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PBL Report (개인성찰 노트)

2022년 1학기 Final PBL Report

미분적분학 1

[Math & 코딩] - 인문대, 사회대, 공대 및 전문대 학생을 위한

<미적분학> Single variable Calculus 강의록/실습실 : http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/

<다변수 미적분학&코딩> Multivariable Calculus 강의록/실습실 : http://matrix.skku.ac.kr/M-calculus/

Prof : 이 상 구 (Sang-Gu LEE)

과제함 Due day : 2022. 5. 27 (in HW box in I-campus)

*Name (이름) : 이*한, 백*준, 천*준, ...

[Final 프로젝트 발표] (30분) https://youtu.be/Hqn7A91BY30 (발표순서)

6팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-6/ (Math & 코딩 for 초등학생 사칙연산)

2팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-2/ (포물선 운동 with Math & Coding)

5팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-5/ (Sage프로그램을 이용한 3D 프린트 도안만들기)

3팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-3/ (Sage Program을 이용한 설비관리)

4팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-4/ (Project_클린룸 FFU 풍속 계산)

1팀- http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus-project-1/ (자율주행 안전사고 예방 )

[Final PBL 보고서 발표]

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-전*준 (1) https://youtu.be/htpo9lwQyss

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-천*준 (2) https://youtu.be/wEST2YdQE9o

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-이*한 (3) https://youtu.be/L09l50NOLEc

미적분학 1, Final-PBL발표-동영상-백*준 (4) https://youtu.be/KRf9s6xOKMw

(5번-20번) 2022 Spring, Final PBL 학생 발표 5 (30분) https://youtu.be/fp-7drDN11I

[Math & 코딩] 국민은행 AI-MBA [Math for AI 강좌] [Final PBL 보고서]

http://matrix.skku.ac.kr/2020-AI-GSB-Final-PBL-1/ http://matrix.skku.ac.kr/2020-AI-GSB-Final-PBL-2/

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[목 차] (Contents)

Ch 1장. Participation [참여평가]

1. 주차별 학습 내용 요약

2. PBL 학습 후 배운내용

3. PBL 학습 진행간 토의 내용

Ch 2장. Participation 자기 평가

Ch 3장. Self Evaluation (개인 성찰 노트)

1. Self Evaluation 1

2. Self Evaluation 2

3. Self Evaluation 3 (동료평가)

Ch 4장. 개인 성찰 Quiz

Ch 5장. PBL Participation/Activity Part

1. 수열의 극한

2. 순열과 조합

3. 삼각함수

4. 삼각함수 변수의 성질

5. 미분의 성질

6. 역삼각함수의 관계

7. 함수의 극대값 극솟값 정의

8. 급수와 부분합의 정의

9. 등비수열

10. 주기함수의 정적분

11. 삼각함수의 미분

12. 등비급수의 수렴과 발산

13. 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

14. 삼각함수의 덧셈 법칙

15. 역함수의 존재 조건

16. 역삼각함수의 덧셈 법칙

17. 함수의 극한

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18. 삼각함수의 극한

19. 근사해

20. 삼각함수의 수평, 수직 점근선

21. 역쌍곡선함수의 정의 및 도함수

22. 합성함수의 연쇄법칙

23. 음함수·

24. 매개변수 함수의 미분

25.. 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법,

26. 미분을 이용한 선형근사

27. 2계 도함수의 활용

28. 뉴턴의 방법 (Newton’s method)

29. 역도함수(antiderivative)와 부정적분(indefinite integral)

30. 넓이 문제와 정적분(definite integral)

31. 정적분의 성질

32. 적분에 관한 평균값 정리

33. 이상적분 (Improper integral)

34. 정적분을 응용한 넓이, 부피, 호의 길이

35. 곡선의 매개변수 방정식

36. 회전체의 부피

37. 원통껍질 방법(shell method, Shell integration)으로 회전체의 부피 구하기

38. 곡선의 길이 (Arc length)

39. 매개변수 곡선의 길이

40. 곡면의 넓이 (Surface area)

41. 매개변수 함수(parameter function) 곡면의 넓이

42. 극방정식에서의 접선(tangent line), 넓이(Area), 호의 길이(Arc length)

43. 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

44. 거듭제곱 급수(Power Series)

45. 테일러 급수(Taylor series)와 매클로린 급수(Maclaurin series)

46 테일러 정리(Taylor's theorem)

Ch 5장. [Project 제안서(only)]

Ch 6장. Final Comment after your report

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■ 강의 계획서

주 차

진 도

비 고 (교안/실습실/동영상강의)

1

강좌 소개 및 복습 (Math & Coding)

9학년(중3) 수학, 10학년(고1) 수학

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W1/

https://youtu.be/dvreK7t4UIY

2

복습: 11학년(고2) 수학 1, 수학 2

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W2/

https://youtu.be/j0EI6z2xjSw

3

복습: 12학년(고3) 미적분

함수의 그래프와 방정식의 해

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W3/

https://youtu.be/2k0PJ4zs9q4

https://youtu.be/zQnjYU4pyR8

4

역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W4/

https://youtu.be/JFAsjc3E70U

5

함수의 극한, 극한 정리 연속함수

중간값 정리

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W5/

https://youtu.be/Didz3qkHCqM

https://youtu.be/Vde0ah_FcJo

6

도함수, 접선의 방정식, 미분 법칙

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W6/

https://youtu.be/269uVGhQg6s

7-1

연쇄법칙, 음함수와 매개변수함수의 미분법

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W7/

https://youtu.be/1bnoS27s1xw

7-2

발표평가/중간고사

https://youtu.be/CYLugm1mFN8

https://youtu.be/j7josDk1Bg8

https://youtu.be/iEtNpeBzY90

8

삼각함수, 역삼각함수, 지수함수

로그함수의 미분법, 선형근사

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W8/

https://youtu.be/9aSLI9cG4ZM

9

쌍곡선함수 미분법, 역쌍곡선함수 미분법

평균값 정리, 로피탈의 법칙(부정형의 극한)

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W9/

https://youtu.be/YMJcVIbwy6M

10

극댓값과 극솟값(최댓값, 최솟값)

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W10/

https://youtu.be/gQYucuXMYgc

11

부정적분, 치환 적분법, 부분 적분법

정적분, 정적분의 기본정리, 이상적분

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W11/

https://youtu.be/6EhJxj8n_-E

12

넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식

극좌표의 그래프, 넓이와 길이

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W12/

https://youtu.be/xKu-ajdhNyY

https://youtu.be/uOThnTVZPvw

13

수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현

테일러 급수와 매클로린 급수

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/W13/

https://youtu.be/yGhJ7yoX1XI

https://youtu.be/jBsj6gPg-gM

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[종합평가] PBL 보고서 / Project 발표 / 기말고사

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■ Sage 명령어

정의

변수

var(‘x’)

값 정의(예: a=3)

a=3

함수의 정의 (예:

)

f(x)=x^2

미분과 적분

도함수

diff(f(x), x)

부정적분

integral(f(x), x)

[a,b]에서 적분

integral(f(x), x, a, b)

음함수의 미분법

F.implicit_derivative(y,x)

그래프 그리기

일반함수(2D)

plot(f(x), (x의 범위))

음함수(2D)

implicit_plot(f(x)==0,(x의 범위),(y의 범위))

선분(2D)

line([(1, 1), (2, 2)], color='red')

매개변수 함수 그리기

parametric_plot((f(t), g(t)), (t의 범위))

회전 곡선의 그림

revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 1),

show_curve = True, opacity = 0.7,

parallel_axis='x', aspect_ratio = [1, 1, 1])

# x축을 중심으로 회전시킬 때는 axis = ‘x’

# y축을 중심으로 회전시킬 때는 axis = 'z'

극한

a에서 극한

limit(f(x), x=a)

a에서 우극한 / a에서 좌극한

limit(f(x), x=a, dir='+')

limit(f(x), x=a, dir='-')

+

에서의 극한 / -

에서의 극한

limit(f(x), x=+oo) / limit(f(x), x=-oo)

기타

방정식 풀이

solve(f(x)==0, x)

변수 a의 값 보이기

print(a)

정의된 함수 f 보이기

show(f)

sqrt(a)

가장 큰 수 / 가장 작은 수

max() / min()

pow(x, a)

인수분해 값 구하기

factor(f(x)

몫과 나머지

quo, rem = f.maxima_methods().divide(g)

차집합

(U.difference(A)).difference(B)

로그 (

)

log(b,a)

근사해 구하기

Find_root(f(x), x 범위)

정적분 근삿값 구하기

numerical_integral

극좌표 → 직교좌표

r, t = , # 각을 t 로 표현한다.

r*cos(t), r*sin(t)

유리수 표현

QQ()

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Ch 2장. Participation (참여부분) 자기 평가(20

점)

1. (20점) 본인이 그간 Q&A, 동료학생, “본"강좌 등에 기여한 내용을 간단히 서술하세요!

(1) QnA 참여 회수 <QnA에서 직접 확인하세요> : 각 주별 (토요일에서 금요일)

(1)

1주차 : 총 2 회, 2주차: 총 7 회, 3주차: 총 9 회, 4주차: 총 14회

(2)

5주차 : 총 12 회, 6주차: 총 12 회, 7주차: 총 7 회, 8주차: 총 8 회

(3)

9주차 : 총 10 회, 10주차: 총 12회, 11주차: 총 12 회, 12주차: 총 10 회

(4)

13주차 : 총 1 회, 14주차: 총 회, 15주차: 총 회.

총 115회 (질문: 15회, 답변/수정/Finalize: 100회)

(2) 다음 밑줄 친 곳에 들어갈 내용을 고르시오.

나는 아래의 내용 중 함수, 역함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍

공선함수 미분, 부정적분, 정적분, 극솟값, 극대값의 개념, 수열의 극한, 순열, 조

합, 고계도함수, 미분법칙, 접선의 방적식, 연쇄법칙, 음함수, 매개변수 함수의 미

분법, 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 선형근사, 뉴턴의 방

법, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선함수 미분법, 평균값 정리, 부정형 극한에 대한 로피탈

법칙, 치환 적분법, 부분 적분법, 이상정분, 정적분의 성질, 적분 응용을 통한 함

수/매개변수 의 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식, 극좌표의 그래프, 극좌

표의 넓이와 길이, 수열, 급수, 양항함수의 수렴/발산 판정법, 일반함수의 수렴/발

산 판정법, 거듭제곱 급수, 테일러 급수, 매클로린 급수, 테일러 정리 의 개념을

이해하고, 설명할 수 있으며, (간단한 것은 손으로, 복잡한 것은 Sage/R/python

등의 도구를 이용하여) 계산하여 그 의미를 설명할 수 있다.

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함수, 역함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍공선함수 미분, 부정적

분, 정적분, 극솟값, 극대값의 개념, 수열의 극한, 순열, 조합, 고계도함수, 미분

법칙, 접선의 방적식, 연쇄법칙, 음함수, 매개변수 함수의 미분법

===========================================

삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법, 선형근사, 뉴턴의 방법

쌍곡선 함수, 역쌍곡선함수 미분법, 평균값 정리, 부정형 극한에 대한 로피탈

법칙, 치환 적분법, 부분 적분법, 이상정분, 정적분의 성질, 적분 응용을 통한

함수/매개변수 의 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식, 극좌표의 그래프

극좌표의 넓이와 길이, 수열, 급수, 양항함수의 수렴/발산 판정법, 일반함수의

수렴/발산 판정법, 거듭제곱 급수, 테일러 급수, 매클로린 급수, 테일러 정리

(3) 개인/동료와 같이 “본” 강좌를 학습하면서 배우거나 느낀 점은?

- 10년이라는 시간 동안 미적분에 대해서 접근할 일이 많이 없었는데, 제시된 문제에 대해서

학우분들과 상호 간에 공동으로 문제해결 방안을 고민하고, 개별 학습과 협동 학습을 통해 문제

해결하면서 수학에 다시 접근하는 데 큰 문제 없었던 것 같습니다.

함께 토론하고 문제해결에 도움을 주신 교수님, 학우님들께 감사한 마음이 큽니다.

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성균관대학교에 입학한 지 3개월이라는 시간이 흘렀습니다. 미적분학

의 다양한 수학적인 개념을 이해하고 토론하면서 많은 점을 느꼈지만,

특히 Sage code로는 누구나 문제를 풀 수 있습니다. 그러나 저희가

할 일은 여기서 멈추는 것이 아니라 반대로 안 되는 문제들에 대해서

는 어떻게 풀어나갈지에 대해서 수학적으로 고민을 하고, 이를 모듈화

함에 따라 저를 제외한 다른 학우님들이 사용할 수 있게 만드는 것이

중요하다는 것을 느꼈습니다.

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Ch 3장. Self Evaluation 1. (개인 성찰 노트)

[성찰노트]

※ 다음 항목들을 고려하여 자신의 학습 과정과 내용을 기록하시오.

1.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?.

네. 지금 5주 차까지 진행한 학습 내용을 모두 이해하고 교재에 있는 모든 예시문에, 응용문제,

열림 문제들을 직접 실습실에서 실행하고 수기 풀이와 영상을 병행하며 학습을 진행하여 학습

내용을 이해 및 숙지하였습니다.

13주차까지의 진행한 학습 내용을 매주 정리하며 질문사항이 있는 경우 바로 검색을 이용하여

질문하고 해결하였으며 실습한 내용을 QnA를 통하여 공유하며 진행하였습니다.

2.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습 방법 및 자료)

1. 학습 내용을 숙지하고 교제에 있는 코드를 이용하여 실습실에서 실행을 진행하였습니다.

2. 교제에 있는 링크를 이용하여 YOUTUBE에 있는 개념 영상과 참고 자료들을 이용하여 기본

개념을 숙지하였습니다.

3. 예시, 열린, 응용문제 중 풀리지 않는 문제들은 성균관 아이 캠퍼스 문의 게시판에 이해하지

못한 부분을 정리하여 글을 작성하고 교수님과 학우님들의 조언을 통하여 부족한 부분을 채웠습

Class

미분적분학1

Name/이름

이주한

ID

wngks4250@g.skku.edu

학습한 내용

함수, 역함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍공선함수 미분, 부정적분, 정적분, 극

솟값, 극대값의 개념, 수열의 극한, 순열, 조합, 고계도함수, 미분법칙, 접선의 방적식, 연쇄

법칙, 음함수, 매개변수 함수의 미분법, 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분

법, 선형근사, 뉴턴의 방법, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선함수 미분법, 평균값 정리, 부정형 극한에

대한 로피탈 법칙, 치환 적분법, 부분 적분법, 이상정분, 정적분의 성질, 적분 응용을 통한

함수/매개변수 의 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식, 극좌표의 그래프, 극좌표의 넓

이와 길이, 수열, 급수, 양항함수의 수렴/발산 판정법, 일반함수의 수렴/발산 판정법, 거듭

제곱 급수, 테일러 급수, 매클로린 급수, 테일러 정리

자기 점검표

활동(Activity)

Excellent

Good

Fair

1.

나는 개인학습을 할 때 다양한 학습 자료를 사용하였다.

O

2.

나는 새로운 정보와 지식제공에 기여하였다.

O

3.

나는 토의에 적극적으로 참여하였고, 토의의 촉진과 이해를 위한 적절한 질

문을 많이 제공하였다.

O

4.

나는 우리 반이 원활한 학습활동을 하는 데 기여하였다.

O

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니다.

4. 마지막으로 완벽히 이해한 문제나 부분들을 정리하여 성균관 아이캠퍼스 문의 게시판에 글을

작성하여 학우님들에게 공유하였습니다.

5. QnA에 다른 동료들이 모르는 점을 질문한 글을 확인하고 알고 있다면 답변을 달고, 모른다면

다시 확인하고 다른 동료들이 답변한 글을 확인하며 복습을 진행하였습니다.

6. 프로젝트를 진행하며 지금까지 배운 지식을 활용하여 새로운 문제를 제작하고 새로운 학습 방

법을 생각하며 다시 한번 복습하였습니다.

3.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

미적분학 1을 시작하기 전에는 파이선 등 코딩과 수학은 전혀 관계가 없는 과목, 방식 등으로 생

각하였습니다. 그래서 코팅을 통한 미적분학을 배우는 데 있어 걱정이 많았습니다. 미적분학조차

잘못하는 상황에서 코딩이라는 방식을 공부해야 하는 상황을 상상하였고 더욱더 어떤 방식으로 수

업이 진행될지 혼자 걱정하며 시작을 하였습니다. 하지만 본 강좌를 하면서 수학을 조금 더 편하

게 느끼기 시작하였고 남은 1학기 공부를 시작할 때와는 다른 기분을 가지고 재미를 느끼며 수학

이라는 학문을 공부하는 방식을 배웠습니다. 미적분이 어떠한 기여를 하는지 주변 일상생활에서

어떤 부분들에 활용되는지를 확인하였습니다. 다음 여름학기에 진행되는 미적분학 2의 내용을 미

리 준비한다는 생각으로 이번 PBL 보고서를 작성하여 제출하도록 하겠습니다.

