미적분학의 개념                   그림입니다.
원본 그림의 이름: sglee-2.gif
원본 그림의 크기: 가로 319pixel, 세로 431pixel   

(Concepts of Calculus)

http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story/Calculus-Story.htm 

       

본 원고는 http://matrix.skku.ac.kr/sglee/macbook/formandfunction.htm 에서 4명의 공역자와 함께 쓴 6장 내용을 바탕으로, 학생들에게 <CT 기반의 스토리텔링 수학>을 소개하기 위하여 제 1저자가 완전히 새로 쓴 것이다.

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/, http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story-0/Calculus-Story.htm

 

                          Made by 이상구 with 장지은


1. 서 론 1)


우리는 생활하면서 ‘주어진 곡선의 일부분의 길이나 그 곡선 위의 어떤 점에서의 접선은 어떻게 구하나?’ 또 ‘주어진 곡면의 일부분 표면적은 어떻게 구하나?’와 같은 질문에 접하게 된다. 일반적으로 표현하면, 시간에 따라 두 변량(Variable quantity)이 변하는 비율은 어떻게 계산할 것인가? 하는 문제와 만나게 되는 것이다. 이 모든 것들을 계산할 수 있게 하는 방법이 수많은 과학자들을 거쳐 뉴우톤과 라이프니츠에 의하여 체계적인 방법으로 정리되어 소개되었으며2), 이와 관련된 다양한 연구들은 인류 역사 발전에 절대적인 영향을 끼쳤다. 그 발전 과정을 보면 오랜 기간 동안은 주어진 문제의 답을 구하는 계산부분에 비중이 주어져 심오한 개념의 이해는 간과되는 경향도 있었다. 그 이유로 당시에는 수학이 실생활 문제 해결에 그 뿌리를 두고 있다는 관점이 추상적인 수학연구 분위기를 압도하고 있었기 때문이다.

 

* 미분의 의미

 

현재 학교에서 가르치는 것은 라이프니츠의 미적분이라 할 수 있다.  우리가 지금 쓰는 기호   와  는 라이프니츠가 소개한 것이다.

데카르트의 좌표를 이용해 가로거리라 하고, 세로시간이라 하자.

아래 그림의 경우 차의 속도는 계속 변화 하였다. 그러나 1시간 동안 60를 이동하였기 때문에 평균속도를 60 라 할 수 있다. 하지만  특정한 시간에서 이 차의 정확한 속도를 찾는 방법은 무엇일까?

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640012.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640014.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640015.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640016.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640017.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f640018.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1273pixel, 세로 718pixel


이 경우 정확한 속도를 구하기 위해 측정하는 간격을 줄이면 된다.

즉, 간격을 좁힐수록 그 점에서의 정확한 속도를 알 수 있게 된다. 한 점에서의 순간 속도란 그 점 주위에서 평균속도가 수렴하는 값을 의미한다.    이것이 라이프니츠가 생각한 <미분의 개념>이었다.

 

면적을 계산하는 방법은 유클리드 <원론>에 소개된 삼각형과 사각형의 면적을 구하는 공식에서도 볼 수 있다. 자연스럽게 생각할 수 있는 다음 문제가 원판(disc)의 면적을 구하는 것인데,  “반지름이 인 원의 면적은 어떻게 구할까?”라는 질문에 대한 답은 원주율 를 이용하여 이다. (여기서 원주율 는 정확한 수는 아니다.) 당시의 수학자들은 이 면적을 원판(disc)에 정다각형을 내접시키거나 외접시켜서 구하였다;

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc083f.bmp
원본 그림의 크기: 가로 180pixel, 세로 177pixel 

위의 그림과 같이 바깥과 안쪽에 접하는 정각형을 생각해보자. 물론 바깥쪽의 정각형은 원보다 크고, 안쪽의 정각형은 원보다 작을 것이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc0002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 467pixel, 세로 412pixel

내접육각형 < 원 < 외접육각형


즉, 원의 넓이는 원의 넓이 이다. 만약 이 다각형의 변의 수가 증가한다면, 원 내부의 면적은 (계산 가능한) 큰 다각형과 작은 다각형 사이에서 “조여지게” 된다. 이 조이는 과정에 의해 원 내부의 면적은 일종의 극한값으로 얻어지게 된다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc0004.bmp
원본 그림의 크기: 가로 237pixel, 세로 255pixel그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc0006.bmp
원본 그림의 크기: 가로 237pixel, 세로 255pixel그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000ddc0008.bmp
원본 그림의 크기: 가로 237pixel, 세로 242pixel

https://www.geogebra.org/m/R9CFVEG7


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a0bdb5.jpg
원본 그림의 크기: 가로 392pixel, 세로 188pixel

Archimedes를 비롯한 다른 수학자들은 원의 경우에 적용되는 이 산뜻한 방법을 확장하여 타원형이나 더 불규칙한 도형의 면적에 적용하였다. 5세기 중국의 조충지는 원주율 소수점 아래 6자리까지 정확하게 계산하였다.  그 다음 문제로 주어진 곡선의 일부분의 길이를 계산하는 방법은 직각삼각형의 대각선의 길이를 구하는 방법으로 다각형의 둘레를 결정하는 데도 이용되는 피타고라스 정리를 이용하여 얻어내었다. 한 예로 원의 둘레를 구하는 경우에는 내접하는 다각형의 둘레를 이용하여 앞에서 소개한 방법과 유사하게 삼각형의 크기를 연속적으로 줄여가면서 그 값을 수렴시켜 근사값을 구한 것이다. 이러한 문제나 체적, 무게, 무게중심 등등을 측정하는 문제들은 근사(approximation)의 역할을 강조하였고, 그러한 연속적인 근사가 원하는 극한에 수렴하게 되는 방법에 대한 체계적인 이해의 필요성이 부각되었다 - 미적분학에서는 이러한 이해를 무한급수로 표현된 적분의 일반적인 정의를 통하여 잘 표현하였다.


적분의 역사

 

미분의 개념이 17세기 이후에 연구된 데 비하여, 적분의 개념은 그보다 훨씬 앞서 생겨났다. 바빌로니아, 이집트, 중국 등의 고대 기록에서 길이, 넓이, 부피를 구하기 위한 여러 가지 (구분)구적법에 대한 내용을 찾아볼 수 있다. 오늘날과 같은 적분의 개념이 본격적으로 제시된 것은 기원전 3세기경 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하려는 아르키메데스(Archimedes : B.C.287~B.C.212)의 연구에서였다. 아르키메데스의 연구는 도형의 넓이를 다각형으로 근사시키는 방법으로 그것은 오늘날의 정적분에 의한 계산 방법과 매우 유사한데, 여기서 적분의 연구는 (미분의 역연산이나 부정적분의 개념이 아닌) 정적분의 개념에서 출발하였음을 알 수 있다. 그 외에도 아르키메데스는 구의 겉넓이는 구의 중심을 지나는 평면이 구와 만나서 생기는 원의 넓이의 4배이고, 구의 부피는 외접 원기둥 부피의 2/3 임을 보이는 등 정적분의 개념을 발전시켰다.

 

 

다음 문제가 ‘접선은 어떻게 구할 것인가?’ 인데, 사실 원 위의 한 점 에서 그 원에 대한 접선을 그리는 것은 어렵지 않다. 왜냐하면, 이 접선은 를 지나고 반경에 수직이므로 의 양쪽에서 원과의 길이가 균등한 직선이 분명히 존재하기 때문이다.

그러나 타원(ellipse)의 경우 위와 같이 쉽게 접선을 구할 수 있는 경우는 장축과 단축의 끝점에서 축과 수직인 접선을 구할 때 뿐이다. 타원형의 다른 점에서나 쌍곡선(Hyperbola), 포물선(Parabola), 또는 평면 내의 다른 곡선들 위의 임의의 점에 대응하는 정확한 접선을 그리기 위해서는 훨씬 더 복잡한 방법이 필요하다 - 이 중에서 몇 가지는 그리스 사람들이 이미 알고 있었다. 그들이 이용한 방법은 다음과 같다.

 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000f940001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 343pixel, 세로 364pixel 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000015a0bdfc.bmp
원본 그림의 크기: 가로 332pixel, 세로 346pixel

https://www.geogebra.org/m/zxJYXH5y


위의 그림에서 보듯이, 주어진 곡선에 대한 점 A 에서의 접선은 A 에 점점 가까워 지는 곡선상의 두 점 에 의해 결정된 직선(할선, secant line)이 어떤 직선으로 수렴하는지만 알면 구할 수 있다는 것이다. 즉, 점 가 점점 에 접근해 가면 두 점 에 의해 결정된 직선은 점 에서만 접한 접선이 된다. 그리고 접선의 기울기를 구할 수 있으므로 에서의 접선의 방정식도 쉽게 구할 수 있다.


 곡선 의 점 에서의 접선(tangent line)의 방정식을 구하여라.


Sol) . 따라서 접선의 기울기는 20.

     (을 지나므로).


[CAS] http://math3.skku.ac.kr/home/pub/597/

f(x)=x^2*sqrt(x);

df(x)=diff(f(x),x);

y(x)=df(4)*(x-4)+32;

y(x)

답: y(x)= 20x-48 : 에서의 접선의 방정식


p1=plot(f(x),x,0,10, color='blue');

p2=plot(y(x),x,0,10, color='red');

show(p1+p2,ymax=50,ymin=-10)


 (또는 https://sagecell.sagemath.org/ 등에 위의 명령어를 타이핑하고 실행시키면 됩니다.)


이런 접선을 구할 필요성은 평면 혹은 공간곡선의 기하학적인 면 뿐만 아니라 봅슬레이(Bobsleigh)롤러코스터(Rollercoaster)와 같이 이동체가 접선 위로 날아가는 기계공학적인 상황들에 의해 제기되었다. 그래서 접선을 구하는 것도 체계적으로 적절한 근사 수열(sequence of approximation)을 찾고, 그 수열의 극한에 의해 접선을 결정하는 일반적인 방법을 제시하게 된 것이다.

움직이는 물체의 위치를 구하는 것도 위와 거의 비슷한 방법(근사)을 적용할 수 있다는 것을 알게 되었다. 지상에서 또는 공중에서 물체들이 움직일 때 일반적으로 그 속도는 일정하기 어렵다. 특히 혼잡한 시가지를 달릴 때 자동차 속도의 변화는 굉장히 심하다. 따라서 속도가 수시로 변하는 경우에도 적용되는 일반적인 해법이 필요한 것이다. 그런데 이런 경우도 ‘앞에서 이용한 충분히 작다는 의미’를 “곡선의 특정부분을 크게 확대하여 그 곳에서의 속도를 보면 된다”는 것으로 이해하면 답을 찾을 수 있게 된다. 즉, 매끄러운 곡선의 경우 원하는 점 주위를 충분히 확대하면 거의 직선이 됨을 알 수 있다. 따라서 순간속도는 곡선의 특정 부분을 현미경으로 확대하여, 직선으로 간주하고 그 안의 원하는 점에서의 기울기(=접선)를 조사하면 된다는 것이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000008080002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 614pixel, 세로 261pixel

다시 말하면 순간속도는 점점 더 짧아지는 시간 간격에서의 적당한 평균속도를 근사값으로 사용하여 구할 수 있다는 것이다. 즉, 순간속도는 평균속도를 생각한 후, 평균속도를 구하는 구간을 충분히 짧게 하였을 때의 극한이다. 시간에 따라 변하는 다른 측정가능한 양들에 대해서도, 균등한 비율은 아니겠지만, 비슷한 생각을 할 수 있다. 같은 아이디어를 이용하면 순간변화율에 대해서도 연속적으로 더 나은 근사값에 수렴하게 하는 방법(알고리즘)만 찾으면 되는 것이다. 이런 해법은 시간에 대한 변화율 뿐만 아니라 다른 변량에 대해서도 “변화율”을 찾을 때 일반적으로 적용 가능하다.  쉬운 예로, 반경이 변함에 따른 원의 면적의 변화율도 생각할 수 있고, 수리경제학에서 아래와 같은 결정적인 예도 볼 수 있다. 즉, 더 많은 생산에 따른 비용을 분석할 때, 총 개의 전화기들에서 한 개의 전화기에 대한 평균 생산단가를 고려하는 것보다는, 이러한 개의 전화기들 중 마지막 한 개를 생산하는 데 추가적으로 소요되는 비용인 한계비용(Marginal Cost)을 고려하거나, 좀 더 수학적으로 말해서 생산된 전화기의 개수 에 대한 생산단가의 변화율을 고려하는 것이 현명한 일이다. 도함수들을 이용하는 이런 다양한 문제들이 변하는 변량(variables)에 대한 상대적인 변화율(Relative Rate of Change)을 체계적으로 계산하는 적절한 아이디어들이 생기게 하는 동기를 부여한 것이다.



* 미분을 배우는 이유는?

 

미분은 운동하는 물체의 변화율을 나타낼 수 있는 좋은 도구이다. 단순히 생각하면 ‘곡선에 대한 접선의 기울기’ 정도로 이해할 수 있지만 조금 더 깊이 생각해 보면 미분은 ‘모든 변화하는 대상을 수학적으로 분석하게 해 주는 강력한 도구’다.

미분은 만유인력의 법칙을 포함한 자연법칙을 기술하는데도 유용할 뿐 아니라 오늘날 학문의 전 영역에 걸쳐 그 유용성을 입증한다. 우리는 미분을 이용하여 속도, 열전도율, 온도의 변화율, 일의 변화율과 핵물리학에서의 방사성 물질의 붕괴율, 화학에서의 반응율과 압축률, 생물학에서의 혈액의 속도 및 군락의 성장률 등을 분석할 수 있다. 그 밖에도 지질학에서는 용해된 상태로 시작한 바위가 열전도에 의하여 냉각하는 비율을 알고자 할 때 미분을 사용하며 댐 안팎으로 흐르는 물의 비율을 알고자 할 때와 도시 내외의 인구밀도에 대한 변화율 및 기상학에서의 높이에 따른 대기압의 변화율을 알고자 할 때도 미분이 사용된다.

