﻿

SKKU Fall, 2014

Calculus II

고급 미분적분학2

Prof. : Sang-Gu LEE (이상구 교수)

http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story/index.htm

...

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch15/

Final PBL Report   (종합- 강좌의 기록)

강의, 녹화, 학생 문제풀이, 녹화, QnA, 공지사항, 참고자료, 읽을거리 등

Chapter 9. Infinite Sequences and Infinite Series

9.1 Sequences and Series   http://youtu.be/rz8ZS4Y_cvc

문제풀이 by 문지호  http://youtu.be/Qo0MArZG2EA

문제풀이 by 이원준  http://youtu.be/O6y1v5fJA0k

9.2 Tests for convergence of series with positive terms

문제풀이 by 김범윤  http://youtu.be/1flKAnlv9LA

9.3 Alternating Series and Absolute Convergence  http://youtu.be/NtSitFNv9Mk

문제풀이 by 계성곤  http://youtu.be/e_5D0dzrqwc

9.4 Power Series  http://youtu.be/426kkrMArgs

문제풀이 by 배성준  http://youtu.be/R3AcB12z2kk

9.5 Taylor, Maclaurin, and Binomial Series   http://youtu.be/3zSPSvYHJQI

문제풀이 by 우시명  http://youtu.be/NSFrYRYZ6Qc

Chapter 10. Parametric Equations and Polar Coordinates

10.1 Parametric Equations    http://youtu.be/hQGCZk1tpuA

문제풀이 by 문지호  http://youtu.be/uz1DkKVeD2k

문제풀이 by 임효정  http://youtu.be/Ybs68e0iMZI

10.2 Calculus with Parametric Curves   http://youtu.be/QFMSbGKhoX4

문제풀이 by 장찬영  http://youtu.be/yF5oZOQVnCE

10.3 Polar Coordinates    http://youtu.be/lKPJeAGw0ZA

문제풀이 by 계성곤  http://youtu.be/smAmDRK-tWY

문제풀이 by 황인철  http://youtu.be/4hoVKvk8dq0

10.4 Areas and Lengths in Polar Coordinates

문제풀이 by 곽주현  http://youtu.be/LRmasW9uqYY

10.5 Conic Section

문제풀이 by 변희성  http://youtu.be/ONItxvlsnb8

문제풀이 by 이한울  http://youtu.be/CZ9SHMtqVy4

Chapter 11. Vectors and the Geometry of Space

11.1 Three-Dimensional Coordinate Systems

문제풀이 by 김태현  http://youtu.be/_s_2T1VVob8

11.2 Vectors

문제풀이 by 오교혁  http://youtu.be/BFgh6irMqsc

11.3 The Dot Product

11.4 The Vector or Cross Product

11.5 Equations of Lines and Planes

문제풀이 by 구본우  http://youtu.be/lxuGE_Erthg

Chapter 12. Vector Valued Functions

12.1 Vector-Valued Functions and Space Curves

문제풀이 by 최양현  http://youtu.be/jvMI6OzdR_I

12.2 Calculus of Vector Functions

문제풀이 by 김동윤  http://youtu.be/VS5rPyOjP2I

12.3 Arc Length and Curvature

*12.4 Motion Along A Space Curve: Velocity and Acceleration

Chapter 13. Partial Derivatives

13.1 Multivariate Functions

문제풀이 by 구본우  http://youtu.be/As_0AYApHlM

13.2 Limits and Continuity of Multivariate Functions

13.3 Partial Derivatives    http://youtu.be/LR89Ct3cEDY

문제풀이 by 김동윤  http://youtu.be/rSYLp1mSMXY

13.4 Differentiability and Total Differentials

문제풀이 by 김범윤  http://youtu.be/qDmCWBiXbIA

13.5 The Chain Rule   http://youtu.be/r3dGYL1vkEU

문제풀이 by 김유경  http://youtu.be/vzN5By6qzvM

13.6 Directional Derivatives and Gradient     http://youtu.be/o8L_ShRANjo

문제풀이 by 김태현  http://youtu.be/2_7TOUuzJoE

13.7 Tangent Plane and Differentiability     http://youtu.be/uOf-5YHKGI4

문제풀이 by 서용태  http://youtu.be/GDkE8OqUvsk

13.8 Extrema of Multivariate Functions   http://youtu.be/oDZUkOEszOQ

문제풀이 by 오교혁  http://youtu.be/FWmk_MasIjE

13.9 Lagrange Multiplier

문제풀이 by 이원준  http://youtu.be/YMGdQWBzyrI

Chapter 14. Multiple Integrals

14.1 Double Integrals     http://youtu.be/jZ2pAmPZYOE

문제풀이 by 이인행  http://youtu.be/w8g9fgcEP4A

14.2 Double Integrals in Polar Coordinates    http://youtu.be/olQgihl5aZg

문제풀이 by 이지석  http://youtu.be/jpsObxtZ50A

14.3 Surface Area     http://youtu.be/p9R0TTLfBzk

14.4 Cylindrical Coordinates and Spherical Coordinates

문제풀이 by 최양현  http://youtu.be/F9u6pMubVRs

14.5 Triple Integrals    http://youtu.be/r1tzH9Ibbqk

문제풀이 by 이인행  http://youtu.be/C-uPM3km96k

14.6 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

14.7 Change of Variables in Multiple Integrals  http://youtu.be/INn-bkgXYNg

Chapter 15. Vector Calculus

15.1 Vector Differentiation  http://youtu.be/q0aVmUCXgTI

문제풀이 by 김동윤  http://youtu.be/iSUME4Q1WPM

15.2 Line Integrals   http://youtu.be/wHINlpNXYaU

문제풀이 by 김범윤  http://youtu.be/ZdRjCfJeHM8

15.3 Independence of the Path   http://youtu.be/jGGOL3QDj1Y

문제풀이 by 김유경  http://youtu.be/TreCe8ESEiU

15.4 Green’s Theorem in Plane  http://youtu.be/WxdTbaSb_ZI

문제풀이 by 서용태  http://youtu.be/wLTHYaANwtI

15.5 Curl and Divergence  http://youtu.be/IswmJUCTeNA

문제풀이 by 오교혁  http://youtu.be/j7F3xVNdHvA

15.6 Surface and Area   http://youtu.be/xX6tNVpegbs

15.7 Surface Integrals  http://youtu.be/nrzIrM4doLo

문제풀이 by 이원준  http://youtu.be/s_MRgW2By38

15.8 Stokes’ Theorem   http://youtu.be/t4skc_PzJvg

15.9 Divergence Theorem  http://youtu.be/3BmcFr81kuQ

문제풀이 by 최주영  http://youtu.be/vGMLoGWF1Is

Part I  Single Variable Calculus

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/part1.html

Part II  Multivariate Calculus

[Grapher]

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-integral2.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-inverse.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-Newton-method.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-derivatives.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-integral.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-integral2.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/SKKU-Cell-Matrix-Calculator.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Fermat-Spiral.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Freeth-Nephroid.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Durer-Shell-Curves.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Newton-Diverging-Parabolas.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Talbot-Curve.html

Calculus with Sage p.568 Problem 9.1 #5

Solved by 이인행, Revised by 김태현, Finalized by SGLee and Final OK by SGLee

5. Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.

[Another solution]

We try to use the squeeze theorem.

For all natural number n2, we know and

0= = 0.

So we can easily find that

var('x, i, n')

p1 = plot((x^2 - 2*x + 3)/(2*x^3 + 2), (x, 1, 50), rgbcolor=(1,0,0))

p2 = list_plot([(i^2 - 2*i + 3)/(2*i^3 + 2) for i in range(0, 51, 1)], rgbcolor=(0,0,1))

show(p1+p2)

Answer : The series is convergent and the limit is 0.

Calculus with Sage p.575 Problem 9.1 #7

Solved by 최양현 Revised by 김건호 Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

7. Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.

Sol)

var('x, i, n')

p1=plot((sin(x))^2/(3^x), (x, 1, 20), rgbcolor=(1, 0, 0))

p2=list_plot([(i,(sin(i))^2/(3^i)) for i in range(1, 21, 1)], rgbcolor=(0, 0, 1))

show(p1+p2)

Note : 아래 Sage graph는 이 0으로 수렴함을 한눈에 보여준다.

Calculus with Sage p.571 Problem 9.1 #10

Solved by 김범윤 Revised & Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

10. Determine whether the sequence converge or diverges. If it converges, find the limit

Sol)

By L'Hopital's Rule,

var('n')

a(n) = (3/n)^(2/n)

limit(a(n), n=+oo)

Ans : 1

var('x, a, n')

p1=plot((3/x)^(2/x), (x,1,20), rgbcolor=(1,0,0))

p2=list_plot([(a,(3/a)^(2/a)) for a in range(1,21,1)], rgbcolor=(0,0,1))

show(p1+p2)

Note : 위의 Sage graph는 이 1로 수렴함을 보여준다.

Solved by 오교혁 Revised by 최양현 Finalized by 최양현 Final Ok by SG LEE

20. Determine whether the following series is convergent or divergent. Find the sum if it is convergent.

Sol)

But, is not convergent and is convergent.

Thus, is divergent

 var('n') a(n) =  ((3/n)-(1/(3)^n)) sum(a(n), n, 1, +oo)

sum(0(n-3^(n+1))*3^(-n)/n, n, 1, +infinity)

Calculus with Sage p.574 Problem 9.1 #21

Solved by 최양현 Revised by 김건호 Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

21. Determine whether the series converges or diverges. If it converges, find the sum.

Sol)

var('n,s')

a(n) = (1/7)^n

b(n) = (3/7)^n

c(n) = (5/7)^n

s = sum(a(n), n, 1, +oo) + sum(b(n), n, 1, +oo) + sum(c(n), n, 1, +oo)

show (s)

Note : 한번에 3항을 더하려고 하면 가 되어 위와 같이 단순화하여 더하는 것이 현명하다.

■

Calculus with Sage p.575 Problem 9.1 #22

Solved by 최양현 Revised & Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

22. Determine whether the following series is convergent or divergent. Find the sum if it is convergent.

Sol)

Let = .

By L'Hopital's Rule,

=

Since , the series is divergent.

 var('n') a(n)=(sqrt(n))/(log(n+1)) lim(a(n), n= +oo)

+Infinity

Note : 위 Sage 명령어는  이 발산함을 확인한 것이다.

Calculus with Sage p.575 Problem 9.1 #23

Solved by 김유경 Revised by 이인행 Revised by 이원준 Final OK by SGLee

23. Determine whether the series is convergent or divergent. Find the sum if it is convergent.

Sol)     =   ()

therefore, is convergent.

can be obtained by sage.

 var('n') a(n) =  (sin(2))^n sum(a(n), n, 1, +oo).n()

Note : 와 같이 표현될 수 있고, 그 값이 유한하므로 은 수렴한다.

■

Calculus with Sage p559 Exercise 9.1 #24

Solved by 이원준 Revised and Finalized by 이한울 Final OK by SGLee

(Old) Determine whether the following series is convergent or divergent. Find the sum if it is convergent.

Sol) Let .

We have .

So the series is divergent.

Solved with Sage) [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Cell No.1 Code var('k n x') sum(ln(1+1/k), k,1,n) Answer log(n + 1)

 Cell No.2 Code plot(sum(ln(1+1/k), k,1,x)) Answer Graph 1

 Cell No.3 Code limit(sum(ln(1+1/k), k,1,n),n=+oo) Answer +Infinity

Calculus with Sage p.570 Problem 9.1 #26

Solved by 이인행 Final OK by SGLee

26. Express the number as a ratio of integers.

Sol)

 var('n') a(n) =  83/(10^(2*n)) s = sum(a(n), n, 1, +oo) show(s) R = RealField(200) R(s)

Calculus with Sage p561 Exercise 9.2 #02

Solved by 김범윤 Revised by 이원준 finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Determine whether the series is convergent or divergent using the Integral Test.

Sol)

Let .

We have Since (by L’ Hopital’s rule)

So, this series is convergent.

 var('x') f=x*exp(-x) integral(f, x, 1, oo)

수식 답:  gamma(2,1)                                     ■

Calculus with Sage p 562 Exercise 9.2 #05

Solved by 오교혁 Revised by 최양현  Finalized by 김범윤 Final OK by SGLee

Determine whether the series is convergent or divergent using the Integral Test.

Sol) The function is continuous, positive on ,

and also decreasing since when , so we can use the Integral Test and .

.

Let

So,

Hence by the Integral Test, converges.

[Sage]

 var('n') f=1/(n*ln(n)^2) integral(f, n, 2, +oo)

 1/log(2)

So, the series is convergent.             ■

Calculus with Sage p 561 Exercise 9.2 #03

solved by 서용태 revised by 오교혁 Finalized by 김범윤 Final OK by SGLee

Determine whether the series is convergent or divergent using the Integral Test.

Sol)

because when .

Let .

is continuous on . when .

So, is decreasing for .

Now use Integral Test.

Hence, is convergent.

By the Comparison Test, is also convergent.

 var('n') f=e^(1/n^2)/n^2 integral ( f, n, 1, oo)

 1/2+e*gamma(-1/2, 1)

.

So, the series is convergent.

cf) gamma(a,z)=        ■

Solved by 최양현 Revised by 김범윤 Finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 563 Exercise 9.2 #07

Find the values of  for which the series is convergent.

Sol )

We have already shown (in Exercise 4) that when , the given series is divergent. Let us assume .

is continuous, positive on ,and also decreasing since

, If . So, if we can use the Integral Test and .

For Integral Test,

Thus the series converges for .

Solved 오교혁 Revised by 최양현 Finalized by 김범윤 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 563 Exercise 9.2 #09

Test for convergence or divergence of the series.

Sol)

So, is convergent by comparison with (The p-series. )

 var('n') f=(1)/(n^2) integral(f,n,1,oo)

 1

is convergent. So, is convergent.       ■

Solved by 오교혁 Revised by 최양현 Finalized by 김범윤 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 563 Exercise 9.2 #10

Test for convergence or divergence of the series.

Sol)

Use the limit comparison test with

Since convergent, convergent.

 var('n') u(n)=(5^n+2^n)/(8^n+3^n) limit(u(n+1)/u(n), n=+oo)

 5/8

By ratio test, is convergent.

Calculus with Sage p.575 Problem 9.2 #11

Solved by 김범윤 Revised & Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

11. Test for convergence or divergence of the series.

Sol)

Since, the given series is absolutely convergent by the Ratio Test and therefore the series is convergent.

 var('n') a(n)=2^n*factorial(n)/n^n limit(a(n+1)/a(n), n=+oo)

 bool(2*e^(-1)<1)

Note : Sage 명령어로 ratio가 수렴하는 것과 수렴값이 1보다 작은 것을 확인하였다. ■

Solved by 김범윤 Revised by 오교혁 Finalized by 김범윤

Calculus with Sage p 564 Exercise 9.2 #12

Test for convergence or divergence of the series.

Sol 1)

Using Integral Test.

by L’ Hopital’s rule,

by L’ Hopital’s rule,

So, this series is convergent.

Sol 2)

Let ,.

.

.

By ratio test, this series is convergent.

 var('n') u(n)=n^2/3^n limit(u(n+1)/u(n), n=+oo)

 1/3

is convergent. (by ratio test)                ■

Solved by 김유경 Revised by 김동윤 Revised by 오교혁 Finalized by 김유경 Final OK by SGLee

Section 9.2 Exercises 13

Test for convergence or divergence of the series.

Sol) Let and . =.

The limit comparison test

is convergent. ( is convergent by p-series test. )

Solved by 최양현 Revised by 김범윤 Finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 565 Exercise 9.2 #17

Find the radius of convergence of .

Sol)

Let .

Then,

Therefore, the series converges for all and diverges for .

Thus the radius of convergence is .

 var('n, x') a(n) = (e^n)/(sqrt(4^n+1)) rho(n)=(abs(a(n)))^(1/n) limit(rho(n), n=oo)

e^(-1/2^log(4) + 1)

solved by 서용태 finalized by 김유경 Final OK by SGLee

3. Find a formula for the general term of the sequence, assuming that the pattern of thee first few terms continues.

{}

Sol)

, , , ⋯

Sage를 이용하여서 를 그리고 의 포인트 마다 점을 찍어 보고 의 극한 값을 구해보았다.

 var('x i n') p1 = plot((1/(x^2+1)), (x, 1, 20)) p2 = list_plot([1/(i^2+1) for i in range(0, 20, 1)], rgbcolor=(1,0,0)) show(p1+p2) limit(1/(n^2+1), n=+oo)

Solved by 이원준 Finalized by 이원준 Final OK by SGLee

HONOR CALCULUS Ch 9.3 Page 596 Exercise 9

Test whether the series is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.

Sol)

Let

So this series is divergent by ratio test.

Solved by 오교혁 Revised by 최양현 Finalized  by 김유경 Final OK by SGLee

14. Determine whether the sequence converges of diverges. If it converges, find the limit.

Sol)

By`L prime Hopital prime s`Rule.

Hence,`this`series`is`convergent.

 var('n') a(n) = (ln(n)^2)/(n) lim(a(n), n=+oo

0

So is convergent to 0

Sage를 이용하여서 을  그려 보았습니다.

 var('n') a(n) = (ln(n)^2)/(n) plot(a(n),(n,1,10000))

그래프에서 n이 무한이 커지면 a(n)이 0으로 수렴한 다는 것을 알 수 있다.

Solved by 오교혁 Revised by 최양현 Finalized by 김유경 Final OK by SGLee

15. Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.

Sol)

Since ,

Therefore,

Hence, this series is convergent.

 var('n') a(n) = (2^n+2/(e^n) lim(a(n), n=+oo)

0

So is convergent to 0

Sage를 이용하여서 를 그려보면 다음과 같다.

 var('n') a(n) = (2^n+2)/(e^n) plot(a(n),(n,1,100))

n이 커짐에 따라서 a(n)이 0으로 접근하는 것을 볼 수 있다.

Solved by 오교혁 Revised by 구본우 Finalized by 김범윤 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 568 Exercise 9.3 #11

Test whether the series is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent

Sol 1) [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 var('n') f=cos(n*pi/3)/(factorial(n)) sum( f, n, 1, +oo)

e-1

so is convergent.

Sol 2)

Absolutely convergent test
for all n.

Let .

Using ratio test,

is absolutely convergent.

Hence, is also absolutely convergent.    ■

Solved by 김유경 Revised by 김동윤 Finalized by 서용태 Final OK by SGLee

Section 9.3  13.

13) Test whether the series is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.

Series :

Sol)

Let .

Use the ratio test to determine whether a is absolutely convergent.

=  = =1

Therefore, the ratio test is inconclusive, so I use the alternating series test.

Let

Then,   , so . Also,

is conditionally convergent, by the alternating series test.

Calculus with Sage  9.4 (Power Series)

Solved by 김태현 Revised by 순샤오웨이 Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

1 Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

1. .

as .

Using the Ratio Test, the given series is absolutely convergent and therefore convergent when , and divergent when .

If , then the series becomes , which is divergent.

If , then the series becomes , which converges by the Alternating Series Test.

Thus, the given power series converges for . So, and .

9.4 #3 (Old). Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

Sol)

Let , and . by using the ratio test, we have

if  , , and converges.

