[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

만든사람

[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage

[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화
일계미분방정식

C H A P T E R

벡터적분 : 적분정리

Vector Integral Calculus : Integral Theorems

$선입니다.$

■ 목차

10.1 선적분

10.2 *이중적분

10.3 그린 정리(Green’s theorem)

10.4 면적분

10.5 삼중적분, 발산정리

10.6 스토크스 정리(Stokes’s theorem)

10.7 연습문제

http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-10.html

$사각형입니다.$ $사각형입니다.$

선적분

[예제 1]

다음과 같이 주어지는 곡선 를 따라 의 선적분을 구하여라. 는 점에서 점까지의 곡선 이다.

[풀이] 곡선 를 매개변수를 이용하여 벡터함수 로 표현하면 다음과 같다.

, ()

따라서 선적분은

$그림입니다. 원본 그림의 이름: mem000006784d56.png 원본 그림의 크기: 가로 592pixel, 세로 582pixel$

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 2]

다음과 같이 주어지는 곡선 를 따라 의 선적분을 구하여라.

곡선 는 의 교선으로 주어진다. 양의 방향은 아래 그림에서 축의 양의방향에서 볼 때 시계반대방향으로 회전하는 방향이다.

$그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP000006780006.bmp 원본 그림의 크기: 가로 445pixel, 세로 479pixel$

[풀이] 곡선 를 매개변수를 이용하여 벡터함수 로 표현하면 다음과 같다.

, ()

따라서 선적분은

[Sage 코딩]

포텐셜 함수

경로와의 독립성

[예제 3]

상의 원점을 제외한 영역에서 벡터장 는 이 성립하지만 포텐셜 함수는 존재하지 않음을 보여라.

[풀이] , 이므로 은 성립한다. 이제 곡선 를 단위원 : , 이라 하고, 를 따라 선적분 을 계산해보자. 위 벡터장은 로 매개변수를 이용하여 나타낼 수 있으므로, 을 얻는다. 이므로 [정리 10.1.6]에 의해 이 벡터장은 보존장이 아니다.

[Sage 코딩]

$사각형입니다.$ $사각형입니다.$

이중적분

[예제 1]

이중적분 을 구하라. 여기서 는 , 로 주어지는 직사각형 영역이다.

[풀이] [정리 10.2.3]에 의해 이중적분을 계산하면 다음을 얻는다.

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

일반적인 영역에서의 이중적분

[예제 2]

다음과 같이 주어지는 영역 에서 이중적분 을 구하여라.

[풀이] 푸비니의 정리에 의해, 다음과 같이 계산할 수 있다.

[Sage 코딩]

이중적분의 응용

[예제 3]

다음과 같이 삼각형 모양의 밀도가 인 고른 얇은 막이 있다. 축, 축에 대한 관성모멘트를 각각 구하여라.

$그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP000015280bd0.bmp 원본 그림의 크기: 가로 478pixel, 세로 403pixel$

[풀이] , 를 지나는 직선은 로 나타낼 수 있으므로 축에 대한 관성모멘트는 다음과 같다.

마찬가지로 축에 대한 관성모멘트는 다음과 같다.

[Sage 코딩]

이중적분의 변수변환

[예제 4]

이중적분 을 변수변환을 이용하여 계산하라. 여기서 은 축, 축, 직선 로 둘러싸인 영역이다.

$그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP000001401016.bmp 원본 그림의 크기: 가로 462pixel, 세로 654pixel$

[풀이] , 라 하면 , 이고 축()은 직선 , 축()은 직선 , 직선 는 직선 로 바뀐다. (위 그림 참조) 즉 위의 적분이 위의 적분으로 변한다. 그리고 야코비안은 다음과 같이 계산되므로

이중적분은

이다.

[Sage 코딩]

[예제 5]

이중적분 을 변수변환을 이용하여 계산하라.

[풀이] , 라 하면 영역 : 은 영역 : , 로 변한다. 그리고 야코비안은 다음과 같이 계산되므로

이중적분은 이다.

[Sage 코딩]

$사각형입니다.$ $사각형입니다.$

그린정리

[예제 1]

적분 을 통하여 그린정리가 성립함을 확인하라. 여기서 는 세 꼭지점이 각각 , , 인 삼각형의 둘레를 이루는 양의 방향의 곡선이다.

