3장

미적분학의 개념  by SGLee

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1) 본 원고는 저자가 공역한 책 수학: 형식과 기능의 내용에 기반하여 다시 저술하였습니다. http://matrix.skku.ac.kr/sglee/macbook/formandfunction.htm

1. 기 원

http://cafe.daum.net/buddha01/MONm/2

우리는 한 부분의 곡면의 면적을 어떻게 계산할 것인가? 또는 한 부분의 곡선의 길이나 곡선 위의 임의의 점에서 관련된 접선의 방향은 어떻게 계산할 수 있는가? 일반적으로, 두 변량(Variable quantity)들이 시간에 따라 변하는 비율은 어떻게 계산할 것인가? 하는 어려운 계산들을 만나게 된다. 이 모든 것들을 계산할 수 있게 하는 체계적인 방법의 (뉴우톤과 라이프니츠에 의한) 발견과 그와 유사한 많은 사실들은 구조와 발전방향에 절대적인 영향을 끼쳤다. 상당한 기간동안 그러한 것들에 대한 실제적인 계산이 개념적인 이해를 압도하는 경향도 있었다. 그것은 수학이 인간활동에 근원을 두고 있다는 관점을 강조하였기 때문이다.

※ 미분의 의미

현재 학교에서 가르치는 것은 라이프니츠의 미적분이라 할 수 있다. 의 기호는 라이프니츠의 기호이다. 데카르트의 좌표를 이용해 가로를 거리라 하고, 세로를 시간이라 하자. 아래 그림에서 보면 1시간 동안 60를 이동하였기 때문에 평균속도를 라 할 수 있다. 하지만 속도는 계속 변화 하였다. 그렇다면 정확한 속도를 찾는 방법은 무엇일까?

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정확한 속도를 구하기 위해 간격을 줄이면 된다. 간격을 줄일수록 정확한 값을 알 수 있게 된다. 순간 속도란 평균속도가 한 없이 가까워지는 어떤 지점을 의미한다. 이것이 라이프니츠가 생각한 미분의 개념이었다.


면적의 계산은 유클리드 기하학에서 삼각형과 사각형의 면적에 관한 공식들로부터 시작되었고. 그 다음에 나타난 것이 원판(disc)의 면적이었다. 반지름이 인 원의 면적은 어떻게 구할까?”에 대한 답은 원주율 를 이용하여 이다. (여기서 원주율 는 정확한 수는 아니다.) 이 면적은 원판(disc)에 정다각형을 내접시키거나 외접시킴에 의하여 구할 수 있었다;

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위의 그림과 같이 바깥과 안쪽에 접하는 정각형을 생각해보자. 물론 바깥쪽의 정각형은 원보다 크고, 안쪽의 정각형은 원보다 작을 것이다.

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내접육각형 < 원 < 외접육각형


즉, 원의 넓이는 원의 넓이 이다. 만약 이 다각형의 변의 수가 증가한다면, 원 내부의 면적은 (계산 가능한) 큰 다각형과 작은 다각형 사이에서 “조여지게” 된다. 이 조이는 과정에 의해 원 내부의 면적은 일종의 극한값으로 얻어지게 된다.

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http://www.geogebratube.org/student/m70806


Archimedes를 비롯한 다른 수학자들은 원의 경우에 적용되는 이 산뜻한 방법을 확장하여 타원형이나 더 불규칙한 도형의 면적에 적용하였다. 길이의 계산은 기울어진 직선의 길이 또는 다각형의 둘레를 결정하는 데 이용되는 피타고라스 정리에서부터 시작되었다. 원의 둘레는 내접하는 다각형의 둘레들 연속적인 근사에 의해 구할 수 있다(3장 2절). 이러한 문제나 체적, 무게, 무게중심 등등을 측정하는 문제들은 근사의 역할을 강조하였고, 그러한 연속적인 근사가 원하는 극한에 수렴하게 되는 방법에 대한 체계적인 이해의 필요성을 지적한 것이라 볼 수도 있다 - 미적분학에서는 이러한 이해를 무한급수로 표현된 적분의 일반적인 정의에 의해 나타내고 있다.