So = 1, and = (-1,1)

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-10-4-3.html

var('n')

u(n)=1/factorial(2*n)

rho=limit(abs(u(n+1)/u(n)), n=+oo)

rho

0

Note : 위의 Sage 명령어는 이면 임을 보여준다.

Calculus with Sage p.568 Problem 9.4 #7

Solved by 최양현

Finalized by 이원준

Old) Determine the radius of convergence and interval of convergence of the following series.

Sol) Let

(for all )

Thus, and by root test.

9.4 8. .

 var('n') u(n)=1/(n^2*2^n) rho=limit(abs(u(n+1)/u(n)), n=+oo) R=1/rho; R

2

Solved by 김유경 Revised by 김동윤 Finalized by 서용태 Final OK by SGLee

Section 9.4

13) Determine the interval of convergence of a power series representation for the function f(x)

Series :

Sol)

(because power series)

The interval of convergence is (-1,1) because this series converges when .

Sage graph [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 var('x') plot(2/(1-x^4))

Solved by 김유경 Revised by 김동윤 Finalized by 서용태 Final Ok by SGLee

Section 9.4

18) Evaluate the indefinite intergral as a power series and fine the radius of convergence.

Function

Solution :

( by power series)

is convergent when .

Therefore, the interval of convergence is (-1,1).

Sage graph [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 var('x') plot(x^2/(1-x^6))

Note : -1<x<1 사이에서 수렴함을 구하고 그래프를 통해 확인할 수 있다.

Solved by 최주영 Revised by 김태현 Final OK by S. G. LEE

9.5 Exercises (Taylor, Maclaurin, and Binomial Series)

6.  Obtain the Taylor series for f(x) about a, where f(x) = , a=2

Sol)

var('x')

f(x)=exp(-2*x)

g(x)=f.taylor(x,2,4)

p1=plot(f,(x,0,4))

p2=plot(g,(x,0,4),color="red",linestyle='--')

show(p1+p2)

print g

x |--> 2/3*(x - 2)^4*e^(-4) - 4/3*(x - 2)^3*e^(-4) + 2*(x - 2)^2*e^(-4) - 2*(x - 2)*e^(-4) + e^(-4)

Solved by 최양현 Revised by 김범윤 Finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 577 Exercise 9.5 #07

Obtain the Taylor series for about , where

,

Sol)

If ,

So,

Solved by 이원준 Finalized by 이원준 Final OK by SGLee

HONOR CALCULUS Ch 9.5 Page 632 Exercise 10

Find the Maclaurin series for the given function.

(Use ).

Sol)

First we know Maclaurin series of

(from page 618 Example3  ).

So we have .

That is,

Calculus with Sage Problem 9.5 #13

Solved by 최주영 Revised by 구본우 Finalized by 이인행 and 서용태 Final OK by SGLee

13. Evaluate the indefinite integral as an infinite series.

Sol)

as Maclaurin series.

so,

(C is constant, )

Also, we can get the result by Sage.

 var('x') f=sin(x)/x g=f.taylor(x,0,10) integral(g,x)

Ans : -1/439084800*x^11 + 1/3265920*x^9 - 1/35280*x^7 + 1/600*x^5 - 1/18*x^3 + x

solved by 오교혁 revised and finalized by 김태현 Final OK by S. G. LEE

9.5 #15 If and , describe the set of all points such that .

is the is the

so the .

so the is the sphere which sphere's center is

sol)

we can rewrite as

so we can find the equation of the sphere

and I'll show the graph by letting () to easily visualize.

var('x,y,z')

implicit_plot3d(9==(x-3)^2+(y-3)^2+(z-3)^2, (x, 0, 6), (y, 0, 6), (z, 0, 6), opacity=0.5)

Solved by 김유경 Revised by 김동윤 Finalized by 서용태 Final OK by SGLee

Section 9.5 Exercise

18) Obtain the binomial series and radius of convergence of the function.

Sol)

is convergent when

Therefore the radius of convergence of this function is 1.

Sage graph show [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 var('x') f=(x+x^2)/(1+x)^3 plot(f)

Solved by 이원준 Finalized by 이원준 Final OK by SGLee

HONOR CALCULUS Ch 9.5 Page 636 Exercise 22

Evaluate using the binomial series where .

Sol)

And Maclaurin series of ;

So we can evaluate by comparison term of with .

=>

So we have .

NOTE : By using Maclaurin series we can evaluate (for ) easily.

Presented by 김태현

Chapter. 11.1 Exercises.

[1-2] Draw the surface in

Chapter. 11.1 1.

 Code var('x,y,z') implicit_plot3d(2*x-3*y+z==1, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5)) Answer

Chapter. 11.1 2.

<Solve>

 Code var('x,y,z') implicit_plot3d(x^2-y^2==3, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5)) Answer

Chapter. 11.1 3. Find the lengths of the sides of the triangle with vertices A(1,3,-2), B(3,1,-3) and C(2,-1,-1) is ABC a right triangle? Is it an isosceles trangle?

<Solve>

By hand :

so we can find this triangle isosceles triangle

By Sage :

 Code A=(1,3,-2) B=(3,1,-3) C=(2,-1,-1) show(point3d([A,B,C])+line([A,B])+line([B,C])+line([C,A])) AB=sqrt((1-3)^2+(3-1)^2+(-2-(-3))^2); BC=sqrt((3-2)^2+(1-(-1))^2+(-3-(-1))^2); CA=sqrt((2-1)^2+(-1-3)^2+(-1-(-2))^2); print AB print BC print CA Answer 3 3 3*sqrt(2)

Chapter. 11.1 4. Find the distance from (3,-4,5) to each of the following

(a) The x-axis    (b) The y-axis     (c) The z-axis

(d) The xy-plane  (e) The yz-plane   (f) The xz-plane

<Sol> By hand

(a) (b) (c) 5 (d) 5 (e) 3 (f) 4

By Sage [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Code x = (3,-4,5) a=sqrt(x[0]^2) #yz평면과의 거리 b=sqrt(x[1]^2) #zx평면과의 거리 c=sqrt(x[2]^2) #xz평면과의 거리 d=sqrt(x[1]^2 +x[2]^2) #x축과의 거리 e=sqrt(x[0]^2 +x[2]^2) #Y축과의 거리 f=sqrt(x[0]^2 +x[1]^2) #Z축과의 거리 a,b,c,d,e,f Answer 3, 4, 5, sqrt(41), sqrt(34), 5

Chapter. 11.1 5. Find an equation of the sphere with center (2,-4,1) and radius 3. What is the intersection of this sphere with the yz-plane?

<Sol> By hand : An equation of sphere : , and intersection of this sphere and yz-plane can be obtained by replacing x=o

By Sage [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d((x-2)^2+(y+4)^2+(z-1)^2==9, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s2=implicit_plot3d(x==0, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='green', opacity=0.5) s1+s2 Answer

Chapter. 11.1 6. Find an equation of the sphere that passes through the point (-1, 4, 3) and has center (5, 1, -1)

<Sol> By hand : distance between (-1, 4, 3) and (5, 1, -1) is the radious of the sphere

distance

equation of the sphere

[7-8] Show that the equation represents a sphere, and find its center and radius

Chapter. 11.1 7.

<Sol> By hand : we can find equation of sphere :

Chapter. 11.1 8.

<Sol> By hand : equation of the sphere：

Chapter. 11.1 9. (a) Prove that the midpoint of the line segment from

to is

(b) Find the lengths of the medians of the triangle with vertices A(1,2,3), B(0,3,-1 and V(5,1,-2)

<Sol> By hand : midpoint of the line AB

lengths of the of the medians of the triangle with vertices

[10-16] Determine the Region of represented by the equation or inequality

Chapter. 11.1 10.

<Sol> By Sage [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x==8, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s1 Answer

Chapter. 11.1 11.

<Sol> By Sage

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(z==2, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s2=implicit_plot3d(z==3, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s3=implicit_plot3d(z==4, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s1+s2+s3 Answer

Chapter. 11.1 12.

<Sol> By Sage [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(y==0, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s2=implicit_plot3d(y==1, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s3=implicit_plot3d(y==2, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s4=implicit_plot3d(y==3, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s5=implicit_plot3d(y==4, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s6=implicit_plot3d(y==5, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s7=implicit_plot3d(y==6, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s8=implicit_plot3d(y==7, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7+s8 Answer

Chapter. 11.1 13.

<Sol> By Sage [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x^2+y^2==3, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-2,0.5), color='red', opacity=0.3) s2=implicit_plot3d(z==-1, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-2,0.5), color='green', opacity=0.5) s3=implicit_plot3d(x^2+y^2==3, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-0.99,-1.01), color='blue') s1+s2+s3 Answer

Chapter. 11.1 14.

<Sol> By Sage

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x^2+y^2==9, (x,-5,5), (y,-5,5), (z,-10,10), color='blue', opacity=0.3) s1 Answer

Chapter. 11.1 15.

<Sol> outside surface of sphere

By Sage

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x^2+y^2+z^2==2*x, (x,-2,2), (y,-2,2), (z,-2,2), color='blue', opacity=0.3) s1 Answer

Chapter. 11.1 16.

<Sol> inside surface of cylinder

By Sage [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x^2+z^2==9-2*z, (x,-5,5), (y,-5,5), (z,-5,5), color='blue', opacity=0.3) s1 Answer

Chapter. 11.1 17. The half-space consisting of all points to the left of the yz-plane

<Sol>

By Sage [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x==0, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='blue', opacity=0.2) s2=implicit_plot3d(x==1, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s3=implicit_plot3d(x==2, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s4=implicit_plot3d(x==3, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s5=implicit_plot3d(x==4, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s6=implicit_plot3d(x==5, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s7=implicit_plot3d(x==6, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s8=implicit_plot3d(x==7, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s9=implicit_plot3d(x==8, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s0=implicit_plot3d(x==9, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.9) s1+s2+s3+s4+s5+s6+s7+s8+s9+s0 Answer

Chapter. 11.1 18. The solid rectangular box in the first octant bounded by the planes x=1, y=3 and z=2.

 Code var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x==0, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='blue', opacity=0.3) s2=implicit_plot3d(y==3, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='red', opacity=0.3) s3=implicit_plot3d(z==2, (x,-10,10), (y,-10,10), (z,-10,10), color='green', opacity=0.3) s1+s2+s3 Answer

Calculus with Sage p 643 Exercise 11.1.  8

Solved by 김동윤 Revised & Finalized by 김유경 Final OK by SGLee

Show that the equation represents a sphere and find its center and radius.

Sol)

 var('x, y, z') p1=implicit_plot3d(4*x^2+4*y^2+4*z^2-20*x+24*y==5, (x,-10, 10),(y,-10, 10), (z,-10, 10), opacity=0.2, color="red") show(p1)

Calculus with Sage 11.1.  #13

Solved by 김동윤 Revised & Finalized by 김유경 Final OK by SGLee

Determine the region of represented by the equation of inequality.

Sol)

So the region consists of those points whose distance from the point (1,1,0) is greater than

This is the set of all point outside the sphere with radius and center (1,1,0)

 var('x, y, z') s1=implicit_plot3d(x^2+y^2+z^2==2*x+2*y, (x,-1,3), (y,-1,3), (z,-2,2), color='red', opacity=0.3) s1

빨간 구가 나타내는 부분 바깥 부분이 이 나타내는 부분이다.    ■

Solved by 김범윤 revised finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 643 Exercise 11.2 #01

Determine .

(a) , .

(b) , .

Sol)

(a) ,

(b) ,                ■

 a=vector([2, 5]) b=vector([-3, 1]) a-b

(-5, -4)

 a=vector([5, -3]); b=vector([10, 7]); a-b

(5, 10)

Solved by 최양현 Revised by 김범윤 Finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 643 Exercise 11.2 #02

Determine ,

, .

Sol)

Let .

Then,

So, .

 v1=vector([-1,2,3]) v2=vector([-2,1,-2]) v2-v1

 (-1, -1, -5)

Solved by 오교혁 Revised by 최양현  Finalized by 최양현 Final OK by SG LEE

11-2 #3 Find the sum of the given vectors.

Sol)

<-1,4>+<3,-1>=<2,3>

Sage)

 a=vector([-1, 4]); b=vector([3, -1]); a+b

The solution of this sum of vector is [2, 3]                            ■

Solved by 김범윤 finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 643 Exercise 11.2 #04

Find the sum of the given vectors.

,

Sol)

If, ,

.

[Sage] [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 v1=vector([0, 1, -4]); v2=vector([0, 2, 0]); v1+v2

Solution is (0, 3, -4).

Solved 최양현 Revised by 김범윤 Finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 643 Exercise 11.2 #05

Compute .

, .

sol)

 a=vector([5,3]) b=vector([-3,2]) print a.norm() print a+b print 2*a-3*b print (a-b).norm()

 sqrt(34) (2, 5) (19, 0) sqrt(65)

Solved by 오교혁 Revised by 최양현 Finalized by 김범윤 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 644 Exercise 11.2 #06

Compute and .

The first vector a is

the second vector b is

Sol)

is the length of vector.

So, .

Sum of vector is the sum of each vector components. So is .

is the subtract of each vector components. so is .

is the length of a vector

is .

So, is

 a=vector([5, -1, 3]) b=vector([-1, 3, -2]) print a.norm() print a.norm() print a+b print 2*a-3*b print (a-b).norm()

 sqrt(35) (4, 2, 1) (13, -11, 12) sqrt(77)
■

Solved by 김범윤 Finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 644 Exercise 11.2 #07

Compute and .

.

Sol)

, ,

So, ,

[Sage] [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 a=vector([1,-3,1]) b=vector([0,1,3]) print a.norm() print a+b print 2*a-3*b print (a-b).norm()

 sqrt(11) (1, -2, 4) (2, -9, -7) sqrt(21)

Solved by 최양현 Revised by 김범윤 Finalized by 오교혁 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 644 Exercise 11.2 #08

Compute .

,

Sol)

Let and .

Then

[Sage] [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 a=vector([3, -4, 0]); b=vector([1, -1, 1]); print a.norm() print a+b print 2*a-3*b print (a-b).norm()

 5 (4, -5, 1) (3, -5, -3) sqrt(14)

■

Sage와 손으로 푼것과의 답이 일치한다.

Solved by 오교혁 Revised by 최양현 Finalized by 김범윤 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 644 Exercise 11.2 #09

Determine a unit vector that has the same direction as .

Sol)

Length of is

So, is unit vector.

[Sage] [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 v1= vector([7,-3,1]); v2= v1.norm(); v3= v1/v2; print v3;

 (7/59*sqrt(59), -3/59*sqrt(59), 1/59*sqrt(59))
■

Solved by 김범윤 Revised by 오교혁 Finalized by 최양현 Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 645 Exercise 11.2 #11

A clothesline is tied between two poles, 6m apart. The line is quite tight and has negligible sag. When a wet shirt with a mass of 0.8kg is hung at the middle of the line, the midpoint is pulled down 6cm. Find the tension in each half of the clothesline.

Sol)

Let and represent the tension vectors in each side of the clothe line as shown in the figure.

Let , .

,

and , and

So,

in ,

So,

,

 T1=vector([50, 1]) T2=vector([-50, 1]) print T1+T2 print 0.8*9.8/2*T1 print 0.8*9.8/2*T2

 (0,2) (196.000, 3.9200) (-196.000, 3.9200)

(0,2) mean Sum of tensions and  (196.000, 3.9200) mean tension T1 vector

and (-196.000, 3.9200) mean tension T2 vector.       ■

solved by 김동윤 revised & finalized by 김유경 Final OK by SGLee

11.3.8 Compute the angle between the vectors

Sol)

(a) =<5,-2>, =<3,3>

Hence the angle between and is

(b) = <3, -1, 2>, =<1, 2, 3>

Hence the angle between and is

def anglebetween(a,b):

return arccos(a.dot_product(b)/(a.norm()*b.norm()))

a=vector([5,-2])

b=vector([3, 3])

c=vector([3,-1,2])

d=vector([1,2,3])

print "The angle between a and b is", anglebetween(a,b).n(), "radians"

print "The angle between a and b is", anglebetween(a,b).n()*180/pi.n(), "degrees"

print "The angle between a and b is", anglebetween(c,d).n(), "radians"

print "The angle between a and b is", anglebetween(c,d).n()*180/pi.n(), "degrees"

결과

The angle between a and b is 1.16590454050981 radians

The angle between a and b is 66.8014094863518 degrees

The angle between a and b is 1.04719755119660 radians

The angle between a and b is 60.0000000000000 degrees

print arccos(3/(58)^0.5).n()

print arccos(0.5).n()Sage

결과1.16590454050981

1.04719755119660

=> 손으로 푼것과 sage를 이용한 것의 답이 일치한다.                 ■

solve by 김유경 revised by 이지석 finalized by 서용태 Final OK by SGLee

Section 11.4

3) Find the cross product and verify that it is orthogonal to both a and b.

=<3,1,-1> =<-2,1,1>

Sol)

[Sage] [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 a=vector(QQ, [3, 1,-1]) b=vector(QQ, [-2,1,1])  c=a.cross_product(b)   show(c)

Solved by 김태현 Final OK by S. G. LEE

11.4 #10 변형

Find the area of the parallelogram with vertices A(0,1), B(2,4), C(4,1) and D(2,-2)

Sol)

1 ) Using hand writing.

 ,

Area of the parallelogram : 12

2 ) Using a Sage tools. [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 A=vector((0,1)) C=vector((2,1)) B=vector((1,4)) D=vector((1,-2)) show(point([A,B,C,D])+line([A,B])+line([B,C])+line([C,D])+line([D,A]))

Area of the parallelogram : 12

Solved by 김태현 Final OK by S. G. LEE

11.4 #12 변형

Find the vector perpendicular to the plane through the points P,Q and R. P(1,0,0), Q(3,1,1), R(4,-1,-4).

Sol)

1) Using hand writing.

 ,

2) Using a Sage tools. [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 P=vector([1,0,0]); Q=vector([3,1,-1]); R=vector([4,-1,-4]); PQ=Q-P PR=R-P PQ.cross_product(PR)

Solved by 김태현 Final OK by S. G. LEE

11.4 #15 Find the area of triangle PQR, P(2,0,-1), Q(3,1,6), R(-1,3,4).

Sol

1) Using hand writing.

 =(1,1,7) =(-3,3,5) =22  ∴=11

2) Using a Sage tools. [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 P=vector([2,0,-1]); Q=vector([3,1,6]); R=vector([-1,3,4]); PQ=Q-P; PR=R-P; CP=PQ.cross_product(PR); 1/2*CP.norm()

Exercise 23] if a=, , and , then find .

Solved by 김태현 Revised and Finalized by 이한울 Finalized by Sang-gu Lee

Sol)  Using Sage) http://math1.skku.ac.kr/home/pub/1339/

1) Using hand writing.

Answer : b = (1,0,0) or (0,0,-1).

