이해하는데 오래 걸려 다양한 토론을 이어나가

지 못했고 질문들에 대해서 정확한 답변을 할 수 없었던 것이 부족다고 생각합니다. 예습을 하고 모

르는 내용들을 수업에 있어서 질문을 하였으면 좋았을 텐데 라는 생각도 들고 모르는 것에 있어서 주

춤했던 것도 아쉬웠던 것 같습니다. 이후에는 이러한 경험을 토대로 더욱 성장하고 발전해 나가기 위

해서 노력할 것입니다.

[open problem]

◩ 열린 문제 1

위에서 배운 벡터와 행렬에 대한 연산을 다른 교재의 행렬에 적용하는 행렬연산을 시행해 보시오.

[http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/에서 실습]

◩ 열린 문제 2

인터넷이나 다른 교재에서 5차 (이상) 행렬을 찾아서, 전치행렬과 역행렬이 존재하는지를 확인하고, 존

재하면 찾아보시오.

◩ 열린 문제 3

다른 교재의 선형 연립방정식의 해를 위의 명령어로 구하시오.

517

(Hint: http://matrix.skku.ac.kr/2018-album/LA-Sec-3-5-lab.html 실습)

◩ 열린 문제 4

행렬

와 6차원 벡터

를 임의로 생성하여 선형연립방정식

의 해집합을 구하여라.

◩ 열린 문제 5

임의로 10차원 벡터

와

를 생성하여

와

가 이루는 사잇각

(호도법, 육

십분법)를 구하시오.

◩ 열린 문제 6

4차원 공간

에서의 방향코사인(direction cosine)에 대하여도 유사한 이론 전개가 가능한지 확인해

보세요,

◩ 열린 문제 7

임의로

상의 세 벡터

를 생성하여

등을 계산하고 외적의 연산법칙들이 성

립하는지 확인하시오.

◩ 열린 문제 8

다른 교재에서 찾은

에서의 직선과 평면의 방정식에 관한 문제를 해결하시오.

◩ 열린 문제 9

상의 한 점

에서 평면

에 이르는 최단거리를 구하고,

이에 관하여 토론하시오.

◩ 열린 문제 10

다른 교재에서 적당한 벡터함수

를 찾아 그 그래프를 그리고 접선벡터

와 곡률

를 구하

고, 적당한 범위

에서 곡선의 길이(arc length)의 근삿값을 구하여라.

◩ 열린 문제 11

다른 교재에서 찾은 다양한 이차곡면(quadric surface)을 그려보시오.

◩ 열린 문제 12

다른 교재에서 찾은 다양한 다변수 함수의 그래프와 등위곡선(level curve) 또는 등위곡면(level

surface)을 그려보시오.

◩ 열린 문제 13

일 때

의 1계 편도함수(the first order partial derivative)를 모두 찾아

라.

◩ 열린 문제 14

3변수 함수

에 대하여,

와

를 계산하라.

[힌트] 아래 코드는

를 계산한 코드이다. 이 코드를 이용하여

를 구하고

와 미분 결과가

같은지 다른지를 알아보시오.

◩ 열린 문제 15

다른 교재에서 적당한 이변수함수

를 찾아서

모양의 음함수로 표현한 후,

518

그 음함수의 편도함수

와

를 구하시오.

◩ 열린 문제 16

특정한 점에서의 gradient(기울기 벡터, 그레이디언트)의 방향을 구할 수 있는 지도나 기압의 등고선 그

림을 찾아보시오.

◩ 열린 문제 17

다른 교재를 참고하여 다양한 이변수함수 (또는 3변수함수)의 극댓값, 극솟값, 또는 안장점을 (임계점과

Hessian 행렬 H, 그리고 각 임계점에서의 Hessian 행렬의 고윳값을 찾는 H.eigenvalues() 명령어를 이용

하여) 구하여라.

◩ 열린 문제 18

라그랑주의 승수법을 이용하여 방정식

을 만족하는 함수

의 최댓값과 최솟값을

코드를 활용하여 구해보시오.

◩ 열린 문제 19

다른 교재나 그 외 여러 가지 문제를 활용하여 폐(closed) 직사각형구간에서의 연속함수에 대한 이중적분

을 풀어보자.

◩ 열린 문제 20

다른 교재의 문제중 두 함수에 의하여 둘러쌓인(enclosed)인 일반 영역

에서의 연속함수에 대한 이중적

분을 풀어보자.

◩ 열린 문제 21

직사각형 영역에서 연속인 함수를 골라서 (Fubini 정리에 따라), 이중적분에서 적분순서를 바꾸어 보고,

두 적분의 결과값이 같다는 것을 확인하여라.

◩ 열린 문제 22

구간

에서 상수함수

일 때 이것을 적분하면

의 길이를 구할 수 있다. 영역

에서 상수함

수

을 적분하면

가 되어 영역

의 면적을구할 수 있다. 영역

에서

상수함수

을 적분하면

가 된다. 이것의 기하학적인 의미는 무엇인가?

◩ 열린 문제 23

다양한 극곡선(Polar Curve)들을 그려보고, 이 곡선들이 만드는 영역의 넓이를 구해보자.

◩ 열린 문제 24

평면에서 곡면적(Surface Area)과

평면에서 곡면적(Surface Area)을 구하는 문제를 찾아서 실

습해보시오.

◩ 열린 문제 25

삼중적분(Triple Integral) 에 대한 푸비니(Fubini) 정리가 다른 삼중적분에서도 성립함을 확인하시오.

◩ 열린 문제 26

몇가지 삼중적분의 문제를 찾아서 앞에서 배운 코드를 이용하여 부피를 구하여 보시오.

519

◩ 열린 문제 27

다른 교재의 문제 중 구면좌표의 한 점을 직교좌표

로 나타내어라.

