- 1 -

PBL Report (개인성찰 노트) 

2022년 1학기 Final PBL Report    

미분적분학 1 

[Math & 코딩]  - 인문대, 사회대, 공대 및 전문대 학생을 위한  

<미적분학> Single variable Calculus  강의록/실습실 : http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/ 

<다변수 미적분학&코딩> Multivariable Calculus 강의록/실습실 : http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/ 

  Prof : 이 상 구 (Sang-Gu LEE)

과제함 Due day : 2022. 5. 27 (in HW box in I-campus) 

*Name (이름) : 이*한, 백*준, 천*준, ...  

[Final 프로젝트 발표] (30분) https://youtu.be/Hqn7A91BY30  (발표순서)

6팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-6/   (Math & 코딩 for 초등학생 사칙연산)

2팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-2/   (포물선 운동 with Math & Coding)

5팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-5/  (Sage프로그램을 이용한 3D 프린트 도안만들기)

3팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-3/  (Sage Program을 이용한 설비관리)

4팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-4/  (Project_클린룸 FFU 풍속 계산)

1팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-1/  (자율주행 안전사고 예방 )

                 [Final PBL 보고서 발표] 

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-전*준 (1)  https://youtu.be/htpo9lwQyss 

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-천*준 (2) https://youtu.be/wEST2YdQE9o 

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-이*한 (3)  https://youtu.be/L09l50NOLEc 

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-백*준 (4)  https://youtu.be/KRf9s6xOKMw

(5번-20번) 2022 Spring, Final PBL 학생 발표 5 (30분) https://youtu.be/fp-7drDN11I 

[Math & 코딩] 국민은행 AI-MBA [Math for AI 강좌] [Final PBL 보고서]  

  http://matrix.skku.ac.kr/2020-AI-GSB-Final-PBL-1/ http://matrix.skku.ac.kr/2020-AI-GSB-Final-PBL-2/ 

- 2 -

[목 차] (Contents)

Ch 1장. Participation [참여평가]

 1. 주차별 학습 내용 요약

 2. PBL  학습 후 배운내용

 3. PBL 학습 진행간 토의 내용

Ch 2장. Participation 자기 평가

Ch 3장. Self Evaluation (개인 성찰 노트)

1. Self Evaluation 1

2. Self Evaluation 2

3. Self Evaluation 3 (동료평가)

Ch 4장. 개인 성찰 Quiz

Ch 5장. PBL Participation/Activity Part

1. 수열의 극한

2. 순열과 조합

3. 삼각함수

4. 삼각함수 변수의 성질

5. 미분의 성질

6. 역삼각함수의 관계

7. 함수의 극대값 극솟값 정의

8. 급수와 부분합의 정의

9. 등비수열

10. 주기함수의 정적분

11. 삼각함수의 미분

12. 등비급수의 수렴과 발산

13. 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

14. 삼각함수의 덧셈 법칙

15. 역함수의 존재 조건

16. 역삼각함수의 덧셈 법칙

17. 함수의 극한

- 3 -

18. 삼각함수의 극한

19. 근사해

20. 삼각함수의 수평, 수직 점근선

21. 역쌍곡선함수의 정의 및 도함수

22. 합성함수의 연쇄법칙

23. 음함수·

24. 매개변수 함수의 미분

25.. 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 

26. 미분을 이용한 선형근사

27. 2계 도함수의 활용

28. 뉴턴의 방법 (Newton’s method)

29. 역도함수(antiderivative)와 부정적분(indefinite integral) 

30. 넓이 문제와 정적분(definite integral)

31. 정적분의 성질  

32. 적분에 관한 평균값 정리

33. 이상적분 (Improper integral)

34. 정적분을 응용한 넓이, 부피, 호의 길이 

35. 곡선의 매개변수 방정식 

36. 회전체의 부피

37. 원통껍질 방법(shell method, Shell integration)으로 회전체의 부피 구하기

38. 곡선의 길이 (Arc length)  

39. 매개변수 곡선의 길이

40. 곡면의 넓이 (Surface area)

41. 매개변수 함수(parameter function) 곡면의 넓이

42. 극방정식에서의 접선(tangent line), 넓이(Area), 호의 길이(Arc length)

43. 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

44. 거듭제곱 급수(Power Series)

45. 테일러 급수(Taylor series)와 매클로린 급수(Maclaurin series)

46 테일러 정리(Taylor's theorem)

Ch 5장. [Project 제안서(only)]

Ch 6장. Final Comment after your report

- 4 -

■ 강의 계획서

주 차 

진 도 

비 고 (교안/실습실/동영상강의) 

1 

 강좌 소개 및 복습 (Math & Coding)

 9학년(중3) 수학, 10학년(고1)  수학 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W1/  

 https://youtu.be/dvreK7t4UIY   

2 

 복습: 11학년(고2) 수학 1, 수학 2 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W2/ 

 https://youtu.be/j0EI6z2xjSw  

3 

 복습: 12학년(고3) 미적분 

 함수의 그래프와 방정식의 해 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W3/ 

 https://youtu.be/2k0PJ4zs9q4 

 https://youtu.be/zQnjYU4pyR8    

4 

 역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W4/ 

 https://youtu.be/JFAsjc3E70U  

5 

 함수의 극한, 극한 정리 연속함수

 중간값 정리 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W5/ 

 https://youtu.be/Didz3qkHCqM 

 https://youtu.be/Vde0ah_FcJo 

6 

 도함수, 접선의 방정식, 미분 법칙  

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W6/ 

 https://youtu.be/269uVGhQg6s  

7-1 

 연쇄법칙, 음함수와 매개변수함수의 미분법 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W7/ 

 https://youtu.be/1bnoS27s1xw  

7-2 

 발표평가/중간고사 

 https://youtu.be/CYLugm1mFN8

 https://youtu.be/j7josDk1Bg8

 https://youtu.be/iEtNpeBzY90   

8 

 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수

 로그함수의 미분법, 선형근사 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W8/

 https://youtu.be/9aSLI9cG4ZM  

9 

 쌍곡선함수 미분법, 역쌍곡선함수 미분법

 평균값 정리, 로피탈의 법칙(부정형의 극한) 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W9/ 

 https://youtu.be/YMJcVIbwy6M   

10 

 극댓값과 극솟값(최댓값, 최솟값) 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W10/ 

 https://youtu.be/gQYucuXMYgc  

11 

 부정적분, 치환 적분법, 부분 적분법

 정적분, 정적분의 기본정리, 이상적분 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W11/ 

 https://youtu.be/6EhJxj8n_-E  

12 

 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식 

 극좌표의 그래프, 넓이와 길이 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W12/

 https://youtu.be/xKu-ajdhNyY 

 https://youtu.be/uOThnTVZPvw  

13 

 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현

 테일러 급수와 매클로린 급수 

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W13/ 

 https://youtu.be/yGhJ7yoX1XI 

 https://youtu.be/jBsj6gPg-gM 

14/15 

[종합평가] PBL 보고서 / Project 발표 / 기말고사

- 5 -

■ Sage 명령어

정의

변수 

var(‘x’)

값 정의(예: a=3) 

a=3

함수의 정의 (예: 

)

f(x)=x^2

미분과 적분

도함수 

diff(f(x), x) 

부정적분

integral(f(x), x) 

[a,b]에서 적분 

integral(f(x), x, a, b) 

음함수의 미분법

F.implicit_derivative(y,x)

그래프 그리기

일반함수(2D) 

plot(f(x), (x의 범위))

음함수(2D)

implicit_plot(f(x)==0,(x의 범위),(y의 범위))

선분(2D) 

line([(1, 1), (2, 2)], color='red')

매개변수 함수 그리기

parametric_plot((f(t), g(t)), (t의 범위))

회전 곡선의 그림

revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 1),

show_curve = True, opacity = 0.7, 

parallel_axis='x', aspect_ratio = [1, 1, 1])

# x축을 중심으로 회전시킬 때는 axis = ‘x’

# y축을 중심으로 회전시킬 때는 axis = 'z' 

극한

a에서 극한

limit(f(x), x=a) 

a에서 우극한 / a에서 좌극한

limit(f(x), x=a, dir='+')

limit(f(x), x=a, dir='-')

+

에서의 극한 / -

에서의 극한

limit(f(x), x=+oo) / limit(f(x), x=-oo) 

기타

방정식 풀이

solve(f(x)==0, x)

변수 a의 값 보이기

print(a)

정의된 함수 f 보이기

show(f)

sqrt(a)

가장 큰 수 / 가장 작은 수

max() / min()

pow(x, a)

인수분해 값 구하기

factor(f(x)

몫과 나머지

quo, rem = f.maxima_methods().divide(g)

차집합

(U.difference(A)).difference(B)

로그 (

)

log(b,a)

근사해 구하기

Find_root(f(x), x 범위)

정적분 근삿값 구하기

numerical_integral

극좌표 → 직교좌표

r, t = ,  # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)

유리수 표현

QQ()  

- 6 -

Ch 2장. Participation (참여부분) 자기 평가(20

점)

  

1.  (20점) 본인이 그간 Q&A,  동료학생, “본"강좌 등에 기여한 내용을 간단히 서술하세요! 

  (1)  QnA 참여 회수 <QnA에서 직접 확인하세요> : 각 주별 (토요일에서 금요일)  

(1)

 1주차 : 총 2 회,   2주차: 총 7 회,   3주차: 총  9 회,   4주차: 총 14회

(2)

 5주차 : 총 12 회,   6주차: 총 12 회,   7주차: 총 7 회,   8주차: 총 8 회

(3)

 9주차 : 총  10 회,  10주차: 총  12회,  11주차: 총 12  회,  12주차: 총  10 회

(4)

13주차 : 총  1 회,  14주차: 총   회,  15주차: 총   회.

                            총 115회  (질문: 15회,  답변/수정/Finalize: 100회)  

  (2) 다음 밑줄 친 곳에 들어갈 내용을 고르시오.

     나는 아래의 내용 중 함수, 역함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍

공선함수 미분, 부정적분, 정적분, 극솟값, 극대값의 개념, 수열의 극한, 순열, 조

합, 고계도함수, 미분법칙, 접선의 방적식, 연쇄법칙, 음함수, 매개변수 함수의 미

분법, 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 선형근사, 뉴턴의 방

법, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선함수 미분법, 평균값 정리, 부정형 극한에 대한 로피탈 

법칙, 치환 적분법, 부분 적분법, 이상정분, 정적분의 성질, 적분 응용을 통한 함

수/매개변수 의 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식, 극좌표의 그래프, 극좌

표의 넓이와 길이, 수열, 급수, 양항함수의 수렴/발산 판정법, 일반함수의 수렴/발

산 판정법, 거듭제곱 급수, 테일러 급수, 매클로린 급수, 테일러 정리  의 개념을 

이해하고, 설명할 수 있으며, (간단한 것은 손으로, 복잡한 것은 Sage/R/python 

등의 도구를 이용하여) 계산하여 그 의미를 설명할 수 있다.

- 7 -

     

 함수, 역함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍공선함수 미분, 부정적

분, 정적분, 극솟값, 극대값의 개념, 수열의 극한, 순열, 조합, 고계도함수, 미분

법칙, 접선의 방적식, 연쇄법칙, 음함수, 매개변수 함수의 미분법

===========================================

삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 선형근사, 뉴턴의 방법

쌍곡선 함수, 역쌍곡선함수 미분법, 평균값 정리, 부정형 극한에 대한 로피탈 

법칙, 치환 적분법, 부분 적분법, 이상정분, 정적분의 성질, 적분 응용을 통한 

함수/매개변수 의 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식, 극좌표의 그래프

극좌표의 넓이와 길이, 수열, 급수, 양항함수의 수렴/발산 판정법, 일반함수의 

수렴/발산 판정법, 거듭제곱 급수, 테일러 급수, 매클로린 급수, 테일러 정리   

  

(3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은? 

   - 10년이라는 시간 동안 미적분에 대해서 접근할 일이 많이 없었는데, 제시된 문제에 대해서 

학우분들과 상호 간에 공동으로 문제해결 방안을 고민하고, 개별 학습과 협동 학습을 통해 문제 

해결하면서 수학에 다시 접근하는 데 큰 문제 없었던 것 같습니다. 

함께 토론하고 문제해결에 도움을 주신 교수님, 학우님들께 감사한 마음이 큽니다.

-------------------------------------------------------------------------------

 성균관대학교에 입학한 지 3개월이라는 시간이 흘렀습니다. 미적분학

의 다양한 수학적인 개념을 이해하고 토론하면서 많은 점을 느꼈지만, 

특히 Sage code로는 누구나 문제를 풀 수 있습니다. 그러나 저희가 

할 일은 여기서 멈추는 것이 아니라 반대로 안 되는 문제들에 대해서

는 어떻게 풀어나갈지에 대해서 수학적으로 고민을 하고, 이를 모듈화

함에 따라 저를 제외한 다른 학우님들이 사용할 수 있게 만드는 것이 

중요하다는 것을 느꼈습니다. 

- 8 -

Ch 3장. Self Evaluation 1. (개인 성찰 노트) 

[성찰노트]

※ 다음 항목들을 고려하여 자신의 학습 과정과 내용을 기록하시오.

1.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?.

네. 지금 5주 차까지 진행한 학습 내용을 모두 이해하고 교재에 있는 모든 예시문에, 응용문제, 

열림 문제들을 직접 실습실에서 실행하고 수기 풀이와 영상을 병행하며 학습을 진행하여 학습 

내용을 이해 및 숙지하였습니다.

13주차까지의 진행한 학습 내용을 매주 정리하며 질문사항이 있는 경우 바로 검색을 이용하여 

질문하고 해결하였으며 실습한 내용을 QnA를 통하여 공유하며 진행하였습니다.

2.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습 방법 및 자료)

1. 학습 내용을 숙지하고 교제에 있는 코드를 이용하여 실습실에서 실행을 진행하였습니다.

2. 교제에 있는 링크를 이용하여 YOUTUBE에 있는 개념 영상과 참고 자료들을 이용하여 기본

개념을 숙지하였습니다.

3. 예시, 열린, 응용문제 중 풀리지 않는 문제들은 성균관 아이 캠퍼스 문의 게시판에 이해하지 

못한 부분을 정리하여 글을 작성하고 교수님과 학우님들의 조언을 통하여 부족한 부분을 채웠습

 Class 

   미분적분학1

 Name/이름

이주한

ID

wngks4250@g.skku.edu

학습한 내용

 함수, 역함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍공선함수 미분, 부정적분, 정적분, 극

솟값, 극대값의 개념, 수열의 극한, 순열, 조합, 고계도함수, 미분법칙, 접선의 방적식, 연쇄

법칙, 음함수, 매개변수 함수의 미분법, 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분

법, 선형근사, 뉴턴의 방법, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선함수 미분법, 평균값 정리, 부정형 극한에 

대한 로피탈 법칙, 치환 적분법, 부분 적분법, 이상정분, 정적분의 성질, 적분 응용을 통한 

함수/매개변수 의 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식, 극좌표의 그래프, 극좌표의 넓

이와 길이, 수열, 급수, 양항함수의 수렴/발산 판정법, 일반함수의 수렴/발산 판정법, 거듭

제곱 급수, 테일러 급수, 매클로린 급수, 테일러 정리 

자기 점검표

활동(Activity)

Excellent

Good

Fair

1.

나는 개인학습을 할 때 다양한 학습 자료를 사용하였다.

O

2.

나는 새로운 정보와 지식제공에 기여하였다.

O

3.

나는 토의에 적극적으로 참여하였고, 토의의 촉진과 이해를 위한 적절한 질

문을 많이 제공하였다.

O

4.

나는 우리 반이 원활한 학습활동을 하는 데 기여하였다.

O

- 9 -

니다.

4. 마지막으로 완벽히 이해한 문제나 부분들을 정리하여 성균관 아이캠퍼스 문의 게시판에 글을 

작성하여 학우님들에게 공유하였습니다.

5. QnA에 다른 동료들이 모르는 점을 질문한 글을 확인하고 알고 있다면 답변을 달고, 모른다면 

다시 확인하고 다른 동료들이 답변한 글을 확인하며 복습을 진행하였습니다.

6. 프로젝트를 진행하며 지금까지 배운 지식을 활용하여 새로운 문제를 제작하고 새로운 학습 방

법을 생각하며 다시 한번 복습하였습니다.

  

3.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

미적분학 1을 시작하기 전에는 파이선 등 코딩과 수학은 전혀 관계가 없는 과목, 방식 등으로 생

각하였습니다. 그래서 코팅을 통한 미적분학을 배우는 데 있어 걱정이 많았습니다. 미적분학조차 

잘못하는 상황에서 코딩이라는 방식을 공부해야 하는 상황을 상상하였고 더욱더 어떤 방식으로 수

업이 진행될지 혼자 걱정하며 시작을 하였습니다. 하지만 본 강좌를 하면서 수학을 조금 더 편하

게 느끼기 시작하였고 남은 1학기 공부를 시작할 때와는 다른 기분을 가지고 재미를 느끼며 수학

이라는 학문을 공부하는 방식을 배웠습니다. 미적분이 어떠한 기여를 하는지 주변 일상생활에서 

어떤 부분들에 활용되는지를 확인하였습니다. 다음 여름학기에 진행되는 미적분학 2의 내용을 미

리 준비한다는 생각으로 이번 PBL 보고서를 작성하여 제출하도록 하겠습니다.

4.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가? 

제가 본 강좌를 진행하면서 모르던 문제들과 새로운 지식을 아이캠퍼스의 문의 게시판이라는 공

유의 장을 이용하여 어떤 학우는 공식을 보기 쉽게 정리하여 공유하고 어떤 학우는 모르는 문제

를 공유하여 다 같이 토론할 수 있도록 하셨고 어떤 학우는 본인이 확실히 학습한 내용을 정리

하여 공유해주시는 등 공유하면서 혼자서는 알 수 없었을 많은 정보와 지식을 보고 저 또한 공

유하면서 매우 효율적인 공부를 할 수 있었습니다. 미적분학 1을 하면서 처음으로 팀 프로젝트

를 진행하다 보니 제가 중간에 놓쳤던 부분들을 다시 점검할 수 있었고 다른 동료분들이 놓친 

부분을 도와주며 서로에게 도움 되는 활동을 하였습니다.

5.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

이번에 배운 inverse hyperbolic function 등 다양한 함수를 코드를 이용하거나 실습실을 이용하

여 시각적으로 그래프를 그리는 방법을 숙지하였기 때문에 다른 사람들에게 제가 배운 함수들이나 

공식들을 알려주거나 자료를 만드는 데 충분히 활용할 수 있다고 자신합니다.

미적분학 1을 학습하면서 배운 지식과 교수님께서 알려주신 html 만드는 법, sage 프로그램을 활

용하여 초등학생들이 수학을 배우면서 가장 먼저 배우는 사측 연산을 더 쉽게 배울 수 있는 프로

젝트를 진행하였습니다. 

- 10 -

6.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적으세

요.) : 1주 차와 2주 차까지는 어떤 방식으로 QnA를 진행해야 하는 건지 몰랐지만, 교수님의 설명을 지속

해서 듣고 조금씩 알아가는 과정이었습니다. 그리고 3주 차 4주 차부터는 조금 더 자신감 있게 질문도 드

리고 학우들에게 정보도 공유하면서 QnA 활동을 잘하였다고 생각합니다. 조금 아쉬운 점은 1주 차에 파

악하지 못한 부분을 빠르게 파악하고 진행하였더라면 더욱더 완벽한 활동을 할 수 있었을 거 같아 95점을 

부여하였습니다.

중간고사 이후에도 지속해서 실습한 내용을 QnA를 통해 다른 동료들에게 공유하였으며 질문

사항이 있을 때 온·오프라인을 통해 즉각적으로 질문하였습니다. 또한 다른 동료들이 질문한 

내용을 천천히 확인한 후 알맞은 답변을 하고자 노력한 학기였습니다. 

      100점.

7.

다른 학생에 대한 평가

저희 소재부품융합공학과 학우님들은 모두 배경지식이 다른 사람들이 모여서 지금의 강좌를 진행하고 

있습니다. 정말 각각의 사람들은 마지막 공부가 10년이 될 수도 있고 1년일 될 수도 있는 상황에서 이

번 과정을 진행하며 학교 강의실에서 교수님들이 교육해주신 부분들을 서로 도움을 주면 교육을 수강하

였고 회사에서 따로 자습할 때는 서로 먼저 다가가 질문하고 알려주면 이제 막 5주 차가 지나가고 있습

니다. 코로나 상황으로 따로 밥 한 끼 먹기 힘든 상황이고 벌써 8명의 확진자 발생상황이지만 서로 조

금씩 도와가고 도움을 받으며 이제 학교 3년 과정을 시작하는 단계에서 벗어나고 있습니다. 비록 이제 

시작이지만 함께 지금 미적분학 1을 수강하면 서로 도움을 주고받는 일이 끝까지 갔으면 좋겠습니다. 

감사합니다.

중간고사 이후 학습 내용이 조금 더 어려워져 QnA를 통한 학습 내용 공유가 많이 줄어든 거 같습니다. 

하지만 질문을 많이 하면서 그러한 부분들이 줄었고 다들 열심히 하는 모습을 옆에서 확인할 수 있었습

니다

         100 점. 

1.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?  

: 네, 이해했습니다.

2.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습 방법 및 자료)

 1~6주 차에 대해서는 수학에 대한 기본개념들에 대해서 복습하며, 수학적 사고에 대해서 많은 고

민과 이야기를 나누었던 것 같습니다.

 7~13주 차에서 대학 미적분학 과정에 대해서 새로운 개념을 동료들과 토론하고, 실제 코딩을 해

보면서 코딩으로 표현이 어렵거나, 계산 오류가 나는 것들에 대해서 왜 안되는지에 대해서 질문하

고 답하면서 깊은 내용을 알 수 있었던 것 같습니다.

[출처] 

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/ - 미적분학 1 (Calculus 1) 이상구 with 김응기, 이재화

https://mathbang.net/ - 수학방 

https://www.youtube.com/results?search_query=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85 - 유튜브[수학

- 11 -

중독]

3.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

마이스터고 졸업생으로 고등학교의 수학 과정 중 대부분을 못 들었기 때문에 대학미적분

에 대한 걱정이 앞섰습니다. 하지만 3주 동안 중3~고3 과정을 복습하면서 학생들 사이의 

편차가 조금씩 줄어들고 있는 것을 느꼈고, 모르는 내용은 공부를 잘하는 학우들에게 물

어보고 답을 구하는 과정에서 개념들을 이해할 수 있었습니다. 수학은 어려운 계산 문제

를 푸는 것이 아니라 그 개념을 이해하는 것에 집중하고, 복잡한 계산 문제는 Sage를 통

해 실습하며 스스로 해결한 덕분에 수학에 대한 자신감이 생겼습니다. 학우들과 Q&A에서 

토론을 하며 서로 모르는 것들을 학습하고 새롭게 알게 된 내용을 공유하며 모두 다 수학

에 대한 이해도가 높아지는 것을 느꼈습니다. 앞으로 더 어려운 내용을 배우겠지만 학우

들과 교수님과 함께 학습하면서 개념들을 깨우치는 데 집중하도록 하겠습니다.

: 1~6주 차 기간은 수학 주요 개념에 대해서 한 달 동안 집중해서 복습하였습니다.

 주차별 수학적인 개념에 대해서 접근한 뒤, 다양한 응용문제를 수기로 직접 풀어보았습니다.

이후 Sage program을 통해 재확인하고 수기로 풀 수 없는 복잡한 문제까지 Coding을 통해 쉽게 

답을 구할 수 있는 것을 확인하였습니다.

 

  7~13주 차 기간에는 적분의 기본개념의 활용해 다양한 넓이, 회전체의 부피, 곡선의 길이를 계

산할 수 있었으며, 로피탈 법칙을 통한 부정형 극한의 판정, 양항급수에 대한 수렴/발산 판정법, 

테일러 급수와 매클로린 급수 학습을 통해 좀 더 대학 미적분학에 가까워지고 있다는 것을 느꼈습

니다. 또한 7주 차에 접어들면서 문제가 복잡해짐에 따라 짜인 코딩으로는 웬만한 문제는 해결할 

수 있지만, 풀 수 없는 문제들에 대해서는 컴퓨터가 읽을 수 있도록 수식을 변환해 주는 것에 대

해서 학습하였습니다. 

4.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가? 

: 다양한 예시를 통해 생각하지 못했던 문제들을 주제로 토론하고 해답을 찾을 수 있었습니다. 

 

5.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

: 개념에 대해서는 이해하고, Coding을 이용하여 계산이 어려운 문제에 대해서 해를 얻을 수 있다

는 것을 알았으니, 이를 이용하여 그동안 쉽게 지나쳤었고, 생각하지 못했던 문제들에 대해서 수

학적으로 접근해보려고 노력하고자 합니다.

 프로젝트를 진행해보면서 Sage math를 좀 더 실제 생활에 적용이 가능할 것 같다는 생각이 들

었습니다. 작게는 현재 저희가 학습하고 있는 대학 물리에서부터 다양한 설계 커리큘럼에도 적용

이 가능할 것으로 생각했습니다. 

1.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 

적으세요.)

- 12 -

 : 점수 (9.5/10) 

학기 초에는 수학적인 기본개념에 대해서 정확히 이해하고 코딩을 이용해야 한다고 생각하여 주

로 공식 유도 및 증명에 대해서 많은 노력하고 공유하였으며, 7주 차 이후에는 문제들에 대해서 

수학적인 사고방식으로 접근하여 코딩에 접목하였습니다. 

Self Evaluation 2. (개인 성찰 노트 2) 

[의견]

  ▶ 자체평가에 따른 잘한 점

: 온-오프라인 출석을 규칙적으로 하였으며, 동료에게 주차별 학습에 대한 기본개념에 관해서 

설명하고, 심화 문제를 토론하였습니다. 동료 간 토론을 통해 문제에 관한 결과를 도출하며 

학습하였습니다.

  7주 차~13주 차 기간에는 여름 집중할 때 배울 다변수 미적분학에 사용될 테일러 급수와 

매클로린 급수에 대해서 동료들과 토론하며 결과를 도출하였습니다. 

 

▶ 자체평가에 따른 아쉬운 점

-

심화 문제에 대해서 질의응답에 대해서 심도 있게 고민해보지 않았던 것 같습니다. 수학적인 

역량을 키워 앞으로 심도 있는 토론을 하도록 하겠습니다.

  ▶ 자체평가에 따른 잘한 점

과 목 명

   미분적분학1

이  름

 이주한

ID

wngks4250@g.skku.ed

u

평가항목

전혀

아니

다

아니

다

약간

아니

다

약간

그렇

다

그렇

다

매우

그렇

다

1.

온라인-오프라인 출석을 규칙적으로 하였다. 

○

2.

QnA에 적극적으로 참여하였다.

○

3.

QnA 내용에 적합한 질문과 응답을 하였다.

○

4.

동료에게 도움이 되는 지식과 정보를 제공하였다.

○

5.

다른 동료의 의견을 존중하였다.

○

6.

QnA 운영 및 의견수렴과정에 긍정적으로 기여하였다.

○

7.

이번 강좌의 동료와 다른 수업도 듣고 싶다.  

○

- 13 -

온라인- 오프라인 수업의 출석을 결석, 지각없이 매번 참석하였으며 QnA를 매주 4회 이상 

참여하였습니다. 또한 QnA를 통해 모르는 점을 교수님과 학우분들에게 질문하였으며 다른 

학우분들이 모르는 점을 조사하여 정리하고 답변하는 활동을 지속해서 진행하였습니다.

미적분학에 대하여 모르는 점뿐만 아니라 QnA를 어떻게 해야 하는지 답변의 정리는 어떤 

방식으로 하는지 저의 방법을 다른 학우들과 공유하며 더욱더 나은 수업환경을 조성하기 

위하여 노력하였습니다.

매주 3회 이상 QnA를 통해 학습한 내용을 공유하였으며 매주 1회 이상 다른 동료들이 작

성하고 공유한 것을 읽고 답변 및 질문하였습니다. 또한 프로젝트 리더를 하면서 주도적으

로 팀 프로젝트를 진행하면서 목표한 내용을 성공적으로 마무리하였습니다. 

 

  ▶ 자체평가에 따른 아쉬운 점

아쉬운 점으로는 실시간 수업 중 질문을 하지 못하고 수업이 종료되면 질문할 거리가 생각이 나오

는 점이 아쉬운 점이라고 생각합니다. 아직 이 강좌를 시작한 지 얼마 되지 않았지만, 코로나 상

황으로 실시간 화상 수업을 진행하고 있지만, 강의실에서 다 같이 수업을 진행한다면 조금 더 활

발한 활동을 할 수 있을 것 같습니다.

중간고사 이후 학습 내용이 전보다 많이 어려워졌다고 생각합니다. 이러한 부분으로 중간고사 전

보다 QnA를 활발하게 진행하지 못하였습니다. 하지만 학습하고 실습한 내용은 줄었지만 어려운 

부분이나 질문할 부분들이 많이 생겼습니다. 이러한 부분들을 교수님과 동료들에게 많이 질문한 

기간이었습니다. 

- 14 -

Self Evaluation 3. (개인 성찰 노트 3)

자신의 학습에 도움이 된 우수한/성실한 동 료 평 가

과 목 명

 인공지능을 위한 기초수학 입문

 

피평가자(동료) ID

   Best classmate 

 백승준, 전형준

평가자(작성자) ID

   your name

 이주한

평가항목

전혀

아니

다

아니

다

약간

아니

다

약간

그렇

다

그렇

다

매우

그렇

다

1.

온라인-오프라인 출석을 규칙적으로 하였다. 

○

2.

QnA에 적극적으로 참여하였다.

○

3.

QnA 내용에 적합한 질문과 응답을 하였다.

○

4.

동료에게 도움에 되는 지식과 정보를 제공하였다.

○

5.

다른 동료의 의견을 존중하였다.

○

6.

QnA 운영 및 의견수렴과정에 긍정적으로 기여하

였다.

○

7.

이번 강좌의 동료와 다른 수업도 듣고 싶다.  

○

  [의견]

     ▶ 자체평가 중 잘한 점

: 학생들이 어떤 것을 궁금해하는지 잘 이해하고 있는 것 같으며, 적극적으로 문제 

해결 및 토론에 임하는 자세가 모범이 되며, 앞으로도 많은 것을 여쭤보고 도움이 많

이 될 것 같습니다. 

     다른 동료들의 QnA들을 확인하고 추가적인 정리와, 질문들을 진행하여 QnA 글들의 완

성도를 높이고 저의 학습에도 많은 도음을 주셨습니다. 또한 온라인뿐만 아니라 오프라

인에서도 저의 모르는 점들을 알려주시고 많은 정보를 공유해주었습니다. 다들 처음 배

우는 내용들을 이해하고자 다들 매우 노력하면서 학습하였고 같이 공부하는 모습을 매일 

보며 저 또한 같이 열심히 하였던 거 같습니다

     ▶ 자체평가 중 미비점

저의 질문들은 천천히 쉽게 알려주시며 요약과 정보 공유들 모든 것들을 잘해주었던 것 

같습니다. 하지만 QnA에 답변 위주의 글로 요약 정리한 것을 많이 못한 것이 조금 아

쉽습니다.

- 15 -

Ch 1장. Participation [참여평가]  

담당교수 또는 다른 학생들이 QnA에 업로드한 글에 자신의 Final Comment or Answer를 10개 

이상 주시오. 

(1) State more than 10 Math Definitions and concepts what you learned in Part 1, 2, 3, 

...

1. 순열(Permutation)

: 순열(Permutation)이란 서로 다른 원소를 가진 집합에서 대상들을 선택하여 순서 있게 배열하는 

것

2. 조합(Combination)

: 조합(Combination)이란 서로 다른 원소를 가진 집합에서 원소들을 택하여 만든 부분집합

3. 삼각함수 변수의 성질 (Trigonometric variables and properties)

: f(x) = sin(x) 그래프에서 변수 

 에 대한 각 변수의 성질에 대한 설명 

[a : 진폭(lal) / b : 주기(2π/lbl)/ c : y절편 평행이동 / d : x절편 평행이동]

4. 지수함수 (Exponential)

 ① 

일 때, 실수

에 

의 값을 대응시키면 각각의 

에 대하여 

의 값이 단 하나로 

정해지므로 

는 

의 함수

 ② 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

 를 밑으로 하는 지수함수

5. 로그함수 (logarithmic functions)

  ①  

이므로 

에서

와 

를 바꾸면 지수함수

의 역

함수 

  ② 

는 

를 밑으로 하는 로그함수

- 16 -

6. 함수의 극댓값, 극솟값 판정

극대값 : 함수 f(x)가 좌우에서 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때 지점을 a라고 한다면 x=a에 

극대가 된다고 하고, 함수의 f(a)를 극댓값이라고 한다.

극솟값 : 수 f(x)가 좌우에서 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때 지점을 b라고 한다면 x=b에 극

소가 된다고 하고, 함수의 f(b)를 극솟값이라고 한다.

7. 도함수를 이용한 극대, 극소의 판정 

 함수 

가 

에서 미분이 가능하고, x=a에서 극값을 가지면 

이고, 

의 좌우

에서 도함수 

의 부호가 

1) 양에서 음으로 바뀌면 함수 

는 

에서 극대가 된다.

2) 음에서 양으로 바뀌면 함수 

는 

에서 극소가 된다. 

8. 등차수열 (arithmetic sequence)

첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이다, 두 항의 차이는 모든 연속하는 두 

항들에대해서 공통적으로 나타는 차이를 공차(Common difference)라고 한다.

등차수열의 첫항을 

, 공차를 

 라고 할 때, 일반항은 

 로 나타낼 수 있다.

9. 등비수열 (Geometric Progression) 

각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열이다. 일정한 비를 공비(Common ratio)라고 한다.

등비수열의 첫항이 

, 공비가 

인 등비수열의 

번째 항은  

로 나타낼 수 있다.

10. 자연수 거듭제곱의 합

: 수열 에 대하여  

의 합은 

 로 나타낼 수 있으며, 거듭제곱의 합은 

아래와 같이 정의할 수 있다.

 

11. 역삼각 함수 (Inverse trigonometric function)

: 역삼각 함수(Inverse trigonometric function)는 삼각 함수(trigonometric function)의 역함수

이다. 삼각 함수는 전단사 함수가 아니기 때문에 역함수를 정의하려면 정의역(domain)을 제한하

는 것이 필요하다. 

- 17 -

12. 쌍곡선 함수 (Hyperbolic function)

쌍곡선 방정식의 쌍곡선 좌표는 다음과 같이 sinh과 cosh 함수로 나타낼 수 있다. 원과 달리 θ는 

쌍곡선에서 각도의 의미는 없다. 

13. 역쌍곡선함수 (Inverse hyperbolic function)

역쌍곡선함수(Inverse hyperbolic function)는 쌍곡선함수(Hyperbolic function)의 역함수이다. 

삼각 함수는 전단사 함수가 아니기 때문에 역함수를 정의하려면 정의역(domain)을 제한하는 것이 

필요하다.

 

14. 함수의 극한 (Limit of a function)

독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워 질 때 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극

한이 존재하는 것을 수렴(convergence), 존재하지 않을 경우 발산(diffusion)한다고 한다.

 극한의 기본 성질은 아래와 같다. 

 

15. 연속함수 (Continuous function)

: 어떤 점에서 좌극한, 우극한 함숫값이 모두 존재하면서 값이 같으면 연속이라고 한다. 

연속 함수에서는 위의 극한의 기본 성질이 적용된다. 

- 18 -

16. 중간값 정리 (Intermediate value theorem)

: 구간에 정의된 실수값 연속 함수가 임의의 두 함수값 사이의 모든 수를 함수값으로 포함한다.

17. 고계도함수(high order derivatives)

: 함수 (x)를 미분 한 것이 일계 도함수 f'(x)이며 일계 도함수를 미분 한 것이 이계 도함수 f"(x)이

다. 어떤 함수를 n번 미분이 가능하고 원래 함수를 n번 미분 했을 때를 n계 도함수라 부르며 이

계 도함수 이상을 통틀어 고계도함수라고 한다. 

18. 합성함수의 연쇄법칙(Chain Rule)의 원리

:미적분학에서, 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다.

19. 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 

미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 

주변에서 1차 함수로 생각한다. 

 19.1.삼각함수(rigonometric function)의 미분(derivative)

- 19 -

   삼각함수 미분 

 증명

 19.2 역삼각 함수(Inverse trigonometric function)의 미분(derivative)

(a,b)에서 f’(

역삼각함수 도함수 

19.3 지수함수와 로그함수의 미분

- 지수 함수(exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정

의하는 초월함수이다. 로그 함수(logarithmic functions)의 역함수이다.

 지수함수 (Exponential)

 ① 

일 때, 실수

에 

의 값을 대응시키면 각각의 

에 대하여 

의 값이 단 하나로 

정해지므로 

는 

의 함수

 ② 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

 를 밑으로 하는 지수함수

지수함수의 미분공식

- 20 -

  ①  

이므로 

에서

와 

를 바꾸면 지수함수

의 역

함수 

  ② 

는 

를 밑으로 하는 로그함수

로그함수의 미분공식

 20. 도함수 응용 

함수 

가 

에서 미분이 가능하고, x=a에서 극값을 가지면 

이고, 

의 좌우에

서 도함수 

의 부호가 

1) 양에서 음으로 바뀌면 함수 

는 

에서 극대가 된다.

2) 음에서 양으로 바뀌면 함수 

는 

에서 극소가 된다.

21.1 2계 도함수의 응용

 2계 도함수는 

- 21 -

21. 미분을 이용한 선형근사 (linear approximation)

  선형 근사(linear approximation)는 어떤 함수를 선형 함수, 즉 일차 함수로 근사하는 것을 

말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 (미분 가능한) 함수의 그래

프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

22. 뉴턴의 방법 (Newton’s method)

미분 가능한 함수 f(x)의 해를 수치적으로 접근하고, 반복하여 근사해를 구할 수있게 하는 방법으

로, 앞서 학습한 선형근사함수를 활용하여 계산하게 된다. 

- 22 -

     

 이외 방법으로는 경사하강법 (Gradient Descent Algorithm)이 있다.

함수의 기울기를 낮을 쪽으로 계속 이동시켜서 극값에 이를 때까지 반복시키며, 제시된 함수의 기

울기로 최솟값을 찾아내는 머신러닝 알고리즘이다. 비용 함수(cost function)를 최소화하기 위해 

매개 변수를 반복적으로 조정하는 과정이며, 학습을 통해 모델의 최적 파라미터를 찾는 것이 목표

이다. 

23. 역도함수(anti derivative)와 부정적분(indefinite integral) 

​어떤 함수를 미분하는 과정이 있다면 이와 반대의 방향으로 ​미분하기 전 함수를 알아내는 과정이 

있다. 함수 f(x)가 주어졌을 때 F'(x)=f(x)인 함수 F(x)를 구하는 것으로 함수 F를 f의 역도함수(ant

iderivative)라고 한다.

이를 

 로 나타내고 

의 부정적분(indefinite integral) 이라 한다. 아래 관계식이 

성립한다. 

                              

부정적분(indefinite integral)은 미분의 역연산이므로 모두 미분 법칙에 따라 쉽게 증명할 수 있

다.

- 23 -

24. 넓이 문제와 정적분(definite integral)

일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작게 나눈 기본 도형의 

넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를 

구하는 방법을 구분 구적법이라고 하며, 이를 개념화 한 것이 정적분(definite integral)이라 한다. 

                     

  

여기서 f(x)를 피적분함수, a와 b를 적분 한계, dx를 적분 변수이다. 

25. 정적분의 성질 

정적분에 관하여 다음 성질이 성립한다. 이는 정적분의 정의에 의해 직관적으로 이해할 수 있다. 

                

- 24 -

26. 적분에 관한 평균값 정리

27. 이상적분 (Improper integral)

 이상적분이란 일반적인 정적분의 정의로 구해지지 않는 상황에서 정적분의 값을 구하는 것을 

말한다. 

1) 

아래 극한이 유한한 값으로 존재하면 

다음과 같이 정의한다. 

(2) 

아래 극한이 유한한 값으로 

존재하면 다음과 같이 정의한다.

- 25 -

(3) 

 가 모두 유한한 값을 가지면, 다음과 같이 

정의한다.

28. 정적분을 응용한 넓이, 부피, 호의 길이  

폐구간 

에 속하는 모든 

에 대해 

와 

가 연속이고 

 일 때, 곡선 

와 직선 

로 유계 된 영역의 넓이 

는 다음과 같다.

 

곡선 

29. 곡선의 매개변수방정식 

곡선의 매개변수방정식이 

이고 

일 때 곡선이 꼭 한 번만 그려진다면, 

정적분에 대한 치환법을 이용하여 다음과 같이 넓이 공식을 계산할 수 있다.

 

30. 회전체의 부피

회전체의 부피를 구하는 가장 기본적인 방법은 원판법이다. 회전체를 회전축에 수직으로 잘게 

잘라서 더해주는 방법이다. 즉, 평행 축에 수직인 방향으로 자르기 쉬운 경우에 사용하는 

방법이며, 

 함수 

가 

에서 연속이고 

일 때, 

로 둘러싸인 

영역을 

축 중심으로 회전시킬 때의 회전체 부피는 아래와 같다. 

- 26 -

                   

31. 원통 껍질 방법(shell method, Shell integration)으로 회전체의 부피 구하기  

곡선과 

과 직성, 

)로 둘러싸인 영역을 축을 중심으로 

회전시킬 때 생기는 입체의 부피는 다음과 같이 정의된다. 

 

  

32. 곡선의 길이 (Arc length)

평균값 정리에 의해 

을 만족하는 

가 존재한다. 

방정식이 

인 곡선 

의 길이(호의 길이, Arc length) 

을 계산하는 적분 

공식은 다음과 같이 쉽게 이해할 수 있다.

33. 매개변수 곡선의 길이 (Arc length)

곡선의 매개변수방정식이 

이고 

일 때 평면 곡선의 길이는 곡선 위의 

점 

에서 점 

까지 호의 길이는 다음과 같다.

- 27 -

34. 곡면의 넓이 (Surface area)

 

    

곡선이 매개변수방정식으로 주어져 있을 때 회전체의 겉넓이는 아래와 같다. 

33. 극좌표(Polar coordinates)와 극방정식 

극좌표(Polar coordinates)는 한 점을 원점까지의 거리 

과 

축의 양의 부분에서 반시계방향으로 

이루어지는 각도 

를 이용하여 

로 표현하는 방식을 말한다.

  

의 관계에 있을 때, 방정식 

를 극방정식(Polar Equations)이라고 한다.

- 28 -

34. 극방정식에서의 접선(tangent line), 넓이(Area), 호의 길이(Arc length)

에 대한 접선을 구하기 위해 

를 매개변수로 생각하고 곡선의 매개변수방정식을 다음과 

같이 쓴다. 

매개변수곡선의 기울기를 구하는 방법과 곱의 법칙을 이용하면 다음을 얻는다. 

곡선 

- 29 -

35. 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

 35.1 수열(sequence)

자연수 1, 2, ...에 대응하여 무한히 나열한 수를 수열(sequence)이라 하고,  간단히  

  

으로 표시한다. 이때 

을 수열의 일반항이라고 한다.

 35.2 급수(series)

무한수열의 각 항 을 합의 기호 

로 연결한 식을 무한급수(infinite series) 또는 급수(series)

라 한다. 이때 

 을 급수의 일반항이라 한다.

무한급수의 제 항까지의 합을 부분합(partial sum)이라 하고 으로 

표기한다.

 35.3 급수의 수렴/발산

이 

로 수렴하면 (

), 

은 수렴(Converge)한다. 

이 발산하면, 이 급수는 발산

(diverge)한다고 한다. 

- 30 -

  35.4 양항급수의 수렴 발산 판정법

모든 항이 0이상인 수열의 무한급수를 양항급수라고 부른다.

(1) 비교판정법 (comparison test)

(2) 극한비교판정법 (limit comparison test)

(3) 적분판정법 (integral test)

(4) 

급수 판정법 (p-series test)

- 31 -

(5) 비(ratio) 판정법 (ratio test)

 35.5 일반 급수의 수렴 발산 판정법

(1) 교대급수 판정법(Alternating series test)

(2) 절대비판정법(Absolute Ratio Test)

36. 거듭제곱 급수(Power Series)

다음과 같은 형식의 급수를 

에 관한 거듭제곱 급수(power series, 멱급수)라 한다. 

- 32 -

거듭제곱 급수 

에 대해 다음 세 가지중 하나만 가능하다.

1) 

일 때만 수렴한다. ( 

 )

2) 모든 

에 대해 수렴한다.  ( 

 )

3) 적당한 양수

이 존재해서 

 이면 수렴하고, 

 이면 발산한다. 이러한 

을 거듭제곱 급수의 수렴 반지름(radius of convergence)이라 한다. 

 거듭제곱 급수(power series) 

 에 대하여 

 이면 

 비판정법을 이용하여 수렴 반지를을 구할 수 있다. 

이다

37. 테일러 급수(Taylor series)와 매클로린 급수(Maclaurin series)

주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는 

것을 말한다. 테일러 전개(Taylor expansion)라고도 부른다.

 

  

  특히 a=0에서의 테일러 전개는 자주 사용되며, 이를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)

라고도 부른다.

 

38. 테일러 정리(Taylor's theorem)

 어느 구간에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 

에 가까워지는 오차항(tru

ncation error)의 합으로 표현할 수 있다는 정리. 우리가 보통 테일러 급수를 통해서 함수를 근사

- 33 -

한다고 하는 것은 이 테일러 정리를 가리킨다.

'접선'을 통해 함수를 근사하는 선형 근사(linear approximation)를 일반화한 다항함수 형태이다.

(2) State more than 5 things that you know/can/find ...  after you studied 

the first Part 1, 2,..

1. 도함수 활용을 통한 함수의 극대, 극솟값 판정이 가능함.

1) 양에서 음으로 바뀌면 함수 

는 

에서 극대가 된다.

2) 음에서 양으로 바뀌면 함수 

는 

에서 극소가 된다. 

2. 함수의 극한 수렴과 발산 판정이 가능함.

3. 역삼각함수가 되기 위한 정의역 구간 선정에 대해 이해함

4. 역쌍곡함수가 되기 위한 정의역 구간 선정에 대한 이해함.

5. 연속 함수의 좌극한과 우극한 확인 후 연속 함수 판정이 가능함.

6. 등차수열(arithmetic sequence)과 등비수열 (Geometric Progression)

가 주어졌을 때 n번째 항에 대한 수치 계산이 가능함.

- 34 -

1) 등차수열의 첫항을 

  , 공차를 

라고 할 때, 일반항은 

 로 나타낼 수 있다.

2) 등비수열의 첫항이 

, 공비가 

인 등비수열의 

번째 항은  

로 나타낼 수 있다.

7. 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분 대해서 이해하였음.

8. 로피탈(L'Hospital) 법칙을 통해 

 꼴에 대해서 극한 판정이 가

능함. 

9. 적분 응용을 통한 다양한 넓이, 회전체의 부피, 곡선의 길이 계산이 가능함.

10. 극좌표에 표기 법에 대해서 이해하고, 극방정식을 활용하여 그래프를 그릴 수 있음.

극좌표(Polar coordinates)는 한 점을 원점까지의 거리 

과 

축의 양의 부분에서 반시계방향으로 

이루어지는 각도 

를 이용하여 

로 표현하는 방식을 말한다.  

  

 

의 관계에 있을 때, 방정식 

를 극방정식(Polar Equations)이라고 한다.  

11. 양항급수에 대해서 5가지 판정법을 이용해 수렴/발산 판정이 가능함.

- 35 -

12. 일반급수에 대해서 2가지 판정법을 이용하여 수렴/발산 판정이 가능함.

- 교대급수 판정법(Alternating series test)    - 절대비판정법(Absolute Ratio Test)

13. 테일러 급수(Taylor series)와 매클로린 급수(Maclaurin series)의 형태에 대해서 이해하고 

표현이 가능함. 

주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는 

것을 말한다. 테일러 전개(Taylor expansion)라고도 부른다.

 

  

  특히 a=0a=0에서의 테일러 전개는 자주 사용되며, 이를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin serie

s)라고도 부른다.

- 36 -

(3) State your meaningful Final Comment/Answer/Discussions in 

Discussion/QnA.

1. 주기 함수의 정의

→ 주기 함수은 경우 

 가 정의 되는데, 이는 주기함수를 의미하며, 2차 함수의 

경우 정적분을 통해 면적을 구할 수 있음을 확인하고 원리에 대해서 토론하였습니다. 

2. 불연속 함수도 적분 가능성 토론

→ 모든 점에서 불연속인 함수는 항상 적분이 불가하나, 리만 적분이 가능한 함수가 가질 수 있

는 불연속점의 한정된 경우에만 가능하고, 이 경우 불연속 함수도 적분이 가능하다는 것을 배웠습

니다. 

 

임경섭(2022####81)3월 9일 오후 8:45

주기함수의 정적분에 대해 공부할 수 있었습니다. 감사합니다!! 추가로 아래 응용문제 만들어주신

거에서 2가지가 궁금해서 질문남깁니다. 첫번째 질문 :-x^2+4*x 의 범위가 0에서 1까지인데 밑에 

풀이 그래프는 0에서 2까지 그렸는데 범위랑 상관없이 만나는 점까지 그리는게 맞는건가요?? 두

번째 질문 : 함수가 모든실수에서 f(x) = f(x+4) 만족한다고하는데 x에 2를 대입할경우 f(2)=4 이고 

f(6)=0인데 그래프가 맞게 그려진게 맞는지 궁금합니다.

이주한(2022####78)3월 9일 오후 9:39

첫 번째 질문 :-x^2+4*x의 범위가 0에서 1까지인데 밑에 풀이 그래프는 0에서 2

까지 그렸는데 범위랑 상관없이 만나는 점까지 그리는 게 맞는 건가요?? → 오타

네요. 수정해서 다시 올리겠습니다. 감사합니다.^^ 두 번째 질문 : 함수가 모든 실

수에서 f(x) = f(x+4) 만족한다고 하는데 x에 2를 대입하면 f(2)=4이고 f(6)=0인데 

그래프가 맞게 그려진 게 맞는지 궁금합니다. → 제 의견을 말씀드리면 f(x) = 

f(x+4) 라는 것은 주기 함수라고 정의한 것입니다. 말씀하신 "f(2)=4이고 f(6)=0"은 

주기가 없을 때의 값입니다. 그러나, f(2)=4, f(6)=4 가 정의된다는 것은 즉 주기 

- 37 -

함수라고 생각하시면 됩니다. 관련 Link) 

https://www.youtube.com/watch?v=RQ9Y3s9S4H0

임경섭(2022####81) 3월 9일 오후 9:51

답변 감사합니다. 두 번째 질문은 문제에서 모든 실수에서 f(x)=f(x+4)에서 만족한다고 되어있는 

게 f(x)=f(x+6)로 되어야 맞는 것 같아서 드린 질문입니다. 위에 그려주신 그래프를 보게 될 경우 

f(6)과 f(12) 값이 0으로 같고 f(2)과 f(8)의 값이 4로 같은 것처럼 주기를 6을 나타내줘야 하는 게 

맞는 것 같습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 10일 오전 8:07

Q1) 불연속 함수도 적분이 가능한가요? (앞으로 저희가 배울 내용인가요?) Answer : 모든 점에서 

불연속인 함수는 항상 (Riemann Integral 관점에서) 적분 불가능합니다. 단 리만 적분 가능한 함

수가 가질 수가 있는 불연속점의 최대 Cardinality는 countable입니다. (불연속점 이 finite인 경

우는 대부분 리만 적분 가능하고, 불연속점이 countable인 경우는 리만 적분 가능한 일도 있고 

아닌 일도 있습니다.) <--- 이런 내용은 수학과 전공 3학년 이상 학생 대상에서 가르치고, 보통 

대학 1학년 미적분학에서는 모든 연속함수는 적분 가능하다는 것 정도를 배웁니다.

손혜원(2022####75)3월 10일 오후 4:19

주기함수의 정적분에 대해 쉽게 알 수 있었습니다. 감사합니다.

3. 쌍곡선함수의 공식 유도에 통하여 문의 답변

쌍곡선함수에서는 넓이를 정의하므로 양의 각(제1사분면)에서 대해서 계산하며,

가상의 삼각형 넓이 - 교점 호의 넓이 (적분) = 쌍곡선함수 넓이를 구할 수 있으며, 이를 각 X, Y

좌표에 대입하여 풀면, 현재 배우고 있는 쌍곡선함수의 식이 나옵니다.

 

※  공식 유도과정

노영규(2022####70)3월 17일 오후 4:44

정리가 잘돼있어서 이해하는데 도움이 됐습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 17일 오후 4:56

쌍곡선 함수의 정의를 확인하고 삼각함수와 쌍곡선 함수를 다시 정리하였습니다. 감사합니다.

- 38 -

백승준(2022####74)3월 17일 오후 6:06

cosh 함수와 sinh 함수에서 e가 나오는 이유가 궁금했는데 그 배경을 알 수 있었습니다. 감사합

니다.

전형준(2022####82)3월 17일 오후 6:06

삼각함수와 쌍곡선함수에 대한 관계가 궁금했었는데 해당 내용들로 잘 인지할 수 있었습니다. 또

한, 쌍곡선함수가 왜 이러한 식들이 나올까 하는가에 대한 해답을 얻었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 17일 오후 6:52

삼각함수와 쌍곡선함수의 정의를 비교해보고, 쌍곡선함수의 공식 유도 방법을 확인할 수 있었습니

다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 17일 오후 11:00

정리해주신 내용으로 쌍곡선함수의 공식 유도 방법에 대해 공부했습니다. 감사합니다

이상구(LEE SANGGU)3월 18일 오전 11:35

Finalize 하세요 유의미한 코멘트 준 학생들 이름 모두 더하시고, Final OK by SGLee 하세요.

================================================================================

1. 매개변수함수에 대한 곡선의 한 구간의 길이를 구하는 방법

열린 문제 2-2 (매개변수함수의 곡선길이)

f(t) = 1/2*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t/12)^5) *cos(t)

g(t) = 1/2*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t/12)^5) *sin(t)범위 : 0 ≤ t ≤ 31.42

- 39 -



final [HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길이, 곡면의 넓이), 먼

저,구하는 문제를 정확히 이해하는 것이 우선입니다. 답의 의미를 설명해 보세요 / 이주한씨는 이 

문제 완전 해결을 Final 프로젝트로 마무리 하셔서 발표 하시기 바랍니다. 답변에 대한 추가 답변 

-

이주한씨는 이 문제 완전 해결을 Final 프로젝트로 마무리 하셔서 발표 하시기 바랍니다.

이주한씨, 아래 그림을 보면 Arc length 를 구하기 위하여 (정리의 조건대로 한점에서 두 곡선이 

만나지 않는) 구간들 4개 (1-2-3-4분면)로 구간 t를 나누어서, 각각의 길이를 구해서 두 배로 하

면 전체 길이를 구할 수 있지 않을까요?

  ^^  다른 학생도 한 번 더 생각해 보시고, 답을 같이 만들어보세요^^

답변에 대한 추가 답변 - [HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길

이, 곡면의 넓이), 먼저 구하는 문제를 정확히 이해하는 것이 우선입니다. 답의 의미를 설명해 보

세요

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 6:26

 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ 에서 t 를 이동하면 어떻게 구간을 4개로 나누어  각각의 

곡선 길이를 구하고 두 배를 하면 아래 그림의 곡선길이를 모두 구할 수 있을지 바로 이해가 될 

것입니다.

var('t') 

f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) 

g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t)

df(t)=diff(f(t),t) dg(t)=diff(g(t),t) 

p1=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,0, pi)) 

p2=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,pi, 2*pi), color='red') 

p1+p2 으로 그려보면, 전체 그림이 보여질 것입니다.

- 40 -

그럼 면적을 구하려면, 어디서부터 어디까지 적분하여 어디 면적을 구하여 각각을 두 배로 하면 

전체 면적을 구할 수 있을 것입니다. 같은 방법으로 Arc length도 작은 조각 몇 개를 구하여 더

하고, 두 배로 하면 전체를 얻을 수 있는 것 아닐까요? 

 Final Final Comment

1. 2*pi 라는 전체 구간을 구하기 위하여 pi에 대해서 먼저 구하고 이에 대해서 2

배를 해주어 전체 구간의 매개변수 함수 곡선의 길이를 확인할 수 있었습니다.

   2. solve 함수를 이용하여 f(t) = g(t) 구간을 가시적으로 확인할 수 있었습니

다. 

2. (응용) 회전체의 겉넓이

final 이주한, 전형준, 이효민 [HW W11] [열린 문제3] 적분의 응용 (회전

체의 겉넓이)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 4일 오후 6:30

조회수 : 23

안녕하세요. 소재부품 융합공학과 이주한입니다.회전체의 겉넓이에 대한 요약 및 열린 문제 공

유해 드립니다.f(x) = tanh(x) 함수에 대해서 x의 구간을 지정하여 x축에 대한 회전체의 겉넓이

를 계산해보았습니다. tanh(x) 함수의 회전체의 경우 0 부근에서 정상적으로 회전체가 형성되지 

않았습니다. 이전 논의된 바와 같이 0 ≤ x ≤ 2*pi에 대해서 정확한 면적을 구하고 이를  x2하여  

-2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있었습니다.

1. 회전체의 겉넓이 수식

- 41 -

[열린 문제3] -2*pi ≤ x ≤ 2*pi에 대한 회전체의 겉넓이는 구할 수 없음.

f(x) = tanh(x) #f(x) 함수저장revolution_plot3d (f(x), (x, -2*pi, 2*pi), show_curve = True, o

pacity = 0.7, parallel_axis = 'x', aspect_ratio = [1, 1, 1]) # f(x) 함수[-2*pi≤x≤2*pi]에 대해

서 x축에 대해서 회전체를 형성한다.   

- 42 -

f(x) = tanh(x)df(x) = diff(f(x), x) # f(x) 도함수 지정surface = numerical_integral(2*pi*f(x)*s

qrt(1 + df(x)^2), -2*pi, 2*pi)  # integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2) 수식을 이용하여 f(x)[-2*

pi≤x≤2*pi]회전체의 면적을 구한다. print(surface)0 ≤ x ≤ 2*pi에 대해서 정확한 면적을 구

하고 이를 x2를하여  -2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있음

f(x) = tanh(x) #f(x) 함수저장

revolution_plot3d (f(x), (x, 0,2*pi), show_curve = True, opacity = 0.7, parallel_axis = 'x', 

aspect_ratio = [1, 1, 1]) # f(x) [0 ≤x≤2*pi] 에 대해서 x축에 대해서 회전체를 형성한다.   

f(x) = tanh(x)

df(x) = diff(f(x), x) # f(x) 도함수 지정

surface = 2*numerical_integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2), 0, 2*pi)  

# integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2) 수식을 이용하여 f(x)[0≤x≤2*pi] 회전체의 면적을 하고 대칭이기 때문에 x2를 하면 정확한 면적을 구할 수 있다.

print(surface)

- 43 -

이상구(LEE SANG GU)5월 4일 오후 9:07

Nice try^^ 다른 학생들은 이해 안 되는 부분, 추가로 질문하시고, Final Comments 달아보

세요.

전형준(2022####82)5월 9일 오후 6:16

이주한 학우님이 올려주신 tanh(x)의 값 (-2*pi, 2*pi) 구간에서 sage프로그램에 넣어서 보면 

0의 근사해를 볼 수 있었습니다. 근데 왜 이러한 값이 나오는지 궁금해서 구간을 (-2*pi,0) , 

(0,2*pi) 을 나누어서 겉넓이를 구해보니 서로 크기는 같고 부호는 다른 값들을 확인할 수 있

었습니다. 함수 f(x)의 값이 (-2*pi,0) 구간에서는 음수를 가지고 (0,2*pi) 양수를 가지는 원점

대칭의 함수이며 두 개의 구간을 구해 더하기 위해서는 abs를 사용하면 구할 수 있었습니다. 

또한, 이주한 학우처럼 (0,2*pi) 적분값을 *2하여 값들을 확인할 수 있었습니다. 제가 생각한 

객관적인 정보입니다. 틀린 부분이나 수정사항은 답글 남겨주시길 바랍니다. 이러한 실습을 할 

수 있게 도와주셔서 감사합니다.

이효민(2022####80)5월 10일 오후 6:59

회전체의 겉넓이를 구하는 방법을 sage 실습 과정을 통해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

Final Final Comment

tanh(x)함수의 회전체의 경우 0 부근에서 정상적으로 회전체가 형성이 되지 않았

습니다. 이전 논의된 바와 같이 0 ≤ x ≤ 2*pi에 대해서 정확한 면적을 구하고 이

를 x2를하여 -2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있었습니다.

3. 직교좌표 → 극좌표 변환의 한계에 관해서 토론하고 해결함.

[Final OK by TA] Finalize [HW W11] 극좌표 (Open Problem) 백승준, 이혜인, 노영규, 이주한, 

손혜원, 김현구, 박경현, 전형준



안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다..

이상구(LEE SANGGU)5월 9일 오후 7:47

직교좌표 (0, -12 ) 점을 극좌표로 손으로 구해보고, 또 코드를 고쳐서 구해서 정답을 구한 후 ... 

코멘트 달아서 누가 Finalize 하세요.

 https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2

- 44 -

 

1. 직교좌표 (0, -12) → 극좌표 (12, -pi/2)

2. [Sage code]

x, y = 0, -12 # x, y 좌표입력

- 45 -

r = sqrt(x^2 + y^2) # r 값계산 

if x == 0 and y < 0:

    theta = - pi/2

    print("r:",r,",θ:",theta)

elif x == 0 and y > 0:

    theta = pi/2

    print("r:",r,",θ:",theta)

elif x == 0 and y == 0:

    theta = 0

    print("r:",r,",θ:",theta)

elif x < 0 and y < 0:

    theta = arctan(y/x)-pi

    print("r:",r,",θ:",theta)

elif x < 0 and y >= 0:

    theta = arctan(y/x) + pi

    print("r:",r,",θ:",theta)

else:

    x > 0 and y > 0

    theta = arctan(y/x)

    print("r:",r,",θ:",theta)

Final Final Comment

 아시다시피 코드에서는 arctan(x/y)에서 분모가 0인 꼴이기 때문에 계산이 되지 

않습니다.  수기로 계산 후 코드 신규로 작성하여 공유드립니다.  문제를 수기로 

풀면서 절대적으로 코딩에 의지해서는 안되며, 과정에 대해서 이해를하고 있어야 

코딩도 짤 수 있다는 것을 느꼈습니다.

4. Multivariable Calculus 교제를 확인하고, 코딩의 우리에게 주는 

의미에 대해서 토론

Final by 노영규, 조현준, 김지수, 윤관수, 손혜원, 이주한, [New Book] (다변수 미적분

학 & 코딩) Multivariable Calculus, ... 일본조차도 내후년 수능부터 코딩 관련 과목이 

포함,

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 5월 4일 오전 10:03

조회수 : 53

Final by 노영규, 조현준, 김지수, 윤관수, 손혜원, 이주한, 

- 46 -

[New Book]   (다변수 미적분학 & 코딩) Multivariable Calculus

https://youtu.be/8qDXqX3XO5U

[New Book] 

● (다변수 미적분학 & 코딩)

Multivariable Calculus (다변수 미적분학)

https://youtu.be/8qDXqX3XO5U

● (미적분학 & 코딩) 미적분학(Single variable Calculus)

2022년 강의록/실습실: http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/ 

문-이과 구분없이 모든 대학 신입생과 직장인을 위한 이번학기 강의실

 https://m.blog.naver.com/PostView.naver?blogId=ezstkr&logNo=222720449099&proxyRefe

rer=&fbclid=IwAR2_Upzbay09n7MMPm3PnMa8QUYqsuU7rBdzx44crmoaZlewB5GAII2ju1Y

새로운 지식이 학교로 들어가서 정돈되어 교수나 교사의 입을 통해 나올 시간이 없다. 

그에 따라 IT 인력, 그중에서도 AI 인력들은 계속 품귀현상을 빚고 있다. ​얼마 전 출범을 앞둔 새 

정부에서 코딩과목을 수능에 포함하겠다는 대통령 공약을 뒤엎었다.

 이유는 가르칠 교강사가 부족하다는 이유였다. 그렇다. 개발자도 부족한데, 개발을 아는 강사는 

당연히 부족할 것이다. 단기간 충원도 가능해 보이지 않는다. 하지만 그렇다고 안하고 있어도 괜

찮을까? 수능에 포함한다는 것은, 일종의 메시지가 될 수 있었을 것이다. '앞으로의 세상은 이렇게 

변합니다. 준비하세요.' 뭐 이렇게 말이다.

디지털 변화에 둔한 일본조차도 내후년 수능부터 코딩 관련 과목이 포함되며, 미국은 아이비리그

에 진학하려면 이미 수학과 IT가 필수이다. 미국은 STEM(science, technology, mathmatics) 교

육에 적극적인데 그중에서도 tech, IT의 중요도가 높다고 한다.​정보가 빠르고 미래 변화에 관심이 

높은 일부 학부모들은 그래서 IT를 사교육으로 해결하는 중인 것 같다. 

학업 열기가 높은 일부 지역은 이미 6~70%가 IT 사교육을 받았거나 받고 있다고 한다. 공교육이 

주춤한 사이, 디지털 디바이드는 이미 시작되고 있는지도 모르겠다.

- 47 -



매일경제, 2021년3월25일자 기사 중에서 

이상구(LEE SANGGU)5월 1일 오후 12:46

,Casio/HP 공학계산기의 시대는 벌써 지나갔고, 이제는 스마트폰으로 모든 것이 수렴하는 시대이

니, 기능은 여러분이 직접 코드를 넣어서 만든 도구에 다 내장됩니다. 더구나 고쳐서 다른 상황에 

대응할 수 있습니다. 기존의 공학도구는 새로운 환경에 적응을 전혀 못 하여, 멸종 쪽으로 가고 

있답니다. Mathematica도 울프램알파로 완전히 방향이 바뀐 지 10~15년이 넘었습니다. 모바일 

수학에 적응하실 것을 추천합니다^^ Answer by 

 노영규(2022####70)4월 28일 오전 00:41 

 이번에 제가 버스를 타고 인사캠퍼스를 가고 오는 도중에 모바일로 우리 강의를 보면서 

바로 실습이 가능한 것을 보고 정말 놀랐습니다. 대중교통을 이용할 때 가방에서 노트북, 

태블릿을 꺼내기 어려웠는데 언제 어디서나 내 손에 휴대가 가능한 핸드폰으로 학습을 하

고 바로 실습할 수 있고 추가로 명령어를 내 마음대로 수정하여 실행이 가능한 것을 보고 

신세계를 느꼈습니다. 언제 어디서든 시간과 장소에 제한 없이 접근 가능하게 해주셔서 

감사합니다.

조현준(2022####83)5월 2일 오후 3:08

 사진은 조금 못 나왔지만, 미적분학을 배우는 이유부터 지금까지 배운 내용, 앞으로 배

울 내용들이 한눈에 보기 쉽게 정리되어 있어서 편리합니다. 교수님이 정리해주신 내용들

과 참고 사이트까지 함께 있어서 유용하게 사용하겠습니다. 감사합니다

김지수(2022####68)5월 2일 오후 3:16

 배운 내용들을 한 번 더 복습할 수 있고 정리해주신 사이트를 통해서 예습과 복습을 같

이 할 수 있을 거 같습니다. 자주 보면서 활용하도록 하겠습니다. 감사합니다.

- 48 -

윤관수(2022####77)5월 2일 오후 4:18

 올려주신 홈페이지를 통해 복습을 할 수 있었고 공부하는 데 도움이 많이 될 것 같습니

다. 감사합니다 !!^^

손혜원(2022####75)5월 2일 오후 5:05

 굳이 책을 들고 다니지 않더라도 그동안 수업했던 내용들을 언제, 어디서든 확인할 수 

있어 편리하였습니다. 감사합니다.

Final Final Comment

 더 이상 책을 다니고 푸는 문제들이 아닌 미적분이 하나의 

플랫폼 형태로 만들어지는 것을 보고 시대가 변화함에 따라 

교육의 형태도 바뀐다고 느꼈습니다. 하루빨리 모바일 수학에 

적응하여 많은 곳에 활용하도록 하겠습니다!

5. 바이어슈트라스 근사정리에 대해서 토론함.

[토론] '바이어슈트라스 근사정리' 또는 '스톤-바이어슈트라스 정리'에 대

하여 토론하세요

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 5월 14일 오후 8:42

조회수 : 53

[토론] '바이어슈트라스 근사정리'   또는  '스톤-바이어슈트라스 정리'에 대하여 토론하세요

1.수학자 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)가 1885년에 발표한 결과로 연속함수를 다항식으

로 근사할 수 있다는 것을 말해준다. 스톤(Marshall H. Stone)이 후에 이 결과를 확장하여 

그 결과를 스톤-바이어슈트라스 정리라고 한다.  

2. 여러분이  미적분학 1을  급수, 특히 학기 처음에 배운  다항식과 마찬가지로   다항식, 

테일러 다항식으로 마무리하는 이유에 대하여, 토론해 보세요.

3. 이혜인 씨가, 이제는 복잡한 과정 없이 sage math를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할 

수 있게 되었으니, I am happy. 여러분은 다항식의 모든 실근을 구할 수 있는 것을 3주 차

에 master 했습니다.  그러니까  다항식의  도함수의 실근들 즉 critical points도 모두 구할 

수 있습니다.  따라서 2계도 함수의 해가 되는 변곡점도 모두 구할 수 있습니다. 따라서 이익

을 극대화 손해를 최소화 하는  문제를 단지 다항식에 대해서만 할 줄 알면. 모든 single var

iable 연속함수의 극대 극소 문제  에는 이미 여러분이 답을 줄 수 있게 되었다는 의미입니

다.   맞지요?     이 의미가 아주 중요합니다.

- 49 -

4." 왜 임의의 연속함수에 대하여, 근사한 다항식이 존재한다"라는 ' 바이어슈트라스근사정리'

가 중요한지에 대해 좀 더 얘기해 보세요.

5. Key. 수학자 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)가 1885년에 발표한 결과로 연속함수를 다

항식으로 근사할 수 있다는 것을 말해준다. 스톤(Marshall H. Stone)이 후에 이 결과를 확장

하여 그 결과를 스톤-바이어슈트라스 정리라고 한다.

6. 이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오전 7:33즉, 다항식에 대한 충분한 이해, 미분과 적분 등

의 계산 등에 능하면 (여러분이 지금 그 상태입니다. ). 모든 연속함수의 극대, 극소, 최다. 최

소, 면적, 길이, 부피 등 , 모든 관련문제 에 합리적인 답을 줄 수 있게 된 것입니다.

7. 등등 많은 추가 의견 보태보세요.

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 10:48

아마 이 Fact가 여러분이 어렸을 때부터, 2차다항식의 근의 공식부터 지금까지 많은 수학을 

배워온 이유임이 느껴지나요?

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 11:22

우리가 이번 학기 배운 가장 중요한 것은. 예습하고, 수업 들으면서 수업 중에 질문하고, 또 

이해될 때까지 QnA에서 질문하고 답하면서, 매달 이해한 내용들을 모아 보고서를 만들고 제

출한 후, 수정 보완하여, 발표하면서, 동료 평가 받으면, 적어도 본인이 이해하고 잘 정리하여 

잘 발표한 내용에 대해서는, 각자가 충분히 자신감을 가져도 된다는 것입니다. 또 그런 자신

감을 바탕으로 팀 프로젝트도 수행해 가면서 각자는 실제 인생과 직업은 물론 자녀교육에도 

도움이 될 수학을 <포기할 이유가 전혀 없습니다. > 이 과정에서 단순 계산은 이미 코딩이나 

자연어 명령으로 로봇이나 인공지능에 시켜도 된다는 것도 여러분이 이해하게 한 것입니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 11:25

https://ghebook.blogspot.com/2020/09/polynomial-interpolation.html?m=1

Final Final Comment

한 점에서의 미분의 불가능성이 있기에 근사한 다항식이 존재한다는 것이 중요하다는 생각이 

들었습니다. 미분이 불가능한 것에 대해서 멈추지 않고, 미분이 불가능한 점을 제외하면 미분

이 가능한지를 확인하기 위해 근사 다항식을 알아야 할 것 같습니다. 때문에 '바이어슈트라스 

근사정리'가 중요하다고 생각합니다. 코딩을 통해 수학을 배우면서 단순히 코드만 돌리는 것이 

아니라 함수의 특성을 이해하고 이러한 점들을 찾아내는 것 또한 학습 시 할 일이라고 생각합

니다. https://www.instiz.net/pt/6343057

등록

이상구(LEE SANGGU)4월 24일 오후 3:50

다 잘했습니다. 그러나 f(x)가 항상 정의된다고 f'(x) 가 항상 정의되는 것이 아니라 이 경우는 

f(x)가 다항식이라 f'(x) 가 항상 정의되는 것입니다. 그래서 다항식이 미적분학에서 중요합니

다. 바이어슈트라스 근사 정리(Weierstrass's Approximation Thm) 가 그 답을 줍니다. 

- 50 -

이주한(2022####78)4월 25일 오전 9:22

이상구(LEE SANGGU)4월 24일 오후 3:50 다 잘했습니다. 그러나 f(x)가 항상 정의된다고 f'

(x) 가 항상 정의되는 것이 아니라 이 경우는 f(x)가 다항식이라 f'(x) 가 항상 정의되는 것입

니다. 그래서 다항식이 미적분학에서 중요합니다. → 교수님, 저는 f(x)가 연속함수일 경우 f'

(x) 가 항상 정의된다고 이해했는데, 같은 이야기인가요?

이상구(LEE SANGGU)4월 25일 오후 12:44

다른 얘기이고, 말씀하신 문장은 틀린 생각입니다. 1. f(x)가 연속함수여도 뾰족뾰족한 연속함

수이면 그런 점에서 f'(x) 정의 안 됩니다. 2. 미분 가능하면 연속이지만…. 역은 성립 안 합니

다. 

Final OK by TA ^^ [Finalize] 손혜원, 노태완, 이주한, 전형준 A Stud

y on Textbooks and Languages Used in College Mathematics Edu

cation / 미적분의 쓸모는?

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 28일 오후 3:43

조회수 : 39

A Study on Textbooks and Languages Used in College Mathemati

cs Education / 미적분의 쓸모는?

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 4월 22일 오전 10:49

조회수 : 50

대학수학교육에서의 교과서 및 사용 언어에 관한 연구

A Study on Textbooks and Languages Used in College Mathematics Education

https://www.kci.go.kr/kciportal/ci/sereArticleSearch/ciSereArtiView.kci?sereArticleSe

archBean.artiId=ART002827418

수학교육 논문집

2022, vol.36, no.1, 통권 89호 pp. 73-88 (16 pages)

발행기관 : 한국수학교육학회20220421_114348.jpg

미적분의 쓸모는 어디까지일까?[이기진 교수의 만만한 과학]

동아일보

입력 2022-04-22 03:00:00

- 51 -

https://www.donga.com/news/Opinion/article/all/20220421/113018220/1누구나 “이거

다!” 하는 때가 있다. 소설가는 한 인간의 서사를 들을 때, 시인은 이제껏 존재하지 않던 은유

가 떠오를 때, 사진가는 빛이 만드는 공간을 볼 때, 정치인은 역사적 소명을 마주할 때가 바

로 그때일 것이다. 물리학자인 나에게도 기억에 남는 장면이 있다.

고등학교 때 친구 집에 놀러 가서 친구 형님의 책상을 보게 되었다. 책상 위엔 종이가 어지럽

게 널려 있었다. 그 종이 위엔 지우개로 지워 가며 연필로 푼 미적분 문제들로 가득했다. 친

구의 형은 한 회사의 사장이었다. 퇴근하고 미적분을 푸는 게 취미라고 했다. 그 이야기를 듣

는데 그렇게 멋있을 수가 없었다. 퇴근하고 밤늦게 책상에 앉아 어려운 미적분 문제를 푸는 

게 취미라니. 그 친구의 형을 직접 만나 보지는 못했지만, 그날 이후 나도 그런 멋진 사람이 

되길 꿈꿨고, 수학을 좋아하게 되었으며, 그 멋짐을 내 삶의 가장 아름다운 가치로 생각하게 

되었다.

 우리 삶은 끊임없는 움직임 속에 있다. 나 자신도, 우리가 바라보는 세상도 움직인다. 이런 

변화엔 물리적 규칙성이 있다. 매일 아침 해가 뜨고, 태양과 지구는 자신만의 규칙적인 운동

을 통해 계절을 만들어낸다. 그렇다. 우리는 수학적 규칙을 따르는 질서정연한 태양계에 살고 

있다. 이런 움직임을 간단명료하게 설명하는 수학이 바로 미적분학이다. 미적분을 발견한 뉴턴

은 이를 토대로 해서 우주의 작동 원리를 만유인력의 법칙으로 설명했다. 만약 미적분학이라

는 수학이 없었다면 우리는 세상을 어떻게 설명할 수 있었을까?

얼마 전 블랙홀을 연구하던 제자가 학교에 와서 후배들과 함께 세미나를 했다. 그는 블랙홀 

연구로 박사학위를 따고 난 다음 유명 포털 회사에 취직한 상태였다. 아인슈타인의 상대성이

론을 이용해 블랙홀을 연구하다가 세상의 온갖 데이터를 연구하는 데이터 과학자로 변신한 것

이다. 그는 인공지능(AI) 컴퓨터 시스템을 응용해 데이터를 분석하는 프로그램을 개발하고 있

다고 얘기했다.

블랙홀 연구에 사용하는 수학적 방법과 포털 사이트의 수많은 데이터를 분석하는 수학적 방법

은 유사하다. 데이터 과학자들은 블랙홀을 설명하는 운동 방정식을 이용해 포털이 만들어내는 

복잡한 데이터를 분석한 후 원하는 정보를 얻어낸다. 물리학이 실험과 이론을 수학으로 연결

시켰다면, 데이터 과학은 컴퓨터가 이해할 수 있는 코딩 언어와 정보를 수학으로 연결시킨다. 

공통점은 수학이라는 언어다. 다루는 문제가 복잡하고 클수록, 복잡한 문제를 잘게 쪼개서 단

순하게 바꾸는 미적분학은 문제를 푸는 과정에서 큰 위력을 과시한다.

모든 것이 전산화되고 자동화되면서 세상이 빠르게 변하고 있다. 시공간의 제약을 없애주는 

플랫폼 확장 가상 세계, 인간의 지능의 한계를 없애주는 인공지능, 중앙집권화를 없애주는 블

록체인 등 우리가 아는 세상의 개념이 이진법의 세상으로 빅뱅처럼 확장되고 있다. 내 인생을 

바꾼 미적분학은 구석구석에 스며들어 변화를 이끄는 중이다.

파일 다운로드) KCI_FI002827418. pdf

이상구(LEE SANGGU)4월 23일 오후 7:29

The_rise_of_calculus https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_

calculus/  미적분학의 역사

- 52 -

손혜원(2022####75)4월 24일 오전 11:22

교수님이 올려주신 논문인 "대학수학교육에서의 교과서 및 사용 언어에 관한 연구" 를 읽고 

느낀 점입니다.

    저는 "수학을 한다는 것은 수학적으로 사고한다는 것을 의미한다. 대부분 국가의 초·중등

학교 수학교육에서는 교과서와 교수 언어 및 평가가 대부분 자국어로 이루어지므로, 수학을 

읽고, 쓰고, 듣고, 말하면서 수학교육이 이루어진다. 즉 다양한 맥락과 연관된 인쇄 및 필기 

자료를 활용하여 수학적 교수학습 내용을 이해하고, 해석하고, 만들어내고, 소통하고, 계산하

는 능력을 키운다. 수학 선진국의 경우, 대부분 자국어로 쓰인 우수한 대학 학부 수학교재를 

가지고 있다. 그러나 우리나라의 경우, 수학과 전공교재로 외국산 수입 교재 또는 번역서를 

사용하는 비율이 높은 편이다. 본 연구에서는 프랑스 부르바키의 사례에서 보듯이, 양질의 자

국어 대학수학 교재의 중요성과 대학수학교육에서 사용하는 언어가 국가 수학 경쟁력에 미치

는 영향에 관하여 연구하였다" 란 부분이 인상적이었습니다. 뒤늦게 대학에 입학해 여러 가지 

과목을 배우면서 여러 교재를 이용하고 있습니다. 그런 와중에 느낀 점이 몇몇 과목은 단순 

번역서의 느낌이 강하게 든다는 것이었습니다. 

   관련된 문제를 풀어볼 때도 실제론 어렵지 않은 내용이지만 문제가 말하는 바를 파악하는 

것이 더 어렵다고 생각할 정도로 대충 번역된 부분들이 있어 그를 파악하면서 오히려 교수님

께서 설명해주신 내용이 미궁에 빠지는 느낌을 적잖이 받기도 했습니다. (그러나 우리가 배우

는 <미적분학 1 with SageMath> 는 정말 한 번만 읽고 직접 따라 해보면, 그 의미와 내용이 

바로 이해가 되었습니다) 이런 과정을 겪으며 왜 대부분 대학에서는 번역서를 이용해 수업하

는 것인지 의문이 들었습니다. 제가 만약 영어를 잘한다면 그냥 원서로 공부하는 것이 나을 

것 같다는 생각도 했습니다. 그런 와중에 관련된 논문을 올려주셔서 매우 공감되었습니다. 그

러면서도 논문이 쓰였다면 문제를 인식한 사람이 있다는 것이므로 다음 세대가 대학교육을 받

을 때는 한글로 된 교재로 수업하는 일이 흔한 일이 될 수도 있겠다는 기대를 하게 되었습니

다. 좋은 논문을 (직접 써 주시고, 또) 공유해주셔서 감사합니다.^^

노태완(2022####71)4월 24일 오후 1:17

교수님의 올려주신 미적분학의 역사를 읽고 느낀 점입니다. 기원전부터 이어져 온 미적분학은 

16세기에 본격적으로 진전이 이루어졌다는 사실을 알게 되었습니다. 여러 수학자와 더불어 뉴

턴과 라이프니츠 각자의 미적분학의 접근 방법들을 확립시켜 17세기를 지나 18, 19세기 그리

고 현대에까지 사용되는 미적분학의 역사를 알 수 있었습니다.

이상구(LEE SANGGU)4월 24일 오후 3:48

질문. 왜 대부분의 대학에서는 대학교재를 원서나 번역서를 이용해 수업을 하는 것인지 의문

이 들었습니다. 답. 우리가 창조한 지식이 아닌 경우, 용어와 설명이 그 나라 말로 새롭기 창

조된 것이기 때문에, 다른 나라 말로 설명하면서 정확히 전달이 안 되는 경우가 많기 때문입

니다. 특히 새로 만들어진 외국 용어는 그 의미를 정확히 전달하는 해당 나라 (우리나라 포함) 

- 53 -

용어가 아직 정립이 안 된 경우가 많습니다. 다른 모든 수학 선진국들도 온 세계의 수학적 발

견과 기여를 학습하면서 발전하는 과정에서) 이런 과도기를 성실하게 거쳐서 그 용어와 개념

이, 온전히 자신의 나라의 언어로 모두가 쉽게 이해하는 단계에 도달한 후에, 그 이해를 바탕

으로 새로운 창조를 통하여 기존의 리딩 국가를 따라 잡은 것입니다. 수학의 경우 미국이 200

년 전 100년까지도 (프랑스, 독일, 영국으로부터 무시당하던 ) 수학 후진국이었습니다. 그런 

미국이 프랑스 수학, 독일 수학, 러시아 수학 등을 이해하기 위하여 자신의 언어 (영어) 쉽고 

다양하게 번역하여 책을 쓰고 가르치고 배운 사람이 다시 더 싶고 명확하게 고쳐서 설명하는 

충분한 과정을 거쳐 프랑스와 독일 수학 및 다른 경쟁하던 나라를 20세기 말에 대부분 넘어

서고, 그런 수학 경쟁력을 바탕으로 산업, 경제, 군사력에서 21세기 초 세계 최강대국 자리를 

차지한 것이랍니다.

전형준(2022####82)4월 25일 오전 11:43

우리가 배우는 수학은 어느 곳이나 살펴보면 있는 것이지 않을까 싶습니다. 과거를 통해 그것

을 알 수 있고 미래에는 이보다 더욱 큰 영향을 줄 수 있겠다는 생각이 듭니다. 현대과학은 

엄청나게 발전되어있고 복잡하기까지 합니다. 여러 가지의 학문이 융합되어 있고 그것을 이해

하는 것은 무리가 될 수 있습니다. 하지만, 대부분 공학의 기초는 수학이라고 생각하고 수학

을 잘해야 다른 분야도 쉽게 다가갈 수 있다고 생각합니다. 좋은 글을 통해 현대에서도 수학

의 중요성을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

Final Comment

데이터 과학은 컴퓨터가 이해할 수 있는 코딩 언어와 정보를 수학으로 연결시

킨다. 공통점은 수학이라는 언어다. 다루는 문제가 복잡하고 클수록, 복잡한 문

제를 잘게 쪼개서 단순하게 바꾸는 미적분학은 문제를 푸는 과정에서 큰 위력

을 과시한다. 저희가 배우고 있는 것이 중,고등학교때 배웠던 일반적인 수학이 

아니라 앞으로 나라의 발전에 기여를 할 수 있는 수학이라는 것을 느꼈습니다. 

좋은 글 감사합니다.

[The First or The Best!] 

- 54 -

Ch3. Quiz

1. 관심 있는 기계, 기술을 선정하여 기계, 기술 등에 적용된 수학적 지식이 

무엇인지 간단하게 설명하고 공유하였는가?   → True

2. 12주/3달간 교육한 내용 중 가장 어려웠던 개념을 정리하여 PBL 보고서

에 추가하고 정리하여 발표 동영상에서 설명할 것이다.   → True

3. (True/False). 10pts

   (After studying the 1-12th week lecture, I did  2-10 online activi

ties every week (summary/code practice/question/answer) on the b

ulletin board.(QnA)본인은 1~12주차 강의를 학습한 후, 게시판에서 매주 

(주차학습요약/Code실습/질문/답변 중) 4~6개 정도=Total more than 40~

80 회의 온라인활동을 하였다   → True

4. (True/False). 10pts 

  After learning the lectures in Weeks 1-12, I did add my online a

cademic activities regularly in EVERY WEEKs (self-introduction/stu

dy motivation/summary of parking learning/code practice/question

/answer) on the bulletin board every week.

 본인은 1-12 주차 강의를 학습하면서, 매주 게시판에서 꾸준한 온라인활동

(학습동기/주차학습요약/Code실습/질문/답변 중)을 하였다.    → True

5. 본인은 1-12주차 강의를 학습하면서, 교제에 있는 open problem에 대

해서 실습하고, 매주 1개 이상의 온라인 활동(Code실습/답변/질문)을 하였

다.    → True

6. 1-12주차에 배운 내용에 대해서 Sage program을 이용해 타교제를 참

고하여 심화 문제에 대해서 쉽게 답을 구할 수 있음을 확인하였다.   → Tr

ue

7. 1-12주차에서 배운 내용에 대해서 실생활에서 어떤식으로 활용이 되고 

있는지 2가지 이상 공유하고 토론하였다.   → True

- 55 -

8. 나는 프로젝트를 잘 마무리하여 제출하고, 수정 보완하여 발표할 것이다.  

 → True

9. (True/False). 10pts.나는 이제 1-12 주차 학습을 통해 수학적 개념을 

이해하고, 다른 학생(타인)에게 설명이 가능하다.   → True

10. 나는 이제 교재 이외에 보다 복잡한 문제를 코딩을 활용하여 해결이 가

능한가. (교재에서 학습한 수학적 개념을 이용하여 해결)  open problem의 

문제들을 sage프로그램에 대입하여 풀 수 있다.   → True

11. 교재에 제시된 예제 문제의 코딩 명령어 를 수정하여 유사한 관련 문제 

대부분은 해결할 자신이 있다. (문제 해결의 접근 다양화)   → True

12. 이번 학습을 통해 다음 학년들에게 해당 내용들을 설명하고 수업진행방

식에 대한 도움을 줄 수 있다.    → True

13. 나는 미분적분학을 배우는 이유를 이해하여 설명할 수 있다.    → Tru

e

- 56 -

Ch 4장. PBL Participation/Activity Part (30점)

(4장. 학습활동 참여 부분)

 중간고사 이전까지 QnA를 통하여 논의에 참여했던 내용에 자신도 참여했던 것 모두와 기타 자신

이 제공한 유의미한 정보 또는 그것에 자신이 참여한 부분을 모두 아래에 정리하시면 됩니다. (20

점) 

[Part1] - 중3 / 고1 수학

  1. 제곱근 (Square root)

   . 어떤 수 x를 제곱하여 a가 되었을 때의 x값 :

 → 제곱근 a 또는 루트 a (a ≥ 0)

  2. 인수분해 (Factorization) 

   : 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것

   . 공식 

    - 

    - 

    - 

    - 

    - 

    - 

    - 

  

     [참고] https://www.youtube.com/watch?v=ZpHUEC5AC6c&t=252s

  3. 이차함수 (Quadratic function) 

  . 함수 y=f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때의 함수

    - 일반형 : y=ax²+bx+c (a≠0) - 표준형 : y=a(x-p)²+q (a≠0)

     1) 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p>0, q>0

     2) 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p<0, q>0

     3) 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p<0, q<0

     4) 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p>0, q<0

    - a>0 : 아래로 볼록한 그래프

    - a<0 : 위로 볼록한 그래프

    -｜a｜가 커질수록 그래프의 폭은 좁아진다. 

   4. 다항식의 나눗셈

   . 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면,

    - A = BQ + R (B ≠ 0)

   5. 이차방정식의 실근, 중근, 허근, 판별식

   . 이차방적식 ax²+bx+c=0 (a,b,c,는 상수 a≠0)에서 b² - 4ac : 이차방정식의 판별식

    - b² - 4ac > 0 : 서로 다른 두 실근

- 57 -

    - b² - 4ac = 0 : 서로 같은 두 실근 (중근)

    - b² - 4ac < 0 : 서로 다른 두 허근

   6. 수직선 위의 선분의 내분점과 외분점

   . 내분점 공식  

   . 외분점 공식  

   7. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리 (PQ)

    .  