 

또, 미분은 사회적 현상의 확산을 분석하거나 수요함수, 소득함수, 이익함수의 도함수로 나타나는 한계수요, 한계소득, 한계이익 등의 경제학에서의 연구와 심리학에서의 학습곡선 및 성취도 함수에서의 증진율 등을 연구할 때도 유용하며 심지어 부동산 정보를 분석하거나 GSP의 위치를 보정하여 네비게이션이 정확한 안내를 돕는 것과 같은 일상생활에서 우리에게 편리함을 제공한다. 이처럼 자연현상이나 사회현상을 포함한 모든 학문의 영역 뿐 아니라 생활 전반에 걸쳐 미분은 그 유용성을 입증하고 있는 것이다.

 

지금까지의 설명은 미적분학의 여러 가지 기원들에 대한 역사적이기 보다는 좀 더 개념적인 이해를 제공한다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00008.jpg
원본 그림의 크기: 가로 1162pixel, 세로 1192pixel


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000015a00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 691pixel, 세로 505pixel

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/part1.html 

2. 적 분


어떤 작은 양의 부분들을 전부 합하여 측정된 전체 양에 근사시키는 여러 가지 서로 다른 과정들이 하나의 과정 즉, 적분(잘게 나눈 후 다시 합하는 기술)의 과정에 포함된다는 것은 놀랄 만한 일이다. 면적, 부피, 길이, 압력, 관성능률, 무게 등이 모두 다 그러한 합으로 구해질 수 있다3).

 

컴퓨터 단층 촬영(CT)과 적분

 

 과학이 발달함에 따라 컴퓨터를 사용하여 병을 진단할 수 있는 여러 가지 방법이 개발되었다.

 

 컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT는 몸속 장기의 단면을 무수히 잘게 나누어 계속 찍고 단면의 합으로 부피를 구하는 적분의 아이디어를 이용하여 그 사진들을 종합하여 장기의 전체적인 모양을 알아내어 여러 가지 병을 진단하는데 이용된다.

확실히 말해서, Riemann(리만)적분의 체계적 정의는 흔히 면적의 계산으로 주어지는 데, 구체적으로 면적 또는 부피를 아주 작은 부분들로 나누어 구한 후 모두 더하여 계산하는 것이다. 이 면적은 일 때 에서 까지 축으로 채워진 부분의 넓이를 말한다. 매끈한 곡선이라면, 확대하면 직선에 가까워질 것이므로 구간을 적당한 크기의 직사각형으로 분할한다. 그러면 이 부분은 그림 1에서 처럼 에서 까지 수직으로 서있는 가는 직사각형 모양의 폭이 인 띠들로 잘라진다. 그러한 띠의 면적은 높이가 이고 밑변이 이므로 로 쓰여지고, 이것들 모두의 합은 요구하는 전체 면적이므로 정적분


 (1)


이 된다. 각 띠의 폭 축 방향의 아주 작은 폭이고, 따라서 (‘summation'의 머리글자 S에서 딴) 적분기호는 무한소(無限小, infinitesimal) 양들을 모두 합한 값을 나타내며 그 합이 식(1)의 정적분이라고 정의할 수도 있다. 이 공식을 한마디로 말하면 면적을 아주 잘게 나누어 각각의 높이와 밑변을 곱한 다음 그것들을 모두 더한다는 의미이다. 또한, 다른 방법으로 정의하면, 불확실하게 무한히 작은 것에 의존하지 않고, 유한한 폭을 갖는 직사각형의 면적들의 유한 합에 의해 원하는 면적에 근사시키려 하고 있다. 이러한 목적에서 에서 까지의 구간을 연속되는 끝점들 를 갖는 개의 구간들로 분할한다; 그러한 분할을 (시그마)라 부르자. 번째 구간인 로 부터 까지에서 함수 는 (만일 연속이라면) 최대값 와 최소값 를 가질 것이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000bb40003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 206pixel, 세로 402pixel

그리고 이 부분의 곡선 아래에 있는 추정되는 실제의 면적 는 다음 부등식에 표현된 것처럼 폭이 이고 높이가 각각 인 두 직사각형들의 면적들 사이에 놓일 것이다:

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000bb40009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 376pixel, 세로 476pixel

https://www.geogebra.org/m/xUcjY6vH


.

 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000bb40008.bmp
원본 그림의 크기: 가로 436pixel, 세로 315pixel  







이러한 직사각형들을 합하여 주어진 분할 에 대한 “하합”(lower sum) 와 “상합”(upper sum) 를 얻을 수 있다:

     (2)


우리가 구하고자 하는 전체 곡선 아래의 면적은 이 두 값 사이에 있어야 한다. 그리고 실제 이 면적을 표현하기 위해서는, 연속적으로 세분된 분할 에 대한 극한을 양변에 취해야 한다. 의 크기인 를 각각의 소구간들의 길이인 의 최대값이라 하자. (전체 구간 위에서) 가 연속이라면, 임의로 선택한 아주 작은 양의 값 에 대하여 만일 이기만 하면 가 언제나 존재한다(이유: http://ko.wikipedia.org/wiki/연속함수). 즉, 가로 폭을 극단적으로 좁힌 경우 좌변과 우변의 극한 값이 같아지므로 당연히 구하려는 면적도 그 극한값과 일치한다. 결과적으로 밑변(가로)과 높이(세로)를 가지던 직사각형은 밑변의 길이가 점점 영에 수렴해 가면서 같은 높이의 선분에 수렴하고, 높이 즉 세로의 길이는 의 값과 일치한다.:

(3)     (3)

https://www.geogebra.org/m/zG4vrkn3

공학적 도구인 ‘Sage’를 활용해 실제로 등식 (3)을 확인할 수 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000fd00874.bmp
원본 그림의 크기: 가로 720pixel, 세로 494pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000fd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 720pixel, 세로 494pixel

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-RiemannSum.html


[CAS] Find the Riemann sum by using Midpoint rule with given value of to approximate the integral.

,


 Sol)

var('i');

f(x)=1/sqrt(1+4*x^2);

sum(0.2*f(0.2*i-0.1),i,1,10)

답: 1.04754618408 : 일 때의 Riemann sum


http://math3.skku.ac.kr/home/pub/598/


이 극한은 구간 위에서 함수 의 정적분인 식 (3)이다. 이 극한값은 주어진 구간 위에 있는 곡선 아래 부분의 면적을 정확히 표현하고 있다; 따라서 이 식을 면적의 정의로 사용해도 된다; 또 이를 응용하여 압력이나 체적에 대해서도 유사한 정의를 만들어 사용할 수 있다. 이와 같이 합들의 극한으로 정의된 정적분들도 여전히 무한소들의 무한 합을 암시하는 고전적인 기호 (3)으로 쓰여진다; 사실 그러한 직관적 시각은 일정하지 않은 밀도를 갖는 얇은 석판의 무게, 댐의 판 같은 부분에서의 수압, 회전된 표면으로 쌓인 부분의 체적과 같은 다른 모든 종류의 양들을 표현하는 적분들을 쉽게 만들 수 있게 한다. 기초적인 적분학 강의의 대부분은 그러한 적분들의 공식화에 익숙해지기 위한 반복적인 연습으로 구성되어 있다. 그것들이 얇은 조각이나 얇은 판으로 가능하지 않을 때는 (좀 더 기술적이지만 전체적으로는 비슷한 개념인) 다중적분(Multiple integral)들에 의해 처리할 수 있다.

연속함수의 Riemann적분에 대한 형식적 정의4)는 직관적인 개념인 연속적인 근사들을 극한이나 이 극한을 정확히 표현하는 데 필요한 표준적인 논리적 한정기호(quantifier) (모든 에 대하여 와 같은 가 존재한다)로 대치하는데, 그러면 적분의 여러 가지 성질들이 이 정의로부터 바로 유도된다. 한 예로서 선형성을 들 수 있다: 두 연속함수들의 합에 대한 에서 까지의 정적분은 이 함수들 각각의 적분의 합이다. 또한, 일 때, 주어진 연속함수의 에서 까지의 적분은 에서 까지의 적분과 에서 까지의 적분의 합과 같다. 이 성질은 사실 에서 까지의 (적분)경로와 에서 까지의 경로를 “합성하는” 아이디어를 사용하고 있다.

측정하고자 하는 값들을 적분을 이용하여 수식화하는 첫 과정(수학적 모델링)5)은 많은 노력이 필요하다. 그러나 실제로는 무한합이나 무한개의 연속되는 유한합들의 극한을 구하지 않기 때문에, 그러한 적분들의 실제 계산은 미분과 연관되어 있다. 이제 우리는 미분에 대해 생각해 보자.


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00001.jpg
원본 그림의 크기: 가로 1050pixel, 세로 700pixel

3. 도함수


변수 에 따라 하나의 정해진 값이 출력되는 가 있다고 할 때, 에 대한 함수 의 도함수는 의 변화에 대응하는 의 순간 변화율이다. 이러한 설명은 직관적으로는 그럴 듯하다. 특히 가 시간을 나타낼 때 이러한 설명이 효과적이다. 순간변화율은 평균변화율을 모델로 한다: 시간 에서 값 이고, 시간 에서 값이 로 바뀌었다면, 평균변화율은 의 변화에 대한 의 변화의 비율 이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000d5c0001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 436pixel, 세로 518pixel

라고 표기한다면, “순간적인” 면은 에서 까지의 무한소의 변화량인 에 의하여 공식화될 수도 있다. 가 함수 에 의하여 에 의존한다면, 무한소의 변화율은 혹은 ( 기호를 확장하여) 두 무한소들의 비인 가 된다. 그리고 이 에서의 함수 의 기울기가 된다6).

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000d5c0003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 579pixel, 세로 502pixel

그러한 무한소들은 계산을 빨리 할 수 있게 해 준다. 예를 들어, 이면 순간변화율은


                         (1)


[CAS] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/CS-Sec-3-1-Sol.html

var('x');

diff(x^2,x)

답:  2*x


이 되는 데, 그것은 무한소의 제곱 은 (적어도 와 비교하여) 너무나 작은 값이라 무시해도 되기 때문이다. 나아가서, 만일 에 의존하고(depend) 그에 보태서 는 시간 에 의존한다면, 무한소 를 소거하여


(2)


라는 관계를 얻게 되므로, (엄밀하게 증명한 것은 아니지만) 합성함수의 도함수에 대한 “연쇄법칙”(chain rule)을 구할 수 있다. 따라서 무한소를 이용한 미적분은 직관적이며 계산에 효과적인 수단이다.


그런데 이런 무한소(無限小, infinitesimal)가 도대체 무엇인가? 실수들에 대한 Archimedes의 법칙에 의하면, 아무리 적은 양수라도 임의의 값 보다 더 큰 그것의 배수들을 갖는다 - 결국 양수는 무한소일 수가 없다. Bishop Berkeley7)의 말처럼 우리는 “무한소란 죽은 양이라는 귀신이다(ghosts of departed quantities)”라고 결론을 내릴지도 모른다.


이제 남은 것은 극한(limit)이다. 각각의 값 와 실제의 유한 증분 에 대하여 주어진 함수 로 부터 앞에서와 동일한 비 를 만들 수 있다. 그러면 도함수는, 만일 그것이 존재한다면, 에 접근할 때 이 비의 극한으로 정의된다; 표준기호 를 사용하면, 이것은 도함수가


 (3)

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000d5c0005.bmp
원본 그림의 크기: 가로 693pixel, 세로 502pixel

임을 의미한다.


[CAS] Find using Definition, if it exists.

       

 

Sol) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/CS-Sec-3-1-Sol.html

var('x,h')

f(x)=4*x-3

df=(f(x+h)-f(x))/h

limit(df,h=0)

4


이러한 묘사에서 극한에 대한 세심한 정의는 정확성을 얻기 위하여 다시 한정기호들(임의의 에 대해,가 존재한다)을 사용해야 한다. 그러면 이와 같이 분명한 방법을 이용하여, 이나 의 도함수가 우리가 알고 있는 것과 같다는 것을 증명할 수도 있고, 합성함수의 도함수에 대한 규칙 (2)가 - 무한소들의 단순한 소거에 의해서가 아니라 소거 한 다음 취해진 극한들에 의하여 - 적당한 미분 가능한 함수들에 대하여 성립한다는 것도 확인 할 수 있다.


이와 같이 미적분의 다른 시각에 대한 논의는 수학이 단지 형식주의거나  경험적으로 편리한 아이디어가 아니라 형식화 가능한 직관적 또는 경험적 아이디어들이라는 우리의 논제를 뒷받침하는 데 기여한다. 미적분은, (면적이나 변화율과 같은) 문제들로부터 출발하고 이러한 문제들로 부터 궁극적으로 충분히 형식화될 수 있는 아이디어들을 개발하기 때문에, 수학의 본질에 대하여 논의할 소재로 적합하다. 미적분에서 초기의 형식화(formulation)는 주로 도함수와 적분을 구하고 처리하는 데 필요한 실제적인 규칙들을 다룬다. 이것은 아직 완전한 형식화는 아니다. 극한에 대한 완전한 형식화는 엄밀한 논리(argument) 인 방법8)으로 Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstrass 등을 거치면서 19세기에 처음 이루어졌다.