또한, 접선은 어떻게 구할 것인가? 어떤 점 에서 원의 접선을 그리는 것은 쉬운 일이다. 왜냐하면, 이 접선은 를 지나고 반경에 수직이므로 의 양쪽에서 원과 균등하게 만나는 올바른 접선이 분명히 존재하기 때문이다.

타원형에서 그와 같이 접선을 쉽게 구할 수 있는 경우는 장축과 단축의 끝점에서 축과 수직인 접선을 구할 때 뿐이다. 타원형의 다른 점에서나 쌍곡선, 포물선 또는 평면 내의 다른 곡선들 위에서 정확한 접선을 그리기 위해서는 훨씬 더 복잡한 방법이 필요하다 - 이 중에서 몇 가지는 그리스 사람들이 이미 알고 있었다. 에서 곡선의 접선은 에 점점 가까이 가는 곡선상의 두 점 에 의해 결정된 직선(할선)에 의해 잘 근사되는 것처럼 보여졌다.

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http://www.geogebratube.org/student/m80386


즉, 가 점점 에 접근해 가면 두 점 에 의해 결정된 직선은 점 에서만 접한 접선의 기울기가 된다. 그리고 접선의 기울기를 구할 수 있으므로 에서의 접선의 방정식도 쉽게 구할 수 있다.


[Example] Find the equation of the tangent line to the curve at .


Sol) . So the slope of the tangent line is 20.

( passes through ).


[CAS]

f(x)=x^2*sqrt(x);

df(x)=diff(f(x),x);

y(x)=df(4)*(x-4)+32;

y(x)

20*x-48


p1=plot(f(x),x,0,10, color='blue');

p2=plot(y(x),x,0,10, color='red');

show(p1+p2,ymax=50,ymin=-10)


 http://math1.skku.ac.kr/pub/931


그러한 접선을 구할 필요성은 평면 혹은 공간곡선의 기하학적인면 뿐만 아니라 봅슬레이나 롤러코스터와 같이 이동체가 접선 위로 날아가는 기계공학적인 상황들에 의해 제기되었다. 그래서 접선을 결정하는 데도 어떤 체계적인 근사의 수열(sequence of approximation)의 극한에 의해 계산하도록 제시할 수 있다.

움직이는 물체의 위치를 구하는 것도 거의 비슷한 근사의 문제를 유발한다. 지상에서 또는 공중에서 물체들이 움직일 때 일반적으로 그 속도가 일정하지는 않다. 특히 혼잡한 시가지를 달릴 때 자동차의 속도의 변화는 굉장히 심하다. 따라서 속도가 점점 변하는 경우에도 쓰일 수 있는, 일반적으로 속도에 통용하는 사고방식이 필요하다. 즉, 이러한 움직임에 대한 속도를 계산해 내는 방법이 있어야 한다. 이럴 때에는 “충분히 작다는 것은 그 곡선의 부분을 크게 확대하여 그곳에서의 속도를 보면 된다”는 것이다. 매끄러운 곡선은 충분히 확대하면 거의 직선이 됨을 알 수 있다. 따라서 순간속도는 곡선을 현미경으로 확대했을 때 직선으로 간주하고 그 기울기(=접선)을 조사하면 된다.

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순간속도는 점점 더 짧아지는 시간 간격에서의 적당한 평균속도를 근사값으로 사용하여 구할 수 있을 것이다. 즉, 순간속도는 평균속도를 생각하고 그 구간을 굉장히 짧게 하였을 때의 극한이다. 시간에 따라 변하는 다른 측정가능한 양들에 대해서도, 균등한 비율은 아니겠지만, 비슷한 생각을 할 수 있다. 이런 식으로 순간변화율에 대해서도 연속적으로 더 나은 근사값을 구하는 어떤 방법에 주의를 기울일 수 있다.

