13.8     Extrema of Multivariate Functions          by SGLee - HSKim- SWSun-JHLee, 오교혁

(Lecture)  http://youtu.be/oDZUkOEszOQ 

(Exercises)  http://youtu.be/FWmk_MasIjE   

1. Let . Find the critical points of  and classify them.    

      Solve  and .

      So we have critical points,  or . If , then .

      If , then we have .

      The critical points are , , , .

      Next, we consider second order partial derivatives to get , , .

      Then  and

       thus we obtain   at points , .

      This implies that ,  are saddle points.

      At points , , we observe that   .

      Moreover, since , 

       has a local maximum  at .

      On the other hand, due to , 

       has a local       minimum  at .

위에서 구한 를 saddle point, local maximum, local minimum으로 각각 분류하자.

즉, , 은 saddle point이고, , 은 local maximum이다.

2. Find the extreme values of the function  when .

       : critical points

      =>  has no local minimum. or maximum at .

     At ,

       , so  has a local maximum  at .

3-4. Locate the maxima, minima, and saddle points of the functions.

 3. 

           http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-12-4-3.html

           http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/ms-1.html  

4. 

      Try this on your own.

5. Let . Answer the following:

   (a) Find points of local maximum/minimum and a saddle point when .

   (b) Give a condition on  for the case when  has only one critical point.

     (a)

        
       
       
        
        
          =>  (1,1) is a saddle point.

        
          =>  are points of local minimum..

     (b)

        => 

       If  has only one critical point  has a solution and 

        should not have a solution. So .

6. Find maximum value of  on .

      , .

      So the critical point is  and thus critical value is 

      Let , ,

       and .

      On , we have  and  ,

        .

      On , we have  and  ,

        .

      On , we have  and  ,

        .

      On , we have  and  .

        .

      So the maximum value is 2.  

7. Find the absolute maximum and minimum of   in the domain  

    which is a closed triangle made of three points (0. 0), (2, 1), (1, 2). 

      (1) 

            => critical point : ,  

   (2)  1.  moves on 

                => The absolute maximum , and the absolute minimum  on .

            2.  moves on 

                => The absolute maximum , and the absolute minimum  on .

            3.  moves on 

                => The absolute maximum   , and the absolute minimum  on .

            Hence the absolute maximum is 2 and the absolute minimum is 0.

8. Find the absolute maximum and minimum values   on the disk  D:
    .

       interior of  :

      Then  implies 

       If  implies 

      Thus, we get the critical points 

       If  then  This implies .

       Critical points are 

       Thus 

       Consider , boundary of  :

         so 

       Moreover,  is smallest when  and largest when   But  

       Thus on D the absolute maximum of  is  and the absolute minimum is 

9. Find the Taylor series for the function  at the point .

       , , , 

       , ,

       , ,

       , ,

       , .

       Therefore

                . 

10. Expand the Maclaurin series for the function .

      , 

      , 

      , 

      , 

      , 

      , 

      In general,

      .

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