다른 논제는 동일한 직관적 아이디어가 여러 가지로 형식화될 수 있다고 주장한다. 우리는 미적분이 바로 이러한 경우임을 알고 있다. 사실 무한소들을 순전히 사변(speculative)적으로 사용했던 원래의 아이디어는 적어도 두 가지의 서로 다른 방법으로 엄밀하게 형식화될 수 있다: 이러한 방법에는 Keisler가 1976년 쓴 책 Foundations of Infinitesimal Calculus9)에서 설명된 것처럼 실수들에 대한 Abraham Robinson의 비표준 모델을 사용하는 방법이나, “기초적인 topoi” - 여기서 실수 직선 R 은 체가 아니고 적당한 의 무한소 근방이 존재하는 환으로 주어진다 (A. Kock의 1981년 책 Synthetic Differential Geometry10)를 보아라) - 를 이용하자는 Lawvere의 제안을 사용하는 방법이 있다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00007.jpg
원본 그림의 크기: 가로 299pixel, 세로 300pixel


4. 미적분학의 기본정리


미분과 적분 사이의 핵심적인 연관성이 이 절의 제목과 같은 이름의 정리에 의하여 주어진다. 이 정리는 다음과 같은 직관적 아이디어로부터 출발한다.

축, 축, 로 둘러싸인 면적을 라 하자. 그러면 이 면적 이다. 가 변화하면 따라서 바뀌므로 의 함수이다. 만큼 증가할 때 가 된다. 이 증가의 비, 즉 의 극한이 의 미분이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000001900001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 492pixel, 세로 430pixel

 = 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000001900004.bmp
원본 그림의 크기: 가로 177pixel, 세로 149pixel =


어떤 양의 전체 변화는 정확하게 연속되는 작은 순간 변화들의 합과 같다 - 전체는 그것의 부분들의 합이 된다는 규칙과 함께 먼저 기하학에서 다른 형태로 나타났었다. 특히 그 양이 시간 의 함수 이면 에서 까지의 총 변화는 바로 이다. 여기서 이 함수 가 각 시간 에서 도함수 를 갖는다고 가정하자. 그러면 무한소 시간간격 에서의 순간변화는 이 간격 와 순간변화율 와의 곱이다. 따라서 연속되는 모든 순간변화들의 합은 정적분 이므로 얻어지는 정리는 다음과 같다.


정 리

 미적분학의 기본정리

함수 가 구간 위에서 연속인 도함수 를 가지면

 

        (1)   

이 성립한다.


우변의 식은 흔히 로 쓰고, 함수 는 부정적분(indefinite integral) 라고 부른다.

 아래 적분값을 구하여라


Sol)

                 

                 



[CAS]  http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/CS-Sec-5-3-Sol.html

var('t')

integral((1+4*cos(t)^2)/cos(t)^2,t,0,pi/4)

답:  1 + pi  : 적분값


미적분학의 기본정리의 “무한소적인” 동기에 관한 엄밀한 해석에 대하여 논의하기 전에 이 정리의 유용성부터 생각해 보자. 그것은 적분 내에 있는 함수 가 어떤 다른 함수 의 도함수 라는 것이 알려져 있다는 가정 아래에서 (Riemann)적분을 계산하는 방법을 제공한다. 만일 그러한 함수 를 미분한 결과를 모아둔 “미분-적분표”를 준비하였다면, 적분 식 안에 주어진 함수 에 대하여 적당한 “원시함수(primitive)" 를 쉽게 구할 수 있다. 그러면 구하려던 (결정되어야 할 면적, 체적 또는 다른 어떤 양을 나타내는) 정적분은 바로 두 값의 차인 로 계산될 수 있다는 의미이다. 따라서 기본정리는 개념적으로 미분의 과정을 적분의 과정과 묶어 주고, (가끔) 정적분을 계산하는 수단을 제공한다.

그런데, 우리가 가지고 있는 적분표11)에 없는 함수 (와 그의 부정적분 )도 있을 수 있다. 예를 들어, 우리가 다항식, 멱(power), 제곱근 등만 미분해서는 도함수로 를 갖는 의 함수를 구할 수 없다. 잘 택해진 끝점들 를 갖는 (예를 들어 인) 정적분 의 계산은 삼각함수를 이용하면 가능하다; 어떤 각 에 대하여 로 두면, 의 도함수는 이고, 다음에 “변수 변환”의 표준규칙을 사용하여 또는 로 두면,



가 되는데, 여기서 에 관한 적분의 새로운 끝점들 가 되도록 선택된다. 여기서 의 도함수가 이므로, 원하는 원시함수를 구해서 기본정리를 적용하면



이다. 따라서


 (2)


[CAS] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/CS-Sec-5-5-Sol.html

var('t')

integral(sqrt(1-t^2),t,0,1)

답 : 1/4*pi



이다. 이 문제에서 적분을 계산할 때 새로운 종류의 함수들의 도함수들을 고려하는 방법을 약간 선보이고 있다 - 여기서는 삼각함수들이 해당된다; 뒤에서는 타원함수들을 다룬다. 앞의 문제에서 피적분함수에 삼각함수가 오는 것은 우연이 아니다 - 결국 (2)의 왼쪽은 바로 단위원의 한 사분면의 면적인 를 나타내고, 삼각함수들은 원 위의 점들에 대한 직교좌표를 제공해 준다.

이제 되돌아가서 기본정리의 가능한 증명을 모색해 보자. 그 증명은 다음과 같은 두 가지 사실들로부터 끌어낼 수 있다:


보조정리 A

 

구간 의 모든 에 대하여 정의된 연속함수 가 이 구간의 모든 에서의 도함수가 이면, 는 이 구간에서 상수이다.


이것은 직관적으로 그럴듯하다: 만일 의 변화율이 모든 곳에서 영이면 그것은 전혀 변하지 않고, 따라서 상수가 된다. 나중에 평균값의 정리(7절)로 부터 이 보조정리의 엄밀한 증명을 조사할 것이다.


보조정리 B

 

가 두 상수 에 의해 유계된다면, 즉 인 모든 에 대하여 이면, 의 정적분은 부등식  (3)  을 만족한다.


이 정적분이 곡선 아래로 세로좌표 사이에 있는 부분의 면적임을 고려하면 이 두 부등식은 명백하다. 왜냐하면, 은 그 곡선 아래의 부분 전체를 포함하는 직사각형의 면적이고, 은 완전히 그 곡선 아래에 있는 직사각형의 면적이기 때문이다. 2절에서 극한을 사용한 적분의 정의로 부터 (3)을 증명하는 것은 그리 어렵지 않다: 합 (2.2)에서 각 항은 가정에 의하여 다음과 같이 유계되어 있다;



따라서 전체의 합은 사이에 놓여야 하므로, 이 합의 극한 즉, 정적분에 대해서도 동일한 사실이 성립한다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000eb00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 410pixel, 세로 269pixel


기본정리 (1)에 대해서는 윗쪽 끝점으로 변수 를 갖는 정적분



를 생각하자. 이것의 도함수를 구하기 위하여 로 변화시키자. 보조정리 B에 의하여



여기서 에서 까지의 작은 구간에서 의 하한과 상한이다. 에서 연속이므로 를 작게 잡으면 상한과 하한은 모두 에 가깝게 할 수 있다. 그러므로 이다. (기하학적으로 곡선 아래 부분의 면적의 변화율은 세로좌표 의 길이이다.) 이것은 의 도함수가 임을 의미한다. 보조정리 A에 의해 그것은 상수이다; 이므로 이 상수는 이어야 한다. 그러므로



가 되는데, 이것은 기본정리이다.



5. Kepler의 법칙과 뉴우톤의 법칙       그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00002.jpg
원본 그림의 크기: 가로 262pixel, 세로 323pixel


기계공학에서 제기된 문제들은 미적분학의 발전에 결정적인 영향을 주었다. 기계공학에서는 공중에 있는 것이나 지상에 있는 것, 중력에 의해 자유낙하 하는 것, 기울어진 판 위를 미끄러져 내려오는 것, 다른 힘에 의해 추진되는 것 등의 물체의 운동을 분석할 필요가 있었다. 이런 환경에서 아이작 뉴우톤은 행성들의 운동을 나타내는 Kepler의 법칙을 설명하기 위하여 미적분학을 개발한 것이다.12)


Kepler는 광범위한 경험적 관측결과들에 기초를 두고서, 아래와 같은 사실들을 주장하였다: 각 행성들은 태양을 포함하는 평면 위에서 태양 주위를 돌며, 행성의 궤도는 그 평면 위에서 타원형이고 태양은 이 타원의 한 초점에 놓이며(1605년), 이 궤도 위에서 행성의 속도변화는 그 행성에서 태양으로의 반경벡터(vector)가 동일한 시간에 동일한 면적을 덮을 수 있게 결정된다(1602년).


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000015a00002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 866pixel, 세로 540pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000015a00003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 913pixel, 세로 546pixel


미적분학에서 우리는 속도와 가속도의 개념적인 묘사를 다룰 수 있어야 한다. 한 직선 위를 움직이는 물체에 대하여 시간 에서의 위치가 그 직선의 어떤 원점으로부터의 거리 로 주어지면, 이미 살펴본 바와 같이 속도 는 바로 시간에 대한 의 변화율 이다; 뉴우톤은 이 비율(도함수)을 로 표시하고, 변수 유율(fluxion)로 불렀다. 즉, 흐름의 속도에 미분이 사용되었던 것이다. 또한 우리는 시간에 대한 속도의 변화율로 묘사되는 가속도도 고려할 필요가 있다: 이 가속도는 2계도함수 이고, 로 적는다. 3차원 공간에서 움직이는 물체의 좌표가 라면, 속도는 성분 를 갖는 벡터이고, 가속도는 벡터 이다. 이런 식으로 운동학의 설명에 도함수의 개념이 들어간다.


운동에 대한 뉴우톤의 법칙13)은 물체(혹은 입자)의 운동에서 외적인 힘의 영향을 설명한다. 그러한 외부의 힘이 없으면 물체는 직선 위에서 동일한 속도로 계속 움직인다; 다르게 표현하면 가속도가 영이다 (등속운동).

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000017180008.bmp
원본 그림의 크기: 가로 270pixel, 세로 221pixel 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000017180009.bmp
원본 그림의 크기: 가로 270pixel, 세로 221pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00001718000a.bmp
원본 그림의 크기: 가로 270pixel, 세로 221pixel


외부의 힘이 있을 때, 가속도는 그 힘에 비례한다. 좀 더 정확하게 말해서, 가속도 벡터는 힘과 같은 방향에 있다; 구체적으로 말하면 질량과 가속도의 곱은 힘과 같게 된다. 따라서 한 직선을 따라 움직이는 일차원 운동에 일정한 힘이 주어지면 가속도도 일정하게 되는데 그 값을 라 하면, 그 법칙은 이다 (등가속도운동).

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00001718000b.bmp
원본 그림의 크기: 가로 270pixel, 세로 216pixel 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00001718000c.bmp
원본 그림의 크기: 가로 265pixel, 세로 217pixel

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00001718000d.bmp
원본 그림의 크기: 가로 265pixel, 세로 220pixel


이 경우 진행거리가 크게 변할 때에는 속도가 커진다. 따라서 진행거리의 미분인 속도는 진행거리의 변화의 비율을 나타낸다. 여기에서 (상수인) 도함수 가 주어져 있다; 이 도함수를 갖는 함수는 이고, 4절의 보조정리 A에 의하여, 이 도함수를 갖는 다른 함수는 와 기껏해야 상수만큼의 차가 있다. 이 상수를 라 하면


(1)


가 된다. 이 상수 는 (시간 에서) 초기속도를 나타낸다. 같은 논리에 의해,


(2)


여기서 는 시간 에서 물체의 좌표(초기위치)를 나타내는 상수이다. 그러므로 뉴우톤의 법칙과 간단한 적분에 의해 (상수인) 중력가속도를 가지고 자유낙하 하는 물체에 대한 익숙한 공식 (2)을 충분히 끌어낼 수 있다.


행성들의 운동에 대한 Kepler의 법칙은 그 행성에 작용하는 힘은 오직 태양으로부터의 만유인력뿐이라는 가정 아래에서 끌어내어 진다. 이 힘은 행성에서 태양으로 향하고, 그것의 크기는 역제곱법칙에 의해 주어진다. 즉, 태양과 행성의 질량의 곱과 행성에서 태양까지의 거리 의 역수의 제곱에 비례한다. 항상 태양과 행성, 태양에 대한 행성의 속도벡터는 한 평면을 결정한다(그림1). 인력벡터는 태양을 향하고, 이 평면 위에 놓여 있다. 그러므로 그 평면에 수직인 방향으로 이 행성의 가속도는 영이다 - 그리고 계속 영으로 남아있다. 그러므로 뉴우톤의 법칙은 행성이 평면 안에서 움직인다는 Kepler의 제1법칙을 쉽게 확인해 준다. 이 평면의 좌표를 라 하고 태양에 원점을 두고 있다고 하면, 가속도 를 연관된 극좌표 로 표현하면

(3)


가 되는데, 여기서 는 비례상수이다. 이 방정식을 적당히 적분하면, Kepler의 다른 법칙들도 증명이 된다. 이것은 미적분학이 이룬 최초의 승리가 된다.- 운동의 개념적 법칙으로부터 경험에 기초를 둔 행성의 운동법칙을 명확하게 유도하였다.



이 승리는 동일한 운동법칙이 행성과 지구상에서의 운동들에 모두 적용되기 때문에 아주 놀라운 것이다. 우리는 이미 자유낙하 하는 물체의 운동방정식을 유도한 바 있다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000009600001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 661pixel, 세로 237pixel


등가속도 운동에서는 속도는 시간에 관하여 1차식이다. 이것을 시간에 관해 적분하면 2차식이 되고 따라서 그래프로 그리면 포물선이 된다.