2) Using a Sage tools. [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

 Cell NO. 1 Code var('x y z') a=vector((1,0,1)) b=vector((x,y,z)) c=a.cross_product(b) c Answer (-y, x - z, y)
 Cell NO. 2 Code eq=(c[0]==0, c[2]==0) solve(eq,y) Answer [[y == 0]]
 Cell NO. 3 Code print b.norm() Answer sqrt(abs(x)^2 + abs(y)^2 + abs(z)^2)
 Cell NO. 4 Code eq=(x-z==1, sqrt(x^2+z^2)==1) solve(eq,x,z) Answer [[x == 0, z == -1], [x == 1, z == 0]]

Answer : b = (1,0,0) or (0,0,-1).

Calculus with Sage p.669 Problem 11.5 #12

Solved by 구본우 Revised by 김건호 Final OK by SG Lee

12. Determine whether the lines L1 and L2 are parallel, skew, or intersecting. If they intersect, find the point of intersection.

Sol)

By this, two lines are not parallel.

And if they had a point of intersect A (a, b, c),

The two lines do not have point(s) of intersection

Answer: Two lines are not parallel and there's no point of intersection, so they are skewed lines.

Using Sage we can easily show that they are skewed lines:

var('s, t')

r_1=vector([1,4,-1])

d_1=vector([2,3,-1])

r_2=vector([-1,0,1])

d_2=vector([1,-2,-4])

Ls=r_1+s*d_1

Lt=r_2+t*d_2

print "Clearly the two lines are not parallel and does not have intersection(s)"

parametric_plot3d(Ls,(s,-4,4),color='red',thickness=3)+parametric_plot3d(Lt,(t,-3,3))

Calculus with Sage Problem 11.5 #15

Solved by 최주영 Finalized by 이지석 Refinalized by 이인행 Final OK by SGLee

(new) 15. Find an equation of plane through the point (3, 7, -2) and with normal vector  4i +2j -3k.

Sol)

The vector is a normal vector to the plane

and is a point of the plane. Then

or is the equation of the plane.

 var('x, y, z') P1=implicit_plot3d(4*x+2*y-3*z==32,(x,-30,60),(y,-21,40),(z,-21,40),color='black',opacity=0.6) show(P1)

■

Calculus with Sage p.687 Problem 11.5 #14
Solved by 최주영 Finalized by 이지석 Refinalized by 이인행 Final OK by SGLee

(new) 14. Find an equation of the plane through the point (2, -3, 4) and perpendicular to the vector (3, 3, 7).

Sol)

 var('x, y, z') P1=implicit_plot3d(3*x+3*y+7*z==25,(x,-14,14),(y,-14,14),(z,-14,14),color='black',opacity=0.6) show(P1)

■

Calculus with Sage p688 Problem 11.5 #16

Solved by 최주영 Revised by 이지석 Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

(new)16. Which of the following four planes are parallel?

:       :

:   :

Sol)

= : normal vector of the plane

= : normal vector of the plane

and   : same plane

Let :    :

and are paralell because their normal vector = <2,-3,4> and

= <-4,6,-8> are parallel.

(Two normal vectors and are parallel (=0 or ) if and only if ×=0)

and are parallel.

 var('x, y, z') P1=implicit_plot3d(2*x-3*y+4*z == 7,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='black',opacity=0.9) P2=implicit_plot3d(-4*x+6*y-8*z==-3,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='yellow',opacity=0.9) show(P1+P2)

Calculus with Sage p.669 Problem 11.5 #17

Solved by 김건호 Finalized by 김태현 Final OK by SG Lee

17. Which of the following four lines are parallel?

Sol)

We can solve each equations for t to get direction numbers:

the direction vector of the four lines are given below:

Answer: Since , indicating the two lines are parallel.

Using Sage it is also possible to visualize that and is parallel.1)

var('s, t, u, v')

r_1=vector([1,0,3])

d_1=vector([2,1,-4])

r_2=vector([1,0,13])

d_2=vector([4,2,-1])

r_3=vector([1,0,1])

d_3=vector([1,2,-2])

r_4=vector([1,1,4])

d_4=vector([4,2,-8])

Ls=r_1+s*d_1

Lt=r_2+t*d_2

Lu=r_3+u*d_3

Lv=r_4+v*d_4

print "Clearly only the red and green lines are intersecting"

parametric_plot3d(Ls,(s,-4,4),color='red',thickness=3)+parametric_plot3d(Lt,(t-3,3))+parametric_plot3d(Lu,(u,-3,3),color='black')+parametric_plot3d(Lv,(v-3,3),color='green',thickness=3)

11.5 #17

Solved by 김태현 Final OK by S. G. LEE

Find an equation for the surface obtained by rotating the parabola about the z-axis

Sol)

영어 표현력이 부족하여 이 풀이는 한글로 적겠습니다.

z-x평면 위의 포물선 을 z축을 회전축으로 돌렷을때 z=c평면 위의 회젼체의 한 점 한 점 (a,b,c)와 z축 위의 점 (0.0.c)사이의 거리는 일정하므로

이라는 방정식을 얻을 수 있다.

var('x,y,z')

implicit_plot3d(z==x^2+y^2, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5), opacity=0.5)

Calculus with Sage p.668 Problem 11.5 #18

Solved by 서용태 Revised & Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

18. Find an equation of the plane through the given point with normal vector which is the direction of the line with the given parametric equations.

; , ,

Sol)

The vector is a normal vector to plane, and is a point of the plane.

Therefore, .

Calculus with Sage p.669 Problem 11.5 #20

Solved by 구본우 Revised by 김건호 Finalized by 이지석 Final OK by SGLee

20. Find the distance from the point to the given plane.

(3, 1, 5);

Sol)

The distance from the point to the plane is given by the equation:

Applying and to above equation:

Using Sage, it is possible to obtain the same result:

n=vector(QQ, [2, -1, 3])

d= -4

p=vector(QQ, [3, 1, 5])

dis=abs(n.dot_product(p)+d)/n.norm()

dis

8/7*sqrt(14)

Answer: the distance from the point to the plane is

Calculus with Sage p.688 Problem 11.5 #20

Solved by 최주영 Revised by 이지석 Finalized by 이인행 Final OK by SGLee

(new) 20. Find the distance from the point to the given plane.

;

Sol)

The distance =

Using Sage, it is possible to obtain the same result:

n=vector(QQ, [7, -3, 2])

d= -2

p=vector(QQ, [2, 2, 4])

dis=abs(n.dot_product(p)+d)/n.norm()

dis

Answer: the distance from the point to the plane is   7/31*sqrt(62)

Calculus with Sage p.669 Problem 11.5 #21

Solved by 구본우 Revised by 김건호 Final OK by SG Lee

21. Find the distance from the point to the given plane.

(1, 4, -2);

Sol)

The distance from the point to the plane is given by the equation:

Applying and to above equation:

Using Sage, it is possible to obtain the same result:

n=vector(QQ, [4, -4, 4])

d= -1

p=vector(QQ, [1, 4, -2])

dis=abs(n.dot_product(p)+d)/a.norm()

dis

7/4*sqrt(3)

Answer: the distance from the point to the plane is .■

Calculus with Sage p.668 Problem 11.5 #22

Solved by 구본우

Revised by 이지석

Finalized by 이인행

Final OK by SGLee

22. Find the distance between the given parallel planes

: , :

Sol)

There is one point on

The distance from the point to the plane is given by the equation:

 var('x, y, z') P1=implicit_plot3d(2*x+ y - z == 2,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='blue',opacity=0.3) P2=implicit_plot3d(2*x+ y - z == -3,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='red',opacity=0.3) show(P1+P2)

11.5 #5 변형

solved by 김태현

Final OK by S. G. LEE

var('x,y,z')

implicit_plot3d(y^2+4*z^2-x^2==0, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5), opacity=0.5)

11.5 #5 변형

solved by 김태현

Final OK by S. G. LEE

xyz=3

var('x,y,z')

implicit_plot3d(x*y*z==3, (x, -5, 5), (y, -5, 5), (z, -5, 5), opacity=0.5)

Solved by 김태현

Final OK by S. G. LEE

11.5 #20 변형

Find the distance from the point to the given plane

sol.

n=vector(QQ, [2,-1,2])

d=-4

p=vector(QQ, [3,2,5])

dis=abs(n.dot_product(p)+d)/n.norm()

10/3

Calculus with Sage p.688 Problem 11.5 #23

Solved by 최주영

Revised by 이지석

Finalized by 이인행

Final OK by SGLee

23. Find the distance between the given parallel planes.

: , :

Sol)

There is one point on

The distance from the point to the plane is given by the equation:

 var('x, y, z') P1=implicit_plot3d(3*x+2*y-4*z== 4,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='blue',opacity=0.3) P2=implicit_plot3d(6*x+4*y-8*z == 2,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='red',opacity=0.3) show(P1+P2)

Calculus with Sage p.669 Problem 11.5 #25

Solved by 김태현

Revised by 이인행

Finalized by 이인행

Final OK by SGLee

25. Prove that the distance between the parallel planes and is

Proof) Let be any point on the plane ,

then the distance between the parallel planes is equivalent to the distance from the point to the plane .

The distance from the point to the plane is given by the equation:

Since the point is a point on the plane , it satisfies .

So

Note : 를 만족하는 점 에 대하여 평면 까지의 최단거리를 구하는 것이 위 증명보다 더 좋다.

Calculus with Sage p.669 Problem 11.5 #26

Solved by 구본우

Revised by 이지석

Finalized by 이인행

Final OK by SGLee

26. Plot the two planes and . Find the line of intersection of two planes and hence plot this.

Sol)

, then .

 var('x, y, z') P1=implicit_plot3d(x+y+z== 1,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='blue',opacity=0.3) P2=implicit_plot3d(2*x-y+z == 2,(x,-7,7),(y,-7,7),(z,-7,7),color='red',opacity=0.3) show(P1+P2)

Solved by 김범윤

Revised by 김범윤

Finalized by 김범윤

Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 790 Exercise 12.1 #1

Find the domain of the vector functions.

Sol)

So,

■

Solved by 김범윤

Revised by 이인행

Finalized by 김범윤

Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 790 Exercise 12.1 #4

Find the limit.

Sol)

,

Sage

 var('t') a=limit((t-2)/(t^2-4),t=2) b=limit(sqrt(t+1),t=2) c=limit((sin(t))/((t-1)*cos(t)),t=2) print a,b,c

 1/4 sqrt(3) sin(2)/cos(2)

So, the answer is .          ■

Calculus with Sage Exercise 12.1 #6

Solved by 이원준

Finalized by 이원준

Final OK by SGLee

Sketch curves with the given vector equations. Indicate with an arrow the direction in which increases.

.

Sol) Using Sage. [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

Solved by 김범윤

Revised by 이인행

Finalized by 김범윤

Final OK by SGlee

Calculus with Sage p 791 Exercise 12.1 #7

Sketch curves with the given vector equations. Indicate with an arrow the direction in which increases.

Sol)

Sage

 var('t') r=vector([t^2,t,t^3]) f=parametric_plot3d(r,(t,0,4),thickness=2) t1=1 t2=2 t3=3 dt=0.5 a1=arrow3d(r(t=t1),r(t=t1+dt),thickness=5) a2=arrow3d(r(t=t2),r(t=t2+dt),thickness=5) a3=arrow3d(r(t=t3),r(t=t3+dt),thickness=5) f+a1+a2+a3

 positive octant, plane, plane, plane.

Solved by 오교혁

Revised by 최양현

Finalized by 최양현

Final OK SG LEE

12.1 # 8 Sketch curves with the given vector equations. Indicate with an arrow the direction in which  increases.

r   i j sink.

var('t')

r=vector([t,t,sin(t)])

a=0

b=2*pi

C=parametric_plot3d(r,(t,a,b),color='green',thickness=2)

t1=pi/10

Dt=0.1

tt1=t1+Dt

t2=2*pi/3

tt2=t2+Dt

t3=5*pi/3

Ar1=arrow3d(r(t=t1),r(t=t1+Dt),color='green',thickness=4)

Ar2=arrow3d(r(t=t2),r(t=t2+0.05),color='green',thickness=4)

Ar3=arrow3d(r(t=t3),r(t=t3+Dt),color='green',thickness=4)

C+Ar1+Ar2+Ar3

Calculus with Sage Exercise 12.1 #9

Solved by 이원준

Finalized by 이원준

Final OK by SGLee

Sketch curves with the given vector equations. Indicate with an arrow the direction in which increases.

Sol) Using Sage.

Calculus with Sage p 793 Exercise 12.1 #10

Solved by 김범윤

Revised & Finalized by 이인행

Refinalized by 이인행

Final OK by SGLee

10. Find vector equations and parametric equations for the line segment to .

, .

Sol)

Let,

Vector equation

()

Parametric equation

,

Calculus with Sage Exercise 12.1 #11

Solved by 이원준

Finalized by 이원준

Final OK by SGLee

Find vector equations and parametric equations for the line segment to .

,

Sol)

Vector equations :

Parametric equations :

Solved by 김범윤

Revised by 이인행

Finalized by 김범윤

Fianl OK by SGLee

Calculus with Sage p 794 Exercise 12.1 #13

Show that the curve with parametric equations , , is the curve of intersection of the surfaces and .

Sol)

, period : . So, .

Sage

 var('x, y, z, t'); p1=plot3d(x^2/4, (x, -2, 2), (y, -2, 2), color='blue', opacity=0.5); p2=implicit_plot3d(x^2+y^2==4, (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, 0, 1), color='green', opacity=0.5); p3=parametric_plot3d((2*sin(t), 2*cos(t), (sin(t))^2), (t, 0, 2*pi), color='red',thickness=5); show(p1+p2+p3);

 and //, and , ,

Note : 면 두 개의 그래프를 그리고 그 교선이 문제에서 주어진 곡면과 일치하는지를 보는 코드를 짜보았다. 확인을 쉽게 하기 위하여 투명도를 0.5로 주었다.

Solved by 김범윤

Revised by 이인행

Finalized by 김범윤

Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 795 Exercise 12.1 #16

Find vector functions that represent the curves of intersection of the two surfaces.

The cylinder and the surface .

Sol)

Parametric equation is

Then

So, is the vector equation of the answer.

Sage

 var('x, y, z, t'); p1=plot3d(2*x*y, (x, -sqrt(7), sqrt(7)), (y, -sqrt(7), sqrt(7)), color='green', opacity=0.5); p2=implicit_plot3d(x^2+y^2==7, (x, -sqrt(7), sqrt(7)), (y, -sqrt(7), sqrt(7)), (z, -14, 14), color='blue', opacity=0.5); p3=parametric_plot3d((sqrt(7)*cos(t), sqrt(7)*sin(t), 7*sin(2*t)), (t, 0, 2*pi), color='red',thickness=4); show(p1+p2+p3);

 , //, ,

Note : 문제에서 주어진 두 면을 세이지를 통해 표현 한 뒤, 그 위에 문제에서 구한 답을 표현해서 답()이 맞는지 확인해 보았다.

확인을 쉽게 하기 위하여 투명도를 0.5로 주었다.

Solved by 김범윤

Revised by 이인행

Finalized by 김범윤

Final OK by SGLee

Calculus with Sage p 796 Exercise 12.1 #19

If two objects travel through space along two different curves, it is important to know whether they will collide (Will a missile hit its moving target? Will two aircraft collide?) The curves might intersect, but we need to know whether the objects are in the same position at the same time. Suppose the trajectories of two particles are given by the vector function.

, for .

Do the particles collide?

Sol)

If the particles collide,

,

, ,

but, there is no , satisfying those equations.

So, the particles do not collide.

Sage

 var('t') a=parametric_plot3d((t^2, 5*t-9, t^2),(0, 5),color='red',thickness=2) b=parametric_plot3d((3*t-2, t^2, 4*t-5),(0, 5),color='blue',thickness=2) a+b

No collision.■

Note : 벡터함수로 표현된 두 곡선을 Sage를 이용하여 그려본 뒤 교점이 없음을 확인함.

Calculus with Sage Exercise 12.2 #12

Solved by 이원준

Finalized by 이원준

Final Ok by SGLee

Find the unit tangent vector at the point with the given value of the parameter .

, .

Sol)

So , .

Therefore, .

12.3 EXERCISES (Arc Length and Curvature)

1-5. Find the length of the curve.

Calculus with Sage p830 Exercise 12.3 #1

Solved by 이한울

Old) Find the length of the curve.

, .

Sol)  .

.

.

 Cell NO. 1 Code var('t') r(t)=(4*t,3*cos(t),3*sin(t)) parametric_plot3d(r(t),(t,-5,5)) Answer

 Cell NO. 2 Code dr=diff(r(t),t) s(t)=sqrt((dr[0]^2+dr[1]^2+dr[2]^2).simplify_trig()); length=integral(s(t),t,-5,5) length Answer 50

2. , .

 var('t') r(t)=(2*sin(t)-t*cos(t), 2*t, 2*cos(t)+t*sin(t)) dr=diff(r(t), t); s(t)=sqrt((dr[0]^2+dr[1]^2+dr[2]^2).simplify_trig()); length=integral(s(t), t, 0, sqrt(5)) print length

1/2*sqrt(5)*sqrt(10) + 5/2*arcsinh(1)

3. , .

.

.

.

4. , .

 var('t') x(t)=t y(t)=2 z(t)=ln(t) dx(t)=diff(x(t), t) dy(t)=diff(y(t), t) dz(t)=diff(z(t), t) s(t)=sqrt(dx(t)^2+dy(t)^2+dz(t)^2)
 length=integral(s(t), t, 1, sqrt(3)) print length

-sqrt(2) - 1/2*log(sqrt(2) - 1) + 1/2*log(sqrt(2) + 1) - 1/2*log(3) + 2

5. , .

,

,

.

6-8. Reparametrize the curve with respect to arc length measured from the point in the direction of increasing .

Calculus with Sage p831 Exercise 12.3 #6

Solved by 이한울

Old) Reparametrize the curve with respect to arc length measured from the point in the direction of increasing .

.

Sol) Since , .

Thus , this implies .

Substituting in , we have

 Cell NO. 1 Code var('t') r(t)=(2-5*t,4*t,-(1+3*t)) parametric_plot3d(r(t),(t,0,5)) Answer

 Cell NO. 2 Code dr=diff(r(t),t) s(t)=sqrt((dr[0]^2+dr[1]^2+dr[2]^2).simplify_trig()) S=integral(s(t),t,0,t) S Answer 5*sqrt(2)*t

7.

Since , .

Thus   .

Substituting in , we have .

8. .

 var('t') x(t)=3*t*sin(t) y(t)=3*t*cos(t) z(t)=--2*sqrt(2)*t^(3/2) dx(t)=diff(x(t), t) dy(t)=diff(y(t), t) dz(t)=diff(z(t), t) s(t)=sqrt(dx(t)^2+dy(t)^2+dz(t)^2)length=integral(s(t), t, 1, sqrt(3)) print length

9-10. Find the unit tangent , unit normal vectors and the curvature .

Calculus with Sage p832 Exercise 12.3 #9

Solved by 이한울

Old) Find the unit tangent , unit normal vectors and the curvature .

.

Sol) , .

Hence .

, .

Hence .

.