4.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

제가 본 강좌를 진행하면서 모르던 문제들과 새로운 지식을 아이캠퍼스의 문의 게시판이라는 공

유의 장을 이용하여 어떤 학우는 공식을 보기 쉽게 정리하여 공유하고 어떤 학우는 모르는 문제

를 공유하여 다 같이 토론할 수 있도록 하셨고 어떤 학우는 본인이 확실히 학습한 내용을 정리

하여 공유해주시는 등 공유하면서 혼자서는 알 수 없었을 많은 정보와 지식을 보고 저 또한 공

유하면서 매우 효율적인 공부를 할 수 있었습니다. 미적분학 1을 하면서 처음으로 팀 프로젝트

를 진행하다 보니 제가 중간에 놓쳤던 부분들을 다시 점검할 수 있었고 다른 동료분들이 놓친

부분을 도와주며 서로에게 도움 되는 활동을 하였습니다.

5.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

이번에 배운 inverse hyperbolic function 등 다양한 함수를 코드를 이용하거나 실습실을 이용하

여 시각적으로 그래프를 그리는 방법을 숙지하였기 때문에 다른 사람들에게 제가 배운 함수들이나

공식들을 알려주거나 자료를 만드는 데 충분히 활용할 수 있다고 자신합니다.

미적분학 1을 학습하면서 배운 지식과 교수님께서 알려주신 html 만드는 법, sage 프로그램을 활

용하여 초등학생들이 수학을 배우면서 가장 먼저 배우는 사측 연산을 더 쉽게 배울 수 있는 프로

젝트를 진행하였습니다.

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6.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를 적으세

요.) : 1주 차와 2주 차까지는 어떤 방식으로 QnA를 진행해야 하는 건지 몰랐지만, 교수님의 설명을 지속

해서 듣고 조금씩 알아가는 과정이었습니다. 그리고 3주 차 4주 차부터는 조금 더 자신감 있게 질문도 드

리고 학우들에게 정보도 공유하면서 QnA 활동을 잘하였다고 생각합니다. 조금 아쉬운 점은 1주 차에 파

악하지 못한 부분을 빠르게 파악하고 진행하였더라면 더욱더 완벽한 활동을 할 수 있었을 거 같아 95점을

부여하였습니다.

중간고사 이후에도 지속해서 실습한 내용을 QnA를 통해 다른 동료들에게 공유하였으며 질문

사항이 있을 때 온·오프라인을 통해 즉각적으로 질문하였습니다. 또한 다른 동료들이 질문한

내용을 천천히 확인한 후 알맞은 답변을 하고자 노력한 학기였습니다.

100점.

7.

다른 학생에 대한 평가

저희 소재부품융합공학과 학우님들은 모두 배경지식이 다른 사람들이 모여서 지금의 강좌를 진행하고

있습니다. 정말 각각의 사람들은 마지막 공부가 10년이 될 수도 있고 1년일 될 수도 있는 상황에서 이

번 과정을 진행하며 학교 강의실에서 교수님들이 교육해주신 부분들을 서로 도움을 주면 교육을 수강하

였고 회사에서 따로 자습할 때는 서로 먼저 다가가 질문하고 알려주면 이제 막 5주 차가 지나가고 있습

니다. 코로나 상황으로 따로 밥 한 끼 먹기 힘든 상황이고 벌써 8명의 확진자 발생상황이지만 서로 조

금씩 도와가고 도움을 받으며 이제 학교 3년 과정을 시작하는 단계에서 벗어나고 있습니다. 비록 이제

시작이지만 함께 지금 미적분학 1을 수강하면 서로 도움을 주고받는 일이 끝까지 갔으면 좋겠습니다.

감사합니다.

중간고사 이후 학습 내용이 조금 더 어려워져 QnA를 통한 학습 내용 공유가 많이 줄어든 거 같습니다.

하지만 질문을 많이 하면서 그러한 부분들이 줄었고 다들 열심히 하는 모습을 옆에서 확인할 수 있었습

니다

100 점.

1.

나는 지금 수행되고 있는 학습의 진행내용을 이해하고 있는가?

: 네, 이해했습니다.

2.

어떤 방법을 통해서 학습하였는가? (학습 방법 및 자료)

1~6주 차에 대해서는 수학에 대한 기본개념들에 대해서 복습하며, 수학적 사고에 대해서 많은 고

민과 이야기를 나누었던 것 같습니다.

7~13주 차에서 대학 미적분학 과정에 대해서 새로운 개념을 동료들과 토론하고, 실제 코딩을 해

보면서 코딩으로 표현이 어렵거나, 계산 오류가 나는 것들에 대해서 왜 안되는지에 대해서 질문하

고 답하면서 깊은 내용을 알 수 있었던 것 같습니다.

[출처]

http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/ - 미적분학 1 (Calculus 1) 이상구 with 김응기, 이재화

https://mathbang.net/ - 수학방

https://www.youtube.com/results?search_query=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85 - 유튜브[수학

- 11 -

중독]

3.

본 강좌의 학습활동을 통하여 무엇을 배웠나?

마이스터고 졸업생으로 고등학교의 수학 과정 중 대부분을 못 들었기 때문에 대학미적분

에 대한 걱정이 앞섰습니다. 하지만 3주 동안 중3~고3 과정을 복습하면서 학생들 사이의

편차가 조금씩 줄어들고 있는 것을 느꼈고, 모르는 내용은 공부를 잘하는 학우들에게 물

어보고 답을 구하는 과정에서 개념들을 이해할 수 있었습니다. 수학은 어려운 계산 문제

를 푸는 것이 아니라 그 개념을 이해하는 것에 집중하고, 복잡한 계산 문제는 Sage를 통

해 실습하며 스스로 해결한 덕분에 수학에 대한 자신감이 생겼습니다. 학우들과 Q&A에서

토론을 하며 서로 모르는 것들을 학습하고 새롭게 알게 된 내용을 공유하며 모두 다 수학

에 대한 이해도가 높아지는 것을 느꼈습니다. 앞으로 더 어려운 내용을 배우겠지만 학우

들과 교수님과 함께 학습하면서 개념들을 깨우치는 데 집중하도록 하겠습니다.

: 1~6주 차 기간은 수학 주요 개념에 대해서 한 달 동안 집중해서 복습하였습니다.

주차별 수학적인 개념에 대해서 접근한 뒤, 다양한 응용문제를 수기로 직접 풀어보았습니다.

이후 Sage program을 통해 재확인하고 수기로 풀 수 없는 복잡한 문제까지 Coding을 통해 쉽게

답을 구할 수 있는 것을 확인하였습니다.

7~13주 차 기간에는 적분의 기본개념의 활용해 다양한 넓이, 회전체의 부피, 곡선의 길이를 계

산할 수 있었으며, 로피탈 법칙을 통한 부정형 극한의 판정, 양항급수에 대한 수렴/발산 판정법,

테일러 급수와 매클로린 급수 학습을 통해 좀 더 대학 미적분학에 가까워지고 있다는 것을 느꼈습

니다. 또한 7주 차에 접어들면서 문제가 복잡해짐에 따라 짜인 코딩으로는 웬만한 문제는 해결할

수 있지만, 풀 수 없는 문제들에 대해서는 컴퓨터가 읽을 수 있도록 수식을 변환해 주는 것에 대

해서 학습하였습니다.

4.

다른 동료들로부터 무엇을 배웠는가?

: 다양한 예시를 통해 생각하지 못했던 문제들을 주제로 토론하고 해답을 찾을 수 있었습니다.

5.

새롭게 배운 내용을 실제 생활에 어떻게 적용할 것인가?

: 개념에 대해서는 이해하고, Coding을 이용하여 계산이 어려운 문제에 대해서 해를 얻을 수 있다

는 것을 알았으니, 이를 이용하여 그동안 쉽게 지나쳤었고, 생각하지 못했던 문제들에 대해서 수

학적으로 접근해보려고 노력하고자 합니다.

프로젝트를 진행해보면서 Sage math를 좀 더 실제 생활에 적용이 가능할 것 같다는 생각이 들

었습니다. 작게는 현재 저희가 학습하고 있는 대학 물리에서부터 다양한 설계 커리큘럼에도 적용

이 가능할 것으로 생각했습니다.

1.

QnA 활동에서 자신의 역할과 기여도에 대한 평가(자신의 활동에 점수를 주고 그 이유를

적으세요.)

- 12 -

: 점수 (9.5/10)

학기 초에는 수학적인 기본개념에 대해서 정확히 이해하고 코딩을 이용해야 한다고 생각하여 주

로 공식 유도 및 증명에 대해서 많은 노력하고 공유하였으며, 7주 차 이후에는 문제들에 대해서

수학적인 사고방식으로 접근하여 코딩에 접목하였습니다.

Self Evaluation 2. (개인 성찰 노트 2)

[의견]

▶ 자체평가에 따른 잘한 점

: 온-오프라인 출석을 규칙적으로 하였으며, 동료에게 주차별 학습에 대한 기본개념에 관해서

설명하고, 심화 문제를 토론하였습니다. 동료 간 토론을 통해 문제에 관한 결과를 도출하며

학습하였습니다.

7주 차~13주 차 기간에는 여름 집중할 때 배울 다변수 미적분학에 사용될 테일러 급수와

매클로린 급수에 대해서 동료들과 토론하며 결과를 도출하였습니다.

▶ 자체평가에 따른 아쉬운 점

-

심화 문제에 대해서 질의응답에 대해서 심도 있게 고민해보지 않았던 것 같습니다. 수학적인

역량을 키워 앞으로 심도 있는 토론을 하도록 하겠습니다.

▶ 자체평가에 따른 잘한 점

과 목 명

미분적분학1

이 름

이주한

ID

wngks4250@g.skku.ed

u

평가항목

전혀

아니

다

아니

다

약간

아니

다

약간

그렇

다

그렇

다

매우

그렇

다

1.

온라인-오프라인 출석을 규칙적으로 하였다.

○

2.

QnA에 적극적으로 참여하였다.

○

3.

QnA 내용에 적합한 질문과 응답을 하였다.

○

4.

동료에게 도움이 되는 지식과 정보를 제공하였다.

○

5.

다른 동료의 의견을 존중하였다.

○

6.

QnA 운영 및 의견수렴과정에 긍정적으로 기여하였다.

○

7.

이번 강좌의 동료와 다른 수업도 듣고 싶다.

○

- 13 -

온라인- 오프라인 수업의 출석을 결석, 지각없이 매번 참석하였으며 QnA를 매주 4회 이상

참여하였습니다. 또한 QnA를 통해 모르는 점을 교수님과 학우분들에게 질문하였으며 다른

학우분들이 모르는 점을 조사하여 정리하고 답변하는 활동을 지속해서 진행하였습니다.

미적분학에 대하여 모르는 점뿐만 아니라 QnA를 어떻게 해야 하는지 답변의 정리는 어떤

방식으로 하는지 저의 방법을 다른 학우들과 공유하며 더욱더 나은 수업환경을 조성하기

위하여 노력하였습니다.

매주 3회 이상 QnA를 통해 학습한 내용을 공유하였으며 매주 1회 이상 다른 동료들이 작

성하고 공유한 것을 읽고 답변 및 질문하였습니다. 또한 프로젝트 리더를 하면서 주도적으

로 팀 프로젝트를 진행하면서 목표한 내용을 성공적으로 마무리하였습니다.

▶ 자체평가에 따른 아쉬운 점

아쉬운 점으로는 실시간 수업 중 질문을 하지 못하고 수업이 종료되면 질문할 거리가 생각이 나오

는 점이 아쉬운 점이라고 생각합니다. 아직 이 강좌를 시작한 지 얼마 되지 않았지만, 코로나 상

황으로 실시간 화상 수업을 진행하고 있지만, 강의실에서 다 같이 수업을 진행한다면 조금 더 활

발한 활동을 할 수 있을 것 같습니다.

중간고사 이후 학습 내용이 전보다 많이 어려워졌다고 생각합니다. 이러한 부분으로 중간고사 전

보다 QnA를 활발하게 진행하지 못하였습니다. 하지만 학습하고 실습한 내용은 줄었지만 어려운

부분이나 질문할 부분들이 많이 생겼습니다. 이러한 부분들을 교수님과 동료들에게 많이 질문한

기간이었습니다.

- 14 -

Self Evaluation 3. (개인 성찰 노트 3)

자신의 학습에 도움이 된 우수한/성실한 동 료 평 가

과 목 명

인공지능을 위한 기초수학 입문

피평가자(동료) ID

Best classmate

백승준, 전형준

평가자(작성자) ID

your name

이주한

평가항목

전혀

아니

다

아니

다

약간

아니

다

약간

그렇

다

그렇

다

매우

그렇

다

1.

온라인-오프라인 출석을 규칙적으로 하였다.

○

2.

QnA에 적극적으로 참여하였다.

○

3.

QnA 내용에 적합한 질문과 응답을 하였다.

○

4.

동료에게 도움에 되는 지식과 정보를 제공하였다.

○

5.

다른 동료의 의견을 존중하였다.

○

6.

QnA 운영 및 의견수렴과정에 긍정적으로 기여하

였다.

○

7.

이번 강좌의 동료와 다른 수업도 듣고 싶다.

○

[의견]

▶ 자체평가 중 잘한 점

: 학생들이 어떤 것을 궁금해하는지 잘 이해하고 있는 것 같으며, 적극적으로 문제

해결 및 토론에 임하는 자세가 모범이 되며, 앞으로도 많은 것을 여쭤보고 도움이 많

이 될 것 같습니다.

다른 동료들의 QnA들을 확인하고 추가적인 정리와, 질문들을 진행하여 QnA 글들의 완

성도를 높이고 저의 학습에도 많은 도음을 주셨습니다. 또한 온라인뿐만 아니라 오프라

인에서도 저의 모르는 점들을 알려주시고 많은 정보를 공유해주었습니다. 다들 처음 배

우는 내용들을 이해하고자 다들 매우 노력하면서 학습하였고 같이 공부하는 모습을 매일

보며 저 또한 같이 열심히 하였던 거 같습니다

▶ 자체평가 중 미비점

저의 질문들은 천천히 쉽게 알려주시며 요약과 정보 공유들 모든 것들을 잘해주었던 것

같습니다. 하지만 QnA에 답변 위주의 글로 요약 정리한 것을 많이 못한 것이 조금 아

쉽습니다.

- 15 -

Ch 1장. Participation [참여평가]

담당교수 또는 다른 학생들이 QnA에 업로드한 글에 자신의 Final Comment or Answer를 10개

이상 주시오.

(1) State more than 10 Math Definitions and concepts what you learned in Part 1, 2, 3,

...

1. 순열(Permutation)

: 순열(Permutation)이란 서로 다른 원소를 가진 집합에서 대상들을 선택하여 순서 있게 배열하는

것

2. 조합(Combination)

: 조합(Combination)이란 서로 다른 원소를 가진 집합에서 원소들을 택하여 만든 부분집합

3. 삼각함수 변수의 성질 (Trigonometric variables and properties)

: f(x) = sin(x) 그래프에서 변수

에 대한 각 변수의 성질에 대한 설명

[a : 진폭(lal) / b : 주기(2π/lbl)/ c : y절편 평행이동 / d : x절편 평행이동]

4. 지수함수 (Exponential)

①

일 때, 실수

에

의 값을 대응시키면 각각의

에 대하여

의 값이 단 하나로

정해지므로

는

의 함수

② 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

를 밑으로 하는 지수함수

5. 로그함수 (logarithmic functions)

①

이므로

에서

와

를 바꾸면 지수함수

의 역

함수

②

는

를 밑으로 하는 로그함수

- 16 -

6. 함수의 극댓값, 극솟값 판정

극대값 : 함수 f(x)가 좌우에서 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때 지점을 a라고 한다면 x=a에

극대가 된다고 하고, 함수의 f(a)를 극댓값이라고 한다.

극솟값 : 수 f(x)가 좌우에서 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때 지점을 b라고 한다면 x=b에 극

소가 된다고 하고, 함수의 f(b)를 극솟값이라고 한다.

7. 도함수를 이용한 극대, 극소의 판정

함수

가

에서 미분이 가능하고, x=a에서 극값을 가지면

이고,

의 좌우

에서 도함수

의 부호가

1) 양에서 음으로 바뀌면 함수

는

에서 극대가 된다.

2) 음에서 양으로 바뀌면 함수

는

에서 극소가 된다.

8. 등차수열 (arithmetic sequence)

첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이다, 두 항의 차이는 모든 연속하는 두

항들에대해서 공통적으로 나타는 차이를 공차(Common difference)라고 한다.

등차수열의 첫항을

, 공차를

라고 할 때, 일반항은

로 나타낼 수 있다.

9. 등비수열 (Geometric Progression)

각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열이다. 일정한 비를 공비(Common ratio)라고 한다.

등비수열의 첫항이

, 공비가

인 등비수열의

번째 항은

로 나타낼 수 있다.

10. 자연수 거듭제곱의 합

: 수열 에 대하여

의 합은

로 나타낼 수 있으며, 거듭제곱의 합은

아래와 같이 정의할 수 있다.

11. 역삼각 함수 (Inverse trigonometric function)

: 역삼각 함수(Inverse trigonometric function)는 삼각 함수(trigonometric function)의 역함수

이다. 삼각 함수는 전단사 함수가 아니기 때문에 역함수를 정의하려면 정의역(domain)을 제한하

는 것이 필요하다.