◩ 열린 문제 28

구면좌표계(spherical coordinate system)에서의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

풀이. 변수변환

는 다음과 같이 주어지므로

◩ 열린 문제 29

함수

의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

◩ 열린 문제 30

를 구하라. 여기서

이고,

는 원기둥

내부에 놓인 평면

의 영역(area)이다.

◩ 열린 문제 31

원기둥 곡면

와 평면

에 의해 둘러싸인 제 1팔분공간(first octant)의 영역

에서 아래

발산 정리(divergence theorem)가 성립함을 확인하라.

소재부품융합공학과 전*준

h**jh@g.skku.edu

[개인 프로젝트]

Project Title (Tentative, just idea now): 시간표 관리

초록: 회사근무와 학교학업을 같이 이루어 나가면서 우리는 매일 스케쥴에 시달리고 매일 변화하는 일정

에 있어서 중요도를 까먹고 있는 것으로 파악됩니다. 따라, 내가 더욱 의미있는 시간들과 요일들을 확인

하여 더욱 효율적인 시간표를 작성할 수 있을 것입니다.

연구방법 개요: 시간표 관리를 위해서는 기본적인 자료가 필요하기에 한달동안의 개인 데이터를 파악하고

해당 식들을 함수로 표현한다. 매개변수로 표현할 수 있을 것이고 우리는 해당 함수에 있어서 다양한 미분

과 적분을 통해서 다양한 정보들을 얻을 수 있을 것이라고 판단합니다. 그 중 하루 시간동안의 공부하는

그래프를 그릴 수 있으면 그 적분의 넓이가 우리가 하루에 있어서 공부하는 양이 될 것이고 미분을 통해

해당 기울기를 알아보면 얼마나 효율성을 가진 것인지에 대한 내용들을 확인할 수 있을 것이라 판단합니

다. 다변수 미적분학을 배우면서 이변수함수나 다양한 공간에서의 미분, 적분법을 알았으니 매개변수를

여러개 둘 수 있을 것이며 그래프로 표현이 가능할 것이다. 이렇게 된다면 개인이 집중이 잘 되는 요일이

나 시간들을 파악할 수 있을 것이며 그 시간에 효율적으로 학습을 이어나갈 수 있을 것이라 판단합니다.

따라, 해당 정보들을 가지고 내가 가진 시간표를 관리할 수 있을 것이며 인공지능을 이용한다면 더욱 정확

한 데이터를 수집하며 자동적으로 시간표를 관리해주는 프로그램도 가능할 것이라 생각합니다.

Ch 6장. Final comment after your report (10점)

* first PBL (black) the summer semester 1week – 4week

520

1핚기를 미적분학을 학습하면서 이번 수업방식이 어떻게 흘려갈지에 대한 내용들을 잘 인지하고 있었기

에 개인학습이 중요하다는 점을 알고 있었습니다. 온라인에서 강의동영상을 이용하여 해당 학습을 예습하

고 오프라인수업에서 교수님과 직접 소통을 하며 학습을 이어나갈 수 있었습니다. 그 후에도 문의게시판

QnA를 이용하여 복습을 할 수 있었습니다. 복습을 이루어나가면서 잘 이해가 되지 않는 개념들을 다른 학

우님들과 공유할 수 있었으며 그 내용들로 열린 문제를 풀어보면서 해당 주차의 복습을 할 수 있었습니다.

또한 중간고사로 PBL을 작성하면서 내가 배운 내용들을 ch1에서 정리해보았고 모르는 내용들은 다른 학우

님들과 소통하였던 문의게시판을 이용하여 내용들을 찾아볼 수 있었습니다. 많은 데이터를 통해 제목을

검색하면 정리해준 개념들이 대부분 나왔고 그 내용들을 정리해준 학우님들에게도 감사함을 느꼈습니다.

이번학기에는 우리 반 학우님들은 문의게시판에서 많은 내용들을 공유해주었고 그 내용들이 많아서 배운

대부분의 개념들이 정리되어 있었고 다양한 예제들을 확인할 수 있었습니다. 저 또한 그 일원 중 한명이

되어 같이 해결해나갔으며 저보다 잘하고 있는 학우님들의 내용들을 참고하여 토론하였고 그 내용에 있어

모르는 것들과 틀린 답들은 교수님이 답변을 확인해주셨고 조교님이 final을 해주셨습니다. 1학기 때부터

해오던 math&coding 의 방법은 우리가 수학을 쉽게 다가갈 수 있게 해주었으며 좌표계이상의 공간에서도

가능하다는 것을 알게 되었습니다. 공간에서의 수학을 배워나가면서 현재 실생활에서 사용할 수 있는 경

우도 많이 생겼고 그 내용들을 현장에서 직접 사용할 수 있겠다는 생각도 할 수 있었습니다. 이번 학습과

정에서 가장 인상 깊었던 것은 우리가 살아가는 공간에 대해서 한 번 생각해보았던 것입니다. 살아가면서

당연히 우리는 공간속에서 살아가는 데 그것이 몇차원일까 라는 생각을 해보았고 다양한 내용들을 문의게

시판에서 확인할 수 있었습니다. 그 중에서도 우리가 지금 생각하였던 것은 수백년 전에도 같은 생각을 할

수 있었고 역사적인 인물들과 그 내용들을 공유할 수 있었습니다. 이번 다변수미적분학의 학습을 배운다

는 것은 어려울 것이라 생각하였는데 교재의 내용들을 이해하고 그 개념들을 정확하게 정리한다면 문제를

다루는 것은 개념의 내용과 문제의 판단능력만 있다면 sage를 이용하여 문제를 해결해 나갈 수 있을것이

라고 판단합니다. 이번 PBL보고서를 진행하면서 내가 이번학기 4주차까지 무엇을 배웠는지 무엇이 어려웠

는지를 다시 한번 상기하고 그 내용들을 다시 복습하는 계기가 될 수 있었습니다. 부족하였던 개념들도 정

리가 되었고 같이 소통해주었던 학우님들에게 감사드리고 우리의 과정들을 지켜봐주고 수정해준 교수님과

TA분들에게 정말 감사합니다. 남은 주차도 쉽지는 않을 것이라 판단하지만 지금과 같이 두려움을 버리고

학우님들과 열심히 토론하고 하다보면 잘 이번학기도 잘 마무리할 수 있을 것 입니다.

