미적분학의 개념 by SGLee
1) http://matrix.skku.ac.kr/sglee/macbook/formandfunction.htm
2) http://cafe.daum.net/buddha01/MONm/2
3) http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/
4) http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/
1. 기 원
※ 미분의 의미 현재 학교에서 가르치는 것은 라이프니츠의 미적분이라 할 수 있다. 의 기호는 라이프니츠의 기호이다. 데카르트의 좌표를 이용해 가로를 거리라 하고, 세로를 시간이라 하자. 아래 그림에서 보면 1시간 동안 60를 이동하였기 때문에 평균속도를 라 할 수 있다. 하지만 속도는 계속 변화 하였다. 그렇다면 정확한 속도를 찾는 방법은 무엇일까? 정확한 속도를 구하기 위해 간격을 줄이면 된다. 간격을 줄일수록 정확한 값을 알 수 있게 된다. 순간 속도란 평균속도가 한 없이 가까워지는 어떤 지점을 의미한다. 이것이 라이프니츠가 생각한 미분의 개념이었다. |
http://www.geogebratube.org/student/m70806
http://www.geogebratube.org/student/m80386
즉, 점 가 점점 에 접근해 가면 두 점 와 에 의해 결정된 직선은 점 에서만 접한 접선의 기울기가 된다. 그리고 접선의 기울기를 구할 수 있으므로 에서의 접선의 방정식도 쉽게 구할 수 있다.
[Example] Find the equation of the tangent line to the curve at .
‣‣ Sol) . So the slope of the tangent line is 20.
( passes through ).
[CAS]
f(x)=x^2*sqrt(x); df(x)=diff(f(x),x); y(x)=df(4)*(x-4)+32; y(x) |
20*x-48
p1=plot(f(x),x,0,10, color='blue'); p2=plot(y(x),x,0,10, color='red'); show(p1+p2,ymax=50,ymin=-10) |
http://math1.skku.ac.kr/pub/931
2. 적 분
어떤 작은 양의 부분들을 전부 합하여 측정된 전체 양에 근사시키는 여러 가지 서로 다른 과정들이 하나의 과정 즉, 적분(잘게 나눈 후 다시 합하는 기술)의 과정에 포함된다는 것은 놀랄 만한 일이다. 면적, 부피, 길이, 압력, 관성능률, 무게 등이 모두 다 그러한 합으로 구해질 수 있다. http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/
실생활 속의 수학세상
(1) 컴퓨터 단층 촬영(CT)와 적분 컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT는 몸속 장기의 단면을 무수히 잘게 나누어 계속 찍고 단면의 합으로 부피를 구하는 적분의 아이디어를 이용하여 그 사진들을 종합하여 장기의 전체적인 모양을 알아내어 여러 가지 병을 진단하는데 이용된다. 과학이 발달함에 따라 컴퓨터를 사용하여 병을 진단할 수 있는 여러 가지 방법이 개발되었다. |
http://www.geogebratube.org/student/m67928
.
공학적 도구인 ‘Sage’를 활용해 실제로 기호 (3)을 확인할 수 있다.
http://math1.skku.ac.kr/pub/798
[CAS] Find the Riemann sum by using Midpoint rule with given value of to approximate the integral.
,
‣‣ Sol)
var('i'); f(x)=1/sqrt(1+4*x^2); sum(0.2*f(0.2*i-0.1),i,1,10) |
1.04754618408
http://math1.skku.ac.kr/pub/932
3. 도함수
라고 표기한다면, “순간적인” 면은 에서 까지의 무한소의 변화량인 에 의하여 공식화될 수도 있다. 가 함수 에 의하여 에 의존한다면, 무한소의 변화율은 혹은 (기호를 확장하여) 두 무한소들의 비인 가 된다.그리고 이 는 에서의 함수 의 기울기가 된다. http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/
그러한 무한소들은 계산을 빨리 할 수 있게 해 준다. 예를 들어, 이면 순간변화율은
[CAS]
var('x'); diff(x^2,x) |
2*x
http://math1.skku.ac.kr/pub/930
4. 적분학의 기본정리
= =
http://www.geogebratube.org/student/m67933
정 리 함수 가 구간 위에서 연속인 도함수 를 가지면
이 성립한다.
우변의 식은 흔히 로 쓰이고, 함수 는 부정적분(indefinite integral)이라 불린다.
[Example] Evaluate the integral.
Sol)
[CAS]
var('t') integral((1+4*cos(t)^2)/cos(t)^2,t,0,pi/4) |
pi + 1
http://math1.skku.ac.kr/pub/941
[CAS]
var('t') integral(sqrt(1-t^2),t,0,1) |
1/4*pi
http://math1.skku.ac.kr/pub/940
5. 근사와 Taylor급수
http://www.geogebratube.org/student/m92767
(The End)