- 17 -

12. 쌍곡선 함수 (Hyperbolic function)

쌍곡선 방정식의 쌍곡선 좌표는 다음과 같이 sinh과 cosh 함수로 나타낼 수 있다. 원과 달리 θ는

쌍곡선에서 각도의 의미는 없다.

13. 역쌍곡선함수 (Inverse hyperbolic function)

역쌍곡선함수(Inverse hyperbolic function)는 쌍곡선함수(Hyperbolic function)의 역함수이다.

삼각 함수는 전단사 함수가 아니기 때문에 역함수를 정의하려면 정의역(domain)을 제한하는 것이

필요하다.

14. 함수의 극한 (Limit of a function)

독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워 질 때 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극

한이 존재하는 것을 수렴(convergence), 존재하지 않을 경우 발산(diffusion)한다고 한다.

극한의 기본 성질은 아래와 같다.

15. 연속함수 (Continuous function)

: 어떤 점에서 좌극한, 우극한 함숫값이 모두 존재하면서 값이 같으면 연속이라고 한다.

연속 함수에서는 위의 극한의 기본 성질이 적용된다.

- 18 -

16. 중간값 정리 (Intermediate value theorem)

: 구간에 정의된 실수값 연속 함수가 임의의 두 함수값 사이의 모든 수를 함수값으로 포함한다.

17. 고계도함수(high order derivatives)

: 함수 (x)를 미분 한 것이 일계 도함수 f'(x)이며 일계 도함수를 미분 한 것이 이계 도함수 f"(x)이

다. 어떤 함수를 n번 미분이 가능하고 원래 함수를 n번 미분 했을 때를 n계 도함수라 부르며 이

계 도함수 이상을 통틀어 고계도함수라고 한다.

18. 합성함수의 연쇄법칙(Chain Rule)의 원리

:미적분학에서, 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다.

19. 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법,

미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점

주변에서 1차 함수로 생각한다.

19.1.삼각함수(rigonometric function)의 미분(derivative)

- 19 -

삼각함수 미분

증명

19.2 역삼각 함수(Inverse trigonometric function)의 미분(derivative)

(a,b)에서 f’(

역삼각함수 도함수

19.3 지수함수와 로그함수의 미분

- 지수 함수(exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정

의하는 초월함수이다. 로그 함수(logarithmic functions)의 역함수이다.

지수함수 (Exponential)

①

일 때, 실수

에

의 값을 대응시키면 각각의

에 대하여

의 값이 단 하나로

정해지므로

는

의 함수

② 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

를 밑으로 하는 지수함수

지수함수의 미분공식

- 20 -

①

이므로

에서

와

를 바꾸면 지수함수

의 역

함수

②

는

를 밑으로 하는 로그함수

로그함수의 미분공식

20. 도함수 응용

함수

가

에서 미분이 가능하고, x=a에서 극값을 가지면

이고,

의 좌우에

서 도함수

의 부호가

1) 양에서 음으로 바뀌면 함수

는

에서 극대가 된다.

2) 음에서 양으로 바뀌면 함수

는

에서 극소가 된다.

21.1 2계 도함수의 응용

2계 도함수는

- 21 -

21. 미분을 이용한 선형근사 (linear approximation)

선형 근사(linear approximation)는 어떤 함수를 선형 함수, 즉 일차 함수로 근사하는 것을

말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 (미분 가능한) 함수의 그래

프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

22. 뉴턴의 방법 (Newton’s method)

미분 가능한 함수 f(x)의 해를 수치적으로 접근하고, 반복하여 근사해를 구할 수있게 하는 방법으

로, 앞서 학습한 선형근사함수를 활용하여 계산하게 된다.

- 22 -

이외 방법으로는 경사하강법 (Gradient Descent Algorithm)이 있다.

함수의 기울기를 낮을 쪽으로 계속 이동시켜서 극값에 이를 때까지 반복시키며, 제시된 함수의 기

울기로 최솟값을 찾아내는 머신러닝 알고리즘이다. 비용 함수(cost function)를 최소화하기 위해

매개 변수를 반복적으로 조정하는 과정이며, 학습을 통해 모델의 최적 파라미터를 찾는 것이 목표

이다.

23. 역도함수(anti derivative)와 부정적분(indefinite integral)

어떤 함수를 미분하는 과정이 있다면 이와 반대의 방향으로 미분하기 전 함수를 알아내는 과정이

있다. 함수 f(x)가 주어졌을 때 F'(x)=f(x)인 함수 F(x)를 구하는 것으로 함수 F를 f의 역도함수(ant

iderivative)라고 한다.

이를

로 나타내고

의 부정적분(indefinite integral) 이라 한다. 아래 관계식이

성립한다.

부정적분(indefinite integral)은 미분의 역연산이므로 모두 미분 법칙에 따라 쉽게 증명할 수 있

다.

- 23 -

24. 넓이 문제와 정적분(definite integral)

일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작게 나눈 기본 도형의

넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를

구하는 방법을 구분 구적법이라고 하며, 이를 개념화 한 것이 정적분(definite integral)이라 한다.

여기서 f(x)를 피적분함수, a와 b를 적분 한계, dx를 적분 변수이다.

25. 정적분의 성질

정적분에 관하여 다음 성질이 성립한다. 이는 정적분의 정의에 의해 직관적으로 이해할 수 있다.

- 24 -

26. 적분에 관한 평균값 정리

27. 이상적분 (Improper integral)

이상적분이란 일반적인 정적분의 정의로 구해지지 않는 상황에서 정적분의 값을 구하는 것을

말한다.

1)

아래 극한이 유한한 값으로 존재하면

다음과 같이 정의한다.

(2)

아래 극한이 유한한 값으로

존재하면 다음과 같이 정의한다.

- 25 -

(3)

가 모두 유한한 값을 가지면, 다음과 같이

정의한다.

28. 정적분을 응용한 넓이, 부피, 호의 길이

폐구간

에 속하는 모든

에 대해

와

가 연속이고

일 때, 곡선

와 직선

로 유계 된 영역의 넓이

는 다음과 같다.

곡선

29. 곡선의 매개변수방정식

곡선의 매개변수방정식이

이고

일 때 곡선이 꼭 한 번만 그려진다면,

정적분에 대한 치환법을 이용하여 다음과 같이 넓이 공식을 계산할 수 있다.

30. 회전체의 부피

회전체의 부피를 구하는 가장 기본적인 방법은 원판법이다. 회전체를 회전축에 수직으로 잘게

잘라서 더해주는 방법이다. 즉, 평행 축에 수직인 방향으로 자르기 쉬운 경우에 사용하는

방법이며,

함수

가

에서 연속이고

일 때,

로 둘러싸인

영역을

축 중심으로 회전시킬 때의 회전체 부피는 아래와 같다.

- 26 -

31. 원통 껍질 방법(shell method, Shell integration)으로 회전체의 부피 구하기

곡선과

과 직성,

)로 둘러싸인 영역을 축을 중심으로

회전시킬 때 생기는 입체의 부피는 다음과 같이 정의된다.

32. 곡선의 길이 (Arc length)

평균값 정리에 의해

을 만족하는

가 존재한다.

방정식이

인 곡선

의 길이(호의 길이, Arc length)

을 계산하는 적분

공식은 다음과 같이 쉽게 이해할 수 있다.

33. 매개변수 곡선의 길이 (Arc length)

곡선의 매개변수방정식이

이고

일 때 평면 곡선의 길이는 곡선 위의

점

에서 점

까지 호의 길이는 다음과 같다.

- 27 -

34. 곡면의 넓이 (Surface area)

곡선이 매개변수방정식으로 주어져 있을 때 회전체의 겉넓이는 아래와 같다.

33. 극좌표(Polar coordinates)와 극방정식

극좌표(Polar coordinates)는 한 점을 원점까지의 거리

과

축의 양의 부분에서 반시계방향으로

이루어지는 각도

를 이용하여

로 표현하는 방식을 말한다.

의 관계에 있을 때, 방정식

를 극방정식(Polar Equations)이라고 한다.

- 28 -

34. 극방정식에서의 접선(tangent line), 넓이(Area), 호의 길이(Arc length)

에 대한 접선을 구하기 위해

를 매개변수로 생각하고 곡선의 매개변수방정식을 다음과

같이 쓴다.

매개변수곡선의 기울기를 구하는 방법과 곱의 법칙을 이용하면 다음을 얻는다.

곡선

- 29 -

35. 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

35.1 수열(sequence)

자연수 1, 2, ...에 대응하여 무한히 나열한 수를 수열(sequence)이라 하고, 간단히

으로 표시한다. 이때

을 수열의 일반항이라고 한다.

35.2 급수(series)

무한수열의 각 항 을 합의 기호

로 연결한 식을 무한급수(infinite series) 또는 급수(series)

라 한다. 이때

을 급수의 일반항이라 한다.

무한급수의 제 항까지의 합을 부분합(partial sum)이라 하고 으로

표기한다.

35.3 급수의 수렴/발산

이

로 수렴하면 (

),

은 수렴(Converge)한다.

이 발산하면, 이 급수는 발산

(diverge)한다고 한다.

- 30 -

35.4 양항급수의 수렴 발산 판정법

모든 항이 0이상인 수열의 무한급수를 양항급수라고 부른다.

(1) 비교판정법 (comparison test)

(2) 극한비교판정법 (limit comparison test)

(3) 적분판정법 (integral test)

(4)

급수 판정법 (p-series test)

- 31 -

(5) 비(ratio) 판정법 (ratio test)

35.5 일반 급수의 수렴 발산 판정법

(1) 교대급수 판정법(Alternating series test)

(2) 절대비판정법(Absolute Ratio Test)

36. 거듭제곱 급수(Power Series)

다음과 같은 형식의 급수를

에 관한 거듭제곱 급수(power series, 멱급수)라 한다.

- 32 -

거듭제곱 급수

에 대해 다음 세 가지중 하나만 가능하다.

1)

일 때만 수렴한다. (

)

2) 모든

에 대해 수렴한다. (

)

3) 적당한 양수

이 존재해서

이면 수렴하고,

이면 발산한다. 이러한

을 거듭제곱 급수의 수렴 반지름(radius of convergence)이라 한다.

거듭제곱 급수(power series)

에 대하여

이면

비판정법을 이용하여 수렴 반지를을 구할 수 있다.

이다

37. 테일러 급수(Taylor series)와 매클로린 급수(Maclaurin series)

주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는

것을 말한다. 테일러 전개(Taylor expansion)라고도 부른다.

특히 a=0에서의 테일러 전개는 자주 사용되며, 이를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)

라고도 부른다.

38. 테일러 정리(Taylor's theorem)

어느 구간에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록

에 가까워지는 오차항(tru

ncation error)의 합으로 표현할 수 있다는 정리. 우리가 보통 테일러 급수를 통해서 함수를 근사

- 33 -

한다고 하는 것은 이 테일러 정리를 가리킨다.

'접선'을 통해 함수를 근사하는 선형 근사(linear approximation)를 일반화한 다항함수 형태이다.

(2) State more than 5 things that you know/can/find ... after you studied

the first Part 1, 2,..

1. 도함수 활용을 통한 함수의 극대, 극솟값 판정이 가능함.

1) 양에서 음으로 바뀌면 함수

는

에서 극대가 된다.

2) 음에서 양으로 바뀌면 함수

는

에서 극소가 된다.

2. 함수의 극한 수렴과 발산 판정이 가능함.

3. 역삼각함수가 되기 위한 정의역 구간 선정에 대해 이해함

4. 역쌍곡함수가 되기 위한 정의역 구간 선정에 대한 이해함.

5. 연속 함수의 좌극한과 우극한 확인 후 연속 함수 판정이 가능함.

6. 등차수열(arithmetic sequence)과 등비수열 (Geometric Progression)

가 주어졌을 때 n번째 항에 대한 수치 계산이 가능함.

- 34 -

1) 등차수열의 첫항을

, 공차를

라고 할 때, 일반항은

로 나타낼 수 있다.

2) 등비수열의 첫항이

, 공비가

인 등비수열의

번째 항은

로 나타낼 수 있다.

7. 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분 대해서 이해하였음.

8. 로피탈(L'Hospital) 법칙을 통해

꼴에 대해서 극한 판정이 가

능함.

9. 적분 응용을 통한 다양한 넓이, 회전체의 부피, 곡선의 길이 계산이 가능함.

10. 극좌표에 표기 법에 대해서 이해하고, 극방정식을 활용하여 그래프를 그릴 수 있음.

극좌표(Polar coordinates)는 한 점을 원점까지의 거리

과

축의 양의 부분에서 반시계방향으로

이루어지는 각도

를 이용하여

로 표현하는 방식을 말한다.

의 관계에 있을 때, 방정식

를 극방정식(Polar Equations)이라고 한다.

11. 양항급수에 대해서 5가지 판정법을 이용해 수렴/발산 판정이 가능함.

- 35 -

12. 일반급수에 대해서 2가지 판정법을 이용하여 수렴/발산 판정이 가능함.

- 교대급수 판정법(Alternating series test) - 절대비판정법(Absolute Ratio Test)

13. 테일러 급수(Taylor series)와 매클로린 급수(Maclaurin series)의 형태에 대해서 이해하고

표현이 가능함.

주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는

것을 말한다. 테일러 전개(Taylor expansion)라고도 부른다.

특히 a=0a=0에서의 테일러 전개는 자주 사용되며, 이를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin serie

s)라고도 부른다.

- 36 -

(3) State your meaningful Final Comment/Answer/Discussions in

Discussion/QnA.

1. 주기 함수의 정의

→ 주기 함수은 경우

가 정의 되는데, 이는 주기함수를 의미하며, 2차 함수의

경우 정적분을 통해 면적을 구할 수 있음을 확인하고 원리에 대해서 토론하였습니다.

2. 불연속 함수도 적분 가능성 토론

→ 모든 점에서 불연속인 함수는 항상 적분이 불가하나, 리만 적분이 가능한 함수가 가질 수 있

는 불연속점의 한정된 경우에만 가능하고, 이 경우 불연속 함수도 적분이 가능하다는 것을 배웠습

니다.

임경섭(2022####81)3월 9일 오후 8:45

주기함수의 정적분에 대해 공부할 수 있었습니다. 감사합니다!! 추가로 아래 응용문제 만들어주신

거에서 2가지가 궁금해서 질문남깁니다. 첫번째 질문 :-x^2+4*x 의 범위가 0에서 1까지인데 밑에

풀이 그래프는 0에서 2까지 그렸는데 범위랑 상관없이 만나는 점까지 그리는게 맞는건가요?? 두

번째 질문 : 함수가 모든실수에서 f(x) = f(x+4) 만족한다고하는데 x에 2를 대입할경우 f(2)=4 이고

f(6)=0인데 그래프가 맞게 그려진게 맞는지 궁금합니다.

이주한(2022####78)3월 9일 오후 9:39

첫 번째 질문 :-x^2+4*x의 범위가 0에서 1까지인데 밑에 풀이 그래프는 0에서 2

까지 그렸는데 범위랑 상관없이 만나는 점까지 그리는 게 맞는 건가요?? → 오타

네요. 수정해서 다시 올리겠습니다. 감사합니다.^^ 두 번째 질문 : 함수가 모든 실

수에서 f(x) = f(x+4) 만족한다고 하는데 x에 2를 대입하면 f(2)=4이고 f(6)=0인데

그래프가 맞게 그려진 게 맞는지 궁금합니다. → 제 의견을 말씀드리면 f(x) =

f(x+4) 라는 것은 주기 함수라고 정의한 것입니다. 말씀하신 "f(2)=4이고 f(6)=0"은

주기가 없을 때의 값입니다. 그러나, f(2)=4, f(6)=4 가 정의된다는 것은 즉 주기

- 37 -

함수라고 생각하시면 됩니다. 관련 Link)

https://www.youtube.com/watch?v=RQ9Y3s9S4H0

임경섭(2022####81) 3월 9일 오후 9:51

답변 감사합니다. 두 번째 질문은 문제에서 모든 실수에서 f(x)=f(x+4)에서 만족한다고 되어있는

게 f(x)=f(x+6)로 되어야 맞는 것 같아서 드린 질문입니다. 위에 그려주신 그래프를 보게 될 경우

f(6)과 f(12) 값이 0으로 같고 f(2)과 f(8)의 값이 4로 같은 것처럼 주기를 6을 나타내줘야 하는 게

맞는 것 같습니다.

이상구(LEE SANGGU)3월 10일 오전 8:07

Q1) 불연속 함수도 적분이 가능한가요? (앞으로 저희가 배울 내용인가요?) Answer : 모든 점에서

불연속인 함수는 항상 (Riemann Integral 관점에서) 적분 불가능합니다. 단 리만 적분 가능한 함

수가 가질 수가 있는 불연속점의 최대 Cardinality는 countable입니다. (불연속점 이 finite인 경

우는 대부분 리만 적분 가능하고, 불연속점이 countable인 경우는 리만 적분 가능한 일도 있고

아닌 일도 있습니다.) <--- 이런 내용은 수학과 전공 3학년 이상 학생 대상에서 가르치고, 보통

대학 1학년 미적분학에서는 모든 연속함수는 적분 가능하다는 것 정도를 배웁니다.

손혜원(2022####75)3월 10일 오후 4:19

주기함수의 정적분에 대해 쉽게 알 수 있었습니다. 감사합니다.