그러한 문제들은 “변화율”에 대해서도 일어날 수 있다 - 시간에 대한 변화율뿐만 아니라 다른 변량에 대한 변화율도 포함한다. 기초적인 예로서, 반경이 변함에 따른 원의 면적의 변화율을 생각해 볼 수 있다. 수리경제학에서 결정적인 예들을 볼 수 있다. 더 많은 생산에 따른 비용을 분석할 때, 총 개의 전화기들에서 한 개의 전화기에 대한 평균 생산단가를 고려하는 것보다는, 이러한 개의 전화기들 중 마지막 한 개를 생산하는 데 추가적으로 소요되는 비용인 한계비용을 고려하거나, 좀더 개념적으로 말해서 생산된 전화기들 중에서 수 에 대한 생산단가의 변화율을 고려하는 것이 현명한 일이다. 도함수들을 이용하는 이러한 예는 미적분학의 발견 보다 역사적으로 훨씬 늦게 개발되었다; 그러나 그것은 본질적으로 변량의 변화에 대한 상대적인 변화율을 체계적으로 계산하는 적절한 아이디어들의 기원들 중의 하나이다.

이와 같이 요약된 설명은 미적분학의 여러 가지 기원들에 대한 개념적 (특별히 역사적이지는 않은) 이해를 제공한다.

2. 적 분


어떤 작은 양의 부분들을 전부 합하여 측정된 전체 양에 근사시키는 여러 가지 서로 다른 과정들이 하나의 과정 즉, 적분(잘게 나눈 후 다시 합하는 기술)의 과정에 포함된다는 것은 놀랄 만한 일이다. 면적, 부피, 길이, 압력, 관성능률, 무게 등이 모두 다 그러한 합으로 구해질 수 있다. http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/

실생활 속의 수학세상

 

(1) 컴퓨터 단층 촬영(CT)와 적분

 컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT는 몸속 장기의 단면을 무수히 잘게 나누어 계속 찍고 단면의 합으로 부피를 구하는 적분의 아이디어를 이용하여 그 사진들을 종합하여 장기의 전체적인 모양을 알아내어 여러 가지 병을 진단하는데 이용된다. 

 과학이 발달함에 따라 컴퓨터를 사용하여 병을 진단할 수 있는 여러 가지 방법이 개발되었다.

확실히 말해서, Riemann적분의 체계적 정의는 흔히 면적의 계산으로 주어지는 데, 구체적으로 면적 또는 부피를 미세하게 나누어서 계산하는 것이다. 이 면적은 일 때 에서 까지 축으로 채워진 부분의 넓이를 말한다. 매끈한 곡선이라면, 확대하면 직선에 가까워질 것이므로 구간을 적당한 크기의 직사각형으로 분할한다. 그러면 이 부분은 그림 1에서 처럼 에서 까지 수직으로 서있는 가는 직사각형 모양의 폭이 인 띠들로 잘라진다. 그러한 띠의 면적은 높이가 이고 밑변이 이므로 로 쓰여지고, 이것들 모두의 합은 요구하는 전체 면적이므로 정적분



이 된다. 각 띠의 폭 축 방향의 아주 작은 폭이고, 따라서 (‘summation'의 머리글자 S에서 딴) 적분기호는 무한소 양들의 무한 합을 나타내며 그 합이 식(1)의 정적분임을 정의할 수도 있다. 이 공식을 한마디로 다시 말하면 잘게 나누어 곱한 다음 다시 더한다는 의미이다. 또한, 다른 방법으로 정의하면, 불확실하게 무한히 작은 것에 의존하지 않고, 유한한 폭을 갖는 직사각형의 면적들의 유한 합에 의해 원하는 면적에 근사시키려 하고 있다. 이러한 목적에서 에서 까지의 구간을 연속되는 끝점들 를 갖는 개의 구간들로 분할한다; 그러한 분할을 라 부르자. 번째 구간인 로 부터 까지에서 함수 는 (만일 연속이라면) 최대값 와 최소값 를 가질 것이다.

