SKKU-Calculus-Sec-15-8 Stokes’ Theorem SGLee+이인행

15.8    Stokes’ Theorem      by SGLee, 이인행

* Stokes' Theorem

: a surface integral over an orientable surface S to a line integral over the boundary of S

$\int_C \rm {F} \it d \rm r = \int\int_S \it curl\rm F \rm \cdot n \it dS$

15.8절에서는

Stokes' Theorem을 이용하여 선적분을 면적분으로, 면적분을 선적분으로 바꿀수 있는가를 묻는 문제

1.Evaluate  using Stokes’ Theorem, given that {c} ^{} {} is the circle:  that lies inside the cylinder  and above the -plane.

Note that the curve of intersection is the circle at the plane .

Note : 위의 결과는 선적분한 결과이다.

http://sage.math.canterbury.ac.nz/home/pub/133/ : curl의 코드를 가져왔습니다.

Note : 위의 결과는 S의 면적분의 결과이다.

결과 값이 같음을 확인하여 Stokes' Theorem이 성립함을 알 수 있습니다.

2. Evaluate (a) directly (b) using Stoke's Theorem  where C  is the ellipse

.

Let .

So  and

(a) Directly

(b) Using Stokes' Theorem

3. Verify Stoke's Theorem for the vector field  over an orientable surface  which is the upper hemisphere  and .

Note that the curve  is  with positive orientation.

Since curl, we have curl.

Next we compute  where .

Hence .

Hence verified.

Note : 문제가 z>=0의 구간이 아니라 반구와 z=0인 면에서의 적분을 묻는 문제입니다.

4. Verify Stoke’s Theorem for a vector field  over an orientable surface  which is the square   in the .

[Hint]  is a square of .

5. Verify Stoke’s Theorem for a vector field  over a rectangle bounded by .

6. Evaluate , where  and  is the curve which is the intersection of  and . ( is upward anticlockwise).

curl and the curve  is a boundary of  on .

(Using Strokes' Theorem)

curl.

$dS=\frac{dA}{|n \cdot k|}=\sqrt3 dA$ 이므로

$\int \int \sqrt3 (x^2+y^2) \sqrt3dA$

7. We consider the vector field  and the curve  which is the boundary of the triangle with vertices . Compute the work done by the force field  in moving a particle along the curve . (First, the particle goes from  to , and goes from  to , finally goes from  back to ).

Consider the region . The  is the boundary of . Its unit normal vector is .

Using Stokes' Theorem, we have

The area of  is .

8. Evaluate . Here  and  is a triangle with vertices  .

curl .

Here we have .

,

,

curl

각각의 선분에 대해서 적분을 하면 매우 복잡한 과정이 되므로 Stokes' Theorem을 이용하여

주어진 선적분을 Domain 을 xy 평면으로하는 계산이 간편한 면적분으로 바꿀수 있습니다.