[풀이] 먼저 선적분으로 계산해보자. 곡선 는 세 곡선 : , : , : 의 합으로 이루어지므로

이다. 을 따라서 적분할 때, 이고 이므로,

이다. 을 따라서 적분할 때, 이고 이므로, , 이 성립한다. 따라서 이다. 곡선 을 따라서 적분할 때, 이고 는 1부터 0까지 움직이므로, 이다. 따라서

이 성립한다. .

이제 그린 정리를 이용하여 적분해보자. , 라 하고 이중적분을 계산하면,

에서 그린 정리가 성립한다.

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

평면 영역의 면적

그린 정리를 이용하면 평면 영역의 면적을 구할 수 있다. 이 단순 닫힌곡선에 의해 둘러싸인 평면 영역이라 하고 를 영역 의 면적이라 하자. , 라 하면 그린 정리에 의해 다음이 성립한다.

따라서 의 면적은

이다.

[예제 2]

그린 정리를 사용하여 타원 의 면적을 구하여라.

[풀이] 타원의 경계 는 다음과 같이 매개변수화 할 수 있다.

, .

이고 이므로, 다음이 성립한다.

따라서 타원의 면적은 다음과 같다.

만일 가 극좌표로 나타내어질 때, 평면 영역의 넓이를 구해보자. 과 가 극좌표일 때 우리는 가 성립함을 이미 알 고 있다. 그러면 전미분 공식에 의해

이므로 임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 평면 영역은 다음과 같다.

예를 들어, 심장형 곡선 ()의 경우 면적은 다음과 같다.

[Sage 코딩]

$사각형입니다.$ $사각형입니다.$

곡면

평면상에서 곡선 가 일변수 함수 , 방정식 , 또는 매개변수방정식 , 으로 나타낼 수 있음을 이미 알고 있다. 그리고 일변수 함수 도 , 로 놓으면 역시 매개변수 방정식으로 표시되므로 매개변수 방정식이 곡선의 가장 일반적인 형태임을 쉽게 알 수 있다. 이제 공간상의 곡면 에 대해서도 유사한 방법으로 나타낼 것이다. 즉, 이변수 함수 , 방정식 , 또는 매개변수방정식 (여기서 는 -평면의 영역 위를 움직인다)

은 모두 곡면을 나타낸다. 이 절에서는 매개변수 방정식을 이용하여 곡면을 나타낸다.

$그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP0000067031a8.bmp 원본 그림의 크기: 가로 890pixel, 세로 289pixel$

매개변수 방정식으로 표현된 곡면의 몇 가지 예를 들어보면 다음과 같다.

(1) 원기둥의 매개변수 방정식:

[Sage 코딩]

(2) 구의 매개변수 방정식:

[Sage 코딩]

(3) 원뿔의 매개변수 방정식:

[Sage 코딩]

면적분

이제 곡면에서의 적분 즉, 면적분에 대하여 살펴보자. 면적분은 평면 영역 에서의 이중적분을 곡면에서의 적분으로 일반화시킨 개념이다. 먼저 를 두 면을 갖는(이 중 한 면을 임의로 양의 방향으로 정의하되, 만일 가 닫힌곡면일 때는 바깥쪽으로 향하는 방향을 양의 방향으로 한다) 곡면이라고 하자. 그리고 을 의 임의의 점에서 양의 방향의 단위 법선벡터라고 가정하자.

만일 3차원 공간에서 곡면 의 방정식이 로 주어지면 단위 법선벡터는 이고, 가 매개변수방정식 (여기서 와 는 평면의 영역 위를 움직인다)으로 표현되면 임의의 점 에서 곡면 의 단위 법선벡터 은 다음과 같이 주어진다. , 여기서 이다.

위 그림의 (d)와 같은 뫼비우스 띠는 한 면만을 가지게 되므로 면적분의 논의에서 제외한다. 그러면 단위법선벡터가 인 방향이 있는 곡면 위에서 연속인 벡터 함수 의 면적분은 다음과 같이 정의된다.

이 적분은 흔히 를 가로지르는 의 유속(flux)이라 부른다. 유속의 물리학적인 배경은 다음과 같다. 만일 유체의 속도가 벡터장 로 나타내어지고 가 곡면이라 하면, 를 가로지르는 유속은 시간당 를 지나는 유체의 부피로 정의된다. 를 -평면위의 한 점 위의 곡면 조각의 면적이라 하고, 을 곡면의 단위법선벡터라 하자. 유체의 속도가 벡터장 로 표시된다면, 은 스칼라이다. 그리고 의 유속은 단위시간에 양의 방향으로 곡면 를 흘러가는 유체의 총량을 나타낸다. 따라서 다음과 같이 정의된다.