여름학기 남은 수업에서도 다 같이 성장하여 여름학기를 잘 마무리하였으면 좋겠습니다.

■ 학습을 하면서 느낀점

final PBL (orange) the summer semester 5week – 8week

여름학기를 마무리하면서 수학에 대한 인식이 긍정적으로 변하였다. 처음에는 수학이라는 과목은 문제를

많이 풀어보고 우리가 배운 공식들을 암기해서 문제들에 대입해서 푸는 것만을 생각했지만 1학기와 여름

학기를 진행하면서 수학은 그러한 과목이 아닐뿐더러 모든 학문의 기초가 되는 학문이라는 것을 알게 되었

다. 수학을 잘해야 다른 과목 또한 잘할 수 있을 것이라고 생각하였고 수학의 기본을 하지 못한다면 다른

학문들도 어렵게 생각이 들 것이라 생각한다. 따라 이번 학기를 더욱 열심히 하기 위해 노력하였고 개념들

을 잘 이해하기 위해서 예습, 복습, 문의게시판 활동하기 위해 노력하였다. 동료들과 함께 소통하는 방법

은 우리가 개념들을 확실하게 잡고 설명을 해주는 것과 다른 학우들이 올린 글에 있어서 질문과 답변을 하

는 것에 있어서 정확한 개념들을 가지고 있어야 활발한 활동을 이루어나갈 수 있었다고 생각한다. 그래서

최대한 혼자서 할 수 있는 학습을 대부분 이루었고 사람들과의 소통으로 많은 것을 깨닫고 다양한 접근을

할 수 있었던 것 같다. 1학기를 시작할 때를 생각해보면 sage프로그램이라는 것도 어려웠고 왜 코딩을 만

들어서 수학을 공부해야하는지에 대한 생각도 했었던 것 같은데 개념을 정확하게만 알면 굳이 시간을 들여

문제를 풀 이유가 없다는 것을 잘 파악할 수 있었다. 우리는 현업에 나가기 전 다양한 지식을 쌓고 그 내

용들로 다양한 분야에 접근해야 해서 개념의 파악은 엄청 중요한 것이며 시간을 줄일 수 있는 sage같은

프로그램은 우리의 효율을 늘려줄 것을 당연하게 말할 수 있다. 1학기부터 22주라는 시간을 학습하면서

새롭고 다양한 학습방법에 있어서 많이 배울 수 있었던 것 같다. 특히, 자발성으로 해야 하는 학습 시스템

과 수학의 문제만을 푸는 것이 아닌 것을 알려주었으며 수학사에 관련된 토론을 이루어 나갔을 때 수학에

대한 흥미가 생기고 수학을 왜 배우는지 무엇을 위해 배우는 지에 대해서 정확하게 확인할 수 있었다. 다

변수 미적분학을 배우면서 우리 일상생활에서도 해당 수학개념들이 보이며 적용할 수 도 있을 듯 합니다.

이번 학기동안 여러 학우님들과의 소통을 자주 하면서 더욱 긴밀한 관계를 유지할 수 있었으며 다른 학우

님들의 학습 방법에 도움을 받을 수 있었으며 그것을 같이 이루어 나가면서 잘 마무리할 수 있었던 것 같

521

습니다. 또한, 문의게시판에 올라오는 개념들을 정리하고 내가 풀어본 문제들을 정리하면서 만든 이 보고

서에는 아주 많은 데이터가 들어가 있고 다음번에 미적분학에 대한 내용이 궁금하면 전자책을 통해서도 알

아볼 수 있겠지만 이번 보고서를 참고해서 내용들을 확인할 수 있을 것입니다. 우리는 이번 학기를 진행하

면서 많은 개념들과 지식들을 얻을 수 있었으며 다양한 토론을 통해서 수학의 중요성을 깨닫고 배우는 학

습의 의미를 배울 수 있었습니다. 시간이 지나고 이 개념들을 잊을 수도 있겠지만 이렇게 보고서를 만들어

가면서 다시 한 번 정리해보고 나의 생각을 적어가보면서 한 번 더 머리에 내용들을 생각해보고 정리하며

더욱 깊이 있는 학습을 보고서로 마무리할 수 있었다고 생각한다. 현재는 한 과목의 영역안에서 서로의 논

리를 말해보고 수정하고 보완하였다면 더욱 나아가 교수님처럼 다른 나라와 소통을 하며 토론을 할 수 있

는 사람으로 성장할 수 있을 것이다. 제가 올린 글 중에 ‘과거를 적분하면 현재가 보이고 현재를 미분하

면 미래가 보인다’라는 글을 올린 적 있었다. 해당 내용 글은 나의 과거와 미래에 대해서 한번 더 생각을

해 볼 수 있었으며 나의 과거와 미래를 더욱 명확하게 하기 위해서는 수학을 잘해야 되겠다는 결론이 나왔

으며 이번 학기를 잘 마무리할 수 있었던 것 같다. 1학기 때부터 여름학기까지 같이 진행해온 교수님,

TA, 학우님들에게 정말 감사하며 나의 성장에 있어서 큰 도움이 되었던 것 같다. 우리는 이제 더욱 나아

가 많은 지식들을 배울 수 있는 기회가 있으며 그 내용들을 이번 학기를 진행하면서 배웠던 학습방법을 통

해 더욱 더 나아갈 수 있을 것이다. 다양한 학습방법과 토론, 서술하는 방법을 알 수 있었으니 빠르게 성

장할 수 있을 것이라 생각한다.