3. 쌍곡선함수의 공식 유도에 통하여 문의 답변

쌍곡선함수에서는 넓이를 정의하므로 양의 각(제1사분면)에서 대해서 계산하며,

가상의 삼각형 넓이 - 교점 호의 넓이 (적분) = 쌍곡선함수 넓이를 구할 수 있으며, 이를 각 X, Y

좌표에 대입하여 풀면, 현재 배우고 있는 쌍곡선함수의 식이 나옵니다.

※ 공식 유도과정

노영규(2022####70)3월 17일 오후 4:44

정리가 잘돼있어서 이해하는데 도움이 됐습니다. 감사합니다.

천혜준(2022####84)3월 17일 오후 4:56

쌍곡선 함수의 정의를 확인하고 삼각함수와 쌍곡선 함수를 다시 정리하였습니다. 감사합니다.

- 38 -

백승준(2022####74)3월 17일 오후 6:06

cosh 함수와 sinh 함수에서 e가 나오는 이유가 궁금했는데 그 배경을 알 수 있었습니다. 감사합

니다.

전형준(2022####82)3월 17일 오후 6:06

삼각함수와 쌍곡선함수에 대한 관계가 궁금했었는데 해당 내용들로 잘 인지할 수 있었습니다. 또

한, 쌍곡선함수가 왜 이러한 식들이 나올까 하는가에 대한 해답을 얻었습니다. 감사합니다.

손혜원(2022####75)3월 17일 오후 6:52

삼각함수와 쌍곡선함수의 정의를 비교해보고, 쌍곡선함수의 공식 유도 방법을 확인할 수 있었습니

다. 감사합니다.

윤관수(2022####77)3월 17일 오후 11:00

정리해주신 내용으로 쌍곡선함수의 공식 유도 방법에 대해 공부했습니다. 감사합니다

이상구(LEE SANGGU)3월 18일 오전 11:35

Finalize 하세요 유의미한 코멘트 준 학생들 이름 모두 더하시고, Final OK by SGLee 하세요.

================================================================================

1. 매개변수함수에 대한 곡선의 한 구간의 길이를 구하는 방법

열린 문제 2-2 (매개변수함수의 곡선길이)

f(t) = 1/2*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t/12)^5) *cos(t)

g(t) = 1/2*(exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t/12)^5) *sin(t)범위 : 0 ≤ t ≤ 31.42

- 39 -

final [HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길이, 곡면의 넓이), 먼

저,구하는 문제를 정확히 이해하는 것이 우선입니다. 답의 의미를 설명해 보세요 / 이주한씨는 이

문제 완전 해결을 Final 프로젝트로 마무리 하셔서 발표 하시기 바랍니다. 답변에 대한 추가 답변

-

이주한씨는 이 문제 완전 해결을 Final 프로젝트로 마무리 하셔서 발표 하시기 바랍니다.

이주한씨, 아래 그림을 보면 Arc length 를 구하기 위하여 (정리의 조건대로 한점에서 두 곡선이

만나지 않는) 구간들 4개 (1-2-3-4분면)로 구간 t를 나누어서, 각각의 길이를 구해서 두 배로 하

면 전체 길이를 구할 수 있지 않을까요?

^^ 다른 학생도 한 번 더 생각해 보시고, 답을 같이 만들어보세요^^

답변에 대한 추가 답변 - [HW W11] [열린문제2] 이주한, 천혜준, 전형준 적분의 응용 (곡선의 길

이, 곡면의 넓이), 먼저 구하는 문제를 정확히 이해하는 것이 우선입니다. 답의 의미를 설명해 보

세요

이상구(LEE SANGGU)5월 3일 오후 6:26

http://matrix.skku.ac.kr/KOFAC/ 에서 t 를 이동하면 어떻게 구간을 4개로 나누어 각각의

곡선 길이를 구하고 두 배를 하면 아래 그림의 곡선길이를 모두 구할 수 있을지 바로 이해가 될

것입니다.

var('t')

f(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*cos(t)

g(t) = 1/2*(exp(cos(t)) - 2*cos(4*t) + sin(t/12)^5)*sin(t)

df(t)=diff(f(t),t) dg(t)=diff(g(t),t)

p1=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,0, pi))

p2=parametric_plot((f(t),g(t)),(t,pi, 2*pi), color='red')

p1+p2 으로 그려보면, 전체 그림이 보여질 것입니다.

- 40 -

그럼 면적을 구하려면, 어디서부터 어디까지 적분하여 어디 면적을 구하여 각각을 두 배로 하면

전체 면적을 구할 수 있을 것입니다. 같은 방법으로 Arc length도 작은 조각 몇 개를 구하여 더

하고, 두 배로 하면 전체를 얻을 수 있는 것 아닐까요?

Final Final Comment

1. 2*pi 라는 전체 구간을 구하기 위하여 pi에 대해서 먼저 구하고 이에 대해서 2

배를 해주어 전체 구간의 매개변수 함수 곡선의 길이를 확인할 수 있었습니다.

2. solve 함수를 이용하여 f(t) = g(t) 구간을 가시적으로 확인할 수 있었습니

다.

2. (응용) 회전체의 겉넓이

final 이주한, 전형준, 이효민 [HW W11] [열린 문제3] 적분의 응용 (회전

체의 겉넓이)

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 5월 4일 오후 6:30

안녕하세요. 소재부품 융합공학과 이주한입니다.회전체의 겉넓이에 대한 요약 및 열린 문제 공

유해 드립니다.f(x) = tanh(x) 함수에 대해서 x의 구간을 지정하여 x축에 대한 회전체의 겉넓이

를 계산해보았습니다. tanh(x) 함수의 회전체의 경우 0 부근에서 정상적으로 회전체가 형성되지

않았습니다. 이전 논의된 바와 같이 0 ≤ x ≤ 2*pi에 대해서 정확한 면적을 구하고 이를 x2하여

-2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있었습니다.

1. 회전체의 겉넓이 수식

- 41 -

[열린 문제3] -2*pi ≤ x ≤ 2*pi에 대한 회전체의 겉넓이는 구할 수 없음.

f(x) = tanh(x) #f(x) 함수저장revolution_plot3d (f(x), (x, -2*pi, 2*pi), show_curve = True, o

pacity = 0.7, parallel_axis = 'x', aspect_ratio = [1, 1, 1]) # f(x) 함수[-2*pi≤x≤2*pi]에 대해

서 x축에 대해서 회전체를 형성한다.

- 42 -

f(x) = tanh(x)df(x) = diff(f(x), x) # f(x) 도함수 지정surface = numerical_integral(2*pi*f(x)*s

qrt(1 + df(x)^2), -2*pi, 2*pi) # integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2) 수식을 이용하여 f(x)[-2*

pi≤x≤2*pi]회전체의 면적을 구한다. print(surface)0 ≤ x ≤ 2*pi에 대해서 정확한 면적을 구

하고 이를 x2를하여 -2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있음

f(x) = tanh(x) #f(x) 함수저장

revolution_plot3d (f(x), (x, 0,2*pi), show_curve = True, opacity = 0.7, parallel_axis = 'x',

aspect_ratio = [1, 1, 1]) # f(x) [0 ≤x≤2*pi] 에 대해서 x축에 대해서 회전체를 형성한다.

f(x) = tanh(x)

df(x) = diff(f(x), x) # f(x) 도함수 지정

surface = 2*numerical_integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2), 0, 2*pi)

# integral(2*pi*f(x)*sqrt(1 + df(x)^2) 수식을 이용하여 f(x)[0≤x≤2*pi] 회전체의 면적을 하고 대칭이기 때문에 x2를 하면 정확한 면적을 구할 수 있다.

print(surface)

- 43 -

이상구(LEE SANG GU)5월 4일 오후 9:07

Nice try^^ 다른 학생들은 이해 안 되는 부분, 추가로 질문하시고, Final Comments 달아보

세요.

전형준(2022####82)5월 9일 오후 6:16

이주한 학우님이 올려주신 tanh(x)의 값 (-2*pi, 2*pi) 구간에서 sage프로그램에 넣어서 보면

0의 근사해를 볼 수 있었습니다. 근데 왜 이러한 값이 나오는지 궁금해서 구간을 (-2*pi,0) ,

(0,2*pi) 을 나누어서 겉넓이를 구해보니 서로 크기는 같고 부호는 다른 값들을 확인할 수 있

었습니다. 함수 f(x)의 값이 (-2*pi,0) 구간에서는 음수를 가지고 (0,2*pi) 양수를 가지는 원점

대칭의 함수이며 두 개의 구간을 구해 더하기 위해서는 abs를 사용하면 구할 수 있었습니다.

또한, 이주한 학우처럼 (0,2*pi) 적분값을 *2하여 값들을 확인할 수 있었습니다. 제가 생각한

객관적인 정보입니다. 틀린 부분이나 수정사항은 답글 남겨주시길 바랍니다. 이러한 실습을 할

수 있게 도와주셔서 감사합니다.

이효민(2022####80)5월 10일 오후 6:59

회전체의 겉넓이를 구하는 방법을 sage 실습 과정을 통해 알 수 있었습니다. 감사합니다.

Final Final Comment

tanh(x)함수의 회전체의 경우 0 부근에서 정상적으로 회전체가 형성이 되지 않았

습니다. 이전 논의된 바와 같이 0 ≤ x ≤ 2*pi에 대해서 정확한 면적을 구하고 이

를 x2를하여 -2*pi≤x≤ 2*pi를 구할 수 있었습니다.

3. 직교좌표 → 극좌표 변환의 한계에 관해서 토론하고 해결함.

[Final OK by TA] Finalize [HW W11] 극좌표 (Open Problem) 백승준, 이혜인, 노영규, 이주한,

손혜원, 김현구, 박경현, 전형준

안녕하세요. 소재부품융합공학과 이주한입니다..

이상구(LEE SANGGU)5월 9일 오후 7:47

직교좌표 (0, -12 ) 점을 극좌표로 손으로 구해보고, 또 코드를 고쳐서 구해서 정답을 구한 후 ...

코멘트 달아서 누가 Finalize 하세요.

https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2

- 44 -

1. 직교좌표 (0, -12) → 극좌표 (12, -pi/2)

2. [Sage code]

x, y = 0, -12 # x, y 좌표입력

- 45 -

r = sqrt(x^2 + y^2) # r 값계산

if x == 0 and y < 0:

theta = - pi/2

print("r:",r,",θ:",theta)

elif x == 0 and y > 0:

theta = pi/2

print("r:",r,",θ:",theta)

elif x == 0 and y == 0:

theta = 0

print("r:",r,",θ:",theta)

elif x < 0 and y < 0:

theta = arctan(y/x)-pi

print("r:",r,",θ:",theta)

elif x < 0 and y >= 0:

theta = arctan(y/x) + pi

print("r:",r,",θ:",theta)

else:

x > 0 and y > 0

theta = arctan(y/x)

print("r:",r,",θ:",theta)

Final Final Comment

아시다시피 코드에서는 arctan(x/y)에서 분모가 0인 꼴이기 때문에 계산이 되지

않습니다. 수기로 계산 후 코드 신규로 작성하여 공유드립니다. 문제를 수기로

풀면서 절대적으로 코딩에 의지해서는 안되며, 과정에 대해서 이해를하고 있어야

코딩도 짤 수 있다는 것을 느꼈습니다.

4. Multivariable Calculus 교제를 확인하고, 코딩의 우리에게 주는

의미에 대해서 토론

Final by 노영규, 조현준, 김지수, 윤관수, 손혜원, 이주한, [New Book] (다변수 미적분

학 & 코딩) Multivariable Calculus, ... 일본조차도 내후년 수능부터 코딩 관련 과목이

포함,

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 5월 4일 오전 10:03

Final by 노영규, 조현준, 김지수, 윤관수, 손혜원, 이주한,

- 46 -

[New Book] (다변수 미적분학 & 코딩) Multivariable Calculus

https://youtu.be/8qDXqX3XO5U

[New Book]

● (다변수 미적분학 & 코딩)

Multivariable Calculus (다변수 미적분학)

https://youtu.be/8qDXqX3XO5U

● (미적분학 & 코딩) 미적분학(Single variable Calculus)

2022년 강의록/실습실: http://matrix.skku.ac.kr/S-calculus/

문-이과 구분없이 모든 대학 신입생과 직장인을 위한 이번학기 강의실

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?blogId=ezstkr&logNo=222720449099&proxyRefe

rer=&fbclid=IwAR2_Upzbay09n7MMPm3PnMa8QUYqsuU7rBdzx44crmoaZlewB5GAII2ju1Y

새로운 지식이 학교로 들어가서 정돈되어 교수나 교사의 입을 통해 나올 시간이 없다.

그에 따라 IT 인력, 그중에서도 AI 인력들은 계속 품귀현상을 빚고 있다. 얼마 전 출범을 앞둔 새

정부에서 코딩과목을 수능에 포함하겠다는 대통령 공약을 뒤엎었다.

이유는 가르칠 교강사가 부족하다는 이유였다. 그렇다. 개발자도 부족한데, 개발을 아는 강사는

당연히 부족할 것이다. 단기간 충원도 가능해 보이지 않는다. 하지만 그렇다고 안하고 있어도 괜

찮을까? 수능에 포함한다는 것은, 일종의 메시지가 될 수 있었을 것이다. '앞으로의 세상은 이렇게

변합니다. 준비하세요.' 뭐 이렇게 말이다.

디지털 변화에 둔한 일본조차도 내후년 수능부터 코딩 관련 과목이 포함되며, 미국은 아이비리그

에 진학하려면 이미 수학과 IT가 필수이다. 미국은 STEM(science, technology, mathmatics) 교

육에 적극적인데 그중에서도 tech, IT의 중요도가 높다고 한다.정보가 빠르고 미래 변화에 관심이

높은 일부 학부모들은 그래서 IT를 사교육으로 해결하는 중인 것 같다.

학업 열기가 높은 일부 지역은 이미 6~70%가 IT 사교육을 받았거나 받고 있다고 한다. 공교육이

주춤한 사이, 디지털 디바이드는 이미 시작되고 있는지도 모르겠다.

- 47 -

매일경제, 2021년3월25일자 기사 중에서

이상구(LEE SANGGU)5월 1일 오후 12:46

,Casio/HP 공학계산기의 시대는 벌써 지나갔고, 이제는 스마트폰으로 모든 것이 수렴하는 시대이

니, 기능은 여러분이 직접 코드를 넣어서 만든 도구에 다 내장됩니다. 더구나 고쳐서 다른 상황에

대응할 수 있습니다. 기존의 공학도구는 새로운 환경에 적응을 전혀 못 하여, 멸종 쪽으로 가고

있답니다. Mathematica도 울프램알파로 완전히 방향이 바뀐 지 10~15년이 넘었습니다. 모바일

수학에 적응하실 것을 추천합니다^^ Answer by

노영규(2022####70)4월 28일 오전 00:41

이번에 제가 버스를 타고 인사캠퍼스를 가고 오는 도중에 모바일로 우리 강의를 보면서

바로 실습이 가능한 것을 보고 정말 놀랐습니다. 대중교통을 이용할 때 가방에서 노트북,

태블릿을 꺼내기 어려웠는데 언제 어디서나 내 손에 휴대가 가능한 핸드폰으로 학습을 하

고 바로 실습할 수 있고 추가로 명령어를 내 마음대로 수정하여 실행이 가능한 것을 보고

신세계를 느꼈습니다. 언제 어디서든 시간과 장소에 제한 없이 접근 가능하게 해주셔서

감사합니다.

조현준(2022####83)5월 2일 오후 3:08

사진은 조금 못 나왔지만, 미적분학을 배우는 이유부터 지금까지 배운 내용, 앞으로 배

울 내용들이 한눈에 보기 쉽게 정리되어 있어서 편리합니다. 교수님이 정리해주신 내용들

과 참고 사이트까지 함께 있어서 유용하게 사용하겠습니다. 감사합니다

김지수(2022####68)5월 2일 오후 3:16

배운 내용들을 한 번 더 복습할 수 있고 정리해주신 사이트를 통해서 예습과 복습을 같

이 할 수 있을 거 같습니다. 자주 보면서 활용하도록 하겠습니다. 감사합니다.

- 48 -

윤관수(2022####77)5월 2일 오후 4:18

올려주신 홈페이지를 통해 복습을 할 수 있었고 공부하는 데 도움이 많이 될 것 같습니

다. 감사합니다 !!^^

손혜원(2022####75)5월 2일 오후 5:05

굳이 책을 들고 다니지 않더라도 그동안 수업했던 내용들을 언제, 어디서든 확인할 수

있어 편리하였습니다. 감사합니다.

Final Final Comment

더 이상 책을 다니고 푸는 문제들이 아닌 미적분이 하나의

플랫폼 형태로 만들어지는 것을 보고 시대가 변화함에 따라

교육의 형태도 바뀐다고 느꼈습니다. 하루빨리 모바일 수학에

적응하여 많은 곳에 활용하도록 하겠습니다!

5. 바이어슈트라스 근사정리에 대해서 토론함.