 Cell NO. 1 Code var('t') r(t)=(5*cos(t),5*sin(t),4*t) dr=diff(r(t),t) s(t)=sqrt((dr[0]^2+dr[1]^2+dr[2]^2).simplify_trig()); show(s(t)) Answer √41

 Cell NO. 2 Code T(t)=(dr[0]/s(t),dr[1]/s(t),dr[2]/s(t)) show(T(t)) Answer (−541√41sin(t),541√41cos(t),441√41)

 Cell NO. 3 Code dT=diff(T(t),t) d(t)=sqrt((dT[0]^2+dT[1]^2+dT[2]^2).simplify_trig()); show(d(t)) Answer 5√141

 Cell NO. 4 Code N(t)=(dT[0]/d(t),dT[1]/d(t),dT[2]/d(t))  show(N(t)) Answer (−√141√41cos(t),−√141√41sin(t),0)

 Cell NO. 5 Code k=d(t)/s(t) k.simplify_full() Answer 5/41

11-13. Use Theorem 2 to find the curvature. (7>>>2)

11. .

,

,

.

t=var('t')

r=vector((3*t,3+t,3-t^2))

rprime=diff(r,t)

rrprime=diff(rprime,t)

curvature = abs(rprime.cross_product(rrprime))/abs(rprime)^3

k=curvature.full_simplify()

show(k)

12. .

var('t')

r(t)=(3+4*t^(3/2), 6*t,3/2*t^2)

dr=diff(r(t), t)

ddr=diff(r(t), t, 2)

Answer : sqrt(abs(-9*sqrt(t))^2 + abs(-18/sqrt(t))^2 + 324)/(abs(3*t)^2 + abs(6*sqrt(t))^2 + 36)^(3/2)

13. .

,

.

.

14. Find the curvature of at the point .

,

,

,

,

,

, .

15. Find the curvature of at the point .

,

,

,

.

16-18. Use Formula 6 to find the curvature.

Calculus with Sage p834 Exercise 12.3 #16

Solved by 이한울

Old) Use Formula 6 to find the curvature.

.

Sol)

.

 Cell NO. 1 Code var('x') y=x^2+1 dy=diff(y,x) ddy=diff(dy,x) k=abs(ddy)/(1+dy^2)^(3/2) k Answer 2/(4*x^2 + 1)^(3/2)

17. .

,

.

18. .

,

.

19-20. Find the vectors , and at the given point, and plot at some point.

19. , .

var('t')

r(t)=(t+1, 2*t, t^2)

dr=diff(r(t), t)

T=dr/dr.norm()

dT=diff(T, t)

N=dT/dT.norm()

B=T.cross_product(N)

print T.subs(t=1)

print N.subs(t=1)

print B.subs(t=1)

(1/3, 2/3, 2/3)

(-2/15*sqrt(5), -4/15*sqrt(5), 1/3*sqrt(5))

(2/5*sqrt(5), -1/5*sqrt(5), 0)

t=var('t')

r=vector((t+1, 2*t, t^2))

T=diff(r,t)/norm(diff(r,t))

N=diff(T,t)/norm(diff(T,t))

B=T.cross_product(N)

x=1

C=parametric_plot3d(r,(t,0,pi),thickness=2,color='goldenrod')

A=arrow3d(r(t=x), r(t=x)+T(t=x),thickness=1.1)+arrow3d(r(t=x), r(t=x)+N(t=x),color='red',thickness=1.1)+arrow3d(r(t=x), r(t=x)+B(t=x),color='green',thickness=1.1)+point3d((cos(x),sin(x),x),pointsize=20)

C+A

20. , .

var('t')

r(t)=(exp(t)*cos(t), exp(t)*sin(t), sqrt(2)*exp(t))

dr=diff(r(t), t)

T=dr/dr.norm()

dT=diff(T, t)

N=dT/dT.norm()

B=T.cross_product(N)

print T.subs(t=0)

print N.subs(t=0)

print B.subs(t=0)

(1/2, 1/2, 1/2*sqrt(2))

(-sqrt(1/2), sqrt(1/2), 0)

(-1/2*sqrt(1/2)*sqrt(2), -1/2*sqrt(1/2)*sqrt(2), sqrt(1/2))

t=var('t')

r=vector([exp(t)*cos(t), exp(t)*sin(t), sqrt(2)*exp(t)])

T=diff(r,t)/norm(diff(r,t))

N=diff(T,t)/norm(diff(T,t))

B=T.cross_product(N)

x=0

C=parametric_plot3d(r,(t,-pi/2,pi/2),thickness=2,color='goldenrod')

A=arrow3d(r(t=x), r(t=x)+T(t=x),thickness=1.1)+arrow3d(r(t=x), r(t=x)+N(t=x), color='red',
thickness=1.1) + arrow3d(r(t=x),  r(t=x) + B(t=x), color='green', thickness=1.1) +
point3d((cos(x), sin(x), x), pointsize=20)

C+A

21-22. Find equations of the normal plane and osculating plane of the curve at the given point, and plot the graphs.

21. .

var('x, y, z, t')

r(t)=(2*sin(t), 5*t, 2*cos(t))

dr=diff(r(t), t)

T=dr/dr.norm()

dT=diff(T, t)

N=dT/dT.norm()

B=T.cross_product(N)

N=N.subs(t=pi)

expand(N[0]*(x-0)+N[1]*(y-5*pi)+N[2]*(z+2)==0)

sqrt(1/29)*sqrt(29)*z + 2*sqrt(1/29)*sqrt(29) == 0

B=B.subs(t=pi)

expand(B[0]*(x-0)+B[1]*(y-5*pi)+B[2]*(z+2)==0)

-10*pi*sqrt(1/29) + 5*sqrt(1/29)*x + 2*sqrt(1/29)*y == 0

t=var('t')

r=vector([2*sin(t), 5*t, 2*cos(t)])

T=diff(r,t)/norm(diff(r,t))

N=diff(T,t)/norm(diff(T,t))

B=T.cross_product(N)

x=pi

C=parametric_plot3d(r,(t,0,2*pi),thickness=2,color='goldenrod')

A=arrow3d(r(t=x), r(t=x) + T(t=x), thickness=1.1) + arrow3d(r(t=x),  r(t=x) + N(t=x),
color='red', thickness=1.1) + arrow3d(r(t=x),  r(t=x) + B(t=x), color='green',
thickness=1.1) + point3d((cos(x), sin(x), x), pointsize=20)

C+A

22. .

var('x, y, z, t')

r(t)=(t^2, 2/3*t^3, t)

dr=diff(r(t), t)

T=dr/dr.norm()

dT=diff(T, t)

N=dT/dT.norm()

B=T.cross_product(N)

N=N.subs(t=1)

expand(N[0]*(x-1)+N[1]*(y-2/3)+N[2]*(z-1)==0)

-1/3*x + 2/3*y - 2/3*z + 5/9 == 0

 B=B.subs(t=1) expand(B[0]*(x-1)+B[1]*(y-2/3)+B[2]*(z-1)==0)

-2/3*x + 1/3*y + 2/3*z - 2/9 == 0

 t=var('t')  r=vector([t^2, 2/3*t^3, t]) T=diff(r,t)/norm(diff(r,t)) N=diff(T,t)/norm(diff(T,t)) B=T.cross_product(N) x=1 C=parametric_plot3d(r,(t,0,pi/2),thickness=2,color='goldenrod') A=arrow3d(r(t=x), r(t=x) + T(t=x), thickness=1.1) + arrow3d(r(t=x), r(t=x) + N(t=x),   color='red', thickness=1.1) + arrow3d(r(t=x),  r(t=x) + B(t=x), color='green',   thickness=1.1) + point3d((cos(x), sin(x), x), pointsize=20) C+A

23. At what point on the curve is the tangent plane parallel to the plane

?

var('x, y, z, t')

r(t)=(t^4,  3*t, t^2)

dr=diff(r(t), t)

T=dr/dr.norm()

T=T.subs(t=1)

expand(T[0]*(x-r(1)[0])+T[1]*(y-r(1)[1])+T[2]*(z-r(1)[2])==0)

4/29*sqrt(29)*x + 3/29*sqrt(29)*y + 2/29*sqrt(29)*z - 15/29*sqrt(29) == 0.

24. The curvature at a point of a curve is defined as , where is the angle of inclination of the tangent line at , as shown in the figure. Thus, the curvature is the absolute value of the rate of change of with respect to arc length. It can be regarded as a measure of the rate of change of direction of the curve at and will be studied in greater detail in Chapter 12.

(a)For a parametric curve , derive the formula

.

where the dots indicate derivatives with respect to ; that is, . [Hint: Use and Equation to find . Then use the Chain Rule to find .]

(b)For a curve as the parametric curve , , show that the formula in part (a) becomes

.

(a) Here ,

, and

. Thus .

(b) Here .

By applying the result of (a) to this case, we obtain that

.

25. (a) Show that the curvature at each point of a straight line is .

(b) Show that the curvature at each point of a circle of radius is .

(a) For a straight line, we parametrize . Since is a straight line,

is a constant, and hence is zero. By #30-(b), we have .

(b) . Then,

and . By problem 30 (a), we have .

Calculus with Sage 12.4 #1,    Solved by 이인행

1. Find the velocity, acceleration, and speed of a particle with the given position function. Sketch the path of the particle and draw the velocity and acceleration vectors for specified value of

var('t')

r(t)=(t^3+1, t)

v=diff(r(t), t)

a=diff(v, t)

s=v.norm()

print v, a, s

v2=v.subs(t=2)

a2=a.subs(t=2)

print v2, a2

p1=parametric_plot(r(t), (t, 0, 3))

p2=line([r(2), r(2)+v2], color='red')

p3=line([r(2), r(2)+a2], color='green')

show(p1+p2+p3)

Note : 위치벡터함수를 미분하면 속도벡터함수, 속도벡터함수를 미분하면 가속도벡터함수인 관계를 이용하였다.

Sage에서는 diff 와 parametric_plot 이 핵심적으로 이용되었다.

.norm() 이란 각성분의 제곱합의 제곱근 값을 의미한다. .subs(t=a)는 t의 함수에 a를 대입한 값을 의미한다. line([점의 좌표, 점의 좌표])을 이용하여 선분을 그릴 수 있다.

Calculus with Sage p.848 Problem 12.4 #6

Solved by 구본우, Revised by 이인행. Finalized by 이인행

Final OK by SGLee

6. Find the velocity, acceleration and speed of a particle with the given position function.

Sol)

var('t')

r(t)= (2*t^2 + 1, t^3, 2*t^2 - 1)

v= diff(r(t), t)

a= diff(v(t), t)

s= v.norm()

p1 = parametric_plot3d(r(t), (t, 0, 20), color='blue', thickness = 2)

show (p1)

r(t); v; a; s

(2*t^2 + 1, t^3, 2*t^2 - 1)

(4*t, 3*t^2, 4*t)

(4, 6*t, 4)

sqrt(abs(3*t^2)^2 + 2*abs(4*t)^2)

Note : 위치벡터함수를 미분하면 속도벡터함수, 속도벡터함수를 미분하면 가속도벡터함수인 관계를 이용하였다. Sage에서 diff를 이용하여 다른 어려운 함수가 주어져도 풀 수 있습니다. 속도의 크기를 구할 떄에는 .norm()을 이용하면 간단히 구할 수 있습니다.

알게된 점 : 일일이 각 성분을 정의하고 diff 하는 것보다 r(t)를 벡터로 정의하고 한번에 diff 하는 것이 편하다. 선 그릴때, thickness 를 조정해주는 것이 보기 좋다.

Calculus with Sage 12.4 #11

Solved by 구본우

Revised by 이인행

Finalized by 이인행

Final OK by SGLee

11. Find the velocity and position vectors of a particle that has the given acceleration and the given initial velocity and position

Sol)

.

Since , we have .

.

Since , we have .

var('t')

a(t)= (0, 0, 2)

v= integral(a(t), t)

v0= vector([1, -1, 0])

V= v+v0

r= integral(V, t)

r0= vector([0, 0, 0])

R= r+r0

p1= parametric_plot3d(R, (t, 0, 4), color='blue', thickness=2)

show(p1)

a(t); V; R

Note : 위치벡터를 미분하면 속도벡터, 속도벡터를 미분하면 가속도벡터인 관계를 알고, 초기값들을 이용하여 가속도 벡터를 적분해서 위치벡터를 구하였다. Sage에서 integral 을 이용하여 손쉽게 적분할 수 있다. 다른 함수가 주어져도 Sage를 이용하면 간단히 구할 수 있습니다.

알게된 점 : 초기값을 더하려고 하는데 Sage에서 그냥 v0=(1, -1, 0)으로 선언하고 더했더니 더해지지 않았습니다. r0를 vector([ , , ])로 선언하고 더하거나 빼야 된다는 것을 알았습니다.

Solved by 서용태 Revised by SGLee Finalized by 김범윤 Refinalized by 이인행

Calculus with Sage p 851 Exercise 12.4 #13

13. Find the position vector of a particle that has the given acceleration and the specified initial velocity and position.

.

Sol )

.

So, .

.

So,

var('t')

a(t)= (2, 2, 6*t)

v= integral(a(t), t)

v0= vector([0, 0, 0])

V= v+v0

r= integral(V, t)

r0= vector([1, 0, 1])

R= r+r0

p1= parametric_plot3d(R, (t, 0, 4), color='blue', thickness=2)

show(p1)

a(t); V; R

(2, 2, 6*t)

(2*t, 2*t, 3*t^2)

(t^2 + 1, t^2, t^3 + 1)

Note : 책에서 의 적분 과정에서 항의 계산 실수가 있어서 바로잡았다.

Calculus with Sage 12.4 # 15

Solved by 구본우 Revised by SGLee Finalized by 최양현 Refinalized by 이인행

15, The position function of a particle is given by . When is the speed a minimum?

Sol :

When , the speed is minimum.

 var('t') r(t)=(t^2, t, t^2-4*t) v=diff(r(t), t) s=v.norm() s0=diff(s, t) solve(s0==0, t)

[t==1]

 plot (s, (t, 0, 2))

Note : 교재의 코드에 오류가 있어 수정하였다. Sage 코드에서 위치벡터함수를 구하고자 하는 다른 함수로 바꾸면 원하는 답을 구할 수 있습니다.

Calculus with Sage 12.4 #16

Solved by 이인행

16. Find the tangential and normal components of the acceleration vector.

.

Sol)

 var('t') r(t)=(t-t^3, t^2, 0) dr=diff(r(t), t) ddr=diff(r(t), t, 2) T=dr.dot_product(ddr)/dr.norm() print T N=(dr.cross_product(ddr)).norm() / dr.norm() print N

2*(3*(3*t^2 - 1)*t + 2*t)/sqrt(abs(-3*t^2 + 1)^2 + abs(2*t)^2)

sqrt(abs(6*t^2 + 2)^2)/sqrt(abs(-3*t^2 + 1)^2 + abs(2*t)^2)

Note : 가속도벡터함수는 속도벡터함수를 미분함으로써 구할 수 있다. Sage에서 .dot_product와 .cross_product를 이용하여

짜놓은 코드를 이용하여 다른 위치벡터함수를 안다면 가속도벡터함수의 접선방향과 법선방향의 성분값을 간단히 구할 수 있습니다.

CH 13. Partial Derivatives

13장1절

13.1 Multivariate Functions

13.1-1 구본우 최주영

Solved by 구본우 revised by 최주영

13.1  1-1. If , find  ..

 var('x,y'); f(x,y)=x^3-3*x*y+y^3; f(3,3);

1-2. If , find .

 var('x,y'); f(x,y)=x^3-3*x*y+y^3; f(1/x,3/y);

1-3. If , find ..

 var('x,y'); f(x,y)=x^3-3*x*y+y^3; print (f(x+k,y)-f(x,y))/k;
.

13.1 #5 & 6 - 이지석 최주영

Solved by 이지석 Revised by 최주영

5. Find the range of the given function.

 var('x,y,z'); implicit_plot3d(1+exp(x*y)==z,(x,-2.5,2.5),(y,-2.5,2.5),(z,0,3),opacity=0.3)

Annwer: .

6. Find the range of the given function.

 var('x,y,z'); implicit_plot3d(cos(x+y+2*z)==z,(x,-2.5,2.5),(y,-2.5,2.5),(z,0,3),opacity=0.3)

13.1 # 7 - 이지석 최주영

Solved by 이지석 Revised by 최주영

7. Sketch a typical level surfaces of the function. .

 var('x,y,z') f(x,y,z)=y+z p=Graphics()  for k, col in [(1,'red'),(2,'orange'),(3,'yellow'),(4,'green')]:     p+=implicit_plot3d(f(x,y,z)==k,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-1,3),opacity=0.7,color=col) p

13.2.1 이지석 최주영

Solved by 이지석 Revised by 최주영

1. Find the limit, if it exists, or show that the limit does not exist. .

var('x, y')

f(x, y)=y^4/(x^4+3*y^4)

print(limit(f(x, 0), x=0) )

print(limit(f(0, y), y=0))

13.2.2 최주영 이인행

Solved by 최주영 Revised by 이인행

2. Find the limit, if it exists, or show that the limit does not exist.

.

 var('x,y'); f(x,y)=x^3/(2*x^2+6*y^4); limit(f(x,0),x=0);

 var('x,y'); f(x,y)=x^3/(2*x^2+6*y^4); limit(f(y,0),y=0);

 bool(limit(f(x,0),x=0)==limit(f(y,),y=0))

Sec 13.2 Exs-3

Solved by 최주영 Revised by 이인행, 이원준

3. Find the limit, if it exists, or show that the limit does not exist. .

 var('x,y') f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2) limit(f(x,0),x=0)

 var('x,y') f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2) limit(f(0,y),y=0)

 show(bool(limit(f(x,0),x=0)==limit(f(0,y),y=0))) print "So the limit does not exist."

Sec 13.2 Exs-9

Solved by 최주영 Revised by 이인행

9. Let each of the following functions have the value 0 at the origin. Which of them are continuous at the origin?   Explain your answer. . .

 var('x,y'); f(x,y)=(x^2*y^2)/(x^2+y^4); limit(f(x,0),x=0);

 var('x,y'); f(x,y)=(x^2*y^2)/(x^2+y^4); limit(f(0,y),y=0);

 bool(limit(f(x,0),x=0)==limit(f(0,y),y=0))

13.2.10 최주영 이인행

Solved by 최주영 Revised by 이인행

10. Let each of the following functions have the value 0 at the origin.

Which of them are continuous at the origin? Explain your answer.  .

 var('x, y, z, w'); f(x, y, z, w)=(x^2+y^4+z^2*w^2)/(x^4+y^2+z^2+w^2); limit(f(x, 0, 0, 0), x=0);

The limit does not exist.

13.3.1~2 오교혁 최주영

Solved by 오교혁 Revised by 최주영

1.Find partial derivatives with respect to x and y for the funtion, ..

 var('x, y'); f(x,y)=(24*x*y-6*x^2*y); f

 dfdx=diff(f,x); dfdx

 dfdy=diff(f,y); dfdy

2. Find partial derivatives with respect to  and  for the function , ..

 var('x, y'); f(x,y)=(x^3*y-x*y^3/x^2+y^2); f

 dfdx=diff(f,x); dfdx

 dfdy=diff(f,y); dfdy

13.3.7 최주영 구본우

Solved by 최주영 revised by 구본우

8. Laplace’s equation A classical equation of mathematics is Laplace’s equation, which arises in both theory and applications.