발사체에 대해서도 상당히 많은 동일한 논리가 적용된다. 만일 물체가 -평면의 원점에서 수직축 의 양의 방향을 위쪽으로 하고 두 축을 따라 초기속도 로 발사되었다면, 물체의 가속도는 뉴우톤의 법칙에 의해


 (4)


로 주어지는데, 여기서 는 (상수인) 중력가속도이다. 이것을 두 번 적분하면


  

이다. 첫 번째 식에서  t  에  v_{x}를 대입하면, 물체의 경로는 방정식



의 궤적이 된다; 이것은 -평면 내의 포물선이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000012201ca2.bmp
원본 그림의 크기: 가로 1162pixel, 세로 548pixel

https://www.geogebra.org/m/ZTJTRUSU


발사체의 경우는 형식적 수리계산의 특성 중의 하나를 특히 쉬운 방법으로 설명해 준다. 우리는 발사체의 전체 경로를 지켜 볼 필요가 없다; 대신 수학이 물리학적 법칙(여기서는 뉴우톤의 법칙)과 처음의 관측들(여기서는 물체의 초기 위치와 속도)로 부터 이 경로를 예측한다. 그러면 물체에 대한 실제의 관측에 더 이상 주의하지 않고 계산이 진행되지만, 물체의 연속적인 위치를 어느 정도 정확하게 설명할 수 있게 결과가 나온다. 공기 저항을 설명하는 것과 같이 좀 더 조심스럽고 정확한 계산에도 동일한 형식적 특성이 적용된다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00003.JPG
원본 그림의 크기: 가로 600pixel, 세로 450pixel


6. 미분방정식


행성이나 발사체의 운동을 논의하는 것은 미분방정식14)에 의하여 물리적인 현상들을 설명하는 일반적인 방법의 대표적인 예이다. 대표적인 1계미분방정식은 의 1계도함수가 두 양들 를 변수로 갖는 알려진 함수 에 대하여


 (1)


로 주어졌을 때, 변수 에 대한 어떤 미지의 함수 를 구하는 것이다. 해를 결정하는 데 바탕이 되는 방법은 동일한 기본 개념 즉, 변량 의 총 변화는 연속되는 순간변화들의 합이 되는 것이다. 적분학의 기본정리에 있는 이 아이디어에 대한 표현을



로 다시 쓸 수 있다. 이것을 말로 하자면, (또는 )의 최종값은 최초값 와 구간 위에 있는 도함수의 모든 중간값들 에 의하여 결정된다. 이것은 미분방정식의 해를 구하는 데 “초기값”을 사용하는 기초가 된다. 명확한 용어로 말해서, 이것은 적당한 의 범위에서 정의된 함수가 그것의 도함수와 함께 주어진 미분방정식 (1) 즉, 의도하는 모든 에 대하여


 (2)


을 만족하는 함수를 찾는 것이다. 이를 위해서 우리는 다시 그것의 도함수가 (2)를 만족할 수 있는 함수들 를 상세히 조사해야 한다; 이를 위한 기초적인 방법들은 변수 를 다루기 쉬운 다른 양들로 바꾸는 것과 같은 여러 가지 규칙과 조작을 제공한다. 기초적인 적분에서처럼, 이미 알려진 함수들로는 해를 구하는 데 충분치 않을지도 모른다. 이 경우 우리는 수치적인 방법을 사용할 수도 있고, 이 미방에 적합한 새로운 함수 를 고안하려고 시도할 수도 있다. 그러한 고안은 불확실한 일로 보일지 모르나 그렇지는 않다. 함수의 일반적인 정의가 주어지면, 방정식 (2)의 해 가 반드시 존재하게 되는 조건들이나 그 해를 유일하게 하는 조건들을 특징 지우는 “존재정리”를 증명할 수 있다. 그러한 존재정리 중의 하나가 Picard정리15)이다.


이 정리를 공식화하기 위하여, 일 때 라는 초기조건(initial condition)을 생각하고, 방정식 (1)에서 우변의 함수 이고 인 모든 로 구성된 정사각형 에서 연속이라 가정하자. 그러면 주어진 초기조건을 갖는 (1)의 해(solution)는 주위의 어떤 구간 에 있는 모든 에서 정의되며, 거기서 이고 이며, 에서 (2)를 만족하는 함수 이다. Picard정리의 한 해석에 의하면, 주어진 함수 가 다음과 같은 Lipschitz조건을 만족하면 앞에서와 같은 가 존재하고 이 에 대하여 그러한 해가 존재하고 또한 유일하게 된다.

  Lipschitz 조건

 

정사각형 내의 모든 에 대하여

  (3)

을 만족하는 상수 이 존재한다.


만일 함수 가 정사각형 내의 모든 곳에서 에 대한 연속인 편도함수를 가지면, 이 Lipschitz조건은 반드시 성립한다.


이 결과는 (최소한 물리학적인 해를 갖는 것으로 알려진 물리학적인 상황을 미분방정식이 정확히 형식화하고 있다면) 해가 존재하고 유일해야 한다는 직관적인 아이디어를 정확히 형식화하는 데 요구되는 주의해야 할 점을 설명해 준다.


기계공학에서는 와 같은 2계 미분방정식을 많이 다룬다. 이 경우에 적절한 초기조건은 초기시간 에서 와 그것의 도함수 를 주는 것이다. 이러한 경우에 우리는 하나의 2계미분방정식을 두 개의 1계미분방정식들로 바꿀 수 있다; 다른 변수로서 속도 를 사용하자; 그러면 이 방정식은



가 되므로, 관련된 존재정리가 성립한다. 3차원 공간에서 움직이고 있는 입자에 관련된 미분방정식은 세 개의 2계도함수들 를 포함하는데, 이것은 여섯 개의 변수들 를 갖는 1계미분방정식으로 바꾸어진다. 위상공간(phase space)16)이라 불리는, 이 여섯 개의 변수들을 갖는 공간은 기계공학을 이해하는 데 고차원의 공간들이 필요하다는 것을 보여주는 간단한 예이다. 개의 움직이는 입자들에 대해서는 차원의 위상공간이 필요하다! 기계공학이 고차원의 기하학을 낳게 되는 계기를 주었다.


7. 미적분학의 기초


이제까지 살펴본 바와 같이, 미적분학은 여러 가지 양들을 계산하는 문제들과 이러한 계산을 처리하는 통일된 방법의 고안에서 출발하였다. 처음에 이러한 방법들은 무한소, 무한합, 변화율 등에 관한 막연하나 설득력 있는 아이디어에 근거를 두고 있다; 그것들의 아주 성공적이고 급격한 발전은 이 방법들에 대한 엄밀한 기초를 형식화하는 문제를 강력히 제기하였다. 19세기에 개발된 이 기초는 (도함수를 가질 수 있는) 함수의 명확한 개념에서 출발되어야 한다. 다음에 이 기초는 극한의 개념, 극한에 의한 도함수와 적분의 정의, 이러한 과정들에 요구되는 여러 가지 사실들의 조심스러운 증명 등에 의존한다. 특히, 를 단위구간 [0, 1]에서 연속인 어떤 실수값 함수라 하자:


 (1)


그러면, 이 기초는 이러한 함수 가 만족하는 다음의 몇 가지 성질들에 대하여 ℝ의 공리들로부터의 증명도 포함한다:

(ⅰ) 함수 는 위로 및 아래로 유계(bounded)이다; 즉, [0, 1] 내의 모든 에 대하여



인 실수들 이 존재한다.

(ⅱ) 함수 는 최대값을 갖는다; 즉, 모든 에 대하여 인 한 점 가 [0, 1] 내에 존재한다.

이 최대값은, 성질 (ⅰ)과 연속성으로부터, 모든 에 대한 들의 집합의 최소상계로서 결정된다. 이것은 실수들의 최소상계 성질을 이용하는 대표적인 예이다.

(ⅲ) 함수 는 구간 [0, 1]에서 최소값을 갖는다.

(ⅳ) 함수 는 모든 중간 값들을 갖는다. 이것은 이고 이면 가 존재한다는 것 즉, 가 값 를 갖는다는 것을 보이면 충분하다.

(ⅴ) 함수 는 [0, 1]에서 평등연속이다; 즉, 각각의 에 대하여 이 존재해서 [0, 1] 내의 모든 에 대해


 (2)


를 만족한다.

이것을 보통 “구간에서 연속이다”라는 것과 비교해 보라. 이 연속에서는, 모든 에 대하여, [0, 1] 내의 모든 에 대해 (2)가 성립하는 (아마도 에 의존하는) 가 존재할 것을 요구한다. 따라서 보통의 연속에서는, 각각의 에 대하여, (2)를 단 하나의 값 에 대해 만족하는 구해야 하지만 평등연속에서는 각각의 에 대하여 (2)를 구간 내의 모든 값 에 대해 만족하는 를 구해야 한다. 즉, 평등연속의 정의에서 중요한 점은 의 선택이다. 의 값에 상관없이 에만 종속된다. 그러므로 평등연속은 한정기호들의 열



를 앞에 붙인 명제 (2)이다. 여기서 은 “모든 에 대하여”를 줄인 것이다. 반면에, 구간 전체에서 보통의 연속은 한정기호들의 열



을 앞에 두는 동일한 명제 (2)이다. 다시 말해서, 전칭기호 ()과 존재기호 ()의 교환은 (아래의 예처럼) 차이를 만든다. 보통의 연속에서는 동일한 에 대해서도 가 바뀔 때 마다 은 달라질 수 있다. 하지만 평등연속인 함수는 을 고정시켜놓고 를 아무리 바꿔도 이 변하지 않는다. 따라서 평등연속이다. - 그러나, 두 개의 전칭기호들 ()과 ()의 교환은 아무런 의미상의 차이가 없다.

(1)에서의 연속인 함수의 성질들을 계속 살펴본다.


(ⅵ) (Rolle의 정리). 이고 인 모든 에서 1계도함수를 가지면, 인 점 , 가 존재한다. (다시 말해서, 의 그래프는 어떤 곳에서 수평인 접선을 가진다.)


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000013044b08.png
원본 그림의 크기: 가로 300pixel, 세로 171pixel
사진 찍은 날짜: 2011년 04월 08일 오후 2:22

https://www.geogebra.org/m/JNPpQ7mh


성질 (ⅱ)에 의해서 가 최대값을 갖는 점을 로 택하고, 도함수의 정의로부터 가 거기에서 영임을 보일 수 있다. 이것은 가 0이나 1이면 성립되지 않는다; 그러면 가 최소값을 갖는 점을 로 택할 수 있다.

(ⅶ) (평균의 법칙) 인 모든 에서 도함수를 가지면, 인 점 , 가 존재한다. (다시 말해서, 의 그래프는 어떤 곳에서 가장 긴 할선에 평행한 접선을 가진다.)

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000013040001.png
원본 그림의 크기: 가로 220pixel, 세로 194pixel
사진 찍은 날짜: 2011년 04월 17일 오후 11:58

https://www.geogebra.org/m/RGwcaaew


이 법칙은 Rolle의 정리에 함수



를 적용하여 얻어진다. 이 함수는 Rolle의 정리의 가정인 을 만족한다. 또한 평균의 법칙에 의하여 4절의 보조정리 A도 증명된다.

이러한 모든 정리들은 임의의 유한 폐구간 에서 연속인 실수값 함수들 에도 바로 적용된다. 이 경우에 평균의 법칙은 어떤 점 에 대하여



로 쓰여진다: 이 함수의 총 변화는 그 구간의 길이와 어떤 중간점 에서의 변화율의 곱과 같다. 이 법칙은 미적분학의 기본 아이디어 중의 하나인 “1계도함수는 그 함수에 대한 선형근사가 된다”는 것을 표현하는 또 하나의 방법이다.


(ⅴ)에서 형식화된 평등연속은 강력한 성질이다. 예를 들어, 그것은 2절에서 묘사한 정적분 의 정의와 관련하여 사용될 수 있다. 주어진 에 대하여 평등연속이면 를 준다. 여기서 적분구간을 길이가 보다 적은 부분들 로 세분하면, 각 소구간에서 의 최대값과 최소값의 차는 보다 작아지므로, 2절에서 정의한 하합 와 상합 는 그 차이가 보다 작아진다. 따라서 극한으로 정적분을 정의했던 (2.2)에서 처럼, 이것들은 동일한 극한으로 수렴하게 된다. 평등연속에 관한 (v)의 사실은 가 끝점들을 포함하는 구간인 폐구간 [0, 1]에서 연속이라는 가정에 근본적으로 의존한다. 예를 들어, 함수 는 개구간 (0, 1)에서 연속이지만, 는 이 개구간에서 평등연속은 아니다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem0000063c6c3a.gif
원본 그림의 크기: 가로 350pixel, 세로 353pixel


주어진 에 대해, 에 가까이 가면 (2)에서는 더 작은 가 요구된다. 그러나 구간 에서는 연속이면서 평등연속이다.  내용은 다음과 같다. 라 가정하자.  그러면 이므로이다. 그러므로 주어진 에 대하여 이 되는 을 선택한다면 모든 에 대해 이다.


사실 평등수렴성 (v)는 위상공간 에서의 다음과 같은 성질의 결과이다.


  보조정리

(Heine-Borel, 일명 Borel-Lebesgue)

만일 구간 [0, 1]이 (임의의 첨자 집합 에 있는 에 대하여) 개구간들 의 합집합에 포함된다면, [0, 1]은 유한개의 이 들의 합집합에 포함된다.

[0, 1]이 들의 합집합에 포함될 때, 우리는 [0, 1]이 들에 의해 덮어진다(covered)고 한다.