여름학기까지 가르쳐 준 교수님과 같이 열심히 한 학우님들에게 다시 한 번 감사의 말을 올립니다.

■보고서를 쓰면서 배웠던 점

[ch1] 제가 이번 강의동안 배운 내용들을 정리하고 교재를 다시 한 번 찾아보는 학습을 할 수 있었습니

다. 교재에 있는 내용들을 중점으로 확인하고 복습하였으며 추가적으로 부족한 부분을 따로 정리하였으며

특히 w9 나오는 내용들이 이번 강의의 모든 부분이 들어가는 내용이 될 수 있었습니다. ch1을 정리하고

확인해보면서 이번 강의를 통해 무엇을 배웠는지에 대해서 확인할 수 있었으며 보고서를 작성하면서 정학

한 내용을 담기 위해 노력하였으며 교재의 내용들을 중점으로 가져왔으며 기말고사 부분을 따로 정리하여

추후에 보고서를 보면서 학습을 할 수 있게 정리하였습니다. 또한 매주 배운 내용들을 서술해보면서 부족

한 점이나 보충해야 하는 점들을 확인할 수 있었으며 이번 강의동안 QnA에서 의미가 있던 내용들을 담으

면서 수학에 관련된 정보들을 확인할 수 있었습니다.

[ch2] 이번 강의동안 제가 어떻게 공부하였는지에 대해서 다시 한 번 생각을 해볼 수 있었던 파트였으며

공부하는 방법이 단순히 문제를 풀면서 넘어가는 것이 아닌 내용들을 누군가에게 설명을 할 수 있는 정도

까지 올라갈 수 있었던 점을 확인할 수 있었습니다. 또한 제가 부족한 점들을 다른 학우님들에게 배우면서

다양하고 많은 데이터들을 확인할 수 있었으며 내용을 설명하는 학습능력과 서술하는 능력 스스로 학습을

하는 능력을 키울 수 있었습니다.

[ch3] 전체적으로 이번 강의를 통해 배운 내용과 응용 내용들을 담을 수 있던 파트였으며 학습을 어떻게

하였는지에 대해서 다시 확인을 하고 다른 학우님들과 어떤 소통을 하였으며 나에게 도움이 되었던 학우님

들을 상기시킬 수 있었습니다. 혼자서 나아가면 힘들었던 것들을 다른 학우님들과의 소통으로 더욱 다양

한 정보들을 가지고 학습을 진행할 수 있었으며 다른 학우님들에게 설명하거나 학습한 내용을 보여주기 위

해서 노력하였던 부분과 혼자서 하면 힘든 것들을 다른 학우님들과의 소통으로 같이 나아갈 수 있는 능력

을 키울 수 있었습니다.

[ch4] 학습 중 중요한 내용들을 담고 있는 open problem을 풀어보며 문제해결능력을 키울 수 있었으며 수

학사에 대한 내용들을 담아 수학에 대한 흥미를 가질 수 있었습니다.

[ch5] 수학을 배우면서 어떻게 응용을 할 것인지에 대해서 생각을 해보면서 수학이 다양하고 많은 곳에

활용이 된다는 것을 확인할 수 있었습니다. 모든 학문에서 수학이 힘들다면 다가가기 힘들다고 판단하였

고 다양한 곳에서 활동하기 위해서는 수학이 필수라는 것을 확인할 수 있었으며 수학이 생활에 얼마나 다

가와 있는지에 대해서 확인할 수 있었습니다.

[ch6] 보고서를 마무리하면서 제가 배운 내용들을 학습을 해보았다는 내용과 얼마나 노력을 하였는지에

대해서 서술 할 수 있었던 것 같습니다. 더욱 다양한 학습방법을 배웠고 보고서를 작성하면서 제 생각들을

담을 수 있어 좋았으며 배운 내용들을 정리하면서 마무리할 수 있었습니다.

522

■ 10주차 강의동안 배운 수학개념

[w1] 선형대수학의 기본개념을 배울 수 있었으며 벡터, 행렬의 기본개념을 확인할 수 있었습니다. 행렬연

산에 있어서 큰 어려움은 없었으며 선형연립방정식에의 해를 구하는 방법을 알 수 있었습니다. 미지수가

2개인 선형연립방정식의 해집합은 세 가지 경우가 존재하며 가우스 소거법을 이용하면 하면 모든 선형연

립방정식의 해를 구할 수 있을 것입니다.

[w2] 벡터의 노름, 내적, 외적에 대한 기본개념이 등장하고 노름을 이용하면 두 점 사이의 거리를 쉽게 계산

할 수 있으며 내적을 풀 수 있었습니다. 벡터의 외적은 두 벡터에 동시에 수직인 제 3의 벡터를 구해야 할

때 사용하며 내적과의 다른 점을 정확하게 알아야 합니다. 직선의 방정식에서는 벡터방정식, 매개방정식, 대

칭방정식의 꼴의 식들을 얻을 수 있는데 추후에 학습할 내용에서 다양하게 등장하기에 정확한 개념을 잡아가

야합니다. 평면의 방정식 또한 직선의 방정식의 개념을 평면으로 옮겼다고 생각하면 되고 다양한 식으로 표현

을 할 수 있어야 합니다.

