[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage
[한빛] 응용 공학수학 (실습실)
C H A P T E R
11
푸리에 급수 및 변환
Fourier Series and Fourier Transform
■ 목차
11.1 푸리에 급수란?
11.2 푸리에 급수와 경계 조건
11.3 푸리에 급수의 기하학적 접근
11.4 푸리에 급수의 수렴
11.5 Sturm-Liouville 정리와 직교 함수
11.6 푸리에 변환(Fourier Transform)
11.7 연습문제
http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-11.html
[예제 1]
, 
를 푸리에 사인 급수로 나타내어라.
[풀이]
우선 (11.1.3)을 이용하여 푸리에 계수를 구하면 다음과 같다.
따라서 
은 
이 짝수일 때에는 
이 되며 홀수일 때에서 
가 된다. 이를 이용하여 
의 푸리에 급수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(11.1.4)
이를 그림으로 표현하면 다음과 같다. 여기서 푸리에 급수의 항이 증가할수록 그 합이 점차 
에 가까워지는 것을 알 수 있다.
[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
[예제 3]
, 
을 푸리에 코사인 급수로 표현하라.
[풀이]
우선 
인 경우 (11.1.7)을 이용하면 
은 다음과 같다.
인 경우는 (11.1.8)로부터
를 얻는다. 이는 앞에서 언급했듯이 
의 구간 
에서의 평균값이다. 따라서 
의 푸리에 코사인 급수는 다음과 같다.
[Sage 코딩]http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
[예제 4]
다음 함수의 푸리에 급수를 구하여라.
, 
[풀이]
(11.1.10)을 이용하여 푸리에 급수를 구한다. 우선 
인 경우는 다음과 같다.
이는 앞서 언급되었던 것처럼 함수의 구간 내 평균이다. 함수 
가 우함수 (even function)이므로 
, 
은 다음과 같이 구할 수 있다.
은 다음과 같이 나타나는데
여기서 피적분 함수, 
가 기함수 (odd function)이므로 위의 적분은 
이 된다. 따라서 위 함수의 푸리에 급수는 다음과 같다.
이는 [예제 3]의 결과와 동일함을 알 수 있다. 다음 그림은 위에서 구한 푸리에 급수를 나타낸다. 이 두가지 결과의 관계에 대해서는 11.2절에서 자세히 다루도록 한다.
<Figure 11.1.3: >
[Sage 코딩]http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
푸리에 급수의 응용: 미분 방정식의 풀이
[예제 6]
다음 비동차 미분 방정식의 해를 구하여라.
, 
[풀이]
[예제 1]의 결과를 이용하면 입력 함수의 푸리에 변환을 다음과 같이 구할 수 있다. 이는 (11.1.4)의 독립 변수를 
에서 
로 변경한 것이다.
(11.1.12)
따라서 위의 미분 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
우변의 각 항에 대해 특수해 (particular solution)를 구하면 다음과 같으므로
미분 방정식의 선형성을 이용하면 (11.1.9)의 특별해는 이들의 합으로 나타낼 수 있다.
이는 미분 방정식의 정상해 (steady state solution)이다. (그림 11.1.5참조)
<Figure 11.1.5: 
와 정상해 (
, 
인 경우)>
[Sage 코딩]http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
[예제 1]
, 
의 푸리에 사인과 코사인 급수, 그리고 
, 
의 푸리에 급수를 구하여라.
<Figure 11.2.2: >
[풀이]
(1) 
, 
의 푸리에 사인 급수:
따라서
(2) 
, 
의 푸리에 코사인 급수: 11.1절의 [예제 3]의 결과로부터
(3) 
, 
의 푸리에 급수: 계수 
은 다음과 같이 기함수에 대한 적분이 되므로
이며 같은 이유에서 
이다. 계수 
의 피적분 인자는 우함수이므로
앞의 경우와 동일한 결과를 얻는다.
<Figure 11.2.3: >
[Sage 코딩]http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080 (임시 명령어, 수정 필요)
직교성 (Orthogonality) / 대칭 연산자와 고유 함수 /
사영 (Projection)
함수의 수렴 / 푸리에 급수의 수렴 / 푸리에 급수의 특성
대칭 연산자 / Sturm-Liouville 연산자 /
보편화된 푸리에 급수 (Generalized Fourier series)
푸리에 급수의 복소 표현 / 푸리에 변환 /
푸리에 변환의 특 / 함수의 스펙트럼과 에너지 / 합성곱 적분