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그리고 이 부분의 곡선 아래에 있는 추정되는 실제의 면적 는 다음 부등식에 표현된 것처럼 폭이 이고 높이가 각각 인 두 직사각형들의 면적들 사이에 놓일 것이다:

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http://www.geogebratube.org/student/m67928


.

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이러한 직사각형들을 합하여 주어진 분할 에 대한 “하합”(lower sum) 와 “상합”(upper sum) 를 얻을 수 있다:

(2)

우리가 구하고자 하는 전체 곡선 아래의 면적은 이 두 합들 사이에 끼어 들어가야 한다. 그리고 실제로 이 면적을 표현하기 위해서는, 연속적으로 세분된 분할들 에 대한 이 합들의 극한을 취해야 한다. 의 크기인 는 모든 소구간들의 길이 의 최대값이라 하자. (전체 구간 위에서) 가 연속일 때, 근사에 관한 각각의 측도 에 대하여 이면 가 존재한다 (그 이유는 나중에 알게 된다). 즉, 가로 폭을 극한까지 좁힌 경우 좌변과 우변의 극한 값이 같아지므로 당연히 구하려는 면적도 그 극한값과 일치한다. 결과적으로 직사각형은 선으로 생각하면 되고 세로의 길이는 의 값과 일치한다.:



공학적 도구인 ‘Sage’를 활용해 실제로 기호 (3)을 확인할 수 있다.

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http://math1.skku.ac.kr/pub/798


[CAS] Find the Riemann sum by using Midpoint rule with given value of to approximate the integral.

,


Sol)

var('i');

f(x)=1/sqrt(1+4*x^2);

sum(0.2*f(0.2*i-0.1),i,1,10)

1.04754618408


http://math1.skku.ac.kr/pub/932


이 극한은 구간 위에서 함수 의 정적분 (3)이다. 이 극한은 그 정의과정을 고려할 때 그 구간 위에 있는 곡선 아래 부분의 면적이 무엇이어야 하는지를 나타내고 있다; 이것을 이 면적의 정의로 사용해도 된다; 또 압력이나 체적과 같은 응용들에 대해서도 정의로 사용될 수 있다. 이와 같이 합들의 극한으로 정의된 정적분들도 여전히 무한소들의 무한 합을 암시하는 고전적인 기호 (3)으로 쓰여진다; 사실 그러한 직관적 시각은 일정하지 않은 밀도를 갖는 얇은 석판의 무게, 댐의 판 같은 부분에서의 수압, 회전된 표면으로 쌓인 부분의 체적과 같은 다른 모든 종류의 양들을 표현하는 적분들을 쉽게 만들 수 있게 한다. 기초적인 적분학 강의의 대부분은 그러한 적분들의 공식화에 익숙해지기 위한 반복적인 연습으로 구성되어 있다. 그것들이 얇은 조각이나 얇은 판으로 가능하지 않을 때는 (좀더 기술적이지안 전체적으로는 비슷한 개념인) 다중적분들에 의해 처리될 수 있다.

연속함수의 Riemann적분에 대한 형식적 정의는 직관적인 개념인 연속적인 근사들을 극한이나 이 극한을 정확히 표현하는 데 필요한 표준적인 논리적 한정기호(quantifier) (모든 에 대하여 와 같은 가 존재한다)로 대치한다. 적분의 여러 가지 성질들도 이 정의로부터 바로 유도된다. 한 예로서 선형성을 들 수 있다: 두 연속함수들의 합의 에서 까지의 정적분은 이 함수들 각각의 적분의 합이다. 또한, 일 때, 주어진 연속함수의 에서 까지의 적분은 에서 까지의 적분과 에서 까지의 적분의 합과 같다. 이 성질은 사실 (이미 군론에서 거론되었고, 선적분에서 다시 나타날 아이디어인) 에서 까지의 (적분)경로와 에서 까지의 경로를 “합성하는” 아이디어를 사용하고 있다.

