PBL Report (자기평가서, QnA 활동 상황 포함) 

2022년  여름학기 PBL Report (개인성찰 노트)

 Class: 다변수 미적분학(Multivariable Calculus)

              담당교수 : Sang-Gu LEE

과제함 Due day:  2022. 08. 12.  (in HW box in LMS)

Final PBL Report 

(발표) 8월17일  9:00-11:30

* Made by Name (이름) :   Kim**, Park**, Son**, Lee**, Rho**, Jun**, ... 

*Student Number (학번) : 2022**. ... 

*e-mail(이-메일): ***@g.skku.edu, ...

● 중간고사 – 검정색

● 기말고사 – 파란색

발표순서 : 

    본인이 작성한 부분 - 이름이 나오는 순서대로 내용 (최소 2분-최대 8분) 발표

- 2 -

[목차]

Ch 0장. 미적분을 배워야 하는 이유와 배운 뒤 느낀 점

(1) 미적분을 배워야 하는 이유

(2) 미적분학 실생활 활용

(3) 학습하면 느낀 점

Ch 1장. Participation [참여 평가] (10점)

 미적분학2 학습목표 및 핵심개념 

 

 

주차

학습 목표

핵심개념

0

선형대수학의 주요 개념

1

선형대수학의 기본 내용인 벡터, 행렬, 선

형연립방정식에 대해 학습한다.

벡터, 행렬, 선형연립방정식, 가우스 소거

법, 선형연립방정식의 해집합

2

벡터의 노름, 내적, 외적 

에서의 직선과 

평면의 방정식, 정사영에 대해 학습한다.

벡터의 노름, 내적, 외적, 직선의 방정식, 

평면의 방정식, 정사영

3

벡터함수의 극한, 도함수와 접선벡터의 개

념을 학습, 함수의 그래프가 공간상의 곡

면이 되는 것을 안다. 또한 다변수 함수의 

편미분에 대해 학습한다.

벡터함수, 공간곡선, 벡터함수의 미분과 적

분, 다변수 함수의 편미분

4

연쇄법칙과 방향도함수의 개념을 기초로 

하여 기울기벡터(Gradient vector)에 관하

여 학습한다.

연쇄법칙, 방향도함수 

기울기 벡터(Gradient vector)

5

이변수함수의 극대, 극소, 최대, 최소를 구

하는 방법을 학습한다.

이변수 함수의 극댓값, 극솟값, 최댓값, 최

솟값, *라그랑주의 승수법

6

정의역이 직사각형 영역일 때 이중적분과 

정의역이 일반적인 영역일 때 이중적분을 

학습하고 적분순서를 바꾸는 방법을 학습

한다.

직사각형 영역에서 이중적분, 일반적인 영

역 위에서 이중적분, 적분 순서 변경

7

극좌표계에서 이중적분과 삼중적분을 학습

한다.

극좌표에서 이중적분, 삼중적분

8

원기둥 좌표계에서의 삼중적분과 구면좌표

계에서의 삼중적분을 학습한다. 일부 삼중 

적분은 원기둥 좌표계 또는 구면좌표계를 

이용하면 계산이 수월해짐을 할 수 있다.

원기둥 좌표계에서의 삼중적분, 구면좌표

계에서의 삼중적분

9

벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전과 발산, 

스토크스 정리, 발산정리에 관하여 소개한

다.

벡터장, 선적분, 그린 정이, 회전, 발산, 스

토크스 정리, 발산정리

10

복소수와 복소함수에 관하여 소개한다.

복소수와 복소함수, 공학수학 소개

- 3 -

(1) 학습하며 배운 수학적 정의 및 개념 정리

 1. 선형대수학의 주요 개념 정리

 2. 순서쌍과 벡터

 3. 행렬(matrix)

 4. 행렬 연산(matrix operations) 

 5. 특수 행렬 (Special Matrices) 

 6. 선형연립방정식(System of Linear Equations) 

 7. 첨가행렬(Augmented Matrix) 

 8. 가우스 소거법(Gaussian Elimination) 

 9. 벡터의 노름(Norm)과 내적(Inner Product, Dot Product) 

 10. 방향각과 방향코사인(Direction Angle, Direction Cosine) 

 11. 벡터의 외적(Cross Product, Vector Product) 

 12. 직선의 방정식(Equations of Lines) 

 13. 평면의 방정식(Equations of Planes) 

 14. 정사영(Orthogonal Projection) 

 15. 코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식 

 16. 벡터함수(Vector Function)와 공간곡선(Space Curve) 

 17. 벡터함수의 극한과 연속(Limit and Continuity) 

 18. 벡터함수의 도함수와 적분(Derivative and Integral of Vector Function) 

 19. 곡선의 길이(Length of Curve, Arc length, length of a plane curve) 

 20. 곡률(Curvature) 

 21. 이차곡면(Quadratic Surface) 

 22. 다변수 함수(Functions of Several Variables)  

 23. 등위곡선(Level Curves)

 24. 이변수함수의 극한과 연속 

 25. 이변수함수의 편도함수(Partial Derivatives) 

 26. 클레로의 정리(Clairaut’s Theorem) 

 27. 편미분방정식 

 28. 주 단위 법선벡터, 종법선벡터(Principal Unit Normal, Binormal Vector) 

 29. 접평면(Tangent Plane) 과 선형근사(Linear Approximation) 

 30. 전미분(Total Differential, Total Derivative) 

 31. 이변수 함수의 연쇄법칙(Chain Rule) 

 32. 음함수 미분법(Differentiation of Implicit Function) 

 33. 방향도함수(Directional Derivative) 

 34. 기울기벡터(Gradient Vector) 

 35. 등위곡면에 대한 접평면(Tangent Plane Over Level Surface) 

 36. 헤시안 행렬(Hessian Matrix)

 37. 이변수함수의 극대, 극소(Local Maximum, Local Minimum)

 38. 행렬식(참고, 추후 선형대수학 과목에서 배움)

 39. 최댓값과 최솟값(Absolute Maximum and Absolute Minimum)

 40. 경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)

 41. 라그랑주의 승수법(Method of Lagrange Multipliers)

 42. 오차역전파(Back Propagation)

 43. 직사각형 영역에서의 이중적분(Double Integral in Rectangle Region)

 44. 이중적분에 대한 중점(Midpoint) 법칙

 45. 이중적분의 성질

 46. 푸비니 정리(Fubini)

 47. 일반영역에서의 이중적분(Double Integral over General Region)

 48. 이중적분에서 적분 순서의 결정 

 49. 적분 순서의 변경

 50. 일반영역에서 이중적분의 성질

 51. 극좌표계에서의 이중적분(Double integral in Polar Coordinate System)

 52. 곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이)

 53. 삼중 적분(Triple Integral)

 54. 삼중적분에 대한 푸비니(Fubini) 정리

 55. 일반적인 영역 E 위에서의 삼중적분 

- 4 -

 56. 삼중적분의 응용

 57. 원기둥 좌표계(Cylindrical Coordinates)

 58. 원기둥 좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Cylindrical Coordinates)

 59. 구면좌표계(Spherical Coordinates)

 60. 구면좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Spherical Coordinates)

 61. 다중적분에서의 변수변환(Change of Variables in Multiple Integrals)

 62. 야코비안(Jacobian)

 63. 벡터장(Vector Field)

 64. 회전(Curl)

 65. 발산(Divergence)

 66. 선적분(Line Integral)

 67. 그린 정리(Green’s Theorem)

 68. 스토크스 정리(Stokes’ Theorem) 

 69. 발산 정리(Divergence Theorem)

 70. 복소수(Complex Numbers) 

 71. 드무아브르의 정리(de Moiver’s theorem)

 72. 복소함수(complex function)

 73. 오일러의 항등식(Euler’s identity)

(2) 학습한 후 알고 / 할 수 있는 / 찾을 수 있는 것들 기술

 1. 벡터 행렬의 종류 및 성질 

 2. 벡터 행렬의 실생활 적용 

 3. 행렬의 곱 

 4. 가우스 소거법, RREF 

 5. 첨가행렬 

 6. 선형연립방정식 

 7. Ax = b의 해집합(S) 

 8. 5차 행렬의 역행렬

 9. 스칼라 삼중곱 

 10. 벡터의 노름, 내적, 외적 

 11. 정사영(Orthogonal Projection) 

 12. 벡터함수의 도함수와 이계도함수 

 13. 접선벡터와 곡률 

 14. 이차곡면 

 15. 최소제곱해 

 16. 등위곡선 

 17. 음함수의 미분법

 18. 푸비니의 정리

 19. 극좌표계에서의 이중적분

 20. 좌표계의 종류

 21. 삼중적분

 22. 삼중적분의 활용

(3) 토론 / QnA에 의미 있는 댓글 / 답변 / 토론 기재

 1. 행렬의 곱 

 2. 선형연립방정식 Ax = b의 해집합 

 3. 스칼라 삼중곱

 4. 삼중적분의 기하학적인 의미

 5. 푸비니의 정리

(4) open problem(W1~W4)

 1주차. 벡터, 행렬, 선형연립방정식

- 5 -

  ◩ 열린 문제 1 – 행렬연산

  ◩ 열린 문제 2 - 전치행렬, 역행렬 존재

  ◩ 열린 문제 3 - 선형연립방정식의 해

  ◩ 열린 문제 4 - Ax = b의 해집합

 2주차. 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영(Projection)

  ◩ 열린 문제 1 - IIaII, IIbII, a·b, a와 b가 이루는 사잇각 θ

  ◩ 열린 문제 2 - 방향코사인

  ◩ 열린 문제 3 - a×b, a·(b×c) 성립

  ◩ 열린 문제 4 - 직선과 평면의 방정식

  ◩ 열린 문제 5 - 최단거리

 3주차. 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분

  ◩ 열린 문제 1 - 곡률, 곡선의 길이 근사값

  ◩ 열린 문제 2 - 이차곡면

  ◩ 열린 문제 3 - 등위곡선, 등위곡면

  ◩ 열린 문제 4 - 편도함수

  ◩ 열린 문제 5 - f_xxyz, f_yxzx

 4주차 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터

  ◩ 열린 문제 1 - P(x, y, z) = 0 꼴의 음함수, 편도함수

  ◩ 열린 문제 2 - 그레이디언트 방향

 5주차. 이변수함수의 극대 극소, 최대 최소

◩ 열린 문제 1 다른 교재를 참고하여 다양한 이변수함수 (또는 3변수함수)의 극댓값, 극솟값, 또는 안장점을 

(임계점과 Hessian 행렬 H, 그리고 각 임계점에서의 Hessian 행렬의 고윳값을 찾는 H.eigenvalues() 명령어

를 이용하여) 구하여라.

◩ 열린 문제 2 라그랑주의 승수법을 이용하여 방정식 

을 만족하는 함수 

의 최댓값과 최솟값을 

 코드를 활용하여 구해보시오. 

6주차. 이중적분

◩ 열린 문제 1 다른 교재나 본인 전공에서 접하는 식이나 문제를 활용하여 폐(closed) 직사각형구간위에서 

정의된 연속함수에 대한 이중적분을 구해보자.

◩ 열린 문제 2  다른 교재의 문제 중 두 함수에 의하여 둘러쌓인(enclosed)인 일반 영역 

에서 정의된 연

속함수에 대한 이중적분을 풀어보자.

◩ 열린 문제 3  예제 11번과 유사한 연속인 이변수함수를 골라서, (Fubini 정리를 이용하여) 이중적분에서 

적분순서를 바꾸어 보고, 두 적분의 결과값이 같다는 것을 확인하여라.

◩ 열린 문제 4  구간 

에서 상수함수 

일 때 이것을 적분하면 

의 길이를 구할 수 있다. 영역 

에서 상수함수 

을 적분하면 

가 되어 영역 

의 면적(area)을 구할 수 

있다. 영역 

에서 상수함수 

을 적분하면 

가 된다. 이 삼중적분의 기하학적인 의

미는 무엇인가?

[Week 6 과제] 위의 열린 문제들을 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의 게시판)

에 공유하고 토론하시오.

7주차 극좌표계에서 이중적분, 삼중적분

◩ 열린 문제 1  다양한 극곡선(Polar Curve)들을 그려보고, 이 곡선들이 만드는 영역의 넓이를 구해보자. 

◩ 열린 문제 2  이번 절에서 학습한 이변수 함수와 관련한 곡면적(Surface Area) 구하는 유사한 문제를 찾

아서 실습해보시오.  

6

◩ 열린 문제 3  삼중적분(Triple Integral) 에 대한 푸비니(Fubini) 정리가 직육면체 영역인 

에서 정의된 

연속함수에 대한 다른 삼중적분 문제에 대해서도 성립함을 확인하시오.  

◩ 열린 문제 4  몇 가지 삼중적분의 문제를 찾아서 앞에서 배운 코드를 이용하여 삼중적분의 값을 구해보시

오.

8주차. 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분

◩ 열린 문제 1  다른 교재의 문제 중 구면좌표의 한 점을 직교좌표 

로 나타내어라. 

◩ 열린 문제 2  구면좌표계(Spherical Coordinate)에서의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

 

[예] 변수변환 

 가 다음과 같이 주어진 경우 

                  

,   

,   

의 야코비안은 다음과 같다.

          

                    

   ■

◩ 열린 문제 3  함수 

의 야코비안(Jacobian)을 유도하라.

[Week 8 과제] 위의 열린 문제를 풀어본 후, 본인이 요약/실습/질문/답변한 내용을 Q&A(문의게시판)에 

공유하시오

9주차. 벡터 미적분학(Vector Calculus)

◩ 열린 문제 1 

를 구하라. 여기서 

이고, 

는 원기둥 

 내부에 놓인 평면 

의 영역(area)이다.

◩ 열린 문제 2 원기둥 곡면 

와 평면 

에 의해 둘러싸인 제 1팔분공간(first octant)의 영역 

에서 아래 발산 정리(divergence theorem)가 성립함을 확인하라.

              

  (이때 

)

10주차. 복소수와 복소함수

◩ 열린 문제 1 임의로 복소수를 생성하여 다양한 복소수 연산과 극형식을 구해보시오. 