[토론] '바이어슈트라스 근사정리' 또는 '스톤-바이어슈트라스 정리'에 대

하여 토론하세요

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 5월 14일 오후 8:42

[토론] '바이어슈트라스 근사정리' 또는 '스톤-바이어슈트라스 정리'에 대하여 토론하세요

1.수학자 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)가 1885년에 발표한 결과로 연속함수를 다항식으

로 근사할 수 있다는 것을 말해준다. 스톤(Marshall H. Stone)이 후에 이 결과를 확장하여

그 결과를 스톤-바이어슈트라스 정리라고 한다.

2. 여러분이 미적분학 1을 급수, 특히 학기 처음에 배운 다항식과 마찬가지로 다항식,

테일러 다항식으로 마무리하는 이유에 대하여, 토론해 보세요.

3. 이혜인 씨가, 이제는 복잡한 과정 없이 sage math를 이용하여 테일러 다항식을 쉽게 구할

수 있게 되었으니, I am happy. 여러분은 다항식의 모든 실근을 구할 수 있는 것을 3주 차

에 master 했습니다. 그러니까 다항식의 도함수의 실근들 즉 critical points도 모두 구할

수 있습니다. 따라서 2계도 함수의 해가 되는 변곡점도 모두 구할 수 있습니다. 따라서 이익

을 극대화 손해를 최소화 하는 문제를 단지 다항식에 대해서만 할 줄 알면. 모든 single var

iable 연속함수의 극대 극소 문제 에는 이미 여러분이 답을 줄 수 있게 되었다는 의미입니

다. 맞지요? 이 의미가 아주 중요합니다.

- 49 -

4." 왜 임의의 연속함수에 대하여, 근사한 다항식이 존재한다"라는 ' 바이어슈트라스근사정리'

가 중요한지에 대해 좀 더 얘기해 보세요.

5. Key. 수학자 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)가 1885년에 발표한 결과로 연속함수를 다

항식으로 근사할 수 있다는 것을 말해준다. 스톤(Marshall H. Stone)이 후에 이 결과를 확장

하여 그 결과를 스톤-바이어슈트라스 정리라고 한다.

6. 이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오전 7:33즉, 다항식에 대한 충분한 이해, 미분과 적분 등

의 계산 등에 능하면 (여러분이 지금 그 상태입니다. ). 모든 연속함수의 극대, 극소, 최다. 최

소, 면적, 길이, 부피 등 , 모든 관련문제 에 합리적인 답을 줄 수 있게 된 것입니다.

7. 등등 많은 추가 의견 보태보세요.

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 10:48

아마 이 Fact가 여러분이 어렸을 때부터, 2차다항식의 근의 공식부터 지금까지 많은 수학을

배워온 이유임이 느껴지나요?

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 11:22

우리가 이번 학기 배운 가장 중요한 것은. 예습하고, 수업 들으면서 수업 중에 질문하고, 또

이해될 때까지 QnA에서 질문하고 답하면서, 매달 이해한 내용들을 모아 보고서를 만들고 제

출한 후, 수정 보완하여, 발표하면서, 동료 평가 받으면, 적어도 본인이 이해하고 잘 정리하여

잘 발표한 내용에 대해서는, 각자가 충분히 자신감을 가져도 된다는 것입니다. 또 그런 자신

감을 바탕으로 팀 프로젝트도 수행해 가면서 각자는 실제 인생과 직업은 물론 자녀교육에도

도움이 될 수학을 <포기할 이유가 전혀 없습니다. > 이 과정에서 단순 계산은 이미 코딩이나

자연어 명령으로 로봇이나 인공지능에 시켜도 된다는 것도 여러분이 이해하게 한 것입니다.

이상구(LEE SANGGU)5월 14일 오후 11:25

https://ghebook.blogspot.com/2020/09/polynomial-interpolation.html?m=1

Final Final Comment

한 점에서의 미분의 불가능성이 있기에 근사한 다항식이 존재한다는 것이 중요하다는 생각이

들었습니다. 미분이 불가능한 것에 대해서 멈추지 않고, 미분이 불가능한 점을 제외하면 미분

이 가능한지를 확인하기 위해 근사 다항식을 알아야 할 것 같습니다. 때문에 '바이어슈트라스

근사정리'가 중요하다고 생각합니다. 코딩을 통해 수학을 배우면서 단순히 코드만 돌리는 것이

아니라 함수의 특성을 이해하고 이러한 점들을 찾아내는 것 또한 학습 시 할 일이라고 생각합

니다. https://www.instiz.net/pt/6343057

등록

이상구(LEE SANGGU)4월 24일 오후 3:50

다 잘했습니다. 그러나 f(x)가 항상 정의된다고 f'(x) 가 항상 정의되는 것이 아니라 이 경우는

f(x)가 다항식이라 f'(x) 가 항상 정의되는 것입니다. 그래서 다항식이 미적분학에서 중요합니

다. 바이어슈트라스 근사 정리(Weierstrass's Approximation Thm) 가 그 답을 줍니다.

- 50 -

이주한(2022####78)4월 25일 오전 9:22

이상구(LEE SANGGU)4월 24일 오후 3:50 다 잘했습니다. 그러나 f(x)가 항상 정의된다고 f'

(x) 가 항상 정의되는 것이 아니라 이 경우는 f(x)가 다항식이라 f'(x) 가 항상 정의되는 것입

니다. 그래서 다항식이 미적분학에서 중요합니다. → 교수님, 저는 f(x)가 연속함수일 경우 f'

(x) 가 항상 정의된다고 이해했는데, 같은 이야기인가요?

이상구(LEE SANGGU)4월 25일 오후 12:44

다른 얘기이고, 말씀하신 문장은 틀린 생각입니다. 1. f(x)가 연속함수여도 뾰족뾰족한 연속함

수이면 그런 점에서 f'(x) 정의 안 됩니다. 2. 미분 가능하면 연속이지만…. 역은 성립 안 합니

다.

Final OK by TA ^^ [Finalize] 손혜원, 노태완, 이주한, 전형준 A Stud

y on Textbooks and Languages Used in College Mathematics Edu

cation / 미적분의 쓸모는?

작성자 : 이주한(2022####78)작성일 : 4월 28일 오후 3:43

A Study on Textbooks and Languages Used in College Mathemati

cs Education / 미적분의 쓸모는?

작성자 : 이상구(LEE SANGGU)작성일 : 4월 22일 오전 10:49

대학수학교육에서의 교과서 및 사용 언어에 관한 연구

A Study on Textbooks and Languages Used in College Mathematics Education

https://www.kci.go.kr/kciportal/ci/sereArticleSearch/ciSereArtiView.kci?sereArticleSe

archBean.artiId=ART002827418

수학교육 논문집

2022, vol.36, no.1, 통권 89호 pp. 73-88 (16 pages)

발행기관 : 한국수학교육학회20220421_114348.jpg

미적분의 쓸모는 어디까지일까?[이기진 교수의 만만한 과학]

동아일보

입력 2022-04-22 03:00:00

- 51 -

https://www.donga.com/news/Opinion/article/all/20220421/113018220/1누구나 “이거

다!” 하는 때가 있다. 소설가는 한 인간의 서사를 들을 때, 시인은 이제껏 존재하지 않던 은유

가 떠오를 때, 사진가는 빛이 만드는 공간을 볼 때, 정치인은 역사적 소명을 마주할 때가 바

로 그때일 것이다. 물리학자인 나에게도 기억에 남는 장면이 있다.

고등학교 때 친구 집에 놀러 가서 친구 형님의 책상을 보게 되었다. 책상 위엔 종이가 어지럽

게 널려 있었다. 그 종이 위엔 지우개로 지워 가며 연필로 푼 미적분 문제들로 가득했다. 친

구의 형은 한 회사의 사장이었다. 퇴근하고 미적분을 푸는 게 취미라고 했다. 그 이야기를 듣

는데 그렇게 멋있을 수가 없었다. 퇴근하고 밤늦게 책상에 앉아 어려운 미적분 문제를 푸는

게 취미라니. 그 친구의 형을 직접 만나 보지는 못했지만, 그날 이후 나도 그런 멋진 사람이

되길 꿈꿨고, 수학을 좋아하게 되었으며, 그 멋짐을 내 삶의 가장 아름다운 가치로 생각하게

되었다.

우리 삶은 끊임없는 움직임 속에 있다. 나 자신도, 우리가 바라보는 세상도 움직인다. 이런

변화엔 물리적 규칙성이 있다. 매일 아침 해가 뜨고, 태양과 지구는 자신만의 규칙적인 운동

을 통해 계절을 만들어낸다. 그렇다. 우리는 수학적 규칙을 따르는 질서정연한 태양계에 살고

있다. 이런 움직임을 간단명료하게 설명하는 수학이 바로 미적분학이다. 미적분을 발견한 뉴턴

은 이를 토대로 해서 우주의 작동 원리를 만유인력의 법칙으로 설명했다. 만약 미적분학이라

는 수학이 없었다면 우리는 세상을 어떻게 설명할 수 있었을까?

얼마 전 블랙홀을 연구하던 제자가 학교에 와서 후배들과 함께 세미나를 했다. 그는 블랙홀

연구로 박사학위를 따고 난 다음 유명 포털 회사에 취직한 상태였다. 아인슈타인의 상대성이

론을 이용해 블랙홀을 연구하다가 세상의 온갖 데이터를 연구하는 데이터 과학자로 변신한 것

이다. 그는 인공지능(AI) 컴퓨터 시스템을 응용해 데이터를 분석하는 프로그램을 개발하고 있

다고 얘기했다.

블랙홀 연구에 사용하는 수학적 방법과 포털 사이트의 수많은 데이터를 분석하는 수학적 방법

은 유사하다. 데이터 과학자들은 블랙홀을 설명하는 운동 방정식을 이용해 포털이 만들어내는

복잡한 데이터를 분석한 후 원하는 정보를 얻어낸다. 물리학이 실험과 이론을 수학으로 연결

시켰다면, 데이터 과학은 컴퓨터가 이해할 수 있는 코딩 언어와 정보를 수학으로 연결시킨다.

공통점은 수학이라는 언어다. 다루는 문제가 복잡하고 클수록, 복잡한 문제를 잘게 쪼개서 단

순하게 바꾸는 미적분학은 문제를 푸는 과정에서 큰 위력을 과시한다.

모든 것이 전산화되고 자동화되면서 세상이 빠르게 변하고 있다. 시공간의 제약을 없애주는

플랫폼 확장 가상 세계, 인간의 지능의 한계를 없애주는 인공지능, 중앙집권화를 없애주는 블

록체인 등 우리가 아는 세상의 개념이 이진법의 세상으로 빅뱅처럼 확장되고 있다. 내 인생을

바꾼 미적분학은 구석구석에 스며들어 변화를 이끄는 중이다.

파일 다운로드) KCI_FI002827418. pdf

이상구(LEE SANGGU)4월 23일 오후 7:29

The_rise_of_calculus https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_

calculus/ 미적분학의 역사

- 52 -

손혜원(2022####75)4월 24일 오전 11:22

교수님이 올려주신 논문인 "대학수학교육에서의 교과서 및 사용 언어에 관한 연구" 를 읽고

느낀 점입니다.

저는 "수학을 한다는 것은 수학적으로 사고한다는 것을 의미한다. 대부분 국가의 초·중등

학교 수학교육에서는 교과서와 교수 언어 및 평가가 대부분 자국어로 이루어지므로, 수학을

읽고, 쓰고, 듣고, 말하면서 수학교육이 이루어진다. 즉 다양한 맥락과 연관된 인쇄 및 필기

자료를 활용하여 수학적 교수학습 내용을 이해하고, 해석하고, 만들어내고, 소통하고, 계산하

는 능력을 키운다. 수학 선진국의 경우, 대부분 자국어로 쓰인 우수한 대학 학부 수학교재를

가지고 있다. 그러나 우리나라의 경우, 수학과 전공교재로 외국산 수입 교재 또는 번역서를

사용하는 비율이 높은 편이다. 본 연구에서는 프랑스 부르바키의 사례에서 보듯이, 양질의 자

국어 대학수학 교재의 중요성과 대학수학교육에서 사용하는 언어가 국가 수학 경쟁력에 미치

는 영향에 관하여 연구하였다" 란 부분이 인상적이었습니다. 뒤늦게 대학에 입학해 여러 가지

과목을 배우면서 여러 교재를 이용하고 있습니다. 그런 와중에 느낀 점이 몇몇 과목은 단순

번역서의 느낌이 강하게 든다는 것이었습니다.

관련된 문제를 풀어볼 때도 실제론 어렵지 않은 내용이지만 문제가 말하는 바를 파악하는

것이 더 어렵다고 생각할 정도로 대충 번역된 부분들이 있어 그를 파악하면서 오히려 교수님

께서 설명해주신 내용이 미궁에 빠지는 느낌을 적잖이 받기도 했습니다. (그러나 우리가 배우

는 <미적분학 1 with SageMath> 는 정말 한 번만 읽고 직접 따라 해보면, 그 의미와 내용이

바로 이해가 되었습니다) 이런 과정을 겪으며 왜 대부분 대학에서는 번역서를 이용해 수업하

는 것인지 의문이 들었습니다. 제가 만약 영어를 잘한다면 그냥 원서로 공부하는 것이 나을

것 같다는 생각도 했습니다. 그런 와중에 관련된 논문을 올려주셔서 매우 공감되었습니다. 그

러면서도 논문이 쓰였다면 문제를 인식한 사람이 있다는 것이므로 다음 세대가 대학교육을 받

을 때는 한글로 된 교재로 수업하는 일이 흔한 일이 될 수도 있겠다는 기대를 하게 되었습니

다. 좋은 논문을 (직접 써 주시고, 또) 공유해주셔서 감사합니다.^^

노태완(2022####71)4월 24일 오후 1:17

교수님의 올려주신 미적분학의 역사를 읽고 느낀 점입니다. 기원전부터 이어져 온 미적분학은

16세기에 본격적으로 진전이 이루어졌다는 사실을 알게 되었습니다. 여러 수학자와 더불어 뉴

턴과 라이프니츠 각자의 미적분학의 접근 방법들을 확립시켜 17세기를 지나 18, 19세기 그리

고 현대에까지 사용되는 미적분학의 역사를 알 수 있었습니다.

이상구(LEE SANGGU)4월 24일 오후 3:48

질문. 왜 대부분의 대학에서는 대학교재를 원서나 번역서를 이용해 수업을 하는 것인지 의문

이 들었습니다. 답. 우리가 창조한 지식이 아닌 경우, 용어와 설명이 그 나라 말로 새롭기 창

조된 것이기 때문에, 다른 나라 말로 설명하면서 정확히 전달이 안 되는 경우가 많기 때문입

니다. 특히 새로 만들어진 외국 용어는 그 의미를 정확히 전달하는 해당 나라 (우리나라 포함)

- 53 -

용어가 아직 정립이 안 된 경우가 많습니다. 다른 모든 수학 선진국들도 온 세계의 수학적 발

견과 기여를 학습하면서 발전하는 과정에서) 이런 과도기를 성실하게 거쳐서 그 용어와 개념

이, 온전히 자신의 나라의 언어로 모두가 쉽게 이해하는 단계에 도달한 후에, 그 이해를 바탕

으로 새로운 창조를 통하여 기존의 리딩 국가를 따라 잡은 것입니다. 수학의 경우 미국이 200

년 전 100년까지도 (프랑스, 독일, 영국으로부터 무시당하던 ) 수학 후진국이었습니다. 그런

미국이 프랑스 수학, 독일 수학, 러시아 수학 등을 이해하기 위하여 자신의 언어 (영어) 쉽고

다양하게 번역하여 책을 쓰고 가르치고 배운 사람이 다시 더 싶고 명확하게 고쳐서 설명하는

충분한 과정을 거쳐 프랑스와 독일 수학 및 다른 경쟁하던 나라를 20세기 말에 대부분 넘어

서고, 그런 수학 경쟁력을 바탕으로 산업, 경제, 군사력에서 21세기 초 세계 최강대국 자리를

차지한 것이랍니다.

전형준(2022####82)4월 25일 오전 11:43

우리가 배우는 수학은 어느 곳이나 살펴보면 있는 것이지 않을까 싶습니다. 과거를 통해 그것

을 알 수 있고 미래에는 이보다 더욱 큰 영향을 줄 수 있겠다는 생각이 듭니다. 현대과학은

엄청나게 발전되어있고 복잡하기까지 합니다. 여러 가지의 학문이 융합되어 있고 그것을 이해

하는 것은 무리가 될 수 있습니다. 하지만, 대부분 공학의 기초는 수학이라고 생각하고 수학

을 잘해야 다른 분야도 쉽게 다가갈 수 있다고 생각합니다. 좋은 글을 통해 현대에서도 수학

의 중요성을 알 수 있었습니다. 감사합니다.

Final Comment

데이터 과학은 컴퓨터가 이해할 수 있는 코딩 언어와 정보를 수학으로 연결시

킨다. 공통점은 수학이라는 언어다. 다루는 문제가 복잡하고 클수록, 복잡한 문

제를 잘게 쪼개서 단순하게 바꾸는 미적분학은 문제를 푸는 과정에서 큰 위력

을 과시한다. 저희가 배우고 있는 것이 중,고등학교때 배웠던 일반적인 수학이

아니라 앞으로 나라의 발전에 기여를 할 수 있는 수학이라는 것을 느꼈습니다.

좋은 글 감사합니다.

[The First or The Best!]