측정하고자 하는 값들을 적분에 의하여 처음 공식화하는 데는 많은 노력이 필요하다. 그러나 실제로는 무한합이나 무한개의 연속되는 유한합들의 극한을 구하지 않기 때문에, 그러한 적분들의 실제 계산은 미분과 연관되어 있다. 이제 우리는 미분에 대해 생각해 보자.



3. 도함수


변수 에 따라 하나의 정해진 값이 출력되는 가 있다고 할 때, 에 대한 함수 의 도함수는 의 변화에 비교된 의 순간 변화율이다. 이러한 설명은 직관적으로는 그럴 듯하다. 특히 가 시간을 나타낼 때 이러한 설명이 효과적이다. 순간변화율은 평균변화율을 모델로 한다: 시간 에서 값 이고, 시간 에서 값이 로 바뀌었다면, 평균변화율은 의 변화에 대한 의 변화의 비율 이다.

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라고 표기한다면, “순간적인” 면은 에서 까지의 무한소의 변화량인 에 의하여 공식화될 수도 있다. 가 함수 에 의하여 에 의존한다면, 무한소의 변화율은 혹은 (기호를 확장하여) 두 무한소들의 비인 가 된다.그리고 이 에서의 함수 의 기울기가 된다. http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/   

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그러한 무한소들은 계산을 빨리 할 수 있게 해 준다. 예를 들어, 이면 순간변화율은



[CAS] 

var('x');

diff(x^2,x)

2*x

http://math1.skku.ac.kr/pub/930


이 되는 데, 그것은 무한소의 제곱 이 (적어도 와 비교하여) 사라지기 때문이다. 나아가서, 만일 에 의존하고 는 또 시간 에 의존한다면, 무한소 를 소거하여



를 얻게 되므로, (엄밀하게 증명한 것은 아니지만) 합성함수의 도함수에 대한 “연쇄법칙”(chain rule)을 구할 수 있다. 따라서 무한소를 이용한 미적분은 직관적이며 계산에 효과적인 수단이다.

그런데 이러한 무한소들이란 도대체 무엇인가? 실수들에 대한 Archimedes의 법칙에 의하면, 아무리 적은 양수라도 임의의 값 보다 더 큰 그것의 배수들을 갖는다 - 결국 양수는 무한소일 수가 없다. Bishop Berkeley의 말처럼 우리는 “무한소란 죽은 양이라는 귀신이다”라고 결론을 내릴지도 모른다.

이제 남은 것은 극한이다. 각각의 값 와 실제의 유한 증분 에 대하여 주어진 함수 로 부터 앞에서와 동일한 비 를 만들 수 있다. 그러면 도함수는, 만일 그것이 존재한다면, 에 접근할 때 이 비의 극한으로 정의된다; 표준기호 를 사용하면, 이것은 도함수가


 

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임을 의미한다. 이러한 묘사에서 극한에 대한 세심한 정의는 정확성을 얻기 위하여 다시 한정기호들(모든 에 대해 가 존재한다)을 사용해야 한다. 그러면 이와 같이 정확한 방법을 이용하여, 이나 의 도함수가 우리가 알고 있는 것과 같다는 것을 증명할 수도 있고, 합성함수의 도함수에 대한 규칙 (2)가 - 무한소들의 단순한 소거에 의해서가 아니라 소거 한 다음 취해진 극한들에 의하여 - 적당한 미분 가능한 함수들에 대하여 성립한다.