7

Ch 2장. Participation (참여부분, 정량) 자기 평가와 본인의 

Project (Term paper) 제안서 등에 대해 아래를 채우시오.  (20점)

(1) QnA 참여횟수

(2) 내가 할 수 있는 내용

(3) 개인/동료와 같이 ‘본’강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점

Ch 3장. Self Evaluation 1. (개인 성찰 노트)  (10점)

(1) 개인 성찰 노트

(2) 개인 성찰 노트 평가

(3) 동료 평가

Ch 4장. PBL Participation/Activity Part  (30점)

       (4장. 학습활동 참여 부분 ) 

 1. 행렬의 종류와 주요성질

 2. 벡터와 행렬의 실생활 

 3. 행렬의 곱 

 4. 기약행 사다리꼴 

 5. 선형연립방정식 

 6. 벡터의 행렬정리 및 선형연립방정식 Ax = b 해집합 

 7. 5차 행렬의 역행렬 및 전치행렬 계산법  

 8. 스칼라 삼중곱  

 9. 벡터의 노름, 내적, 외적 

Ch 5장.  [Project 제안서] Your Project 제목, 동기, 방법론, 참고문헌 

[아이디어와 Draft]   (10점)

Ch 6장. ◆ Final comment the Final PBL report ◆  (10점)

8

■ 미적분학의 구성 [참고] http://matrix.skku.ac.kr/calculus-map/  by 전형준 

9

Ch 0장. 미적분을 배워야하는 이유와 배운 뒤 느낀점 by 김태환

(1) 미적분을 배워야하는 이유

 제가 인문계 고등학교 문과를 나왔지만 문과에서도 배우는 수학2의 경우에도 함수가 미적분의 내용을 전개

하기 위한 출발점과 같기에, 함수에 대한 기본적인 지식들을 배우는 필수 과정이었습니다. 이렇게 학습한 지

수, 로그, 삼각함수와 미적분을 섞어서 다양한 내용을 통합하면서 심화를 시킨 주제가 미적분입니다. 그런고

로 미적분은 학교 수학의 정점에 위치한다고 볼 수 있습니다.

 미적분은 수학의 전공 주제 중 해석학에 해당한다고 합니다. 그렇지만 미적분을 배우기 위해서는 함수식의 

대수적인 처리(Algebra)가 필요하고, 곡선으로 둘러싸인 부분이나 도형의 넓이를 적분으로 기하적(Geometry)

인 요소도 필요합니다. 그래서 학습할 때 이전에 다루었던 문자와 식(대수), 함수, 기하에 대한 방법들을 다시 

돌아보는 것이 중요한데 처음 학습할 땐 이런 부분들의 기초가 전혀 안 잡혀있어 힘들었습니다.

 미적분의 특징으로는 우리가 경험하는 다양한 운동과 변화 현상에 대해 생각해보면 자연에서의 밀물과 썰물, 

낙하하는 물체나 달리는 자동차의 속도, 경제에서 물가의 변동 등등 수많은 ‘변화’ 현상에는 질서와 규칙이 

내포되어 있습니다. 함수는 이렇게 증가하고 감소하는 변화 상태로부터 규칙을 찾아냅니다. 이는 수학적으로 

다루기 위함인데 이런 함수의 변화를 다루는 것이 바로 미적분입니다. 미적분은 이렇게 굉장히 역동적인 수학

이라고 볼 수 있습니다.

 미적분을 배워야 하는 이유는 활용도가 매우 높습니다. 특히 자연과학, 공학, 사회과학, 

경제학 등에서 굉장히 활용도가 높고, 그래서 수학의 가치와 유용성을 효과적으로 경험할 

수 있어야 합니다. 미분의 가장 대표적인 활용의 예는 교수님께서 여름학기가 시작하고 

다변수 미적분학(Multivariable Calculus)을 배우기 시작하면서부터 강조하셨던 미분 방

정식입니다. 학문적 측면에서 미분이 가장 잘 활용되는 것이 미분방정식입니다. 아직 배

우진 않았지만 전자기학의 맥스웰 방정식, 양자역학의 슈뢰딩거 방정식, 유체역학의 나비

에-스토크스 방정식, 아인슈타인의 장 방정식 등 모두 다양한 미분방정식이 토대로 사용

된 방정식들입니다.

 이런 미분 방정식의 활용 범위는 매우 넓고 다양합니다. 실제로 일어나는 여러 현상을 

표현하는데 사용합니다. 대표적으로 일기예보에서 가장 중요한 역할을 하는데, 날씨를 예

측하기 위해 온도와 습도, 풍속과 풍향, 기압과 강수량 등의 요소를 초기 값으로 하고 시

간에 대한 미분방정식을 세워 구합니다. 또한 금융시장의 변동을 분석하거나 환율, 금리, 

주가 등의 예측 할 때도 사용합니다. 마지막으로 유체역학, 건축학, 전자기학을 비롯한 대

부분의 공학 분야와, 물리학, 화학, 경제학, 경영학 등 다양한 학문 분야를 연구하는 가장 

핵심적인 도구입니다.

(2) 미적분학 실생활 활용

 앞서 서술한 것과 같이 미분은 움직이고 변화하는 대상의 ‘순간적인 변화’를 의미하고, 적분은 곡선으로 둘

러싸인 부분의 넓이를 구하는 것을 말합니다. 이 두 가지 공식 모두 눈에 띄게 실생활에 많이 적용되어 사용 

중입니다.

 미분은 “순간적 변화”를 설명하는 도구인 만큼 달리고 있는 사람의 속력변화, 따뜻한 음료가 식어갈 때 온도

변화, 그리고 지구 주변을 도는 행성의 움직임 등 계속해서 변화하는 현상을 표현할 수 있습니다. 즉, 계속해

서 변화해 가는 일정한 값을 구할 때 미분의 실생활 적용이 가능해지는 것입니다. 대표적인 적용예시는 저도 

처음 듣고 놀랐었는데 영화 제작에도 사용됩니다. 영화제작 전에 작가들이 먼저 그림으로 대략적인 스케치를 

하는데 이렇게 작가들이 그린 그림을 미분공식으로 수식 화하여 수작업 시간을 줄어들게 하는 제작방법에 사

용됩니다. 수식화된 그림의 경우 크기가 변화하거나 동작의 변화가 생겨도 선이 어떻게 이어질지 예측할 수 

있다고 합니다. 따라서 그림을 하나만 그리더라도 다양한 그림과 움직임을 표현할 수 있게 된 것입니다. 이렇

게 하면 제작 기간과 제작비용을 아낄 수 있다는 점이 가장 큰 장점인 것 같습니다. 이 밖에도 유체운동 방

정식을 활용한 컴퓨터 그래픽을 표현한 CG가 들어간 영화 등에서도 미분 공식은 다양하게 적용되고 활용되

고 있습니다. 이 밖에도 제가 좋아하는 야구에서 투수가 던지는 공의 속도를 순간변화율을 측정해 선수별 능

력치를 자료화하고 이런 운동의 효율성을 높이는 의상과 기구가 만들어질 수 있는 이유도 미분 덕분입니다. 

10

이 외에도 과속 단속 카메라나 포토샵, 그리고 건축학에서도 사용될 만큼 우리 주변이 수많은 현상에 적용된 

것이 미분이라고 할 수 있습니다.

 적분은 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 것에서부터 시작된 수학 공식

입니다. 적분의 실생활 적용 예를 거슬러 올라가면, 적분의 시초를 알 수 있는

데, 17세기 초 천문학자인 케플러는 포도주 통을 보며 포도주 통의 특성상 실제 

양과 높이가 정확히 비례하지 않았습니다. 그래서 생각해낸 대안이 입체도형을 

무수한 단면으로 나누어 모두 더하는 것이었습니다. 이것이 바로 적분의 시초가 

되었다고 합니다. 직선이 아닌 곡선이나 곡면으로 이루어진 대상들의 길이와 넓

이, 부피를 간편하게 구할 수 있는 실생활에서 시작된 적분의 시초가 된 셈입니

다. 적분 역시 일상에서 쉽게 만나볼 수 있는데 언론에 보도되는 로켓 발사 후 

지상으로부터 로켓의 높이를 구해 보도되는 값 역시 적분을 적용해 구해내는 것

이며, CT 촬영에서도 역시 터널처럼 둥근 기계에 들어갔다 나오면 무수한 개수

로 나누어진 단면 영상이 재구성되어 3차원적으로 인체 내부를 구현할 수 있게 

하는 적분의 원리입니다. 또한 건축학 분야에서도 굉장히 많이 활용되는데 울퉁

불퉁한 원래 땅의 일부는 깎아내야 하며, 일부는 쌓아야 평평한 도로를 조성할 

수 있기에 적분이 적용됩니다. 적분의 개념이 활용되는 유도곡선을 이용해 최적

화된 도로의 계획 높이를 결정할 수 있고 흙은 옮기는 장비의 종류와 운반 거리 

등을 미리 계획해 자본을 최소화할 수 있습니다. 이렇게 미분과 적분은 순수수

학은 물론 물리학이나 의학, 사회학과 컴퓨터 그래픽 영역까지 다양하게 활용되

고 있습니다.

(3) 학습하면 느낀 점

 5달 전 3월에 개봉했던 최민식 배우님 주연의 영화 ‘이상한 나라의 수학

자’라는 영화를 관람했습니다. 영화 장면 중 가장 기억에 남는 것이 교재 10주차 복소수와 복소

함수 / 공학수학 소개 단원에 가장 마지막에 나와 있던 [박사가 사랑한 수식] 오일러의 항등식(Euler’s 

identity)에 관한 장면이었는데 세상에 있는 모든 증가하는 양을 나타낼 수 있는 자연 상수 e와 모든 회전체

의 원의 지름에 대한 원주의 비율을 나타내는 원주율π, 그리고 복소수인 i가 가장 간단한 숫자인 0과 1로 표

현되는 식입니다. 영화에서는 자연상수 e는 판매 중인 제품의 수량으로 원주율 π는 회전하고 있는 자전거 바

퀴로 그리고 복소수인 i는 저희가 자주 사용하는 와이파이(wi-fi)로 영화 장면을 표현하여 가장 기억에 남았습

니다. 

  수학이 일상생활에 모든 것에 적용되어 사용되고 있다는 것을 장면 하나로 강렬하게 표현한 것 같습니다. 

마침 10주차 마지막에 이 오일러의 항등식이 나와 영화 장면이 떠올랐고 우리가 살아가는 세상의 모든 것을 

수학으로 표현할 수 있을 만큼 넓은 분야에 쓰이고 있는 이 필수적인 학문 미적분학을 꼭 배워야 하는 이유

와 실생활에 적용된 예를 적어보고 또한 제 생각을 적어보는 것이 최종 PBL의 첫 시작을 알리는 대목에 포

함되는 것이 좋겠다는 생각이 들어 Chapter에 추가하였습니다.

 

11

Ch 1장. Participation [참여 평가] (10점) 

(1) State more than 10 Math Definitions and concepts what 

you learned in this semester.               by 노영규 

(1) 한 학기 동안 배운 10개 이상의 수학 정의와 개념을 기술합니다.

주차 

진 도 

비 고 (교안/실습실) 

1 

 다변수미적분 강좌 소개  

 벡터와 행렬, 선형연립방정식  

 가우스 소거법, 선형연립방정식의 해집합 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W1/ 

 

2 

 3차원 좌표계, 3차원 벡터, 내적, 외적 

3차원 공간에서의 직선 및 평면의 방정식 

 벡터함수와 공간곡선 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/ 

 

3 

 벡터함수의 미분과 적분 

다변수함수, 극한과 연속, 편도함수 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/ 

 

4-1 

 접평면과 선형근사, 연쇄 법칙,  

 방향 도함수와 그래디언트 벡터 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W4/ 

 

4-2 

           발표평가/중간고사 

http://matrix.skku.ac.kr/PBL2/ 

5 

  다변수 함수의 극대, 극소, 최댓값과 최

솟값 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5/ 

 

6 

 직사각형 위에서의 이중 적분 

일반적인 영역 위에서의 이중 적분 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/ 

 

7 

 극 좌표에서의 이중 적분 

삼중 적분 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/ 

 

8 

원기둥 좌표에서의 삼중 적분 

 구면 좌표에서의 삼중 적분 

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/ 

 

9 

벡터장, 선적분, 그린 정리, 회전, 발산, 면

적분, 스토크스 정리, 발산정리  

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W9/ 

 

10 

복소수와 복소함수 / 공학수학 소개    

프로젝트 발표   

http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W10/ 

http://matrix.skku.ac.kr/PBL2/ 

10-1 

[종합평가] PBL 보고서 / Project 발표 / 기말고사

12

1주차 다변수미적분 강좌소개, 벡터와 행렬, 선형연립방정식, 가우스 소거법,선형

연립방정식의 해집합

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W1/

1.0 선형대수학의 주요 개념

[벡터, vector]  힘, 속도, 가속도 등과 같이 크기와 방향을 포함하는 대상. 

                

차원 공간의 벡터는 

으로 표현한다. 

[벡터공간, vector space]  집합 

에 덧셈( 

)과 스칼라배( 

)의 

2가지 연산이 정의되고, 이 두 연산에 대하여 닫혀 있으며, 

8개의 연산 성질을 만족하면 

을 벡터공간이라 한다.  

[부분공간, subspace]  벡터공간 

의 

이 아닌 

부분집합 

가 다시 벡터공간이 될 때, 

를 

의 부분공간이라 한다. 

[부분공간 test]  벡터공간 

의 

이 아닌 

부분집합 

가 

의 부분공간이기 위해서는 

임의의 두 벡터 

와 임의의 실수 

에 대하여, 

, 

을 만족하면 된다. 

[일차결합, linear combination]  

에 대하여 

의 일차결합은 

        

  ( 

)으로 표현되는 

를 말한다. 