증 명17)  이것은 유한개의 덮개를 만들지 않고 모순에 의하여 증명할 수 있다. 최소상계(supremum)들을 이용하자! 이 어떤 개구간들의 집합 에 의해 덮어진다고 하자. 에서 까지의 폐구간 가 유한개의 에 의해 덮어지는 모든 실수 들의 집합 를 생각하자. 이 집합 에 의해 유계이다. 그러면 집합 는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 The Least Upper bound Property18)에 의해 최소상계를 가지는데 그것을 라 하자. 만일 보다 작으면, 이 들 중의 하나에 속하게 되는데 그것을 라 하자 - 는 개구간이므로 보다 큰 수 을 항상 포함한다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP0000112c0001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 625pixel, 세로 340pixel


만약 을 덮으면서 를 포함하지 않는 유한개의 개집합가 있다고 하자. 그러면 을 덮는 개집합은 로 잡을 수 있으므로 기껏해야 유한개이다. 그리고 을 덮으면서 을 포함하는 개집합은 로 잡을 수 있으므로 역시 유한개이다. 따라서 는 항상 유한개의 개집합으로 덮을 수 있으므로 이다. 그런데 이므로 의 최소상계로 선택한 것은 모순이 된다. 그러므로 이어야 하고, 결국 [0, 1]이 유한개의 에 의해 덮어져야 한다.


Heine-Borel을 이용하여 평등연속(앞의 성질(v))을 증명해보자. 이 주어졌다고 하자. 가 각 점 에서 연속이기 때문에, 각각의 에 대하여 내에 있으면 가 되는 (중심이 인) 개구간 가 존재한다. 여기에서 (약간의 조작을 가하자면) 구간 가 동일한 중심 와 반경이 반이 되는 것이라고 생각하자. 각 에 포함되기 때문에 이 작은 구간들도 [0, 1]을 덮는다. Heine-Borel에 의하여 그것들 중 유한 개만으로도 덮을 수 있다. 이 유한개의 구간들 중에서 최소의 반경을 라 하자. 인 것은 명확하다. 이제 [0, 1]에서 거리가 보다 작은 임의의 두 점 를 생각하자. 그 구간들이 [0, 1]을 덮고 있기 때문에 은 어떤 구간 에 포함된다. 앞의 조작에 의해, 는 동시에 더 큰 구간 에 놓이므로 바라던 것처럼 이다.


이 결과에 의하여 정적분의 존재성에 관한 증명을 완성했다. 그러나 이중적분에 대해서는 정사각형에 관한 Heine-Borel정리가 필요하다. 그런데 평등연속에 관한 증명은 실제 별로 새로운 것이 없다. 그것을 이해하기 위하여 그 구간(정사각형)을 거리공간(따라서 위상공간)으로 간주하고, 그것이 Heine-Borel을 만족하면 컴팩트(compact)라 부르자.19)


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem00000e344db9.tmp
원본 그림의 크기: 가로 582pixel, 세로 253pixel


다시 말해서 열린 집합 들에 의한 위상공간 모든 열린 덮개(Open cover)가 유한개의 부분덮개(Finite subcover)를 가지면 는 컴팩트이다. 그러면 우리가 (v)에서 했던 증명은 실제로 다음 정리를 증명한 것이다:


  정리 1

 평등연속

컴팩트인 거리공간 위에서의 모든 연속인 실 함수 는 평등연속이다.


평등연속인 함수는 연속이다. 그러나 연속인 함수가 항상 평등연속인 것은 아니다. 하지만 위의 정리 1에 의해 연속함수 정의역이 컴팩트이면 평등연속이 된다.


컴팩트인 공간들은 많이 있다. 예를 들어 컴팩트공간들의 어떤 곱도 컴팩트이다; 특히 단위 정사각형이나 정육면체도 컴팩트이다. 컴팩트공간 의 모든 닫힌 부분집합도 컴팩트이다; 여기에서, 부분집합 는 그것의 여집합 에서 개집합일 때 자신은 닫힌 집합이고, 자신이 위상공간으로 정의될 때 의 열린 부분집합은 의 열린 부분집합 와의 교집합들 이다. 직선이나 평면의 부분집합이 컴팩트일 필요충분조건은 그것이 닫힌 집합이고 유계인 것이다. 반면에 개구간 은 컴팩트가 아니다. 마찬가지로 전체 실수직선 R도 컴팩트가 아니고, ℝ에는 연속이지만 평등연속이 아닌 같은 함수들이 있다.


컴팩트인 성질은 수렴성과 관계가 있다. 우리는 컴팩트공간 내의 점들 의 모든 무한열은 내의 어떤 점에 수렴하는 무한부분열을 갖는다; 여기서 점들의 열의 수렴성은 수열의 수렴성(4장 4절)과 꼭 같이 정의된다. 자연수들의 수열은 수렴하는 부분수열을 전혀 갖지 않으므로, 이것은 다시 R이 왜 컴팩트가 아닌가를 알려 준다. 거리공간 가 컴팩트일 필요충분조건은 내의 점들의 모든 무한열이 내의 어떤 점에 수렴하는 무한부분열을 갖는다는 것이다 - 그러나 이 결과는 수렴성이 근방에 의해 정의된 일반적인 위상공간에는 성립하지 않는다. 컴팩트성의 중요성이나 덮개에 의한 그것의 묘사를 인식하는 것은 위상공간을 이해하는 큰 걸음이 된다. 그것은 단지 천천히 발전되었고, Bourbaki가 1940년에 위상수학에 관하여 쓴 영향력 있는 책에서 주장되기 전까지는 실제로 정리되지 않았다.


이 컴팩트성에 관한 개념은 미적분학의 기초와 발전에서 제기되는 여러가지 이슈 중의 하나일 뿐이다. 기하학과 기계공학에서 변화율, 면적 및 합의 직관적인 아이디어가 나왔다. 무한소에 의한 이 아이디어들의 약간 모호한 형식화는 18세기에는 강력한 것으로 증명되었으나, 그 뒤에 여러 가지 어려움이 나타났다. 예를 들어(Titchmarsh [1932], 1.75), 구간 의 모든 에 대해서 함수열 는 영에 수렴한다. 그러나, 0에서 1까지 의 정적분은 이므로, 적분들의 열은 0에 수렴하지 않는다 ! (원래의 함수 열이 평등수렴하지 않는다.) 이것이 두 무한 과정들(여기서는 수렴과 적분)의 교환에서 발생되는 대표적인 문제이다. 그러한 어려움 들은 결국 극한개념의 주의 깊은 발전을 기초로 하여 미적분학을 좀더 정교하게 형식화할 것을 요구하였다. 다음에 이 개념은 논리기호들을 조심스럽게 사용하도록 하였고, 또는 훨씬 더 일반적인 위상공간에서의 극한들을 생각하도록 하였다. 정적분의 연구는 필수적으로 새로운 평등연속의 개념과 컴팩트성을 포함하고, 증명들은 실수들의 조심스러운 공리화 - 일차원 기하학의 산술화 - 에 기초를 두어야 한다. 이와 관련한 많은 발전들이 있었고, 특히 Lebesgue적분과 같은 좀더 일반적인 적분에 관하여 많은 발전들이 있었다. 그러므로 최초의 직관적인 아이디어들과 문제들, 그것들의 확장 그리고 응용들은 수학 내부의 좀더 미묘한 개념들을 요구하는 관념에 도달한다.



8. 근사와 Taylor급수


연속적인 근사의 아이디어들이 미적분학의 밑바탕이다. 면적은 내부와 외부의 간단한 면적들로 근사되고, 적분은 유한합으로 근사된다. 곡선의 접선은 할선에 의해 근사되고, 순간속도는 평균속도에 의해 근사되며, 고계도함수들에 대해서도 비슷하다. 예를 들어, 함수 의 1계도함수는 그 함수를 1차함수에 의하여 근사할 수 있게 한다:20)


(x)         (1)

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000012200005.bmp
원본 그림의 크기: 가로 397pixel, 세로 314pixel

https://www.geogebra.org/m/TmnNH3Cz


여기서 오른 쪽의 1차함수는 에서 같다; 다시 말해서, 이 1차함수의 그래프는 에서 의 접선이 된다. 나아가서 우리는 그러한 선형근사에서의 오차를 추정할 수 있다. 만일 1계도함수 에서 까지의 폐구간에서 연속이고, 거기에서 2계도함수 가 존재하면, 평균의 법칙(7절)을 반복하여


 (2)


인 실수 사이에 존재함을 보일 수 있다. 다시 말해서, 그 구간에서 2계도함수 가 작으면, 선형근사 (1)은 우수하다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000001900006.bmp
원본 그림의 크기: 가로 394pixel, 세로 532pixel

이 공식 (2)는 Taylor정리의 특별한 경우이다. 만일 에서 까지의 폐구간에서 연속인 계 도함수 를 갖고, 에서 까지의 개구간에서 계도함수 가 존재하면,


 (3)


인 실수 사이에 존재함을 보일 수 있다. 다시 말하면, 의 처음 개의 도함수들은 를 근사시키는 차 다항식의 계수를 제공한다. 이 다항식은 에서 의 처음 계 도함수들과 값이 일치하는 것으로는 유일하게 결정된다. 그러면 이 근사의 오차는 계도함수의 값에 의해 (3)의 마지막 항과 같이 측정된다; 이 “나머지 항”에 대해서는 다른 형태의 (적분)공식이 있고, 또한 다른 형태의 다항식에 의한 근사 방법도 존재한다.


다음 그림은 이 증가함에 따라 에 수렴함을 보여준다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000001900008.bmp
원본 그림의 크기: 가로 445pixel, 세로 248pixel

https://www.geogebra.org/m/vPP4z7eC

http://matrix.skku.ac.kr/cal-lab/cal-LagrangePpolynomial.html 


모든 계수의 도함수들을 갖는 함수 에 대하여, 이 과정은 에 대한 Taylor급수(Taylor series)라 불리는 무한 멱급수


 (4)


를 형성하도록 해 준다. 그러한 무한합의 명확한 의미는 4장 3절에서 논의된 것처럼 부분 합들의 수렴에 의해 주어진다. Taylor정리 (3)에 의하여 주어진 나머지공식은 Taylor급수가 의 어떤 (또는 모든) 값들에 대하여 수렴한다거나, 값들의 어떤 폐구간에서 평등수렴한다는 것을 보이는 데 사용될 수 있다. 이것은 우리에게 익숙한 의 멱급수들에 도달한다.

그것들이나 그것들의 변형은 삼각함수표를 계산하는 데 이용될 수 있다. 우리는 멱급수를 사용하여 함수 를 해석적으로 정의할 수 있다. 그것에 의하여 4장 2절의 감는 함수를 피할 수가 있다 - 이 경우, 의 주기성에 대한 이유는 모호해진다. 그러한 멱급수의 여러 가지 다른 응용에 의하여, 근사(특히 선형근사)에 대한 처음의 기초적인 아이디어가 광범위한 결과들을 가짐을 알 수 있다. 그러나 이것은 경제학에서 아주 잘 알려진 (최소자승) 다중회귀방법에서 단순선형근사를 과도하게 사용하는 것을 정당화하지는 않는다.



그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00004.tmp
원본 그림의 크기: 가로 463pixel, 세로 384pixel

 

9. 편도함수


대수학의 기초적인 문제들에 있어서, 더할 것인지 아니면 곱할 것인지를 아는 것은 항상 매우 중요하다. 예를 들어, 두 개의 서로 분리된 원인들에 기인된 전체 변화는 대개 분리된 각 변화들의 합으로 구해진다. 반면에, 합성된 변화율을 구하기 위해서는 곱해야 한다: 예를 들어, 파운드에서 달러로의 교환 비율과 달러에서 프랑으로의 교환 비율이 주어졌을 때, 이 두 비율들의 곱은 파운드에서 프랑으로의 교환 비율이 된다.

덧셈과 곱셈의 실제적인 의미에 대한 이 두 가지 간단한 관찰은 미적분학의 미분에 대한 연쇄법칙(chain rule)에서 형식적으로 나타난다. 이미 우리는 이것을 사용했었다: 만일 가 연속인 도함수를 갖는 두 함수라 하면, 적절한 치역 내에서 는  의 함수이고 도함수


 (1)


를 갖는다. 증명은 도함수의 정의에 포함되는 극한에서 약간의 주의를 요구한다; 그 극한은 관련된 유한증분 에 대한 공식을 포함한다.

그러면



따라서 (1)은 비들을 곱해야 하는 이유를 나타내고 있다.


데카르트 - 공간의 어떤 열린 집합 의 모든 점들 에 대하여 함수 로 주어진 양 와 같은 다변수함수의 관련된 연쇄법칙은 더 놀랄 만하다. 여기에서 어느 도함수를 의미하는지를 찾는 데는 별 문제가 없다; 일반적으로 가 두 변수 의 함수일 때, (는 상수)로 고정시키면, 는 단지 만의 함수 즉, 의 일변수함수로 생각할 수 있다. ; 만일 에서 도함수를 가지면 그 도함수를 에서 에 관한 의 편도함수(partial derivative)라 부르고 로 표시한다.

도함수의 정의에 의하여 다음과 같다.

그러므로 내의 한 점 에서 이 도함수는 이면



이다. 마찬가지로 를 고정시키면 에서 에 관한 의 편도함수 를 구할 수 있다. 이것은 각 변수들을 알려주며 어느 것이 고정되고 어느 것이 변수인지를 나타내는 더 분명한 기호이다. 동일한 편도함수에 대한 기호 는 다른 어느 변수가 있으면서 고정되는지를 표시하지 않으면 불완전하다. (이것은 매우 중요한 사항이다. 예를 들어, 열역학에서 여러 가지 다른 독립변수의 쌍들이 취급될 수 있다.)


