SKKU-Calculus-Sec-14-1 Double Integrals by SGLee 이인행, Revised by SWSun


   14.1    Double Integrals                               by SGLee, 이인행


1-3. Evaluate the given iterated integrals:




Note : 위의 책의 풀이가 잘못되었다.

x에 대해서 적분할 때 비록 y를 상수로 취급하고 적분을 하지만 결국 나중에 사용될 변수이므로 전개하지 않고 적분해서는 안된다.

전개를 하고 x에 대해 적분을 하면 (39/12)*y^3 이 나오고 계산 결과는 49/12가 된다.






4-6. Sketch the region  of integration in the iterative integrals.




7-8. Evaluate the double integral over the given region  that is bounded by the graphs of the given equations. Choose the appropriate order of integration.


7. .

8. .

9.  is bounded the triangle with vertices .

Note : x=1 을 기준으로 구간을 나누어 이중적분을 해서 구한다.

10. Change the order of integration.

(1)          (2) 








Note : f가 연속이라면 Fubini's Theorem에 의해 적분 순서를 바꿔도 적분값은 동일하다.

11-12. Evaluate the following integrals by changing the order of the integration.


11. .








Note : 교재에 그려진 Figure가 잘못 되었습니다. 그래서 y=x 위의 영역이 아니라 아래의 영역이 맞습니다.

13. Evaluate .






14. Evaluate .    





15. Evaluate .



16. Evaluate .







Note : 한번에 계산이 되지 않는다. 기함수, 우함수의 특징을 적용해주어 식을 간단하게 만들어줘야 한다.

 17. Evaluate .


18. Find the volume of the solid  with .

19. Prove that .

20-21. If the density function  over the following domain , then find the center of mass, the moments of inertia  and .



21. Find the volume  of the solid  obtained by rotating the region enclosed

Let   be the volume of the solid obtained by rotating about -axis.

When we slice the solid by the plane which is through the point and perpendicular to -axis , its area of

 cross-section is  . Thus the volume is



22. Find the volume  of the solid  obtained by rotating the region enclosed by   and  about -axis.




23. Find  and  for the area enclosed by the loop of .



      where we have used the transformation . Then






24-25. Evaluate  for the given function and region .


24.  defined by .


25.  defined by .


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