[일차결합들의 집합, span]  

 

 [일차독립, linear independence]  

이 일차독립 

    

   

 이면 

 

[일차종속, linear dependence]  

이 일차종속 

   

  모두는 0이 아닌 스칼라 

이 존재하여 

 

 [기저, basis]  

가 벡터공간 

의 기저 

 

가 일차독립이고 

 

[차원, dimension]  벡터공간 

의 차원은 

의 기저 

를 이루는 벡터의 개수. 

dim 

 

 [행공간, row space]  행렬 

의 행벡터들의 일차결합을 모두 모은 집합. Row( 

) 

                

의 행공간 

 

[열공간, column space]  행렬 

의 열벡터들의 일차결합을 모두 모은 집합. Col( 

) 

               

의 열(column)공간 

 

[계수, rank] 행렬 

의 열(column)공간의 차원. 

rank( 

) 

dim Row( 

)=dim Col( 

) 

13

rank( 

) = 일차독립인 행(열)의 개수 

 RREF( 

)안의 선행성분 1(leading 1) 의 개수. 

 

* [해공간, solution space] 연립방정식 

의 해들의 집합 = null space( 

) 

                         null space( 

)의 차원 = nullity( 

) 

 [Rank-Nullity 정리]  

행렬 

에 대하여 rank( 

) 

nullity( 

) 

           

[행렬식(determinant)과 고윳값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvaector)]

1.1 순서쌍과 벡터(Vector)

데이터는 순서쌍(ordered pair, 순서조 

-tuple)으로 표현할 수 있다.

특히 성분이 2개(3개)로 이루어진 2차원(3차원) 데이터는 좌표평면(좌표공간) 위의 

한 점을 나타낸다. 마찬가지로 4차원 이상의 데이터는 우리 눈으로 볼 수 있도록 

시각화할 수는 없지만, 고차원 공간상에 놓인 점이라고 볼 수 있다. 

예를 들어, 아래 왼쪽 그림에서 

, 

를 성분으로 하는 

데이터 

는 좌표평면 위의 한 점 

를 나타낸다. 

이때 시작점을 원점 

, 끝점을 

로 하는 화살표로 나타낸 것을 벡터(vector)라 하고 

로 표기한다. 그리고 벡터를 이루는 각각의 성분은 하나의 숫자로 

이루어져 있는데 이를 스칼라(scalar)라고 한다.

  

            

 

 

같은 방법으로 

개의 실수 

, ..., 

을 성분으로 하는 벡터를 

와 같이 표기할 수 있다. 이를 

차원 벡터라 한다. 

그리고 

차원 벡터 전체의 집합을 

차원 공간( 

-dimensional space)이라 하고

으로 나타낸다. 

특히, 모든 성분이 0인 벡터를 영벡터(zero vector)라고 하며 

으로 나타낸다. 

두 벡터 

와 

에 대하여 대응하는 성분이 모두 같으면,

즉 

에 대하여 

이면 

와 

는 서로 같다(equal)고 하고 

로 나타낸다. 

 

벡터에는 다음과 같은 연산이 정의된다.  

(1) 덧셈(vector addition): 두 벡터 

, 

에 대하여  

,    

  

(2) 실수배(scalar multiplication): 실수 

와 벡터 

에 대하여   

,    

 

14

 특히, 

로 나타내며, 

로 정의한다. 

를 

의 음벡터(negative vector)라 한다. 

 

벡터의 덧셈과 실수배에 관하여 다음이 성립한다. 

, 

, 

는 

의 벡터이고, 

, 

는 스칼라이다. 

① 

                  (덧셈의 교환법칙) 

② 

         (덧셈의 결합법칙) 

③ 

               (덧셈에 대한 항등원) 

④ 

        (덧셈에 대한 역원) 

⑤ 

             (분배법칙) 

⑥ 

             (분배법칙) 

⑦ 

 

⑧ 

1.2 행렬(Matrix)

상의 벡터 

는 마치 1

n 행렬 

로 

간주 할 수 있거나 혹은 n

1 행렬 

로 간주할 수 있다.

 

즉 행렬은 벡터를 여러 개 쌓아서 만든 것이라고 이해 할 수 있습니다.

가로를 행(row), 세로를 열(column)이라 하고, 행의 개수가 m, 

열의 개수가 n인 행렬의 크기를 m

n인 행렬이라고 한다. 

따라서 벡터는 1

n 행렬(행벡터) 또는 n

1 행렬(열벡터)로 이해할 수 있다.

행렬은 

로 나타내고 

는 행렬 

의 

번째 행과 

번째 열에 위치한 성분을 

나타내는 것으로 행렬 

의 

성분이라고 한다.

행렬의 종류

정사각행렬(또는 정방행렬, square matrix)이라고 한다.  

 

                        

 

 

이때 행의 번호와 열의 번호가 같은 위치에 놓인 성분 

을 

행렬 

의 주대각선(main diagonal) 성분이라고 한다. 

15

특히 주대각선 성분 이외의 

모든 성분이 

인 정사각행렬을 대각선행렬(diagonal matrix)이라 한다. 

주대각선 성분이 

인 대각선행렬 diag 

은 

다음과 같이 쓴다. 

 

 diag 

 

 

모든 성분이 

인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 하고 

로 나타낸다. 

다음은 다양한 크기의 영행렬이다.  

 

                             

, 

, 

, 

 

 

만일 

의 두 행렬 

, 

에 대하여 대응하는 성분들(corresponding elements)이

모두 같으면, 즉 

, 

에 대해 

이면, 

와 

는 서로 같다(equal)고 하고 

로 나타낸다.

[스칼라(scalar)]

벡터를 이루는 각각의 성분은 하나의 숫자로 이루어져 있는데 이를 스칼라(scalar)라고 한다.

[행렬의 종류]

- 행렬

- 정사각행렬(square matrix)

다음과 같이 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 이라고 한다.  

 

                        

16

1.3 행렬 연산(Matrix Operations)

덧셈(addition) : 

 행렬 

, 

에 대하여 

와 

의 합(sum)은 같은 위치에 있는 성분끼리의 합 

으로 정의된다. 

그러므로 크기가 서로 다른 행렬끼리는 더할 수 없다. 

 

, 

 

 

실수배(scalar multiple) : 

 행렬

와 스칼라 

의 곱(product)은

로 정의된다. 

 

, 

 

특히, 

로 나타내며, 

로 정의한다. 

행렬곱셈(matrix product) : 

행렬 

와 

행렬 

의 곱(product) 

는 

 성분이 다음과 같이 정의되는 

행렬이다. 

  

 ( 

, 

) 

 

세종대왕의 ‘ㄱ’자 법칙을 이용한 행렬곱셈 예제

출처 : https://bskyvision.com/500

 

행렬 곱셈시 주의사항

 1) 앞의 행렬의 열의 개수와 뒤의 행렬의 행의 개수가 같아야 한다.

17

 

행렬 곱셈시 주의사항 : 그림1 과 같이 p가 동일 해야됨.

 

<그림 1>에서 p가 동일하지 않을 때 예시

 

2) 교환법칙이 성립하지 않는다.

 하기 예시를 보면 

가 성립하지 않음을 알 수 있다. 

 단, 

는 성립 (I는 단위행렬) 

전치행렬(transpose matrix): 행렬 

의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬을 

의 전치행렬이라 하고 

로 나타낸다. 

예를 들어, 

가 

 행렬이면 

는 

의 행렬이 된다.  

 

 

          

       

 

    

       

            

      

           

      

 

대각합(Trace) : 정사각행렬 

의 대각합은 

주대각선성분들의 합으로 다음과 같이 정의된다. 

 

   

  

18

행렬의 덧셈, 실수배, 곱셈에 대하여 다음이 성립한다. 

이때 

는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, 

는 스칼라이다. 

① 

 (덧셈의 교환법칙) 

② 

 (덧셈의 결합법칙) 

③ 

, 

 (덧셈에 대한 항등원, 역원) 

④ 

 (곱셈의 결합법칙) 

⑤ 

 (분배법칙) 

⑥ 

 (분배법칙) 

⑦ 

 

⑧ 

 

⑨ 

 

⑩ 

 

⑪ 

1.4 특수 행렬(Special Matrices)

(1) 단위행렬(identity matrix): 주대각선성분이 모두 1인 대각선 행렬로 

으로 나타낸다. 

 

                                

 

 

단위행렬은 행렬의 곱셈에 대한 항등원 역할을 한다. 즉 다음이 성립한다. 

 

                       

 행렬 

에 대하여 

 

 

(2) 스칼라행렬(scalar matrix) : 주대각선성분이 모두 

인 대각선 행렬로 

로 나타낸다. 

 

                  

,      

 

 

(3) 하삼각행렬(lower triangular matrix) : 주대각선 위의 모든 성분이 0인 

정사각행렬을 말한다. 

(4) 상삼각행렬(upper triangular matrix) : 주대각선 아래 모든 성분이 0인 

정사각행렬을 말한다. 예를 들어, 일반적인 

 삼각행렬은 다음과 같은 형태이다. 

 

19

   

       

 

 

(5) 대칭행렬과 반대칭행렬 : 정사각행렬 

가 

를 만족할 때, 

를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고, 

을 만족하면 

를 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이라 한다. 

 

 

: 대칭행렬,      

: 반대칭행렬 

 

임의의 정사각행렬 

에 대하여 

는 대칭행렬이 되고,

 

는 반대칭행렬이 된다. 이를 활용하면 모든 정사각행렬 

는 

다음과 같이 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 유일하게 분해된다. 

 

 

 

 

(6) 역행렬(inverse matrix):  

 정사각행렬 

에 대하여 

다음을 만족하는 행렬 

가 존재하면 

는 가역(invertible, nonsingular)행렬이라고 한다. 

  

 

이때 

를 

의 역행렬(inverse matrix)이라 하며, 

로 나타낸다. 이러한 

가 존재하지 않으면 

는 비가역(noninvertible) 또는 

특이행렬(singular matrix)이라고 한다.  

역행렬과 일차연립방정식 관계

즉 역행렬이 존재하면 특수해를 구할 수 있고, 

존재하지 않으면 해가 없거나 해가 무수히 많다.

20

 일반적으로 

의 정사각행렬 

가 가역(역행렬이 존재)이고 

가 

이 아닌 스칼라일 때, 다음이 성립한다.  

① 

은 가역이고, 

이다. 

② 

는 가역이고, 

이다. 

③ 

는 가역이고, 

이다. 

④ 

           [증명: 

 

] 

1.5 선형연립방정식(System of Linear Equations) 

다음과 같이 미지수 

와 

에 관하여 일차식으로 표현되는 방정식을 

, 

에 관한 일차방정식(一次方程式, linear equation) 또는 

선형방정식(線型方程式)이라고 한다. 

 

다음과 같이 미지수 

, 

에 관한 유한 개의 선형방정식의 모임을 

선형연립방정식(System of Linear Equations)이라고 한다.   

 

 

그리고 선형연립방정식의 해는 모든 선형방정식을 

동시에 만족하는 

의 값과 

의 값(또는 순서쌍 

)을 말한다. 

한 개의 선형방정식은 좌표평면에서 하나의 직선을 나타내므로, 

위의 선형연립방정식의 경우, 

두 직선의 교점을 나타내는 순서쌍 

이 바로 해가 된다.  

미지수가 2개인 선형연립방정식의 해집합은 다음과 같이 세 가지 경우가 존재한다. 

 

①

(유일해)    ②

(무수히 많은 해) ③

(해가 없음) 

 

 

 

 

마찬가지로, 일반적으로 ( 

개의 미지수를 가진) 선형연립방정식은 

다음 중 하나만(one and only one)을 만족한다. 

① 유일한 해를 갖는다.   ② 무수히 많은 해를 갖는다. ③ 해를 갖지 않는다. 

21

1.6 첨가행렬(Augmented Matrix) 

선형연립방정식은 행렬을 이용하여 표현할 수 있다. 

다음과 같이 

개의 미지수를 갖는 

개의 선형방정식에 대하여 

벡터를 이용하여 표기하면 다음과 같다.   

 

 

이를 행렬의 곱을 이용하여 표현하면  

 

 

 

 

가 된다. 따라서 

   

, 

, 

 

 

라 놓으면 선형연립방정식은 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다. 

 

 

 

이때 행렬 

를 선형연립방정식 (1)의 계수행렬(coefficient matrix)이라 하며, 

에 

를 붙여서 만든 행렬 

 

  

 

 

을 선형연립방정식 (1)의 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.

계수행렬이 가역인 경우, 역행렬을 이용하여 선형연립방정식의 해를 구할 수 있다.

(계수행렬이 가역인 선형연립방정식의 해) 

차의 정사각행렬 

가 가역이고 

가 

의 벡터일 때, 

연립방정식 

는 유일해 

를 갖는다. 

22

1.7 가우스 소거법(Gaussian Elimination)

A = matrix([[2, -3, 1], [7, 1, -2], [1, 4, 3]])  # 계수행렬

b = vector([10, 1, -9])     # 상수항 벡터

A.augment(b).rref()     # 첨가행렬의 RREF, # RREF( [A : b] )RREF=기약행사다리꼴

선형연립방정식의 특수해 구하기 (Ax=b 에서 특수해 구하기) 즉, S=Xo+Sh 에서 Xo 구하기

A = matrix([[3, -2, 1, -1, 5], [2, 1, -2, 3, 0], [1, 5, 4, -7, 1]])

b = vector([1, 23, -17])

A.solve_right(b) #특수해만을 제공함 (무수히 많은 해를 구할 때 주의!)

수반동차연립방정식 구하기 (Ax=0의 해집합(해공간) 구하기) 즉, S=Xo+Sh 에서 Sh 구하기

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

    [4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

    [2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

A.right_kernel() # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정, 계수행렬만 필요

선형연립방정식 

의 해집합 

 은 다음과 같은 형식으로 표현된다.  

                                  

 

여기서 

는 

를 만족하는 하나의 특수해이고, 

는 수반동차연립방정식 

의 해집합(해공간)이다. 

가우스 소거법 : 행 사다리꼴 (row echelon form)

선형 연립방정식의 *첨가행렬을 *기본행연산에 의해 행 줄임

(즉,소거,Elimination)함으로써,

행사다리꼴 행렬로 변환시키고, 후치환(Back Substitution,후진대입법)에 의해 

해를 구하는 체계적인 과정

- 성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치.