It governs ideal fluid flow, electrostatic potentials, and the steady-state distribution of heat in a conducting medium.

In two dimensions, Laplace’s equation is .

Show that the following functions are harmonic; that is,

they satisfy Laplace’s equation.

 var('x, y'); u(x, y)=arctan(y/(x-1))-arctan(y/(x+1)); u_xx=diff(u(x,y), x, 2); u_yy=diff(u(x,y), y, 2); bool(u_xx+u_yy==0);

13.4  EXERCISES (Differentiability and Total Differential)

1. Find the total differential of when .

2. If , find the total differential of .

3. The base diameter and height of a right circular cone are measured as 10cm and 25cm, respectively,

with a possible error in measurement of as much as for each.

Estimate maximum relative error and percentage error in the calculated volume of the right circular cone.

Since the volume of right circular cone is , .

Let , then  .

The maximum relative error is and the percentage error is 3.2%.

4. Find an approximation using total differential.

(1) Find an approximation of when .

(2) Find an approximation of .

(1) Since and  , the linear approximation is

Then .

(2) Let .  Since   and  ,

the linear approximation is

13장5절 3,6번 [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

13장5절 5번

13장5절 12번 [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

13장5절 18번 [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

Solved by 김태현, Revised by 이원준

Sec 13.6 #1 Find the directional derivative of the function  at the point  in the direction of the vector

sol)  =>

var('x,y,h')

f = 6-3*(x)^2-(y)^2

dx(x,y) = diff(f,x).factor()

dy(x,y) = diff(f,y).factor()

d = vector([dx(1,2),dy(1,2)]);

u = vector([1/sqrt(2),-1/sqrt(2)]);

A = d.dot_product(u)

show(A)

ch 13.6 #3 김태현

Sec 13.6 #3. Find the directional derivative of the function at the point  in the direction of the vector

sol)

var('x,y,z')

f(x,y,z)=x*y+y*z^2+x*z^3

A=vector([2/3,(-1/3),2/3])

dx(x,y,z) = diff(f,x).factor()

dy(x,y,z) = diff(f,y).factor()

dz(x,y,z) = diff(f,z).factor()

graf=vector([dx(2,0,3),dy(2,0,3),dz(2,0,3)])

duf=graf.dot_product(A)

duf

151/3

Sec 13.6 #6. Use the definition of the gradient, assume that  and  are differentiable function on , and let  be a constant. Prove the following gradient rules.

(1)

(2)

(3)

(4)

and  are differentiable function on

(1)

(2)

(3)

(4)

Example of (1)

(1)

let

let

var('x,y,z')

f(x,y,z)=3*x*(y^2)+2*y*(z^3)+z*(x^6)

g(x,y,z)=(1/6)*(3*x*(y^2)+2*y*(z^3)+z*(x^6))

Example of (2)

(2)

let

var('x,y,z')

f(x,y,z)=3*(x^2)*(y^2)*(z^2)

var('x,y,z')

g(x,y,z)=2*(x^2+y^2+z^2)

var('x,y,z')

f(x,y,z)=3*(x^2)*(y^2)*(z^2)

g(x,y,z)=2*(x^2+y^2+z^2)

h(x,y,z)=f(x,y,z)+g(x,y,z)

example of (3)

(3)

var('x,y,z')

f(x,y,z)=3*x^2*y*z

g(x,y,z)=x*y^2*z^2

h(x,y,z)=f(x,y,z)*g(x,y,z)

Example of (4)

(4)

var('x,y,z')

f(x,y,z)=6*(x^3)*(y^3)*(z^2)

g(x,y,z)=3*x*y

h(x,y,z)=f(x,y,z)/g(x,y,z)

13.6 #7 Find the gradient of

sol)

var('x,y,z')

f(x,y,z)=(x+y+z)*exp(x*y*z)

13장7절 3번   [CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

13.6.4 최주영 이인행   Solved by 최주영 Revised by 이인행

4. If , find ..

Sol) .

var('x, y, z');

f(x, y, z)=1/sqrt(x^2+y^2+z^2);

14장2절 8번

중간고사 이후~

--------------------------------

[CAS] http://sage.skku.edu/ 또는 https://sagecell.sagemath.org/

and  http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/CS-Sec-14-1-Sol.htm

14.1    Double Integrals              by SGLee, 이인행

4-6. Sketch the region  of integration in the iterative integrals.

5.

 var('x, t') f=-x^2 g=x^2+2 plot(f, -1, 1, fill=g) + plot(g, -1, 1) + parametric_plot((1, t), (t, -1, 3)) + parametric_plot((-1, t), (t, -1, 3))

14.1  6.

var('x, t')

f=-x^(1/2)

g=x^(1/2)

p=plot(f, 0, 4, fill=g) + plot(g, 0, 4) + parametric_plot((4, t), (t, -2, 2), color='blue')

p.axes_labels(['\$y\$', '\$x\$'])

p

14.1  7-8. Evaluate the double integral over the given region  that is bounded by the graphs of the given equations.

Choose the appropriate order of integration.

7.

var('x, y')

f=x^2

g=2*x^3

h=2*x+y+1

show(solve(f==g, x))

plot(f, 0 ,1/2, fill=g) + plot(g, 0, 1/2)

integral(integral(h, y, g, f), x, 0, 0.5)

[x=(12),x=0]

0.0175595238095

14.1  8. .

var('x, y')

f=x^2

g=4

h=3*x*y

show(solve(f==g, x))

plot(g, -2, 2, fill=f) + plot(f, -2, 2)

integral(integral(h, y, f, g), x, -2, 2)

[x=(−2),x=2]

0

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/CS-Sec-14-2-Sol.htm
solve 이지석 revise 이인행

14.2   Double Integrals in Polar Coordinates

1.  Find .

.

 pi

2. , where

Since ,

=>

 3/64*pi^2

Note : 교재에 주어진 답이 잘못되어 바른 답 3/64*pi^2 으로 수정하였습니다. by 이인행

14.2  3. Find the area inside the circle .

.

 3/2*pi

14.2  4.  Find the area inside of .

3/2*pi*a^2

14.2 5. Find the volume  of .

Note that , where  is the disk: .

In polar coordinates  can be written as ,

Hence

8*pi

14.2 6.  Find

 -(e^(-4) - 1)*pi

14.2 7. Evaluate , where  is the region bounded by ,

and .

Using the polar coordinate system, the region  is represented as follows:  and .

Here we used . Then the given integral becomes

.

 -1/4*(6*sqrt(2) + 1)*sqrt(2) + sqrt(2) + 3*cos(1/2)

SKKU-Calculus-Sec-14-2
Solved by 이지석   Revised by 이인행

14.2 8. Let . Evaluate

 var('x, y, t') implicit_plot(x^2+y^2==1, (x,-1,1),(y,-1,1), aspect_ratio=1)+ parametric_plot((t, 1/2), (t, -1,1))+ parametric_plot((t, 1), (t, -1,1)) #코드 작성했습니다. 영역 D를 그렸습니다. by 이인행 s1=show(solve(x^2+(1/2)^2==1,x)) #코드 작성했습니다. theta의 범위를 알기위해서 경계에서의 x값을 구했고 이를 통해 경계에서의 theta값을 구할 수 있습니다.(pi/6, 5*pi/6) by 이인행 var('r, theta') f=(sin(theta))^3 integral(integral(f*r, r, 0, 1),theta, pi/6, 5*pi/6) # 코드 추가했습니다. by 이인행

[x=−1/2*,x=1/2*]

1/8*(3*sqrt(3))

14.2 9. Let . Evaluate .

Let  and .

 2/15*a^5

14.2 10. Find.

Let  and .

.

 x |--> 2/3

14.3 EXERCISES(Surface Area)

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-14-3-Sol.htm

1. Find the surface area of the paraboloid that lies above the -plane.

, ,

.

.

2. Find the surface area of the circular cylinder that lies under the hemispherical .

u ,v= var('u, v')

parametric_plot3d( (2*sin(u), 2*cos(u), v), (u, 0, 2*pi), (v,  -5, 5), color='red', opacity=0.5)+parametric_plot3d( (v*sin(u),  v*cos(u), sqrt(16-v^2)), (u, 0, 2*pi),(v, -3, 3))

.

3. Find the area in the first octant among the surface area which was made by intersecting the circular cylinder and the plane .

var('u, v, x, y')

parametric_plot3d( (sin(u), cos(u), v), (u, 0, 2*pi), (v, -5, 5), color='red', opacity=0.5)+plot3d(2-x-y, (x, -2, 2), (y, -2,2), color='green')

,

.

4. Find the surface area of the portion of the cylinder lying inside the cylinder .

,

,

14.4 EXERCISES (Cylindrical Coordinates and Spherical Coordinates)

17-20. Describe in words the surface whose equation is given.

17. .

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-14-2-17.html

18. .

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-14-2-18.html

var('p,theta')

plot3d(4,(p,0,10),(theta,0,2*pi),transformation=S)

var('p,theta')

plot3d(4,(p,0,10),(theta,0,2*pi),transformation=S)

20. .

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-14-2-20.html

r, phi=var('r, phi')

plot3d(pi/3, (r,0, 10), (phi, 0, pi) , transformation=S)

14.5 1~5    Triple Integrals    Solved by 최주영, Revised by 구본우, 이원준

1. Find ..

Sol ]

.

var('x,y,z');

f(x,y)=integral(x*y*z,(z,0,2-x));

g(x)=integral(f(x,y),(y,0,1-x));

integral(g,(x,0,1))

#. Note : 삼중적분에 관한 간단한 계산 문제이다. 세이지 코드도 적분을 그대로 시켜주기만 하면 문제없다.

14.5.2. Find ..

Sol ]

.

var('x,y,z');

f(x,y)=integral((y+2*z)*e^x,(z,0,x+y));

g(x)=integral(f(x,y),(y,0,x));

integral(g,(x,0,2))

#. Note : 2번 문제 또한 삼중적분에 관한 간단한 계산 문제이다. 위와 동일하게 그대로 코드를 적용해주면 된다.

14.5.3. Find , where  ..

Sol ]

.

var('x,y,z');

f(x,y)=integral(x+1,(z,-y^2,x^2));

g(x)=integral(f(x,y),(y,0,x));

integral(g,(x,0,1))

#. Note : 3번 문제는 삼중적분을 통하여 공간의 부피를 구하는 계산문제이다. 주어진 x,y,z 의 구간을 확인하고 그에 맞춰 차례대로 적분을 해주면 된다.

14.5.4. Find , where, , ./.

Sol ]

.

var('x,y,z');

f(x,y)=integral(z*x*sin(x*y),(z,0,2));

g(x)=integral(f(x,y),(y,0,pi));

integral(g,(x,1/6,1)).expand()

#.Note : 4번 문제 또한 위의 3번과 동일한 방법으로 구간을 정해주는 실수만 하지 않는다면 그대로 코드를 적용해주면 된다.

http://math1.skku.ac.kr/home/pub/1558

SKKU-Calculus-Sec-14-5 Triple Integrals by SGLee, 이인행

5. Evaluate , where  is the solid bounded by parabolic cylinder  and the

planes .

var('x,y,z')

implicit_plot3d(y^2==4-2*x, (x, -1, 2), (y, -4, 4), (z,-1,2), opacity=0.5) +implicit_plot3d(z==x, (x, -1, 2), (y, -4, 4), (z,-1,2), color='red', opacity=0.75) +implicit_plot3d(z==0, (x, -1, 2), (y, -4, 4), (z,-1,2), color='red', opacity=1) # by 이인행

var('x,y,z')

assume(x<=2)

assume(x>=0)

f(x,y)=integral(1,(z,0,x))

g(y)=integral(f(x,y),y)

h(x)=g(sqrt(4-2*x))-g(-sqrt(4-2*x))

integral(h,(x,0,2)).expand()

64/15

Note : 5번 문제는 parabolic cylinder 와 평면 z=0, z=x 로 만들어지는 공간의 부피를 구하는 문제이다.

Sec-14-5 6. Find the volume  of inside the ellipsoid  .

.

var('x, y, z, r, theta')

assume(16-4*x^2-4*y^2>0)

i1=integral(1, z, 0, sqrt(16-4*x^2-4*y^2))

print i1

i2=16*integral(integral(r*sqrt(4-r^2), r, 0, 2), theta, 0 ,pi/2)

print i2 # by 이인행

sqrt(-4*x^2 - 4*y^2 + 16)

64/3*pi

Note : 극좌표로 치환하는 과정이 포함되어 있는 경우에는 한번에 적분이 되지 않는다. 치환이 된 적분은 따로 해주어야 한다. by 이인행

Sec-14-5 7. Let  be a continuous and positive function on  and  be the region that lies between  and axis.

Find the volume of the solid    obtained by rotating  about axis.

Note : y에 대해서 적분할 때,  실제로 적분이 이루어진 것이 아니라, 원의 넓이이기 때문에 pi*(반지름)^2의 계산이 이루어진 것이다. 따라서, sage코드로 작성할 때에는 이 점을 고려하여 극좌표로 바꾸어서 코드를 작성해야한다. by 이인행 Thanks to SGLee

Sec-14-5 8. Use 7. to find volume of sphere  and volume of cylinder .

var('x, y, z, t')

assume(1-x^2-y^2>0)

int1=integral(1, z, -sqrt(1-x^2-y^2), sqrt(1-x^2-y^2))

print int1

int2=integral((1-x^2), t, 0, pi)

print int2

int3=integral(int2, x, -1, 1)

print int3

2*sqrt(-x^2 - y^2 + 1)

-(x^2 - 1)*pi

4/3*pi

var('x, y, z, t')

assume(4-y^2>0)

int1=integral(1, z, -sqrt(4-y^2), sqrt(4-y^2))

print int1

int2=integral(4, t, 0, pi)

print int2

int3=integral(int2, x, 0, 3)

print int3

2*sqrt(-y^2 + 4)

4*pi

12*pi

Sec-14-5 10. Find the volume of the solid bounded by the cylinder  and planes  and .

.

 var('x, y, z, a, b, c') assume(a>0, b>c>0) assume(2*a*x-x^2>0) in1=integral(1, z, c*x, b*x) print in1 in2=integral(in1, y, -sqrt(2*a*x-x^2), sqrt(2*a*x-x^2)) print in2 in3=integral(in2, x, 0, 2*a) print in3 # by 이인행

b*x - c*x

2*(b*x - c*x)*sqrt(2*a*x - x^2)

2*a^3*b*arcsin(sqrt(a^2)/a) - 2*a^3*c*arcsin(sqrt(a^2)/a)

Sec-14-5 11. Find the average value of  throughout cubical region  bounded by the plane  and

in the first octant.

The volume of the region  is . The value of the integral of  over the cube is

.

The average value is

==>

 var('x, y, z') f=x^2*y^2*z^2 V=integral(integral(integral(1, x, 0, 3), y, 0, 3), z, 0, 3) F=integral(integral(integral(f, x, 0, 3), y, 0, 3), z, 0, 3) avg=F/V print V print avg # by 이인행

27

27

Note : 교재의 답이 잘못되었습니다. (1/27)*827 에서 827이 아니라 729이 맞습니다. 그리고 답역시 9가 아니라 27입니다. by 이인행

◆ 문제풀이 외 기타 Q&A 토론 참여

*. 엡실론 델타 증명 자료

오늘 첫 시간에 엡실론델타프루프에 관해 잠깐 언급하고 지나가셨는데,

저도 1학기 수강을 하지 않아 개념을 몰라서 찾아보았는데 좋은 자료가 있어서 올리고 갑니다.

공부하시는데 참고하면 좋을것 같습니다.

(출처: 위키피디아)

역사

1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초로 (ε, δ) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

대략적인 개념

의 그래프가 위와 같을 때, 면 이다.

함수 ƒ가 있다고 하자.

위 식은 x를 c에 충분히 가깝게 하면 함수 ƒ(x)가 L에 가까워지도록 만들 수 있다는 것을 의미한다. 이 때 x가 c와 같아지지 않아도 되며, 심지어 f(c)가 정의되지 않아도 상관없다.

"x를 c에 충분히 가깝게" 에서 x가 c에 가까운 정도는, ƒ(x) 를 L에 가까워지게 할 정도에 따라 다르다. 물론 그것은 함수 ƒ 와 실수 c에 따라 결정된다. 양수 ε는 ƒ(x)가 L에 가까운 정도를 나타낸다. 즉 ƒ(x)와 L의 거리가 ε 이상이 되지 않는다는 것을 의미한다. 양수 δ는 x가 c에 가까운 정도를 나타낸다. 즉 x와 c사이의 거리가 0이 아닌 수 δ보다 작을 경우, ƒ(x)와 L사이의 거리도 ε보다 작아진다. 따라서 δ는 ε에 따라 결정된다. 이러한 극한의 표현법은 ε이 아무리 작더라도, 그에 따라 δ이 충분히 작아질 수 있다는 것을 의미한다.

문자 ε와 δ는 각각 "오차" 와 "거리" 로 이해할 수 있다. 실제로 코시는 그의 연구에서 ε를 "오차(error)" 의 약자로 사용했다. 이러한 관점에서 말하면, 오차 ε는 거리 δ를 감소시키고 싶은 만큼 작게 만들 수 있다. 이러한 정의는 하나 이상의 다변수 함수에서도 성립한다.

수학적 정의

함수의 극한의 (ε, δ) 정의는 다음과 같다:

c를 포함하는(c에서는 제외) 개구간에서 정의되는 함수 ƒ 와 실수 L에 대해,

위 식은 다음을 뜻한다.

임의의 실수 ε > 0 에 대하여 실수 δ > 0 가 존재해서, 모든 x에 대해 0 < |x - c| < δ 일 때 |ƒ(x) − L| < ε 을 만족할 수 있다.

이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

다른 많은 정의들에서도 이용되는 이 실부등식은 볼차노와 코시 등에 의해 처음 사용되었고 바이어슈트라스에 의해 정식화되었다.

연속

함수 ƒ가 c에서 정의되고 c에서의 함수값이 x가 c에 가까워질 때의 ƒ(x)의 극한값과 같을 때, 함수 ƒ를 c에서 연속이라 한다:

조건 0 < |x - c| 가 극한의 정의에서 제외되면, 함수 ƒ(x)가 c에서 극한값을 가져야 하는 것은 ƒ(x)가 c에서 연속이어야 하는 것과 같다고 할 수 있다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

3. 중간고사 시험후기

PBL 보고서와 마지막에 교수님이 올려주신 Mid Example 파일을 여러 번 반복해서 보았다.

시험에 나온 부분은 평소에 말씀하신대로 여기에서 대부분 나와서 익숙했다.

다만 TF 문제는 무척 까다로웠는데, 이론부분을 그만큼 덜 숙지해서 그런 것 같다는 생각을 했다.

앞으로는 문제풀이에 앞서 이론부분을 확실히 숙지할 수 있는 방향으로 공부계획을 세워야 겠다.

◆ Published

벡터함수 그리기. 매개변수의 증가에 따른 방향도 표현.

-손으로 직접 그리기 힘든 것을 기계로 아주 편하게 그릴 수 있었다.

