[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage


[한빛] 응용 공학수학 (실습실)



이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화
일계미분방정식 일계미분방정식

C H A P T E R

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푸리에 급수 및 변환

Fourier Series and Fourier Transform


선입니다.




■ 목차

11.1 푸리에 급수란?

11.2 푸리에 급수와 경계 조건

11.3 푸리에 급수의 기하학적 접근

11.4 푸리에 급수의 수렴

11.5 Sturm-Liouville 정리와 직교 함수

11.6 푸리에 변환(Fourier Transform)

11.7 연습문제


 http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-11.html

사각형입니다.사각형입니다.



[예제 1]

, 를 푸리에 사인 급수로 나타내어라.


[풀이]

우선 (11.1.3)을 이용하여 푸리에 계수를 구하면 다음과 같다.

           

따라서 이 짝수일 때에는 이 되며 홀수일 때에서 가 된다. 이를 이용하여 의 푸리에 급수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

                               (11.1.4)

이를 그림으로 표현하면 다음과 같다. 여기서 푸리에 급수의 항이 증가할수록 그 합이 점차 에 가까워지는 것을 알 수 있다.




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[예제 3]

, 을 푸리에 코사인 급수로 표현하라.


[풀이]

우선 인 경우 (11.1.7)을 이용하면 은 다음과 같다.

   

      

인 경우는 (11.1.8)로부터

를 얻는다. 이는 앞에서 언급했듯이 의 구간 에서의 평균값이다. 따라서 의 푸리에 코사인 급수는 다음과 같다.


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[예제 4]

다음 함수의 푸리에 급수를 구하여라.

[풀이]

(11.1.10)을 이용하여 푸리에 급수를 구한다. 우선 인 경우는 다음과 같다.

이는 앞서 언급되었던 것처럼 함수의 구간 내 평균이다. 함수 가 우함수 (even function)이므로 , 은 다음과 같이 구할 수 있다.

       

         

         

은 다음과 같이 나타나는데

여기서 피적분 함수,  가 기함수 (odd function)이므로 위의 적분은 이 된다. 따라서 위 함수의 푸리에 급수는 다음과 같다.

이는 [예제 3]의 결과와 동일함을 알 수 있다. 다음 그림은 위에서 구한 푸리에 급수를 나타낸다. 이 두가지 결과의 관계에 대해서는 11.2절에서 자세히 다루도록 한다.







<Figure 11.1.3: >


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푸리에 급수의 응용: 미분 방정식의 풀이


[예제 6]

다음 비동차 미분 방정식의 해를 구하여라.


[풀이]

[예제 1]의 결과를 이용하면 입력 함수의 푸리에 변환을 다음과 같이 구할 수 있다. 이는 (11.1.4)의 독립 변수를 에서 로 변경한 것이다.

                                 (11.1.12)

따라서 위의 미분 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

우변의 각 항에 대해 특수해 (particular solution)를 구하면 다음과 같으므로

미분 방정식의 선형성을 이용하면 (11.1.9)의 특별해는 이들의 합으로 나타낼 수 있다.

이는 미분 방정식의 정상해 (steady state solution)이다. (그림 11.1.5참조)





<Figure 11.1.5: 와 정상해 (, 인 경우)>


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사각형입니다.사각형입니다.




[예제 1]

, 의 푸리에 사인과 코사인 급수, 그리고 , 의 푸리에 급수를 구하여라.

This is Picture.
Original Picture Name: fourier_sin_cos_full.jpg
Original Picture Size: 3508 (W) by 967 (H) pixels 

<Figure 11.2.2: >

[풀이]

(1) , 의 푸리에 사인 급수:

        

           

따라서 

(2) , 의 푸리에 코사인 급수: 11.1절[예제 3]의 결과로부터

(3) , 의 푸리에 급수: 계수 은 다음과 같이 기함수에 대한 적분이 되므로

이며 같은 이유에서 이다. 계수 의 피적분 인자는 우함수이므로

앞의 경우와 동일한 결과를 얻는다.





 

<Figure 11.2.3: >


[Sage 코딩]http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080 (임시 명령어, 수정 필요)













사각형입니다.사각형입니다.




직교성 (Orthogonality) / 대칭 연산자와 고유 함수 /

사영 (Projection)


사각형입니다.사각형입니다.



함수의 수렴 / 푸리에 급수의 수렴 / 푸리에 급수의 특성


사각형입니다.사각형입니다.



대칭 연산자 / Sturm-Liouville 연산자 /

보편화된 푸리에 급수 (Generalized Fourier series)


사각형입니다.사각형입니다.




푸리에 급수의 복소 표현 / 푸리에 변환 /

푸리에 변환의 특 / 함수의 스펙트럼과 에너지 / 합성곱 적분