- 각 행에서 처음으로 나타나는 0 아닌 성분은 1이어야 함, 

   이때의 1을 그 행의 선행선분(leading entry) or 피벗 (pivot)이라고 함.

- i 행과 (i+ 1)행 모두에 선행선분이 존재하면 

(i + 1)행의 선행선분은 i행의 선행선분보다 오른쪽에 위치 함.

23

가우스 조단 소거법(RREF)

행렬 A 가 행 사다리꼴(REF)이고 추가로 

다음의 성질을 만족하면 기약 행 사다리꼴이라 하고, 간단히 RREF로 표기. 

- 어떤 행의 선행성분을 포함하는 열의 다른 성분은 모두 0.

24

<가우스 조던 소거법 수기풀이>

[선형연립방정시의 해집합]

첨가행렬의 RREF를 이용하면 선형연립방정식을 만족하는 해가 유일한지, 무수히많은지, 조재하지

않는지를 판단할 수 있다.

,

25

선형연립방정식 Ax=b의  <모든 해들의 집합(해집합)>을 찾는  방법

Ax=b의 모든 해집합을 구하기 위해 우선 직관적으로 확인을 할 수 있는

첨가행렬의 형태로 만들고 RREF(기약 행사다리꼴) 형태로 sage를 통해 

직관적으로 확인을 해볼 것이다.

유일한 해가 있는 경우

A = matrix([[2, -3, 1], [7, 1, -2], [1, 4, 3]])  # 계수행렬

b = vector([10, 1, -9])  # 상수항 벡터

A.augment(b).rref()  # 첨가행렬의 RREF, # RREF( [A : b] )

제일 우측 열을 제외하고 r=n 이면 유일한 해가 존재하고 

제일 우측이 열 유일한 해가 된다

해가 없는 경우

A = matrix([[1, -2, 1], [2, -2, 1], [3, 1, -5], [0, -1, 2], [-6, 0, 7]])

b = vector([7, 5, 0, -4, -10])

A.augment(b).rref()

해당 파란색 부분은 0인데 우측 해가 0이 아닌 경우는 해가 존재하지 않는다.

A = matrix([[3, -2, 1, -1, 5], [2, 1, -2, 3, 0], [1, 5, 4, -7, 1]])

b = vector([1, 23, -17])

A.augment(b).rref()

제일 우측 열을 제외하고 r < n 이면 무수히 많은 해가 존재한다.

n

r

r

n

26

* 직관적으로 RREF를 통해 우선 확인을 하고 무수히 많은 해가 존재할 경우

 를 이용하여 모든해를 구할 수 있다.

여기서 

는 

를 만족하는 하나의 특수해이고,

 

는 수반동차연립방정식 

의 해집합(해공간)이다. 

 (Ax=b 를 만족하는 하나의 특수해)를 구하면 다음과 같다.

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

            [4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

            [2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

b = vector([2, -10, -12, -2, -4])

A.solve_right(b) #무수히 많은 해중에서 하나의 특수해 만을 구할 수 있다.

결과 : (1, -9/2, 1/4, 0, 0, 0, 0) 해당 결과가 

 이다.

 (수반동차연립방정식 Ax=0 의 해집합)을 구하면 다음과 같다.

A = matrix([[1, 0, 4, 0, 1, 1, 0], [-3, 1, -10, 3, 0, -2, -9],

            [4, 3, -10, 10, 5, 0, -30], [5, 3, 26, 7, 14, 6, -21],

            [2, 2, 12, 3, 8, 1, -9]])

A.right_kernel()  # 수반동차연립방정식은 상수항이 0으로 고정 계수행렬만 필요

결과 : 

따라서 수반동차연립방정식 

의 해집합(해공간)은 다음과 같다. 

 

       

 

따라서 주어진 선형연립방정식 

의 해집합은 다음과 같다. 

        

  

        

27

2주차. 벡터의 노름, 내적, 외적, 직선과 평면의 방정식, 정사영(Projection)

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W2/

2.1 벡터의 노름(Norm)과 내적(Inner Product, Dot Product)   

벡터 

에 대하여 

의 크기를 다음과 같이 나타내고, 

의 노름(norm)이라 한다.

 

아래 왼쪽 그림에서 볼 수 있듯이 

는 

원점 

에서 점 

에 이르는 거리와 같다.  

   

   

 

 

노름을 이용하면 두 점 사이의 거리(distance)를 쉽게 계산할 수 있다. 

즉 두 벡터 

, 

에 대하여 두 점 

와 

 

사이의 거리 

는 다음과 같다. 

 

※ 참고 

노름과 거리는 3차원은 물론 고차원 벡터에 대해서도 같은 형태로 확장된다

(위의 오른쪽 그림). 예를 들어, 두 벡터 

, 

에 대하여, 

, 

라 할 때, 

의 노름 

과 두 점 

, 

 사이의 거리 

는 각각 다음과 같이 정의된다. 

① 

      (원점에서 점 

에 이르는 거리) 

② 

 

일반적인 

에서도 벡터 

, 

와 스칼라 

에 대하여 다음이 성립한다.  

① 

, 

  

  

 

② 

 

③ 

28

두 벡터 

와 

의 내적(inner product)은 다음과 같이 정의된다.  

 

 

즉 

와 

의 내적은 대응하는 성분끼리 곱한 다음 모두 더한 값으로, 

결과는 스칼라이다. 

 참고   내적(Inner Product, Dot Product)은 3차원은 물론 고차원 벡터에 대

해서도 같은 형태로 정의된다. 예를 들어, 

의 두 벡터 

와 

에 대해서도 내적(Inner Product, Dot Product)은 다음과 

같이 정의된다.  

 

 

 

내적에 대하여 다음이 성립한다. 대부분 실수의 곱셈이 만족하는 성질과 유사하다. 

① 

, 

 

② 

                   (교환법칙) 

③ 

        (분배법칙) 

④ 

벡터의 노름과 내적에 관하여 다음과 같이 중요한 부등식이 성립한다.

코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식  

의 임의의 벡터 

, 

에 대하여 다음 부등식이 성립한다.   

                   

 

단, 등호는 

, 

중 하나가 다른 것의 실수배일 때만 성립한다. 

코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식으로부터 

은 

항상 0보다 크므로 부등식의 양변을 나누면 

을 의미하고,   

 이므로  

를 만족하는 

 ( 

) 가 

항상 존재한다.  이 

를 두 벡터 

, 

가 이루는 사잇각(angle)이라고 부른다.  

  

 

즉, 

또는 

  ( 

)을 

만족하는 

가 항상 존재하고, 내적 

일 때는 

이므로, 

와 

는 

29

서로 직교(orthogonal)한다고 하고, 

적당한 실수 

에 대하여 

 또는 

이 성립하면 

와 

는 평행(parallel)하다고 한다.

 

 참고   

의 두 벡터 

에 대하여 

, 

, 

이 모두 정의되므로 

고차원 벡터에 대해서도 관계식 

을 성립하는 사잇각 

가 

항상 정의된다. 

● 

의 벡터 

에 대하여, 노름이 1인 벡터, 

즉 

인 벡터를 단위벡터(unit vector)라 한다. 

또한 

의 벡터 

가 서로 직교한다면, 

이 벡터들은 직교(orthogonal)벡터들이라고 하고, 

가 서로 직교벡터이면서 각각 단위벡터이면 

정규직교(orthonormal) 벡터들이라고 한다. 

 

● 

의 

개의 기본단위벡터(standard unit vector) 

, 

, 

, 

 

 과 

에서 

, 

, 

 대신 사용하는 

, 

, 

들은 기본단위벡터의 예이다. 

방향각과 방향코사인(Direction Angle, Direction Cosine)    

의 방향각(direction angle)은 

가 

축, 

축, 

축의 양의 방향과 구간 

에서 만드는 

, 

, 

이다. 

  

 

방향각의 코사인 

, 

, 

를 

벡터 

의 방향코사인(direction cosine)이라 한다. 

 또는 

을 기억하면, 

에서의 기본단위벡터 

 

, 

 

, 

 

에 

대하여, 

, 

, 

 

식을 만족하므로,  

으로

30

쓸 수 있고, 

 이며,  

 

  

을 만족한다. 

■ 벡터의 내적의 기하학적 의미

출처: https://amber-chaeeunk.tistory.com/69

벡터의 내적은 기하학적으로 한 벡터를 다른 벡터 위로 정사영시킨 길이와 

그 다른 벡터의 길이를 곱한 것을 의미한다.

위의 예시에서는 벡터 a를 벡터 b로 정사영시켰는데 그 반대도 가능하다.

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=2aNkZjGeonA

31

2.2 벡터의 외적(Cross Product, Vector Product) 

기하학, 물리학, 공학 등에서 벡터를 활용할 때, 

종종 

상의 주어진 두 벡터에 동시에 수직인 제3의 벡터를 구해야 할 때가 있다.

에서 중요한 의미를 갖는 벡터의 외적(cross product)을 이용하면 

이 제3의 벡터를 쉽게 구할 수 있다. 

 

두 벡터 

, 

에 대하여 

와 

의 외적 

은 다음과 같이 정의된다.  

 

 

 

참고    

① 외적은 

 공간에서 정의되며, 주어진 두 벡터로부터 새로운 벡터를 생성한다. 

② 행렬식(determinant)을 이용하면 외적을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

 

32

                   

 

 

● 두 벡터 

와 

에 대하여, 

와 

의 외적(Cross Product) 

에는 다음과 같은 의미가 있다. 

① 

는 

와 

에 각각 수직이다. 즉, 

 

이 성립한다. 

따라서 

와 

가 평행이 아니면, 

는 이 두 벡터가 결정하는 평면에 수직인 벡터이다. 

 

 

 

 

 (여인자전개) 

  

  

 

 (행렬식의 성질) 

 

② 

는 

와 

를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이이다. 

즉 

를 

와 

의 사잇각이라 하면 

이 성립한다.

 

  

 

 

③ 벡터 

, 

와 벡터 

의 방향은 오른손 법칙을 따른다. 

즉 오른손으로 

에서부터 

방향으로 손가락을 감을때 

엄지손가락이 지시하는 방향이 벡터 

의 방향이다. 

  

33

외적을 이용하면 다음과 같이 동일한 평면에 놓여 있지 않은 

상의 세 벡터 

, 

, 

가 결정하는 평행육면체의 부피를 구할 수 있다. 

 

 

위의 그림에서 

는 평행육면체의 밑면의 넓이이다. 

그리고 벡터 

와 

가 이루는 각을 

라 하면 

은 높이가 된다. 따라서 평행육면체의 부피는 다음과 같다.  

 

             

 

 (여인자전개) 

여기서 

= 

 를 스칼라 삼중곱(scalar triple product)이라 한다. 

상의 세 벡터 

, 

, 

와 스칼라 

에 대하여 다음이 성립한다. 

 

① 

 

② 

 

③ 

 

④ 

,  

,  

 

⑤ 

 

⑥ 

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=XDbBq6ImWi4

34

2.3 직선의 방정식(Equations of Lines) 

평면 

에서 직선은 한 점과 기울기가 주어지면 유일하게 결정되며, 

이때 직선의 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다. 

                                      

 

여기서 

는 실수이며 

는 동시에 영은 아니다. 

공간 

에서의 직선도 마찬가지로 한 점과 기울기에 해당하는 

방향벡터(direction vector)만 주어지면 유일하게 결정된다. 

이제 공간에서의 직선의 방정식을 구해보자.  

 

상에서 한 점 

를 지나고 

이 아닌 벡터 

에 

평행한 직선 

은 아래 왼쪽 그림과 같이 벡터 

와 

가 평행 

즉, 

 ( 

)를 만족하는 점 

 전체의 집합과 같다. 

가 임의의 실수를 취할 때마다 직선 

위의 점 

가 결정된다. (아래 왼쪽 그림) 

 

     

  

이제 

 , 

 로 놓으면 

이다. 따라서 

 

 

, 즉 

   ( 

)         (1) 

 

를 얻는다. 이 식 (1)을 직선 

의 벡터방정식(vector equation)이라 한다. 

 

식 (1) 

 

 을 

매개변수 

를 이용하여 성분별로 쓰면 다음과 같이 

직선의 매개방정식(parametric equation)을 얻는다. 

 

, 

, 

  ( 

)         (2) 

또는  

 

 

 

그리고 식 (2)에서 매개변수 

를 소거하면 다음과 같이 

직선의 대칭방정식(symmetric equation)을 얻는다. 

 

35

 참고 위에서 얻은 직선의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

    ① 벡터방정식 :  

 ( 

) 

    ② 매개방정식 :   

  ( 

) 

    ③ 대칭방정식 :   

  

2.4 평면의 방정식(Equations of Planes) 

공간 

에서 평면의 방정식은 한 점과 (이 평면에 수직인) 

법선벡터(normal vector)만 주어지면 유일하게 결정된다. 

이제 공간에서의 평면의 방정식을 구해보자.  

 

상에서 한 점 

를 지나고 

이 아닌 

벡터 

에 수직인 벡터들이 이루는 평면 

는 

을 만족하는 점

 전체의 집합과 같다. 

 

 

이므로 

에서 다음을 얻는다. 

 

  

  

 

   

 

 

   

 

 

이 식을 점 

를 지나고 법선벡터 

를 갖는 

평면의 point-normal 방정식이라고 한다. 

이때 

로 나타내면 평면의 point-normal 방정식은  

 

 

로 간단히 나타낼 수 있다. 