[w3] 매개변수방정식은 공간상을 표현할 때 자주 등장하고 그 내용들은 좌표공간에서와 비슷하게 미분, 적분

이 가능합니다. 미분을 정의하기 위해서는 극한을 먼저 이야기해야하는데 벡터함수에서 극한은 성분함수가 모

두 극한이 존재하는 경우에만 성립합니다. 극한이 존재한다면 벡터함수의 미분과 적분을 정의할 수 있으며 각

성분을 미분을 해주면 됩니다. 좌표상과 비슷하게 각 성분에 맞는 매개변수를 미분해주면 됩니다. 적분도 미

분과 동일하게 해주면 됩니다. 미분과 적분이 가능하게 되면 곡선, 곡면에 대한 내용들도 이해가 가능합니다.

곡선은 C, 곡면은 S로 표현이 됩니다. 두 개 이상의 변수가 있을 경우에는 편미분에 대한 내용이 나오는데

편미분이란 다변수 함수에서 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하면 됩니다.

[w4] 편미분 다음으로 전미분에 대한 내용들이 나오는데 편미분은 변수 하나의 변화만을 생각하였다면 전미

분은 다변수 함수의 모든 변수의 변화에 따라 변화하는 형태를 표현합니다. 방향도함수는 다변수함수에서 어

떠한 방향으로의 함숫값의 변화율이고 기울기벡터는 방향도함수와 비슷하지만 벡터값을 가지고 있습니다. 따

라서, 기울기 벡터를 알고 방향 벡터를 알 수 있으면 방향도함수를 구할 수 있습니다. 삼변수함수의 방향도함

수나 기울기 벡터도 이변수함수에서처럼 구하면 됩니다.

[w5] 이변수함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법이 나오는데 우선 임계점에 대한 내용들을 알아야 쉽게 다

가갈 수 있습니다. 임계점이란 극댓값, 극솟값이 될 수 있는 점을 말하는데 둘 다 아닌 경우도 있습니다. 편

도함수를 통해 임계점을 구할 수 있으며 임계점을 구했다면 판정법을 통해 극댓값, 극솟값을 판별할 수 있습

니다. 라그랑주 승수법을 통해 최댓값, 최솟값을 찾는 방법이 있는데 기울기 벡터를 사용합니다. 기호들과 용

어들을 정확하게 알고 식을 적용하면 어렵지 않게 구할 수 있을 것입니다.

[w6] 이중적분은 크게 직사각형 영역에서의 이중적분, 일반영역에서의 이중적분으로 볼 수 있는데 직사각형

영역안에서는 쉽게 답을 구할 수 있을 것입니다. 해당 구간을 정확하게 파악하고 푸비니정리로 적분이 쉽게

되는 방향으로 풀어 나가면 되고 일반영역서의 이중적분을 볼 때는 함수가 연속인 지 확인을 먼저 하고 적분

이 쉽게 되는 방향으로 적분을 진행하면 됩니다. 그래프를 그려보고 적분의 영역을 보면 더욱 쉽게 이중적분

을 풀어나갈 수 있을 것입니다.

[w7] 극좌표에서 이중적분을 방법을 배우는 데 굳이 극좌표로 표현하는 이유는 직교좌표보다 더욱 쉽게 풀어

나갈 수 있기 때문인 것 같습니다. 극좌표를 사용한 이중적분은 쉽게 생각하면 치환적분이라고 보면 됩니다.

치환적분을 할 때 영역표시를 중요시하게 해야하며 극좌표 변환시에 rdrdt로 변환되는 것을 중요하게 봐야합

니다. 삼중적분에서도 이중적분과 마찬가지로 푸비니 정리가 성립하는데 적분범위가 모두 상수이면 푸비니 정

리가 성립합니다. 이 경우도 적분을 쉽게 할 수 있는 방향으로 만들어 적분을 하면 되고 삼중적분은 무슨 변

수로 먼저 적분을 해야 할지 잘 정해야 합니다. 하나의 변수를 적분하였을 때 평면상에 정사영을 한 구간을

잘 구할 수 있는 방향으로 먼저 적분을 하면 됩니다. 구간을 정하는 것이 어려울 수도 있으니 그래프를 직접

그려보는 것이 가장 좋은 방법이라고 생각하며 구간을 정하는 것은 많은 연습을 통해 해결해 나갈 수 있을

것입니다. 일반적인 영역에서 즉, 직육면체의 영역에 아닌 곳에서는 정사영을 보고 극좌표를 이용한 이중적분

을 사용하면 더욱 편한 경우가 있으니 치환적분에 대한 내용들도 정확하게 잡고 있어야 합니다.

[w8] 원기둥 좌표계는 극좌표와 비슷하게 나타낼 수 있는데 극좌표를 (r,t)로 표현하였다면 원기둥좌표는

(r,t,z)로 표현할 수 있습니다. 쉽게 말하면 극좌표에서 z축의 방향만 더했다고 보면 됩니다. 원기둥 좌표계는

적분하려는 영역이 원기둥의 일부일 때 쓰면 쉽게 풀이가 가능하고 원기둥좌표계로 변환을 하고 적분을 할

때 rdrdt로 변환을 해줘야하는 것은 극좌표계에서와 같습니다. 다음으로 구면좌표계는 (row,t,p)로 표현할 수

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있습니다. 각 기호가 나타내는 값은 로우는 점 P와 원점간의 거리, t는 원기둥좌표에서의 t와 같은 각, p는

양의 z축과 선분 OP가 이루는 각입니다. 원기둥좌표계나 구면좌표계를 사용하는 이유는 치환적분을 하기 위

해서인데 치환적분을 하는 경우 이유도 문제를 쉽게 풀이하기 위해서입니다. 치환적분시에는 변환되는 값들을

잘 확인하고 범위를 잘 나타내주면 됩니다. 치환적분을 하는데 배운 좌표계로 표현하기 힘든 경우에는 변수변

환을 하는 방법을 알아야 하는데 그 내용이 야코비안의 절댓값입니다. 야코비안의 값도 정해진 식을 풀이하면

어렵지 않게 구할 수 있으니 치환적분을 하는 경우에는 항상 생각을 하면서 풀면 됩니다.