이와 같이 미적분의 다른 시각에 대한 논의는 수학이 단지 형식주의거나  경험적으로 편리한 아이디어가 아니라 형식화 가능한 직관적 또는 경험적 아이디어들이라는 우리의 논제를 뒷받침하는 데 기여한다. 미적분은, (면적이나 변화율과 같은) 문제들로부터 출발하고 이러한 문제들로 부터 궁극적으로 충분히 형식화될 수 있는 아이디어들을 개발하기 때문에, 수학의 본질에 대한 논제에 적합하다. 미적분에서 초기의 형식화는 주로 도함수와 적분을 구하고 처리하는 데 필요한 실제적인 규칙들을 다룬다. 이것은 아직 완전한 형식화는 아니다. 완전한 형식화는 극한에 의하여 엄밀한 방법으로 19세기에 처음 만들어졌다.

다른 논제는 동일한 직관적 아이디어가 여러 가지로 형식화될 수 있다고 주장한다. 우리는 미적분이 바로 이러한 경우임을 알고 있다. 사실 무한소들을 순전히 사변(speculative)적으로 사용했던 원래의 아이디어는 적어도 두 가지의 서로 다른 방법으로 엄밀하게 형식화될 수 있다: 이러한 방법에는 Keisler의 책[1976]에서 설명된 것처럼 실수들에 대한 Abraham Robinson의 비표준 모델을 사용하는 방법이나, “기초적인 topoi” - 여기서 실수 직선R 은 체가 아니고 적당한 의 무한소 근방이 존재하는 환으로 주어진다 (Kock[1981]을 보라) - 를 이용하자는 Lawvere의 제안을 사용하는 방법이 있다.



4. 적분학의 기본정리


미분과 적분 사이의 핵심적인 연관성이 이 절의 제목과 같은 이름의 정리에 의하여 주어진다. 이 정리는 다음과 같은 직관적 아이디어로부터 출발한다.

축, 축, 로 둘러싸인 면적을 라 하자. 그러면 이 면적 이다. 가 변화하면 따라서 바뀌므로 의 함수이다. 만큼 증가할 때 가 된다. 이 증가의 비, 즉 의 극한이 의 미분이다.

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 = 그림입니다.
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http://www.geogebratube.org/student/m67933


어떤 양의 전체 변화는 정확하게 연속되는 작은 순간 변화들의 합과 같다 - 전체는 그것의 부분들의 합이 된다는 규칙과 함께 먼저 기하학에서 다른 형태로 나타났었다. 특히 그 양이 시간 의 함수 이면 에서 까지의 총 변화는 바로 이다. 여기서 이 함수 가 각 시간 에서 도함수 를 갖는다고 가정하자. 그러면 무한소 시간간격 에서의 순간변화는 이 간격 와 순간변화율 와의 곱이다. 따라서 연속되는 모든 순간변화들의 합은 정적분 이므로 얻어지는 정리는 다음과 같다.


정  리   함수 가 구간 위에서 연속인 도함수 를 가지면


이 성립한다.

우변의 식은 흔히 로 쓰이고, 함수 는 부정적분(indefinite integral)이라 불린다.

[Example] Evaluate the integral.

 


Sol)

                 

                 



[CAS]

var('t')

integral((1+4*cos(t)^2)/cos(t)^2,t,0,pi/4)

pi + 1

http://math1.skku.ac.kr/pub/941


이 정리의 “무한소적인” 동기에 관한 엄밀한 해석에 대하여 논의하기 전에 그것의 유용성부터 생각해 보자. 그것은 적분 내에 있는 함수 가 어떤 다른 함수 의 도함수 라는 것이 알려져 있다는 가정 아래에서 (Riemann)적분을 계산하는 공식을 제공한다. 만일 그러한 함수 를 충분히 미분하고 그 결과를 주는 “적분표”를 준비하였다면, 주어진 “내부의” 함수 에 대하여 적당한 “원시함수(primitive)" 를 구하기를 바랄 수 있다. 이러한 경우에 (결정되어야 할 면적, 체적 또는 다른 어떤 양을 나타내는) 정적분은 이 함수 의 두 값들의 차 로 계산될 수 있다. 그러므로 기본정리는 개념적으로 미분의 과정을 적분의 과정과 묶어 주고, (가끔) 정적분을 계산하는 수단을 제공한다.