평면의 point-normal 방정식

var ('x, y, z')

p = vector([1, -2, 3])  # 한 점 

n = vector([2, 5, -3])  # 법선 벡터

q = vector([x, y, z])

eq_plane = n.inner_product(q - p) == 0  # 평면의 방정식 

print (eq_plane)

36

p1 = implicit_plot3d(eq_plane, (x, -4, 4), (y, -4, 4), (z, -4, 4), opacity = 0.6)  

# 평면을 그래프로

p2 = arrow(p, p + n, color = 'green')  # 한 점에서 법선벡터

p1 + p2

평면의 벡터방정식

 

, 즉 

 

  ( 

)

var ('t1, t2')

p = vector([4, -3, 1])  # 세 점

q = vector([6, -4, 7])

r = vector([1, 2, 2])

v1 = q - p  # 벡터

v2 = r - p

eq = p + t1*v1 + t2*v2  # 평면의 벡터방정식

print (eq)

p1 = parametric_plot3d(eq, (t1, -1.2, 1.2), (t2, -1.2, 1.2), opacity = 0.6)  

# 평면을 그래프로

p2 = arrow(p, p + v1, color = 'green')  # 한 점에서 벡터

p3 = arrow(p, p + v2, color = 'red')  # 한 점에서 벡터

p1 + p2 + p3

두 평면의 사잇각

과 

가 이루는 사잇각은 

를 만족하는 

 ( 

)가 된다.

n1 = vector([1, 1, 1]);n2 = vector([1, -2, 3])

ang_rad = arccos(abs(n1.inner_product(n2))/(n1.norm()*n2.norm())).n(digits = 5)  

# 라디안

ang_deg = (ang_rad*180/pi).n(digits = 5)  # 육십분법

print ("ang(rad) =", ang_rad)

print ("ang(deg) =", ang_deg)

37

2.5 정사영(Orthogonal Projection) 

정사영은 

에서 한 점과 직선, 한 점과 평면 사이의 거리를 구하는데 사용된다. 

(그리고 해가 존재하지 않는 선형연립방정식 

의 

최소제곱해(least square solution)를 계산할 때에도 유용하게 사용된다.) 

                   

https://towardsdatascience.com/linear-regressi

on-using-least-squares-a4c3456e8570

아래 그림과 같이 벡터 

와 

가 

에 있고, 

이라 하자. 그러면 점 

에서 선분 

에 내린 수선의 발을 

라 할 때, 

벡터 

를 

의 ( 

 위로의) 정사영(projection)이라 하고 

로 나타낸다. 

그리고 벡터 

를 

에 수직인 

의 벡터성분(vector component)이라 한다. 

따라서 

는 두 벡터의 합 

로 나타내진다. 

 

 

 정사영 정리   

의 벡터 

, 

에 대하여 다음이 성립한다. 

① 

 

② 

  

(벡터 

의 벡터 

 위로의 정사영(projection)의 길이) 

 

증명  ① 

는 

의 

 위로의 정사영이라 하자, 

그럼 

은 

와 평행하므로 

가 되고, 

 는 

에 수직(orthogonal)인 

의 벡터성분(최단거리 벡터)이 된다.  

38

                                   

 

이고 

는 

와 수직이므로 

이다. 따라서 

                      

 

에서 

이므로 다음을 얻는다.  

                          

 

② 

 

39

3주차. 벡터함수와 공간곡선, 다변수 함수의 편미분 

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W3/

3.1 벡터함수(Vector Function)와 공간곡선(Space Curve)  

벡터함수(vector function)는 실수 

에 벡터 

를 대응시키는 함수를 말한다. 

(여기서 

는 적당한 구간이다.) 즉 다음과 같이 나타낸다. 

                         

, 

 

이때, 벡터함수 

를 이루는 성분 

, 

, 

는 

구간 

에서 정의된 연속인 실수함수로 

이를 

의 성분함수(component function)라 한다.  

 

벡터함수 

, 

에 대하여 

가 구간 

전체에서 움직일 때, 

대응되는 점 

는 공간곡선(space curve) 

를 이룬다. 

즉 

는 

를 시각(time)으로 생각할 때, 

아래 그림과 같이 

에서 벡터 

의 

끝점(end point) 

가 그리는 곡선이다. 

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?i

sHttpsRedirect=true&blogId=nst4309&logNo

=50184503599

       

 

그리고 방정식 

 

 

, 

, 

, 

 

를 

의 매개변수방정식(parametric equations), 

를 매개변수(parameter)라 한다. 

40

3.2. 벡터함수의 극한과 연속(Limit and Continuity) 

벡터함수 

에 대하여, 

일 때 

의 

각 성분함수들의 극한이 존재한다고 하자

(즉, 

, 

). 그러면 

일 때, 

의 극한(limit)을 다음과 같이 정의한다. 

 

 

이를 간단히  

 

    

   

 일 때  

  

로 표현할 수 있다. 

벡터함수 

와 실수함수 

가 

일 때, 극한이 존재하고, 

실수함수 

가 

일 때, 

이면, 다음과 같이 극한 법칙을 만족한다.  

        ① 

 

        ② 

 

        ③ 

 

        ④ 

 

        ⑤ 

3.3 벡터함수의 도함수와 적분(Derivative and Integral of Vector Function)  

실수함수의 미분과 마찬가지로 벡터함수 

의 도함수(derivative) 

는 

 

 

 

 

로 정의한다. 

 

 벡터함수의 도함수   

, 

, 

가 모두 미분가능할 때, 

벡터함수 

의 도함수는 다음과 같이 계산한다.  

                        

임의의 실수 

일 때, 

는 

가 

움직이는 방향과 같은 방향의 벡터이다. 

만일 

이면, 이 벡터는 아래 그림과 같이 접선 위에 놓여 있는 벡터에 

접근(approach)하게 된다. 

41

 

 

따라서 

가 존재하고, 

이면, 벡터 

는 

에 의해 

정의되는 곡선 

의 점 

에서의 접선벡터(tangent vector)가 된다. 

그리고 

에서 곡선 

에 대한 접선(tangent line)은 점 

를 지나고, 

접선벡터 

에 평행인 직선으로 정의된다.

와 

를 미분가능한 벡터함수라 하고, 

를 실수, 

를 미분가능한 실수함수라 하면, 

벡터함수에 대해서도 다음과 같이 미분법칙이 성립한다.  

        ① 

 

        ② 

 

        ③ 

 

        ④ 

 

        ⑤ 

 

        ⑥ 

                   (연쇄법칙)

벡터함수 

의 부정적분과 정적분은 각각 다음과 같이 정의된다. 

 

벡터함수의 정적분   

가 

의 역도함수(inverse derivative), 

즉  

 

라 하면, 

가 성립한다. 

이 때 정적분 

은 다음과 같이 계산된다.  

 

                       

42

3.4 곡선의 길이 (Length of Curve, Arc length, length of a plane curve)  

과 

가 연속일 때 매개변수방정식이

 

, 

, 

인 2차원에서의 곡선의 길이(Arc length) 

은 

다음과 같이 구할 수 있다.  

 

따라서 

상에서 벡터함수 

, 

으로 주어진 

평면곡선의 길이(Length of a plane curve) 

은 아래의 식을 이용하여 계산할 수 있다.  

 

같은 방법으로 

, 

, 

가 연속일 때, 

매개변수방정식이 

, 

, 

, 

인 

공간곡선의 길이(Length of a space curve)는  

 

이고 벡터함수 

, 

로 주어진 공간곡선의 길이는  

 

 

로 구할 수 있다.  

벡터함수 

, 

로 주어진 

공간곡선 

에 대하여, 

에서 임의의 시각(time) 

까지 움직인 

전체 호의 길이(Arc length)를 함수로 표현할 수 있다. 

이를 

라 하고  호의 길이 함수(arc length function)라 한다. 

즉 

는 곡선 

의 

와 

사이의 길이이다. 다음과 같이 계산한다. 

 

 

따라서 

는 속력(speed)을 나타낸다. 

43

3.5 곡률 (Curvature) 

곡률(curvature)은 곡선의 본질적인 성질로 주어진 점에서 

곡선이 얼마나 많이 휘어져 있는지를 하나의 숫자로 나타낸다. 

직관적으로 직선의 곡률은 0이라고 이해할 수 있다. 

 

[그림 출처] https://happhi.tistory.com/65  

 

주어진 점에서 곡선의 곡률은 그 점에서 곡선이 

얼마나 빠르게 방향을 바꾸는가로 이해할 수 있다. 

이때 곡률이 곡선의 매개변수화에 영향을 받지 않으면서도 

방향의 변화에만 관심을 갖도록 호의 길이와 

단위접선벡터(unit tangent vector)를 사용하여 정의한다.  

 

벡터함수 

에 의해 주어진 곡선의 곡률(curvature)은 다음과 같다. 

여기서 

는 단위접선 벡터이다. 

 

 

즉 곡률은 호의 길이 

에 대한 단위접선벡터 

의 변화율의 크기로 정의한다. 

  

https://suhak.tistory.com/m/283

44

3.6 이차곡면(Quadratic Surface) 

이차곡면(quadric surface)은 세 변수 

, 

, 

에 관한 이차방정식의 그래프이다. 

이런 방정식의 가장 일반적인 형태는 

, 

, 

, 

, 

가 상수일 때 다음과 같다. 

 

 

위 식은 평행이동과 회전에 의해 다음과 같은 

두 가지 표준형 중 하나로 바꿀 수 있다. 

http://matrix.skku.ac.kr/2014-Album/Quadratic-form/  

                

 또는 

 

이차곡면은 평면 안의 원뿔곡선에 대응하는 3차원 공간의 곡면이다.

3.7 다변수 함수(Functions of Several Variables) 

이변수함수는 독립변수가 두 개인 경우를 뜻한다. 

변수 

와 

는 독립변수(independent variable)가 되고, 

함수 

는 집합 

에 속하는 실수들의 순서쌍 

에 

로 

나타내는 유일한 실수를 대응시키는 규칙이다. 

이때 

는 

에 대한 종속변수(dependent variable)라 한다. 

따라서 집합 

는 

의 독립변수를 정의역으로 가지므로 

-평면에서 

의 순서쌍으로 나타낼 수 있는 집합이며, 

는 

의 치역이다. 

일변수함수 

의 그래프가 

평면에서의 곡선 

로 표현되는 것과 

마찬가지로 이변수함수 

의 그래프는 방정식이 

인 

곡면(surface) 

로 표현된다. 

      

      

3.8 등위곡선(Level Curves)  

이변수함수 

의 등위곡선(level curves, contour curves)은 

방정식이 

인 곡선을 말한다. 이때 

는 ( 

의 치역에 속한) 상수이다. 

즉 일정한 높이의 점들을 연결한 곡선이 등고선(또는 등위곡선)이다. 

이는 해저 지형이나, 기온분포, 육지 지형의 높낮이를 나타낼 때 주로 사용한다. 

 

45

https://mathcs.holycross.edu/~groberts/Cour

ses/MA241/homepage.html

3.9 이변수함수의 극한과 연속 

이변수함수 

에 대하여 점 

가 점 

로 접근할 때, 

가 일정한 값 

로 한없이 가까이 가면, 

       

일 때, 

는 

에 수렴(converge)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다. 

           

  또는  

일 때, 

 

이때 

을 

의 극한(limit)이라고 한다.  

 

위의 정의 중에서 

가 

로 접근하는 방식은 무수히 많은데

(아래 왼쪽 그림), 방향과 경로가 모두 임의대로 정해질 수 있다. 

극한이 존재한다는 것은 

가 어떤 방향이나 어떤 경로를 통해서 

로 접근하든지 동일한 상수 

로 다가간다는 것을 말하는 것이다. 

이것이 일변수 함수의 경우와 본질적인 차이를 일으키는 부분이다. 

일변수 함수의 극한에서는 아래 오른쪽 그림과 같이 

좌극한과 우극한의 두 가지 방향만 고려하면 된다. 

 

  

 

   

 

일변수함수의 좌극한과 우극한만 비교하는 것에 비해 

2변수의 함수의 극한이 존재하지 않는 경우를 보이기는 것이 

막막해 보이지만 생각보다 간단하게 증명될 수도 있다. 

46

예를 들어, 적절한 두 경로를 정하여 극한이 다르다는 것을 보이거나 

 또는 

 과 같은 임의의 함수를 경로로 잡아 경로에 따라 

극한값이 유일하지 않음을 보여도 된다. 

2변수함수의 극한이 존재하면, 다음과 같이 계산할 수 있다. 

① 

의 극한값  

② 

의 극한값

이변수함수의 극한의 성질은 

 가 

각각 존재한다면 일변수 함수의 경우와 유사하다. 

 

① 

 

② 

 

③ 

 

④ 

, 

   단, 

3.10 이변수함수의 편도함수(Partial Derivatives) 

이변수함수 

가 

의 적당한 근방에서 

를 고정하고 

에 대한 변화량만 고려한 극한  

                                

 

이 존재하면, 이 극한(limit)을 

에서 

의 

에 대한 편미분 계수(partial derivative of 

 with respect to 

 at 

)라 

하고, 다음과 같이 표기한다.  

 

, 

, 

, 

 

 

즉 

는 먼저 

로 고정하여 

에 관하여 

를 미분한 후 

를 대입하는 것과 같다.  

 마찬가지로 

에서 

의 

에 대한 

편미분 계수(partial derivative of 

 with respect to 

 at 

)를 정의할 수 있다.  

                      

 

 

만일 함수 

의 정의역인 

 내부의 모든 점 

에서 

47

함수 

의 

 또는 

에 대한 편미분 계수가 존재하면 

이를 편도함수(partial derivative)라고 하고 다음과 같이 나타낸다. 

  

, 

, 

, 

 : 

의 

에 관한 편도함수(partial derivative with respect to 

)  

 

, 

, 

, 

 : 

의 

에 관한 편도함수(partial derivative with respect to 

)  

 

두 편도함수 

, 

를 통틀어 

의 1계 편도함수(the first order partial derivative)

라 하고 

는 

에 대한 편도함수, 

는 

에 대한 편도함수라고 한다.

48

4주차 편미분, 연쇄법칙, 방향도함수, 그래디언트 벡터

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W4/

4.1 접평면(Tangent Plane)과 선형근사(Linear Approximation) 

곡면 

가 방정식 

으로 표현되고, 

는 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 하자. 

곡면 

위의 한 점 

에 대하여 곡선 

과 

를 

곡면 

와 수직인 평면 

, 

이 각각 교차함으로써 얻어지는 교선이라 하면 

점 

는 아래 그림과 같이 

과 

에 모두 놓여 있다.  

 

 

 

만일 

을 점 

에서 곡선 

에 접하는 접선, 

를 점 

에서 곡선 

에 접하는 접선이라 하면, 

점 

에서 곡면 

에 대한 접평면(tangent plane)은 

접선 

과 

를 모두 포함하는 평면으로 정의된다. 