벡터 에서, 인 경우 값 구하기.

-수식만 짜 놓으면 다른 비슷한 경우도 식과 값만 바꿔서 대입하면 쉽게 풀 수 있다.

면1과 면2의 교선을 구한3 이 맞는지 확인 하는 수식

-정말로 구한 답이 맞는지 확인 할 수 있다.

면1과 면2의 교선을 구한 3이 맞는지 확인하는 수식

-정말로 구한 답이 맞는지 확인 할 수 있다.

벡터방정식에서, 일때 벡터의 극한계산

-수식만 짜 놓으면 다른 비슷한 경우도 식과 값만 바꿔서 대입하면 쉽게 풀 수 있다.

벡터함수 1과 2의 그래프를 보는 수식

-미세한 부분에서도 확인이 가능하다.

최대 오차를 구하는 문제

-숫자가 깔끔하지 않을 경우 사용하면 좋을 것 같다.

전미분을 구하는 문제

-프로그램이 다 알아서 해주니까 편하다.

전미분을 구하는 문제

-프로그램이 다 알아서 해주니까 편하다.

근사해서 구하는 문제

-손으로 직접 계산하기 싫은 문제를 프로그램이 다 해주니까 좋다.

경로에 따른 적분 문제

-간단하게 나왔다.

경로적분

-오타가 있었다.

경로에 따른 적분

-모든 경로에 대해 같은 값이 나와 신기했다.

백터함수 적분

-세이지 덕분에 손쉽게 구할 수 있었다.

벡터함수의 연산을 적분

-세이지 덕분에 손쉽게 구할 수 있었다.

벡터경로에 따른 벡터함수의 적분

-세이지 덕분에 손쉽게 구할 수 있었다.

벡터함수의 적분

-세이지 덕분에 손쉽게 구할 수 있었다.

벡터함수의 적분

-세이지 덕분에 손쉽게 구할 수 있었다.

중간고사 이후 멀티셀로 작성한 문제풀이

HC 13.9 Lagrange Multiplier - 이원준(작성중)

Lagrange Multiplier에 대해서 설명할 예정이고, 교재의 문제를 추가로 풀 예정입니다.

HC 14.2-8 - 이원준,김유경

Domain을 변환해서 이중적분 하는 문제를 풀었습니다.

HC 13.5-3,4,6 이원준, 김유경

편미분 문제를 풀었습니다.

ch13.6 #5 김태현, 이원준

어느 점에서 Gradient를 구하는 문제를 풀었습니다.

HC 14.7-7 이원준

Jacobian determinant를 이용해서 Domain을 변환해서 삼중적분 하는 문제를 풀었습니다.

HC 14.3-4 - 이원준

주어진 도형을 이용해 Surface area를 구하는 문제를 풀었습니다.

HC 14.6-1 이원준

삼중적분 문제를 풀었습니다.

15.2#7 김범윤, 이원준

Line integral 관련 문제를 풀었습니다.

15.2#8 김범윤, 이원준

Line integral 관련 문제를 풀었습니다.

14.5.1~5 최주영, 구본우, 이원준

삼중적분 관련 문제를 여러 개 풀었습니다.

15.2#9 김범윤, 이원준

Line integral 관련 문제를 풀었습니다.

chapter 13.6 #1 solved by 김태현, 이원준

Directional derivative를 구하는 문제를 풀었습니다.

2013 고급미적분학2 Ex13.1.3,4 이지석 이원준

주어진 함수의 Domain을 구하는 문제를 풀었습니다.

2013 고급미적분학2 Ex13.1.5 ,6 이지석 구본우 이원준

주어진 함수의 Range를 구하는 문제를 풀었습니다.

13.1 2 구본우 이원준

다변수함수에 대한 기본적인 문제를 풀었습니다.

HC 13.6-2,3 - 이원준

Directional derivative를 구하는 문제를 풀었습니다.

2013 고급미적분학2 13.4.(1),(2) 이지석, 이인행, 이원준

다변수함수를 전미분 하는 문제를 풀었습니다.

13.2.3 최주영 이인행 이원준

다변수함수의 극한값이 존재하는지 판별하는 문제를 풀었습니다.

Ex 14-4-1~4 최양현, 이원준- Plot the point

좌표계를 변환하고 어느 점인지 그려보는 문제를 풀었습니다.

HC 14.1-1~3 이원준

이중적분하는 문제를 풀었습니다.

13.8.1 오교혁, 이원준

Critical point를 구하고 saddle point, local maximum, local minimum인지 판별하는 문제를 풀었습니다.

Ex)13.7-5 서용태, 이원준- Tangent plane

접평면을 구하는 문제를 풀었습니다.

13.4 Ex #2 김범윤, 이원준 - total differential

다변수함수를 전미분하는 문제를 풀었습니다.

HC - Ch.13.1 #2 이지석, 이한울, 이원준 -다변량함수

다변수함수에 대한 기본적인 문제를 풀었습니다.

13.4 Ex #1 김범윤, 이원준

주어진 함수를 전미분하는 문제를 풀었습니다.

Ex)13.7-2 서용태, 이원준

Tangent plane과 Normal line을 구하는 문제를 풀었습니다.

2013 고급미적분2 중간고사 Part3 12번 이인행,이원준

중간고사에서 이인행 군이 푼 방법이 맞는 풀이인지 확인하는 문제를 풀었습니다.

Ex)13.7-2 서용태, 이원준

Note: 이 문제에서 Sage로 답을 구하는 경우 직선의 방정식 즉 를 표현할 수가 없었다. 두 개의 등식밖에 나오지 않았다.

따라서 이원준 학우가 이를 매개변수로 바꾸어서 표현하도록 revise 했다.

괜찮은 방법이다. 그러나 그것과는 별개로 Sage로 3중 등식을 표현하는 법은 잘 모르겠다.

Ex)13.7-3 서용태

Ex)13.7-4 서용태 최주영

Ex)13.7-5 서용태, 이원준

Note : 여기서 Gradient 값이 0이 나와서 Sage로 풀수가 없었다.

이 경우 역시 이원준 학우가 매개변수로 바꾸어서 의 값을 날리는 방법을 택했다.

그러나 마찬가지로 Sage로 Gradient 가 0이 나올 경우 어떻게 풀어나가야 하는 방법은 잘 모르겠다.

Ex)13.7 #13 서용태, 이한울

Note : 그래프를 그릴시 축의 간격이 일정하지 않아 왜곡된 모습을 보았다.

따라서 이한울 학우가 이를 revise 하여 축의 간격을 일정하게 할 수 있음을 보였다.

축의 간격이 일정하지 않을 시 linestyle='--' 이 명령어를 넣어주면 축의 간격을 일정하게 맞출 수 있다.

13.7장 총정리 :

HW ) Chapter-13.7 SGLee. 서용태

발표하시기 전에

발표하시기전에, 자신이 발표할 내용들을 한 파일로 옮겨서 QnA에 올리셔야 하는 걸로 알고있습니다.

그러면 올린 한글파일을 교수님께서 PDF로 고쳐주십니다. (물론 본인이 PDF로 바꿔서 올리셔도 됩니다.)

공지사항에 보니까 교수님께서 지금까지 푼 문제들을 공지사항에 올려주셨네요.

그 파일에서 자신이 발표할 부분만 추리고, 추가할 내용을 추가해서 올리시면 될것같아요.

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발표전에 교수님께서 하신 말씀

1. 발표 전에 교수님 Office에 방문하셔서 조언을 받은 후 발표하면 더 좋은 성과를 볼 수 잇을 듯합이다.

2. 다른 학생들이 중간고사 공부하는데 도움이 되도록 잘 발표하면 모두에게 더 좋은 기회가 될 듯합니다.

3. 발표 중에 시험문제로 나왔으면 좋을 문제들을 추천하면, 그래서 QnA 에올리면 방영하신다고 합니다.

4. 멀티셀을 이용하여 한 절의 내용을 담아도 좋습니다. (핵심 원리 + 예제들)

더 발전시킬 수 있도록 math1에 올려서 서로 의견을 나눕시다.

시험후기

각 장별로 필수적으로 알아야 되는 부분들을 묻는 문제들이 출제되었다고 생각한다.

개념을 완벽히 아는가에 대한 것은 T/F와 개념문제에서 물어본 것 같고 핵심문제들을 풀줄 아는가 에 대한 것은 그 뒤의 응용문제들을 통해 물어본 것 같다.

개념 공부를 철저히 하고, 핵심적인  문제에 대한 풀이를 완전히 익히는 것이 시험을 잘 보는 방법이라 생각하여 그렇게 했더니 나쁘지 않은 결과가 나온 것 같다.

나머지 부분들도 개념을 철저히 하고 핵심문제들을 풀 수 있는 능력을 갖추도록 노력 할 것이다.

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Chain rule을 공부할 때

Chain rule에서 언제는 편미분이고 언제는 일반 미분인지 헷갈리기 쉬운데

교재에 첨부된 Figure들을 비교하면서 보면

쉽게 이해할 수 있는 것 같습니다.

저 역시 헷갈렸는데 모든 그림들을 가져다 놓고 비교해 보니까 원리가 이해가 되더군요

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Directional Derivative

방향도함수라는 우리말로 번역되는 개념입니다.

D_u f(a,b)는 f(a,b)에서 방향을 의미하는 단위 벡터 u의 방향으로 변화율을 의미합니다.

u가 (1,0) 일 때, f_x이고 u가 (0,1) 일 때,  f_y이므로 (f_x, f_y) 와 u를 내적함으로써 원하는 방향의 방향 도함수를 구할 수 있을 것입니다.

우리가 배울 13장에서의 Gradient는 각각의 방향으로의 1차 편도함수를 각 성분으로 갖는 벡터 함수를 말합니다.

f(a,b)에서의 gradient는 그 점에서의 면의 경사정도(기울기)를 의미하는 것 같습니다.

어떤 한 변수에 대한 특정 변수의 변화율 또는 1차 미분값. 예를 들어, 수평 혹은 수직거리에 대한 중력, 온도, 대자율, 전기 포텐셜 등의 변화량을 말한다.

미분 측정값에 있어서 2차원 직선의 기준축에 대한 각이  일 때 tan 를 그 직선의 구배(기울기)라고 한다.

어떤 한 매개변수의 단위 변화에 대한 다른 매개변수의 변화율을 말한다. 거리 또는 깊이에 따라 물리탐사를 수행할 경우 단위 거리 또는 단위 깊이에 따른 측정값의 변화율을 의미한다. 두 지점의 측정값을 두 지점간의 거리 또는 길이로 나누어 구할 수 있다.

선로의 기울기. 선로의 구배 표시는 각 국마다 다르나 우리나라에서는 수평거리 1000에 대한 고저차로 표시 한 천분을 표기하며 일본, 불란서, 독일 등 세계 각 국 철도에서 사용하나 미국은 백분율을 사용하고 우리나라에서도 도로에는 백분율을 사용함.   면의 경사의 정도로서, 각도 또는 수직분과 수평분 길이의 비로 나타낸다. 주물에서는 모형의 발출 구배(draft)가 문제시 된다.

물리량 변화의 하나의 표시법으로 예컨대 온도 기울기를 말한다. 선로의 경사. 수평거리에 대한 고저 수직차(高低垂直差)의 비율을 가지고 그 정도를 나타낸다.

노선이나 절개, 성토면의 경사를 일컫는 말. 기울기. 물매.

[네이버 지식백과] 구배 [gradient, 勾配, こうばい] (용어해설)

구글 검색창에 Sage + (자신이 더 알고싶은 명령어) 치시면 사용법 부터 사용 예시, 관련 명령어를 모두 보실수 있습니다.

Sage + (명령어)를 구글에 검색해보세요

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elementary domain 에서 arbitrary domain으로 확장을 하는 이유가 무엇인가요?

다중적분에 대해서는 이해를 했습니다. 전반적인 개념들에 대해서 말이죠

그런데 그중 궁금한것은.. 교재 중간에 보면 (p852)

함수의 elementary domain을 arbitrary domain으로 확장하는 설명이 있는데

확장을 해야하는 이유가 있는건가요?

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아직 잘 이해가 가지 않습니다.

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정상 검출기라고 하니까 확 와닿는군요.

기하학적의미에 대해 잘 알 수 있었습니다. 감사합니다.

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접평면의 법선 벡터가 Gradient인 이유가 무엇인가요?

잘 이해가 가지 않네요..

올려주신 글들을 읽으면서 알게된 내용을 제 나름대로 정리한 것입니다.

이 중 잘못 정리된 것이 있으면 수정해주세요

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첫째, 함수의 gradient는 우리가 다루는 대상의 차원을 하나 떨어뜨린다.

함수의 gradient를 이해하면서 한가지 유념해야 할 것은 비록 함수의 gradient가 원래 함수가 표현하는 차원보다

한 차원이 낮지만 실제 그것이 내포하고 있는 의미는 그보다 상위의 차원이라는 점이다.

"구배"는 스칼라 함수의 기울기를 3차원에서 얻기 위한 연산자이다.

구배 연산자의 의미를 정상(꼭대기) 검출기(頂上 檢出器, peak detector)로 정할 수 있다. 즉, 임의의 스칼라 함수에 정상 검출기(or 구배 연산자)를 갖다 대면 이 함수의 꼭대기를 찾는 방향을 알려준다.

3차원 접평면의 법선벡터가 Gradient인 것에 정리한 것은..

Gradient가 법선벡터 자체가 아니었다. (f_x, f_y, -1)이 법선 벡터였다.

Gradient가 한차원위의 의미를 내포하고 있어서 헷갈렸던 것 같다. Gradient는 꼭대기로 가는 방향을 한차원 아래의 벡터로 나타내어 준다.

Gradient의 성질로, 항상 Level curve와 수직인 점과 n차원에서도 성립한다는 것을 이용하면

3차원에서의 접평면의 법선벡터가 (f_x, f_y, -1)임을 알 수 있었다.

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f(x,y,z)=1 에서의 한점에서  f(x,y,z)=2 로 갈때 최단 거리로 가는 방법이 그 점에서의 접평면의 수직방향으로 가는 것이기 때문에 평면의 한 점에서의  법선벡터가 Gradient라고 이해했는데  이 해석도 맞는건지 알고 싶습니다.

복사 후 붙이기 했을 때 흰 박스가 생기는 것은..

혹시, 한글 수식에서 복사후 붙이기를 하신 건가요?

그러셨으면 그렇게되요. 한글의 수식들은 일반적으로 사용되는 것들이 아니라서 그래요.

교수님이 제시해주신 홈페이지 주소중에 미적교재가 올라온 것이 있으니 그곳에서 복사해서 이용하시길 바래요.

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book 에 가시면 됩니다.

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TypeError: Error executing code in Maxima 을 어떻게 해결해야할지 모르겠습니다.

TypeError: Error executing code in Maxima

var('x,y')

integral(integral(y,y,x^2,x^(1/2),x,0,1)을 할때, 어떻게 해야할지 모르겠습니다

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defint: upper limit of integration must be real;

적분 구간이 real이 아니라고 뜨면서 계산이 진행되지 않습니다. 어떻게 해야되나요

3D 프린터의 대중화 : Yes, Fubini’s Theorem

3D 프린터도 인터넷 사용의 대중화처럼 대중화가 이루어진다면 우리의 생활에 매우 큰 변화가 이루어 질 것이라 생각합니다.

저희가 어렸을 때, 인터넷을 사용하는 것이 매우 자연스러웠듯이,  3D프린터 사용이 매우 자연스러운 세상이 올것입니다.

우리나라에서는 3D프린터에 대한 인식이 많이 부족한 걸로 알고 있습니다.

Nervously I asked “Prof, I run a blog on 3D Printing.”

“.. and I was wondering if there was a proof that we are able to express any 3D Printed object as layers of 2D planes”

<---     “Fubini’s Theorem” he said

“Yes, Fubini’s Theorem”

He said that Fubini’s Theorem states that an object of n dimensions can be represented as a spectrum of layers of shapes of (n-1)-dimensional  layers.

This means that a 3 dimensional shape (any shape in the real world) can be represented as layers of 2 dimensional shapes.

여러분야에서의 3D프린터의 효용이 드러나고 있는 상황에서 우리나라도 많은 사람들에게 3D프린터를 알리고 수학이 사용되는 구체적인 내용에 대하여 수학을 배우면서 동시에 그 중요성을 부각시킬 필요가 있다고 생각합니다.

x에 대해서 먼저 적분을 하려면 매우 복잡해지기때문에 안되는 것 같습니다. 14.1 #14번 문제의 경우 y에 대해서 먼저 적분을 해야 결과가 산출되는 것 같습니다.

지금까지 적분을 해본 결과 Sage 에서의 적분은 너무 복잡해질 경우

그냥 integrate(~...)로 결과를 보여주는 것 같습니다.

Sage는 어는 것이 더 쉬운 적분법인지 까지는 판단하지 못하는 것 같습니다.

사람이 직접 최대로 간단한 적분법까지를 생각해내고 계산만을 Sage를 이용할 수 있는 것 같습니다.

따라서 14.1 #14번 문제의 경우 y에 대해서 먼저 적분을 해야 결과가 산출되는 것 같습니다.

Sage코드 작성할 때

Sage 코드를 작성하면서 항상 궁금한게 있습니다.

Q1.

어떤 값을 구하고 나서 그걸 출력할때 print를 쓸때가 있고 그냥 그 값만 쓸때가 있는 데 같은건가요?

예를 들어 A라는 결과를 표현하고싶을때

A=integral(~~)

A

라고 쓰는 것과 print A라고 쓰는 것은 같은 것인가요? 그리고 A값뿐만 아니라 B값도 나타내고 싶을때 ; (세미콜론)으로 연결하는 경우도 있던데 정확히 어떤 기능들인지 알고 싶습니다.

Q2.

A값 출력시 앞에 Volume 이라는 단어를 붙여주고 싶은데 이럴땐 어떤 명령어를 추가해야하는 건가요??

Q3.

이 내용들을 구글에서 찾고싶은데 어떤 검색어를 이용해야 할지 모르겠습니다.

Quiz2  실행결과

이런 식으로도 시험을 볼 수 있다는걸 알았습니다.

이 시험의 Sage 문제는 아예 처음부터 작성하는 것이기 때문에 저희 Sage 시험문제보다  어려울 수 있겠네요.

그렇지만 이런식의 문제가 직접 해본사람과 안해본사람의 구분을 확실하게 지을 수 있는 문제라고 생각됩니다.

시험 문제중에 원통 좌표계, 구면좌표계 변형할때 Transformation의 방법이 있어서 해보았습니다.

그리고 구글에서 찾아봤습니다.

http://www.sagemath.org/doc/reference/plot3d/sage/plot/plot3d/plot3d.html

 T=Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination']) T.transform(radius=8, azimuth=pi/3, inclination= pi/2) A=Cylindrical('radius', ['azimuth', 'height']) theta, z = var('theta, z') p1=plot3d(2*cos(theta), (theta, 0, 2*pi), (z, -2, 2), transformation=A, color='red', opacity=0.5) p1 S=Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination']) var('p, theta') p2=plot3d(2, (p, 0, 10), (theta, 0, 2*pi), transformation=S, opacity=0.5) p2

(4, 4*sqrt(3), 0)

느낀점

미국의 수학은 쉽다라고 흔히들 알려져 있다. 나도 그렇게 생각했었는데 기사를 읽고 잘못된 생각이라는 걸 알게 되었다. 오히려  미국의 수학교육 시스템이 훨씬 더 좋다고 판단되어진다.