- 54 -

Ch3. Quiz

1. 관심 있는 기계, 기술을 선정하여 기계, 기술 등에 적용된 수학적 지식이

무엇인지 간단하게 설명하고 공유하였는가? → True

2. 12주/3달간 교육한 내용 중 가장 어려웠던 개념을 정리하여 PBL 보고서

에 추가하고 정리하여 발표 동영상에서 설명할 것이다. → True

3. (True/False). 10pts

(After studying the 1-12th week lecture, I did 2-10 online activi

ties every week (summary/code practice/question/answer) on the b

ulletin board.(QnA)본인은 1~12주차 강의를 학습한 후, 게시판에서 매주

(주차학습요약/Code실습/질문/답변 중) 4~6개 정도=Total more than 40~

80 회의 온라인활동을 하였다 → True

4. (True/False). 10pts

After learning the lectures in Weeks 1-12, I did add my online a

cademic activities regularly in EVERY WEEKs (self-introduction/stu

dy motivation/summary of parking learning/code practice/question

/answer) on the bulletin board every week.

본인은 1-12 주차 강의를 학습하면서, 매주 게시판에서 꾸준한 온라인활동

(학습동기/주차학습요약/Code실습/질문/답변 중)을 하였다. → True

5. 본인은 1-12주차 강의를 학습하면서, 교제에 있는 open problem에 대

해서 실습하고, 매주 1개 이상의 온라인 활동(Code실습/답변/질문)을 하였

다. → True

6. 1-12주차에 배운 내용에 대해서 Sage program을 이용해 타교제를 참

고하여 심화 문제에 대해서 쉽게 답을 구할 수 있음을 확인하였다. → Tr

ue

7. 1-12주차에서 배운 내용에 대해서 실생활에서 어떤식으로 활용이 되고

있는지 2가지 이상 공유하고 토론하였다. → True

- 55 -

8. 나는 프로젝트를 잘 마무리하여 제출하고, 수정 보완하여 발표할 것이다.

→ True

9. (True/False). 10pts.나는 이제 1-12 주차 학습을 통해 수학적 개념을

이해하고, 다른 학생(타인)에게 설명이 가능하다. → True

10. 나는 이제 교재 이외에 보다 복잡한 문제를 코딩을 활용하여 해결이 가

능한가. (교재에서 학습한 수학적 개념을 이용하여 해결) open problem의

문제들을 sage프로그램에 대입하여 풀 수 있다. → True

11. 교재에 제시된 예제 문제의 코딩 명령어 를 수정하여 유사한 관련 문제

대부분은 해결할 자신이 있다. (문제 해결의 접근 다양화) → True

12. 이번 학습을 통해 다음 학년들에게 해당 내용들을 설명하고 수업진행방

식에 대한 도움을 줄 수 있다. → True

13. 나는 미분적분학을 배우는 이유를 이해하여 설명할 수 있다. → Tru

e

- 56 -

Ch 4장. PBL Participation/Activity Part (30점)

(4장. 학습활동 참여 부분)

중간고사 이전까지 QnA를 통하여 논의에 참여했던 내용에 자신도 참여했던 것 모두와 기타 자신

이 제공한 유의미한 정보 또는 그것에 자신이 참여한 부분을 모두 아래에 정리하시면 됩니다. (20

점)

[Part1] - 중3 / 고1 수학

1. 제곱근 (Square root)

. 어떤 수 x를 제곱하여 a가 되었을 때의 x값 :

→ 제곱근 a 또는 루트 a (a ≥ 0)

2. 인수분해 (Factorization)

: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것

. 공식

-

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=ZpHUEC5AC6c&t=252s

3. 이차함수 (Quadratic function)

. 함수 y=f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때의 함수

- 일반형 : y=ax²+bx+c (a≠0) - 표준형 : y=a(x-p)²+q (a≠0)

1) 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p>0, q>0

2) 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p<0, q>0

3) 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p<0, q<0

4) 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p>0, q<0

- a>0 : 아래로 볼록한 그래프

- a<0 : 위로 볼록한 그래프

-｜a｜가 커질수록 그래프의 폭은 좁아진다.

4. 다항식의 나눗셈

. 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면,

- A = BQ + R (B ≠ 0)

5. 이차방정식의 실근, 중근, 허근, 판별식

. 이차방적식 ax²+bx+c=0 (a,b,c,는 상수 a≠0)에서 b² - 4ac : 이차방정식의 판별식

- b² - 4ac > 0 : 서로 다른 두 실근

- 57 -

- b² - 4ac = 0 : 서로 같은 두 실근 (중근)

- b² - 4ac < 0 : 서로 다른 두 허근

6. 수직선 위의 선분의 내분점과 외분점

. 내분점 공식

. 외분점 공식

7. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리 (PQ)

.

8. 원의 방정식

. 원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식

[Part2] - 고2 수학1, 수학2

1. 지수함수 (Exponential function)

. a를 양의 상수, x를 모든 실수값을 취하는 변수라 할 때

로 주어진 함수

. 지수법칙

2. 로그함수 (Logarithm function)

. 지수함수의 역함수로

=

를

=

로 나타낸다.

- 밑조건 : a>0, a≠1 / 진수조건 : b>0

3. 상용로그 (Common logarithm)

.

와 같이 10을 밑으로 하는 로그

4. 로그/지수 방정식 : 로그/지수에 미지수를 포함한 방정식

5. 로그/지수 부등식 : 로그/지수에 미지수를 포함한 부등식

6. 삼각함수 (Trigonometric functions)

. 각의 크기에 따라 변하는 삼각비를 나타내는 함수

7. 수열 (Sequence)

. 어떤 규칙에 따라 차례대로 나열된 수의 열

- 등차 수열 : 이웃하는 두 항 사이의 차가 일정한 수열

- 등비 수열 : 이웃하는 두 항 사이의 비가 일정한 수열

8. 함수의 극한 (limit of a function)

. 수렴 : 함수 f(x)에서 x의 값이 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값

이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 α에 수렴한다.

α : x=a에서의 극한값 또는 극한

. 함수

(

는 상수) 일 때에는 임의의 실수 a에 대하여 다음이 성립한다.

- 58 -

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=nKScxhbE7Cc&list=PLXJ3W1lEGK8W56nIWi8pTVbnT_3mmm3nJ

. 발산 : 함수 f(x)가 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. (양의 무한대 or 음의 무한대)

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=rxNlfJD-s8Q&list=PLXJ3W1lEGK8W56nIWi8pTVbnT_3mmm3nJ&index=2

. 함수의 극한값의 계산

1)

꼴의 극한값

① 유리함수의 경우 : 분모, 분자를 인수분해하고 약분한다.

② 무리함수의 경우

: 분모 또는 분자 중 근호 (

)가 있는 쪽을 유리화한 후 약분한다.

2)

꼴의 극한값

: 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항으로 나눈다.

3)

꼴의 극한값

: 근호가 없는 다항식은 최고차항으로 묶고, 근호가 있을 때는 유리화한다.

4)

꼴의 극한값

: 통분 또는 유리화하여

. 미정계수의 결정

1)

의 꼴

2)

의 꼴

. 함수의 극한의 대소 관계

- 59 -

1)

2)

9. 평균변화율

. 독립변수의 변화량에 따른 종속변수의 변화량의 비

(

)

10. 미분계수 (differential coefficient)

. 평균변화율의 독립변수의 변화량이 0으로 다가갈 때의 극한값

11. 미분가능성과 연속성

. 함수

가

에서 미분가능하면,

는

에서 연속

※ 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

12. 도함수 (derivative)

. 미분가능한 함수

의 정의역에 속하는 모든 x에 대하여 미분계수

를 대응시키는 함수

. 함수

1) 함수

2) 함수

3) 함수

13. 접선의 방정식

. 미분가능한 함수

의

에서의 미분계수

는 점

에서의 접선의 기울기

1) 접점이 주어지는 경우

2) 기울기(m)가 주어진 경우

(단,

)

3) 곡선 밖의 한 점 (p,q)이 주어지는 경우

(단,

가 성립)

14. 롤의 정리

. 함수

가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때,

이면

인 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

15. 평균값 정리

. 함수

가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때,

인 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

16. 함수의 증가와 감소

. 함수

가 어떤 구간의 임의의 두 수 x₁,x₂에 대하여

1) x₁ < x₂ 일 때,

이면

는 이 구간에서 증가

- 60 -

2) x₁ < x₂ 일 때,

이면

는 이 구간에서 감소

[참고]https://www.youtube.com/watch?v=MkbhpEfr65w&list=PLXJ3W1lEGK8W56nIWi8pTVbnT_3mmm3nJ&index=23

17. 함수의 극대와 극소

. 함수

에서

를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여

1) f(x) ≤ f(a)이면 함수 f(x)는 x=a 에서 극대가 되고, 그 때의 함숫값 f(a)는 극댓값이다.

2) f(x) ≥ f(a)이면 함수 f(x)는 x=a 에서 극소가 되고, 그 때의 함숫값 f(a)는 극솟값이다.

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=Xa16IyL9oJY&t=1s

18. 극값과 미분계수

. 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f’(a) = 0이다.

19. 함수의 최대와 최소

. 함수

가 닫힌구간 [a,b]에서 극값을 가지면,

1) f(x)의 최댓값은 극댓값과 f(a), f(b) 중에서 가장 큰 값

2) f(x)의 최솟값은 극솟값과 f(a), f(b) 중에서 가장 작은 값

. 함수

가 닫힌구간이 아닌 구간에서 정의된 경우 최댓값 또는 최솟값이 존재하지 않을

수도 있다.

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=lodS3P1AZ2o&t=24s

20. 부정적분 (Indefinite integral)

. 미분을 하여 f(x)가 되는 함수

- 61 -

. 함수

21. 정적분 (Definite integral)

. 열린구간 (a,b) 에서 연속일 때 부정적분 중 하나인 F(x)에 대하여 F(b) - F(a) 한 값

22. 곡선과 x축 사이의 넓이

. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속일 때 도형의 넓이 S

23. 두 곡선 사이의 넓이 : 두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속일 때 도형의 넓이 S

[Part3-1] - 고3 미적분

1. 수열의 수렴

. 수열

에서 n이 한없이 커질 때, 일반항이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 수열

은 α에 수렴한다고 한다.

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=T7KRCjx8Zgs&list=PLXJ3W1lEGK8ULz2WP-Zd732UivspNwmRr&index=1

- 62 -

2. 수열의 발산

1) 수열

에서 n이 한없이 커질 때, 일반항의 값이 한없이 커지면 수열

은 양의 무한

대로 발산한다.

2) 수열

에서 n이 한없이 커질 때, 일반항의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지

면 수열

은 음의 무한대로 발산한다.

3) 수열

이 수렴하지도 않고, 양/음의 무한대로 발산하지도 않으면 진동한다고 한다.

3. 수열의 극한

. 수열의 극한의 성질

- 수열

1)

2)

3)

4)

. 수열의 극한값의 계산

1)

꼴 : 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나눈다.

(분자의 차수) > (분모의 차수)

(분자의 차수) = (분모의 차수)

= (최고차항의 계수의 비)

(분자의 차수) < (분모의 차수)

= 0

2)

꼴

. 다항식의 극한은 최고차항으로 묶는다.

. 무리식의 극한은 분모 또는 분자를 유리화한다.

. 수열의 극한의 대소 관계

수열

1)

2)

. 등비수열

- 63 -

1)

2)

3)

4)

4. 급수 (Series)

. 수열

1) 급수

2)

5. 급수의 수렴과 발산

1)

2) 수열

. 급수의 성질

급수

1)

2)

3)

6. 등비급수

. 첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열에서 얻은 급수

. 등비급수

1)

2)

7. 자연상수 e

- 64 -

.

에서 x를 0으로 보냈을 때와

에서 x를 무한대로 보냈을 때 수렴하는 값

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=tzjsWjKanNg&list=PLXJ3W1lEGK8ULz2WP-Zd732UivspNwmRr&index=13

. 밑이 e인 지수함수와 로그함수의 극한

1)

2)

. 지수함수의 도함수

1)

2)

8. 자연로그

. e를 밑으로 하는 로그 log_ex를 x의 자연로그라 한다. 간단히 lnx로 나타낸다.

. 로그함수의 도함수

1)

2)

. 절댓값이 포함된 로그함수의 도함수

1)

2)

9. 음함수 (Implicit function)

. 독립변수와 종속변수가 분리되지 않은 하나의 관계식으로 주어진 함수

10. 이계도함수 (Second order derivative)

. 함수 f(x)를 한 번 미분한 함수 f’(x)를 다시 한번 더 미분한 도함수의 도함수

. 이계도함수를 갖는 함수

1)

2)

. 곡선의 볼록과 이계도함수

- 어떤 열린 구간에 속하는 모든

에 대하여

1)

2)

11. 변곡점 (Point of inflection)

. 두 번 미분 가능한 함수에 대하여 그래프의 오목한 모양이 바뀌는 점

.

. 따라서 변곡점은 이계도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌거나 혹은 음에서 양으로 바뀌는

경계가 되는 점이 된다.

- 65 -

12. 구분 구적법 (Mensuration by parts)

. 넓이 또는 부피를 알고 있는 기본 도형으로 주어진 도형을 세분하여 근삿값을 구하고, 이

근삿값의 극한값으로 그 도형의 넓이와 부피를 구하는 방법

13. 정적분과 급수의 합 사이의 관계

.

14. 두 곡선 사이의 넓이

. 두 함수

가 닫힌 구간

에서 연속일 때, 두 곡선

및 두 직

선

15. 입체도형의 부피

. 구간

의 임의의 점

에서

축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가

인 입체의

부피

는 다음과 같다. (단,

16. 수직선 위를 움직이는 점의 위치와 움직인 거리

. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)라고 하면

1) 시각 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변화량 :

2) 시각 t=a에서의 점 P의 위치 (x_0), t=b에서의 점 P의 위치 x :

3) 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 :

17. 좌표평면 위에서 점이 움직인 거리

. 좌표평면 위를 움직이는 점

의 시각

에서의 위치가

일 때, 점

가시각

에서 시각

까지 움직인 거리

는

18. 곡선의 길이

. 미분가능한 함수

에 대하여 닫힌 구간

에서 곡선

의 길이

은

[Part3-2] - 함수의 그래프와 방정식의 해

1. 함수 (function)

. 두 변수 x,y에 대하여 x의 값에 따라 y값이 유일하게 결정되는 관계

- 66 -

2. 정의역 (domain) : 함수에 넣을 수 있는 x 값들의 집합

3. 치역 (range) : x에 대응되는 y값들의 집합

4. 함수의 그래프

. 함수 y=f(x)에 대하여 x의 값과 그에 대응하는 함숫값 y의 순서쌍(x,y)을 좌표로 하는 모든

점을 좌표평면 위에 나타낸 것.

5. 다항함수 (Polynomial function) : f(x)가 x에 관한 다항식인 함수

6. 유리함수 (Rational function) : 두 다항함수의 비 (ratio)로 표현되는 함수

7. 지수함수 (Exponential function)

. 임의의 실수

에 대하여

을 대응시키는 함수

. 지수함수

의 그래프

1) 정의역은 실수 전체의 집합

2) 치역은 양의 실수 전체의 집합

3)

일 때,

의 값이 증가하면

도 증가

일 때,

의 값이 증가하면

는 감소

4) 그래프는 점 (0,1)을 지난다.

5) 점근선은

축

6)

의 그래프와

의 그래프는

축에 대하여 대칭이다.

8. 근사해 (approximate solution)

. 방정식의 실제적인 해의 근삿값

■ 새로 배운 내용

. 유리함수는

인

값에서 점근선 (Asymptote)이 생긴다.

detect_poles = 'show' 옵션을 이용하여 점근선을 시각화할 수 있다.

기존의 Solve 명령어가 잘 해결하지 못하는 방정식을 그래프를 그려서 쉽고 정확하게

근사해를 구할 수 있다.

→ 그동안 배운 다양한 함수들의 그래프를 그릴 수 있었고 대부분의 방정식

에 대한 해 (근삿값)을 구할 수 있다는 자신감이 생겼습니다!

[Part4] - 역함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수

1. 역함수 (Inverse function)

. 기존의 함수 f에 대하여 정의역과 치역의 역할을 바꾸고, 대응 관계를 반대로 거슬러 올라가

는 규칙 (

의 역함수는

로 나타냄,

)

- 67 -

[참고] 미적분학1 교재

- 역함수가 존재하려면 기존의 함수는 (치역 범위 내에서) 어떠한 수평선을 그려도

기존의 함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않아야 한다.

- 예를 들어, 모든 단조증가 (monotone increasing)함수와 단조감소함수는 역함수

가 존재한다.

2. 역삼각함수 (Inverse trigonometric function) : 삼각함수의 역함수

. (일반적인) 삼각함수

는 역함수가 존재하지 않는다. 그러나 정의역을 적절히

줄이면 (각각의 구간에서) 역함수를 생각할 수 있다. 왜냐하면 삼각함수는 주기성이 있으

므로 사인함수의 경우 함숫값에 대응하는 일정한 범위 내의 한 각만 알면 주기를 더하여

대응하는 모든 각을 알 수 있기 때문이다.