 -편미분의 기하학적 의미 :

fx(a,b) : 곡선 z = f(x,b)의 (a,b,f(a,b)) 에서 접선의 기울기 #x축 방향으로의 접선의 기울기

fy(a,b) : 곡선 z = f(a,y)의 (a,b,f(a,b)) 에서 접선의 기울기 #y축 방향으로의 접선의 기울기

 

 접평면의 방정식 (An equation of the tangent plane) 

함수 

가 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 하면, 점 

에서 

곡면 

에 대한 접평면(tangent plane)의 방정식은 다음과 같다. 

 

점 

에서 이변수함수 

의 그래프에 대한 접평면의 방정식은 

 

이다. 즉, 접평면(tangent plane)의 방정식은 점 

에서 

이변수함수 

가 표현하는 곡면에 가장 근사한 일차식의 표현이다. 

4.2 전미분(Total Differential, Total Derivative)

49

미분가능한 이변수함수 

에 대하여 미분(differential) 

와 

를 독립변수로 정의한다. 즉 

와 

는 임의의 값으로 주어진다. 

이때 미분(differential) 

 

 

                    

를 전미분(total differential, total derivative)이라 한다.

4.3 이변수 함수의 연쇄법칙(Chain Rule) 

일변수 함수 

가 

에 관하여 미분가능한 함수이고 

가 모두 

에 관하여 미분가능하면, 

는 

에 대하여 미분가능한 함수이다. 

이때 

는 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 주어진다. 

                                     

 

이변수 함수 

가 

와 

에 관하여 미분가능한 함수이고 

와 

가 모두 

에 관하여 미분가능한 함수이면, 

는 

에 대하여 미분가능한 함수이다. 이때 

는  

                              

 

이다. 

함수 

가 

와 

에 관하여 미분가능한 함수이고 

가 

에 관하여 미분가능한 함수이면, 

는 

에 대하여 미분가능한 함수이다. 

는  

 

                                 

4.4 음함수 미분법(Differentiation of Implicit Function)  

가 

를 

와 

의 미분가능한 함수로 정의할 때, 

이면 다음이 성립한다. 

  

,   

4.5 방향도함수(Directional Derivative)

가 

에서 미분 가능한 함수이고 

에서 모든 방향으로의 도함수를 가진다고 하자. 

을 단위벡터라 하면 다음이 성립한다. 

 

50

4.6 Gradient(기울기벡터, 그래디언트 벡터, Gradient Vector) 

가 두 변수 

와 

의 함수이면 

의 gradient(기울기벡터, 그래디언트 벡터, Gradient Vector) 

gradient 

 또는 

는 

                

 

로 정의한다.  

 

gradient(기울기벡터, gradient vector)의 의미 

등위곡선  

를 매개변수함수 

로 나타내면 

이다. 이때 

가 상수이므로 이 식의 양변을 

에 대하여 미분하면 

연쇄법칙에 의해 

 

가 된다. 이때 벡터 

는 매개변수 

에 대한 벡터함수 

의 

미분이므로 등위곡선의 접선벡터가 되며, 

이므로 

등위곡선의 접선벡터와 기울기벡터(gradient vector)는 수직(직교)이다. 

즉 기울기벡터(gradient vector)는 방향도함수가 최대인 방향, 

즉 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타내며, 등위곡선에 수직(직교)인 벡터이다.

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=at3650&logNo=220267223705

https://youtu.be/he__Xh4XGsA 

51

5주차 이변수 함수의 극대 극소, 최대 최소

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W5/

5.1 이변수 함수의 극대, 극소(Local Maximum, Local Minimum)

(독립) 변수가 두 개인 함수를 이변수함수(function of two variables)라 하고, 

가 이변수함수 

의 정의역 내의 한 점일 때,  

 

① 

의 적당한 근방의 모든 

에 대하여 

이면, 

는 

에서 극대(local maximum)가 된다고 하고, 

를 극댓값(local maximum value)이라 한다. 

 

② 

의 적당한 근방의 모든 

에 대하여 

이면, 

는 

에서 극소(local minimum)가 된다고 하고, 

를 극솟값(local minimum value)이라 한다. 

 

만일 

의 정의역 안의 모든 

에 대하여 위의 부등식을 만족하면 

는 

에서 최대(absolute maximum) 또는 최소(absolute minimum)다.

 

 

 

 

를 만족하는 점 

를 

의 임계점(critical point)이라 한다.

모든 극대점과 극소점은 임계점이다. 

그러나, 임계점(critical points)이라고 해서 반드시 극대 또는 극소를 갖는 것은 아니다.

이변수함수의 극대, 극소 판정법  

점 

의 근방에서 이변수함수 

가 연속인 2계 편도함수를 갖고, 

는 

의 임계점, 즉 

를 만족한다고 하자. 이제 (Hessian 행렬 at 

) 

 

 

 

 

 

 

52

 

라 하면 다음이 성립한다. 

 

① 

이고 

이면, 

는 극솟값이다. 

(행렬 

의 고윳값이 모두 양) 

② 

이고 

이면, 

는 극댓값이다. 

③ 

이면, 

는 극댓값도 극솟값도 아니다. 점 

는 

의 안장점이다. 

④ 

이면, 이것만으로는 

가 극댓값인지, 극솟값인지 또는 

가 

의 안장점인지 판단할 수 없다.

5.2 행렬식

 3개 이상의 독립변수를 갖는 다변수 함수도 이변수함수와 동일한 방법으로, 2계 편도함수를 이용

하여 임계점에서 함수의 극대, 극소, 안장점 여부를 판단할 수 있다. 이를 위해서는 정사각행렬의 

선행 주 소행렬식(leading principal minor)과 고윳값(eigenvalue)에 대하여 알아야 한다. 행렬식

(determinant)과 고윳값에 관한 자세한 사항은 추후 선형대수학 과목에서 배운다.

53

5.3 최대값과 최소값(Absolute Maximum and Absolute Minimum)

 일변수 함수 에 관한 최대, 최소 정리(Extreme Value Theorem)는 폐구간 [a,b] 에서 f가 연속

이면, f는 [a,b]에서 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 말한다. 따라서 아래와 같이 임계점뿐만 아

니라 양 끝점 a,b 에서 f의 값을 계산하여 비교함으로써 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

유사한 방법으로 이변수함수에 대해서도 다음이 성립한다.

※ 폐집합(closed set)이라는 것은 아래 왼쪽 그림과 같이 내부와 모든 경계점을 포함하는 집합을 

말한다. 그러나 오른쪽 그림은 경계의 일부 또는 전체를 포함하지 않으므로 폐집합이 아니다.

54

그리고 R²에서 유계집합(bounded set)은 아래 왼쪽 그림과 같이 무한히 뻗어나가지 않고, 어떤 

원판(disk)의 내부에 포함되는 집합을 말한다.

* 5.4 경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)

 경사하강법은 머신러닝 및 딥러닝에서 사용되는 어떤 분석 모델에서 가중치의 최적해를 구하기 

위해 사용되는 비용 (Cost)을 최소화 시키는 알고리즘이다. 경사 하강법은 제약조건이 없는 최적

화 (unconstrained optimization) 문제에서 다변수 함수의 기울기(경사)를 구하여 기울기가 작은 

쪽으로 계속 이동시켜서 극값(극솟값)에 이를 때까지 반복시키는 것이다. 

경사하강법(Gradient Descent Method)의 알고리즘은 다음과 같다. 

55

 

                          

56

     

 

https://egallic.fr/Enseignement/ML/ECB/

book/gradient-descent.html

경사하강법은 머신러닝 및 딥러닝에서 사용되는 어떤 분석 모델에서 가중치의 

최적해를 구하기 위해 사용되는 비용 (Cost)을 최소화 시키는 알고리즘이다. 

경사 하강법은 제약조건이 없는 최적화 (unconstrained optimization) 문제에서 

다변수 함수의 기울기(경사)를 구하여 기울기가 작은 쪽으로 계속 이동시켜서 

극값(극솟값)에 이를 때까지 반복시키는 것이다.

경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)

① 다음 연립방정식을 만족하는 

, 

, 

(람다, lambda)의 값을 모두 구한다. 

                  

,  

 

② ①에서 구한 모든 점 

에서 

의 값을 계산한다. 

이 값들 중 가장 큰 값이 

의 최댓값이고, 가장 작은 값이 

의 최솟값이다.

   

         

      

https://www.geogebr

a.org/m/PSzG4pe6

https://post.naver.com/viewer/postView.naver?volumeNo=288

86052&memberNo=21815&vType=VERTICAL

https://www.youtube.com/watch?v=lmD9p

6J_-TA

57

* 5.5  라그랑주의 승수법(Method of Lagrange Multipliers)

 주어진 방정식 g(x,y)=0을 만족하는 x,y에 대하여 함수 f(x,y)의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제

에 대하여 생각해보자. 이때 g(x,y)=0을 제약조건(constraint), f(x,y)를 목적함수(objective 

function)라 한다. 이러한 형태의 문제를 해결하는 기본적인 방법으로는 라그랑주의 승수법

(method of Lagrange multipliers)이 있다. 

를 최대, 최소가 되게 하는 x,y의 값과 함수 f(x,y)의 값을 구해보자. 먼저 방정식 g(x,y)=0으로 주

어지는 곡선(빨간색)과 적당한 실수 k값들에 대해 등위곡선 fIx,y)=k의 그래프(검은색, 회색)를 좌

표평면에 같이 그려보자. 

     

  

앞서 학습한 바와 같이 함수 f(x,y)에 대하여 f의 그래디언트(gradient) ▽f(x,y)는 등위곡선 

f(x,y)=k에 직교함을 이미 알고 있다. 따라서 g(x,y)=0을 만족하는 x,y에 대하여 함수 f(x,y)를 최

대, 최소가 되게 하는 점 (x,y)에서는 g(x,y)=0와 f(x,y)=k이 접하게 되므로 ▽f(x,y)와 ▽g(x,y)는 

평행, 즉 적당한 실수 λ가 존재하여 ▽f(x,y)=λ▽g(x,y)을 만족하게 된다. 이러한 λ를 라그랑주의 

승수(Lagrange multiplier)라 한다. 

그림의 왼쪽 상단의 점에서와 같이 만일 (x,y)에서 ▽f(x,y)와 ▽g(x,y)가 평행하지 않으면, (x,y)가 

곡선 g(x,y)=0을 따라 움직일 때, 함수 f가 현재보다 증가할 여지가 있다. 실제로 이 점에서 시계 

방향으로 g(x,y)=0을 따라 움직이면 함수 f의 값이 증가하게 된다. 위 그림을 통해 (x,y)가 방정식 

g(x,y)=0으로 주어진 곡선(빨간색) 위를 움직이는 동안 f(x,y)가 최대, 최소가 되도록 하는 점은 

g(x,y)=0와 f(x,y)=k이 접할 때임을 쉽게 알 수 있다. 특히 등위곡선에 적혀있는 함숫값들을 통해 

f(x,y)는 원점으로부터 바깥쪽으로 퍼져나가는 방향으로 증가하는 함수임을 알 수 있으므로, f가 

최대(파란색)가 되는 점은 y축 상에 두 군데 나타나고, 최소(분홍색)가 되는 점은 x축 상에 두 군

데 나타난다. 

라그랑주의 승수법(method of Lagrange multipliers)은 다음과 같다.

58

※ 라그랑주의 승수법은 독립변수가 3개 이상인 다변수 함수의 경우 또는 제약조건이 두 개 이상

인 경우에도 유사한 방법으로 적용된다. 

       

 마지막으로, 라그랑주의 승수법은 대칭행렬의 고윳값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 구

하는 문제와 깊은 관련이 있다.

        

59

* 5.6 오차역전파(Back Propagation)

 인공 신경망은 신경계의 기본 단위인 뉴런을 모델화한 것으로 신호가 들어오는 입력층(Input 

layer)과 입력된 신호를 출력하게 하는 출력층(Output layer)이 있다. 입력층과 출력층 사이에 있

는 것을 은닉층(Hidden layer)이라 한다. 입력층에서 신호를 받으면, 미리 부여된 가중치와 계산 

후 주어진 활성화 함수를 거쳐 은닉층으로 전파되고, 같은 방식으로 그 다음 층으로 전파되어 출

력층에서 해당하는 결과를 내보낸다.

 입력값과 정답을 알고 있는 데이터가 있다고 할 때 우리의 목적은 주어진 데이터로 정답 여부를 

잘 가려내도록 신경망의 (각 node 에서의) 가중치를 찾는 것이다. 초기에는 임의로 가중치를 부여

해놓고, 주어진 데이터로부터 신경망을 이용하여 얻은 예측값과 미리 알고 있는 정답 간의 오차를 

줄이는 방향으로 (각 node 에서의) 가중치를 점차 갱신해 나간다. 이때 계층 간의 각각의 연결이 

오차에 영향을 주는 정도에 비례해서 오차를 전달해준다. 대표적인 방법이 오차 역전파법(back 

propagation)이다. 각 계층에 전달된 오차를 바탕으로 가중치를 갱신하는 방법으로 경사하강법

(gradient descent method)을 오차함수를 최소화하는 문제에 적용한다.  

 신경망에서 오차가 일어났다는 것은 결국, 입력신호가 입력층으로부터 은닉층을 거쳐 최종 출력

층으로 전파될 때, 은닉층에서의 오차가 반영된 결과라고 볼 수 있으므로 계층 간의 각각의 연결

이 오차에 영향을 주는 정도, 즉 가중치에 비례해서 오차를 역으로 전달해준다. 출력층에서 얻은 

오차로부터 은닉층과 출력층 사이의 가중치를 다변수함수의 연쇄법칙을 적용해 갱신한다.

60

6주차. 이중적분

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W6/

[참고] http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2019/anyang/leejungkyung0218/14-1.pdf 

6.1 직사각형 영역에서의 이중적분(Double Integral in Rectangle Region) 

이중적분(double integrable)

R = [a, b] × [c, d]에서 정의된 f(x, y)를 고려하자. 아래 극한이 존재하면, 

 이고, f 는 적분 가능(integrable)이라고 한다.