   8. 원의 방정식

    . 원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식

 

[Part2] - 고2 수학1, 수학2

    1. 지수함수 (Exponential function)

    . a를 양의 상수, x를 모든 실수값을 취하는 변수라 할 때 

 로 주어진 함수 

    . 지수법칙

    

    2. 로그함수 (Logarithm function)

    . 지수함수의 역함수로 

 = 

 를 

 = 

 로 나타낸다.

     - 밑조건 : a>0, a≠1 / 진수조건 : b>0

    3. 상용로그 (Common logarithm)

    . 

와 같이 10을 밑으로 하는 로그

    4. 로그/지수 방정식 : 로그/지수에 미지수를 포함한 방정식

    5. 로그/지수 부등식 : 로그/지수에 미지수를 포함한 부등식

    6. 삼각함수 (Trigonometric functions)

    . 각의 크기에 따라 변하는 삼각비를 나타내는 함수

    7. 수열 (Sequence)

    . 어떤 규칙에 따라 차례대로 나열된 수의 열

     - 등차 수열 : 이웃하는 두 항 사이의 차가 일정한 수열

     - 등비 수열 : 이웃하는 두 항 사이의 비가 일정한 수열

    8. 함수의 극한 (limit of a function)

    . 수렴 : 함수 f(x)에서 x의 값이 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값

이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 α에 수렴한다.

      

    α : x=a에서의 극한값 또는 극한

    . 함수 

 (

는 상수) 일 때에는 임의의 실수 a에 대하여 다음이 성립한다.

- 58 -

      

[참고]  https://www.youtube.com/watch?v=nKScxhbE7Cc&list=PLXJ3W1lEGK8W56nIWi8pTVbnT_3mmm3nJ

    . 발산 : 함수 f(x)가 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. (양의 무한대 or 음의 무한대)

     

    

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=rxNlfJD-s8Q&list=PLXJ3W1lEGK8W56nIWi8pTVbnT_3mmm3nJ&index=2

 

    . 함수의 극한값의 계산

     1) 

꼴의 극한값

     ① 유리함수의 경우 : 분모, 분자를 인수분해하고 약분한다.

     ② 무리함수의 경우

     : 분모 또는 분자 중 근호 (

)가 있는 쪽을 유리화한 후 약분한다.

     2) 

꼴의 극한값

     : 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항으로 나눈다.

     3) 

꼴의 극한값

     : 근호가 없는 다항식은 최고차항으로 묶고, 근호가 있을 때는 유리화한다.

     4) 

 꼴의 극한값

     : 통분 또는 유리화하여 

     . 미정계수의 결정

     1) 

의 꼴

      

     2) 

의 꼴

    

    

  

    . 함수의 극한의 대소 관계

     

- 59 -

    1) 

    2) 

   9. 평균변화율 

    . 독립변수의 변화량에 따른 종속변수의 변화량의 비

     

(

)

     

    10. 미분계수 (differential coefficient)

    . 평균변화율의 독립변수의 변화량이 0으로 다가갈 때의 극한값

      

    11. 미분가능성과 연속성

    . 함수 

가 

에서 미분가능하면, 

는 

에서 연속

     ※ 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

    12. 도함수 (derivative)

 . 미분가능한 함수 

의 정의역에 속하는 모든 x에 대하여 미분계수 

를 대응시키는 함수

   

  . 함수 

  1) 함수 

  2) 함수 

  3) 함수 

    13. 접선의 방정식

  . 미분가능한 함수 

의 

에서의 미분계수 

는 점 

에서의 접선의 기울기

     1) 접점이 주어지는 경우

       

 

     2) 기울기(m)가 주어진 경우

       

 (단, 

)

     3) 곡선 밖의 한 점 (p,q)이 주어지는 경우

       

 (단, 

가 성립)

    14. 롤의 정리

    . 함수 

가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때, 

이면 

인 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다. 

    15. 평균값 정리

    . 함수 

가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때, 

     

인 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

    16. 함수의 증가와 감소

    . 함수 

가 어떤 구간의 임의의 두 수 x₁,x₂에 대하여

     1) x₁ < x₂ 일 때, 

이면 

는 이 구간에서 증가

- 60 -

     2) x₁ < x₂ 일 때, 

이면 

는 이 구간에서 감소

  

  [참고]https://www.youtube.com/watch?v=MkbhpEfr65w&list=PLXJ3W1lEGK8W56nIWi8pTVbnT_3mmm3nJ&index=23

 

   17. 함수의 극대와 극소

    . 함수 

에서 

를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여

     1) f(x) ≤ f(a)이면 함수 f(x)는 x=a 에서 극대가 되고, 그 때의 함숫값 f(a)는 극댓값이다.

     2) f(x) ≥ f(a)이면 함수 f(x)는 x=a 에서 극소가 되고, 그 때의 함숫값 f(a)는 극솟값이다.

   

    [참고] https://www.youtube.com/watch?v=Xa16IyL9oJY&t=1s

    18. 극값과 미분계수

    . 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f’(a) = 0이다.

    19. 함수의 최대와 최소

    . 함수 

가 닫힌구간 [a,b]에서 극값을 가지면,

     1) f(x)의 최댓값은 극댓값과 f(a), f(b) 중에서 가장 큰 값

     2) f(x)의 최솟값은 극솟값과 f(a), f(b) 중에서 가장 작은 값

   

    . 함수 

가 닫힌구간이 아닌 구간에서 정의된 경우 최댓값 또는 최솟값이 존재하지 않을 

수도 있다.

    [참고] https://www.youtube.com/watch?v=lodS3P1AZ2o&t=24s

    20. 부정적분 (Indefinite integral)

    . 미분을 하여 f(x)가 되는 함수

- 61 -

     

    . 함수 

     

    21. 정적분 (Definite integral)

    . 열린구간 (a,b) 에서 연속일 때 부정적분 중 하나인 F(x)에 대하여 F(b) - F(a) 한 값

     

    22. 곡선과 x축 사이의 넓이

    . 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속일 때 도형의 넓이 S

     

    23. 두 곡선 사이의 넓이 : 두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속일 때 도형의 넓이 S

     

[Part3-1] - 고3 미적분

    1. 수열의 수렴

    . 수열 

에서 n이 한없이 커질 때, 일반항이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 수열 

은 α에 수렴한다고 한다. 

     

    

    [참고] https://www.youtube.com/watch?v=T7KRCjx8Zgs&list=PLXJ3W1lEGK8ULz2WP-Zd732UivspNwmRr&index=1

- 62 -

    2. 수열의 발산

     1) 수열 

에서 n이 한없이 커질 때, 일반항의 값이 한없이 커지면 수열 

은 양의 무한

대로 발산한다. 

     2) 수열 

에서 n이 한없이 커질 때, 일반항의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지

면 수열 

은 음의 무한대로 발산한다. 

     3) 수열 

이 수렴하지도 않고, 양/음의 무한대로 발산하지도 않으면 진동한다고 한다.

    3. 수열의 극한

    . 수열의 극한의 성질

     - 수열 

     1) 

     2) 

     3) 

     4) 

    . 수열의 극한값의 계산

     1)  

 꼴 : 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나눈다.

        (분자의 차수) > (분모의 차수) 

        (분자의 차수) = (분모의 차수) 

= (최고차항의 계수의 비)

        (분자의 차수) < (분모의 차수) 

= 0

     2) 

꼴

        . 다항식의 극한은 최고차항으로 묶는다.

        . 무리식의 극한은 분모 또는 분자를 유리화한다.

    . 수열의 극한의 대소 관계

      수열 

     1) 

     2) 

    . 등비수열 

- 63 -

     1) 

     2) 

     3) 

     4) 

    4. 급수 (Series)

    . 수열 

     

       

     1) 급수 

     2) 

    5. 급수의 수렴과 발산

     1) 

       

       

     2) 수열 

    .  급수의 성질

       급수 

     1) 

     2) 

     3) 

    6. 등비급수

    . 첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열에서 얻은 급수

       

    . 등비급수 

     1) 

     2) 

    7. 자연상수 e 

- 64 -

    . 

에서 x를 0으로 보냈을 때와 

에서 x를 무한대로 보냈을 때 수렴하는 값

    [참고] https://www.youtube.com/watch?v=tzjsWjKanNg&list=PLXJ3W1lEGK8ULz2WP-Zd732UivspNwmRr&index=13

    . 밑이 e인 지수함수와 로그함수의 극한

     1) 

     2) 

    . 지수함수의 도함수

     1) 

     2) 

    8. 자연로그

    . e를 밑으로 하는 로그 log_ex를 x의 자연로그라 한다. 간단히 lnx로 나타낸다.

    . 로그함수의 도함수

     1) 

     2) 

     . 절댓값이 포함된 로그함수의 도함수

     1) 

     2) 

  

    9. 음함수 (Implicit function)

    . 독립변수와 종속변수가 분리되지 않은 하나의 관계식으로 주어진 함수

    10. 이계도함수 (Second order derivative)

    . 함수 f(x)를 한 번 미분한 함수 f’(x)를 다시 한번 더 미분한 도함수의 도함수

    . 이계도함수를 갖는 함수 

     1) 

     2) 

    . 곡선의 볼록과 이계도함수

    - 어떤 열린 구간에 속하는 모든 

에 대하여

     1) 

     2) 

    11. 변곡점 (Point of inflection)

    . 두 번 미분 가능한 함수에 대하여 그래프의 오목한 모양이 바뀌는 점

    . 

      

    . 따라서 변곡점은 이계도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌거나 혹은 음에서 양으로 바뀌는 

경계가 되는 점이 된다.

  

- 65 -

    12. 구분 구적법 (Mensuration by parts)

    . 넓이 또는 부피를 알고 있는 기본 도형으로 주어진 도형을 세분하여 근삿값을 구하고, 이 

근삿값의 극한값으로 그 도형의 넓이와 부피를 구하는 방법

    13. 정적분과 급수의 합 사이의 관계 

    . 

      

    14. 두 곡선 사이의 넓이

    . 두 함수 

가 닫힌 구간 

에서 연속일 때, 두 곡선 

 및 두 직

선 

      

    15. 입체도형의 부피

    . 구간 

의 임의의 점 

에서 

축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 

인 입체의 

부피 

는 다음과 같다. (단, 

     

    16. 수직선 위를 움직이는 점의 위치와 움직인 거리

    . 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)라고 하면

      1) 시각 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변화량 : 

      2) 시각 t=a에서의 점 P의 위치 (x_0), t=b에서의 점 P의 위치 x : 

      3) 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 : 

      

    17. 좌표평면 위에서 점이 움직인 거리

    . 좌표평면 위를 움직이는 점 

의 시각 

에서의 위치가 

일 때, 점 

가시각 

에서 시각 

까지 움직인 거리 

는

     

    18. 곡선의 길이

    . 미분가능한 함수 

에 대하여 닫힌 구간 

에서 곡선 

의 길이 

은

     

[Part3-2] - 함수의 그래프와 방정식의 해

    1. 함수 (function)

    . 두 변수 x,y에 대하여 x의 값에 따라 y값이 유일하게 결정되는 관계

- 66 -

    2. 정의역 (domain) : 함수에 넣을 수 있는 x 값들의 집합

    3. 치역 (range) : x에 대응되는 y값들의 집합

    4. 함수의 그래프

    . 함수 y=f(x)에 대하여 x의 값과 그에 대응하는 함숫값 y의 순서쌍(x,y)을 좌표로 하는 모든 

점을 좌표평면 위에 나타낸 것.

    5. 다항함수 (Polynomial function) : f(x)가 x에 관한 다항식인 함수

    6. 유리함수 (Rational function) : 두 다항함수의 비 (ratio)로 표현되는 함수

    7. 지수함수 (Exponential function)

    . 임의의 실수 

에 대하여 

을 대응시키는 함수 

    . 지수함수  

의 그래프

      1) 정의역은 실수 전체의 집합

      2) 치역은 양의 실수 전체의 집합

      3) 

일 때, 

의 값이 증가하면 

도 증가

        

일 때, 

의 값이 증가하면 

는 감소

      4) 그래프는 점 (0,1)을 지난다.

      5) 점근선은 

축 

      6) 

의 그래프와 

의 그래프는 

축에 대하여 대칭이다.

    

    8. 근사해 (approximate solution)

    . 방정식의 실제적인 해의 근삿값

 ■ 새로 배운 내용

 . 유리함수는 

 인 

 값에서 점근선 (Asymptote)이 생긴다.

 detect_poles = 'show' 옵션을 이용하여 점근선을 시각화할 수 있다.

 기존의 Solve 명령어가 잘 해결하지 못하는 방정식을 그래프를 그려서 쉽고 정확하게 

근사해를 구할 수 있다.

→ 그동안 배운 다양한 함수들의 그래프를 그릴 수 있었고 대부분의 방정식

에 대한 해 (근삿값)을 구할 수 있다는 자신감이 생겼습니다!

[Part4] - 역함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수

    1. 역함수 (Inverse function)

    . 기존의 함수 f에 대하여 정의역과 치역의 역할을 바꾸고, 대응 관계를 반대로 거슬러 올라가

는 규칙 (

의 역함수는 

로 나타냄, 

 )

- 67 -

   

 [참고] 미적분학1 교재

     - 역함수가 존재하려면 기존의 함수는 (치역 범위 내에서) 어떠한 수평선을 그려도 

기존의 함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않아야 한다.

     - 예를 들어, 모든 단조증가 (monotone increasing)함수와 단조감소함수는 역함수

가 존재한다.

    2. 역삼각함수 (Inverse trigonometric function) : 삼각함수의 역함수

    . (일반적인) 삼각함수 

는 역함수가 존재하지 않는다. 그러나 정의역을 적절히 

줄이면 (각각의 구간에서) 역함수를 생각할 수 있다. 왜냐하면 삼각함수는 주기성이 있으

므로 사인함수의 경우 함숫값에 대응하는 일정한 범위 내의 한 각만 알면 주기를 더하여 

대응하는 모든 각을 알 수 있기 때문이다.

- 68 -

    3. 쌍곡선함수 (Hyperbolic function) 

    . 자연상수e의 지수함수를 이용해 조합되는 6개의 쌍곡선

    

    

 

   4. 역쌍곡선함수 (Inverse hyperbolic function) : 쌍곡선함수의 역함수

    

     [참고] 미적분학1 교재 

- 69 -

[Part5] - 함수의 극한

    1. 지수/로그 함수의 극한

     1) 지수함수의 극한

    

  

     2) 로그함수의 극한

    

     [참고] https://www.youtube.com/watch?v=D7Ndwum5QZg&t=11s

     3) 밑이 e인 지수함수와 로그함수의 극한

     

     [참고] https://www.youtube.com/watch?v=CsOmSP0bgqk&t=32s

    2. 삼각함수의 극한

      

     [참고] https://www.youtube.com/watch?v=zTIgeBzs2T8

      

     [참고] https://www.youtube.com/watch?v=cyjKpY4n3hg&t=413s

    3. 샌드위치 정리 (Sandwich Theorem)

- 70 -

[Part6] - 도함수, 접선의 방정식, 미분법칙 

    1. 미분계수 (differential coefficient) 

     : 함수 

의 정의역 내에 속하는 점 

에 대하여 극한 값

     

이 존재하면 함수 

는 

에서 미분가능(differentiable),

      이 극한값을 

에서의 함수 

의 미분계수 (differential coefficient)라 하며 

로 나타낸다.

      접선의 기울기는 할선의 기울기의 극한으로 정의한다.

    2. 접선의 방정식

    . 미분계수는 접선의 기울기를 나타내므로, 점 

에서 함수 

의 그래프에 접하는 접선

의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. 

  

    3. 도함수 (derivative)

    . 각 점 

에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함수를 

의 도함수라 한다.

      기호는 

로 나타내고 함수 

의 도함수를 구하는 것을 

를 미분한다

(differentiate)고 하고, 

의 도함수는 식 

으로 구한다.

    . 어떤 함수를 미분하여 얻은 그 함수가 도함수고, 거기에 변수의 값을 대입하면 그 점에서의 미분계수가 

나오는 것이다.

    [code 도함수와 그래프]

    f(x) =                                  # 함수 정의

    df(x) = diff (f(x), x)  # 도함수

    print ("f(x) =", f(x))

    print ("f'(x) =", df(x))

    plot (f(x), (x, -8, 4)) + plot (df(x), (x, -8, 4), color = 'red', ymax = 100)

- 71 -

    4. 고계 도함수 (higher order derivatives)

    . 함수 

의 도함수 

가 다시 미분가능이면 그 도함수 

를 

의 2계 도함수 

(2nd derivative)라 하고 다음과 같은 기호로 나타낸다.  

    . 이러한 2계 이상의 도함수를 고계 도함수라고 한다.

 

   [code 도함수와 그래프]

    f(x) =                                          # 함수 정의

    d2f(x) = diff (f(x), x, 2)  # 2계 도함수  

    Print ( "f''(x) =", d2f(x) )

    5. 미분 법칙

    . 상수 

와 미분가능한 함수 

, 

에 대하여 다음이 성립한다.

     

    . 다양한 함수의 도함수

 

 

    [code 도함수와 그래프]

    f(x) = x^(3/4)*sqrt(x^2 + 1)/(3*x + 2)^5

    show ( diff (f(x), x) )

    diff ( f(x), x )

→ Sage 명령어를 활용해서 다양한 함수의 도함수를 외울 필요 없이 쉽게 

미분할 수 있는 것을 배웠습니다.

- 72 -

[Part7] - 연쇄법칙, 음함수와 매개변수함수의 미분법

    1. 연쇄법칙 (Chain rule) 

    . 세 개 이상의 함수가 합성되어도 세 함수가 모두 마분가능하면 연쇄법칙으로 도함

수를 계산할 수 있다.

    2. 음함수(implicit function)의 미분

    . 음함수란 

와 

에 관한 방정식으로 표현된 함수 

을 말한다.

     예를 들어 방정식 

 을 

에 관하여 정리하면 

와 같이 두 개의 

(양)함수를 합한 모양이다. 따라서 함수가 아니라고도 할 수 있는 이런 식을 함수의 개념

을 확장하여 음함수라고 부르고 그래프에서 보면 두 개의 (양)함수를 합한 곡선이라고 생

각할 수 있다.

    . 실제 

에 해당하는 

의 구체적인 식을 찾기보다 일단 

라고 생각하

고, 양변을 

에 관하여 미분하는 과정에서 연쇄법칙을 적용하여 (양변의 

에 대한) 도함

수를 구한다.

    [code 음함수의 도함수]

    var ('x, y')

    F(x, y) =                          # F(x, y) = 함수 정의

    F.implicit_derivative(y, x)          # 음함수의 도함수. y와 x의 순서에 주의

    [code 음함수의 접선의 방정식]

    var ('x, y')

    F(x, y) = y^3 - x*y^2 + cos(x*y) - 2   # F(x, y) = 0

    dydx = F.implicit_derivative(y, x)       # 음함수의 도함수. y와 x의 순서에 주의

    m = dydx.subs(x = 0, y = 1)             # (0, 1) 에서 접선의 기울기

    print ( "y =", 1 + m*(x - 0) )                              # 접선의 방정식

    p1 = implicit_plot( F(x, y) == 0, (x, -2, 2), (y, -1, 3) )  # 음함수의 그래프

- 73 -

    p2 = plot( 1 + m*(x - 0), (x, -2, 2), color = 'red' )       # 접선의 그래프

    p3 = point( [(0, 1)], color = 'red', pointsize = 15 )       # 접점

    p1 + p2 + p3

    3. 매개변수 함수 (parametric function)의 미분

    . 제 3의 변수 (주로 t)의 함수로 다음과 같은 방정식 (매개변수 방정식, parametric 

equation, 매개방정식)으로 표현되는 곡선을 말한다.

    . 몇 가지 대표되는 t값에 대응되는 x값과 y값을 구하여 순서쌍 (x,y)

    [code 매개변수 순서쌍]

    var ( 't' )                                   # 매개변수

    f(t) = t^2 - 2*t

    g(t) = t + 1

    r = []                                     # 그래프를 그리기 위한 용도

    for i in srange(-2, 4.1, 0.1):

        r.append((f(i), g(i)))

    p1 = point(r, color = 'red')

    p2 = parametric_plot((f(t), g(t)), (t, -2, 4))

    p1 + p2

 

   . 매개변수 함수가 만드는 곡선에서 시작점과 끝점이 같은 경우는 닫힌 곡선 (closed 

curve)이라고 하며 

이 성립하는 경우는 단순 곡선 (simple cur

ve)이라 한다.

- 74 -

[Part8] - 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수,

          로그함수의 미분법, 선형근사

    1. 삼각함수의 미분

   2. 역삼각함수의 미분

    . 증명과정 [출처] https://everyday-image-processing.tistory.com/229

   

- 75 -

   3. 지수함수와 로그함수의 미분

    . 자연로그의 밑(base) 

 : 무리수이며, 근삿값은 약 2.718

    . 

를 밑으로 하는 지수함수 

를 각각 자연지수함

수 (natural exponential function)와 자연로그함수 (natural logarithm)라 한다.

    . 지수함수의 미분 공식

   :  도함수의 정의에 의해 

이 성립한

다. 이 때 

라 하면, 

이므로 

이고, 

일 때 

이므로 다

음을 얻는다.

 따라서 

이 된다.

    . 로그함수의 미분 공식

   : 

    [code 지수함수, 로그함수 도함수]

    f(x) =                         # 함수 정의

    diff (f(x), x)                   

    [code 지수함수, 로그함수 고계도함수]

    f(x) =                         # 함수 정의

    diff (f(x), x)                   # 도함수

    show ( factor (diff (f(x), x) ) )

    factor (diff (f(x), x, 3) )       # 고계도함수

- 76 -

   4. 선형근사 (linear approxination)와 미분

    . 함수 

  

     

              

     

     → 함숫값을 구하기는 쉽지만 근방의 함숫값을 구하기 힘든 경우, 근삿값을 구할 때 

사용된다.

     → 이때 생기는 오차(error)는 

이고 값을 구하여 오차가 크

면, 

를 줄이면서 정확도를 원하는 만큼 높일 수 있다.

     

  

     

라 정의하고 이를 (종속변수) y의 미분 (differential)이라 한다.

- 77 -

[Part9] - 쌍곡선 함수 미분법, 역쌍곡선 함수 미분법,

         평균값정리, 로피탈의 법칙 (부정형의 극한)

   1. 쌍곡선 함수의 미분

   2. 역쌍곡선 함수의 미분

   3. 평균값 정리 (Mean value theorem)

    [code 평균값 정리를 만족하는 수 구하기]

    a, b =                         # 주어진 구간 입력

    f(x) =                          # 함수 정의

    df(x) = diff ( f(x), x )                        

    solve ( df(x) == (f(b) - f(a))/(b - a), x )

- 78 -

   4. 부정형과 로피탈 (L’Hospital) 법칙

    . 부정형이란 간단히 말해 극한법칙이 사용될 수 없는 극한 문제이다.

     

  . 

     

 일 때, 

가 유한 또는 무한의 의미로 존재하면

     (즉, 이 극한이 유한한 수이거나, 

 또는 

), 다음이 성립한다. 

     

     여기서 

는 

 어떠한 기호이든 될 수 있다. 

    [code 로피탈 법칙과 극한 계산]

   # 로피탈 법칙 이용 

    g(x) =        # 함수 정의

    h(x) =        # 함수 정의

    dg(x) = diff (g(x), x)    

    dh(x) = diff (h(x), x) 

    print (limit(dg(x)/dh(x), x = x가 다가가는 값, dir = '+ or -')) 

   # 직접 계산

    limit (g(x)/h(x), x = x가 다가가는 값, dir = '+ or -')  

         

  . 

     

일 때, 

가 유한 또는 무한의 의미로 

존재하면, 다음이 성립한다.

     

    . 그 외에 부정형 

은 로그를 이용하여 먼저 밑과 지수를 분리한 후, 

로 고쳐야 한다. 극한을 구한 후 다시 로그를 취하기 전으로 회복시킨다.

    .  

- 79 -

[Part10] - 극댓값과 극솟값 (최댓값, 최솟값)

   1. 도함수의 응용

    . 함수 

가 구간 

에서 정의되어 있을 때, 

내의 

인 임의의 두 점 

에 대

하여 

를 만족하면 

는 구간 

에서 증가(increasing)한다고 하며, 

내의 

인 임의의 두 점 

에 대하여 

를 만족하면 

는 구간 

에서 감소(d

ecreasing)한다고 한다.

함수 

가 폐구간 

에서 연속이고 개구간 

에서 미분가능하면 다음이 성립한다.

 1) 구간 

 내의 모든 점에서 

이면, 

는 

에서 증가한다.

 2) 구간 

 내의 모든 점에서 

이면, 

는 

에서 감소한다.

   2. 2계 도함수의 응용

함수 

가 점 

를 포함하는 적당한 개구간 

에서 미분 가능하고 

가 존재할 때 다음이 

성립한다.

 1) 

이면, 곡선 

는 점 

 에서 위로 볼록(Convex up)하다.

 2) 

이면, 곡선 

는 점 

 에서 아래로 볼록(Convex down)하다.

- 80 -

   3. 극대, 극소, 최대, 최소

    .  

가 폐구간 

에서 연속이면 이 구간에서 

가 최댓값을 취하는 점 및 최

솟값을 취하는 점이 존재한다.

    함수 

가 

의 근방의 모든 점 

에 대하여 

가 성립하면 함수 

는 

에서 극댓값 

를 갖는다고 한다.

    함수 

가 

의 근방의 모든 점 

에 대하여 

가 성립하면 함수 

는 

에서 극솟값 

를 갖는다고 한다.

 또, 

의 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 하고, 극대점 또는 극소점 

를 극점

(極點, extreme point)이라 한다. 

    . (2계) 도함수를 이용하면 극댓값과 극솟값을 쉽게 판정할 수 있다.

함수 

가 정의역 내의 한 점 

에서 

과 

을 가지며, 

 (즉, 임계점 

)일 때,

 1) 

이면, 

는 함수 

의 극댓값이다. [

는 임계점 

에서 극댓값을 갖는다.

 1) 

이면, 

는 함수 

의 극솟값이다. [

는 임계점 

에서 극솟값을 갖는다.

      . 최대, 최소 구하는 방법

       - 폐구간에서 연속인 함수 

의 최댓값과 최솟값은 임계점에서의 함숫값과 구간의 

양 끝점에서의 함숫값을 비교하여 구하면 된다.

 1) 구간 

에서 

의 임계점 (Critical points)들을 찾는다.

 1) 이 각각의 임계점들과 구간의 양 끝점에서 

의 값을 계산한다. 그 중 가장 큰 값이 

최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.

- 81 -

   4. 뉴턴의 방법 (Newton’s method)

    . 뉴턴의 방법은 반복법(iterative method)으로, 초기 근사해 

으로부터 시작하여 특

정한 반복단계를 거쳐 이전보다 나은 근사해 

를 생성한다.

목표는 

번째 근사해 

 또는 극한값 

에서 

을 만족하도록 하는 것이다.

    [뉴턴의 방법] (

의 의미는 

같이 

이 1보다 아주 작다는 의미이다.)

    단계 1) 초기 근사해 

과 허용오차(tolerance) 

을 준다. 

이라 한다.

    단계 2) 만일 

이면, 알고리즘을 멈추고 

을 근사해로 반환한다.

    단계 3) 

, 

라 두고 단계2)로 이동한다.

         

 

이므로 

을 얻게 된다. 만일 

이면 

가 방정식

의 해가 된다. 그러나 

이면, 같은 방법으로 

를 얻게 된다.

이렇게 반복단계 

적용하여 근사해를 계산한다.

  ＊ 경사하강법 (gradient descent method)

    . 일변수 함수 

의 최솟값을 구하는 문제의 최적해 (optimal solution) 

는 [Fer

mat의 임계점 정리]에 의해 다음을 만족한다.

     

- 82 -

[Part11] - 부정적분, 치환 적분법, 부분 적분법, 정적분

           정적분의 기본정리, 이상적분

   1. 역도함수(antiderivative)와 부정적분(indefinite integral)

    . 함수 

가 주어져 있을 때 

를 만족하는 함수 

를 

의 역도함

수라고 한다. 임의의 상수 

 (적분상수) 에 대하여 

이므로 

가 

의 역도함수라 

하면, 함수 

 (단, 

는 임의 상수)도 역시 

의 역도함수가 된다. 이를 

으로 나타내고, 

의 부정적분이라 한다. 

                    

   2. 넓이 문제와 정적분 (definite integral) 

    . 연속 함수 

의 그래프와 

축에 수직인 두 직선 

와 

 및 

축으로 둘러싸인 영역 

        → 전체 영역을 작은 영역으로 분할한 직사각형 넓이의 함의 극한값으로 정의

    . 도형을 세분하여 구분된 면적이나 체적을 구하고, 다시 이들의 합을 구한 다음 한없

이 세분했을 때의 극한값으로 본래 도형의 면적 또는 체적을 구하는 방법을 구분구적법 

(mensuration of division)이라 한다.

    [구분구적법] _ 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구하는 순서

    단계 1) 주어진 도형이나 입체를 

등분으로 세분하여 기본 도형으로 만든다.

    단계 2) 

등분된 기본 도형의 넓이나 입체의 부피의 합을 구한다.

    단계 3) 단계 2)에서 구한 합의 극한값을 구한다.

    . 리만 합(Riemann sum) 

은 직사각형들의 넓이의 합이다. 만일 극한 

이 모든 선택 가능한 표본점 

에서 존재하고 극한값이 항상 같으면, 

는 

에서 적분 가능(integrable)하다고 하며, 그 값을 

에서 

까지 

의 정적분이

라고 하고 다음과 같이 나타낸다.

                         

- 83 -

    . 정적분 

는 

에서 

까지 곡선 

의 아래의 넓이가 된다.

    . 기호 

에서 

를 피적분함수(integrand), 

와 

를 적분한계 (limits of i

ntegration), 

는 하한 (lower limit), 

는 상한 (upper limit), 

를 적분 변수, 적분을 

계산하는 과정을 적분법 (integration) 라 한다.

    . 정적분

는 수(number)지만 부정적분

은 함수 (또는 함수족)이다.

- 84 -

   3. 미적분학의 기본 정리 (Fundamental theorem of Calculus)

    [code 정적분의 근삿값]

    # numerical integration

    f(x) =    # 함수 입력

    numerical_integral ( f(x), 0, 2 ) # numerical_integral(f(x), a, b)

   4. 이상적분 (improper integral)

    . 끝점 

또는 

 (또는 둘 다)가 

되는 이상적분은 다음과 같이 정의된다.

   1) 

인 경우 :　모든 수 

에 대해 

가 존재하고, 아래 극한이 유한한 

값으로 존재하면 다음과 같이 정의한다.

                        

   2) 

인 경우 :　모든 수 

에 대해 

가 존재하고, 아래 극한이 유한

한 값으로 존재하면 다음과 같이 정의한다.

                         

   3) 

인 경우 :　

 와 

 가 모두 유한한 값을 가진 경우

                    

  ※ 

는 

이면 수렴하고 

이면 발산한다.

- 85 -

    . 피적분함수가 아닌 유계가 아닌 (unbounded) 경우에 대한 이상적분

    1) 

가 

에서 연속이고 

에서 불연속이면 

이다.

    2) 

가 

에서 연속이고 

에서 불연속이면

이다.

    3) 

일 때 

가 

에서 불연속이고 

와 

가 모두 수렴하면

                       

     [code 이상적분]

     f(x) =                  # 함수 입력

     var ('t')

     assume(t > 0, t < 2) # 구간 입력

     F(t) = integral (f(x), x, 0, t)

     limit (F(t), t = 2, dir = '-') # t가 다가가는 방향과 값 입력

     [code 피적분함수의 부분분수]

     f(x) =                  # 함수 입력

     fp(x) = f(x).partial_fraction() 

     # partial_fraction은 부분분수를 전개하는 명령어이다. 

     integral (fp(x), x)  # 부분분수를 이용한 적분

     [code 적분]

     integral (f(x), x)        # 

 입력

→ 피적분함수에 따라 치환적분, 부분적분, 삼각적분, 삼각치환, 부분분수에 

의한 유리함수의 적분 등의 다양한 기법 등을 사용하여 적분할 수 있지만 

Sage 명령어를 사용하여 쉽게 계산할 수 있다는 자신감을 얻었습니다.

- 86 -

[Part12] - 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식

           극좌표의 그래프, 넓이와 길이

    1. 평면 도형의 넓이

    . 함수 

가 폐구간 

연속이고 음이 아닌 경우

     

    . 함수 

가 폐구간 

에서 연속이고 양과 음의 값을 모두 갖는 경우

      

    § 두 곡선 사이의 영역의 넓이

     ⅰ) 폐구간 

에 속하는 모든 

에 대해 

와 

가 연속이고 

일 때, 곡선 

와 직선 

로 유계 된 영역의 넓이 

                        

     ⅱ) (항상 

이라는 보장이 없을 때) 곡선 

와 

 사이

의 넓이 

                        

     ⅲ) 영역이 

를 

의 함수로 생각하는 경우

        두 함수 

와 

가 연속이고 

에 대해 

일 때, 

        방정식이 

인 곡선들로 둘러싸인 영역의 넓이 

        

                        

     ⅳ) 곡선의 매개변수 방정식이 

이고, 

일 때 곡선이 꼭 한 번만 

그려진다면, 정적분에 대한 치환법을 이용한 넓이 공식 

                        

     [code 매개변수 곡선으로 둘러싸인 넓이]

     var(‘t’)                 # 변수 지정

     f(t) =   ; g(t) =         # t를 매개로 하는 함수 입력

     df(t) = diff(f(t), t)          # 함수 f(t)의 도함수 

     integral(g(t)*df(t), t, x축과 만나는 t의 범위)

- 87 -

    2. 회전체 (입체)의 부피 (Volume)

    . 

를 평면 

와 

사이에 놓인 입체일 때 점 

를 지나고 

축에 수직인 평면 

에 있는 

의 단면의 넓이가 

이고 

가 연속함수이면 

의 부피 V

                        

    . 함수 

가 

에서 연속이고 

일 때, 곡선 

와 두 직선 

로 둘러싸인 영역을 

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피 

                        

     [code 회전 곡선의 그림_곡선 한 개]

     var ('x')

     f(x) =                 # 함수 입력

     revolution_plot3d (f(x), (x, 범위), show_curve = True, opacity = 0.7, parallel_axis = 

'x', aspect_ratio = [1, 1, 1])

# revolution_plot3d는 회전 곡선의 그림을 그린다. x축을 중심으로 회전시킬 때는 parallel_axis 

= 'x'를 입력한다.

     [code 회전체의 부피_곡선 한 개]

      var ('x')

      f(x) =                 # 함수 입력

      integral ( pi*f(x)^2, x, 범위 ) 

    . 두 함수 

가 

에서 연속이고 

이면 두 곡선 

와 두 직선 

로 둘러싸인 영역을 

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 

부피 

 

                        

     [code 회전 곡선의 그림_곡선 두 개]

     var ('x')

     f(x) =                 # 함수 입력

     p1 = revolution_plot3d(f(x), (x, 범위), show_curve = True, color = 'orange', opacity 

= 0.4, parallel_axis = 'x')

     p2 = revolution_plot3d(g(x), (x, 범위), show_curve = True, color = 'green', parallel_

axis = 'x')

show (p1 + p2, aspect_ratio = [1, 1, 1])

     [code 회전체의 부피_곡선 두 개]

     f(x) = ; g(x) =        # 함수 입력

     integral (pi*(f(x)^2-g(x)^2), x, 범위)  

- 88 -

    3. 원통껍질 방법 (shell method) 으로 회전체의 부피 구하기

    . 원통껍질 (cylindrical shell)이란 중심축이 같은 두 개의 수직 원기둥 사이의 입체

를 말한다. 내부 반지름 

, 외부의 반지름을 

, 높이를 

일 때 원통껍질의 부피 

        

          

    . 곡선 

와 직선 

과 

 (단, 

)로 둘러싸인 영역을 

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피 

                        

                         

     [code 원통껍질 그림]

     var ('x')

     f(x) =                    # 함수 입력

  revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 2), show_curve = True, opacity = 0.6, parallel_axis = 'z')  

    # y축을 중심으로 회전시킬 때는 parallel_axis = 'z'를 입력한다. (3차원 그래프로 인식)

     [code x축과 만나는 교점]

     f(x) =                    # 함수 입력

     solve ( f(x) == 0, x )     # x축과 만나는 교점

     [code 원통껍질을 이용한 회전체 부피]

     f(x) =                    # 함수 입력

     integral (2*pi*x*f(x), x, 0, 2)

- 89 -

    4. 곡선의 길이 (호의 길이, Arc length)

    . 방정식이 

 

인 곡선 

의 길이 

                        

    . 폐구간 

를 잘게 분할하면, 곡선 

 상의 두 점 

사

이의 구간 곡선 

의 길이는 선분 

의 길이에 가까워진다. 

        

                  

    . 평균값 정리에 의해 

을 만족하

는 

가 존재한다. 

    . 방정식이 

인 곡선 

의 길이 

                        

                         ↓      ↓      ↓     

                    

    

    

    . 방정식이 

이고 

가 연속일 때 곡선 

의 길이 

                    

                

    . 매개변수로 표현된 곡선의 길이

     

에서 

이고, 곡선 

의 매개변수방정식이 

,

이면 이는 

는 

에서 

로 증가하고 

일 때 

가 왼쪽에서 오른쪽으로 

한 번 그려지는 것을 뜻한다.

       곡선 위의 점 

에서 점 

까지 호의 길이

               

- 90 -

    5. 곡면의 넓이 (Surface area, 표면적)

    . 곡선 

를 

축에 대하여 회전한 곡면의 겉넓이

    . 윗면과 밑면의 반지름이 각각 

이고 모선의 길이가 

인 원뿔대의 옆면의 넓이 

                      

    . 곡선 

를 

축에 대하여 회전한 곡면의 겉넓이 

                 

    . 회전체의 넓이 

          

 

   . 회전한 곡면의 겉넓이

                     

                      ↓      ↓         ↓       

                

    . 함수 

가 연속인 도함수를 갖는 경우,

     곡선 

를 

축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 넓이

               

    . 곡선이 매개변수 방정식으로 주어져 있을 때 회전체의 겉넓이

곡선 

가 

로 주어지고

가 연속, 

라고 하면 

가 

에서 

로 증가할 때 곡선 

를 

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이 

               

- 91 -

    6. 극좌표 (Polar coordinate)

    . 극좌표는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계이다. 극좌

표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 유용하다. 직교좌표계 

(Cartesian coordinates system)에서 삼각함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계 

(Polar coordinate system)에서는 오히려 매우 간단하게 표현되는 경우가 많다.

이면 

에 관계없이 원점을 나타내고 

일 때 

는 위의 그림에서 보듯이 

을 원점에 대하여 대칭이동한 점으로 생각한다. 

점 

가 직교좌표로 

이고 극좌표로 

이면 다음과 같은 관계식이 성립한다.

     [code 극좌표 → 직교좌표] 

     r, t =       # 각을 t 로 표현한다.

     r*cos), r*sin(t)

     [code 직교좌표 → 극좌표]

     u, v =      # x, y 대신 u, v로 나타내었다.

     sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u)      # r, t

- 92 -

    7. 극방정식 (Polar Equations)의 그래프

    . 

라는 극방정식의 그래프는 극방정식(Polar Equation)을 만

족하는 극좌표 표현 

를 적어도 하나 갖는 점 

들의 전체로 이루어진다.

    8. 극방정식에서의 접선 (tangent line), 넓이 (Area), 호의 길이(Arc length)

    . 극방정식 

에서 

를 매개변수로 생각한 곡선의 매개변수방정식

                     

      매개변수곡선의 기울기를 구하는 방법과 곱의 법칙을 이용하면 다음을 얻는다.

                     

    . 극좌표에서 곡선 

와 두 개의 반직선 

로 둘러싸인 영역의 면적 

                     

    . 

에서 

일 때, 극좌표에서 곡선 

와 두 개의 반

직선 

로 둘러싸인 영역의 면적 

                     

 

    . 극방정식 

의 곡선의 길이

→ 

 방정식으로 주어진 곡선의 호의 길이 공식 이용

                     

- 93 -

[Part13] - 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

          거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현

          테일러 급수와 매클로린 급수

    1. 수열의 극한

    - 수열 : 자연수 1,2,....에 대응하여 무한히 나열한 수

    - 수열의 일반항 :　{

}, 

 또는 간단히 {

}으로 표시되는 

    - 무한수열 : 정의역이 양의 정수인 집합, 치역이 실수들의 집합인 함수

           

    - 수열의 점화식 (recursive formula) : 이웃하는 여러 개의 항 사이의 관계식

    . 수열 {

}에 대하여 

을 충분히 크게 택해서 항 

이 

에 근접하게 만들 수 있다

면, 수열 {

}은 극한(limit) 

을 갖는다.

    - 극한 

이 존재하면 수열 {

}은 수렴한다(converges).

    - 극한 

이 존재하지 않으면 수열 {

}은 발산한다(diverges).

    . 수열 {

}은 

가 자연수일 때 대응하는 함숫값 

을 고려하면

                   

 

    - 단조수열 (monotonic sequence) : 증가하거나 감소하는 수열

   ⅰ) 감소하지 않는 수열 : 

 (nondecreasing) 

   ⅱ) 증가하지 않는 수열 : 

 (nonincreasing) 

    . 수렴하는 수열 {

}에 대해서 (즉 

이라 하면) 다음이 성립한다.

   ⅰ) {

}이 (단조)증가수열이면, {

}은 위로 유계이다. 

   ⅱ) {

}이 (단조)감소수열이면, {

}은 아래로 유계이다. 

    §  단조수렴정리 (Monotone Convergence Theorem)

    . 모든 유계인 단조수열은 수렴한다.

     (즉 위로 유계인 증가수열과 아래로 유계인 감소수열은 수렴한다.)

   

- 94 -

 2. 무한급수 (infinite series)

    - 무한급수 or 급수 : 무한수열 

의 각 항 

을 함의 기호 ‘+’로 연결한 식

                     

    - 부분합 (Partial sum) : 무한급수의 제 

항까지의 합

                     

    . 수열 

이 

로 수렴하면 (즉 

) 급수 

는 수렴(converge)한다.

                     

 (급수의 합)

    . 수열 

이 발산하면 이 급수는 발산 (diverge)한다.

    . 등비급수 

에 대하여

      

일 때 급수는 수렴하며 합은 

이다. 

일 때, 급수는 발산한다.

    § 급수가 발산하는지 판단하는 기본적인 방법

   ⅰ) 급수 

이 수렴하면 

   ⅱ) 

이거나 

이 존재하지 않으면, 이 급수는 발산한다.

    § 급수의 수렴정리

    . 

와 

가 둘 다 수렴하고, 

가 상수일 때 

와 

도 수렴하

며, 

 = 

, 

 = 

 ± 

이 성립한다.

- 95 -

    3. 양항급수 (series of positive terms) 와 수렴발산판정법

    . 각 항이 

인 양항급수에 대해서는 여러 가지 수렴발산판정법이 존재한다.

     - 양항급수 : 

       → 양항급수의 부분합 수열 

은 감소하지 않는 수열이다.)

          

   

 양항급수 

가 수렴할 필요충분조건은 그 부분합의 수열 

이 위로 유계인 것

    § 다양한 수렴/발산 판정법 (convergence tests)

   ⅰ) 비교 판정법 (comparison test)

     - 모든 자연수 

에 대하여 

이면

      ① 

이 수렴하면 

도 수렴한다.

      ② 

이 발산하면 

도 발산한다.

   ⅱ) 극한비교 판정법 (limit comparison test)

     - 모든 자연수 

에 대하여 

이고 

일 때

      ① 

이면 

과 

은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

      ② 

이고 

이 수렴하면 

은 수렴한다.

   ⅲ) 적분판정법 (integral test)

     - 

가 

에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라고 하고 

일 때,

       급수 

이 수렴할 필요충분조건은 이상적분 

이 수렴하는 것이다.

                           

    § 

와 

가 모두 수렴해도 일반적으로는 

 ≠ 

이다.

- 96 -

   ⅳ) 

급수 판정법 (p-series test)

     - 실수 

에 대한 급수 

를 

급수라고 하며 다음을 만족한다.

      ① 

이면, 

는 수렴한다.

     [증명]

    . 

일 때 

는 구간 

에서 

이고 감소함수

                

     적분판정법으로 

로 수렴하므로 

는 수렴한다.

      ② 

이면, 

는 발산한다.   

     [증명]

    . 

일 때 구간 

에서 

이고 감소함수 

                

 

     적분판정법에 의해서 

로 발산함으로 

는 발산한다. 

    . 

일 때 

는 구간 

에서 

이고 감소함수

                 

     적분판정법에 의해서 

로 발산함으로 

는 발산한다.

    . 

일 때 

는 

이기 때문에 

는 발산한다.

    [증명: https://j1w2k3.tistory.com/994]

   ⅴ) 비(ratio) 판정법 (ratio test)

     - 

가 양항급수이고, 

이라고 할 때

      ① 

이면 급수 

은 수렴한다.

      ② 

 또는 

이면 

은 발산한다.

      ③ 

이면 비 판정법으로는 급수

이 수렴/발산하는지 판단할 수 없다.

- 97 -

    4. 교대급수 판정법과 절대비판정법

     - 교대급수 : 양의 항과 음의 항이 번갈아 나타나는 규칙성이 있는 급수 

                

                

    § 교대급수 판정법 (Alternating series test)

    . 교대급수 

에서 모든 

에 대하여 

이 단조감소하고, 

이면, 

이 교대급수는 수렴한다. 또한 급수의 합 

의 부분합 

에 의해 오차는 

보다 작거나 

같다(절대오차). 즉 절대오차 = 

이다.

    § 규칙성이 없는 일반적인 급수의 수렴, 발산판정법

      ① 급수 

의 각 항에 절댓값을 취하여 만든 급수 

가 수렴하면,

        원 급수 

는 절대수렴(absolutely convergent)한다고 말한다.

      ② 급수 

는 수렴하지만 

는 발산하는 경우 원 급수 

는

        조건부 수렴(conditionally convergent)한다고 말한다.

    § 절대비판정법 (Absolute Ratio test)

    . 

은 0이 아닌 항들로 구성된 급수이며, 

이 성립할 때

      ① 

이면, 이 급수는 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)

      ② 

이면, 이 급수는 발산한다. 

      ③ 

이면, 이 판정법으로는 아무런 결론도 내릴 수 없다.

    ※ 급수 

에 대하여 만일 

이 발산한다는 것은, 단지 

이 절대수렴하

지 않는다는 것만 확인해준다. 즉 원 급수 

의 수렴, 발산에 대해서는 추가 분석이 

필요하다.

- 98 -

    5. 거듭제곱 급수 (Power Series)

     - 거듭제곱 급수 : 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수이자 중심이 같은 일

련의 멱함수들을 항으로 하는 무한급수

       

  (이 때 

인 경우 

은 

으로 본다.)

     - 그리고 

에 관한 거듭제곱 급수 

는 

로 치환하면 

을 얻을 수 있다.

    § 거듭제곱 급수 

에 대해, 다음 세 가지 중 어느 하나만 가능하다.

      ① 

일 때만 수렴한다.

      ② 모든 

에 대해 수렴한다.

      ③ 적당한 양수 

이 존재해서 

이면 수렴하고, 

이면 발산한다.

         이러한 

을 거듭제곱 급수의 수렴 반지름 (radius of convergence)이라 한다.

    ※ 수렴 반지름 

      ①의 경우, 

으로 나타낸다.

      ②의 경우, 

로 나타낸다.

      ③의 경우, 부등식 

는 

로 바꿀 수 있다. 이 때 

가 구

간의 끝점, 즉 

일 때의 거듭제곱 급수는 한 쪽 또는 양 쪽 끝점에서 수렴/발산

할 수도 있다. 따라서 거듭제곱 급수 

에 대해 수렴구간은 다음 중 하나이다.

    ※ 거듭제곱 급수 

에 대하여, 

이면

      ① 

      ② 

      ③ 

- 99 -

    6. 테일러급수 (Taylor series)와 매클로린급수 (Maclaurin series)

    . 

를 

에서 거듭제곱 급수로 표현(전개)할 수 있다고 할 때

     

, 그러면 그 거듭제곱 급수의 계수들은 

과 같다.

    . 테일러급수 (Taylor series)

     - 거듭제곱 급수를 

에서 (

에 대한 또는 중심이 

인) 

의 테일러급수라 한다.

    . 매클로린급수 (Maclaurin series)

     - 특히 

에서 

의 테일러급수는 

의 매클로린급수라 한다.

※ 함수 

의 테일러급수를 구할 때 테일러급수의 합이 

와 항상 같다는 보장은 없다. 위

의 정리는 단지 

가 

에서 거듭제곱급수 표현을 가진다면, 그 거듭제곱급수는 항상 

의 

테일러급수라는 것을 말해준다. 또한 자신의 테일러급수와 원래 함수가 같지 않은 경우도 

존재한다.

    § 테일러 공식

    . 함수 

가 

을 포함하는 개구간 

에 속하는 모든 

에 대해서, 

의 

계 도함수 

가 존재하면 

에 속하는 모든 

에 대해서 성립

   

+

 = 

+

여기서 나머지랑

는 식

로 주어지며, 

는 

와 

사이의 점

=

는 

에서 

의 

차 테일러 

다항식 (Taylor polynomial)이라 하고, 

=

는 테일러급수의 나머지항(Re

mainder term)이라 한다.

    § 테일러 정리 (Taylor’s theorem)

    . 함수 

가 

에서 무한 번 미분가능하다면, 테일러 급수

      

      가 

에서 함수 

을 나타내는 필요충분조건은 

이다.

 

- 100 -

[Homework week 1] 이주한- Supurb!! 아주 잘 했어요. [HW week 1] (1. 수열

의 극한 / 2. 순열과 조합 / 3. 삼각함수) 요약과 실습

1. 수열의 극한 

 수열과 극한을 공부하면서 무한이 커지는 수에 대해서만 발산이라고 생각을 하고 있었으나, 학

습하면서 발산에 종류에 대해서 알게 되었습니다. 

(1-1. 음의 무한대 / 1-2. 양의 무한대 / 1-3. 진동)

[기존문제]

f(n) = (-1)^n / 2^n

ans = limit(f(n), n = infinity)

print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans)) 

p = list_plot([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'green')

q = line([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'red')

show(p + q)

[응용문제]

f(n) = 1^n / 2^n

ans = limit(f(n), n = infinity)

print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans)) 

p = list_plot([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'green')

q = line([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'red')

show(p + q)

- 101 -

●  Final Final Comment 

: 함수의 극한이 존재하는 것을 수렴(convergence), 존재하지 않을 경우 발산(diffusion)이라 하

며, 코딩을 통해 그래프 개형을 보며 어떠한 형태로 수렴이 되고, 발산이 되는지 확인할 수 있었

으며, 발산의 경우 3가지 종류에 대해서 발산하는 것을 확인하였습니다. 

2. 순열과 조합

순열과 조합 단원에서 변수 및 조건 변화에 따른 응용 문제를 만들어 보았습니다.  

------------------------------------------------------------------- [기존문제]

2-2. A고등학교 학생 2명을 포함한 고등학생 6명 중에서 임의로 3명을 뽑을 때,  고등학교 학생

이 적어도 1명 포함될 확률을 구하시오. 

#여사건

S = binomial( 6 , 3 ) #표본공간

A = binomial( 4 , 3 ) #A 고등학교 학생이 포함되지 않는 경우의 수

P = A / S #A 고등학교 학생이 전혀 포함되지 않을 확률

#A 고등학교 학생이 적어도 한 명 포함될 확률

# 1 - (A 고등학교 학생이 전혀 포함되지 않을 확률) 

print( "A 고등학교 학생이 적어도 1명 포함될 확률은 %s이다." %( 1 - P))

▶ A 고등학교 학생이 적어도 1명 포함될 확률은 4/5이다.



[응용문제]

2-3. A고등학교 학생 2명을 포함한 고등학생 10명 중에서 임의로 2명을 뽑을 때,  A고등학교 학

생이 1명도 포함되지 않을 확률을 구하시오. 

#여사건

S = binomial( 10 , 2 ) #표본공간

A = binomial( 8 , 2 ) #A 고등학교 학생이 포함되지 않는 경우의 수

P = A / S #A 고등학교 학생이 전혀 포함되지 않을 확률  #A 고등학교 학생이 1명도 포함되지 

않을 확률

print( "A 고등학교 학생이 적어도 1명 포함될 확률은 %s이다." %P)

▶ A 고등학교 학생이 1명도 포함되지 않을 28/45이다.

●  Final Final Comment : 조합(Combination)이 서로 다른 원소들을 택하여 만든 부분 집합으

로 정의 됨을 확인하였고 전개식에 대해서 확인하였습니다.

3. 삼각함수

- 삼각함수 부분은 "일반물리1"에 sin, cos에 대해서 복습했는데, tan 그래프도 궁금하여 코드를 

변경하여 확인해보았습니다.

- 102 -

   sin, cos, tan 등등 슬라이더 형태로 변수를 만드는 공부를 하여, 더 많은 분야에 활용을 해보

고 싶습니다.

------------------------------------------------

[기존문제]

var('a, b, c, x')

@interact

def _(a = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "a", display_value = True),

    b = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "b", display_value = True),

    c = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "c", display_value = True)):

    f(x) = a*sin(b*x) + c

    print("f(x) =", f(x))

    print("a =", a, "b =", b, "c =", c)

    show(plot(f(x), (x, -5, 5), aspect_ratio = 1, ymin = min(-5, -abs(a) + c), ymax = 

max(5, abs(a) + c)))

[응용문제]

var('a, b, c, x')

@interact

def _(a = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "a", display_value = True),

    b = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "b", display_value = True),

    c = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "c", display_value = True)):

    

    f(x) = a*tan(b*x) + c

    print("f(x) =", f(x))

    print("a =", a, "b =", b, "c =", c)

    show(plot(f(x), (x, -5, 5), aspect_ratio = 1, ymin = min(-5, -abs(a) + c), ymax = 

max(5, abs(a) + c)))

- 103 -

●  Final Final Comment 

: 삼각함수의 기본적인 그래프에 대해서 이해하였습니다. 특히 tan 그래프의 경우 처음으로 확인

하였으며 , 

 성질에 의해서  의 구간에 서 한없이 가까워 지는 것을 확인했습니다. 

이상구(LEE SANGGU)2월 22일 오후 7:34

Supurb!! 아주 잘 했어요. 1주차 배운 내용 요약. 배운/느낀 점 코멘트 ... 아주 좋습니다.

이상구(LEE SANGGU)2월 22일 오후 7:40

f (x) = x sin (1/x) 함수와 g (x) = x^2 sin (1/x^2) 함수가 x=0 에서 수렴 하는가? 발산 하는 

가? 이 문제가 대학 미적분학 을 배워야하는 이유를 알려주는 가장 standard example 입니다. 

http://matrix.skku.ac.kr/Mobile-Sage-G/sage-grapher.html 에서 그려보시면 ... 나중에 증명

하는 법 알려 줄께요.

이주한(2022####78)2월 23일 오후 4:16

네, 감사합니다. 예습하면서 궁금한 점 있으면 문의 드리겠습니다.!

[2Week] 

1.

삼각함수 변수가 성질

[Final OK by SGLee]  [Homework week 2] 이주한 (삼각함수 변수간 성질 - 

공유)



안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다. 

f(x) = sin(x) 그래프에서 변형하여 f(x) = asin(bx+d)+c 에 대한 각 변수의 성질

[a : 진폭(lal) / b : 주기(2π/lbl)/ c : y절편 평행이동 / d : x절편 평행이동]

- 104 -

각 변수들에 대해서 삼각함수의 진폭, 주기, 평행이동이 어떻게 변하는지 확인하는데 많은 도움이 

되었고,

sin 함수뿐만아니라 cos, tan 함수에도 동일한 성질을 가지고 있으니 같이 확인해보셔도 좋을 것 

같습니다. 

저는 이번주부터 고2/고3 미적분 복습을 진행하는데, 걱정이 앞서지만 같이 토론하면서 학습하면 

많은 도움이 될 것 같습니다. 

(http://matrix.skku.ac.kr/11th-Grade-1/ (14번 문제))

[기존코드]

- 105 -

var('a, b, c, x')

@interact

def _(a = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "a", display_value = True),

    b = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "b", display_value = True),

    c = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "c", display_value = True)),

    f(x) = a*sin(b*x) + c

    print("f(x) =", f(x))

    print("a =", a, "b =", b, "c =", c)

    show(plot(f(x), (x, -5, 5), aspect_ratio = 1, ymin = min(-5, -abs(a) + c), ymax = 

max(5, abs(a) + c)))

[변경코드] - x절편 평행이동 변수 추가 

var('a, b, c, d, x')

@interact

def _(a = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "a", display_value = True),

    b = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "b", display_value = True),

    c = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "c", display_value = True),

    d = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "d", display_value = True)):

    f(x) = a*tan(b*x+d) + c

    print("f(x) =", f(x))

    print("a =", a, "b =", b, "c =", c,  "d =", d )

    show(plot(f(x), (x, -5, 5), aspect_ratio = 1, ymin = min(-5, -abs(a) + c), ymax = 

max(5, abs(a) + c)))이전

●  Final Final Comment 

: 삼각함수 그래프에 대해서 . 

 형태의 구조에 대해서  

각 상수들이 의미하는 부분에 대해서 이해하였습니다. 

[Final OK by SGLee] Re-Final by 이효민, 김재영, 천혜준, 이주한, 임경섭 [Homework week2

-1] (삼각함수 변수간 성질 - 공유), [문제 4,6,7], 1) Slider를 사용 할 수 있는 함수를 골라 기존 

a, b에 c항목을 추가하여 연습해봤습니다

작성자 : 이효민(2022####80)작성일 : 3월 1일 오후 5:48

조회수 : 106

Re-Final by 이효민, 김재영, 천혜준, 이주한, 임경섭 [Homework week2-1]  (삼각함수 변수간 

성질 - 공유),  [문제 4,6,7], 1) Slider를 사용 할 수 있는 함수를 골라 기존 a, b에 c항목을 추가

하여 연습해봤습니다Final by 이효민, 이주한, 임경섭 [Homework week2-1]  (삼각함수 변수간 

성질 - 공유)안녕하세요 소재부품융합공학과 이효민입니다.고등학교 2주차 복습내용 중 일부 공

유드립니다.

- 106 -

상기 그래프를 통해 진폭 = 2, 주기 = 2pi/3 그리고 기존 sin 그래프에 x축으로 +pi/6 평행이동 

했음을 알 수 있습니다. y = asin(bx-c) 식에서 a는 진폭으로 sin함수의 최대, 최소를 결정하므로 

a = 2b 주기는 2pi / lbl = 2pi/3 이므로 b = 3원점에서 y = -2 이므로 2sin(-c) = -2, -2sin(c) 

= -2, sin(c) = 1, c = pi/2상수 a*b*c 는 "3pi" 임을 알 수 있었습니다.상기식을 y = asin(bx-

c)        →   asin{b(x-c/b)}            y = 2*sin(3x-pi/2)  →   2*sin{3(x-pi/6)}꼴로 바꾼

다면 진폭, 주기, 평행이동을 한눈에 알 수 있습니다.

- 107 -

y축으로의 평행이동 "d" 를 코드에 추가하여진폭 : 2, 주기 2pi/3, x축 +pi/3, y축 +1 평행이동한 

cos그래프y = 2cos*{3*(x - pi/3)} + 1 의 그래프를 나타내봤습니다.상기 문제 및 코드를 통해

삼각함수의 기본적인 개형을 파악하고 이를 코드로 나타낼수 있다는 점을 배웠습니다.이상입니다.

[Homework week 2-1] 이주한 (삼각함수 변수간 성질 - 공유)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 2월 27일 오후 5:49  조회수 : 57

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다. 학우님들,지난주 삼각함수 기본 성질에 이어서 

각 변수에 대한 삼각함수 그래프 성질 관련하여 학습한 내용 공유드립니다.

f(x) = sin(x) 그래프에서 변형하여 f(x) = asin(bx+d)+c 에 대한 각 변수의 성질[a : 진폭(lal) / b 

: 주기(2π/lbl)/ c : y절편 평행이동 / d : x절편 평행이동]각 변수들에 대해서 삼각함수의 진폭, 

주기, 평행이동이 어떻게 변하는지 확인하는데 많은 도움이 되었고,sin 함수뿐만아니라 cos, tan 

함수에도 동일한 성질을 가지고 있으니 같이 확인해보셔도 좋을 것 같습니다.       

다만, 아쉬웠던 점은 x절편을 radian으로 표기하여 좀 더 가시성을 확보하고 싶은데, 아직은 접근

하기에 많은 어려움이 있네요 ^^;

    (수학적인 문제는 아니라고 생각되지만, 알고 계신 분들 공유 부탁드립니다.)저는 이번주부터 

고2/고3 미적분 복습을 진행하는데, 걱정이 앞서지만 같이 토론하면서 학습하면 많은 도움이 될 

것 같습니다. 즐거운 주말되세요 :D

- 108 -

(http://matrix.skku.ac.kr/11th-Grade-1/ (14번 문제))

[기존코드]var('a, b, c, x')

@interact

def _(a = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "a", display_value = True),

    b = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "b", display_value = True),

    c = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "c", display_value = True)),

    f(x) = a*sin(b*x) + c

    print("f(x) =", f(x))

    print("a =", a, "b =", b, "c =", c)

    show(plot(f(x), (x, -5, 5), aspect_ratio = 1, ymin = min(-5, -abs(a) + c), ymax = max

(5, abs(a) + c)))[변경코드] - x절편 평행이동 변수 추가 var('a, b, c, d, x')

@interact

def _(a = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "a", display_value = True),

    b = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "b", display_value = True),

    c = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "c", display_value = True),

    d = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 0, label = "d", display_value = True)):

    f(x) = a*tan(b*x+d) + c

    print("f(x) =", f(x))

    print("a =", a, "b =", b, "c =", c,  "d =", d )

    show(plot(f(x), (x, -5, 5), aspect_ratio = 1, ymin = min(-5, -abs(a) + c), ymax = max

(5, abs(a) + c)))이전Final [Homework week 2] 천혜준 [문제 4,6,7]

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 2월 28일 오전 10:38

조회수 : 61

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.2주자 학습내용을 진행하면서 확실히 학습한 문제

들을 찾아 확인하고자 작성합니다.우선 학습을 하며 느낀 점으로는 문제를 보고 자료에 있는 동영

상을 보고 천천히 이해를한 후 참고자료를 토대로 문제를 확인하고 코딩이라는 도구를 이용하여 

문제를 풀어나가는과정이 단순히 문제를 외우는 과정에 비하여 많은 도움을 받으면 공부를 한 것 

같습니다.문제 4. y = asin (bx -c) 에서 b는 주기에 영향을 준다는 것을 확인하였습니다. 추가

적으로 a 경우는 최대, 최솟값에 영향을 주는 것을 확인하였으며 c 는 x의 영향을 준다는 것을 코

- 109 -

딩을 통하여 slider를 이동하면서 보다 시각적으로 확인하였습니다. 정리하자면 주기 : 2π/abs(b) 

최댓값 abs(a) 최솟값 -abs(a)  x점 : c 을 통하여 그래프를 변화할 수 있습니다.var('a, b, c, x

')@interactdef _(a = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "a", display_value = 

True),      b = slider(-5, 5, step_size = 1, default = 1, label = "b", display_value = Tru

e),      c = slider(-2*pi, 2*pi, step_size = pi/12, default = 0, label = "c", display_value = 

True)):    f(x) = a*sin(b*x - c)    print("f(x) =", f(x))    print("a =", a, "b =", b, "c =", c)  

  show(plot(f(x), (x, -5, 5), aspect_ratio = 1, ymin = min(-5, -abs(a) + c), ymax = max(5, 

abs(a) + c)))

a : 1→2 최대,최소값의 범위를 넓히고 b : 1→5 주기를 짧게 변경하였습니다.[Homework Week 

1] 김재영

작성자 : 김재영(2022####67)작성일 : 2월 22일 오전 11:07

조회수 : 33

1) Slider를 사용할 수 있는 함수를 골라 기존 a, b에 c항목을 추가하여 연습해봤습니다.

2) 위 코드 중 aspect_ratio = 1은 그래프 눈금의 배율 표시인 것 같은데 값을 1 → 0.5로 변경

- 110 -

하면 X축 눈금의 배율만 변경되고 Y축 배열은 변경되지 않아 방법을 찾아봤는데 못 찾겠습니다.

작성자 : 김재영(2022####67)작성일 : 2월 22일 오전 11:07

조회수 : 34

1) Slider를 사용 할 수 있는 함수를 골라 기존 a, b에 c항목을 추가하여 연습해봤습니다.

2) 위 코드 중 aspect_ratio = 1은 그래프 눈금의 배율 표시인 것 같은데 값을 1  → 0.5로 변경

하면 X축 눈금의 배율만 변경되고 Y축 배열은 변경되지 않아 방법을 찾아봤는데 못 찾겠습니다. 

이전

다음

1개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)2월 22일 오전 11:23

잘 했습니다. 1. 주어진 코드 이용하여 고등학교 1학년 수학, 교수학습 콕표에 해당하는 유사한 

문제들은 풀 수 있다는 자신감을 먼저 갖는 것에 우선 순위를 두고 2. 그리고 위와 같이 이런 저

런 시도를 하는 것은 아주 좋습니다. 3. aspect_ratio = 1 는 x 축에 대한 배율을 1로 주는 명령

어 입니다. y 축에 대하여는 다른 추가 명령어 라인이 필요합니다. 본 강좌에서는 그것보다 코딩

을 이용하여 기존에 손으로 풀어야만 하던 고등학교 수학 문제를 풀 수 있도록 하는 것입니다^^ 

그런 관점에서 http://matrix.skku.ac.kr/10th-grade/  에 있는 이전에 배웠던 문제들을 둘러

보고 그에 대한 코멘트를 주고 ... 다음 단계로 가는 접근을 해 봅시다^^

이전

다음

1개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)2월 22일 오전 11:23

잘했습니다. 1. 주어진 코드 이용하여 고등학교 1학년 수학, 교수학습 목표에 해당하는 유사한 문

제들은 풀 수 있다는 자신감을 먼저 갖는 것에 우선순위를 두고 2. 그리고 위와 같이 이런저런 시

도를 하는 것은 아주 좋습니다. 3. aspect_ratio = 1 는 x 축에 대한 배율을 1로 주는 명령어입

- 111 -

니다. y 축에 대하여는 다른 추가 명령어 라인이 필요합니다. 본 강좌에서는 그것보다 코딩을 이

용하여 기존에 손으로 풀어야만 하던 고등학교 수학 문제를 풀 수 있도록 하는 것입니다^^ 그런 

관점에서 http://matrix.skku.ac.kr/10th-grade/ 에 있는 이전에 배웠던 문제들을 둘러보고 그

에 대한 코멘트를 주고 다음 단계로 가는 접근을 해 봅시다^^

문제 6. 등비수열 공비 : r   등비수열 : {An}의 제 4항이 8, 제 8항이 128일 때, r의 값을 찾

는 문제에서4항 = 8 과 8항 = 128 을 확인한다면 r^4 =16을 확인하였습니다.  log(16,4) = 2정리

하면 공비 r = 2 , 1항 a = 1 입니다.[기존문제]var('a, r')eq1 = a*r^3 == 8eq2 = a*r^7 == 12

8s = solve([eq1, eq2], a, r, solution_dict=True)print([sol for sol in s if all(v in NN for v 

in sol.values())])a = 1 → 3 ,  r =2 → 3 변경하여 손으로는 쉽게 확인하지 못하는 문제를 만

들어 보았습니다.[응용문제]var('a, r')eq1 = a*r^2 == 27 # 3항이 27eq2 = a*r^7 == 6561 # 8

항이 6561s = solve([eq1, eq2], a, r, solution_dict=True)print([sol for sol in s if all(v in N

N for v in sol.values())])

문제 7 

[기존문제]def a(n):    if n == 1: return 1    else: return a(n - 1) + n - 2print(a(12))   

 의 기본 공식을 사용하여 문제를 변형하였습니다.a1 : 1 → 2     An + n -1 → 

An + n[응용문제]def a(n):    if n == 2:        return 2    else:        return a(n - 1) + 

n - 1print(a(30))답 436이상 감사합니다.

임동선(2017####79)2월 28일 오전 10:52

잘하셨습니다.

이상구(LEE SANGGU)2월 28일 오전 11:25

Nice try!

3개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)2월 27일 오후 5:50

Good job.

임경섭(2022####81)2월 28일 오전 10:11

x축 표기를 라디안 단위로 표기하는 건 찾지 못하였는데 공유해주신 f(x) = a*tan(b*x+d) + c 그

래프는 detect_poles='show' 추가하여 점근선 표기를 해주는 것이 좀 더 보기 좋은 것 같습니다.

이주한(2022####78)3월 1일 오전 1:09

감사합니다! :D

[Final OK by SGLee] 최종 Final [Homework week 2] 임경섭, 이혜인, 임경섭, 김용철, 천혜준, 

- 112 -

김재영, 노태완, 박경현, 김용철, 손혜원, 이주한, 박준수, 김현구 [극한 문제 9번]

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 3월 3일 오전 11:09

조회수 : 90

Re-Final [Homework week 2] 이혜인, 임경섭, 김용철, 천혜준, 김재영, 노태완, 박경현 [극한 문

제 9번]

안녕하세요. 천혜준 입니다.극한 문제를 풀고 완벽하게 이해했다고 생각하여 작성합니다.문제[9]

경우 (x + 3) * (x - 2) / (x + 3)으로 변환하여 ‽(x + 3)을 제거하고 (x - 2)에 x = -3을 대입하

여 답 : -5 확인하였습니다.

아래 극한값 계산 함수 실습을 해봤습니다.

함수의 

숫자도 바꿔보고 x값도 바꾸어 실습해봤습니다. 연습해 본 결과 극한값의 양의 무한대, 음의 무한

대도 계산된다는 것을 확인했습니다.

- 113 -



추가로 확인하고 싶은 게 있어서 아래 그림처럼 불연속 함수를 넣었는데 극한값 계산이 und로 출

력되었습니다. und가어떤걸 의미하는지 궁금합니다.

임경섭(2022####81)3월 3일 오전 11:57

9번 문제에서 f(x)=(x^2 + x - 6)/(x+3) x에 -3을 바로 대입할 경우 분모,분자가 0/0 형태로 나와 

위아래에 공통인수(x+3)을 없애주고 계산하는 게 더 보기 좋은 것 같아서 show(factor(f(x)))를 추

가하는 게 좋은 것 같습니다. 추가하지 않아도 코딩을 이용해 답을 구하는 데는 문제가 되지 않지

- 114 -

만, 손으로 풀 때 확인하기가 좋습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 3일 오후 12:53

und 는 undefined 의 의미입니다.

안녕하십니까 소재부품융합과 노 태왕입니다 . 2주 차 학습에 관한 내용 공유하겠습니다. 저는 고

2 과정에서 극한에 대하여 학습을 진행하였습니다.

위의 코딩을 이용하여 여러 가지 문제에 적용해보았습니다.

각각의 숫자들만을 바꾸어서 진행해보고

완전제곱식으로 변환을 하여 풀이도 해보았습니다.

또한 분모가 0이 될 때와 분자가 0이 되는 경우의 결과도 확인하였습니다.이러한 학습을 통해 극

한에서 x가 0이나 무한으로가 아닌 특정값으로 향하는 경우 x값에 그 특정한 값을 대입하여 풀고 

인수분해가 가능한 경우 인수분해를 한 뒤 대입을 하고 분모가 0이 되면 답이 무한으로 분자가 0

이 되면 답이 0이 된다는 사실을 다시 한번 확인하였습니다. 코딩을 통해서 작업을 하는 경우 간

단한 다항식뿐만 아니라 복잡한 다항식도 간단히 계산할 수 있다고 느꼈습니다.

- 115 -

이혜인(2022####79)3월 3일 오전 11:32

극한 개념 이해했습니다.

김용철(2022####66)3월 3일 오전 11:39

이해했습니다.

임경섭(2022####81)3월 3일 오후 1:14

감사합니다. 한가지 질문이 있습니다. 마지막에 분모가 0이 되면 무한대가 된다고 하셨는데. 분모

에는 0이 올 수가 없고 극한의 경우 0이 되는 게 아니라 0으로 한없이 가까워지는 것이라 무한대

로 가는 게 정확한 표현이 맞을까요

천혜준(2022####84)3월 3일 오후 3:17

위의 말씀처럼 극한의 경우 x가 0으로 양의 방향으로 한없이 가까워지는 경우, 1/x 은 양의 무한

대로 간다(발산한다)는 표현이 맞다고 생각합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 4일 오전 11:23

좋은 질문과 답변입니다. 질문과 답변을 잘 정리하여 Final 선언하세요^^

손혜원(2022####75)3월 4일 오후 3:14

이해했습니다.

이주한(2022####78)3월 5일 오전 00:21

이해했습니다. 감사합니다.!

박준수(2022####73)3월 5일 오후 9:05

이해했습니다. 감사합니다~~

김현구(2022####69)3월 6일 오후 3:22

이해 했습니다. 감사합니다.

[Final OK by SGLee] Re-final [Homework Week 2] 전형준, 임경섭, 노태완, 

박경현, 김대환, 윤관수, 이주한, 김현구, 손혜원, 이혜인 함수의 곱의 미분법 sag

e프로그램 활용 <--다항식의 전개는 A = A.expand() 명령어를 추가하시면 됩니

다. 본문에 이미지와 함께 Text 코드를 같이 제공해서 다른 학생이 확인해보고, 

업그레이드할 수 있도록 해주세요^^

작성자 : 전형준(2022####82)작성일 : 3월 3일 오후 1:09

조회수 : 103

[Homework Week 2] 전형준, 임경섭, 노태완,  함수의 곱의 미분법 sage프로그램 활용 <--다항

식의 전개는 A = A.expand() 명령어를 추가하시면 됩니다. 본문에 이미지와 함께 Text 코드를 같

이 제공해서 다른 학생이 확인해보고, 업그레이드할 수 있도록 해주세요^^안녕하십니까, 소재부

품융합공학과 전형준입니다. 수2 함수의 곱의 미분법에 대해서 정리하고 문제를 풀어보았습니다.

 http://matrix.skku.ac.kr/K-11-2-RMPG/index.htm (수포자 없는 11학년 (고2) 수학2)

- 116 -



https://youtu.be/rWTtKGP4JZQ 상기 내용은 함수의 곱의 미분법에 대한 공식입니다. 해당 내

용들로 예제들을 수기로 문제를 풀어보고 SAGE 프로그램에 대입하여 보았습니다.

(풀

이 방법) 1) 괄호를 풀어 미분한다.

2) 곱의 미분법의 공식을 사용한다.

- 117 -

3) sage 이용(1) y = (x-2)*(x^3-x)

(2) y= (x^2-x+1)^2

(3) y = x*(x+1)*(x+2)

sage로 푼 답안이 괄호로 되어있어서 한눈에 파악하기 어려웠고 괄호를 풀어주는 명령어가 있을

까요?또한, 수식으로 풀기 힘든 식을 만들어 sage로 풀어보았습니다.(4) y = x^3*(x^5+6*x^3+

1)*(2*x^7)*(x^2) 을 미분하여라.

상기 (4) 예제는 곱의 미분법 공식을 만들 수는 있겠지만 수기로 풀기 어려운 문제고 sage 프

로그램으로 답을 알 수 있었습니다.질문 1) sage 프로그램에서 괄호를 풀어주는 명령어가 있을

까요 ?위의 결과로 함수의 곱의 미분법에 대해서 이해할 수 있었고 sage의 활용법, 실생활에서 

어려운 식을 수기로는 어렵지만, 프로그램으로 극복 가능하다는 것을 알았습니다.3개의 댓글

임경섭(2022####81)3월 3일 오후 1:24

다항식의 전개는 A = A.expand() 명령어를 추가하시면 됩니다. 아래처럼 입력하시면 결괏값이 나

오네요. A = x^3*(x^5+6*x^3+1)*(2*x^7+2)*(x^2) A = A.expand()print (A)2*x^17 + 12*x^15 

+ 2*x^12 + 2*x^10 + 12*x^8 + 2*x^5

- 118 -

show(A)

전형준(2022####82)3월 3일 오후 1:38

expand는 확장한다는 뜻을 가진 거네요. 질문에 대한 답변 감사합니다!

이상구(LEE SANGGU)3월 3일 오후 2:49

본문에 이미지와 함께 Text 코드를 같이 제공해서 다른 학생이 확인해보고, 업그레이드할 수 있도

록 해주세요^^

노태완(2022####71)3월 3일 오후 3:16

곱의 미분법에 대해 이해를 하였습니다. 교수님께서 이미지로 첨부해주신 코딩을 조합하여 f(x) = 

x^3*(x^5+6*x^3+1)*(2*x^7+2)*(x^2) f(x) = diff(f(x),x).expand() show(f(x)) 위처럼 코딩 값을 적

용하였을 경우 결괏값이 나온다는 것을 확인할 수 있었습니다.

 최종 정리 1) 질문 : sage 프로그램에서 괄호를 풀어주는 명령어가 있을까요 ?‽ 답변 :임경

섭(2022####81)3월 3일 오후 1:24

다항식의 전개는 A = A.expand() 명령어를 추가하시면 됩니다. 노태완(2022####71)(2022####7

1)3월 3일 오후 3:16

곱의 미분법에 대해 이해를 하였습니다. 교수님께서 이미지로 첨부해주신 코딩을 조합하여 f(x) = 

- 119 -

x^3*(x^5+6*x^3+1)*(2*x^7+2)*(x^2) f(x) = diff(f(x),x).expand() show(f(x)) 위처럼 코딩 값을 적

용하였을 경우 결괏값이 나온다는 것을 확인할 수 있었습니다.

2 ) 결과  함수의 곱의 미분법에 대해 이해를 하였고 sage에서 expand()의 명령어를 이용하여 

다항식을 전개할 수 있다.

이전

다음

12개의 댓글

임경섭(2022####81)3월 3일 오후 1:24

다항식의 전개는 A = A.expand() 명령어를 추가하시면 됩니다. 아래처럼 입력하시면 결괏값이 나

오네요. A = x^3*(x^5+6*x^3+1)*(2*x^7+2)*(x^2) A = A.expand() show(A)

전형준(2022####82)3월 3일 오후 1:38

expand는 확장한다는 뜻을 가진 거네요. 질문에 대한 답변 감사합니다!

이상구(LEE SANGGU)3월 3일 오후 2:49

본문에 이미지와 함께 Text 코드를 같이 제공해서 다른 학생이 확인해보고, 업그레이드할 수 있도

록 해주세요^^

노태완(2022####71)3월 3일 오후 3:16

곱의 미분법에 대해 이해를 하였습니다. 교수님께서 이미지로 첨부해주신 코딩을 조합하여 f(x) = 

x^3*(x^5+6*x^3+1)*(2*x^7+2)*(x^2) f(x) = diff(f(x),x).expand() show(f(x)) 위처럼 코딩 값을 적

용하였을 경우 결괏값이 나온다는 것을 확인할 수 있었습니다.

박경현(2022####72)3월 3일 오후 4:24

곱의 미분법에 대해 이해할 수 있었고 다항식의 전개 명령어를 몰랐는데 해당 명령어도 배울 수 

있었습니다.

김대환(2022####65)3월 3일 오후 5:57

곱의 미분법과 복잡한 식의 다항식 전개 입력 방법 등을 이해할 수 있었습니다

윤관수(2022####77)3월 4일 오전 11:14

곱의 미분법을 풀어보고 expand 명령어가 어떤 의미를 지니는지 이해했습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 4일 오전 11:18

Good~~ 아주 잘하고 있습니다.^^ 계속 능력을 보여주시고 좋은 성과 얻기를 기대합니다.

이주한(2022####78)3월 5일 오전 2:07

곱의 미분법에 전개 방식에 대해서 이해했습니다. 감사합니다

김현구(2022####69)3월 6일 오전 10:42

- 120 -

곱의 미분법을 풀어보고 얻은 값을 expand 명령어를 활용해보았습니다. 공유 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 6일 오후 1:22

곱의 미분법에 대해서 알 수 있었고, 새로운 명령어에 대해서도 이해할 수 있었습니다. 감사합니

다.

이혜인(2022####79)3월 6일 오후 5:30

곱의 미분법을 전개해보고 expand 명령어의 의미를 알 수 있었습니다.

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 2] 이주한 - 역삼각함수 및 csc, 

sec, cot 함수 관계 정리

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

고2 수학1 주차개념정리 공유드립니다. 

1. 역삼각함수(csc, sec, cot) 개념

일반적으로, 삼각비를 알지만, 각을 모른다면, 대응하는 역삼각함수를 이용하여 각을 구할 수 있습

니다. 

자료 내부 유튜브 동영상에만 내용이 포함되어 있으며, 앞으로 필요한 개념이라고 생각이 되어 정

리하여 공유해 드립니다. 

역삼각함수) https://www.youtube.com/watch?v=ZcylcZImEUk

2. 삼각함수 사이의 관계 

- 삼각함수 사이의 관계에서 주요한 3가지 공식을 증명해보았습니다.

- 121 -



[예제]

이상구(LEE SANGGU)3월 5일 오전 3:42

Good job^^

백승준(2022####74)3월 5일 오후 1:04

덕분에 역삼각함수의 개념에 대해서 쉽게 이해할 수 있었습니다! 감사합니다!

신종호(2022####76)3월 6일 오후 1:00

저도 이해했습니다.

- 122 -

이혜인(2022####79)3월 6일 오후 1:18

정리 감사합니다. 이해하기 쉬웠습니다!

조현준(2022####83)3월 6일 오후 2:24

이해 했습니다 감사합니다

손혜원(2022####75)3월 6일 오후 3:10

덕분에 쉽게 정리할 수 있었습니다. 감사합니다!

노영규(2022####70)3월 7일 오전 3:39

정리 감사드립니다. 덕분에 이해했습니다. 감사합니다.

임경섭(2022####81)3월 8일 오후 8:56

이해했습니다!! 감사합니다.

●  Final Final Comment 

: 대학에서 

에 대해서 각각이 

의 역수 관계에 있음을 알게 되었으며, 삼

각함수 사이의 관계에 대한 주요 공식에 대해서 증명하였습니다. 

각 함수들의 역함수 정의 통해 각도를 역산할 수 있음을 배웠습니다. 

       

 [Final OK by SGLee] [Homework Week 4] 박준수 , 이혜인, 천혜

준, 손혜원, 노영규, 김지수, 김용철, 노태완 - 역함수,역삼각함수 정리 

및 실습

작성자 : 박준수(2022####73)작성일 : 3월 19일 오후 9:05

조회 수 : 74

[Final OK by SGLee] [Homework Week 4] 박준수 , 이혜인, 천혜준, 손혜원, 노영규, 김

지수, 김용철,  - 역함수,역삼각함수 정리 및 실습[Final OK by SGLee] [Homework Wee

k 4] 박준수 역함수,역삼각함수 정리 및 실습. 안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준수 

입니다.역함수, 역삼각함수 성질을 학습하고, 문제를 풀어보았습니다.

- 123 -

1. 역함수 : 역함수란 간단히 말해 기존의 함수 f에 대하여 정의역과 

치역의 역할을 바꾸고, 대응 관계를 반대로 거슬러 올라가는 규칙을 의

미한다.

f(x) = x^5 + 2*x + 1p1 = plot(f(x), (x, -2, 2), ymax = 10, y

min = -10)  # 함수 f의 그래프p2 = plot(3, (x, -2, 2), color = 'r

ed') # 수평선p1 + p2  # 두 그래프를 함께 그리기

- 124 -

var('x, y')

f(x) = 1/(x - 1)print(solve(y == f(x), x)) # 여기서 x = (y + 

1)/y 를 얻음invf(x) = (x + 1)/xprint("f^(-1)(x) =", invf(x))p1 

= plot(f(x), (x, 1, 5)) # 원 함수p2 = plot(invf(x), (x, 0, 5), colo

r = 'red') # 역함수p3 = plot(x, (x, 0, 5), linestyle = '--', color 

= 'grey') # 대칭축 y = xshow(p1 + p2 + p3, ymax = 5, aspect_r

atio = 1)

2. 역삼각함수 : 삼각함수의 역함수이다. 삼각 함수는 전단사 함수(또는 

일대일 대응 함수)가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면     정

의역을 제한하는 것이 필요하다.1) 아래 코드는 사인함수와 역 사인함

수를 그려본 코드이다.p1 = plot(sin(x), (x, -pi/2, pi/2)) # 사인함수

p2 = plot(arcsin(x), (x, -1, 1), color = 'red') # 역사인함수p3 = 

- 125 -

plot(x, (x, -pi/2, pi/2), linestyle = '--', color = 'grey') # 대칭축 

y = xshow(p1 + p2 + p3, aspect_ratio = 1)

2) 아래는 코사인 함수와 역 코사인 함수를 그려본 코드이다.

p1 = plot(cos(x), (x, 0, pi)) # 코사인함수p2 = plot(arccos(x), 

(x, -1, 1), color = 'red') # 역코사인함수p3 = plot(x, (x, -1, 3), 

linestyle = '--', color = 'grey') # 대칭축 y = xshow(p1 + p2 + 

p3, aspect_ratio = 1)

3) 아래는 탄젠트 함수와 역 탄젠트 함수를 그려본 코드이다.p1 = plo

t(tan(x), (x, -pi/2, pi/2)) # 탄젠트함수p2 = plot(arctan(x), (x, -

6, 6), color = 'red') # 역탄젠트함수p3 = plot(x, (x, -6, 6), linest

yle = '--', color = 'grey') # 대칭축 y = xshow(p1 + p2 + p3, a

spect_ratio = 1, ymax = 6, ymin = -6)

- 126 -

이상입니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 19일 오후 10:31

Good job.

이혜인(2022####79)3월 20일 오후 1:42

역함수와 역삼각함수 복습에 도움이 되었습니다.

천혜준(2022####84)3월 20일 오후 2:05

다시 한번 복습할 수 있었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 20일 오후 2:56

역함수와 역삼각함수에 대해 다시 한번 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 20일 오후 4:19

정리 감사합니다. 이해하는데 도움이 됐습니다.

김지수(2022####68)3월 20일 오후 4:39

한번더 쉽게 이해 할 수가 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 20일 오후 5:19

Finalize 하세요

김용철(2022####66)3월 20일 오후 7:28

함수의 정의 및 역함수, 역삼각함수에 대해 복습하였습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 24일 오전 8:22

함수의 정의와 역삼각함수 이해에 도움되었습니다

[Final Comment] 역함수와 역삼각함수의 개념을 이해하였습니다. 

[Final OK by SGLee] Re-Final [Homework week 2] 이주한, 박경현, 임경섭, 

김지수, 박경현 2차함수의 최댓값 최솟값을 구하고, 2주 차 예제 12번 문제의 변

형 문제를 작성하여, 최솟값과 최댓값을 구할 수가 있었습니다.

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.



- 127 -

아래 두 가지에 대해서 개념정리 공유드립니다.

정리한 내용과 더불어 고2-수학2 29번 문제의 코드를 활용하여 학습한 내용과 제가 생각하는 그

래프와 일치함을 확인하였습니다.

실제 3차 방정식의 3가지 유형에 대해서 인수분해 및 근의 공식을 계산할 필요 없이 쉽게 개형 

및 극댓값, 극솟값의 존재 여부를 확인할 수 있었습니다. 

※ 개념 정리

1. 삼차함수 그래프의 종류의 특징에 대해서 정리

2. 삼차함수 극댓값, 극솟값 판정 및 그래프 개형

관련 Link )11학년(고2) 수학 2   http://matrix.skku.ac.kr/11th-Grade-2/ 

삼차함수 그래프의 종류 및 특징 ) https://www.youtube.com/watch?v=Fe0UOz7mVoU







- 128 -

Sage Code

f(x) = x^3 + 3*x^2 - 9*x - 10 #함수 f(x)

df(x) = diff(f(x), x)          #f(x)를 미분한 f’(x) 구함

print(solve(df(x) == 0, x))  #f’(x)가 0이 되는 x (임계점)

print(f(-4), f(-3), f(1), f(2))

p0 = scatter_plot([[1, f(1)], [-3, f(-3)], [-4, f(-4)], [2, f(2)]]) #극값,양 끝값 표시

p1 = plot(f(x), (x, -4, 2), color = 'black')   # 함수 f(x) 그리기

p2 = plot(df(x), (x,-4, 2), color = 'red')      # 함수 f’(x) 그리기

p0 + p1 + p2

이상구(LEE SANGGU)2월 21일 오후 4:43

11주차. 함수의 극대, 극소(최대, 최소) 학습 목표 이번 주차에서는 일변수 함수의 극대, 극소 및 

최대, 최소에 대하여 학습한다. 핵심 개념 극대, 극소, 최대, 최소 실습실 

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch4/ http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W8/ 

11.1 미분법의 응용, 최댓값과 최솟값 http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W8/ 에서 11주 

차에 배웁니다^^ 예제 1 함수의 최솟값과 최댓값을 구하라. --- f(x) = 3*x/sin(x) diff(f(x), x) 

-3*x*cos(x)/sin(x)^2 + 3/sin(x) f(x) = x^3 - 3*x^2 + 1 df(x) = diff(f(x), x) L = solve(df(x) 

== 0, x) print (L) f(-1/2), f(0), f(2), f(4) 도함수를 배운 후 위의 코드를 참고 하시면 아주 잘 

해 내실 것입니다.