그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00005.jpg
원본 그림의 크기: 가로 353pixel, 세로 219pixel


[CAS] Find partial derivatives with respect to and for the              function .


Sol) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-13-3-Sol.html

var('x,y')

f(x,y)=24*x*y-6*x^2*y

f_xx = diff(f(x,y),x,1)

f_yy = diff(f(x,y),y,1)

print f_xx;

print f_yy;

-12*x*y + 24*y

-6*x^2 + 24*x


편도함수는 변화율로 해석할 수 있다. 이면, 를 고정시켰을 때 에 관한 의 변화율을 나타낸다. 마찬가지로 를 고정시켰을 때 에 관한 의 변화율을 나타낸다. 즉, 이 두 편도함수는 평면의 점 가 수평으로(방향으로) 움직이거나 수직으로(방향으로) 움직일 때 의 변화율을 나타낸다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000eb00003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 323pixel, 세로 249pixel


기하학적으로 에서 의 편도함수 는 평면 에서 곡면 (의 그래프)의 자취 에 대한 에서의 접선의 기울기로 해석할 수 있다.

하지만 이것은 축과 축 방향, 즉 단위벡터 의 방향에 대한 의 변화율을 나타낸다. 그래서 그것들은 의 모든 가능한 변화율에 대한 완전한 정보를 주지는 않는다. 우리는 적어도 점 가 다른 방향 - 예를 들어 양의 축과 각 를 이루는 방향으로 움직일 때 의 변화율을 알고자 할 것이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000eb00005.bmp
원본 그림의 크기: 가로 307pixel, 세로 283pixel


  정의

 방향도함수

단위벡터 방향에 대한 에서 의 방향도함수는

       로 정의한다

                      (단, 극한이 존재할 경우). 


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00000eb00007.bmp
원본 그림의 크기: 가로 473pixel, 세로 403pixel 

 기하학적으로 에서 에 대한 접선 의 기울기는 방향으로의 의 변화율이다.


  정리

 

의 미분가능함수이면, 는 임의의 단위벡터

방향에 대한 방향도함수를 가지며 다음과 같다.

        

     

증 명  함수 를  일변수 의 함수 로 정의하여 보          자. 그러면 도함수의 정의에 의하여

 이다.

한편 라 두면, 로 쓸 수 있고, 연쇄법칙에 의하여 다음을 얻는다.

 이제 을 대입하면, 이고 이다.

 따라서 을 알 수 있다.

 만약 단위벡터 가 양의 축과 각 를 이루면, 로 쓸 수 있고, 이다.


[CAS] Find the directional derivative of the function                at the point in the direction of the             vector .


Sol) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-13-6-Sol.html

, ,

var('x,y,h')

f = 6-3*(x)^2-(y)^2

dx(x,y) = diff(f,x).factor()

dy(x,y) = diff(f,y).factor()

d = vector([dx(1,2),dy(1,2)]);

u = vector([1/sqrt(2),-1/sqrt(2)]);

A = d.dot_product(u)

show(A)

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000000200003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 48pixel, 세로 29pixel


의 두 편도함수들이 모두 연속일 때 이 공식이 성립한다; 이것은 다음 연쇄법칙의 특별한 경우이다. 함수들 가 연속인 도함수를 갖고, 의 함수 값들을 함수 가 그 위에서 연속인 편도함수를 가지게 되는 집합 속으로 보낸다고 하자. 그러면, 는 연속인 도함수


 (4)


를 갖는 (적당한 범위에서) 의 함수이다. 이것은 (3)의 경우를 당연히 포함한다. 가 두 개 이상의 변수를 갖는 함수이거나 이 변수들 가 여러 개의 매개변수에 의존할 경우에도 비슷한 공식이 적용된다.

이 연쇄법칙 (4)는 여러 가지 다른 면들을 가지고 있다.

먼저, 에서의 (동일한) 무한소 변화 에 의해 야기된 에서의 무한소변화로서 를 생각하자. 그러면 (4)에 를 곱하여 약분하면


 (5)


가 된다. 이 표현은 의 전미분(total differential)이라 불린다; 주어진 값들 에 대하여, 이것은 무한소변화들 에 인한 의 총변화이다; 우리는 바로 “무한소”를 별로 포함하지 않는 방법으로 이것의 해석을 시도하겠다.


[CAS] Find the total differential of when .


Sol) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-13-4-Sol.html

,

var('x,y,dx,dy,dz')

f=ln(x*y)

dzdx=diff(f,x)

dzdy=diff(f,y)

show(dz==dzdx*dx+dzdy*dy)

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000000200001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 131pixel, 세로 55pixel



와 유한 변화 에서 출발하여, 공식 (5)에 의하여 에 대한 선형근사로서


 (6)


을 얻는다. 이것은 충분히 “매끄러운” 의 함수들에 유효한 Taylor공식과 Taylor급수가 존재한다는 것을 암시한다. 여기에서와 이 이후로 구체적으로 얼마나 많은 계수의 도함수들이 필요한지를 명시하고 싶지 않는 경우에 충분한 계수의 연속인 도함수들을 갖는 함수에 대하여 매끄러운(smooth)이란 용어를 사용하겠다.


연쇄법칙 (4)에서 는 다음과 같이 두 “벡터”들의 “내적”으로 간주될 수 있다:


 (7)


우변의 첫째 인자는 의 그래디언트(gradient)라 불린다; 그것은 평면의 각 점 에서 정의되며,


 (8)


이 벡터는 함수 의 최대증가율의 방향을 가리키며, 그것의 크기는 증가율을 나타낸다. (가 두 “벡터”들의 “내적”으로 간주되므로 즉, 이다.

그리고 내적의 정의에 의해 이다 (이때 사이의 각이다). 따라서 의 최대값은 이므로 의 최대값은 이다.)


[CAS] Find the gradient of at the point .


Sol) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-13-6-Sol.html

,

var('x,y')

f(x,y)=cos(x*y)

grad=f.gradient()

grad(1,pi*2/3)

(-1/3*pi*sqrt(3), -1/2*sqrt(3))


함수 는 평면의 각 점에서 그러한 벡터를 하나 결정한다. 각 점에서 모든 에 대한 모든 그러한 벡터들은 2차원 벡터공간을 형성하며, 이 공간은 각 점에서 평면에 붙은 코탄젠트공간(cotangent space)이라 불린다.


곱 (7)의 두 번째 벡터는 함수들 에 의존한다. 그것들은 점 를 지나는 연속인 경로path를 묘사한다; 그러한 경로는 매개변수화된 곡선(parametrized curve)이라 불리는데, 이 곡선은 매개변수 에 관련된 값을 갖는 점들 로 구성된다. 그러한 곡선은 움직이는 점의 궤적(trajectory)이다. 가 되는 시간 에서, 이 동점의 속도는 (7)의 두 번째 인자


 (9)


이다. 이것은 그 점에서 경로의 접선벡터(tangent vector)라 불린다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000016b43a73.gif
원본 그림의 크기: 가로 290pixel, 세로 228pixel

 

[CAS] Find    and draw the position vector    and the tangent   vector    for the given value of .

         ,


Sol)

var('t');

x(t)=sin(t);y(t)=t;

r(t)=(x(t),y(t));

dr(t)=(diff(x(t),t),diff(y(t),t));dr(t)

(cos(t),1)


So, we can see that .

t0=0;

p1=r(t0);

p2=dr(t0)/abs(dr(t0))+r(t0);

p=parametric_plot((x(t),y(t)),(t,0,2*pi));

utv=line([p1,p2],rgbcolor=(1,0,0),thickness=2);

show(p+utv);


http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-12-2-Sol.html


를 지나는 궤적들에 대한 모든 접선벡터들은 이 점에서 평면에 대한 접선공간(tangent space) 라 불리는 2차원 벡터공간을 형성한다.

그래서 연쇄법칙 (7)은 이제 의 그래디언트벡터와 그 경로에 대한 접선벡터의 곱으로 나타내 준다. 만일 이 두 벡터가 모두 동일한 2차원 공간에 놓여 있는 것으로 생각한다면, 이 곱은 바로 4장 9절에서 설명된 내적이다. 그러나 접선공간과 그래디언트공간이 개념적으로 서로 다른 것으로 생각하는 것이 바람직하다. 그러면 (7)에서의 곱은 각 공간에 있는 두 벡터들의 실수값 함수이다. 이 함수는 다른 하나가 상수로 고정되었을 때 각 벡터에 대하여 선형이므로 쌍선형(bilinear)이라 불린다; 7장에서 우리는 코탄젠트공간이 왜 접선공간의 “쌍대”인가를 밝히겠다.


코탄젠트공간은 다음과 같이 형식적으로 구성될 수 있다: 점 의 어떤 근방에서 정의된 모든 매끈한 함수들은, 함수들의 덧셈과 실상수에 의한 곱셈 아래에서, (무한차원) 벡터공간을 형성한다. 그러한 두 매끄러운 함수들 가 거기서 동일한 1계편도함수를 가질 때, 즉


 (10)


일 때, 점 에서 이 두 함수는 코탄젠트(cotangent 또는 동치)라고 한다. 이 관계 아래에서 이러한 함수들의 동치류들은 원하던 2차원공간을 형성하는데, 이것을 점 에서의 코탄젠트공간이라 한다. 이 구성은 평면뿐만 아니라 구면과 같이 다른 곡면에 대해서도 적용된다. 구면의 경우에, 평면의 좌표 는 위도 및 경도와 같이 구면에 대한 다른 좌표로 대치되어야 한다.


한편, 모든 매끈한 함수 는 (8)에서와 같이 그래디언트 를 갖는다. 특히 좌표축 는 매끈한 함수이고, 그래디언트 를 갖는다. 그러므로 각 점에서의 그래디언트는 이 두 그래디언트들의 일차결합으로 표현될 수 있다:



기호를 제외하면, 이것은 바로 전미분의 정의



와 같다. 따라서 무한소로서 탄생된 미분이 코탄젠트공간의 한 벡터인 그래디언트 로 정의될 수 있다. 이것이 코탄젠트공간이 접선공간과 다른 이유이다.


또한 에서 경로 , 의 접선벡터는 그 경로의 접선도 결정하며, 그것의 매개변수 방정식은 이고 라 할 때


( t- t_{0} )     (11)


이다.

연쇄법칙 (4)는 3차원적인 해석도 갖는다. 함수 는 평면의 점 위의 (또는 아래의) 높이 를 나타내며, 평면의 어떤 부분 위에서 이러한 높이들을 갖는 매끄러운 곡면 로 도시될 수 있다. 점 에서 이 곡면에 대한 탄젠트평면(tangent plane) 는 점 를 지나는 위의 모든 매끄러운 곡선들에 대한 에서의 모든 접선들을 포함하는 평면이다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000004840006.bmp
원본 그림의 크기: 가로 483pixel, 세로 474pixel

그와 같이 매끄러운 궤도는 , , 로 주어진다; 그것의 에서의 접선은 매개변수 방정식 (11)과 에 관한 관계식


(11' )


로 주어진다. 그런데 이 세 방정식 (11)과 (11′)는 모두 에서의 근사변화 에 대한 선형방정식을 만족한다. 이 선형방정식 (6)은 3차원 공간에서의 한 평면을 나타내고 있다; (11)이 그것을 만족하기 때문에, 우리의 정의에 의하면 그것은 곡면 에 대한 탄젠트평면임에 틀림없다.

이와 같이 연쇄법칙은 기하학(탄젠트평면), 기계공학(속도벡터), 미적분학(선형근사)이나 대수학(쌍대공간21))으로 부터 오는 아이디어들을 적절히 더하거나 곱해진 결과들로써 결합시킨다. 그것은 “전미분”에 의미를 부여한다.



이 아이디어들 중 어떤 것은 그림으로 나타내면 좀더 선명하다. 전체 공간에 정의된 함수 의 그래디언트(gradient)는 이 평면의 각 점에서 한 벡터를 제공한다 - 그러므로 그 평면의 벡터체(vector field)가 된다(그림1).


[CAS] Sketch the vector field       by drawing a diagram.


Sol) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-15-1-Sol.html

var('x,y') 

vf=plot_vector_field((y/sqrt(x^2+y^2),-x/sqrt(x^2+y^2)), (x,-3,3), (y,-3,3), aspect_ratio=1);

show(vf) 



한편, 인 경우의 궤적은 의 등고선(contour line)이라 불리는 곡선족이 된다. 그것들의 사용은 평면 위에 등고선을 그린 지형도로부터 제시되었다(그림2). 가 매끄러울 때 영이 아닌 그래디언트벡터들은 등고선들에 수직이다;



지형학에서 그것들은 가장 빨리 올라가는 방향을 나타낸다. 수학에서는 위상수학과 Morse이론에서 그것들의 이용이 결정적인 것으로 증명되었다.


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000012200007.bmp
원본 그림의 크기: 가로 651pixel, 세로 256pixelhttps://www.geogebra.org/m/GqxehH7K



10. 미분형식(differential form)


물리학에서, 어떤 물체가 벡터로 표현되는 힘 F에 의해 알짜 방향 D로 움직일 때 수행된 일(work)은 알짜 방향으로의 변위와 힘의 벡터 곱 즉, 이 두 벡터의 내적 로 정의된다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000016b40001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 262pixel, 세로 193pixel

만일 수직선 위의 각 위치 에서 가해지는 힘의 크기가 연속함수 에 의해 나타내어진다면, 한 입자가 시점 에서 종점 까지 축을 따라 움직이게 한 힘 가 한 일의 총량은 로 나타낼 수 있다. 이 때 구간 에서 까지 -구간을 따라 취해진 1차원의 정적분


 


각 증분 마다 함수 의 값 로 분량이 주어진, 에서의 연속적인 증분들 를 합하는 것이다.(단,


만일 문제에서 힘이 평면상의 각 위치 마다 벡터함수 에 의해 표현된다면, 평면상의 작은 변위 동안 수행된 일은 근사적으로 이들의 내적 이므로, 합 (4)는 곡선 의 경로를 따라 수행된 전체 일의 양을 근사적으로 나타내는 식이 된다. 따라서 합(4)에 극한을 취해 얻어진  선 적분(line integral)22)은 이 경우 정확한 일의 양을 나타내게 된다. (식의 형태에서 보아 알 수 있듯이 총 일의 양 축 방향으로 가 한 일과 축 방향으로 가 한 일을 더한 것과 같다.) 즉, 2차원에서 시점 부터 종점 까지 곡선경로 을 따라 힘 에 의해 수행된 일의 총량은 2차원 상에서의 선 적분



로 나타낼 수 있다.