입체의 부피

f(x, y) ≥ 0 이면 사각형 R 의 위와 곡면 z = f(x, y) 아래에 놓인 

입체의 부피 V 는 다음과 같다. 

중점 법칙(Midpoint rule) 

 이중적분의 성질  

① 

  단, 

는 상수 

② 

 

③ 

에 속한 모든 

에 대하여 

이면  

          

푸비니 정리   

함수 

가 직사각형 

에서 

연속이면 적분 순서를 자유롭게 바꿀 수 있다. 

 

61

6.2 일반영역에서의 이중적분(Double Integral over General Region)

D 에서 f(x, y)에 대해, 

6.3 이중적분에서 적분 순서의 결정 

함수 

가 

에서 연속함수이면 

 

                      

또한 

가 

에서 연속이면  

 

                   

6.4 적분순서의 변경 

영역 

로 

주어졌을 때 함수 

의 적분은 푸비니(Fubini) 정리에 의하여 

 

              

  

 

62

7주차. 극좌표계에서의 이중적분, 삼중적분

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W7/

[참고] http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2019/anyang/leejungkyung0218/14-3.pdf

7.1 극좌표계에서의 이중적분(Double integral in Polar Coordinate System)

(x, y)로 표현되던 직교좌표를 r과 θ를 이용하여 (r, θ)로 나타낼 수 있다.

[cosθ = x/r, sinθ = y/r → x = rcosθ, y = sinθ] 직교좌표에서 극좌표로 변환 할 수 있다.

[극좌표계에서 이중적분]

원의 방정식이 주어졌을 때 극좌표로 변환해준 후 r과 θ의 범위를 지정하고

이중적분을 해준다.

x^2 + y^2 = 1 → r^2cos^2θ + r^2sin^2θ = 1

영역 R = {(r,θ) l 0≤r≤1, 0≤θ≤2pi}

→

극좌표계에서 주어진 역역의 경계선이

극방정식 r = g1(θ), r = g2(θ) 로 주어진 경우

극좌표 영역 D = {(r,θ) l g1(θ)≤r≤g2(θ), α≤θ≤β}

→ 

이중적분에서 극좌표로 변환 

63

일반영역

7.2 곡면적(Surface Area, 표면적, 겉넓이) 

함수 

, 

인 곡면의 넓이(Surface Area, 곡면적, 표면적)는 

와 

가 연속(continuous)일 때, 다음과 같이 계산된다. 

 

               

 

                            

 

64

7.3 삼중 적분(Triple Integral)  

직육면체 

 위에서 

의 삼중적분(Triple Integral) 은 극한이 존재할 때 

 

        

 

[삼중적분]

이중적분의 결과는 

f(x, y)dA = 부피(3차원)였다.

3중적분(

f(x, y) dV)은 4차원의 어떤 값이된다.

1 dA = 영역 A의 넓이 였던 것처럼 

1 dV = 영역 V의 부피가 되고

 → 

 = 

 x 

 x 

푸비니 정리1에 의해 각각 적분하여 곱하는 식으로 계산 할 수 있다.

[일반적인 영역에서의 삼중적분]

일반적인 영역에서의 삼중적분은 각 상황에 따라 적분하는 순서가 중요하다.

위그림의 왼쪽부터 각각 1,2,3이라고 했을때

1번의 경우 z = u2(x,y), z = u1(x,y)로 z축에 평행한 위뚜껑과 아래뚜껑이 함수로 주어져있다.

이때 z축에 대해서 먼저 해주면 적분 결과는 (x, y)에 대한 함수로 나타나고 앞선 이중적분의 방

법으로 적분해주면 된다. 2번 그림의 경우 x, 3번 그림의 경우 y에 대해 먼저 적분해준다.

65

8주차. 원기둥 좌표계, 구면 좌표계에서의 삼중적분

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W8/

[원기둥 좌표계]

극좌표계 (r, θ)에 더해 3차원 공간을 표현하기 위한 좌표계 중 하나이다.

z를 추가해 (r, θ, z)로 나타내고 원기둥 좌표계는 적분하려는 영역 E가 원기둥의 일부일 때 쓴다.

8.1 원기둥 좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Cylindrical Coordinates)

로 표현되므로 영역 

에서 함수 

의 삼중적분은 다음과 같다. 

 

                             

 

66

  

        

 

                          

[원기둥 좌표계에서의 삼중적분]

2차곡면의 그래프 모형을 파악하고 그 개형이 원기둥 모양의 일부일 때 원기둥 좌표계를 사용하여 

3중적분을 한다. 일반적인 영역에서의 삼중적분과 마찬가지로 z = u2(x,y), z = u1(x,y)로 z축에 평

행한 위뚜껑과 아래뚜껑이 함수로 주어져있다면 z축에 대해 먼저 적분하는 식으로 적분순서를 정

한다.

[구면 좌표계]

3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로 (ρ,θ,Φ) 로 나타낸다.

원점 O와 점P사이의 거리를 ρ

x축의 양의방향과 이루는 각을 θ

z축의 양의방향과 이루는 각의 크기를 Φ 로 표현하여 3차원 상의 점 P(ρ,θ,Φ) 로 나타낸 좌표계.

67

8.2 구면좌표계에서의 삼중적분(Triple Integrals in Spherical Coordinates)

의 관계가 성립한다.

 

① 영역 

에서 

함수 

의 삼중적분은 다음과 같이 계산된다.  

 

     

 

 

 

② 영역 

에서 함수 

의 삼중적분은 다음과 같이 계산된다.  

  

              

 

 

 

      

 

68

③ 영역 

에서 

함수 

의 삼중적분은 다음과 같이 계산된다.  

 

            

    

   

[구면 좌표계에서의 삼중적분]

구면좌표(ρ,θ,Φ)를 x, y, z에 대해 치환하여 표현하면

x = ρsinΦcosθ, y = ρsinΦsinθ, z = ρcosΦ 로 치환하여 적분 할 수 있다.

 = 

 ρ2sinΦ dρdθdΦ

극좌표에서의 적분에 r 이 들어갔던 것처럼 구면좌표에서 ρ2sinΦ 이 들어가야 한다.

부피를 구하려고 한다면 

 ρ2sinΦ dρdθdΦ 로 구할 수 있다.

[야코비안 행렬]

야코비안의 정의는 극소영역에서 비선형 변환을 선형 변환으로 근사시킨 것.

행렬식의 기하학적 의미는 선형변환은 하였을때 넓이가 얼마만큼 변하는가를 나타내고

야코비안 행렬은 원래 좌표계에서 변환된 좌표계로 바뀔때의 넓이의 변화 비율을 말해준다.

극좌표 적분식에서의 r과 구면좌표계의 적분식 ρ2sinΦ가 이에 해당한다.

69

8.3. 다중적분에서의 변수변환(Change of Variables in Multiple Integrals)

이중적분과 같은 방식으로 삼중적분에서의 변수변환도 가능하다. 

 

                           

70

9주차. 벡터 미적분학(Vector Calculus)

[참고] http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/W9/

9.1 벡터장(Vector Field), 회전(Curl), 발산(Divergence)

가 3차원 벡터이므로 

 

 

 

        또는 간단히 

으로 나타낼 수 있다. 

여기서 

은 3변수 함수로 

의 성분함수(component function) 

또는 스칼라장(scalar field)이라 한다.  

 

벡터장은 

의 정의역 

의 임의의 점 

를 시점으로 하고, 

벡터 

를 화살표(유향선분)로 나타내어 시각화 할 수 있다.

그래디언트 벡터장

스칼라 함수 

의 그래디언트(gradient)로 정의되는 벡터장 

               

벡터장 

의 성분함수 

, 

, 

의 편도함수가 

모두 존재하면, 

의 회전(curl)은 다음과 같이 정의된다. 

curl 

 

 

 

 

여기서 

이다. 

는 스칼라 함수 

가 주어지면, 

의 그래디언트를 생성하는 하나의 연산자(operator)로 이해하면 된다.

                            

  * curl이 사용되는 예시 (강물의 와류로 생각) https://angeloyeo.github.io/2019/08/25/curl.html

회전의 연산에 관하여 다음이 성립한다. 

여기서 

와 

는 각각 미분가능한 벡터장이고, 

는 연속인 편도함수를 갖는다. 

 ① curl 

 curl 

 curl 

71

② curl 

curl 

발산(divergence)은 벡터장 내 임의의 지점에서 벡터장이 퍼져 나오는지, 

아니면 모이는지의 정도를 측정한다. 

가 벡터장이고, 

, 

, 

가 존재하면, 

의 발산(divergence)은 다음과 같이 정의된다.  

                       div 

 

 

 

발산의 연산에 관하여 다음이 성립한다. 

여기서 

와 

는 각각 미분가능한 벡터장이고, 

는 연속인 편도함수를 갖는다. 

        ① div 

div 

div 

        ② div 

div 

회전(curl)의 의미 

① 물리학적으로 

가 유체의 속도 벡터장이면, 

curl 

는 그 유체가 가장 빨리 회전하는 축의 방향을 제시해주며, 

그 크기는 회전의 속력을 나타낸다. 

② curl 

 

인 벡터장 

를 회전하지 않는(irrotational) 벡터장이라 한다. 

발산(divergence)의 의미 

① 물리학적으로 

가 유체의 속도 벡터장이면, 

점 

에서 div 

는 그 유체가 

로부터 나가거나 

를 향해 모이는 경향을 잰다.  

② div 

인 벡터장 

를 압축할 수 없는 (incompressible) 벡터장이라 한다.

벡터장 

의 성분함수 

, 

, 

이 연속인 2계 편도함수를 가지면,

div 

curl 

) 

0 이다. 

72

9.2 선적분(Line Integral)

 벡터장 

의 선적분 정의

 

       

    

  

    

 

따라서 선적분은 다음과 같다.

정적분과 마찬가지로 선적분(line integral)에 대해 다음이 성립한다.  

 

  ① 

            ( 

는 스칼라)  

  ② 

 

  ③ 

   ( 

는 두 곡선 

과 

의 합)  

  ④ 

           ( 

는 

의 반대 방향)

9.3 그린 정리(Green’s Theorem)  by ...

평면에서 

가 단순 닫힌 곡선 

에 의해 둘러싸인 영역이라고 하자. 

와 

가 

에서 

연속인 1계 편도함수를 갖는다면 다음이 성립한다. 

 

여기서 

는 양의 방향을 따른다.

그린 정리는 벡터형식으로도 나타낼 수 있다. 

이를 위해 벡터장을 

라 하자. 

그러면 일단 선적분(line integral)은 

이다. 

73

이제 

좌표를 0으로 고정하여 

를 3차원 벡터장으로 생각하면  

 

curl 

 

 

이므로 curl 

이다. 

따라서 그린 정리(Green’s theorem)를 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

                             

9.4 스토크스 정리(Stokes’ Theorem)  by ...

스토크스 정리(Stokes’ theorem)는 그린 정리(Green’s theorem)의 확장으로 

생각할 수 있는데, 그린 정리(Green’s theorem)가 평면영역 

에서의 이중적분을 

의 경계 곡선에서의 (양의 방향을 따라) 선적분과 연결했다면

스토크스 정리(Stokes’ theorem)는 유향곡면(방향이 있는 곡면)

에서의 면적분(surface integral)과 

의 경계 곡선에서의 (양의 방향을 따라)

선적분을 연결한다.

는 단순 닫힌 곡선(simply closed curve) 

를 경계로 갖는 곡면 

에서 연속인 2계 편도함수를 갖는 벡터장일 때, 

다음이 성립한다. 여기서 

는 양의 방향을 따른다. 

 

                           

즉, 이 등식의 좌변은 곡면 

의 단위법선벡터(unit normal vector) 

에 관하여 

오른손 법칙(right-hand rule)에 의해 반시계방향(counterclockwise)으로

곡선 

를 따라 계산한 

의 선적분이고, 

우변은 곡면 

위에서 

의 면적분(面積分, surface integral)이다. 

 

면적분(surface integral)의 계산 

3차원 공간에서 곡면 

가 매개변수 방정식 

 

(이때 

와 

는 

평면의 영역 

위를 움직인다)로 표현되면, 

곡면 

의 임의의 점 

에서 단위법선벡터 

은 다음과 같이 주어진다. 

 

74

                                

 

 

그러면 단위법선벡터가 

인 방향이 있는 

곡면 

 위에서 연속인 벡터함수 

의 면적분(surface integral)은 다음과 같이 정의된다. 

 

                      

9.5 발산 정리(Divergence Theorem) by ...

가 공간상의 닫힌 곡면(boundary surface of 

)이라 하고 

입체영역(simple solid region) 

의 경계를 이룬다고 하자. 

가 

를 포함하는 열린 집합 

에서 정의된 벡터장(vector field)이고, 

의 성분함수들이 연속인 1계 편도함수(continuous first order partial derivatives)를

갖는다고 할 때, 

이 곡면 

의 외부로 향하는 단위법선벡터이면, 다음이 성립한다.  

 

                    

총정리

75

10주차. 복소수(Complex Numbers) 와 복소함수

 실수와 허수의 합의 꼴로써 나타내는 두 수, 두 실수 a,b에 대하여 a+bi(단, a,b,는 실수)(i는 허수 단위) 로 

나타내는 체를 여러개의 단위로 이루어진 수 라는 데에서 복소수 라고 하며, a를 실수부분, b를 허수부분이라

고 한다.

 복소수 a+bi에서 허수 부분의 계수가 0인 것, 즉 b=0인 것이 실수, b≠0이 허수이며, 실수 부분인 a=0인 것

(단 b≠0)을 순허수라고 한다.

복소수 z = a + bi에서 허수 부분인 bi 가 –bi 가 된 수를 켤레복소수(complex conjugate) 라 하며 

로 나타낸다

 실수를 수직선에 나타낼 수 있는 것과 마찬가지로 복소수는 평면상에 나타낼 수 있다. 흔히 직교 좌표계에서 

x축을 실수축을 R(z), y축을 R(z) 으로 둔 좌표계를 복소평면이라 한다.