이상구(LEE SANGGU)2월 28일 오후 3:47

x = 1 일 때 f'(x) = 0 이 되면 x = 1은 critical point이고, f(x)는 그 점 x = 1 에서 극값 (극대, 

극소, 또는 안장점)을 갖는 것입니다. 그런 극값들과 양 끝점에서의 값을 모두 비교하여 그중에서 

최댓값과 최솟값을 찾으면 됩니다.

임경섭(2022####81)2월 28일 오후 4:00

교수님 답변 감사합니다. f(x)가 미분 가능한 함수일 때

f'(x) = 0 이 되는 x인 critical point에서 f(x)가 극댓점이나 극솟점이 아닌  점 즉, 안장점(saddle 

point)  일수도 있다는 것을 확인했습니다.

●  Final Final Comment 

: 함수에 대한 증가 → 감소시 극댓값을 가지며, 감소 → 증가시 극솟값을 가짐을 알 수 있었습니

다.

또한, 도함수를 이용하여 기울기가 0이 되는 시점을 확인하여 극댓값, 극솟값을 쉽게 찾을 수 있

었습니다.

[Final OK by SGLee] Final [Homework week 5] 이주한, 노영규, 전

형준, 이효민, 천혜준 백승준, 조현준, 김지수, 김용철 삼각함수의 극한 

증명 및 성질

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 3월 21일 오후 5:02

조회수 : 71

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

삼각함수가 0에 가까워질 때 극한에 대한 증명 및 정리해보았습니다. Sage 프로그램을 활

용하여, 실제 수렴 값만 확인하는 것이 아니라 우극한, 좌극한이 점점 어떻게 다가와서 수

- 129 -

렴이 되는지 확인할 수 있었습니다. 

※ 정리내용

1. f(x) = sin(x)/x // 0에 대한 극한은 1로 수렴한다.

2. f(x) = cos(x)/x // 0에 대한 극한은 무한대로 발산한다. 3. f(x) = tan(x)/x // 0에 

대한 극한은 1로 수렴한다.

1. f(x) = sin(x)/x의 0에 대한 극한은 1로 수렴한

다.

- 증명과정

- 130 -

g(x) = sin(x)/(x)

show(g(x))

print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))

2. f(x) = cos(x)/x의 0에 대한 극한은 무한대로 발

산한다.

 - 위와 동일하다고 생각할 수 있으나, cos(0) = 1이고, x는 점점 0으로 가까워지기 때

문에 무한대로 발산한다.

g(x) = cos(x)/(x)show(g(x))print(limit(g(x), x = 0))show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin 

= -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))



3. f(x) = tan(x)/x 의 0에 대한 극한은 1로 수렴한

다.    이는 tan(x)/x = sin(x)/x * 1/cos(x) = 1*1 = 1이 성립하기 때문이다. 

- 131 -

g(x) = tan(x)/(x)show(g(x))print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))

노영규(2022####70)3월 21일 오후 6:26

증명과정을 통해 이해하였고, 그래프를 통해 직관적으로 확인을 하였습니다. 정리해주심에 

이해하는 데 도움이 됐습니다.

전형준(2022####82)3월 21일 오후 6:55

삼각함수의 극한에 대한 정리를 이해하였고 그래프를 통해 해당 값을 알 수 있었습니다. 감

사합니다.

이효민(2022####80)3월 21일 오후 7:17

삼각함수의 극한에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 21일 오후 7:48

삼각함수의 극한을 다시 한번 확인하였습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)3월 21일 오후 7:56

삼각함수의 극한에 대해 직접 증명과정을 설명해주시고 그래프를 통해 직관적으로 확인해

주셔서 쉽게 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

조현준(2022####83)3월 21일 오후 8:27

삼각함수의 정의에 대해서도 다시 한번 정리해 보았고, 그래프를 통해 삼각함수의 극한에 

대해 쉽게 이해하였습니다. 감사합니다

김지수(2022####68)3월 21일 오후 8:28

삼각함수의 극한에 대해 정리 할 수 있었습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 21일 오후 9:06

삼각함수의 극한에 대한 증명과정을 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오전 4:51

Very good.

- 132 -

이혜인(2022####79)3월 22일 오전 8:47

증명과 그래프를 통해 삼각함수의 극한을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72)3월 22일 오후 5:01

증명을 통해 삼각함수의 극한이 어떻게 정리되는지 알 수 있었고 그래프로도 표현해주셔서 

이해하기 더 수월하였습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)3월 22일 오후 11:21

삼각함수의 극한에 대해 이해하는데, 도움이 되었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 23일 오후 12:01

삼각함수의 극한에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

[Final Comment] 삼각함수의 극한을, 코딩을 응용한 그래프와 증명과

정을 통해 이해할 수 있었습니다.

[Final OK by SGLee] Final by 전형준, 임경섭, 손혜원, 윤관수, 이주한, 천혜준, 

노영규, 이효민, 이혜인, 김현구, 백승준[Homework week 3] 백승준 - 급수의 수

렴과 발산 + 등비급수와 등비급수의 활용 - (전형준) 급수와 부분합의 정의에 대

한 내용 또한 알 수 있었고 조금 더 나아가 등비수열에 대한 정리를 알아보도록 

하겠습니다.

작성자 : 백승준(2022####74)작성일 : 3월 8일 오후 5:19

조회수 : 107

[Final OK by SGLee] Sage 프로그램을 통해 급수의 수렴과 발산, 등비급수와 등비급수의 활용에 

관해서 이해하는데 많은 도움이 되었습니다.이상구(LEE SANGGU)3월 8일 오후 6:35

Good job.

전형준(2022####82)3월 8일 오후 7:55

이번 정리로 급수에 대한 이해를 알 수 있었으며 급수의 수렴과 발산에 대해 알 수 있었습니다. 

급수와 부분합의 정의에 대한 내용 또한 알 수 있었고 조금 더 나아가 등비수열에 대한 정리를 알

아보도록 하겠습니다.

임경섭(2022####81)3월 8일 오후 10:02

수열의 일반항 a(n) , 부분합S(n)에 대해 알 수 있었고 sum(급수)과 수열의 수렴 발산에 관해 정

리할 수 있었습니다. 좋은 내용 정리 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 9일 오후 1:15

급수의 기본개념과 수렴과 발산에 대해 이해하는 데 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 9일 오후 3:27

급수와 부분합, 급수의 수렴과 발산에 대해 이해하고 문제를 푸는 데 도움이 되었습니다. 감사합

니다.

- 133 -

이주한(2022####78)3월 10일 오후 1:28

이해했습니다.

천혜준(2022####84)3월 10일 오후 2:28

급수의 개념을 공부하는데, 있어 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 10일 오후 3:06

정리해주심에 감사합니다. 덕분에 이해하는데 도움이 됐습니다.

이효민(2022####80)3월 10일 오후 4:58

급수, 등비급수의 수렴과 발산에 대해 알게 되었습니다. 감사합니다.

이혜인(2022####79)3월 12일 오후 2:19

급수의 수렴과 발산을 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김현구(2022####69)3월 12일 오후 2:30

급수에 대해 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

댓글에 남겨주신 등비급수에 대해 배운 내용도 추가로 공유해 드립니다. 등비급수 공부 시 참고 

부탁드립니다.■ 등비급수

첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열 {ar^n-1}에서 얻은 급수

※ 등비수열의 합 공식 1) r = 1일 때 Sn = na (공비가 1이기 때문에 첫째항이 n번 곱해진 것을 

더한 na 가 된다.)   2) r ≠ 1일 때 Sn = a(1-r^n)/1-r ■ 등비급수의 수렴과 발산 (a ≠ 0)1) 

│r│ < 1일 때 수렴하고, 그 합은 a/1-r 이다.

    -1 < r < 1일 때 r은 분수의 형태이므로 lim(r^n, n = ∞) = 0으로 수렴한다.    lim(Sn, n 

= ∞) = lim(a(1-r^n)/1-r) = a/1-r * lim(1-r^n, n = ∞) = a/1-r                           

                                ↑                   (↑공비 r이 분수의 형태이므로 n이 무

한대로 갈 때 0으로 수렴하기 때문에 lim(1-r^n, n = ∞)은 1로 수렴한다.)                      

                                   (↑a/1-r은 n과 관계없는 상수이기 때문에 수열의 극한의 

성질로 인해 limit 밖으로 뺄 수 있다.)

2) │r│ ≥ 1일 때 발산한다.  1. r = 1,  lim(Sn, n = ∞) = lim (na,  n = ∞) = ∞ (a>0) or -

∞(a<0)   2. r > 1, lim(r^n, n = ∞) = ∞, 1 - r < 0         2-1. lim(Sn, n = ∞) = ∞ (a > 

0) → a가 0보다 클 때 Sn = a(1-r^n)/1-r 에서 n이 무한대로 가면 분자 : 양수 (a) * 음의 무한

대 (1-r^n) / 분모 : 음수 (1-r) 이기 때문에 양의 무한대로 발산한다.           2-2. lim(Sn, 

n = ∞)  = -∞ (a < 0)  → a가 0보다 작을 때 Sn = a(1-r^n)/1-r 에서 n이 무한대로 가면 분

자 : 음수 (a) * 음의 무한대 (1-r^n) / 분모 : 음수 (1-r) 이기 때문에 음의 무한대로 발산한다.  

3. r ≤ -1일 때 수열 {r^n} 은 진동(발산) 하므로 {Sn}도 발산한다.

- 134 -

문제를 보면 첫째항이 1이고 1/3이 계속 곱해지는 것을 확인할 수 있습니다.

공비(r)이  -1 < 1/3  < 1 으로 수렴하는 것을 확인할 수 있고 합을 구하는 공식을 적용하면

lim(Sn, n = ∞) = 1/1-(1/3) = 3/2 

위 답안과 동일한 값이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.명령어를 활용하면 더 간단하게 나타

낼 수 있습니다.

아래 올린 급수의 수렴 문제처럼 일반항 명령어를 구분해서 추가해도 동일한 답이 나오는 것을 확

인했습니다.

이상구(LEE SA

NGGU)3월 8일 오후 6:35

Good job.

전형준(2022####82)3월 8일 오후 7:55

이번 정리로 급수에 대한 이해를 알 수 있었으며 급수의 수렴과 발산에 대해 알 수 있었습니다. 

급수와 부분합의 정의에 대한 내용또한 알 수 있었고 조금 더 나아가 등비수열에 대한 정리를 알

아보도록 하겠습니다.

안녕하십니까! 소재부품융합공학과 백승준입니다.3주차 교재 중 급수에 관해 공부한 내용 

공유해 드립니다.■ 급수와 부분합의 정의수열 {an}의 각 항을 차례로 더한 식을 급수라 하고, 

시그마 (Σ) 기호로 표현합니다. 급수에서 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn을 이 급수의 제n항까지의 

부분합이라고 합니다.(급수 : 수열의 제1항부터 무한대 항까지의 합)

(부분합 : 급수의 제n항까지의 합)

■ 급수의 수렴과 발산수열 an이 규칙성이 있는 숫자들의 나열이기 때문에 그 수열의 합인 Sn

- 135 -

(부분합)도 규칙성이 있다.급수의 부분합으로 이루어진 수열 S₁ (a1), S₂ (a1+a2), S₃ (a1+a2+a

3), S₄ (a1+a2+a3+a4), ·····, Sn, ····을 {Sn}이라 할 때, 1) 수열 {Sn}이 수렴하면 급수는 수렴한

다   이때 lim(Sn, n = ∞) = S라고 하면 급수는 S에 수렴한다고 하고 S를 이 급수의 합이라고 

한다.

2) 수열 {Sn}이 발산하면 급수는 발산한다.아래 교재의 문

제를 위 식을 이용해 풀어보았습니다.

분자는 1로 고정이고 분

모의 규칙을 찾으면 n(n+1)인 것을 확인할 수 있습니다.이 때의 규칙 {an} = 1/n(n+1) 을 부

분 분수로 바꿔주게 되면 1/n - 1/n+1이 됩니다.1) 부분합 Sn = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/

3) + (1/3 - 1/4) ······ + (1/n - 1/n+1) = 1 - 1/n+12) Sn의 n이 무한대로 갈 때의 극한lim

(Sn, n = ∞) = lim (1 - 1/n+1, n = ∞) = 1 (n이 무한대로 갈 때 1/n+1은 0에 수렴하기 때문

에 1만 남는다)따라서 {Sn}이 수렴하기에 급수는 수렴하고 그 합은 1이 됨을 알 수 있습니다.

교재와 같이 명령어만 입력했을 때는 아래와 같이 쉽게 답이 나오는 것을 확인하였습니다.

일반항의 역수를 취했을 때는 

수렴하지 않고 발산합니다.[Problem 급수의 수렴과 발산] 1. 변수를 지정한다. var ('변수') 2. 

a(k) = 일반항 → 규칙을 찾아서 입력한다.

 3. S(n) = sum(a(k), k, 1, n) → (부분합  S(n) : k가 1부터 n까지의 합) Σ의 명령어 : sum 

4. limit(S(n), n = oo) → 급수의 합을 확인Sage 프로그램을 통해 변수를 지정하고 규칙만 입

력하면 간단하게 급수의 합을 구할 수 있고 수렴인지 발산인지 확인할 수 있었습니다.

이전

다음

11개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)3월 8일 오후 6:35

Good job.

전형준(2022####82)3월 8일 오후 7:55

이번 정리로 급수에 대한 이해를 알 수 있었으며 급수의 수렴과 발산에 대해 알 수 있었습니다. 

급수와 부분합의 정의에 대한 내용또한 알 수 있었고 조금 더 나아가 등비수열에 대한 정리를 알

아보도록 하겠습니다.

임경섭(2022####81)3월 8일 오후 10:02

수열의 일반항a(n) , 부분합S(n)에 대해 알 수 있었고 sum(급수) 와 수열의 수렴 발산에 관해 정

리할 수 있었습니다. 좋은 내용 정리 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 9일 오후 1:15

- 136 -

급수의 기본개념과 수렴과 발산에 대해 이해하는 데 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 9일 오후 3:27

급수와 부분합, 급수의 수렴과 발산에 대해 이해하고 문제를 푸는 데 도움이 되었습니다. 감사합

니다.

이주한(2022####78)3월 10일 오후 1:28

이해했습니다.

천혜준(2022####84)3월 10일 오후 2:28

급수의 개념을 공부하는 데 있어 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 10일 오후 3:06

정리해주심에 감사합니다. 덕분에 이해하는데 도움이 됐습니다.

이효민(2022####80)3월 10일 오후 4:58

급수, 등비급수의 수렴과 발산에 대해 알게 되었습니다. 감사합니다.

이혜인(2022####79)3월 12일 오후 2:19

급수의 수렴과 발산을 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김현구(2022####69)3월 12일 오후 2:30

급수에 대해 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 3] 이주한 주기함수의 정적분

안녕하세요. 소재부품융함공학과 이주한입니다.



주기함수의 정적분에 요약 내용 및 응용문제 풀이 공유해 드립니다.

연습문제를 응용하여 실제 주기(p)가 변화해도 아래 정의가 수립하는 것을 확인하였습니다.

Q1) 불연속 함수도 아래와 같이 적분할 수 있는가요? (앞으로 저희가 배울 내용인지)



(예제1)

- 137 -

(예제2)

[Sage Code]

var('x')   # 변수 선언

f1(x) = -x^2 + 4*x   # first piecewise part

f2(x) = -x + 6   # second piecewise part

show(plot(piecewise([[(0, 2), f1(x)], [(2, 6), f2(x)]]), (x, 0, 6))) # (0, 2)에서의 적분*2 + (2, 6)

에서의 적분*3

2*integral(f1(x), x, 0, 2) + 3*integral(f2(x), x, 2, 6)

이전

다음

6개의 댓글

- 138 -

임경섭(2022####81)3월 9일 오후 8:45

주기함수의 정적분에 대해 공부할수 있었습니다. 감사합니다!! 추가로 아래 응용문제 만들어 주신 

거에서 2가지가 궁금해서 질문 남깁니다. 첫 번째 질문 :-x^2+4*x의 범위가 0에서 1까지인데 밑

에 풀이 그래프는 0에서 2까지 그렸는데 범위랑 상관없이 만나는 점까지 그리는 게 맞는 건가

요?? 두 번째 질문 : 함수가 모든 실수에서 f(x) = f(x+4) 만족한다고 하는데 x에 2를 대입하면 

f(2)=4이고 f(6)=0인데 그래프가 맞게 그려진 게 맞는지 궁금합니다.

이주한(2022####78)3월 9일 오후 9:39

첫 번째 질문 :-x^2+4*x의 범위가 0에서 1까지인데 밑에 풀이 그래프는 0에서 2까지 그렸는데 

범위랑 상관없이 만나는 점까지 그리는 게 맞는 건가요?? → 오타네요. 수정해서 다시 올리겠습니

다. 감사합니다.^^ 두 번째 질문 : 함수가 모든 실수에서 f(x) = f(x+4) 만족한다고 하는데 x에 2

를 대입하면 f(2)=4이고 f(6)=0인데 그래프가 맞게 그려지는 게 맞는지 궁금합니다. → 제 의견을 

말씀드리면 f(x) = f(x+4) 하는 것은 주기 함수라고 정의한 것입니다. 말씀하신 "f(2)=4이고 f(6)=0"

은 주기가 없을 때의 값입니다. 그러나, f(2)=4, f(6)=4 가 정의된다는 것은 즉 주기함수라고 생각

하시면 됩니다. 관련 Link) https://www.youtube.com/watch?v=RQ9Y3s9S4H0

임경섭(2022####81)3월 9일 오후 9:51

답변감사합니다. 두 번째 질문은 문제에서 모든 실수에서 f(x)=f(x+4)에서 만족한다고 되어있는 게 

f(x)=f(x+6)로 되어야 맞는 것 같아서 드린 질문입니다. 위에 그려주신 그래프를 보게 되면 f(6)가 

f(12) 값이 0으로 같고 f(2)가 f(8)의 값이 4로 같은 것처럼 주기를 6을 나타내줘야 하는 게 맞는 

것 같습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 10일 오전 8:07

Q1) 불연속 함수도 적분이 가능한가요? (앞으로 저희가 배울 내용인가요?) Answer : 모든 점에서 

불연속인 함수는 항상 (Riemann Integral 관점에서) 적분 불가능합니다. 단 리만 적분 가능한 함

수가 가질 수가 있는 불연속점의 최대 Cardinality는 countable입니다. (불연속점 이 finite인 경

우는 대부분 리만 적분 가능하고, 불연속점이 countable인 경우는 리만 적분 가능한 일도 있고 

아닌 경우도 있습니다.) <--- 이런 내용은 수학과 전공 3학년 이상 학생 대상에서 가르치고, 보

통 대학 1학년 미적분학에서는 모든 연속함수는 적분 가능하다는 것 정도를 배웁니다.

손혜원(2022####75)3월 10일 오후 4:19

주기함수의 정적분에 대해 쉽게 알 수 있었습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)3월 12일 오후 2:36

교수님 답변감사합니다. ^^

●  Final Final Comment 

:  우선 곡선 구간에 대해서 정적분을 이용하여 면적을 쉽게 구할 수 있었습니다. 

 의 형태로 정의되었을 경우 일정한 주기를 가지는 함수임을 알 수 있었습니다.

 

Q&A : 불연속 함수도 적분이 가능한가요? 

→ 모든 점에서 불연속인 함수는 항상 적분이 불가하나, 리만 적분이 가능한 함수가 가질 수 있

는 불연속점의 한정된 경우에만 가능하고, 이 경우 불연속 함수도 적분이 가능하다는 것을 배웠습

니다. 

(대학교 1학년 미적분학에서는 모든 연속함수는 적분이 가능하다는 것으로 배움)

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 3] 천혜준, 박경현, 이주한, 임경

섭, 이혜인 - 삼각함수 미분 (문제 8)

- 139 -

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 3월 9일 오후 9:56

조회수 : 71

안녕하세요. 천혜준 입니다. [문제8]삼각함수의 미분을 풀고 완벽하게 이해했다고 생각하여 작성합

니다.

다음으로 y = sin x를 미분하는 유도식을 정리하였습니다. 참고 부탁드립니다.



감사합니다.

- 140 -

이전

다음

6개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)3월 9일 오후 10:16

Good.

박경현(2022####72)3월 10일 오전 10:00

이해했습니다.

이주한(2022####78)3월 10일 오전 10:31

해당 전개 방식을 이용함으로써 (cos x)' = -sin x 증명도 같다고 이해했습니다.

임경섭(2022####81)3월 10일 오후 12:48

미분계수를 이용해 삼각함수의 미분을 유도하는 것을 이해했습니다.

이혜인(2022####79)3월 10일 오후 1:11

삼각함수의 미분에 대해 유도식을 통해 쉽게 이해할 수 있었습니다.

김용철(2022####66)3월 11일 오후 9:06

y = sin x를 미분하여 y' = cos x가 되는 과정을 잘 이해하였습니다. 감사합니다.

[Final OK by SGLee] Re-final[Homework Week 3] 천혜준, 전형준, 박경현, 이주한, 임경섭, 

이혜인, 손혜원, 노영규, 노태완, 이효민 , 조현준 - 삼각함수 미분 (문제 8) / 추

가문제

작성자 : 전형준(2022####82)작성일 : 3월 10일 오후 1:49

조회수 : 71

[Final OK by SGLee] 안녕하세요, 소재부품융합공학과 전형준입니다.천혜준학생의 삼각함수의 

미분을 이해하고 추가적인 문제를 풀어 보겠습니다. ( 삼각함수의 덧셈, 미분 )12학년(고3) 적분   

http://matrix.skku.ac.kr/12th-Grade-1/   中 Q23, Q24 Q.23

sin15° 는 우리가 아는 특수각이 아니기 때문에 특수각으

로 표현하기 위해 덧셈공식을 사용합니다.

sin15° = sin(60°-45°)= sin60°*cos45°-cos60°*sin45°= sqrt(3)/2*sqrt(2)/2 - 1/2*sqrt(2)/2= 

- 141 -

sqrt(6)-sqrt(2)/4이렇게 수기로 답을 찾아낼 수 있지만 sage 프로그램으로는 한 줄이면 됩니다.





이런 경우가 프로그램 사용의 장점이지 않을까 생각합니다.Q.24

해당 식을 보면 삼각함수의 덧셈공식이 한 눈

에 보입니다.sin(a-b) = sinacosb-cosasinbsin(65°-20°) = sin45° = sqrt(2)/2하지만, 덧셈공식

을 모른다고 가정하고 sage 넣어보겠습니다.



문제에서는 육십분법을 사용하지만 sage 프로그램에서는 호도법을 이용하여 넣어야 합니다.Q1) 육

십분법을 사용하는 명령어가 따로 있는지도 궁금해집니다. 

또한, sage 프로그램에서는 삼각함수의 식으로 나와서 교재를 좀 더 찾아보니



- 142 -

sage 프로그램에 from sympy import * , simplify 를 사용하니 원하는 답을 얻을 수 있었습니

다. (from sympy import * 가 symbolic 연산 라이브러리로 계산 및 문제풀이를 할 수 있는 

것으로 보입니다.)마지막으로 y = sin2x을 미분하는 것으로 마무리하겠습니다.f(x) = sin2x = 

sin(x+x) = sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)= 2sin(x)cos(x)(삼각함수의 덧셈공식으로 상기의 식을 얻을 

수 있습니다)f'(x) = 2{(sinx)'cosx+sinx(cosx)'}(곱의 미분법을 사용하여 상기의 식을 얻을 수 있

습니다)f'(x) = 2{cosx*cosx + sinx*(-sinx)}= 2{(cosx)^2 - (sinx)^2}sage프로그램을 사용해서 

y = sin2x를 미분해보면

답 : ( sin2x )' = 2cos(2x)수기로 풀었던 식과 sage 값으로 cos2x = (cosx)^2 - (sinx)^2 를 

알 수 있는데 cos2x를 덧셈공식으로 풀어보겠습니다.cos2x= cos(x+x)=cosx * cosx - sinx * si

nx=(cosx)^2 - (sinx)^2따라서, cos2x = (cosx)^2 - (sinx)^2이 문제에서 sin2x = 2sin(x)cos

(x) , cos2x = (cosx)^2 - (sinx)^2 을 알 수 있었으며 삼각함수의 덧셈공식과 미분에 대한 문제

를 풀어보았습니다.감사합니다.손혜원(2022####75)3월 10일 오후 2:10

삼각함수의 미분과 덧셈정리에 대해서 쉽게 정리할 수 있었고, sage 프로그램 사용의 간편함을 체

감할 수 있었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 10일 오후 2:51

기존에는 삼각함수의 덧셈공식을 알아야지 접근이 가능하였지만 코드를 이용해 문제 해결이 되는

것을 보니 효율적이네요. 정리 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 10일 오후 4:17

삼각함수의 덧셈정리를 손으로 푸는 것보다 코드를 적용하면서 더 쉽고 빠르게 해결이 되는 것을 

보고 사용에 익숙해져야겠다는 생각이 듭니다

이효민(2022####80)3월 10일 오후 4:51

- 143 -

삼각함수의 각 표현을 위한 덧셈공식의 사용과 육십분법을 호도법으로 변환하여 코드적용에 대해 

알게되었습니다. 감사합니다.

[Homework Week 3] 천혜준 - 삼각함수 미분 (문제 8)

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 3월 9일 오후 9:56

조회수 : 26

안녕하세요. 천혜준 입니다. [문제8]삼각함수의 미분을 풀고 완벽하게 이해했다고 생각하여 작성합

니다.

다음으로 y = sin x를 미분하는 유도식을 정리하였습니다. 참고 부탁드립니다.



이상구(LEE SANGGU)3월 9일 오후 10:16

Good.

- 144 -

박경현(2022####72)3월 10일 오전 10:00

이해했습니다.

이주한(2022####78)3월 10일 오전 10:31

해당 전개 방식을 이용함으로써 (cos x)' = -sin x 증명도 동일하다고 이해했습니다.

임경섭(2022####81)3월 10일 오후 12:48

미분계수를 이용해 삼각함수의 미분을 유도하는 것을 이해했습니다.

이혜인(2022####79)3월 10일 오후 1:11

삼각함수의 미분에 대해 유도식을 통해 쉽게 이해할 수 있었습니다.

이전

다음

5개의 댓글

손혜원(2022####75)3월 10일 오후 2:10

삼각함수의 미분과 덧셈정리에 대해서 쉽게 정리할 수 있었고, sage 프로그램 사용의 간편함을 체

감할 수 있었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 10일 오후 2:51

기존에는 삼각함수의 덧셈공식을 알아야지 접근할 수 있었지만, 코드를 이용해 문제해결이 되는 

것을 보니 효율적이네요. 정리 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 10일 오후 4:17

삼각함수의 덧셈정리를 손으로 푸는 것보다 코드를 적용하면서 더 쉽고 빠르게 해결이 되는 것을 

보고 사용에 익숙해져야겠다는 생각이 듭니다

이효민(2022####80)3월 10일 오후 4:51

삼각함수의 각 표현을 위한 덧셈공식의 사용과 육십분법을 호도법으로 변환하여 코드 적용에 대해 

알게 되었습니다. 감사합니다.

조현준(2022####83)3월 12일 오전 11:00

코딩을 활용하여 단순하게 접근할 수 있어 이해하는 데 도움 되었습니다. 감사합니다

[Final OK by SGLee] [Homework week 3] 이주한 등비급수의 수렴과 발산

고3-1 등비급수의 수렴과 발산에 대해서 복습하였습니다.

등비급수 형태에서의 극한은 공비 r 값의 범위에 따라 수렴, 발산 상태를 확인하였습니다.

1. 등비급수의 수렴과 발산 개념 정리

- 145 -

예제1)

급수를 등비급수 형태로 치환하여 -1< r < 1 형태를 확인 후 등비급수의 합공식을 이용하여 수렴

값을 확인할 수 있었습니다.

2-2. 연습문제 

- 146 -

등비급수가 수렴할 때 영역 정의를 통해 등비 r에 미지수 x에 대해서 부등식의 성질을 이용해 정

수를 확인할 수 있었습니다. 

임경섭(2022####81)3월 11일 오후 3:09

이해했습니다. 등비수열의 수렴조건엔 r(공비)가 1일때도 수렴하였는데, 등비급수에서는 공비가 1

일때 무한대로 발산하는 차이도 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 11일 오후 4:17

이해했습니다. 풀이 과정을 적어주셔서 풀이에 대한 이해도 더 하기 쉬웠습니다. 감사합니다

김대환(2022####65)3월 11일 오후 5:24

이해했습니다. 등비수열의 수렴 및 발산 조건과 수렴 할 때 그 값을 구하는 식의 활용 문제를 통

해 더 쉽게 이해했습니다. 추가적으로 2-1 연습문제에 나온 등비수열의 합공식 Sn = a/(1-r) 에 

대한 증명입니다. 원래 등비수열의 합의 공식은 Sn = a(r^n - 1)/(r-1) 입니다. 여기서 r에 대한 

조건을 수렴할 때 조건{-1<r<1, n이 무한대로 갈 때} 를 이용하면 r이 만약 {-1<r<1} 범위 안에 

있는 1/2 라고 한다면 -> (1/2)^n 에서 n이 무한대로 가기 때문에 0에 수렴합니다. 즉, a(0-1) / 

(r-1) 이 됩니다 -> -a / (r-1) 이 됨으로 분모 분자에 -1을 곱해준 Sn = a/(1-r) 이란 식을 얻

을 수 있습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)3월 11일 오후 8:36

등비급수의 수렴과 발산 개념 정리를 잘해주셔서 이해할수 있었습니다. 그리고 연습문제로 문제풀

이까지 할 수가 있어서 좋았습니다.

노영규(2022####70)3월 11일 오후 11:34

등비급수의 수렴과 발산 정리 감사합니다. 풀이 과정까지 보여주셔서 이해하는데 도움이 됐습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 12일 오전 00:15

Very good discussions~~

천혜준(2022####84)3월 12일 오전 9:01

이해했습니다.

조현준(2022####83)3월 12일 오전 10:32

다시 한번 풀어보면서 풀이 과정과 비교하며 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다

이혜인(2022####79)3월 12일 오후 2:12

등비급수 학습 중인데 문제 풀이에 도움이 되었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 12일 오후 2:35

자세하게 적어주셔서 등비급수에 대해 이해하는 데 도움이 많이 됐습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 12일 오후 7:26

- 147 -

등비급수의 수렴과 발산에 대해 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다

이상구(LEE SANGGU)3월 15일 오전 9:14

Final OK by SGLee

●  Final Final Comment 

: 등비수열의 수렴과 발산을 확인할 수 있는 공비값

에 대해서 이해했으며,

을 활용함으로써 어

디에 수렴이 되는지 확인할 수 있었습니다.

 [Final OK by SGLee] Final [Homework week 4] 이주한, 노영규, 천혜준, 백

승준, 전형준, 손혜원, 윤관수, - 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

4주차에 문의드렸던, 쌍곡선함수가 어떻게 sin, cos 함수에 대해서 파생이 되었는지 공유해 드립

니다.

삼각함수(원), 쌍곡선함수(쌍곡선)에 대한 원과 쌍곡선이라는 근본은 다르지만 sin, cos에 대한 좌

표 찾는 부분에 대한 개념이 같기에 파생되어 sinh, cosh로 표기할 수 있습니다. 



1. 삼각함수의 정의

아래 그림과 같은 원의 방정식에서 원의 좌표는 cos과 sin 함수로 나타낼 수 있다. θ 각도를 가지

는 부채꼴의 넓이는 θ/2이다.



- 148 -

2. 쌍곡선 함수의 정의

- 윈의 방정식과 동일하게 쌍곡선 방정식의 쌍곡선 좌표는 다음과 같이 sinh과 cosh 함수로 나타

낼 수 있다. 원과 달리 θ는 쌍곡선에서 각도의 의미는 없다.

아래 그림의 파랑색 직선과 쌍곡선 부분과 x 축으로 둘러싸인 부분의 면적은 θ/2이다.





3. 쌍곡선 함수 cosh, sinh 공식 유도

쌍곡선함수에서는 넓이를 정의하므로 양의 각(제1사분면)에서 대해서 계산하며,

가상의 삼각형 넓이 - 교점 호의 넓이 (적분) = 쌍곡선함수 넓이를 구할 수 있으며, 이를 각 X, Y

좌표에 대입하여 풀면, 현재 배우고 있는 쌍곡선함수의 식이 나옵니다.



   

※ 공식 유도과정

- 149 -

출처: https://article2.tistory.com/748 [조문도]

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=WmCSpLnH9QE

노영규(2022####70)3월 17일 오후 4:44

정리가 잘돼있어서 이해하는데 도움이 됐습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 17일 오후 4:56

쌍곡선 함수의 정의를 확인하고 삼각함수와 쌍곡선 함수를 다시 정리하였습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)3월 17일 오후 6:06

cosh 함수와 sinh 함수에서 e가 나오는 이유가 궁금했는데 그 배경을 알 수 있었습니다. 감사합

니다.

전형준(2022####82)3월 17일 오후 6:06

- 150 -

삼각함수와 쌍곡선함수에 대한 관계가 궁금했었는데 해당 내용들로 잘 인지할 수 있었습니다. 또

한, 쌍곡선함수가 왜 이러한 식들이 나올까 하는가에 대한 해답을 얻었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 17일 오후 6:52

삼각함수와 쌍곡선함수의 정의를 비교해보고, 쌍곡선함수의 공식유도방법을 확인할 수 있었습니다. 

감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 17일 오후 11:00

정리해주신 내용으로 쌍곡선함수의 공식 유도 방법에 대해 공부했습니다. 감사합니다

이상구(LEE SANGGU)3월 18일 오전 11:35

Finalize 하세요 유의미한 코멘트 준 학생들 이름 모두 더하시고, Final OK by SGLee 하세요.

●  Final Final Comment

: 쌍곡선 함수가 어떻게 삼각함수에서 파생이 되었고, 어떤 식으로 증명이 되는지 확인할 수 있는 

문제였습니다. 원과 쌍곡선이라는 근본은 다르지만 sin = y축,  cos = x축 이라는 개념은 같다는 

걸 확인하였습니다. 

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 3] 윤관수, 박경현, 천혜준, 김현

구, 노영규, 조현준, 이혜인, 김용철, 이주한, 신종호, 손혜원, 박준수, 김재영 삼각

함수의 덧셈법칙에 대해 학습하였습니다.

작성자 : 윤관수(2022####77)작성일 : 3월 11일 오후 9:15

조회수 : 98

안녕하세요 소재부품공학과 윤관수 입니다.삼각함수의 덧셈 법칙을 이해하고 문제를 풀어봤습니

다.[삼각함수 덧셈 법칙]

- 151 -

위의 공식을 이해하고 아래의 문제를 풀었습니다.

sin(pi/12)>> 

추가로 cos 75˚, tan 105˚의 값도 구해봤습니다.

,        

- 152 -

삼각함수의 덧셈 법칙에 대해 이해할 수 있었고 코딩을 사용하니 제가 직접 풀어 보는 것보다 빠

르게 답을 구할 수 있어 유용한 거 같습니다.

13개의 댓글

박경현(2022####72)3월 12일 오전 8:55

탄젠트까지 다 정리해주셔서 감사합니다. 이해했습니다,

천혜준(2022####84)3월 12일 오전 9:01

이해했습니다. 감사합니다.

김현구(2022####69)3월 12일 오전 9:18

이해했습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 12일 오전 9:43

정리 감사합니다. 이해했습니다.

조현준(2022####83)3월 12일 오전 10:26

풀이까지 꼼꼼하게 작성되어 이해하는데 도움 되었습니다 감사합니다.

이혜인(2022####79)3월 12일 오전 11:05

이해했습니다. 정리 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 12일 오전 11:38

이해했습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)3월 12일 오후 2:16

이해했습니다. ^^

신종호(2022####76)3월 12일 오후 2:31

이해 했습니다!

손혜원(2022####75)3월 12일 오후 2:37

- 153 -

이해했습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)3월 12일 오후 3:41

이해했습니다. 감사합니다!!

이상구(LEE SANGGU)3월 15일 오전 9:14

Final OK by SGLee

김재영(2022####67)3월 17일 오후 2:20

이해했습니다.

[Final OK by SGLee] [Homework Week 4] 김대환, 임경섭, 손혜원, 백승준, 전

형준, 김대환, 천혜준, 이혜인, 김재영, 김현구, 이주한 역함수의 존재 조건~역삼각

함수

작성자 : 김대환(2022####65)작성일 : 3월 15일 오후 5:05

조회수 : 104

안녕하십니까 소재부품융합공학과 김대환입니다.

역함수를 공부하던 중 "역함수가 존재하려면 기존의 함수는 일대일대응이 되어야하고, 어떠한 수평

선을 그려도기존의 함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않아야 한다." 를 이용한 코딩 그래프

를 통해 공부해본 내용을 적어보겠습니다.그전에 함수인지 판단하는 Vertical Line Test(수직선 

테스트) 가 위 내용과 비슷해서 짧게 서술해 보겠습니다.Vertical Line Test(수직선 테스트) 수직

선 테스트는 곡선과 수직선의 교차 수를 시각적으로 검사하여 평면의 곡선 이 함수 의 그래프를 

나타내는지 여부를 그래픽 방식으로 판별하는 방법입니다. 직선 테스트의 동기는 다음과 같습니다. 

관계는 각 요소가 최대 하나의 값과 일치(F : A -> B) 할 때 정확히 함수이며 결과적으로 평면의 

모든 수직선이 함수의 그래프와 최대 한 번 교차할 수 있습니다. 따라서 수직선 테스트는 수직선

이 두 번 이상 교차하지 않는 경우에만 평면의 곡선이 함수의 그래프를 나타낸다는 결론을 내립니

다. 즉, 어떤 집합 A의 원소에서 집합 B의 원소에 한 개만 대응되며, 모든 원소가 대응해야 합니

다. 원의 방정식이 함수가 아닌 이유입니다.

- 154 -

Horizont

al Line Test(수평선 테스트) 역함수가 정의되려면 치역의 모든 원소에 대하여 정의역의 원소가 

하나씩만 대응되어야 하므로, 기존의 함수는 정의역 내의 다른 원소에 대하여 항상 다른 원소가 

대응되어야 한다. 즉, 기존의 함수는 (치역 범위 내에서) 어떠한 수평선을 그려도 기존의 함수의 

그래프와 두 점에서 만나지 않아야 합니다.

코딩으로 실습해 보았습니다

- 155 -

.

정의역이 정의되지 않은 SIN(X) 그래프는 역함수를 구할 수 없습니다.



정의역을 정의해 준다면 주기 함수인 SIN(X) 함수도 수평선과 한점에서만 만나게 됩니다.

- 156 -

y=sinx(x, -pi/2, pi/2) 의 역함수

- 157 -

교재에 나온 나머지 역삼각함수 csc, sec, cot 실습 내용입니다.1) csc의 역함수 구하기y=csc(x) 

=1/sin(x)

sin(x)값이 증가하면 감소하는 scs(x)의 함수입니다.역함수 arcscs(x)의 함수입니다.

- 158 -

2) sec의 역함수csc(x) = 1/cos(x)

- 159 -

sec(x)의 역함수 arcsec(x)

- 160 -

p1 = plot (tanh(x), (x, -2, 2))   

p2 = plot (arctanh(x), (x, -1, 1), color = 'red')    

p3 = plot (arccoth(x), (x, -4, 4), ymin=-3, ymax=3, color = 'green')    

p4 = plot (x, (x, -2, 2), linestyle = '--', color = 'grey')   # 대칭축 y = x

show (p1 + p2 + p3 + p4, aspect_ratio = 1)3) cot의 역함수cot(x) = 1/tan(x)

- 161 -

cot(x)의 역함수 arccot(x)

- 162 -

(도메인 인식 차이로 y축 0 값을 잘라버렸습니다.)코딩을 통하여 역함수~역삼각함수의 내용을 

그래프를 통해 이해할 수 있었습니다. 감사합니다

이전

다음

12개의 댓글

임경섭(2022####81)3월 15일 오후 5:26

삼각함수와 역함수의 내용을 그래프로 보기 쉽게 정리해주셔서 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 15일 오후 5:50

잘 지적했습니다, a circle is a two dimensional shape. 입니다. 맞습니다. 그래서 원의 방정식 

이 무엇이다 라고 하지 원의 함수 라는 용어를 사용하지 않는 이유입니다. The mathematical fo

- 163 -

rmula used to describe a circle is an equation, not one function. For a given set of in

puts a function must have at most one output. A circle can be described with two fun

ctions, one for the upper half and one for the lower half.

손혜원(2022####75)3월 15일 오후 6:48

역삼각함수의 내용을 시각적으로 확인할 수 있었고, 올려주신 내용을 실습해보니 이해하는데 더욱 

도움이 되었습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)3월 15일 오후 7:23

수직선/수평선 테스트를 통해 논리적으로 역함수에 대해 설명해주시고 역삼각함수에 대한 그래프

로 전부 그려주셔서, 보고 이해하는데에 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)3월 15일 오후 8:04

수직선테스트로 인해 원의 방정식이 함수가 아닌 이유를 직관적으로 확인할 수 있었고 다양한 그

래프를 통해 역삼각함수에 대한 내용을 확인해볼 수 있었고, 주어진 구간에서만 역함수가 존재하

는 것을 확인할 수 있었습니다 감사합니다!

이상구(LEE SANGGU)3월 15일 오후 8:42

김대환 씨, 그리고 남의 자료나 이미지 가져온 경우 출처 보태시지 않으면, ... 표절 의혹 받을 수 

있으니 ... 항상 인용하고 근거를 추가하도록 하시면 만점 입니다.

김대환(2022####65)3월 15일 오후 10:18

지적 감사합니다 이상구 교수님 ㅎㅎ 학우분들이 정의역 치역의 일대일 대응 자료 사진은 다들 훌

륭하시기에 잘 알 것이라 생각이 되어 삭제하였습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 16일 오후 3:32

역삼각함수를 시각적으로 다시 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

이혜인(2022####79)3월 16일 오후 3:58

역함수의 존재 조건을 알 수 있었고 역삼각함수의 그래프를 쉽게 확인할 수 있었습니다.

김재영(2022####67)3월 16일 오후 5:33

여러가지 역삼각함수를 보기 쉽게 표현해주셔서 이해하는데 도움이 많이 되었습니다.

김현구(2022####69)3월 17일 오전 11:26

역삼각함수를 보기 쉽게 정리 해주셔서 이해하는데 도움이 많이 되었습니다.

이주한(2022####78)3월 17일 오후 6:32

이해했습니다 .^^

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 4] 이혜인, 윤관수, 이효민, 박경

현, 노영규, 천혜준, 김재영, 노태완, 김용철, 조현준, 이주한, 손혜원 역삼각함수

의 특성 및 실습

작성자 : 이혜인(2022####79)작성일 : 3월 17일 오전 8:47

조회수 : 110

[Final OK by SGLee]  Final [Homework Week 4] 이혜인, 윤관수, 이효민, 박경현, 노영규, 천

- 164 -

혜준, 김재영, 노태완, 김용철, 조현준, 이주한, 손혜원  역삼각함수의 특성 및 실습4주차 역삼각

함수에 대하여 교재에 있는 실행하며 실습해보았고, 몇가지 특성들에 대해 수기로 작성해보았습니

다.삼각함수는 주기성이 있으므로 일정한 범위가 주어져야 하며,정의역을 줄여서 역삼각함수를 확

인할 수 있습니다.

 sin(x)와 arcsin(x)의 그래프 실습 결과입니다.



 cos(x)와 arccos(x)의 그래프 실습 결과입니다.

- 165 -



  tan(x) arctan(x) 그래프 실습 결과입니다.

- 166 -



교재에 있는 코드로 실습해보면서 그래프를 한눈에 파악할 수 있었습니다.아래는 역삼각함수의 

특성과 증명을 공부하면서 수기로 작성하여 정리한 내용 공유해 드립니다.

- 167 -



- 168 -

이상구(LEE SANGGU)3월 17일 오전 8:51

Good job.

윤관수(2022####77)3월 17일 오전 9:58

역삼각함수의 그래프와 특성을 잘 정리해주셔서 이해가 되었습니다. 감사합니다.

이효민(2022####80)3월 17일 오후 1:58

역삼각함수의 특성에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72)3월 17일 오후 2:01

역삼각함수에 대해 정리 해주셔서 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 17일 오후 2:06

정리해주셔서 이해하는데 많은 도움이됐습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 17일 오후 2:08

역삼각함수의 특성을 정리하였습니다. 감사합니다.

김재영(2022####67)3월 17일 오후 2:11

역삼각함수 공부에 많은 도움이 됐습니다

노태완(2022####71)3월 17일 오후 2:14

역삼각함수의 특성과 증명을 통해서 이해하는데 도움이 되었습니다

김용철(2022####66)3월 17일 오후 2:26

역삼각함수를 그래프로 이해 할 수 있었습니다. 감사합니다.

조현준(2022####83)3월 17일 오후 3:59

역삼각함수의 특성을 보기 쉽게 정리해주셔서 쉽게 이해 했습니다 감사합니다.

이주한(2022####78)3월 17일 오후 4:15

이해했습니다.!

손혜원(2022####75)3월 17일 오후 4:51

역삼각함수의 특성 및 증명에 대해 정리해주셔서 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 18일 오전 11:37

[Final OK by SGLee]

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 4] 이주한 역삼각함수 관계식 그

래프 

아래 공유된 게시글을 토대로  역삼각함수의 관계식에 대해서 그래프 그에 따른 성질을 확인하였

습니다. 

※ 추가의견

1. 역삼각함수의 정의역이 같을 때 덧셈을 할 경우 pi/2 가 정의됩니다.

2. pi/2에 대한 정의역은 덧셈한 역함수와 정의역이 동일합니다.

- 169 -

1. arcsin(x) + arccos(x) = pi/2

var('x,y')

p1 = plot(arcsin(x), (x, -1, 1), color = 'red', linestyle = '--')

p2 = plot(arccos(x), (x, -1, 1), color = 'gray', linestyle = '--')

p3 = plot((arcsin(x) + arccos(x)), (x, -1, 1))

show (p1 + p2 + p3, ymin = -2, ymax = 2, xmin = -2, xmax = 2, aspect_ratio = 1)



2. arctan(x) + arccot(x) = pi/2

- 170 -

var('x,y')

p1 = plot(arctan(x), (x, -6, 6), color = 'red', linestyle = '--')

p2 = plot(arccot(x), (x, -6, 6), color = 'gray', linestyle = '--')

p3 = plot((arctan(x)+ arccot(x)), (x, -6, 6))

show (p1 + p2 + p3, ymin = -4, ymax = 4, aspect_ratio = 1)



3. arcsec(x) + arcsc(x) = pi/2

var('x,y')

p1 = plot(arcsec(x), (x, 1, 6), color = 'red', linestyle = '--')

p2 = plot(arccsc(x), (x, 1, 6), color = 'gray', linestyle = '--')

p3 = plot((arcsec(x)+ arccsc(x)), (x, 1, 6))

show (p1 + p2 + p3, ymin = -2, ymax = 2, aspect_ratio = 1)

이상구(LEE SANGGU)3월 18일 오전 11:39

Final 선언하기 전에 친한 classmate 친구에게 코멘트 (확인) 달아달라고 부탁하여, 그 친구가 이 

답이 맞는다고 동의하면 Final 선언하시면 더 좋을 듯합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 18일 오전 11:51

1. 본인 글이나 다른 학생의 글을 정리하여 Final 선언하기 전에 ... (아무도 답글은 안 단 경우에

는) 제목에 친한 classmate 친구 이름을 주어 그 친구에게 ... 코멘트 (확인) 달아달라고 부탁하

여, 그 친구가 이 답이 맞는다고 동의하면 Final 선언하시면 더 좋을 듯합니다. (그런 방법으로 자

신도 다른 학생의 풀이에 Final Comment 를 달아보세요) ... A, B 를 원하는 학생이라면 그렇게 

그동안 우리가 같이 학습한 내용을 정리하면서 (개인별로) 우선 5개 이상 Finalize 해 보세요^^ 2. 

본인 글이나 다른 학생의 글을 정리하여 (친구들이 답글을 달고 이해했다고 하는 경우에는) 제목

에 기여한 학생들 이름을 모두 더하여 이 답이 맞는다고 생각합니다. 하고 Final 선언하시면 더 

좋을 듯합니다. (그런 방법으로 자신도 다른 학생의 풀이에 Final Comment 를 달아보세요) ... A 

, B 를 원하는 학생이라면 그렇게 그동안 우리가 같이 학습한 내용을 정리하면서 (개인별로) 우선 

5개 이상 Finalize 해 보세요^^ 그럼 채점해 줄께요^^ Good luck^^

백승준(2022####74)3월 19일 오후 7:54

- 171 -

역삼각함수의 성질 중 1) arcsinx + acrcosx = π/2 2) arctanx + arccotx = π/2 3) arcsecx 

+ arccscx = π/2 에 대해 그래프를 통해 좀 더 직관적으로 이해할 수 있었습니다. 감사합니다. 

다른 역삼각함수 성질도 공유해 드립니다. 1) arccosx = π - arccosx → arccosx = α 라고 하

면, cosα = x 이고 양변에 -을 곱해주면 -cosα = -x , 삼각함수 성질에 의해 cos(π-α) = -x → 

arccosx = π-α → arccosx = π - arccosx 가 된다. 2) arccotx = π - arccotx 3) arcsecx = 

π - arcsecx

이상구(LEE SANGGU)3월 20일 오후 5:16

Final OK by SGLee

이주한(2022####78)3월 21일 오후 1:54

네 알겠습니다.!

●  Final Final Comment

:  역삼각함수의 성질에 의해  정의역이 같은 함수에 대해서는  

로 정의되는 것을 확인하였습니

다. 단, 모든 구간에서 정의되는 것이 아니라 각 함수의 정의역까지만 연속하는 것으로 확인하였

습니다. (역삼각함수 규칙 : 1개의 원소에만 대응이 되어야 한다.)

Final [Homework Week 5] 임경섭 , 함수의 극한소재부품융합공학과 임경섭 

입니다.5주차 함수의 극한에 대하여 공부한 내용 공유해드립니다. 함수의 수렴

x → a 로 양방향에서 접근할때(*  좌극한값과 우극한값이 존재하지 않거나, 존재하더라도 좌극한

과 우극한의 값이 같지 않을때 f(x)의 극한값은 없다고 한다.)f(x)  : 2.9, 2.99, 2.999, 2.999, '''

f(x) : 3.1, 3.01, 3.001, 3.0001,  ''' 

위와 같이 f(x)의 극한값이 좌우에서 모두 존재하고  같을때, 예를들어,   좌우 limit 가 둘 다 모

두 3에 한없이 가까워질 때  f(x)는 3에 수렴한다고하고  f(x) → 3으로 나타냅니다.

ㅁ함수의 극한

미적분학1 p59 예제

f(x) = (x^2-1) / (x-1)

limit(f(x), x=1)

plot(f(x), (x,0,2))

- 172 -

    



좌극한과 우극한 (one - Sided limit)

x → a 는 x의값이 a가 아니며 a값에 한없이 가까이 간다는 의미이다.

1) 좌극한(left-hand limit)

 x의 값이 a보다 작은방향(왼쪽) 에서 a에 한없이 다가간다.

2) 우극한(right-hand limit)

 x의 값이 a보다 큰방향(오른쪽) 에서 a에 한없이 다가간다.

*  좌극한값과 우극한값이 존재하지 않거나, 존재하더라도 좌극한과 우극한의 값이 같지 않을때

f(x)의 극한값은 없다고 한다.

f(x) = tan(x)

p1=plot(f(x), (x,-pi/2,pi) , ymin=-3, ymax=3, detect_poles='show')

p2=text("pi/2",(1.5,0.5), fontsize=10) #텍스트("쓸말", (위치좌표), 폰트사이즈)

print(limit(f(x), x=pi/2, dir = '+'))

print(limit(f(x), x=pi/2, dir = '-'))

p1+p2

- 173 -



*엡실론 델타 정의

http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

2 (skku.ac.kr)

- 174 -

ㅁ연속, 불연속 함수

*x = a 에서 연속 

함수 f(x) 가 

1) x =a 에서 정의되어 있고

2) limit(f(x), x=a) 가 존재하며  (즉, 좌극한과 우극한 이 존재하여 같으며   ) 

3) limit(f(x), x=a)  == f(a)  (위의 3개의 값이 모두 같을 때) 

일때, 이 함수는 x =a 에서 연속이라 하고, 함수의 그래프는 연속인 점에서 이어져 있다.

*x=a 에서 불연속

함수 f(x) 가 x=a에서 연속이 아닐 때, 이 함수는 x=a에서 불연속이라 하고 a는 불연속 점이라한

다,

그리고 함수의 그래프는 a(불연속점) 에서 끊어져 있다.

f1(x) = x^2     #(x≠0)

f2(x) = -1      #(x=0)

f(x) = piecewise([((-1,1),f1), ((0, 0), f2)])

p1= plot(f(x), (x,-2,2))

p2 = scatter_plot([[0, f1(0)] ,[0, f2(0)]]) # x=0에서 불연속 , f(0)= -1

p1+p2 

ㅁ중간값 정리 + 최대,최소 정리

*함수 f(x)가 폐구간[a, b]에서 연속이고 f(a) ≠ f(b)일 때, f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값을 k 라 할

때

- 175 -

f(c) = k인 c가 개구간(a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.

*함수 f(x)가 폐구간[a, b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

 연습 문제1) x^4 + x^3 -9*x + 1 = 0, (1, 3) 지정된 구간에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보

여라,

f(x) = x^4 + x^3 -9*x + 1 p1 = plot(f(x), (x,1,3))

print(find_root(f(x),1,3))  # 방정식 f(x) =0 의 (1,3) 사이의 근사해

p1



2) x*sin(x) = cos(x) , (0,1)f(x) = x*sin(x) - cos(x)p1 = plot(f(x), (x,0,1))print(find_root(f(x),

0,1)) # 방정식 f(X) = 0 의 (0,1) 사이의 근사해p1

- 176 -



5주차 함수의 극한과 Epsilon-Delta 라는 함수의 극한의 정의에 대하여 확인할 수 있었습니다.코

딩을 활용하여 중간값 정리를 이용해 실근의 유무를 판단하는 것에서 멈추지 않고, 근사해의 값을 

편리하게 확인할 수 있어서 좋았습니다. 또한 함수의 그래프를 확인하여 극한의 수렴, 발산을 직

관적으로 확인해 볼 수 있었습니다.

*Epsilon-Delta 참조.

엡실론-델타 논법 (naver.com)

http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html http://matrix.skku.ac.kr/20

20-math4ai-final-pbl/  2 (skku.ac.kr)

- 177 -

*https://atoandme.blogspot.com/2018/10/2017-1-1-1.html   의 설명을 참고하면.

입실론 델타 예문

입실론 텔타 증명법을 아래 예제들을 기준으로 간단하게 설명하자면

x가 a에 무한이 가까워질 경우 : x와 a의 거리 차이가 델타 보다 작음을 가정함수값이 L에 무한

히 가까워 질 경우 : 함수값과 L값의 거리차가 입실론보다 작음을 가정

위 조건을 만족하는 델타값에 대해  함수값과 L값의 거리 차가 입실론보다 작음을 보이면 극한값

이 존재한다.

입실론은 임의의 실수이므로 델타값이 존재함을 보이면 극한값이 존재함을 보이는 것이다.

16개의 댓글

윤관수(2022####77)3월 21일 오후 12:07

함수의 극한에 대해 잘 정리해주셔서 공부하는데 많이 도움이 되었습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)3월 21일 오후 2:38

함수의 극한 공부하는데, 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 21일 오후 3:40

함수의 극한에 대해 코딩을 활용하여 시각적으로 잘 표현해주셔서 이해하는 데 많은 도움이 되었

습니다. 감사합니다. 궁금한 것이 있습니다. 중간값 정리 연습문제 2번에 g(x)=cos(x)는 제가 생각

하기에는 없어도 그래프를 그리는데 무방하다고 생각됩니다. 혹시 따로 필요한 이유가 있나요?

임경섭(2022####81) 3월 21일 오후 4:35

연습문제 2번에 g(x) = cox 명령어는 지우는 게 맞습니다. 처음에 풀 때 f(x) = x*sin(x) , g(x) = 

cos(x) 로 나누어서 풀이하였는데 하나로 합쳐서 풀면서 지우지 못한 것 같습니다. f(x) = x*sin

(x) - cos(x) p1 = plot(f(x) , (x,0,1)) print(find_root(f(x), 0, 1)) p1 이게 맞는것같습니다. 오타

인데 확인해주셔서 감사합니다.

전형준(2022####82)3월 21일 오후 4:36

- 178 -

함수의 극한에 관한 내용을 정리해주셔서 극한 존재에 관한 내용을 알 수 있었고 연속과 불연속의 

그래프를 확인할 수 있었습니다. 또한, 극한의 수렴과 발산에 관한 내용을 알 수 있었습니다. 입실

론 델타에 관한 내용으로 더욱 폭넓게 극한을 볼 수 있었습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)3월 21일 오후 4:41

대학 미적분학을 배우면서 처음으로 입실론 델타라는 개념을 접해서 생소했는데, 예제를 통해 쉽

게 정리해주셔서 이해하기 쉬웠습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 21일 오후 4:45

함수의 좌우극한을 이해하는데 도움이 되었습니다

이혜인(2022####79)3월 21일 오후 4:53

함수의 극한과 연속에 대해 정리해주셔서 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 21일 오후 7:10

함수의 좌극한, 우극한 2가지에 대하여 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

김지수(2022####68)3월 21일 오후 8:31

함수의 극한에 대해 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

김현구(2022####69)3월 21일 오후 8:54

함수의 극한에 대해 이해했습니다. 상기 내용을 바탕으로 변형하여 실습해보겠습니다.

이효민(2022####80)3월 21일 오후 10:23

함수의 극한에 대한 개념을 익힐 수 있었고 입실론 델타의 개념에 대해 접하고 예문을 통해 이해

할 수 있었습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)3월 22일 오전 11:50

함수의 우극한 좌극한에 개념에 대해서 이해할 수 있었습니다.

박경현(2022####72)3월 22일 오후 4:55

함수의 극한에 대해 전체적으로 잘 정리해주셔서 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오후 5:06

다듬어서 [Final OK by SGLee] 하세요^^

김대환(2022####65)3월 22일 오후 7:20

함수의 극한에 대한 개념을 그래프로 쉽게 이해할 수 있었고 안 그래도 궁긍했던 입실론 텔타 증

명법을 x가 a에 무한이 가까워지면 : x와 a의 거리 차이가 델타 더 작음을 가정 함숫값이 L에 무

한히 가까워질 때 : 함숫값과 L 값의 거리 차가 입실론보다 작음을 가정 위 조건을 만족하는 델타

값에 대해 함숫값과 L 값의 거리 차가 입실론보다 작음을 보이면 극한값이 존재한다. 이런 식으로 

쉽게 설명해주셔서 쉽게 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

[Final OK by SGLee] final - [Homework Week 5] 이혜인, 손혜원, 윤관수 전

형준, 노영규, 이효민, 전형준, 김용철, 백승준, 조현준, 김지수, 노태완, 김현구, 

임경섭, 박경현, 이주한 (예제 6번) Sandwich Theorem <--- 잘했습니다. 그럼 

x*sin(1/x) 은 수렴할까요 아니면 발산하나요?

- 179 -

작성자 : 이혜인(2022####79)작성일 : 3월 21일 오후 4:52

예제 6번)

 임을 보여라.sin(1/x)는 -1과 1 사이에 있으므로 -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 

입니다. 양 변에 x^2을 곱해주면-x^2 ≤ x^2 sin (1/x) ≤ x^2 이 됩니다. 따라서 x→0일 때 샌드

위치 정리에 의하여lim-^2 limx^2 0 으로 lim(^2*sin(1/x) 0 입니다.



x^2의 그래프, -x^2의 그래프, x^2*sin(1/x)의 그래프3개 그래프가 다음과 같이 나타날 때,x^2

*sin(1/x)의 그래프 가 x^2 와 -x^2그래프 사이에 있으며 0으로 수렴하는 것을 확인할 수 있습니

다.p1 = plot(x^2*sin(1/x), (x, -1/2, 1/2)) # x^2*sin(1/x)의 그래프

p2 = plot(x^2, (x, -1/2, 1/2), color = 'red') # x^2의 그래프

p3 = plot(-x^2, (x, -1/2, 1/2), color = 'green') # -x^2의 그래프

show(p1 + p2 + p3)

# 극한 계산

print(" limit(x^2*sin(1/x), x = 0) : ", limit(x^2*sin(1/x), x = 0))Note : =>

=>   must also be 0.  ( Since , by the squeeze theorem,)(2)  => 

이상구(LEE SANGGU)3월 21일 오후 4:59

잘 했습니다. 그럼 x*sin(1/x) 은 수렴할까요 아니면 발산하나요?

이혜인(2022####79)3월 21일 오후 5:03

0으로 수렴합니다. 본문에 내용 추가하겠습니다 ~

손혜원(2022####75)3월 21일 오후 5:06

- 180 -

조임정리(샌드위치정리)에 대해 복습할 수 있었습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 21일 오후 5:23

샌드위치 정리에 대해 이해 할 수 있었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)3월 21일 오후 5:38

해당 내용들을 그래프로 직관적으로 확인해볼 수 있음에 샌드위치정리에 대한 내용을 습득할 수 

있었습니다 내용 정리 감사합니다

노영규(2022####70)3월 21일 오후 6:18

샌드위치의 정리를 이해하였고, 코딩을 통해 그래프 확인을 하였습니다. 교수님께서 말씀하신 x*si

n(1/x) 관련 부분도 코딩을 통해 직관적으로 확인을 할 수 있었습니다. 감사합니다.

이효민(2022####80)3월 21일 오후 6:25

샌드위치 정리와 코딩을 이용한 증명에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 21일 오후 6:43

0. x=0에서 sin(1/x) 는 발산, sin(1/x^2) 수렴합니다. 1. x*sin(1/x) 는 수렴하는지, 발산하는지. 

한번 같이 확인해봅시다. ^^ <--- 확인해 보니 x=0에서 x*sin(1/x) -> 0으로 수렴하네요^^

 

             

 https://www.quora.com/What-is-the-limit-of-x*sin-x-and-x*sin-1-x-as-x-approaches-0 



- 181 -

2. 생각해보니 sin x/(x)^2 은 수렴하는데 영에서 무한대까지 sin x/(x)^2의 적분은 수렴하지 않

는다는 것을 내가 생각하고 있었나 봅니다. 

전형준(2022####82)(2022####82)3월 21일 오후 7:04

f(x)=x*sin(1/x) g(x)= sin (x)/(x)^2 print(limit(f(x),x=0)) print(limit(g(x),x=0)) p1=plot(f(x),x) p

2=plot(g(x),(x,-10,10), ymin=-3, ymax=3 , color='red') p1+p2 코딩으로 확인해보니 x*sin(1/

x) 은 0으로 수렴하고 sin(x)/(x)^2은 발산합니다 ( limit x =0 ) 또한, sin(1/x),sin(1/x^2)를 sag

e 프로그램에 x=0으로 보낼 때 ind라는 출력이 나오는데 의미가 무엇인지 궁금합니다..

김용철(2022####66)3월 21일 오후 7:08

샌드위치 정리를 이해하였으며, 코딩을 이용한 그래프로 직관적 이해가 가능하였습니다. 감사합니

다.

백승준(2022####74)3월 21일 오후 7:53

샌드위치 정리에 대한 예제를 직접 풀어주셔서 이해하기 쉬웠습니다. 감사합니다. 전형준 학우님이 

질문한 ind라는 출력은 indeterminate(쉽게[정확히] 가늠할[규정할] 수 없는)이라는 뜻으로 나온 

거 같습니다. sin(1/x)에서 x가 0으로 가까워질 때, 1/x는 커지거나 작아지므로 sin(1/x)의 값은 

-1과 1을 반복해서 그려집니다. 그러므로 함숫값이 한없이 가까워지는 상수가 존재하지 않아 극한

이 없는 것을 나타내기 위해 ind라는 출력이 나온 거 같습니다. sage 프로그램을 통해 그래프를 

그려보면 어느 하나의 값으로 수렴하지 않는 것을 확인할 수 있습니다. plot(sin(1/x), (x,-1,1))

이상구(LEE SANGGU)3월 21일 오후 8:11

질문:또한, sin(1/x),sin(1/x^2)를 sage 프로그램에 x=0으로 보낼 때 ind라는 출력이 나오는데 의

미가 무엇인지 궁금합니다. 답:Indeterminate 라는 의미입니다. (확정이 안 되는 예로써 진동으로 

이해하시면 될 듯합니다. )

조현준(2022####83)3월 21일 오후 8:24

샌드위치 정리에 대해 그래프와 정리로 쉽게 풀이해 주셔서 이해하였습니다. 전형준 학우님의 질

문에 대한 교수님의 답변도 진동으로 이해하였습니다. 감사합니다

김지수(2022####68)3월 21일 오후 8:34

샌드위치 정리를 해주신 것을 통해 쉽게 이해할 수가 있었습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 21일 오후 8:41

샌드위치 정리를 직접 수기로 적어주셔서 이해하기 쉬웠습니다

김현구(2022####69)3월 21일 오후 8:41

샌드위치 정리와 그 예제 문제를 풀이해주셔서 쉽게 이해했습니다. 감사합니다.

임경섭(2022####81)3월 21일 오후 11:16

샌드위치 정리에 대해 확인하였고 ,x*sin(1/x) 코딩과 더불어 입실론-델타 정리로 극한의 증명한 

것을 확인하였습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오전 4:52

Good job.박경현(2022####72)3월 22일 오후 5:00

- 182 -

샌드위치 정리에 대해서 알기 쉽게 정리해주시고 그래프로 보기 쉽게 표현해주셔서 이해할 수 있

었습니다. 감사합니다.

이전

다음

21개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)3월 21일 오후 4:59

잘 했습니다. 그럼 x*sin(1/x) 은 수렴할까요 아니면 발산하나요?

이혜인(2022####79)3월 21일 오후 5:03

0으로 수렴합니다. 본문에 내용 추가하겠습니다 ~

손혜원(2022####75)3월 21일 오후 5:06

조임정리(샌드위치정리)에 대해 복습할 수 있었습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 21일 오후 5:23

샌드위치 정리에 대해 이해 할 수 있었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)3월 21일 오후 5:38

해당 내용들을 그래프로 직관적으로 확인해볼 수 있음에 샌드위치정리에 대한 내용을 습득할 수 

있었습니다 내용 정리 감사합니다

노영규(2022####70)3월 21일 오후 6:18

샌드위치의 정리를 이해하였고, 코딩을 통해 그래프 확인을 하였습니다. 교수님께서 말씀하신 x*si

n(1/x) 관련 부분도 코딩을 통해 직관적으로 확인을 할 수 있었습니다. 감사합니다.

이효민(2022####80)3월 21일 오후 6:25

샌드위치 정리와 코딩을 이용한 증명에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 21일 오후 6:43

0. x=0 에서 sin(1/x) 는 발산, sin(1/x^2) 수렴 합니다. 1. x*sin(1/x) 는 수렴하는지, 발산하는

지 한번 같이 확인해봅시다. ^^ <--- 확인해 보니 x=0에서 x*sin(1/x) -> 0으로 수렴하네요^^ h

ttps://www.quora.com/What-is-the-limit-of-x*sin-x-and-x*sin-1-x-as-x-approaches-0 

2. 생각해보니 sin x/(x)^2 은 수렴하는데 영에서 무한대까지 sin x/(x)^2의 적분은 수렴하지 않

는다는 것을 내가 생각하고 있었나 봅니다.

전형준(2022####82)3월 21일 오후 7:04

f(x)=x*sin(1/x) g(x)= sin (x)/(x)^2 print(limit(f(x),x=0)) print(limit(g(x),x=0)) p1=plot(f(x),x) p

2=plot(g(x),(x,-10,10), ymin=-3, ymax=3 , color='red') p1+p2 코딩으로 확인해보니 x*sin(1/

x) 은 0으로 수렴하고 sin(x)/(x)^2은 발산합니다 ( limit x =0 ) 또한, sin(1/x),sin(1/x^2)를 sag

e 프로그램에 x=0으로 보낼 때 ind라는 출력이 나오는데 의미가 무엇인지 궁금합니다..

김용철(2022####66)3월 21일 오후 7:08

샌드위치 정리를 이해하였으며, 코딩을 이용한 그래프로 직관적 이해가 가능하였습니다. 감사합니

다.

백승준(2022####74)3월 21일 오후 7:53

- 183 -

샌드위치 정리에 대한 예제를 직접 풀어주셔서 이해하기 쉬웠습니다. 감사합니다. 전형준 학우님이 

질문한 ind라는 출력은 indeterminate(쉽게[정확히] 가늠할[규정할] 수 없는)이라는 뜻으로 나온 

거 같습니다. sin(1/x)에서 x가 0으로 가까워질 때, 1/x는 커지거나 작아지기 때문에 sin(1/x)의 

값은 -1과 1을 반복해서 그려집니다. 그렇기 때문에 함수값이 한없이 가까워지는 상수가 존재하지 

않아 극한이 없는 것을 나타내기 위해 ind라는 출력이 나온 거 같습니다. sage 프로그램을 통해 

그래프를 그려보면 어느 하나의 값으로 수렴하지 않는 것을 확인할 수 있습니다. plot(sin(1/x), 

(x,-1,1))

이상구(LEE SANGGU)3월 21일 오후 8:11

질문: 또한, sin(1/x),sin(1/x^2)를 sage 프로그램에 x=0으로 보낼 때 ind라는 출력이 나오는데 

의미가 무엇인지 궁금합니다.. 답: Indeterminate 라는 의미입니다. (확정이 안되는 예로 진동으로 

이해하시면 될 듯합니다. )

조현준(2022####83)3월 21일 오후 8:24

샌드위치 정리에 대해 그래프와 정리로 쉽게 풀이 해주셔서 이해하였습니다. 전형준 학우님의 질

문에 대한 교수님의 답변도 진동으로 이해하였습니다. 감사합니다

김지수(2022####68)3월 21일 오후 8:34

샌드위치 정리를 해주신 것을 통해 쉽게 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 21일 오후 8:41

샌드위치 정리를 직접 수기로 적어주셔서 이해하기 쉬웠습니다

김현구(2022####69)3월 21일 오후 8:41

샌드위치 정리와 그 예제 문제를 풀이해주셔서 쉽게 이해했습니다. 감사합니다.

임경섭(2022####81)3월 21일 오후 11:16

샌드위치 정리에 대해 확인하였고, x*sin(1/x) 코딩과 더불어 입실론-델타 정리로 극한의 증명한 

것을 확인하였습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오전 4:52

Good job.

박경현(2022####72)3월 22일 오후 5:00

샌드위치 정리에 대해서 알기 쉽게 정리해주시고 그래프로 보기 쉽게 표현해주셔서 이해할 수 있

었습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)3월 23일 오후 5:15

샌드위치 정리에 대해서 이해할 수 있었습니다. 궁금한 게 있는데, 개구간에 대한 샌드위치 정리

도 존재할 수 있나요? [샌드위치 정리, Sandwich Theorem] 모든 점 에 대해서  ≤ 

 ≤ 를 만족한다면,  = k 에서  =  일 때 두 함수 사이에 있는 함수 k

도 똑같은 값을 가진다.

이혜인(2022####79)3월 24일 오후 6:23

이주한 학우님께서 개구간에 대한 샌드위치 정리의 존재여부를 질문하셨는데 저도 생각지 못한 부

분이라 찾아봤습니다. https://people.math.wisc.edu/~csimpson6/teaching/2018_fall_221/ivt

- 184 -

/ivt.pdf 해당문서를 참고하여 Theorem (Squeeze Theorem). Let a be a real number and le

t f, g, and h be functions. If f, g, and h satisfy: (1) limx→a f(x) = limx→a g(x) = L with 

L a real number and (2) There is an open interval (c, d) with c < a < d such that for 

all x 6= a in (c, d), f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Then limx→a g(x) = L. 로 개구간(open interval)에

서 성립하는 것으로 보여집니다. 혹시 틀렸거나 잘못된 부분 있으면 말씀해주세요 !

[Final OK by SGLee] final-[Homework week 5] 전형준, 이주한, 노영규, 노태

완, 조현준, 김지수, 김현구, 김용철, 윤관수, 이혜인, 손혜원, 천혜준 삼각함수의 

극한 증명 및 성질 <--- Final 선언 하세요^^ <--- 다른 학생들도 여기에 코멘

트 달고 윤문하여 Re-Final 선언 하면서 본인 이름도 제목에 추가 하세요^^

[Final OK by SGLee]  [Homework week 5] 전형준, 이주한, 노영규 삼각함수의 

극한 증명 및 성질안녕하세요, 소재부품융합공학과 전형준입니다.이주한학우님

이 올려주신 삼각함수 극한 증명 및 성질에 대해서 정리한 것을 이해하고 샌드위

치정리를 이용한 해당 값들을 알 수 있었습니다. 여기서, 주어진 문제의 역수에 

대한 궁금증이 생겨 그래프와 값들을 공유해 드립니다.

(1) sin(x)/(x)에 대한 역수 f(x) = sin(x)/(x)     g(x)= (x)/sin(x)     f(x) = sin(x)/(x)

g(x) = (x)/sin(x)

print(limit(f(x), x = 0))

print(limit(g(x), x = 0))

p1 = plot(f(x), (x,-20,20) ,ymin=-5, ymax=5,color='red')

p2 = plot(g(x), (x,-20,20))

p1+p2

- 185 -

limit(sin(x)/(x),x=0) == 1limit((x)/sin(x),x=0) == 1(2) cos(x)/(x)에 대한 역수f(x) = cos(x)/

(x)g(x)= (x)/cos(x) f(x) = cos(x)/(x)

g(x) = (x)/cos(x)

print(limit(f(x), x = 0))

print(limit(g(x), x = 0))

p1 = plot(f(x), (x,-20,20) ,ymin=-5, ymax=5,color='red')

p2 = plot(g(x), (x,-20,20))

p1+p2

- 186 -

limit(cos(x)/(x),x=0) == oolimit((x)/cos(x),x=0) == 0(3) tan(x)/(x)에 대한 역수f(x) = tan(x)/

(x)g(x)= (x)/tan(x) f(x) = tan(x)/(x)

g(x) = (x)/tan(x)

print(limit(f(x), x = 0))

print(limit(g(x), x = 0))

p1 = plot(f(x), (x,-20,20) ,ymin=-5, ymax=5,color='red')

p2 = plot(g(x), (x,-20,20))

p1+p2

- 187 -

 Final [Homework week 5] 삼각함수의 극한 증명 및 성질

삼각함수가 0에 가까워질때 극한에 대한 증명 및 정리해보았습니다.

Sage 프로그램을 활용하여, 실제 수렴 값만 확인하는 것이 아니라 우극한, 좌극한이 점점 어떻게 

다가와서 수렴이 되는지 확인할 수 있었습니다. 



※ 정리내용

1. f(x) = sin(x)/x // 0에 대한 극한은 1로 수렴한다.

2. f(x) = cos(x)/x // 0에 대한 극한은 무한대로 발산한다.

3. f(x) = tan(x)/x // 0에 대한 극한은 1로 수렴한다.



1. f(x) = sin(x)/x의 0에 대한 극한은 1로 수렴한다.

- 증명과정

- 188 -



g(x) = sin(x)/(x)

show(g(x))

print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))



2. f(x) = cos(x)/x의 0에 대한 극한은 무한대로 발산한다.

- 189 -

 - 위와 동일하다고 생각할 수 있으나, cos(0) = 1이고, x는 점점 0으로 가까워지기 때문에 무한

대로 발산한다.

g(x) = cos(x)/(x)

show(g(x))

print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))



3. f(x) = tan(x)/x의 0에 대한 극한은 1로 수렴한다.

    이는 tan(x)/x = sin(x)/x * 1/cos(x) = 1*1 = 1이 성립하기 때문이다. 

g(x) = tan(x)/(x)

- 190 -

show(g(x))

print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))

이전

다음

13개의 댓글

노영규(2022####70)3월 21일 오후 6:26

증명과정을 통해 이해하였고, 그래프를 통해 직관적으로 확인을 하였습니다. 정리해주심에 이해하

는 데 도움이 됐습니다.

전형준(2022####82)3월 21일 오후 6:55

삼각함수의 극한에 대한 정리를 이해하였고 그래프를 통해 해당 값을 알 수 있었습니다. 감사합니

다.

이효민(2022####80)3월 21일 오후 7:17

삼각함수의 극한에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 21일 오후 7:48

삼각함수의 극한을 다시 한번 확인하였습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)3월 21일 오후 7:56

삼각함수의 극한에 대해 직접 증명과정을 설명해주시고 그래프를 통해 직관적으로 확인해주셔서 

쉽게 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

조현준(2022####83)3월 21일 오후 8:27

삼각함수의 정의에 대해서도 다시 한번 정리해보았고, 그래프를 통해 삼각함수의 극한에 대해 쉽

게 이해하였습니다. 감사합니다

김지수(2022####68)3월 21일 오후 8:28

삼각함수의 극한에 대해 정리 할 수 있었습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 21일 오후 9:06

삼각함수의 극한에 대한 증명과정을 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오전 4:51

Very good.

이혜인(2022####79) 3월 22일 오전 8:47

증명과 그래프를 통해 삼각함수의 극한을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72) 3월 22일 오후 5:01

증명을 통해 삼각함수의 극한이 어떻게 정리되는지 알 수 있었고 그래프로도 표현해주셔서 이해하

기 더 수월하였습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)3월 22일 오후 11:21

삼각함수의 극한에 대해 이해하는데, 도움이 되었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 23일 오후 12:01

삼각함수의 극한에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

●  Final Final Comment

:  

를 증명하면서 샌드위치 정리에 대해서 같이 학습할 수 있었습니다. 또한 아래 코

딩을 통해 각각 수렴과 발산 그래프 개형이 어떤 식으로 이루어지는지 확인하고 깊이 있게 이해할 

수 있었습니다. 

- 191 -

Final OK by SGLee] final [Homework Week 5] 손혜원, 이혜인, 백승준, 조현

준, 김용철, 박경현, 이주한, 박준수, 신종호, 김재영, 김대환 sage 프로그램을 활

용한 극한과 근사해 계산

작성자 : 손혜원(2022####75)작성일 : 3월 21일 오후 5:04

조회수 : 74

[Final OK by SGLee] final [Homework Week 5] 손혜원, 이혜인, 백승준, 조현준, 김용철, 박

경현, 이주한, 박준수, 신종호, 김재영, 김대환 sage 프로그램을 활용한 극한과 근사해 계산안녕

하세요. 소재부품 융합공학과 손혜원입니다.강의를 듣고 학우님들의 글을 통해 함수의 극한에 

대해 추가로 학습한 후 다른 교재의 문제를 이용해 여러 함수의 극한(좌, 우극한)을 구해보고, 근

사해를 구해보았습니다.1. limit(1/(x-2)), x=2인 경우의 극한 x=2에서의 우극한과 좌극한을 각

각 구하면 아래와 같습니다. 따라서 limit(1/(x-2)), x=2의 극한은 존재하지 않습니다.



2. limit((x^2-1)/abs(x-1)), x=1+에서의 극한x> 1이므로 abs(x-1)=(x-1)입니다.그러므로 limit

((x^2-1)/abs(x-1)), x=1+는 limit(x+1), x=1로 식이 정리가 되어 극한값은 2가 됩니다. 이를 코딩

으로 나타내보았습니다.

- 192 -

식을 정리해서 입력했을 때도 올바르게 답이 나온 것을 확인한 후, 식을 정리하고 않고 입력해보

았습니다. 식을 정리하지 않고 입력해도 올바른 값이 나오는 것을 확인할 수 있었습니다.3. f

(x) = x+2(x≥0), x+1 (x<0)의 극한값은?좌극한과 우극한을 각각 구해보면 1, 2이므로 x=0에서의 

극한값은 존재하지 않는 것을 알 수 있습니다. 이를 코딩으로 간단하게 나타내보았습니다.

4. f(x) 

= x^3+2x^2-1의 근이 0과 1 사이에 존재함을 보여라. 수업 중에 배운 코딩을 활용하여 간단하게 

- 193 -

구해보았습니다.

sage 프로그램을 이용하여 함수의 극한에 대해 학습하고, 계산하기 어려운 근사해를 간단히 구

할 수 있었습니다.이혜인(2022####79) 3월 21일 오후 5:15

piecewise 명령어로 구간에 따라 다르게 정의할 수 있음을 확인하였습니다. 극한의 존재와 근사해

에 대해 복습할 수 있었습니다.

백승준(2022####74)3월 21일 오후 8:08

극한에 대해 다시 한번 이해를 할 수 있었고, 4번의 경우 공유해주신 코드를 활용해 x의 범위를 

더 좁게 지정해서 그래프와 근사해가 맞는지 더 쉽게 확인해 볼 수 있었습니다. 감사합니다. 확인

한 그래프 f(x) = x^3+2*x^2-1 p1 = plot(f(x), 0.55, 0.65) print(find_root(f(x), 0, 1)) p1

조현준(2022####83)3월 21일 오후 8:19

극한의 기본개념에 대해 다시 한번 정리하였고, 코딩을 사용하여 쉽게 정리하며 복습하였습니다. 

감사합니다

- 194 -

김용철(2022####66)3월 21일 오후 9:02

함수의 좌, 우극한값의 개념에 대하여 복습하였습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72) 3월 22일 오후 5:02

함수의 좌우 극한에 대해서 복습할 수 있었습니다!

이주한(2022####78)3월 22일 오후 6:22

find_root 명령어로 일정 구간의 근사해를 구하는 것에 대해 이해하고 복습했습니다.

박준수(2022####73)3월 22일 오후 11:20

sage 프로그램을 활용한 극한과 근사해 계산을 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

신종호(2022####76)3월 23일 오후 4:55

이해했습니다.

김재영(2022####67) 3월 23일 오후 4:56

저도 좌극한 우극한의 개념에 대해 이해가 되었습니다. 감사합니다.

김대환(2022####65) 3월 23일 오후 4:58

함수의 좌극한 우극한의 개념을 코딩의 그래프 통해 쉽게 이해했습니다. 감사합니다.

이전

다음

10개의 댓글

이혜인(2022####79) 3월 21일 오후 5:15

piecewise 명령어로 구간에 따라 다르게 정의할 수 있음을 확인하였습니다. 극한의 존재와 근사해

에 대해 복습할 수 있었습니다.

백승준(2022####74) 3월 21일 오후 8:08

극한에 대해 다시 한번 이해를 할 수 있었고, 4번의 경우 공유해주신 코드를 활용해 x의 범위를 

더 좁게 지정해서 그래프와 근사해가 맞는지 더 쉽게 확인해 볼 수 있었습니다. 감사합니다. 확인

한 그래프 f(x) = x^3+2*x^2-1 p1 = plot(f(x), 0.55, 0.65) print(find_root(f(x), 0, 1)) p1

조현준(2022####83) 3월 21일 오후 8:19

극한의 기본개념에 대해 다시 한번 정리하였고, 코딩을 사용하여 쉽게 정리하며 복습하였습니다. 

감사합니다

김용철(2022####66) 3월 21일 오후 9:02

함수의 좌, 우극한값의 개념에 대하여 복습하였습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72) 3월 22일 오후 5:02

함수의 좌우 극한에 대해서 복습할 수 있었습니다!

이주한(2022####78) 3월 22일 오후 6:22

find_root 명령어로 일정 구간의 근사해를 구하는 것에 대해 이해하고 복습했습니다.

박준수(2022####73) 3월 22일 오후 11:20

sage 프로그램을 활용한 극한과 근사해 계산을 이해하는 데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

- 195 -

신종호(2022####76) 3월 23일 오후 4:55

이해했습니다.

김재영(2022####67) 3월 23일 오후 4:56

저도 좌극한 우극한의 개념에 대해 이해가 되었습니다. 감사합니다.

김대환(2022####65) 3월 23일 오후 4:58

함수의 좌극한 우극한의 개념을 코딩의 그래프 통해 쉽게 이해했습니다. 감사합니다.

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 5-2] 천혜준, 이주한, 전형준, 백

승준, 김지수, 노태환, 김용철, 임경섭, 이혜인, 박경현, 박준수, 김재영, 손혜원 수

직(수평)점근선

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 3월 21일 오후 5:40

조회 수 : 72

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 5-2] 천혜준, 이주한, 전형준, 백승준, 김지수, 

노태환, 김용철, 임경섭, 이혜인, 박경현, 박준수, 김재영, 손혜원 수직(수평)점근선안녕하세요. 천

혜준 입니다. 5주 차 함수의 극한을 공부하고 수직(수평)점근선의 응용문제를 풀어보았습니다.[응

용문제 1] 4주 차에 배운 tanh(x)의 그래프입니다.plot(tanh(x), (x,-5,5), detect_poles = 'show

')

plot(tanh(x), (x,-5,5), detect_poles = 'show')print(limit(tanh(x), x = +oo))print(limit(tanh(

x), x = -oo))

즉 tanh(x) 수평점근선은 -1, 1을 알 수 있습니다.[응용문제 2]  반대로 arctanh(x)의 그래

프입니다.var('x, y')p1 = plot(arctanh(x), (x, -5, 5)) # 함수의 그래프p2 = implicit_plot(x == 

1, (x, -1, 5), (y, -3, 2), color = 'red')p3 = implicit_plot(x == -1, (x, -1, 5), (y, -3, 2), col

- 196 -

or = 'red')p1 + p2+ p3

arctanh(x) 수직점근선 -1, 1을 알 수 있습니다.

이전

다음

13개의 댓글

이주한(2022####78) 3월 21일 오후 6:12

tan의 쌍곡선함수 및 쌍곡역함수 그래프 성질에 대해 이해할 수 있었습니다. ^^

전형준(2022####82) 3월 21일 오후 6:20

limit를 이용하여 수렴하는 값이 수평점근선에 해당하고 그래프를 그릴 수 있겠다는 생각을 가질 

수 있었습니다. 다른 예제들로 이해를 도와주고 정리를 할 수 있음에 감사합니다.

백승준(2022####74) 3월 21일 오후 8:19

쌍곡선함수와 역쌍곡선함수에 대한 수직/수평점근선에 대해서도 그래프를 통해 확인할 수 있음을 

이해했습니다. 감사합니다!

김지수(2022####68) 3월 21일 오후 8:28

수평 수직점근선에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71) 3월 21일 오후 8:40

tan의 쌍곡선 함수 그래프와 점근선에 대해 알 수 있었습니다

김용철(2022####66) 3월 21일 오후 8:58

4주 차에 학습한 역삼각 함수와 역 쌍곡선 함수 내용을 복습할 수 있었습니다. 감사합니다.

임경섭(2022####81) 3월 21일 오후 11:22

tanh(x) 함수의 정의역 (-oo, oo) , 공역( -1, 1) [수평점근선, y=1, -1] 역함수 관계 arctanh(x) 

의 정의역은 (-1, 1) , 공역( -oo, oo) ,[수직점근선 x=1, -1]을 확인했습니다. 감사합니다.

이혜인(2022####79) 3월 22일 오전 8:06

tanh(x), arctanh(x)의 그래프와 수평 수직점근선을 알 수 있었습니다.

- 197 -

박경현(2022####72) 3월 22일 오후 4:53

쌍곡선 함수와 역 쌍곡선 함수에 대한 점근선에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73) 3월 22일 오후 11:18

쌍곡선 함수와 역 쌍곡선 함수 내용을 한 번 더 복습하여 좋았습니다. 감사합니다.

김재영(2022####67) 3월 23일 오후 2:04

점근선 이해에 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75) 3월 23일 오후 3:04

tanh(x)와 arc tanh(x)의 수직, 수평선에 관해서도 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

김대환(2022####65) 3월 23일 오후 5:00

쌍곡선 함수와 역 쌍곡선 함수에 대한 수평 수직점근선에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 5] 손혜원, 이혜인, 천혜준, 전형

준, 김지수, 노태완, 김용철, 이주한 sage 프로그램을 활용한 극한과 근사해 계산

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 3월 21일 오후 5:45

조회 수 : 68

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 5] 손혜원, 이혜인, 천혜준, 전형준, 김지수, 노태

완, 김용철, 이주한  sage프로그램을 활용한 극한과 근사해 계산안녕하세요. 천혜준 입니다.  손

혜원, 이혜인 학우님이 작성하신 근사해 계산을 추가적으로 하였습니다.[응용문제 1] f(x) = 2*x^

5 -x^4 + 2*x^3 - 2*x^2 + 5*x - 1의 그래프입니다.

f(x) = 2*x^5 -x^4 + 2*x^3 - 2*x^2 + 5*x - 1find_root(f(x), 0, 1)

- 198 -

f(x) = 2*x^5 -x^4 + 2*x^3 - 2*x^2 + 5*x – 1 의 근사해는 0.214725221084213





Open problem 1 (지수함수와 로그함수의 극한) 문제를 풀어보면서 극한을 구해야 하는 복잡한 

문제는 명령어 : print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)를 통해 풀 수 있을 거 같은 자신감이 생

겼습니다. [Homework Week 5] 백승준 - Open problem 1 (지수함수와 로그함수의 극한) <-- 

(limit 의 종류를 배웠으니까 ...   plot 하여 원하는 x=a 근처에서 Zoom in 하면 또는 근 근처에

서  print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)) → 극한값 계산  명령어로 ) 이제 그동안 배운 대부

분의 함수의 limit 는 다 찾을 수 있다는 자신감이 생기나요? 

안녕하십니까! 소재부품융합공학과 백승준입니다.

5주차 극한을 공부하면서 지수함수와 로그함수의 극한에 대해서 문제를 풀어보았습니다.◩ 열린 

문제 1 다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 극한(좌, 우극한)을 구하시오.■ 지수함수의 극한1) l

imit(3^x)/(5^x+3^x), x = oo) 의 극한값을 구하시오. 풀이 : oo/oo 꼴이므로 5^x으로 분모, 분자

를 각각 나눈 다음 구한다. . Sage

2) limit((3^x-2^x)^(1/x), x = oo) 의 극한값을 구하시오. 풀이 : oo-oo 꼴이므로 3^x으로 묶은 

다음 구한다.

