미적분학의 개념 by SGLee
1) http://matrix.skku.ac.kr/sglee/macbook/formandfunction.htm
2) http://cafe.daum.net/buddha01/MONm/2
3) http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/
4) http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/
1. 기 원
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※ 미분의 의미 현재 학교에서 가르치는 것은 라이프니츠의 미적분이라 할 수 있다.
정확한 속도를 구하기 위해 간격을 줄이면 된다. 간격을 줄일수록 정확한 값을 알 수 있게 된다. 순간 속도란 평균속도가 한 없이 가까워지는 어떤 지점을 의미한다. 이것이 라이프니츠가 생각한 미분의 개념이었다. |
http://www.geogebratube.org/student/m70806
http://www.geogebratube.org/student/m80386
즉, 점 
가 점점 
에 접근해 가면 두 점 
와 
에 의해 결정된 직선은 점 
에서만 접한 접선의 기울기가 된다. 그리고 접선의 기울기를 구할 수 있으므로 
에서의 접선의 방정식도 쉽게 구할 수 있다.
[Example] Find the equation of the tangent line to the curve 
at 
.
‣‣ Sol) 
.
So the slope of the tangent line is 20.
(
passes through 
).
[CAS]
|
f(x)=x^2*sqrt(x); df(x)=diff(f(x),x); y(x)=df(4)*(x-4)+32; y(x) |
20*x-48
|
p1=plot(f(x),x,0,10, color='blue'); p2=plot(y(x),x,0,10, color='red'); show(p1+p2,ymax=50,ymin=-10) |
http://math1.skku.ac.kr/pub/931
2. 적 분
어떤 작은 양의 부분들을 전부 합하여 측정된 전체 양에 근사시키는 여러 가지 서로 다른 과정들이 하나의 과정 즉, 적분(잘게 나눈 후 다시 합하는 기술)의 과정에 포함된다는 것은 놀랄 만한 일이다. 면적, 부피, 길이, 압력, 관성능률, 무게 등이 모두 다 그러한 합으로 구해질 수 있다. http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/
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실생활 속의 수학세상
(1) 컴퓨터 단층 촬영(CT)와 적분
과학이 발달함에 따라 컴퓨터를 사용하여 병을 진단할 수 있는 여러 가지 방법이 개발되었다. |
http://www.geogebratube.org/student/m67928
.
공학적 도구인 ‘Sage’를 활용해 실제로 기호 (3)을 확인할 수 있다.
http://math1.skku.ac.kr/pub/798
[CAS] Find the Riemann sum by using Midpoint rule with given value of 
to approximate the integral.
, 
‣‣ Sol)
|
var('i'); f(x)=1/sqrt(1+4*x^2); sum(0.2*f(0.2*i-0.1),i,1,10) |
1.04754618408
http://math1.skku.ac.kr/pub/932
3. 도함수
라고 표기한다면, “순간적인” 면은 
에서 
까지의 무한소의 변화량인 
에 의하여 공식화될 수도 있다. 
가 함수 
에 의하여 
에 의존한다면, 무한소의 변화율은 
혹은 (
기호를 확장하여) 두 무한소들의 비인 
가 된다.그리고 이 
는 
에서의 함수 
의 기울기가 된다. http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/
그러한 무한소들은 계산을 빨리 할 수 있게 해 준다. 예를 들어, 
이면 순간변화율은
[CAS]
|
var('x'); diff(x^2,x) |
2*x
http://math1.skku.ac.kr/pub/930
4. 적분학의 기본정리
= 
= 
http://www.geogebratube.org/student/m67933
정 리 함수 
가 구간 
위에서 연속인 도함수 
를 가지면
이 성립한다.
우변의 식은 흔히 
로 쓰이고, 함수 
는 부정적분(indefinite integral)
이라 불린다.
[Example] Evaluate the integral.
Sol)
[CAS]
|
var('t') integral((1+4*cos(t)^2)/cos(t)^2,t,0,pi/4) |
pi + 1
http://math1.skku.ac.kr/pub/941
[CAS]
|
var('t') integral(sqrt(1-t^2),t,0,1) |
1/4*pi
http://math1.skku.ac.kr/pub/940
5. 근사와 Taylor급수
http://www.geogebratube.org/student/m92767
(The End)
의 기호는 라이프니츠의 기호이다. 데카르트의 좌표를 이용해 가로를 거리라 하고, 세로를 시간이라 하자. 아래 그림에서 보면 1시간 동안 60
를 이동하였기 때문에 평균속도를 
라 할 수
있다. 하지만 속도는 계속 변화 하였다. 그렇다면 정확한 속도를 찾는 방법은 무엇일까?
컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT는 몸속 장기의 단면을 무수히 잘게 나누어 계속 찍고 단면의
합으로 부피를 구하는 적분의 아이디어를 이용하여 그 사진들을 종합하여 장기의 전체적인 모양을 알아내어 여러 가지 병을 진단하는데 이용된다.