기사를 보면서 미국에서는 수학교육이 어떤식으로 이루어지는 지를 엿볼 수 있었는데, 우리나라의 수학교육이 바뀔점이 많다고 느꼈다.

중고등학교 때  수학을 배웠던걸 떠올려보면 우리나라 수학교육은 정말 많이 경직되어있는 것 같다. 일부의 특출한 사람들을 제외하고는 거의 대다수의 학생들이 천편일률적으로 일정시기에 특정부분을 가르침 받고 있는 것이 일반적인데다가 문이과의 구분이 철저해서 개개인들의 수학적 역량을 키울 환경이 제대로 조성되어있지 않은 것 같다.

수능이라는 거대한 제도가 관련되어 있어서 현제도에 많은 문제점이 있지만 손쉽게 바뀔 수 없는 것이 안타깝다.

하루라도 빨리 많은 문제점들이 고쳐져서 한국의 많은 학생들의 전반적인 수학적 역량들이 급상승하는 날이 왔으면 좋겠다.

우리가 미래에 경쟁력을 갖추기 위한 자세

지금도 매우 빠르게 변하고 있는데 앞으로는 정말 상상할 수 없을 정도로 세상은 더 빠르게 변해갈 것이다. 이런 세상속에서 경쟁력을 갖추면서 살아남기 위해서는 위 글에서 언급하고 있는 자세가 반드시 필요할 것이라 느꼈다.

미래에 시대의 흐름을 읽을 줄 알며,

남들이 만들어내지 못하는 지식을 만들어서 그것을 네트워크를 통해 남들과 공유하고,

나 역시 다른 사람으로부터 그들의 전문지식을 배우면서 또다시 새로운 지식을 창출해내는

그런 경쟁력 있는 인재가 되고 싶습니다.

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가슴에 새길 말들입니다.

오늘 페이스북에서도 접하면서 가슴에 새겨야지 하면서 읽었는데, 이곳에 와서도 접하게 되네요.

가슴속에 새기며 항상 머리속에 품고다니려 하는 글귀들입니다.

저는 단기목표로 저의 허약한 멘탈을 보강하기 위해

남은 2학기, 앞으로 올 겨울방학을 항상 이 글을 떠올리며 지내려 합니다.

◆ 자신이 본 강좌에서 배운 내용 또는 이 PBL 보고서를 쓰면서 느낀 점은?

저번 PBL 보고서를 쓸 때에는 나 스스로에게 이런저런 핑계를 대면서 내가 할 수 있는 만큼 열심히 하지 않았던 것 같다. 반성하고나서 나름대로 최선을 다했고 내가 할 수 있는 최대한을 하려고 노력했더니 Sage 실력도 많이 늘어난 것 같고 새로 배운 미적분 내용도 더 잘 이해가 된 것 같다.

무엇보다도 PBL 보고서를 쓰면서 쓸 내용이 많아서 뿌듯하다. 2학기동안 고급미적분 수업을 들었는데, 그 동안 한글 파일로 작성된 것을 합치고 정리하고 파일 관리하는 것이 번거롭고 힘들었었다. 그런데 이번에 math1.skku.ac.kr의 적극적인 활용과 멀티셀의 활용이 위의 문제를 해결해주어서 내용을 이해하는 것이나 여러 면에 있어서 방해요소가 적어서 편했다고 생각한다.

PBL 보고서. 처음에 이 말을 들었을 때 뭔 뜻인지 몰라서 그냥 있다가 시간이 지나고 인터넷에 검색을 한번 해 보았다. 위키피디아에서 찾은 결과를 쓰자면, PBL : 문제중심학습(Problem-based learning) 또는 문제기반학습은 학습자들에게 제시된 실제적인 문제를 협동적으로 해결하기 위하여 학습자들이 공동으로 문제해결 방안을 논의한 후, 개별학습과 협동학습을 통해 공동의 해결안을 마련하는 과정에서 학습이 이루어지는 학습자 중심의 학습 환경이자 모형이다. 단어 뜻을 찾고 보니 내가 이 강좌를 들으면서 했던 활동들 이 바로 PBL 이였던 것이다. 내가 알게 모르게 이런 활동들을 하고 있었다니 약간 놀랐다. 그러고 보면 우리 조원들이 풀 것을 Revise 나 Finalize를 하면서 조원들의 풀이 중 틀린 부분을 보고 왜 틀렸는지 보면서 이렇게 풀면 안 된다는 것을 느끼면서 학습이 되었던 것 같다. 직접 겪어보니 PBL 이 정말 학습이 잘되는 방법 같다. 또한 이 보고서를 쓰고 보니 여태까지 내가 한 활동들을 되돌아 볼 수 있었고 많은 활동들을 보니 한편으론 뿌듯하기도 하다. 그리고 한군데에 모아놓을 수가 있어서 나중에 이 자료들이 필요할 일이 생겼을 때 유용하게 쓸 수 있을 것 같다. PBL 활동이 처음이라 많이 모르고 해서 활동이 약간 제한적이었던 것 같다. 이제부터는 좀 더 활동적이고 적극적으로 활동하여 학습이 좀 더 다양하게 이루어 질 수 있었으면 좋겠다.

2차:

중간고사가 끝난 후 많이 풀어진 것 같아 QnA 활동이 많이 저조 했던 것 같다. 1차 PBL이 반영비율이 중간고사랑 똑같다고 해서 열심히 쓴 것 같긴 한데 결과는 중간고사 100점 PBL 25점으로 이는 고작 반에 반인, 반에 한참 모자라는 반영비율을 보고 충격을 받아 수업에 대한 열의를 잃어버린 것이 아닐까 싶다. 게다가 최근 과제에 대한 설명으로 학생들에게 전화를 해서 알려주신 것 같은데 나에겐 전화는커녕 문자 한 통 조차 오지 않았다. 평가 방식도 매번 바뀌고 뭔가 수업, 과제 등 모든 것이 과도기에 있는듯하여 정신을 제대로 잡지 못하고 방황을 좀 한 것 같다. 아쉬움이 많이 남는다.

◆ 자신이 본 강좌에서 배운 내용 또는 이 PBL 보고서를 쓰면서 느낀 점은?

본 강좌는 미분적분학에 대한 내용을 다루는 만큼 그 내용에 대해서 확실히 이해할 수 있었습니다.

특히 다른 강좌에 비해 가장 큰 차이점은 Sage를 이용하는 참여식 수업진행이라고 생각합니다. 소수로 수업을 듣는 것은 처음이었는데 참여식 수업진행을 통해서 좀 더 적극적인 수업참여와 집중도를 높일 수 있는 시간이었습니다. Sage는 컴퓨터로 수학적 문제를 해결하는 도구일 뿐만 아니라 공유하고 함께 문제를 풀 수 있도록 진행되어 스스로 학습하는 방법을 새롭게 제시하였다고 생각합니다. Matlab 수업도 들었지만 Sage는 특별한 프로그램이 설치되지 않아도 언제 어디서든 수학이 필요한 모든 부분에서 활용될 수 있어서 수업 외에도 앞으로 유용하게 사용할 수 있을 것 같습니다.

PBL 보고서를 작성하면서, 지난 보고서에 비해 참여하는 수업에 대해 적응한 자신을 볼 수 있었습니다. 저학년 때 본 강좌를 수강했으면 어땠을까 하는 생각도 들었습니다.

◆ 자신이 본 강좌에서 배운 내용 또는 이 PBL 보고서를 쓰면서 느낀 점은?

애초 목적부터 미적분에 대해 다시 한번 개념정리를 하자라는 마음으로 강의를 수강하였다. 모르는 부분이 있으면 새로이 배우고, 알긴 하지만 명확하지 않은 부분이 있으면 명확히 하자라는 생각으로 들었다. 다시금 미적분을 듣게 되니 확실히 목적한 바를 달성할 수 있어서 좋았다. 예를 들어 접평면의 방정식이라든지, 선적분의 의미라든지 등의 개념적 이해가 높아졌다. 또한 미적분에 이런 내용도 있었나 하는 내용들, 예를 들어 coordinate 변환이라든지, 라플라스 변환이라든지 등 재차 개념을 확인할 수 있는 기회가 되었다. 사실 어떻게 보면 이런 수학적 내용 자체들은 책을 보면서도 할 수도 있을 것이다. 그러나 Sage라는 툴의 존재와 그것의 사용방법에 대해 조금이나마 익숙해 진 것이 가장 큰 도움이 되었다고 볼 수 있다. 왜냐하면 기존의 수학도구들은 어렵고 접근성이 용이하지 않았던 반면에, Sage는 이 두 가지 단점을 해결할 수 있는 장점이 있기 때문이다. 많은 학우들과 마찬가지로 나도 Sage를 처음 이용해 보았기 때문에 전혀 백지의 상태에서 시작했음에도, Code 짤 때 크게 어려움을 느끼지 않았고(물론 샘플이 존재하였기 때문에 가능했다), 명령어가 실행이 되지 않을 때에도 무엇이 잘못 되었나 찾기가 그리 어렵지 않았다. 이번 학기를 통해 배운 미적분과 Sage 도구를 잘 이용한다면 앞으로 문제를 풀거나 할 때 머릿속으로 그려지지 않는 것들 혹은 수학적 계산이 까다로운 것들을 쉽게 해결해 나가는데 도움이 될 것이라 생각이 들었다.

첫 번째 PBL 보고서의 느낀 점은 다음과 같았다. PBL 보고서를 쓰면서 내가 한달 여 동안 들었지만 의외로 배운게 많다는 생각이 들었다. 미분적분 내용 그 자체에 대해서는 이미 이전에 배웠던 것을 새로이 정리한다는 생각으로 들었기 때문에 그 부분에 대해서는 다시 한번 정리해보길 잘했다는 생각이 들었다. 왜냐하면 잘 이해가 안갔던 부분이 다시 들으니 이해가 가기도 할뿐더러 잘못 알고 있던 부분을 수정해 나갈 수 있었기 때문이다.

그리고 모든 기록을 Q&A에 해놓고 PBL 보고서는 그것을 정리한다는 개념으로 해보니, 기록의 중요성을 깨닫게 되었다. 기록을 통해 쉽게 이전에 해놨던 것에 접근할 수 있었기 때문이다. 이번에는 첫 보고서인 만큼 내용도 엉성하고 부족한 점이 많지만 다음번에 할 때는 좀 더 분명한 방향을 갖고 과제든 보고서든 임할 수 있을 것 같다는 생각을 하였다.

이러한 생각을 갖고 있었는데 두 번째 PBL 보고서에서는 오히려 처음보다 참여에 열심이지 못했다는 생각이 들었다. 그냥 나에게 주어진 과제만 했을 뿐, 그 외의 수업활동에 많이 참여하지 않아서 부끄럽다는 생각을 했다. 앞으로 남은 2주 동안 남은 학기를 열심히 마무리 해야겠다.

1. 대학원생활의 기초

이번학기를 마지막으로 학부생활이 끝납니다. 다음 학기에 대학원에 진학하여 금융수학을 전공할 예정인데, 수학의 기초를 다질 수 있는 기회였습니다. 미분적분학2에서 다루어지는 다변수함수에 관한 내용들을 다시 상기시킬 수 있었습니다. 또한, Sage를 통한 공부를 통해서 새로운 공부 방법을 알게 되었습니다.

그리고 대학원에 진학하여 미분적분학과 선형대수학 TA를 필수적으로 해야 하는데, 따로 공부하지 않고 지금 공부할 수 있어서, 시간을 절약할 수 있는 좋은 시간이었습니다.

2. 이번학기를 돌아볼 수 있는 기회

이번학기가 마지막학기여서 공부에 집중하기 보다는 마지막이라는 생각에 많이 나태해졌습니다. 대학원면접과 기업면접을 동시에 준비해서 시간이 없었던 것도 한 몫 하여서 미분적분학 공부를 많이 하지는 못하였습니다. PBL보고서를 쓰다 보니 정말 이번학기에 많이 참여하지 못하였다는 것을 알게 되었습니다. 열심히 하지 못하였다는 생각에 후회가 많이 되었습니다. 지금부터라도 기말고사보기 전까지 열심히 공부하겠습니다.

3. 교수님의 열정

비싸고 사용하기도 어렵고, 실행시간도 오래 걸리는 매스매티카를 대신하여 인터넷 페이지에서 바로 실행할 수 있는 Sage를 개발하신 것에 정말 대단하다고 생각하였습니다. 또한, 우리나라에서 볼 수 없는 토론식 수업이 정말 좋은 것 같습니다. 수학과에서 전공수업을 들으면 토론을 하기 보다는 일방적인 지식의 전달이었는데, 고급미분적분학2 수업에서는 학생들끼리 토론을 할 수 있게 해주신 교수님께 감사합니다.

교수님이 새로운 교육방법을 제시하신 것처럼 저도 추후에 취업을 하여 제 분야에서 새로운 것을 개발하고 싶습니다. 저는 보험회사에서 보험상품을 개발하는 것이 장래희망인데, 보험상품 개발시에도 현재 존재하고, 뻔 한 상품을 개발하기 보다는 교수님의 열정을 본받아서, 개척되지 않은 신 분야의 보험을 만들어야 겠다는 생각이 들었습니다.

처음 이 강좌에서 시리즈 라는 개념을 배웠습니다. 처음엔 Sage 같은 것이 있는지도 몰랐고 또 사용하지도 않았기 때문에 시리즈라는 개념이 확 다가오지 않았습니다. 하지만 많은 학생들과 문제에서 Sage를 많이 활용하였고, 덕분에 저도 Sage를 많이 해보았는데 하면 할수록 더욱 쉬웠고 시리즈 라는 개념을 좀더 쉽게 다가갈수 있었습니다. 또한 벡터 부분에서도 3차원적인 사고하기 힘든 부분들을 잘 다가갈 수 있게 교수님 께서 가르쳐 주셨고 또 쉽게 가르쳐 주셔서 좀더 쉽게 배웠습니다.

또한 벡터의 외적 과 내적 그리고 평면과 선의방정식을 벡터개념으로 증명하는법 등등의 많은것들을 배웠고 좀더 수학적인 사고를 할 수 있게 된 것 같습니다.

이후에 12강 13강 14강을 배웠습니다. 12강에서는 우선 평면에 벡터를이용해 선과 평면과 여러 도형을 표현하고 이런개념을 이용해서 다른 문제를 풀었습니다. 예를 들면 평면과 점 사이에 최단거리라던지 그러한 문제를 풀었고 배웠습니다. 또한 좀 더 나아가 속도까지 나가서 배웠죠 13강에서는 다변수 함수에대해서 특히 배웠습니다. 이러한 다변수함수를 표현하고 그리고 또한 적분과 미분을 하는방식을 배우는데 이때 이중적분이라던지 아니면 편미분의개념을 배웠던 것 같습니다. 14강에서는 이중적분과 다양한 도형과 이 도형들의 표면의 면적을 구하는 것을 배웠고 직교좌표와 구면좌표 그리고 원기둥좌표를 이용해서 3차원 도형을 표현하고 그리는법을 배웠고 이를 트리플적분을 통해서 그 도형의 표면과 부피의 면적을 구하는 법을 배웠다.

솔찍히 이 강좌를 처음부터 제가 좋아서 선택한 것은 아니었습니다. 좀더 평이 좋은 선생님이 하고 있는 미분적분학 강좌를 선택하려고 하다가 결국은 미분적분학수강신청을 못하게되어서 고급미분적분학을 듣게 된 건데요. 앞서 첫 번째 pbl보고서 때도 그랬지만 sage코드는 정말 좋은 것 같습니다. 또 매일 수업시작하기전에 교수님이 저희에게 sage에 대해서 알려주시고 다음과제 어려운건 뭐가있는지 설명해주시고 또 다음에 우리가 할 내용과 무엇을 할것이고 이렇게 할것이다라고 학생들에게 말해주는 것이 정말 좋았습니다. 좀더 교수님하고 소통을 할 수 있던 것 같습니다.

이번에도 역시 교수님의 열정을 따라가진 못햇던 것 같네요 제가 1학년인 것도 있지만, 아직까지 공부에 열정을 담지 못했던 것 같습니다. 말로는 한다고 하면서 하고는있는데 역시 아직별로 였던 것 같습니다. 이번 2차 pbl보고서를 쓰면서 더더욱 절실히 느꼈고 오히려 열심히 공부를 안 하려고 노력하는 건 아닌가 하는 생각도 했습니다.

솔찍히 대학교때 공부할 시간 즉 자신에게 투자할 시간이 훨신 많고 여유로우면서도 이렇게 열심히 안한걸보니 정말 반성을 해야 된다고 생각했습니다. 그래도 2차 pbl보고서를 쓰면서 더욱잘해야지 라는 생각을 들었고 이제 2학년에 들어가는데 2학년이 되면 더욱 열심히 해야겠다고 생각했습니다. 교수님이 선형대수학을 가르치시는걸로 아시는데 그 수업도 들을 예정입니다. 또 sage에 대해서 더욱 빨리 접하고 이해하고 사용했다는 것에 매우 뿌듯합니다.

재수를 할 때에는 대학에 입학하기 위해 수 많은 고민을 했었다. 당시 수학에 약했던 나는 약점을 극복하기 위해 수학의 원리에 대해 고민하는데에 많은 시간을 들였고, 학생의 수준에서는 꽤나 큰 깨달음을 얻었다. 그러나 대학교에 들어와 나태해지면서 잠시 그 깨달음을 잊고 있었다. 첫 째는 꾸준하고 성실해야 한다는 것이고, 둘 째는 문제를 푸는데에 급급해서는 안되고 원리를 이해해야 한다는 것이다. 수업의 내용도 훌륭하지만, 교수님께서 틈틈이 해주시는 이야기는, 특히 역사와 수학의 관계에 관한 이야기는 정말 피가 되고 살이 되는 이야기들이었다.

이 수업에서 가장 큰 장점은 본인이 무언가를 얻으려 적극적으로 노력한다면 무한대로 많은 것을 배울 수 있다는 것이었습니다. 한편 반대로 말한다면 적극적으로 임하지 않으면 아무것도 얻을 수 없는 수업입니다. 과거에는 수업을 잘 듣지 않아도 교재를 열심히 보면 좋은 결과를 받을 수 있었습니다. 하지만 저를 비롯한 많은 학생들이 이 수업을 들으며 지금까지 자신이 공부하는 방식이 잘 못 됐었다는 것을 한번쯤은 느꼈으리라 생각합니다.

저는 이 수업을 들으며 미적분학에 대한 지식도 얻을 수 있었지만 그보다 어떠한 문제를 동료학생들과 해결하는 과정이 좋았고 앞으로 인생의 많은 문제를 해결하는데 이 수업이 큰 도움이 될것이라 생각합니다. 비록 이 수업에서 저는 교수님에게 성실하지 않은 요령피우는 학생으로 낙인 찍혔지만, 이 수업시간에 배운 내용과 과정은 잘 알고 있기에 나중에 동료들과 어떠한 문제를 해결해야할 때가 온다면 저는 분명 이 수업을 떠올릴 것이고, 가능하다면 sage라는 프로그램도 해결과정에 적용시켜보고 싶습니다.