- 199 -

.

2) limit((2^x-2^-x)/(2^x+2^-x), x = oo) 의 극한값을 구하시오. 풀이 : 분모, 분자에 각각 2^x을 

곱한 다음 a>1일 때 lim(a^x, x=-oo) = 0 임을 이용해서 구한다. . Sage

■ 로그함수의 극한아래 성질을 이용해서 구한다.

- 200 -

(단, a>0, a≠1, f(x)>0, g(x)>0)1) limit(log(x +1, 10)-log(x,10), x = oo) 의 극한값을 구하시오. 

. Sage

2) limit(log(x^2-1, 2) - log(x-1,2), x = +1) 의 극한값을 구하시오. . Sage

- 201 -

[Problem 다양한 함수의 극한] 1. var('변수') → 변수 지정 2. f(x) = → 구하고자 하는 함수 

지정  3. print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)) → 극한값 계산+plot((함수), (x, 범위), ymin/y

max, color='') # 함수의 그래프 → 그래프를 통해 눈으로도 확인할 수 있다.다양한 함수의 극한

도 손으로 풀면 복잡하게 풀어야 하지만 프로그램을 통해 간단하게 답을 구할 수 있고 그래프를 

통해 직접 확인할 수도 있는 걸 확인했습니다.

이전

다음

14개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오전 4:42

Good job.

- 202 -

김현구(2022####69)3월 22일 오전 9:21

함수의 극한 이론을 예제 문제를 통하여 풀이 해주셔서 어떤 형식으로 접근해야 될지 이해했습니

다. 감사합니다.

노영규(2022####70)3월 22일 오전 10:38

지수함수와 로그함수의 극한 문제에 대해 손쉽게 원하는 답을 구할 수 있었고, 그래프까지 쉽게 

볼 수 있는 것을 확인하고 이해했습니다. 감사합니다.

이효민(2022####80)3월 22일 오전 10:38

로그함수 극한의 성질에 대해 알 수 있었고, 이를 어떻게 코딩에 적용하는지도 알 수 있었습니다. 

감사합니다.

이주한(2022####78)3월 22일 오전 10:43

이해했습니다~ 로그의 성질로 극한값을 계산이 가능하고, 그래프 또한 쉬게 확인할 수 있음을 확

인하였습니다,.

김용철(2022####66)3월 22일 오전 11:26

로그함수의 성질을 이용하여 극한을 구하는 방법을 이해하였습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 22일 오후 1:12

다른 문제도 풀어보면서 더 이해하기 쉬웠습니다.

천혜준(2022####84)3월 22일 오후 1:33

여러 문제들을 확인하여 극한을 공부하는데 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)3월 22일 오후 2:40

지수함수와 로그함수에 대한 극한값을 확인할 수 있었습니다. 로그함수의 성질로 식을 만들 수 있

음을 보였고 정리해주신것에 대해 잘 이해할 수 있었습니다 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 22일 오후 3:19

지수함수와 로그함수의 극한을 공부하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72)3월 22일 오후 5:06

여러 문제들을 통해 지수함수와 로그함수의 극한을 공부할 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오후 7:14

(limit 의 종류를 배웠으니까 ... plot 하여 원하는 x=a 근처에서 Zoom in 하면 또는 근 근처에서 

print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)) → 극한값 계산 명령어로 ) 이제 그동안 배운 대부분의 

함수의 limit 는 다 찾을 수 있다는 자신감이 생기나요? 그럼 PBL 보고서 제출할 때는 Final OK 

로 검색하여 ... 본인의 이름이 들어간 것 모두 찾아 ... (누락된것은 ...Final 선언 하시고 ... 그것 

까지 포함하여) 각각의 문제 에 ( 제목 (기여한 학생 이름 모두 포함) + 문제 + 정답 + 유의미한 

토론 + 마지막 줄에 " Final Comment : Open problem 1 (지수함수와 로그함수의 극한) 에서 (l

imit 의 종류를 배웠으니까 ... plot 하여 원하는 x=a 근처에서 Zoom in 하면 또는 근 근처에서 

print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)) → 극한값 계산 명령어로 ) 이제 그동안 배운 대부분의 

함수의 limit 는 다 찾을 수 있습니다. " 와 같이 본인이 이 문제를 같이 토론/학습 하면서 느낀점

을 한줄 씩 적어내면 이 문제는 만점입니다. 그런 것들의 양과 질이 여러분이 그간 배우고/느끼고

- 203 -

/할 수 있게 된 ... 행상된 실력입니다. <--- 이것들을 발표하는 것이 중간고사입니다.

이혜인(2022####79)3월 22일 오후 8:07

지수 로그함수의 극한에 대한 풀이 과정도 있어서 문제를 풀고 이해하는데에 도움이 되었습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 23일 오전 9:51

Good. Final OK by SGLee

[Final OK by SGLee] [Homework Week 5] 노태완, 이주한, 노영규, 김용철, 윤관수,조

현준,김지수,박준수 중간값 정리와 근사해의 계산 (열린문제)

작성자 : 노태완(2022####71)작성일 : 3월 22일 오후 2:33

조회수 : 65

[Final OK by SGLee]  [Homework Week 5] 노태완, 이주한, 노영규, 김용철, 윤관수,  중간값 

정리와 근사해의 계산 (열린문제)안녕하십니까 소재부품융합과 노태완입니다5주차에는 다른 교

재의 문제를 참고하여 중간값정리와 근사해를 알아보았습니다1. x^4+x^3-9*x+1=0  (1,3) 주어진 

구간에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라

2. x*sin(x)=cos(x)        (0,1) 주어진 구간에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라

- 204 -

3. x-cos(x)=0                (0,pi/2) 주어진 구간에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라

3개의 문제를 풀어보면서 손으로 복잡하게 풀어야 되는 문제를 프로그램을 사용하면서 쉽고 빠르

게 확인이 가능하고시각적으로도 확인하게 쉽다는 것을 알게되었습니다.

이전

다음

8개의 댓글

이주한(2022####78)3월 22일 오후 3:45

find_root 코드를 이용해서 근사해를 쉽게 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

- 205 -

노영규(2022####70)3월 22일 오후 4:03

코딩을 통해 여러 문제의 답이 쉽고 빠르게 나오는 것을 이해하였습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 22일 오후 4:08

코딩을 활용하여 계산이 복잡한 문제를 간단하게 해결 할 수 있었습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 22일 오후 4:13

주어진 구간에서 근사해를 구하는 방법을 코딩을 이용하여에 쉽게 풀어보고 이해할수있었습니다. 

감사합니다.

조현준(2022####83)3월 22일 오후 6:08

코딩을 통해 그래프를 쉽게 나타내어 정해진 범위 내에 실근을 가짐을 확실히 알 수 있었습니다.

김지수(2022####68)3월 22일 오후 6:16

코딩을 통해 복잡한 문제를 쉽게 해결 할 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오후 7:12

(중간값 정리를 배웠으니까 해의 존재성은 확인이 가능하고, 존재한다면, plot 하여 근 근처에서 Z

oom in 하면 또는 근 근처에서 find-root(f(x), a, b) 명령어로 ) 이제 모든 연속함수의 실근은 다 

찾을 수 있다는 자신감이 생기나요?

박준수(2022####73)3월 22일 오후 11:16

코딩을 통해 계산이 복잡한 문제를 간단하게 해결 할 수 있었습니다. 감사합니다.

New [Final OK by SGLee] x * sin (1/x) does not coverges at x=0 ^^ Re-F

inal by [Homework week 5] 백승준, 전형준, 이주한, 노영규, 노태완, 조현준, 

김지수, 김현구, 김용철, 윤관수, 이혜인, 손혜원 삼각함수의 극한 증명 및 성질 

(문제풀이) - 삼각함수의 극한에 대한 문제도 손으로 푼 결과와 Sage의 결과가 

같은 것을 확인했고, 쉽게 해결이 가능한 것을 알 수 있었습니다.

작성자 : 백승준(2022####74)작성일 : 3월 22일 오후 4:18

조회수 : 52

[Final OK by SGLee]  Re-Final by [Homework week 5] 백승준, 전형준, 이주한, 노영규, 노태

완, 조현준, 김지수, 김현구, 김용철, 윤관수, 이혜인, 손혜원 삼각함수의 극한 증명 및 성질 (문제

풀이) - 삼각함수의 극한에 대한 문제도 손으로 푼 결과와 Sage의 결과가 같은 것을 확인했고, 쉽

게 해결이 가능한 것을 알 수 있었습니다.안녕하십니까 소재부품융합공학과 백승준입니다.아래 

전형준, 이주한 학우님이 공유해주신 삼각함수의 극한 성질을 이용한 예제풀이 및 실습한 내용 공

유드립니다.■ limit(sin(x)/(x),x=0) == 1, limit(tan(x)/(x),x=0) == 1임을 이용

1) 풀이

- 206 -

※ Sage

2) 풀이

※ Sage

■ 1-cosx의 꼴이 포함된 극한값을 구할 때 분자/분모에 1+cosx를 곱한 다음, 1-cos^2x = sin^

- 207 -

2x임을 이용1) 풀이

※ Sage

2) 풀이

- 208 -

※ Sage

삼각함수의 극한에 대한 문제도 손으로 푼 결과와 Sage의 결과가 같은 것을 확인했고, 쉽게 해

- 209 -

결이 가능한 것을 알 수 있었습니다.

[천혜준, 이주한]모두 한 마디씩 답글 달고, 누가 Final 선언하세요^^ Open prob

lem : Find (approximate) solutions to f(x)= cos(x)sin(3x)- exp(2x+3) =0.

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 3월 24일 오후 1:48

조회수 : 32

안녕하세요 천혜준입니다. 교수님께서 알려주신 코드를 이용하여 응용 문제를 풀어 보았습니다.f

(x) = 4*x^4 - 8*x^3 - 3*x^2 + 5*x + 1  @4차 방정식의 그래프 입니다.

f(x) = 4*x^4 - 8*x^3 - 3*x^2 + 5*x + 1 

plot(f(x), (x, -3, 3), ymin=-6, ymax= 5)

a = find_root(f(x), -1, -0.5)

b = find_root(f(x), -0.5, 0)

c = find_root(f(x), 0, 1)

d = find_root(f(x), 2, 3)

show(a,b,c,d)

- 210 -

find_root 함수를 사용하여 4개의 근사해를 구할수 있었습니다.

------------------------------------

모두 한 마디씩 답글 달고, 누가 Final 선언하세요^^ Open problem : Find (approximate) sol

utions to f(x)= cos(x)sin(3x)- exp(2x+3) =0.

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 3월 24일 오전 2:25

조회수 : 19

모두 한 마디씩 답글 달고, 누가 Final 선언하세요^^ Open problem  : Find (approximate) sol

utions to  f(x)= cos(x)sin(3x)- exp(2x+3) =0.답글달아서 Final 선언하세요^^ Open problem  

: Find (approximate) solutions to various equations from other textbooks that you have 

used.(Finding solutions to various equation. Open problem  : Find (approximate) solutio

ns to various equations from other textbooks that you have used.The equation I chose 

for this problem was : cos(x)sin(3x)= e^(2x+3) when I used solve code I get solution like 

this

which is very complicated and not in numbers.. so I used plot code to draw a graph o

f this equation by setting f(x)= cos(x)sin(3x)- exp(2x+3) =0The interval is x=[-5, -2], the 

resulting graph is shown below 

- 211 -

I can see four points in this graph that passes through zero point => this mean 4 solu

tions exist in the interval [-5, -2] Therefore, I used "find_root" code for 4 different inte

rvals [-5, -4.5], [-4.5, -4], [-3.5, -3], [-2.5, -2] and I declared four variables a,b,c,d to 

contain roots for each intervals Then I used "show" code to print a,b,c,d values. The c

ode I wrote and the result is given below

- 212 -

From this open problem, I learned how to find solutions for complex equations on part

icular interval x= [a,b] by plotting a graph and finding roots of the graphQuestion : Ho

w can I find solutions for the whole intervals x= [-inf, inf] (general solutions)? Can I st

ill use find_root code?

이전

다음

4개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)12월 14일 오후 2:53

Others may try to improve the above solution using the following code: # Daniil Kim, 

이상구   # Declaring an equation f = exp(x^3)-x^4 == x^2+x # Solving the equation prec

ise_solution = solve(f, x) # Printing the equation show (f) # Visualizing the graph show 

(plot(f, (x, -1.3, 1.3))) # Printing the solution show (precise_solution) # That is the right 

solution, however, we need a numeric value, so now we move on to the approximatio

n: # As we can see, we have three places where our function intersects with the X axi

s: (approx. -0.9, 0.7 and 1.1) # To make our approximations more precise, we will zoo

m in the approximated points by reducing the limit values # Approximating -0.9: show 

(plot(f, (x, -0.9, -0.85))) show ("The solution is approx. -0.8821") # Approximating 0.7: s

how (plot(f, (x, 0.68, 0.71))) show ("The solution is approx. 0.6879") # Approximating 1.1: 

show (plot(f, (x, 1.09, 1.11))) show ("The solution is approx. 1.0957") # Showing the resu

lt show ("The equation ", f, " has 3 roots:") show ("Precise roots: ", precise_solution) sh

ow ("Approximated roots: x1 = ", -0.8821, " x2 = ", 0.6879, " x3 = ", 1.0957 )

이주한(2022####78)3월 24일 오전 9:21

"find_root" 이용하여 여러 구간을 지정하여 근사해를 쉽게 확인할 수 있었습니다. Q1) 실습을 해

보았는데요. 올려주신 그래프처럼 개형이 안나옵니다. 혹시 다른 문제가 있을까요? plot(cos(x)*si

n(3*x) - exp(2*x+3) , (x, -5, -2)) - 게시된 그래프처럼 안나옴 plot(cos(x)*sin(3*x), (x, -5, -

2)) - 게시된 그래프처럼 나옴

이주한(2022####78)3월 24일 오후 3:45

감사합니다. 천혜준 학우님 ^^

- 213 -

이상구(LEE SANGGU)3월 26일 오전 6:58

Good job.

Final by 이주한 [HW W6] 이주한, 노영규, 신종호, 전형준, 김재영, 박경현, 김용

철, 임경섭, 손혜원, 백승준 [Open problem3] 역쌍곡선함수의 고계도함수

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 3월 29일 오후 1:39

조회수 : 60

[HW W3] 이주한, 노영규, 신종호 [open problem3] 역쌍곡선함수의 고계도함수안녕하세요. ㅈri

vatives)를 확인하였습니다. 역쌍곡선함수의 경우 계도가 높아짐에 따라 상당히 복잡해져 코딩을 

이용하여, 결과 및 그래프를 확인하였습니다.1. arcsinh(x)에 대한 고계 도함수 및 그래프

[code]f(x) = arcsinh(x)df(x) = diff(f(x), x)ddf(x) = diff(f(x), x,2)print("f(x)=",f(x))print("f'(x)=",d

f(x))print("f''(x)=",ddf(x))p1 = plot(f(x), (x, 0, 10))   # 함수 f(x) 그리기p2 = plot(df(x), (x, 0, 

10), color = 'red')  # 함수 f'(x) 그리기p3 = plot(ddf(x), (x, 0, 10), color = 'green')  # 함수 

f''(x) 그리기p1 + p2 + p31. arccosh(x)에 대한 고계 도함수 및 그래프

- 214 -

[code]f(x) = arccosh(x)df(x) = diff(f(x), x)ddf(x) = diff(f(x), x,2)print("f(x)=",f(x))print("f'(x)=",d

f(x))print("f''(x)=",ddf(x))p1 = plot(f(x), (x, 0, 10))   # 함수 f(x) 그리기p2 = plot(df(x), (x, 0, 

10), color = 'red')  # 함수 f'(x) 그리기p3 = plot(ddf(x), (x, 0, 10), color = 'green')  # 함수 

f''(x) 그리기p1 + p2 + p3이전

다음

9개의 댓글

노영규(2022####70)3월 29일 오후 2:37

역쌍곡선 함수의 고계도함수를 코딩을 통해 직관적으로 그래프를 확인 할 수 있었습니다. 정리 감

사합니다.

신종호(2022####76)3월 29일 오후 3:36

덕분에 이해잘되었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)3월 30일 오후 1:17

- 215 -

약쌍곡선 함수의 미분을 그래프로 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

김재영(2022####67)3월 30일 오후 4:41

역쌍곡선 함수의 고계도함수와 그래프를 확실하게 확인할 수 있었습니다 감사합니다.

박경현(2022####72)3월 30일 오후 4:44

이해했습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 30일 오후 4:45

그래프를 통해 직관적으로 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

임경섭(2022####81)3월 30일 오후 5:26

기존에는 역쌍곡선함수의 그래프와 도함수의 그래프만을 확인했었는데, 고계도함수까지 확인해볼 

수 있어서 좋았습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 30일 오후 5:46

손으로 풀기 힘든 역쌍곡선함수의 고계도함수에 대해서도 확인할 수 있었습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)3월 31일 오후 9:41

역쌍곡선함수의 도함수에 대해서는 생각해봤지만 고계도함수는 생각 못 하고 있던 부분이었는데, 

그래프 그리는 방법과 공식을 공유해주셔서 공부하면서 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

Final OK by TA] Re-final [Final OK by SGLee] [HW W6] [Open problem 2] 도함

수, 고계도함수, 미분법칙 Final by (박경현, 김대환, 천혜준, 노태완, 박준수, 김지수, 이

혜인, 조현준, 이주한, 김재영, 윤관수, 손혜원, 박준수, 임경섭, 백승준, 이효민)

작성자 : 임동선(2017####79)작성일 : 3월 31일 오후 4:17

조회수 : 47

6주차 학우분들이 학습한 내용에 개인적으로 학습한 내용 추가합니다.1. 도함수 와 고계 도함수 

- 도함수도함수란 미분 가능한 함수 f(x)에 대해서미분계수들을 x에대한 함수로 나타낸것을 도함

수라고 합니다.

미분계수는 f(x)위의 한점 a에서의 순간변화율을 말합

니다.이것을 이용하여 도함수를 구하면

도함수는 x에서의 순간변화

율로 a의 자리에 x를 넣어주면 위와같은 식이 나옵니다.따라서 어떤 함수를 미분하여 얻은 함수가 

도함수 이고 거기에 변수값을 대입하면미분계수가 나오며 다음와같이 표기합니다.f'(x), y', dy/dx, 

df(x)/dx- 고계 도함수미분 가능한 함수 f(x)의 도함수 f'(x)가 다시 미분가능이면그 도함수 f''

(x)를 함수 f(x)의 2계 도함수라 하며 같은방법으로 3계, 4계 도함수를 정의할 수 있습니다.2계 이

상의 도함수를 고계도 함수라고 표기는 다음과 같습니다.2계 도함수 : y'', f''(x), f(2)(x), d2y/dx

23계 도함수 : y''', f'''(x), f(3)(x), d3y/dx3.....n계 도함수 : f(n)(x), dny/dxn

- 216 -

위의 내용을 활용하여 예제 몇가지를 풀어보았습니다.

2계 도함수는 함수 f(x)

를 2번 미분한 것으로sage를 이용하여 2번미분하라는 명령어를 주어 간단히 구할 수 있습니다.



- 217 -

f(x) = x^2

g(x) = 4*e^x

print("도함수 :", diff(f(x)+g(x), x))   # dy/dx

print("2계 도함수 :", diff(f(x)+g(x), x, 2))  # 2계도함수

print("3계 도함수 :", diff(f(x)+g(x), x, 3))  # 3계도함수

p1 = plot(f(x)+g(x), (x, -3, 3), ymin = 0, ymax = 20)

p2 = plot(diff(f(x)+g(x), x, 2), (x, -3, 3), ymin = 0, ymax = 20, color = 'red')

p3 = plot(diff(f(x)+g(x), x, 3), (x, -3, 3), ymin = 0, ymax = 20, color = 'green')

p1 + p2 + p3f(x) = x^2 + 4*e^x 의 3계도 함수를 구하는 문제입니다.위 예제는 2차함수와 지

수함수의 합으로 이루어진 합성함수로 미분법칙을 활용하면각 함수를 f(x) = x^2, g(x) = 4*e^x 

로 정의 해주고 각함수의 합 전체에 도함수를 구해주면{f(x) + g(x)}' = f'(x) + g'(x)가 됩니다. 이

를 이용해 고계도 함수를 구해주면

- 218 -

이와같이 3계 도함수 이후에는 f(x)는 사라지며 지수함수 미분성질에 

의해 4*e^x 가 계속 나오는것을 볼 수 있습니다.

 

f(x) = 

- 219 -

arccos(sech(x))

print("도함수 =", diff(f(x), x)) # 도함수

print("2계 도함수 =", diff(f(x), x, 2)) # 2계 도함수

print("3계 도함수 =", diff(f(x), x, 3)) # 3계 도함수

p1 = plot(diff(f(x), x), (x, -10, 10), ymin = -2, ymax = 2)

p2 = plot(diff(f(x), x, 2), (x, -10, 10), ymin = -2, ymax = 2, color = 'red')

p3 = plot(diff(f(x), x, 3), (x, -10, 10), ymin = -2, ymax = 2, color = 'green')

p1 + p2 + p3

위와같이 복잡한 문제도 sage를 이용하여 간단하게 명령어를 주면고계도함수를 구할 수 있음과 

동시에 그래프의 개형을 직관적으로 알 수 있습니다.

Final OK by SGLee [HW W6] [Open problem 2] Final by (박경현, 김대환, 

천혜준, 노태완, 박준수, 김지수, 이혜인, 조현준, 이주한, 김재영, 윤관수, 손혜원, 

박준수, 임경섭, 백승준, ) 도함수, 고계도함수, 미분법칙

작성자 : 박경현(2022####72)작성일 : 3월 30일 오후 4:06

조회수 : 61

Final OK by SGLee [HW W6] [Open problem 2] Final by (박경현, 김대환, 천혜준, 노태완, 

박준수, 김지수, 이혜인, 조현준, 이주한, 김재영, 윤관수, 손혜원, 박준수, 임경섭, 백승준, ) 도함

수, 고계도함수, 미분법칙 Final [HW W6] (박경현, 김대환, , 천혜준, 노태완, 박준수, 김지수, 이

혜인, 조현준, 이주한, 김재영, 윤관수, 손혜원, 박준수, 임경섭, 백승준,) [Open problem 2]  도

함수, 고계도함수, 미분법칙안녕하세요.박경현입니다.다른 함수들의 도함수와 고계도 함수를 구해

보았습니다.1. f(x)=3*x^5+2*x^3+4



f(x)=3*x^5 + 2*x^3 - 6*x+4

- 220 -

df(x)=diff(f(x),x) #도함수

d2f(x)=diff(f(x),x,2) #2계 도함수

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",d2f(x))2. h(x) = x² cos x2번째 함수는 미분 법칙을 이용해 손으로도 풀어보았습

니다.

계산이 복잡하지만, 코딩을 통해 진행하면 아래와 같이 깔끔하게 정리된 것을 볼 수 있었습니다.

f(x)=x^2*cos(x)

df(x)=diff(f(x),x) #도함수

d2f(x)=diff(f(x),x,2) #2계 도함수

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",d2f(x))위와 같이 계산이 복잡한 도함수와 고계도함수등을 코딩으로 간편하게 구할 

수 있단 것을 확인할 수 있었습니다.

[HW W6] 김대환 도함수, 고계도함수, 미분법칙 [open problem 2] 도함수와 고

계도함수

작성자 : 김대환(2022####65)작성일 : 3월 29일 오전 11:45

조회수 : 52

안녕하세요 소재부품융합공학과 김대환입니다.도함수, 고계도함수, 미분법칙을 공부하고   [open 

- 221 -

problem 2]  과제를 해결해 보았습니다.1. 도함수앞서배운 미분가능조건을 생각하고도함수는 미

분가능한 함수 f(x)에 대하여x변화량(=△x)이 0으로 가까이 갈 때,(x,f(x)), (x+△x, f(x+△x)) 의 순

간변화율을 나타낸 함수입니다.순간변화율(=미분계수 )는 극한값을 구하는 과정,도함수는 x에대한 

미분계수를 함수로 나타낸 것이다.이와같이 미분가능한 함수의 도함수를 구하는 것을 미분이라고 

합니다.y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx 등으로 표현합니다.

2. 고계도함수도함수 y' = f'(x)가 다시 미분가능하면 그 도함수인 (y')'를 2계도함수라고 합니다.y

'', f''(x), d/dx(dy/dx) (d^2*y)/(d*x)^2 등으로 표현합니다. [open problem 2]을 해결하며 sag

e 프로그램으로 그래프와 함께 공부해 봤습니다.y=e^(-x)*sin(x) 의 조금 복잡한 함수의 2계 도

함수를 구해보겠습니다먼저 손으로 푼 내용입니다.

- 222 -



sage 프로그램을 이용해 그래프와 함께 표현해 보겠습니다.

범위를 확장해보겠습니다.

- 223 -

f(x) = e^(-x)*sin(x)

df(x) = diff(f(x), x) #도함수

d2f(x) = diff(f(x), x, 2) #2계 도함수

print("f(x) =", f(x))

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =",d2f(x))

plot(f(x),(x,-30, 3))+plot(df(x), (x,-30, 3), color = 'red')+plot(d2f(x), (x,-30, 3), color = 'gre

en', ymin = -100, ymax = 100)

주기함수와 자연상수e의 합성함수다 보니 반복하다 0으로 수렴해가는것을 알 수 있습니다.왜 반

복하다 0으로 수렴해가는지에대해 생각해보았습니다.2계도 함수 y'' = -2*e^(-x)*cos(x) 에서 co

s(x) 는 주기함수라서 반복, e^(-x)는 e^(x)의 y축 대칭꼴이기때문이라는 것을 그래프를 통해 알 

수 있었습니다.

- 224 -

0으로 수렴하는 모양입니다.복잡한 함수꼴 혹은 고차항의 고계도함수를 구할 때 손으로 해결하기 

복잡하고 어려운 부분도sage 프로그램을 통해 쉽게 구할 수 있다는 것을 느꼈습니다. 감사합니다.

11개의 댓글

노영규(2022####70)3월 29일 오후 1:02

정리 감사합니다. 도함수와 고계도함수에 대해서 이해하는데 많은 도움이 됐습니다. 그래프 확인을 

통해 직관적으로 확인을 하니 이해 하는데 많은 도움이 됐습니다.

이주한(2022####78)3월 29일 오후 2:09

자연상수에 대한 미분 방법을 다시한번 복습할 수 있었습니다.

전형준(2022####82)3월 29일 오후 2:38

자연상수와 삼각함수의 미분에 대한 정리를 하는데 도움이 되었습니다. 또한, f(x) = e^(-x)*sin(x) 

에서 e의 지수를 (-x) 에서 (x) 로 바꾸어서 그래프를 보니 y축대칭인 것을 확인할 수 있었습니다. 

- 225 -

감사합니다.

신종호(2022####76)3월 29일 오후 3:36

이해 하는데 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 29일 오후 4:52

도함수와 고계도함수의 개념을 이해하였습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 30일 오전 10:27

도함수와 고계도함수를 다시 한번 복습하였습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)3월 30일 오후 12:16

손으로 풀이 내용까지 확인 가능했습니다. 감사합니다

박경현(2022####72)3월 30일 오후 3:06

손으로 푼 내용까지 있어서 도함수와 고계도함수를 이해할 수 있었습니다

박준수(2022####73)3월 30일 오후 4:13

고계도함수를 손으로 푼 내용이 있어서 이해하는데 도움이 많이 되었습니다. 감사합니다.

이혜인(2022####79)3월 30일 오후 4:48

y=e^(-x)*sin(x) 의 미분과정에 대한 풀이가 있어서 더 쉽게 이해 할 수 있었고, 그래프를 확인할 

수 있었습니다.

김지수(2022####68)3월 30일 오후 4:53

도함수와 고계도함수의 개념을 이해하였습니다. 감사합니다.

이전

다음

19개의 댓글

김대환(2022####65)3월 30일 오후 4:40

손으로 직접 풀어보고 그것을 sage프로그램 코딩을 이용해 쉽게 구할 수 있다는 걸 알았습니다 

감사합니다.

이혜인(2022####79)3월 30일 오후 4:40

곱의 미분법을 통하여 h(x) = x² cos x 의 도함수를 구할 수 있었고 풀이과정이 있어서 이해하기 

쉬웠습니다.

조현준(2022####83)3월 30일 오후 4:41

고계도 함수에 대한 두려움이 사라졌습니다.

이주한(2022####78)3월 30일 오후 4:41

고계도함수에 대해서 이해했습니다.!

김용철(2022####66)3월 30일 오후 4:41

복잡한 함수를 코딩을 통해 미분 가능하다는 것을 이해하였습니다.

노영규(2022####70)3월 30일 오후 4:41

정리 감사합니다. 이해하는데 많은 도움이됐습니다.

노태완(2022####71)3월 30일 오후 4:42

- 226 -

미분을 sage 프로그램을 활용하여 손으로 푸는 것 보다 훨씬 빠르고 정확하게 구할 수 있다는 것

을 확인하였습니다

김재영(2022####67)3월 30일 오후 4:42

손으로 직접 푼 방법이 저도한번 풀어보는데 많은 도움이 되었습니다.

김지수(2022####68)3월 30일 오후 4:42

도함수와 고계도 함수에 대해 쉽게 구하는 법을 알게 되었고 품이과정이 있어 더 알기 쉬웠습니

다.

천혜준(2022####84)3월 30일 오후 4:42

수기를 통한 풀이 방식을 통하여 h(x) = x² cos x의 도함수를 보다 쉽게 확인하였습니다. 감사합

니다.

전형준(2022####82)3월 30일 오후 4:42

합성함수의 도함수에 대하여 손으로 풀기에는 힘들었는데 코딩을 이용하여 함수의 도함수를 구하

는 방법을 알았습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 30일 오후 4:42

고계도함수에 대하여 이해하였습니다.

신종호(2022####76)3월 30일 오후 4:43

고계도함수에 대한 이해를 할수 있었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 30일 오후 4:43

손으로 직접 푼 방법과 sage 프로그램을 활용한 것을 함께 볼 수 있어서 더 이해하는데 도움이 

되었습니다.

박준수(2022####73)3월 30일 오후 4:44

손으로 직접 풀고, sage코드를 이용하니 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

임경섭(2022####81)3월 30일 오후 4:47

고계도함수에대해 잘 정리해주셔서 이해하기 쉬웠습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)3월 30일 오후 4:48

손으로 푸는 방식과 명령어를 사용하는 방식 둘 다 사용해주셔서 이해하기 쉬웠고, 저도 같은 방

법으로 해볼 수 있었습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 30일 오후 5:51

Good^^ 위의 코멘트 단 학생 중 이해했다고 자신잇게 말한 학생들 이름은 모두 제목에 포함시켜 

주세요^^

이상구(LEE SANGGU)3월 30일 오후 10:43

Good. Re-Finalize 하세요^^

이전

다음

1개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)4월 1일 오전 3:20

- 227 -

Final [HW W6] (전형준 이주한 노영규 김대환 조현준 신종호 김용철 노*완 백승준 박

준수 이혜인 손혜원 임경섭) 다항함수와 삼각함수 미분에 대한 그래프를 그려보았습니

다.

다항함수와 삼각함수 미분에 대한 그래프를 그려보았습니다.

f(x) = x^4 -x^3 + 6*x^2 +1

df(x) = diff(f(x), x) # 도함수

d2f(x) = diff(f(x),x,2)

d3f(x) = diff(f(x),x,3)

d4f(x) = diff(f(x),x,4)

print("f(x) =", f(x))

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =", d2f(x))

print("f'''(x) =", d3f(x))

print("f''''(x) =", d4f(x))

plot(f(x), (x, -10, 10)) + plot(df(x), (x, -10, 10), color = 'red') + plot(d2f(x), (x, -10, 10) , color 

= 'black') + plot(d3f(x), (x, -10, 10) , color = 'pink') +  plot(d4f(x), (x, -10, 10) , color = 'gre

en')

f(x)의 다항함수를 미분을 계속 적용하게 되면 x의 값이 없어지고 결국엔 0을 향하게 되는 것을 

알 수 있습니다.

하지만, 삼각함수의 미분을 보면

f(x) = sin(x)

df(x) = diff(f(x), x) # 도함수

d2f(x) = diff(f(x),x,2)

d3f(x) = diff(f(x),x,3)

d4f(x) = diff(f(x),x,4)

print("f(x) =", f(x))

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =", d2f(x))

print("f'''(x) =", d3f(x))

print("f''''(x) =", d4f(x))

plot(f(x), (x, -10, 10)) + plot(df(x), (x, -10, 10), color = 'red') + plot(d2f(x), (x, -10, 10) , color 

= 'black') + plot(d3f(x), (x, -10, 10) , color = 'pink') +  plot(d4f(x), (x, -10, 10) , color = 'gre

en')

- 228 -

sin(x)는 미분은 4번을 할 때 자기 자신으로 돌아오는 성질을 가지는 것을 알 수 있습니다.

f(x) = cos(x)

df(x) = diff(f(x), x) # 도함수

d2f(x) = diff(f(x),x,2)

d3f(x) = diff(f(x),x,3)

d4f(x) = diff(f(x),x,4)

print("f(x) =", f(x))

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =", d2f(x))

print("f'''(x) =", d3f(x))

print("f''''(x) =", d4f(x))

plot(f(x), (x, -10, 10)) + plot(df(x), (x, -10, 10), color = 'red') + plot(d2f(x), (x, -10, 10) , color 

= 'black') + plot(d3f(x), (x, -10, 10) , color = 'pink') +  plot(d4f(x), (x, -10, 10) , color = 'gre

en')

cos(x) 도 4번 미분을 할 경우 자기 자신으로 돌아오는 성질을 가지고 있습니다.

- 229 -

여기서 다항함수는 계속 미분을 할 경우에 x의 값이 없어지는 것을 알 수 있었지만, 삼각함수(si

nx, cosx)는 미분을 계속 할 경우 자기 자신으로 돌아오는 성질을 알 수 있었고 이것이 삼각함

수가 주기함수라 그러한 것 같습니다.

감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 28일 오후 6:25

Good^^

이주한(2022####78)3월 29일 오전 8:14

삼각함수 미분의 경우 "sinx → cosx → -sinx → -cosx → sinx" 의 주기를 가지는 것을 확인하고 이해했습

니다.

노영규(2022####70)3월 29일 오후 1:06

다항함수와 삼각함수 미분에 대해서 직관적으로 확인을 할 수 있어서 이해하는데 많은 도움이 됐습니다. 

감사합니다.

김대환(2022####65)3월 29일 오후 2:18

고차식의 다항함수의 미분과 삼각함수를 4번 미분할 경우 자기 자신으로 돌아옴을 그래프로 확인할수 있

었습니다. 이해했습니다.

조현준(2022####83)3월 29일 오후 3:27

삼각함수 미분에 대해 다시 한번 학습 하였습니다. 감사합니다.

신종호(2022####76)3월 29일 오후 3:34

이해했습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)3월 29일 오후 3:34

삼각함수의 미분을 이해하였습니다. 감사합니다.

노*완(2022####71)3월 29일 오후 4:41

다항함수와 삼각함수의 미분을 그래프로 확인하기 쉬웠고 삼각함수 미분에 대한 정리도 확인가능했습니다

백승준(2022####74)3월 29일 오후 7:25

이해하기 쉽게 그래프로 표현해주신 덕분에 다항함수와 삼각함수의 미분 차이를 정확히 이해할 수 있었습

니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)3월 30일 오후 3:45

다항함수의 미분과, 삼각함수의 미분 차이를 이해하는데 도움이 되었습니다.

이혜인(2022####79)3월 30일 오후 3:47

고차식 다항함수의 미분을 그래프로 쉽게 확인 할 수 있었고, 삼각함수의 미분에 대해 복습할 수 있었습니

다.

손혜원(2022####75)3월 30일 오후 4:41

다항함수와 삼각함수의 미분을 시각적으로 나타내주셔서 복습하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

임경섭(2022####81)3월 30일 오후 4:51

다항함수와 삼각함수의 미분을 시각적으로 표현해주셔서 보기 좋았고, sin,cos 함수를 연속적으로 미분할때 

원래 형태로 돌아오는것도 확인하였습니다.

Comment: 미분의 성질과 다항함수의 그래프를 시각적으로 확인하기 쉬웠습니다.[HW W7] O

penproblem - 함성함수(composite function)의 연쇄법칙(chain rule)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 4일 오후 6:10

조회수 : 5

안녕하세요. 소재부품융합공학고 이주한입니다. 

합성함수의 미분법이라고 불리는 "연쇄법칙(chain rule)"에 대해서 실습하보았습니다. 

주요결론은 합성함수 y = f(g(x))가 y = f(u), u = g(x)로 분해되어 있다면 다음 공식이 성립합니

다. 아래 실습예 f(x) = sin(sin(x))에 대해서 연쇄법칙을 이용하여 미분해보았습니다. 

u = sin(x)으로 정의하고  f'(u) = cos(sinx)*cos(x)임을 확인할 수 있었습니다.해당 실습을 하면

서 "연쇄법칙"에 대한 개념을 이해할 수 있었고, 고계도함수가됨에 따라 복잡해질 수 있는 수식을 

쉽게 풀어낼 수 있다는 것을 느꼈으며,여러개의 합성 함수도 개념만 알고 프로그램을 쉽게 풀어내

- 230 -

면 될 것 같습니다.

[Openproblem1]



f(x) = sin(sin(x))

df(x) = diff(f(x),x)

ddf(x) = diff(f(x),x,2)

print("f(x)=",f(x))

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",ddf(x))

p1 = plot(f(x), (x, 0, 10))   # 함수 f(x) 그리기

p2 = plot(df(x), (x, 0, 10), color = 'red')  # 함수 f''(x) 그리기

p3 = plot(ddf(x), (x, 0, 10), color = 'green')  # 함수 f''(x) 그리기

p1+p2+p3

이전

- 231 -

다음

1개의 댓글

노태완(2022####71)4월 4일 오후 10:29

연쇄법칙의 개념과 그래프를 확인이 가능했습니다.



이주한(2022####78)3월 22일 오전 10:30

교수님, 좋은 글 잘 읽었습니다. 그러나, 아직까지 중,고등학생들 보면 경쟁중심사회로 인하여 토

론하는게 아닌 사교육에 많이 치우쳐 있는 것 같습니다. 경쟁사회는 민주주의의 하나의 특권일 수 

있으나, 극심한 경쟁중심사회는 오히려 경제발전에 악영향 미칠 수 있을 것 같다는 생각이 듭니

다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오후 3:40

굿^^ 만화로 배우는 미적분 

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=jamogenius&logNo

=222058836022 도 여러분에게 도움 될 내용이랍니다.

이혜인(2022####79)3월 22일 오후 6:57

만화로 배우는 미적분 - 가볍게 개념 참고하기 좋은 것 같습니다. 자료 제공 감사합니다

윤관수(2022####77)4월 5일 오전 10:28

연쇄 법칙의 개념에 대해 정리 하고 삼각함수의 고계도함수를 이용하여 연쇄법칙이 사용되었음을 학습하

였습니다.

노*완(2022####71)4월 5일 오전 10:40

연쇄법칙의 개념과 그래프에 대해서 눈으로 확인가능하고 이해 하였습니다.

박준수(2022####73)4월 5일 오전 11:20

연쇄법칙의 개념과 그래프 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

백승준(2022####74)4월 5일 오후 1:08

삼각함수에는 어떻게 연쇄법칙을 적용하면 되는지 알려주셔서 감사합니다.

학습방식 정리하신 것도 되게 인상깊었습니다!

Comment: 연쇄법칙의 개념이 그래프에 대해서 알 수 있었습니

다.

[HW W7] 박경현 연쇄법칙, 음함수, 매개변수 함수의 미분 개념 정리

[Open Problem2] 노태완 음함수의 미분과 그래프

작성자 : 노태완(2022####71)작성일 : 4월 4일 오후 3:59조회수 : 5

안녕하십니까 소재부품융합공학과 노태완입니다

7주차 학습내용인 음함수에 대하여 학습하고 문제를 풀어보았습니다.

◩ 열린 문제 2 다른 교재를 참고하여 다양한 음함수의 그래프를 그리고, 도함수와 특정한 점에

서의 접선의 방정식을 구하시오.

공유해주신 링크를 타고 다른 문제를 풀어보았습니다.

문제를 풀어보고 프로그램을 통해 그래프를 그려보았습니다.

- 232 -

여러번의 미분을 통해서 오래 걸리는 풀이를 

프로그램으로 빠르게 해결 가능하다는 것을 확인하였습니다

임경섭(2022####81)4월 4일 오후 5:19

- 233 -

다음은 함수를 y에 대하여 풀었습니다.

var('x, y')

solve(x^4 + y^3-(x*y^2)-8 == 0, y)

[y == -1/18*x^2*(-I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 

+ 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144

*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1) + 1/3*x,

y == -1/18*x^2*(I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 

+ 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144

*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1) + 1/3*x,

y == 1/9*x^2/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/3*x^3 + 57

6) + 4)^(1/3) + 1/3*x + (-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/

3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)]

다음처럼 3개의 양함수로 구성되어 있음을 확인할 수 있었습니다.

Q. solve를 통해 y를 구하고,

이제 여러개의 y를 다시 diff 해서 미분을해면, 도함수를 얻는데 ...

2. 이것을 음함수의 미분으로

한번에 구하면 되는 것을 배운것이 맞지요?

천혜준(2022####84)4월 4일 오후 5:31

아 넵 오타입니다. 도함수를 구하는것이 아닌 음함수를 구하였습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72)4월 4일 오후 5:41

음함수 미분에 대한 새로운 예제로 개념을 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)4월 4일 오후 6:03

음함수 미분에 대해 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)4월 4일 오후 6:53

음함수의 미분에 대해 이해 할 수 있었습니다. 감사합니다.

- 234 -

조현준(2022####83)4월 4일 오후 11:00

음함수의 성질에 대해 알게 되었습니다 감사합니다.

백승준(2022####74)4월 5일 오전 8:16

음함수의 다양한 그래프 개형 및 음함수의 도함수에 대해서도 알 수 있었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)4월 5일 오전 8:42

음함수 미분에 대해서 이해하는데 많은 도움이 됐습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)4월 5일 오전 10:25

음함수 미분에 대해 학습하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)4월 11일 오후 3:16

음함수 미분에 대해서 이해하고 실습하는데 도움이 많이 되었습니다.

→ 양함수와 음함수의 차이에 대해 이해하였습니다.

→ 연쇄법칙과 매개변수 방정식으로 정의된 함수의 미분에 대해 확인하였습니다.

작성자 : 박경현(2022####72)작성일 : 4월 4일 오후 5:28

조회수 : 18

안녕하세요. 박경현입니다연쇄법칙, 음함수, 매개변수 함수의 개념 정리와 예제문제를 푼 것을 몇

개 공유드립니다.1. 연쇄 법칙. 합성 함수의 도함수를 계산하는 방법

 

. 

[Open Problem1]  다른 교재를 참고하여 다양한 합성함수

의 도함수와 고계 도함수를 구하시오.

( 참고: http://matrix.skku.ac.kr/calculus/new2.pdf )

(a) 

y=cos(3*x)

- 235 -

================================================================================

p1 = diff(cos(3*x), x, 2) # 2계 도함수

p2 = diff(cos(3*x), x, 3) # 3계 도함수

p3 = diff(cos(3*x), x, 4) # 4계도함수

print ("y'=",p1)

print ("y''=",p2)

print ("y'''=",p3)

================================================================================

================================================================================f

- 236 -

(x)=(sin(x))^3

p1 = diff(f(x), x, 2) # 2계 도함수

p2 = diff(f(x), x, 3) # 3계 도함수

p3 = diff(f(x), x, 4) # 4계도함수

print ("y'=",p1)

print ("y''=",p2)

print ("y'''=",p3)

================================================================================

(c)y=x^3/(1-x)

================================================================================

f(x)=x^3/(1-x)

p1 = diff(f(x), x, 2) # 2계 도함수

p2 = diff(f(x), x, 3) # 3계 도함수

p3 = diff(f(x), x, 4) # 4계도함수

print ("y'=",p1)

print ("y''=",p2)

print ("y'''=",p3)

================================================================================

d)y=log(1+x)

- 237 -

=

================================================================================

f(x)=log(1+x)

p1 = diff(f(x), x, 2) # 2계 도함수

p2 = diff(f(x), x, 3) # 3계 도함수

p3 = diff(f(x), x, 4) # 4계도함수

print ("y'=",p1)

print ("y''=",p2)

print ("y'''=",p3)

================================================================================

2. 음함수. x와 y에 관한 방정식으로 표현된 함수 F(x,y)=0 가 음함수이다 . 

예시) 원의 방정식, 

. 식의 원본의 양변에 x에 대하여 미분하여 도함수를 구한다

를 미분하면 

결과적으로 

. Sage를 사

용하면

var('x, y')

F(x, y) = x^3 + y^3 - 6*x*y # F(x, y) = 0

F.implicit_derivative(y, x) # 음함수의 도함수. y와 x의 순서에 주의

 

- 238 -

위와 같이 나온다.[Open Problem2] 다른 교재를 참고하여 다양한 음함수의 그래프를 그리고, 도

함수와 특정한 점

에서의 접선의 방정식을 구하시오.

text=음함수의 미분은 어떻게,연쇄법칙을 사용해야 합니다. [문제 참고]

점(-1,2)를 지나는 위의 그래프의 개형은 아래와 같다

================================================================================

var('x,y')

f(x,y)=2*x^3+x^2*y+y^2-4

p0=scatter_plot([[-1,2]]) #점(-1,2)를 지난다.

p1=implicit_plot(f(x,y),(x,-5,5),(y,-5,5)) #함수의 개형

show(p0+p1)

================================================================================

================================================================================

var ('x, y')

- 239 -

F(x, y) = x^2+x*y+y^3 # F(x, y) = 0

dydx = F.implicit_derivative(y, x) # 음함수의 도함수. y와 x의 순서에 주의

도함수와 원래 함수의 개형을 합쳐본다.

var('x,y')

f(x,y)=2*x^3+x^2*y+y^2-4 #음함수

g(x,y)=-(2*x + y)/(3*y^2 + x) #음함수의 도함수

p0=scatter_plot([[-1,2]]) #점(-1,2)를 지난다.

p1=implicit_plot(f(x,y),(x,-5,5),(y,-5,5),linestyle='--',color='gray') #음함수의 개형

p2=implicit_plot(g(x,y),(x,-5,5),(y,-5,5),color='red') #음함수의 도함수의 개형

show(p0+p1+p2)===========================================



3. 매개 변수 함수의 미분 . 매개 변수 함수 : 기존의 양함수 y=f(x), 음함수 F(x,y)=0의 형태가 

아니라 제3의 변수(t)의 함수로 표현되는 곡선 . 예시) x=(cos(t))^3 , y=(sin(t))^3

- 240 -

var('t')

f(t) = cos(t)^3g(t) = sin(t)^3m(t) = diff(g(t), t)/diff(f(t), t)

print("y =", expand(g(pi/3) + m(pi/3)*(x - f(pi/3)))) # 접선의 방정식

p1 = parametric_plot((f(t), g(t)), (t, 0, pi)) # 매개변수 함수의 그래프

p2 = plot(g(pi/3) + m(pi/3)*(x - f(pi/3)), (x, -0.5, 0.5), color = 'red') # 접선의 그래프

p3 = scatter_plot([(f(pi/3), g(pi/3))]) # 접점

p1 + p2 + p3



천혜준(2022####84)4월 4일 오후 6:45

연쇄법칙, 음함수, 매개변수 함수의 개념을 sage프로그램 그래프, 개념정리를 통해 쉽게 확인

할 수 있었습니다. 감사합니다.

조현준(2022####83)4월 4일 오후 11:05

7주차의 주요 내용들의 개념을 쉽게 확인할 수 있었습니다. 감사합니다

이주한(2022####78)4월 5일 오전 00:27

금일 학습한 내용에 대해서 좀 더 이해가 깊어지는 내용인 것 같습니다. 저도 몇가지 실습하

고 공유드리겠습니다.

- 241 -

Comment : 음함수의 다양한 그래프 개형 및 음함수의 도함수에 대해서도 알 수 있었습니다.

Final by. 임경섭, 이상구, 노영규, 이주환, 전형준, 노태완, 김용철 [H

W W7] 임경섭 연쇄법칙, 음함수, 음함수의 미분.

작성자:임경섭(2022####81)작성일:4월 5일 오전 9:51

조회수:42



안녕하세요. 소재부품융합공학과 임경섭입니다.

7주차 연쇄법칙, 음함수, 음함수의 미분에 대하여 공부하여 정리, 실습한 내용을 QnA 게시판에 

공유해드립니다.



체인룰(Chain Rule),연쇄법칙

'합성함수의 미분은 합성함수를 구성하는 각 함수의 미분의 곱으로 나타낼수 있

다.'입니다.

두 함수y = f(u), u = g(x)를 합성하여 얻은 합성함수y = f(g(x))는

도함수의 정의를 적용하면 다음과 같이 쉽게 도함수를 얻을 수 있다.

코딩 명령어: print(diff(sin(x^2),x))

A.2*x*cos(x^2)



- 242 -

var('x,y')

implicit_plot(x^4 + y^3 == 3*x*y, (x, -5,5), (y, -5,5))

var('x,y')

F(x, y) = y^3-x*y^2+cos(x*y)-2

dydx = F.implicit_derivative(y,x)

- 243 -

dydx

음함수의 도함수를 구하고,



(0,1)에서의 접선의 방정식은.



m = dydx.subs(x=0, y=1)

print("y=", 1+m*(x-0))

p1=implicit_plot(F(x,y) == 0, (x,-2,2),(y,-1,3))

p2=plot(1 + m*(x-0),(x,-2,2), color ='red')

p3=point([0,1], color='red', pointsize=15)

p1+p2+p3

- 244 -

1)

var('x,y')

F(x, y)=x^3 +y^3 -6*x*y

F.implicit_derivative(y, x)

A. -(x^2 - 2*y)/(y^2–2*x)



2)

var('x, y')

F(x, y)=x^3 +y^3 -6*x*y

Fx=diff(F(x, y), x)

Fy=diff(F(x, y), y)

-Fx/Fy

A.-(x^2 - 2*y)/(y^2–2*x)



A.이상구 교수님의 답변.

이상구(LEE SANGGU)4월4일 오후5:24

음함수를 계산하는 내부 명령어가 이전에는 없다가 최근에 포함되었습니다.임 군이 소개한2번째 

방법은 미적분학2에서 배우는 편도함수와 연쇄법칙을 이용한 것으로 첫번째 방법에서 사용한 

명령어F.implicit_derivative(y, x)에는 이 과정이 모두 포함되어 있습니다.첨부한 설명

(그림)보세요^^

- 245 -

이전

다음

6개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)4월 5일 오전 10:11

맞습니다. 이런 증명은 2학기 다변수 함수에 대한 편도함수, ... 그레디언트 ... 배우면서 학습 한

답니다.

이주한(2022####78)4월 6일 오후 5:38

연쇄법칙과 음함수 미분법에 대해서 이해하였으며, 편도함수에 대해서 사전에 간략히 확인할 수 

있었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)4월 7일 오전 8:15

학우님께서 정리해주신 내용을 보며 체인룰, 음함수, 음함수의 미분에 대해서 이해를 하였고, 학

우님의 질문을 통한 교수님의 답변을 보면서 편도함수와 연쇄법칙을 미리 확인 할 수 있었습니

다. 감사합니다.

전형준(2022####82)4월 7일 오전 8:28

연쇄법칙과 음함수에 대한 내용을 그래프로 확인하여주셔서 직관적으로 확인이 가능했고 음함수

의 고계도함수에 대한 예제를 확인 할 수 있었습니다.감사합니다.

노태완(2022####71)4월 7일 오후 1:13

연쇄법칙의 정의와 그래프로 쉽게 확인가능하였습니다.

김용철(2022####66)4월 10일 오후 6:44

연쇄법칙과 음함수의 개념을 이해하였습니다. 감사합니다.

[Final Comment] 연쇄법칙과 음함수를 sage 프로그램을 활용한 그래

프를 통해 직관적으로 이해하였습니다. 

Final - [HW-W7] [Open Problem 2] 노태완, 손혜원, 천혜준,임경섭, 박셩현, 박준수, 김용철, 조

현준, 백승준, 노영규, 윤관수, 이주환 음함수의 미분과 그래프

작성자 : 천혜준 ) 작성일 : 4월 4일 오후 4:47조회수 : 41

- 246 -

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.

7주차 음함수를 학습하고 실습한 내용[Open problem1]을 공유하도록 하겠습니다.

[문제1] x^2 + y^2 = 36

우선 x^2 + y^2 = 36 음함수를 양함수 2개로 정리하여 실습하였습니다.

var('x, y')

p1 = plot(sqrt(36-x^2), (x,-6,6))

p2 = plot(-sqrt(36-y^2), (y,-6,6), color = 'red')

show(p1+p2, aspect_ratio = 1)

다음으로는 한번에 음함수를 그래프화 하였습니다.

var('x, y') 

implicit_plot(x^2 + y^2 == 36, (x, -6, 6), (y, -6, 6))

[문제2] x^4 + y^3 == x*y^2+8

var('x, y') 

implicit_plot(x^4 + y^3 == x*y^2+8, (x, -10, 10), (y, -10, 10), aspect_ratio = 1)

다음은 도함수 음함수를 구하였습니다.

var('x, y')

solve(x^4 + y^3-(x*y^2)-8 == 0, y)

[y == -1/18*x^2*(-I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 

+ 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144

*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1) + 1/3*x,

y == -1/18*x^2*(I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 

+ 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144

*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1) + 1/3*x,

- 247 -

y == 1/9*x^2/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/3*x^3 + 57

6) + 4)^(1/3) + 1/3*x + (-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/

3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)]

다음처럼 3개의 음함수로 구성되어 있음을 확인할 수 있었습니다.

[HW-W6] [Open Problem 2] 노태완, 손혜원 음함수의 미분과 그래프

작성자 : 손혜원(2022####75)작성일 : 4월 4일 오후 4:40조회수 : 5

안녕하세요 소재부품융합공학과 손혜원입니다

교수님이 공유해주신 링크를 활용하여 7주차 열린문제 2번을 실습해보았습니다

- 248 -

문제를 먼저 손으로 풀어서 답을 구하여 정답이 맞는 것을 확인한 후 sage 프로그램을 활용하

여 해결해보았습니다.

먼저 음함수를 정리하여 도함수를 구하고, 접선의 기울기를 구한 후 그래프로 나타내보았습니다.



복잡한 계산과정을 코드를 활용하여 빠르게 해결할 수 있었고, 그래프까지 한번에 확인할 수 있

었습니다.

[Open Problem2] 노태완 음함수의 미분과 그래프

작성자 : 노태완(2022####71)작성일 : 4월 4일 오후 3:59조회수 : 5

안녕하십니까 소재부품융합공학과 노태완입니다

7주차 학습내용인 음함수에 대하여 학습하고 문제를 풀어보았습니다.

◩ 열린 문제 2 다른 교재를 참고하여 다양한 음함수의 그래프를 그리고, 도함수와 특정한 점에

서의 접선의 방정식을 구하시오.

공유해주신 링크를 타고 다른 문제를 풀어보았습니다.

문제를 풀어보고 프로그램을 통해 그래프를 그려보았습니다.

여러번의 미분을 통해서 오래 걸리는 풀이를 

- 249 -

프로그램으로 빠르게 해결 가능하다는 것을 확인하였습니다

임경섭(2022####81)4월 4일 오후 5:19

다음은 함수를 y에 대하여 풀었습니다.

var('x, y')

solve(x^4 + y^3-(x*y^2)-8 == 0, y)

[y == -1/18*x^2*(-I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 

- 250 -

+ 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144

*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1) + 1/3*x,

y == -1/18*x^2*(I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 

+ 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144

*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1) + 1/3*x,

- 251 -

y == 1/9*x^2/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/3*x^3 + 57

6) + 4)^(1/3) + 1/3*x + (-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/

3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)]

다음처럼 3개의 양함수로 구성되어 있음을 확인할 수 있었습니다.

Q. solve를 통해 y를 구하고,

이제 여러개의 y를 다시 diff 해서 미분을해면, 도함수를 얻는데 ...

2. 이것을 음함수의 미분으로

한번에 구하면 되는 것을 배운것이 맞지요?

천혜준(2022####84)4월 4일 오후 5:31

아 넵 오타입니다. 도함수를 구하는것이 아닌 음함수를 구하였습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72)4월 4일 오후 5:41

음함수 미분에 대한 새로운 예제로 개념을 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

박준수(2022####73)4월 4일 오후 6:03

음함수 미분에 대해 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김용철(2022####66)4월 4일 오후 6:53

음함수의 미분에 대해 이해 할 수 있었습니다. 감사합니다.

조현준(2022####83)4월 4일 오후 11:00

음함수의 성질에 대해 알게 되었습니다 감사합니다.

백승준(2022####74)4월 5일 오전 8:16

음함수의 다양한 그래프 개형 및 음함수의 도함수에 대해서도 알 수 있었습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)4월 5일 오전 8:42

음함수 미분에 대해서 이해하는데 많은 도움이 됐습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)4월 5일 오전 10:25

음함수 미분에 대해 학습하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)4월 11일 오후 3:16

음함수 미분에 대해서 이해하고 실습하는데 도움이 많이 되었습니다.

→ 양함수와 음함수의 차이에 대해 이해하였습니다.

→ 연쇄법칙과 매개변수 방정식으로 정의된 함수의 미분에 대해 확인하였습니다.

Final - [HW W7] 백승준, 노태완, 천혜준 - 매개변수 함수_Open 

problem 3

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.

7주차 매개변수 함수의 미분을 학습하고 실습한 내용[Open problem3]을 공유하도록 하겠습니다. 

X = f(t)= t^2 +2*t +1

Y = g(t)= 2*t-1

좌표평면에 나타냈습니다.

var('t')  

f(t)= t^2 +2*t +1

g(t)= 2*t-1

- 252 -

r= []

for i in range( -12, 12 ):

     print('t =', i, 'x =', f(i), 'y =', g(i))

     r.append((f(i),g(i)))

point(r, color = 'red', pointsize = 15)

다음으로는 t의 간격을 더 촘촘하게 하였습니다. 

교수님 range → srange 로 변경해야지만 t의 간격을 변경할수있는건가요?

두 함수의 차이는 무엇인지 궁금합니다..

var('t')  

f(t)= t^2 +2*t +1

g(t)= 2*t-1

r= []

for i in srange( -12, 12, 0.1):     

     r.append((f(i),g(i)))

point(r, color = 'red', pointsize = 15)

다음으로 parametric_plot 명령어를 이용하여 함수의 그래프를 작성하였습니다.

var('t')  

f(t)= t^2 +2*t +1

g(t)= 2*t-1

r= []

for i in srange( -12, 12, 0.1):     

     r.append((f(i),g(i)))

p1 = point(r, color = 'red')

p2 = parametric_plot((f(t),g(t)), (t,-12,12))

p1+p2

- 253 -

t = 1 에서 구한 접선의 기울기를 그려보왔습니다.

var('t')  

f(t)= t^2 +2*t +1

g(t)= 2*t-1

m(t) = diff(g(t), t)/diff(f(t),t)

print('y =', expand(g(1) + m(1)*(x - f(1))))

p1 = parametric_plot((f(t),g(t)), (t,-5,5))

p2 = plot(g(1) + m(1)*(x - f(1)),(x,-5, 15), color = 'red')        

p3 = point([f(1),g(1)], color = 'red', pointsize = 15)

p1+p2+p3

Comment : 실습하면서 매개변수함수 그래프의 개형을 그릴 수 있었고,  쉽게 도함수와 한점에서

의 접선의 방정식을 구할 수 있었습니다. 덕분에 매개변수 함수의 문제에 대해서는 쉽게 문제해결

을 할 수 있다는 자신감이 생겼습니다.

- 254 -

14. 선형근사와 미분

안녕하세요 소재부품융합공학과 김대환입니다.

선형근사와 미분에 대해 공부해본 내용 공유하겠습니다.

출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95_%EA%B7%BC%EC%82%A

C

선형근사를 배우는 이유는

과학이나 공학에서는 때때로 정확한 값 보다는 적은 노력으로 꽤 근접한 유사값을 찾

아낼 수 있다면 그것을 높이 평가한다고 합니다.

쉬운 예로

 y = sinx 가 x=0 에서 sin0 = 0 임은 알지만 

 sin(0.2) 가 무엇인지 알고자 한다면 이는 쉽지 않습니다.

하지만 선형근사라는 방법을 이용하면 복잡한 계산없이 간단하게 근삿값을 구할 수 있

- 255 -

게 됩니다.

핵심 아이디어는 아래 그림과 같이 x=0 에서의 sinx 의 접선인 y=x 의 값들이

x=0 주변 에서의  sinx 의 값들과 거의 차이나지 않는다는 점을 이용하는 것입니다.

출처 : https://vegatrash.tistory.com/19

따라서 sinx  ≈  x 라고 할 수 있을 것이고 x=0.2를 대입하면 sinx  ≈  0.2 를 얻습니

다. (≈ 는 이 기호 왼쪽과 오른쪽의 값이 유사하다는 의미의 기호이다.)

실제로 계산해보면 sin(0.2) = 0.198699...로 0.2와 거의 같아진다는 것을 알 수 있습니

다.

위식 선형근사함수 식을 직접 그려보았고

아래 임** 학우님이 올려주신 예제 13번을 직접 풀어보았습니다



- 256 -

위 선형근사함수를 이용하여  √4.05 의 근사값을 쉽게 구할 수 있었습니다. 감사합니다.

[코딩 명령어]

f(x) = sqrt(x+3)

- 257 -

x0 = 1

y0 = f(x0)

df(x) = diff(f(x), x)

L(x) = y0 + df(x0)*(x -x0)

print("L(x) =", L(x))

print("f(1.05) =", L(1.05))

A. L(x) = 1/4*x + 7/4

f(1.05) = 2.01250000000000

이**(LEE ****GU)4월 11일 오후 4:25

Good^^

In mathematics, the total derivative of a function f at a point is the best linear app

roximation near this point of the function with respect to its arguments. Unlike parti

al derivatives, the total derivative approximates the function with respect to all of it

s arguments, not just a single one. In many situations, this is the same as consideri

ng all partial derivatives simultaneously. The term "total derivative" is primarily used 

when f is a function of several variables, because when f is a function of a single v

ariable, the total derivative is the same as the ordinary derivative of the function.

in https://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative

<-- 이 개념은 다변수 함수에서 더욱 중요하게 사용됩니다.

박**(2022####72)4월 11일 오후 6:55

선형근사에 대해 이해하기 어려웠는데 정리해주신 덕분에 공부하기 수월하였습니다. 감

사합니다.

노**(2022####70)4월 12일 오전 8:09

선형근사에 대한 정리 감사합니다. 덕분에 이해하는데 도움이 됐습니다.

백**(2022####74)4월 12일 오전 8:55

선형근사에 대해 손으로 직접 문제를 풀어주신 덕분에 이해하기가 더욱 쉬웠습니다.

- 258 -

정의에 대해서도 잘 정리해주셔서 공부하는데 도움이 됐습니다. 감사합니다.

박**(2022####73)4월 13일 오후 3:45

선형근사에 대해 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김**(2022####67)4월 13일 오후 4:00

선형근사라는걸 처음 배워서 이해하기 힘들었는데 공유해주신 내용 덕분에 이해가 됐

습니다 감사합니다.

신**(2022####76)4월 28일 오후 3:32

선형근사에 대해 알수있었고 직접 문제푸는것을 보여줘서 이해하는데 많은 도움이 되

었습니다. 감사합니다.

▶선형 근사에 대해 개념과 원리를 이해하고 교재에 주어진 식이 어떻게 유도됐

는지 직접 손으로 그려서 구해보고 sage프로그램을 통해서도 표현해본뒤 학우들

과 함께 문제를 풀어보고 그것을 공유하며 선형근사에 대해 이해하는데 많은 도

움이 됐습니다.

17. 뉴턴의 방법의 제약사항 및 보간법

안녕하세요 소재부품융합공학과 김대환입니다.

뉴턴의 방법을 활용하여 해를 구하는 방법을 sage프로그램을 활용하여 연습하다

초기 에 설정값 x1을 구해내는 방법은 없을까 알아보다 알아본 '보간법'에 대한 내용 공

유입니다.

출처 : https://darkpgmr.tistory.com/58

뉴턴법(Newton's Method)의 특징 및 제약사항

뉴턴법은 물론 만능이 아니다. 해가 없으면 당연히 못 찾는 것이고, 해가 있더라도 뉴턴

법으로 해를 못 찾을 수도 있다. f(x)가 연속이고 미분가능해야 한다는 조건도 필요하다. 

만일 f(x) = 0인 해가 여러 개 있다면 뉴턴법은 그중 하나의 해를 찾아줄 뿐이다. 또한 

해가 여러 개인 경우에는 초기값 x1을 어떻게 주느냐에 따라서 뉴턴법으로 찾아지는 

해가 달라질 수 있다.

특히나 뉴턴법을 사용할 때 가장 어려운 점 중의 하나가 초기값을 어떻게 선택하느냐

이다. 똑같은 문제라 하더라도 초기값을 잘 주면 금방 해를 찾을 수 있지만 잘못 주면 

시간이 오래 걸리거나 아에 해를 찾지 못할 수도 있다. 생각할 수 있는 한 방법은 먼저 

일정한 간격으로 x값을 변화시키면서 함수값의 변화를 본 후 함수값의 부호가 바뀌는 

구간마다 보간법(interpolation)으로 초기값을 잡는 것이다.



실재로 초기값 x1의 설정에 따라 해를 찾는 시간이 오래걸리거나 정확한 해를 찾을수 

없는 경우가 있습니다.

- 259 -

f(x) = x^3-7                     # 방정식

show (plot(f(x), (-1.5,3.5)))    # 방정식의 그래프

df(x) = diff(f(x), x)

x1 = 0.1;                          # 시작점 설정 x₁ = 0.1

k = 1

print('x%d = %.3f' % (k, x1))

while abs(f(x1)) > 1e-10:

      x1 = x1 - f(x1)/df(x1)

      k = k + 1

      print ('x%d = %.8f' %(k, x1))

print ()

이때 사용할 수 있는 '보간법' 이라는 방법이 있습니다.

출처 : https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=ceoyangsj

&logNo=100169531489

- 260 -

- 261 -

- 262 -

출처 : https://slidesplayer.org/slide/14080260/

- 263 -

이**(LEE **)4월 26일 오전 10:25

보간법(interpolation) :

일반적인 행렬식의 개념은 1693년 라이프니츠에 의하여 소개 된 것으로 알려지

기도 하고 그 전에 가우스에 의하여 알려졌다고 하기도 한다. 라이프니츠는 수

학연구에 있어서 좋은 기호체계는 바로 연구 발전의 주요 요소라고 믿었기에 다

양한 기호체계로 계수행렬의 연구를 시도했다. 그의 미발표 자료에는 1678년부

터 약 50년간 연구한 50 가지 이상의 다양한 계수행렬 체계가 들어있다. 그는 1

700년과 1710년의 단 두번의 출판으로 계수행렬 체계의 결과를 보여주었는데, 

거기에서는 앞서 언급했던 de L'Hopital에게 보낸 자료에서 와 같은 기호체계를 

사용하고 있다. 라이프니츠는 현재의 Cramer 공식에 이르는 기본 원리를 포함하

는 결과와 현재 Laplace 여인 자 전개식이라 불리는 결과의 초보적인 내용 등도 

보였었다. 1730년대에 Maclaurin은 2차, 3차 계수행렬을 갖는 연립일차방정식에 

대한 Cramer의 공식을 증명하고, 4차의 경우에 대한 최초의 연구결과를 (사후인 

1748년에) 발표했다. 그후 1750년 Cramer는 n 차 계수행렬을 갖는 연립일차방

정식에 대한 일반적인 공식 "n 개의 미지수를 가지는 연립일차방정식을 풀기 위

하여 n 개의 분수를 만드는데 그 공통 분모는 n개에 대한 순열의 개 수, n ! , 

- 264 -

만큼의 항을 갖는다.''을 (부록에 증명 없이) 준 것이다, Cramer는 더 나아가서 

주어진 방 정 식의 특정계수들의 곱으로 항들을 찾는 방법과 각 항의 부호를 결

정하는 법도 보여주었다. 그는 또한 상수항을 특정계수 자리에 배치함으로써 n

개의 분자를 찾을 수 있음을 보여주었다. 이는 "주어진 점들을 지나는 평면곡선

의 방정식"을 찾고자하는 노력에 기인한 것이다. 이 연구는 1771년 Vandermon

de가 현재 Vandermonde 행렬이라고 알려진 행렬을 이용하여 보간법(interpolati

on) 문제를 해결하면서 해결되었다. in http://matrix.skku.ac.kr/sglee/krf-1/lineara

lgebra/multimediaproject/1week/20103/history1.html

이**(LEE **)4월 26일 오전 10:27

The Vandermonde Matrix and Polynomial Interpolation

(다항식 보간법(Polynomial Interpolation)은 (주어진 데이터와 비슷한) 2차 이상

의 근사 다항식을 추정하는 방법이다.)

https://www.youtube.com/watch?v=Cov_kLatdlc

이 것을 이해하려면 1771년 Vandermonde가 소개한 (2학기에 배울) Vandermon

de 행렬의 행렬식을 이해하여야 한답니다.

박**(2022####72)4월 26일 오전 10:33

뉴턴의 방법에 대해 추가적인 소개까지 해주셔서 감사합니다.

신**(2022####76)4월 26일 오후 1:46

저는 문제점 및 개념만 학습했는데 추가적인 소개 해주셔서 참고하였습니다.

이**(2022####79)4월 26일 오후 2:31

측정할 수 없는 값을 구해내야 할 때 보간법이 사용된다는 것을 알 수 있었습니

다. 자료 공유 감사합니다.

노**(2022####70)4월 26일 오후 3:45

초기값 확인을 위해 sage를 이용해 그래프를 확인하고 진행했는데 보간법이라는 

내용을 공유해주셔서 감사합니다.

노**(2022####71)4월 26일 오후 3:45

보간법이라는 것에 대해서 새롭게 알게되었습니다.

윤**(2022####77)4월 26일 오후 4:23

보간법에 대해 공부 할 수 있었습니다. 감사합니다

이**(LEE **)4월 26일 오후 4:51

(Interpolation 보간법 의 종류)

Interpolation is the process of using points with known values or sample poi

nts to estimate values at other unknown points.

here are some techniques of interpolation

- Lagrange's Interpolation (필수)

- Newton Difference Formula

- Newton Forward Interpolation Formula

- Newton Backward Interpolation Formula

- central Interpolation

...

- 265 -

▶교재의 실린 뉴턴의방법(Newton’s Method)을 공부하다 초기값 x1을 어떻게 

설정하냐에 따라 뉴턴법으로 찾아지는 해가 달라질 수 있고, 해를 찾는 시간이 

오래걸린다는 것을 sage프로그램으로 풀어보다 알게 되었습니다. 그래서 이 초

기값 x1을 설정해줄수 있는 방법이 없을까 찾아보다가 ‘보간법’ 이라는 방법을 

발견하였고 이를 QnA게시판에 공유하여 여러 학우분들과 교수님과 의견을 나누

었습니다. 이것을 정확히 이해하려면 Vandermonde 행렬의 행렬식을 이해하야 

한다고 하셨습니다. 이는 2학기에 배운다고 하여 아주 기대가 됩니다.

30

Final[HW W8] 전형준, 노영규, 박준수, 박경현, 백승준 

역함수와 역삼각함수의 정의 및 역삼각함수의 미분 문제예제

작성자 : 전형준(2022####82)작성일 : 4월 11일 오후 2:45조회수 : 29

안녕하세요, 소재부품융합공학과 전형준입니다.

8주차 온라인강의를 통해 역삼각함수의 미분법을 알 수 있었으며 제가 정리한 자료와 예제문제

를 풀어보겠습니다.

3. sage 프로그램을 사용하여 역삼각함수의 미분 구하기

해당 프로그램에서 f(x)의 값을 원하는 함수로 변경한다면 도함수에 대해서 알 수 있습니다.

교재 101p 예제 6번을 직접 실습해보겠습니다.

- 266 -

(예제)

(1) f(x) = arccos(-3x)

f(x) = arccos(-3*x)

- 267 -

df(x) = diff(f(x),x)

p1 = plot(f(x),x)

p2 = plot(df(x),x, color='red')

print('f(x)의 도함수:', df(x))

p1+p2

(2) f(x) = sin(arctan(x))

f(x) = sin(arctan(x))

df(x) = diff(f(x),x)

p1 = plot(f(x),x)

p2 = plot(df(x),x, color='red')

print('f(x)의 도함수:', df(x))

p1+p2

(2) -1 f(x) = sin(arctan(x)) 고계도함수 (2번미분)

f(x) = sin(arctan(x))

df(x) = diff(f(x),x,2)

p1 = plot(f(x),x)

p2 = plot(df(x),x, color='red')

print('f(x)의 이계도함수:', df(x))

p1+p2

노영규(2022####70)4월 11일 오후 3:03

역함수와 역삼각함수에 대한 정리 감사합니다.

이해하는데 많은 도움이 됐습니다. 또한 코딩을 통해 역삼각함수의 미분을 손쉽게 원하는 답과 

그래프를 확인할수있었습니다.

박준수(2022####73)4월 11일 오후 3:24

역함수, 역삼각함수, 고계도함수까지 정리 잘해주셔서 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니

다.

- 268 -

박경현(2022####72)4월 11일 오후 3:39

역함수, 역삼각함수, 고계도함수에 대해 그래프로 정리해주셔서 이해할 수 있었습니다. 감사합

니다.

백승준(2022####74)4월 12일 오전 8:57

역함수의 정의에 대해서 다시 복습할 수 있었고, 역삼각함수의 정의역과 치역에 대해 잘 정리되

어 있어 참고가 많이 되었습니다.

역삼각함수의 합성함수 및 고계도함수에 대해서도 프로그램을 통해 쉽게 풀어주셔서 문제 해결

방법을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

comment

역함수, 역삼각함수, 고계도함수까지 정리를 통해 이해하는데 도움이 되었습니다.

- 269 -

46

Final by 천혜준, 노태완, 이주한, 조현준, 김용철, 신종호, 

윤관수, 김지수, 박경현 [HW W10] 백승준, 박준수 이상 적분 

예습 - 대학교에 들어와서 처음 배우는 이상적분에 대해서 

쉽게 결과를 도출할 수 있는 것을 확인했습니다!

작성자 : 백승준(2022####74)작성일 : 4월 27일 오후 5:16

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 백승준입니다.

저도 이상적분에 대해 실습했습니다.

■ 이상적분 (improper integral)

- 270 -

예제) 출처 StuDocu

§ Sage 실습

[Sage code 이상적분]

f(x) = 1/(3*x+1)^2

print(integral (f(x), x, 1, oo))

plot(f(x), (x,-10,10), ymin=0, ymax=20)

- 271 -

풀이와 동일하게 1/12이 나오는 것을 확인할 수 있었습니다.

대학교에 들어와서 처음 배우는 이상적분에 대해서 쉽게 결과를 도출할 수 있는 것을 확인했습

니다!

============================================================================

[HW W10] 박준수 이상 적분 예습

작성자 : 박준수(2022####73)작성일 : 4월 27일 오후 4:55조회수 : 0

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준수 입니다.

11주차 이상 적분에 대해 예습하고, 예제문제 실습 해보았습니다.

- 272 -

(x) = x*exp(x)

b = -10

plot(f(x), (x, b, 0), fill = True)

예제11의 이상적분을 계산하면 다음과 같다.

f(x) = x*exp(x)

b = -10

plot(f(x), (x, b, 0), fill = True)

integral(f(x), x, b, 0).n(digits = 6)

var('t')

F(t) = integral(f(x), x, t, 0)

limit(F(t), t = -oo)

- 273 -

comment

이상적분에 대해 알 수 있었습니다.

51

[final][HW W11] [Open Problem] 극방정식의 넓이(Area), 

호의길이 (Arc length), 노태완, 박준수, 김현구,조현준,윤관수,

박경현,이주한,이효민

작성자 : 김현구(2022####69)작성일 : 5월 14일 오후 7:40

안녕하십니까. 소재부품융합공학과 김현구입니다.

극방정식의 넓이와 호의 길이에 대한 예제문제를 변형하여 풀어보았습니다.

1.심장형(cardioid) r = 1 + sinθ 의 넓이를 구하여라

var ('t')

f(t) = 1 + sin(t)

show (polar_plot(f(t), (t, 0, 2*pi), fill = True))          

integral ( 1/2*f(t)^2, t, 0, 2*pi )

2. 4엽 장미(four-leaved rose) r = cos2θ 의 한 고리로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하라.

- 274 -

var('t')

f(t) = cos(2*t)

show (polar_plot(f(t), (t, 0, 2*pi)))    # 곡선의 길이 계산

df(t) = diff(f(t), t)

integral (sqrt(f(t)^2 + df(t)^2), t, 0, 2*pi)

다른 예제문제를 찾아 추가로 풀어보겠습니다. 이상입니다.

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준수 입니다.

극좌표 호의 길이를 구하는 예제문제를 추가로 실습해보았습니다.

1. 심장형(cardioid) r=1+sinθ의 길이(호의 길이, Arc length)를 구하라.

# 그래프 그리기

var ('t')

f(t) = 1 + sin(t)

show (polar_plot(f(t), (t, 0, 2*pi)))          # 곡선의 길이 계산

df(t) = diff(f(t), t)

integral ( sqrt(f(t)^2 + df(t)^2), t, 0, 2*pi )

2. 사이클로이드 x=2(t-sint) , y=2(1-cost) 의 한 아치의 길이(호의 길이, Arc length)를 구하

라.

var ('t')

- 275 -

f(t) = 2*(t - sin(t)); g(t) = 2*(1 - cos(t))

parametric_plot ( (f(t), g(t)), (t, 0, 2*pi) )

먼저 sage를 이용하여 곡선을 그리면 다음과 같다.

이제 곡선의 길이를 구하면 다음과 같다.

var ('t')

- 276 -

f(t) = 2*(t - sin(t)); g(t) = 2*(1 - cos(t))

df(t) = diff(f(t), t); dg(t) = diff(g(t), t)

2*integral ((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)).simplify_full(), t, 0, pi)  # simplify_full은 수식을 간결하

게 나타낸다.

이상입니다.

Final [HW W12] [Open Problem] 곡선으로 둘러싸인 면적 천혜준, 이주한, 조현준 김재영

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 5월 9일 오후 6:00조회수 : 35

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.

11주차 적분의 응용(둘러싸인 영역의 넓이)실습한 내용을 공유하도록 하겠습니다

(1)  cos(2*t)*sin(2*t)

var('t')

f(t) = cos(2*t)*sin(2*t)

show (polar_plot(f(t), (t, -pi/4, pi/4), fill = True))    # 넓이 계산

integral ( 1/2*f(t)^2, t, -pi/4, pi/4 )

var ('t')

(2) 원 r=3*cos(t) 의 내부와 심장형(cardioid) r=2+cos(t)의 외부에 놓인 영역의 넓이를 구하라.

f(t) = 3*cos(t)

g(t) = 2 + cos(t)

p1 = polar_plot(f(t), (t, 0, 2*pi))                       

p2 = polar_plot(g(t), (t, 0, 2*pi), color = 'red') 

show (p1 + p2)

solve (f(t) == g(t), t, to_poly_solve = 'force')

2*(integral(1/2*f(t)^2, t, pi/6, pi/2) - integral(1/2*g(t)^2, t, pi/6, pi/2))

- 277 -

이주한(2022####78)5월 10일 오전 9:08

적분의 성질을 활용하여 2개의 함수 중 일부 구간의 빼서 면적을 구할 수 있음을 알 수 있었습

니다.

감사합니다.

조현준(2022####83)5월 10일 오전 9:19

sage를 통해 외부면적에서 내부면적을 쉽게 제외하고 면적을 구할 수 있음을 확인하였습니다 

감사합니다.

김재영(2022####67)5월 12일 오전 10:54

다시한번 이해하는데 도움이 되었습니다 감사합니다.

→  둘러쌓인 면적에 대해 일부 구간을 제외하고 쉽게 구할 수 있음을 이해하였습니다.

[HW W12] [Open Problem] 극좌표 호의길이 (Arc length)

작성자 : 노태완(2022####71)작성일 : 5월 9일 오전 10:36조회수 : 12

안녕하십니까 소재부품융합공학과 노태완입니다.

극좌표의 호의 길이를 열린문제를 통하여 풀어보았습니다.

- 278 -

Sage프로그램을 활용하여 풀이를 해보았습니다.

Sage를 활용하여 쉽게 그래프를 그릴 수 있었고 답까지 도출이 쉽게 가능 한 것을 확인하였습

니다.

- 279 -

comment

극방정식의 넓이(Area), 호의길이 (Arc length)에 대해 이해할 수 있었습니다.

[Final OK by TA] [HW W12] 박경현, 이주한, 노*완 [열린문제5] 극방정식(Polar Equations)의 그

래프

- 280 -

이상구(LEE SANGGU)5월 11일 오후 7:31

r^2 theta 평면 은 처음 들어 보는데 ...

r^2 theta 평면에 대하여 좀 더 아는 내용을 보태보세요 ...

https://namu.wiki/w/%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84

에도 없는 평면 표현 으로 보입니다. 학원 선생님 이 소개한 내용 이면 무시 하시는 것이 좋습니다.

xy 직교좌표 평면이나

r theta 극좌표 평면를 보통 사용 하는데 ... r^2 theta 평면 은 어디서 어떤 용도로 쓰는지 혹시 미련 있으

시면 알아보시고 여기서 좀 더 얘기해 보세요.

이주한(2022####78)5월 12일 오전 11:17

제가 잘못된 정보를 첨부한 것 같습니다.. 수정하겠습니다!

노*완(2022####71)5월 12일 오후 4:21

극방정식 그래프에 대해서 한눈에 보기 쉬웠습니다.

노영규(2022####70)5월 13일 오전 8:29

정리 감사합니다. for문의 순서대로 색상을 지정해서 확인하는 방법도 이해하였습니다.

백승준(2022####74)5월 13일 오후 12:10

다양한 극방정식이 어떻게 그래프로 표현되는지 정리해주셔서 저도 따라서 실습할 수 있었습니다. 감사합

니다.

Comment: 극방정식의 그래프에 대해서 확인 할 수 있었습니다.

- 281 -

[HW W8] [Open problem2] 지수함수와 로그함수의 미분법

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 11일 오전 11:41

조회수 : 30

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

8주차 : 삼각함수/ 역삼각함수 미분과 로그함수 지수함수 미분에 대해서 학습예정입니다.로그

함수와 지수함수의 미분증명에 대해서 간단한 증명과 코딩을 이용하여 문제를 풀어보았습니

다.

1. 지수함수의 미분증명



→ diff 함수를 이용하요 1계도함수뿐만 아니라 3계도함수까지 구할 수 있는 것을 확인였습니

다.

2. 로그함수의 미분증명

- 282 -

Final Comment

: 지수함수와 로그함수의 도함수 과정 증명을 통해 아래 내용을 이해할 수 있었으며, 2계도함

수, 3계도함수에 대해서도 동일하게 구할 수 있음을 알게되었습니다.

 

- 283 -

RE- final [HW W8] 이주한, 이혜인, 박경현, 조현준, 노영규, 임경섭, 

손혜원, 박준수, 윤관수, 천혜준, 김현구, 김용철, 전형준, 백승준, 김지수 

로그함수의 미분(예제 10, 예제 11)

안녕하십니까 이혜인입니다.

이주한 학우님께서 정리해주신 로그함수와 지수함수의 미분법에 대해 학습한 후,교재에 있는 

예제 10번과 예제 11번을 풀어보고 sageMath로 실행해본 결과입니다.

y = lnxx = e^y역함수의 미분공식을 적용하면

로 

1/x이 됨을 알 수 있습니다.아래는 sageMath로 실행해본 결과입니다.

f(x) = log(x)

diff(f(x), x)

1/sqrt(2*x + 3) * diff(sqrt(2*x + 3) = 1/sqrt(2*x + 3) * 1/ 

2* sqrt(2*x + 3) * 2 = 1 / (2*x + 3)

아래는 sageMath로 실행해본 결과입니다.

- 284 -

f(x) = ln(sqrt(2*x + 3))

diff(f(x), x)sageMath를 이용하여 답을 간결하게 구할 수 있었습니다.

----------------------------------------------------------------------------

final 도함수와 미분 정리 및 복습 박준수,노영규,이주한,신종호,전형준,이

효민

작성자 : 박준수(2022####73)작성일 : 4월 13일 오후 4:34

조회수 : 24

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준수 입니다.도함수와 미분에 대해 복습하고, 예제 문제

를 풀어보았습니다.미분(微分, 영어: derivative) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 

속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성

되는 새로운 함수다.[1] 어떤 함수의 미분 계수 또는 순간 변화율을 구하는 것을 의미하며 미분 

계수는 독립 변수 x의 증분에 관한 함숫값 ƒ(x)의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 

때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 ƒ(x)의 변화량 비가 한없이 

일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 dy/dx로 나타낸다.

f(x) = x^2 + 4*e^x

print(diff(f(x), x))   # dy/dx

print(diff(f(x), x, 2))  # 2계도함수

print(diff(f(x), x, 3))  # 3계도함수

- 285 -

f(x) = x^2 + sqrt(x)

x0 = 4

df(x) = diff(f(x), x)    # 도함수 구하기

print("접선의 방정식 :  y =", f(x0) + df(x0)*(x - x0))

p1 = plot(f(x), (x, 0, 10))   # 함수 f(x) 그리기

p2 = plot(f(x0) + df(x0)*(x - x0), (x, 0, 10), color = 'red')   # 접선 그리기

p1 + p2   # 함수 f(x)와 접선을 동시에 보여주기



Final Comment

: 도함수를 활용하여 접선의 기울기를 알 수 있음을 확인했습니다.

- 286 -

final 이주한, 임경섭, 백승준, 전형준, 이효민, 노영규, 윤관수 [HW 8W] 

매개변수 함수의 활용 (사이클로이드 곡선)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 13일 오후 4:41

조회수 : 55

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.이번주에는 매개변수 함수에 대해해서 학습하

였습니다.기본 개념에 대해서는 다른 분들께서 많이 올려주셔서 매개변수 함수의 실생활에서 

가장 많이 사용되는 사이클로이드 곡선에 대해서 공유드리고자 합니다. 

1. 사이클로이드 곡선이란?

구라는 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취를 사이클로이드라고 부르며, 최단하강곡선이라고

도 부른다. 사이클로이드 곡선 위의 물체가 초반에 받는 중력가속도가 직선보다 크기 때문에 

빠르게 낙하하게 되고, 기울기가 완만한 후반부에서는 관성에 따라 속도가 이어지기 때문이다. 

 원점과 접해있던 반지름이 1인 원이 x축을 따라 t만큼 굴러갔을 때 원점과 접해있던 점

이 P가 되었다고 하자. 점 P를 방정식으로 나타내면 

f(t)=t−sint,

g(t)=1−cost 

2. 사이클로이드 곡선의 특징

2-1. 어느 한지점에서 끝지점까지 도달하는 시간이 최단시간이다.

 2-2. 사이클로이드 곡선 내에서 어느 지점에 떨어트려도 종료 지점에 도달하는 

시간은 동일하다. 

3. 사이클로이드 곡선의 실생활 활용

- 287 -

 3-1. 기와집의 지붕구조 과거 우리 조상들은 나무로 지은 건물이 고여있는 빗물 

때문에 썩는 것을 방지하고자 지붕의 기와를 사이클로이드 곡선 형태로 만들었다. 

이렇게 하면 빗물이 가장 신속하게 떨어지게 된다.

빗물이 강제로 최단 시간 강하를 하도록 만드는 것이다.

3-2. 워터파크에서의 워터슬라이드

워터파크에서 흔히 볼 수 있는 워터슬라이드를 보면, 놀이터에서 보던 미끄럼틀과

는 모양이 약간 다르다는 것을 알아차릴 수 있다. 

직선이 아닌 사이클로이드 곡선 형태로 휘어져 있는 것이다. 이렇게 되면 일반적인 

미끄럼틀보다 더 빨리 내려오기 때문에 압도적인 속도감과 스릴을 맛볼 수 있다. 

또한, 앞서 출발한 이용자가 완전히 지상에 도착하기 전에 미리 다음 이용자가 탑

승하는 것을 엄격히 제한하고 있는데, 이는 어느 지점에서 출발하더라도 도착 시간

이 같다는 사이클로이드 곡선의 특징을 고려한 충돌 사고 예방 조치인 것이다.

 

- 288 -

4. Sage 실습Sage Coding 실습을 통해 사이크로이드 곡선을 그려보았습니다.

매개변수 함수를 기초로 시간 t의 변화에 따따라 (x, y) = (f(t), g(t))가 그리는 곡

선을 쉽게 그릴 수 있음을 확인하였습니다.  

var('t')

f(t) = 3*(t-sin(t))

g(t) = 5*(1-cos(t))

parametric_plot((f(t), g(t)), (t, -10, 10))출처: https://suhak.tistory.com/88 

[수학과 사는 이야기]출처 : https://www.youtube.com/watch?v=L_yRMK-1O08 [다소과학 

Daso-Science]

이전

다음

10개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 4:48

매개변수 함수의 실생활 활용에 대해서 공유 기대해 보겠습니다

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 5:01

4. 해석학 쉽게 설명하면 좌표축 위의 모든 것들을 말합니다. 또한 미분, 적분, 수열, 급수, 함

수 등이 해석학에 포함이 되는데요. 이는 기타 위에서 설명한 모든 것들의 기본적인 토대가 

됩니다. 미분이나 적분은 건축에서 많이 쓰이구요, 수열이나 급수 등은 기타 무한정 나가는 

값의 최종값을 산출하는 데 쓰이게 됩니다. 이는 공장에서 생산물을 어느 기간동안 쉬지 않고 

일정하게 생산했을 때 얼마간의 기간 뒤에 얻게 될 총 생산물의 수를 생각해보시면 됩니다. 