 실수와는 달리 복소수는 순서체가 되지 않는다. 다시 말해 {P, {0}, -P} 가 복소수 집한 C의 분할이 되면서 

x,y ∈ P -> x+y, xy ∈ P를 만족하는 집한 P가 존재하지 않는다. 다만 복소수에도 절댓값을 생각할 수는 

있다. 좌표평면에서 (x,y) 의 위치 벡터의 크기를 원점에서부터 거리로 √(x² + y²) 로 나타내듯이 z = x + iy

의 복소평면에서 크기, 즉 절대갓ㅈ은 ㅣZㅣ = √(zz) = √(x² + y²) 로 나타낸다.

 정수, 유리수, 실수와는 다르게, 임의의 복소수 계수 n차식은 복소수 계수 1차식 n개의 곱으로 인수분해된

다. 따라서 방정식만 고려한다면 복소수를 넘는 수 체계가 반드시 필요한 것은 아니다. 벡터공간이라는 강력

한 대수구조를 복소수 이상으로 활용하고 있다.

 허수의 유래는 대수적 필요에 의해 생겨난 것이지만, 복수수를 정의역으로 갖는 함수에 대해 다루는 복소함

수론의 영역으로 들어가면 실수 영역에서는 할 수 없었던 온갖 테크닉을 구사할 수 있게 되어 수학과만이 아

닌 여러 공과계열 학과에서 복소함수론을 배운다. 예를 들면, 복소평면을 잘 이용하면 실수직선상에서는 잘 

적분되지 않는 특이적분(improper integral)을 비교적 쉽게 계산할 수 있으며, 라플라스 변환이나 미분방정

식의 풀이에 있어서도 각종 Mapping을 이용하여 풀이를 상당히 단순화할 수 있다.

*드무아브르의 정리(de Moiver’s theroem)

 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 등식을 의미한다.

복소수와 삼각함수간의 관계를 보여준다.

x가 실수라는 가정 하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 cosx, sinx 만을 

사용하여 cosnx 와 sinnx을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라 zⁿ = 1 의 복소근을 쉽게 구

할 수 있다.

*복소함수(complex function)

 정의역과 공역의 원소가 모두 복소수인 함수를 말한다.

f:C -> C 꼴의 함수이다.

f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)  여기서 u, u:R² -> R 이다.

*오일러의 항등식(Euler’s identity)

 e는 자연로그 밑, i는 허수, π는 원주율

출처 : 

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%ED%95%AD%EB%93%B1%EC%

8B%9D

76

여기에 x = π를 대입하면 오일러 항등식을 얻을 수 있다.

77

(2) State more than 10 things that you know/can/find after you studied this 

course. (2) 본 강좌를 학습한 후, 깨우친 것 (알고 있는 것, 알 수 있는 것, 찾을 수 있는 것)

을 10개 이상 기술합니다.  

by 백승준

[1주차]

Final[W1 HW][열린문제1] 행렬의 종류(정사각,대각,영,전치행렬)와 주요 성질 - 이*한

finalize by [HW W1]  벡터와 행렬의 실생활 – 전*준

Finalized by.  [W1 HW1] 임*섭 행렬, 가우스 소거법, 기약행사다리꼴(Reduce row 

echelon form, RREF) - 임*섭

finalize by [W1 HW] 벡터와 행렬 정리 및 가우스 소거법 예제 – 전*준

[Finalize] [W1 HW]  역행렬의 가역판정 – 노*완

[Finalize] [W1 HW]  선형연립방정식 첨가행렬 – 노*완

[Final][W1 HW1] 백승준 open problem 1 ~ 3  - 백*준

Final comment : 선형 대수학에 관련된 내용을 학습하면서 어려웠던 내용 특히 가우스 

소거법에 대해서 다양한 사람들과 학습하면서 이해할 수 있었고, Open problem을 풀어

보며 복습하였습니다. 선형연립방정식의 문제를 해결할 수 있는 자신감이 생겼습니다. 

[2주차]

[Final]W2 HW1] 백승준, 2.1 의 (선택 optional 인) * 방향각과 방향코사인 (Direction 

Angle, Direction Cosine) _ open problem 2 – 백*준

Final [HW2 W2] 2.5 정사영(Orthononal Projection) open problem 5 [최소제곱문제

(least squares problem)] - 백*준

Final comment : 정사영에 대해 공부하며 개념 이해하는 것이 어려웠지만 교수님께서 

말씀하셨던 모두의 요구를 다 들어줄 수는 없지만 서로가 만족하는 해를 정사영이라는 개

념을 통해 알 수 있다고 들은 내용이 인상 깊었습니다.

[3주차]

final [W3 HW1- 예습] 벡터함수의 극한과 연속 정의와 예제문제 실습 – 박*수

Final [W3 HW1] 3.8 등위곡선 (Level Curves) open problem 3 – 백*준

Final comment : 1학기에 배운 일변수 함수에 대한 극한이나 연속, 미분 등의 개념이 

벡터함수로 확장되고 기하학적으로 어떻게 나타낼 수 있는지 그래프를 직접 볼 수 있어서 

신기했습니다.

[4주차]

Finalize[W4 HW]음함수 미분법 예제문제 풀이 ,열린문제 1 <예습> - 신*호

Final comment : 다변수 함수의 편미분과 전미분, 그리고 방향도함수와 편미분의 관계

를 학습하면서 다변수 함수의 변화율에 대해서 알 수 있었습니다. 이를 통해 우리가 회사

78

에서 여러 가지의 값들 즉 변수들이 변화할 때의 변화율 (변화량, 변화하는 방향)을 계산

하여 다음의 값을 예측도 할 수 있을 것이라 생각합니다.

[5주차]

[Final OK by SGLee] [W5 HW1] 이변수함수의 극대 극소 [열린문제1] - 천*준

[Final OK by TA] final [W5 HW1] 이변수함수의 극대,극소 [Open problem1] - 박*수

[Final OK by TA] Re-Final [W5 HW1] 라그랑주의 승수법 (Method of Lagrange 

Mulitpliers) Open problem 2 – 백*준

Final comment : 이변수함수의 극대 극소와 라그랑주의 승수법을 통해 최댓값, 최솟값

을 쉽게 구할 수 있게 되었습니다.

[6주차]

[Final OK by TA] Re [HW W6] 삼중적분의 응용 (Open problem 4) - 백*준

Final comment : 직교좌표를 극좌표로 변환하여 극좌표에서의 이중적분과 곡면의 넓이

를 구할 수 있고, 삼중적분에서도 직육면체 영역에서 연속이면 푸비니 정리가 성립하는 

것을 배웠습니다. 

[7주차]

[Final OK by SGLee] Re-Finalize [Final OK by TA] [HW W6] 이중적분 및 곡면적 예

제 실습 The Gaussian integral, also known as the Euler–Poisson integral, [열린문

제1] - 백*준

Final comment :  극좌표계에서의 이중적분을 구하며 풀어본 예제가 가우스 적분을 증

명하기 위해 사용된다는 것을 교수님 덕분에 알게 되었습니다.

[8주차]

[HW W7] 구면좌표계(spherical coordinate system)에서의 야코비안(Jacobian)유도 – 

백*준

Final comment : 원기둥, 구면 좌표계를 통해 삼중적분의 계산이 훨씬 쉬워진다는 것을 

알 수 있었고, 야코비안을 통해 다중적분에서의 변수 변환도 할 수 있었습니다.

[9주차]

[Final OK by SGLee]Re-final 백승준 [Final] [HW W8] 9주차 [열린문제2] 발산정리 

(divergence theorem), 발산정리의 의미- 백*준

Final comment : 벡터장이라는 새로운 개념과 이 벡터장의 회전, 발산, 선적분, 면적분 

등을 학습하고 그를 통해 그린정리, 스트로크 정리, 발산 정리가 어떻게 증명되는지 배웠

습니다.

79

By 임경섭 

- 교수님의 의미있었던 게시글.

1) 수학의 노벨상 Finally we made it!! 상문고 다니다 ... 시인이 되려고 자퇴하고 ... 쉬다가 ... 

검정고시 보고, ...

수학의 노벨상 Finally we made it!! 상문고 다니다 ... 시인이 되려고 자퇴하고 ... 쉬다가 ... 검

정고시 보고, ... 

https://www.chosun.com/economy/science/2022/07/05/N6MUCKOLCFGHLGRGORUY5DFVM4/

‘경시대회 포기자’에서 ‘천재수학자’로… “인생도, 수학

도 성급히 결론 내지 마세요”

Great^^.    https://horizon.kias.re.kr/21745/

에  비교적 구체적인 연구  내용 설명이 있네요^^ 

(아래는)  호암상 추천서 일부 for 허준이 박사^^ 

(2년전에는  Fernholz Visiting Professor 2019.09—present Distinguished Visiting Professor, 

IAS and Princeton University.

Visiting Professor  방문 교수였는데 ...  이 추천후 스탠포드 교수 되면서 호암상 받고, 호암상 

받고 프린스턴 교수가 되더니 ... 어제 '수학의 노벨상이라고 불리우는 필즈상을 받았네요'^^ 

)  

NOMINATION FOR THE HO-AM PRIZE

AWARD CATEGORY Science SUBCATEGORY :  Mathematics

NAME OF CANDIDATE (KOREAN, 한글) : 허준이

(ENGLISH) June Huh

YEAR OF BIRTH           1983

ADDRESS Institute for Advanced Study, 

1 Einstein Drive, Princeton NJ 08540

E-MAIL / TELEPHONE *** 

2. POSITION OR TITLE :  Visiting Professor (IAS and Princeton University)

3. CURRICULUM VITAE PERIOD JOB DESCRIPTION/ACTIVITY

Fernholz Visiting Professor 2019.09—present Distinguished Visiting Professor, IAS and 

Princeton University.

Visiting Professor 2017.09–2019.08 Visiting Professor, IAS.

Veblen Fellow 2014.09–2017.08 Research Fellow, IAS and Princeton University.

Clay Research Fellow 2014.09–2019.08 Research Fellow, Clay Mathematics Institute.

4. 추천 근거 (THIS NOMINATION IS BASED ON DISCOVERY, IMPROVEMENT OF, OR 

CONTRIBUTION TO) :

80

June Huh studies discrete objects using geometric methods. An unexpected relation 

between combinatorics and algebraic geometry found by the candidate was used in his 

proof of Read’s conjecture in graph theory from 1968. In recent works,

he and his collaborators proposed a general framework that treats the objects from the two 

seemingly disparate fields in a unified way. This led to proofs of several other 

long-standing problems in combinatorics, such as 1971 conjecture of Welsh and 1974 

conjecture of Dowling and Wilson. June Huh’s program allows us to study combinatorial 

objects using geometric methods, and conversely, geometric objects using combinatorial 

methods. His disproof of Demailly’s Hodge conjecture for positive currents, where the 

counterexample is obtained by geometrizing a pathological combinatorial structure, is an 

application of the second kind. The bridge built between the two primary modes of 

reasoning, the discrete and the geometric, will continue to increase our understanding of 

mathematical objects.

호암상 수상:  

https://www.chosun.com/national/people/2021/04/07/X277MYTG5FHPVH5DX6YYXGA2OU/ 

https://www.yna.co.kr/view/MYH20220705021600704  

[영상] "문제가 안 풀릴땐…" 필즈상 쾌거 허준이 교수의 난제 대처법

07-05 21:25

(서울=연합뉴스) 한국계 수학자인 허준이(39. June Huh) 미국 프린스턴대 교수 겸 한국 고등

과학원(KIAS) 수학부 석학교수가 5일(현지시간) '수학 노벨상' 필즈상의 영예를 안았습니다.

...

39살 젊은 수학자로서 최고의 영예를 안은 그는 뜻밖에 '포기할 줄도 아는 자세'를 언급했습니

다.

수학에서 '난제'라고 하는 것들은 오랫동안 풀리지 않은 그럴만한 이유가 있기 때문에 수학할 때 

자신에게 '너무 열심히 하지 말자'라고 되뇌곤 한다는 것입니다.

허 교수는 "우리가 인류 전체로서 아직 그런 종류의 현상을 이해할 준비가 안 된 것도 있고, 혹

은 내가 개인 연구자로서 그 문제를 연구하고 이해하기에 준비가 안 된 때도 있다"고 했습니다.

그렇게 준비가 안 됐을 때 '나는 무슨 일이 있어도 이것을 이를 악물고 해서 5년 이내에 풀어내

겠어'라고 한다면 공부하는 과정이 굉장히 고통스럽다며 "문제를 하나를 정해두고 집착하면 마

음도 힘들고, 마음이 힘들면 발상이 너무 경직된다"고 지적했는데요.

그는 "물론 계속 열심히 안 하는 것은 힘들겠지만, 포기할 때는 놔줄 줄도 알아야 한다"고 조언

했습니다.

...

그에겐 예술가의 피가 흐른다. 한국 근대 조각의 거장 권진규(1922~1973)의 조카 손자다. 

  지난해 그의 할머니 권경숙(권진규 여동생) 여사가 서울시립미술관에 권 화백의 작품을 기증

81

해 화제를 모으기도 했다.   ( <--- 이 90세 넘으신 할머님이 어제 경기여고보 동창 (저의 

점심 친구인 생물과 선배님의 어머님)에게 제 에게 전화하여 손자 자랑을 한껏 하신 분입니

다^^ )그에겐 예술가의 피가 흐른다. 한국 근대 조각의 거장 권진규(1922~1973)의 조카 손

자다. 

  지난해 그의 할머니 권경숙(권진규 여동생) 여사가 서울시립미술관에 권 화백의 작품을 기증

해 화제를 모으기도 했다.   ( <--- 이 90세 넘으신 할머님이 어제 경기여고보 동창 (저의 

점심 친구인 생물과 선배님의 어머님)에게 제 에게 전화하여 손자 자랑을 한껏 하신 분입니

다^^)

 https://www.chosun.com/national/weekend/2022/01/01/ASP3UHRZTBD3VC7XN3LGQCIS2A/ 

어린 시절 집 안 구석구석 권진규의 테라코타 조각상이 있었단다. “밤에 화장실 다녀올 때마다 

너무 무서웠던 기억이 나요. 집안 어른들이 유명 조각가라고 해서 그런 줄로만 알았는데 제가