많이 아쉽습니다. 취업준비라는게 시간을 많이 뺐는 것은 아니지만 심적으로 많은 부담감이 있었던 것이 사실입니다. 중간에 이 수업을 포기할까라는 생각도 있었지만 교수님께서 저에게 많은 기회를 주셔서 지금 final PBL까지 작성할 수 있었습니다.

PBL보고서를 쓰면서 기본적으로 내가 2학기동안 배운 것들을 제대로 정리해보아서 기분이 좋았다. 그리고 다른 사람들이 쓴것과 내가 쓴 것도 다시 한번 보면서 이번 학기동안의 정리가 된거 같아서 깔끔한 기분이 들었다.

원래는 부분부분 내가 한 것만 정리가 됐는데 한번에 모아서 정리해서 여러 장의 페이지로 정리가 된다는 게 좋았다. 그리고 이번에 특별히 멀티셀로 한번에 문제를 모아서 한 페이지로 딱 정리가 된다는게 정말 편하고 좋았다.

앞으로도 세이지 프로그램은 계쏙 하면 할수록 발전 할 것이라는게 몸소 느껴지는 바였다. 그리고 학기 초에 3D 프린터를 통해 직접 만든 것들을 눈으로 보고 손으로 만지면서 수학이 직접 내 몸으로 닿는 느낌이 들어서 뭔가 묘했다. 교수님 말씀처럼, 만약 대학에서 단 한가지의 과만 남게 된다면 그것은 바로 수학과 라는게 느껴졌다. 앞으로도 수학은 사회에 나가서도 계속해서 사용될 것이고, 앞으로도 계속해서 발전 할 것이다.

학습 과정에 있어 완벽히 이해했다고 생각했지만, PBL 보고서를 작성하면서 부족한 부분이 아직도 많다는 점을 깨달았다. 이러한 부족한 부분을 더욱더 열심히 공부해서 완전히 채울 수 있도록 해야겠다. 본 강좌를 통해서 Sage의 사용법을 배웠고 아직 완벽하게 사용할 줄 아는 것은 아니지만 차차 완벽하게 사용할 수 있도록 학습해서 나중에 사회에 나가서 유용하게 쓰일 수 있도록 해야겠다. 수업이 수요일에만 연강을 하는데, 수요일에 휴일인 날이 많아서 교수님 및 동료들과 소통할 수 있는 시간이 적어서 매우 아쉬웠다. 이전에는 컴퓨터로 수식을 입력할 기회가 없었는데, 이번 수업을 통해 처음으로 컴퓨터로 수식을 입력해 볼 기회가 생겼고, 처음에는 수식 입력하는 작업이 생소하여 힘들었지만, 이제는 수식 입력을 전보다 원활하게 할 수 있게 되었다. 하지만, 교수님께 문제풀이들을 Final OK 받으러 연구실 방문했을 때, 교수님께서 많은 지적을 해주셔서 아직은 많이 부족하다는 점을 새삼 깨달았고, 앞으로는 주의하도록 노력할 수 있는 계기가 되었다. 또한 영어의 사용에 있어서 사소한 문제도 용납되지 않는다는 점으로 보아 매우 신중히 사용하던가 아니면 거의 사용하지 않는 편이 좋을 것 같다. 또한 이 PBL 보고서를 작성하면서 지금까지 푼 문제들을 다시 보면서 부족했었던 점 등을 다시 한 번 알 수 있는 기회가 되었고, 이러한 것들로부터 앞으로의 문제풀이 및 학습을 할 때에 있어 전보다 더욱 열심히 해서 단 하나의 오류도 없을 만큼 최선을 다할 것이다.

중간고사 이후부터 멀티셀로 문제를 많이 풀게 되면서 Sage를 잘 다루려고 많이 노력했는데 아직 부족한 부분이 조금 있는 것 같다. 특히 interact를 꼭 배워보고 싶었는데 교수님이 올려주신 내용 및 다른 동료들이 interact로 푼 문제들을 보면서 관련된 Sage code를 잘 이해해서 요번학기 얼마 안 남았지만, 요번학기가 끝나기 전에 interact까지는 완벽히 이해했으면 좋겠다. Sage 뿐만 아니라 중간고사 이후에 정말 많은 내용을 배운 것 같다. 특히 Lagrange Multiplier는 정해진 구간에서 최대 최소를 구할 때 필요한 내용인데 다른 부분도 마찬가지지만, 이 부분은 특히 사회에 나가서 실생활에 관련된 문제를 풀 때 더 유용할 것 같다. 또한, 다변수함수의 극대 극소 saddle point를 구하는 문제도 마찬가지로 매우 유용할 것 같다. 다른 수업에서 강의를 들었으면 그냥 관련된 개념만 이해하고 문제풀이를 많이 했을 것 같은데, 이상구 교수님의 고급미적분학 수업에선 단순히 개념을 이해할 뿐만 아니라 사회에서 일어나는 실생활의 문제와 접목하여 지금 사회가 어떤 수학적 기반에 따라 돌아가고 있는지를 배웠을 뿐만 아니라 앞으로 우리가 사회에 나가기 위해 얼마나 노력해야 하는지 등을 배울 수 있어서 매우 좋았다. 중간고사 이후 편미분, 중적분, 벡터미적분학 등 정말 많은 내용을 배운 것 같아서 매우 보람되긴 하지만, 이제 학기가 얼마 안 남았다는 점이 매우 아쉽고 교수님 및 같이 수업을 듣는 동료들과 헤어질 생각에 가슴이 뭉클하다. 다른 일반적인 수업처럼 교수님 판서 주도하에 이루어지는 수업이 아니라 Sage 멀티셀, QnA 등 다 같이 참여하는 수업이라 더욱 이런 생각이 드는 것 같다. 아직 1학년이 지났을 뿐이지만, 2013 2학기에 들은 고급미적분학 수업 및 선형대수 수업은 대학을 졸업하고 생각해 봤을 때도 가장 인상 깊고, 기억에 남을 수업이 될 것 같다.

End of the 2nd Semester

< 동영상 강의>

SKKU Calculus  - Record  (기록)

[동영상 강의]

1.1 History of Calculus            http://youtu.be/ODfMaHgIhAc

How to manage our class Review  http://youtu.be/XWEQFlv4jKc

Chapter 1. Functions

http://youtu.be/cl8GqIWIRD0

문제풀이 by 곽주현  http://youtu.be/BNKUzSohiD8

문제풀이 by 장찬영 http://youtu.be/x0E0ZMxZ3Og

문제풀이 by 임효정  http://youtu.be/vx7GCWY68Zw

Chapter 2. Limits and Continuity

2.1 Limits of functions    http://youtu.be/VBCeAllP1M0

문제풀이 by 장재철-이훈정, http://youtu.be/LZSmRPAAXME

문제풀이 by 황인철 http://youtu.be/hj8d-j_DGf4

2.2 Continuity             http://youtu.be/zGxx3PUCTnM

문제풀이 by 이훈정 http://youtu.be/azrkT1RP4-c

Chapter 3. Theory of Differentiation

3.1 Definition of Derivatives, Differentiation  http://youtu.be/A-vDsF9ulTs

문제풀이 by 김태현  http://youtu.be/7wTBWuk2CzU

3.2 Derivatives of Polynomials, Exponential Functions, Trigonometric Functions, The product rule   http://youtu.be/XXMnCESesfQ

문제풀이 by 조건우  http://youtu.be/Ei5KGW9vZhE

3.3 The Chain Rule and Inverse Functions  http://youtu.be/HfScHEsPfKI

3.4 Approximation and Related Rates   http://youtu.be/ViRwEJ0Wfkw

문제풀이 by 김종민  http://youtu.be/JmBOv6_D6qA

Chapter 4. Applications of Differentiation

4.1 Extreme values of a function   http://youtu.be/mXVU8OqIHJY

문제풀이 by 김태영  http://youtu.be/_V4MryNEzWY

4.2 The Shape of a Graph    http://youtu.be/cZrAF_77On4

4.3 The Limit of Indeterminate Forms and L’Hospital’s Rule

문제풀이 by 신종희  http://youtu.be/gR2luDDPsMY

4.4 Optimization Problems   http://youtu.be/k0NtkmZFnh8

문제풀이 by 이승철  http://youtu.be/AELEV2ElaeQ

4.5 Newton’s Method  http://youtu.be/VxCfl2JzMYU

문제풀이 by 이승철  http://youtu.be/fdBHQ46g9RE

Chapter 5. Integrals

5.1 Areas and Distances   http://youtu.be/mT_oxlD6RSA

문제풀이 by 남택현  http://youtu.be/Y_nCn76RPmY

5.2 The Definite Integral   http://youtu.be/GIm3Oz58Ti8

문제풀이 by 남택현  http://youtu.be/iUsf1h_hTAE

5.3 The Fundamental Theorem of Calculus   http://youtu.be/Zf1HT2H2fbA

문제풀이 by 정승찬 &Kim  http://youtu.be/Pa4Z38KkDVY

5.4 Indefinite Integrals and the Net Change Theorem

5.5 The Substitution Rule   http://youtu.be/h7tmvmNOliU

문제풀이 by 이한울 http://youtu.be/0TMbpCPO4Uc

5.6 The Logarithm Defined as an Integral  http://youtu.be/kD0Z9PqetsA

문제풀이 by 이한울 http://youtu.be/ymDImdIQ90c

미적분학 with Sage Midterm Exam    http://youtu.be/QAEI7A2DMMM

Chapter 6. Applications of Integration

6.1 Areas between Curves   http://youtu.be/o53phm5cqJE

6.2 Volumes   http://youtu.be/4-ChOAFbJAs

문제풀이 by 김종민  http://youtu.be/Fd4Mguf2dbU

6.3 Volumes by Cylindrical Shells   http://youtu.be/qM1izf8qeX8

문제풀이 by 신영찬  http://youtu.be/gNaKkA0UNHg

6.4 Work   http://youtu.be/u3ZaJWhKy6k

문제풀이 by 김건호  http://youtu.be/SmIo2yaxNsY

6.5 Average Value of a Function   http://youtu.be/zmEeGmwQTB0

문제풀이 by 신종희  http://youtu.be/BVahd-DJoe8

Chapter 7. Techniques of Integration

7.1 Integration by Parts   http://youtu.be/WX-6C9tCneE

문제풀이 by 이인행  http://youtu.be/jKCAGJ4HqvQ

7.2 Trigonometric Integrals   http://youtu.be/sIR0zNGQbus

문제풀이 by 김태현  http://youtu.be/ytETYf1wLbs

7.3 Trigonometric Substitution   http://youtu.be/avTqiEUi8u8

문제풀이 by 이훈정  http://youtu.be/utTQHIabTyI

7.4 Integration of Rational Functions by the Method of Partial Fractions

문제풀이 by 장재철  http://youtu.be/SkNW_bax0YI

7.5 Guidelines for Integration   http://youtu.be/Fgn8U4We60o

문제풀이 by 김대환 http://youtu.be/-N9Fe_Arp2c

7.6 Integration Using Tables    http://youtu.be/tn9jLkgTMp8

문제풀이 by 조건우  http://youtu.be/EnEQ9ZS3B_k

7.7 Approximate Integration     http://youtu.be/hg2pw1n1cZI

7.8 Improper Integrals      http://youtu.be/rquxbYrC0Yc

문제풀이 by 이송섭  http://youtu.be/C3kb4c9nLXM

문제풀이 by 이인행 http://youtu.be/dfSkjvmSXYo

Chapter 8. Further Applications of Integration

8.1 Arc Length   http://youtu.be/7OVqI20z_Bw

문제풀이 by 남택현  http://youtu.be/A8N-mDD0ja8

8.2 Area of a Surface of Revolution   http://youtu.be/Eq4i2A8eKxA

문제풀이 by 정승찬  http://youtu.be/yZFJDJgTJfw

8.3 Applications of Integral Calculus    http://youtu.be/1ZAJeP16pAQ

8.4 Differential equations      http://youtu.be/uHfOjz8I4-s

Chapter 9. Infinite Sequences and Infinite Series

9.1 Sequences and Series   http://youtu.be/rz8ZS4Y_cvc

문제풀이 by 문지호  http://youtu.be/Qo0MArZG2EA

문제풀이 by 이원준  http://youtu.be/O6y1v5fJA0k

9.2 Tests for convergence of series with positive terms

문제풀이 by 김범윤  http://youtu.be/1flKAnlv9LA

9.3 Alternating Series and Absolute Convergence  http://youtu.be/NtSitFNv9Mk

문제풀이 by 계성곤  http://youtu.be/e_5D0dzrqwc

9.4 Power Series  http://youtu.be/426kkrMArgs

문제풀이 by 배성준  http://youtu.be/R3AcB12z2kk

9.5 Taylor, Maclaurin, and Binomial Series   http://youtu.be/3zSPSvYHJQI

문제풀이 by 우시명  http://youtu.be/NSFrYRYZ6Qc

Chapter 10. Parametric Equations and Polar Coordinates

10.1 Parametric Equations    http://youtu.be/hQGCZk1tpuA

문제풀이 by 문지호  http://youtu.be/uz1DkKVeD2k

문제풀이 by 임효정  http://youtu.be/Ybs68e0iMZI

10.2 Calculus with Parametric Curves   http://youtu.be/QFMSbGKhoX4

문제풀이 by 장찬영  http://youtu.be/yF5oZOQVnCE

10.3 Polar Coordinates    http://youtu.be/lKPJeAGw0ZA

문제풀이 by 계성곤  http://youtu.be/smAmDRK-tWY

문제풀이 by 황인철  http://youtu.be/4hoVKvk8dq0

10.4 Areas and Lengths in Polar Coordinates

문제풀이 by 곽주현  http://youtu.be/LRmasW9uqYY

10.5 Conic Section

문제풀이 by 변희성  http://youtu.be/ONItxvlsnb8

문제풀이 by 이한울  http://youtu.be/CZ9SHMtqVy4

Chapter 11. Vectors and the Geometry of Space

11.1 Three-Dimensional Coordinate Systems

문제풀이 by 김태현  http://youtu.be/_s_2T1VVob8

11.2 Vectors

문제풀이 by 오교혁  http://youtu.be/BFgh6irMqsc

11.3 The Dot Product

11.4 The Vector or Cross Product

11.5 Equations of Lines and Planes

문제풀이 by 구본우  http://youtu.be/lxuGE_Erthg

Chapter 12. Vector Valued Functions

12.1 Vector-Valued Functions and Space Curves

문제풀이 by 최양현  http://youtu.be/jvMI6OzdR_I

12.2 Calculus of Vector Functions

문제풀이 by 김동윤  http://youtu.be/VS5rPyOjP2I

12.3 Arc Length and Curvature

*12.4 Motion Along A Space Curve: Velocity and Acceleration

Chapter 13. Partial Derivatives

13.1 Multivariate Functions

문제풀이 by 구본우  http://youtu.be/As_0AYApHlM

13.2 Limits and Continuity of Multivariate Functions

13.3 Partial Derivatives    http://youtu.be/LR89Ct3cEDY

문제풀이 by 김동윤  http://youtu.be/rSYLp1mSMXY

13.4 Differentiability and Total Differentials

문제풀이 by 김범윤  http://youtu.be/qDmCWBiXbIA

13.5 The Chain Rule   http://youtu.be/r3dGYL1vkEU

문제풀이 by 김유경  http://youtu.be/vzN5By6qzvM

13.6 Directional Derivatives and Gradient     http://youtu.be/o8L_ShRANjo

문제풀이 by 김태현  http://youtu.be/2_7TOUuzJoE

13.7 Tangent Plane and Differentiability     http://youtu.be/uOf-5YHKGI4

문제풀이 by 서용태  http://youtu.be/GDkE8OqUvsk

13.8 Extrema of Multivariate Functions   http://youtu.be/oDZUkOEszOQ

문제풀이 by 오교혁  http://youtu.be/FWmk_MasIjE

13.9 Lagrange Multiplier

문제풀이 by 이원준  http://youtu.be/YMGdQWBzyrI

Chapter 14. Multiple Integrals

14.1 Double Integrals     http://youtu.be/jZ2pAmPZYOE

문제풀이 by 이인행  http://youtu.be/w8g9fgcEP4A

14.2 Double Integrals in Polar Coordinates    http://youtu.be/olQgihl5aZg

문제풀이 by 이지석  http://youtu.be/jpsObxtZ50A

14.3 Surface Area     http://youtu.be/p9R0TTLfBzk

14.4 Cylindrical Coordinates and Spherical Coordinates

문제풀이 by 최양현  http://youtu.be/F9u6pMubVRs

14.5 Triple Integrals    http://youtu.be/r1tzH9Ibbqk

문제풀이 by 이인행  http://youtu.be/C-uPM3km96k

14.6 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

14.7 Change of Variables in Multiple Integrals  http://youtu.be/INn-bkgXYNg

Chapter 15. Vector Calculus

15.1 Vector Differentiation  http://youtu.be/q0aVmUCXgTI

문제풀이 by 김동윤  http://youtu.be/iSUME4Q1WPM

15.2 Line Integrals   http://youtu.be/wHINlpNXYaU

문제풀이 by 김범윤  http://youtu.be/ZdRjCfJeHM8

15.3 Independence of the Path   http://youtu.be/jGGOL3QDj1Y

문제풀이 by 김유경  http://youtu.be/TreCe8ESEiU

15.4 Green’s Theorem in Plane  http://youtu.be/WxdTbaSb_ZI

문제풀이 by 서용태  http://youtu.be/wLTHYaANwtI

15.5 Curl and Divergence  http://youtu.be/IswmJUCTeNA

문제풀이 by 오교혁  http://youtu.be/j7F3xVNdHvA

15.6 Surface and Area   http://youtu.be/xX6tNVpegbs

15.7 Surface Integrals  http://youtu.be/nrzIrM4doLo

문제풀이 by 이원준  http://youtu.be/s_MRgW2By38

15.8 Stokes’ Theorem   http://youtu.be/t4skc_PzJvg

15.9 Divergence Theorem  http://youtu.be/3BmcFr81kuQ

문제풀이 by 최주영  http://youtu.be/vGMLoGWF1Is

Part I  Single Variable Calculus

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/part1.html

Part II  Multivariate Calculus

[Grapher]

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-integral2.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-inverse.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-Newton-method.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-derivatives.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-integral.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-integral2.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/SKKU-Cell-Matrix-Calculator.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Fermat-Spiral.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Freeth-Nephroid.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Durer-Shell-Curves.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Newton-Diverging-Parabolas.html

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/sage-grapher-Talbot-Curve.html

Review  of   이번 학기 강좌 내용  - 기록

Calculus II

Sang-Gu Lee and Dr. Jae Hwa Lee

*This research was supported by Basic Science Research Program

through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded

by the Ministry of Education (2017R1D1A1B03035865).

1) http://goo.gl/zdfnzQ