그리고, 통장에 얼마간의 돈이 있고, 세금이 통장에 있는 잔액이 몇 %씩 차감되어 빠져 나갈 

때 얼마의 기간 뒤에 남은 잔액에 대해서 구하는 데도 용이하겠죠? 좌표축을 도입한 사람은 

데카르트이고 이를 데카르트 평면 또는 좌표평면이라구두 하는 데요. 이것은 건축학에서 흔히 

쓰이는 설계 쪽에서 쓰이게 됩니다. 각 건축물의 모서리를 좌표로 생각하고 그리게 된다면 좌

표간의 거리나 기타 체적, 부피, 면적을 구하는 데 있어서 매우 쉽겠죠? 함수는 대응관계를 

설명한 것인데, 이는 에니메이션을 생각하시면 됩니다. 만화는 정적인 반면에 에니메이션은 동

적이죠? 하나의 그림을 좌표 위의 점을 통해 그린 후에 이제 함수의 값을 적당히 대입하여 각

각의 점이 각각의 함수에 의해 변환이 된다면 각 점들은 함수에 대해 자취를 그리게 되겠죠. 

물론 여기서 함수는 다 같은 함수는 아닙니다. 그럼, 이 자취들을 연결해서 봤을 때 에니메이

션이 되는 겁니다. 쉬운 예로 책 위에 한 페이지에 하나씩의 그림을 그려서 책을 빠르게 넘기

면 그림이 움직이는 것을 볼 수 있습니다. 이를 좌표에 대응하여 본 그림을 그리고 각 부위별

- 289 -

로 함수를 대입하여 보이면 독립변수의 값이 하나씩 늘어갈 때마다 그에 따른 종속변수의 값

이 움직이죠. 이를 에니메이션에 응용한 겁니다.

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 5:19

미적분학은 해석학의 입문 과정 입니다.

임경섭(2022####81)4월 13일 오후 5:22

지난번 수업에 교수님께서 언급해주신 사이클로이드에 대해 정리해주셔서 감사합니다.

이주한(2022####78)4월 13일 오후 5:24

건축에서 지붕설계시에도 미분적분학이 활용되는걸 확인할 수 있었습니다. 해석에 대해서 관

심이 많은데, 미적분학 학습을 통해 프로그램만 가동하는 것이 아닌 과정에 대해서 앞으로 더 

깊게 이해할 수 있는 발판이 될 수 있을 것 같습니다.

백승준(2022####74)4월 13일 오후 5:35

사이클로이드의 특징이 실생활에 적용된 사례를 참고해주셔서 좀 더 직관적으로 이해할 수 있

었고, 우리가 배우는 미적분학이 실생활에 많이 사용되고 있다는 것도 알 수 있었습니다.

전형준(2022####82)4월 13일 오후 5:35

사이클로이드 곡선에 대한 내용을 잘 알 수 있었고 다양한 예제를 통해 미분이 우리의 생활에 

얼마나 밀접해있고 그것에 대한 한 함수를 볼 수 있었던 것 같습니다. 감사합니다.

이효민(2022####80)4월 13일 오후 5:43

사이클로이드 곡선의 개념을 실생활에서의 예와 실습을통해 직관적으로 이해할 수 있었습니

다. 감사합니다.

노영규(2022####70)4월 17일 오후 7:33

사이클로이드 곡선에 대한 내용과 실생활 적용 사례를 통해 이해하는데 많은 도움이 됐습니

다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)4월 25일 오전 10:09

사이클로이드 곡선에 대해 공부하였고 실생활에 적용된 내용을 통해 이해하는데 도움이 되었

습니다.

등록

Final Comment

:  매개변수함수의 다양한 실생활 활용법에 대해서 학습하였으며, 특히 싸이클로이드 곡

선을 통해 매개변수함수를 다양하게 적용하고 이해해볼 수 있을 것 같습니다. 

Final (4/13일 토론) 코딩으로 작성하는 그래프들 (박경현, 천혜준, 이주

한, 조현준, 신종호, 전형준, 노영규)

작성자 : 김지수(2022####68)작성일 : 4월 13일 오후 4:50

조회수 : 48

안녕하세요. 

수업관련된 내용은 아닌데 신기한 그래프들이 많아 공유 해드리고자 글을 작성합니다.

- 290 -

7주차 대면수업시간에 교수님께서 나누어 주신 책 마지막 페이지에 있던 그래프를 보고 신기하다

는 생각과저런 그래프가 나오는 방정식을 누가, 왜, 무슨 목적으로 만든건지 대한 생각이 들어 생

각을 공유해보고자 공유합니다.

인터넷에서 찾아보던중 7주차에 학습한 매개변수 함수에 대한 그래프도 있어 공유드립니다.

(질문) 임의의 선을 그래프에서 나타 내고자할때, Y에 대한 선은 어떤 명령어로

작성가능한가요 ?

1. 교수님께서 주신 책에 있는 그래프

2. 매개변수 함수

- 291 -

3. 음함수 그래프

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 4:54

Good 아래 주소에서 몆개 더 해보고 추가 질문 하세요 http://matrix.skku.ac.kr/3d-print/

index.htm

박경현(2022####72)4월 13일 오후 5:13

코딩으로 예쁘게 그려지는 그래프들이 굉장히 많네요. 공유해주셔서 감사합니다.

천혜준(2022####84)4월 13일 오후 5:16

코딩을 통해 신기한 그래프들을 확인 할 수 있었습니다. 그리고 저도 y축에 선이 없다는 걸 

질문을 통해 알았습니다. 저도 바로 알아 보겠습니다.

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 5:18

인공심장 이나 장기도 위와같이 수식을 이용하여 3차원에서 그린트 3D printing 하여 사용 

한답니다.

이주한(2022####78)4월 13일 오후 5:21

3d 프린터를 사용한 경험이 있는데, 모델링된 것을 함수로 표현하여 기계가 구동 된다고 이해

하면 될까요?

조현준(2022####83)4월 13일 오후 5:26

저도 해당 교재를 선물 받았습니다. 견해를 넓히고 있습니다 감사합니다

신종호(2022####76)4월 13일 오후 5:28

피카츄도 그릴수있나요

전형준(2022####82)4월 13일 오후 5:36

다양한 그래프를 확인할 수 있었고 그것이 수식으로 나타낼 수 있다는 것이 정말 인상깊었던 

- 292 -

것 같습니다. 감사합니다.

노영규(2022####70)4월 13일 오후 5:55

수식을 이용해서 3D형상을 확인하는것을 알았고 더 나아가서 3D 프린팅도 할수있다는것도 알

았습니다. 정리 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)4월 14일 오전 7:52

아래 동영상에 https://youtu.be/olTfft1cuGw 미적 배우면 할 수 있는 math, art and 3d 

printing 내 초청강연 있으니 누가 한번 보세요.

이상구(LEE SANGGU)4월 14일 오전 8:11

질문. 3d 프린터를 사용한 경험이 있는데, 모델링된 것을 함수로 표현하여 기계가 구동 된다

고 이해하면 될까요? 답변. 우리가 배울 이변수 함수 식으로 3차원 기본 그림을 그린 후, 조

금씩 변화를 주어 원하는 그림을 얻으면. 그 이미지를 STL file 로 저장하여, 3D 프린팅 하는 

것 입니다.

이상구(LEE SANGGU)4월 16일 오후 8:44

피카츄 도 가능 합니다. http://matrix.skku.ac.kr/2012-LAwithSage/interact/3.html 을 

우서 보세요.

Final Comment

: 질문. 3d 프린터를 사용한 경험이 있는데, 모델링된 것을 함수로 표현하여 기계

가 구동 된다고 이해하면 될까요? 

 답변. 우리가 배울 이변수 함수 식으로 3차원 기본 그림을 그린 후, 조금씩 변화

를 주어 원하는 그림을 얻으면. 그 이미지를 STL file 로 저장하여, 3D 프린팅 하

는 것 입니다.

Final [HW][W8] 삼각함수의 미분법 (윤관수, 이주한, 노영규, 노태완, 신

종호)

작성자 : 김지수(2022####68)작성일 : 4월 13일 오후 5:34

조회수 : 28

8주차 수업내용중 삼각함수의 미분에 대해 학습하였습니다.역삼각함수의 미분도 함께 학습하

여 올리도록 하겠습니다.어려운 문제를 쉽게 코딩으로 해결할수있었습니다.1. 삼각함수의 미

- 293 -

분



2.삼각함수의 미분 공식



삼각함수의 미분 코딩 풀이



- 294 -



Final Comment 

이주한(2022####78)4월 13일 오후 5:45

다양한 예제를 통해 삼각함수 미분에 대해서 복습할 수 있었습니다.

final 신종호, 천혜준, 이주한, 박경현 [HW 8W] 선형근사 관련 질문 드

립니다.

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 13일 오후 5:39

조회수 : 44

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

외부 자료 참고해서 공유드립니다

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=davidj09&l

ogNo=220993703996 [사막별 여행자]

----------------------------------------------------------

선형근사 관련 질문 드립니다. 신종호, 천혜준

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 4월 13일 오후 5:02

조회수 : 18

y = f(x) 가 원래 그래프이고 y = L(x) 가 우리가 사용할 직선 입니다.x 가 a+Δa 

일 때, y 값을 구하려면 f(a+Δa)를 구하는게 가장 정확하지만 만약 f(x) 함수가 4

차함수처럼 고차함수여서 계산이 너무 복잡하다면직선의 방정식을 구한다음에 L(a

+Δa)를 구하면 비록 정확한 값은 아니지만매우 적은 계산량으로 매우 비슷한 근

사값을 구하기 위해 선형근사를 사용합니다. 라고 생각합니다

- 295 -

선형근사 관련 질문 드립니다.

작성자 : 신종호(2022####76)작성일 : 4월 13일 오후 4:53

조회수 : 12

선형 근사가 어떤 함수를 근사하는 것을 말한다는 것을 말한다는 것은 알겠습니다.어떤 점 근

처를 확대할수록 그점에서의 접선과 비슷해진다는 사실로 선형 근사를 하는 것인데선형 근사

가 접선의 방정식과 다른 점이 있을까요?

함수를 한 점 근처에서 근사한 것이 그 점에서의 접선의 방정식 아닐까요?

- 296 -

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 4:56

한점에서의 접선의 방정식을 구하여 그 점 근처에서의 함수값을 쉽게 찾는 것을 선형근사로 

이해 하시면 됩니다. 다른 학생 글에 유의미한 답을 주어 보세요.

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 5:05

선형 근사는 접선의 방적식을 이용하여 근사값을 구하는 일반적인 이론 입니다.

박경현(2022####72)4월 13일 오후 5:12

선형 근사는 접선의 방정식을 구해 근사값을 구하는 이론인 것이고, 접선의 방정식은 선형 근

사를 위한 과정의 하나 라고 생각하면 될 것 같습니다.

신종호(2022####76)4월 13일 오후 5:21

y = f(x) 가 원래 그래프이고 y = L(x) 가 우리가 사용할 직선 입니다. x 가 a+Δa 일 때, y 

값을 구하려면 f(a+Δa)를 구하는게 가장 정확하지만 만약 f(x) 함수가 4차함수처럼 고차함수여

서 계산이 너무 복잡하다면 직선의 방정식을 구한다음에 L(a+Δa)를 구하면 비록 정확한 값은 

아니지만 매우 적은 계산량으로 매우 비슷한 근사값을 구하기 위해 선형근사를 사용합니다. 

라고 생각합니다.......... 해당 내용 무슨 뜻 인지 이해하였습니다. 답변 감사드립니다.

등록

Final Comment 

이상구(LEE SANGGU)4월 13일 오후 5:55

Good job. 어제 모두 수고 했어요. 우리 책은 맞게 설명이 되었고, 학생이 인용했

던 그 책은 부실했던 내용입니다. 우리 교재에는 오차의 정의를 어제 한 줄 더 추

가하여 여러분이 다른 책을 보고 혼동하지 않도록 해 주었습니다. 여러분들은 오

늘 한 것들 Finalize 하시고, 9주차 강의 업로드 해 놓았으니 수강하시고, 실습하

고 월요일에 만나면 됩니다.

Final by. 임경섭, 신종호, 노영규, 이주한, 이효민, 윤관수 [HW W9] 임

경섭 로피탈 정리

작성자 : 임경섭(2022####81)작성일 : 4월 18일 오후 3:23

조회수 : 34

9주차 쌍곡선 함수와 평균값 정리, 로피탈 정리에 대하여 학습하였습니

다.지난주 학우들과 미리 로피탈 정리에 대해 토론하고 학습한 내용 입니

다.

로피탈 정리는 극한의 부정형 계산에 유용한 법칙이며 고등학교 때에는 

극한의 부정형 0/0 형태에만 사용을 하였는데.9주차에는 0/0 형태와 oo

/oo 형태도 로피탈로 해결할 수 있는것을 확인하였습니다.

- 297 -

* 로피탈 계산시 주의사항.

극한의 부정형과 로피탈 법칙.

작성자 : 임경섭(2022####81)작성일 : 4월 13일 오후 4:39

조회수 : 39

- 298 -

*코딩을 통한 극한값 확인.[코딩 명령어]f(x) = sin(x)g(x) = xdf(x) = diff(f(x),x)dg(x) = d

iff(g(x),x)print(limit(df(x)/dg(x), x=0))

로피탈 정리를 통해 극한의 부정형 계산을 보다 빠르게 할 수 있었고 코

딩을 통해서도 동일한 값이 나오는것을 확인하였습니다.

Final Comment 

: 극한의 부정형에 대해서 이해하고, 로피탈 법칙을 통해 극한에 있는 함수들을 

미분하여 쉽게 계산이 가능함을 이해하고 활용할 수 있었습니다. 

final [HW W9] 쌍곡선 함수와 역쌍곡선 함수의 미분 정리 박준수.노영

규,이효민,이주한

작성자 : 박준수(2022####73)작성일 : 4월 18일 오후 3:27

- 299 -

조회수 : 25

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준수 입니다.9주차에는 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수의 미

분을 배울 예정입니다.

- 300 -

ㅊ

Final Comment 

: 쌍곡선 함수와 역쌍곡선 함수의 미분 증명 과정을 이해하였으며, 역쌍곡선 함수

의 정의역이 정의되어야 미분도 가능하다는 것을 알게 되었습니다. 

- 301 -

Final [HW W9] 조현준, 신종호, 이주한, 노영규, 윤관수 Rolle의 정리, 

평균값 정리

작성자 : 윤관수(2022####77)작성일 : 4월 18일 오후 3:30

조회수 : 23

안녕하세요 소재부품 융합공학과 윤관수 입니다.9주차에서 배울 내용인 Rolle의 정리 및 평

균값 정리에 대해 정리 해보고 실습 해보았습니다.







- 302 -

Final Comment 

: 함수 f(x)의 폐구간 [a, b]에 대해서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분이 가능하

다면 f'(c) = f(b) - f(a) / b-c 로 평균값 정리가 가능한 것을 확인하였습니다.

Final [HW W9] 이혜인, 박경현, 이주한 로피탈(L'Hospital) 법칙

작성자 : 이혜인(2022####79)작성일 : 4월 18일 오후 3:52

조회수 : 24

안녕하십니까 이혜인입니다.9주차 예습 중 교재에 있는 로피탈의 법칙에 대해 읽고 정리해보았습

니다.

극한 법칙이 사용될 수 없는 극한 문제인 부정형에 대해 알고,부정형 0/0에 대한 로피탈의 법칙

을 확인할 수 있었습니다.아래는 교재에 있는 예제와 풀이를 읽고 sageMath로 실습한 내용입니

다.

- 303 -

g(x) = x^2 + 3*x - 10 # 로피탈 법칙 이용

h(x) = x^2 - 4*x + 4

dg(x) = diff (g(x), x)

dh(x) = diff (h(x), x)

print (limit(dg(x)/dh(x), x = 2, dir = '+'))

limit (g(x)/h(x), x = 2, dir = '+') # 직접 계산Open Problem ) lim(x->1) lnx / x-1

- 304 -

lim(x->1) lnx = ln 1 = 0과 lim(x->1) x - 1 = 0 이기 때문에 로피탈 법칙을 이용하여lim (x->

1) 분자 d/dx lnx, 분모 d/dx (x-1) = lim(x->1) (1/x)/1로lim(x->1) 1/x = 1이 됩니다.

g(x) = log(x)# 로피탈 법칙 이용

h(x) = x - 1

dg(x) = diff (g(x), x)

dh(x) = diff (h(x), x)

print("lim(x->1) 1/x = ", limit (g(x)/h(x), x = 1)) # 직접 계산



Final Comment

그 동안 극한값을 구할 때 최고차항 분모로 나누고... 인수분해하고.. 복잡한 방식

로 계산했는데, 주어진 조건을 만족하면, 로피탈 법칙을 이용하여 간단하게 계산

함을 알 수 있었습니다.

Final [HW W9] 평균값 정리의 개념 및 문제 풀이 (노영규, 박경현, 이혜

인, 이주한, 김재영, 노태완, 손혜원, 신종호, 조현준)

작성자 : 김지수(2022####68)작성일 : 4월 18일 오후 4:08

조회수 : 36

9주차 내용중 평균값 정리에 대해 예습 하고 문제를 풀어보았습니다.

- 305 -

- 306 -

교과서와 비슷한 문제를 풀어보았습니다.구간 [-2,3]f(x)=x^3-6*x^2+12

구간[-2,3]f(x)=x^3-6*x^2+12

- 307 -

Final Comment 

: 함수 f(x)의 폐구간 [a, b]에 대해서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분이 가능하

다면 f'(c) = f(b) - f(a) / b-c 로 평균값 정리가 가능한 것을 확인하였습니다.

final 이주한 All Must know and can do and show and Explain. <8

-13주차 열린 문제 >

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 19일 오후 3:55

조회수 : 19

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

교수님이 말씀하신 주소에서 매개변수 방정식 그래프를 확인해보았습니다.함수를 

이용해 변수에 대해서 변경하면서 확인해봤는데요.

다양한 모델들을 보면서 궁금한 점이 생겨 질문드립니다.

          

이상구(LEE SANGGU)4월 19일 오후 12:37

- 308 -

● [함수 그래퍼(Grapher) 실습] 우리 연구팀이 개발한 다양한 도구가 아래에 있습니다. 특히 

http://matrix.skku.ac.kr/artsurf/ 에서 매개변수 방정식 그래프를 그려보시고, Animation 

of Change를 t 로 고르셔서, 시간이 변함에 따라 변하는 함수의 모양을 보시면서 다양한 실

습을 하고 내용을 공유하시기 바랍니다.

Final Comment

Q1) 매개변수를 이용해 아래와 같이 모델링을 할 경우 모양을 정해놓고 모델링을 

할텐데, 연구를 진행하실 때 방정식을 어떻게 유도하는건가요? 과정에 대해서 간

략하게라도 궁금합니다. 

Answer. 수 백년간 사회에서 많이 만나게 되는 도형들에 대한 연구를 하기 위하

여, 그 상황을 표현하는 수식이 다양한 방법으로( 함수, 음함수, 매개변수 함수, 

극좌표함수 등) 으로 표현되었습니다. 위에 보시는 식들은 그런 식입니다. 나는 그

것들을 여러분이 2차원 및 3차원에서 바로 보고 느낄 수 있도록 해 주었고, 그 도

형의 계수등을 변형시켜 인공심장도 만들고, 예술 작품도 만들어서, 그 도형을 위

의 사이트에서 바로 3차원 그래프로 그리고 그 도형의 STL (Stere Lithography) 

파일을 모바일폰에서 바로 생성하여, 여러분이 바로 3D 프린터로 프린트 할 수 

있도록 해 주었습니다. 이것이 내가 한 기여입니다.

[Final OK by TA] Final [HW W9] [Open problem1] 박준수, 이주한 

미분가능한 쌍곡선함수,역쌍곡선함수의 3계 도함수 실습

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 19일 오후 4:49

조회수 : 15

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.[Open problem1]에 대

해서 간단하게 실습해보았습니다. 삼각함수와 미분법이 동일하다는 것을 

알게 되었고, 코드를 이용해서 복잡한 수식도 쉽게 확인할 수 있었습니

다.아직 배우지는 않았지만 도함수를 적분하여 기존 수식을 다시 확인 할 수 있었습니

다.고계도함수의 경우 이중적분.. 삼중적분을 통해서도 유도할 수 있었습니다.

- 309 -

방정식을 통해 애니메이션을 개발에 대한 영상 공유드립니다.

https://youtu.be/O0kyDKu8K-k

Final by. 임경섭, 이주한 [HW 9] 임경섭 선형근사 open problem.

작성자 : 임경섭(2022####81)작성일 : 4월 19일 오후 5:06

조회수 : 13

소재부품융합공학과 임경섭입니다.8주차 미분을 통해 선형근사를 구하는 것을 학습하였고, 다른 

교재의 문제들을 학습한 내용을 공유 드립니다.

- 310 -

교재에는 선형근사를 코딩으로 푸는 전체 과정이 나오지 않아서 전미분을 통해 dy를 구한 후 근

사값을 구하였습니다.

수학적 개념을 이해한 후 코딩을 통해 문제를 해결하는 과정에서 다시 한번 수학적 개념을 정리할 

수 있었습니다.

- 311 -

이상구(LEE SANGGU)4월 19일 오후 6:18

Good job^^ 이 문제를 학습하면서 느낀 점을 몇 줄 더 적어보세요^^ 다른 학생에게도 적용

됩니다.

임경섭(2022####81)4월 20일 오후 4:15

dy/dx 미분을 dy와 dx 두개로 구분하는 전미분을 배웠고, 이를 선형근사 식에 대입하여 함수

의 근사값을 구하는것에 대한 수학적 개념을 확인했습니다. 미적분학1 교재에는 diff 명령어를 

통해 미분을 구하고 이를 통해 dy를 구할 수 있지만. 바로 근사값이 나오는것은 없어서 기존

에 학습했던 내용을 바탕으로 근사해를 나타냈습니다. 교재 이외에 문제를 해결하면서 수학적 

개념을 다시 한 번 정리하고, 이를 코딩으로 풀어내는 과정에서 문제 해결의 접근법에 대해서 

생각 할 수 있어서 좋았습니다. 간단한 문제였지만 학습하고 스스로 해결해본 문제여서 뜻깊

은 문제가 된 것 같습니다. 감사합니다.

Final Comment 

선형근사를 통해 dx값에 따라서 dy에 대해서 근사값을 확인할 수 있었으며, 선형

근사를 활용한 뉴턴의 방법에 대해서도 실습해보며 이해를 도울 수 있었씁니다.

- 312 -

Final [HW 10W] 이주한, 전형준 뉴턴의 방법(Newton's method)의 활

용 실습

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 20일 오후 4:28

조회수 : 29

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.아래 코드를 이용하여  뉴턴의 방법에 대해서 

실습 코드를 이용해 다른 방정식을 풀어보았습니다. 

뉴턴의 방법이란? 

방정식을 풀지 않고, 근이 대략 어느 정도 숫자인지 추정하는 방법입니다. 임의점에 대해

서 함숫값과 기울기를 알고 있으면 이러한 과정을 반복해서 근사해를 구하는 방법입니다.

 ※ 추가 자료 - 뉴턴의 방법 사용시 주의사항 

f(x)가 연속이고 미분가능해야 한다는 조건도 필요하다. 만일 f(x) = 0인 해가 여러 개 있다면 

뉴턴법은 그중 하나의 해를 찾아줄 뿐이다.

또한 해가 여러 개인 경우에는 초기값을 어떻게 주느냐에 따라서 뉴턴법으로 찾아지는 해가 

달라질 수 있다.

[뉴턴의 방법 추가 자료]https://darkpgmr.tistory.com/58아래와 같이 해를 구하기 복

잡한 3창 방정식에 대해서 "뉴턴의 방법"을 이용해 시각화하였습니다.3차 방정식뿐만 아니라 

4차, 5차까지도 해당 방법을 이용해 쉽게 근사해를 구할 수 있음을 확인하였습니다. 

f(x) = 6*x^3-3*x^2+x+1

- 313 -

df(x) = derivative(f(x))

x_n = -2 # First guess

min_step = 0.01

plot_f = plot(f(x), (x, -2, 2), linestyle=":")

plot_steps = [point([x_n,f(x_n)], rgbcolor=(1,0,0))]

plot_lines = plot_f

step = 9999

x_values = []

while(step >= min_step):

 x_new = x_n - (f(x_n) / df(x_n))

 x_values.append(x_new)

 step = abs(x_new - x_n)

 plot_lines += line([[x_n, f(x_n)],[x_new, f(x_new)]], rgbcolor=(1,0,0))

 plot_steps.append(plot_lines)

 x_n = x_new

animate(plot_steps, xmin=-2, xmax=2, ymin=-5, ymax=5)



Final Comment

: 뉴턴의 방법을 애니매이션으로 확인하면서 지정한 점에 가까워 질때까지 선형 

근사를 근사치를 구할 수 있을뿐만 아니라 오차에 대해서 확인이 가능함을 이해하

고 학습했습니다. 

Finalize [HW W10] [Open Problem] 노태완, 이주한, 박경현, 이혜인, 

천혜준, 윤관수, 박준수, 김용철, 조현준 함수의 임계점 정리

작성자 : 노태완(2022####71)작성일 : 4월 24일 오후 1:36

조회수 : 52

안녕하십니까 소재부품융합공학과 노태완입니다.이번주는 함수의 임계점

에 대하여 학습을 해보았습니다.

- 314 -



교수님의 링크를 통하여 다른 문제들을 풀어보았습니다.

- 315 -

sage를 통하여 이 문제를 다시 풀어보았습니다.

Final Comment / Q&A

final - [HW W10] 도함수 와 2계도함수 응용, 변곡점 [이효민, 이주한, 

노영규, 임경섭, 전형준, 손혜원, 조현준, 박경현, 윤관수, 이혜인, 백승

준, 김용철, 박준수, 노태완]

작성자 : 이효민(2022####80)작성일 : 4월 24일 오후 7:51

조회수 : 55

안녕하십니까 소재부품융합공학과 이효입니다.10주차 도함수, 2계 도함수의 응용에대해 학습

한 내용입니다.1.도함수의 응용

함수 f(x)가 정해진 구간내에서f(x1) < f(x2)를 만족하면 f(x)는 구간내에서 증가f(x1) > f(x2)를 

만족하면 f(x)는 구간내에서 감소한다고 합니다.이떄 도함수는 기울기를 나타내므로 이와같이 

함수가 증가하거나 감소하는 상황을 알 수 있습니다.구간 (a,b) 내의 모든 점에서 f'(x) > 0이

면, f(x)는 [a,b]에서 증가,구간 (a,b) 내의 모든 점에서 f'(x) < 0이면, f(x)는 [a,b]에서 감소한

다.ex) 함수 f(x) = x^3 -2*x 의 증가, 감소 구간을 구하라

- 316 -

f(x) = x^3 -2

*x

df(x) = diff(f(x), x)

p = plot(f(x), (x, -2, 2), ymin = -4, ymax = 4)

show(p)

print ("f'(x) = ", df(x))

show(solve (df(x) > 0, x))

show(solve (df(x) < 0, x))증가 : 

, 감소 : 

위와같이 f(x) = x^3 -2*x 의 그래프가 있을 때 도함수,기울기 f'(x) > 0 인 구간이 증가,  f'

(x) < 0 인 구간이 감소 임으로각각 설정해 줌으로서 증가, 감소 구간을 구할 수 있습니다.2.

2계 도함수의 응용

- 317 -

위 그래프에서 구간을 (-2, 0), (0, 2)로 적당히 나누고(a, f(a))에서의 접선을 빨간색 접선, (b, 

f(b))의 접선을 녹색 접선이라고 했을때x ≠ a 이고 정해진 구간 내에서 각점 x에 대응하는 

곡선 위의 모든점 (x, f(x))가(a, f(a)) 에서의 접선 아래쪽에 있으면 위로 볼록(Convex up)하

다고 하며반대로x ≠ b 이고 정해진 구간 내에서 각점 x에 대응하는 곡선 위의 모든점 (x, f

(x))가(b, f(b)) 에서의 접선 위쪽에 있으면 아래로 볼록((Convex down)이라고 합니다.이때 

위그래프 (0, f(0))의 한점에서와 같이 x = c에서 연속일 때 (c, f(c))를 경계로 한쪽에서는 위

로, 다른한쪽에서는 아래로 볼록할 때(c, f(c))를 곡선 f(x)의 변곡점(inflection point)이라 합

니다.2계 도함수는 함수가 위, 아래로 볼록한 상황을 알려줍니다.

ex)함수 

의 아래로 볼록한 구간을 구하시오

- 318 -

f(x) = x^3 - 6

*x^2 + 9*x + 1

df(x) = diff (f(x), x) # 도함수

d2f(x) = diff (df(x), x) # 2계 도함수

p = plot(f(x), (x, -1, 4), ymin = -2)

show (p)

print ( "f''(x) = ", d2f(x) ) # 2계 도함수

solve (d2f(x) > 0, x) # 2계 도함수가 0보다 큰 x값의 범위2계 도함수 f''(x) = 6*x - 12,  

f''(2) = 0 으로 변곡점이 되며2계도함수d2f(x) >0 인 구간, x >2에서 아래로 볼록한 모양임

을 알 수 있습니다.상기내용을 통해 도함수를 이용하여 증가, 감소 구간을 확인할 수 있었

고2계 도함수를 활용해 변곡점을 기준으로 함수의 위, 아래 볼록한 모양의 파악이 가능해졌

습니다.

Final Comment 

2계도 함수를 통해 다항식에 대해서 변곡점을 확인 할 수 있음을 학습하였습니다. 

- 319 -

Final by 이상구 교수님, 이주한, 노태완, 임경섭, 노영규, 천혜준, 김대

환, 김현구, 전형준, 박경현, 윤관수, 이혜인, 김용철, 박준수, 이효민, 손

혜원, 김재영 [HW W10] [Open Problem2] 뉴턴의 방법 (Newton's met

hod) - 뉴턴의 방법 (Newton's method) 을 통해 해를 구하기 어려운 

함수/방정식의 근사값을 쉽게 구할 수 있다는 것을 알 수 있었습니다.

작성자 : 백승준(2022####74)

작성일 : 4월 24일 오후 7:55

조회수 : 81

안녕하십니까 소재부품융합공학과 백승준입니다.

10주차에 배우게 될 내용 중 뉴턴의 방법 (Newton's method)에 대해 알게 된 내용 및 지난 번 

교수님께서 공유해주신 URL 내용 재공유드립니다.■ 뉴턴의 방법 (Newton's method)

- 뉴턴의 방법은 반복법 (iterative method)으로, 초기 근사해 x₁으로부터 시작하여 특정한 반복

단계를 거쳐 이전보다 나은 근사해 x₂, x₃, ...를 생성한다.    목표는 k번째 근사해 xk 또는 극한 

값 (xk →) r에서 f(x)=0을 만족하도록 하는 것이다.

​

<뉴턴의 방법> https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=dydr

ogud22&logNo=110190167873 만약 f(x)=ax²+bx+c의 꼴이면 쉽게 구할 수 있다. 그러나 f(x)=co

s x+x와 같은 함수의 근을 찾으려면 바로 근을 찾는 유용한 공식은 없다.​​일반적으로 방정식 f(x)=

0의 근사근을 찾고자 한다면, 먼저 근의 적당한 위치를 추정하여 이것을 처음값(initial guess)이

라 하고 보통 x0으로 나타낸다. ​x=x0에서 y=f(x)에 대한 접선은 원래 곡선에 근사하므로 이 접선

이 x축과 만나는 점을 찾는다.

- 320 -

이 점은 x0보다 구하는 근에 ​ 더 가까운 점이다. x=x0에서 y=f(x)에 대한 접선의 방정식은 x=x0

에서의 다음 선형근사식이다.

                                                          

                         

​이 과정을 뉴턴의 방법(Newton's method)이라 한다.​​뉴턴의 방법은 함수/방정식 f(x) = 0 의 근삿

값을 구하는 정확하고 빠른 방법 중 하나이다.

◩ 열린 문제 2주어진 구간에서 미분가능한 방정식을 골라서, 개형을 그리고, 각 해의 근처의 한

점에서 시작하여 위에 소개한 뉴턴의 방법(Newton’s method)의 코드를 이용하여 그 방정식의 모

든 근을 찾아보시오.방정식 x^3-3*x^2+2 그래프 개형

f(x) = x^3-3*x^2+2

show (plot(f(x), (-1.5,3.5)))

위 그래프를 살펴보면 x= -1, 1, 3 근처에서 근을 가집니다.교재에 나와있는 명령어를 통해 방

정식의 근삿값을 구해보았습니다.

- 321 -

x1 = 3.000  # x₁= 3에서 시작하면 다음과 같다

x2 = 2.77777778 

x3 = 2.73375661 

x4 = 2.73205332 

x5 = 2.73205081 

답 : 근삿값 x₁= 2.73205

x1 = -1.000 # x₂= -1에서 시작하면 다음과 같다

x2 = -0.77777778 

x3 = -0.73375661 

x4 = -0.73205332 

x5 = -0.73205081 

답 : 근삿값 x₂= -0.73205

x1 = 1.000 # x₃= 1에서 시작하면 다음과 같다답 : 근삿값 x₃= 1

[뉴턴의 방법 Code]

f(x) = x^3-3*x^2+2                     # 해를 구하고자 하는 방정식

show (plot(f(x), (-1.5,3.5)))           # 방정식의 개형

df(x) = diff(f(x), x)

x1 = 3;                                         # 시작점 x₁ = 3

k = 1

print('x%d = %.3f' % (k, x1))

while abs(f(x1)) > 1e-10:

      x1 = x1 - f(x1)/df(x1)

      k = k + 1

      print ('x%d = %.8f' %(k, x1))

print ()

- 322 -

x2 = -1;                                        # 시작점 x₂ = -1

k = 1

print('x%d = %.3f' % (k, x2))

while abs(f(x2)) > 1e-10:

      x2 = x2 - f(x2)/df(x2)

      k = k + 1

      print ('x%d = %.8f' %(k, x2))

print ()

x3 = 1;                                         # 시작점 x₃ = 1

k = 1

print('x%d = %.3f' % (k, x3))

while abs(f(x3)) > 1e-10:

      x3 = x3 - f(x3)/df(x3)

      k = k + 1

      print ('x%d = %.8f' %(k, x3))뉴턴의 방법 (Newton's method) 을 통해 해를 구하기 어

려운 함수/방정식의 근사값을 쉽게 구할 수 있다는 것을 알 수 있었습니다.

Coment

선형근사를 통해 뉴턴의 방법 고안 되었으며, 뉴턴의 방법을 통해 근사값과 오차를 구할 수 있음

을 이해했습니다.

final-[HW W10] 손혜원, 이주한, 김지수, 이혜인, 천혜준 함수의 극대, 

극소

작성자 : 손혜원(2022####75)작성일 : 4월 25일 오후 2:52

조회수 : 24

안녕하세요. 소재부품융합공학과 손혜원입니다.10주차에는 함수의 극대, 극소(최대, 최소)를 

구하는 방법에 대해 학습할 예정으로 예습한 내용을 정리해보았습니다.

먼저 도함수에 관한 내용을 정리하자면, 도함수는 원함수의 접선의 기울기이므로 아래 내용으

로 정리할 수 있습니다.

함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 개구간 (a,b)에서 미분가능할 때, 

 1. 구간 (a,b)내의 모든점에서 f'(x)>0이면, f는 [a,b]에서 증가한다.  

2. 구간 (a,b)내의 모든점에서 f'(x)<0이면, f는 [a,b]에서 감소한다.

이를 이용하여 2계 도함수에 대해 정리하면 , 2계 도함수는 1계 도함수의 도함수이므로 1계 

도함수의 기울기이고  f''(c)>0이면 f'는 x=c의 근방에서 증가함을 알 수 있습니다.

이를 정리하면 아래의 내용이 됩니다.

- 323 -

함수 f가 점 c를 포함하는 적당한 개구간 I에서 미분가능하고 f''(c)가 존재할 때, 

 1. f''(c)>0이면, 곡선 f는 점 (c,f(c))에서 아래로 볼록하다. 

2.  f''(c)<0이면, 곡선 f는 점 (c,f(c))에서 위로 볼록하다.

이 두 가지 정리를 이용하면 함수의 극대, 극소, 최대, 최소를 판단할 수 있습니다. 

함수 f가 정의역 내의 한 점 c에서 f'과 f''을 가지며, f'(c)=0일 때,  

1. f''(c)>0이면, f(c)는 함수 f의 극댓값이다. 

 2. f''(c)<0이면, f(c)는 함수 f의 극솟값이다.

이 성질을 활용하여 극값들을 구한 후 임계점에서의 함숫값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 

비교하면 폐구간에서 연속인 함수 f의 최댓값과 최솟값을  구할 수 있습니다.

추가로 임계점에 대한 내용도 정리해보았습니다.

극값은 f'(c)=0이거나 f'(c)가 존재하지 않는 점 x=c에서 생기는 것을 알 수 있습니다.

여기서 함수의 미분계수가 0이거나 존재하지 않는 점을 함수의 임계점이라고 합니다.

이는 Fermat의 임계점 정리에 해당하는 내용으로 정리하면'함수 f가 개구간 (a,b)에서 연속이

고 x=c가 (a,b)에 존재할 때 x=c에서 극값을 갖는다면, f'(c)=0이거나 f'(c)가 존재하지 않는다

' 라고 정리할 수 있습니다.이상입니다.

Final Comment

1. f''(c)>0이면, 곡선 f는 점 (c,f(c))에서 아래로 볼록하다

2. f''(c)<0이면, 곡선 f는 점 (c,f(c))에서 위로 볼록하다.

1계도함수는 극값, 2계도함수를 이용하여 변곡점을 쉽게 확인할 수 있었습니다!!

[HW W10] 전형준 이주한 삼각함수의 극대와 극소

작성자 : 전형준(2022####82)작성일 : 4월 25일 오후 4:10

조회수 : 32

안녕하세요, 소재부품융합공학과 전형준입니다.이번 강의를 통해 함수의 극댓값과 극솟값을 

구하는 방법을 알 수 있었습니다.다항식의 극값은 구하는 방법을 알았기에 삼각함수의 극값을 

구하다 막혀서 문의올립니다.f(x)=sin(x^2+1) - sqrt(x+1) +1 일 때, [-2,3] 극댓값과 극솟

값을 구해보겠습니다.f(x)=sin(x^2+1) - sqrt(x+1) +1

p1= plot(f(x), (x,-3,3))

- 324 -

df(x) = diff(f(x),x)

d2f(x)=diff(f(x),x,2)

x1=solve(df(x)==0 ,x)   # 임계점 [x == 1/4/(sqrt(x + 1)*cos(x^2 + 1))]

x2=solve(d2f(x)==0,x)   # 변곡점 [x^2 == 1/16*(8*(x + 1)^(3/2)*cos(x^2 + 1) + 1)/((x + 

1)^(3/2)*sin(x^2 + 1))]

g(x)=1/4/(sqrt(x + 1)*cos(x^2 + 1))

p2=plot(g(x),(x,-7,7))

p1

# 임계점 [x == 1/4/(sqrt(x + 1)*cos(x^2 + 1))]# 변곡점 [x^2 == 1/16*(8*(x + 1)^(3/2)*

cos(x^2 + 1) + 1)/((x + 1)^(3/2)*sin(x^2 + 1))]극댓값을 구하기 위해서는 임계점을 알아야 

했고 해당 값을 구하기 위해서 함수를 f'(x)= 0이 되는 값을 구해보았습니다.# 임계점 [x == 1

/4/(sqrt(x + 1)*cos(x^2 + 1))]임계점에서도 아직 미지수가 남아있어서 해당 값을 구하기 힘

들 것 같았는데 해당 값을 함수에 넣어보았습니다.

임계점함수 g(x)=-1/2*sqrt(1/(sqrt(x + 1)*cos(x^2 + 1)) + 4) + sin(1/16/((x + 1)*cos(x^2 + 1)^

- 325 -

2) + 1) + 1 이라는 답이 나왔고 삼각함수라 정확한 임계점을 구하는 것은 어려워보입니다.

문제에서 구하는 범위가 [-2,3] 이였기 때문에 구할 수 있는 방법을 찾다가 그래프를 이용하기로 하

였습니다.

여기서, x<-1 인 경우에는 허수가 나오기 때문에 그래프로 표현하지 못하는 것 같았고 실제로 x=-2

를 대입해보면 sin(5) - I + 1 이라는 답을 볼 수 있었습니다.

허수는 실수의 그래프에서 표현하기 힘든 것 같습니다.그래서 허수부분은 제외하고 그래프를 확인해

보면 최댓값은 [-1], 최솟값은 [2] 인 것 같지만 해당값을 그래프에서 정확하게 알 수가 없습니다. 

해당 함수의 그래프 [-2,3]에서 정확한 극값을 구하는 방법이 있을까요 ?

2. 삼각함수 극대/극소 실습

이주한학우의 그래프를 참고하면 한 눈에 파악이 가능합니다.

실수는 허수와 같이 그래프에 나타내기 어렵기 때문에 허수를 다루는 알고리즘을 따로 짜서 

허수의 그래프로 나타내야 합니다.f(x)=sin(x^2+1) - sqrt(x+1) +1 함수에서 [-2,3]의 극값을 

구하기 위해서는 해당 구간에서 해당 함수를 미분하여 0이되는 점을 찾으면 구할수 있을 것으

로 보입니다.감사합니다.

- 326 -

Final Comment

1. 극대값과 극소값은 여러 구간이 존재한다. 

2. 극대값이 극소값 항상 큰 것은 아니다. 

삼각함수는 극대값과 극소값은 여러 구간이 존재하기때문에 구간을 정해주고 그 

구간에서 극대점, 극소점, 변곡점을 알 수 있습니다.

[Final OK by TA] Final [HW W10] [Open Problem] 노태완, 이주한, 

박경현, 이혜인, 윤관수, 박준수, 김용철, 천혜준 함수의 임계점 정리

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 4월 26일 오전 8:55

조회수 : 30

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.10주차 함수의 임계점을 

이용하여 최대,최소를 구하고 실습한 내용을 공유하도록 하겠습니다.(1)  

f(x) = 6*x^3-9*x+1



- 327 -

final 이주한, 조현준, 신종호, 윤관수 [HW 10W] 정적분(definite integr

al)과 리만합(Riemann sum) 실습

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 27일 오후 4:11

조회수 : 24

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다. 금주 학습할 정적분과 리만합에 대한 차이점

을 정리 후 실습해보았습니다.

학습간 리만합과 정적분은 같은 의미라는 것을 알게되었으며, 리만합 공식을 보면서 정적분이 

어떤 방식으로 계산되어 정의가 되는지 알 수 있었습니다.

※ 실습 예제

: 코드를 활용해서 리만합(n=100)과 정적분에 대해서 해를 비교해보았습니다.    n = oo 로 

가까워질때 

1/32*pi^3으로 동일한 값을 가지는 것을 확인했습니다. 

[참고교재] SINGLE VARIABLE CALCULUS

1. 리만합공식이용 - 100분할

var ('x')

f(x) = (2*pi)*(pi/2-x)*(sin(x)^2-sin(x)^4)

a, b = 0, pi/2; n = 100

h = (b - a)/n; s = 0

for k in range(n): s += f(a + (k + 1)*h)*h

p1 = plot (sin(x)^2, (x, 0, pi), fill = True, color = "red")

p2 = plot (sin(x)^4, (x, 0, pi), color = "red")

show(p1+p2)

- 328 -

print (s)

^

2. 정적분을 활용하여 계산  (= 리만합 n값이 무한대로 가까워질때)

var('x')

f(x) = (2*pi)*(pi/2-x)*(sin(x)^2-sin(x)^4)

integral ( f(x), x, 0, pi/2 ) # integral(f(x), x, a, b)

1/32*pi^3

Final Comment

: 리만의 합에서 n이 무한대로 가까워 질때를 개념화 한 것이 정적분임을 이해하

였고, 실습을 통해 회전체의 넓이도 구할 수 있었습니다. 

final [HW W10] 박준수 이상 적분 예습 박준수,이주한,김용철,신종호,노

태완,김지수,전형준,박경현

작성자 : 박준수(2022####73)작성일 : 4월 27일 오후 4:55

조회수 : 28

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준수 입니다.

11주차 이상 적분에 대해 예습하고, 예제문제 실습 해보았습니다.

- 329 -

(x) = x*exp(x)b = -10plot(f(x), (x, b, 0), fill = True)

- 330 -

예제11의 이상적분을 계산하면 다음과 같다.f(x) = x*exp(x)

b = -10

plot(f(x), (x, b, 0), fill = True)

integral(f(x), x, b, 0).n(digits = 6)

var('t')

F(t) = integral(f(x), x, t, 0)

limit(F(t), t = -oo)



이전

다음

7개의 댓글

이주한(2022####78)4월 28일 오후 2:51

이상적분을 학습하면서 적분도 동일하게 극한값의 존재 유/무에 따라 수렴/발산한다는 것을 

이해하였습니다.

김용철(2022####66)4월 28일 오후 3:05

이상적분의 개념을 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

신종호(2022####76)4월 28일 오후 3:16

적분 개념 다시 한번 복습하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

노태완(2022####71)4월 28일 오후 3:17

이상적분 그래프를 눈으로 확인가능하였습니다.

김지수(2022####68)4월 28일 오후 3:22

이상적분 개념을 다시 복습하는데 도움이 되었습니다.

전형준(2022####82)4월 28일 오후 5:35

이상적분에 대한 내용을 다시 한번 이해할수있었습니다

박경현(2022####72)4월 28일 오후 6:41

이상적분 개념을 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

Final by 천혜준, 노태완, 이주한, 조현준, 김용철, 신종호, 윤관수, 김지

- 331 -

수, 박경현 [HW W10] 백승준, 박준수 이상 적분 예습 - 대학교에 들어

와서 처음 배우는 이상적분에 대해서 쉽게 결과를 도출할 수 있는 것을 

확인했습니다!

작성자 : 백승준(2022####74)작성일 : 4월 27일 오후 5:16

조회수 : 49

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 백승준입니다.저도 이상적분에 대해 실습했습니다.■ 

이상적분 (improper integral)

- 332 -



§ Sage 실습[Sage code 이상적분]

f(x) = 1/(3*x+1)^2

print(integral (f(x), x, 1, oo))

plot(f(x), (x,-10,10), ymin=0, ymax=20)

- 333 -

1) 

아래 극한이 유한한 값으로 

존재하면 다음과 같이 정의한다. 

(2) 

위 극한이 유한한 값으로 

존재하면 다음과 같이 정의한다. 

(3) 

 가 모두 유한한 값을 가지면, 다음과 같이 

정의한다.   

Final Comment 

 기존에 학습했던 정적분을 통해 구할 수 없는 이상적분의 개념에 대해서 이해하였고, 

아래 과정을 통해 발산하는 함수에 대해서도 적분이 가능함을 알 수 있었습니다. 

- 334 -

[Final OK by TA] Finalize [HW W10] 윤관수 조현준 천혜준 노태완 

이주한 박준수 신종호 김지수 역도함수와 부정적분 예습

작성자 : 김용철(2022####66)작성일 : 4월 27일 오후 5:47

조회수 : 45

안녕하세요. 소재부품융합공학과 김용철입니다.11주차 정적분 예제 문제 sage 실습 후 추가합

니다.

sage : integral ( x^4 - 2*x^2 + 

4, x, -2, 3 )답 : 155/3

sage : integral ( cos(x)*sin

(x), x, -pi/2, pi/2 )답 : 0[HW W10] 윤관수 역도함수와 부정적분 예습

작성자 : 윤관수(2022####77)작성일 : 4월 27일 오후 4:50

조회수 : 7

안녕하세요 윤관수 입니다.11주차 역도함수와 부정 적분에 대해 예습하였고 예제 문제를 Sag

e 프로그램을 통해 실습 하였습니다.

- 335 -

답 : x^4 - 1/2*log(x)^2 + 4*sin(x) 

+ C (적분상수)

g(x) = 4*cos(x)+(4*x^4-log(x))/x

integral (g(x),x)

- 336 -

답 : 20*arctan(x) + e^x -3f(x) = exp(x) + 20*(1 + x^2)^(-1)

print ( integral(f(x), x))

var ('C')

F(x) = 20*arctan(x) + e^x + C

solve (F(0) == -2, C)sage 프로그램을 이용하여 쉽게 풀 수 있었습니다.

Final Comment

다양한 정적분 예제를 통해 다항식의 함수뿐만아니라 역함수, 쌍곡선함수 등 다양

한 함수들에 대해서도 정적분이 가능하다는 것을 확인하고, 학습하였습니다.

final 이주한, 박경현 [프랙탈(Fractal) 도형이란?] [모든 점에서 연속이지

만 모든 점에서 미분불가능한 함수의 예] Weierstrass function.

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 28일 오후 3:40

조회수 : 31

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다. "프렉탈" 이라는 단어가 생소하여 

찾아본 내용 공유드립니다. 프랙탈(Fractal)은 카오스에 내재한 질서 구조이자 그

것을 묘사할 수 있는 언어라고 할 수 있으며, 카오스가 복잡하면서도 그 속에 하

나의 질서를 지니는 것은 프랙탈이 있기 때문이다.

 프랙탈은 고사리처럼 부분이 전체를 닮은 모양을 하고 있으면서(자기 유사성), 이

런 닮는 과정을 끊임없이 반복하는(순환성) 특징을 지니고 있프랙탈을 크게 두 가

지로 나눌 수 있다. 하나는 자신의 모양을 몇 단계에 걸쳐서 재귀적(再歸的)으로 

수학적 규칙에 따라 축소시키고 회전시켜 만들어지는 결정형 프랙탈이고,다른 하

나는 형상의 일부분을 계속 확대할 때 전체 모습과 통계적으로 유사한 형상을 갖

는 비결정형 프랙탈이다.

프랙탈 도형에서는 어떤 복잡한 곡선도 아주 작은 부분은 직선에 근사하므로 미분

할 수 없는 곡선을 다루는 기하학이며, 컴퓨터 그래픽에서는 프랙탈 기법을 도입

하여 실물에 매우 가까운 도형을 그릴 수 있게 되었다.

[출처 : fractal ART]http://www.afractal.com/fractal.htm

[출처 : 한국일보] - 스토리텔링 수학속으로(프렉탈 도형과 몸)https://www.han

kookilbo.com/News/Read/201209171217321905

[출처 : 무의식 TV(네버랜드 크리스탈)] - 프렉탈 원리(자기 유사성)

- 337 -

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=yk

pass&logNo=221200833932[결정형 프렉탈]

[비결정 프렉탈]

- 338 -

[모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분불가능한 함수의 예] Weierstr

ass function.

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 4월 25일 오후 4:54

조회수 : 25

[모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분불가능한 함수의 예]Question 

+ Answer for GDM (김정빈)- is there continuous in all range, but 

not differentiable in all range?

Count : 8

In our intuition, we can't easily think of a function that's continuous in 

all range, but not differentiable in all range.But, by googling, I found th

e function Weierstrass function. [모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분불

가능한 함수의 예] 

- 339 -

Weierstrass function - WikipediaIt is kind of fractal, and it also have a self- simila

rity.(That's also why this function is continuous in all range, but not differentiable 

in all range?)Interesting!

이상구(LEE SANGGU)April 24, 10:48 PM

Good question and nice answer^^ That's the way to go furthur. Great. 미분가능성 

이 대한 좋은 observation 이었습니다.

이주한(2022####78)4월 27일 오후 4:36

교수님, Weierstrass function을 리만합공식을 이용해서 적분 근사치를 구할 수 있나요?

이상구(LEE SANGGU)4월 27일 오후 11:13

주어진 구간에서 대략의 근사값을 구하지 못할 이유는 없습니다, 즉 상한과 하

한 구하는 것은 물론 가능합니다. 그러나 ... 원 함수에 대하여는 프랙탈 이라 

...면적... 오차를 원하는 정도로 작게 줄이는 것은 쉽지 않을 것 같기는 하지

만, 한 방법은 있습니다. 먼저 주어진 폐구간에서 연속함수 이므로, 아주 근사

한 다항식으로 approximate 할수 있습니다. 와이어스트라스 근사 다항식을 구

합니다. 따라서 그 다항식의 적분은 물론 가능합니다. 따라서, anti derivative 

가 존재하고, 적분가능하고, 따라서 면적도 근사값을 구할수 있습니다. 좀더 자

세한 답은 아래에서 찾으시면 됩니다. https://math.stackexchange.com/qu

- 340 -

estions/829911/what-does-the-antiderivative-of-a-continuous-but-now

here-differentiable-function

이주한(2022####78)4월 28일 오후 2:20

이해했습니다 .^^ 많은 도움되었습니다. 감사합니다.

Final Comment / Q&A

이주한(2022####78)4월 27일 오후 4:36

교수님, Weierstrass function을 리만합공식을 이용해서 적분 근사치를 구할 수 

있나요?

이상구(LEE SANGGU)4월 27일 오후 11:13

주어진 구간에서 대략의 근사값을 구하지 못할 이유는 없습니다, 즉 상한과 하한 

구하는 것은 물론 가능합니다. 그러나 ... 원 함수에 대하여는 프랙탈 이라 ...면

적... 오차를 원하는 정도로 작게 줄이는 것은 쉽지 않을 것 같기는 하지만, 한 방

법은 있습니다. 먼저 주어진 폐구간에서 연속함수 이므로, 아주 근사한 다항식으

로 approximate 할수 있습니다. 와이어스트라스 근사 다항식을 구합니다. 따라서 

그 다항식의 적분은 물론 가능합니다. 따라서, anti derivative 가 존재하고, 적분

가능하고, 따라서 면적도 근사값을 구할수 있습니다. 좀더 자세한 답은 아래에서 

찾으시면 됩니다. https://math.stackexchange.com/questions/829911/what-

does-the-antiderivative-of-a-continuous-but-nowhere-differentiable-funct

ion

- 341 -

Final OK by TA ^^ [Finalize] 손혜원, 노태완, 이주한, 전형준 A Stud

y on Textbooks and Languages Used in College Mathematics Edu

cation / 미적분의 쓸모는?

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 28일 오후 3:43

조회수 : 39

A Study on Textbooks and Languages Used in College Mathemati

cs Education / 미적분의 쓸모는?

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 4월 22일 오전 10:49

조회수 : 50

대학수학교육에서의 교과서 및 사용 언어에 관한 연구

A Study on Textbooks and Languages Used in College Mathematics Education

https://www.kci.go.kr/kciportal/ci/sereArticleSearch/ciSereArtiView.kci?sereArticleSe

archBean.artiId=ART002827418

수학교육 논문집

2022, vol.36, no.1, 통권 89호 pp. 73-88 (16 pages)

발행기관 : 한국수학교육학회20220421_114348.jpg

미적분의 쓸모는 어디까지일까?[이기진 교수의 만만한 

과학]

동아일보

입력 2022-04-22 03:00:00

https://www.donga.com/news/Opinion/article/all/20220421/113018220/1누구나 “이거

다!” 하는 때가 있다. 소설가는 한 인간의 서사를 들을 때, 시인은 이제껏 존재하지 않던 은유

가 떠오를 때, 사진가는 빛이 만드는 공간을 볼 때, 정치인은 역사적 소명을 마주할 때가 바

로 그때일 것이다. 물리학자인 나에게도 기억에 남는 장면이 있다.

고등학교 때 친구 집에 놀러 가서 친구 형님의 책상을 보게 되었다. 책상 위엔 종이가 어지럽

게 널려 있었다. 그 종이 위엔 지우개로 지워 가며 연필로 푼 미적분 문제들로 가득했다. 친

구의 형은 한 회사의 사장이었다. 퇴근하고 미적분을 푸는 게 취미라고 했다. 그 이야기를 듣

는데 그렇게 멋있을 수가 없었다. 퇴근하고 밤늦게 책상에 앉아 어려운 미적분 문제를 푸는 

게 취미라니. 그 친구의 형을 직접 만나 보지는 못했지만, 그날 이후 나도 그런 멋진 사람이 

되길 꿈꿨고, 수학을 좋아하게 되었으며, 그 멋짐을 내 삶의 가장 아름다운 가치로 생각하게 

되었다.

- 342 -

 우리 삶은 끊임없는 움직임 속에 있다. 나 자신도, 우리가 바라보는 세상도 움직인다. 이런 

변화엔 물리적 규칙성이 있다. 매일 아침 해가 뜨고, 태양과 지구는 자신만의 규칙적인 운동

을 통해 계절을 만들어낸다. 그렇다. 우리는 수학적 규칙을 따르는 질서정연한 태양계에 살고 

있다. 이런 움직임을 간단명료하게 설명하는 수학이 바로 미적분학이다. 미적분을 발견한 뉴턴

은 이를 토대로 해서 우주의 작동 원리를 만유인력의 법칙으로 설명했다. 만약 미적분학이라

는 수학이 없었다면 우리는 세상을 어떻게 설명할 수 있었을까?

얼마 전 블랙홀을 연구하던 제자가 학교에 와서 후배들과 함께 세미나를 했다. 그는 블랙홀 

연구로 박사학위를 따고 난 다음 유명 포털 회사에 취직한 상태였다. 아인슈타인의 상대성이

론을 이용해 블랙홀을 연구하다가 세상의 온갖 데이터를 연구하는 데이터 과학자로 변신한 것

이다. 그는 인공지능(AI) 컴퓨터 시스템을 응용해 데이터를 분석하는 프로그램을 개발하고 있

다고 얘기했다.

블랙홀 연구에 사용하는 수학적 방법과 포털 사이트의 수많은 데이터를 분석하는 수학적 방법

은 유사하다. 데이터 과학자들은 블랙홀을 설명하는 운동 방정식을 이용해 포털이 만들어내는 

복잡한 데이터를 분석한 후 원하는 정보를 얻어낸다. 물리학이 실험과 이론을 수학으로 연결

시켰다면, 데이터 과학은 컴퓨터가 이해할 수 있는 코딩 언어와 정보를 수학으로 연결시킨다. 

공통점은 수학이라는 언어다. 다루는 문제가 복잡하고 클수록, 복잡한 문제를 잘게 쪼개서 단

순하게 바꾸는 미적분학은 문제를 푸는 과정에서 큰 위력을 과시한다.

모든 것이 전산화되고 자동화되면서 세상이 빠르게 변하고 있다. 시공간의 제약을 없애주는 

플랫폼 메타버스, 인간의 지능의 한계를 없애주는 인공지능, 중앙집권화를 없애주는 블록체인 

등 우리가 아는 세상의 개념이 이진법의 세상으로 빅뱅처럼 확장되고 있다. 내 인생을 바꾼 

미적분학은 구석구석에 스며들어 변화를 이끄는 중이다.(파일 다운로드) 

이상구(LEE SANGGU)4월 23일 오후 7:29

The_rise_of_calculus https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_

calculus/ 미적분학의 역사

손혜원(2022####75)4월 24일 오전 11:22

교수님이 올려주신 논문인 "대학수학교육에서의 교과서 및 사용 언어에 관한 연구" 를 읽고 

느낀 점입니다. 저는 "수학을 한다는 것은 수학적으로 사고한다는 것을 의미한다. 대부분 국가

의 초·중등학교 수학교육에서는 교과서와 교수 언어 및 평가가 대부분 자국어로 이루어지므로, 

수학을 읽고, 쓰고, 듣고, 말하면서 수학교육이 이루어진다. 즉 다양한 맥락과 연관된 인쇄 및 

필기 자료를 활용하여 수학적 교수학습 내용을 이해하고, 해석하고, 만들어내고, 소통하고, 계

산하는 능력을 키운다. 수학 선진국의 경우, 대부분 자국어로 쓰인 우수한 대학 학부 수학교

재를 가지고 있다. 그러나 우리나라의 경우, 수학과 전공교재로 외국산 수입 교재 또는 번역

서를 사용하는 비율이 높은 편이다. 본 연구에서는 프랑스 부르바키의 사례에서 보듯이, 양질

의 자국어 대학수학 교재의 중요성과대학수학교육에서 사용하는 언어가 국가 수학 경쟁력에 

미치는 영향에 관하여 연구하였다" 란 부분이 인상적이었습니다. 뒤늦게 대학에 입학해 여러가

지 과목을 배우면서 여러 교재를 이용하고 있습니다. 그런 와중에 느낀 점이 몇몇 과목은 단

순 번역서의 느낌이 강하게 든다는 것이었습니다. 관련된 문제를 풀어볼 때도 실제론 어렵지 

않은 내용이지만 문제가 말하는 바를 파악하는 것이 더 어렵다고 생각할 정도로 대충 번역된 

- 343 -

부분들이 있어 그를 파악하면서 오히려 교수님께서 설명해주신 내용이 미궁에 빠지는 느낌을 

적잖이 받기도 했습니다. (그러나 우리가 배우는 <미적분학 1 with SageMath> 는 정말 한번

만 읽고 직접 따라 해 보면, 그 의미와 내용이 바로 이해가 되었습니다.) 이런 과정을 겪으며 

왜 대부분의 대학에서는 번역서를 이용해 수업을 하는 것인지 의문이 들었습니다. 제가 만약 

영어를 잘한다면 그냥 원서로 공부하는 것이 나을 것 같다는 생각도 했습니다. 그런 와중에 

관련된 논문을 올려주셔서 매우 공감되었습니다. 그러면서도 논문이 쓰여졌다면 문제를 인식

한 사람이 있다는 것이므로 다음 세대가 대학교육을 받을 때는 한글로 된 교재로 수업하는 일

이 흔한 일이 될 수도 있겠다는 기대를 하게 되었습니다. 좋은 논문을 (직접 써 주시고, 또) 

공유해주셔서 감사합니다.^^

노태완(2022####71)4월 24일 오후 1:17

교수님의 올려주신 미적분학의 역사를 읽고 느낀점입니다. 기원전부터 이어져 온 미적분학은 

16세기에 본격적으로 진전이 이루어졌다는 사실을 알게되었습니다. 여러 수학자들과 더불어 

뉴턴과 라이프니츠 각자의 미적분학의 접근방법들을 학립시켜 17세기를 지나 18 19세기 그리

고 현대에까지 사용되는 미적분학의 역사를 알 수 있었습니다.

이상구(LEE SANGGU)4월 24일 오후 3:48

질문. 왜 대부분의 대학에서는 ... 대학교재를 ... 원서나 번역서를 이용해 수업을 하는 것인지 

의문이 들었습니다. 답. 우리가 창조한 지식이 아닌 경우, 용어와 설명이 그 나라 말로 새롭기 

창조된 것이기 때문에, ... 다른 나라 말로 설명하면서 정확히 전달이 안되는 경우가 많기 때

문입니다. 특히 새로 만들어진 외국 용어는 그 의미를 정확히 전달하는 해당나라 (우리나라 

포함) 용어가 아직 정립이 안 된 경우가 많습니다. 다른 모든 수학선진국들도 ... 온 세계의 

수학적 발견과 기여를 학습하면서 발전하는 과정에서) 이런 과도기를 성실하게 거쳐서 ... 그 

용어와 개념이 ... 온전히 자신의 나라의 언어로 모두가 쉽게 이해하는 단계에 도달한 후에 ... 

그 이해를 바탕으로 ... 새로운 창조를 통하여 ... 기존의 리딩 국가를 따라 잡은 것입니다. 수

학의 경우 미국이 200년 전 ... 100년 까지도 (프랑스, 독일, 영국으로 부터 무시받던 ) 수학 

후진국이었습니다. 그런 미국이 ... 프랑스 수학, 독일 수학, 러시아 수학 등을 ... 이해하기 위

하여 ... 자신의 언어 (영어) 쉽고 다양하게 번역하여 ... 책을 쓰고 가르치고 ... 배운 사람이 

... 다시 더 싶고 명확하게 고쳐서 설명하는 충분한 과정을 거쳐 ... 프랑스와 독일 수학 및 다

른 경쟁하던 나라를 20세기 말에 대부분 넘어서고, 그런 수학 경쟁력을 바탕으로 ... 산업, 경

제, 군사력에서 21세기 초 세계 최강대국 자리를 차지한 것이랍니다.

이주한(2022####78)4월 25일 오전 9:35

데이터 과학은 컴퓨터가 이해할 수 있는 코딩 언어와 정보를 수학으로 연결시킨다. 공통점은 

수학이라는 언어다. 다루는 문제가 복잡하고 클수록, 복잡한 문제를 잘게 쪼개서 단순하게 바

꾸는 미적분학은 문제를 푸는 과정에서 큰 위력을 과시한다. 저희가 배우고 있는 것이 중,고

등학교때 배웠던 일반적인 수학이 아니라 앞으로 나라의 발전에 기여를 할 수 있는 수학이라

는 것을 느꼈습니다. 좋은 글 감사합니다.

전형준(2022####82)4월 25일 오전 11:43

우리가 배우는 수학은 어느 곳이나 살펴보면 있는 것이지 않을까 싶습니다. 과거를 통해 그것

을 알 수 있고 미래에는 이 보다 더욱 큰 영향력을 줄 수 있겠다는 생각이 듭니다. 현대과학

은 엄청나게 발전되어있고 복잡하기까지 합니다. 여러가지의 학문들이 융합되어 있고 그것을 

- 344 -

이해하는 것은 무리가 될 수 있습니다. 하지만, 대부분의 공학의 기초는 수학이라고 생각하고 

수학을 잘해야 다른 분야도 쉽게 다가갈 수 있다고 생각합니다. 좋은 글을 통해 현대에서도 

수학의 중요성을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

이전

다음

1개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)5월 5일 오전 5:34

이런 글에도 ... 관련된 ...자신의 추가 정보나 의견 달고 PBL 보고서에 추가 하세요. 여러분

이 배우는 것은 지식만이 아니라 TREND 를 보는 시야와 classmate 등 신뢰할만한 possible 

co-worker pool 을 얻는 것입니다. ^^

Final Comment

데이터 과학은 컴퓨터가 이해할 수 있는 코딩 언어와 정보를 수학으로 연결시킨

다. 공통점은 수학이라는 언어다. 다루는 문제가 복잡하고 클수록, 복잡한 문제를 

잘게 쪼개서 단순하게 바꾸는 미적분학은 문제를 푸는 과정에서 큰 위력을 과시한

다. 저희가 배우고 있는 것이 중,고등학교때 배웠던 일반적인 수학이 아니라 앞으

로 나라의 발전에 기여를 할 수 있는 수학이라는 것을 느꼈습니다. 좋은 글 감사

합니다.

final 임경섭, 이주한, 천혜준, 노태완, 김재영, 노영규, 윤관수 [HW W1

1] [열린문제1] 적분의 응용

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 2일 오후 2:34

조회수 : 39

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

금주 학습할 내용 3가지 적분의 응용(넓이, 부피, length) 극좌표(Polar coordinate), 극방정식(Po

lar Equation) 중 회전체 부피 계산에 관련된 적분의 응용 내용 공유드립니다.

요약하자면 , 회전체의 부피를 구하는 것은 원판법이라고도 부르며 평행축에 수직인 방향으로 자

르기 쉬운 경우에 사용하는 방법입니다.  

저는 원통껍질 방법을 이용하여 회전체의 부피를 구해보았습니다. 

간단히 V = 원주 * 높이 * 두께이며 , 이는 

 로 표현이 될 수 있다. 

- 345 -

y = sqrt(2*x^2 

- x^3)^3 과 y=0으로 둘러싸인 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 

구하라.



---

- 346 -

Final Comment

학습간 기존에 정적분을 이용하여  회전체에 대해 부피를 구하는 것은 2*pi 

추가되는 외는 큰차이가 없으며 이전에 학습한 2차원 평면 면적뿐만 아니라 

3차원 회전체에 대해서도 정적분을 활용하여 쉽게 부피를 구할 수 있었습니

다. 열린문제를 학습하면서 무리수 함수 회전체를 그리고 이해하며,  정적분

을 활용하여 쉽게 부피을 구할 수 있었습니다. 

[HW W11] 임경섭 적분의 응용.

작성자 : 임경섭(2022####81)작성일 : 5월 1일 오후 9:56

조회수 : 15

 소재부품융합공학과 임경섭입니다. 11주차 적분의 응용을 통해 넓이와 

부피(Volume)을 구하는것에 대하여 학습하였습니다. 

- 347 -

[Sage 코딩]f(x) = e^xg(x) = 1/2*xplot (f(x), (x, 0, 2)) + plot(g(x), (x, 

0, 2), color = 'red')#그래프 확인

f(x) = e^xg(x) = 1/2*xintegral (g(x) - f(x), x, 0, 1)

- 348 -

# 그래프 그리기var ('t')f(t) = t^3 + 1; g(t) = 2*t - t^2parametric_pl

ot ( (f(t), g(t)), (t, -2, 3) )

var ('t')f(t) = t^3 + 1; g(t) = 2*t - t^2df(t) = diff(f(t), t)integral ( g

(t)*df(t), t, 0, 2 ) 

- 349 -

 

12.2 회전체(입체)의 부피(Volume)

[Sage 코딩]var ('x')f(x) = e^xintegral ( pi*f(x)^2, x, 1, 2 )

- 350 -

- 351 -

[Sage 코딩]

var ('x')f(x) = -x + 2*sin(x)revolution_plot3d (f(x), (x, 0, pi/3), 

show_curve = True, opacity = 0.6, parallel_axis = 'z')# y축을 중심

으로 회전시킬 때는 parallel_axis = 'z'를 입력한다. (3차원 그래프로 인

식)

따라서 원통껍질을 이용하여 회전체의 부피를 구하면 다음과 같다. f(x) 

= -x + 2*sin(x)integral (2*pi*x*f(x), x, 0, pi/3) 

- 352 -

지난주 학습한 정적분을 이용해 넓이와 회전체의 부피를 구하는것을 학습하였습니다. 특히 매개변

수 정적분의 넓이를 구하는 공식에서 정적분을 t에대해서 치환을 할 때, 하한(아래끝)과 상한(위끝) 

a와 b가 알파, 베타로 바뀌는게 공식으로만  확인했을때 정확히 이해가 되지 않았는데, 예제 문제

를 통해서 하한, 상한의 값을 구하는것을 확인하고 이해해서 좋았습니다.

final_ 박경현, 이주한, 윤관수 [HW W11] 윤관수 곡선의 길이, 곡면의 

넓이

작성자 : 윤관수(2022####77)작성일 : 5월 2일 오후 4:19

조회수 : 27

안녕하세요 소재부품융합공학과 윤관수 입니다.11주차  곡선의 길이(호의 길이),곡면의 넓이 

구하는 방법에 대해 학습했습니다.

곡선의 길이를 구하는 방법에 대해 학습하고 Sage 프로그램을 통해 예제 문제 7번을 실습 

해보았습니다.

Sage 프로그램을 통해 그래프를 그렸습니다

- 353 -

y^2 = x^3을 y에 대해 정리 하면 y = x^3/2을 얻을 수 있다.1≤ x ≤4까지 곡선의 길이를 

구하면 아래와 같이 나옵니다.

f(x) = x^(3/2)

df(x) = diff(f(x), x)

integral ( sqrt(1 + df(x)^2), x, 1, 4 )

show(integral ( sqrt(1 + df(x)^2), x, 1, 4 ))-13/27*sqrt(13) + 80/27*sqrt(10) 의 값이 나옵

니다.곡면의 넓이 구하는 방법에 대해 학습하였고 예제문제 10번을 Sage 프로그램을 통해 실습해봤

습니다.

- 354 -

먼저 원뿔대는 큰 원뿔에서 작은 원뿔을 뺸 것과 같으므로 원뿔대의 옆면의 넓이는 원뿔을 전개한 

부채꼴의 넓이의 차이와 같다.위의 왼쪽 그림의 원뿔을 전개하여 가운데 그림을 얻었다고 하면, 반

지름이 ㅣ이고 호의 길이가 

이므로 중심각은 

이다.따라서 부채꼴의 넓이는 

가 된다. 이제 원뿔대의 옆면의 넓이를 계산하면 다음과 같다. 

- 355 -



Sage 프로그램을 사용하여 그래프를 그려보면 아래와 같이 나옵니다.

곡면의 넓이를 계산하면 아래와 같이 나옵니다.

- 356 -



f(x) = sqrt(4 - x^2)

df(x) = diff(f(x), x)

integral ( 2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2), x, -1,

Final Comment 

기존에 학습한 정적분에 대한 개념을 이해한 상태에서 넓이뿐만 아니라 곡선의 길

이, 회전체의 부피 등등 다양한 식으로 변형하여 계산할 수 있음을 알 수 었습니

다.

[HW W11] [open problem] 이혜인, 백승준, 박경현, 손혜원, 이효민, 이

주한 이상적분

 

안녕하십니까 이혜인입니다.

11주차 이상적분(Improper Integral)에 대해 학습하였습니다. https://www.youtube.com/w

atch?v=qHMMgQxbnzU

이상적분(Improper Integral)이란,

1. 함수 f : [ a, b ) -> R 이고 임의의 c  ∈ ( a, b ) 에 대하여 f가 [ a, c ]에서 리만적분 

가능할 때, 

극한 

가 존재하면 f는 [ a, b )에서 이상적분이 가능하다고 하고, 그 극한

값을 

로 나타내며이 값을 [ a, b )에서 f의 이상적분이라고 합니다.

2. 함수 f : ( a, b ] -> R 이고  임의의 c  ∈ ( a, b ) 에 대하여 f가 [ c, b ]에서 리만적분 

- 357 -

가능할 때, 극한 

 가 존재하면 f는  ( a, b ]에서 이상적분이 가능하다고 하고, 그 

극한값을 

로 나타내며 이 값을 ( a, b ]에서 f의 이상적분이라고 합니다.Op

en Problem )적분 

의 수렴성을 판정하여라.

( f(x) = 1/sqrt(x) 는 ( 0, 1 ] 에서 정의되고 임의의 c  ∈ ( 0, 1 )에 대하여 f는 [ c, 1 ] 

에서 연속이므로 f는 [ c, 1 ] 에서 리만적분 가능하다 )f(x) = 1/sqrt(x) lim(c -> 0+) inte

gral(f(x), x, c, 1) = 2로 수렴함을 알 수 있습니다.아래는 sageMath로 실행해본 결과입니

다.

var('x')

f(x) = 1/sqrt(x)

integral(f(x), x, 0, 1)

백승준(2022####74)5월 4일 오후 4:25

예제에 대해 식으로 한 풀이와 Sage 코딩으로 쉽게 풀 수 있는 방법을 공유해주셔서 이상적

분을 공부하면서 도움이 되었습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72)5월 4일 오후 4:33

예제에 대해 설명해주셔서 공부하는데 많이 도움이 되었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)5월 8일 오후 4:32

이상적분에 대한 정리와 예제를 함께 정리해주셔서 학습하는데 많은 도움이 되었습니다. 감사

합니다.

이효민(2022####80)5월 10일 오후 7:07

이상정분의 개념과 예제풀이를 통해 sage 적용에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)5월 12일 오전 11:44

- 358 -

이상적분의 예제를 통해 극한을 이용하여 수렴을 판정할 수 있었습니다.

이전

다음

5개의 댓글

백승준(2022####74)5월 4일 오후 4:25

예제에 대해 식으로 한 풀이와 Sage 코딩으로 쉽게 풀 수 있는 방법을 공유해주셔서 이상적

분을 공부하면서 도움이 되었습니다. 감사합니다.

박경현(2022####72)5월 4일 오후 4:33

예제에 대해 설명해주셔서 공부하는데 많이 도움이 되었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)5월 8일 오후 4:32

이상적분에 대한 정리와 예제를 함께 정리해주셔서 학습하는데 많은 도움이 되었습니다. 감사

합니다.

이효민(2022####80)5월 10일 오후 7:07

이상정분의 개념과 예제풀이를 통해 sage 적용에 대해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)5월 12일 오전 11:44

이상적분의 예제를 통해 극한을 이용하여 수렴을 판정할 수 있었습니다.

final-[HW W11] 이상적분정리 및 open problem3 손혜원, 박경현, 이

혜인, 이주한

안녕하십니까 소재부품융합공합과 손혜원입니다.

금일 강의 내용 중 이상적분에 대해 정리해보았습니다.

저희가 기존에 배운 적분은 피적분 함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속일 때 사용 가능하

였습니다.

더 확장된 개념으로 사용하기 위해 끝점 a 또는 b(또는 둘 다)가 -∞또는 ∞가 되는 경우

와 함수 f(x)가 유계가 아닌(unbounded) 경우에 대해 정의할 수 있습니다.

먼저 끝점 a 또는 b(또는 둘 다)가 -∞또는 ∞가 되는 경우의 이상적분에 대해 정리해보

았습니다.

- 359 -

  

                               

다음으로 함수  f(x)가 유계가 아닌(unbounded) 경우의 이상적분에 대해 정리해보았습니다.

- 360 -

이상적분의 다른 예제를 찾아 sage로 실습해보았습니다.

 

- 361 -

먼저 sage를 활용해 그래프를 그려보았습니다.

f(x) 

= (x*sin(x))/(x^2 + 2*x + 2)

plot(f(x), (x, -7, 7), fill = True, ymax = 2)

그리고 sage를 활용하여 풀고 답을 익숙한 모습으로 나타내보았습니다.

f(x) = (x*sin(x))/(x^2 + 2*x + 2)

print(integral (f(x), x, -oo, oo))

- 362 -

show(integral (f(x), x, -oo, oo))

손으로 계산한다면 복잡했겠지만, sage를 활용하여 쉽게 그래프의 개형을 확인하고 답을 구할 수 

있었습니다.

이재화5월 4일 오후 12:18

잘하셨어요.^^

박경현(2022####72)5월 4일 오후 4:32

이상적분에 대해 정리해주셔서 이해할 수 있었습니다.

이혜인(2022####79)5월 4일 오후 5:30

이상적분에 대해 정리해주셔서 감사합니다. 예제를 통해 그래프의 개형을 확인할 수 있었습니

다.

이주한(2022####78)5월 12일 오전 11:42

극한을 활용하여 이상적분의 수렴과 발산에 대해서 이해할 수 있었습니다!

Final  comment

극한값을 가지는 그래프에 대해서 적분이 불가하다고 생각하였으나, 이상적분을 

학습하면서 해당 변수에 극한값을 씌워주면 해당 적분값에 수렴/발살 값을 확인하

여 계산이 가능하다는 것을 알 수 있었습니다. 또한 sage math에서는 이러한 알

고리즘이 내장되어 있어 좀 더 쉽게 풀업졸 수 있었습니다.

final [HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선

의 길이, 곡면의 넓이), ... 먼저 ... 구하는 문제를 정확히 이해하는 것이 

우선입니다. ... 답의 의미를 설명해 보세요 / 이주한씨는 이 문제 완전 

해결을 Final 프로젝트로 마무리 하셔서 발표 하시기 바랍니다.답변에 대

한 추가 답변 -

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 3일 오후 2:01

조회수 : 93

이주한씨는 이 문제 완전 해결을 Final 프로젝트로 마무리 하셔서 발표 하시기 바랍니다

이주한씨, 아래 그림을 보면 ...  Arc length 를 구하기 위하여 ... (정리의 조건대로 ... 

한점에서 두 곡선이 만나지 않는) 구간들  4개 (1-2-3-4분면)로 구간 t 를 으로 나누어

서, 각각의 길이를 구해서 두배로 하면 전체 길이를 구할 수 있지 않을까요?

 ^^  다른 학생도 한번 더 생각해 보시고 ... 답을 같이 만들어 보세요^^

- 363 -

답변에 대한 추가 답변 - [HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 

응용 (곡선의 길이, 곡면의 넓이), ... 먼저 ... 구하는 문제를 정확히 이해하는 것

이 우선입니다. ... 답의 의미를 설명해 보세요

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 6:26

 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ 에서 t 를 이동하면 ... 어떻게 구간을 4개로 나누어 ...   

각각의 곡선 길이를 구하고 ... 두배를 하면 아래 그림의 곡선 길이를 모두 구할 수 있을지 바로 

이해가 될 것입니다.

var('t') 

f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) 

g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t)

df(t)=diff(f(t),t) 

dg(t)=diff(g(t),t) 

p1=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,0, pi)) 

p2=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,pi, 2*pi), color='red') 

p1+p2 

으로 그려보면 ... 전체 그림이 보여질 것입니다.

- 364 -

그럼 면적을 구하려면 ... 어디서 부터 어디까지 적분하여 어디 면적을 구하여 ... 각각을 두 

배하면 ... 전체 면적을 구할 수 잇을 것입니다. 같은 방법으로 Arc length 도 작은 조각 몇

개를 구하여 더하고 ... 두 배하면 전체를 얻을 수 있는 것 아닐까요?

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.var ( 't' )

 f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*co

s(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) # parametric_plot( ( f(t) , g(t) ), (t, 0, 2*pi) ) df(t) = diff(f

(t), t); dg(t) = diff(g(t), t) Length = 2*numerical_integral((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)).simplif

y_full(), 0, pi/2) # simplify_full은 수식을 간결하게 나타낸다. print (Length) 답: (4.775

084674817304,8.857368348629837e-12, 4.775084674817304, 8.85736

8348629837e-12)  →  (근사값, 오차) 를 의미하며,  [ 0 ≤ t ≤ pi/2 ]에 대

한 한 구간에 대한 곡선 길이를 의미하고 적분값 앞에 x2가 있으므로, 

전체에 구간에 대한 길이를 알 수 있습니다.  (그래프 그려보고 solve 명령어 

사용하여) 정확하게 한 구간에서의 곡선의 길이만 구해보세요^^ → solve 함수를 활용하여 

각 함수에 대한 교점을 확인하고, 구간1 / 구간2 로 나누어 값을 확인하였으나 두 값에 

대해서 오차가 크게 나오며,solve 결과 : [[cos(4*t) == 1/2*sin(1/12*t)^5 + 1/

2*e^cos(t), sin(t) == cos(t)]] cos(4*t) == 1/2*sin(1/12*t)^5 + 1/2*

e^cos(t) 이 값이 한 구간에 대한 주기 같은데 풀리지가 명확하게 풀리지

가 않습니다..+  추가로,  심장 모양의 다른 함수로 테스트 했을 때는 solve 명령어

를 주면 정확히 한 구간에 대해서 값을 구할 수 있었습니다. 

==

- 365 -

1. solve 함수를 이용하여 f(t) 와 g(t)에 대한  교점

을 확인   sin(t) == cos(t) → t = pi/ 4  cos(4*t) == 1/2*sin(1

/12*t)^5 + 1/2*e^cos(t)  << ???

var 

('t')

f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) # f(t) 함수 저장

g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) # g(t) 함수 저장

solve(f(t) == g(t), t) # f(t)와 g(t) 교점 확인

2.  구간 0 ≤ t ≤ pi/4 와 pi/4 ≤ t ≤ pi/2 에 대해서 그래프를 그려본

다. 

- 366 -

var('t') #변수지정

f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) # f(t) 함수 

저장

g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) # g(t) 함수 

저장

p1=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,0,pi/4)) # [0 ≤ t ≤ pi/4] 구간의 매개

변수함수 그래프 생성

p2=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,pi/4, pi/2), color='red') # [pi/4 ≤ t 

≤ pi/2]구간의 매개변수함수 그래프 생성

p1+p23. 한 구간에 대한 곡선의 길이를 비교한다. (근사값, 오차값)첫 

번째 구간의 길이 (2.069610795176731, 8.827331554395429e-12) 두 

번째 구간의 길이 (2.7054738796405733, 3.003679393698914e-14)

var ( 't' )

f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t)

g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t)

df(t) = diff(f(t), t); dg(t) = diff(g(t), t) # f(t)와 g(t)에 대해서 도함수 저장

print(numerical_integral((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)).simplify_full(), 0, pi/4))  

# 매개함수 [0 ≤ t ≤ pi/4] 구간의 곡선길이 계산

print(numerical_integral((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)).simplify_full(), pi/4, pi/2)) 

# 매개함수 [pi/4 ≤ t ≤ pi/2] 구간의 곡선길이 계산  

3-1. 한 주기를 pi로 두었을 떄

- 367 -

----------------------------------------------------------------------------

[HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길

이, 곡면의 넓이)

질문에 대한 답:

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 2:11

아래와 같이 명령어를 주니까 답이 구해지네요^^ var ( 't' ) f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos

(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) # p

arametric_plot( ( f(t) , g(t) ), (t, 0, 2*pi) ) df(t) = diff(f(t), t); dg(t) = diff(g(t), t) Lengt

h = 2*numerical_integral((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)).simplify_full(), 0, pi/2) # simplify_ful

l은 수식을 간결하게 나타낸다. print (Length) 답: (4.7750846748173

04,8.857368348629837e-12, 4.775084674817304, 8.857368348629837e-12)            

       중간과정도 채우고 ...    얻어진 답의 의미를 설명해 보세요^^   그리고  (그래프 그

려보고 solve 명령어 사용하여) 정확하게 한 구간에서의 곡선의 길이만 구해보세요^^ 

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

매개변수함수 곡선길이 관련해서 오류가 발생하여 분할하여 확인한 내용

입니다.다른 함수로 진행해보니 정상적으로 작동하는 것을 확인하였습니

다. 

1. 현상만 말씀드리면 도함수에 대해서 적분은 가능하나, 도함수의 제곱에 대한 

적분은 에러가 발생하는 것으로 확인됩니다.

- 368 -

심장모양의 매개변수함수는 정상적으로 작동합니다.!

[HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준 적분의 응용 (곡선의 길이, 곡면

의 넓이)

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 5월 3일 오후 12:43

조회수 : 13

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다. 11주차 적분의 응용(곡선

의 길이(Arc length의 근삿값)) 실습한 내용을 공유하도록 하겠습니다v

- 369 -

ar ('x, y')implicit_plot (x^2*y == 1, (x, 1,1.4), (y, 1/2, 1))

var ('x, y')implicit_pl

ot (x^2*y == 1, (x, 1,1.4), (y, 1/2, 1))solve ( x^2*y == 1, y )

f(x) = x^(-2)df(x) = 

diff (f(x), x)integral ( sqrt(1 + df(x)^2), x, 1, 1.4 )

안녕하세요. 소재부품융합

공학과 천혜준입니다.11주차 적분의 응용(회전체의 표면적(곡면의 넓이, 

Surface area, 표면적))실습한 내용을 공유하도록 하겠습니다f(x) = sqr

t(5 - 2*x^3 + 5*x)revolution_plot3d (f(x), (x, -1, 1), show_curve = 

True, opacity = 0.7, parallel_axis = 'x', aspect_ratio = [1, 1, 1]) 

- 370 -

f(x) = sqrt(5 - 2*x^3 + 5*x)df(x) = diff(f(x), x)integral ( 2*pi*f(x)*

sqrt(1 + df(x)^2), x, -1, 1 )

19. 회전체 부피

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.

11주차 적분의 응용(회전체(입체)의 부피(Volume)) 실습한 내용을 공유하도록 하겠습니다.

var ('x')

- 371 -

f(x) = 4*x^2 - 2*x^3

revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 2), show_curve = True, opacity = 0.6, parallel_axis = 'z') 

# y축을 중심으로 회전시킬 때는 parallel_axis = 'z'를 입력한다. (3차원 그래프로 인식)

f(x) = 4*x^2 - 2*x^3

solve ( f(x) == 0, x )

20. 곡선의 면적

- 372 -

Final [HW W11] [열린문제2] 적분의 응용 (곡선의 길이)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 2일 오후 6:30

조회수 : 5

안녕하세요. 소재부품융합공하과 이주한입니다.11주차 학습 내용중 정적분을 이용한 곡선의 

길이 실습 내용 공유드립니다. Q1) 매개변수함수 곡선을 실습하는데, 그래프는 

정상적으로 그려지는 길이 계산이 정상적으로 동작하지 않습니다.      

단순한 코드 오류인가요.. 소프트웨어 한계인가요.. 아시는 분 있으시면 

공유부탁드립니다.





1. f(x)의 그래프를 그리면 아래와 같다.

- 373 -

2. 적분의 곡선길이 방정식을 이용하여 1 ≤ x ≤ 4 구간의 곡선의 길이를 계산한다. 

[출처 : 유투브 수악중독]https://www.youtube.com/watch?v=VBmsSi7Mkg02. 매개변수

함수에 대한 곡선의 길이

열린문제 2-2 (매개변수함수의 곡선길이)

f(t) = 1/2*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t/12)^5) *cos(t)

g(t) = 1/2*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t/12)^5) *sin(t)범위 : 0 ≤ t ≤ 31.42

- 374 -

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 1:05

식이 복잡해서 그런가... 이런 경우는 우선은 정리를 자세히 보시면서 정리의 조건을 모두 만

족하는지 확인하세요^^ 이 경우 "매개변수로 표현된 곡선의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있

다. 에서 이고, 곡선 의 매개변수방정식이 , , 로 표현된다고 하자. 이는 가 에서 로 증가하고 

, 일 때 가 왼쪽에서 오른쪽으로 한 번 그려지는 것을 뜻한다. 이 방정식이 그리는 곡선 위의 

점 에서 점 까지 호의 길이는 다음과 같다. ... 사각형입니다. 사이클로이드 , 의 한 아치의 길

이(호의 길이, Arc length)를 구하라." 여기서 여러분은 교점을 구하여 ... 그 구간에서 ... <한 

번 그려지는> 부분의 길이를 구하는 문제만 생각해 보세요^^ ************

전형준(2022####82)5월 3일 오후 1:27

해당 프로그램에서 그래프는 그려지나 적분값은 버퍼링으로 계속 돌아갑니다. 31.42와 같은 값인 

10*pi로 고쳐서 프로그램을 돌려도 무한 버퍼링이 발생하고 pi로 진행해도 값이 나오지 않는것으

- 375 -

로 확인됩니다. 해당 그래프가 일대일 대응이 아닌 함수라서 그런거일수도 있을까요 ?