[w9] 선적분은 선을 따라서 함수f를 적분하는 것인데 선을 매개변수로 표현해줘야 풀어나갈 수 있습니다. 이

전에 배운 내용들이 좌표계를 변환시키는 치환적분에 대한 내용들이였기에 선적분을 하기 위해선 좌표계의

변환이 자유로워야 쉽게 풀이가 가능합니다. 선적분을 구하는 공식은 있으니 어렵지 않게 풀어나갈 수 있으나

여러 개의 선들로 이루어진 문제에서는 그린정리를 이용하면 더욱 쉽게 선적분을 구할 수 있습니다. 그린 정

리란 닫힌 곡선에서 선적분을 이중적분으로 표현이 가능합니다. 즉, 영역을 표시해서 선적분을 면적분의 형태

로 풀 수 있는 것입니다. 여기서 그린정리를 사용하기 위해서 곡선이 닫힌곡선이여야 하며 함수가 벡터함수라

는 알아야 합니다. 결국 선적분을 더욱 쉽게 풀어나가기 위해서 그린정리가 나온 것이고 매개변수가 나오고

이중적분을 해야 하니 전에 배운 내용들이 모두 들어간 문제라고 볼 수 있습니다. 다음으로 면적분을 보면 주

어진 곡면 S를 적분을 하면되는데 면적분을 하는 공식들도 있어서 치환적분만 잘해주면 어렵지 않게 풀어나

갈 수 있을 것입니다. 면적분과 선적분의 연결된 스토크스 정리가 있는데 스토크스 정리는 쉽게 말해 그린정

리의 확장입니다. 그린정리는 선적분을 면적분(이중적분)으로만 바꿀 수 있었는데 그 이유가 그린 정리는 2차

원 평면에서만 일어나는 일이기에 곡면이 나올 수가 없습니다. 거기서 공간으로 확장한 것이 스토크스 정리인

것이며 스토크스의 정리에 따라 선적분과 면적분이 양방향으로 바꿀 수 있습니다. 여기서 면적분을 이용할 때

curlF라는 것을 명심해야 합니다. 스토크스 정리의 증명은 여러 교재에 많이 나와있고 설명하기에 난해한 부

분이 있어서 다른 교재를 참고하는 것이 좋을 듯합니다. 따라, 문제에서 스토크스정리가 성립하면 선적분이든

면적분이든 쉽게 풀 수 있는 방법으로 풀면 됩니다. 그린 정리나 스토크스 정리를 통해 문제를 풀어보면 치환

적분의 이중적분이나 삼중적분이 꼭 나오기 때문에 이 전에 배운 내용들이 중요시 된다는 것을 알 수 있었습

니다. 마지막으로 발산정리는 면적분을 삼중적분으로 바꾸어 주는 정리인데 여러 개의 면적분을 면들이 둘러

싼 입체에서 삼중적분으로 계산을 할 수 있습니다. 발산정리에서도 여러 개의 면적분을 구해야 하는 경우 가

있다면 발산정리를 통해 div F를 통한 삼중적분 한 번으로 해당 답을 얻을 수 있습니다. 이 경우도 양방향으

로 성립합니다. 이 내용들을 정리하자면 그린 정리는 여러 개의 선적분을 이중적분으로 계산할 수 있고 발산

정리는 여러 개의 면적분을 삼중적분으로 계산할 수 있으며 스토크스 정리는 선적분과 면적분의 연결이 되는

정리입니다.

앞서 배운 내용들을 정확하게 이해하고 있어야 w9 내용을 이해가 가능할 것입니다.

한 학기 안에 다변수미적분학을 배우는 것은 쉽지 않은 내용 이였지만 sage프로그램을 이용하여 시간을 단축

하고 학우님들이 올려주시는 다양한 open problem을 통해 다양하게 학습을 할 수 있었습니다. 다변수미적분

학을 배우면서 전체적인 부분을 바라볼 수 있었으며 다양한 학문에 응용이 가능할 것이라 판단합니다.

이번 보고서를 통해서 수학적 개념, 서술하는 방법, 학습하는 방법, 소통하는 방법, 보고서 작성 등 많은 것들

을 학습하였으며 추후에 모르는 내용들은 교수님의 전자책이나 PBL보고서를 통해 재학습이 가능할 것입니다.

이혜인 :

Name / e-mail (이름과 이-메일): 이*인 / h***n.yi@g.skku.edu

Team Project Title (Tentative, just idea now): 여러 유형의 문제은행 만들기

초록 : 단순히 숫자만 바꿔서 답이 달라지는 문제가 아닌, 유형이 다양한 문제를

통하여 AI에 접목시켜 문제은행을 만들어낸다. 만들어진 문제은행을 통하여 수학공부를

할 때 개념에 맞는 예제로 여러 가지 유형의 다양한 문제를 풀고 학습할 수 있게 된다.

연구방법 개요 : AI에 수학 개념과 응용된 형태의 문제들을 학습시켜서 다양한 유형의

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문제를 만들어낼 수 있게 하고, 난이도별 문제를 접해볼 수 있게 한다.