그런데, 적분표에 요구하는 함수 의 부정적분 가 나오지 않을 수가 있다. 예를 들어, 우리가 단지 다항식, 멱, 제곱근 등등만 미분하여서는 도함수로 를 갖는 의 함수를 구할 수 없다. 잘 택해진 끝점들 를 갖는 (즉, 인) 정적분 의 계산은 삼각함수를 이용하면 가능하다; 어떤 각 에 대하여 로 두면, 의 도함수는 이고, 다음에 “변수 변환”의 표준규칙을 사용하여 또는 로 두면,



가 되는데, 여기서 에 관한 적분의 새로운 끝점들 가 되도록 선택된다. 여기서 의 도함수가 이므로, 원하는 원시함수를 구해서 기본정리를 적용하면



이다. 따라서



[CAS]

var('t')

integral(sqrt(1-t^2),t,0,1)

1/4*pi

http://math1.skku.ac.kr/pub/940


이다. 이 문제에서 적분을 계산할 때 새로운 종류의 함수들의 도함수들을 고려하는 방법을 약간 선보이고 있다 - 여기서는 삼각함수들이 해당된다; 뒤에서는 타원함수들을 다룬다. 앞의 문제에서 피적분함수에 삼각함수가 오는 것은 우연이 아니다 - 결국 (2)의 왼쪽은 바로 단위원의 한 사분면의 면적인 를 나타내고, 삼각함수들은 원 위의 점들에 대한 직교좌표를 제공해 준다.

이제 되돌아가서 기본정리의 가능한 증명을 모색해 보자. 그 증명은 다음과 같은 두 가지 사실들로부터 끌어낼 수 있다:


보조정리 A   구간 의 모든 에 대하여 정의된 연속함수 가 이 구간의 모든 에서의 도함수가 이면, 는 이 구간에서 상수이다.


이것은 직관적으로 그럴듯하다: 만일 의 변화율이 모든 곳에서 영이면 그것은 전혀 변하지 않고, 따라서 상수가 된다. 나중에 평균값의 정리(7절)로 부터 이 보조정리의 엄밀한 증명을 조사할 것이다.


보조정리 B   함수 가 두 상수 에 의해 유계된다면, 즉 인 모든 에 대하여 이면, 의 정적분은 부등식



을 만족한다.


이 정적분이 곡선 아래로 세로좌표 사이에 있는 부분의 면적임을 고려하면 이 두 부등식은 명백하다. 왜냐하면, 는 그 곡선 아래의 부분 전체를 포함하는 직사각형의 면적이고, 는 완전히 그 곡선 아래에 있는 직사각형의 면적이기 때문이다. 2절에서 극한을 사용한 적분의 정의로 부터 (3)을 증명하는 것은 그리 어렵지 않다: 합 (2.2)에서 각 항은 가정에 의하여 다음과 같이 유계되어 있다;



따라서 전체의 합은 사이에 놓여야 하므로, 이 합의 극한 즉, 정적분에 대해서도 동일한 사실이 성립한다.


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기본정리 (1)에 대해서는 윗쪽 끝점으로 변수 를 갖는 정적분



를 생각하자. 이것의 도함수를 구하기 위하여 로 변화시키자. 보조정리 B에 의하여


,


여기서 에서 까지의 작은 구간에서 의 하한과 상한이다. 에서 연속이므로 를 작게 잡으면 상한과 하한은 모두 에 가깝게 할 수 있다. 그러므로 이다. (기하학적으로 곡 아래 부분의 면적의 변화율은 세로좌표 의 길이이다.) 이것은 의 도함수가 임을 의미한다. 보조정리 A에 의해 그것은 상수이다; 이므로 이 상수는 이어야 한다. 그러므로



가 되는데, 이것은 기본정리이다.