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 7:02

이주한씨, 아래 그림을 보면 ... Arc length 를 구하기 위하여 ... (정리의 조건대로 ... 한점에서 

두 곡선이 만나지 않는) 구간들 4개 (1-2-3-4분면)로 구간 t 를 으로 나누어서, 각각의 길이를 구

해서 두배로 하면 전체 길이를 구할 수 있지 않을까요? ^^ 다른 학생도 한번 더 생각해 보시고 

... 답을 같이 만들어 보세요^^ 답변에 대한 추가 답변 -

 [HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길이, 곡면의 넓이), ... 먼

저 ... 구하는 문제를 정확히 이해하는 것이 우선입니다. ... 답의 의미를 설명해 보세요 

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 6:26

 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ 에서 t 를 이동하면 ... 어떻게 구간을 4개로 나누어 ... 각

각의 곡선 길이를 구하고 ... 두배를 하면 아래 그림의 곡선 길이를 모두 구할 수 있을지 바로 이

해가 될 것입니다. 

var('t') 

f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t)

g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) 

df(t)=diff(f(t),t) 

dg(t)=diff(g(t),t) 

p1=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,0, pi))

 p2=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,pi, 2*pi), color='red') 

p1+p2 으로 그려보면 ... 전체 그림이 보여질 것입니다. 그럼 면적을 구하려면 ... 어디서 부터 어

디까지 적분하여 어디 면적을 구하여 ... 각각을 두 배하면 ... 전체 면적 을 구할 수 있을 것입니

다. 같은 방법으로 Arc length 도 작은 조각 몇개를 구하여 더하고 ... 두 배하면 전체를 얻을 수 

있는 것 아닐까요?

 이주한씨는 위의 문제 완전 해결을 <Final 프로

젝트>로 마무리 하셔서 발표 하시기 바랍니다.

다른 교재를 참고하여 다양한 극방정식으로 주어진 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정

식, 곡선으로 둘러싸인 면적, 곡선의 길이(근삿값)를 구하시오. [함수 그래퍼(Grapher) 실

습] 우리 연구팀이 개발한 다양한 도구 http://matrix.skku.ac.kr/artsurf/ 가 있습니다.  특

히 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html 에서 매개변수 방정식 그

래프를 그려보시고, r_1 = cos(2*t) 과 r_2 = 1 + sin(t) 를 a, b, c 슬라이더를 이동하여 그

려보신 후, t의 구간을 변경하고, Animation of Change를 t 로 고르셔서, 시간이 변함에 따

라 변하는 함수의 모양을 보시면서, 그래프가 변하는 과정에서 다양한 실습을 하고 내용을 공

- 376 -

유하시기 바랍니다.  

 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Fermat-Spiral.html 

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-flower.html

 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-butterfly.html

 http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-integral2.html ...

10개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 2:11

아래와 같이 명령어를 주니까 답이 구해지네요^^ var ( 't' ) f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos

(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) # p

arametric_plot( ( f(t) , g(t) ), (t, 0, 2*pi) ) df(t) = diff(f(t), t); dg(t) = diff(g(t), t) Lengt

h = 2*numerical_integral((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)).simplify_full(), 0, pi/2) # simplify_ful

l은 수식을 간결하게 나타낸다. print (Length) 답: (4.775084674817304, 8.85736834862983

7e-12, 4.775084674817304, 8.857368348629837e-12) 의미를 설명해 보세요^^

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 2:16

다른 사람이 본인의 오류나는 코드 다시 타이핑 하면서 ... 답을 주는 일 없도록 친절하게 tex

t code 도 항상 공유해주세요^^ 그래야 도와주려는 사람이 ... 바쁜사람이 ... 확인해 보고 ... 

답을 쉽게 줄 시간이 생긴답니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 2:18

integral(f(x), x, a, b) <-- x가 있고 numerical_integral(f(x), a, b) <-- x가 없고 하는 차

이가 있습니다. 명령어를 복사하여 사용할 때 ... 대충하시면 항상 error 가 날것입니다. 그래

서 항상 자세히 보시고 따라 하시는 습관을 들이세요^^

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 2:21

그리고 피적분 함수를 따로 출력하면 sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2).simplify_full() --------------

----------------------- 2*sqrt(-2*cos(t) + 2) 에서 sqrt(-2*cos(t) + 2) = 2 sqrt(sin^2

(t/2)) = 2 | sin(t/2) | 인데 Sage가 절댓값을 고려하지 않고 그냥 sin(t/2)를 적분하면 ... 양

과 음이 섞여서 ... 실제 길이가 아니라 ... 길이는 있는데 답은 0 이 나오는 경우도 있으니 ... 

지금 단계에서... 여러분은 ... 먼저 ... 구하는 문제를 정확히 이해하시는 것이 우선입니다. ... 

그래프를 그려서 ... 한 구간을 확인하고, solve 하여 ... 그 구간 (a, b) 를 구하는 과정을 꼭 

넣고 .. 실제 한 구간의 곡선의 길이를 구하는 문제에만 집중하세요^^

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 2:49

질문에 대한 답: 얻은 답 : (4.775084674817304, 8.857368348629837e-12, 4.775084674817

304, 8.857368348629837e-12) 얻어진 답의 의미를 설명해 보세요^^ 그리고 (그래프 그려보

고 solve 명령어 사용하여 ... 중간과정 채우면서) 정확하게 한 구간에서의 곡선의 길이만 구

하는 연습을 해보는 것이 지금 단계의 Goal 입니다. 이주한씨가 한번 해보세요^^

- 377 -

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 7:02

이주한씨, 아래 그림을 보면 ... Arc length 를 구하기 위하여 ... (정리의 조건대로 ... 한점에

서 두 곡선이 만나지 않는) 구간들 4개 (1-2-3-4분면)로 구간 t 를 으로 나누어서, 각각의 길

이를 구해서 두배로 하면 전체 길이를 구할 수 있지 않을까요? ^^ 다른 학생도 한번 더 생

각해 보시고 ... 답을 같이 만들어 보세요^^ 답변에 대한 추가 답변 - [HW W11] [열린문제2] 

이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길이, 곡면의 넓이), ... 먼저 ... 구하는 문제를 

정확히 이해하는 것이 우선입니다. ... 답의 의미를 설명해 보세요 이상구(LEE SANGGU)5월 

3일 오후 6:26 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ 에서 t 를 이동하면 ... 어떻게 구간을 4

개로 나누어 ... 각각의 곡선 길이를 구하고 ... 두배를 하면 아래 그림의 곡선 길이를 모두 구

할 수 있을지 바로 이해가 될 것입니다.  var('t') f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + si

n(t/12)^5)*cos(t) g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) df(t)=diff(f(t),

t) dg(t)=diff(g(t),t) p1=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,0, pi)) p2=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,

pi, 2*pi), color='red') p1+p2 으로 그려보면 ... 전체 그림이 보여질 것입니다. 그럼 면적을 

구하려면 ... 어디서 부터 어디까지 적분하여 어디 면적을 구하여 ... 각각을 두 배하면 ... 전

체 면적 을 구할 수 있을 것입니다. 같은 방법으로 Arc length 도 작은 조각 몇개를 구하여 

더하고 ... 두 배하면 전체를 얻을 수 있는 것 아닐까요?

이상구(LEE SANGGU)5월 4일 오전 4:56

댓글 ( 모두 회전체의 부피 구하는 것까지는 이해 하셨다고 했습니다. 이제 Arc length 구하

는 것도 이해 하시게 될 것 입니다. ) 노태완(2022####71)4월 28일 오전 8:42 회전체 부피 

구하는 것에 대하여 그래프를 통해 눈으로 쉽게 확인 후 예습이 가능하였습니다. 박경현(2022

####72)4월 28일 오후 1:35 회전체 부피 구하는 것을 보여주셔서 눈으로 확인 하여 이해할 

수 있었습니다. 감사합니다. 이주한(2022####78)4월 28일 오후 2:35 3차원 모델링에 대한 부

피를 정적분을 통해 구할 수 있음을 이해할 수 있었습니다.! 이혜인(2022####79)4월 28일 오

후 3:04 회전체의 부피를 정적분으로 구하는 것을 이해할 수 있었습니다. 감사합니다. 박준수

(2022####73)4월 28일 오후 3:07 회전체의 부피를 구하는것에 대해 이해할 수 있었습니다. 

감사합니다. 김용철(2022####66)4월 28일 오후 3:09 회전체의 부피를 3차원 그래프를 통해 

이해할 수 있었습니다. 감사합니다. 조현준(2022####83)4월 28일 오후 3:10 회전체의 부피를 

3차원 그래프로 쉽게 이해했습니다 감사합니다 윤관수(2022####77)4월 28일 오후 3:26 회전

체의 부피를 3차원 그래프로 이해했습니다 . 감사합니다 김지수(2022####68)4월 28일 오후 

3:33 회전체 부피를 3차원 그래프로 이해했습니다. 감사합니다. 김현구(2022####69)4월 28일 

오후 4:22 회전체 부피를 그래프로 확인하면서 이해했습니다. 감사합니다. 전형준(2022####8

2)4월 28일 오후 5:50 회전체 부피를 그래프로 나타내고 이것을 직접 풀면 많은 어려움이 있

을것이라 생각하고 적분명령어와 그래프를 활용하여 볼수있었습니다 감사합니다 백승준(2022

####74)5월 1일 오후 2:09 회전체 부피를 구할 수 있고 plot 명령어를 통해 3d로 나타낼 수 

있다는 것을 알 수 있었습니다. 임경섭(2022####81)5월 1일 오후 7:03 회전체의 부피를 3차

원 그래프를 통해 이해할 수 있었습니다. 감사합니다. 김지수(2022####68)5월 2일 오후 3:06 

회전체의 부피 구하는 법을 알수있었습니다. 감사합니다. 이상구(LEE SANGGU)5월 4일 오전 

4:52 모두 회전체의 부피를 구할 수 있다 라는 자신감을 가지게 되었습니다 ~~ 교수자는 지

- 378 -

금이 아주 중요한 전환점이라고 생각합니다. 이제 우리 반에 수포자는 더 이상 없다고 생각해

도 되겠지요?

이상구(LEE SANGGU)5월 4일 오전 5:07

이주한씨는 이 문제 완전 해결을 Final 프로젝트로 마무리 하셔서 발표 

하시기 바랍니다. ************ , 아래 그림을 보면 ... Arc length 를 

구하기 위하여 ... (정리의 조건대로 ... 한점에서 두 곡선이 만나지 않는) 

구간들 4개 (1-2-3-4분면)로 구간 t 를 으로 나누어서, 각각의 길이를 구

해서 두배로 하면 전체 길이를 구할 수 있지 않을까요? ^^ 다른 학생도 한

번 더 생각해 보시고 ... 답을 같이 만들어 보세요^^ 답변에 대한 추가 답변 - [HW W11] [열

린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길이, 곡면의 넓이), ... 먼저 ... 구하는 

문제를 정확히 이해하는 것이 우선입니다. ... 답의 의미를 설명해 보세요 이상구(LEE SANGG

U)5월 3일 오후 6:26 http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ 에서 t 를 이동하면 ... 어떻게 구

간을 4개로 나누어 ... 각각의 곡선 길이를 구하고 ... 두배를 하면 아래 그림의 곡선 길이를 

모두 구할 수 있을지 바로 이해가 될 것입니다.  var('t') f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4

*t) + sin(t/12)^5)*cos(t) g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t) df(t)=d

iff(f(t),t) dg(t)=diff(g(t),t) p1=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,0, pi)) p2=parametric_plot((f(t),g

(t)),(t,pi, 2*pi), color='red') p1+p2 으로 그려보면 ... 전체 그림이 보여질 것입니다. 그럼 

면적을 구하려면 ... 어디서 부터 어디까지 적분하여 어디 면적을 구하여 ... 각각을 두 배하면 

... 전체 면적을 구할 수 잇을 것입니다. 같은 방법으로 Arc length 도 작은 조각 몇개를 구

하여 더하고 ... 두 배하면 전체를 얻을 수 있는 것 아닐까요?

이상구(LEE SANGGU)5월 4일 오전 5:19

다른 학생들도 이렇게 모두가 관심갖는 하나의 심화문제를 프로젝트로 삼아 탐구하시고 ... 깨

우친것을 정리한 후 발표 하시는 것이 research 입니다. 여러분 에게 research 의 경험을 

주려는 것이 pbl 수업의 goal 입니다.

이주한(2022####78)5월 4일 오전 9:44

네, 알겠습니다.!

Final Comment 

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 1:05

식이 복잡해서 그런가... 이런 경우는 우선은 정리를 자세히 보시면서 정리의 조건

을 모두 만족하는지 확인하세요^^ 이 경우 "매개변수로 표현된 곡선의 길이는 다

음과 같이 계산할 수 있다. 에서 이고, 곡선 의 매개변수방정식이 , , 로 표현된다

고 하자. 이는 가 에서 로 증가하고 , 일 때 가 왼쪽에서 오른쪽으로 한 번 그려

지는 것을 뜻한다. 이 방정식이 그리는 곡선 위의 점 에서 점 까지 호의 길이는 

- 379 -

다음과 같다. ... 사각형입니다. 사이클로이드 , 의 한 아치의 길이(호의 길이, Arc 

length)를 구하라." 여기서 여러분은 교점을 구하여 ... 그 구간에서 ... <한 번 그

려지는> 부분의 길이를 구하는 문제만 생각해 보세요^^

*****************************************************

다양한 매개변수 함수의 arc length를 구하는 것에 대해서 접근하여, 한 구

간에 대해서 확인하고이에 *2를하면 전체 구간을 구할 수 있음을 학습하고 

이해하였습니다. 

Final by 노영규, 조현준, 김지수, 윤관수, 손혜원, 이주한, [New Book] (다변수 미적분

학 & 코딩) Multivariable Calculus, ... 일본조차도 내후년 수능부터 코딩 관련 과목이 

포함,

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 5월 4일 오전 10:03

조회수 : 52

Final by 노영규, 조현준, 김지수, 윤관수, 손혜원, 이주한,  [New Book]   (다변수 미적

분학 & 코딩) Multivariable Calculus https://youtu.be/8qDXqX3XO5U

[New Book] 

● (다변수 미적분학 & 코딩)

Multivariable Calculus (다변수 미적분학)

https://youtu.be/8qDXqX3XO5U

● (미적분학 & 코딩) 

미적분학(Single variable Calculus)

2022년 강의록/실습실 ...

 http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/ 

문-이과 구분없이 모든 대학 신입생과 직장인을 위한 이번학기 강의실^^****https://

m.blog.naver.com/PostView.naver?blogId=ezstkr&logNo=222720449099&proxyRefer

er=&fbclid=IwAR2_Upzbay09n7MMPm3PnMa8QUYqsuU7rBdzx44crmoaZlewB5GAII2j

u1Y새로운 지식이 학교로 들어가서 정돈되어 교수나 교사의 입릉 통해 나올 시간이 없

다. 그에 따라 IT 인력, 그 중에서도 AI 인력들은 계속 품귀현상을 빚고 있다. ​얼마전 출

범을 앞둔 새 정부에서 코딩과목을 수능에 포함하겠다는 대통령 공약을 뒤엎었다. 이유는 

가르칠 교강사가 부족하다는 이유였다. 그렇다. 개발자도 부족한데, 개발을 아는 강사는 

당연히 부족할 것이다. 단기간 충원도 가능해 보이지 않는다. 하지만 그렇다고 안하고 있

어도 괜찮을까? 수능에 포함한다는 것은, 일종의 메시지가 될 수 있었을 것이다. '앞으로

의 세상은 이렇게 변합니다. 준비하세요.' 뭐 이렇게 말이다. ... 디지털 변화에 둔한 일

본조차도 내후년 수능부터 코딩 관련 과목이 포함되며, 미국은 아이비리그에 진학하려면 

- 380 -

이미 수학과 IT가 필수이다.미국은 STEM(science, technology, mathmatics) 교육에 적

극적인데 그 중에서도 tech, IT의 중요도가 높다고 한다.​정보가 빠르고 미래변화에 관심

이 높은 일부 학부모들은 그래서 IT를 사교육으로 해결하고 있는 중인 것 같다. 학업 열

기가 높은 일부 지역은 이미 6~70%가 IT 사교육을 받았거나 받고 있다고 한다. 공교육이 

주춤한 사이, 디지털 디바이드는 이미 시작되고 있는지도 모르겠다. 



- 381 -

매일경제, 2021년3월25일자 기사 중에서 이상구(LEE SANGGU)5월 1일 오후 12:46

... Casio/HP 공학계산기의 시대는 벌써 지나갔고 ... 이제는 스마트폰으로 모든 것이 수

렴하는 시대이니 .. 기능은 여러분이 직접 코드를 넣어서 만든 도구에 다 내장됩니다. 더

구나 고쳐서 다른 상황에 대응이 가능합니다. 기존의 공학도구는 새로운 환경에 적응을 

전혀 못하여 ... 멸종쪽으로 가고 있답니다. Mathematica 도 울프램알파로 완전히 방향

이 바뀐지 10~15년이 넘었습니다. 모바일수학에 적응하실 것을 추천합니다^^ Answer b

y 노영규(2022####70)4월 28일 오전 00:41 이번에 제가 버스를 타고 인사캠퍼스를 가고 

오는 도중에 모바일로 우리 강의를 보면서 바로 실습이 가능한것을 보고 정말 놀랐습니

다. 대중교통을 이용할때 가방에서 노트북,태블릿을 꺼내기 어려웠는데 언제 어디서나 내

손에 휴대가 가능한 핸드폰으로 학습을하고 바로 실습이 가능하고 추가적으로 명령어를 

내 마음대로 수정하여 실행이 가능한것을 보고 신세계를 느꼈습니다. 언제 어디서든 시간

과 장소에 제한 없이 접근가능하게 해주셔서 감사합니다.

조현준(2022####83)5월 2일 오후 3:08

사진은 조금 못나왔지만 미적분학을 배우는 이유부터 지금까지 배웠던 내용, 앞으로 배울 

내용들이 한 눈에 보기 쉽게 정리되어 있어서 편리합니다. 교수님이 정리해주신 내용들과 

참고 사이트 까지 함께 있어서 유용하게 사용하겠습니다. 감사합니다

김지수(2022####68)5월 2일 오후 3:16

배웠던 내용들을 한번 더 복습할수 있고 정리해주신 사이트를 통해서 예습과 복습을 같이 

할수있을꺼 같습니다. 자주보면서 활용하도록 하겠습니다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)5월 2일 오후 4:18

올려주신 홈페이지를 통해 복습을 할 수 있었고 공부하는데 도움이 많이 될 것 같습니다. 

감사합니다 !!^^

손혜원(2022####75)5월 2일 오후 5:05

굳이 책을 들고 다니지 않더라도 그동안 수업했던 내용들을 언제, 어디서든 확인이 가능

하여 편리하였습니다. 감사합니다.

- 382 -

이주한(2022####78)5월 2일 오후 5:06

더 이상 책을 다니고 푸는 문제들이 아닌 미적분이 하나의 플랫폼 형태로 만들어지는 것

을 보고 시대가 변화함에 따라 교육의 형태도 바뀐다고 느꼈습니다. 하루 빨리 모바일 수

학에 적응하여 많은 곳에 활용하도록 하겠습니다!

이전

다음

1개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)5월 6일 오전 4:16

모든 학생은 [New Book] ● (다변수 미적분학 & 코딩) Multivariable Calculus (다변수 

미적분학) 의 3분 소개 동영상 https://youtu.be/8qDXqX3XO5U 을 보고 느낀점을 간

단히 써보세요. 지금 왜 미적1을 배우는지를 깨우치게 하는 필수 학습 과정 입니다.

Final Comment

이주한(2022####78)5월 2일 오후 5:06

더 이상 책을 다니고 푸는 문제들이 아닌 미적분이 하나의 플랫폼 형태로 만들어지는 것

을 보고 시대가 변화함에 따라 교육의 형태도 바뀐다고 느꼈습니다. 하루 빨리 모바일 수

학에 적응하여 많은 곳에 활용하도록 하겠습니다!

final 이주한, 전형준, 이효민 [HW W11] [열린문제3] 적분의 응용 (회전

체의 겉넓이)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 4일 오후 6:30

조회수 : 23

안녕하세요. 소재부품융합공하과 이주한입니다.회전체의 겉널이에 대한 요약 및 열린문제 공

유드립니다.f(x) = tanh(x) 함수에 대해서 x의 구간을 지정하여 x축에 대한 회전체의 겉넓

이를 계산해보았습니다. tanh(x)함수의 회전체의 경우 0 부근에서 정상적으로 회전체가 형성

이 되지 않았습니다. 이전 논의된 바와 같이 0 ≤ x ≤ 2*pi 에 대해서 정확힌 면적을 구하고 

이를 x2를하여  -2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있었습니다.1. 회전체의 겉넓이 수식

- 383 -



[열린문제3] -2*pi ≤ x ≤ 2*pi 에 대한 회전체의 겉넓이는 구할 수 없음.

f(x) = tanh(x) #f(x) 함수저장revolution_plot3d (f(x), (x, -2*pi, 2*pi), show_curve = Tru

e, opacity = 0.7, parallel_axis = 'x', aspect_ratio = [1, 1, 1]) # f(x) 함수[-2*pi≤x≤2*p

i]에 대해서 x축에 대해서 회전체를 형성한다.   

- 384 -

f(x) = tanh(x)df(x) = diff(f(x), x) # f(x) 도함수 지정surface = numerical_integral(2*pi*f

(x)*sqrt(1 + df(x)^2), -2*pi, 2*pi)  # integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2) 수식을 이용하

여 f(x)[-2*pi≤x≤2*pi]회전체의 면적을 구한다. print(surface)0 ≤ x ≤ 2*pi 에 대해서 

정확힌 면적을 구하고 이를 x2를하여  -2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있음

f(x) = tanh(x) #f(x) 함수저장

revolution_plot3d (f(x), (x, 0,2*pi), show_curve = True, opacity = 0.7, parallel_axis = 

'x', aspect_ratio = [1, 1, 1]) # f(x) [0 ≤x≤2*pi] 에 대해서 x축에 대해서 회전체를 형성한

다.   

f(x) = tanh(x)

df(x) = diff(f(x), x) # f(x) 도함수 지정

surface = 2*numerical_integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2), 0, 2*pi)  

# integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2) 수식을 이용하여 f(x)[0≤x≤2*pi]회전체의 면적을 하고 

대칭이기 때문에 x2를하면 정확한 면적을 구할 수 있다.

- 385 -

print(surface)



이상구(LEE SANGGU)5월 4일 오후 9:07

Nice try^^ 다른 학생들은 이해 안되는 부분, 추가로 질문하시고, Final Comments 달아보세

요.

전형준(2022####82)5월 9일 오후 6:16

이주한학우님이 올려주신 tanh(x)의 값 (-2*pi, 2*pi) 구간에서 sage프로그램에 넣어서 보면 

0의 근사해를 볼 수 있었습니다. 근데 왜 이러한 값이 나오는지 궁금해서 구간을 (-2*pi,0) , 

(0,2*pi) 을 나누어서 겉넓이를 구해보니 서로 크기는 같고 부호는 다른 값들을 확인할 수 있

었습니다. 함수 f(x)의 값이 (-2*pi,0) 구간에서는 음수를 가지고 (0,2*pi) 양수를 가지는 원점

대칭의 함수이며 두 개의 구간을 구해 더하기 위해서는 abs를 사용하면 구할 수 있었습니다. 

또한, 이주한학우처럼 (0,2*pi) 적분값을 *2하여 값들을 확인할 수 있었습니다. 제가 생각한 

객관적인 정보입니다. 틀린부분이나 수정사항은 답글남겨주시길 바랍니다. 이러한 실습을 할 

수 있게 도와주셔서 감사합니다.

이주한(2022####78)5월 10일 오전 9:25

4. 따라서 두 개의 구간에서 절댓값의 값을 더해서 구할 수 있을 듯합니다. 저는 절대값을 씌

워서 값을 구할 수 있다는 생각을 못해봤네요 ..^^ 의견 감사합니다

이효민(2022####80)5월 10일 오후 6:59

회전체의 겉넓이를 구하는 방법을 sage 실습과정을 통해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

Final Comment

tanh(x)함수의 회전체의 경우 0 부근에서 정상적으로 회전체가 형성이 되지 않았

습니다. 이전 논의된 바와 같이 0 ≤ x ≤ 2*pi 에 대해서 정확힌 면적을 구하고 

이를 x2를하여  -2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있었습니다.

[HW W11] 극좌표 (Open Problem) 백승준, 이혜인, 노영규, 이주한, 손

혜원, 김현구, 박경현, 전형준

작성자 : 이혜인(2022####79)작성일 : 5월 8일 오후 1:40

조회수 : 38

안녕하십니까 소재부품융합공학과 이혜인입니다.11주차 극좌표에 대해 학습한 내용 공유드립니

다.극좌표(Polar coordinate)- 평면상의 한 점 P에 대하여 원점에서 P까지의 거리를 r

이라 하고, 반직선 OP까지의 각을 θ라 할 때 점 P를 극좌표(순서쌍) ( r , θ )로 나타낼 수 있다.

앞으로 미분방정식을 배워야 할 경우, 극좌표가 아주 중요하다고 합니다.직교좌표로 접근했을 때 

어려운 내용들을 극좌표로 접근하게 되면 계산이 매우 쉬워진다는 것을 볼 수 있습니다.P ( r = 

원점에서 점 P까지의 거리, θ = 원점에서 P까지의 반직선이 x축과 이루는 각)

- 386 -

극좌표의 표현법 예 )직교좌표 (1, 1)일 때 극좌표는 (√

2 , pi/4) 입니다.

아래는 http://matrix.skku.ac.kr/S

-calculus/W12/ 예제13번과 Open Problem 입니다.

Open Problem)직교좌표 (1, √3)을 극좌표로 나타낸다면?

- 387 -

x, 

y = 1, sqrt(3)   # x, y

sqrt(x^2 + y^2), arctan(y/x)      # r, t극좌표(√2 , 1/4*pi)를 직교좌표로 나타낸다면?

r, t 

= sqrt(2), 5*pi/4  # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)



x, y = -1, -1   # x, ysqrt(x^2 + y^2), arctan(y/x) + pi      # r, t ( x좌표가 -이므로 t에 

pi를 더해줌)

극좌표와 직교좌표에 대해서 주어진 코드를 이용하여 sageMath로 쉽게 원하는 좌표를 구할 수 

있었습니다.이상입니다.----------------------------

[HW W11] [열린 문제 4] 극좌표

작성자 : 백승준(2022####74)작성일 : 5월 6일 오후 4:05

- 388 -

조회수 : 20

안녕하십니까! 소재부품융합공학과 백승준입니다.금주에 배운 극좌표에 대해 공부한 내용 공

유드립니다.■ 극좌표 (Polar coordinate)- 극좌표 (Polar coor

dinate)는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계

이다.    두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 유용한 것으로 알려져 

있다.  - 직교좌표계 (Cartesian coordinates system)에서 삼각함수로 

복잡하게 나타내는 관계가 극좌표계 (Polar coordinate system)에서는 

오히려 매우 간단하게 표현되는 경우가 많다. . 원점 O에서 x축의 양의 

방향으로 주어진 반직선을 극축 (Polar axis)이라고 한다.   좌표평면 위

의 한 점 P에 대하여 원점으로부터 거리가 r이고 선분과 극축이 이루는 

각을 θ (극축에서부터 반시계방향으로 잰 각을 양의 각으로 한다.)라고 

하면 P의 좌표를 (r, θ)로 나타낼 수 있다. 이 (r, θ)를 점 P의 극좌표라

고 한다.

r 

= 0이면 θ에 관계없이 원점을 나타내고, r>0일 때 (-r,θ)는 위의 그림에

서 보듯이 (r, θ)을 원점에 대칭이동한 점으로 생각한다.

추

가로 극좌표에 대해 찾아보며 극좌표 그래프에 대한 대칭성 판정에 정리

된 게 있어 공유드립니다.[출처 : https://qstudy.kr/files/old/samplebook/%EB%8

C%80%ED%95%99%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%992-%EC%83%98%ED%9

4%8C%EA%B5%90%EC%9E%AC.pdf]

- 389 -





■ 열린 문제 4[좌표계 표현 변환]1) 극좌표 (-sqrt(2), pi/4) → 직교좌

표r, t = -sqrt(2), pi/4   # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)답 : (-1, -1)2) 극좌표 (5, arctan(4/3)) → 직교좌표

r, t = 5, arctan(4/3) # 각을 t 로 표현한다.

- 390 -

r*cos(t), r*sin(t)답 : (3, 4)3) 직교좌표 (-sqrt(3), 3) → 극좌표         

        

u, v = -sqrt(3), 3  # x, y 대신 u, v로 나타내었다.

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) + pi      # r, t → x가 - 값이기 때문

에 각도에 pi를 더해주었다. 

답 : (2*sqrt(3), 2/3*pi)

두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 표현될 경우 특히 삼각함수의 경우 극좌표로 

쉽게 표현되는 것을 알 수 있었고, Sage를 통해 직교좌표 ↔ 극좌표의 변환을 쉽

게 할 수 있는 것을 배웠습니다.직교좌표의 x값이 -이면 θ에 pi를 더해주어야 원

래 원하던 값이 나오는 것을 확인하면서 교수님께서 강조하신 수학에 대한 개념을 

이해하고 코딩을 사용하는 것이 중요하다는 것을 경험할 수 있었습니다.

노영규(2022####70)5월 7일 오전 10:02

하트모양을 만들기 위해 [극좌표계] r = 1-sinθ [직교좌표] (x^2+y^2+2y)^2=4(x^2+y^2) 극좌

표계가 쉽게 표현되는 것을 알았고, sage를 통해 변환을 쉽게 할 수 있다는 것을 이해하였습

니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)5월 7일 오후 5:32

대칭성 판정에 대해서 정리한 내용에 대해서 이해하였으며 직교좌표에서 극좌표로 극좌표에서 

직교좌표에 대한 변환을 코드를 활용하여 손쉽게 가능하다는 것을 이해했습니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 8일 오후 6:03

아주 잘했어요 👍 이혜인씨^^ 내가 쓴 책을 읽고 내 설명을 듣고, 대부분의 학생들이 그 내용

의 key idea를 이해하고 유사한 문제들을 해결할 수 있게 되었다면 ... 우리 강좌는 very su

ccessful 한 것 입니다. 팀원 들이 역할 분담하여 주차별 학습 내용을 이와 같이 부담하여, 

요약하고, 다시 설명해주고, 풀어보고, 고치고, 완성하여, 발표 한다면 ... 아주 좋은 그리고 

효과적인 학습법이 될 듯 합니다.

손혜원(2022####75)5월 8일 오후 6:38

극좌표라는 새로운 개념을 알게 되었는데 여러 예제를 활용하여 정리해주셔서 학습하는데 많

은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김현구(2022####69)5월 9일 오전 10:34

극좌표의 개념에 대해 예제를 활용하여 정리해주셔서 감사합니다. 많은 도움이 되었습니다.

박경현(2022####72)5월 9일 오후 6:06

극좌표에 대해 정리해주셔서 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)5월 9일 오후 7:21

극좌표에 대한 내용들을 이해할 수 있었고 좌표평면으로 나타내기 위한 방법들을 확인할 수 

있었습니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 8일 오후 6:03

- 391 -

아주 잘했어요 👍 이혜인씨^^ 내가 쓴 책을 읽고 내 설명을 듣고, 대부분의 학생들이 그 내용의 

key idea를 이해하고 유사한 문제들을 해결할 수 있게 되었다면 ... 우리 강좌는 very successful 

한 것 입니다. 팀원 들이 역할 분담하여 주차별 학습 내용을 이와 같이 부담하여, 요약하고, 다시 

설명해주고, 풀어보고, 고치고, 완성하여, 발표 한다면 ... 아주 좋은 그리고 효과적인 학습법이 될 

듯 합니다.

손혜원(2022####75)5월 8일 오후 6:38

극좌표라는 새로운 개념을 알게 되었는데 여러 예제를 활용하여 정리해주셔서 학습하는데 많은 도

움이 되었습니다. 감사합니다.

김현구(2022####69)5월 9일 오전 10:34

극좌표의 개념에 대해 예제를 활용하여 정리해주셔서 감사합니다. 많은 도움이 되었습니다.

박경현(2022####72)5월 9일 오후 6:06

극좌표에 대해 정리해주셔서 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)5월 9일 오후 7:21

극좌표에 대한 내용들을 이해할 수 있었고 좌표평면으로 나타내기 위한 방법들을 확인할 수 있었

습니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 9일 오후 7:47

직교좌표 (0, -12 ) 점을 극좌표로 손으로 구해보고, 또 코드를 고쳐서 구해서 정답을 구한 후 ... 

코멘트 달아서 누가 Finalize 하세요.

Final-[HW W11] [Open problem1] 회전체(입체)의 부피(Volume) 천혜

준 김지수 손혜원, 노태완, 박경현, 이주한, 이혜인, 박준수, 김용철, 조현

준, 윤관수, 김현구, 전형준, 백승준, 임경섭, 이효민

작성자 : 손혜원(2022####75)작성일 : 5월 8일 오후 4:22

조회수 : 44

[HW W11] [Open problem1] 회전체(입체)의 부피(Volume) 천혜준 김지

수

작성자 : 김지수(2022####68)작성일 : 5월 2일 오후 3:12

조회수 : 22

안녕하세요. 소재부품융합공학과 손혜원입니다.11주차 열린 문제 실습한 

내용 공유드립니다.1. y=x^2, s=y^2, x=-1에 대하여 회전하여 생기는 

입체의 부피를 구해보았습니다.먼저 그래프를 그리고 교점을 찾아보았습

니다.

- 392 -

 그래프를 확인해보면 두 함수의 교점은 (0,0),(1,1) 임을 단박에 알 수 

있습니다.이후 3차원 그래프를 그려 보려했으나 x=-1을 축으로 회전하

는 것을 나타내지 못하여 입체를 나타내지 못했습니다.그러나 위의 그래

프만으로 입체의 모양은 파악이 가능하여 계속 진행했습니다.계산은 sag

e프로그램을 활용하고, 이론은 원통껍질 방법을 적용하여 부피를 구해보

았습니다.

입체를 나타내지는 못하였으나복잡한 계산을 거치지 않고 sage프로그

램으로 그래프 개형을 확인한 후 금방 답을 구할 수 있었습니다.

- 393 -

안녕하세요. 소재부품융합공학과 김지수입니다.11주차 적분의 응용 실습

한 내용 공유 드립니다.손으로는 해결할수없는 문제를 코딩으로 손쉽게 

풀어볼수있었습니다.1. f(x) = x^2 – 2*x^3

 

- 394 -

2. f(x) = 3*x^2+4*x

- 395 -

[HW W11] [Open problem1] 회전체(입체)의 부피(Volume)

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.11주차 적분의 응용(회전

체(입체)의 부피(Volume)) 실습한 내용을 공유하도록 하겠습니다. 

var ('x')f(x) = 4*x^2 - 2*x^3revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 2), show

_curve = True, opacity = 0.6, parallel_axis = 'z') # y축을 중심으로 

회전시킬 때는 parallel_axis = 'z'를 입력한다. (3차원 그래프로 인식)f

(x) = 4*x^2 - 2*x^3solve ( f(x) == 0, x )

f(x) = 4*x^2 - 2*x^3integral (2*pi*x*f(x), x, 0, 2)

- 396 -

[final-[HW W11] [Open problem1] 회전체(입체)의 부피(Volume) 천혜

준 김지수 손혜원, 노태완, 박경현, 이주한, 이혜인, 박준수, 김용철, 조현

준, 윤관수, 김현구, 전형준, 백승준, 임경섭, 이효민

안녕하세요. 소재부품융합공학과 손혜원입니다.11주차 열린 문제 실습한 내용 공유드립니다.

1. y=x^2, s=y^2, x=-1에 대하여 회전하여 생기는 입체의 부피를 구해보았습니다.먼저 그래프를 

그리고 교점을 찾아보았습니다.

그래프를 확인해보면 두 함수의 교점은 (0,0),(1,1) 임을 단박에 알 수 있습니다.

이후 3차원 그래프를 그려 보려했으나 x=-1을 축으로 회전하는 것을 나타내지 못하여 입

체를 나타내지 못했습니다.

그러나 위의 그래프만으로 입체의 모양은 파악이 가능하여 계속 진행했습니다.계산은 sag

- 397 -

e프로그램을 활용하고, 이론은 원통껍질 방법을 적용하여 부피를 구해보았습니다.

입체를 나타내지는 못하였으나복잡한 계산을 거치지 

않고 sage프로그램으로 그래프 개형을 확인한 후 금방 

답을 구할 수 있었습니다.

[Final OK by TA] [HW W12] 박경현, 이주한, 노태완 [열린문제5] 극방

정식(Polar Equations)의 그래프

작성자 : 임동선(2017####79)작성일 : 5월 14일 오후 12:04

조회수 : 10

안녕하세요. 박경현입니다.극방정식에 대해 여러 그래프를 그려보면서 이

해한 내용을 공유드립니다. 

4. r=1+sinθ 의 그래프는 아래와 같음을 확인하여라. 

- 398 -

[Sege 활용]

5. r=cos2θ의 그래프를 그려보아라.

 

- 399 -

6. r=θ/2π의 그래프를 그려보아라. 

(참고 http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_spiral)[출처] https:

//suhak.tistory.com/300 6번 문제는 이해가 되지 않아서 Sege를 통해 

아래와 같이 그려보았습니다.

 

시계 반대 방향으로 이동할 때를 가시화하여 그래프가 어떻게 그려지는

를 이해할 수 있었습니다.

- 400 -

[HW W12] [열린문제5] 극방정식(Polar Equations)의 그래프

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 11일 오후 6:58

조회수 : 21

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

극방정식 그래프 관련하여 정리 및 추가 자료 공유드립니다. 

우선 아래 참고자료를 통해 θ값이 변화함에 따라 극방정식의 그래프가 변화함을 직관적으로 

알 수 있었으며,r = f(θ) 또는 F(r, θ) = 0 의 극방정식 그래프에 대해서 이해할 수 있었으며,  

아래 자료를 통해 극방정식이 그래프가 형성되는 과정에 대해서 디테일하게 이해할 수 있었습

니다. 

감사합니다.

1. 극방정식의 그래프

1. 

위 예제를 참고하여 그래프를 그려보았습니다. 

- 401 -

[Sage Code] - 교재참고t = var('t')

t0 = 0; t1 = 2*pi 

dt = (t1-t0)/8

@interact

def polar_curve3(f=input_box(cos(2*t), label='r =', type=SR), xrange=input_box([-1,1], 

label="x range"), yrange=input_box([-1,1], label="y range"), 

                 theta = slider(t0,t1,dt, default=t0)):   

    pretty_print(html('$$r = %s$$'%latex(f)))

    init = t0

    tpt = theta

    xfunc = f*cos(t)

    yfunc = f*sin(t)

    min_x = xrange[0]

    max_x = xrange[1] 

    min_y = yrange[0]

    max_y = yrange[1]

    p = point((xfunc(t=init),yfunc(t=init)), color='red', size=20)

    p+= text('$\\theta = %s$'%(init), (xfunc(t=init)+0.2,yfunc(t=init)+0.2), color='red', f

ontsize=15)

    if tpt == init:

        p.show(xmin = min_x, xmax = max_x, ymin = min_y, ymax = max_y, aspect

_ratio=1)

    else:

        p+= polar_plot(f, (t,init,tpt),rgbcolor = (1,0,0)) 

        p+= point((xfunc(t=tpt),yfunc(t=tpt)), color='red', size=20)

        p+= text('$\\theta = %s$'%(latex(tpt)), (xfunc(t=tpt)+0.2,yfunc(t=tpt)-0.2), color

='red', fontsize=15)

        p.show(xmin = min_x, xmax = max_x, ymin = min_y, ymax = max_y, aspect

_ratio=1)

[출처 : 수지수학학원 진산서당]https://m.blog.naver.com/yh6613/220876412118

Final Comment 

: 극좌표를 이용한 극방정식에 대해서 이해하였고, 다양한 예제를 통해 꽃무늬, 심

장모양도 형성 할 수 있음에 대해서 과정을 이해하였습니다 

- 402 -

# 35-1 곡선의 길이 정리

final [HW W11] 곡선의 길이 정리 및 예제문제 실습 박준수,윤관수,노*규,조현준,김용철,손혜원

작성자 : 박준수(2022####73)작성일 : 5월 2일 오후 3:41

조회수 : 36

안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준수 입니다.

곡선의 길이에대해 정리하고 예제문제 실습 해보았습니다.

- 403 -

예제1. 두점 (1,1)과 (4,8)사이에 있는 반입방 포물선(semicubical parabola) y^2=x^3의 호의 길이(Arc lengt

h)를 구하라.

var ('x, y')

implicit_plot (y^2 == x^3, (x, 1, 4), (y, 1, 8))

 

곡선 y^2=x^3에서 y를x의 함수로 변경하면 다음과 같다. 여기서 y=x^3/2를 얻는다.

var ('x, y')

- 404 -

solve ( y^2 == x^3, y )  # y에 대해 포물선 방정식을 푼다.

따라서 1<=x<=4까지 곡선의 길이를 계산하면 다음과 같다.

이전

다음

5개의 댓글

윤관수(2022####77)5월 2일 오후 4:12

곡선의 길이를 구하는 방법에 대하여 학습하였고 예제문제를 통해 확인했습니다. 감사합니다.^^

노*규(2022####70)5월 2일 오후 4:18

곡선의 길이에 대해 정리해주셔서 감사합니다. 이해하는데 많은 도움이 됐습니다.

# 35-2 Final Comment

곡선의 길이에 대해 이해하였고, implicit_plot명령어를 통해 직관적으로 그래프

를 확인 할 수 있었습니다.

[Final OK by TA] final [HW 12] 전형준,백승준, 이헤인, 노영규, 이주

한, 손혜원, 김현구, 박경현 직교좌표와 극좌표 정리

작성자 : 임동선(2017####79)작성일 : 5월 14일 오후 12:07

조회수 : 16



이상구(LEE SANGGU)5월 9일 오후 7:47

- 405 -

직교좌표 (0, -12 ) 점을 극좌표로 손으로 구해보고, 또 코드를 고쳐서 구해서 정답을 구한 후 

... 코멘트 달아서 누가 Finalize 하세요.

안녕하세요. 소재부품융합공학과 전형준입니다. 11주차 극좌표에 있어서 이혜인학우가 올려준 

내용을 학습하고 추가적으로 교수님이 주신 문제에 대한 해결을 하는 도중 질문이 생겼습니

다.직교좌표 (0,-12)는 좌표평면상 원점으로부터 x축의 방향으로는 0 y축의 방향으로는 -12만

큼 이동해있습니다.

따라, r의 크기는 12, 각도는 y축 위 점이며 아래쪽에 있기에 원점을 기준을 하면 270도입니

다.그러면 직교좌표 (0,-12) 점을 극좌표 (12,3/2*pi)로 확인이 가능합니다.

sage로 해당 문제를 풀어보겠습니다.[sage]u, v = 0, -12 

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) 

sage프로그램을 이용하여 직교좌표를 극좌표로 바꾸는 코드를 사용하면 

ZeroDivisionError: rational division by zero 해당 에러가 나오고 직

역을 하면 0에 의한 유리 분할이라고 나옵니다.arctan 분모자리에 0이 

들어가서 나오는 문제인지 정확하게 이해하기가 어려웠습니다.  Q. 해당 

에러가 뜨는 이유가 궁금합니다.또한, 해당 극좌표를 손으로 풀어봤으니 

반대로 극좌표를 직교좌표로 나타내는 sage를 이용하여 재확인해보았습

니다.r, t = 12,3/2*pi # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)

해당값으로 정확하게 

나오는 것을 알 수 있었습니다.여기서, 교수님이 말씀하시는 프로그램을 

너무 믿어서는 안되고 내가 배운 정의들을 확실하게 인지하고 있어야 한

- 406 -

다는 것을 확인할 수 있었습니다.sage프로그램은 우리가 풀기 힘든 수식

들을 풀어주는 도구정도라 생각하면 될듯합니다.그렇다면 직교좌표에서 

x,y 축 위의 점이라고 하면 해당에러가 나는지 궁금해서 다른 값들도 넣

어보았습니다.u, v = 0, -12 

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) =erroru, v = 0, 12 

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) =erroru, v = 0,24 

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) =erroru, v = -12, 0 

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) +pi= (12,pi)u, v = 12, 0 

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) = (12,0)u, v = 12,12 

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) (12*sqrt(2), 1/4*pi)해당 결과들을 본다면 y축의 점들은 

sage에서 error가 나오는 것으로 보입니다.에러의 이유를 알려주시면 감사하겠습니다.[HW W11] 

극좌표 (Open Problem) 백승준, 이혜인, 노영규, 이주한

작성자 : 이혜인(2022####79)작성일 : 5월 8일 오후 1:40

조회수 : 33

안녕하십니까 소재부품융합공학과 이혜인입니다.11주차 극좌표에 대해 학습한 내용 공유드립

니다.극좌표(Polar coordinate)- 평면상의 한 점 P에 대하여 원점에서 P까지의 거리

를 r이라 하고, 반직선 OP까지의 각을 θ라 할 때 점 P를 극좌표(순서쌍) ( r , θ )로 나타낼 

수 있다.앞으로 미분방정식을 배워야 할 경우, 극좌표가 아주 중요하다고 합니다.직교좌표로 

접근했을 때 어려운 내용들을 극좌표로 접근하게 되면 계산이 매우 쉬워진다는 것을 볼 수 있

습니다.P ( r = 원점에서 점 P까지의 거리, θ = 원점에서 P까지의 반직선이 x축과 이루는 각)

극좌표의 표현법 예 )직교좌표 (1, 1)일 때 극좌표는 

- 407 -

(√2 , pi/4) 입니다.

아래는 http://matrix.skku.ac.k

r/S-calculus/W12/ 예제13번과 Open Problem 입니다.

Open Problem)직교좌표 (1, √3)을 극좌표로 나타낸다면?

x, 

y = 1, sqrt(3)   # x, y

sqrt(x^2 + y^2), arctan(y/x)      # r, t극좌표(√2 , 1/4*pi)를 직교좌표로 나타낸다면?

- 408 -

r, t 

= sqrt(2), 5*pi/4  # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)

x, y = -1, -1   # x, ysqrt(x^2 + y^2), arctan(y/x) + pi      # r, t ( x좌표가 -이므로 t

에 pi를 더해줌)극좌표와 직교좌표에 대해서 주어진 코드를 이용하여 sageMath로 쉽게 원하

는 좌표를 구할 수 있었습니다.이상입니다

-----------------------------------------------------------------------------

[HW W11] [열린 문제 4] 극좌표

작성자 : 백승준(2022####74)작성일 : 5월 6일 오후 4:05

조회수 : 20

안녕하십니까! 소재부품융합공학과 백승준입니다.금주에 배운 극좌표에 대해 공부한 내용 

공유드립니다.

■ 극좌표 (Polar coordinate)- 극좌표 (Polar coordinate)는 평면 위의 위치를 각도와 

거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계이다.    

두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 유용한 것으로 알려져 있다.  

- 직교좌표계 (Cartesian coordinates system)에서 삼각함수로 복잡하게 나타내는 관계

가 극좌표계 (Polar coordinate system)에서는 오히려 매우 간단하게 표현되는 경우가 

많다. . 원점 O에서 x축의 양의 방향으로 주어진 반직선을 극축 (Polar axis)이라고 한다.  

 좌표평면 위의 한 점 P에 대하여 원점으로부터 거리가 r이고 선분과 극축이 이루는 각

을 θ (극축에서부터 반시계방향으로 잰 각을 양의 각으로 한다.)라고 하면 P의 좌표를 (r, 

- 409 -

θ)로 나타낼 수 있다. 이 (r, θ)를 점 P의 극좌표라고 한다.

r = 0이

면 θ에 관계없이 원점을 나타내고, r>0일 때 (-r,θ)는 위의 그림에서 보

듯이 (r, θ)을 원점에 대칭이동한 점으로 생각한다.

추가로 극

좌표에 대해 찾아보며 극좌표 그래프에 대한 대칭성 판정에 정리된 게 

있어 공유드립니다.[출처 : https://qstudy.kr/files/old/samplebook/%EB%8C%80%E

D%95%99%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%992-%EC%83%98%ED%94%8C%E

A%B5%90%EC%9E%AC.pdf]

- 410 -

■ 열린 문제 4[좌표계 표현 변환]1) 극좌표 (-sqrt(2), pi/4) → 직교좌

표r, t = -sqrt(2), pi/4   # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)답 : (-1, -1)2) 극좌표 (5, arctan(4/3)) → 직교좌표r, 

t = 5, arctan(4/3) # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)답 : (3, 4)3) 직교좌표 (-sqrt(3), 3) → 극좌표           

      

u, v = -sqrt(3), 3  # x, y 대신 u, v로 나타내었다.

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) + pi      # r, t → x가 - 값이기 때문

에 각도에 pi를 더해주었다. 

답 : (2*sqrt(3), 2/3*pi)

두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 표현될 경우 특히 삼각함수의 경우 극좌표로 

쉽게 표현되는 것을 알 수 있었고, Sage를 통해 직교좌표 ↔ 극좌표의 변환을 쉽

게 할 수 있는 것을 배웠습니다.직교좌표의 x값이 -이면 θ에 pi를 더해주어야 원

래 원하던 값이 나오는 것을 확인하면서 교수님께서 강조하신 수학에 대한 개념을 

이해하고 코딩을 사용하는 것이 중요하다는 것을 경험할 수 있었습니다.

노영규(2022####70)5월 7일 오전 10:02

하트모양을 만들기 위해 [극좌표계] r = 1-sinθ [직교좌표] (x^2+y^2+2y)^2=4(x^2+y^2) 극좌

표계가 쉽게 표현되는 것을 알았고, sage를 통해 변환을 쉽게 할 수 있다는 것을 이해하였습

니다. 감사합니다.

이주한(2022####78)5월 7일 오후 5:32

- 411 -

대칭성 판정에 대해서 정리한 내용에 대해서 이해하였으며 직교좌표에서 극좌표로 극좌표에서 

직교좌표에 대한 변환을 코드를 활용하여 손쉽게 가능하다는 것을 이해했습니다.

이전

다음

6개의 댓글

이상구(LEE SANGGU)5월 8일 오후 6:03

아주 잘했어요 👍 이혜인씨^^ 내가 쓴 책을 읽고 내 설명을 듣고, 대부분의 학생들이 그 내용

의 key idea를 이해하고 유사한 문제들을 해결할 수 있게 되었다면 ... 우리 강좌는 very su

ccessful 한 것 입니다. 팀원 들이 역할 분담하여 주차별 학습 내용을 이와 같이 부담하여, 

요약하고, 다시 설명해주고, 풀어보고, 고치고, 완성하여, 발표 한다면 ... 아주 좋은 그리고 

효과적인 학습법이 될 듯 합니다.

손혜원(2022####75)5월 8일 오후 6:38

극좌표라는 새로운 개념을 알게 되었는데 여러 예제를 활용하여 정리해주셔서 학습하는데 많

은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

김현구(2022####69)5월 9일 오전 10:34

극좌표의 개념에 대해 예제를 활용하여 정리해주셔서 감사합니다. 많은 도움이 되었습니다.

박경현(2022####72)5월 9일 오후 6:06

극좌표에 대해 정리해주셔서 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)5월 9일 오후 7:21

극좌표에 대한 내용들을 이해할 수 있었고 좌표평면으로 나타내기 위한 방법들을 확인할 수 

있었습니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 9일 오후 7:47

직교좌표 (0, -12 ) 점을 극좌표로 손으로 구해보고, 또 코드를 고쳐서 구해서 정답을 구한 후 

... 코멘트 달아서 누가 Finalize 하세요.

등록

이상구(LEE SANGGU)5월 12일 오전 9:43

잘 정리했습니다. 프로그램을 너무 믿어서는 안되고 배운 정의들을 확실하게 인지하고 있어야 

컴퓨터가 이상한 답을 줄 때 ... 코드를 고칠 수 있습니다. 컴퓨터나 프로그램은 우리가 풀기 

힘든 수식들을 풀어주는 도구정도라 생각하면 됩니다. 직교좌표에서 x= 0 인 , y 축 위의 점

을 가지고 y/x = y/0 = ???? 의 arctan 를 구하라고 하면 당연히 컴퓨터는 입력이 부정확하

니까 ... 답으로 error 를 낼것 이라는 것을 여러분을 모두 당연히 인지 하셔야 합니다. 해당

에러 의 예 u, v = 0, -12 sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) =error 이런 쉬운 extreme 경우

는 우선 손으로 구하세요. 코딩은 그 후 입니다.

]

Final Comment 

: 직교좌표, 극좌표 개념에 대해서 이해하였으며, 서로 변환하는 과정 및 현재 코

드에서 안되는 점을 확인하고 이해하였습니다. 

- 412 -

[final][HW W11] [Open Problem] 극방정식의 넓이(Area), 호의길이 (A

rc length), 노태완, 박준수, 김현구,조현준,윤관수,박경현,이주한,이효민

작성자 : 김현구(2022####69)작성일 : 5월 14일 오후 7:40

조회수 : 15

안녕하십니까. 소재부품융합공학과 김현구입니다.

극방정식의 넓이와 호의 길이에 대한 예제문제를 변형하여 풀어보았습니

다.1.심장형(cardioid) r = 1 + sinθ 의 넓이를 구하여라var ('t')

f(t) = 1 + sin(t)

show (polar_plot(f(t), (t, 0, 2*pi), fill = True))          

integral ( 1/2*f(t)^2, t, 0, 2*pi )

2. 4엽 장미(four-leaved rose) r = cos2θ 의 한 고리로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하

라.var('t')

f(t) = cos(2*t)

show (polar_plot(f(t), (t, 0, 2*pi)))    # 곡선의 길이 계산

- 413 -

df(t) = diff(f(t), t)

integral (sqrt(f(t)^2 + df(t)^2), t, 0, 2*pi)

다른 예제문제를 찾아 추가로 풀어보겠습니다. 이상입니다.안녕하십니까, 소재부품융합공학과 박준

수 입니다.극좌표 호의 길이를 구하는 예제문제를 추가로 실습해보았습니다.1. 심장형(cardioid) r

=1+sinθ의 길이(호의 길이, Arc length)를 구하라.# 그래프 그리기

var ('t')

f(t) = 1 + sin(t)

show (polar_plot(f(t), (t, 0, 2*pi)))          # 곡선의 길이 계산

df(t) = diff(f(t), t)

integral ( sqrt(f(t)^2 + df(t)^2), t, 0, 2*pi )

- 414 -

2. 사이클로이드 x=2(t-sint) , y=2(1-cost) 의 한 아치의 길이(호의 길

이, Arc length)를 구하라.var ('t')

f(t) = 2*(t - sin(t)); g(t) = 2*(1 - cos(t))

parametric_plot ( (f(t), g(t)), (t, 0, 2*pi) )먼저 sage를 이용하여 곡선을 그리

면 다음과 같다.

이제 곡선의 길이를 구하면 다음과 같다.

var ('t')

f(t) = 2*(t - sin(t)); g(t) = 2*(1 - cos(t))

df(t) = diff(f(t), t); dg(t) = diff(g(t), t)

2*integral ((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)).simplify_full(), t, 0, pi)  # simplify_full은 수식을 간결하게 나타낸

다.

- 415 -

이상입니다.

[HW W12] [Open Problem] 극좌표 호의길이 (Arc length)

작성자 : 노태완(2022####71)작성일 : 5월 9일 오전 10:36

조회수 : 12

안녕하십니까 소재부품융합공학과 노태완입니다.극좌표의 호의 길이를 열린문제를 통하여 풀

어보았습니다.

- 416 -

Sage프로그램을 활용하여 풀이를 해보았습니다.

- 417 -

Sage를 활용하여 쉽게 그래프를 그릴 수 있었고 답까지 도출이 쉽게 가능 한 것을 확인하였

습니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 9일 오전 10:59

Very clear^^ 노태완씨가 깨우치고 이해 하신 것을 한눈에볼 수 있습니다.

final - RE : [HW W12] 전형준, 이혜인, 임경섭, 이주한, 김용철 테일러 

급수와 매클로린 급수 (예제 25)

작성자 : 이혜인(2022####79)작성일 : 5월 14일 오후 8:24

조회수 : 32

안녕하십니까 소재부품융합공학과 이혜인입니다.

12주차 테일러급수와 매클로린 급수에 대해 학습한 내용 공유드립니다. 

https://www.youtube.com/watch?v=Xc1QDNxoiSg

(1) 테일러 급수 : a를 포함하는 구간에서 f가 무한히 미분 가능할 때 

(2) 매클로린 급수 : 테일러 급수에서 a값 대신에 0을 대입한 것



우선 테일러급수에서 왜 f(a), f'(a)/1! , f''(a)/2! 형태가 나오는지 살펴보겠습니다.

여기서 x 대신에 a를 대입하면 c0 뒷항은 다 사라지게 되고, 

이 됩니다.

마찬가지로,

 x 대신에 a를 대입하면 c1 뒷항은 

다 사라지고  

x 대신에 a를 대입하면 2c2 뒷항은 

다 사라지고  

 x 대신에 a를 대입하면 2*3c3 뒷항은 

다 사라지고 

이 됨을 알 수 있습니다.

- 418 -

예제25)

의 매클로린 급수를 구하고, 수렴 반경을 구하여라.

f’(x) = e^xf’’(x) = e^xf’’’(x) = e^xe^x는 미분해도 자기 자신인 e^x입니다.

이 사실로부터 f(0) = 1, f’(0) = 1, f’’(0) = 1, f’’’(0) =1 ... 이 됩니다.따라서 e^x의 급수 전개는 

의 형태로 전개되는 것을 알 수 있습니

다.(e^x의 매클로린 급수는 기본급수에 해당하기 때문에 암기하는 것이 도움된다고 합니다.)

그리고 수렴반경은 

으로, 

0은 항상 1보다 작기 때문에주어진 급수는 모든 실수 x에 대해서 절대수렴한다는 것을 알 수 있

습니다. ( -oo < x < oo ) a=0에서의 테일러 다항식을 sageMath 로 계산해보면 아래와 같은 결

과가 나옵니다.

f(x) = exp(x)

f(x).taylor(x, 0, 5)               # 함수.taylor(x, 0, n) : a=0에서의 Maclaurin 다항식

복잡한 과정 없이 sageMath를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 있었습니다.

--------------------------------------------------------------------------------

[HW 12] 전형준 테일러급수 정리

작성자 : 전형준(2022####82)작성일 : 5월 14일 오후 1:33

조회수 : 10

안녕하세요, 소재부품융합공학과 전형준입니다.테일러급수에 대한 내용들을 공부하면서 쉽게 

이해가 되지 않아 정리를 하여 보았습니다.교재에 나와있는 내용만으로도 쉽게 이해가 되면 

좋겠지만 조금 더 자료를 찾아보며 정리한 내용들을 공유해드리겠습니다.

먼저, 테일러 급수가 무엇인지를 알아보고 테일러급수를 왜 필요한지, 어떻게 활용이 되고 있

- 419 -

는 점을 중점으로 보겠습니다.

1. 테일러 급수의 이해

테일러 급수 또는 테일러 전개는 어떤 미지의 '미분가능한' 함수 f(x)를 다항함수로 표현하는 

것을 말합니다.

여기서 왜 , 이러한 함수들을 다항함수로 표현하는 것에 대한 내용을 보기 전 우리가 사용하

고 있는 함수들을 조금 더 알아보겠습니다.

단항식 : 숫자와 몇 개의 문자의 곱만으로 이루어진 식ex) 2ab, xy, x^2

다항식 : 두 개이상의 단항식을 연산기호로 연결한 식ex) 2ab+x, x+y

다항함수 : 다항식으로 유도되는 함수

ex) f(x) = 2x+ 3f(x) = sin(x)+ln(x)+tan(x)g(x)= x^3+39*x+10와 같이 두 개의 함수를 보면 

g(x)가 더욱 간단해 보이고 연산에 자유롭다고 볼 수 있습니다. 

그래서 테일러 급수는 다양한 함수들을 다항함수로 표현하여 더욱 쉽게 연산을 하기 위함으로 

볼 수 있습니다.

2. 테일러 급수

f(x)를 다항함수로 표현하기 위해서 f(x)를 하기와 같은 식으로 나타내보면

f(x)를 미분을 해보면 하기와 같은 식들이 나오며

 

모든 식에 x=a를 대입해서 본다면         

이라는 값들을 확인 할 수 있습니다.여기서, 처음 가정한 식에 대입하여 본다면

- 420 -

따라서, f(x)를 무한급수의 꼴로 나타낼수 있습니다.

미지의 함수에 대해 다항함수로 나타내었다고 볼 수 있습니다. 

하지만, 테일러급수에서 주의해야 할 사항은 좌변과 우변이 모든 x에 같은 것이 아니라, x=a 

근처에서만 성립한다는 점이 있습니다.

즉 x가 a에서 멀어질수록 큰 오차를 가지게 됩니다.테일러 급수는 x=a에서 f(x)와 동일한 미

분계수를 갖는 어떤 다항함수로 f(x)를 근사하는 것입니다.

[sage] 프로그램에서 간단한 예제를 풀어보면 f(x)=sin(x) 에서 a=0일 때, 10번차 테일러 다항

식을 구해보면

이런식으로 테일러급수에 대해서 풀 수 있습니다.

[sage] 프로그램에서 조금 또 다른 예제로, f(x)=sin(x)*tan(x) 에서 a=0일 때, 6번차 테일러 

다항식을 구해보면

- 421 -

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 8:29

이혜인씨가, 이제는 복잡한 과정 없이 sageMath를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 

있게 되었으니, I am happy. 이제 " 왜 임의의 연속함수에 대하여, 근사한 다항식이 존재한

다"는 ' 바이어슈트라스 근사정리'가 중요한지에 대해 좀 더 얘기해 보세요. Key. 수학자 바이

어슈트라스(Karl Weierstrass)가 1885년에 발표한 결과로 연속함수를 다항식으로 근사할 수 

있다는 것을 말해준다. 스톤(Marshall H. Stone)이 후에 이 결과를 확장하여 그 결과를 스톤

-바이어슈트라스 정리라고 한다.

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 8:33

즉, 다항식에 대한 충분한 이해, 미분과 적분 등의 계산 등에 능하면 (여러분이 지금 그 상태 

입니다. ) ... 모든 연속함수의 극대, 극소, 최다. 최소, 면적, 길이, 부피 등 , 모든 관련문제 

에 합리적인 답을 줄 수 있게 된 것 입니다.

전형준(2022####82)5월 15일 오후 4:09

이혜인 학우님이 올려주신 자료로 매클로린 급수에 대한 내용을 인지할 수 있었습니다 . 바이

어슈트라스 근사정리도 테일러급수와 비슷하게 다항식으로 근사할 수 있다는 것을 알 수 있으

나 정확한 정의를 위해 학습을 하고 공유하겠습니다,

임경섭(2022####81)5월 15일 오후 4:37

x=a 에서 a대신 0을 대입하는 메클로린급수와 테일러 급수에 대해 정리해주셔서 감사합니다.

이주한(2022####78)5월 16일 오전 8:06

어떤 매클로린급수는 모든 실수( -oo < x < oo )에서 절대 수렴함을 알 수 있었습니다

김용철(2022####66)5월 16일 오후 4:21

테일러급수와 매클로린급수의 개념을 이해하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

Final Comment

주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 하는 

다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는 것을 테일러 급수라는 것을 

알게 되었습니다. 

- 422 -

Final 이주한, 박경현, 조현준, 윤관수, 노태완, 전형중[HW 12W] [열린문

제1] 양항급수의 수렴 판정법

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 15일 오후 8:20

조회수 : 19

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

12주에 학습한 양항급수 판정법에 정리 내용 공유드립니다.

양항 급수 : 모든 항이 0이상인 수열의 무한급수를 양항급수라고 부른다. 양항 급수의 판정법을 이

용하면 양항이 아닌 급수에 대해서도 절대수렴 여부를 판정할 수 있기 때문에, 양항급수 판정법은 수렴 

판정법의 기본이다. 

1. 비교판정법(Comparison test)

 

2. 극한비교판정법(Limit comparison test)

3. 적분판정법(Integral test)

4. p급수판정법 (p-series test)

5. 비판정법(ratio test)

- 423 -

1. 극합비교판정법을 이용한 수렴/발산 판정

var ('n')

a(n) = (1+n*log(n))/(n^2+5)

b(n) = 1/n

limit ( a(n)/b(n), n = +oo )                # 극한비교판정법

- 424 -

Final Comment 

: 양항급수의 다양한 판정법을 접하면서 풀기 어려운 급수에 대해서 

쉽게 수렴/발산 판정을 내릴 수 있음을 학습했습니다.

- 425 -

[HW 12W] [열린문제2] [이주한, 천혜준] 무한급수의 교대급수 판정법(Alt

ernating series test)과 절대비판정법(Absolute Ratio Test)

작성자 : 천혜준(2022####84)작성일 : 5월 16일 오후 3:14

조회수 : 19

안녕하세요. 소재부품융합공학과 천혜준입니다.12주차 양항급수의 수렴, 

발산을 판정을 실습한 내용을 공유하도록 하겠습니다.

 

  위 문제를 비교판정법 (比較判定法, comparison test) 을 사용하

여 수렴인지 발산인지 확인 하였습니다.

(1)     1/ 2^n 경우 (1/2^n+1) 보다 1/2^n 이 큰 것을 확인 할 수 있습

니다.

(2)     ∑ 1/ 2^n 는 π^2 / 6 으로 수렴하고 0 < 1/ 2^n+1 < 1/2^n 으

로 비교판정법을 사용하여 1/ 2^n+1 수렴함을 알 수 있습니다. 

위 문제를 극한비교판정법 (limit comparison 

test) 을 사용하여 수렴인지 발산인지 확인 하였습니다.(1)

는 양

항급수이다.(2) 

이고,

는 양항급수이면서 발산하므로, 발산

한다  위 문제를 적분판정법 (積分判別法, integral test) 을 사용하여 수렴

인지 발산인지 확인 하였습니다. 

 

는 양항급수이다.

- 426 -

 

따라서 수열(1/n)의 부분합 수열 s의 상계가 존재하면 n을 크게 잡으면 

위의 방법을 이용하여 그 상계보다 큰값을 항상 가질 수있으므로 무순이

다. 상계가 없으므로 발산한다.

Final - [HW W12] 수열과 급수의 수렴판정 [이효민, 박경현, 노*완, 윤관수, 노영규, 백승준, 전형

준]

- 427 -

이상구(LEE SANGGU)5월 12일 오전 2:02

Good.

박경현(2022####72)5월 12일 오후 1:08

수열에 대해 다시 한번 공부해볼 수 있었습니다. 감사합니다.

노*완(2022####71)5월 12일 오후 3:12

수열에 따른 그래프를 확인 할 수 있었습니다.

윤관수(2022####77)5월 12일 오후 3:54

수열의 수렴과 발산에 대하여 공부해볼 수 있었습니다. 감사합니다

노영규(2022####70)5월 13일 오전 10:02

수열에대한 정리 감사함니다. 덕분에 이해하는데 많은 도움이 됐습니다.

백승준(2022####74)5월 13일 오후 12:11

수열의 극한에 대한 정리와 수기로 값을 구하는 것과 Sage프로그램으로 값을 구한 것이 같다는 것을 보여

주신 덕분에 이해가 쉬웠습니다. 감사합니다.

전형준(2022####82)5월 14일 오후 12:08

수열의 극한에 대한 내용들을 인지할 수 있었습니다. 수열의 연속성을 찾기가 힘든데 sage프로그램을 이용

하면 더욱 쉽게 구할 수 있는 것 같습니다.

- 428 -

Comment: 수열과 급수의 수렴 발산에 대해서 확인 할 수 있었습니다.

Final 이주한, 박경현, 조현준, 윤관수, 노*완, 전형준[HW 12W] [열린문제1] 양항급수의 수렴 판

정법

- 429 -

[HW 12W] [열린문제2] 무한급수의 교대급수 판정법(Alternating series 

test)과 절대비판정법(Absolute Ratio Test)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 15일 오후 11:11

조회수 : 7

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.교대급수 판정법(Alternating series test)과 절

대비판정법(Absolute Ratio Test) 내용 공유드립니다.

1. 교대급수 판정법

교대급수(alternating series)란?양의 항과 음의 항이 번갈아 나타나는 규칙성이 있는 급수를 

교대급수 ((alternating series) 라 한다. 

→ 

교대급수판정의 조건을 만족하지 못하므로 해당 급수는 발산한다.     

1. limit ( b(n) , n = +oo) = 1/4  (만족 x)    

2.  ( b(n + 1) < b(n) = False   (만족 x)

- 430 -

2. 무한급수의 절대수렴과 절대비판정법(Absolute Ratio test)

절대수렴(absolutely convergent)이란?

절대비판정법(Absolute Ratio Test)

- 431 -

해당 학습을 통해서 교대급수가 수렴할 수 있는 조건과 절대급수가 수렴

하는 조건들이 대해서 이해하고 판정할 수 있었습니다.

[출처 : https://blog.naver.com/PostView.nhn?isHttpsRedirect=true&blogId=ldj1725&log

No=80182632113]

이상구(LEE SANGGU)5월 16일 오후 3:34

Good job.

노태완(2022####71)5월 16일 오후 4:15

여러가지 판정법을 확인 할 수 있었습니다.

윤관수(2022####77)5월 16일 오후 4:18

비교,극한,적분 판정법에 대하여 공부하고 실습 해볼 수 있었습니다.

김용철(2022####66)5월 16일 오후 4:28

수렴과 발산의 판정 방법을 학습하는데 도움이 되었습니다. 감사합니다.

[HW 13W] 박경현, 이주한 [열린문제3] <거듭제곱 급수(Power Series)의 

수렴반지름(radius of convergence)과 수렴구간을 구하는 과정과 방법>

[HW 13W] 박경현, 이주한 씨,  [열린문제3] 에서 해 보았듯이,  거듭제

곱 급수(Power Series)의 수렴반지름(radius of convergence)과 수렴구

간을 구하는 과정과 방법을 대략 이해하시고, 설명해 주실 수 있나요?  

Final PBL 발표시 설명해 주시면 이번 학기가 잘 마무리가 될 듯합니다.

*******************

안녕하세요.수렴 반지름과 수렴구간에 대해서 공부한 내용입니다.

 

- 432 -



====================================

var('n')c(n) = (-3)^n/sqrt(n + 1)

rho = limit( abs(c(n + 1)/a(n) ) , n = +oo)

R = 1/rho

1/3

====================================

- 433 -

교재의 예제22(p185)도 풀어보았습니다.

RE : [HW W12] 전*준, 이*인, 손*원 테일러 급수와 매클로린 급수 (예제 25)

작성자 : 손*원(2022####75)작성일 : 5월 15일 오후 5:12

안녕하세요 소재부품융합공학과 손*원입니다.

아래 이*인학우님이 올린 글 중에 예제 25번의 수렴 판정부분이 이해가 잘 되지 않아 직접 써서 증명해보

고 관련 내용을 함께 정리해보았습니다.

학우님들과 함께 보면 좋을 것 같아 공유드립니다.

예제25)

f’(x) = e^x

f’’(x) = e^x

f’’’(x) = e^x

e^x는 미분해도 자기 자신인 e^x 입니다.

이 사실로부터 f(0) = 1, f’(0) = 1, f’’(0) = 1, f’’’(0) =1 ... 이 됩니다.

따라서 e^x의 급수 전개는

(e^x의 매클로린 급수는 기본급수에 해당하기 때문에 암기하는 것이 도움된다고 합니다.)

이 부분에 대해 추가 학습해보았습니다.

먼저 관련된 내용을 정리해보았습니다.

- 434 -

이 내용을 바탕으로 두 가지 방법으로 절대수렴을 증명해보았습니다.

- 435 -

두 가지 방법으로 증명해보았으나 거듭제곱급수의 계수를 이용하여 수렴반지름까지 한번에 구하는 방법이 

더 효율적이라고 느꼈습니다.

이상입니다.

-----------------------------------------------------------------------------------------

RE : [HW W12] 전*준, 이*인 테일러 급수와 매클로린 급수 (예제 25)

작성자 : 이*인(2022####79)작성일 : 5월 14일 오후 8:24

안녕하십니까 소재부품융합공학과 이*인입니다.

12주차 테일러급수와 매클로린 급수에 대해 학습한 내용 공유드립니다. 

https://www.youtube.com/watch?v=Xc1QDNxoiSg

(1) 테일러 급수 : a를 포함하는 구간에서 f가 무한히 미분 가능할 때

- 436 -

(2) 매클로린 급수 : 테일러 급수에서 a값 대신에 0을 대입한 것

우선 테일러급수에서 왜 f(a), f'(a)/1! , f''(a)/2! 형태가 나오는지 살펴보겠습니다.

- 437 -

(e^x의 매클로린 급수는 기본급수에 해당하기 때문에 암기하는 것이 도움된다고 합니다.)

f(x) = exp(x)

f(x).taylor(x, 0, 5)               # 함수.taylor(x, 0, n) : a=0에서의 Maclaurin 다항식

복잡한 과정 없이 sageMath를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 있었습니다.

------------------------------------------------------------------------

[HW 13W] [열린문제3] 거듭제곱급수(Power Series)의 수렴반지름(radiu

s of convergence)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 18일 오후 3:58

조회수 : 7

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다.

거듭제곱급수(Power Series)의 수렴반지름(radius of convergence) 내용 정리 및 실습 내용 

공유드립니다.

앞서 배운 양항급수의 판정법인 비판정법(ratio test)을 이용하여 거듭제곱 급수에도 활용할 

수 있음을 알게되었고실습을 통해 수렴/발산을 판정하고 특정 구간에서만 수렴한다는 것을 알

- 438 -

겠되었습니다.

예제3. 

에 대한 수렴 반지름을 구하여라.거듭제곱급수에 대해서 비판정법을 이용

하였습니다.  p의 값이 0 < p < oo 사이로 R= 1/p로부터 수렴 반지를을 얻을 수 있었습니

다.  

Comment

: 거듭제곱급수와 수렴반지름의 개념에 대해서 이해하였고, 비판정식을 통해서 간

단하게 수렴 반지름을 구할 수 있음을 이해하고, 실습하였습니다. 

- 439 -

[Final OK by SGLee] Final - [Homework Week 4] 김재영, 백승준, 김재영, 천

혜준 - 역함수 구하기 + 추가질문 Bonus 1 point

교수님이 답변 주신 내용 중 (1), (2), (4)에 대해서는 이해가 되었습니다.

“책에 나와있는 예제 1 y = x^5 + 2*x + 1 는 모든 정의역에 대한 역함수는 아시다 싶이 존재하지 않습니

다. 구간을 제한하면 그 구간에서만 존재합니다. 그래프를 그려보세요^^ 수평선을 구려보세요^^ 수학적 이해

가 될 것입니다. “에 대해 질문이 있어서 추가 질문드립니다.

우선 교재에 나온 내용처럼 그래프를 그리고 수평선과 오직 한점에서만 만나면 역함수가 존재한다고 쓰여져 

있어서

y = x^5 + 2*x + 1 함수에 여러가지 수평선을 그려보았는데 한점에서만 만나는걸 확인 하였습니다.

혹시 범위가 좁아서 두점이 닿는 부분이 나오지 않는건가 해서 추가 범위도 늘려서 확인해보았습니다.

말씀하신 내용처럼 역함수가 존재하지 않는 이유를 표현하는 방법과 구간을 제한해서 확인하는 방법을 찾지 

못하겠습니다..

교수님께서 말씀하신 내용을 제가 정확하게 이해하지 못한것 같은데.. 다시한번 자세한 설명 부탁드립니다 

Comment by 

김재영 학우님의 게시글을 보고 의문이 들어 생각한 내용을 공유드립니다.

print (solve(y==f(x),x))

→ 이 명령어가 해를 구하는 명령어인데 5차 방정식의 경우 대수적 풀이법이 없어서 0 == x^5+2*x-y+1과 

같이 음함수 꼴이 나와서 프로그램으로 역함수를 표시 못 하는 거 같습니다.

교수님께서 말씀하신 구간은 solve 명령어로 우리가 원하는 방정식의 해를 못 구할 때 근사해를 구해야 하는 

거처럼 함수도 원하는 해를 얻기 위해 구간을 정해서 해야 한다는 것으로 이해했습니다.

이와 별개로 아래 프로그램에서 식을 입력하면 역함수 모양으로 그려지는 것을 확인해보았습니다.

y=x^5+2*x+1

x=y^5+2*y+1

https://www.desmos.com/calculator?lang=ko

위 프로그램으로 그려본 그래프에서는 거의 모든 정의역에 대한 역함수가 그려지는 거처럼 보였습니다.

그래서 교수님께서 말씀하신 "임의의 함수에 대해 모든 정의역에 대한 역함수는 존재하지 않는 경우가 많습니

다^^ " 라는 내용을 알고 싶습니다.

<-- (3) 책에 나와있는 예제 1 y = x^5 + 2*x + 1 는 그래프를 그려보세요^^ 그리고 수평선을 그려보세

요^^ 그럼 가역함수 인지 확인이 가능할 듯합니다.

Comment by 이상구

아주 잘 지적 했습니다.

모든 구간에서 역햠수가 존재함을 확인하였다면,

내가 확인하지 않고 스마트폰에서 막 쓴 글이 부정확 했습니다. 확인하고 다시 쓸께요.

이것이 내가 의도한 Good critical thingking 입니다.

보너스 1점입니다

Final Comment : 김재영 학우님과 역함수에 대해 discussion하였으며 y 

= x^5 + 2*x + 1의 역함수가 존재한다는 것을 확인하였고 역함수의 존재 

여부 판단을 확실하게 할 수 있었습니다.

- 440 -

[Final OK by SGLee] [Homework Week 4] 김대환, 임경섭, 손혜원, 백승준, 전

형준, 김대환, 천혜준, 이혜인, 김재영, 김현구, 이주한 역함수의 존재 조건~역삼각

함수 

역함수를 공부하던 중 "역함수가 존재하려면 기존의 함수는 일대일대응이 되어야하고, 어떠한 수평선을 그려

도 기존의 함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않아야 한다." 를 이용한 코딩 그래프를 통해 공부해본 내

용을 적어보겠습니다.

Vertical Line Test(수직선 테스트) 

수직선 테스트는 곡선과 수직선의 교차 수를 시각적으로 검사하여 평면의 곡선 이 함수 의 그래프를 나타내

는 지 여부를 그래픽 방식으로 판별하는 방법입니다.

직선 테스트의 동기는 다음과 같습니다. 관계 는 각 요소 가 최대 하나의 값과 일치(F : A -> B) 할 때 정확

히 함수 이며 결과적으로 평면의 모든 수직선이 함수의 그래프와 최대 한 번 교차할 수 있습니다.

따라서 수직선 테스트는 수직선이 두 번 이상 교차하지 않는 경우에만 평면의 곡선이 함수의 그래프를 나타

낸다는 결론을 내립니다.

즉, 어떤 집합 A의 원소에서 집합B의 원소에 한개만 대응되며, 모든 원소가 대응해야 합니다.

원의 방정식이 함수가 아닌 이유입니다.

Horizontal Line Test(수평선 테스트)

역함수가 정의되려면 치역의 모든 원소에 대하여 정의역의 원소가 하나씩만 대응되어야 하므로, 기존의 함수

는 정의역 내의 다른 원소에 대하여 항상 다른 원소가 대응되어야 한다.

즉, 기존의 함수는 (치역범위 내에서) 어떠한 수평선을 그려도 기존의 함수의 그래프와 두점에서 만나지 않아

야 합니다.

정의역이 정의되지 않은 SIN(X) 그래프는 역함수를 구할 수 없습니다.

정의역을 정의해 준다면 주기함수인 SIN(X)함수도 수평선과 한점에서만 만나게 됩니다.

Comment

수직선/수평선 테스트를 통해 논리적으로 역함수에 대해 설명해주시고

역삼각함수에 대한 그래프로 전부 그려주셔서, 보고 이해하는데에 많은 도움이 되었습니다.

감사합니다.

Final Comment : 수직선/수평선 테스트를 통해 논리적으로 역함수에 대해

서 설명해 준 김대환 학우님 덕분에 역함수에 대해 다시 한 번 더 깊게 생

각해보는 계기가 되었습니다. 원의 함수라는 용어를 안 쓰는 정확한 이유를 

이해했습니다.

- 441 -

[Final OK by SGLee] [Homework Week 4] 이상구 교수님, 백승준, 신종호, 천

혜준, 박경현, 김재영, 손혜원, 임경섭, 김현구 - 역쌍곡선함수_open problem 4 

[Open problem4] 역쌍곡선함수의 정의 유도

- 442 -

[Sage code]

p1 = plot (tanh(x), (x, -2, 2)) 

p2 = plot (arctanh(x), (x, -1, 1), color = 'red')  

p3 = plot (arccoth(x), (x, -4, 4), ymin=-3, ymax=3, color = 'green')  

p4 = plot (x, (x, -2, 2), linestyle = '--', color = 'grey') # 대칭축 y = x

show (p1 + p2 + p3 + p4, aspect_ratio = 1)

함수의 그래프를 그리면서 각 함수의 정의역과 치역에 대하여 좀 더 이해하기 쉬웠습니다.

Question by 백승준

arccoth(x)의 함수를 그릴 때 위와 같이 warning과 error message가 뜨는데, 정의역이 lxl>1이기 때문에 

그런가요?

Answer by 이상구

1. https://ask.sagemath.org/question/7843/plotting-question/ 보시면 verbose 0 (3989: plot.py, 

generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 200 points. verbose 

0 (3989: plot.py, generate_plot_points) 에 대하여 의미를 설명하고 있습니다.

그러나 그래프가 나오는 경우 위의 에러 메세지는 큰 의미없으므로 무시하시고 ... 다음으로 진행 하셔도 됩

니다.

2. https://stackoverflow.com/questions/50944481/cant-convert-complex-to-float-on-python-3 보시

면 TypeError: can't convert complex to float 의 의미에 대한 설명이 아래와 같이 잇습니다.

the problem is just that your format string is for floats and not for complex numbers. 

something like this will work:

그런데 ... 별로 중요한 부분 아니니 ... 지금은 그냥 무시하시고 가셔도 됩니다.

김재영(2022####67)3월 16일 오후 3:57

안녕하세요 김재영 입니다. cosh 역쌍곡선 함수 관련하여 의견 드립니다.

책에는 cosh(-1)x = ln (x ± sqrt(x^2 - 1) )으로 되어있습니다.

cosh의 역쌍곡선함수를 구할 때 sinh의 역함수와 동일하게 근의 공식을 사용하면 x ± squr(x^2 - 1) 형태

가 됩니다.

여기서 e^y가 양수여야 하는데 sqrt(x^2 -1)은 x보다 무조건 작은 수이기 때문에 (x ≥ 1 일때) sinh과 달리 

cosh는 sqrt(x^2 - 1)이 양수든 음수든 상관 없이 e^y가 양수가 되므로 cosh(-1) x = ln (x ± x^2 - 1) 로 

표현된게 아닐까 합니다.

임경섭(2022####81)3월 16일 오후 4:19

cosh(x) 의 정의역의 범위를 x>0 으로 지정하면 cosh(-1) x = ln (x + sqrt(x^2-1)) 로나오고

cosh(x) 의 정의역의 범위를 x<0 으로 지정하면 cosh(-1) x = ln (x - sqrt(x^2-1)) 로 나오는것 같습니다.

ln (x - sqrt(x^2-1)) 와 ln (x + sqrt(x^2-1)) 의 그래프를 따로 그려보시면 확인이 됩니다.

정의역의 범위를 x>=1로 지정한것은 원함수 cosh(x)의 치역의 범위(y>=1)가 cosh(-1)x의 정의역의 범위

(x>=1)가 되기 때문인 것 같습니다.

또 루트안의 x^-1 수가 음수가 나오면 안되기 떄문이기도 한것같습니다.

sinh(-1) x = log(x+ sqrt(1+x^2)) 의 x의 범위는 실수 전체로 나타난것은 무리수안의수 1+x^2이 모든 실수 

x값에서 양수로나타나기에 x가 실수 전체 범위로 지정되는것 같습니다. 또 sinh(-1)x는 log(x - sqrt(1+x^2)) 

로 루트앞의 마이너스가 오지 않는이유는 마이너스가 올경우 로그의 진수가 - 가 나오기 떄문인것 같습니다. 

[미적분학1 교제 55p 참조]

Final Comment : 역쌍곡선함수의 정의를 직접 유도하고 그래프를 그려보

면서 정의역과 치역에 대해 좀 더 쉽게 이해할 수 있었고 comment를 통해 

여러 학우님들이 discussion하는 모습이 인상 깊었습니다.

- 443 -

[Final OK by SGLee] final [Homework Week 4] 이효민, 박경현, 윤관수, 전형

준, 손혜원, 백승준, 이혜인 쌍곡선함수의 도함수

쌍곡삼각함수의 그래프의 개형에 더해 도함수를 구해보았습니다.

▶ 쌍곡선함수의 도함수

상기에 표현된 총 6개의 쌍곡선함수의 도함수를 구해보겠습니다.

쌍곡선함수는 지수함수로 정의됨으로 지수함수의 미분방법을 이용하여 도함수를 구합니다.

상기 성질을 이용하여 각 쌍곡선함수를 미분합니다.

sinh(x)' = cosh(x) 이고

cosh(x)' = sinh(x) 가 나옵니다.

 - cosh(x), sinh(x)을 이용하면 다음 식을 얻을 수 있습니다. 

cosh(x) + sinh(x) = e^x

cosh(x) - sinh(x) = e^(-x)

상기두식을 곱하면

{cosh(x) + sinh(x)} * {cosh(x) - sinh(x)} = {e^x} * {e^(-x)}

→cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1

tanh(x)의 도함수는cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1을 활용하여 구합니다.

분수의 미분방법을 이용하면 분모에 

sinh(x)'cosh(x) - sinh(x)cosh(x)' → cosh(x)^2 - sinh(x)^2이 나오므로 식을 전개하면

tanh(x)' =  sech(x)^2 입니다.

역수꼴의 도함수 입니다.

coth(x) 도 마찬가지로 식전개시 cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1 를 활용하면

-cosh(x)^2 + sinh(x)^2  = -(cosh(x)^2 - sinh(x)^2) = -1

분모가 -1이 되면서 결과적으로 -csch(x)^2가 나옵니다

나머지 sech(x), cosh(x) 의 도함수도 분수꼴로 변환시켜 분수미분을 적용하면

coth(x)' = -csch(x)^2

sech(x)' = -sech(x) * tanh(x)

csch(x)' = -csch(x) * coth(x)

Comment

쌍곡선 함수의 미분법과 그에 따른 도함수의 그래프를 직접 눈으로 확인할 수 있게 명령어를 공유해주셔서 

감사합니다.

제가 생각한 지수함수의 미분 방법을 쉽게 하는 공식도 알 수 있었습니다.

예제로 올려주신 e^3x = ((e^x)^3) 으로 변형해서 합성함수 미분법으로 e^x=u로 치환 후 미분하면

(3u^2) x e^x = 3e^2x x e^x = 3e^3으로 똑같은 결과가 나오는 걸 확인할 수 있었습니다.

Final Comment : 쌍곡선함수의 미분법과 증명과정에 대해서 상세하게 설

명해준 덕분에 공부하면서 많은 도움이 되었습니다. 지수함수의 미분을 쉽

게 하는 공식도 새롭게 알게 되었고 내가 알던 방법과 다른 방법으로 같은 

결과가 나올 수도 있다는 사실을 알 수 있었습니다.

- 444 -

[Final OK by SGLee] Final [Homework week 4] 이주한, 노영규, 천혜준, 백승

준, 전형준, 손혜원, 윤관수, - 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

1. 삼각함수의 정의

아래 그림과 같은 원의 방정식에서 원의 좌표는 cos과 sin 함수로 나타낼 수 있다. θ 각도를 가지는 부채꼴

의 넓이는 θ/2이다.

2. 쌍곡선 함수의 정의

- 윈의 방정식과 동일하게 쌍곡선 방정식의 쌍곡선 좌표는 다음과 같이 sinh과 cosh 함수로 나타낼 수 있

다. 원과 달리 θ는 쌍곡선에서 각도의 의미는 없다. ( 45도가 넘어갈 수 없음)

아래 그림의 파랑색 직선과 쌍곡선 부분과 x 축으로 둘려 쌓인 부분의 면적은 θ/2이다.

3. 쌍곡선 함수 cosh, sinh 공식 유도

쌍곡선함수에서는 넓이를 정의하므로 양의각(제1사분면)에서 대해서 계산하며,

가상의 삼각형 넓이 - 교점 호의 넓이 (적분) = 쌍곡선함수 넓이를 구할 수 있으며, 이를 각 X, Y좌표에 대

입하여 풀면, 현재 배우고 있는 쌍곡선함수의 식이 나옵니다.

※ 공식 유도과정

출처: https://article2.tistory.com/748 [조문도]

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=WmCSpLnH9QE

Comment

cosh 함수와 sinh 함수에서 e가 나오는 이유가 궁금했는데 그 배경을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

Final Comment : 이주한 학우 덕분에 cosh 함수와 sinh 함수에서 자연상

수 e가 나오는 이유에 대해서 알 수 있게 되었고 삼각함수와 쌍곡선함수의 

정의에 대해 다시 학습하였습니다.

- 445 -

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 4] 이주한, 백승준, 이주한, 역삼

각함수 관계식 그래프

※ 추가의견

1. 역삼각함수의 정의역이 같을 때 덧셈을 할 경우 pi/2 가 정의됩니다.

2. pi/2에 대한 정의역은 덧셈한 역함수와 정의역이 동일합니다.