참고문헌/웹주소: http://www.newsrep.co.kr/news/articleView.html?idxno=78856

Ch 6장. ◆ Final comment after the report ◆ (10점)

*중간 PBL (검은 글씨) : 1학기에 했던 것과 동일하게 여름학기에도 QnA활동 후 PBL보고서 작성

을 시작하였습니다. 중간 PBL까지 한 달 정도밖에 안되었는데 4주차 동안 예습도 많았고 1학기에

비해 주차는 짧지만 수업 시간이 많기 때문에 그만큼 QnA활동도 많이 쌓였습니다. 학우들과 함께

QnA 게시판을 많이 활용하며 서로 잘 몰랐던, 헷갈렸던 부분들에 대해 다시 한 번 되짚고 넘어갈

수 있었습니다. 미적분학2로 넘어오면서 기존에 얕게 알고 있던 내용이 많이 심화되었고, 그로 인

해 개념이 많이 부족했었는데 학우들과 같이 토론하면서 각자의 부족한 부분도 함께 채워갈 수 있

다는 점이 이점인 것 같습니다. QnA 글 작성에 있어서 아무것도 몰랐던 1학기 초에 비해, 현재

여름학기는 비교적 수월했던 것 같습니다. 학습 내용이 갑자기 심화되어서 아직 이해가 되지 않는

부분도 있고, 전보다 많이 어렵지만, 1학기동안 해온 과정을 바탕으로 이번 여름학기도 잘 마무리

했으면 합니다.

*최종 PBL (파란 글씨) :

[5주차] 페르마의 임계점 정리로 이변수함수 f(x,y)가 (a,b)에서 극댓값 또는 극솟값을 갖

고, (a, b)에서 f의 1계 편도함수가 모두 존재하면 그래디언트f(a, b) = 0을 만족한다는

것을 알 수 있었습니다. 그리고 임계점이지만 극대도 극소도 될 수 없는 (a, b)를 f의 안

장점이라는 것을 배웠습니다.

[6주차] 이중적분의 성질, 푸비니 정리에 의해 함수 f가 폐직사각형 구간에서 연속이면 적

분 순서를 자유롭게 바꿀 수 있다는 것을 학습하였습니다. 일반영역에서의 이중적분 역시

푸비니 정리를 따름을 알 수 있었습니다.

[7주차] 극좌표계에서의 이중적분을 학습하고, sage로 극곡선(Polar Curve)들을 그린 후

그 영역의 넓이를 구할 수 있었습니다. 그리고 곡면적과 삼중적분에 대해서도 배웠으며

삼중적분 역시 푸비니정리가 성립함을 확인할 수 있었으며 sage로 실습하였습니다.

[8주차] 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분에 대해 배웠으며, 직교좌표와 극좌표

의 관계를 확인할 수 있었습니다. 원기둥 좌표계는 z좌표는 그대로 두고 x, y좌표를 r과

theta로 변경하여 적용합니다. 구면좌표계는 ( r, θ, ϕ )로 나타내며, T.transform명령어

로 원기둥좌표, 구면좌표를 직교좌표로 변환할 수 있음을 확인하였습니다. 구면좌표계에

서의 야코비안 유도 과정을 확인할 수 있었습니다.

[9주차] 벡터장, 회전, 발산에 대해 학습하였으며, 그래디언트 벡터장이란 스칼라함수의

그래디언트로 정의되는 벡터장을 의미하며, 회전(curl)이란 F가 속도 벡터장이면, curl F

는 유체가 가장 빨리 회전하는 축의 방향을 제시해주며, 그 크기는 회전의 속력을 나타냄

을 의미합니다. 그리고 발산이란, 점 p에서 div F는 유체가 p로부터 나가거나 p를 향해

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모이는 경향을 재고, div F = 0인 벡터장 F를 압축할 수 없는 벡터장이라고 합니다. 그

리고 선적분의 성질에 대해 학습하였고, 그린정리란 단순 닫힌 곡선을 따르는 선적분과,

그에 의해 둘러싸인 영역에서의 이중적분 사이의 관계를 말하며, P와 Q가 영역에서 연속

인 1계 편도함수를 갖는다면 성립하는 것을 확인할 수 있었습니다. 이어서 스토크스 정리

란 그린정리의 확장이며, 방향이 있는 곡면에서의 면적분과 경계곡선에서의 선적분을 연

결합니다. F = Pi + Qj + Rk는 단순닫힌곡선을 경계로 갖는 곡면에서 연속인 2계 편도함

수를 갖는 벡터장일 때 성립하는 것을 확인할 수 있었습니다. 마지막으로 가우스의 발산

정리는 전자기학이나 유체역학 등에서 중요한 방정식을 유도할 때 자주 쓰임을 알 수 있

었고, F의 성분 함수들이 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 할 때, 단위법선벡터가 곡면의

외부로 향한다면 성립하는 것을 확인할 수 있었습니다.

정신없이 중간고사를 치고, 또 바로 기말이 다가오는 10주가 생각보다는 짧았던 것 같습

니다. 벌써 여름학기의 최종 PBL을 정리하고 있고, 이번 여름학기 역시 1학기와 동일한

학습형태였지만 그 때와 지금을 비교해보자면 변화가 없지는 않은 것 같습니다. 한 주차

수업 후 직접 추가 학습 자료를 찾아보고 해당 내용의 배경을 이해하면서 매주 QnA에

글을 써왔고, 글을 쓴 파트에 대해서는 좀 더 이해하고 넘어갈 수 있었던 것 같습니다.