- 68 -

3. 쌍곡선함수 (Hyperbolic function)

. 자연상수e의 지수함수를 이용해 조합되는 6개의 쌍곡선

4. 역쌍곡선함수 (Inverse hyperbolic function) : 쌍곡선함수의 역함수

[참고] 미적분학1 교재

- 69 -

[Part5] - 함수의 극한

1. 지수/로그 함수의 극한

1) 지수함수의 극한

2) 로그함수의 극한

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=D7Ndwum5QZg&t=11s

3) 밑이 e인 지수함수와 로그함수의 극한

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=CsOmSP0bgqk&t=32s

2. 삼각함수의 극한

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=zTIgeBzs2T8

[참고] https://www.youtube.com/watch?v=cyjKpY4n3hg&t=413s

3. 샌드위치 정리 (Sandwich Theorem)

- 70 -

[Part6] - 도함수, 접선의 방정식, 미분법칙

1. 미분계수 (differential coefficient)

: 함수

의 정의역 내에 속하는 점

에 대하여 극한 값

이 존재하면 함수

는

에서 미분가능(differentiable),

이 극한값을

에서의 함수

의 미분계수 (differential coefficient)라 하며

로 나타낸다.

접선의 기울기는 할선의 기울기의 극한으로 정의한다.

2. 접선의 방정식

. 미분계수는 접선의 기울기를 나타내므로, 점

에서 함수

의 그래프에 접하는 접선

의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

3. 도함수 (derivative)

. 각 점

에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함수를

의 도함수라 한다.

기호는

로 나타내고 함수

의 도함수를 구하는 것을

를 미분한다

(differentiate)고 하고,

의 도함수는 식

으로 구한다.

. 어떤 함수를 미분하여 얻은 그 함수가 도함수고, 거기에 변수의 값을 대입하면 그 점에서의 미분계수가

나오는 것이다.

[code 도함수와 그래프]

f(x) = # 함수 정의

df(x) = diff (f(x), x) # 도함수

print ("f(x) =", f(x))

print ("f'(x) =", df(x))

plot (f(x), (x, -8, 4)) + plot (df(x), (x, -8, 4), color = 'red', ymax = 100)

- 71 -

4. 고계 도함수 (higher order derivatives)

. 함수

의 도함수

가 다시 미분가능이면 그 도함수

를

의 2계 도함수

(2nd derivative)라 하고 다음과 같은 기호로 나타낸다.

. 이러한 2계 이상의 도함수를 고계 도함수라고 한다.

[code 도함수와 그래프]

f(x) = # 함수 정의

d2f(x) = diff (f(x), x, 2) # 2계 도함수

Print ( "f''(x) =", d2f(x) )

5. 미분 법칙

. 상수

와 미분가능한 함수

,

에 대하여 다음이 성립한다.

. 다양한 함수의 도함수

[code 도함수와 그래프]

f(x) = x^(3/4)*sqrt(x^2 + 1)/(3*x + 2)^5

show ( diff (f(x), x) )

diff ( f(x), x )

→ Sage 명령어를 활용해서 다양한 함수의 도함수를 외울 필요 없이 쉽게

미분할 수 있는 것을 배웠습니다.

- 72 -

[Part7] - 연쇄법칙, 음함수와 매개변수함수의 미분법

1. 연쇄법칙 (Chain rule)

. 세 개 이상의 함수가 합성되어도 세 함수가 모두 마분가능하면 연쇄법칙으로 도함

수를 계산할 수 있다.

2. 음함수(implicit function)의 미분

. 음함수란

와

에 관한 방정식으로 표현된 함수

을 말한다.

예를 들어 방정식

을

에 관하여 정리하면

와 같이 두 개의

(양)함수를 합한 모양이다. 따라서 함수가 아니라고도 할 수 있는 이런 식을 함수의 개념

을 확장하여 음함수라고 부르고 그래프에서 보면 두 개의 (양)함수를 합한 곡선이라고 생

각할 수 있다.

. 실제

에 해당하는

의 구체적인 식을 찾기보다 일단

라고 생각하

고, 양변을

에 관하여 미분하는 과정에서 연쇄법칙을 적용하여 (양변의

에 대한) 도함

수를 구한다.

[code 음함수의 도함수]

var ('x, y')

F(x, y) = # F(x, y) = 함수 정의

F.implicit_derivative(y, x) # 음함수의 도함수. y와 x의 순서에 주의

[code 음함수의 접선의 방정식]

var ('x, y')

F(x, y) = y^3 - x*y^2 + cos(x*y) - 2 # F(x, y) = 0

dydx = F.implicit_derivative(y, x) # 음함수의 도함수. y와 x의 순서에 주의

m = dydx.subs(x = 0, y = 1) # (0, 1) 에서 접선의 기울기

print ( "y =", 1 + m*(x - 0) ) # 접선의 방정식

p1 = implicit_plot( F(x, y) == 0, (x, -2, 2), (y, -1, 3) ) # 음함수의 그래프

- 73 -

p2 = plot( 1 + m*(x - 0), (x, -2, 2), color = 'red' ) # 접선의 그래프

p3 = point( [(0, 1)], color = 'red', pointsize = 15 ) # 접점

p1 + p2 + p3

3. 매개변수 함수 (parametric function)의 미분

. 제 3의 변수 (주로 t)의 함수로 다음과 같은 방정식 (매개변수 방정식, parametric

equation, 매개방정식)으로 표현되는 곡선을 말한다.

. 몇 가지 대표되는 t값에 대응되는 x값과 y값을 구하여 순서쌍 (x,y)

[code 매개변수 순서쌍]

var ( 't' ) # 매개변수

f(t) = t^2 - 2*t

g(t) = t + 1

r = [] # 그래프를 그리기 위한 용도

for i in srange(-2, 4.1, 0.1):

r.append((f(i), g(i)))

p1 = point(r, color = 'red')

p2 = parametric_plot((f(t), g(t)), (t, -2, 4))

p1 + p2

. 매개변수 함수가 만드는 곡선에서 시작점과 끝점이 같은 경우는 닫힌 곡선 (closed

curve)이라고 하며

이 성립하는 경우는 단순 곡선 (simple cur

ve)이라 한다.

- 74 -

[Part8] - 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수,

로그함수의 미분법, 선형근사

1. 삼각함수의 미분

2. 역삼각함수의 미분

. 증명과정 [출처] https://everyday-image-processing.tistory.com/229

- 75 -

3. 지수함수와 로그함수의 미분

. 자연로그의 밑(base)

: 무리수이며, 근삿값은 약 2.718

.

를 밑으로 하는 지수함수

를 각각 자연지수함

수 (natural exponential function)와 자연로그함수 (natural logarithm)라 한다.

. 지수함수의 미분 공식

: 도함수의 정의에 의해

이 성립한

다. 이 때

라 하면,

이므로

이고,

일 때

이므로 다

음을 얻는다.

따라서

이 된다.

. 로그함수의 미분 공식

:

[code 지수함수, 로그함수 도함수]

f(x) = # 함수 정의

diff (f(x), x)

[code 지수함수, 로그함수 고계도함수]

f(x) = # 함수 정의

diff (f(x), x) # 도함수

show ( factor (diff (f(x), x) ) )

factor (diff (f(x), x, 3) ) # 고계도함수

- 76 -

4. 선형근사 (linear approxination)와 미분

. 함수

→ 함숫값을 구하기는 쉽지만 근방의 함숫값을 구하기 힘든 경우, 근삿값을 구할 때

사용된다.

→ 이때 생기는 오차(error)는

이고 값을 구하여 오차가 크

면,

를 줄이면서 정확도를 원하는 만큼 높일 수 있다.

라 정의하고 이를 (종속변수) y의 미분 (differential)이라 한다.

- 77 -

[Part9] - 쌍곡선 함수 미분법, 역쌍곡선 함수 미분법,

평균값정리, 로피탈의 법칙 (부정형의 극한)

1. 쌍곡선 함수의 미분

2. 역쌍곡선 함수의 미분

3. 평균값 정리 (Mean value theorem)

[code 평균값 정리를 만족하는 수 구하기]

a, b = # 주어진 구간 입력

f(x) = # 함수 정의

df(x) = diff ( f(x), x )

solve ( df(x) == (f(b) - f(a))/(b - a), x )

- 78 -

4. 부정형과 로피탈 (L’Hospital) 법칙

. 부정형이란 간단히 말해 극한법칙이 사용될 수 없는 극한 문제이다.

.

일 때,

가 유한 또는 무한의 의미로 존재하면

(즉, 이 극한이 유한한 수이거나,

또는

), 다음이 성립한다.

여기서

는

어떠한 기호이든 될 수 있다.

[code 로피탈 법칙과 극한 계산]

# 로피탈 법칙 이용

g(x) = # 함수 정의

h(x) = # 함수 정의

dg(x) = diff (g(x), x)

dh(x) = diff (h(x), x)

print (limit(dg(x)/dh(x), x = x가 다가가는 값, dir = '+ or -'))

# 직접 계산

limit (g(x)/h(x), x = x가 다가가는 값, dir = '+ or -')

.

일 때,

가 유한 또는 무한의 의미로

존재하면, 다음이 성립한다.

. 그 외에 부정형

은 로그를 이용하여 먼저 밑과 지수를 분리한 후,

로 고쳐야 한다. 극한을 구한 후 다시 로그를 취하기 전으로 회복시킨다.

.

- 79 -

[Part10] - 극댓값과 극솟값 (최댓값, 최솟값)

1. 도함수의 응용

. 함수

가 구간

에서 정의되어 있을 때,

내의

인 임의의 두 점

에 대

하여

를 만족하면

는 구간

에서 증가(increasing)한다고 하며,

내의

인 임의의 두 점

에 대하여

를 만족하면

는 구간

에서 감소(d

ecreasing)한다고 한다.

함수

가 폐구간

에서 연속이고 개구간

에서 미분가능하면 다음이 성립한다.

1) 구간

내의 모든 점에서

이면,

는

에서 증가한다.

2) 구간

내의 모든 점에서

이면,

는

에서 감소한다.

2. 2계 도함수의 응용

함수

가 점

를 포함하는 적당한 개구간

에서 미분 가능하고

가 존재할 때 다음이

성립한다.

1)

이면, 곡선

는 점

에서 위로 볼록(Convex up)하다.

2)

이면, 곡선

는 점

에서 아래로 볼록(Convex down)하다.

- 80 -

3. 극대, 극소, 최대, 최소

.

가 폐구간

에서 연속이면 이 구간에서

가 최댓값을 취하는 점 및 최

솟값을 취하는 점이 존재한다.

함수

가

의 근방의 모든 점

에 대하여

가 성립하면 함수

는

에서 극댓값

를 갖는다고 한다.

함수

가

의 근방의 모든 점

에 대하여

가 성립하면 함수

는

에서 극솟값

를 갖는다고 한다.

또,

의 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 하고, 극대점 또는 극소점

를 극점

(極點, extreme point)이라 한다.

. (2계) 도함수를 이용하면 극댓값과 극솟값을 쉽게 판정할 수 있다.

함수

가 정의역 내의 한 점

에서

과

을 가지며,

(즉, 임계점

)일 때,

1)

이면,

는 함수

의 극댓값이다. [

는 임계점

에서 극댓값을 갖는다.

1)

이면,

는 함수

의 극솟값이다. [

는 임계점

에서 극솟값을 갖는다.

. 최대, 최소 구하는 방법

- 폐구간에서 연속인 함수

의 최댓값과 최솟값은 임계점에서의 함숫값과 구간의

양 끝점에서의 함숫값을 비교하여 구하면 된다.

1) 구간

에서

의 임계점 (Critical points)들을 찾는다.

1) 이 각각의 임계점들과 구간의 양 끝점에서

의 값을 계산한다. 그 중 가장 큰 값이

최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.

- 81 -

4. 뉴턴의 방법 (Newton’s method)

. 뉴턴의 방법은 반복법(iterative method)으로, 초기 근사해

으로부터 시작하여 특

정한 반복단계를 거쳐 이전보다 나은 근사해

를 생성한다.

목표는

번째 근사해

또는 극한값

에서

을 만족하도록 하는 것이다.

[뉴턴의 방법] (

의 의미는

같이

이 1보다 아주 작다는 의미이다.)

단계 1) 초기 근사해

과 허용오차(tolerance)

을 준다.

이라 한다.

단계 2) 만일

이면, 알고리즘을 멈추고

을 근사해로 반환한다.

단계 3)

,

라 두고 단계2)로 이동한다.

이므로

을 얻게 된다. 만일

이면

가 방정식

의 해가 된다. 그러나

이면, 같은 방법으로

를 얻게 된다.

이렇게 반복단계

적용하여 근사해를 계산한다.

＊ 경사하강법 (gradient descent method)

. 일변수 함수

의 최솟값을 구하는 문제의 최적해 (optimal solution)

는 [Fer

mat의 임계점 정리]에 의해 다음을 만족한다.

- 82 -

[Part11] - 부정적분, 치환 적분법, 부분 적분법, 정적분

정적분의 기본정리, 이상적분

1. 역도함수(antiderivative)와 부정적분(indefinite integral)

. 함수

가 주어져 있을 때

를 만족하는 함수

를

의 역도함

수라고 한다. 임의의 상수

(적분상수) 에 대하여

이므로

가

의 역도함수라

하면, 함수

(단,

는 임의 상수)도 역시

의 역도함수가 된다. 이를

으로 나타내고,

의 부정적분이라 한다.

2. 넓이 문제와 정적분 (definite integral)

. 연속 함수

의 그래프와

축에 수직인 두 직선

와

및

축으로 둘러싸인 영역

→ 전체 영역을 작은 영역으로 분할한 직사각형 넓이의 함의 극한값으로 정의

. 도형을 세분하여 구분된 면적이나 체적을 구하고, 다시 이들의 합을 구한 다음 한없

이 세분했을 때의 극한값으로 본래 도형의 면적 또는 체적을 구하는 방법을 구분구적법

(mensuration of division)이라 한다.

[구분구적법] _ 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구하는 순서

단계 1) 주어진 도형이나 입체를

등분으로 세분하여 기본 도형으로 만든다.

단계 2)

등분된 기본 도형의 넓이나 입체의 부피의 합을 구한다.

단계 3) 단계 2)에서 구한 합의 극한값을 구한다.

. 리만 합(Riemann sum)

은 직사각형들의 넓이의 합이다. 만일 극한

이 모든 선택 가능한 표본점

에서 존재하고 극한값이 항상 같으면,

는

에서 적분 가능(integrable)하다고 하며, 그 값을

에서

까지

의 정적분이

라고 하고 다음과 같이 나타낸다.

- 83 -

. 정적분

는

에서

까지 곡선

의 아래의 넓이가 된다.

. 기호

에서

를 피적분함수(integrand),

와

를 적분한계 (limits of i

ntegration),

는 하한 (lower limit),

는 상한 (upper limit),

를 적분 변수, 적분을

계산하는 과정을 적분법 (integration) 라 한다.

. 정적분

는 수(number)지만 부정적분

은 함수 (또는 함수족)이다.

- 84 -

3. 미적분학의 기본 정리 (Fundamental theorem of Calculus)

[code 정적분의 근삿값]

# numerical integration

f(x) = # 함수 입력

numerical_integral ( f(x), 0, 2 ) # numerical_integral(f(x), a, b)

4. 이상적분 (improper integral)

. 끝점

또는

(또는 둘 다)가

되는 이상적분은 다음과 같이 정의된다.

1)

인 경우 :　모든 수

에 대해

가 존재하고, 아래 극한이 유한한

값으로 존재하면 다음과 같이 정의한다.

2)

인 경우 :　모든 수

에 대해

가 존재하고, 아래 극한이 유한

한 값으로 존재하면 다음과 같이 정의한다.

3)

인 경우 :　

와

가 모두 유한한 값을 가진 경우

※

는

이면 수렴하고

이면 발산한다.

- 85 -

. 피적분함수가 아닌 유계가 아닌 (unbounded) 경우에 대한 이상적분

1)

가

에서 연속이고

에서 불연속이면

이다.

2)

가

에서 연속이고

에서 불연속이면

이다.

3)

일 때

가

에서 불연속이고

와

가 모두 수렴하면

[code 이상적분]

f(x) = # 함수 입력

var ('t')

assume(t > 0, t < 2) # 구간 입력

F(t) = integral (f(x), x, 0, t)

limit (F(t), t = 2, dir = '-') # t가 다가가는 방향과 값 입력

[code 피적분함수의 부분분수]

f(x) = # 함수 입력

fp(x) = f(x).partial_fraction()

# partial_fraction은 부분분수를 전개하는 명령어이다.

integral (fp(x), x) # 부분분수를 이용한 적분

[code 적분]

integral (f(x), x) #

입력

→ 피적분함수에 따라 치환적분, 부분적분, 삼각적분, 삼각치환, 부분분수에

의한 유리함수의 적분 등의 다양한 기법 등을 사용하여 적분할 수 있지만

Sage 명령어를 사용하여 쉽게 계산할 수 있다는 자신감을 얻었습니다.