1. arcsin(x) + arccos(x) = pi/2

var('x,y')

p1 = plot(arcsin(x), (x, -1, 1), color = 'red', linestyle = '--')

p2 = plot(arccos(x), (x, -1, 1), color = 'gray', linestyle = '--')

p3 = plot((arcsin(x) + arccos(x)), (x, -1, 1))

show (p1 + p2 + p3, ymin = -2, ymax = 2, xmin = -2, xmax = 2, aspect_ratio = 1)

2. arctan(x) + arccot(x) = pi/2

var('x,y')

p1 = plot(arctan(x), (x, -6, 6), color = 'red', linestyle = '--')

p2 = plot(arccot(x), (x, -6, 6), color = 'gray', linestyle = '--')

p3 = plot((arctan(x)+ arccot(x)), (x, -6, 6))

show (p1 + p2 + p3, ymin = -4, ymax = 4, aspect_ratio = 1)

3. arcsec(x) + arcsc(x) = pi/2

var('x,y')

p1 = plot(arcsec(x), (x, 1, 6), color = 'red', linestyle = '--')

p2 = plot(arccsc(x), (x, 1, 6), color = 'gray', linestyle = '--')

p3 = plot((arcsec(x)+ arccsc(x)), (x, 1, 6))

show (p1 + p2 + p3, ymin = -2, ymax = 2, aspect_ratio = 1)

Comment

역삼각함수의 성질 중

1) arcsinx + acrcosx = π/2

2) arctanx + arccotx = π/2

3) arcsecx + arccscx = π/2

에 대해 그래프를 통해 좀 더 직관적으로 이해할 수 있었습니다.

감사합니다.

다른 역삼각함수 성질도 공유드립니다.

1) arccosx = π - arccosx

→ arccosx = α 라고 하면, cosα = x 이고 양변에 -를 곱해주면 -cosα = -x , 삼각함수 성질에 의해 cos

(π-α) = -x → arccosx = π-α → arccosx = π - arccosx 가 된다.

2) arccotx = π - arccotx

3) arcsecx = π - arcsecx

Final Comment : 역삼각함수의 성질에 대해서 그래프를 통해 직관적으로 

이해할 수 있었고, 다른 역삼각함수의 성질을 공유하면서 역삼각함수의 성

질을 함께 공부하였습니다.

- 446 -

[Final OK by SGLee] Final by 이상구 교수님, 윤관수, 신종호, 박준수, 임경섭, 

노영규, 천혜준, 손혜원, 전형준[Homework Week 4] 백승준 - 역쌍곡선함수 미

분 

[명령어_그래프_

]

f(x) = diff(arcsinh(x), x); g(x) = diff(arccosh(x), x); h(x) = diff(arctanh(x), x)

p1 = plot(f(x), (x, -5, 5)) # arsinh'(x) 의 그래프

p2 = plot(g(x), (x, -5, 5), color = 'red') # arccosh'(x) 의 그래프

p3 = plot(h(x), (x, -1, 1), color = 'green') # arctanh'(x) 의 그래프

show(p1 + p2 + p3, ymin = -5, ymax = 10)

2) arccsch'(x), arcsech'(x), arccoth의 그래프

[명령어_그래프_

]

f(x) = diff(arccsch(x), x); g(x) = diff(arcsech(x), x); h(x) = diff(arccoth(x), x)

p1 = plot(f(abs(x)), (x, -5, 5)) # arccsch'(x) 의 그래프

p2 = plot(g(x), (x, 0, 1), color = 'red') # arcsech'(x) 의 그래프

p3 = plot(h(x), (x, -1, 1), color = 'green') # arccoth'(x) 의 그래프

show(p1 + p2 + p3, ymin = -5, ymax = 5)

→ 그래프를 그리면서 arctanh(x)와 arccoth(x)의 도함수가 동일하고 그래프도 동일한 

걸 직접 볼 수 있었습니다.

Question by 백승준

 y = arccschx에 대한 도함수를 구할 때 arccsch의 정의역과 치역이 0만 아니면 되고, coth^2y 

-csch^2y = 1 의 관계식에서 두 함수가 x>0, x<0일 때 1, 3 사분면에 위치해 부호가 같기 때문에 절댓값을 

취한다고 하는데, 좀 더 이해하기 쉽게 설명 부탁드립니다.

Answer by 임경섭

답변. 정확한 답변이 될지 모르겠습니다. 저도 arccschx 도함수에 절대값이 붙는게 궁금해서 찾아보았는데.

y = arccschx 도함수에서 x>0 의범위일때 -1 / x*sqrt(1+x^2) 이고 x<0 일때 1 / x*sqrt(1+x^2) 로 나와

서 y = arccschx 도함수를 1 / abs(x)*sqrt(1+x^2) 으로 나오는것 같습니다. 절대값은 음수일때 -(마이너스) 

부호를 붙이고 나오기때문에 위에 식으로 정리하면 x>0, x<0의 범위일때 모두 만족하는 식이 되는것 같습니

다..

Comment : 증명하는 과정 중 이해가 안 되는 부분에 있어서 다른 학우의 

도움으로 이해할 수 있었으며, 증명과정을 공유함으로써 다른 학우들에게 

도움이 되어서 의미 있었습니다.

- 447 -

[Part5] - 함수의 극한, 극한정리, 연속함수, 중간값 정리

[Final OK by SGLee] [Homework Week 5] 임경섭 , 함수의 극한

미적분학1 p59 예제

[Sage code _ 함수의 극한]

f(x) = (x^2-1) / (x-1)

limit(f(x), x=1)

plot(f(x), (x,0,2))    

[Sage code _ 함수의 우극한과 좌극한]

f(x) = tan(x)

p1=plot(f(x), (x,-pi/2,pi) , ymin=-3, ymax=3, detect_poles='show')

p2=text("pi/2",(1.5,0.5), fontsize=10) #텍스트("쓸말", (위치좌표), 폰트사이즈)

print(limit(f(x), x=pi/2, dir = '+'))

print(limit(f(x), x=pi/2, dir = '-'))

p1+p2

*엡실론 델타 정의

http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html2 (skku.ac.kr)

[Sage code _ 연속/불연속 함수]

f1(x) = x^2     #(x≠0)

f2(x) = -1      #(x=0)

f(x) = piecewise([((-1,1),f1), ((0, 0), f2)])

p1= plot(f(x), (x,-2,2))

p2 = scatter_plot([[0, f1(0)] ,[0, f2(0)]]) # x=0에서 불연속 , f(0)= -1

p1+p2

[Sage code _ 중간값 정리 + 최대, 최소 정리]

1) x^4 + x^3 -9*x + 1 = 0, (1,3) 지정된 구간에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라,

f(x) = x^4 + x^3 -9*x + 1

p1 = plot(f(x), (x,1,3))

print(find_root(f(x),1,3))  # 방정식 f(x) =0 의 (1,3) 사이의 근사해

p1

2) x*sin(x) = cos(x) , (0,1)

f(x) = x*sin(x) - cos(x)

p1 = plot(f(x), (x,0,1))

print(find_root(f(x),0,1)) # 방정식 f(X) = 0 의 (0,1) 사이의 근사해

p1

Comment by 백승준

대학 미적분학을 배우면서 처음으로 입실론 델타라는 개념을 접해서 생소했는데,

예제를 통해 쉽게 정리해주셔서 이해하기 쉬웠습니다. 감사합니다.

Final Comment : 함수의 극한과 연속성에 대해 공부할 수 있었고 입실론 

델타라는 개념을 이해하는 데 많은 도움이 되었습니다.

- 448 -

[Final OK by SGLee] final - [Homework Week 5] (예제 6번) Sandwich 

Theorem <--- 잘 했습니다. 그럼 x*sin(1/x) 은 수렴할까요 아니면 발산하나요?

[샌드위치 정리, Sandwich Theorem]

모든 점 에 대해서  ≤  ≤ 를 만족한다면, 

 에서  =  일 때 두 

함수 사이에 있는 함수 

도 똑같은 값을 가진다.

p1 = plot(x^2*sin(1/x), (x, -1/2, 1/2)) # x^2*sin(1/x)의 그래프

p2 = plot(x^2, (x, -1/2, 1/2), color = 'red') # x^2의 그래프

p3 = plot(-x^2, (x, -1/2, 1/2), color = 'green') # -x^2의 그래프

show(p1 + p2 + p3)

# 극한계산

print(" limit(x^2*sin(1/x), x = 0) : ", limit(x^2*sin(1/x), x = 0))

Comment by 이상구 교수님

- 449 -

Comment(Question) by 전형준

f(x)=x*sin(1/x)

g(x)= sin (x)/(x)^2

print(limit(f(x),x=0))

print(limit(g(x),x=0))

p1=plot(f(x),x)

p2=plot(g(x),(x,-10,10), ymin=-3, ymax=3 , color='red')

p1+p2

코딩으로 확인해보니 x*sin(1/x) 은 0으로 수렴하고 sin(x)/(x)^2은 발산합니다 ( limit x =0 )

또한, sin(1/x),sin(1/x^2)를 sage 프로그램에 x=0으로 보낼 때 ind라는 출력이 나오는데 의미가 무엇인지 

궁금합니다..

Comment by 백승준

샌드위치 정리에 대한 예제를 직접 풀어주셔서 이해하기 쉬웠습니다. 감사합니다.

전형준 학우님이 질문한 ind라는 출력은 indeterminate(쉽게[정확히] 가늠할[규정할] 수 없는)이라는 뜻으로 

나온 거 같습니다.

sin(1/x)에서 x가 0으로 가까워질 때, 1/x는 커지거나 작아지기 때문에 sin(1/x)의 값은 -1과 1을 반복해서 

그려집니다.

그렇기 때문에 함수값이 한없이 가까워지는 상수가 존재하지 않아 극한이 없는 것을 나타내기 위해 ind라는 

출력이 나온 거 같습니다.

sage 프로그램을 통해 그래프를 그려보면 어느 하나의 값으로 수렴하지 않는 것을 확인할 수 있습니다.

plot(sin(1/x), (x,-1,1))

Final Comment : 이혜인 학우 덕분에 샌드위치 정리 (Sandwich 

Theorem]에 대해 정확히 이해할 수 있었고, discussion을 통해 코딩으로 

실습한 내용들을 공유하고 모르는 것들을 알아가는 과정이 좋았습니다.

- 450 -

[Final OK by SGLee] Final [Homework week 5] 삼각함수의 극한 증명 

및 성질 

※ 정리내용

1. f(x) = sin(x)/x // 0에 대한 극한은 1로 수렴한다.

2. f(x) = cos(x)/x // 0에 대한 극한은 무한대로 발산한다.

3. f(x) = tan(x)/x // 0에 대한 극한은 1로 수렴한다.

[Sage code _ 삼각함수의 극한]

g(x) = sin(x)/(x)

show(g(x))

print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))

g(x) = cos(x)/(x)

show(g(x))

print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))

g(x) = tan(x)/(x)

show(g(x))

print(limit(g(x), x = 0))

show(plot(g(x), (x, -20, 20), ymin = -2, ymax = 2, detect_poles = 'show'))

Comment

삼각함수의 극한에 대해 직접 증명과정을 설명해주시고 그래프를 통해 직관적으로 확인해주셔서 쉽게 이해할 

수 있었습니다. 감사합니다.

Final Comment : 삼각함수의 극한에 대해 이주한 학우님이 정리해주신 증

명과정과 그래프를 통해 쉽게 이해하고 확인이 가능하였습니다.

- 451 -

[Final OK by SGLee] final [Homework Week 5] sage프로그램을 활용한 극한

과 근사해 계산 

1. limit(1/(x-2)), x=2인 경우의 극한

x=2에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면 아래와 같습니다.

따라서 limit(1/(x-2)), x=2의 극한은 존재하지 않습니다.

2. limit((x^2-1)/abs(x-1)), x=1+에서의 극한

x>1이므로 abs(x-1)=(x-1)입니다.

그러므로 limit((x^2-1)/abs(x-1)), x=1+는 limit(x+1), x=1로 식이 정리가 되어 극한값은 2가 됩니다.

이를 코딩으로 나타내보았습니다.

3. f(x) = x+2(x≥0), x+1 (x<0) 의 극한값은?

좌극한과 우극한을 각각 구해보면 1,2이므로 x=0에서의 극한값은 존재하지 않는 것을 알 수 있습니다.

이를 코딩으로 간단하게 나타내보았습니다.

Comment

극한에 대해 다시 한 번 이해를 할 수 있었고,

4번의 경우 공유해주신 코드를 활용해 x의 범위를 더 좁게 지정해서 그래프와 근사해가 맞는지 더 쉽게 확인

해 볼 수 있었습니다.

감사합니다.

확인한 그래프

f(x) = x^3+2*x^2-1

p1 = plot(f(x),0.55,0.65)

print(find_root(f(x),0,1))

p1

Final Comment : 손혜원 학우님 덕분에 근사해를 찾는 방법에 대해서 다

시 한 번 확인하면서 이해하였습니다. 덕분에 계산하기 어려운 방정식의 근

사해를 구할 수 있다는 자신감이 생겼습니다.

- 452 -

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 5-2] 수직(수평)점근선 by 천혜

준

[응용문제 1]  4주차에 배운 tanh(x)의 그래프 입니다.

plot(tanh(x), (x,-5,5), detect_poles = 'show')

plot(tanh(x), (x,-5,5), detect_poles = 'show')

print(limit(tanh(x), x = +oo))

print(limit(tanh(x), x = -oo))

즉 tanh(x) 수평점근선은 -1, 1을 알 수 있습니다.

[응용문제 2]  반대로 arctanh(x)의 그래프 입니다.

var('x, y')

p1 = plot(arctanh(x), (x, -5, 5)) # 함수의 그래프

p2 = implicit_plot(x == 1, (x, -1, 5), (y, -3, 2), color = 'red')

p3 = implicit_plot(x == -1, (x, -1, 5), (y, -3, 2), color = 'red')

p1 + p2+ p3

Comment

쌍곡선함수와 역쌍곡선함수에 대한 수직/수평점근선에 대해서도 그래프를 통해 확인할 수 있음을 이해했습니

다. 감사합니다!

Final Comment : 쌍곡선함수와 역쌍곡선 함수에 대한 수직/수평 점근선을 

그래프로 그릴 수 있다는 자신감이 생겼습니다.

- 453 -

[Final OK by SGLee] final - [Homework Week 5] 쌍곡선함수의 극한과 수렴, 발산 

by 이효민

쌍곡사인함수 그래프의 개형입니다. 위 그래프에서 알 수 있듯 sinh(x)의 그래프는 실수 전체 구간에서 연속

으로 임의의 점에서 좌,우 극한이 존재하며 함수값과 일치합니다. 또한 +oo에서 양의무한대로, -oo에서 음의 

무한대로 발산합니다.

[코드]

f(x) = sinh(x)

print("f(x)가 +oo :", limit(f(x), x = +oo))

print("f(x)가 -oo :", limit(f(x), x = -oo))

plot(f(x), (x, -5, 5), ymin = -10, ymax = 10)

쌍곡코사인 함수의 그래프입니다.

위 그래프에서 알 수 있듯 cosh(x)의 그래프는 실수 전체 구간에서 연속으로

임의의 점에서 좌,우 극한이 존재하며 함수값과 일치합니다.

+oo, -oo 모두 양의 무한대로 발산합니다.

[코드]

f(x) = cosh(x)

print("f(x)가 +oo :", limit(f(x), x = +oo))

print("f(x)가 -oo :", limit(f(x), x = -oo))

plot(f(x), (x, -5, 5), ymin = -10, ymax = 10)

쌍곡탄젠트 함수의 그래프 입니다.

tanh(x) 그래프는 실수 전체 구간에서 연속으로

임의의 점에서 좌,우 극한이 존재하며 함수값과 일치합니다.

+oo 시에는 y = 1을 수평 점근선으로 하여 1에 수렴,

-oo 시에는  y = -1을 수평 점근선으로 하여 -1에 수렴합니다.

[코드]

f(x) = tanh(x)

print("f(x)가 +oo :", limit(f(x), x = +oo))

print("f(x)가 -oo :", limit(f(x), x = -oo))

p1 = plot(1, (x, -3, 3), linestyle = '--', color = 'grey')

p2 = plot(-1, (x, -3, 3), linestyle = '--', color = 'grey')

p3 = plot(f(x), (x, -3, 3), ymin = -3, ymax = 3)

show(p1 + p2 + p3)

coth(x)의 그래프 입니다

x→0 의 경우

좌극한은 -oo로 발산, 우극한은 +oo로 발산합니다.

x→ -oo의 경우 y = -1을 수평 점근선으로 -1에 수렴

x→ +oo의 경우 y = 1을 수평 점근선으로 1에 수렴합니다.

[코드]

f(x) = coth(x)

- 454 -

print("f(x)가 +oo :", limit(f(x), x = +oo))

print("f(x)가 -oo :", limit(f(x), x = -oo))

print("f(x) x→+0 일때 :", limit(f(x), x = 0, dir = '+'))

print("f(x) x→-0 일때 :", limit(f(x), x = 0, dir = '-'))

p1 = plot(1, (x, -3, 3), linestyle = '--', color = 'grey')

p2 = plot(-1, (x, -3, 3), linestyle = '--', color = 'grey')   

p3 = plot(f(x), (x, -3, 3), ymin = -3, ymax = 3)

show(p1 + p2 + p3)

sech(x)의 그래프 입니다

실수 전체 구간에서 연속으로 임의의 점에서 좌,우 극한이 존재하며 함수값과 일치합니다.

+oo, -oo 모두 x축을 점근선으로 하여 0에 수렴합니다.

[코드]

f(x) = sech(x)

print("f(x)가 +oo :", limit(f(x), x = +oo))

print("f(x)가 -oo :", limit(f(x), x = -oo))

plot(f(x), (x, -3, 3), ymin = -3, ymax = 3)

csch(x)의 그래프 입니다.

x→ +0 에서 양의 무한대로, x→ -0 에서 음의 무한대로 발산하며

x → +oo, -oo 모두 x축을 점근선으로 하여 0에 수렴합니다.

[코드]

f(x) = csch(x)

print("f(x)가 +oo :", limit(f(x), x = +oo))

print("f(x)가 -oo :", limit(f(x), x = -oo))

print("f(x) x→+0 일때 :", limit(f(x), x = 0, dir = '+'))

print("f(x) x→-0 일때 :", limit(f(x), x = 0, dir = '-'))       

plot(f(x), (x, -3, 3), ymin = -3, ymax = 3)

Comment

그래프와 코딩을 통해 쉽게 설명해주신 덕분에

쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 극한에 대해서도 확인할 수 있었습니다.

감사합니다.

Final Comment : 그래프를 통해 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 극한에 대

해서 쉽게 이해할 수 있었고 코딩 명령어를 공유해주신 덕분에 저도 실습하

면서 극한을 직접 확인할 수 있었습니다.

- 455 -

[Final OK by SGLee] Final - [Homework Week 4] 쌍곡선함수와 성질 by 김

현구

Comment

쌍곡선 함수에 대한 예제 문제를 올려주신 덕분에 문제풀이를 어떠한 방식으로 해야하는지 알 수 있었습니다.

감사합니다!

Final Comment : 쌍곡선함수에 대한 예제를 공유해주신 덕분에 같이 풀어

보면서 문제를 해결하는 방식을 생각해볼 수 있었습니다.

- 456 -

[Final OK by SGLee] [Homework Week 5] 백승준 - Open problem 1 (지수

함수와 로그함수의 극한) by 백승준

Open problem 1 (지수함수와 로그함수의 극한) 

5주차 극한을 공부하면서 지수함수와 로그함수의 극한에 대해서 문제를 풀어보았습니다.

◩ 열린 문제 1 다른 교재를 참고하여 다양한 함수의 극한(좌, 우극한)을 구하시오.

■ 지수함수의 극한

[Problem 다양한 함수의 극한]

 1. var('변수') → 변수 지정

 2. f(x) = → 구하고자 하는 함수 지정 

 3. print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)) → 극한값 계산

+

plot((함수), (x, 범위), ymin/ymax, color='') # 함수의 그래프 → 그래프를 통해 눈으로도 확인할 수 있다.

다양한 함수의 극한도 손으로 풀면 복잡하게 풀어야 하지만 프로그램을 통해 간단하게 답을 구할 

수 있고 그래프를 통해 직접 확인할 수도 있는 걸 확인했습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 22일 오후 7:14

(limit 의 종류를 배웠으니까 ... plot 하여 원하는 x=a 근처에서 Zoom in 하면 또는 근 근처에서 

print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)) → 극한값 계산 명령어로 ) 이제 그동안 배운 대부분의 함수의 limit 

는 다 찾을 수 있다는 자신감이 생기나요?

그럼 PBL 보고서 제출할 때는 Final OK 로 검색하여 ... 본인의 이름이 들어간 것 모두 찾아 ... (누락된것은 

...Final 선언 하시고 ... 그것 까지 포함하여)

각각의 문제 에

( 제목 (기여한 학생 이름 모두 포함)

+ 문제 + 정답 + 유의미한 토론

+

마지막 줄에

" Comment : Open problem 1 (지수함수와 로그함수의 극한) 에서 (limit 의 종류를 배웠으니까 ... plot 하

여 원하는 x=a 근처에서 Zoom in 하면 또는 근 근처에서 print(limit(함수), x = x가 다가가는 값)) → 극한

값 계산 명령어로 ) 이제 그동안 배운 대부분의 함수의 limit 는 다 찾을 수 있습니다. "

와 같이 본인이 이 문제를 같이 토론/학습 하면서 느낀점을 한줄 씩 적어내면 이 문제는 만점입니다.

그런 것들의 양과 질이 여러분이 그간 배우고/느끼고/할 수 있게 된 ... 행상된 실력입니다.

<--- 이것들을 발표하는 것이 중간고사입니다.

Fianl Comment : (지수함수와 로그함수의 극한) 문제를 풀어보면서 극한을 

구해야 하는 복잡한 문제는 명령어 : print(limit(함수), x = x가 다가가는 

값)를 통해 풀 수 있을 거 같은 자신감이 생겼습니다.

- 457 -

New [Final OK by SGLee] x * sin (1/x) does not coverges at x=0 ^^ 

Re-Final by [Homework week 5] 삼각함수의 극한 증명 및 성질 (문제풀이) - 

삼각함수의 극한에 대한 문제도 손으로 푼 결과와 Sage의 결과가 같은 것을 확인

했고, 쉽게 해결이 가능한 것을 알 수 있었습니다. by 백승준

아래 전형준, 이주한 학우님이 공유해주신 삼각함수의 극한 성질을 이용한 예제풀이 및 실습한 내용 공유드립

니다.

■ limit(sin(x)/(x),x=0) == 1, limit(tan(x)/(x),x=0) == 1임을 이용

1) 풀이 / Sage

2) 풀이 / Sage

■ 1-cosx의 꼴이 포함된 극한값을 구할 때 분자/분모에 1+cosx를 곱하고, 1-cos^2x = sin^2x임을 이용

1) 풀이 / Sage

- 458 -

2) 풀이 / Sage

삼각함수의 극한에 대한 문제도 손으로 푼 결과와 Sage의 결과가 같은 것을 확인했고, 쉽게 해결

이 가능한 것을 알 수 있었습니다.

[Homework week 5] 전형준, 이주한, 노영규 삼각함수의 극한 증명 및 성질 <--- Final 선언 하세요^^  

<--- 다른 학생들도 여기에 코멘트 달고 윤문하여 Re-Final 선언 하면서 본인 이름도 제목에 추가 하세요^^ 

(1) sin(x)/(x) 에 대한 역수

f(x) = sin(x)/(x)     

g(x)= (x)/sin(x)     

f(x) = sin(x)/(x)

g(x) = (x)/sin(x)

print(limit(f(x), x = 0))

print(limit(g(x), x = 0))

p1 = plot(f(x), (x,-20,20) ,ymin=-5, ymax=5,color='red')

p2 = plot(g(x), (x,-20,20))

p1+p2

limit(sin(x)/(x),x=0) == 1

limit((x)/sin(x),x=0) == 1

(2) cos(x)/(x) 에 대한 역수

f(x) = cos(x)/(x)

g(x)= (x)/cos(x) 

f(x) = cos(x)/(x)

g(x) = (x)/cos(x)

print(limit(f(x), x = 0))

print(limit(g(x), x = 0))

p1 = plot(f(x), (x,-20,20) ,ymin=-5, ymax=5,color='red')

p2 = plot(g(x), (x,-20,20))

p1+p2

limit(cos(x)/(x),x=0) == oo

- 459 -

limit((x)/cos(x),x=0) == 0

(3) tan(x)/(x) 에 대한 역수

f(x) = tan(x)/(x)

g(x)= (x)/tan(x) 

f(x) = tan(x)/(x)

g(x) = (x)/tan(x)

print(limit(f(x), x = 0))

print(limit(g(x), x = 0))

p1 = plot(f(x), (x,-20,20) ,ymin=-5, ymax=5,color='red')

p2 = plot(g(x), (x,-20,20))

p1+p2

limit(tan(x)/(x),x=0) == 1

limit((x)/tan(x),x=0) == 1

수식으로 풀어도 역수를 취하면 해당값들이 나오는 것은 알고 있을것입니다.

sage 프로그램을 이용해 해당 그래프를 확인하면 삼각함수 역수에 대한 그래프를 확인해 볼 수 있고 그래프

를 통해 만나는 교점 등 역수에 대한 이해도가 높아질 것이라 생각합니다.

이런 그래프를 통해 해당값들을 보는 것에 다양한 느낌들을 가질 수 있었습니다.

감사합니다.

=======================================================================================

[Final OK by SGLee]

x * sin (1/x)  does not coverges at  x=0 ^^ 

But (x^2) * sin (1/x) coverges at x=0 ^^,

Final Comment : 삼각함수의 극한에 대한 문제를 손으로도 풀어보고 

Sage로도 풀어보며 복잡한 문제 계산은 쉽게 해결이 가능하다는 것을 알 

수 있었고, 교수님께서 올려주신 다른 학생의 그래프를 보면서 sin (1/x) 

does not coverges at x=0 이 되는 것을 확실히 이해할 수 있었습니다.

- 460 -

[Final OK by SGLee] [Homework Week 5]  - Open problem 1 (지수함수와 

로그함수의 극한) + 개념 및 추가연습문제 by 이주한

지수함수와 로그함수 기본 개념에 대해서 정리하며 이해했으며,  Sage program을 이용하여 연습문제를 진

행하였습니다. 

[출처] https://www.youtube.com/watch?v=D7Ndwum5QZg

1. 지수함수의 극한

연습문제 : limit((5^x-2^x)/(5^x+3^x), x = oo 일때  1로 수렴함을 확인 했습니다.

var('x')

f(x) = (5^x-2^x)/(5^x+3^x)

print(limit((5^x-2^x)/(5^x+3^x), x = oo))

plot(f(x), (x, -5, 5), ymin = -5, ymax = 5)

2. 로그함수의 극한

연습문제 : limit(log(x+2, 3) - log(x, 3), x = oo 일때  0으로 수렴함을 확인 했습니다.

※ 풀이

var('x')

f(x) = log(x+2, 3) - log(x, 3)

print(limit(log(x+2, 3) - log(x, 3), x = oo))

plot(f(x), (x, -5, 5), ymin = -5, ymax = 5)

Comment : 제가 지수로그함수의 극한에 대해서 공유한 내용들을 바탕으로 

다른 학우분이 학습한 것을 보고 다시 복습해보며 다른 예제들도 풀어보았

습니다. 손으로 풀고 프로그램으로 실습하면서 다시 이해하는데 많은 도움

이 되었습니다.

- 461 -

[Final OK by SGLee] Final [Homework Week 5] 다항식의 극한 by 박경현

보다시피 위엔 5차식, 아래는 3차식에다 절대값이 들어가있어 복잡한 식입니다.

또한 x=0일때 분모가 0이되므로 x에 0을 대입하여 구할 수도 없습니다.

[좌극한과 우극한]

f(x) = (x-4)*(x-2)*x*(x+2)*(x+4)/abs((x-2)*x*(x+2))

print(limit(f(x), x = 0, dir = '-'))  # x = 0일 때 좌극한

print(limit(f(x), x = 0, dir = '+'))  # x = 0일 때 우극한

좌극한과 우극한의 값이 다르므로, x=0일때 극한 값은 존재하지 않습니다.

그래프로도 확인해보겠습니다.

f(x) = (x-4)*(x-2)*x*(x+2)*(x+4)/abs((x-2)*x*(x+2))

p1=plot(f(x), (x, -5, 5), ymin = -40, ymax = 40, detect_poles = 'show')

p2 = scatter_plot([[0, 16] ,[0, -16]])

show(p1+p2)

x가 0일때 우선 연속하지 않는 다는 것을 확인하였습니다. 즉 x가 0으로 갈때, limf(x)는 존재하지 않습니다.

x=0 일때, 함수는 연속하지 않기 떄문에 x=0으로 갈때 f(x)의 극한값은 존재하지 않는 다는 것을 두 가지 방

법으로 알 수 있었습니다.

또한 그래프를 보면, x=2일때와 x=-2일때도 똑같이 연속하지 않기 때문에 해당 지점에서도 극한 값이 존재하

지 않는 다는 것을 알 수 있었습니다.

Comment by 이상구

f(x) = (x-4)*(x-2)*x*(x+2)*(x+4)/abs((x-2)*x*(x+2))

p1 = plot(f(x), (x, -5, 5), ymin = -40, ymax = 40, exclude = [2], detect_poles = 'show')

p2 = scatter_plot([[0, 16] ,[0, -16]])

show (p1+p2)

차수가 높은 다항식을 갖는 방정식의 해를 구하는 일반적인 방법은 배운 적이 없습니다. 실제로 해를 구하는 

공식도 존재하지 않습니다. 그 해법을 대학에 와서 배우는 것이고, 그 방법이 우리가 배우는 방법입니다.

차수가 높은 다항식을 갖는 방정식의 해를 구하는 것은 일반적으로 수치적으로 구하는 방법 뿐이고, 그 알고

- 462 -

리즘이 바로 우리가 배운 과정을 코딩한 것이랍니다. 그래서 지금 여러분이 배운 방법으로 여러분은 세계의 

명문대 학생들 대부분이 못하는 일들을 이미 해 낼 수 있게 된 것입니다. ^^ 전형준 군은 자부심을 가져도 

됩니다.

나중에 자녀 분이 중학생이 되어 함수에 대하여 배우면 ... 그래프를 그려주는 것 부터 ... 해를 구하는 것 까

지 ... 여러분이 지금 배운 방법으로 가르쳐 주세요^^ 수학을 왜 배우는 지에 대하여 이해하기 시작할 것입니

다^^

<--- 2 학기 첫 주에 배울 선형연립방정식의 해집합을 구하는 것도 교재 파일 공유해 줄께요^^

( 최적해를 구하는 방법은 이것을 알아야 ... 무수히 많은 해 중에서 최적해를 구하는 방법 (의사결정) 을 이

해할 수 있답니다)

인생은 항상 무수히 많은 가능성 중에서 가장 Optimal 한 결정을 해야 하는 상황의 연속인데 ...

해집합을 구하는 일반적인 방법을 배워야 ... 항상 최악의 상황에는 안 빠진답니다^^ 그래서 모두가 어릴 때 

부터 그를 위한 (5천년 동안 누적된 수학 지식 중에서 꼭 필요한 부분을 가장 효과적인 방법으로 짧은 시간

에 배우는 것이랍니다^^

우리는 최적해를 찾는 방법을 배우기 위하여 ... 1학기에 다항식의 해를 찾는 방법을 우선 배운 것이랍니다.

Comment by 백승준

차수가 높은 다항함수의 문제는 풀어본 적이 없는데 좋은 문제를 공유해주시고,

절대값이 취해진 다항함수의 극한을 그래프를 통해 쉽게 설명해주셔서 이해하기 쉬웠습니다.

감사합니다.

Final Comment : 일반적으로 차수가 높은 다항함수를 푸는 방법에 대해 

배운 적이 없는데 프로그램을 통해 고차 다항항수와 절대값이 취해진 함수

의 그래프를 그려볼 수 있고 교수님이 말씀하신 거처럼 무수히 많은 해 중

에 내가 원하는 최적해를 구하는 방법을 이해해볼 수 있었습니다. 

- 463 -

[Part6] - 도함수, 접선의 방정식, 미분 법칙

final [HW W6]다항함수와 삼각함수 미분에 대한 그래프를 그려보았습니다.

by 전형준

다항함수와 삼각함수 미분에 대한 그래프를 그려보았습니다.

f(x) = x^4 -x^3 + 6*x^2 +1

df(x) = diff(f(x), x) # 도함수

d2f(x) = diff(f(x),x,2)

d3f(x) = diff(f(x),x,3)

d4f(x) = diff(f(x),x,4)

print("f(x) =", f(x))

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =", d2f(x))

print("f'''(x) =", d3f(x))

print("f''''(x) =", d4f(x))

plot(f(x), (x, -10, 10)) + plot(df(x), (x, -10, 10), color = 'red') + plot(d2f(x), (x, -10, 10) , color = 'bl

ack') + plot(d3f(x), (x, -10, 10) , color = 'pink') +  plot(d4f(x), (x, -10, 10) , color = 'green')

f(x)의 다항함수를 미분을 계속 적용하게 되면 x의 값이 없어지고 결국엔 0을 향하게 되는 것을 알 수 있습니

다.

f(x) = sin(x)

df(x) = diff(f(x), x) # 도함수

d2f(x) = diff(f(x),x,2)

d3f(x) = diff(f(x),x,3)

d4f(x) = diff(f(x),x,4)

print("f(x) =", f(x))

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =", d2f(x))

print("f'''(x) =", d3f(x))

print("f''''(x) =", d4f(x))

plot(f(x), (x, -10, 10)) + plot(df(x), (x, -10, 10), color = 'red') + plot(d2f(x), (x, -10, 10) , color = 'bl

ack') + plot(d3f(x), (x, -10, 10) , color = 'pink') +  plot(d4f(x), (x, -10, 10) , color = 'green')

sin(x)는 미분은 4번을 할 때 자기 자신으로 돌아오는 성질을 가지는 것을 알 수 있습니다.

f(x) = cos(x)

df(x) = diff(f(x), x) # 도함수

d2f(x) = diff(f(x),x,2)

d3f(x) = diff(f(x),x,3)

d4f(x) = diff(f(x),x,4)

print("f(x) =", f(x))

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =", d2f(x))

print("f'''(x) =", d3f(x))

print("f''''(x) =", d4f(x))

plot(f(x), (x, -10, 10)) + plot(df(x), (x, -10, 10), color = 'red') + plot(d2f(x), (x, -10, 10) , color = 'bl

- 464 -

ack') + plot(d3f(x), (x, -10, 10) , color = 'pink') +  plot(d4f(x), (x, -10, 10) , color = 'green')

cos(x) 도 4번 미분을 할 경우 자기 자신으로 돌아오는 성질을 가지고 있습니다.

여기서 다항함수는 계속 미분을 할 경우에 x의 값이 없어지는 것을 알 수 있었지만, 삼각

함수(sinx, cosx)는 미분을 계속 할 경우 자기 자신으로 돌아오는 성질을 알 수 있었고 

이것이 삼각함수가 주기함수라 그러한 것 같습니다. 감사합니다.

Comment

이해하기 쉽게 그래프로 표현해주신 덕분에 다항함수와 삼각함수의 미분 차이를 정확히 이해할 수 있었습니

다. 감사합니다.

Final Comment : 다항함수의 미분과 삼각함수의 고계도함수를 구하는 과

정을 그래프로 차이를 설명해주셔서 정확히 이해하는데 많은 도움이 되었습

니다. 또한 코딩 명령어를 공유해준 덕분에 저도 실습해 볼 수 있었습니다.

[HW W6]  [open problem 2] 도함수, 접선의 방정식, 미분 법칙, 코딩 명령어 

한번으로 빠르게 고계도함수를 구하는것을 확인했습니다. by 임경섭

 저도 6주차 도함수, 접선의 방정식 ,미분 법칙에 대하여 공부하였습니다.

예제 4. f(x) = x^3+7*x^2-6*x+3 에 대하여 f'(x)를 구하고, f(x)와 f'(x)의 그래프를 그려라.

* 코딩 명령어.

f(x) = x^3+7*x^2-6*x+3

df(x) = diff(f(x),x)

print("f(x) =",f(x))

print("f'(x) =", df(x))

plot(f(x), (x, -8, 4)) + plot(df(x), (x,-8,4), color='red', ymax=100)

에제 5. f(x) = x^3+7*x^2-6*x+3 의 2계 도함수를 구하여라.

*코딩 명령어

f(x) = x^3+7*x^2-6*x+3

d2f(x) = diff(f(x), x, 2)

print("f''(x) =", d2f(x))

plot(d2f(x), (x,-5,5))

Comment : 1주차 첫 QnA게시판에 고계도함수에 관한 그래프를 그렸었습니다. 당시엔 아래의 코딩명령어처

럼 여러번 미분을 이용해  고계도함수를 구했습니다. 하지만 d2f(x) = diff(f(x), x, 2) 를 이용해 코딩 명령

어 한번으로 빠르게 고계도함수를 구하는것을 확인했습니다.

var('x')

- 465 -

f(x)=2*x^4-x^3-3*x^2-4

df(x)=diff(f(x), x)

y(x)=df(x)

dy(x)=diff(y(x), x)

g(x)=dy(x)

dg(x)=diff(g(x), x)

h(x)=dg(x)

h(x)=dg(0)*(x-0)-6

A=plot(f(x),x,-1,1, ymax=20, color='blue')

B=plot(y(x),x,-1,1, ymax=20, color='green')

C=plot(g(x),x,-1,1, ymax=20, color='yellow')

D=plot(h(x),x,-1,1, linestyle="--", color='red')

show(A+B+C+D)



미분법칙에서 일반적인 미분과 달리, 분수 형태의 미분시 조금 다른 형태가 나오는것을 확인하였습니다.

Question by 이주한

Q1) 3차 함수를 미분해서 그래프를 그리면 f'(0) 지점에서 극대, 극소값을 찾을 수 있는데, 2계도함수에서의 

1차함수 그래프는 어떤 의미가 있나요?

Answer by 백승준

이주한 학우님의 질문에 답변드립니다.

물어보시는 내용에 대한 올바른 답변인지 모르겠지만 아래 내용 참고 부탁드립니다.

1. 볼록성 검사 (Concavity Test)

1-1. 구간 x ∈ I에서 이계 도함수 f′′(x)>0를 만족하면 함수 f는 오목 함수이다.

1-2. 구간 x ∈ I에서 이계 도함수 f′′(x)<0를 만족하면 함수 f는 볼록 함수이다.

2. 2차 미분 검사 (Second Derivative Test) - 2계 도함수 f''가 점 c 근방에서 연속함수라고 가정하면,

2-1. f′(c)=0 이고 f′′(c)>0을 만족하면 함수 f는 점 c에서 지역 최소값을 갖는다.

2-2. f′(c)=0 이고 f′′(c)<0을 만족하면 함수 f는 점 c에서 지역 최대값을 갖는다.

Final Comment :  미분가능성과 연속성에 대해 알기 쉽게 정리해주셨고, 

증명하는 과정도 설명에 포함해주셔서 이해하기 쉬웠습니다. 또한 1주차에 

배웠던 코딩 명령어를 이제는 빠르게 구할 수 있다는 것을 알게 해주셨고 

미분법칙도 잘 정리해주셔서 많은 도움이 되었습니다.

- 466 -

Final by [open problem 1] 미분가능조건과 접선의방정식, 개념: (한 점에서) 미

분계수가 존재한다 = (그 점에서) 우극한과 좌극한 값이 (둘다 존재하고) 같아야한

다 by 김대환

[open problem 1]

출처 : https://legendstudy.com/963

1. 미분이 가능하다고 했으니 함수값 -2에서 우극한 = 함수값 = 좌극한

우극한 = lim(x=-2) 2x = -4

함수값 = f(-2) = 4-2a+b

좌극한 = lim(x=-2) x^2+a*x+b = 4 -2a +b

-> -4 = 4 -2a +b

2a-b=8

2. 좌기울기 우기울기 같으니

lim(x=-2) diff(x^2+a*x+b) = lim(x=-2) 2x+a = -4+a

lim(x=-2) diff(2*x) = 2

-4+a = 2 -> a=6

->2*6-b=8 -> a=6, b=4

즉, f(x) = {x^2+6*x+4

          {2*x

입니다.

Comment

미분가능조건에 대해 다시 한 번 학습할 수 있었고, 예제문제의 풀이방법도 설명해주셔서 저도 같이 풀어볼 

수 있었습니다.

Final Comment : 실제 문제를 활용해서 접선의 방정식까지 손으로 푸는 

방법과 프로그램으로 해결해 주셔서 이해하는데 많은 도움이 되었습니다. 

저 또한 손으로 알려주신 방법으로 손으로 풀어보기도 하고 프로그램으로 

실습하면서 복습하는 시간을 가질 수 있었습니다.

- 467 -

[HW W3]  [Open problem3] 역쌍곡선함수의 고계도함수 by 이주한

. arcsinh(x)에 대한 고계 도함수 및 그래프

[code]

f(x) = arcsinh(x)

df(x) = diff(f(x), x)

ddf(x) = diff(f(x), x,2)

print("f(x)=",f(x))

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",ddf(x))

p1 = plot(f(x), (x, 0, 10))   # 함수 f(x) 그리기

p2 = plot(df(x), (x, 0, 10), color = 'red')  # 함수 f'(x) 그리기

p3 = plot(ddf(x), (x, 0, 10), color = 'green')  # 함수 f''(x) 그리기

p1 + p2 + p3

. arccosh(x)에 대한 고계 도함수 및 그래프

[code]

f(x) = arccosh(x)

df(x) = diff(f(x), x)

ddf(x) = diff(f(x), x,2)

print("f(x)=",f(x))

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",ddf(x))

p1 = plot(f(x), (x, 0, 10))   # 함수 f(x) 그리기

p2 = plot(df(x), (x, 0, 10), color = 'red')  # 함수 f'(x) 그리기

p3 = plot(ddf(x), (x, 0, 10), color = 'green')  # 함수 f''(x) 그리기

p1 + p2 + p3

Comment

역쌍곡선함수의 도함수에 대해서는 생각해봤지만 고계도함수는 생각 못 하고 있던 부분이었는데,

그래프 그리는 방법과 공식을 공유해주셔서 공부하면서 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

Final Comment : 앞에서 배운 역쌍곡선함수의 도함수에 대해서는 직접 실

습도 해보고 손으로 증명해보았지만 2계도함수 및 더 나아가 고계도함수에 

대해서는 생각을 못 하고 있었는데, 이주한 학우님이 공부하신 내용을 공유

해주신 덕분에 역쌍곡선함수의 고계도함수를 구하는 명령어와 그래프 그리

는 방법, 공식을 공부할 수 있었습니다.

- 468 -

[HW W3] [Open problem3] 역쌍곡선함수의 고계도함수 <--- 이제 도함수를 배

웠으니 Newton's Method 에 대하여 토론해 보세요^^ by 천혜준

[HW W3] 이주한, 노영규, 신종호, 천혜준  [Open problem3] 역쌍곡선함수의 고계도함수 <--- 이제 도함수

를 배웠으니 Newton's Method 에 대하여 토론해 보세요^^ 

[Sage code _ 복잡한 함수의 미분]

f(x) = ((x^3) + (5*x^2)) *(sqrt((x^2)+1)) / ((x^3)-(x^2)+5)^2

df(x) = diff(f(x), x)

d2f(x) = diff(f(x), x, 2)

print("f(x)=", f(x))

print("f'(x)=", df(x))

print("f''(x)=", d2f(x))

p1 = plot(f(x),(x,-5, 5), ymax = 10, ymin = -10)

p2 = plot(df(x),(x,-5, 5), color = 'red')

p3 = plot(d2f(x),(x,-5, 5), color = 'green')

p1+p2+p3

f(x) = arccsc(cot(x))

df(x) = diff(f(x), x)

d2f(x) = diff(f(x), x, 2)

print("f(x)=", f(x))

print("f'(x)=", df(x))

print("f''(x)=", d2f(x))

p1 = plot(f(x),(x,-5, 5), ymax = 10, ymin = -10)

p2 = plot(df(x),(x,-5, 5), color = 'red')

p3 = plot(d2f(x),(x,-5, 5), color = 'green')

p1+p2+p3

Comment

직접 손으로 풀기 어려운 함수들을 프로그램을 사용하여 쉽게 미분하는 것을 확인했고,

그래프를 통해 미분한 함수의 그래프를 그려주셔서 직관적으로 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

Final Comment : 도함수를 구하는 방법을 배우고 활용해서 직접 손으로 

풀기 어려운 함수들을 프로그램을 통해 쉽게 결과값을 구할 수 있다는 것을 

다시 한 번 깨우칠 수 있었고 천혜준 학우님이 그래프와 코딩 명령어를 공

유해주신 덕분에 실습하는데 많은 도움이 되었습니다.

- 469 -

Final by 이상구, 이주한, 임경섭, 윤관수, 전형준[Question] 백승준 _ Newton's Method 실습 - [참고] 미

적분학 코드 모음, Newton's Method(뉴턴의 방법), 구분구적법  by 백승준

아래 글의 내용 중 f(x) = cosx+x의 함수의 근에 대한 이야기가 있어 해당 함수로 실습했습니다.

[방정식의 근사해]

위와 같이 함수의 그래프를 그리고 -0.5<x<0 사이에 근이 있음을 확인했습니다.

find_root 명령어를 사용해서 근사해를 구하였습니다.

다음으로 뉴턴의 방법으로 구해보았습니다. (아직까지 프로그램을 제대로 활용하지 못 해 함수만 바꿔서 구

해보았습니다.)

근사해 x*의 값이 find_root로 찾은 값과 비슷했습니다.

근이 2개일 경우를 실습했습니다. (교재 4.6 방정식의 해_4*exp(-x^2)*sin(x) - x^2 + x - 1 문제)

find_root 값 : 0.21916367723637498 (0<x<0.5), 1.0842246163093805 (1<x<1.5)

초기값을 변경해서 두 개의 근사해(x*값)를 출력했습니다. 역시 find_root에서 찾은 값과 비슷했습니다.

- 470 -

Q1) 복잡한 함수의 경우 find_root로 찾으려면 그래프를 그려서 근사해의 범위를 계속 찾아야 하지만, 뉴턴

의 방법으로 하면 함수와 초기값으로 내가 원하는 근사해를 찾을 수 있는 것 같습니다.

혹시 정확히 어떠한 차이점이 있는지 알 수 있을까요?

Q2) 근이 없는 경우(x축과 닿지 않는 경우)는 어떻게 나오는지 궁금해서 아래와 같이 실습했습니다.

    근이 없다는 결과가 나오거나 최솟값이 나올 줄 알았는데 이상한 값들이 계속 나오고 있었습니다.

   x축 만나는 점이 없어서 계속 찾고 있어서 그런 것인가요?

- 471 -

=========================================================================================

​<뉴턴의 방법>

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=dydrogud22&logNo=11019016

7873 

Answer by 이상구 교수님

A1) 여러분이 사용한 방법은 중간값정리와 Bisection method 를 이용한 접근 으로 볼 수 있습니다.

 두 방법의 차이는 도함수를 사용하느냐 아니냐가 큰 차이입니다.

A2)  근이 없는 경우는 당연히 못구하고 ... 왔다갔다 하며 시간과 비용만 사용하고 아무 결론도 안줍니다.

그래서 그래프를 그리거나 중간값정리를 이용하여 먼저 어디와 어디사이에 하나의 해가 존재한다는 것을 확

인하고, 그 해의 근처에서 뉴턴의 방법을 사용하면, 여러분이 해본 방법보다 뉴턴의 방법이 훨씬 빠르고 싸게 

항상 원하는 아주 정확한 답을 구해 줍니다.

결론. 일반적으로는 bisection method 로 답의 근/근 의 근처에 가면, 그첨에서 Newton's method 로 아주 

정확한 답을 구하라고 코딩 하는 것이 실제 현장에서 제일 많이 쓰는 방법입니다.

- 472 -

차이점: Gradient descent algorithms find local minima by moving along the direction of steepest 

descent while Newton's method takes into account curvature information and thereby often impr

oves convergence.

질문 2와 같이 근이 아니라 극솟값을 찾을때는, (도함수 를 배워서 사용하는) 뉴튼 방법을 개선한 (다변수 함

수의 도함수-Gradient를 이용하는 ) GDM-경사하강법-Gradient Descent Method 을 사용합니다.

그리고 뉴튼 방법을 개선한 GDM-경사하강법 이 바로 인공지능에서 실제 beat possible solution 을 찾을 

때 사용하는 방법입니다.

그래서 1학기 에 도함수, 2학기에 다변수 함수의 도함수인 Gradient를 배우는 것입니다.

[Sage Newton’s method]

var('x')  # 변수 선언

f(x) = x^3 + x^2 - 2*x + 1  # 함수 입력

df(x) = diff(f(x), x) # 도함수 계산

show(plot(f(x), (x, -3, 3)))  # 함수의 그래프

x1 = -2.0  # 함수의 그래프를 보고 적당한 초깃값 입력

k = 1

print (x1)

# 뉴턴의 방법

while abs(f(x1)) > 1e-4:  # 종료 조건을 만족하는지 확인

    

    x1 = x1 - f(x1)/df(x1)  # 뉴턴의 방법의 반복단계

    print (x1)

    k = k + 1

print ("x* =", x1)  # 근사해 출력

print ("f(x*) =", f(x1))  # 함숫값 출력

print ("iteration =", k)  # 반복 횟수

Final Comment : 교수님이 공유해주신 자료와 이전에 배운 근사해를 구하

는 방법을 비교해보면서 뉴턴의 방법이 함수/방정식의 근삿값을 구하는 정

확하고 빠른 방법 중 하나라는 것을 알 수 있었고 수업시간에 가르쳐주신 

접선의 방정식을 통해 근삿값을 구하는 원리를 설명해주셔서 어느정도 이해

할 수 있었습니다. 2학기에 배우는 GDM을 통해 best possible solution을 

찾는지도 열심히 배우도록 하겠습니다.

- 473 -

Final OK by SGLee [HW W6] [Open problem 2] 도함수, 고계도함수, 미분법

칙 by 박경현

다른 함수들의 도함수와 고계도 함수를 구해보았습니다.

[Sage code _ 도함수와 고계 도함수]

1. f(x)=3*x^5+2*x^3+4

f(x)=3*x^5 + 2*x^3 - 6*x+4

df(x)=diff(f(x),x) #도함수

d2f(x)=diff(f(x),x,2) #2계 도함수

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",d2f(x))

2. h(x) = x² cos x

계산이 복잡하지만, 코딩을 통해 진행하면 아래와 같이 깔끔하게 정리된 것을 볼 수 있었습니다.

f(x)=x^2*cos(x)

df(x)=diff(f(x),x) #도함수

d2f(x)=diff(f(x),x,2) #2계 도함수

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",d2f(x))

위와 같이 계산이 복잡한 도함수와 고계도함수등을 코딩으로 간편하게 구할 수 있단 것

을 확인할 수 있었습니다.

=========================================================================

================

[HW W6] 김대환 도함수, 고계도함수, 미분법칙 [open problem 2] 도함수와 고계도함수

작성자 : 김대환(2022####65)작성일 : 3월 29일 오전 11:45조회수 : 52

. 고계도함수

범위를 확장해보겠습니다.

[Sage code _ y=e^(-x)*sin(x) ]

f(x) = e^(-x)*sin(x)

df(x) = diff(f(x), x) #도함수

d2f(x) = diff(f(x), x, 2) #2계 도함수

print("f(x) =", f(x))

- 474 -

print("f'(x) =", df(x))

print("f''(x) =",d2f(x))

plot(f(x),(x,-30, 3))+plot(df(x), (x,-30, 3), color = 'red')+plot(d2f(x), (x,-30, 3), color 

= 'green', ymin = -100, ymax = 100)

주기함수와 자연상수e의 합성함수다 보니 반복하다 0으로 수렴해가는것을 알 수 있습니

다.

왜 반복하다 0으로 수렴해가는지에대해 생각해보았습니다.

2계도 함수 y'' = -2*e^(-x)*cos(x) 에서 cos(x) 는 주기함수라서 반복, e^(-x)는 e^(x)의 

y축 대칭꼴이기때문이라는 것을 그래프를 통해 알 수 있었습니다.

0으로 수렴하는 모양입니다.

복잡한 함수꼴 혹은 고차항의 고계도함수를 구할 때 손으로 해결하기 복잡하고 어려운 부

분도

sage 프로그램을 통해 쉽게 구할 수 있다는 것을 느꼈습니다. 감사합니다.

Comment

손으로 푸는 방식과 명령어를 사용하는 방식 둘 다 사용해주셔서 이해하기 쉬웠고, 저도 

같은 방법으로 해볼 수 있었습니다.

감사합니다.

Final Comment : 여러 가지 도함수와 고계도함수에 대한 예제 문제들을 

손으로 직접 풀어보신 내용을 공유해주시고 아무리 어려운 문제라도 코딩과 

명령어로도 쉽게 결과를 얻을 수 있다는 사실을 다시 이해시켜주셨습니다.

- 475 -

[Final OK by TA] Final [HW-W6](미적분학 실습실-실습)  미분법칙을 공부하고, 

문제를 풀고 실습 해보았습니다. by 백승준

실습실 : http://matrix.skku.ac.kr/Lab-Book/Sage-Lab-Manual-1.htm

Ch2. Limits and Derivatives

[Sage]

var('변수')

f(x)  = 함수

print(limit(f(x), x=x가 다가가는 값, dir='좌극한 : minus, 우극한 : plus')

Ch3. Differentiation Rules

[Sage]

var('변수')

f(x) = 함수

print(diff(f(x),x))

[Sage]

var('변수')

f(x) = 함수

df(x)=diff(f(x),x) # 도함수

y(x)=df(주어진 점 x의 값) * (x-주어진 점 x의 값) + y 절편 # 기울기 (df(x))를 구하여 접선의 방정식

show (y(x)) # 접선의 방정식

p1 = plot(f(x), x, x의 범위, linestyle="--", color='색 지정')

p2 = plot(y(x), x, x의 범위, color='색 지정')

show(p1+p2)

지금까지 배운 다양한 함수들의 도함수를 구할 수 있고, 도함수를 활용해 접선의 방정식을 구하고 직접 그래

프를 그릴 수 있는 것을 확인했습니다.

Ch4. Applications of Differentiation

[Sage]

var('변수')

f(x) = 함수

solve(diff(f(x))==0, x) # 변곡점 찾기

ma=max(f(변곡점₁의 x값), f(변곡점₂의 x값), f(변곡점₃의 x값), f(구간의 x₁), f(구간의 x₂)) # 변곡점을 포함하

는 구간(x₁, x₂)의 최댓값

mi=min(f(변곡점₁의 x값), f(변곡점₂의 x값), f(변곡점₃의 x값), f(구간의 x₁), f(구간의 x₂)) # 변곡점을 포함하는 

구간(x₁, x₂)의 최솟값

print ('maximum is', ma)

print ('minimum is', mi)

p1 = plot(f(x), x, x의 범위, ymin= or/and ymax)

p2 = plot([x₂, f(x₂) 값)], color = '색 지정', pointsize = '점 크기 지정')

p3= plot([x₁, f(x₁) 값)], color = '색 지정', pointsize = '점 크기 지정')

p1+p2+p3

도함수로 변곡점을 찾아내고 주어진 구간 내에서의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는 것을 확인했습니다.

- 476 -

[discussion]

전형준(2022####82)3월 30일 오전 10:17

좌극한과 우극한을 구하는것과 그 값들이 다를경우 극한값을 구할수없다는 것을 알 수 있었습니다. 접선의 방

정식을 구하는 방법, diff와 solve명령어를 통해 기울기가 0에 해당하는 극값들을 확인해 극대값과 극솟값을 

찾는 것을 그래프로 볼 수 있었습니다

Ch4에서 질문이 하나있는데 f(x)값을 미분하면 12*x^3-48*x^2+36*x 의 식을 알수있고 그 해는 x=0,1,3 으

로 극값을 구하는데 구간 (-3, 3)이라면 max, min 값을 f(0), f(1), f(3), f(-3) 으로 설정해야하지 않을까 생

각하였습니다.

제가 정확히 알지 못하는 부분 궁금증이 생겨서 질문드립니다.

var('x')

f(x)=3*(x^4)-16*(x^3)+18*(x^2)

df(x)=solve(diff(f(x))==0,x)

show(f(x))

print('f(0)=',f(0))

print('f(1)=',f(1))

print('f(3)=',f(3))

print('f(-3)=',f(-3))

ma=max(f(0),f(1),f(3),f(-3))

mi=min(f(0),f(1),f(3),f(-3))

print('maximum is', (-3,ma))

print('minimum is', (3,mi))

p1=plot(f(x), x,-10,10 , ymin=-40, ymax=50)

p1

이상구(LEE SANGGU)3월 30일 오전 11:08

전형준 씨, 답을 줍니다. :

(1) 극대값과 극솟값 은 극점(critical point, f'(x)=0 인 점) 에서 정의됩니다.

(2) x=0,1,3 에서의 극값을 구하것입니다.

(3) 폐구간 [-3, 3] 에서 최댓값과 최솟값을 구할 때만 f(0), f(1), f(3), f(-3) 값 중에 비교하여 찾는 것입니다.

(4) 특히 개구간의 끝 점에서는 극값이 존재하지 않습니다.

김대환(2022####65)3월 30일 오후 4:46

교수님 질문있습니다. 아래처럼 df(x)=diff(f(x),x) # 도함수 를 통해 기울기를 구하고 그 기울기를 이용하여 y

(x)=df(주어진 점 x의 값) * (x-주어진 점 x의 값) + y 절편 # 기울기 (df(x))로 백승준 학생이 x좌표와 y좌표

를 주었습니다

하지만 그래프를 보면 백승준이 학생이 입력한 (2,13)이 나오지 않는데요 이유가 있을까요?

임경섭(2022####81)3월 30일 오후 5:17

접선의 방정식 공식

함수 f(x) 위에점 (x0, f(x0)) 에서의 접선의 방정식은. y-f(x0) = m(x-x0) 형태로 나타냅니다.

기울기(m) 은 f'(x0)=m 으로 나타납니다.

위에 백승준 학우께서 푼 식을 정확히 작성하게 될 경우 (2, f(2)) 의 접선의 방정식을 구해야하기 때문에

y-f(2) = f'(2)(x-2) 형태로 나타내면 될 것 같습니다.

(2, 13)의 숫자는 큰의미가 없는것 같습니다.

김대환(2022####65)3월 30일 오후 5:29

문제에서 주어진 좌표가 함수 위에 있는 점이기 때문에 y-f(2) = f'(2)(x-2) 즉 (2, f(2))가 맞는 형태인것을 알

았습니다. 이해했습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 30일 오후 10:23

- 477 -

김대환씨, 혹시 그래프에 p3 = point ( [ (2, f(2)), . . . , pointsize (15) ) 하는 방법으로 점 (2, f(2)) 를 같

이 plot 하는 것을 원했던 것은 아니였나요?

f(x) = . . .

x0 = 2

m = limit((f(x) - f(x0))/(x - x0), x = x0)

print("접선의 방정식 : y =", f(x0) + m*(x - x0))

p1 = plot(f(x), (x, -2, 2), ymax = 5, ymin = -1)

p2 = plot(f(x0) + m*(x - x0), (x, -2, 2), color = 'red')

p3 = point([(x0, f(x0))], color = 'red', pointsize = 15) # 접점

p1 + p2 + p3 # 함수 f(x)와 접선을 동시에 보여주기

************** 아래 코드를 이용해 보세요^^

var('x')

f(x)=3*(x^4)-16*(x^3)+18*(x^2)

x0 = 2

m = limit((f(x) - f(x0))/(x - x0), x = x0)

print("접선의 방정식 : y =", f(x0) + m*(x - x0))

p1 = plot(f(x), (x, -2, 4), ymax = 5, ymin = -40)

p2 = plot(f(x0) + m*(x - x0), (x, -2, 4), color = 'red')

p3 = point([(x0, f(x0))], color = 'red', pointsize = 30) # 접점

p1 + p2 + p3 # 함수 f(x)와 접선을 동시에 보여주기

접선의 방정식 : y = -13.5*x + 21.9375000000000

Final Comment : 교수님께서 공유해주신 실습실로 극한, 접선의 방정식, 

도함수, 미분법칙 등을 실습해보고 다른 자료의 문제들도 풀어보며 배운 것

들을 이해하는데 많은 도움이 되었습니다. 또한 comment로 다른 학우들이 

discussion하는 모습을 보면서 함께 공부하는 느낌이 들었습니다.

- 478 -

[Part7] - 연쇄법칙, 음함수와 매개변수함수의 미분법

■ 연쇄법칙 (Chain rule)

함수 u=f(x)가 점 x에서 미분가능하고, 함수 y=g(u)가 점 u에서 미분가능하면, 합

성함수 y=(g*f)(x) = g(f(x))도 점 에서 미분가능하고

(g*f)'(x) = g'(f(x))f'(x) 또는 dy/dx = (dy/du)*(du/dx) 가 성립한다.

[Problem 합성함수의 미분_고계 도함수]

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Solved by Sage 

f(x) = cos(3*x)

show(diff(f(x),x,1))   # 도함수

show(diff(f(x),x,2))   # 2계 도함수

show(diff(f(x),x,3))   # 3계 도함수

f(x) = sin(x)^3

show(diff(f(x),x,1))   # 도함수

show(diff(f(x),x,2))   # 2계 도함수

show(diff(f(x),x,3))   # 3계 도함수

f(x) = (x^3)/(1-x)

show(diff(f(x),x,1))   # 도함수

show(diff(f(x),x,2))   # 2계 도함수

show(diff(f(x),x,3))   # 3계 도함수

f(x) = ln(1+x)

show(diff(f(x),x,1))   # 도함수

show(diff(f(x),x,2))   # 2계 도함수

show(diff(f(x),x,3))   # 3계 도함수

Final Comment : 연쇄법칙을 이용한 합성함수의 미분에 대해서 알게 되었고, 어

려운 합성함수도 프로그램을 통해 쉽게 답을 구할 수 있다는 것을 배웠습니다.

- 479 -

[Problem 합성함수의 미분]

 Solved by 천혜준

Solved by Sage 

(1) diff((5-x)^3,x)

(2) diff(((x^2)+3*x)^5,x)

(3) diff(1/(4-x)^2, x)

(4) diff(1/((x)^2)-x+1, x)

Answer

(1) -3*(x-5)^2

(2) 5*(x^2+3*x)^4*(2*x+3)

(3) -2/(x-4)^3

(4) -2*(2*x-1)/(x^2-x+1)^3

[Problem 합성함수의 미분_y=cos(x^2)]

 Solved by 조현준

Solved by Sage 

print (diff(cos(x^2), x)

Solved by hand

Answer

-2*x*sin(x^2)

- 480 -

[Problem 합성함수의 미분_(x^3+5*x)^7, (x^2-x^-2)^2]

 Solved by 박준수

Solved by Sage 

(1)

var('x,y')

f(x)= (x^3+5*x)^7

print(diff(f(x),x))

(2)

var('x,y')

f(x)= (x^2-x^-2)^2

print(diff(f(x),x))

Solved by hand

Answer

(1) 7*(x^3+5*x)^6*(3*x^2+5)

(2) 4*(x^2-1/x^2)*(x+1/x^3)

Final Comment : 합성함수의 미분에 대해서 여러 학우들이 올린 예제들을 

보면서 다시 복습할 수 있었고, 수기로 푼 학우들도 있어서 그 과정을 이해

할 수 있었습니다.

- 481 -

[Problem 음함수의 그래프 _ x^2 + y^2 = 36,  x^4 + y^3 == x*y^2+8]

 Solved by 천혜준, Finalized by 천혜준

Solved by Sage 

(1)

var('x, y')

p1 = plot(sqrt(36-x^2), (x,-6,6))

p2 = plot(-sqrt(36-y^2), (y,-6,6), color = 'red')

show(p1+p2, aspect_ratio = 1)

or

var('x, y') 

implicit_plot(x^2 + y^2 == 36, (x, -6, 6), (y, -6, 6))

(2)

var('x, y') 

implicit_plot(x^4 + y^3 == x*y^2+8, (x, -10, 10), (y, -10, 10), aspect_ratio = 1)

and 음함수의 구성 code

var('x, y')

solve(x^4 + y^3-(x*y^2)-8 == 0, y)

Answer

(2)

[y == -1/18*x^2*(-I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^

7 - 144*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqr

t(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1) + 1/3*

x,

y == -1/18*x^2*(I*sqrt(3) + 1)/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 

- 144*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) - 1/2*(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9

*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1) + 1/3*x,

y == 1/9*x^2/(-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*x^7 - 144*x^4 + 32/

3*x^3 + 576) + 4)^(1/3) + 1/3*x + (-1/2*x^4 + 1/27*x^3 + 1/6*sqrt(9*x^8 - 4/3*

x^7 - 144*x^4 + 32/3*x^3 + 576) + 4)^(1/3)]

→ x^4 + y^3 == x*y^2+8는 3개의 음함수로 구성되어 있음을 알 수 있다.

Final Comment : 음함수의 그래프가 어떻게 그려지는지에 대해서 code를 

통해서 실습하는 방법을 알 수 있었습니다.

- 482 -

[Problem 음함수의 도함수 및 접선의 방정식 _ x^2-3*x*y+y^2=1]

 Solved by 손혜원

Solved by Sage 

var (‘x, y’)

F(x, y) = y^2-3*x*y+x^2-1    # F(x, y) = 0

dydx = F.implicit_derivative(y,x) # 음함수의 도함수 (y와 x의 순서에 주의)

dydx

print(“dydx=”, dydx)

m=dydx.subs(x=1,y=0) # (1,0)에서 접선의 기울기

print(“y=”, m*(x-1)+0  # 접선의 방정식

p1 = implicit_plot(F(x, y) == 0, (x, -1, 3), (y, -3, 3)   # 음함수의 그래프

p2 = plot(0+m*(x-1), (x, -1, 3), color = ‘red’)    # 접선의 그래프

p3 = point( [(1,0)], color = ‘red’, pointsize = 15) # 접점

p1 + p2 + p3

Answer

dydx = (2*x – 3*y)/(3*x-2*y)

y = 2/3*x – 2/3

Final Comment : 음함수의 도함수를 구하기 위한 복잡한 과정을 code로 

쉽고 빠르게 값을 구할 수 있었고, 도함수를 활용하여 접선의 방정식과 그

래프를 그릴 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 

- 483 -

[Problem 매개변수 함수의 미분 _ x=(cos(t))^3 , y=(sin(t))^3]

 Solved by 박경현, Finalized by 박경현

Solved by Sage

var('t')

f(t) = cos(t)^3

g(t) = sin(t)^3

m(t) = diff(g(t), t)/diff(f(t), t)

print("y =", expand(g(pi/3) + m(pi/3)*(x - f(pi/3)))) # 접선의 방정식

p1 = parametric_plot((f(t), g(t)), (t, 0, pi)) # 매개변수 함수의 그래프

p2 = plot(g(pi/3) + m(pi/3)*(x - f(pi/3)), (x, -0.5, 0.5), color = 'red') 

# 접선의 그래프

p3 = scatter_plot([(f(pi/3), g(pi/3))]) # 접점

p1 + p2 + p3

Answer

y = -sqrt(3)*x + 1/2sqrt(3)

Final Comment : 매개변수함수의 도함수를 구하고 매개변수 그래프와 주

어진 접점에서의 접선의 방정식을 Sage를 통해 쉽게 그래프를 그리고 값을 

구할 수 있는 것을 알 수 있었습니다.

- 484 -

[Problem 합성함수의 미분 _ y=sin(sin(x))의 도함수 및 고계도함수]

 Solved by 이주한, Finalized by 이주한

Solved by Sage

f(x) = sin(sin(x))

df(x) = diff(f(x),x)

ddf(x) = diff(f(x),x,2)

print("f(x)=",f(x))

print("f'(x)=",df(x))

print("f''(x)=",ddf(x))

p1 = plot(f(x), (x, 0, 10))   # 함수 f(x) 그리기

p2 = plot(df(x), (x, 0, 10), color = 'red')  # 함수 f'(x) 그리기

p3 = plot(ddf(x), (x, 0, 10), color = 'green')  # 함수 f''(x) 그리기

p1+p2+p3

Answer

f(x)= sin(sin(x))

f'(x)= cos(x)*cos(sin(x))

f''(x)= -cos(x)^2*sin(sin(x)) - cos(sin(x))*sin(x)

1. 우리의 학습 방식 같이, 일단 학생 모두에게 답을 구할 수 있게 가르쳐주고

2. 이어서 왜 그런 답이 구해지는지에 대한 수학적인 개념과 과정, 그리고 알고리즘에 대

해서 토론하면서, 이해하고 나서 설명하게하고, 프로그래밍을 포함 다양한 방향에서 좀 

더 심화된 문제를 생각해 보고,

3. 자신이 얻고 이해한 답을 구한 과정과 그 문제의 의미를 설명하는 과정에서 수학에 대

해 서로 얘기하게 하면서

4. 창의력과 생산적이고 논리적인 사고방식을 키우는게



Final Comment : 삼각함수에 연쇄법칙을 어떻게 적용하고 그래플 그리면 

되는지 알 수 있었고 우리가 배우는 학습방식에 대한 느낀 점도 인상 깊었

습니다.

- 485 -

[Problem 매개변수 함수 _ f(t) = 2*t, g(t) = 3*t^2 + t]

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Solved by Sage

# 접선의 기울기

var ( 't' )

f(t) = 2*t

g(t) = 3*t^2 + t

m(t) = diff(g(t), t)/diff(f(t), t) # 접선의 기울기

print(m(t)) 

m(2) # t=2에서의 접선의 기울기

# 접선의 방정식

var ( 't' )

f(t) = 2*t

g(t) = 3*t^2 + t

m(t) = diff(g(t), t)/diff(f(t), t)

print("y =", expand(g(2) + m(2)*(x - f(2)))) # 접선의 방정식

p1 = parametric_plot((f(t), g(t)), (t, 0, pi)) # 매개변수 함수의 그래프

p2 = plot(g(2) + m(2)*(x - f(2)), (x, -2, 5), ymin=-3, ymax=30, color = 'red') # 접

선의 그래프

p3 = point([(f(2), g(2))], color = 'red', pointsize = 30) # 접점

p1 + p2 + p3

Answer

3*t + 1/2      # 도함수

13/2           # t=2에서의 접선의 기울기

Final Comment : 실습하면서 매개변수함수의 그래프가 그려지는 과정을 

이해할 수 있었고, 쉽게 도함수와 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있

었습니다. 덕분에 매개변수함수의 문제에 대해서는 쉽게 문제해결을 할 수 

있다는 자신감이 생겼습니다.

- 486 -

[Part8] - 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 

선형근사

[Problem 역삼각함수의 미분]

(1) f(x) = arccos(-3*x) (2) f(x) = sin(arctan(x))) + 2계도함수

 Solved by 전형준, Finalized by 전형준

Solved by Sage

(1)

f(x) = arccos(-3*x)

df(x) = diff(f(x),x)

p1 = plot(f(x),x)

p2 = plot(df(x),x, color='red')

print('f(x)의 도함수:', df(x))

p1+p2

(2)

f(x) = sin(arctan(x))

df(x) = diff(f(x),x)

p1 = plot(f(x),x)

p2 = plot(df(x),x, color='red')

print('f(x)의 도함수:', df(x))

p1+p2

(2) 2계 도함수

f(x) = sin(arctan(x))

df(x) = diff(f(x),x,2)

p1 = plot(f(x),x)

p2 = plot(df(x),x, color='red')

print('f(x)의 이계도함수:', df(x))

p1+p2

Answer

(1) f(x)의 도함수 : 3/sqrt(-9*x^2+1)

(2) f(x)의 도함수 : -x^2/(x^2+1)^(3/2) + 1/sqrt(x^2+1)

(2) f(x)의 2계 도함수 : 3*x^3/(x^2+1)^(5/2)-3*x/(x^21)^(3/2)

Final Comment : 역삼각함수의 합성함수 및 고계 도함수에 대해서 프로그

램을 통해 쉽게 풀어주셔서 문제 해결 방법을 알 수 있었습니다.

- 487 -

[Problem 로그함수와 지수함수의 미분]

(1) f(x) = ln(sqrt(2*x+3))

 Solved by 이혜인, Finalized by 이혜인

Solved by Sage

f(x) = ln(sqrt(2*x + 3))

diff(f(x), x)

Solved by hand

Answer

1/(2*x+3)

(2) f(x) = e^(-3*x)*sin(8*x) 도함수와 3계 도함수

 Solved by 이주한, Finalized by 이주한

Solved by Sage

f(x) = e^(-3*x)*sin(8*x)

print("f'(x)=", diff(f(x), x))

print("f'''(x)=", diff(f(x), x, 3))

Answer

f'(x)= 8*cos(8*x)*e^(-3*x) - 3*e^(-3*x)*sin(8*x)

f'''(x)= -296*cos(8*x)*e^(-3*x) + 549*e^(-3*x)*sin(8*x)

Final Comment : 다른 학우들 덕분에 알게 된 증명과정과 문제풀이를 통

해 지수/로그 함수의 미분에 대해서 이해하고 앞으로 Sage로 쉽게 문제에 

대한 해를 구할 수 있게 되었습니다.

- 488 -

[Problem 선형근사]

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Solved by Sage

f(x) = e^x

x0 = 0

y0 = f(x0)

df(x) = diff(f(x), x)

L(x) = y0 + df(x0)*(x -x0)

print("L(x) =", L(x))

print("f(0.01) =", L(0.01))

Solved by hand

Answer

L(x) = x + 1

f(0.01) = 1.01000000000000

Final Comment : 코딩을 활용하여 문제를 해결하기 위해 수학적 지식을 

바탕으로 적절한 함수를 정하는 것이 중요하다는 것을 알 수 있었습니다. 

값을 구하기 위해 적절한 함수를 설정할 수 있다면 구하기 어려운 함숫값도 

선형근사를 이용하여 근삿값을 구할 수 있는 것을 배웠습니다.

- 489 -

[Problem 선형근사 and 근삿값의 오차]

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Solved by Sage

f(x) = cos(x)

x0 = (pi/3)

y0 = f(x0)

df(x) = diff(f(x), x)

L(x) = y0 + df(x0)*(x -x0)

print("L(x) =", L(x))

print("f(5*pi/12) =", L(5*pi/12))

show("L(x) =", L(x))

show("f(5*pi/12) =", L(5*pi/12))

Solved by hand

Answer

L(x) = 1/6*sqrt(3)*(pi - 3*x) + 1/2

f(5*pi/12) = 1/2 –1/24*sqrt(3)*pi (근삿값의 오차)

- 490 -

[Problem 선형근사 and 근삿값의 오차]

Explanation of 박경현

파란색 곡선이 f(x)일 때, P지점에서의 접선의 방정식을 구하면

파란색 직선  

  이 나오게 됩니다.

절대 값을 생략하고 위의 식을 그래프를 통해 비교해 보겠습니다.

(편의상 절대값 부호는 생략하겠습니다)

여기서 선형근사와 실제 값의 오차를 비교하려고 하면, 그림에서 보이는 부분과 같이

오차는 

 입니다.   

R 지점과 Q 지점의 좌표를 보면, 

 아래와 같습니다.

즉, 

Final Comment : 책에서 본 내용이 위 그림에서 점 Q와 점 P의 함수 f(x)

에 대한 차이인 것을 알 수 있었고 덕분에 근삿값의 오차에 대해 이해할 수 

있었습니다.

- 491 -

[Part9] - 쌍곡선함수 미분법, 역쌍곡선함수 미분법, 평균값 정리, 

로피탈의 법칙 (부정형의 극한)

[Sage 로피탈 법칙]

g(x) = 함수

h(x) = 함수

dg(x) = diff(g(x), x) # g(x)의 도함수

dh(x) = diff(h(x), x) # h(x)의 도함수

print (limit(dg(x)/dh(x), x= u)) # 각 함수의 도함수의 극한 계산

                              # u = x가 다가가는 값

[Sage 극한값 계산]

limit((함수), x=u, dir = '+or -')  # u = x가 다가가는 값

                                # dir = x가 다가가는 방향

[Problem 극한값 계산]

 Solved by 노태완, Revised by 백승준, Finalized 노태완

Solved by Sage

# 로피탈 법칙

g(x) = 4*x^2-(7*x)

h(x) = (log(x))^2

dg(x) = diff(g(x), x) # g(x)의 도함수

dh(x) = diff(h(x), x) # h(x)의 도함수

print (limit(dg(x)/dh(x), x= oo)) # 각 함수의 도함수의 극한 계산

                              # u = x가 다가가는 값

# 직접 계산

f(x) = 4*x^2-7*x/(log(x))^2     

limit((함수), x=u, dir = '+or -')  # u = x가 다가가는 값

                                # dir = x가 다가가는 방향

Answer

+infinity

Final Comment : 로피탈의 법칙을 사용해서 극한값을 구할 수 있지만 

Sage 명령어로 좀 더 쉽게 답을 구할 수 있다는 것을 알 수 있었습니다.

- 492 -

[Problem 쌍곡선 함수의 그래프]

Explanation of 전형준

[Sage 쌍곡선 함수의 그래프]

f(x) = sinh(x)

f(x) = sinh(x)

g(x) = e^(x)/2

h(x) = -(e^(-x)/2)

p1 = plot(f(x),(x,-2,2))

p2 = plot(g(x),(x,-2,2),linestyle='--', color = 'red')

p3 = plot(h(x),(x,-2,2),linestyle='--', color = 'red')

p1+p2+p3

(2) f(x) = cosh(x)

f(x) = cosh(x)

g(x) = e^(x)/2

h(x) = (e^(-x)/2)

p1 = plot(f(x),(x,-2,2))

p2 = plot(g(x),(x,-2,2),linestyle='--', color = 'red')

p3 = plot(h(x),(x,-2,2),linestyle='--', color = 'red')

p1+p2+p3

(3) f(x) = tanh(x)

f(x) = tanh(x)

g(x) = 1

h(x) = -1

p1 = plot(f(x),(x,-2,2))

p2 = plot(g(x),(x,-2,2),linestyle='--', color = 'red')

p3 = plot(h(x),(x,-2,2),linestyle='--', color = 'red')

p1+p2+p3

Final Comment : 쌍곡선함수의 그래프를 그릴 때 함수에 따라 점근선이 

다르기 때문에 명령어를 다르게 넣어준 것을 알 수 있었고 그래프로 시각화

하여 보니 정의역과 치역을 한 눈에 알 수 있어서 좋았습니다.

- 493 -

[Part10] - 극댓값과 극솟값 (최댓값, 최솟값)

[Problem 도함수의 응용] 

 Solved by 이효민, Finalized 이효민

Q) f(x) = x^3-2*x 증가/감소 구간

Solved by Sage

f(x) = x^3 -2*x

df(x) = diff(f(x), x)

p = plot(f(x), (x, -2, 2), ymin = -4, ymax = 4)

show(p)

print ("f'(x) = ", df(x))

show(solve (df(x) > 0, x))

show(solve (df(x) < 0, x))

Answer

Q) x^3 - 6*x^2 + 9*x + 1 볼록한 구간

Solved by Sage

f(x) = x^3 - 6*x^2 + 9*x + 1

df(x) = diff (f(x), x)                # 도함수

d2f(x) = diff (df(x), x)              # 2계 도함수

p = plot(f(x), (x, -1, 4), ymin = -2)

show (p)

print ( "f''(x) = ", d2f(x) ) 

solve (d2f(x) > 0, x)     

Answer

f''(x) =  6*x – 12  # 2계 도함수

[[x > 2]]           # 2계 도함수가 0보다 큰 x값의 범위

Final Comment : 앞에서 배운 도함수를 응용하여 그래프의 증가/감소 구

간을 구할 수 있고, 2계 도함수를 응용하여 그래프의 볼록/오목한 구간을 

그릴 수 있다는 것을 실습을 통해 알 수 있었습니다.

- 494 -

[Problem 뉴턴의 방법_f(x) = x^3-3*x^2+2] 

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Solved by Sage

f(x) = x^3-3*x^2+2                     # 해를 구하고자 하는 방정식

show (plot(f(x), (-1.5,3.5)))             # 방정식의 개형

df(x) = diff(f(x), x)

x1 = 3;                                         # 시작점 x₁ = 3

k = 1

print('x%d = %.3f' % (k, x1))

while abs(f(x1)) > 1e-10:

      x1 = x1 - f(x1)/df(x1)

      k = k + 1

      print ('x%d = %.8f' %(k, x1))

print ()

x2 = -1;                                        # 시작점 x₂ = -1

k = 1

print('x%d = %.3f' % (k, x2))

while abs(f(x2)) > 1e-10:

      x2 = x2 - f(x2)/df(x2)

      k = k + 1

      print ('x%d = %.8f' %(k, x2))

print ()

x3 = 1;                                         # 시작점 x₃ = 1

k = 1

print('x%d = %.3f' % (k, x3))

while abs(f(x3)) > 1e-10:

      x3 = x3 - f(x3)/df(x3)

      k = k + 1

      print ('x%d = %.8f' %(k, x3))

Answer

근삿값 x₁= 2.73205

근삿값 x₂= -0.73205

근삿값 x₃= 1

Final Comment : ​뉴턴의 방법은 함수/방정식 f(x) = 0 의 근삿값을 구하

는 정확하고 빠른 방법 중 하나인 것을 실습을 통해 알 수 있었습니다.

- 495 -

[Part11] - 부정적분, 치환적분법, 부분적분법, 정적분, 정적분의 

기본정리, 이상 적분

[Problem 적분] 

Q)

 _ 이상 적분 (improper integral)

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Solved by Sage

f(x) = 1/(3*x+1)^2

print(integral (f(x), x, 1, oo))

plot(f(x), (x,-10,10), ymin=0, ymax=20)

Solved by hand

Answer

1/12

Final Comment : ​대학교에서 처음 배우는 이상 적분에 관해서 대부분은 

적분 공식을 외워서 풀어야 하지만 Sage로 쉽게 답을 구할 수 있다는 것을 

이상 적분 실습을 통해서 알 수 있었습니다.

- 496 -

[Problem 이상 적분]

Q) 적분 

의 수렴성을 판정하여라.

 Solved by 이혜인, Finalized by 이혜인

Solved by hand

Solved by Sage

var('x')

f(x) = 1/sqrt(x)

integral(f(x), x, 0, 1)

Answer

2

Final Comment : ​이상 적분에 대해서 손으로 직접 푸는 과정을 본 덕분에 

이상 적분에 대해서 좀 더 이해를 할 수 있었고, 명령어로는 쉽게 답을 구

할 수 있는 것을 다시 알게 되었습니다.

- 497 -

final 임*섭, 이*한, 천*준, 노*완, 김*영, 노*규, 윤*수 [HW W11] 

[열린문제1] 적분의 응용

- 498 -

- 499 -

- 500 -

- 501 -

- 502 -

- 503 -

천*준(2022####84)5월 2일 오후 3:04

적분의 응용에 대해 정리해주셔서 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

노*완(2022####71)5월 2일 오후 3:29

적분의 응용을 이용하여 다양한 도형의 부피 및 넓이를 구할 수 있다는 

사실을 확인하였습니다.

김*영(2022####67)5월 2일 오후 3:35

적분으로 다양한 부피및 넓이를 구할수 있다는걸 알게되었습니다 감사합

니다.

노*규(2022####70)5월 2일 오후 3:36

적분의 응용으로 회전체 부피 계산을 정리해주셔서 감사합니다. 이해하는

데 많은 도움이 됐습니다.

윤*수(2022####77)5월 2일 오후 3:38

평면 도형의 넓이와 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해 학습할 수 있었

습니다. 감사합니다.

Final [HW W11] 박*현 이*인 전*준 김*구 노*규 손*원 

           극방정식에서의 접선, 넓이, 호의 길이

작성자 : 박*현(2022####72)작성일 : 5월 4일 오후 5:14

안녕하세요.

극방정식에서의 접선, 넓이, 호의 길이에 대해 공부한 내용 공유드립니다.

극방정식 

에 대한 접선을 구하기 위해 

를 매개변수로 생각하고 곡선의 매개변수방정식을

다음과 같이 쓴다.

매개변수곡선의 기울기를 구하는 방법과 곱의 법칙을 이용하면 다음을 얻는다.

 

극좌표에서 곡선 

와 두 개의 반직선 

로 둘러싸인 영역의 면적 A는 다음과 같다.

극좌표에서 곡선 

와 두 개의 반직선 

로 둘러싸인 영역의 면적A는 

- 504 -

다음과 같다.

단, 

에서 

이다.

 이 부분이 이해가 되지 않아 예제를 풀었습니다.

 4엽 장미(four-leaved rose) 

의 한 고리로 둘러싸인 넓이를 구하라.

===========================================

var('t')

f(t) = cos(2*t)

show(polar_plot(f(t), (t, -pi/4, pi/4), fill = True)) # 넓이 계산

integral(1/2*f(t)^2, t, -pi/4, pi/4)

===========================================

왜 4엽장미인가 궁금하여 적분 범위를 늘려서 그려봤습니다.

===========================================

var('t')

f(t) = cos(2*t)

show(polar_plot(f(t), (t, -pi, pi), fill = True)) # 넓이 계산

integral(1/2*f(t)^2, t, -pi, pi)

===========================================

예쁜 그래프가 나왔습니다.

예제를 통해 매개변수 함수의 넓이에 대해 구하는 것을 확실히 이해할 수 있었습니다.

이*인(2022####79)5월 4일 오후 5:27

- 505 -

공식만 봤을 때는 접근하기 어려웠는데 예제를 통해 넓이를 구하는 것을 시각적으로 확인할 수 있었습니

다.

전*준(2022####82)5월 4일 오후 5:36

원하는 그래프의 넓이를 구하기 위해서는 구간을 잘 지정해야 한다는 것을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

김*구(2022####69)5월 4일 오후 5:46

다양한 식에 대한 그래프와 넓이를 적분을 통하여 구할 수 있다는 것을 이해했습니다. 감사합니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 4일 오후 6:00

굿^^ 여기까지 이해되었으면 ... 여러분들의 지금 수준은 보통의 명문대 공대생 1학년 수준을 넘어서기 시

작한 것입니다^^

노*규(2022####70)5월 7일 오전 7:55

-pi/4, pi/4 범위와 -pi, pi범위를 직관적으로 볼수있으니 이해하는데 많은 도움이됐습니다. 감사합니다.

손*원(2022####75)5월 8일 오후 5:59

이론만 정리하는 것이 아니라 예제를 이용하여 정리해주셔서 학습하는데 많은 도움이 되었습니다. 감사합

니다.

comment : 매개변수 함수의 넓이에 대해 공식만 보고는 이해하기 힘들었는데 범위를 늘려가면

서 실습해보니 학습에 도움이 되었습니다.

- 506 -

[Part12] - 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식, 극방정식의 

그래프, 넓이와 길이

[Problem 회전체(입체)의 부피(Volume)]

Q) f(x) = 4*x^2 – 2*x^3

 Solved by 천혜준, Finalized by 천혜준

Solved by Sage

# 회전체 그림 그리기

var ('x')

f(x) = 4*x^2 - 2*x^3

revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 2), show_curve = True, opacity = 0.6, parall

el_axis = 'z') 

# y축을 중심으로 회전시킬 때는 parallel_axis = 'z'를 입력한다. (3차원 

그래프로 인식)

# 적분 구간 정하기

f(x) = 4*x^2 - 2*x^3

solve ( f(x) == 0, x )

Answer

x==0, x==2

# 부피 구하기

f(x) = 4*x^2 - 2*x^3

integral (2*pi*x*f(x), x, 0, 2) # 위에서 구한 구간을 공식에 대입

Answer

32/5*pi

Final Comment : 수학의 식을 3차원 모델링으로 표현하고 어려운 공식으

로 직접 푸는 것이 아닌 명령어를 사용하여 쉽게 회전체의 부피를 구할 수 

있다는 것을 알게 되었습니다. 

- 507 -

[Problem 매개변수방정식의 넓이 구하기]

Q) 

축과 

로 둘러싸인 영역의 넓이

 Solved by 임경섭, Finalized by 임경섭

Solved by Sage

# 그래프 그리기

var ('t')

f(t) = t^3 + 1; g(t) = 2*t - t^2

parametric_plot ( (f(t), g(t)), (t, -2, 3) )

# 넓이 구하기

var ('t')

f(t) = t^3 + 1; g(t) = 2*t - t^2

df(t) = diff(f(t), t)

integral ( g(t)*df(t), t, 0, 2 ) 

Answer

24/5

Final Comment : 매개변수 방정식의 그래프를 그리고 정적분에 대한 치환

방법을 통해 매개변수 방정식의 넓이를 구할 수 있는데, 이 때 Sage를 사

용하여 답을 빠르게 도출할 수 있는 것을 알게 되었습니다.

- 508 -

[Problem 곡선의 길이]

Q) 

의 곡선의 길이

 Solved by 전형준, Finalized by 전형준

Solved by Sage

# 그래프 그리기

var('t')

f(t) = 2*cos(t) - cos(2*t)

g(t) = 2*sin(t) - sin(2*t)

parametric_plot((f(t), g(t)), (t, 0, 2*pi))

# 넓이 구하기

var('t')

f(t) = 2*cos(t) - cos(2*t)

g(t) = 2*sin(t) - sin(2*t)

df(t) = diff(f(t), t)

dg(t) = diff(g(t), t)

parametric_plot((f(t), g(t)), (t, 0, 2*pi))

integral((sqrt(df(t)^2 + dg(t)^2)), t, 0, 2*pi)

Answer

16

Final Comment : 매개변수로 표현된 곡선에 대해서 정해진 구간의 곡선의 

길이를 쉽게 구할 수 있는 것을 알게 되었습니다.

[Arc length]

- 509 -

[Problem 극좌표]

Q1) 극좌표 (-sqrt(2), pi/4) → 직교좌표

Q2) 극좌표 (5, arctan(4/3)) → 직교좌표

Q3) 직교좌표 (-sqrt(3), 3) → 극좌표 

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준, Final OK by TA

Solved by Sage

1)

r, t = -sqrt(2), pi/4  # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)

2)

r, t = 5, arctan(4/3)# 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)

3)

u, v = -sqrt(3), 3# x, y 대신 u, v로 나타내었다.