같은 방식으로 아이디어를 확장하면, 3차원에서의 곡선 경로 를 따라 힘 가 한 일의 총량 도 유사한 방법으로 구할 수 있는데, 그 식을 나타내면 다음과 같다.


 


그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000016b40002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 364pixel, 세로 246pixel

한편, -평면의 열린 집합 에서 정의되는 1계 외미분형식

 

                                       (1)


로 표현되는데, 이 때 내부에 있는 점 에서 매끄러운(smooth) 함수들이다. 이러한 미분형식은 내부의 각 점 마다 그 점에서의 코탄젠트 벡터 를 대응시키는 함수로도 묘사될 수 있다. 예를 들어, 어떤 매끄러운 함수 에 대하여 전미분 는 그러한 1계 외미분형식 이다.

그러나 전미분이 아닌 미분형식도 많이 존재한다.


그러나 전미분이 아닌 미분형식도 많이 존재한다. 이것은 편미분의 순서는 적어도 연속인 2계편도함수들


 (2)


를 갖는 함수들에 대해서는 바뀌어질 수 있다는 중요한 정리가 있기 때문이다. 직관적으로 그럴 듯한 이 결과는 평균값정리를 이용하여 표준적으로 증명할 수 있다. 이것은 전미분이던 (1)의 미분형식 가 조건


 (3)


를 만족해야 함을 의미한다; 이러한 미분형식을 닫혀있다고 말한다.


몇 가지는 아래에서 다루겠지만, 위에서 언급된 내용들을 토대로 선적분 에 대하여 다음과 같은 형식적 정의를 제시할 수 있다. 이 때, “선” -평면에서 외미분형식 가 정의되어 있는 열린 집합 내의 한 매끄러운 곡선이다. 이 적분도 보통의 1차원 적분과 마찬가지로 작은 증분들과 이 때 계산되는 값 곱의 합들의 극한으로써 정의할 수 있다: 먼저 곡선 을 각 분할(partition) 각 점 를 기준으로 개의 “짧은”조각들로 세분하면, 이 때 합


                                 (4)


은 적절한 조건 하에서 일 때 어떤 일정한 값으로 수렴하게 된다. 이 극한값을 선 적분 으로 정의한다.

 위 정의에서 사용된 아이디어는 보통의 1차원에서의 적분과 같은데, 이 경우에도 적절한 변수 변환을 통하면 1차원 적분과 같은 형식으로 선 적분을 나타낼 수 있게 된다. 곡선 이 매끄러운 매개변수방정식 , 로 나타내어진다고 하자. 그러면 위 선 적분은 매개변수 t에 관해 적절하게 나타내어진 구간 [, ] 에 대해


  


와 같이 쓸 수 있다. 한편 적분의 변수변환에 관한 표준공식에 의해 우변의 적분은 곡선 을 나타내는 매끄러운 매개변수방정식의 선택에 독립이라는 것을 알 수 있다.


또 다른 하나의 선적분의 예는 평면에서 유체의 흐름이다. 만일 그 유체가 모든 곳에서 의 성분으로 각각 상수 을 가지는 일정한 속도벡터 로 흐르고 있다면, 단위시간에 위치벡터 를 지나가는 유체의 양은 그 위치벡터의 길이와 그것에 수직인 속도 의 성분을 곱한 것이다; 다시 말해서, 그것은 와 위치벡터에 수직인 벡터 의 내적이다: 유체속도 가 점 에서 변할 때에도 동일한 공식 가 적용된다. 선 적분에서 처럼, 이 모든 양들을 합해서 극한을 취하여 얻어진 적분 가 단위시간에 곡선 을 지나는 유체의 총 흐름을 측정한다. 이 예는 (다른 것들과 함께) 선 적분이 어떻게 하여 모든 작은 조각들을 (직관적으로 무한소의 조각들을) 합하여 전체 양을 측정하는 일반적인 아이디어의 구체적 표현이 되는가를 보여준다.


평면의 유계인 면적 위에서 매끈한 함수 의 이중적분 는 다시 이중합 의 적절한 극한이다. 여기에는 다양한 해석이 있다. 일 때 이 이중적분은 바로 의 넓이가 되는 반면에, 슬래브 에서 밀도 가 점에 따라 변할 때 이 이중적분은 그 슬래브의 무게가 된다. 여기에서 적분학의 기본정리는 Gauss보조정리23)(“발산정리”)의 형태로 다시 나타난다. 면적 가 둘레(경계, boundary) 라 불리는 매끄러운 폐곡선 에 의해 유계되어 있다고 하고, 전체에서 정의된 매끄러운 미분형식이라 하자. 그러면


(5)


이다; 의 선 적분은 이중적분으로 바뀐다(유체 흐름의 경우, 이 이중적분은 전체 “용출량”으로 해석될 수 있다). (5)에 대한 증명의 개요는 바로 얻어진다: 단지 만 남도록 라고 가정하고, 또한 곡선 와 만나는 수평선이 곡선 와 꼭 두 점 - 그림 1에서와 같이 좌측은 , 우측은 - 에서 만난다고 가정하자. 그러면 의 이중적분은 반복적분으로 적당히 대치될 수 있다 - 처음에 에 대해서 적분하고 다음에 에 대해 적분하며, 수평선을 따라 에 대한 적분(즉, 수평의 띠를 따라서의 합)은 기본정리에 의하여 바로 []이다; 그러면 다음에 에 대한 적분은 의 좌변과 우변에 있는 두 조각에서 의 선 적분을 제공한다. 그림의 화살표에 나타나 있는 것처럼, 여기에서 곡선 를 따라 면적 가 진행하는 의 왼쪽에 놓이도록 적절한 방향으로 적분하는 것이 중요하다. (이것은 3장에서 논의된 것처럼 방향 짓기에 대한 기하학적 아이디어를 필요로 한다.) 여기서 우리의 관심은 (5)의 자세하고 엄격한 증명이 아니라, 가우스보조정리 (6)에 나타나 있는 것은 4절의 기본정리에서 이미 표현되었던 아이디어와 같이 양들의 총변화(둘레 곡선을 따라서의 총합)는 바로 무한소 변화들의 합이라는 아이디어를 (형식적이고 세심하게) 실현하고 있다는 것을 개괄적으로 살펴보는 것이다.


같은 아이디어가 고차원 공간들에서 다시 나타난다. 유클리드 3차공간 내의 2차원곡면 위에서의 적분은 이중적분의 일반적 형태



를 가지며, 여기서 은 각각 축의 매끄러운 함수이고 피적분함수는 2계미분형식이다. 그러한 적분은 적당한 합의 극한으로 정의되거나, 곡면 가 매개변수방정식 , , 로 주어질 때 두 매개변수 의 평면에서 취해진 이중적분으로의 환원에 의해 정의될 수 있다. 만일 곡면 가 어떤 입체 의 전체 둘레 이면, Green의 정리25)(Gauss의 보조정리로도 불림)는


  (6)



이다. 비슷한 방법으로, Stokes의 정리26),27)는 곡면의 한 부분 의 둘레가 되는 곡선 위에서 취해진 1계미분형식의 적분을 다룬다:


(7)


기본정리의 이러한 변형들 (5), (6), (7) 각각에서, 좌측에 “둘레” 위에서 적분되는 미분형식 는 우측에서 피적분함수로 나타나는 또 하나의 미분형식을 결정한다; 이 때, 후자를 외미분(exterior derivative)라 부르며, 로 적는다:

미분형식의 외미분에 대한 이러한 설명에 의하여, 적분학의 “기본정리”에 대한 이 모든 변형들은 통일된 한 가지 방법으로 쓰여질 수 있다. 매끄러운 둘레 를 갖는 어떤 공간의 유계이고 매끄러운 부분 (체적, 곡면, 면적)를 생각하자. 그러면



이며, 여기서 매끄러운 미분형식 는 (그것의 외미분과 함께) 영역 와 그것의 경계 전체 위에서 정의되어야 한다. 이 외미분에 대한 위에서의 공식들은 모두 간단한 한 가지 사실로부터 얻어질 수 있다: 함수 에 대하여 (또는 )는 보통의 전미분이다; 곱에 대해서는 이고, 변수 에 대해서는 이며, 변수들의 미분들 의 제곱은 영이라는 이해 아래에서 곱해진다. 그래서 이고, 이므로 이다. 매끄러운 함수에 대한 연속되는 두 편미분의 순서 교환에 관한 규칙 (2)에 의하여 2계외미분 는 항상 영이 된다.


이러한 여러 가지 관찰들은 위상수학과 기하학에서 많은 중요한 발전들의 출발점을 형성한다. 또한 이 기법들은 고전적인 수리물리학에서 여기에서 사용된 언어보다는 벡터들의 언어로 많이 사용된다.




그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000015a00006.jpg
원본 그림의 크기: 가로 313pixel, 세로 195pixel
사진 찍은 날짜: 2005년 07월 12일 오후 10:11



11. 미적분학에서 해석학으로의 발전


개념적인 발전이 이 시점 근방에 이르렀을 때, 어떤 양들을 순간변화율과 무한합들에 의하여 효과적으로 계산하는 데 대한 규칙인 미적분학은 점차 해석학(Analysis)으로 바뀌게 되었다. 여기에서 “실해석학(Real Analysis)”은 실수에서 로의 함수들을 다루며 적분, 극한, 도함수에 대한 이 함수들의 심도 있는 성질들을 조사한다. 해석학에는 이 책에서는 다루지 못하는 다양한 면들이 있으며 그 일부를 다음에서 간단히 요약한다.


우리가 논의하였던 (Riemann)적분은 수렴하는 함수열의 항별 적분이나 연속되는 두 적분의 순서를 바꾸어야 하는 것과 같이 여러 가지 즐겁지 않은 문제들을 포함하고 있다. 이 적분이 (함수들의 더 큰 집합에 대해서도 가용한) Lebesgue적분 으로 적당히 일반화되면 이러한 문제들 중 많은 것들은 해결되게 된다. 이 적분의 개발에 대한 한 가지 접근 방법은 계단함수를 이용하는 것이다. 그래서 실수직선의 한 구간 위에서 유계인 함수들 와 그 구간 위에 있는 점들의 집합들 를 생각하자. 를 서로소인 개구간들로 덮고 이 구간들의 길이들의 합을 구한다. 모든 이러한 합들의 최대하계가 의 “외측도”이다. 가 한 집합일 때, 각 에 대하여 를 포함하는 열린 집합 가 존재해서 의 외측도가 보다 작아지면 를 가측적(measurable)이라 한다. 또한 이것은 의 측도(폭)를 제공한다. 계단함수는 유한개의 서로소인 가측집합들 각각에서 상수이고 나머지에서는 영인 함수이다. 계단함수 의 적분은 “각 계단의 폭에 그 계단에서 의 값을 곱한 것”을 항으로 하는 합이다; 가 아래에서는 계단함수 에 의해서 또한 위에서는 계단함수 에 의해서 근사되고, 아래쪽 근사들의 적분 값의 최소상계와 위쪽 근사들의 적분 값의 최대하계가 일치할 때, 이 공통된 값이 Lebesgue적분28) 이고, 함수 Lebesgue적분가능이라 불린다. 집합들의 교집합과 합집합의 측도에 대해서는 명백한 대수학적 성질들이 있다; 사실 이러한 측도들은 확률론의 개념적 공리화에 핵심이 된다. 측도가 영인 집합에 대해서는 특별히 간단한 정의가 있으며, 두 함수가 측도 영인 집합을 제외한 나머지 모든 곳에서 일치할 때 이 두 함수는 거의 모든 곳에서(almost everywhere) 같다고 정의하는 것이 유용하다. 여기에서 거의 모든 곳에서 같은 두 함수를 동일한 것으로 간주하고, 어떤 구간에서 절대값의 제곱이 Lebesgue적분가능한 (복소수 값을 갖는) 함수들 전체의 집합 를 생각하자. 의 각 함수 의 노름(norm)을 로 표시하면, 이것은 그 구간 위에서의 적분에 의하여 정의된다:



그러면 내의 두 함수 의 “거리”는 노름 이다. 이 거리는 를 거리공간으로 만들며, 공간들에 대한 기하학적 아이디어들을 해석적으로 묘사된 집합 에 적용하는 것은 매우 유용하다는 것이 증명되었다. 이 거리공간이 완비적이라는 것 즉, 내에서의 모든 Cauchy수열은 그 내에서 극한을 가진다는 것은 특별히 Lebesgue적분의 덕분이다. 또한 의 임의의 두 함수 는 “내적” 를 가지며, 따라서 는 무한차원 내적공간이다(7장 5절).

Riemann적분과 구분되는 Lebesgue적분은 “작은 조각들을 합함”이라는 동일한 초보적 아이디어가 둘 이상의 형식적 표현(사실, 이 둘 보다 더 많이!)을 가질 수 있다는 것을 보여준다.