- 86 -

[Part12] - 넓이, 부피, 호의 길이, 극좌표, 극방정식

극좌표의 그래프, 넓이와 길이

1. 평면 도형의 넓이

. 함수

가 폐구간

연속이고 음이 아닌 경우

. 함수

가 폐구간

에서 연속이고 양과 음의 값을 모두 갖는 경우

§ 두 곡선 사이의 영역의 넓이

ⅰ) 폐구간

에 속하는 모든

에 대해

와

가 연속이고

일 때, 곡선

와 직선

로 유계 된 영역의 넓이

ⅱ) (항상

이라는 보장이 없을 때) 곡선

와

사이

의 넓이

ⅲ) 영역이

를

의 함수로 생각하는 경우

두 함수

와

가 연속이고

에 대해

일 때,

방정식이

인 곡선들로 둘러싸인 영역의 넓이

ⅳ) 곡선의 매개변수 방정식이

이고,

일 때 곡선이 꼭 한 번만

그려진다면, 정적분에 대한 치환법을 이용한 넓이 공식

[code 매개변수 곡선으로 둘러싸인 넓이]

var(‘t’) # 변수 지정

f(t) = ; g(t) = # t를 매개로 하는 함수 입력

df(t) = diff(f(t), t) # 함수 f(t)의 도함수

integral(g(t)*df(t), t, x축과 만나는 t의 범위)

- 87 -

2. 회전체 (입체)의 부피 (Volume)

.

를 평면

와

사이에 놓인 입체일 때 점

를 지나고

축에 수직인 평면

에 있는

의 단면의 넓이가

이고

가 연속함수이면

의 부피 V

. 함수

가

에서 연속이고

일 때, 곡선

와 두 직선

로 둘러싸인 영역을

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피

[code 회전 곡선의 그림_곡선 한 개]

var ('x')

f(x) = # 함수 입력

revolution_plot3d (f(x), (x, 범위), show_curve = True, opacity = 0.7, parallel_axis =

'x', aspect_ratio = [1, 1, 1])

# revolution_plot3d는 회전 곡선의 그림을 그린다. x축을 중심으로 회전시킬 때는 parallel_axis

= 'x'를 입력한다.

[code 회전체의 부피_곡선 한 개]

var ('x')

f(x) = # 함수 입력

integral ( pi*f(x)^2, x, 범위 )

. 두 함수

가

에서 연속이고

이면 두 곡선

와 두 직선

로 둘러싸인 영역을

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의

부피

[code 회전 곡선의 그림_곡선 두 개]

var ('x')

f(x) = # 함수 입력

p1 = revolution_plot3d(f(x), (x, 범위), show_curve = True, color = 'orange', opacity

= 0.4, parallel_axis = 'x')

p2 = revolution_plot3d(g(x), (x, 범위), show_curve = True, color = 'green', parallel_

axis = 'x')

show (p1 + p2, aspect_ratio = [1, 1, 1])

[code 회전체의 부피_곡선 두 개]

f(x) = ; g(x) = # 함수 입력

integral (pi*(f(x)^2-g(x)^2), x, 범위)

- 88 -

3. 원통껍질 방법 (shell method) 으로 회전체의 부피 구하기

. 원통껍질 (cylindrical shell)이란 중심축이 같은 두 개의 수직 원기둥 사이의 입체

를 말한다. 내부 반지름

, 외부의 반지름을

, 높이를

일 때 원통껍질의 부피

. 곡선

와 직선

과

(단,

)로 둘러싸인 영역을

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피

[code 원통껍질 그림]

var ('x')

f(x) = # 함수 입력

revolution_plot3d (f(x), (x, 0, 2), show_curve = True, opacity = 0.6, parallel_axis = 'z')

# y축을 중심으로 회전시킬 때는 parallel_axis = 'z'를 입력한다. (3차원 그래프로 인식)

[code x축과 만나는 교점]

f(x) = # 함수 입력

solve ( f(x) == 0, x ) # x축과 만나는 교점

[code 원통껍질을 이용한 회전체 부피]

f(x) = # 함수 입력

integral (2*pi*x*f(x), x, 0, 2)

- 89 -

4. 곡선의 길이 (호의 길이, Arc length)

. 방정식이

인 곡선

의 길이

. 폐구간

를 잘게 분할하면, 곡선

상의 두 점

사

이의 구간 곡선

의 길이는 선분

의 길이에 가까워진다.

. 평균값 정리에 의해

을 만족하

는

가 존재한다.

. 방정식이

인 곡선

의 길이

↓ ↓ ↓

. 방정식이

이고

가 연속일 때 곡선

의 길이

. 매개변수로 표현된 곡선의 길이

에서

이고, 곡선

의 매개변수방정식이

,

이면 이는

는

에서

로 증가하고

일 때

가 왼쪽에서 오른쪽으로

한 번 그려지는 것을 뜻한다.

곡선 위의 점

에서 점

까지 호의 길이

- 90 -

5. 곡면의 넓이 (Surface area, 표면적)

. 곡선

를

축에 대하여 회전한 곡면의 겉넓이

. 윗면과 밑면의 반지름이 각각

이고 모선의 길이가

인 원뿔대의 옆면의 넓이

. 곡선

를

축에 대하여 회전한 곡면의 겉넓이

. 회전체의 넓이

. 회전한 곡면의 겉넓이

↓ ↓ ↓

. 함수

가 연속인 도함수를 갖는 경우,

곡선

를

축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 넓이

. 곡선이 매개변수 방정식으로 주어져 있을 때 회전체의 겉넓이

곡선

가

로 주어지고

가 연속,

라고 하면

가

에서

로 증가할 때 곡선

를

축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이

- 91 -

6. 극좌표 (Polar coordinate)

. 극좌표는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계이다. 극좌

표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 유용하다. 직교좌표계

(Cartesian coordinates system)에서 삼각함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계

(Polar coordinate system)에서는 오히려 매우 간단하게 표현되는 경우가 많다.

이면

에 관계없이 원점을 나타내고

일 때

는 위의 그림에서 보듯이

을 원점에 대하여 대칭이동한 점으로 생각한다.

점

가 직교좌표로

이고 극좌표로

이면 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[code 극좌표 → 직교좌표]

r, t = # 각을 t 로 표현한다.

r*cos), r*sin(t)

[code 직교좌표 → 극좌표]

u, v = # x, y 대신 u, v로 나타내었다.

sqrt(u^2 + v^2), arctan(v/u) # r, t

- 92 -

7. 극방정식 (Polar Equations)의 그래프

.

라는 극방정식의 그래프는 극방정식(Polar Equation)을 만

족하는 극좌표 표현

를 적어도 하나 갖는 점

들의 전체로 이루어진다.

8. 극방정식에서의 접선 (tangent line), 넓이 (Area), 호의 길이(Arc length)

. 극방정식

에서

를 매개변수로 생각한 곡선의 매개변수방정식

매개변수곡선의 기울기를 구하는 방법과 곱의 법칙을 이용하면 다음을 얻는다.

. 극좌표에서 곡선

와 두 개의 반직선

로 둘러싸인 영역의 면적

.

에서

일 때, 극좌표에서 곡선

와 두 개의 반

직선

로 둘러싸인 영역의 면적

. 극방정식

의 곡선의 길이

→

방정식으로 주어진 곡선의 호의 길이 공식 이용

- 93 -

[Part13] - 수열, 급수, 급수의 수렴, 발산 판정법

거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현

테일러 급수와 매클로린 급수

1. 수열의 극한

- 수열 : 자연수 1,2,....에 대응하여 무한히 나열한 수

- 수열의 일반항 :　{

},

또는 간단히 {

}으로 표시되는

- 무한수열 : 정의역이 양의 정수인 집합, 치역이 실수들의 집합인 함수

- 수열의 점화식 (recursive formula) : 이웃하는 여러 개의 항 사이의 관계식

. 수열 {

}에 대하여

을 충분히 크게 택해서 항

이

에 근접하게 만들 수 있다

면, 수열 {

}은 극한(limit)

을 갖는다.

- 극한

이 존재하면 수열 {

}은 수렴한다(converges).

- 극한

이 존재하지 않으면 수열 {

}은 발산한다(diverges).

. 수열 {

}은

가 자연수일 때 대응하는 함숫값

을 고려하면

- 단조수열 (monotonic sequence) : 증가하거나 감소하는 수열

ⅰ) 감소하지 않는 수열 :

(nondecreasing)

ⅱ) 증가하지 않는 수열 :

(nonincreasing)

. 수렴하는 수열 {

}에 대해서 (즉

이라 하면) 다음이 성립한다.

ⅰ) {

}이 (단조)증가수열이면, {

}은 위로 유계이다.

ⅱ) {

}이 (단조)감소수열이면, {

}은 아래로 유계이다.

§ 단조수렴정리 (Monotone Convergence Theorem)

. 모든 유계인 단조수열은 수렴한다.

(즉 위로 유계인 증가수열과 아래로 유계인 감소수열은 수렴한다.)

- 94 -

2. 무한급수 (infinite series)

- 무한급수 or 급수 : 무한수열

의 각 항

을 함의 기호 ‘+’로 연결한 식

- 부분합 (Partial sum) : 무한급수의 제

항까지의 합

. 수열

이

로 수렴하면 (즉

) 급수

는 수렴(converge)한다.

(급수의 합)

. 수열

이 발산하면 이 급수는 발산 (diverge)한다.

. 등비급수

에 대하여

일 때 급수는 수렴하며 합은

이다.

일 때, 급수는 발산한다.

§ 급수가 발산하는지 판단하는 기본적인 방법

ⅰ) 급수

이 수렴하면

ⅱ)

이거나

이 존재하지 않으면, 이 급수는 발산한다.

§ 급수의 수렴정리

.

와

가 둘 다 수렴하고,

가 상수일 때

와

도 수렴하

며,

=

,

=

±

이 성립한다.

- 95 -

3. 양항급수 (series of positive terms) 와 수렴발산판정법

. 각 항이

인 양항급수에 대해서는 여러 가지 수렴발산판정법이 존재한다.

- 양항급수 :

→ 양항급수의 부분합 수열

은 감소하지 않는 수열이다.)

양항급수

가 수렴할 필요충분조건은 그 부분합의 수열

이 위로 유계인 것

§ 다양한 수렴/발산 판정법 (convergence tests)

ⅰ) 비교 판정법 (comparison test)

- 모든 자연수

에 대하여

이면

①

이 수렴하면

도 수렴한다.

②

이 발산하면

도 발산한다.

ⅱ) 극한비교 판정법 (limit comparison test)

- 모든 자연수

에 대하여

이고

일 때

①

이면

과

은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

②

이고

이 수렴하면

은 수렴한다.

ⅲ) 적분판정법 (integral test)

-

가

에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라고 하고

일 때,

급수

이 수렴할 필요충분조건은 이상적분

이 수렴하는 것이다.

§

와

가 모두 수렴해도 일반적으로는

≠

이다.

- 96 -

ⅳ)

급수 판정법 (p-series test)

- 실수

에 대한 급수

를

급수라고 하며 다음을 만족한다.

①

이면,

는 수렴한다.

[증명]

.

일 때

는 구간

에서

이고 감소함수

적분판정법으로

로 수렴하므로

는 수렴한다.

②

이면,

는 발산한다.

[증명]

.

일 때 구간

에서

이고 감소함수

적분판정법에 의해서

로 발산함으로

는 발산한다.

.

일 때

는 구간

에서

이고 감소함수

적분판정법에 의해서

로 발산함으로

는 발산한다.

.

일 때

는

이기 때문에

는 발산한다.

[증명: https://j1w2k3.tistory.com/994]

ⅴ) 비(ratio) 판정법 (ratio test)

-

가 양항급수이고,

이라고 할 때

①

이면 급수

은 수렴한다.

②

또는

이면

은 발산한다.

③

이면 비 판정법으로는 급수

이 수렴/발산하는지 판단할 수 없다.

- 97 -

4. 교대급수 판정법과 절대비판정법

- 교대급수 : 양의 항과 음의 항이 번갈아 나타나는 규칙성이 있는 급수

§ 교대급수 판정법 (Alternating series test)

. 교대급수

에서 모든

에 대하여

이 단조감소하고,

이면,

이 교대급수는 수렴한다. 또한 급수의 합

의 부분합

에 의해 오차는

보다 작거나

같다(절대오차). 즉 절대오차 =

이다.

§ 규칙성이 없는 일반적인 급수의 수렴, 발산판정법

① 급수

의 각 항에 절댓값을 취하여 만든 급수

가 수렴하면,

원 급수

는 절대수렴(absolutely convergent)한다고 말한다.

② 급수

는 수렴하지만

는 발산하는 경우 원 급수

는

조건부 수렴(conditionally convergent)한다고 말한다.

§ 절대비판정법 (Absolute Ratio test)

.

은 0이 아닌 항들로 구성된 급수이며,

이 성립할 때

①

이면, 이 급수는 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)

②

이면, 이 급수는 발산한다.

③

이면, 이 판정법으로는 아무런 결론도 내릴 수 없다.

※ 급수

에 대하여 만일

이 발산한다는 것은, 단지

이 절대수렴하

지 않는다는 것만 확인해준다. 즉 원 급수

의 수렴, 발산에 대해서는 추가 분석이

필요하다.

- 98 -

5. 거듭제곱 급수 (Power Series)

- 거듭제곱 급수 : 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수이자 중심이 같은 일

련의 멱함수들을 항으로 하는 무한급수

(이 때

인 경우

은

으로 본다.)

- 그리고

에 관한 거듭제곱 급수

는

로 치환하면

을 얻을 수 있다.

§ 거듭제곱 급수

에 대해, 다음 세 가지 중 어느 하나만 가능하다.

①

일 때만 수렴한다.

② 모든

에 대해 수렴한다.

③ 적당한 양수

이 존재해서

이면 수렴하고,

이면 발산한다.

이러한

을 거듭제곱 급수의 수렴 반지름 (radius of convergence)이라 한다.

※ 수렴 반지름

①의 경우,

으로 나타낸다.

②의 경우,

로 나타낸다.

③의 경우, 부등식

는

로 바꿀 수 있다. 이 때

가 구

간의 끝점, 즉

일 때의 거듭제곱 급수는 한 쪽 또는 양 쪽 끝점에서 수렴/발산

할 수도 있다. 따라서 거듭제곱 급수

에 대해 수렴구간은 다음 중 하나이다.

※ 거듭제곱 급수

에 대하여,

이면

①

②

③

- 99 -

6. 테일러급수 (Taylor series)와 매클로린급수 (Maclaurin series)

.

를

에서 거듭제곱 급수로 표현(전개)할 수 있다고 할 때

, 그러면 그 거듭제곱 급수의 계수들은

과 같다.

. 테일러급수 (Taylor series)

- 거듭제곱 급수를

에서 (

에 대한 또는 중심이

인)

의 테일러급수라 한다.

. 매클로린급수 (Maclaurin series)

- 특히

에서

의 테일러급수는

의 매클로린급수라 한다.

※ 함수

의 테일러급수를 구할 때 테일러급수의 합이

와 항상 같다는 보장은 없다. 위

의 정리는 단지

가

에서 거듭제곱급수 표현을 가진다면, 그 거듭제곱급수는 항상

의

테일러급수라는 것을 말해준다. 또한 자신의 테일러급수와 원래 함수가 같지 않은 경우도

존재한다.

§ 테일러 공식

. 함수

가

을 포함하는 개구간

에 속하는 모든

에 대해서,

의

계 도함수

가 존재하면

에 속하는 모든

에 대해서 성립

+

=

+

여기서 나머지랑

는 식

로 주어지며,

는

와

사이의 점

=

는

에서

의

차 테일러

다항식 (Taylor polynomial)이라 하고,

=

는 테일러급수의 나머지항(Re

mainder term)이라 한다.

§ 테일러 정리 (Taylor’s theorem)

. 함수

가

에서 무한 번 미분가능하다면, 테일러 급수

가

에서 함수

을 나타내는 필요충분조건은

이다.

- 100 -

[Homework week 1] 이주한- Supurb!! 아주 잘 했어요. [HW week 1] (1. 수열

의 극한 / 2. 순열과 조합 / 3. 삼각함수) 요약과 실습

1. 수열의 극한

수열과 극한을 공부하면서 무한이 커지는 수에 대해서만 발산이라고 생각을 하고 있었으나, 학

습하면서 발산에 종류에 대해서 알게 되었습니다.

(1-1. 음의 무한대 / 1-2. 양의 무한대 / 1-3. 진동)

[기존문제]

f(n) = (-1)^n / 2^n

ans = limit(f(n), n = infinity)

print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans))

p = list_plot([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'green')

q = line([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'red')

show(p + q)

[응용문제]

f(n) = 1^n / 2^n

ans = limit(f(n), n = infinity)

print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans))

p = list_plot([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'green')

q = line([(i, f(i)) for i in range(1, 16)], color = 'red')

show(p + q)

- 101 -

● Final Final Comment

: 함수의 극한이 존재하는 것을 수렴(convergence), 존재하지 않을 경우 발산(diffusion)이라 하

며, 코딩을 통해 그래프 개형을 보며 어떠한 형태로 수렴이 되고, 발산이 되는지 확인할 수 있었

으며, 발산의 경우 3가지 종류에 대해서 발산하는 것을 확인하였습니다.

2. 순열과 조합

순열과 조합 단원에서 변수 및 조건 변화에 따른 응용 문제를 만들어 보았습니다.

------------------------------------------------------------------- [기존문제]

2-2. A고등학교 학생 2명을 포함한 고등학생 6명 중에서 임의로 3명을 뽑을 때, 고등학교 학생

이 적어도 1명 포함될 확률을 구하시오.