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) + pi  

                      # r, t → x가 - 값이기 때문에 각도에 pi를 더해주었다. 

Answer

1) (-1, -1)

2) (3, 4)

3) (2*sqrt(3), 2/3*pi

Final Comment : 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 표현될 경우 특히 

삼각함수의 경우 극좌표로 쉽게 표현되는 것을 알 수 있었고, Sage를 통해 

직교좌표 ↔ 극좌표의 변환을 쉽게 할 수 있는 것을 배웠습니다.

직교좌표의 x값이 -이면 θ에 pi를 더해주어야 원래 원하던 값이 나오는 것

을 확인하면서 교수님께서 강조하신 수학에 대한 개념을 이해하고 코딩을 

사용하는 것이 중요하다는 것을 경험할 수 있었습니다. 

- 510 -

④ 극좌표

극좌표는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계로 두 점 

사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 유용한 것으로 알려져 있

다. 특히 직교좌표계에서 삼각함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계에서는 

오히려 매우 간단하게 표현되는 경우가 많다.

극좌표와 직교좌표계의 표현은 아래와 같은 관계가 있다.

 , 따라서 

이다.

이면 

에 관계없이 원점을 나타내고, 

일 때 

는 원점에 대하여 

대칭이동한 점으로 표현되므로 

이다.

평면상의 점을 원점으로부터의 거리 r과 시작선과의 이루는 각 θ로 나타내는 방

법.

- 511 -

보통 수직인 두 축까지 거리를 쓰는 데카르트 좌표를 사용한다.

코딩을 활용하면 다양한 극좌표 곡선을 그릴 수 있다.

ex) 

와 

를 그려보아라

theta = var('theta')

polar_plot(1+sin(theta), (0, 2*pi))

theta = var('theta')

polar_plot(sin(6*(theta))+2, (0, 2*pi))

- 512 -

⑤ 무한급수

항(項)의 수가 무한히 많은 급수. 즉, 무한수열의 항을 한없이 더한 것을 말한다.

단순히 급수라고 할 때에는 무한급수를 의미하고, 아래처럼 표현 한다.

- 513 -

코딩에서는 sum(함수, k, 1, oo)를 활용하여 간단하게 구할 수 있다.

ex) 급수 

의 합을 구하라.

var('k')

sum(1/((k+3)*(k+4)), k, 1, oo)

13. 비(ratio) 판정법.

 이 양항급수이고, 

 

1) 

 은 수렴한다. 

2) 

이면 급수 

 은 발산한다.

3) 

이면 비 판정법으로는 급수 

 이 수렴, 발산하는지 판정 할 수 없다.

[Homework week 3] 임*섭, 무리수 as a limit, 무리수 e는 어떻게 발견되었을까?

작성자 : 임*섭(2022####81)작성일 : 3월 7일 오전 11:28

조회수 : 72

소재부품융합공학과 임*섭입니다. 무리수 as a limit 

2주차 극한에 대한 개념을 공부하였고 x가 -3처럼 어떠한 수로 갈 때 극한을 푸는 

법을 익혔습니다.

- 514 -

3주차에는 극한값이 0또는 oo(무한대)로 갈때 자연상수 e가 나오는 경우는 확인하였습

니다.

아래는 극한이 어떠한 상태일때 e로 가는지 보여주는 참고 자료입니다.

첫번째와 두번째 예시 모두 괄호속 (1+ ㅁ)에서  ㅁ가 oo(무한대)의 역수모양 무한소 

상태입니다.

[ x=oo일때 ㅁ = 1/x , x=0 일때 ㅁ = x ]

자연상수 e란? (강의 리뷰)

3년 전 by Prowd Loner

1618년 존 네이피어에 의해 처음으로 발견되었다.

네이피어가 로그 만들고, 자신의 이름을 딴 네이피어 로그표를 만들었는데, 바로 이곳에서 자연상수 e를 

발견했지만, 네이피어는 이것의 중요성에 대해 인식하지는 못했다.

이후 확률,통계에서 자주 이름들을수 있는 베르누이 분포의 자콥 베르누이가 이것을 정의하였다.

이 정의는 이러하다,

내가 투자를 했을 때 벌수있는 최대한의 돈은 얼마일까?

이것을 수학적으로 계산해보기 위해, 지금을 0으로 두고, 먼저 1년이라는 시간을 단위화한다.

그리고 이자율을 100퍼센트, 그리고 투자액을 1원으로 두면, 1년 후에는 이것이 2원이 된다.

- 515 -

아주 간단한 계산인데, 이 이자율을 복리화해보자.

원금 1원을 만약 6개월 투자하여, 100퍼센트의 반인 50퍼센트를 받았다고 치자,

그러면 6개월된 시점에 1원 + 0.5원이 생기는 것인데, 이 1.5원을 다시 현 시점에 투자를 하면, 6개월 

뒤에는 다시 1.5원에 대한 50퍼센트의 이자가 더해져서 최종 결과값은 2.25원이 되는 것이다.

비교해보자.

그냥 100퍼센트의 1년짜리 투자 결과값보다, 중도 해지후 불어난 돈을 다시 원금으로 투자하여 얻은 결과값이 

더 크다.

이윤이 늘었다...

이러한 방식으로 더더욱 돈을 많이 벌수 있지 않을까?

예를들어 6개월 단위로 잘랐던 기간을 일주일로, 삼일로, 하루로, 한시간으로, 일초로 줄이면??

바로 늘어나는 원금에 따라 이자가 계산되는 복리화가 되는 것이다.

처음의 계산식을 (1+1)^1 = 2이면, 두번째의 계산식은 (1+(1/2))^2 = 2.25이다.

만약 분기별로 복리화를 하면 (1+(1/4))^4 = 2.4414가 되고, 일년간 매일 재투자를 하면 (1+(1/365))^365 = 

2.7145가 된다.

한시간마다 하면?(1+(1/8760))^8760 = 2.718등등등...

일단 식의 규칙성은 보이는데, 결과는 어떠한가?

이걸 한번 극한의 개념으로 가보자.

1분도 아니고, 1초도 아니고, 무한히 쪼개어 재투자를 하면 어떻게 될것인가?

우리는 이것을 선형적으로 파악할줄 알아야한다.

x -> 무한  

1+(1+(1/x))^x

수치가 커지며, 이윤이 늘어나고, 무한히 늘어날것 같던 이윤은, 사실상 위에서 보는 것과 같이, 그 증가치가 

올라가더니, 점차 한계를 맞이하고 줄어들기 시작한다.

계산하고 계속 계산하며, 더이상 의미가 없을 정도로 둔화된 수를 계산하면, 그 수치가 대략2.718281...이 

된다.

이렇게 계산된 수치를 보았을 때, 베르누이가 가진 특유의 수학자적인 직감이 발동했고, 이 수치가 바로 

네이피어에게서 나왔던 다른 한 수와 흡사함을 느낀 베르누이는, 이것이 하나의 상수라는 것을 깨닫게된다.

(위와 같은 자연상수 발견의 계산식이 자연상수의 정의식이다.)

이때 바로 자연상수라는 것이 상수로서 인식된 것인데, 베르누이는 이것을 이름을 가진 특정한 상수로서 

공표하지 않았다.

이후 이 상수에 대해 이름을 붙이고 자신의 저서와 함께 세상에 알린 사람이 있었으니, 그가 바로 수학적 

직관의 정점이자, 수학 역사상의 천재, 자연상수 e의 주인이 되는 레온하르트 오일러(Euler)이다.

(저서 메카니카)

- e = 2.718281... 

자연상수는 무리수이자 초월수이다.

위와 같은 식으로 진행되는 자연상수가 무리수인 것을 최초로 증명한 것이 바로 오일러인데,

해당 증명에 대해선 어려우니 지금은 패스한다.(추후 수학을 좀더 공부하면 정리할 예정...지금은 개발 공부가 

먼저다.)

초월수의 경우는, 어떠한 정수 계수의 다항식의 근도 되지 않는 것을 '초월수', 정수 계수 다항식의 근이 되는 

것은 '대수적 수'라고 하는데, 예를들어 루트 2는 (x)^2-2=0의 근이고, n/m은 mx-n=0의 근이라 각각 

대수적 수이지만, 자연상수 e나 자주 쓰이는 파이의 경우는 위와 같은 유리수 계수의 다항식의 근이 될수 

없음이 증명되었기에,(이 증명도 패스... 난 아직 허약한 문돌이일 뿐이다.)

이것을 초월수라고 하는 것이다.(초월수라는 것이 바로 자연상수의 성질을 알아봄으로서 생겨났다고 한다.)

- 자연상수 이름에 대해

왜 하필 자연상수인가?

지름에 대비한 둘래의 비율이 파이다.

지름이 1일때 원의 둘레는 3.141592...

이렇듯 특정한 비율을 가진 상수의 정의로 인해 어떠한 값에 대한 결과값으로 원하는 값을 얻어낼수 있는데,

자연상수로 얻어내고자하는 값은 계산값에 대한 가장 '자연스러운' 값이라 할수있다.

아래와 같은 성질에 따라 이 자연스러운 값들이 아주 많은 분야에서 응용되고 있다.

- 516 -

- 자연상수 성질

자기 자신을 미분해서 다시 자기 자신이 나오는 값.

e^x이다.

이것을 미분하면 다시 e^x가 나오고,

몇번을 반복해도 동일하다.

즉, 자연상수 e를 밑으로 두면 미분시 동일 값이 나온다는 것이다.

log ex를 미분하면, 1/x가 나온다.

1부터 e까지 (1/x)dx 로 적분하면, 1이 나온다.

//이외에도 e에 대해 얽힌 많은 수학적 지식들이 있다.

이상구(LEE SANGGU)3월 7일 오후 12:37

Good^^

https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/09/

[Part13] - 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법, 거듭제곱 급수

에 의한 함수의 표현, 테일러 급수와 매클로린 급수

[Problem 수열의 극한, 무한급수]

 Solved by 이효민, Finalized by 이효민, Final OK by TA

Q) 

 (수열의 극한)

Solved by Sage

var ('n')

a(n) = 3*n^2/(7*n^2 + 1)

print('수열 a(n)의 극한 :', limit ( a(n), n = +oo ))

p1 = plot(3/7, (0, 10), linestyle = '--')

p2 = list_plot([(i, a(i)) for i in range(1, 10, 1)], color = 'red')

p1 + p2

Answer

3/7

Q) (1) 

    (2) 

 (무한급수)

Solved by Sage

(1) and (2)

var ('k, n')

partial_sum = sum( 1/(k*(k+1)), k, 1, n) and sum( 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)), k, 1, n)

partial_sum = 

- 517 -

print ( partial_sum )

print ( limit ( partial_sum, n = +oo)  )

Answer

(1) n/(n+1), 1 (2) n/(sqrt(n+1)+sqrt(n)), +infinity

Final Comment : 수열의 극한에 대한 정리와 Sage 프로그램으로 구한 값

과 수기로 구한 값이 같다는 것을 보여준 덕분에 쉽게 이해할 수 있었습니

다. 덕분에 앞에 배운 내용에 추가로 배우는 것을 공부하는데 많은 도움이 

되었습니다.

[Problem 양항급수와 수렴발산판정법]

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Q) 비판정법으로 다음 급수의 수렴 여부를 조사하라.

Solved by Hand

Solved by Sage

var('n')

a(n) = (n+5)/3^n

limit ( a(n + 1)/a(n), n = +oo ) 

Answer

1/3

Solved by Hand

Solved by Sage

- 518 -

var('n')

a(n) = ((-1)^(n+1))*(5^n)/factorial(n)

limit ( a(n + 1)/a(n), n = +oo ) 

Answer

0

[Problem 거듭제곱 급수와 수렴반경 및 수렴구간]

 Solved by 백승준, Finalized by 백승준

Q) 다음 멱급수의 수렴반경과 수렴구간을 구하여라

Solved by Hand

  

  

Solved by Sage

var ('n')

c(n) = (n^5)/factorial(n+1)

rho = limit ( c(n + 1)/c(n) , n = +oo )

rho

Answer

0 # p = 0이기 때문에 수렴 반지름 R=+oo이므로 모든 실수에 대하여 수렴한다.

Solved by Hand

   

- 519 -

Solved by Sage

var ('n')

c(n) = n/(2^n)*(3*n-1)

rho = limit ( c(n + 1)/c(n) , n = +oo )

print(rho)

R=1/rho

print(R)

Answer : 1/2, 2



RE : [HW W12] 전*준, 이*인 테일러 급수와 매클로린 급수 (예제 25)

작성자 : 이*인(2022####79)작성일 : 5월 14일 오후 8:24

조회수 : 9

안녕하십니까 소재부품융합공학과 이*인입니다.

12주차 테일러급수와 매클로린 급수에 대해 학습한 내용 공유드립니다. 

https://www.youtube.com/watch?v=Xc1QDNxoiSg



(1) 테일러 급수 : a를 포함하는 구간에서 f가 무한히 미분 가능할 때

 



(2) 매클로린 급수 : 테일러 급수에서 a값 대신에 0을 대입한 것



우선 테일러급수에서 왜 f(a), f'(a)/1! , f''(a)/2! 형태가 나오는지 살펴보겠습니다.

여기서 x 대신에 a를 대입하면 c0 뒷항은 다 사라지게 되고, 이 됩니다.



마찬가지로, 

 x 대신에 a를 대입하면 c1 뒷항은 다 사라지고  

- 520 -

x 대신에 a를 대입하면 2c2 뒷항은 다 사라지고  

 x 대신에 a를 대입하면 2*3c3 뒷항은 다 사라지고 이 됨을 알 수 있습니다.



예제25) 의 매클로린 급수를 구하고, 수렴 반경을 구하여라.

f’(x) = e^x

f’’(x) = e^x

f’’’(x) = e^x

e^x는 미분해도 자기 자신인 e^x 입니다.

이 사실로부터 f(0) = 1, f’(0) = 1, f’’(0) = 1, f’’’(0) =1 ... 이 됩니다.

따라서 e^x의 급수 전개는 의 형태로 전개되는 것을 알 수 있습니다.

(e^x의 매클로린 급수는 기본급수에 해당하기 때문에 암기하는 것이 도움된다고 합니다.)

그리고 수렴반경은 으로, 0은 항상 1보다 작기 때문에

주어진 급수는 모든 실수 x에 대해서 절대수렴한다는 것을 알 수 있습니다.

( -oo < x < oo ) 



a=0에서의 테일러 다항식을 sageMath 로 계산해보면 아래와 같은 결과가 나옵니다.

f(x) = exp(x)

f(x).taylor(x,0,5)               # 함수.taylor(x, 0, n) : a=0에서의 Maclaurin 다항식



복잡한 과정 없이 sageMath를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 있었습니다.



f(x) = exp(x)

f(x).taylor(x, 0, 5)               # 함수.taylor(x, 0, n) : a=0에서의 Maclaurin 

다항식복잡한 과정 없이 sageMath를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 있었습니다.

- 521 -

-----------------------------------------------------



[HW 12] 전*준 테일러급수 정리

작성자 : 전*준(2022####82)작성일 : 5월 14일 오후 1:33

조회수 : 10

안녕하세요, 소재부품융합공학과 전*준입니다.



테일러급수에 대한 내용들을 공부하면서 쉽게 이해가 되지 않아 정리를 하여 보았습니다.

교재에 나와있는 내용만으로도 쉽게 이해가 되면 좋겠지만 조금 더 자료를 찾아보며 정리한 

내용들을 공유해드리겠습니다.



먼저, 테일러 급수가 무엇인지를 알아보고 테일러급수를 왜 필요한지, 어떻게 활용이 되고 있는 

점을 중점으로 보겠습니다.



1. 테일러 급수의 이해



테일러 급수 또는 테일러 전개는 어떤 미지의 '미분가능한' 함수 f(x)를 다항함수로 표현하는 

것을 말합니다.



여기서 왜 , 이러한 함수들을 다항함수로 표현하는 것에 대한 내용을 보기 전 우리가 사용하고 

있는 함수들을 조금 더 알아보겠습니다.



단항식 : 숫자와 몇 개의 문자의 곱만으로 이루어진 식

ex) 2ab, xy, x^2

다항식 : 두 개이상의 단항식을 연산기호로 연결한 식

ex) 2ab+x, x+y

다항함수 : 다항식으로 유도되는 함수

ex) f(x) = 2x+ 3



f(x) = sin(x)+ln(x)+tan(x)

g(x)= x^3+39*x+10



- 522 -

와 같이 두 개의 함수를 보면 g(x)가 더욱 간단해 보이고 연산에 자유롭다고 볼 수 있습니다.

그래서 테일러 급수는 다양한 함수들을 다항함수로 표현하여 더욱 쉽게 연산을 하기 위함으로 

볼 수 있습니다.



2. 테일러 급수

f(x)를 다항함수로 표현하기 위해서 f(x)를 하기와 같은 식으로 나타내보면

f(x)를 미분을 해보면 하기와 같은 식들이 나오며

 

모든 식에 x=a를 대입해서 본다면 

        

이라는 값들을 확인 할 수 있습니다.



여기서, 처음 가정한 식에 대입하여 본다면

따라서, f(x)를 무한급수의 꼴로 나타낼수 있습니다.



- 523 -

미지의 함수에 대해 다항함수로 나타내었다고 볼 수 있습니다. 



하지만, 테일러급수에서 주의해야 할 사항은 좌변과 우변이 모든 x에 같은 것이 아니라, x=a 

근처에서만 성립한다는 점이 있습니다.

즉 x가 a에서 멀어질수록 큰 오차를 가지게 됩니다.

테일러 급수는 x=a에서 f(x)와 동일한 미분계수를 갖는 어떤 다항함수로 f(x)를 근사하는 

것입니다.





[sage] 프로그램에서 간단한 예제를 풀어보면 f(x)=sin(x) 에서 a=0일 때, 10번차 테일러 

다항식을 구해보면





이런식으로 테일러급수에 대해서 풀 수 있습니다.



[sage] 프로그램에서 조금 또 다른 예제로, f(x)=sin(x)*tan(x) 에서 a=0일 때, 6번차 테일러 

다항식을 구해보면



테일러 급수에 대한 개념정리와 간단한 예제를 통해 문제를 풀어보았습니다.

감사합니다.



이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 8:29

이*인씨가, 이제는 복잡한 과정 없이 sageMath를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 있게 

되었으니, I am happy. 이제 " 왜 임의의 연속함수에 대하여, 근사한 다항식이 존재한다"는 ' 

- 524 -

바이어슈트라스 근사정리'가 중요한지에 대해 좀 더 얘기해 보세요. Key. 수학자 

바이어슈트라스(Karl Weierstrass)가 1885년에 발표한 결과로 연속함수를 다항식으로 근사할 

수 있다는 것을 말해준다. 스톤(Marshall H. Stone)이 후에 이 결과를 확장하여 그 결과를 

스톤-바이어슈트라스 정리라고 한다.   

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 8:33

즉, 다항식에 대한 충분한 이해, 미분과 적분 등의 계산 등에 능하면 (여러분이 지금 그 상태 

입니다. ) ... 모든 연속함수의 극대, 극소, 최다. 최소, 면적, 길이, 부피 등 , 모든 관련문제 에 

합리적인 답을 줄 수 있게 된 것 입니다.

이*한(2022####78)5월 16일 오전 8:04

거듭제곱급수의 계수를 이용하여 매클로린 급수를 증명을 이해했습니다.! 해당 내용을 바탕으로 

실습 추가해보겠습니다

박*현(2022####72)5월 16일 오후 3:08

거듭제곱급수의 계수를 이용하여 매클로린 급수를 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

조*준(2022####83)5월 16일 오후 4:17

매클로린 급수를 증명을 이해하였습니다 감사합니다

이전

다음

3개의 댓글

이*한(2022####78)5월 16일 오전 8:04

거듭제곱급수의 계수를 이용하여 매클로린 급수를 증명을 이해했습니다.! 해당 내용을 바탕으로 

실습 추가해보겠습니다

박*현(2022####72)5월 16일 오후 3:08

거듭제곱급수의 계수를 이용하여 매클로린 급수를 이해할 수 있었습니다. 감사합니다.

조*준(2022####83)5월 16일 오후 4:17

매클로린 급수를 증명을 이해하였습니다 감사합니다

comment : 테일러급수라는 개념에 대해 학습하고 수렴판정법에 대해 학습해보

았습니다. 다른 학우님들이 올린 문제를 활용하여 손으로 직접 증명도 해보았습

니다. 직접증명을 하기 위해 추가 학습을 진행하면서 개념에 대해 이해할 수 있

었습니다.

- 525 -

[Problem 테일러 급수(Taylor’s series)]

 Solved by 임경섭

Q1) 

Solved by Sage

f(x)=x^(1/3)

f(x).taylor(x,8,3) # a=8에서의 3차 테일러 다항식

show(f(x).taylor(x,8,3))

Answer

Q2) 

Solved by Sage

f(x) = (2*x^2)/ln(x^3+2)

T(x) = f(x).taylor(x, 2, 7)     

print(T(2).n(digits=5))

Answer

3.4744

Final Comment : 13주차에 배운 급수의 다양한 수렴/발산 판정법과 테일

러급수에 대하여 공부하면서 어려운 부분이 많았지만 여러 학우분들이 Q&A

에 올려주신 글들을 보면서 학습하였습니다. 덕분에 어렵게만 느껴졌던 급

수와 수렴/발산 판정법에 대해서 조금씩 이해를 할 수 있었고 Sage를 사용

하여 여러 공식을 외울 필요 없이 쉽게 답을 구할 수 있다는 것을 알 수 있

었습니다.

- 526 -

목표달성과 협업의 방법: ‘집단지성★’과 ‘오픈 소스운동★ ’

[4차 산업혁명 시대, 자녀 교육은 어떻게?⑦-1] 컴퓨팅 사고력 UP, 카페 알바 로

봇을 만들어 볼까?   2017.04.16 18:00

코딩은 컴퓨터에게 명령을 내리는 명령문입니다. 컴퓨터가 오류없이 명령을 수행하도록 

만들려면, 코드를 작성하는 사람은 컴퓨터처럼 생각할 줄 알아야 합니다. 컴퓨터처럼 생

각하는 연습이 바로 4차 산업혁명 시대에서 강조하는 컴퓨팅 사고력(computational thin

king)을 말합니다. 

명령은 모든 작업을 작은 덩어리로 쪼개, 컴퓨터가 이해하기 쉽게 만드는 것

최근에는 각자가 아는 지식과 정보를 조금씩 모으고 나누며 공동의 목표를 이루는 ‘집단

지성★’이나 ‘오픈 소스★ 운동’이 주목을 받고 있습니다. 

https://m.dongascience.com/news.php?idx=17493 

팀 프로젝트 참여자는 대체로 두 가지 부류로 나뉩니다. 적극적으로 밥상을 차리는 사람

과 다 된 밥상에 숟가락만 얹으려는 사람입니다. 그런데 어느 한 쪽도 마음 편한 사람이 

없습니다. 이렇게 모두가 불편한 프로젝트를 대체 왜 계속 시키는 걸까요?

   정답은 간단합니다. 팀 프로젝트를 수행할 때 뒤따르는 능력(예를 들어 의사소통능력, 

리더쉽, 공감능력, 배려심 등)이 앞으로의 미래 사회를 살아갈 때 ‘꼭 필요하기 때문’입니

다. 

특히 최근에는 각자가 아는 지식과 정보를 조금씩 모으고 나누며 공동의 목표를 이루는 

‘집단지성★’이나 ‘오픈 소스★ 운동’이 주목을 받고 있습니다.

Comment

공유해주신 기사를 보면서 졸업하고 회사로 돌아가서도 꼭 필요한 프로젝트 

수행 시 필요한 능력 (의사소통 능력, 리더쉽, 공감능력, 배려심 등)의 중요

성을 한 번 더 알 수 있었습니다.

또한 기사 내용 중 미래 인재가 갖춰야 할 능력으로 언급되는 6C에 관한 

다른 기사 내용이 인상 깊었습니다.

https://www.dongascience.com/news.php?idx=17387 

6C : 창의력 (Creativity), 비판적 사고력 (Critical Thinking), 의사소통 능

력 (Communication), 협업능력 (Collaboration), 컴퓨팅 사고력 (Computi

onal Thinking), 호기심 (Curiosity)

인공지능이 나날이 발전하고 있는 4차 산업혁명 시대에서 기계가 대체할 수 

없는 능력과 로봇이 대신하기 어려운 일을 하기 위해서 '창의적'이고 '감성

적'인 영역에 집중이 필요하다고 합니다.

현재 우리가 배우고 있는 미적분학1 과정을 통해 코딩으로 수학을 배우면서 

이러한 능력들을 기르고 있다고 느껴졌습니다.

- 527 -

 미적분학 을 배우는 이유?

제목: Calculus-History-p

  발견이란 것이 항상 관측을 바탕으로 하지만, 관측을 한다고만 해서 발견이 이

뤄지지않는다는 것을  케플러의 사례를 통해 알게되었습니다.  Tycho Brahe는 

평생을 육안으로 천문관측을 한 사람으로, 육안으로 볼 수 있는 극한까지 이른 최

고의 관측 천문학자였지만, 그의 데이터를 바탕으로 일정한 법칙을 알아낸 사람은 

결국 Kepler였습니다. Tyco Brahe 역시 같은 데이터를 가지고 있었지만 발견하

지 못했고 Kepler는 그 데이터를 분석함으로서 발견을 이뤄냈습니다. 이와같은 일

화를 통해서 수학에서의 분석의 중요함을 느꼈습니다.

제목: 미적분학을 배우는 이유에 대한 생각

  미적분학에 핵심은 변화에 대한 관찰 그리고 그것을 통한 어느 시점에서의 상황

의 예측정도라고 생각합니다. 미적분학에 대한 일상생활관련 문제를 보더라도 대

포를 쏘아올린 것이 포물선을 그려 얼마정도 후에 어느 위치에 있을 거라던지, 물

을 붓는데 이것의 높이변화와 부피변화를 구하라던지와 같은 문제들입니다. 이러

한 일상생활관련 문제들이 단지 문제를 위한 문제는 아닐거라고 생각합니다. 그리

고 또한 위 같은 문제들이 묻는것은 대체로 미래의 어느 때입니다. 따라서 위 같

은 사실을 종합적으로 고려해볼때 우리가 미적분학을 배우는 이유는 현실을 관찰

하고, 그 관찰한 것을 이용해서 '미래를 예측하기 위함' 이라고 생각합니다.

제목: sage에서 dir의 의미: limit(f(x), x=a, dir='plus') f(x)의 x=a+ 에서의 

극한값

  이번에 세이지를 통해서 극한값을 구하는 중에 명령어 dir의 의미와 극한값을 

구하는 법을 알게 되었습니다.

limit(f(x), x=a)            f(x)의 x=a 에서의 극한값

limit(f(x), x=a, dir='plus')       f(x)의 x=a+ 에서의 극한값

limit(f(x), x=a, dir='minus')      f(x)의 x=a- 에서의 극한값

'dir'=direction 방향을 나타내는데 쓰입니다.

http://matrix.skku.ac.kr/sage   에서 lim을 검색하면 극한계산에 대해서 나옵니다.

제목 : Arc length 구하는 아이디어

　　곡선의 길이를 구하는 것은 그 곡선을 미세하게 분해해서 보는 것으로 시작한

다. 이때 곡선을 매우 작게 쪼게면 직선과 같다. 이때 그 직선을 직각삼각형의 빗

변으로 생각하면, x의 미소변화량과 y의 미소변화량이 각각 밑변과 높이가 되고, 

따라서 피타고라스의 정리를 이용하여 구할 수 있다((x^2+y^2)^1/2).

- 528 -

제목 : Center of mass를 배우는 이유 - 내용요약

질량중심을 배우는 이유는 질량중심이라는 것이 특정한 상황에서 구하기 쉬울 수 

있고, 그 질량중심을 안다면 계산이 쉬워지기 때문이다.

 In physics, the center of mass in space is the unique point where the 

weighted relative position of the distributed mass sums to zero.

Calculations in mechanics are simplified when formulated with respect t

o the center of mass.

In the case of a single rigid body, the center of mass is fixed in relatio

n to the body, and if the body has uniform density, it will be located at 

the centroid.

The center of mass may be located outside the physical body.

The center of mass is the mean location of all the mass in a system.

( 질량중심을 잡음으로써 계산이 간단해진다. 하나의 강체(간단히 변형이 일어나지

않는 물체)에서 질량중심은 고정적이고 질량의 밀도가 같다면 질량중심은 중심점

에 위치하게된다. 질량점은 물체밖에 있을수도 있고, 시스템에서 모든 질량의 실

질적 위치가 된다.)

Comment

미분을 배우는 이유 또는 중요성

https://shop.mathlove.kr/shop/board/view.php?id=mathqa&page=93&no=2117

 우리가 배우고 있는 함수들은 실생활에서 값 (결과)의 관계를 표현해주고 

미분은 이러한 결과의 변화를 표현하는데 매우 중요한 역할을 하게 됩니다.

현재 우리가 살아가고 있는 사회는 끊임없이 변화하고 있고 삻을 살아가면

서 무수한 선택들을 합니다. 이러한 선택들을 할 때 미적분을 활용한 예측

을 하면 더 나은 선택을 할 수 있고, 그렇기 때문에 현재보다 더 나은 선택

(미래)을 만들기 위해 미적분을 배워야 한다고 생각합니다.

- 529 -

Ch 5장. [Project 제안서]  미분적분학1

Your possible Team Project 제목, 동기, 방법론, 참고문헌 [아이디어와 Draft]

(10점) 모든 학생이 <미분적분학1>을 수강하면서 자신의 전공과 연계하여 제안하고 

싶은 프로젝트를 구상하여 부담 없이 제안서만 작성합니다. (선정된 일부 학생의 경우 

진행을 도와주고, 결과물을 기말에 발표할 기회와 가산점을 줍니다.)  

Prof : Sang-Gu LEE   (in HW box in I-campus)  

6팀-http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-6/     이상구교수님과 함께 하는 사칙연산 

(Math & 코딩 for 초등학생) 

2팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-2/     포물선 운동 with Math & Coding  

Spring semester of 2022 _ Single variable Calculus 

5팀-http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-5/  Sage프로그램을 이용한 3D 프린트 

도안만들기

3팀-http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-3/  Sage Program을 이용한 설비관리 

4팀-http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-4/  Project_클린룸 FFU 풍속 계산  

1팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-1/   (자율주행 안전사고 예방 )

Team Project Title (Tentative, just idea now): 포물선 운동 위치 예측 시스템

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-2/

Project by Team 2 : 이주한, 조현준, 이효민, 백승준

Team Project Title 

 : Sage 프로그램을 활용한 포물선 운동

■주제 : 포물선 운동 도달 거리에 따른 시간 / 도달거리 예측 시스템

■목적 : 전 세계적으로 아이들 또는 비전공자에게 까지 코딩 교육과 창의 설계 교육을 하려는 이

유는 무엇일까?

- 530 -

 코딩 교육을 한다는 것은 '모든 사람을 프로그래머로 양성하겠다.' 라는 것이 아니라 코딩교육을 

통해 창의, 논리적인 사고를 키우겠다는 것이다. 남들과 다른 관점과 시각으로 사물과 현상을 보

고 다른 새로운 것을 생각해 내는 것을 말한다. 저희 조는 대표적으로 포물선 운동에 관해서 이

야기하고자 한다. 

 포물선 운동의 도달 거리를 알기 위해서 다양한 변수(속도, 각도, 시간)이 존재한다 이것을 개념

화하여 문제를 해결하고 물체의 지표면 도달 시간과 시간 변화에 따른 물체의 위치를 예측할 수 

있다. (단, 공기저항은 무시하고 중력은 9.8m/s^2 으로 일정하다고 가정한다.)

 → Comment : 미적분학을 왜 배우는 거냐는 질문에 수학자는 “덧셈, 뺄셈 왜 배우는 거예요?”

라고 이야기하였습니다. 저 또한 미적분을 실생활에 접목할 생각을 많이 안 해봤었습니다. 코딩을 

통해 미분방정식을 실생활에 접목하면서 문제를 쉽게 해결할 수 있으며, 좀 더 수학하고 가까워지

는 계기가 되었던 것 같습니다.

■실행방법: 1) 속도 방정식을 적분하여 위치 방정식을 얻는다. 

            2) 해당 방정식을 통해 도달 거리 및 도달 시간을 예상한다.

     3) 슬라이더를 조정하여 최적을 도달 거리 및 시간을 구할 수 있다.

 

■실행방법: 1) 속도 방정식을 적분하여 위치 방정식을 얻는다. 

2) 해당 방정식을 통해 도달 거리 및 도달 시간을 예상한다.

        

- 531 -

3) 슬라이더를 조정하여 최적을 도달 거리 및 시간을 구할 수 있다.

개요 : sage를 활용한 조기 교육으로 그래프와 수학에 익숙하게 만든다.

실행안 : 

1. 그림에 익숙한 초등 교육 때부터 sage를 활용하는 방법을 조기에 교육한다.

2. 함수가 아니더라도, 직선, 곡선 등 좌표에 익숙해지도록 교육하고 sage에 

익숙해지도록 한다.

3. 중등, 고등 교육과정으로 올라가 함수를 배우고 이를 적용하여 빠른 학습 속도로 

현재의 고등 교육 과정의 순서와 속도를 끌어올릴 것이다.

- 532 -

- 533 -

- 534 -

- 535 -

Team Project Title (Tentative, just idea now) : Sage프로그램을 통한 3D 

프린트 도안 만들기

■주제 : Sage 프로그램을 활용하여 3D 프린터의 도안을 작성

- 536 -

■목적 : Sage&Math로 실생활에 필요한 무수한 제품들이 빠르고 창의성 있게

구현 가능하여 디자인 가능합니다.

또한 구현된 디자인을 확인하고 수정하기 위해서 PC나 노트북 등이 필요하였지만

Mobile math를 사용하여 PC나 노트북이 없어도

휴대전화, 태블릿 등을 사용하여 이동 중에도 디자인에 대한 피드백과

변경 값에 따른 디자인 변화를 확인하여 시간과 장소에 구애받지 않고 실시간으로 

수정 및 보완을 할 수 있습니다.

■ 내용

Sage프로그램을 이용한 3D 프린트 도안만들기

3D 프린팅의 기본원리는 ‘미적분’

3D 프린팅의 개념을 간단하게 정리하면, 3차원 물체의 설계 도면을 기초로 3D 프린터에서 재료

를 적층해 물체를 만들어내는 기술이다. 여기에서 중요한 건 ‘적층한다’라는 의미다. 한 층 한 층 

쌓아 가며 원하는 물건을 만들어낸다는 뜻인데, 이 때문에 미국 재료시험학회(ASTM)와 국제표준

화기구(ISO)는 3D 프린팅의 공식 명칭을 ‘적층가공(AM)’으로 쓴다. 3D 프린팅은 빠르게 제품을 

만든다는 의미에서 산업계에선 ‘쾌속조형(RP)’으로 부른다. 3D 프린팅 기술이 처음 등장한 건 19

80년대 초반 미국 기업인 3D시스템즈라는 곳에서다. 시험 삼아 제품을 만들어볼 때 더 저렴하

면서도 시간 소요를 줄이기 위해 착안했다.

3D 프린팅의 기본원리는 고교 교과과정에 있는 수학의 미분과 적분이다. 미분은 어떤 면을 미세

하게 쪼갰을 때, 각각의 층을 ‘미세한 부분’이라고 하는데 이를 줄여 부른 것이다. 곡선은 수많은 

직선이 모여 이뤄진다. 지구는 둥글지만, 발 딛고 사는 세상이 평면인 것과 같은 원리다. 이 때

문에 곡선에 수학의 미분 방정식을 대입하면 직선이 된다. 3차원 프린팅은 수학 방정식인 미분

을 적용해 복제할 물건을 얇은 두께로 잘라 분석한 뒤, 직선을 모아 곡선을 만드는 적분으로 얇

은 막을 한 층씩 쌓아 물체의 바닥부터 꼭대기까지 완성하게 된다. 얇은 막의 두께는 0.01~0.08

㎜에 불과하다. 이 때문에 3D 프린팅으로 출력한 물체에서 곡면으로 보이는 부분을 현미경으로 

자세히 들여다보면 계단 모양을 하고 있다. 가운데 구멍이 뚫려 있거나 한 쪽이 튀어나온 복잡

한 디자인의 물체도 3D 프린터에서 쉽게 출력할 수 있는 건 이런 미·적분 과정이 있기 때문이

다.

출처: 인체 조직부터 자동차까지…3D 프린팅에 숨어있는 '미적분'

3D 프린터와 수학적 관계​

1. 3D 프린터와 미분 적분의 원리

3D 프린터는 모델 형상을 z축을 기준으로 자른 다음(slicing) 다시 한층 한층 쌓아 가며 제작합

니다. 이런 방식은 미분과 적분의 원리와 매우 유사합니다.

- 537 -

​

[참고] 3D 프린터와 미분 적분의 관계

https://blog.naver.com/kmc1307/221688809470

​

​

2. 3D 프린터와 공간좌표

3D 프린터는 말 그대로 3차원상에서 제품을 만드는 장비입니다. 3차원으로 형상을 만들기 위해

서는 3D 프린터가 3차원상에서 움직여야 합니다. 이런 3D 프린터를 움직일 때는 G-Code라는 

것을 사용합니다. G-Code란 형상을 만들기 위해 3D 프린터가 어떻게 움직여야 하는지를 나타

내는 코드라고 보시면 됩니다. G-Code에는 3D 프린터 온도나 속도, 그리고 움직여야 할 장소

가 공간좌표로 나타나 있습니다. x, y, z로 무수히 많은 좌표를 만들어 두면, 3D 프린터의 압출

기는 좌표순서대로 정확하게 움직이며 제품을 만들게 되죠.

G-Code 중 일부

​

​

3. 3D 프린터와 슬라이딩

위에서 3D 프린터는 G-Code를 따라 움직인다고 했는데 해당 G-Code를 만드는데는 슬라이싱

이라는 과정을 거칩니다. 슬라이싱과정은 슬라이싱 프로그램에서 자동으로 이루어지긴 하지만 

그 원리를 잠깐 보고 가도록 하겠습니다.

일단 슬라이싱을 하기 이전에 3D프린터에서 사용되는 STL이라는 파일의 속성을 잠깐 짚고 넘

- 538 -

어가겠습니다. STL 파일은 3차원 형상을 수많은 삼각형으로 나타내는 파일 포맷입니다. 수많은 

삼각형은 각각 3개의 점과 1개의 법선벡터로 이루어져 있습니다. 3개의 점은 각각 x, y, z축 좌

표를 가지고 있고 법선벡터는 삼각형이 안쪽인지 바깥쪽인지를 나타내고 있습니다.

​

슬라이싱이라는 것은 Z축과 수집한 평면을 일정한 높이로 바꿔가며 형상을 자르는 것입니다. 이

렇게 잘라주기 위해서는 일단 STL 파일의 3점의 좌표를 이용하여 3개의 직선의 방정식을 생성

합니다. 그리고 3점의 좌표와 자르는 평면의 Z축 좌표를 비교합니다. 만약 Z축 좌표보다 작은 

위치에 점이 있다면 해당 점을 포함하는 직선의 방정식과 Z축 법선 평면과의 교차점을 구합니

다. 해당 교차점들을 연결하여 면을 만들어 줍니다. 해당과정을 반복하여 면들을 만들어 주게 

되고 이 과정이 슬라이싱입니다. 

(물론 실제 3D프린터에서는 접점과 같이 특이한 부분 여러 가지 변수에 따른 예외값이 많이 존

재하지만 여기서는 그냥 넘어가도록 하겠습니다)

슬라이싱을 통해 외부 면에 대한 패턴이 나왔으면 내부 면을 세팅 값에 맞게 좌표를 만들어 줍

니다.

​

[참고] STL 파일이란?

https://blog.naver.com/kmc1307/221721469511

​

4. 3D 프린터와 기구학

슬라이싱과 정을 통해 움직여야 할 좌푯값이 나왔다면 해당 좌푯값에 맞게 3D 프린터가 움직여

야 하는데 이때 역기구학이 사용됩니다. 역기구학은 로봇제어에서 많이 사용되는 것으로 간단히 

설명하면 움직여야 할 좌표가 정해져 있을 때 해당 좌표로 로봇을 움직이게 하기 위해서는 어떻

게 해야 하는가를 계산하는 학문이라고 보시면 됩니다. (주로 행렬, 삼각함수, 미분방정식 등이 

사용되고 자세한 내용은 로봇기구학 또는 정기구학 역기구학으로 검색해보세요)

사실 제대로 된 로봇의 역기구학은 굉장히 어렵지만 3D 프린터는 3축이라 몹시 어렵지는 않습

니다. 해당 작업을 거치며 3D 프린터의 하드웨어 스펙이 G-Code에 반영됩니다.

​

​

5. 3D 프린터 압출기와 PID제어

압출기 온도제어에는 주로 PID제어가 많이 사용됩니다. PID제어기는 3개의 항으로 구성되어 있

는데 비례항, 적분항, 미분항으로 이루어져 있다고 하여 비례-적분-미분 제어기(PID 제어기)라

는 명칭을 가지고 있습니다. 

이 부분은 설명도 어렵고 길어지기 때문에 링크만 달아두겠습니다.

​

두산백과 PID제어 개념

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3351706&cid=40942&categoryId=32828

위키피디아-PID제어

https://ko.wikipedia.org/wiki/PID_%EC%A0%9C%EC%96%B4%EA%B8%B0

- 539 -

PID제어 설명

https://blog.naver.com/ppepajbw432/221403989440

​

​

6. 3D모델링과 수학

3D모델링은 3차원공간안에 수많은 점, 선, 면을 나타내고 있기 때문에 그야말로 수학의 집합체 

입니다. 프로그램마다 사용하는 곡선표현방식과 저장방식이 달라 하나하나 설명해 드리기는 어

렵지만 관심이 있으신 분들은 그나마 자료가 많은 베지어곡선, B-Spline곡선, 넙스곡선 등을 찾

아보시기를 바랍니다.

​

[참조] NURBS곡선 관련 자료

https://blog.naver.com/kmc1307/221953388347

​

출처: 3D 프린터와 수학

sage프로그램을 활용하여 3D 프린터 도안만들기

- 540 -

- 541 -

- 542 -

Sage 프로그램을 활용하여 3D 프린터의 도안을 그리고 수정 편집을 통해 STL 

파일로 변환 후 3D 프린팅 작업이 가능합니다.

- 543 -

- 544 -

- 545 -

- 546 -

- 547 -

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-3/    Sage Program을 이용한 설비관리 

Team Project Title (Tentative, just idea now): 좌표평면과 AI를 활용한 제품 

품질개선

초록: 인간은 망각의 동물입니다. 새로운 정보를 끊임없이 받아들이는 만큼 이전의 정보들을 

기억 속에 묻어두게 됩니다. 오래된 정보를 사용할　때 기억의 왜곡으로 오류를 범하게 되는 

경우가 많습니다. 이런 부분을 AI를 활용해서 보조해줄 수 있다면 좋을 것으로 생각합니다.

연구 방법 개요: 

1. AI 프로그램에 제품과 관련된 개발조건, 작업조건, 평가 기준, 출하조건 등 제품과 관련한 

정보를 모두 학습하게 한다.

2. 각 제품과 관련하여 기준점을 설립한다.

3. 일정 단위마다 검사한 데이터를 좌표평면 위에 표시한다. 

4. 기준점과 검사데이터점 간의 거리를 계산하여 일정 거리 이상이면 ng로 판정한다.

5. 각 검사 조건별로 좌표평면을 개별적으로 만들어 위의 사항을 적용한다.

6. 일정 기간에 축적된 데이터를 이용하여 기울기가 일정 범위 이상이면 제품에 관해 확인한다.

좌표평면의 개념을 AI에 접목하여 자동 판정프로그램을 만든 후 작업프로그램과 연동하여 작업 

시 현 공정과 이전공정의 데이터를 모두 포함하여 조건별로 이상이 없는지 확인함과 동시에 

오류를 잡아내는 것입니다. 이 방법으로 인해 현업에서 담당자가 자주 바뀌게 되더라도 

담당자의 실수를 예방함으로써 품질개선에 많은 도움이 될 것으로 생각합니다.

참고문헌/웹주소: [참고 URL] KIST 유럽 “공장의 학습형 AI가 ‘품질 이상 감지’ 기술 개발”

- 548 -

- 549 -

- 550 -

- 551 -

- 552 -

- 553 -

- 554 -

- 555 -

Team Project Title (Tentative, just idea now): sage 이용한 기초 수학

초록: 현재 청소년기 학생들의 수학교육 방식은 암기식 방식인 좌뇌 훈련 중심입니다. 

공식을 외우고 문제에 대입하는 작업을 무한 반복하는 경우 수학을 이해하는 것이 

아닌 암기하는 과목으로 인식하며 많은 학생의 포기가 발생합니다. 하지만 교수님의 

수포자 없는 수학을 확인하고 이러한 교육방식을 초등학교 3학년부터 시작한다면 많은 

학생이 수학을 어려운 과목이나 암기 과목이 아닌 이해하는 과목으로 인식하게 하는 

것이 목표입니다.

연구방법 개요: sage활용과 매트랩 등 많은 프로그램을 활용하여 그래프등 을 사용하여 

시각적인 교육방식을 도입하여 수학을 점점 싫어하게 되는 초등학교 3학년 학생들에게 

수학의 인식 변화를 유도하는 학습을 진행합니다.

실행안: 1. 그림에 익숙한 초등 교육 때부터 sage를 활용하는 방법을 조기에 교육한다.

2. 함수가 아니더라도, 직선, 곡선 등 좌표에 익숙해지도록 교육하고 sage에 

익숙해지도록 한다.

3. 중등, 고등 교육과정으로 올라가 함수를 배우고 이를 적용하여 빠른 학습 속도로 

현재의 고등 교육 과정의 순서와 속도를 끌어올릴 것이다.

1.1.1.1.

참고문헌/웹주소: 청소년 단계에서의 시각교육의 중요성

https://www.kci.go.kr/kciportal/ci/sereArticleSearch/ciSereArtiView.kci?sereArticleSea

rchBean.artiId=ART000928165  

[조별 프로젝트]

주제: Clean Room시공 운전시 FFU 풍속, 환기횟수 계산

- 556 -

- 557 -

- 558 -

- 559 -

- 560 -

- 561 -

- 562 -

- 563 -

- 564 -

- 565 -

 

- 566 -

- 567 -

<결과물>

file:///C:/Users/user/Desktop/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%20%ED%94%84%EB%A1%9

C%EC%A0%9D%ED%8A%B8/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%991%

20%EC%8B%A4%EC%8A%B5%20By.%20Team%204-(%EC%B5%9C%EC%A2%85%EC%99%84%E

C%84%B1%EB%B3%B8).html  

Team Project Title : sage 이용한 기초 수학

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-6/     이상구교수님과 함께 하는 사칙연산 (Tea

m 6) (Math & 코딩 for 초등학생) 

초록: 현재 청소년기 학생들의 수학 교육 방식은 암기식 방식인 좌뇌 훈련 중심입니다. 

공식을 외우고 문제에 대입하는 작업을 무한 반복하는 경우 수학을 이해하는 것이 

아닌 암기하는 과목으로 인식하며 많은 학생들의 포기가 발생합니다. 하지만 교수님의 

수포자 없는 수학을 확인하고 이러한 교육 방식을 초등학교 3학년부터 시작한다면 

많은 학생들이 수학을 어려운 과목이나 암기 과목이 아닌 이해하는 과목으로 인식하게 

- 568 -

하는 것이 목표 입니다.

연구방법 개요: sage활용과 매트랩 등 많은 프로그램을 활용하여 그래프등 을 사용하여 

시각적인 교육방식을 도입하여 수학을 점점 싫어하게 되는 초등학교 3학년 학생들에게 

수학의 인식 변화를 유도하는 학습을 진행합니다.

실행안: 1. 그림에 익숙한 초등 교육 때부터 sage를 활용하는 방법을 조기에 교육한다.

2. 함수가 아니더라도, 직선, 곡선 등 좌표에 익숙해지도록 교육하고 sage에 

익숙해지도록 한다.

3. 중등, 고등 교육과정으로 올라가 함수를 배우고 이를 적용하여 빠른 학습 속도로 

현재의 고등 교육 과정의 순서와 속도를 끌어올릴 것이다.

1.

참고문헌/웹주소: 

https://www.kci.go.kr/kciportal/ci/sereArticleSearch/ciSereArtiView.kci?sereArticleSea

rchBean.artiId=ART000928165

- 569 -

- 570 -

Title: Sage&Math 를 활용한 자율주행 사고 예방

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-1/ 

     미적분학1 프로젝트 1팀 (자율주행 안전사고 예방 ), 

초록: Sage&Math를 이용하여 고속도로 위의 자율주행 자동차의 앞차와의 간격을 

이용하여 안전하게 주행 할 수 있는 안전거리를 확보합니다. 자동차의 현재 속도와 

브레이크의 가속도를 이용, 순간속도의 제동거리를 계산하여 앞차와의 간격 비교 후 

운전자, 자율주행 시스템에게 간격 조절을 위한 속도조절을 요청하는 시스템입니다.

연구방법 개요: 

1) 자율주행 자동차의 사고예방

2) Sage를 통해 차량의 속도와 거리를 실시간으로 파악하고 시각적으로 표현

3) 사고 예방을 위한 차량의 최대 속도를 계산해준다.

4) 이를 통해 자율 주행시 앞차와의 안전거리에 따른 차량의 속도를 조절해 차량 

사고를 예방해준다.

         

참고문헌/웹주소:  http://matrix.skku.ac.kr/math4ai-intro/W9/

[인공지능을 위한 기초수학 입문]

http://youtu.be/NOh94C15mxE [자율주행에 사용되는 수학적 개념들]

http://gtska.tistory.com/218  [속도와 가속도 정리]

http://blog.naver.com/noona_soohak/222607508159

http://cm.asiae.co.kr/article/2015101510365597242

[  Title ] Sage & Math를 활용한 자율주행 사고 예방

- 571 -

- 572 -

- 573 -

- 574 -

- 575 -

- 576 -

- 577 -

- 578 -

실행 화면 [뉴턴의 방법을 이용]

- 579 -

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-1/       미적분학1 프로젝트 

1팀 (자율주행 안전사고 예방 ), 팀원 : 김재영, 노영규, 임경섭, 김현구  

- 580 -

Ch 6장. Final comment after your report (10점)

앞서 말했듯이 미적분학 1을 수강하기 전에는 많은 걱정이 있었습니다. 몇 년 만

에 다시 공부를 시작하는 태도로 고등학교 과정을 다시 공부하고 있었습니다. 그

리고 교수님의 수업 방식을 듣고 더욱더 걱정되었습니다. 당장 고등학교 수학 과

정도 못 하는 상황에서 코딩을 이용하여 미적분학을 배운다는 사실은 정말 고민이 

많았습니다. 코딩과 수학은 별개의 과정으로 생각하였기 때문입니다. 그리고 2월 

21일 처음 수업을 수강하였습니다. 그리고 조금은 안심이 되었습니다. 교수님의 

말씀을 듣고 저는 코딩이란 편리한 도구를 사용하여 미적분학을 더욱 쉽고 편하게 

학습할 수 있다고 생각하였습니다. 또한 매주 모르는 문제나, 완벽히 익힌 문제들

을 아이캠버스의QnA에 작성하는 과정이 처음에는 나서려고 불편하였습니다. 하지

만 1주 차가 지나고 2주 차에 모르는 부분이 있어 질문하였고 교수님뿐만 아니라 

다른 동료들이 알고 있거나 조사한 내용을 정말 잘 정리하여 저의 질문에 답변해

주는 것들을 보고 저 또한 다른 사람들이 질문할 내용을 찾고 정리하여 답변하니 

매일매일 다시 복습과 예습을 하는 기분을 받았습니다. 이러한 과정들이 저의 능

력을 향상하고 다른 동료들의 능력 또한 향상한다는 것을 알았습니다. 이러한 느

낌을 받고 나서는 매주 형식적으로 QnA를 작성하는 것이 아닌 복습을 하면서 모

르는 것들을 찾은 다는 생각을 가지고 임하였습니다. 비로 아직 5주 차를 진행하

고 있지만, 시간이 지나 1학기 막바지가 되면 제가 작성한 QnA들을 본다면 제가 

어떤 마음으로 공부를 했는지 돌이켜 볼 수 있는 마치 일기 같은 역할을 할 거 같

습니다. 이번 학기가 마무리되고 제가 저의 글을 읽을 때 잘 공부했다고 스스로 

생각하였으면 좋겠습니다.

 마지막으로 PBL 보고서를 마치며 많은 생각을 하였습니다. 이번 학기에서 가장 

많이 생각한 것은 미적분이란 무엇인가를 생각하였습니다. 처음에는 몰랐지만, 미

적분의 활용도가 매우 높다는 것을 학습하며 천천히 배워왔습니다. 자연과학, 공

학, 사회과학, 경제학 등 매우 많은 부분에서 미적분학을 사용하고 미적분 방정식

을 이용하여 날씨를 예측하며 온도, 습도, 풍속, 강수량을 예측하고 경제에서는 환

율, 금리, 주가를 예측하고 물리, 화학, 전자기학 알고 보니 주변에 미적분이 사용 

안 되는 곳이 사용한 곳보다 적다는 것을 알았습니다. 그리고 미적분은 매우 유용

하지만 기초가 부족하다면 다음 주제를 나아갈 수 없다는 것 또한 매우 느끼고 이

번 미적분 학1 을 잘 마치고 미적분학 2 여름학기에도 많은 것을 학습하였으면 

합니다. 또한 프로젝트를 진행하며 팀원들과 같이 고민하며 어떤 방법을 사용해야 

초등학생들에게 효과적으로 다가갈 수 있겠느냐는 생각을 많이 하였고 많은 정보

를 읽으며 저도 한 모르는 수학의 역사와 기원을 알 기회였습니다. 이제 PBL 보

- 581 -

고서를 마무리하겠습니다. 1학기 동안 저희를 위해 수고 많으셨습니다. 감사합니

다.

*중간 PBL (검은 글씨) :

문제를 제시/확인하고 각자의 생각을 이야기하고 이를 해결하는 과정에 많은 것들

을 배웠습니다. 비슷한 환경에 놓인 동료들과 토론을 통해 문제해결을 하면서 제

가 생각하지 못했던 부분에 대해서 보충하고, 결과로까지 나올 수 있었습니다. 

 수학이라는 것이 단순히 암기하는 것이 아닌 서로 이야기하면서 소통하면서 학습

하는 것이 단기간에 많은 것을 배울 수 있는 원동력이 아니었나 싶습니다. 이제 

어느 정도 기본적인 개념을 제대로 이해했으니, 8주 차 이후부터 좀 더 심도 있는 

고민을 하고 토론에 임하고 심화한 문제에 대해서 접근이 가능할 것 같습니다.

*최종 PBL (파란 글씨):

성균관 대학교에 입학한 지 어느덧 3개월이라는 시간이 흘렀습니다. 어떻

게 보면 짧은 시간일 수 있으며, 10년이라는 미적분의 공백이 있는 저에게

는 대학 미적분학이 두려움으로 다가왔던 게 사실이고, 주차별 학습계획에 

보고 한 번 더 놀랐습니다. 

* 하지만, 제가 알던 문제를 헷갈리게 꼬아서 출제하는 수학 문제가 아니

라 개념적으로 이해하며 코딩을 이용하여 심화 문제까지 접근할 수 있는 학

습 방법을 13주간 다양한 학습을 진행했던 것 같습니다. 또한 실제 풀리지 

않는 문제들에 대해서는 단순히 질문하고 답을 얻는 것이 아니라, 조금씩 

보완해 가면서 왜 그렇게 되는지 학우들과 토론하며 해결하니 이해가 더욱 

잘된다고 생각했습니다. 기존에는 수학은 쓰는 것이었다면, 지금은 입으로 

말하고 커뮤니케이션하는 것이 더욱 중요하다는 생각이 듭니다.

 미적분학을 왜 배우는 거냐는 질문에 수학자는 “덧셈, 뺄셈 왜 배우는 거

예요?”라고 이야기하였습니다. 저 또한 미적분을 실생활에 접목할 생각을 

많이 안 해봤었습니다. 코딩을 통해 미분방정식을 실생활에 접목하면서 문

제를 쉽게 해결할 수 있으며, 좀 더 수학하고 가까워지는 계기가 되었던 것 

같습니다.

- 582 -

* 1st PBL

 PBL 보고서를 작성하면서 내가 정리했던 개념들을 다시 복습할 수 있었고 이해

했다고 생각했던 부분도 보고서를 작성하면서 다시 보니 모르고 지나쳤던 부분도 

새롭게 알 수 있었습니다. 처음에는 Sage 프로그램을 통해 수학을 배운다는 것도 

생소하고 Q&A를 활용해서 공부하는 방법도 어색했습니다. 고등학교 과정을 안 배

우고 왔기에 진도를 따라잡을 수 있을지 고민이 많았는데 중3~고3까지의 복습 과

정과 어려운 계산 문제는 프로그램으로 풀며 개념에 집중한 덕분에 어느 정도 따

라잡을 수 있었던 것 같습니다. PBL 보고서를 정리하면서 나중에 필요할 때마다 

보면 확실히 도움이 될 것 같다는 것을 느꼈고 내가 공부했던 내용과 다른 학우들

과 소통했던 내용들을 모아서 한꺼번에 보니 지난 6주간의 기간이 정말 보람차게 

느껴졌습니다. 여러 학우와 Q&A 활동을 하면서 서로의 부족한 부분을 도와주고 

학습하면서 스스로와 같이 공부하는 학우들 모두 성장했다는 것을 알 수 있었습니

다. 처음에 적극적으로 참여하지 못한 것이 아직도 매우 아쉽지만, 적극적으로 

Q&A 활동을 하는 학우들, 응용문제들로 새로운 실습을 하게 해주는 학우들, 새로 

배우는 개념에 대한 개념들에 대해 정리를 해서 공유해주고 모르는 것을 잘 알려

주는 학우들 덕분에 저도 열심히 공부하고 활발하게 게시판의 토론에 참여할 수 

있었습니다. 아직 부족한 점이 많지만 이러한 활동들을 계속하면서 개념을 확립하

고 배운 것들을 바탕으로 전공과목 공부 및 졸업 후 회사에서도 유용하게 활용하

고 싶습니다. 앞으로도 Q&A 활동에 적극적으로 참여하면서 학우들에게 도움이 되

는 내용들을 정리해서 올리고 궁금한 것은 질문하고 Discussion 하며 이해하는 

과정을 거쳐 Finalizing 하도록 하겠습니다.

* Midterm PBL

 중간 PBL 보고서를 제출하고 교수님께서 보고서를 잘 작성한 학생들의 보고서를 공유해주신 것

을 보았습니다. 덕분에 제가 보고서 작성에 있어서 어떤 부분이 미흡했었는지 알 수 있었고 다른 

학생들의 보고서를 참고해서 저의 보고서를 수정할 수 있었고, 보고서의 완성도가 올라가는 것을 

느꼈습니다. 만들어 준 학우들에게 감사의 말씀을 드리고 싶습니다. Final PBL 보고서를 마무리하

면서 저만의 교과서가 생긴 거처럼 매우 뿌듯했습니다. 7주간의 기간 동안 제가 공부했던 것들을 

되돌아보고 다른 학우들과 함께 토론하고 이해하는 과정을 가지며 수학에 대한 자신감을 가질 수 

있었습니다. 앞으로 배우게 되는 미적분학 1과 2의 내용도 모르는 부분에 대해서는 적극적으로 질

문을 하고 직접 실습해보면서 이해하도록 하겠습니다. 

 

* 3rd PBL

 Midterm PBL 제출 후 보고서의 부족했던 부분에 대해 교수님께서 잘 알려주셔서 3rd PBL은 이

전보다 upgrade 한 보고서로 만들 수 있었습니다. 중간고사 이후 본격적으로 Single variable 

calculus에 대해 학습하였고 교수님께서 만들어 주신 삼성전기 Page를 통해 예습 및 복습과 실습

- 583 -

을 할 수 있었습니다. 덕분에 제가 몰랐던 개념에 대해 집중하며 공부를 할 수 있었고, 다른 교재

의 문제들은 실습으로 쉽게 답을 구할 수 있는 것을 확인하였습니다. 또한 팀원들과 함께 Sage 

프로그램을 활용한 수학에 관한 project를 진행하면서 팀원들과의 소통 그리고 각자의 역할 분담

을 통해 문제를 해결하는 과정을 배웠습니다. 요즘 시대에 맞게 html로 제작하였기 때문에 언제 

어디서든 쉽게 접근할 수 있고 다른 사람들도 수학을 어려워하지 않고 재밌게 배울 수 있다는 것

을 알려줄 수 있어서 좋았습니다. 교수님께서 문의 게시판에 올려주신 우리가 미적분학을 배워야 

하는 이유와 2학기 때 배우는 multi variable calculus 자료실, 수학에 대한 여러 가지 재밌는 기

사와 자료를 공유해주신 덕분에 여름학기에 배우는 미적분학 2도 열심히 공부해야겠다는 생각이 

들었습니다.

* Final PBL

 Final PBL report를 작성하면서 1학기에 걸쳐 수학에 대한 자신감이 

많이 상승한 것을 느꼈습니다. 처음에 대학교에 입학할 때 제일 걱정

되었던 부분이 수학이었습니다. 고등학교 때도 일반적인 수학 과정을 

다 배우지 않았기 때문에 다른 사람들과 많이 차이가 나고 힘들 것이

라고 예상했습니다. 하지만 이상구 교수님께서 진행하시는 새로운 수

업 방식으로 중~고등과정을 복습하면서 문제를 풀어야 해서 어렵게만 

생각했던 수학이 쉽게 느껴졌습니다. 그리고 우리가 대학에 들어와서 

미적분학을 배워야 하는 이유를 다양한 자료를 통해 우리 스스로 생각

하게끔 해주셨고, 덕분에 미적분이 왜 필요하고 열심히 배워야 하는지 

알 수 있었습니다. 1학기에 single variable calculus 내용을 학습한 

후, 바로 2학기에 multi variable calculus에 관한 내용을 이어서 학

습하기 때문에 더욱 그 연관성에 대해 생각하면서 배울 것 같습니다. 

졸업 후 실제 현장에서의 다양한 문제해결력을 갖추도록 만드는 데 목

적을 두며 열심히 배우도록 하겠습니다. 

*Final PBL : 정리된 학우들의 PBL 보고서를 참조하면서 부족한 점들을 

채워나갔습니다. 교제에 포함된 Open Problem 들을 정리하고 실습하면서 

1~13주차 과정까지 학습한 내용을 전반적으로 정리할 수 있었습니다. 또

한 팀 프로젝트를 진행하면서 미적분학과 코딩을 통해 무엇을 개발하고 

적용할지 생각할 기회가 되기도 하였습니다. 다른 조의 프로젝트를 보면서 

생각하지 못했던 곳에서도 미적분학과 코딩을 활용할 수 있다는 것을 느

- 584 -

꼈습니다. 또한 이번 PBL 보고서를 작성하면서 다시 한번 부족한 수학적 

개념과 문서작업 능력도 향상시킬 수 있는 좋은 기회가 되었던 것 같습니

다. 미적분학 1이 끝나고 이어서 미적분학 2를 공부하게 될 텐데 이번 과

정을 통해 학습한 내용과 학습 방법을 다시 한번 기억하고 되새기면서 다

음 강좌를 준비할 수 있는 자신감을 갖추게 된 것 같습니다.

먼저 옛날부터 했던 수학이지만 미적분학 강좌를 수강하면서 차이를 느낀 점은 저희 

스스로 코딩프로그램을 활용하여 개념 정리 및 그래프를 실제로 그릴 수 있어서 학습

하는 데 많은 도움이 되었습니다. 그리고 문의 게시판에 질문 및 내가 했던 학습을 한 

번 더 게시물 올리면서 복습 효과도 생기며 학우들끼리 소통하며 공부할 수 있었던 점

이 수학 학습효과를 더욱더 증진하게 시키는 데 효과적이었습니다. 앞으로 모르는 것들

이나 학습해야 할 그것들이 있을 때 두려움 없이 천천히 해서 몰라도 하면 된다는 것을 

배우고 몸소 느끼게 되었습니다.

7주 차부터는 정말 대학 과정의 학습 내용이 시작된다고 느끼게 되었습니

다. 하지만 전에 했던 이상구 교수님의 학습 커리큘럼대로 학습하고 예습하고 했던 내

용들을 문의 게시판에 질문하고 다른 학우들이 학습했던 내용들을 다시 봄으로써 계속

해서 학습할 수 있었던 거 같습니다. 그러면서 한층 더 수학에 대한 이해도가 늘었고 

코딩을 활용하여 시각적인 확인도 내 손으로 직접 할 수 있었으며 어려운 문제들도 코

딩을 활용하여 쉽게 풀 수 있게 되었습니다. 무엇보다도 가장 좋았던 점은 문의 게시판

을 이용해서 다른 학우들이 학습한 내용을 보면서 복습할 수 있었던 것이랑 내가 놓치

고 있던 부분들을 다른 학우들이 게시판에 올림으로써 새롭게 확인해서 학습할 수 있

었던 점이었던 거 같습니다. 그리고 마지막으로 팀 프로젝트에 관해서 중간고사 때 처

음 올렸던 프로젝트는 너무 미비하게 준비하여 안 좋은 모습을 보였으나, 노태완 학우

와 3D 프린터에 관한 내용을 같이 조사하고 PPT 파일과 HTML 차를 만들어서 팀 프로

젝트에 관한 내용을 알차게 채울 수 있었습니다. 그리고 PBL 파일 자체가 제가 학습했

던 내용과 토론 코맨트 단 모든 것들을 한꺼번에 볼 수있게 만드는 파일이라서 추후 학

습을 할 때 따로 찾을 필요 없이 한꺼번에 확인 가능할 수 있겠다고 생각했습니다. 수

학에 관한 생각이 달라지고 쉽게 접근할 수 있고 코딩을 활용하면 누구나 할 수 있다는 

자신감이 같이 생긴 거 같습니다.

 처음에는 이전에 제가 배웠던 수학이라는 수업과 진행하는 과정이 달라서 초기에는 

좀 많이 놀랐던 점이 있었습니다. 그러나 Sage라는 프로그램을 이용하여 주어진 식에 

대한 값을 간단히 구할 수 있었던 점과 그래프를 쉽게 눈으로 확인하면서 좀 더 이해하

기 쉬웠습니다. 간단한 방정식의 그래프를 그려보는 건 이전에도 했었지만 복잡한 방정

- 585 -

식에 대한 문제를 풀어볼 때 그래프를 그려서 눈으로 확인해본다는 건 이전까지는 생

각도 못 했었기 때문에 본 강좌를 수강하면서 수학에 대한 접근을 좀 더 편하게 가질 

수 있는 계기가 된 것 같습니다. 

이번 학기 미분적분학 수업을 수강하면서 수업 전 교수님이 올려주신 영상강의를 통해

서 예습을 진행하고, 예습한 내용 중 궁금한 부분에 대해서 질문을 진행하고, 예제 문제

를 수업 전에 미리 학습하면서 수업에 뒤처짐 없이 따라갈 수 있었습니다. 수업 후 문

의 게시판을 통하여 학우들과 수업내용에 관한 토론을 진행하면서 다시 복습도 같이 

진행하였습니다. 이러한 학습을 통하여 단순히 문제를 푸는 그것뿐 아니라 이론을 바탕

으로 다른 사람에게 설명을 할 수 있는 수준까지 도달하게 되면서 수학에 대한 두려움

이 많았던 저에게는 많은 자신감을 가질 수 있는 계기가 되었습니다.

1.

(PBL 보고서/Project를 마치고.) 

 이렇게 본인이 공부하고 정리한 내용을 게시글로 올리고 보고서를 작성

한 적은 처음이었습니다. 직접 작성해보니 부족한 부분이 많이 보여서 본

인의 부족한 점을 어떻게 메꾸고, 어떻게 배우고 갈 수 있는지 알 수 있

었습니다.

 그리고 보고서를 정리하면서 동료들의 많은 도움을 받아 가며 공부했단 

것도 알 수 있었습니다. 동료들의 정리와 질문에 대한 답을 받으면서 많

이 배우고, 이렇게 동료들과 소통하며 공부할 수 있었다는 점이 아주 큰 

도움이 된다는 것을 알 수 있는 큰 경험이었습니다.

 코딩에 대한 어려움으로 처음에 걱정했던 것과 무색하게 코딩은 도구에 

가깝고 이론을 다듬는 그것이 매우 중요하단 것도 알 수 있었습니다. 지

금까지 동료들과 함께 공부할 수 있어서 재밌었습니다

* final PBL 7 week – 13 week : 15주 동안의 문의 게시판 활동 내

용 정리하다 보니, 20명의 학우가 정말 많은 내용을 찾고, 공유했다

는 것을 다시 한번 더 느꼈습니다. 처음 시작은 모든 것이 생소하여, 

따라가는데 힘들었지만, 시간이 지날수록 점점 실력이 늘고 있다는 

것이 느껴졌습니다. 15주 동안의 결과물이 그것을 보여주고 있다고 

생각합니다. 혼자만의 힘으로는 불가능했을 과정이었는데, 20명의 학

우 모두 적극적으로 문의 게시판을 활용하여, 이렇게 많은 자료가 생

겼다고 생각합니다. 이 자료를 소중히 보관할 것입니다. 마지막으로 

팀 프로젝트 활동을 하며 팀원들과 SAGE 프로그램을 활용한 설비관

리를 만들었는데, 이 부분은 졸업 후 회사생활에도 유용하게 쓰일 것 

같다고 생각합니다. 그리고 다가오는 여름학기에도 성실하게 학습할 

- 586 -

수 있도록 하겠습니다. 1학기 동안 좋은 수업과 좋은 과제를 할 수 

있게 해주신 이상구 교수님 감사드립니다.

Final PL

중간 PBL 당시 다른 학우들에 비하여 조금은 부족했던 부분을 이후에 문의 게

시판 활동을 더욱 적극적으로 활용을 하였습니다. 중간 PBL은 고등학교 과정의 

학습내용이 있었지만 Final PBL은 본격적인 대학교 수학 과정을 배우게 되었고 

이러한 과정에서 손으로는 풀이가 복잡하고 하기 어려운 부분을 Sage 프로그램

을 활용하여 보다 쉽게 풀이가 가능하였고 다양한 미분 적분을 활용한 그래프들 

또한 Sage 프로그램으로 눈으로 보기 쉽게 그려낼 수 있다는 것을 알 수 있었

습니다. 해당 프로그램의 활용도를 조금 더 높여서 단순히 현재에만 머무르는 

것이 아니라 졸업 후에도 현업에서 언제든지 활용이 가능하도록 숙달을 시켜놓

아야겠다는 생각을 할 수 있는 좋은 기회가 되었던 수업이었습니다.

*최종 PBL: 

 sage프로그램을 이용해 평면에 그래프를 그려 답을 구하는 것을 넘어 이

제는 평면으로 그린 그래프를 이용해 회전시켜 입체도형을 그릴 수 있는 

단계까지 왔습니다. 그렇게 그린 도형의 부피를 구하고 또한 원통껍질 방

법을 이용해 회전체의 부피를 구하는 방법에 간단한 공식이 있다는 것도 

배웠습니다. 실제 프로그래머들이 만들어내는 입체모델을 이렇게 쉽게 만

들어낼 수 있다는 것이 신기했습니다.

 이처럼 이제는 sage프로그램을 활용하여 수학을 쉽게 접근하는 것을 넘

어 복잡하고 어려운 고차식을 sage프로그램을 이용해 빠르게 풀어내며 학

습 효율을 올리는 결과까지 도달했습니다.

 중간 PBL 이후 13주차까지 수업을 진행하며 고등수학의 과정을 넘어선 

몇 개의 심화개념을 접하게 되었고 교수님이 항상 말씀하셨던 “기본적인 

수학적 개념 없이 프로그램만으로 문제를 해결하려하면 안 된다. sage프

로그램을 통해 계산적인 부분을 빠르게 해결하고 남는 시간에 수학의 개

념적 부분을 공부해야한다.”를 상기하며 직접 손으로 그려보고 문제를 풀

어보면서 생소한 내용에 대한 수학적 개념을 잡고 난 뒤에 sage프로그램

을 활용해 그것의 답이 맞는지 확인하고 그 이후엔 빠르게 풀어나갔습니

- 587 -

다.

 이렇게 하니 완전히 생소한 심화 수학개념을 접해도 무엇이든지 해

결할 수 있다는 확신이 생겼습니다. 또한 그 개념을 넘어서 이번 최

종 PBL를 작성하기까지 교재에 실린 내용 외에 더욱 심화된 내용을 

스스로 찾아보고 QnA게시판에 공유하여 여러 학우들과 의견을 나눠

보고 학습하여 20명 전원이 그 내용에 대한 학습이 되도록 노력했습

니다.

 이렇게 최종 PBL을 작성하며 다시 한 번 정독해보니 하나의 교재를 

완성한 느낌이 들었습니다. 앞으로 어떤 어려운 심화 대학수학을 배

워도 이 PBL교재의 내용을 참고하고자 Ch1.의 (1)에 개념적인 내용을 

거의 그대로 집어 넣어뒀습니다. 나중에 공부를 하다 막히는 부분이 

발생하면 이를 활용하여 또한 sage프로그램을 활용하여 그 어느 방

법보다 효율 좋은 학습법으로 공부해 나갈 것입니다. 4개월간 수고하

셨습니다 감사합니다.

*최종 PBL: 

 저는 문과 출신의 수학을 두려워 하던 수포자였습니다. 취업을 하고 

학업에서 손을 뗀지 약 10년 가까이 지난 지금, 첫 수업을 듣기 전 

교수님께서 미리 주신 미적분학1 교재를 접했을 땐 ‘내가 잘 할 수 

있을까?’라는 두려움이 가득했습니다.

 첫 수업을 들었던 순간도 두려움이 컸습니다. 왜냐면 처음 접해보는 

코딩을 이용해서 문제를 해결하는 방법을 처음 접했으니 그것 또한 

두려움이 가득했습니다.

 수업을 계속 참여 할 때 마다 이러한 두려움은 점점 사라지고 자신

감이 생기는 것을 제가 느끼고 있었습니다. 지금까지 내가 두려워 했

던건 복잡한 공식들을 무조건적으로 외워야지 문제를 풀고 답을 구

할수 있었기에 답을 구하지 못했던 내가 불안했기에 두려움이 가득

했던 것 같습니다.

- 588 -

코딩을 이용해 손 쉽게 원하는 답을 구하고 더 나아가 직관적으로 

그래프까지 확인이 가능하니 이젠 자신있게 문제의 답을 찾을 수 있

고, 문제를 풀기 위한 수학이 아닌 생각하는 수학을 할 수 있었습니

다. 또한 교수님께서 만들어 주신 실습이 바로 바로 가능한 새로운 

교재를 받고 장소,시간에 제한없이 학습을 할 수 있어서 큰 도움이 

됐습니다. 휴대폰으로도 접근이 가능한 환경 속에서 많은 학습을 진

행했습니다. 미리 공유해주신 미적분학2 교재를 보니 두려움이 아닌 

나도 해결 할 수 있다는 자신감이 생겨서 미적분학2가 기대됩니다.

또한 팀 프로젝트를 통해서 우리팀이 만든 html, 다른팀에서 만든 자

료들을 보니 우리가 만든 html 또한 언제 어디서든 접근이 가능하고, 

휴대폰으로도 필요한 부분에 변수만 수정해주면 바로바로 실행이 되

는 것을 확인했습니다. 현업에 복귀해서도 직접 사용이 가능한 수식

을 만들어서 언제 어디서든 사용 가능한 하나의 tool처럼 사용이 가

능하리라 기대됩니다.

9주차에 치른 중간고사 이후 이 글을 쓰고 있는 지금까지 해야 할 

과제와 익혀야 할 내용들이 많아 정신없는 한 달이었습니다. 그 중에

서 제일 많은 시간을 투자했다고 생각하는 건 본 강좌의 프로젝트였

습니다. 주제를 선정하고 자료를 수집하고 HTML을 다뤄보는 것까지 

생전 처음해보는 일들이 많았습니다. 특히나 컴퓨터와 멀었기에 HT

ML을 수정하게 되었을 때는 눈앞이 막막했습니다. 하지만 조원들에

게 도움이 되고자 잠을 줄여가면서 활용법에 대해서 공부하였고, 결

과적으로 저희만의 홈페이지를 만들어 낼 수 있었습니다. 

 또한, 조원들이 고생하여 만든 것을 알아주었기에 더 큰 보람을 느

낄 수 있었습니다. 

  그리고 그간 sage를 활용하여 미적분학을 성실히 학습하였습니다. 

그렇지만, 관련된 개념을 완벽하게 이해하였다고 말씀드리기 어렵다

고 생각합니다. 하지만, sage를 활용하여 문제풀이를 하였기에 문제

풀이에 소요되는 시간이 적었기에 개념이해에 더 많은 노력을 기울

일 수 있었습니다. 기존의 학습방법보다 더 많은 결과물을 얻을 수 

- 589 -

있었다는 건 장담할 수 있습니다. 다가오는 여름학기에도 성실하게 

학습하여 두 학기동안의 학습에서 유종의 미를 거두고 싶습니다. 한 

학기동안의 가르침에 감사드립니다.

Final PBL을 작성하며 저의 수학적 지식과 이를 바탕으로 진행한 sage 프로그램 

수행 능력이 점차 향상되었다는 것을 느끼게 되었습니다. 그리고 이를 바탕으로 

팀원들과 진행 후 완성된 프로젝트 결과물을 보며 앞으로 입학하게 될 소재부품

융합공학과 후배들에게 교수님의 미적분학1 Math & Coding 강의를 꼭 추천해

주고 싶다는 생각이 들었습니다.

소재부품융합공학과는 직장인으로 이루어진 계약학과로서 학생들 모두 수학적 

배경이 다르고 학기 초기 수학적 지식이 부족하여 다들 걱정과 두려움으로 가득 

차 있었습니다. 하지만 교수님과 조교진 분들께서 제작해주신 맞춤 교재와 sage 

프로그램을 활용한 최신 수학 강의로서 강의는 정말 수월하게 진행됐다는 것을 

새삼 느끼게 되었습니다.

교수님께서는 우리가 미적분학을 배우는 이유, 실생활에서 미적분학을 활용된 

예시 들과 같은 것을 직접 학생들에게 가르쳐 주셨을수도 있겠지만 강의 시간을 

활용하여 위와 같은 예시 들을 학생들이 직접 찾아보도록 지도 하셨습니다. 

문의 게시판에서 학생들끼리 서로 찾아본 내용들을 공유하며 미적분학은 단순히 

수학적 지식이 아닌 물리, 화학, 경제, 인공지능 등과 같이 지금도 계속해서 끊

임없이 광범위한 분야에서 활용되고 있다는 놀라운 사실들을 알게 되었습니다. 

또한, 이후에 교수님께서 공유해주신 미적분학이 활용되고 있는 더 전문적인 분

야와 인공지능 수학의 Trend를 알 수 있는 기사들, 교수님께서 저희 수업뿐만 

아니라 대외적으로 교육하시고 활동하고 있는 내용들을 강의 시간에 알려주셔서 

더 열심히 미적분학을 배워야겠다는 동기부여와 강한 원동력을 배포해 주셨습니

다.

  이번 학기 미적분학1 Math & Coding 수업 순간 순간이 모두 의미있는 시간

이었지만 그중에서도  가장 기억에 남는 부분은 sage 프로그래밍입니다. 손으로 

풀기 어려운 문제들을 몇 줄의 프로그래밍 언어로 간단하게 답을 구할 수 있다

는 것과 그래프를 통해 직관적인 개념 이해가 가능하여 유용한 방법이라고 생각

합니다. 

생소한 방식으로 어려움도 있었지만 한 학기가 마무리되는 시점에서 정말 유익

한 시간이었습니다. 앞으로 지금까지 배운 새로운 지식을 바탕으로 넓은 시야를 

갖고 수학 이외에 분야에서도 능력을 발휘해 보도록 하겠습니다. 감사합니다. 

- 590 -

*최종 PBL (초록 글씨):  

최종 PBL 보고서를 마치고 든 생각은 코딩이 풀 수 있는 문제의 영

역은 방대하다 였습니다. 여러 가지 수학 문제들은 물론 일상생활에 

응용시켜 여러 일상생활 문제들을 풀어줄 수 있고 필요하다면 프로

젝트 제작처럼 Sage&Math page를 제작하여 어디서든 필요할 때마

다 적용할 수 있다는 것이 놀라웠습니다. 수학 문제에 대한 두려움은 

점점 옅어져가고 자신감이 생겼습니다. 그리고 프로젝트를 진행하면

서 코딩만 제대로 이해하고 있다면 인간의 생활을 좀 더 편리하고 

스마트하게 바꿔줄 수 있다고 생각되어 더 다양하고 복잡한 문제들

을 해결하기 위한 프로젝트도 한번 해보고 싶었습니다.

코딩 외 미분적분, 수학의 기본적인 개념과 정의, 정리들을 PBL 보고

서에 작성하면서 스스로도 많은 공부가 되었고 단순히 보고서 작성

이 아닌 다시 한번 내가 스스로 정리해 보고 이해할 수 있도록 변형

하여 작성하니 개념 이해에 정말 큰 도움이 되었습니다. 

   물론 한번 정리한 것으로 내 것으로 만들 수는 없으나 앞으로 또 

같은 문제에 부딪힌다면 이 PBL 보고서를 나만의 교재로 삼아 다양

한 문제들을 풀어나갈 수 있을 것 같습니다.

*최종 PBL: 

미분적분학의 수업을 들으며 어려워했던 수학에 대한 과목에 자신감

이 생겼습니다. 일반적인 수학문제풀이가 아닌 Sage 프로그램 코딩

을 통해 문제를 해결하는 방법은 코딩작성시 오타가 아니라면 항상 

옳은 답을 구할 수가 있었고 답변에 대한 확신을 가질수 있었습니다. 

또한 필기로는 작성할 수 없는 난잡한 그래프들을 손쉽게 작성할수 

있었습니다.

  그리고 강의만 듣고 학습하는 것 보다 문의 게시판을 통해 학습한 

내용을 공유하고 이를 통한 복습과 어려운 문제들을 공유하며 동기

들과 함께 문제해결하여 시간도 절약되었고, 문의게시판에 있는 내용

만으로도 큰 도움이 되었다고 생각합니다.

- 591 -

  그리고 PBL 보고서를 작성하며 학습한 내용들을 돌이켜 볼수있었

고 아쉬웟던 부분과 이후 계절학기에서의 학습방향에 대해 생각해볼 

수 있는 좋은 과제인거 같습니다. 감사합니다.

*최종 PBL:  

한 학기 동안 3번에 걸쳐서 PBL을 정리하면서 배운 내용을 정리해보

면서 제가 어떠한 것들을 배우고 알게 되었는지에 대해서 되돌아보

게 되었습니다. 이전에는 배웠던 내용을 문제 풀기만을 위해서 배웠

지만, 현재 sage 프로그램을 활용하여 손쉽게 복잡한 문제를 풀어보

고, 그래프를 눈으로 확인하면서 이론적으로 판단을 할 수 있게 되었

다고 생각이 듭니다. 그리고 학우들과 그룹을 이루어 프로젝트를 진

행해보면서 주제선정부터 htlm을 만들어보고, 결과물을 발표를 하는 

과정을 겪으면서 다양한 부분에 대해서 공부를 하게 되었습니다. 이

번 학기에 배운 single variable calculus를 바탕으로 2학기에 배울 m

ulti variable calculus 또한 잘 습득할 수 있다는 자신감이 생겼습니

다. 수학이라는 것이 다른 역학을 풀어내기 위한 일종의 언어라고 생

각되기 때문에 여름학기도 지금과 같은 마음가짐으로 임하여서 좋은 

결실을 맺을 수 있도록 노력하겠습니다. 한 학기 동안 고생하셨습니

다.

기말 PBL을 마치면서 제 자신이 수학에 대한 자신감과 개념에 대해

서 많은 것을 배웠다고 생각하고 있습니다. 그 과정에서는 이상구 교

수님의 학습지도방법 – 예습 후 문의게시판 게시 학우들과의 토론 

코맨트 달기 이런 과정을 15주차 까지 함으로써 수학에 대한 자신감

과 개념에 대해 많이 배웠던거 같습니다. 그리고 내가 모르는게 있더

라도 다른 학우들, 이상구 교수님까지 언제든지 물어보면 답변을 주

시기 때문에 든든함까지 더해졌던거 같습니다. 앞으로 지금까지 만든 

PBL을 바탕으로 여름학기에도 미적분학에대해서 많은 노력을해서 학

습하도록 하겠습니다. 또한 sage 프로그램을 이용한 시작적인 그래

- 592 -

프 확인으로 더욱더 많은 수학적 지식과 직관적으로 볼수 있어서 너

무 편하게 학습하였던거 같습니다. 이렇게 교수님의 학습지도방법으

로 수학에 대한 두려움을 떨쳐내고 쉽게 다가갈수 있었으며 좋은 학

습을 하였습니다. 여름학기에도 이와 같은 방법으로 꾸준하게 학습 

해나가여 좋은 결과로 보답하겠습니다. 이만 기말 PBL REPORT 마치

겠습니다.

*최종 PBL: 고등학교 수학을 복습하고 sageMath를 처음 사용해보았던 때

가 얼마 지나지 않은 것 같은데 벌써 한 학기의 마지막을 바라보고 있습

니다. 그동안 QnA에 요약, 정리, 예제 실습 과정 공유, Open Problem 등 

수업 전후로 학우들과 함께 다같이 많은 글들을 남겨왔습니다. 수업내용 

관련해서 뿐만 아니라 교수님과 학우들과 함께 수학에 대해 토론하고, 모

르는 것을 서로 질의응답하며 각자의 지식을 공유함으로써 처음보다 조금 

더 성장할 수 있었던 것 같습니다. PBL보고서를 작성하면서 아무래도 그

간 해왔던 활동들이 많이 쌓이다보니 작성해야 할 내용들이 너무 많아서 

프로그램 부하가 심합니다. 하지만 그만큼 시간을 많이 투자한 것 같고, 

학우들과 함께 공유하면서 나아갔던 날들이 보람차기도 합니다. 문제를 접

하면서 sageMath로 쉽게 답을 구할 수 있다는 것이 효율적이었습니다. 1

3주차까지 배운 내용에도 모르는 용어들이 많고 이해하기 조금 벅찼는데, 

앞으로 갈수록 더욱 광범위하고 어려운 부분을 학습해야하니 각오가 단단

히 필요할 것 같습니다. 1학기를 잘 마무리하게 되어서 다행인 것 같고 

앞으로 배울 것들을 생각하니 한편으로는 걱정이 앞서기도 합니다. 여름학

기에 배우는 과정도 지금 못지않게 힘들겠지만 허덕이지 않고 차근차근 

실력을 쌓아 나갈 수 있었으면 하는 바람입니다.

13주동안 미적분학1을 열심히 학습하면서 수학에 대한 인식이 많이 바뀌

었습니다.

(1) 처음 이 과정을 시작하며 중,고등학교 과정 복습과정을 마쳤을때 까지

만 해도 수학이란 정확히 딱 떨어지는 값을 구해야 하며 칠판에 빼곡히 

수식을 적어가며 문제들을 해결하는 것이라 생각 해왔습니다. 하지만 

(2) 대학 미적분에 들어서면서 근사해를 구하거나 회전체의 부피를 구하는

- 593 -

등의 접해보지 못했던 새로운 개념들을 배우게 되었고 이를 개념을 익힌 

후에 복잡한 계산은 컴퓨터에게 맡겨 간단하게 해결할 수 있다는 점이 놀

라웠습니다. 문제를 풀면서 학습내용을 Q&A에 공유하고 다른 학우들이 

토론하는 내용을 보며 들었던 생각은 

(3) 컴퓨터에만 의존하는 것이 아니라 정확한 문제 해결방법을 알고 

이를 컴퓨터에 적용해야 하며 프로그램이 완벽하지 않다는 점을 인

지하고 개념과 문제해결 방법을 먼저 익히고 컴퓨터에게 풀이를 시

켰는데 정답이 안나오는 경우를 파악하고  문제의 조건을 구분하여, 

코드를 수정해가면서 어떤 어려운 문제가 발생 했을때도 best possi

ble 한 답을 찾는  문제 해결 능력을 기르는 것이 요점이라 생각합

니다.

  Team Project부터 Final PBL까지 한 학기 동안 저의 흔적들을 돌아보며 

감회가 새로웠습니다. 성균관대에 입학하여 교수님의 수업을 듣지 않았다

면, 저 또한 이러한 지식들을 배울 수 없었을 것입니다. 창의적 인재가 요

구되는 4차 혁명 시대에 코딩 수학은 핵심 가치입니다. 1등이 되기 위해 

주먹구구식의 패스트폴로잉 전략으로 성공하는 시대는 이미 지났습니다. 

교수님의 지도하에 새로운 방식의 수학을 접하며 처음엔 쉽지 않았지만, 

물론 지금도 능숙하진 않지만, 전보다 훨씬 성장한 저를 확인할 수 있었습

니다. 여러 의미 있는 활동들을 하며 저의 역량과 능력이 향상된 것을 더

욱더 development 하여 졸업 후 아직 과거에 머물러있는 다른 회사 동료

들에게도 꼭 알려주고 싶습니다. 여름학기에도 정체되지 않고 더욱 노력하

고 열심히 수업과 여러 활동에 참여하며 <수포자 0%인 세계 최초의 국

가>에 이바지 할 수 있는 인재가 되도록 노력하겠습니다. 

 한 학기 동안 이끌어주시느라 수고하셨습니다. 여름 집중학기 10주도 잘 

부탁드립니다.             [The End]

             [Math & 코딩]  - 인문대, 사회대, 공대 및 전문대 학생을 위한  

<미적분학> Single variable Calculus  강의록/실습실 : http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/ 

<다변수 미적분학&코딩> Multivariable Calculus 강의록/실습실 : http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/