다른 학우들도 너나할 것 없이 그동안 각자 모두가 열심히 성실하게 활동을 잘 해왔고,

QnA에서 다른 학우들이 올려주는 많은 자료들을 참고할 수 있었기에 제가 성장할 수 있

었던 것 같습니다. 저에게 있어서 아직 수학은 어렵고 접근해야 할 갈래가 너무나도 많지

만 그래도 한 편으로는 1학기 초와 비교해서 그동안 많이 성장해온 것 같습니다. 이번 여

름학기는 open problem을 풀면서 다른 학우들이 공유해준 학습 자료들을 Re-Final 하

면서 이중적분, 삼중적분, 다양한 좌표계, 벡터장에 대해서 알아갈 수 있었고, 주차별 수

업 후 sage로 실습하며 학습하였는데 sage를 이용했기에 문제의 답을 구하는데 오래 걸

리지 않았던 것 같습니다. 그동안 QnA에 주차별로 학습 내용과 열린 문제를 공유하며 함

께 공부했던 학우들도 수고가 많았고, 이번 여름학기도 마무리를 잘 했으면 좋겠습니다.

윤관수:

Name / e-mail (이름과 이-메일): 윤*수

Team Project Title (Tentative, just idea now): 설비 설치위치 선정

초록: 나노 단위로 조작하는 설비는 설비를 설치할 때 수평이 가장중요하다. 그렇게

하기 위해서 설비를 설치할 바닥을 가장 평평한 곳을 선택해야하는데 등위곡면을

이용하여 바닥의 형태를 3차원 그래프로 그려 설비를 평평한 공간에 설치를 할 수

있게 한다.

연구방법 개요:

1. 설비를 설치할 장소의 바닥면을 등위곡선, 등위곡면을 이용하여 그래프로 그린다.

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2. 설비의 사이즈를 측정한다.

3. 설비의 사이즈에 맞는 평평한 위치를 등위곡선, 등위곡면 그래프에서 찾는다.

4. 해당위치에 설비를 설치한다.

5. 설비 사이즈에 평평한 공간이 없다면 곡면의 깊이를 확인해 그만큼 해당 설비의

높이를 높여 설치한다.

기대 / 효과

해당 등위곡면의 그래프를 가지고 설비의 사이즈만 알면 쉽게 설비배치를 할 수 있고

효율적인 설비배치에 따른 생산성 향상 기대.

Ch 6장. ◆ Final comment after this report ◆ (10점)

*중간 PBL (검은 글씨):

이번 여름학기 미분적분학2 중간 PBL을 작성은 기존 1학기 PBL 작성보다 쉽게 작성할 수 있었습

니다. 또한 문의게시판을 통해 다른 학생들과 직접 푼 내용과 실습을 통해 배운 내용들을 지난 학

기 때보다 자세하게 간단하게 공유했습니다.

처음 행렬과 벡터를 배울 때는 여러 기호와 어려운 단어들로 되어있어 약간의 두려움이 있었으나

막상 처음 책을 받아보고 미리 동영상 강의를 듣고 나서 수업에 임하니 쉽게 머리에 들어올 수 있

었습니다. 그리고 수업중에 교수님이 이야기하는 왜 수학을 배우는지에 대해서 알 수 있었습니다.

나중에 졸업을 하고 현업에 복귀 했을 때 회사에 최대의 이익과 최소의 손실을 줄 수 있는 방향을

찾을 수 있을 것 같습니다.

*최종 PBL (파란 글씨): (중간 PBL에 이어서 추가하시면 됩니다.)

여름 학기 10주차 수업이 모두 끝난 이 시점에서 Finnal PBL을 작성하면서 그동안에 다

른 학생들과 문의게시판으로 나눴던 토론의 내용을 정리하면서 다시 한번 여름학기 동안

배웠던 내용들을 정리 할 수 있었습니다. 1주차 행렬부터 8주차 푸비니 정리 9주차 그린

정리 , 스토크스 정리, 발산정리 모두 처음 강의를 통해 수업을 할 때는 많이 어렵고 이

해하기 어려웠었습니다. 하지만 토론을 통해 다시 한번 복습하고 이해 할 수 있었던 10주

였습니다. 8~9 주차에 배웠던 내용은 2학기에 있는 전자기학수업에서 활용 할 수 있도록

더 열심히 공부 하겠습니다.

수업중에 교수님께서 그린정리, 스토크스 정리 , 발산 정리를 다른 사람에게 간단하게 설

명을 해준다면 어떻게 해줄 것 이냐에 대한 답을 생각해 봤습니다.

그린정리 – 평면 영역 위의 이중 적분과, 그 영역의 경계선 위의 선적분 사이의 관계에

대한 정리

스토크스 정리 - 벡터장의 회전(Curl)을 면적분한 값은 그 곡면의 경계인 폐곡선에 벡터

장을 선적분한 값과 같다.

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스토크스 정리는 선적분을 면적분(회전)으로 면적분(회전)을 선적분으로 바꿀 때 유용하게

쓰인다.

발산 정리 - 공간에서 유체가 어떤 영역을 빠져나가는 양(발산)이 그 영역의 표면에서의

벡터장(벡터장의 면적분)과 같다.

또한 발산정리는 면적분을 체적적분(발산)으로 체적적분(발산)을 면적분으로 바꿀 때 유용

하게 쓰인다.

마지막으로 수업 초반에서는 맨 뒷자리에서 수업에 대한 참여가 적었지만 맨 앞자리로 자

리를 옮기고 나서 수업에 집중 할 수 있었습니다. 감사합니다.

추가로 다른 학생들이 작성한 각주차별 배운 내용에 대해서는 p78에 작성이 되어있어

final comment에서 따로 언급하지 않았습니다.

[미적분학 & 코딩] http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/

[다변수 미적분학 & 코딩] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/

Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee and Dr. Jae Hwa Lee

*This research was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant

funded by the Korea government(MSIT) (No. 2021R1F1A1046714)

and by Korea Initiative for fostering University of Research and Innovation Program of the

National Research Foundation (NRF) funded by the Korean government (MSIT)

(No.2020M3H1A1077095).