5. 근사와 Taylor급수


연속적인 근사의 아이디어들이 미적분학의 밑바탕이다. 면적은 내부와 외부의 간단한 면적들로 근사되고, 적분은 유한합으로 근사된다. 곡선의 접선은 할선에 의해 근사되고, 순간속도는 평균속도에 의해 근사되며, 고계도함수들에 대해서도 비슷하다. 예를 들어, 함수 의 1계도함수는 그 함수를 1차함수에 의하여 근사할 수 있게 한다:



여기서 오른 쪽의 1차함수는 에서 같다; 다시 말해서, 이 1차함수의 그래프는 에서 의 접선이 된다. 나아가서 우리는 그러한 선형근사에서의 오차를 추정할 수 있다. 만일 1계도함수 에서 까지의 폐구간에서 연속이고, 거기에서 2계도함수 가 존재하면, 평균의 법칙(7절)을 반복하여



인 실수 사이에 존재함을 보일 수 있다. 다시 말해서, 그 구간에서 2계도함수 가 작으면, 선형근사 (1)은 우수하다.

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이 공식 (2)는 Taylor정리의 특별한 경우이다. 만일 에서 까지의 폐구간에서 연속인 계 도함수 를 갖고, 에서 까지의 개구간에서 계도함수 가 존재하면,



인 실수 사이에 존재함을 보일 수 있다. 다시 말하면, 의 처음 개의 도함수들은 를 근사시키는 차 다항식의 계수를 제공한다. 이 다항식은 에서 의 처음 계 도함수들과 값이 일치하는 것으로는 유일하게 결정된다. 그러면 이 근사의 오차는 계도함수의 값에 의해 (3)의 마지막 항과 같이 측정된다; 이 “나머지 항”에 대해서는 다른 형태의 (적분)공식이 있고, 또한 다른 형태의 다항식에 의한 근사 방법도 존재한다.

다음 그림은 이 증가함에 따라 에 수렴함을 보여준다.

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http://www.geogebratube.org/student/m92767


모든 계수의 도함수들을 갖는 함수 에 대하여, 이 과정은 에 대한 Taylor급수(Taylor series)라 불리는 무한 멱급수



를 형성하도록 해 준다. 그러한 무한합의 명확한 의미는 4장 3절에서 논의된 것처럼 부분 합들의 수렴에 의해 주어진다. Taylor정리 (3)에 의하여 주어진 나머지공식은 Taylor급수가 의 어떤 (또는 모든) 값들에 대하여 수렴한다거나, 값들의 어떤 폐구간에서 평등수렴한다는 것을 보이는 데 사용될 수 있다. 이것은 우리에게 익숙한 의 멱급수들에 도달한다.

그것들이나 그것들의 변형은 삼각함수표를 계산하는 데 이용될 수 있다. 우리는 멱급수를 사용하여 함수 를 해석적으로 정의할 수 있다. 그것에 의하여 4장 2절의 감는 함수를 피할 수가 있다 - 이 경우, 의 주기성에 대한 이유는 모호해진다. 그러한 멱급수의 여러 가지 다른 응용에 의하여, 근사(특히 선형근사)에 대한 처음의 기초적인 아이디어가 광범위한 결과들을 가짐을 알 수 있다. 그러나 이것은 경제학에서 아주 잘 알려진 (최소자승) 다중회귀방법에서 단순선형근사를 과도하게 사용하는 것을 정당화하지는 않는다.

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1) 본 원고는 저자가 공역한 책 “수학: 형식과 기능”의 내용에 기반하여 다시 저술하였습니다. http://matrix.skku.ac.kr/sglee/macbook/formandfunction.htm     

2) http://cafe.daum.net/buddha01/MONm/2

3) http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/

4) http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/