미분방정식에서 중심 되는 아이디어는 매끄러운 함수 에서의 그것의 초기 값과 그것의 1계도함수에 관한 모든 정보에 의하여 완전히 결정될 수 있다는 것이다. 두 개나 그 이상의 변수를 갖는 매끄러운 함수들 에 대해서도 같은 아이디어가 나타난다: 그것들은 “경계조건들”과 편도함수들에 관한 정보에 의하여 결정될 수 있다. 그러한 편미방(편미분방정식, partial differential equations)은 이 아이디어와 개념적으로 유사한 것으로 부터 뿐만 아니라, 여러 독립변수들에 의존하는 양들에 대하여 정확히 이런 종류의 자료가 가용한 이론물리학의 많은 다른 경우에서도 일어난다.

예를 들어, 1차원 파동이, 그림 1의 좌측에서처럼, 시간 에서 (각 점 위로) 매끈한 함수 로 주어지는 높이 에 의해 표현된다고 하자. 만일 이 파동이 일정한 속도 로 오른쪽으로 움직일 때 동일한 형태를 유지한다면, 시간 에서 위치 에서의 높이는 로 주어진다(한번 시도해 보라!). 이 함수 는 1계편미방 를 만족하며, (Rolle의 정리에 의해서) 이 편미방을 만족하는 모든 매끄러운 함수는 어떤 매끄러운 함수 에 대하여 형태를 가져야 한다. 따라서 이 편미방의 해 는 그것의 초기값 에 의하여 결정된다. 비슷한 방법으로, 속도 로 왼쪽으로 일정하게 움직이는 파동은 로 주어진다. 는 모두 파동방정식(wave equation)이라 불리는 2계편미방

(1)


을 만족한다; 이 방정식의 가장 일반적인 매끄러운 해는 임의의 매끄러운 함수들 에 대하여 형태를 갖는다.



3차원 공간에서 파동방정식은


                              (2)


이다; 이것은 시간과 공간에 따라 변하는 많은 종류의 양들 에 적용된다.


포텐셜(potential)   인력에 대한 뉴우튼의 역 제곱 법칙 아래에서, 원점에 있는 인력체로 부터 거리 에 있는 단위 질량의 포텐셜에너지는 “무한으로부터” 단위 질량을 끌어 갈 때 인력에 의해서 수행된 일이다. 인력은 에 비례하므로 이 포텐셜은 에 비례한다. 이 , , 의 함수 는 (원점을 제외한 곳에서) 편미방


  (3)


을 만족한다. 덧셈에 의하여, 여러 개의 인력 체들에 의한 포텐셜이나 그러한 인력 체들의 매끄러운 분포에 의한 포텐셜도 역시 포텐셜 에 대한 라플라스 방정식(Laplace's equation)29)이라 불리는 이 편미방을 만족한다.

내의 열린 집합 에서 방정식 (3)을 만족하는 매끄러운 함수 에서의 조화함수(harmonic function)라 한다. 예를 들어, 공간 내의 닫힌 곡면 위에 분포된 전하(electrical charge)는 에서 상수인 포텐셜 를 정의하고, 의 내부에서 조화적이다. 이것과 더불어 관련된 물리적 상황이 다음의 Dirichlet문제를 제시한다: 를 적당한 곡면 에 의해 둘러싸인 의 한 열린 집합이라 하고, 위에서 정의된 매끄러운 실수값 함수라 하자. 에서 정의되고 에서 조화적인 함수 로 확장하라. Dirichlet는 를 확장하는 모든 함수들 중에서 3중적분


                            (4)


을 최소화하는 함수를 이용하여 이 문제를 풀려고 하였다; 그리고 그는 최소화하는 이 함수가 조화적임을 보일 수 있었다. 적분 (4)는 음이 아니기 때문에 모든 중에서 최대하계를 갖는다. 그러나 이 최대하계를 최소값으로 갖는 실제의 함수가 존재하는지는 명확하지 않다. 이 상황을 밝히기 위한 노력은 해석학의 주된 발전의 계기가 되었다(Monna [1975]).

(두 변수를 갖는) 조화함수들은 복소해석학에서도 역시 나타난다.

조화운동(harmonic motion)은 시간 의 함수인 (1차원의) 위치 에 대하여 상미분방정식


 (5)


에 의해 결정된다. 이 방정식의 가장 일반적인 해는 상수 에 대하여


 (6)


형태를 갖는다. 이 함수 에 대하여 주기적이며, 주기 를 갖는다. 나아가서, (6)은 모든 해들의 (실수 위에서의) 벡터공간이 두 해 를 기저로 갖는 2차원 벡터공간임을 보여준다. 따라서 조화운동은 삼각함수로 환원된다; 이 두 개의 기본 해들은 원의 둘레를 일정한 속도로 움직이는 한 점을 축들 위로 사영한 것들로 간주할 수 있다.

편미방의 해를 결정하는 데 있어서, 먼저 특정한 간단한 경계 값에 대해서 편미방을 풀고 다음에 그 결과들을 적당히 합하는 것이 가끔 편리할 때가 있다. 이를 위해 최종적으로 바라는 경계 값을 간단한 함수들의 합(또는 급수)으로 표현해야 한다. 에 대하여 주기 를 갖는 함수 의 대표적인 그러한 표현은 Fourier급수30)


              (7)


이다. 이러한 급수 전개에 대한 연구는 “함수란 무엇인가?”라는 5장에서의 질문을 고려하는 데 있어서 중요한 역사적 역할을 하게 되었다.

여기에서 급수 (7)이 모든 에 대하여 함수 에 수렴한다고 가정하고, 와 그 급수에 를 곱한 후 에서 까지 적분하여 계수 를 결정하도록 하자. 우리는 그 결과의 급수를 항별로 적분하려 할 것이다. 이것이 이중극한의 문제(급수의 합과 적분의 순서 교환)의 대표적인 예이다. 이것이 해석학에서 많은 발전을 가져온 일반적인 질문이다. 이것이 현재의 경우에 합당할 수 있다면, (7)에서의 계수들에 대한 간단한 공식을 얻게 된다:


                 (8)


이러한 급수의 실제 수렴에 대한 연구는 Lebesgue적분을 효과적으로 사용하게 만들고, 많은 심오한 정리들에 도달한다. 또한 여기에는 유일성에 관한 문제가 있다: 만일 동일한 함수 에 수렴하는 두 개의 그러한 급수들 (7)이 존재한다면, 그것들의 계수들은 모두 일치하는가? 이 질문은 곧 다음 질문으로 환원된다: 만일 그러한 급수 (7)이 모든 , 에 대하여 에 수렴한다면, 그 계수들은 모두 영이어야 하는가? 이것에 대한 답은 “그렇다”이며, 유한개의 점들을 제외한 모든 에 대하여 에 수렴한다고 가정하더라도 마찬가지이다. 사실, 어떤 추가적인 예외가 가능한가하는 질문은 George Cantor로 하여금 추상집합을 생각하도록 한 그것이다: 즉, 모든 에 대하여 그러한 급수가 에 수렴하면 이 급수의 계수가 모두 영이 되는 집합 를 생각하였다. 수렴성에 관한 이와 같은 특수한 질문들이 집합론의 일반개념에 대한 중요한 기원이었다는 것은 놀라운 사실이다. 이러한 기원의 관련성은 극히 최근에 집합론에서 Robert Solovay31)에 의한 연구에서 강조되었다.


이러한 Fourier급수들은 주기 를 갖는 주기함수 를 다룬다; 다른 방법으로 그러한 함수들은 (반경이 1인) 원 위의 모든 점 에 대해 정의된 함수 로 묘사될 수 있다; 여기에 각들의 가법성(additivity)이 들어 가며, 따라서 원은 컴팩트이고 가환인 위상군이다. “조화해석학”의 이 분야에 관한 일반적인 면들은 다른 위상군들 위에서 정의된 함수들에 관련되며, 그 분야도 눈에 띄게 발전되었다.


최대값이나 최소값에서 매끄러운 함수 의 도함수는 반드시 영이다; 이 사실은 기초적인 방법으로 최대점과 최소점을 결정할 때 유용하게 사용된다. 더 복잡한 최소문제가 많이 있다: 움직이는 입자가 가장 짧은 시간 동안에 에서 로 내려오려면 어떤 곡 을 따라가야 하는가? 주어진 길이를 갖는 단순폐곡선 중에서 가장 큰 면적을 둘러싸는 것은 어떤 것인가? 이러한 경우들에서, 우리는 주어진 함수 를 최소로 만드는 의 값을 구하려는 것이 아니라, 주어진 양을 최소로 만드는 (강하하는 곡선의 형태를 나타내는) 주어진 함수 의 값을 구하려 한다. 전형적으로, 그 양은 주로 피적분함수가 와 함수 및 그것의 도함수의 값들을 포함하는 어떤 표현 의 적분



에 의해 계산된다. 이와 같이 최소화하는 함수 를 선택하는 문제들은 위의 Dirichlet문제 (4)에서와 마찬가지로 기계공학의 “최소작용”원칙(10장)에서도 발생된다. 이 최소(또는 최대)문제들은 변분학(Calculus of Variations)32)을 구성한다. 그런데 이 변분학은 많은 개념적인 질문들을 갖고 있으며, 주의 깊은 기초를 날카롭게 필요로 하고, 근사에 관한 실제적인 문제들에서 (근래에 개발된) 사용법들을 포함하며, 놀랄만한 개념적 아이디어들을 많이 가지고 있다. 예를 들어, 매끄러운 함수 의 두 극소들 사이에 극대가 놓인다는 기초적인 관점에 무엇이 일어나는가? (그 대답은 이변수함수들의 극소들, 안장점들, 극대들의 수에 관한 “Morse관계”에 도달한다.)

변분학에서 우리는 “모든” 매끄러운 함수들 위에서의 적분을 최대화하거나 최소화한다; 여기에서 이러한 함수들 전체의 집합을 하나의 “공간”으로 생각하는 것이 바람직하다고 판명된다. 역사적으로 이와 같은 함수들의 공간에 대한 연구가, 공간의 경우에서처럼, 거리공간의 일반적인 아이디어를 소개하게 된 이유 중의 하나이다.



12. 개념들의 상관관계


대수학(예를 들어, 군론)과 기하학(예를 들어, 벡터공간)은 각각 간단한 형식적 공리체계의 모델들에 관한 연구라고 묘사될 수 있었다.


그러나 미적분학은 그와 같이 쉽게 묘사되지는 않는다; 그것은 오히려 직관적인 계산방법으로 부터 발전된 것 또는 (실수들이나 실수들의 집합들 및 실수 위에 정의된 함수들에 대한) 아치형으로 가로 놓여 있는 하나의 공리체계 내에서 모두 발견되는 다양한 형식적 개념들(극한, 도함수, 적분, 미분형식)이 발전된 것이다.


그럼에도 불구하고, 미적분학도 대수학이나 기하학과 똑같은 기본적인 성격을 가지고 있다: 미적분학은 실제적인 문제들이나 계산에 유용한 직관적인 아이디어들에서 출발하였는데, 이 아이디어들은 엄밀하게 형식화될 수 있는 것으로 나타났고, 와 실제의 무한소들 어느 것을 이용하더라도 그렇게 형식화되었다. 더구나 관여된 여러 가지 아이디어들은 다음의 다이어그램에 제시된 것처럼 서로 긴밀하게 연관되어 있다.

 

http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story-0/Calculus-Story.htm

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000017a83709.bmp
원본 그림의 크기: 가로 521pixel, 세로 786pixel그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000017a80001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 523pixel, 세로 782pixel  

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000017a80002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 521pixel, 세로 741pixel그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000017a80003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 512pixel, 세로 735pixel

본 원고는 저자가 공역한 책 “수학: 형식과 기능”의 내용에 기반하여 다시 저술하였습니다. http://matrix.skku.ac.kr/sglee/macbook/formandfunction.htm     


1) http://cafe.daum.net/buddha01/MONm/2

2) http://matrix.skku.ac.kr/2014-Album/Calculus-History-p.pdf

3) http://prezi.com/bn9opx-flp2w/presentation/

4) http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral

5) http://www.math.ualberta.ca/~devries/erc2001/slides.pdf

6) http://prezi.com/gykkoixvtqhe/presentation/

7) http://www.me.berkeley.edu/faculty/casey/Calculus.pdf

8) http://en.wikipedia.org/wiki/epsilon-delta-definition_of_limit

9) https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf

10) http://www.fuw.edu.pl/~kostecki/sdg.pdf

11) http://www.integral-table.com/

12)  http://matrix.skku.ac.kr/2014-Album/Calculus-History-p.pdf

13) http://prezi.com/yoecowdyabuj/presentation/

14) http://matrix.skku.ac.kr/2014-DE-0/Engineering_Math-Sample-New.htm

15) http://en.wikipedia.org/wiki/Picard_theorem

16) http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space

17) http://prezi.com/xnk5otlfqxjd/heine-borel-theorem-proof/

18) http://en.wikipedia.org/wiki/Least-upper-bound_property

19) http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space

20) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/CS-Sec-9-5-Sol.html

21) http://ko.wikipedia.org/wiki/쌍대공간

22)  http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-15-2-Sol.html

23) http://ko.wikipedia.org/wiki/그린_정리

24) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-15-9-Sol.html

25) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-15-4-Sol.html

26) http://ko.wikipedia.org/wiki/스토크스의_정리

27) http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part2/CS-Sec-15-8-Sol.html

28) http://mathworld.wolfram.com/LebesgueIntegral.html

29) http://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquation.html

30) http://ghebook.blogspot.kr/2012/07/fourier-series.html

31) http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_M._Solovay

32) http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations

          <http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/ >

    <Made by http://matrix.skku.ac.kr/sglee/ >


Image Map Image Map